1 NúmerosEn esta unidad 1. Los números reales 4. Potencias de exponente entero 2. Operaciones con números enteros 5. Radicales y racionales 6. Notación científica y unidades de medida 3. Números decimales 7. Errores Vamos a aprender a… Competencias Saberes – Calcular el valor de expresiones numéricas de distintos tipos de números científicos mediante las operaciones elementales y las potencias de exponente entero. – Emplear adecuadamente los distintos tipos de números y sus operaciones, para resolver problemas cotidianos contextualizados, representando e interpretando mediante medios tecnológicos, cuando sea necesario, los resultados obtenidos. – Utilizar adecuadamente la expresión decimal de números racionales para resolver y analizar situaciones cotidianas. Lectura – Identificar los distintos tipos de números (naturales, enteros, fraccionarios y y comprensión decimales) y utilizarlos para representar, ordenar e interpretar adecuadamente la información cuantitativa. – Utilizar la notación científica y el sistema internacional de unidades para expresar cantidades de forma adecuada y precisa. Tratamiento – Utilizar la calculadora WIRIS para la simplificación de radicales y resolución de de la información operaciones. y competencia – Utilizar la calculadora científica para operar con los distintos tipos de números. digital – Valorar la seguridad de una contraseña frente a los ataques de fuerza bruta y de diccionario. Aprende a aprender – Utilizar los distintos tipos de números y sus operaciones para investigar y ciencia comprender situaciones sencillas de nuestro entorno. La ciencia – Estimar y valorar el error cometido en una medida experimental, valorando la en la sociedad importancia de este proceso en la construcción del saber científico. Proyecto: Crea tu – Extraer información de la lectura de textos y el análisis de mapas. propia ONG – Buscar y ampliar información sobre un tema para elaborar una opinión coherente y personal. – Realizar cálculos realistas orientados a la toma de decisiones. – Publicar y compartir información en internet. 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 8 29/07/15 14:23 Antes de comenzar Los números son una herramienta fundamental no solo para el trabajo científico sino también para nuestra vida cotidiana. Des- de los números naturales, que surgen del interés de los primeros seres humanos en contar lo que había a su alrededor, pasando por los números racionales, los irracionales y los negativos, todos están presentes no solo en el saber académico, sino en nuestro día a día. En esta unidad vamos a repasar y profundizar en sus propiedades y operaciones. Es muy importante que manejes adecuadamen- te los distintos conjuntos de números ya que constituyen la base sobre la que se desarrolla el resto de los contenidos de este libro. Actividades ■ Indica cuáles de estos números no son números enteros: a) –4 b) 12,5 c) –0,1 d) 1 003 e) 2 5 ■ Si ayer la temperatura media fue de –4 °C y hoy está previsto que suba 6 grados, ¿cuál será la temperatura media hoy? ■ Cuántos alumnos hay en PMAR II en un instituto si son la sép- tima parte de un total de 105 alumnos. ■ Pon un ejemplo del uso en la vida cotidiana de cada uno de los siguientes números: a) 250 b) –10 c) 3 d) 10,55 4 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 9 29/07/15 14:23 Unidad 1 1. Los números reales Los primeros números que conociste, los Números reales más sencillos, son los números que utili- 1,41421356... zamos para contar: 0, 1, 2, 3, 4… Este con- junto de números se denomina números Números racionales 3,141592... naturales y se representa como . 1,6 12/9 0,3333... Otro conjunto de números que ya debes co- 2,4555... Números enteros nocer es el de los números negativos. Son números que utilizamos para representar in- 2/5 -3 finidad de situaciones: temperaturas inferiores Números naturales -100 a 0 °C, deudas, disminuciones, etc., y se ob- -0,0313131... 15 1,6180398... tienen cuando a un número natural se le res- ta otro más grande que él. -4/7 -11 213 1 El conjunto que forman los números natu- 2,4555... rales junto con los negativos se denomina -12 4 35 números enteros ya que solo nos permiten realizar divisiones exactas. Para represen- tar este conjunto utilizamos la letra . Para poder resolver divisiones que no sean exactas necesitamos un nuevo tipo de números: los nú- meros racionales. Estos números se obtienen al dividir dos números enteros y también reciben el nombre de fracciones. Para representar el conjunto de los números racionales se utiliza la letra . 2 11 10 Por ejemplo, , - , son fracciones. 5 3 2 Observa que las fracciones también pueden ser negativas. Otra forma de representar los números racionales consiste en utilizar cifras decimales. Por ejemplo, 2 se puede escribir 0,4. 5 Existen distintos tipos de números decimales: ■ Decimales exactos: sus cifras decimales son finitas, es decir, acaban en algún momento. Por ejemplo, 4,25 es un número decimal exacto. ■ Decimales periódicos puros: tienen infinitas cifras decimales que se repiten de manera regular. Por ejemplo, 12,6363636363… es un número decimal periódico puro. Su periodo es 63. ■ Decimales periódicos mixtos: también tienen infinitas cifras decimales pero no todas esas cifras se repiten, es decir, algunas cifras decimales no forman parte del periodo. Por ejemplo, 5,1788888… es un número decimal periódico mixto de periodo 8. Es importante que comprendas que los números racionales contienen los números enteros ya que cualquier número entero puede escribirse como el cociente de otros dos números enteros. 6 Por ejemplo, 3 = . 2 Por último, para completar todos los números que conoces vamos a estudiar los números irracionales. Se caracterizan porque no pueden representarse como el cociente de dos números enteros y escritos en forma decimal tienen infinitas cifras decimales pero no son periódicos. El más conocido es el número π = 3,141592…, aunque hay otros que también se utilizan frecuentemen- te, como e = 2,718281… o φ = 1,618033… A este último se le conoce con el nombre de razón áurea. MATEMÁTICAS Los números racionales junto con los números irracionales forman el conjunto de los números rea- les. Este conjunto incluye todos los números que has estudiado. Se representa con la letra . 