Planteo de Ecuaciones

I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 7 8 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año TEMA: PLANTEO DE ECUACIONES OBJETIVO Desarrollar y utilizar en forma adecuada la notación y el vocabulario para poder representar acciones y resultados relacionados con el mundo real y la vida diaria y sus situaciones problemáticas. PROCEDIMIENTO Para el correcto planteo de una ecuación es necesario tomar en cuenta los siguientes pasos: 1. Lectura detallada del enunciado. 2. Identificación de la(s) incógnita(s) y dados proporcionados. 3. Relacionar las incógnitas y los datos, este paso sería el planteo de la ecuación. 4. Verificar los resultados. RESPUESTA ACERTADA Dos aeronautas viajan en globo. Un fuerte viento les arrastra durante muchas horas, y se encuentran perdidos. Hacen descender su aerostato en un prado, y, sin apearse del mismo, le preguntan a la única persona que encuentran por allí: - Perdone, buen hombre, ¿dónde nos encontramos? El lugareño lo piensa un rato y responde: - En un globo. Entonces uno de los aeronautas le dice al otro Vámonos de aquí a preguntarle a otro, porque éste es idiota. - No, hombre, no es idiota. Lo que pasa es que es matemático. - Ah, ¿sí?, ¿Y cómo lo sabes? - Pues muy sencillo, porque le hemos hecho una pregunta bien sencilla que cualquier persona normal podría haber respondido inmediata y eficazmente; pero él lo ha pensado largamente, y al final ha dicho algo totalmente cierto, absolutamente exacto, pero que ya sabíamos, y que además no nos sirve para nada. FORMA VERBAL FORMA SIMBÓLICA Un número desconocido El triple de un número Una cantidad aumentada en 20 Un número disminuido en 60 60 disminuido en un número Seis veces el número de lápices El exceso de un número sobre 50 es 10 “x” excede a “y” en 8 El doble de un número aumentado en 3 El doble de la suma de un número con 3 “a” es cuadro veces “b” La relación que hay entre 2 números es 2 a 5 La suma de tres números consecutivos es 18 La suma de tres números impares consecutivos es 33 Tres números son proporcionales a 3, 4 y 5 respectivamente El doble del cuadrado de un número El cuadrado del doble de un número La cuarta parte de un número La tercer parte de un número sumada con su quinta parte EJEMPLOS DE APLICACIÓN: 1. Hallar un número, sabiendo que aumentado en 18 equivale al triple de su valor. Resolución: • Sea el número: x • Según el enunciado del problema: x + 18 = 3x Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 9 10 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año Resolviendo: 18 = 2x . 9 = x . ∴ . El número es 9 . 2. El exceso del doble de un número sobre 18 es igual al triple del número disminuido en 10. ¿Cuál es el número? Resolución: • Sea ”x” el número • El exceso del doble del número sobre 18 es: 2x – 18 • El triple del número disminuido en 10 es: 3(x – 10) • Luego, según el enunciado 2x – 18 = 3(x – 10) Resolviendo: 2x – 18 = 3x – 30 . 12 = x . ∴ . El número es 12 . 3. Se tienen dos números, el mayor excede al menor en 15 unidades. Si al menor se le aumenta sus 3/4, resultaría lo mismo que la mitad del mayor Resolución: Recuerda que: Si A excede a B en 15, entonces: . A + B = 15 . • Sean los números: # menor = x # mayor = x + 15 • Según el enunciado ( ) 2 15 4 3 2 # 4 3 # + · + · , _ ¸ ¸ + x x x mayor sus menor              Resolviendo 4x + 3x = 2(x + 15) 7x = 2x + 30 5x = 30 . x = 6 . • Luego los número son: . 21 15 6 6 · + · · # mayor # menor . 4. Hallar dos números sabiendo que uno excede al otro en 8 unidades y que el menor es 35 unidades menos que el doble del mayor Resolución: • Como nos dicen que uno de los números excede al oto en 8, entonces # menor = x # mayor = x + 8 • Del enunciado ( ) 35 8 x 2 x r del # mayo el doble menos que 35 # menor − + · ·                       Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 11 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año Resolviendo: x = 2x + 16 – 35 . 19 = x . • Finalmente los números son . 27 19 · · # mayor # menor . 5. La suma de tres números enteros consecutivos es 47 unidades más que el número menor. Hallar el mayor de los tres números. Resolución: • Sean los tres números enteros consecutivos: ( ) ( )                 mayor ermedio menor x x x # int # # 2 ; 1 ; + + • Del acuerdo a los datos del problema x + (x + 1) + (x + 2) ) x + 47 Resolviendo: 3x + 3 = x + 47 2x = 44 . x = 22 . • Entonces . # mayor = 22 + 2 = 24 . 6. Si se multiplica el menor y el mayor de los tres números pares consecutivos, se obtiene un número que es 96 unidades menos que el producto del mayor y el segundo de los tres mencionados. Halla dichos números. Resolución: • Como los números pares consecutivos se van generando de 2 en 2, entonces serán: ( ) ( )                       # er mayor # # do # er menor # x ; x ; x 3 2 1 4 2 + + • Del acuerdo a los datos: x (x + 4) = (x + 4) (x + 2) – 96 Resolviendo: x 2 + 4x = x 2 + 6x + 8 – 96 88 = 2x . 44 = x . • Luego dichos números son . 44; 46 y 48 . 7. Si al triple de la edad que tenía Alfredo hace 10 años, se le resta su edad actual, se obtiene la edad que tendrá dentro de 5 años ¿Cuál es su edad? Resolución: • Sea “x” la edad actual de Alfredo Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 12 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año Entonces: Su edad hace 10 años era: (x – 10) Su edad dentro de 5 años será: (x + 5) • Según datos: 3(x – 10) – x = x + 5 Resolviendo: 3x – 30 – x = x + 5 . x = 35 . • Por lo tanto . la edad actual de Alfredo es 35 años . 8. Milagros dice: “Gasté los 2/7 de lo que tenía y S/. 20 más, quedándome con la quinta parte de lo que tenía y S/. 16 más.” ¿Cuánto tenía Milagros? Resolución: • Sea “x” el dinero que tenía Milagros • Si gasta los 7 2 de lo que tenía y S/. 20 más, le quedan: 20 7 5 20 7 2 20 7 2 − · − − · , _ ¸ ¸ + − x x x x x ... (I) • La quinta parte de lo que tenía y S/. 16 más es: 16 5 1 + x ... (II) • De acuerdo al enunciado del problema, las expresiones (I) y (II) son equivalentes, o sea: 16 5 1 20 7 5 + · − x x Resolviendo: 25x – 700 = 7x + 560 18x = 1260 . x = 70 . • Luego . Milagros tenía 70 soles . 9. Un estudiante lee 64 página de la novela “Cien años de soledad”, y al día siguiente lee 1/3 de lo que le falta; si todavía le quedan por leer los 4/7 del total de páginas, ¿Cuántas páginas tiene dicha novela? Resolución: • Sea “x” el total de páginas. • Según datos: El 1 er día lee 64 páginas, entonces le falta leer (x - 64) páginas El 2 do día lee 3 64 − x páginas Y todavía le quedan por leer x 7 4 páginas. • Se deduce que: Lo que lee el primer día, más lo que lee el segundo y más lo que le quedan por leer, será igual al total de páginas. Entonces: x x x · + − + 7 4 3 64 64 Resolviendo: MCM (3; 7) = 21 1 344 + 7(x – 64) + 12x = 21x Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 13 14 15 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año 1 344 + 7x – 448 + 12x = 21x 896 = 2x . 448 = x . • Por lo tanto . La novela tiene 448 páginas . PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. La edad de Juan aumentada en 8 es 27 ¿Cuál es la edad de Juan? Rpta. 2. El doble de un número disminuido en 70 es 48. ¿Cuál es el número? Rpta. 3. El triple de la suma de un número con 6 es 48 ¿Cuál es el número? Rpta. 5. El número de hombres es 5 veces más que el número de mujeres, si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿Cuántos hombres hay? Rpta. 6. El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de “A” sobre 2. ¿Cuánto vale “A”? Rpta. 7. El dinero que tengo aumentado en su mitad es 45 ¿Cuánto tengo? Rpta. 4. El número de hombres es 5 veces el número de mujeres, si en total hay 42 personas, entre hombres y mujeres ¿Cuántas mujeres hay? Rpta. 8. Hallar un número, tal que al agregarle 432 obtengamos su triple disminuido en 8. Rpta. 9. Al retirarse 14 personas de una reunión se observa que ésta queda disminuida en sus 9 2 partes. ¿Cuántas quedaron? Rpta. 10. A Gildder le preguntan la hora y responde: “Quedan del día 9 horas menos que las ya transcurridas”. ¿Qué hora es? Rpta. 11. ¿Qué número es aquel cuyo exceso sobre 17 equivale a la diferencia entre los 5 3 del número y sexta parte del mismo? Rpta. 13. Doce es excedido por 18 en la misma medida que el número es excedido por su triple. Hallar el exceso de 20 sobre el número. Rpta. 14. Tenía S/. 