Introdução a Pesquisa Operacional B1 Gabarito - Lista de Exercícios 1 Teoria das Filas – Modelo M/M/1 1.– Clientes chegam a uma barbearia, de um único barbeiro, com tempo médio entre chegadas de 20 minutos. O barbeiro gasta em média 15 minutos com cada cliente. a. Qual a probabilidade de um cliente não ter que esperar para ser servido? b. Qual o número esperado de clientes no salão de barbeiro? e na fila?. c. Quanto tempo em média, um cliente permanece no salão? d. Quanto tempo em média, um cliente espera na fila? e. Qual a probabilidade de que um cliente tenha que ficar mais de 30 minutos no salão? f. O barbeiro está considerando a possibilidade de colocar um segundo barbeiro desde que o tempo de permanência médio de cada cliente no salão passe 1,25 horas. Para quanto teria que aumentar a taxa de chegada para que o segundo barbeiro ficasse justificado?. Solução: O tempo médio entre duas chegadas é: 1 1 ( ) 20 minutos = hora 3 E X ì = = Em conseqüência, a taxa de chegada é: clientes 3 hora ì = O tempo médio de atendimento é: 1 1 ( ) 15 minutos = hora 4 E S µ = = Em conseqüência, a taxa de serviço é: clientes 4 hora µ = a) Probabilidade do cliente não ter que esperar para ser atendido? É igual a probabilidade do sistema estar vazio: 0 3 = (1 ) 1 1 0, 25 4 P ì µ µ ÷ = ÷ = ÷ = b) Número esperado de clientes no salão e na fila ? 3 3 clientes ( ) 4 3 L ì µ ì = = = ÷ ÷ 2 9 2, 25 clientes ( ) 4(1) q L ì µ µ ì = = = ÷ c) Quanto tempo em média um cliente permanece no salão? ( ) ( ) 1 1 1 hora 4 3 W µ ì = = = ÷ ÷ Introdução a Pesquisa Operacional B 2 d) Quanto tempo em média um cliente espera na fila? ( ) ( ) 3 0, 75 horas = 45 minutos 4 4 3 q W ì µ µ ì = = = ÷ ÷ e) Nesta questão devemos considerar o tempo de espera no sistema: tempo na fila + tempo em serviço, assim corrigimos o parâmetro usado na distribuição exponencial de µ, taxa de serviço, para (µ-ì), taxa de espera no sistema Observe que como ( ) 1 ( ) E W W µ ì = = ÷ é o tempo médio de espera no sistema, logo, (µ-ì) é o número médio de clientes que espera no sistema/unidade de tempo. O tempo de espera assim como o tempo de serviço tem distribuição exponencial, assim: -( - )t -(4-3)(0,5) -0,5 ( ) e ( 0, 5) e e 0, 6065 P W t P W µ ì > = = > = = = f) Para quanto deverá aumentar o número de clientes, taxa de chegada ì, de maneira que o tempo médio de permanência no salão, aumente para W = 1,25 horas, justificando a contratação de um segundo barbeiro? ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1, 25 1, 25 4 4 4 1, 25 1, 25 W ì ì µ ì ì = = ¬ = ¬ = ÷ ¬ = ÷ ÷ ÷ Assim, clientes 3, 2 hora ì = 2.