10 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 10 29/07/15 14:23 Números 2. Operaciones con números enteros y racionales Vamos a repasar brevemente las operaciones básicas con los números en- teros y racionales. Valor absoluto 2.1. Operaciones con números enteros El valor absoluto de un número La suma de dos números enteros se resuelve siguiendo estas reglas: es el valor de dicho número sin tener en cuenta su signo. ■ Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suma el valor abso- Se representa con dos barras luto de dichos números y se añade al resultado el signo de los sumandos. verticales. EJEMPLO EJEMPLO (+4) + (+7) = +11 (–1) + (–6) = –7 |+5| = 5 |–12| = 12 ■ Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos (el mayor menos el menor) y se añade al resultado el signo del número de mayor valor absoluto. Reglas de los signos para la multiplicación EJEMPLO Positivo ⋅ Positivo = Positivo (+5) + (–2) = +3 (–10) + (+4) = –6 Positivo ⋅ Negativo = Negativo ■ Para restar dos números enteros solo tienes que sumar al primero el Negativo ⋅ Positivo = Negativo opuesto del segundo. Para obtener el opuesto de un número entero sim- Negativo ⋅ Negativo = Positivo plemente debes cambiarle el signo. EJEMPLO Reglas de los signos para (+4) – (+5) = (+4) + (–5) = –1 (–11) – (–3) = (–11) + (+3)= –8 la división Positivo : Positivo = Positivo Para multiplicar o dividir dos números enteros, basta con que multipliques Positivo : Negativo = Negativo o dividas el valor absoluto de los números y añadas al resultado el signo en función de las tablas del margen. Negativo : Positivo = Negativo Negativo : Negativo = Positivo 2.2. Operaciones con números racionales Para sumar y restar fracciones debes conseguir que todas las fracciones tengan el mismo denominador. Para ello buscarás la fracción equivalente a cada una de ellas que tenga como denominador el mínimo común múltiplo Números racionales de todos los denominadores. Se llaman así todos los núme- EJEMPLO ros que pueden escribirse en forma de fracción. Incluyen: 2 5 8 15 23 4 3 8 3 5 1 + = + = − = − = = ■ Números naturales 3 4 12 12 12 5 10 10 10 10 2 3 1 El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador y denomi- 3= 1= 1 1 nador son el producto de los numeradores y denominadores de dichas ■ Números enteros fracciones respectivamente. 10 1 −10 = − −1 = − EJEMPLO 1 1 ■ Números decimales exactos 7 4 7 ⋅ 4 28 6 6 2 6 ⋅ 2 12 ⋅ = = ⋅2 = ⋅ = = 1 12 3 5 3 ⋅ 5 15 5 5 1 5⋅1 5 0,5 = −2,4 = − 2 5 Para realizar el cociente de dos fracciones debes multiplicar la primera por ■ Números decimales periódi- la inversa de la segunda. Para obtener la inversa basta con cambiar el nu- cos puros y mixos merador por el denominador, y viceversa. 1 0,3 = 3 MATEMÁTICAS EJEMPLO 123 5 1 5 ⋅ 4 20 10 −1,36... = − : = = = 90 6 4 6⋅1 6 3 11 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 11 29/07/15 14:24 Unidad 1 Actividades y tareas 1. Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno escribiendo SÍ o NO en cada casilla si los siguientes números pertenecen a los distintos conjuntos de números: Naturales (N) Enteros (Z) Racionales (Q) Reales (R) 2,45151515151… –6 π 13 C UA D E R N O 1 3 – 0,5 0,333333… 0 12,41411411141111… 3 - 4 1013,16 2. Calcula el valor absoluto de los siguientes números: a) |+3| c) |0| e) |–1,5| b) |–11| d) |–25| f) |+4,66| 3. Resuelve las siguientes sumas y restas de números enteros: +7) + (+ +7) a) ((+ ( 5) d) (–11) + (–3) g) ((+5) – (–6) j) ((+6) – ((+15) b) ((+ 4) + (–3) e) (–2) + (+ ( 10) h) (–1) – ((+12) k) (–5) + (+ (+ +7) 7) – (–1) c) (–7) + (+ ( 1) f) ((+ 4) – ((+2) i) (–10) – (–4) l) ((+ 4) – ((+14) + (–3) 4. Resuelve: a) 8 – 16 c) 2 + (–4) – 12 e) 1 – 6 – 12 g) –10 + 11 – 3 b) 5 + 1 – 7 d) –9 – 11 + 5 f) –7 + 8 – (–3) h) –5 + (–4) – (–1) 5. Resuelve los siguientes productos y divisiones de números en- teros: a) ((+5) ⋅ (–2) e) (–24) : (–4) b) (–5) ⋅ (–4) f) (–15) : ((+3) Jerarquía de operaciones c) ((+11) ⋅ (+ ( 3) g) 35 : (–7) Para resolver operaciones com- d) (–6) ⋅ (+ ( 2) h) 40 ⋅ 5 : (–8) binadas en las que aparezcan multiplicaciones, divisiones, su- 6. Resuelve las siguientes operaciones combinadas de números mas y restas debes recordar enteros: la siguiente jerarquía de opera- a) 7 – (–3) ⋅ (–6) e) 11 – (1 – 9) : (–4) + 5 ciones: 1. Paréntesis y corchetes. b) (–4) + (–12) : ((+3) f) 12 – [(–3) ⋅ 2 –7] + 2 2. Multiplicaciones y divisiones. MATEMÁTICAS c) –15 ⋅ 2 – (–1) ⋅ 5 g) [10 + (–2)] : (–4) + 1 3. Sumas y restas. d) 8 + (10 – 6) : (–2) h) 3 – (–3) ⋅ (–1) + [(–3 + 1) : (–2)] 12 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 12 29/07/15 14:24 Números 7. Resuelve las siguientes sumas y restas de números racionales: 2 5 3 1 2 1 5 4 2 1 a) + c) + − e) + + g) + − − 3 4 5 2 5 4 7 3 5 10 1 5 5 1 3 5 3 4 b) - d) -2 f) + − h) − − − + 1 4 8 6 3 4 6 4 7 8. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones de números racionales simplificando el resulta- do siempre que sea posible: 3 1 1 10 3 1 1 a) ⋅ c) : e) + ⋅ − h) 2 : 4 5 5 3 2 5 5 7 3 4 7 2 9 1 b) ⋅ d) :3 f) − ⋅ − g) + : + 6 2 3 11 7 4 2 9. Resuelve las siguientes operaciones combinadas de números racionales: 1 3 2 1 3 1 2 3 7 a) − + ⋅ d) ⋅ + − g) − + − − + 1 5 2 5 2 2 4 5 2 5 4 1 3 1 3 4 2 4 1 b) − + 2⋅− e) + ⋅ + − − : − h) 3 − − : + 3 5 4 2 5 5 3 5 2 2 1 5 1 2 4 3 5 3 7 c) ⋅ − : f) − 1 + + i) − + ⋅ −2 3 4 6 10 3 5 5 4 2 5 Investiga 10. En esta actividad vamos a estudiar las propiedades básicas de los números naturales. Para ello vas a necesitar alrede- dor de 20 objetos iguales (fichas, trozos de papel, carame- los…) que sean cómodos de manipular. Vamos a representar cada número con un conjunto de ob- jetos equivalente. Por ejemplo, el número 6 estará repre- sentado por 6 caramelos. a) ¿Podemos colocar los 6 caramelos formando dos filas? ¿Y cinco caramelos? b) ¿Qué tipo de números podremos colocar siempre en dos filas y cuáles no? c) Forma ahora dos números que no puedan organizarse como dos filas de caramelos. ¿Qué ocurre si sumamos ambos números? d) Trata ahora de organizar todos los números del 1 al 20 formando rectángulos, aunque no sean de dos filas. ¿Cuáles se pueden poner en forma de rectángulo y cuá- les no? e) Repite el apartado anterior pero trata ahora de organizar los caramelos para formar cuadrados. ¿Qué números se MATEMÁTICAS pueden representar como un cuadrado de caramelos? ¿Reconoces estos números? 13 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 13 29/07/15 14:24 Unidad 1 3. Números decimales Los números decimales son una forma de expresar los números que no Parte son enteros. En ellos podemos distinguir una parte entera y una parte entera decimal separadas por una coma. 3.1. Clasificación de los números decimales 12,39 Podemos clasificar los números decimales según su parte decimal. Parte 3.1.1. Números decimales exactos decimal Son los que tienen un número finito de cifras decimales. EJEMPLOS 2,1 15,05 0,0075 3.1.2. Números decimales periódicos puros Su parte decimal está formada por un grupo de cifras que se repite de for- ma indefinida. A este grupo de cifras se le llama periodo. EJEMPLOS 5,33333… = 5, 3 Su periodo es 3 10,061061061… = 10,061 Su periodo es 061 3.1.3. Números decimales periódicos mixtos Su parte decimal está formada por un grupo de cifras que no se repite y otro que sí. El que se repite se llama periodo y el que no se repite antiperiodo. EJEMPLOS 4,25555… = 4,25 Su periodo es 5 ... 25,0363636… = 25,036 Su periodo es 36 3.1.4. Números irracionales Son los que tienen infinitas cifras decimales pero estas no siguen una pauta determinada, es decir, no hay un periodo que se repita indefini- damente. EJEMPLOS π = 3,14159265… 2 = 1,41421356… Los números irracionales no pueden escribirse como una fracción. 3.2. Operaciones con números decimales 3.2.1. Suma y resta de números decimales Se resuelven de la misma forma que con números enteros teniendo cuidado Suma y resta de alinear las comas de ambos números. de decimales 3.2.2. Multiplicación de números decimales Alineamos las comas: 102,544 123,45 MATEMÁTICAS Multiplicamos sin tener en cuenta las comas y se añade la coma al resul- + 72,5 – 34, 1 39 tado para que tenga tantas cifras decimales como los factores en con- 175,044 89,3 1 1 junto. 14 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 14 29/07/15 14:24 Números 3.2.3. División de números decimales Vamos a repasar la división de números decimales mediante un ejemplo. EJEMPLO Divide 350,62 : 12,8 1. Eliminamos la coma del divi- 2. Colocamos la coma en el co- 3. Continuamos dividiendo: sor: ciente cuando «bajamos» la 3506,2 128 3506,2 128 primera cifra decimal del divi- 946 27,3 dendo: 502 3506,2 128 11 8 946 27, Cociente: 27,3 502 Resto: 1,18 3.3. Fracción generatriz Como ya hemos señalado, todos los números racionales pueden expresar- se en forma de fracción. A la fracción irreducible que representa un número decimal se le denomina fracción generatriz. Veamos cómo se calcula para cada tipo de número decimal: 3.3.1. Fracción generatriz de un decimal exacto En el numerador se escribe el número decimal sin coma y en el denomina- dor, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga: EJEMPLO 125 1 0,125 = = 1 000 8 3.3.2. Fracción generatriz de un decimal periódico puro En el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del periodo y se le resta la parte entera, en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo: EJEMPLO 13 − 1 12 4 1,3 = = = 9 9 3 3.3.3. Fracción generatriz de un decimal periódico mixto En el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del periodo y se le resta la parte entera y el anteperiodo; en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras ten- ga el anteperiodo: EJEMPLO 216 − 21 195 13 2,16 = = = 90 90 6 3.4. Redondeo Se denomina redondeo a eliminar las cifras decimales a partir de una se- ñalada. Si la primera cifra que eliminamos es 5 o mayor, sumamos 1 a la última cifra que se escribe. Si la cifra es menor que 5, la última cifra que se escribe permanece igual. MATEMÁTICAS Por ejemplo, si redondeamos a las centésimas: 4,1678 = 4,17 0,0232 = 0,02 15 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 15 29/07/15 14:24 Unidad 1 Actividades y tareas 1. Clasifica en tu cuaderno los siguientes números decimales en decimales exactos, periódicos puros, periódicos mixtos e irracionales: a) 1,2 c) 9,121221222… e) –4,5 g) 6,333 b) 4,566666… d) –4,34343434… f) 0,111919191… h) –2,013014015… 2. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones con números decimales: a) 0,5 + 12,33 e) 1,5 ⋅ 5,72 i) 2,5 + 1,2 ⋅ 4,55 m) 2,3 ⋅ 1,5 + 1,3 ⋅ 8,6 b) 32,07 – 1,25 f) 3,44 ⋅ (–1,2) j) 3,75 – 1,2 : 0,6 n) 12,5 : 2,4 – 3 ⋅ 1,6 c) 0,001 + 12,4 g) 24,3 : 1,5 k) 10,5 + (1,2 – 4,5) ñ) 15,6 : 3 + 1,5 ⋅ 4 d) 2,3 – 10,25 h) (–5,76) : 0,03 l) 2,4 ⋅ (1,3 + 0,75) o) 3,5 – 1,2 ⋅ 0,5 + 9,3 3. Ocho amigos han pasado el fin de semana en una casa rural. El precio del alquiler es de 250 Ð por noche. Además, los gastos en comida han sido de 125,60 Ð. Calcula cuánto dinero deben pagar cada uno de ellos. 4. En la siguiente tabla están reflejadas las temperaturas mínimas que se han alcanzado en Madrid du- rante una semana de enero de 2015: Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo –3,2 °C –3,5 °C –2,7 °C 0,1 °C 1,3 °C 1,3 °C 2,1 °C a) Calcula la media de estas temperaturas. b) ¿Qué diferencia de temperatura se produjo entre el domingo y el lunes? c) ¿Entre qué dos días consecutivos se produjo una mayor variación de temperaturas? 5. Halla en tu cuaderno la fracción generatriz de cada uno de los siguientes números decimales: a) 0,6 d) 3,4 g) 1,233 j) 3,2 b) 12,5 e) 5,15 h) -12,03 k) –4,125 c) 0,53 f) -2,125 i) 100,2 l) 0,081 6. Resuelve las siguientes operaciones, en tu cuaderno, escribiendo primero los números decimales en forma de fracción: 2 1 1 5 4 2 2 2 a) 0,3 + b) ⋅ 1,4 c) 4,5 − ⋅ d) + 0, 5 ⋅ − 1,6 e) − + 2,7 3 5 3 2 3 3 5 3 Aplicación a la vida cotidiana 7. Un grupo de 12 alumnos quiere organizar un viaje y decide contratar un minibús. El precio es de 80 Ð. ¿Cuánto debe pagar cada alumno? Ten en cuenta que al tratarse de euros debes redondear a las centésimas, ya que no se puede pagar una cantidad inferior a un céntimo. 8. Observa los precios que encontramos en una frutería: Sandía: 0,82 Ð/kg Manzana roja: 2,10 Ð/kg Naranja: 1,05 Ð/kg Calcula cuánto tenemos que pagar si compramos me- MATEMÁTICAS dio kilogramo de manzanas, 3 kilogramos y medio de naranjas y un trozo de sandía que pesa 749 g. 16 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 16 29/07/15 14:24 Números 9. Redondea las siguientes cantidades al orden de cifras indicado: a) 1,245 a las decenas c) 25,5561 a las centésimas e) 3,51 a las milésimas b) 0,0369 a las milésimas d) 0,6 a las diez milésimas f) 4,5107 a las centésimas 10. La siguiente lista muestra los archivos que Darío quiere compartir con Adriana mediante un servicio de alojamiento online: Archivo Tamaño Archivo Tamaño IMG_3975 5,6 MB IMG_3981 6,3 MB IMG_3976 12,7 MB IMG_3982 10,1 MB IMG_3977 8,7 MB VID_8705 236,6 MB VID_8702 356,8 MB AUD_3375 12,5 MB IMG_3978 6,1 MB AUD_3376 21,6 MB VID_8703 125,4 MB AUD_3377 5 MB VID_8704 204,2 MB IMG_3983 8,7 MB IMG_3979 5,9 MB IMG_3984 10,3 MB IMG_3980 5,6 MB IMG_3985 7,5 MB a) Si este servicio tiene un límite de 1 GB (1 GB = 1 024 MB), ¿podría subir todos los archivos? b) Si los va subiendo de uno en uno, ¿cuál sería el último archivo que podría subir antes de alcanzar el máximo permitido? c) Si utiliza una herramienta para comprimir vídeo y reduce los cuatro archivos de vídeo (VID) a la mitad, ¿podrá ahora compartir con Adriana todos los archivos? Calculadora científica ■ Las calculadoras científicas permiten trabajar con fracciones. La tecla que debes utilizar depen- de del modelo pero es muy probable que sea una de estas: ■ Además podemos ver el resultado como fracción o decimal. Para pasar de uno a otro se utiliza la tecla: MATEMÁTICAS 17 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 17 29/07/15 14:24 Unidad 1 4. Potencias de exponente entero Comenzamos el repaso de las potencias de exponente entero recordando la definición de potencia: Una potencia es la multiplicación de un número, llamado base, por Potencia de sumas sí mismo tantas veces como indique otro número denominado expo- y restas nente. La potenciación no es distribu- tiva respecto a la suma, es de- an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a cir, la potencia de una suma no es la suma de las potencias: { n veces (a + b)n ≠ an + bn siendo a la base y n el exponente. Lo mismo sucede con la resta. Como consecuencia de esta definición tenemos que: ■ Al elevar cualquier número a cero siempre obtenemos uno: a0 = 1 ■ Al elevar cualquier número a la unidad obtenemos el mismo número: a1 = a Vamos a ver ahora las propiedades más importantes de las potencias junto con algunos ejemplos: Propiedades Ejemplos an ⋅ am = an+m 35 ⋅ 32 = 37 104 ⋅ 10–7 = 10–3 an : am = an–m 58 : 56 = 52 (–2)3 : (–2)–5 = (–2)8 (an)m = an ⋅ m (46)2 = 412 (135)–3 = 13–15 (a ⋅ b)n = an ⋅ bn 127 = (3 ⋅ 4)7 = 37 ⋅ 47 n −3 a an 5 5−3 = = b bn 6 6−3 Potencias en tu calculadora 1 1 a–n = 8–11 = Habitualmente las calculado- an 811 ras científicas tienen varias te- 1 clas dedicadas al cálculo de (–9)–2 = ( −9)2 potencias y raíces. Por ser las de uso más habitual, −n n −3 3 a b 4 9 muchas calculadoras incluyen = = b a 9 4 teclas para calcular directa- mente el cuadrado o incluso el Además es importante que recuerdes que cuando la base de una potencia cubo de un número. es positiva, el resultado será siempre positivo. Cuando es negativa, por el contrario, pueden suceder dos cosas: ■ Si el exponente es un número par, el resultado es positivo. ■ Si el exponente es un número impar, el resultado es negativo. Además, si tu calculadora es EJEMPLO científica tendrá una tecla de- MATEMÁTICAS (–4)2 = (–4) ⋅ (–4) = 16 dicada al cálculo de potencias de cualquier exponente. (–4)3 = (–4) ⋅ (–4) ⋅ (–4) = –64 18 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 18 29/07/15 14:24 Números Actividades y tareas 1. Calcula el valor de las siguientes potencias: 4 2 a) 42 d) (–5)3 g) − j) 4,52 7 2 0 3 10 b) 26 e) h) − k) (–1,2)3 5 3 3 1 c) (–3)4 f) − i) (–1,6)4 l) 0,52 6 2. Escribe las siguientes potencias con exponente positivo: −8 2 a) 5–2 c) (–3)–6 e) − 5 −3 −4 4 1 b) 12–7 d) f) 5 6 3. Calcula el valor de las siguientes potencias con exponente negativo. Para ello tendrás que convertirlas primero en potencias de exponente positivo: −4 2 a) 2–3 c) (–9)–2 e) − 3 −3 −5 7 1 b) 3–5 d) f) 2 5 4. Resuelve las siguientes operaciones con potencias: 5 7 2 5 1 1 4 4 a) 53 ⋅ 54 d) − : − g) : j) 7–6 ⋅ 7–2 2 2 7 7 3 11 11 b) (13)7 ⋅ (–13)2 e) 37 : 34 h) : k) 165 : 16–8 2 2 8 10 −2 −5 2 2 3 3 c) : f) (–9)6 ⋅ (–9)4 i) 28 ⋅ 2–3 l) : 5 5 2 2 5. Resuelve las siguientes operaciones: −1 −3 1 3 2 4 1 a) − c) - 2-2 e) + 3⋅ 3 4 5 5 2 −2 −1 −2 1 2 2 1 5 −3 7 2 b) 2 − + d) − ⋅ f) 2 + : 4 3 5 3 4 5 3 6. Calcula: 5 −1 2 3 4 −4 a) (47)5 b) 5 c) [(–3)4]10 d) (6–2)7 e) [(–4)3]5 f) 5 7. Calcula utilizando potencias: a) Los lapiceros que hay en 24 paquetes, cada uno de los cuales contiene 24 cajas con 24 lapiceros cada una. b) Los naranjos que hay plantados en una huerta si hay 9 filas de 9 naranjos cada una. c) La nota musical denominada redonda equivale a dos notas blancas. Cada nota blanca equivale MATEMÁTICAS a dos notas negras. Cada negra equivale a dos corcheas y cada corchea a dos semicorcheas. ¿A cuántas semicorcheas equivale una redonda? 19 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 19 29/07/15 14:24 Unidad 1 5. Radicales Se denomina radical de índice n de un número a, o raíz n-ésima de un ÍNDICE RADICAL número a, al número que elevado a n nos da a. De esta forma, diremos que b es la raíz n-ésima de a siempre que bn = a: n a = b siempre que bn = a n EJEMPLO Resuelve 3 216 = 1. Descomponemos el radicando en factores primos: 2. Como es una raíz cúbica, inten- tamos agrupar los factores en a 216 2 tres grupos iguales: RADICANDO 108 2 216 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = Partes de un radical. 54 2 = (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 3) = 27 3 = 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 63 9 3 Como 63 = 216 3 3 1 3 216 = 6 Los resultados que podemos obtener al calcular una raíz n-ésima dependen de si el índice de la raíz es par o impar. Posibles resultados… 5.1. Producto y división de radicales Siempre que podemos calcular una raíz de índice par, obtene- A la hora de operar con radicales resultan muy útiles las siguientes expre- mos dos soluciones, ya que el siones que nos permiten convertir cualquier radical en una potencia de resultado puede ser positivo o índice fraccionario: negativo. 1 m n a = an n am = a n Por otra parte, las raíces de ín- y dice par de números negativos no tienen solución dentro de EJEMPLO los números reales ya que no existen números reales que Resuelve 3 11 ⋅ 115 = multiplicados por sí mismos un 1. Expresamos los radicales como 2. Resolvemos aplicando las pro- número par de veces den un potencias de exponente frac- piedades de las potencias: resultado negativo. cionario: 1 5 1 5 17 Esto no sucede con las raíces de + 11 ⋅ 11 = 11 3 2 3 2 = 11 6 índice impar, ya que sí es posi- 1 5 ble encontrar números reales 3 11 ⋅ 11 = 11 ⋅ 11 5 3 2 Podemos expresar el resultado que, elevados a un exponente en forma de radical: impar, den resultados negativos. 6 1117 También podemos escribir las dos raíces con el mismo índice y luego operar. MATEMÁTICAS EJEMPLO 3 7 ⋅ 7 = 6 72 ⋅ 6 73 = 6 75 20 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 20 29/07/15 14:24 Números 5.2. Extracción de factores de un radical Utilizando la expresión que convierte los radicales en potencias, podemos simplificar determinadas expresiones extrayendo factores de una raíz. EJEMPLO Raíces y potencias de radicales 5 3 2 3 2 + 3 115 = 113 = 113 3 = 113 ⋅ 113 = 11 ⋅ 3 112 Para simplificar potencias y raí- ces de radicales, de nuevo con- En resumen, cada vez que tengamos n factores iguales dentro de una raíz vertimos todas las raíces en po- n-ésima podemos sacar estos factores como uno solo que multiplica la tencias. raíz. EJEMPLO 4 EJEMPLO ( 2) 5 4 5 20 ⋅4 3 5 = 23 = 23 = 2 3 3 54 = 5 3 5 23 ⋅ 5 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 2 10 1 3 5 7 3 5 79 = 7 5 74 4 310 = 3 ⋅ 3 ⋅ 4 32 = 9 4 32 10 = 105 = 7 En algunas ocasiones tendrás que descomponer el radicando para ave- 7 ⋅ 1 7 riguar qué factores primos lo forman. = 105 3 = 10 15 EJEMPLO Simplifica extrayendo todos los factores posibles. Resuelve 180 = 1. Descomponemos el radicando 2. Como se trata de una raíz cua- en factores primos: drada, cada pareja de factores 180 2 se convierte en un factor fuera de la raíz: 90 2 45 3 2 ⋅2 ⋅3 ⋅3 ⋅5 = 2 ⋅3⋅ 5 = 6 5 15 3 En resumen: 5 5 180 = 6 5 1 5.3. Suma y resta de radicales EJEMPLO Resuelve 45 + 3 20 – 11 63 = 1. Descomponemos todos los 2. Extraemos todos los factores 3. Sumamos y restamos los radi- radicandos en factores pri- que sea posible en cada radi- cales que sean iguales, dejan- mos: cal: do indicadas las sumas o restas 45 = 32 ⋅ 5 de radicales distintos: 45 = 3 5 20 = 22 ⋅ 5 45 + 3 20 – 11 63 = 20 = 2 5 63 = 3 ⋅ 7 2 =3 5 +3⋅2 5 – 11 ⋅ 3 7 = 63 = 3 7 =3 5 +6 5 – 33 7 = =9 5 – 33 7 En resumen, solo podemos sumar radicales si al extraer factores de ellos MATEMÁTICAS resultan ser el mismo radical multiplicado por distintos números. Si esto no es así y los radicales son distintos, lo único que podemos hacer es dejar la operación indicada. 21 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 21 29/07/15 14:24 Unidad 1 Actividades y tareas 1. Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno: Radical Radicando Índice Resultado Comprobación 42 = 16 16 16 2 ±4 (–4)2 = 16 3 125 36 2 4 81 5 -243 C UA D E R N O 3 2 81 ±9 4 9 1 2 4 2. Calcula las siguientes raíces cuadradas: 4 a) 64 c) e) 121 g) 256 i) -100 k) 810 000 9 1 16 b) 1 600 d) 10 000 f) -4 h) j) -64 l) 25 81 3. Calcula las siguientes raíces: 125 32 625 a) 3 27 c) 3 e) 5 g) 4 i) 8 -216 k) 11 -1 8 243 16 b) 4 16 d) 3 -216 f) 4 -81 h) 5 -243 j) 1 l) 6 0 4. Copia y completa en tu cuaderno el siguiente cuadro que resume las posibles soluciones que podemos obtener al resolver raíces: Índice Radicando Soluciones Positivo Dos soluciones Ejemplo: 9 = ±3 Par Negativo N O Ejemplo: Negativo C U A D E R Ejemplo: Impar Negativo MATEMÁTICAS Ejemplo: 22 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 22 29/07/15 14:24 Números 5. Resuelve las siguientes operaciones con radicales: a) 3 52 ⋅ 11 53 c) 35 ⋅ 4 33 e) 5 2 : 4 23 g) 7 ⋅ 3 72 i) 23 ⋅ 5 23 ⋅ 3 22 5 b) 113 : 10 1112 d) 7 104 : 1103 f) 13 ⋅ 7 134 h) 32 : 2 35 j) 3 57 ⋅ 53 : 6 5 6. Simplifica las siguientes expresiones: (5) (4) 4 5 3 2 3 a) e) i) 4 5 102 b) ( 7 ) ( 5) 8 10 5 3 3 f) j) 7 34 c) ( 2 ) 2 4 3 g) 3 5 72 k) 11 3 5 d) ( 11 ) ( 2) 2 6 2 7 4 h) 10 3 27 l) 3 7. Resuelve las siguientes operaciones: ( ) 2 5 5 5 a) 5 32 : 3 3 ⋅ 5 33 d) 3 ⋅ g) 3 2: 5 23 4 4 ( ) (3) 2 b) 3 78 : 5 7 ⋅ 72 e) 3 32 ⋅ 3 2 h) 4 157 : 3 115 ( 11 ) 2 3 2 4 2 ( ) 5 4 4 3 c) 5 ⋅ f) 117 : 2 i) 5 6⋅ 6 7 7 8. Simplifica los siguientes radicales extrayendo todos los factores posibles: a) 