85, gasté cierta suma y lo que me queda es el cuádruplo de lo que gasté ¿Cuánto gasté? Rpta. 15. El martes gané el doble de lo que gané el lunes, el miércoles el doble de lo que gané el martes, el jueves el doble de lo que gané el miércoles; el Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 16 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año 12. Noventa soles se reparten entre tres hermanos proporcionalmente a sus edades que son como 5, 3 y 1; si se repartiera equitativamente, ¿Cuánto más recibiría el menor? Rpta. viernes S/. 30 menos que el jueves y el sábado S/. 10 más que el viernes. Si en los 6 días he ganado S/. 911 ¿Cuánto gané el miércoles? Rpta. 16. Subiendo la escalera de tres en tres, Rosa da 6 pasos más que subiendo de cinco en cinco. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera.? Rpta. 17. Compré el cuádruple del número de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5 caballos más y 5 vacas mas tendría el triple de número de caballos que el de vacas. ¿Cuántos caballos y cuántas vacas compré? Rpta. 18. Calcular cuatro números 19. Al preguntar un padre a su hijo cuanto había gastado de los 350 soles que le dio, éste respondió: “He gastado las 4 3 partes de lo que no gasté”. ¿Cuánto gastó? Rpta. 20. AL comprar 20 naranjas, me sobra S/. 480, pero al adquirir 24 naranjas, me faltarían S/. 120 ¿Cuánto cuesta cada naranja? Rpta. “El estudio de la matemática es como el Nilo, que consecutivos tales que la tercera parte de la suma de los mayores sea 10 unidades menos que la suma de los dos primeros. Rpta. comienza por la modestia y termina por la magnificencia”. C. Colton PROBLEMAS PARA LA CASA 1. 5 Veces la suma de un número con 3 es igual a 40. hallar el número. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. El óctuplo de un número, mas 5 es igual al quíntuplo de la suma del número con 10. Hallar el número. A) 12 B) 11 C) 10 D) 15 E) 16 3. El exceso del triple de un número sobre 42 equivale al exceso de 286 sobre el número. ¿Cuál es el número? 5. Hallar el mayor de cinco números enteros consecutivos; sabiendo que el exceso de la suma de los tres menores sobre la suma de los dos mayores es 28. A) 36 B) 34 C) 32 D) 30 E) 28 6. Hallar el menor de tres números consecutivos; si sabemos que los 5 4 del mayor exceden a los 4 3 del intermedio, en una cantidad igual a la sexta parte del menor disminuida en 5 1 Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 17 19 18 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año A) 12 B) 22 C) 82 D) 46 E) 30 4. Hallar la medida de un ángulo, tal que el exceso del triple de su suplemento sobre el doble de su complemento es igual a 320º A) 20º B) 40º C) 10º D) 15º E) 60º A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 7. Hallar dos números cuya suma es 1060 y su diferencia es 320. A) 340 B) 350 C) 360 D) 370 E) 380 8. ¿A qué hora las horas transcurridas es igual al décuplo de la midan de las que faltan transcurrir? A) 8am B) 6am C) 8pm D) 5pm E) 7am 9. Dos hermanos pesan juntos 152 kg y los 8 7 del peso del 10. Se ha gastado $148, utilizando 72 billetes de $1 y $5 ¿Cuántos de $1 se utilizó? A) 53 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 menor exceden en 3 kg a los 4 3 del peso del otro ¿Cuánto pesa cada uno? A) 7 8 y 80 B) 7 2 y 80 C) 8 0 y 82 D) 7 6 y 81 E) 4 5 y 50 CLAVES 1. E 2. D 3. C 4. B 5. A 6. E 7. D 8. C 9. B 10. A PROFUNDIZA TUS CONOCIMIENTOS 1. Hallar un número que, aumentado en 14 equivale al triple del mismo número 5. Un número más su mitad igual al exceso del doble del mismo sobre 9. Hallar el doble de dicho número. Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 20 21 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año Rpta. 7 2. La suma de dos números consecutivos enteros es 35 ¿Cuáles son esos números? Rpta. 17 y 18 3. Hallar dos números sabiendo que uno excede en 8 unidades al otro y que el menor aumentado en su 3/5 es 5 unidades menos que el mayor. Rpta. 13 y 5 4. El triple de un número aumentado en 16 equivale al exceso de 60 sobre el mismo número. Hallar dicho número Rpta. 3 Rpta. 36 6. A un alambre se le da dos cortes de manera que la longitud del primer trozo es los 2/9 del total, y la del segundo 6 metros más que el primero y la del tercero los 4/9 del total. ¿Cuál es la longitud total del alambre? Rpta. 54 m 7. La edad de Ernesto dentro de 8 años será el doble de la edad que tuvo hace 5 años. ¿Cuál es su edad actual? Rpta. 18 años 8. Hallar un número cuyos 7/8 excedan a sus 3/4 en 5. Rpta. 40 9. Si un número aumentado en 8 se multiplica por el mismo número disminuido en 3, resulta el cuadrado del número, más 76. ¿Cuál es el número? 12. Ángel tiene 18 años más que Frank. hace 18 años la edad de Ángel equivalía a los 5/2 de la edad de Frank. Hallar la edad que tiene Ángel. Rpta. 20 10. La suma de tres números enteros consecutivos, es lo mismo que el exceso de 39 sobre el menor de los números. ¿Cuál es el número mayor? Rpta. 11 11. Si a un número se le suma 5, se multiplica por la suma por 3, se le resta 6 del producto y se divide la diferencia por 7, se obtiene un número que tiene 5 unidades menos que el número inicial. Hallar el número aumentado en 3. Rpta. 14 Rpta. 48 años 13. Si al cuádruple de la edad que tenía hace 3 años, le resto el doble de la edad que tendré dentro de 4 años, obtengo mi edad. ¿Cuál es mi edad?. Rpta. 20 años 14. Las edades de Ángel, Beto y Carlos suman 53 años. la edad de Beto es 1/3 de la edad de Carlos y la edad de Ángel es 4 años más que la edad de Carlos ¿Cuál es la edad de Beto? Rpta. 7 años 15. Andrea tiene cierta suma de dinero. Gastó S/. 30 en libros y los 3/4 de lo que le quedaba después del gasto anterior, en ropa, si todavía le quedan S/. 30 ¿Cuánto tenía al 16. En 3 días Fiorella ganó 185 soles. Si cada día ganó 3/4 de lo que ganó el día anterior ¿Cuánto ganó el primer día? Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 22 23 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año principio? Rpta. S/. 150 Rpta. S/. 80 BUEN CONTADOR, PERO... Un matemático pasea por el campo, sin nada que hacer, aburrido. Encuentra a un pastor que cuida un numeroso rebaño de ovejas, y decide divertirse un poco a costa del paleto. - Buenos días, buen pastor. - Buenos días tenga usted. - Solitario oficio, el de pastor, ¿no? - Usted es la primera persona que veo en seis días. - Estará usted muy aburrido. - Daría cualquier cosa por un buen entretenimiento. - Mire, le propongo un juego. Yo le adivino el número exacto de ovejas que hay en su rebaño, y si acierto, me regala usted una. ¿Qué le parece? - Trato hecho. El matemático pasa su vista por encima de las cabezas del ganado, murmurando cosas, y en unos segundos anuncia: - 586 ovejas. El pastor, admirado, confirma que ése es el número preciso de ovejas del rebaño. Se cumple en efecto el trato acordado, y el matemático comienza a alejarse con la oveja escogida por él mismo. - Espere un momento, señor. ¿Me permitirá una oportunidad de revancha? - Hombre, naturalmente. - Pues ¿qué le parece, que si yo le acierto su profesión, me devuelva usted la oveja? - Pues venga. El pastor sonríe, porque sabe que ha ganado, y sentencia: - Usted es matemático. - ¡Caramba! Ha acertado. Pero no acierto a comprender cómo. Cualquiera con buen ojo para los números podría haber contado sus ovejas. - Sí, sí, pero sólo un matemático hubiera sido capaz, entre 586 ovejas, de llevarse el perro. ¿AVERIGUA EL RESULTADO SAGRADA CRIATURA En el mayestático salón encontré un hombre alto, de cara ancha y facciones acusadas. Era un famoso catedrático visitante que llegaba a nuestra universidad, y yo tuve el privilegio de conversar con él. Cuando surgió el inevitable tema de la fe; afirmó con absoluta convicción: - Cree en lo que quieras, pero cree. El divino sentido de la fe no está en su objeto en sí, sino en el hecho de que exista. Se levantó, tras cruzar el salón se puso a mirar por la ventana. Una bandada de tordos formaba una negra cadena en el firmamento y en lo alto de la montaña vecina el sol acariciaba la copa de los árboles, haciendo una encendida hoguera con las hojas ya coloradas. El famoso maestro, aunque hablaba animadamente de muchos temas, derramaba esa calma interior característica de los hombres que han llegado a un profundo conocimiento de sí mismo y del universo. - Creo que todo recién nacido –continuó– llega a la Tierra con un mensaje que entregar a la humanidad. En su puño diminuto trae alguna partícula de una verdad aún no revelada, quizá un indicio, hasta ahora desconocido, que acaso resuelva el enigma del destino del hombre. El nuevo ser tiene el tiempo limitado para llevar a cabo su cometido y nunca dispondrá de una segunda oportunidad... como tampoco los dispondremos nosotros. Puede que se recién nacido sea nuestra última esperanza, y como a tal deberíamos tratarlo... como a algo sacratísimo. Al medio día, en los alrededores de graduación había una gran algarabía. - Ha estado bien difícil el examen de graduación –comentaba un graduado que regresaba feliz. - ¿Y cuantos se presentaron? –indagó uno de los familiares. - Entre alumnos de distintos profesores éramos 35, y, como era de esperarse, todos los alumnos del profesor David aprobaron el examen. - ¿Y cuantos eran éstos? - Pues, exactamente, el 5% de todos los que aprobaron. Diga usted cuántos alumnos aprobaron el examen, y cuántos eran del profesor David. TEMA: CUATRO OPERACIONES ADICIÓN . a1 + a2 + a3 + ... + an = S . Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 24 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año an : Sumandos S : Suma total Observación: ( ) 2 1 ... 3 2 1 + · + + + + n n n SUSTRACCIÓN . S + D = M . S : Sustraendo D : Diferencia M : Minuendo OBSERVACIÓN: COMPLEMENTO ARITMÉTICO Número Complemento A. a 10 – a 100 – 1 000 – OBSERVACIÓN: CONOCIENDO LA SUMA Y DIFERENCIA 2 2 D S N D S M D N M S N M − · + · ¹ ¹ ¹ ) ¹ · − · + MULTIPLICACIÓN . M . m = P . M : Multiplicando m : Multiplicador P : Producto DIVISIÓN División Exacta ⇒ . D = d . q .; r = 0 D : Dividendo d : Divisor q : Cociente r : Residuo División Inexacta Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 25 26 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año ⇒ . D = d . q + r . Residuo máximo: d – 1 Residuo mínimo: 1 PROBLEMAS QUE SE DAN CON LAS 4 OPERACIONES Calcular 2 Cantidades conociendo la Suma (S) y la Diferencia (D) Podemos utilizar las siguientes relaciones: . 2 D S MAYOR CANTIDAD + · . . 2 D S MENOR CANTIDAD − · . Ejemplos: 1. Rosa y Antonio tienen entre los 2 S/. 850; Rosa gasta S/. 75 y entonces Antonio tiene S/. 85 más que rosa. ¿Cuánto tiene ahora Rosa? Resolución: Luego que Rosa gasta sus S/. 75 • Entre los 2 tienen 850 – 75 = 775 soles • Además Antonio tiene S/. 85 más que Rosa • ⇒ tenemos la suma : 775 y la diferencia : 85 ∴ Lo que tiene Rosa es la cantidad menor: 2 85 775 − · Menor Cantidad · · 2 690 . Rpta.: S/. 345 . 2. Una camisa con su corbata cuestan 54 soles, si la corbata cuesta 16 soles menos que la camisa. ¿Cuánto cuesta la camisa? Resolución: • La suma es 54 soles. La diferencia es 16 soles. • Si la corbata cuesta menos entonces la camisa tiene costo mayor. ∴ 35 2 70 2 16 54 · · − · Mayor Cantidad . Rpta.: S/. 35 . Calcular 2 Cantidades conociendo la Suma (S) y el cociente (q) de una división exacta Se utilizan las siguientes relaciones . 1 . + · q q S MAYOR CANTIDAD . . 1 + · q S MENOR CANTIDAD . Ejemplos: 1. La suma de 2 números es 420 si uno de ellos es el triple del otro; calcular el mayor de dichos números aumentado en 15. Resolución: • La suma “S” es 420 • Si uno de ellos es el triple entonces su cociente es 30. • Luego calculando el número mayor Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 27 28 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año 315 4 3 . 420 1 3 3 . 420 1 . # · · + ⇒ + · q q S mayor # mayor = 315 . ∴ El # mayor aumentado en 15 es 330 . 2. Un televisor y una radio grabadora cuestan S/. 1200. Si el televisor cuesta el cuádruple de lo que vale la radio grabadora; ¿Cuento cuesta cada artefacto? Resolución: • La suma es S/. 1200 • El cuádruple indica que el cociente es 4. • Entre el Tv y la radio grabadora. La radio grabadora es: 240 5 1200 1 4 1200 1 # · · + · + · q S menor # menor = 240 . ∴ La radio grabadora cuesta 240 soles . Calcular 2 Cantidades conociendo la Diferencia (D) y el cociente (q) de una división exacta Se utilizan las siguientes relaciones . 1 . − · q q D MAYOR CANTIDAD . . 1 − · q D MENOR CANTIDAD . . CANTIDAD MENOR = # MAYOR - D . Ejemplos: 1. Entre los cargamentos de 2 camiones hay una diferencia de 1800 kilogramos. Si uno de ellos tiene el triple de carga de lo que tiene el otro. ¿Cuál es la carga de uno de ellos? Resolución: • Hay una diferencia de 1800 Kg. • Hay un cociente de 3 (triple). • Luego calculando el camión con carga mayor. Kg q q D mayor 2700 1 2 3 . 1800 900 1 3 3 . 1800 1 . # · · − ⇒ − · Y el camión con carga menor: Kg q D menor 900 2 1800 1 3 1800 1 # · · − ⇒ − · . ∴ La carga de cada uno de ellos es 2700 Kg y 900 Kg . 2. Un padre tiene 43 años y su hijo 11 años. ¿Dentro de cuánto tiempo la edad del padre será el triple de la edad de su hijo? Resolución: • Hay una diferencia (D) de edades: 43 – 11 = 32 años. • En el futuro el triple de una de las edades es el cociente 3. • Luego hallando los años del padre e hijo en el futuro: Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 29 30 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año años q D menor Hijo 16 2 32 1 3 32 1 # · · − ⇒ − · · Kg q q D mayor 48 2 96 1 3 3 . 32 1 . # · · − ⇒ − · ∴ Si en el futuro ambos tienen 48 y 16 años y hoy tienen 43 y 11 años, se observa que han pasado 5 años para que la edad del padre sea el triple de la del hijo. Calcular 2 Cantidades conociendo la Suma (S), el cociente (q) y el Residuo (R) de una división inexacta Se utilizan las siguientes relaciones . 1 . + + · q R q S MAYOR CANTIDAD . . 1 + − · q R S MENOR CANTIDAD . . CANTIDAD MENOR = S - # MAYOR . Ejemplos: 1. La suma de 2 números es 74, su cociente es 9 y su residuo es 4. Hallar el número mayor. Resolución: • Aplicando la relación respectiva: 1 . + + · q r q S mayor Cantidad = 10 4 9 . 74 1 4 9 . 74 + · + + q = 10 4 666 + = 10 670 = 67 . ∴ El número mayor es 67. . 2. El cociente y el resto de una división inexacta son 4 y 30 respectivamente. Si se suman todos los términos el resultado es 574. calcular el divisor: Resolución: • Sabemos que sumando todos los términos da 5784 y estos términos de la división inexacta son: D = dividendo q = cociente d = divisor R = residuo Es decir: D + d + q + R = 574 • Podemos concluir que: D + d = 574 – q – R D + d = 574 – 4 – 30 D + d = 574 – 34 D + d = 540 ⇒ D + d = 540 es la suma conocida Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 31 32 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año • Aplicando la relación y sabiendo que el divisor es el número menor. 1 # + − · q R S menor 102 5 510 1 4 30 540 # · · + − · menor . ∴ El divisor es 102. . Calcular 2 Cantidades conociendo la Diferencia (D) el cociente (q) y el Residuo (R) de una división inexacta Se utilizan las siguientes relaciones: . 1 . − − · q R q D MAYOR CANTIDAD . . 1 − − · q R D MENOR CANTIDAD . . CANTIDAD MENOR = # mayor – D . Ejemplos: 1. Hallar 2 números cuya diferencia sea 180, su cociente sea 6 y su residuo 20. Resolución: Aplicando las relaciones • # mayor = 5 20 6 . 180 1 . − · − − q R q D = 5 1060 5 20 1800 · − = 212 • # menor = 5 20 180 1 − · − − q R D = 32 5 160 · ⇒ # menor = 32 . ∴ Los #s son: 212 y 32 . 2. Calcular las edades de dos personas sabiendo que entre éstas hay una diferencia de 40 años y que al dividirlas su cociente es 3 y su residuo 10. Resolución: • Como tenemos los datos del caso aplicamos las relaciones respectivas: • Edad mayor = # mayor ⇒ # mayor = 55 2 110 2 10 120 2 10 3 . 40 1 . · · − · − · − − q R q D • Edad menor = # menor ⇒ # menor = 15 2 30 2 10 40 1 · · − · − − q R D . ∴ Las edades son 55 y 15 años. . Calcular 2 Cantidades conociendo la Suma (S) y el Producto (P) Se utilizan las siguientes relaciones: . 2 4 2 P S S MAYOR CANTIDAD − + · . Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 33 34 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año . 2 4 2 P S S MENOR CANTIDAD − − · . . CANTIDAD MENOR = S - # MAYOR . Ejemplos: 1. Hallar 2 números tales que su producto sea 500 y la suma de ambos 60. Resolución: • Al tener los datos directos aplicamos las relaciones respectivas: Cantidad mayor = # mayor ⇒ # mayor = ( ) 2 500 4 60 60 2 − + # mayor = 2 2000 3600 60 − + = 50 2 40 60 2 1600 60 · + · + • Para el # menor # menor = S – # mayor # menor = 60 – 50 = 10 . ∴ Los números son 50 y 10 . Calcular 2 Cantidades conociendo la Diferencia (D) y el Producto (P) Se utilizan las siguientes relaciones: . 2 4 2 D P D MAYOR CANTIDAD − − · . . 