– Em um sistema de uma fila e um canal, mediu-se o número médio de clientes na fila, encontrando-se o valor 3,2. Considerando-se que o tempo médio gasto no sistema por cliente é de 0,5 h, pede-se calcular a probabilidade de que o número de clientes no sistema seja inferior a 6. Solução: Temos como dados: ( ) 2 3, 2 clientes q L ì µ µ ì = = ÷ (1) e ( ) 1 0, 5 horas W µ ì = = ÷ (2) Pede-se calcular P(n<6)? Para isso, calculamos ì e µ, a partir de (1) e (2). Manipulando (2) temos: 1 2+ 0, 5 µ ì ì µ = ÷ ¬ = (3) Substituindo (3) em (1) temos: 2 2 2 2 3, 2 3, 2 12,8 6, 4 6, 4 12,8 = 0 (2 )2 4 2 q L ì ì ì ì ì ì ì ì = = ¬ = ¬ = + ¬ ÷ ÷ + + Introdução a Pesquisa Operacional B 3 Resolvendo a equação de segundo grau 2 4 2 B B AC A ì | | ÷ ± ÷ = | | \ . temos: 2 6, 4 (6, 4) 4(1)(12,8) 6, 4 9, 6 8 2(1) 2 ì ì ì ± ÷ ± = ¬ = ¬ = (4) Substituindo (4) em (3) temos: 10 u = (5) Podemos calcular P(n<6) de duas maneiras: (i) P(n<6) = P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 Sabemos que: P 0 = 1-µ e P 0 = (1-µ)µ n , calculamos assim: P 0 = 1 - (0,8) = 0,2 P 1 = (0,2)(0,8) = 0,16 P 2 = (0,2)(0,8) 2 = 0,128 P 3 = (0,2)(0,8) 3 = 0,1024 P 4 = (0,2)(0,8) 4 = 0,08152 P 5 = (0,2)(0,8) 5 = 0,0655 Logo temos que: P(n<6) = 0,7378. (ii) Usando a seguinte formula: k+1 ( ) P n k ì µ | | > = | \ . , que é deduzida no Anexo. 6 8 ( 6) ( 5) 1 ( 5) 1 = 0,7378 10 P n P n P n | | < = s = ÷ > = ÷ | \ . 3.– Em um sistema de uma fila e um servidor (canal), foram medidos os seguintes dados: a. Taxa de ocupação do sistema: 0,8. b. Tempo médio gasto na fila: 15 min. Pede-se: a. Qual a probabilidade de que ocorram 10 chegadas por hora? b. Qual a probabilidade de que ocorram 12 atendimentos por hora? c. Qual a probabilidade de haver 10 clientes no sistema? Solução: Temos como dados: = 0,8 ì µ µ = (1) e ( ) 15 minutos = 0, 25 horas q W ì µ µ ì = = ÷ (2) Pede-se calcular: Introdução a Pesquisa Operacional B 4 a) 10 ( 10) 10! C e P n ì ì ÷ = = ? b) 12 ( 12) 12! A e P n µ µ ÷ = = ? c) 10 ( 10) P n P = = ? Onde: n C : número de clientes que chegam/hora; n A : número de clientes atendidos/hora e; n : número de clientes no sistema. Sabemos que n C e n A têm distribuição Poisson ( ) ! m k e m P n k k ÷ = = , com parâmetro m=ì e m=µ, respectivamente. Para isso, calculamos ì e µ, a partir de (1) e (2). De (1) temos: 0,8 ì µ = e substituindo ì em (2) temos: ( ) 0,8 0,8 0, 25 0, 25 16 0,8 0, 2 q W µ µ µ µ µ µ = = ¬ = ¬ = ÷ Logo 12,8 ì = Substituindo os valores de ì e µ em a), b) e c) temos: a) 12,8 10 12,8 ( 10) 0, 0898 10! C e P n ÷ = = = b) 16 12 16 ( 12) = 12! A e P n ÷ = = 0,066 c) n 10 10 ( 10) = (1- ) (0, 2)(0,8) 0, 0215 P n P µ µ = = = = 4.– Pessoas chegam para comprar ingressos para um jogo à taxa de uma por minuto. Cada pessoa gasta em média 20 segundos para comprar um ingresso. a. Se uma pessoa chega 2 minutos antes do jogo começar e se ela gasta exatamente 1,5 minutos para chegar a seu lugar após comprar o seu ingresso, ela estará sentada antes do jogo começar? b. Qual a probabilidade de uma pessoa do item a), estar sentada antes do jogo começar? c. Com que antecedência a pessoa deve chegar para ter 99% de certeza de estar sentada antes do jogo começar? Solução: Introdução a Pesquisa Operacional B 5 Temos como dados: A taxa de chegada: pessoa 1 hora ì = O tempo médio de atendimento é: 1 1 ( ) 20 segundos = minuto 3 E S µ = = Em conseqüência, a taxa de serviço é: pessoas 3 minuto µ = a) Se uma determinada pessoa chega 2 minutos antes do jogo e gasta 1,5 minutos para chegar a seu lugar, após comprar seu ingresso, estará sentada antes do jogo começar?. Fazemos a análise pelo tempo médio de espera no sistema: ( ) ( ) 1 1 0, 5 minuto 3 1 W µ ì = = = ÷ ÷ Como o tempo médio de espera é de 0,5 minutos, que é justamente, o tempo disponível para que a pessoa compre seu ingresso, em média, a pessoa que chega 2 minutos antes do jogo começar deverá estar sentada quando o jogo começar. b) Nesta questão devemos considerar o tempo de espera no sistema: tempo na fila + tempo em serviço, assim corrigimos o parâmetro usado na distribuição exponencial de µ, taxa de serviço, para (µ-ì), taxa de espera no sistema. A probabilidade de que uma pessoa, que chega 2 minutos antes do jogo, estar sentada antes do jogo começar é igual à probabilidade de que o tempo de permanência no sistema seja menor que 0,5. -( - )t -(3-1)(0,5) -1 ( ) 1 e ( 0, 5) 1 e 1 e 1 0, 3678 0, 6321 P W t P W µ ì < = ÷ = < = ÷ = ÷ = ÷ = Ou seja, existem 63,21% de chances que a pessoa, que chega 2 minutos antes do jogo, este sentada quando o jogo começa. c) Neste caso queremos determinar qual é o tempo de permanência na compra de ingressos que garante probabilidade de 99% de que a pessoa esteja sentada quando o jogo começar. -( - )t -2t -2t ( ) 1 e ( ) 1 e 0, 99 e 0, 01 2 ln(0, 01) ln(0, 01) 2, 3 minutos 2 P W t P W t t t t µ ì < = ÷ = < = ÷ = ¬ = ¬÷ = ¬ = ¬ = ÷ Como a pessoa gasta 1,5 minutos para achar seu lugar, ela deve chegar 1,5+2,3=3,8 minutos antes do jogo começar, para ter 99% de chances de estar sentada. 5.– Uma empresa de mineração mediu o tempo médio que os caminhões gastam para descarregar no britador de minérios, tendo encontrado 0,2 h como sendo o tempo gasto Introdução a Pesquisa Operacional B 6 no sistema. Por outro lado, a taxa de ociosidade do britador é de 20%. Sabendo-se que o custo de permanência unitário CE unit = $100 por hora e que o custo de atendimento unitário CA unit =$10 por caminhão, pede-se: a. Qual é a taxa de atendimento que o britador deveria oferecer de modo a minimizar o custo total? b. Considerando-se que uma ampliação do britador para atender a esse número achado custaria $28.000,00 por mês, deseja-se saber se esse investimento se justificaria. Considere que o sistema opera 22 dias úteis de 8 horas cada, por mês. Solução: Temos como dados: O tempo médio que os caminhões gastam no sistema: ( ) 1 0, 2 horas W µ ì = = ÷ (1) A taxa de ociosidade do britador que é de 20% ( ou igual a 0,2); O custo de permanência unitário: CE Unit = $100/hora; O custo de atendimento unitário: CA Unit = $10/caminhão; Como a taxa de ociosidade é o complemento da taxa de ocupação , temos que: Taxa de ociosidade: 1- 0, 2 µ = e Taxa de ocupação: = 0,8 µ , assim: = 0,8 ì µ µ = (2) Calculamos os valores de ì e µ, a partir das expressões (1) e (2), temos assim que: 20 e 25 u ì = = O custo total médio do sistema, CT, (em unid. monetárias/unid. tempo) é definido como: CT = CE + CA Onde, CE: È o custo de espera médio, definido como: unit CE = CE x L CA: É o custo de atendimento médio, definido como: unit CA = CA x µ Temos assim a expressão para CT em termos de ì e µ: unit unit CT = CE + CA - u ì µ ì (3) O custo mínimo para o sistema de filas é obtido calculando CT = 0 d dµ De onde obtemos a taxa de atendimento ótima, µ * , que minimiza o custo (ver Anexo): * unit unit . CE = + CA u ì ì (4) Introdução a Pesquisa Operacional B 7 a) Calculamos a taxa de atendimento ótima, µ * , substituindo em (4) os valores de ì, CE Unit e CA Unit , temos assim: * 20 . 100 =20 + 20 14,1421 34,1421 10 u = + = b) Primeiro, calculamos o valor do custo atual, CT Atual , (em $/hora), substituindo os valores de ì, µ, CE Unit e CA Unit , temos assim: 20 + 100 + 10 25 25 20 $ 650 Atual Unit Unit Atual Atual CT CE x CA x u CT x x u CT hora ì ì = ¬ = ÷ ÷ = Logo calculamos, o valor do custo mínimo, CT Mín (em $/hora), substituindo os valores de ì, CE Unit e CA Unit e a taxa de atendimento ótima µ * . CT Min é o menor custo de operação do sistema de filas que possível atingir após melhorar ao máximo a capacidade de atendimento. O valor do custo mínimo é: * * 20 + 100 + 10 34,1421 34,1421 20 $ 482,84 Min Unit Unit Min Min CT CE x CA x u CT x x u CT hora ì ì = ¬ = ÷ ÷ = Considerando que o sistema opera 22 dias por mês, 8 horas cada dia, calculamos os custos mensais atual e mínimo, CTM Atual e CTM Mín como segue: (22 8) $ 650 $ 114.400 Atual x hora CTM x hora mes mes = = (22 8) $ 482,84 $ 84.979,84 Min x hora CTM x hora mes mes = = O investimento na ampliação do britador se justificaria uma vez que a economia de mensal é $29.420,16, enquanto que o custo da ampliação do britador é de $28.000. Anexo: 1) Deduzimos: k+1 ( ) P n k ì µ | | > = | \ . Sabemos que: 1 2 3 1 1 ( ) ... = (1 ) k i k k k k i i i P n k P P P P µ µ · · + + + + + = = > = + + + = ÷ ¿ ¿ Logo temos que: 1 ( ) (1 ) k i i P n k µ µ µ · = > = ÷ ¿ e como 0 1 1 i i µ µ · = = ÷ ¿ Temos que: 1 1 ( ) (1 ) 1 1 k k P n k µ µ µ µ + | | > = ÷ ÷ = | ÷ \ . Introdução a Pesquisa Operacional B 8 2) Mostramos que: Se T tem distribuição exponencial com parâmetro α: ( ) 1 t P T t e o ÷ s = ÷ 0 0 ( ) 1 t t x x t P T t e dx e e o o o o ÷ ÷ ÷ ( s = = ÷ = ÷ + ¸ } Lembre que: e x x x x d e d e e e dx dx o o o ÷ ÷ = = ÷ 3) Calculamos CT d dµ e obtemos µ * para CT = 0 d dµ : Dado que: unit unit CT = CE + CA - u ì µ ì , temos que: ( ) 2 CT = Unit Unit d CE CA d ì µ µ ì ÷ + ÷ Fazendo ( ) 2 CT = 0 Unit Unit d CE CA d ì µ µ ì ÷ + = ÷ obtemos: ( ) ( ) 2 2 . 0 . Unit Unit Unit Unit CE CA CA CE ì µ ì µ ì ì ÷ + ÷ = ¬ ÷ = ( ) 2 . . Unit Unit Unit Unit CE CE CA CA ì ì µ ì µ ì ¬ ÷ = ¬ ÷ = Assim: * unit unit . CE = + CA u ì ì