35 e) 12 i) 3 154 b) 103 f) 500 j) 3 80 3 c) 54 g) 180 k) 5 27 2 3 d) 35 h) 8 l) 10 75 9. Resuelve las siguientes sumas y restas de radicales: a) 20 + 45 c) 0 + 75 300 54 - 10 600 e) 5 54 6 b) 18 - 8 d) 5 8 + 3 50 5 f) 3 7 - 5 343 3 10. Resuelve las siguientes sumas y restas de radicales: a) 63 + 5 28 2 243 + 2 3 7 d) 7 3 2 72 12 − 2 75 + 200 g) 5 12 28 - 175 b) 2 28 e) 10 3 − 2 405 + 7 108 h) 99 + 2 125 − 5 44 4 c) 3 16 + 3 54 f) 11 50 − 2 18 + 6 72 24 − 8 54 + 216 i) 7 24 11 . Simplifica las siguientes operaciones: ( ) ( 3 + 1) ( )( ) 3 2 a) 2 5 d) 10 g) 2 + 3 ⋅ 5 + 5 b) ( 10 3 ) 2 (5 − 2 ) h) (3 + 2 ) ⋅ (3 − 2 ) 2 5 e) MATEMÁTICAS ( ) 3 ( 5 − 2) i) (5 + 7 ) 2 c) 3 ⋅ 2 + 5 f) 23 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 23 29/07/15 14:24 Unidad 1 6. Notación científica y unidades de medida 6.1. Notación científica La notación científica es una de las principales aplicaciones de las po- tencias de exponente entero. Se trata de una forma de escribir números especialmente útil cuando trabajamos con cantidades muy grandes o muy Potencias de base 10 pequeñas. La notación científica se basa en las propiedades de las po- De forma general, un número está expresado en notación científica si está tencias de base 10 y exponente escrito de la siguiente forma: entero. Observa los valores a, bc… ⋅ 10n que obtenemos cuando eleva- mos a 10 números positivos y Donde a es una cifra del 1 al 9 que va seguida de los decimales necesarios negativos: (bc…) y multiplicada por una potencia de base diez y exponente entero (es 106 = 1 000 000 decir, n puede ser positivo o negativo). 105 = 100 000 EJEMPLO 104 = 10 000 ■ La masa de un protón, que como recordarás es una de las partículas 103 = 1 000 que componen el átomo, es evidentemente muy pequeña. Si la ex- 102 = 100 presamos utilizando la notación normal, tenemos que: 101 = 10 mprotón = 0,00000000000000000000000000167 kg 100 = 1 10–1 = 0,1 Usando las propiedades de las potencias de base 10 podemos expre- 10–2 = 0,01 sar esta cantidad utilizando la notación científica: 10–3 = 0,001 mprotón = 1,67 ⋅ 0,000000000000000000000000001 kg = 1,67 ⋅ 10–27 kg 10–4 = 0,0001 ■ La distancia de la Tierra al Sol es de 150 000 000 km. Utilizando la 10–5 = 0,00001 notación científica podemos expresarla como 1,5 ⋅ 108 km. 10–6 = 0,000001 6.2. Unidades de medida Una unidad de medida es un valor de una determinada magnitud que se establece como patrón. De esta forma, para medir dicha magnitud com- paramos lo que medimos con la unidad de medida y determinamos cuán- Notación científica tas veces la contiene. en tu calculadora En la mayor parte de las calcu- Cada unidad de medida tiene un símbolo asociado. Además, para cada ladoras científicas los números unidad de medida podemos definir múltiplos y submúltiplos que se obtie- escritos en notación científica nen multiplicando la unidad por una potencia de base diez. se emplean usando la tecla EXP. En la siguiente tabla tienes los prefijos con los que se nombran los múltiplos Por ejemplo, para introducir el más habituales, el símbolo con el que se representan y su valor: número 3,4 ⋅ 108 usaríamos la si- guiente combinación de teclas: Múltiplos Submúltiplos 3 ⋅ 4 EXP 8 Prefijo Símbolo Equivalencia Prefijo Símbolo Equivalencia Tera T 1012 Deci d 10–1 Giga G 109 Centi c 10–2 Mega M 106 Mili m 10–3 Kilo k 103 Micro µ 10–6 Hecto h 102 Nano n 10–9 MATEMÁTICAS Deca da 101 Pico p 10–12 Así, por ejemplo, 1 km = 103 m, 1 µs = 10–6 s, 1 Gb = 109 b, etc. 24 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 24 29/07/15 14:24 Números Magnitud Unidad Símbolo Magnitud Unidad Masa kilogramos kg Tiempo hora, minuto Tiempo segundos s Temperatura grado centígrado (°C) Longitud metros m Longitud ångstrom (Å) = 10–10 m Superficie metros cuadrados m2 Longitud año luz = 9,44 · 1012 km Volumen metros cúbicos m3 Masa quintal (q) = 100 kg Intensidad de corriente amperios A Masa tonelada (t) = 1 000 kg Temperatura kelvin K Superficie área (a) = 1 dam2 Fuerza Newton N Superficie hectárea (ha) = 1 hm2 Actividades y tareas 1. Expresa las siguientes cantidades en notación científica: a) 0,0000000005 b) 0,002 c) 45 000 d) 57,001 2. Realiza los siguientes cambios de unidades: a) 50 m = cm b) 0,06 km = dam c) 10 pm = mm d) 50 kg = Tg 3. En el sistema internacional (SI) el espacio se mide en metros (m), el tiempo, en segundos (s), y la masa, en kilogramos (kg). Realiza los cambios de unidades necesarios y utiliza la notación científica para expresar las siguientes cantidades de acuerdo con el SI. a) 5 mm b) 20 000 km c) 200 cm d) 2,4 µs e) 0,0015 Mg 4. La masa del Sol, utilizando la notación científica, es de 1,9891 ⋅ 10 kg. Si no utilizásemos este tipo 30 de notación deberíamos escribir 1 989 100 000 000 000 000 000 000 000 000 kg. ¿Cómo tendría- mos que escribir las siguientes cantidades si no utilizásemos la notación científica? a) El diámetro de la Luna: 3,47 ⋅ 106 m b) La masa de un protón: 1,67 ⋅ 10–27 kg c) El número aproximado de estrellas de la Vía Láctea: 3 ⋅ 1011 estrellas d) La población total de la Tierra: 6,8 ⋅ 109 personas 5. Resuelve las operaciones según los siguientes ejemplos, expresando el resultado en notación científica: (3,5 ⋅ 104) ⋅ (6 ⋅ 107) = (3,5 ⋅ 6) ⋅ (104 ⋅ 107) = 21 ⋅ 1011 = 2,1 ⋅ 1012 (8,4 ⋅ 106) : (4 ⋅ 103) = (8,4 : 4) ⋅ (106 : 103) = 2,1 ⋅ 103 a) (5,1 ⋅ 106) ⋅ (2,5 ⋅ 102) b) (1,235 ⋅ 1011) : (5 ⋅ 102) Calculadora científica La mayoría de calculadoras científicas ofrecen tres modos de funcionamiento referidos a la forma de ex- presar tus resultados. Para cambiar de uno a otro usa la tecla MODE. Estos modos son: ■ NOMR o modo normal, que expresa el resultado en forma de número decimal dando tantos decimales como quepan en la pantalla. Ejemplo: 500 ÷ 3 dará como resultado 166.666667 ■ FIX que te permite elegir cuántos decimales quieres que te muestre la calculadora. Ejemplo: si elegimos FIX – 2 la operación 500 ÷ 3 dará como resultado 166.67. Si elegimos FIX – 4 será 166.6667 ■ SCI o modo científico, que expresa el resultado utilizando la notación científica. Ejemplo: la ope- MATEMÁTICAS ración 500 ÷ 3 dará como resultado 1.666667 × 102. La potencia de 10 también puede aparecer como 1.666667 E2 25 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 25 29/07/15 14:24 Unidad 1 7. Errores Aunque utilicemos los instrumentos de medida más sofisticados y trabaje- EJEMPLO mos con el mayor de los cuidados, es imposible realizar medidas con una Cálculo de errores precisión infinita. Al medir varias veces la masa de En la vida cotidiana, los errores que van asociados a cualquier medida sue- sulfato de cobre resultante de un len ser poco importantes, pero en el mundo científico y técnico es funda- experimento, nos encontramos mental tratar de determinar estos errores y tenerlos en cuenta en nuestros con los siguientes resultados: resultados. 3,51 g; 3,48 g; 3,49 g; 3,52 g; 3,48 g En este apartado vamos a aprender cómo determinar el error que estamos cometiendo cuando medimos algo en un laboratorio. Para calcular un valor de referen- cia, que llamaremos valor exacto 7.1. Error absoluto (VE ) calculamos la media de estos datos: Consiste simplemente en comparar, mediante una resta, el valor que hemos obtenido con uno de referencia que consideramos exacto o verdadero. 3,51 + 3,48 + 3,49 + 3,52 + 3,48 VE = = Habitualmente este valor de referencia es la media de las mediciones que 5 hayamos hecho. Se suele tomar el valor absoluto de esta resta porque nos = 3,496 g interesa la diferencia entre nuestra medida y el valor exacto, independien- Ahora calculamos la diferencia en- temente de cuál es mayor o menor. tre esta media y cada uno de los Por ejemplo, si al pesar en diferentes ocasiones una cantidad de sustancia datos obtenidos: tras un experimento químico obtenemos distintos valores (como los del ejemplo del margen derecho), podemos considerar que la media de esos Masa (g) Dato – VE valores es el valor exacto de nuestra medición. Lo denominamos VE. 3,51 0,014 La diferencia entre cada medida y este valor exacto es el error absoluto de cada medida. Si realizamos la media de todos esos errores absolutos tene- 3,48 0,016 mos el promedio del error absoluto. Se denomina EA . 3,49 0,006 Habitualmente, el resultado de un experimento se escribe como: 3,52 0,024 VE ± EA 3,48 0,016 De esta forma indicamos que el valor exacto de dicho experimento se en- La media de estos errores es nues- cuentra comprendido entre VE - EA y VE + EA . tro error absoluto (EA ): 7.2. Error relativo y porcentaje de error EA = 0,0152 Para expresar nuestro resultado de- Para saber si un error es grande o pequeño, debemos compararlo con el bemos emplear las mismas cifras valor obtenido en el experimento en el que se ha dado. Un error de 3 cm decimales que obteníamos en no tiene la misma importancia si estamos tratando de medir el tamaño de nuestras medidas (dos en este una célula que si queremos determinar la distancia entre la Tierra y la Luna. caso), por lo que debemos redon- Para decidir si un error es importante o no, utilizamos el error relativo. Se dear si es necesario. La masa del denomina ER y se calcula dividiendo el error absoluto (EA) entre el valor sulfato de cobre que se obtiene en considerado exacto de nuestra medición (VE): este experimento sería: EA 3,50 ± 0,02 g ER = VE Para decidir si el error que hemos cometido es grande o pequeño, Si lo multiplicamos por 100, obtenemos el porcentaje de error: calculamos el error relativo y el por- centaje de error: % error = ER ⋅ 100 0,02 MATEMÁTICAS ER = = 0,0057 3,50 En el margen puedes ver un ejemplo del proceso completo del cálculo de errores. % error = 0,0057 ⋅ 100 = 0,6 % 26 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 26 29/07/15 14:24 Números Actividades y tareas 1. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Si ponemos el cuidado suficiente, podemos tomar medidas completamente exactas, sin ningún tipo de error. b) El error relativo nos indica la diferencia entre una medida y el supuesto valor exacto. c) Al dar el resultado de un experimento con su error absoluto, realmente indicamos el margen den- tro del cual debe encontrarse el resultado que buscábamos. d) Para comparar la precisión de dos medidas distintas debemos utilizar el error absoluto. e) El error relativo multiplicado por 100 nos da el porcentaje de error. f) Un error absoluto muy alto significa que el experimento se ha hecho mal. 2. Como resultado de un experimento, una revista científica publica que la masa obtenida en una reac- ción química de una determinada sustancia es 2 ± 0,1 g. a) Calcula el error relativo y el porcentaje de error de esta medida. b) Indica cuáles de las siguientes opciones son válidas como posible resultado exacto del experi- mento: 2,05 g 1,93 g 1,98 g 1,87 g 2,11 g 2,07 g 1,89 g 3. Un alumno mide la longitud de un hilo de 5 m y halla el valor de 6 m. Otro alumno mide la longitud de un paseo de 600 m y halla 601 m. ¿Qué medida fue más exacta? 4. ¿Cuál de estas medidas es más precisa? a) Radio de la Tierra: 6 500 km EA = 100 km b) Anchura de un folio: 210 mm EA = 1 mm 5. Conociendo el error absoluto, ¿podemos saber si una medida es más precisa que otra? 6. Realizamos un experimento en el laboratorio, que consiste en colgar un mismo peso de un mue- lle para determinar cuánto se estira. Colgamos el peso 5 veces y obtenemos los siguientes resul- tados: Medida 1 13,45 cm Calcula: Medida 2 13,50 cm a) El error absoluto de cada medida. Medida 3 13,57 cm b) El promedio del error absoluto. Medida 4 13,55 cm c) El error relativo. Medida 5 13,48 cm d) El porcentaje de error. 7. Al medir la distancia entre las orillas de un río se ha obtenido el resultado de 220 m con un error de ±40 cm. Al medir la longitud de una mesa se obtiene como resultado 2,5 m con un error de ±10 cm. ¿Cuál de las dos medidas es más precisa? 8. En un trabajo de laboratorio hemos obtenido los siguientes re- Medida 1 145 s sultados al medir repetidamente el tiempo que tardaba un me- tal en pasar de 55 °C a 50 °C: Medida 2 160 s a) Calcula el error absoluto, el error relativo y el porcentaje de Medida 3 151 s error. Medida 4 154 s MATEMÁTICAS b) Compara la precisión obtenida en este experimento con la del Medida 5 148 s experimento descrito en la actividad número 6. 27 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 27 29/07/15 14:24 TRABAJAMOS COMPETENCIAS Unidad 1 1. Señala en tu cuaderno si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Todos los números naturales son números enteros. b) Cualquier número que sea racional es también un número entero. c) Los números reales están formados por los racionales y los irracionales. d) Las fracciones negativas son números Yo me llamo 3,2222... enteros. e) Todos los números decimales son nú- Entonces eres un meros racionales. decimal periódico puro. Yo me llamo 2,4555... f) Un número natural también es entero, racional y real. Y tú eres g) Un número entero es siempre un nú- un decimal mero natural. periódico mixto h) Todos los números enteros positivos son números naturales. i) Los números racionales incluyen a los enteros negativos. j) Los números irracionales forman par- te de los números racionales. 2. Efectúa los siguientes cálculos: a) 7 · (–3) + 2 + 4 : (–2) + (–9) e) (–72 : 12) – 3 + (–5) –1 b) 5 + (–5) · (–3) – [4 · (–6) + (8 + 9 : 3 )] 2 f) 6 + 4 · (–2) + (16 : 22) + (–3) c) [(4 · 7) : (–2)] – 10 g) [(5 · 2) : (8 : 4) ] · (–7) – (+2) d) 15 : (–7 + 4) +3 – 16 : 2 2 h) 20 : (–5 + 3) · (–2)2 + (–1) 3. Realiza las siguientes operaciones: 4 6 2 2 1 5 6 15 1 a) − + c) 1 +2 + e) ⋅ + 7 5 3 4 2 9 8 3 −2 2 −3 3 −2 −5 7 b) :2 ⋅ d) f) −4 5 10 −3 4. Resuelve las siguientes operaciones con potencias: −2 2 3 3 7 5 3 5 8 a) 28 · 2 c) ⋅ e) (–13)4 ⋅ (–13)4 g) ⋅ 5 5 12 12 −10 7 5 −5 4 4 11 11 b) 116 · 115 d) − : − f) : h) [(–4)–1 : (–4)–11]7 3 3 2 2 5. Resuelve las siguientes operaciones con raíces: ( ) 2 a) 5 32 ⋅ 10 3 d) 11 5 : 6 55 g) 2 63 + 10 28 b) 142 : 14 e) 3 52 ⋅ 4 53 h) 7 3 80 - 2 3 270 2 2 3 3 3 1 1 MATEMÁTICAS c) 5 ⋅ f) 3 : i) 5 8 + 3 3 98 − 5 12 2 2 2 2 28 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 28 29/07/15 14:24 Números 6. Expresa los siguientes números utilizando la notación científica: a) La velocidad de la luz: 300 000 000 m/s. b) La distancia media entre la Tierra y el Sol: 150 000 000 000 m. c) Tamaño de una célula: 0,00002 m. d) Los espectadores de un estadio de fútbol: 80 000 espectadores. e) La edad aproximada del Sol: 4 500 000 000 años. 7. Escribe las siguientes medidas utilizando las unidades del sistema internacional y la notación científica: a) 0,05 cm c) 500 Mg e) 150 000 dam g) 10 h b) 14 000 ms d) 12 ns f) 0,008 mg h) 0,000075 µg 8. Realizamos un experimento en el que queremos determinar la temperatura final de una sus- tancia después de aplicarle un campo magnético. Repetimos el experimento 6 veces y obte- nemos los siguientes resultados: a) 34,7 °C 33,1 °C 33,7 °C 35,1 °C 34,5 °C 33,0 °C b) Calcula el error absoluto. c) Calcula el error relativo y el porcentaje de error. 9. Busca información sobre cuándo y dónde empezaron a utilizarse los distintos conjuntos de números. Trabaja en grupo con tus compañeros y realiza una presentación que debe contar al menos con los siguientes apartados: a) Números naturales. b) Números racionales. c) Números irracionales. d) Números enteros. 10. a) Completa la siguiente tabla en tu cuaderno calculando el valor de la expresión (–1) n para distintos valores de n: Valor de n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Valor de (–1)n b) Completa la siguiente frase en tu cuaderno: «El valor de (–1)n es siempre que n es y es siempre que n es ». 11. Algunos números irracionales tienen unas propiedades muy interesantes, lo que les convierte en números «famosos». Busca información sobre los siguientes números irracionales y comple- ta en tu cuaderno la siguiente tabla: Número Nombre Símbolo Está relacionado con… 3,1415926… 2,7182818… C U A D E R N O MATEMÁTICAS 1,6180339… 29 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 29 29/07/15 14:24 DESAFÍO PISA Unidad 1 Contraseñas seguras Esta operación llevará más o menos tiempo en fun- ción del tipo de contraseña (si utiliza solo letras, ma- yúsculas y minúsculas, números, símbolos…) y de la capacidad de cálculo del ordenador. Por ejemplo, una contraseña que estuviese formada solo por una letra ofrece 26 posibilidades. Si utilizamos dos letras las combinaciones se multiplican por 26 y tenemos 26 ⋅ 26 = 262 = 676 posibilidades. Con tres letras, las op- ciones serían 263 = 17 576. A medida que la contraseña emplea más caracteres, el número de posibilidades aumenta, obligando al programa de ataque a tener que probar más y más combinaciones aleatorias. Por otra parte, si en lugar de utilizar solo letras La seguridad de una contraseña depende de mu- minúsculas empleas también letras mayúsculas, chos factores, pero uno de los más importantes es las opciones para cada carácter se duplican, pa- el número y el tipo de caracteres que utilices. La sando a ser 52. Si además incluimos números, pa- forma de ataque más básica es la denominada samos a generar 62 opciones por cada carácter. En ataque de fuerza bruta. Consiste en un programa algunos sitios incluso se permite el uso de símbo- que prueba de forma aleatoria todas las combina- los como * o $, lo que aumentaría aún más las ciones posibles según el número de caracteres. combinaciones posibles. Actividades Actividad 1: Completa la siguiente tabla en tu cuaderno indicando cuántas combinaciones posibles existen según el número y el tipo de caracteres que empleemos: Número de caracteres Solo letras minúsculas Mayúsculas y minúsculas Mayúsculas + minúsculas + números 1 2 3 4 5 6 C U A D E R N O 7 8 9 10 Actividad 2: Vamos a considerar que un ordenador personal puede realizar unos 10 000 000 intentos por segundo. a) ¿Cuánto tardaría en «hackear» una contraseña de 8 caracteres en los que solo hemos usado letras mi- núsculas? b) ¿Y si la contraseña incluye también mayúsculas y números? MATEMÁTICAS Actividad 3: Busca información sobre los ataques de diccionario. ¿Qué hay que evitar si queremos una contraseña segura también frente a este tipo de ataques? 30 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 30 29/07/15 14:24 INFORMÁTICA MATEMÁTICA Números Operaciones con radicales con la calculadora WIRIS Objetivo: La calculadora WIRIS nos permite realizar numerosas operaciones con radicales. Además, podemos obtener los resultados en forma de radical o de número decimal. Procedimiento: Raíz cuadrada 1. Simplificación de radicales. WIRIS nos permite introducir raíces de cual- quier índice. Para ello utilizamos los botones indicados en la figura. Observa que al pulsar el igual WIRIS simplifica al máximo el radical Raíz n-ésima extrayendo todos los factores posibles. 2. Operaciones con radicales. De la misma forma podemos utilizar WIRIS para resolver operaciones con radicales. 3. Expresión decimal del valor aproximado de un radical. Si en algún momento nos interesa el resulta- do de una operación con radicales expresa- do en forma de número decimal, debemos escribir el radicando seguido de un punto. Recuerda que la expresión decimal de un número irracional es siempre una aproxima- ción ya que no podemos escribir sus infinitas cifras decimales. De hecho, WIRIS nos permite elegir con qué precisión queremos este resultado. Así, uti- lizando el comando precisión podemos ele- gir cuántas cifras va a mostrar el resultado de nuestra operación. Actividades y tareas 1. Simplifica las siguientes expresiones utilizando la calculadora WIRIS: a) 45 c) 75 e) 15625 5 b) 3 56 d) 107 f) 3 2187 2. Resuelve las siguientes operaciones utilizando la calculadora WIRIS: (5) 4 a) 5 ⋅ 125 c) 3 2 e) 10 ⋅ 125 − 3 ⋅ 20 b) 3 7 : 5 72 d) 12 + 5 ⋅ 27 f) 2⋅ ( 50 + 4 ⋅ 72 ) MATEMÁTICAS 3. Calcula el valor aproximado de los resultados de la actividad anterior utilizando la calculadora WIRIS para obtener su expresión como número decimal. 31 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 31 29/07/15 14:25 Unidad 1 Evaluación 1. Indica cuál de los siguientes números no es un 6. Si el resultado de un experimento ha sido número racional: 23,4 ± 0,5 s. a) 3,55555… ¿Qué error relativo hemos cometido? 2 a) 0,021 b) - 3 b) 2,1 c) 0,1212212221… c) 0,468 d) -3 d) 46,8 2. Resuelve la siguiente operación: 8 + (2 – 7) ⋅ 3 – 1 ⋅ 4 7. Resuelve: a) 5 [(–2)5 ⋅ (–2)–3 ]10 b) 32 a) (–2)–80 c) –11 b) (–2)–20 d) 13 c) (–2)80 d) (–2)20 3. Resuelve la siguiente operación: 1 2 1 2− ⋅ + 8. Expresa 56 km en unidades del sistema interna- 5 3 6 cional y en notación científica: 11 a) 5,6 ⋅ 101 km a) 6 b) 56 000 m 11 b) - c) 5,6 ⋅ 104 m 6 d) 5,6 ⋅ 103 m 5 c) 6 9. Resuelve la siguiente operación: 5 d) - 3 6 24 : 2 4. Resuelve la siguiente operación con números de- a) 3 2 cimales: 0,51 + 4,51 ⋅ 1,7 b) 2 a) 8,534 6 b) 85,34 c) 25 c) 8,177 d) 2 5 2 d) 81,77 5. Calcula la fracción generatriz de 3,16666… 10. Resuelve la siguiente operación con radicales: 19 a) 500 − 2 80 + 6 20 6 28 a) 3 5 b) 9 b) 14 5 31 c) 10 c) 5 5 10 d) d) 10 5 3 MATEMÁTICAS 32 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 32 29/07/15 14:25 Números Resumen n Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros. También pueden expresarse como un número decimal a 7 17 que puede ser exacto (como = 3,5 ), periódico (como = 5,6666... ) o perió- 2 3 31 dico mixto (como = 1,03333... ). Los números irracionales, por el contrario, no 30 pueden expresarse como la división de dos enteros y su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Juntos forman el conjunto de los números reales. Las potencias son una herramienta muy útil en numerosas situaciones. Entre otras utilidades, las potencias nos permiten manejar cantidades muy grandes o m muy pequeñas de forma cómoda gracias a la notación científica. Para expresar una cantidad en notación científica tenemos que utilizar un número decimal con una única cifra no decimal (que no sea cero) multiplicado por una potencia de diez. Además debemos utilizar el sistema internacional de unidades. a n Un radical es la raíz de índice n de un número real multiplicada por un número que denominamos coeficiente. Para operar con ellos conviene simplificarlos al a máximo. Para ello extraemos todos los factores que sea posible de la raíz. Para multiplicarlos y dividirlos utilizamos las propiedades de las potencias. Para res- tarlos y sumarlos es necesario que sean radicales semejantes, es decir, que aun- que cambie el coeficiente la raíz sea la misma. Cuando medimos algo, incluso en un laboratorio, siempre cometemos algún error. Para realizar una medición de la forma más exacta posible tomamos varias veces la misma medida y hacemos la media de los valores obtenidos. Ese es nuestro valor exacto. El error absoluto (promedio de la diferencia entre cada medida y el valor exacto) y el error relativo (cociente entre el error absoluto y el m valor exacto) nos indican la calidad de nuestro experimento. a Mis progresos Soy competente, Soy competente, Me faltan competencias. Unidad 1 ¡Soy muy competente! pero puedo mejorar pero debo mejorar ¡Debo esforzame mucho más! ¿Sé aplicar lo Resuelvo correctamente opera- Resuelvo correctamente opera- Aunque sé cómo resolver opera- No sé cómo resolver la mayor par- aprendido? ciones en las que aparecen núme- ciones en las que aparecen núme- ciones con números racionales me te de las operaciones en las que ros racionales y radicales. ros racionales. equivoco con frecuencia. aparecen números racionales. Sé hacer… Sé expresar números muy grandes Sé expresar números muy grandes Me cuesta expresar números muy No sé utilizar la notación científica y pequeños utilizando la notación y pequeños utilizando la notación grandes y pequeños utilizando la para expresar números muy gran- científica y calcular el error que científica. notación científica. des o muy pequeños. cometo al tomar una medida en un experimento. La tecnología Utilizo con soltura las opciones de Utilizo con alguna dificultad las Conozco las opciones de fraccio- No sé utilizar las opciones de frac- y yo… fracciones, decimales y notación opciones de fracciones, decima- nes, decimales y notación científi- ciones, decimales y notación cien- científica de mi calculadora cientí- les y notación científica de mi cal- ca en mi calculadora científica y tífica de mi calculadora científica y fica y de la calculadora WIRIS. culadora científica y de la calcula- en la calculadora WIRIS pero no de la calculadora WIRIS. dora WIRIS. las utilizo. MATEMÁTICAS ¿Sé trabajar Asumo mi rol sin interferir en el Asumo mi rol y aporto ideas al Asumo mi rol, no aporto ideas al No asumo mi rol e interfiero en el en grupo? trabajo de los demás y aporto grupo, pero suelo interferir en el grupo e interfiero en el trabajo de trabajo de los demás sin aportar ideas al grupo. trabajo de los demás. los demás. ideas al grupo. 33 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 33 29/07/15 14:25 MI PROYECTO Unidad 1 Facilitar el acceso al agua potable a 17 500 habitantes Situación de partida La escasez de agua en el mundo La escasez de agua afecta a todos los continentes. tasa de crecimiento de la población y, aunque no Cerca de 1 200 millones de personas, casi una quinta se puede hablar de escasez hídrica a nivel global, parte de la población mundial, vive en áreas de es- va en aumento el número de regiones con niveles casez física de agua, mientras que 500 millones se crónicos de carencia de agua. aproximan a esta situación. Otros 1 600 millones, al- La escasez de agua es un fenómeno no solo natural rededor de un cuarto de la población mundial, se sino también causado por la acción del ser humano. enfrentan a situaciones de escasez económica de Hay suficiente agua potable en el planeta para agua. Estos países carecen de la infraestructura nece- abastecer a los 7 000 millones de personas que lo saria para transportar el agua desde ríos y acuíferos. habitamos, pero está distribuida de forma irregular, La escasez de agua constituye uno de los principa- se desperdicia, está contaminada y se gestiona de les desafíos del siglo XXI a los que se están enfren- forma insostenible. tando ya numerosas sociedades de todo el mundo. Departamento de asuntos sociales y económicos A lo largo del último siglo, el uso y el consumo de de Naciones Unidas. agua creció a un ritmo dos veces superior al de la <http://www.un.org/spanish/waterforlifedecade/scarcity.shtml> Escasez física y/o económica de agua a nivel mundial Poca o ninguna escasez de agua Escasez física de agua Próximo a la escasez física Escasez económica de agua No estimado Fuente: Departamento de asuntos económicos y sociales de Naciones Unidadas Antes del proyecto Lee atentamente el texto y contesta las siguientes preguntas. Si es necesario, busca información comple- mentaria en internet. 1. ¿Cuántas personas se ven afectadas actualmente por la escasez de agua? 2. ¿Qué diferencia hay entre escasez física y escasez económica de agua? 3. Comenta con tus compañeros: ¿depende la escasez de agua únicamente del crecimiento de la población? 4. Observa el mapa: ¿qué continente tiene mayores problemas de acceso al agua potable? ¿Cuál crees que es el principal motivo? MATEMÁTICAS 34 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 34 29/07/15 14:25 Números Lo que tenemos que hacer Vuestro proyecto consiste en facilitar el acceso al agua potable a 17 500 habitantes reunidos en ocho aldeas de la región de Kara, en el país africano de Togo. Para ello vais a planificar la construcción de varios pozos, dotados de bombas de agua, que mediante energía solar suministrarán agua potable procedente de los acuíferos de la zona. Pasos a seguir Paso 1. Búsqueda de información Reunid la siguiente información sobre Togo y sobre la región de Kara: 1. Mapa de Togo (con la región de Kara indicada). 2. Idioma(s) y clima de Togo. 3. PIB por habitante y esperanza de vida en Togo. 4. Población y densidad de población de Togo. 5. Población y densidad de población de la región de Kara. Paso 2. Investigación: bombas de agua ¿Cuántas bombas de agua necesitaremos para abastecer a los 17 500 habitantes? ¿Cuánto nos costarán? Para poder tomar estas decisiones debéis seguir los siguientes pasos: 1. Buscad cuántos litros de agua son necesarios por persona y día para consumo e higiene según la OMS. 2. Consultad en internet cuánto cuestan y qué caudal proporcionan (litros por hora) varios modelos de bombas de agua. Con estos datos, elegid la opción más adecuada para vuestro proyecto: indicando el modelo, el número de bombas que hay que adquirir y el gasto total. Paso 3. Beneficios para la comunidad Redactad un pequeño texto explicando los beneficios de vuestro proyecto para la comunidad local. Para su redacción os ayudará buscar respuestas a las siguientes cuestiones: 1. ¿Cuáles son las enfermedades más habituales relacionadas con la escasez de agua? 2. ¿Quién o quiénes son los encargados de ir a por el agua en una aldea de este tipo? 3. ¿Qué relación hay entre la escasez de agua y la falta de asistencia a la escuela? Organizamos la información: presentación y conclusiones Ordenad toda la información recopilada en los pasos uno, dos y tres e incorporadla como una nueva en- trada en el blog de vuestra organización. No olvidéis incluir mapas e ilustraciones que ayuden a entender mejor la información. MATEMÁTICAS 35 01_PMAR_CIEN_Y_MATES.indd 35 29/07/15 14:25
Report "PMAR Ambito Cientifico y Matematico II - Ud01"