2 4 2 D P D MENOR CANTIDAD − + · . . CANTIDAD MENOR = # MAYOR – D . Ejemplos: 1. Calcular la suma de 2 números tales que su diferencia sea 10 y su producto 375. • Al tener los datos directos, aplicamos las relaciones: # Mayor = ( ) ( ) 2 10 375 4 10 2 + + # Mayor = 2 10 1500 100 + + # Mayor = 25 2 50 2 10 40 2 10 1600 · · + · + • Para el # menor: # menor = 25 – 10 = 15 . ∴ La suma de los 2 números 25 + 15 = 40 . Calcular 2 Cantidades conociendo el Producto (P) y el cociente (q) Se utilizan las siguientes relaciones: Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 35 36 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año . q P MAYOR CANTIDAD . · . . q P MENOR CANTIDAD · . Ejemplos: 1. El producto de 2 números es 180 y su cociente 20; hallar la suma de estos números Resolución: • Teniendo los datos directos aplicamos relaciones # Mayor = q P . = 60 3600 20 . 180 · · # Mayor = 60 # Menor = 3 9 20 180 · · · q P # menor = 3 ∴ Si los números son 60 y 3, luego, la suma de ambos es 63. COMPLEMENTO ARITMÉTICO (C.A.) DE UN NÚMERO El C.A. de un número natural es lo que le falta a este número para ser igual al número formado por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el número. Así por ejemplo Con el número 6 El C.A. de 6 es lo que le falta para convertirse en 10. Es decir C.A. 6: 10 – 6 = 4 ⇒ C.A. de 6 = 4 Con el número 84 El C.A. de 94 es lo que le falta para convertirse en 100. Es decir C.A. 84: 100 – 84 = 16 ⇒ C.A. de 84 = 16 Con el número 385 El C.A. de 385 es lo que le falta para convertirse en 1000. Es decir C.A. 385: 1000 – 385 = 615 ⇒ C.A. de 385 = 615 Con el número 2998 El C.A. de 2998 es lo que le falta para convertirse en 10000. Es decir C.A. 2998: 10000 – 2998 = 7002 ⇒ C.A. de 2998 = 7002 REGLA PRÁCTICA PARA HALLAR EL C.A. Para cualquier número natural a la cifra de las unidades se le resta 10 y a las demás cifras (centenas, millares, etc.) se les restará de 9. Ejemplos: 1. Hallar el C.A. de 456 Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 37 38 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año ⇒ = 544 . ∴Luego el C.A. es 456 es 544 . 2. Hallar el C.A. de 95427 ⇒ En forma general podemos concluir que: Si N es un número de 3 cifras: Es decir N = abc , donde c es diferente de 0, entonces: El Complemento Aritmético será: . ∴ ( ) ( )( )( ) c 10 b 9 a 9 abc . A . C − − − · . NOTA: SI EL NÚMERO TERMINA EN VARIOS CEROS, LA REGLA PRÁCTICA SE APLICA A PARTIR DEL NÚMERO DE ORDEN INFERIOR DIFERENTE DE 0. Ejemplos: 1. Hallar el C.A. de 4100 ⇒ = 5900 . ∴Luego el C.A. de 4100 = 5900 . 2. Hallar el C.A. de 251000 ⇒ = 479000 . ∴Luego el C.A. de 251000 = 749000 . PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. En un examen Pepe gana dos puntos por respuesta correcta, pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas, obtiene 64 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió mal? Rpta. 2. Al multiplicar por 36 un número, este aumenta en 175 unidades ¿cuál es el número? Rpta. 3. Un gerente gana S/. 1 300 más que otro por día, si al cabo de igual número de días recibieron 4. El chofer de un micro observa que en su recorrido han subido sólo adultos pagando S/. 22 c/u y cuando baja uno suben 3, llegando al paradero final con 56 adultos. ¿Con cuantos inició su recorrido?, si recaudó S/. 1760 en total Rpta. 5. Quince personas tienen que pagar por partes iguales S/. 1500; como algunos de ellos son insolventes cada uno de los restantes tiene que poner S/. 50 más para cancelar la deuda ¿Cuántas personas no pagaron? Rpta. 6. Marco empasta 112 libros en Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 39 40 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año S/. 131 100 y S/. 106 400 respectivamente ¿Cuál es el jornal de c/u? Rpta. un día y Pepe la cuarta parte. ¿Cuántos días les tomaría empastar 560 libros, si cada uno trabaja en días alternados? Rpta. 7. Si a un número entero se le agrega dos ceros a la derecha, dicho número aumenta en 78 111 unidades. El número es: Rpta. 8. En un salón de 40 alumnos, el profesor Oscar suma los años de nacimiento de todos, y luego suma sus edades; y a continuación suma los dos resultados obteniéndose 78868. si la suma se hizo en 1972 ¿cuántos cumplieron ya este año? Rpta. 9. En una fiesta a la que fueron 53 personas, en un momento determinado, 8 mujeres, no 10. Una casa se pintó por S/. 7500; pero si se hubiese ganado S/. 2,5 menos por cada m 2 , el costo de la pintura habría sido S/. 5000 ¿Cuánto pagó por cada m 2 ? Rpta. 11. Para una sala de teatro se había proyectado cierto número de filas de 16 asientos cada fila pero al resultar los asientos muy juntos y las filas muy separadas se pensó distribuir nuevamente el mismo número de asistentes, aumentando 4 filas y disminuyendo 4 asientos en cada fila. Hallar el número de asistentes. Rpta. 12. Se ha enrollado un cable con un carrete de 1 de diámetro, bailaban y 15 hombres tampoco. ¿Cuántas mujeres asistieron a la reunión? Rpta. dándole 100 vueltas. Si el mismo cable es enrollado en otro carrete dándole 50 vueltas, si diámetro es: Rpta. 13. Dos secretarias tienen que escribir 600 cartas cada una. La primera escribe 15 cartas por hora y la segunda 13 cartas por hora. Cuado la primera haya terminado su trabajo. ¿Cuántas cartas le faltarán escribir a la segunda? Rpta. 14. La suma de dos números naturales es 1043, su cociente es 27 y el resto es el mayor posible. Hallar el dividendo. Rpta. 15. Se paga S/. 10 por cada 3 manzanas y se venden 5 por S/. 20. el número de manzanas que se debe vender para ganar S/. 100 es: Rpta. CALCULANDO EL TIEMPO Dos ánforas de “Cedro” de igual tamaño se comienzan a llenar simultáneamente, el primero se llena en 6 horas y el segundo se llena en 4 horas. Suponiendo que cada ánfora se llena constantemente con una misma clase de moneda ¿Cuántas horas después de haberse comenzado a Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 41 42 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año llenar las ánforas que falta por llenar de la primera es el triple de la que falta a la segunda? Rpta. h 7 3 3 PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Lido compra libros a 3 por S/. 5 y los vende a 5 por S/. 10. si los 50 libros que le quedan representan su ganancia ¿Cuántos libros compra? A) 250 B) 300 C) 350 D) 150 E) 280 2. Un poste de 25 m de altura se rompe a cierta altura, tal que extremo superior fue a ubicarse a 15 m de la base. ¿A que altura ocurrió la ruptura? A) 8 B) 9 C) 7 D) 10 E) 12 4. Pedro tenía S/. 120, compró 3 rosas menos porque cada rosa le costó S/. 2 más ¿Cuántas rosas compró? A) 10 B) 15 C) 18 D) 12 E) 9 5. 2 turistas están alojados en el mismo lugar, pero uno de ellos paga diariamente S/. 48 menos que el otro. Después de igual número de días pagan S/. 1476 y 2052 respectivamente. ¿Cuántos días transcurrieron? A) 13 B) 14 C) 15 D) 12 E) 10 3. Si por S/. 20 dieron 6 manzanas más, cada docena costaría S/. 36 menos. ¿Cuánto cuesta una docena de manzanas? A) 50 B) 40 C) 30 D) 70 E) 60 6. Entre 8 personas tienen que pagar en partes iguales S/. 200, como algunos de ellos un pueden hacerlo, c/u de los restantes tiene que pagar S/. 15 más. ¿cuántas personas no pagaron? A) 3 B) 5 C) 4 D) 6 E) 7 7. 2 jugadores acuerdan que después de cada partida, el perdedor pague al otro S/. 600. Después de 30 juegos uno de ellos ha ganado S/. 7 200. ¿Cuántos juegos lleva perdiendo el otro? A) 18 B) 12 C) 4 D) 20 E) 21 8. Si a un número entero se le agregan 3 ceros a la derecha, dicho número queda aumentado 10. En una división de enteros, el divisor es 37 y el resto 12. ¿En cuanto disminuye el resto cuando se agregan 179 unidades al dividendo? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4 11. Entre 8 personas tienen que pagar en partes iguales S/. 200, como algunos de ellos un pueden hacerlo, c/u de los restantes tiene que pagar S/. 15 más. ¿cuántas personas no pagaron? Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 43 44 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año en 522 477 unidades. ¿Cuál es el número? A) 638 B) 523 C) 973 D) 743 E) 639 9. La suma de 2 números es 611, su cociente es 32 y el residuo de su división el más grande posible. ¿Cuál es la diferencia de los números? A) 525 B) 515 C) 572 D) 575 E) 505 A) 3 B) 5 C) 4 D) 6 E) 7 Escribe el número 10 con 5 números tres (3) Rpta. 10 3 3 3 3 3 · + CLAVES 1. B 2. A 6. A 7. E 3. E 4. D 5. D 8. B 9. D 10. B PROFUNDIZA TUS CONOCIMIENTOS 1. La suma de dos números excede en 16 a 64 y la diferencia excede 12 a la mitad de la suma ¿Cuáles son estos números? A) 6 6 y 14 B) 7 4 y 66 C) 7 D) 6 4. Andrea le dice a su papá “de los 280 soles que me diste, gasté 116 soles más de lo que no gasté” ¿Cuánto no llego a gastar Andrea? A) 82 B) 81 C) 80 D) E) Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 45 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año 7 y 64 4 y 77 E) 7 7 y 54 2. La suma de los 3 términos de una sustracción es 240. si el sustraendo es la tercera parte del minuendo. Hallar la diferencia. A) 70 B) 60 C) 80 D) 90 E) 50 3. Si al minuendo de una sustracción le aumentamos 10 unidades y al sustraendo lo disminuimos en 8 unidades ¿En cuanto varía la diferencia? A) +17 B) –16 C) +15 D) +18 E) –19 79 78 5. La diferencia de 2 números es 64 y la división del mayor entre el menor da cociente 3 y por residuo 18. ¿Cuál es el número mayor? A) 85 B) 86 C) 87 D) 88 E) 89 6. Si la diferencia de 2 números es 12360 y el duplo del mayor es 6000. ¿En cuanto excede el número 29821 al menor de los 2 números? A) 12 181 B) 11 218 C) 12 811 D) 18 211 E) 12 118 7. Luis dice: “lo que tengo más lo que debo da 3400 soles; si pagara lo que debo me 10. Carlos y Antonio tienen S/. 3587 y S/. 993 respectivamente, se ponen a jugar ajedrez a S/. 7 por partida y al final Carlos que quedarían 1660 soles” ¿Cuánto debe Luis? A) 870 B) 680 C) 690 D) 660 E) 650 8. Rosa le pregunta a Lidia por la hora y ésta le responde: “Quedan del, día 6 horas menos que las transcurridas” ¿Qué hora es? A) 11 h B) 12 h C) 13 h D) 14 h E) 15 h 9. A una reunión social a la que fueron 106 personas, en un momento determinado, 16 mujeres no bailaban y 24 hombres tampoco. ¿Cuántos hombres asistieron a la reunión? A) 55 B) 56 C) 57 D) E) ha ganado todas las partidas, tiene el cuádruple de lo que tiene Antonio. ¿Cuántas partidas de ajedrez se jugaron? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 11. Luzmila tiene 1800 soles y Paula 300 soles. Cada una de ella ahorran 10 soles mensuales ¿Dentro de cuántos meses la cantidad que tiene Luzmila es el cuádruple de lo que tiene Paula? A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21 12. Un comerciante divide la cantidad de dinero que tiene en un bolsillo entre 100 y resultando un número entero “n” si da “n” monedas de 10 soles a un mendigo, aun le quedan 2250 soles ¿Cuánto dinero tenía en el bolsillo? A) S/. 2450 B) S/. 2460 C) S/. 2470 D) S/. 2500 Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 46 47 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año 58 59 E) S/. 2480 13. Hallar el número de 3 cifras que restado de su complemento aritmético (C.A.) nos da 428. A) 284 B) 285 C) 286 D) 287 E) 288 14. Si N = abb y su C.A. = ( ) ( ) 1 1 + + a a a . Calcular la suma de las cifras de N. A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 15. Si N = bab y su: C.A. = ( )( ) 2 3 + + a a c Calcular N. A) 525 B) 535 C) 545 D) 565 E) 12 CLAVES 1. A 6. A 11. D 2. C 3. D 4. A 5. C 7. A 8. E 9. C 10. D 12. D 13. C 14. D 15. B ¿SABÍAS... COMO ADIVINAR EL DÍA Y EL MES DE NACIMIENTO? Propóngale a un(a) compañero(o) que escriba en una hoja de papel el día del mes en que nació y luego las operaciones siguientes: Que duplique el número escrito, que multiplique por 10 lo obtenido, que le sume 73 al producto, que multiplique por 5 la suma, y que al total le añada el número de orden del mes en que nació. Él(ella) le dice a usted, el resultado final de todas las operaciones y usted le dice la fecha en que nació ¿cómo puede usted hacer esto? Ejemplo: Si Roberto nació el 26 de abril, es decir, el día 26 del mes 04. él hace lo siguiente: 26 x 2 = 52 52 x 10 = 520 520 + 73 = 593 593 x 5 = 2965 2965 + 4 = 2969 Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 48 49 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año Roberto le dice a usted el número 2969 Usted hace lo siguiente: 2969 – 365 = 2604 Conclusión: Para saber la fecha que se busca hay que restarle 365 al número final TEMA: EDADES PROBLEMAS SOBRE EDADES Problemas sobre edades es un caso particular de Planteo de Ecuaciones, pero debido a la diversidad de problemas y a la existencia de formas abreviadas de soluciones se les trata como un tema a aparte. En estos problemas intervienen personas, cuyas edades se relacionan a través del tiempo bajo una serie de condiciones que deben cumplirse. Estas relaciones se traducen en una o más ecuaciones según el problema. En el proceso de solución se asigna una variable a la edad que se desea hallar, luego, si hubieran otras edades desconocidas se tratará de representarlas en función de la variable ya asignada, en caso contrario con nuevas variables. La información que contiene el problema se debe organizar con ayuda de diagramas que faciliten el planteo de ecuaciones. DIAGRAMAS LINEALES Se emplean cuando se trate de un solo personaje cuya edad a través del tiempo debe marcase sobre una línea que representará el transcurso del tiempo. DIAGRAMAS CON FILAS Y COLUMNAS Se emplean cuando se trata de dos o más persona con edades relacionadas en diferentes tiempos. En las filas (horizontales) se anota la información de cada personaje y en las columnas (verticales) se distribuyen los datos sobre el pasado, presente o futuro. PROPIEDADES 1. Para avanzar en el tiempo, se suman los años por transcurrir a la edad que se toma como punto de partida. Ejemplo: • Si Roberto tiene actualmente 30 años, dentro d 10 años, Roberto tendrá: 30 + 10 = 40 años Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 50 51 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año 2. Si se intenta retroceder en el tiempo se restarán los años deseados a la edad de referencia Ejemplo: • Si Juana tiene actualmente 20 años, hace 8 años, Juana tenía: 20 – 8 = 12 años 3. La diferencia de edades entre dos persona es una constante, en cualquier tiempo Ejemplo: Pas. Pte. Fur. A 10 12 16 B 6 8 12 Dif. 4 4 4 Ejemplos: 4. Cuando a un alumno le preguntan por su edad, respondió: “Si al triple de la edad que tendré dentro de tres años le restan el triple de la edad que tenía hace 3 años, resultará mi edad actual” ¿Cuántos años tiene? A) 27 B) 36 C) 18 D) 12 E) N.A. Resolución: Según los datos: 3(x + 3) – 3(x - 3) = x 3x + 9 – 3x + 9 = x 18 = x . Rpta. Tiene 18 años . 5. ¿Cuántos años tiene Jessica, sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 5 años mas la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años suman 11? A) 30 B) 24 C) 20 D) 14 E) N.A. Resolución: Según los datos se plantea: 6 5 + + − x x = 11 5 − x = 11 - 6 + x Elevando al cuadrado m.a.m. x- 5 = 121 – 22 6 + x + x + 6 ⇒ 6 + x = 6 x = 30 . Rpta. Tiene 30 años . 6. Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años. ¿Dentro de cuantos años tendré el doble de la edad que tuve hace 8 años? Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 52 53 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) N.A. Resolución: Según los datos: x – 10 = 2 1 (x + 8) 2 (x – 10) = x + 8 2x – 20 = x + 8 ⇒ x = 28 (edad actual) Hace 8 años tuvo: 28 – 8 = 20 años. El doble de esta edad: 40 años Esta edad la tendrá dentro de: 40 – 28 = 12 años . Rpta. Dentro de 12 años . USANDO EL INGENIO Mi abuelita me contó que un famoso comediante español Don Francisco de Quevedo y Villegas (1580 – 1645) apostó a unos amigos, que él diría en su cara a la reina de España, Doña Isabel de Borbón, que era coja. Imagínate que audacia... ¿Cómo decirle a la reina que es coja? ¿Qué hubieras hecho tu?... PIENSA Cuando pasaba la reina por el jardín, Don Francisco se acercó con un clavel y una rosa en la mano, se inclinó como correspondía y le dijo a su majestad: “ENTRE EL CLAVEL Y LA ROSA SU MAJESTAD ESCOJA” Ya te diste cuenta... el truco está en la palabra ”ESCOJA”, si la pronuncias despacio te darás cuenta que convierte en dos palabras: “ES COJA”, o sea que Don Francisco ganó la apuesta, porque logró decirle a la reina que era coja: “ENTRE EL CLAVEL Y LA ROSA SU MAJESTAD ES COJA” PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. El señor Pérez tendrá “a” años a partir de la fecha ¿Cuantos años tuvo hace 6 años? Rpta. 2. Jaime tendrá 8 años hace 5 años ¿Cuántos años tendrá dentro de 8 años? Rpta. 3. Hace 6 años Pepe tenía 6 años ¿Dentro de cuantos años la edad de Pepe será el triple de su edad actual? 5. Cuando Felipe tenía 8 años, Ricardo tenía 5. ¿Cuál será la edad de Ricardo cuando Felipe tenga 17 años? Rpta. 6. Cuando César tenga 19 años, Andrea tendrá 14 años. ¿Cuál será la edad de César cuando Andrea 22 años? Rpta. 7. Dentro de 7 años Jorge tendrá 27 años ¿Cuál era su edad hace 7 años? Rpta. Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 54 55 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año Rpta. 4. Dentro de 10 años la edad de Rosario será 38. ¿Hace cuantos años tenía 20? Rpta. 8. Cuando Silvia tenga 22 años, Maritza tendrá 29. ¿Cuál es la edad actual de Silvia si Maritza tiene ahora 20 años? Rpta. 9. En el momento que Felipe tenga 31 años, Andrés tendrá 22 años. ¿Cuál es la edad actual de Andrés, si Felipe hace 2 años tenía 11 años de edad? Rpta. 10. La diferencia de las edades de Carmen y Amelia es 3 años actualmente ¿Cuál será la diferencia de sus edades dentro de 17 años? Rpta. 11. Pepe es mayor que Coco por 5 años, ¿En cuantos años será menor Coco que Pepe dentro de 25 años? 13. En el problema anterior, ¿Cuál es la edad del menor dentro de 8 años? Rpta. 14. Rosario es mayor que Carolina por 4 años; si la suma de sus edades actuales es 52 años: ¿Cuál es la edad de Rosario? Rpta. 15. En el problema anterior, ¿Cuál será la suma de las edades dentro de 6 años? Rpta. Rpta. 12. La suma de las edades actuales de Esteban y Manuel es 26 años. Si la diferencia de las mismas es 2 años. ¿Cuál es la edad del mayor? Rpta. CONTRADICCIÓN ¿Por qué la palabra “SEPARADO” se escribe todo junto, y las palabras “TODO JUNTO” se escribe separado? PROBLEMAS PARA LA CASA 1. La edad de Víctor es el doble de la de Pedro y hace 15 años la edad de Víctor era el triple de la edad de Pedro. ¿Cuál es la edad actual de Pedro? A) 25 B) 40 C) 45 D) 28 E) 30 2. En el problema anterior: ¿Cuál era la suma de las edades hace 20 años? A) 70 B) 50 C) 46 4. En 1980 la edad de Jorge era 4 veces la edad de Ricardo; en 1988 la edad de Jorge fue el doble de la edad de Ricardo. ¿Cuál fue la edad de Jorge en el 2003? A) 50 B) 48 C) 28 D) 39 E) 56 5. Un auto tiene ahora la mitad de años que tenía Luis cuando el auto era nuevo. Luis tiene ahora 36 años. ¿Cuántos años tiene el auto? A) 12 B) 8 C) 16 D) E) Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 56 57 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año D) 54 E) 60 3. La edad de Gladis es 1/2 de los 2/3 de la edad de Norma. Si esta tiene 24 años ¿cuántos años tendrá Gladis dentro de 4 años? A) 8 B) 12 C) 10 D) 14 E) 6 18 14 6. Hace 6 años Gerardo era 4 veces mayor que David. Hallar la edad actual de Gerardo sabiendo que dentro de 4 años, la edad de éste sólo será 2 veces mayor que David A) 52 B) 56 C) 60 D) 40 E) 46 7. El tiene la edad que ella tenía cuando él tenía la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 18 años más de lo que él tiene: ¿Cuántos años tiene ella? A) 52 B) 36 C) 40 D) 54 E) 50 8. La edad en años de una tortuga es mayor en 20 años que el cuadrado de un número 9. Dentro de 3 años le dad de Javier será un cuadrado perfecto, pero hace tres años era la raíz de ese cuadrado ¿Qué edad tenía Javier el año antepasado? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 10. Un padre tiene “a” años y su hijo “b” años. ¿Dentro de cuántos años tendrá el padre natural “m” y menor en 5 que el cuadrado del número siguiente a “m”. ¿Cuántos años tendrá la tortuga el próximo año? A) 162 B) 160 C) 164 D) 163 E) 165 el doble de la edad de su hijo? A) a – 2b B) a + 2b C) a + b D) 2a - b E) 2a + b ¿SABÍAS ESTO? TEOREMA: Todos los números enteros son iguales. DEMOSTRACIÓN: Es suficiente demostrar que para todo A y B, A=B, es decir, que para todo N, si max(A,B) <= N, entonces A=B. Procedemos por inducción en N. Si N=1, el resultado es obviamente cierto, porque max(A,B) <= 1 implica que A=B=1. Si el teorema es cierto para N=k, para k+1 tenemos que si A y B son tales que max(A,B) <= k+1, entonces max(A-1,B-1) <= k; como el teorema es cierto para N=k, entonces A-1=B-1, y A=B, luego el teorema también es cierto para N=k+1. CLAVES 1. E 2. B 6. B 7. D Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 58 59 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año 3. B 4. C 5. A 8. E 9. C 10. A ¿SABÍAS QUÉ... RENÉ DESCARTES (1596 – 1650) Conocido también por su nombre latino, Renatius Cartesius, René Descartes fue un filósofo y matemático francés. En su búsqueda de los fundamentos del conocimiento, Descartes adoptó un punto de vista escéptico y dudó de todo. Al descubrir que no podía dudar de su propia existencia, cogito ergo sum (Pienso, luego existo), llegó a una idea de certeza. En su intento de reducir las ciencias físicas a las matemáticas, Descartes revolucionó la geometría, el álgebra y la notación matemática. Más conocida es su representación de las ecuaciones matemáticas como curvas geométricas contribuyendo así a establecer la geometría en coordenadas. El sistema de coordenadas cartesianas se llama así en su honor. TEMA: MÓVILES En este tema trataremos el movimiento rectilíneo uniforme (MRU) Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 60 61 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año . e = v . t . . t e v · . . v e t · . CASOS PARTICULARES 1. Velocidad Promedio ( ) ( ) total total t e · Caso particular: cuando nos piden la velocidad del viaje redondo, conociendo dos velocidad (v1 y v2) . 2 v . v vp 2 1 · . Si emplean tiempos iguales . 2 1 2 1 . 2 v v v v vp + · . Si recorren espacios iguales 2. Tiempo de Encuentro 2 1 v v e T E + · 3. Tiempo de alcance 2 1 v v e T A − · PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Corre un ciclista durante 4. Si una bicicleta se desplaza a una velocidad de dos horas uniendo las ciudades A y B a una velocidad de 9 km/h. ¿Cuál es la distancia entre ambas ciudades? Rpta. 2. Juan persigue a Silvana cubriendo una distancia de 20 m en 10 segundos ¿Cuál es la velocidad de Juan? Rpta. 3. Cinco horas demora un auto al viajar de Lima a Huancayo a una velocidad de 80 km/h. Si cada 10 kilómetros en la carretera que une ambas ciudades se desea colocar un banderín: ¿Cuántos banderines se requieren? Rpta. 36 km/h: ¿Cuántos metros recorre en un segundo? Rpta. 5. Un auto viaja a una velocidad de 72 km/h. ¿Cuántos metros recorrerá en 2 segundos? Rpta. 6. Un ciclista se desplaza por una ciclovía a razón de 5 metros por segundo. ¿En cuantas horas irá de una ciudad a otra que distan entre sí 36 kilómetros.? Rpta. 7. Una motocicleta emplea un minuto en el recorrido de 200 metros ¿Cuál es su velocidad en km/h? Rpta. 8. Una dama maneja un automóvil recorriendo 400 metros por cada minuto que 12. Dos autos van por una misma autopista en sentidos contrarios uno al encuentro del otro con Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 62 63 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año transcurre ¿Cuántos kilómetros recorre en tres horas de viaje? Rpta. 9. ¿En cuántas horas cubre un recorrido de 6 km un ciclista que en un minuto cubre una distancia de 200 metros? Rpta. 10. una persona suele caminar con una velocidad de 7,2 km/h ¿Cuántos metros recorre por cada segundo que transcurre? Rpta. 11. En el problema anterior ¿Cuánto tiempo demorará la citada persona en recorrer 78 metros? Rpta. velocidades de 80 y 70 km/h. Si inicialmente estaban separados 300 k y parten al mismo tiempo: ¿Al cabo de cuántas horas se encuentran? Rpta. 13. A las 8 de la mañana parten dos autos al encuentro de dos ciudades distantes 1000 km entre sí. Dar la hora del encuentro sabiendo que la velocidad del más rápido es 20 m/s y la del más lento es 28 km/h Rpta. 14. Dos autos parten al mismo tiempo y en la misma dirección desde dos puntos distantes 80 km entre sí. El auto que va delante viaja a 70 km/h y el que va detrás viaja a 60 km/h. Si ambos autos parten a las 7 am: ¿A que hora alcanzará uno al otro? Rpta. 15. En el problema anterior. Si intercambiamos las velocidades de ambos móviles, ¿a qué hora alcanzará el más veloz al más lento? Rpta. REPASO Y EVALUACIÓN • El olvido de un proceso de deterioro o pérdida de los conocimientos almacenados, para evitarlo es precio que realizamos repasos con cierta periodicidad. • Para poder contrarrestar el olvido es necesario afianzar el aprendizaje repitiendo o recitando lo aprendido cierto número de veces. Es aconsejable revisar el material dentro de los primeros veinticuatro horas siguientes al primer aprendizaje y espaciar convenientemente las distintas sesiones de estudio. • Se deben repasar los contenidos básicos de cada tema y repetirlos, recitarlos en las primeras de estudio y cuanto más próximos nos encontremos de la primera sesión de estudio. Se ha demostrado que se aprende mejor en pequeños intervalos de tiempo, que dependerán de la dificultad que entrañe la materia para cada estudiante. • La evaluación continua constituye un método más objetivo y fiable que la realización de un único examen, ya que valora los esfuerzo del alumno día a día, proporciona mayor seguridad al mismo, lo estimula a estudiar diariamente, y permite al profesor descubrir aptitudes, intereses y dificultades en cada alumno. • El estudiante debe realizar una autoevaluación en la que pueda apreciar su aprovechamiento en el estudio. Debe evaluar su atención en clase, si pregunta al profesor lo que no entiende, si ha salido voluntario a dar la lección y se realiza las tareas en casa o el trabajo personal. Las fallas detectadas deben indicarnos que acciones concretas debemos cambiar para convertirnos en un estudiante responsable y eficaz. PROBLEMAS PARA LA CASA Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 64 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año 1. Dos ciclistas viajan en sentido contrario uno a 90 km/h y el otro a 60 km/h. En pleno recorrido un pájaro se traslada de una bicicleta a otra sin detenerse a medida que éstas se van acercando. Si el pájaro se mueve a razón de 30 km por cada hora que transcurre. ¿Cuántos kilómetros recorre el pájaro hasta que los dos ciclistas se encuentran? Dato: Cuando se inició el vaivén del pájaro la distancia entre los ciclistas era de 300 km. A) 50 km B) 60 km C) 70 km D) 80 km E) 90 km 2. Liz y Victoria caminan desde dos puntos distintos en sentidos contrarios encontrándose al cabo de 12 minutos. Liz es más veloz que Victoria por 5 m/min. Si al momento de encontrarse Victoria efectuó un recorrido de 120m: ¿Cuál es la distancia que separaba inicialmente a ambas personas? A) 250 m B) 280 m C) 320 m D) 300 m E) 350 m 3. Dos autos que viajan en sentidos contarios se encuentran al cabo de 8 horas. Si uno de ellos es más veloz que el otro por 10 km por hora de viaje: ¿Cuál es la distancia inicial que separa a los autos al partir, si se sabe que el más lentos recorrió 320 km hasta el momento del encuentro? A) 700km B) 720km C) 680km D) 650km E) 600km 4. Luis sale en su auto de un punto A de la ciudad a una velocidad de 60 km/h y 2 horas más tarde sale Arturo del mismo punto a una velocidad de 80 km/h en un auto nuevo. Si Arturo parte a las 10 am: ¿A que hora alcanza a Luis? A) 5pm B) 8pm C) 7pm D) 4pm E) 6pm 5. Una motocicleta pasa por un punto A de una carretera a las 7 am a una velocidad de 30 km/h. Cuatro horas más tarde pasa por el mismo punto un auto a 70 km/h. ¿A que hora estarán separados uno de otro móvil por una distancia de 40 km después de que el auto alcanzó a la motocicleta? A) 2pm B) 4pm C) 5pm D) 3pm E) 7pm 6. Carolina pasa por un poste a las 3h40min de una soleada tarde caminando a razón de 10 metros por cada minuto. Media hora después pasa Carlos por el mismo poste tratando de alcanzarla; para conseguirlo camina a razón de 14 metros por cada minuto ¿A qué hora ocurre el alcance? 7. En el problema anterior ¿A que hora están separados 100 m otra vez luego del alcance si ambos continúan en el mismo sentido? A) 5 h 40 min B) 5 h 45 min C) 5 h 50 min D) 5 h 30 min E) 5 h 55 min 8. ¿A que hora alcanzará un auto que sale de Lima a las 11 am a 50 km/h hacia Arequipa a otro auto que va en la misma dirección y sentido y que pasa por Lima a las 5 am a 30 km/h? A) 8pm B) 7pm C) 9pm D) 10pm E) 6pm 9. Un hombre sale de su casa en automóvil a 20 km/h; luego de Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 65 66 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año A) 5 h 25 min B) 4 h 15 min C) 4 h 55 min D) 4 h 50 min E) 5 h 30 min cierto tiempo de recorrido regresa a pie a su casa a 5 km/h, llegando a ella después de 5 horas ¿Cuántos km recorrió a pie? A) 18km B) 15km C) 25km D) 10km E) 20km 10. Lima y Callao distan “K” kms, B parte del callao a una velocidad de “b” km/h; A parte de Lima a una velocidad de “a” km/h ¿En cuanto tiempo se encontrarán y a que distancia de Lima? A) h b a a t + · y a b a ak − kms de Lima. B) h b a k t + · y a b a ak + kms de Lima. C) h b a k t − · y a b a bk − kms de Lima. D) h b a b t − · y a b a bk − kms de Lima. E) h b a ab t + · y a b a abk + kms de Lima. PON A PRUEBA TU INGENIO Mover dos palitos de fósforo, de tal manera que el recogedor quede de la misma forma pero el papel fuera de él CLAVES 1. B 2. D 3. B 4. D 6. A 7. C 8. A 9. E Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 67 68 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año 5. D 10. B PROFUNDIZA TUS CONOCIMIENTOS 1. Dos personas “A” y “B” separadas entre si 70 km parten en el mismo instante y van uno hacia el otro, “A” va a 9 km/h y “B” a 5 Km/h. ¿Qué distancia ha caminado cada uno hasta encontrarse? A) 5 0 y 20 km B) 6 0 y 10 km C) 4 0 y 30km D) 4 5 y 25 km E) N 3. Dos automóviles paren del mismo lugar al mismo tiempo, pero en direcciones opuestas. El primero va a 80 km/h y el segundo a 70 km/h. ¿Cuántas horas tardarán para estar apartados por 600 km? A) 3 horas B) 4 horas C) 5 horas D) 6 horas E) .A. 2. Dos móviles “A” y “B” están separados inicialmente por 1000 metros y avanzan en sentidos contrarios rectilíneamente con velocidades constantes de 20 m/s y 30 m/s ¿En qué instante estarán separados por 4000 metros? A) 1 min B) 2 min C) 2 1/2 min D) 3 min E) 6 min 8 horas 4. Manuel y su familia se fueron en su automóvil a la playa a 60 km/h luego de permanecer 2 horas en la playa y retorna a casa 90 km/h, si todo el viaje fue de 7 horas ¿Qué tan lejos está la playa? A) 120 km B) 140 km C) 160 km D) 180 km E) 150 km LOS NIÑOS SON COMO EL CEMENTO FRESCO. TODO LO QUE LES CAE LES DEJA UNA IMPRESIÓN INDELEBLE W. STEKEL 5. Un ciclista que va a 12 km/h recorre una distancia igual diariamente, pero si cierto día triplica su velocidad demoraría 1 hora menos. ¿Cuál es la distancia que recorre diariamente? 7. Si un auto viaja a 30 km/h, llega a su destino a las 9 a.m. pero si viaja a 20 km/h, llega a las 11 a.m. ¿A qué velocidad debe viajar para llegar a las 10 a.m.? A) B) Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 69 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año A) 12 km B) 18 km C) 24 km D) 36 km E) 48 km 6. Un hombre debe realizar parte deun viaje a 820 km en un avión a 20 km/h, y el resto en coche a 55 km/h. Hallar la distancia recorrida en coche A) 360 km B) 220 km C) 600 km D) 420 km E) 320 km 30 km/h 25 km/h C) 24 km/h D) 22,5 km/h E) 27,5 1 km/h 8. Una persona hace un viaje en automóvil a una velocidad constante de 60 km/h desde Lima hasta Huacho regresa a una velocidad constante de 40 km/h. Hallar la velocidad promedio en el viaje de ida y vuelta A) 45 km/h B) 48 km/h C) 50 km/h D) 52 km/h E) N.A. EL HOMBRE ES UNA MIRADA; EL RESTO ES SÓLO CARNE. PERO AL VERDADERA MIRADA ES LA QUE VE AL AMIGO. FUNDE TU CUERPO ENTERO EN TU MIRADA, VETE HACIA LA VISIÓN, VETE HACIA LA VISIÓN.... DYALAY–AL–DIN–RUMI 9. ¿Cuántas horas emplea un 10. Un tren para atravesar un tren para recorrer 240 km viajando a una velocidad promedio de 60 km/h, si durante el recorrido realiza 4 paradas de 30 minutos cada uno? A) 4h B) 5h C) 6h D) 8h E) 9h túnel de 600 m. de longitud tarda 80 s y en pasar delante de un observador tarda 30 s. ¿Cuál es la longitud del tren? A) 240 m B) 630 m C) 306 m D) 360 m E) 420 m CLAVES 1. D 2. A 3. B 4. D 5. B 6. B 7. C 8. B 9. C 10. D Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 70 71 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año TEMA: MEZCLAS (FRACCIONES) En estos problemas generalmente se considera que parte (fracción) representa lo que se saca de una mezcla, ya que de esta manera se determinará que cantidad sale o queda de cada una de las componentes de la respectiva mezcla. Por ejemplo: A) Si tenemos una mezcla de 50 litros de agua con 30 litros de vino, y se extrae los 10 3 de dicha mezcla. Luego tenemos: . Agua que (sale) . . Agua que (queda) . 10 3 (50) = 15 10 7 (50) = 35 . Vino que (sale) . . Vino que (queda) . 10 3 (50) = 9 10 7 (50) = 21 B) Si tenemos una mezcla de 180 litros, donde 80 litros son de ácido y el resto de agua, si se saca 81 litros de dicha mezcla ¿Cuánto sale de dicha sustancia? Resolución: Primero: Nos preguntamos ¿Qué fracción de los 180 litros son los 81 litros que sacamos? ⇒ Tendremos: 20 9 180 81 · (Es la fracción que saldrá de cada sustancia) Ácido que (sale) : 20 9 (80) = 36 litros        sale) Agua que ( 100 80 180 · − : 20 9 (100) = 45 litros . 3 1000 1 cm litro > < : que Recuerda . PROBLEMA RECREATIVO Las cifras del 1 al 9 hay que distribuirlas, en la rueda de la figura, una cifra debe ocupar el centro del círculo y las demás, los extremos de cada diámetro, de manera que las tres cifras de cada fila suman siempre 15. ¿Qué cifra debe ir en el círculo central? Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 72 73 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. En un depósito se colocan 4 litros de lejía y 6 litros de agua. Se consume 1/4 de la mezcla y se reemplaza con agua ¿Cuántos litros de agua hay en la mezcla final? Rpta. 2. En una casa trabajan 3 mayordomos: Yuri, Jaime y Angelo. El patrón sale de viaje por 3 días. La primera noche Yuri tomó 5 1 del vino de una botella y completó con agua. La segunda noche Angelo tomó ¼ del contenido y completó con agua. El tercer día Jaime tomó 1/3 del contenido y completó con agua. Si la botella tenía 960 mililitros de vino. ¿Cuántos mililitros de vino queda en la botella? 3. De un depósito de 64 litros de vino y 16 litros de agua se extraen 20 litros de la mezcla y se reemplaza con agua y nuevamente se sacan 20 litros de la mezcla y se reemplaza con agua y nuevamente se sacan 20 litros de la nueva mezcla y son reemplazados por agua. ¿Cuántos litros quedan de vino y de agua en dicha mezcla? Rpta. 4. Un depósito contiene 75 litros de leche pura, luego se extrae 1/3 del contenido y se reemplaza por agua, enseguida se extrae 1/5 de la mezcla y también se reemplaza por agua y por último se extrae 1/4 de la nueva mezcla y también se reemplaza por agua ¿Qué relación de leche pura y agua quedan en el depósito? Rpta. Rpta. 5. Un depósito está lleno de agua, se saca la mitad y se llena de vino. La operación se realiza dos veces más. Hallar la relación del agua y vino final Rpta. 6. Dos clases de vinos están mezclados en tres recipientes. En el primero en la razón de 1:1, en el segundo en la razón 1:2, en el tercero en la razón 1:3; si se saca el mismo volumen de todos los recipientes para formar 39 lts. de la primera calidad. ¿Cuántos litros se extrae? Rpta. 7. Dos clases de vino se han mezclado en los depósito A y B. en el depósito A la mezcla será en la proporción de 2 a 3 respectivamente en el depósito B la proporción de la mezcla es de 1 a 5. ¿Qué cantidad de vino debe extraerse de cada depósito para formar otra mezcla que contenga 7 litros de la primera clase y 21 litros de la otra clase? 8. En tonel se mezclan ”m” litros de agua “2m” litros de alcohol y “m 2 + 2” litros de vino. Si se extrae “m + 1” litros de esta mezcla ¿qué cantidad de alcohol se extrajo? Rpta. 9. Se tiene dos recipientes llenos que contienen agua y vino. En el primero la relación es de 3 a 2 y en el segundo de 2 a 3 respectivamente. Se intercambian 5 L y en el primero la relación cambia de 4 a 3. Si la suma de las capacidades de ambos recipientes es de 90 L, calcular la nueva relación en el segundo recipiente. Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 74 75 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año Rpta. Rpta. 10. Luis tiene 2 recipientes con 12 y 16 L de mezcla de vino y H2O. Si el primero contiene 9 L, de vino puro y el segundo 8 L de vino puro ¿Cuántos litros de mezcla se deben intercambiar para que ambas mezclas resultantes tengan la misma cantidad de agua? Rpta. 11. De un tonel que contiene 80 litros de vino, se sacan 20 litros, que se reemplazan por agua. Se hace lo mismo con la mezcla 2ª y 3ª vez. ¿Qué cantidad de vino queda en el tonel después de la tercera operación? Rpta. 12. Un tonel tiene 100 litros de vino. Se saca 1/4 y se reemplaza por agua; luego se saca 1/4 de la mezcla y se reemplaza por agua, y eso por tres veces. ¿Qué cantidad de vino hay en el tonel después de 13. Un tonel contiene 120 litros de vino, se extraen sucesivamente 20 litros, 30 litros y 40 litros, reemplazando sucesivamente con agua (en cada caso) ¿Qué volumen de vino y agua queda al final de la última operación? Rpta. 14. Un envase cilíndrico de 0,2 metros de radio 1,5 metros de altura está lleno de vino. Se sacan sucesivamente 100 litros, 60 litros, y 10 litros, reemplazando sucesivamente con agua (en cada caso). ¿Qué cantidad de vino y agua en el tonel después de la tercera operación? Rpta. 15. De un depósito que contiene aceite, se sacan las 2/3 partes e su contenido menos 40 litros, en una segunda operación se sacan los 2/5 del resto y por último se sacan los 84 litros la 3 ra operación? Rpta. restantes. Determinar la capacidad del depósito Rpta. 16. Si de un depósito que está lleno 1/2 de lo que no está lleno, se vacía una cantidad igual a 1/3 de lo que no se vacía ¿Qué parte del volumen del depósito quedará con líquido? Rpta. 17. De un tonel que contiene 100 litros de vino se sacan 40 litros que se reemplazan por agua. Se hace lo mismo con la mezcla 2 da , 3 ra y 4 ta vez. ¿Qué cantidad de vino queda en el tonel después de la cuarta operación? Rpta. 18. Un tonel tiene 90 litros de vino. Se saca 1/3 y se reemplaza por agua, luego se saca 1/3 de la mezcla y se reemplaza por agua, y eso por tres veces más ¿Qué cantidad de vino hay en el tonel después de la 3 ra operación? Rpta. 19. Un tonel contiene 80 litros de vino, se extraen sucesivamente 5 litros; 10 litros; 15 litros y 20 litros; reemplazando sucesivamente con agua (en cada caso). ¿Qué volumen de vino y agua queda al final de la última operación? Rpta. PUEDES RESOLVERLO Hay cinco copas de vino sobre la mesa, ordenadas en fila e intercaladas entre una vacía y otra llena. ¿Cuántas copas son suficiente mover para alterar el orden, de tal Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 76 77 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año manera que queden, tres vacías a un lado y dos llenas del otro? PROBLEMAS PARA LA CASA 11. De un depósito lleno de agua se extrae la sexta parte. ¿Qué fracción del resto se debe volver a sacar para que quede sólo los 3/5 de su capacidad inicial? a) 3/25 b) 7/25 c) 9/25 d) 5/25 e) 11/25 12. De un total de 1400 l de vino, se extraen 1/4 de lo que no se extrae, luego 1/4 de lo que ya se había extraído. ¿Cuánto se extrae en total? A) 100l B) 350l C) 400l D) 500l E) 750l 13. Se retira de un tanque 2/3 de su contenido menos 40 l, en una segunda operación se saca los 2/5 del resto y por último los 14. Un depósito tiene 30 litros de vino. Se extrae 1/5 de su contenido y se reemplaza con agua. Luego se extrae 1/4 de la mezcla y se reemplaza con agua.- en seguida se extrae 1/3 de la nueva mezcla y se reemplaza con agua. ¿Cuántos litros de vino quedaron? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 15. Se mezclan 48 litros de vino con 12 litros de agua. En 20 litros de mezcla. ¿cuántos litros de vino se tienen? A) 15 B) 16 C) 18 D) 4 E) 5 84 l restantes. Hallar el contenido total A) 100 l B) 200 l C) 300 l D) 400 l E) 500 l 16. Al mezclarse 2 cucharadas de pisco con 8 de miel. ¿qué parte de la mezcla es pisco? A) 1/5 B) 11/9 C) 8/3 D) 4/9 E) 9/11 17. Un depósito contiene 60 litros de vino y 20 litros de agua. Sacamos 20 litros de esta mezcla y se reemplaza por agua. Luego se saca 32 litros de mezcla y se reemplaza por agua. ¿Cuántos litros de vino queda en el depósito? A) 27 B) 25 C) 24 D) 31 E) 26 18. Se mezclan 36 litros de agua con 12 litros de pisco, si se extraen 8 litros de mezcla ¿cuántos litros de pisco hay en 19. Un depósito tiene 90 litros de vino, se extrae 1/5 de su contenido y se reemplaza con agua, luego se extrae 1/4 de la mezcla y se reemplaza con agua, luego se extrae 1/3 de la nueva mezcla y se reemplaza con agua ¿cuántos litros de vino quedaron? A) 12 B) 24 C) 36 D) 37 E) 38 20. Un depósito tiene 40 litros de leche mezclados con Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 78 79 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año ella? A) 3 B) 2 C) 8 D) 4 E) 1 10 litros de agua, ¿Cuántos litros son de leche? A) 6 B) 8 C) 5 D) 10 E) 9 PON A PRUEBA TU INGENIO ¿Cuántas monedas como mínimo se deben mover para que la figura “A” se transforme en la figura “B”? Rpta. 5 AVERIGUA COMO CLAVES 1. B 2. B 3. C 6. A 7. A 8. B 4. C 5. B 9. C 10. B ÍNDICE PÁG. PLANTEO DE ECUACIONES........................................................................................... 7 CUATRO OPERACIONES................................................................................................ 24 Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático I.E 3720 “NSTRA SEÑORA DE LA MISERICORDIA” 80 SEGUNDO Año Prof. Roxana Espinoza Diaz SEGUNDO Año EDADES.......................................................................................................................... 49 MÓVILES........................................................................................................................ 60 MEZCLAS (FRACCIONES).............................................................................................. 71 Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático