Plans D_expériences - Méthode de Taguchi

Plans d’expériencesMéthode de Taguchi par Rachid SABRE Laboratoire MAIS Établissement national d’enseignement supérieur agronomique de Dijon (ENESAD) 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 Tables orthogonales par rapport à un modèle ............................... Qu’est-ce qu’un modèle ? ........................................................................... Table ou matrice d’expériences ................................................................. Notations...................................................................................................... Propriétés et définitions .............................................................................. 2. 2.1 2.2 2.3 Méthode de Taguchi ................................................................................ Présentation de la table de Taguchi ........................................................... Comment choisir une table de Taguchi ?................................................... Comment affecter les facteurs aux colonnes de la table de Taguchi choisie ?........................................................................................................ — — — 4 4 4 — 5 3. 3.1 Calcul des effets ...................................................................................... Modélisation ................................................................................................ 3.1.1 Modèle sans interactions ................................................................... 3.1.2 Modèle avec interactions ................................................................... — — — — 6 6 6 7 4. 4.1 Plan « produit »........................................................................................ Produit de deux tables orthogonales......................................................... — — 8 8 Références bibliographiques ......................................................................... — 10 Pour en savoir plus .......................................................................................... F 1 006 – 2 — 2 — 2 — 2 — 3 Doc. F 1 006 a méthode de Taguchi vient pour enrichir les méthodes de plans d’expériences en apportant une amélioration considérable aux plans factoriels complets et fractionnaires détaillés dans le dossier [F 1 005]. Elle a pour but de simplifier le protocole expérimental afin de mettre en évidence les effets de facteurs sur la réponse, qui peut être une variable dans un procédé agroalimentaire ou même la mesure de la qualité d’un produit. La méthode de Taguchi se distingue par une réduction importante du nombre d’essais, tout en gardant une bonne précision. Elle place le modèle comme un élément clef de la stratégie du plan d’expériences. L’expérimentateur choisit librement les facteurs et les interactions à étudier selon le modèle qu’il propose, en étroite adéquation avec ses objectifs. La place de chaque facteur dans le plan de Taguchi a son importance ; elle est choisie selon la difficulté de réalisation du facteur dans l’expérience. Cette place dans le plan permettra au facteur le plus difficile à réaliser d’effectuer le moins de changements de niveaux possibles. On peut ainsi regrouper les facteurs par degrés de difficulté de réalisation. La méthode de Taguchi a connu, dans un premier temps, un succès dans les secteurs industriels et, en particulier, dans le domaine agroalimentaire, puis elle a suscité l’intérêt de la communauté de statisticiens pour un développement et une étude assez larges. Dans ce dossier, nous commençons par définir les tables orthogonales par rapport à un modèle. Nous donnons également quelques propriétés concernant ces tables que nous utiliserons par la suite pour choisir la table de Taguchi qui L Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. – © Editions T.I. F 1 006 − 1 une expression linéaire de la variable réponse en fonction des facteurs et des interactions que l’on suppose avoir un effet sur la réponse. 25 % et 30 % . — dij le degré de liberté de l’interaction FiFj . nous avons. 1. F 1 006 − 2 — di le degré de liberté du facteur Fi . pour Ni. égal à ni – 1 . le facteur 2 est au niveau 2 (F2 est à 25 %) et le facteur 3 est au niveau 1 (F3 est à 2 %).I. Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. F4. Quelques tables de Taguchi sont données pour exemple en [Doc. Le terme constant du modèle linéaire est symbolisé par ᐉ. – © Editions T. nous écrivons le modèle d’une manière symbolique en vue de préciser les facteurs et les interactions pris en compte. Nous avons dans l’exemple précédent : n1 = 3. égal à la somme des degrés de liberté des éléments constituant le modèle . . nous donnons ici la définition d’un modèle et d’une matrice d’expériences. F2. (0) Tableau 1 – Table des expériences de l’exemple 1 No d’essai Facteur F1 Facteur F2 Facteur F3 Réponse 1 1 1 1 y1 2 2 1 2 y2 3 3 2 1 y3 4 3 2 2 y4 5 2 1 1 y5 Après avoir choisi les facteurs que l’on considère comme ayant une influence sur la réponse de l’expérience. F1F3 et F2F4 sont les éléments du modèle (M). nous étudions la méthode de Taguchi en montrant comment choisir la table orthogonale appropriée parmi les tables déjà existantes et comment effectuer le calcul des coefficients du modèle permettant de mettre en évidence les effets des facteurs étudiés. le modèle est noté (M) : Y = ᐉ + F1 + F2 + F3 + F4 + F1 F3 + F2 F4 Si l’on considère la troisième ligne. l’expérimentateur propose un modèle correspondant à l’hypothèse qui lui semble la plus probable. 1. les valeurs rassemblées dans le tableau 2. le nombre de niveaux du facteur Fi. j (a.3 Notations Notons par : — T le nombre total d’essais correspondant au nombre de lignes dans la table d’expériences.1 Qu’est-ce qu’un modèle ? Il a établi la table d’expériences présentée tableau 1. — dM le degré de liberté du modèle. F 1 006]. — Ni. F2. Exemple : F1. (M) Cette écriture traduit la mise en évidence des effets des facteurs propres F1. Exemple 1 : dans le but de fabriquer un produit répondant à certains critères. Le cas où les facteurs forment 2 groupes de natures différentes (facteurs intérieurs et facteurs extérieurs) est abordé en étudiant le plan produit croisant deux plans d’expériences et en calculant les coefficients du modèle produit.b). 1. c’està-dire i = 1 et j = 2. 9 3 1 1 y9 Dans l’exemple suivant. Dans l’exemple précédent. Les coefficients du modèle ne peuvent être calculés qu’après avoir réalisé les expériences. F3. en général. Considérons les facteurs F1 et F2 dans l’exemple précédent.2 Table ou matrice d’expériences Une table (ou matrice) d’expériences est un tableau dans lequel chaque ligne correspond à un essai expérimental indiquant les niveaux que doivent prendre les facteurs étudiés. F3 et F4. y3 est la valeur de la réponse mesurée lors de cet essai. ainsi que les interactions F1F3 et F2F4. Puis. — le facteur F3 prend deux niveaux : 2 % et 5 %. 6 1 1 2 y6 7 2 2 1 y7 8 1 2 2 y8 Le modèle est. Nous désignons par éléments du modèle les facteurs et les interactions figurant dans l’expression du modèle. 1. elle correspond à l’essai dans lequel le facteur 1 est au niveau 3 (F1 est à 30 %).b) se répète dans la table d’expériences où a désigne un niveau du facteur Fi et b désigne un niveau du facteur Fj. n2 = 2 et n3 = 2 .b) le nombre de fois que le couple (a. Les autres interactions sont supposées négligeables.PLANS D’EXPÉRIENCES _________________________________________________________________________________________________________________ convient le mieux au problème étudié. l’expérimentateur a choisi de faire varier 3 constituants (trois facteurs) : — le facteur F1 prend trois niveaux : 20 %. — ni . En l’absence de ces coefficients. j (a. Tables orthogonales par rapport à un modèle Comme dans le cas des plans factoriels complets et fractionnaires [4] [5] [6] [10]. nous avons : T=9. — le facteur F2 prend deux niveaux : 15 % et 25 % . égal au produit (ni – 1)(nj – 1) . 4 Propriétés et définitions N1. D’autre part.j (a. alors le nombre d’essais T (nombre de lignes de la table) vérifie l’égalité suivante : Σ(a. En effet : 1.1) 1 (3. On note cette constante par Ci. ■ Définition On dit que deux facteurs sont orthogonaux dans une table d’expériences. F 1 006 − 3 . Propriété 3 Le nombre d’essais dans une table orthogonale par rapport à un modèle vérifie : T = k PPCM(ni nj /i ≠ j ) où k est un entier positif et PPCM désigne le plus petit commun multiple. nombre de niveaux du facteur Fi . deux facteurs Fi et Fj sont orthogonaux dans une table d’expériences si Ni.2) 2 (2. le nombre d’essais T doit être supérieur au degré de liberté du modèle d M.b) Couple (a.2(1.b) Ni.3 (a.j et on l’appelle la constante d’orthogonalité des facteurs Fi .1).b) N2.2 (1._________________________________________________________________________________________________________________ PLANS D’EXPÉRIENCES (0) Tableau 2 – Table de comptage de niveaux de l’exemple 1 (0) Tableau 4 – Table de comptage de niveaux de l’exemple 2 Couple de niveau (a.b). les facteurs F2 et F3 sont orthogonaux. (0) Tableau 3 – Table d’expériences de l’exemple 2 No d’essai Facteur F1 Facteur F2 Facteur F3 Réponse 1 1 1 1 y1 2 2 1 2 y2 3 3 2 1 y3 4 3 2 2 y4 5 2 1 1 y5 6 1 1 2 y6 7 2 2 1 y7 8 1 2 2 y8 ⋅ ⋅ T = C 1. avec Ci.2(a. – © Editions T. Autrement dit.2 (1.2) 2 N2.j ni nj deux facteurs quelconques.j ni nj constante d’orthogonalité des facteurs Fi et Fj .2 (1. Par contre.b) = T4 avec Fi et Fj T = Ci. Ainsi. les facteurs F1 et F2 ne sont pas orthogonaux. c’est-à-dire : Si Fi et Fj sont orthogonaux dans une table d’expérience.2 (a. Fj. nombre de niveaux du facteur Fj .2) 1 (2.3 n i n j ⋅ ⋅ ⋅ Ainsi.b) N1. Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.3 (a.1) 2 (1. b) est égale à T = 9.b) est égal à 2 pour tout couple (a.b) (1. Pour cela.1) 2 (2.2) 1 (1. Propriété 2 Propriété 1 La somme de la colonne N1.1) = 2 et N1.2 n 1 n 2 T = C 1. comptons le nombre de fois où chaque couple de niveaux des deux facteurs est présent dans la table d’expériences (tableau 4).2) = 1 et N1. si tous les couples de niveaux de ces facteurs existent et sont en nombre identique. on peut déduire la propriété suivante que nous utilisons par la suite pour déterminer la table de Taguchi à choisir.b) est égal à une constante non nulle quel que soit le couple (a. Comme tous les facteurs sont orthogonaux deux à deux dans une table orthogonale par rapport à un modèle.I.1) 2 (2.b) où a est un niveau de F2 et b un niveau de F3. Cette propriété est vraie quels que soient les facteurs Fi et Fj . ■ Définition On dit qu’une table d’expériences est orthogonale par rapport à un modèle si tous les éléments de ce modèle sont orthogonaux dans cette table d’expériences.2) ≠ N1.3 n 1 n 3 ⋅ Exemple 2 : considérons la table d’expériences du tableau 3 et vérifions si les facteurs F2 et F3 sont orthogonaux.j (a.1) 2 (1.2) 2 (3. nous avons donc : T = C 1. c’est-à-dire le nombre d’essais à réaliser T correspondant au nombre de lignes.1 Présentation de la table de Taguchi Nous distinguons deux cas. noté C. l’effet des édulcorants ainsi que l’effet de deux méthodes de fabrication. Nous en donnons quelquesunes en Doc. — facteur 2 : aspartame (3 dosages) . dM = 2 + 2 + 2 + 2 + (2 × 2) = 12 (0) Le tableau 5 présente la table de calcul de PPCM. F 1 006 − 4 ■ Tout d’abord l’expérimentateur doit repérer les facteurs et les interactions qu’il soupçonne influer sur le résultat des essais. [F 1 006] . F2. — facteur 8 : additif aromatique (3 doses). 2. F3 et F4 possèdent tous 3 niveaux. Dans ce cas. (0) Tableau 5 – Table du calcul de PPCM de l’exemple 3 L9(34) Facteur 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 5 2 2 3 1 6 2 3 1 2 Couple d’éléments du modèle Produit de niveaux 7 3 1 3 2 F1F2 3×3=9 8 3 2 1 3 F1F3 3×3=9 9 3 3 2 1 F1F4 3×3=9 F2F3 3×3=9 F2F4 3×3=9 F1(F2F4) 3 × (3 × 3) = 18 F3(F2F4) 3 × (3 × 3) = 18 PPCM 18 2. La seule difficulté réside dans le choix de la table orthogonale appropriée à la construction du plan. Le degré de liberté du modèle est donc égal à : n nombre de niveaux des facteurs. correspond au nombre d’éléments composant le modèle. il faut d’abord déterminer ses dimensions. — facteur 6 : pectine (3 doses) .3… Tableau 6 – Table de Taguchi No essai T ⭓ 12 Nous verrons dans le paragraphe suivant que ces deux dernières conditions jouent un rôle déterminant dans le choix de la table de Taguchi appropriée. Nous donnons dans ce paragraphe les étapes que doit accomplir l’expérimentateur pour choisir la table appropriée. la table de Taguchi L18(21 37) à utiliser est celle du tableau 7. 2. – © Editions T. dans ce cas la table de Taguchi sera notée LT (nC mR). . Toute table orthogonale par rapport à notre modèle doit avoir un nombre de lignes vérifiant les deux conditions suivantes : T = k × 18 avec k = 1. La table de Taguchi L9(34) est représentée tableau 6. Méthode de Taguchi La méthode de Taguchi a été étudiée et développée dans plusieurs travaux. Pour choisir cette table. — facteur 7 : caroube (3 doses) . d’autres sont proposées dans [10] s[14]. Les facteurs étudiés sont : — facteur 1 : méthode de fabrication (6 méthodes = 6 niveaux) . La variable mesurée est la viscosité (réponse).2. C nombre de colonnes. — facteur 4 : guar (3 doses) . — facteur 3 : fructose (3 doses) . Le résultat d’un essai est en général la mesure d’une variable qu’on appelle réponse. en particulier le secteur agroalimentaire [2] [7]. ■ Deux groupes de facteurs ont un nombre de niveaux différent Si nous avons un groupe formé de C facteurs ayant n niveaux et un autre groupe de R facteurs ayant m niveaux.PLANS D’EXPÉRIENCES _________________________________________________________________________________________________________________ Ainsi le nombre d’essais T dans une table orthogonale par rapport à un modèle doit vérifier les deux conditions suivantes ■ Tous les facteurs ont le même nombre de niveaux Une table de Taguchi est notée dans ce cas : T = kPPCM ( n i n j /i ≠ j ). — facteur 5 : amidon (3 doses) . Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. entre autres [5] [6] [10] [12] [13] [14]. Elle consiste à utiliser des tables orthogonales par rapport au modèle choisi par l’expérimentateur. Ces tables ont déjà été établies par Taguchi et sont prêtes à l’utilisation. Exemple 4 : il s’agit d’étudier l’effet de certains facteurs responsables de la texture du yaourt. k entier ⭓ 1 LT (nC ) T ⭓ dM avec Exemple 3 : soit le modèle suivant : Y = ᐉ+ F1 + F2 + F3 + F4 + F2F4 où les facteurs F1. Il est évident que le choix de la table est très dépendant du modèle proposé. T nombre de lignes. Le nombre de colonnes.I.2 Comment choisir une table de Taguchi ? Le secteur industriel a été le premier à exploiter la méthode de Taguchi. — facteur sucre ajouté (3 doses). Ainsi. [F 1 006]). ■ L’expérimentateur doit écrire le modèle qu’il pense le plus vraisemblable . tableau A de la Doc. Le degré du modèle de l’exemple précédent est : dM = (n1 – 1) + (n2 – 1) + (n3 – 1) + (n1 – 1)(n2 – 1) Enfin. — facteur liquide aromatisé qu’on ajoute au mélange (3 façons de le fabriquer) . le nombre C de colonnes de la table à choisir est égal au nombre d’éléments du modèle. nous affectons les éléments les plus difficiles aux colonnes dont le nombre de changements de niveau est le plus petit possible. À ce groupe. L’expérimentateur doit mettre le facteur F1 dans la colonne où le nombre de changements de niveaux est le plus faible possible. un mélange a été réalisé. dM = (3 – 1) + (3 – 1) + (3 – 1) + (3 – 1)(3 – 1) = 10 Pour déterminer les dimensions de la table à choisir.2. (0) Tableau 8 – Table de calcul de PPCM Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. on affecte les facteurs ayant des niveaux les plus difficiles à changer. on affecte les facteurs ayant des niveaux assez faciles à changer. nous commençons par classer ces éléments par ordre de difficulté à changer leurs niveaux. doit vérifier : T = 27 k avec k = 1. y = ᐉ + F1 + F2 + F3 + F1F2 Le groupe 2 est construit de la même manière sur le reste des colonnes auquel on affecte les facteurs ayant des niveaux moins difficiles à changer. C = 4. En pratique. ce facteur est noté F3 ._________________________________________________________________________________________________________________ PLANS D’EXPÉRIENCES (0) Tableau 7 – Table de Taguchi L18(21 37) de l’exemple 4 Ainsi. le nombre de lignes de la table de Taguchi à choisir. l’expérimentateur utilise la propriété 3 du paragraphe 1. interaction entre les facteurs F1 et F2. on construit des groupes de colonnes de la table de Taguchi selon leur nombre de changements de niveaux.…9 et Facteur No d’essai 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 1 1 3 3 3 3 3 3 4 1 2 1 2 2 2 3 3 5 1 2 2 3 3 3 1 1 6 1 2 3 1 1 1 2 2 7 1 3 1 1 1 3 2 3 8 1 3 2 2 2 1 3 1 9 1 3 3 3 3 2 1 2 10 2 1 1 3 3 2 2 1 11 2 1 2 1 1 3 3 2 12 2 1 3 2 2 1 1 3 13 2 2 1 3 3 1 3 2 14 2 2 2 1 1 2 1 3 15 2 2 3 2 2 3 2 1 16 2 3 1 2 2 3 1 2 17 2 3 2 3 3 1 2 3 18 2 3 3 1 1 2 3 1 T ⭓ 10 Donc. on affecte les facteurs ayant des niveaux faciles à changer.3 Comment affecter les facteurs aux colonnes de la table de Taguchi choisie ? Les essais sont réalisés dans un ordre chronologique selon leur présentation dans la table. en proposant ce modèle. car chaque réglage peut causer un retard dans la production.4. 2. avec y réponse. au groupe 4. ■ L’expérimentateur cherche la table de Taguchi de 27 lignes dont le nombre de colonnes est supérieur ou égal à 4 et le nombre de niveaux de tous les facteurs égal à 3. – © Editions T. Couple d’éléments du modèle Produit de leurs niveaux Exemple 5 : pour la fabrication d’un chocolat aromatisé. Pour affecter un élément du modèle à une colonne de la table. pour faire le moins d’essais possible. Les tables de Taguchi sont données avec les groupes correspondants [10] [11] [14]. ■ Ensuite. l’expérimentateur calcule le degré du modèle dM. le calcul du PPCM est résumé dans le tableau 8. l’expérimentateur doit prendre k = 1 et donc T = 27 qui vérifie bien T ⭓ 10. F2. ce facteur est noté F2 . Dans l’exemple. d’après la propriété 3. F3 trois facteurs ayant chacun 3 niveaux. F1F2 Au groupe 3. D’autre part. F1. Il trouve la table : L27(313) (cf. Puis. Il n’exploitera que 4 colonnes de cette table choisies selon les règles du paragraphe suivant. F 1 006 − 5 . Pour l’exemple précédent. la méthode de Taguchi permet de regrouper les facteurs par degrés de difficulté de leur réalisation [1] [12] [13] [14]. par exemple : Le groupe 1 contient les colonnes dont le nombre de changements de niveaux est le plus petit possible. ce facteur est noté F1 . doit avoir des raisons pour négliger les interactions F1F3 et F2F3. L’expérimentateur veut étudier les effets de certains facteurs : — facteur réglage d’une machine (3 réglages possibles). Il propose le modèle suivant : F1F2 3×3=9 y = ᐉ + F1 + F2 + F3 + F1F2 F1F3 3×3=9 ■ Calculs F2F3 3×3=9 F3(F1F2) 3 × (3 × 3) = 27 PPCM 27 Le réglage de la machine est le plus difficile à mettre en œuvre. — l’interaction entre le facteur F1 et le facteur F2 notée F1F2. L’expérimentateur.I. — on calcule la moyenne totale des réponses y qu’on note « ᐉ ». le facteur F2 dans le groupe 2 et le facteur F3 dans le groupe 3. Dans ce cas. que l’on note « m2(F2) » . niveau moyen et niveau haut). Il s’agit de vérifier l’effet de deux facteurs : F1 = ferments lactiques et F2 = présures. Pour cela. Prenons un modèle simple tel que : y = ᐉ + F1 + F2 (0) Tableau 9 – Table d’expériences de l’exemple 5 avec No d’essai F1 F2 F1F2 F1F2 F3 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 3 4 1 2 2 2 1 5 1 2 2 2 2 6 1 2 2 2 3 7 1 3 3 3 1 8 1 3 3 3 2 9 1 3 3 3 3 10 2 1 2 3 1 11 2 1 2 3 2 12 2 1 2 3 3 13 2 2 3 1 1 14 2 2 3 1 2 15 2 2 3 1 3 16 2 3 1 2 1 17 2 3 1 2 2 18 2 3 1 2 3 19 3 1 3 2 1 20 3 1 3 2 2 21 3 1 3 2 3 22 3 2 1 3 1 23 3 2 1 3 2 24 3 2 1 3 3 25 3 3 2 1 26 3 3 2 27 3 3 2 Groupe 1 F 1 006 − 6 Groupe 2 F1 facteur à 2 niveaux (niveau bas et niveau haut).1 Modèle sans interactions Exemple 6 : étudions la fabrication d’un fromage allégé. que l’on note « m2(F1) » . (0) Tableau 10 – Table d’expériences de l’exemple 6 No essai Facteur F1 Facteur F2 Réponse y 1 1 1 120 2 1 2 110 1 3 1 3 100 1 2 4 2 1 170 1 3 5 2 2 160 Groupe 3 6 2 3 150 Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. que l’on note « m3(F2) ». — on calcule la moyenne de la réponse y quand le facteur F2 est au niveau moyen. — on calcule la moyenne de la réponse y quand le facteur F2 est au niveau bas. Après avoir réalisé les essais selon une table de Taguchi. a 2 ]F 1 + [ b 1 . Ainsi.1 Modélisation Nous avons donné dans les paragraphes précédents une écriture symbolique du modèle sans coefficients pour décrire l’influence des facteurs étudiés. l’expérimentateur doit mettre le facteur F1 dans le groupe 1. b 2 = m 2 ( F 2 ) – ᐉ et b 3 = m 3 ( F 2 ) – ᐉ L’expérimentateur a choisi un plan complet dont la matrice d’expérience est celle du tableau 10. F2 facteur à 3 niveaux (niveau bas. — on calcule la moyenne de la réponse y quand le facteur F2 est au niveau haut.PLANS D’EXPÉRIENCES _________________________________________________________________________________________________________________ Le changement des niveaux du facteur F2 est plus difficile que celui du facteur F3. l’expérimentateur constate que le nombre de changements de niveaux de la première colonne est égal à 2. En regardant la table L27(313). – © Editions T. celui-ci étant le plus faible possible et appartenant au groupe 1. car le liquide aromatisé demande plus de temps pour le fabriquer. d’où : a1 = m1 ( F1 ) – ᐉ . Il affecte donc le facteur F1 à la première colonne. a2 = m2 ( F2 ) – ᐉ b 1 = m 1 ( F 2 ) – ᐉ . b 3 ]F 2 Ces coefficients se calculent en suivant les étapes ci-dessous : — on calcule la moyenne de la réponse y quand le facteur F1 est au niveau bas. En général. on note par « mj (Fi ) » la moyenne de la réponse y quand le facteur Fi est au j e niveau . L’expérimentateur a supposé. Enfin. [F 1 006] pour la table en entier). — on calcule la moyenne de la réponse y quand le facteur F1 est au niveau haut. Nous avons vu que la table de Taguchi choisie dans ce cas est L27(313). nous pouvons écrire le modèle avec ses coefficients calculés à partir des résultats des essais. . Le coefficient d’un facteur correspondant à un niveau est égal à la différence entre la moyenne des réponses quand le facteur est fixé à ce niveau et la moyenne totale. Calcul des effets 3. les colonnes 3 et 4 correspondent à l’interaction F1F2. que l’on note « m1(F1) » . 3.I. pour simplifier. nous allons commencer par écrire le modèle en prenant en compte ces coefficients. Tableau A en doc. Puis il affecte le facteur F2 à la seconde colonne qui fait partie du groupe 2 (il aurait pu l’affecter à la 3e ou 4e colonne qui font aussi partie du groupe 2).1. il affecte le facteur F3 à la colonne 5 appartenant au groupe 3. Dans cette partie. nous distinguons deux cas : modèle sans interactions et modèle avec interactions. b 2 . que l’on note « m1(F2) » . que l’interaction F1F2 est négligeable. 3. après avoir hiérarchiser les difficultés de changement de niveaux. La table d’expériences est constituée d’une partie de la table L27(313) (tableau 9) (cf. y = ᐉ + [ a 1 . Couple d’élements du modèle Produit de leurs niveaux F1 F2 2×2=4 F1 F3 2×2=4 F2 F3 2×2=4 F4 F1 2×2=4 F4 F2 2×2=4 b 1 = 145 – 135 = 10 . F4 F3 2×2=4 F1(F4F3) 2 × (2 × 2) = 8 F2(F4F3) 2 × (2 × 2) = 8 PPCM 8 Ainsi. et le niveau bas du facteur F2 car le coefficient a1 est plus petit que a2 et les coefficients b2 et b3 sont plus petits que b1. le nombre de lignes de la table de Taguchi à choisir doit vérifier : 3. F 1 006 − 7 .75 m2(F1) = 22. à l’aide du tableau 12 ( ᐉ = 23. d’une tarte a nécessité la variation des pourcentages de 2 constituants de la garniture (deux facteurs F1 et F2) et la variation de la méthode de deux autres facteurs (F3 et F4) : — F1 = poivrons rouges entre 12 % et 15 % . c2 . huile d’olive. épice…).5 m1(F3) = 20 c1 = –3. – © Editions T. m 2 ( F 1 ) = ( 170 + 160 + 150 )/3 = 160 . œufs. 0. D’autre part. l’expérimentateur utilise la propriété 3 du paragraphe 1. (0) Tableau 11 – Table de calcul du PPCM de l’exemple 7 Les coefficients du modèle s’écrivent donc : a 1 = 110 – 135 = – 25 . le nombre C de colonnes de la table à choisir est égal à 5. c3 ] F3 + ( bc ) 11 ( bc ) 12 ( bc ) 13 ( bc ) 21 ( bc ) 22 ( bc ) 23 F2 F3 Le terme (bc)ij est le coefficient correspondant à l’interaction des facteurs F2 et F3 lorsque F2 est au i e niveau et F3 est au j e niveau. à la seconde colonne (une des colonnes du groupe 2).5 c2 = 3.75 d1 = –6.1.1 et 3. La réponse est une note globale. c2 ] F3 + [ d1 . donnée par un jury. m 3 ( F 2 ) = ( 100 + 150 )/2 = 125 dM = ( n1 – 1 ) + ( n2 – 1 ) + ( n3 – 1 ) + ( n4 – 1 ) + ( n4 – 1 ) ( n3 – 1 ) dM = ( 2 – 1 ) + ( 2 – 1 ) + ( 2 – 1 ) + ( 2 – 1 ) + ( 2 – 1 ) ( 2 – 1 ) = 5 Pour déterminer les dimensions de la table à choisir.75 m1(F2) = 23. Il suppose que les autres interactions sont négligeables. Exemple 7 : la fabrication.25 m2(F3) = 26.75 b2 = –0. Le degré du modèle de l’exemple 7 est donné par : Calcul des différentes moyennes : ᐉ = ( 120 + 110 + 100 + 170 + 160 + 150 )/6 = 135 m 1 ( F 1 ) = ( 120 + 110 + 100 )/3 = 110 . (0) m1(F1) = 24 a1 = 0. 2.1. seuls les effets propres des facteurs et l’interaction entre le facteur F3 et le facteur F4 intéressent l’expérimentateur. m 1 ( F 2 ) = ( 120 + 170 )/2 = 145 . ■ Calculs Les coefficients (encadré ci-dessous) sont obtenus à l’aide des formules données dans les paragraphes 3. dans un laboratoire. Comme les facteurs F1 et F2 ne posent pas de problème pour le changement de leurs niveaux. L’expérimentateur cherche la table de Taguchi de 8 lignes dont le nombre de colonnes est supérieur ou égal à 5 et le nombre de niveaux des facteurs égal à deux.75 d2 = 6.5 dc11 = 1 m12(F4F3) = 19 dc12 = –1 m21(F4F3) = 25. y = ᐉ + [ a1 . entre 0 et 40. Ce terme se calcule selon la formule suivante : ( bc ) ij = m ij ( F 2 F 3 ) – ᐉ – b i – c j . Il trouve la table L8(27) (tableau 12) (voir en [Doc F 1 006] la totalité du tableau D). l’expérimentateur affecte le facteur F1 à la quatrième colonne (une des colonnes du groupe 3). d2 ] F4 + ( dc ) 11 ( dc ) 12 ( dc ) 21 ( dc ) 22 F4 F3 Dans ce cas. arôme. 1 ⭐ i ⭐ 2 et avec mij (F2 F3) 1⭐j⭐3 moyenne de tous les résultats lorsque le facteur F2 est au niveau i et le facteur F3 est au niveau j.5 m2(F2) = 22. Il n’exploitera que 5 colonnes de cette table choisies comme suit : on affecte le facteur F4 dont les niveaux sont les plus difficiles à changer à la première colonne (seule colonne du groupe 1).I.5 m2(F4) = 29.2 Modèle avec interactions T = 8k Soit F1 et F3 deux facteurs ayant trois niveaux et F2 un facteur ayant deux niveaux.2 et. 25] F1 + [10. Étant donné que la colonne 5 (respectivement la colonne 6) devient la colonne de l’intersection F4F1 (respectivement F3F1). Puis le facteur F3. Le modèle que l’expérimentateur a choisi est le suivant : y = ᐉ + [ a1 .5 a2 = –0. Il calcule le PPCM de la manière définie dans le tableau 11.75 b1 = 0. –10] F2 ■ Interprétation : La note maximale est atteinte avec le niveau haut du facteur F1. a2 ] F1 + [ b1 . il affecte le facteur F2 à la colonne 7. …. l’expérimentateur doit prendre k = 1 et donc T = 8 qui vérifie bien T ⭓ 5.4. a3 ] F1 + [ b1 . pour la valeur ᐉ.5 m11(F4F3) = 14. b2 ] F2 + [ c1 . b2 ] F2 + [ c1 . m 2 ( F 2 ) = ( 110 + 160 )/2 = 135. 9 et T⭓5 Pour réaliser le moins d’essais possible. — F2 = tomates entre 15 % et 17 % ._________________________________________________________________________________________________________________ PLANS D’EXPÉRIENCES Ensuite.25).1. dont les niveaux ne sont pas faciles à changer. Considérons le modèle suivant contenant les trois facteurs plus l’interaction F2F3 : avec k = 1. — F4 = méthode de fabrication (S1 et S2) d’une sauce ajoutée à base d’un mélange (crème fraîche. a2 .5 dc21 = –1 m22(F4F3) = 34 dc22 = 1 Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. le modèle s’écrit : y = 135 + [–25. b 3 = 125 – 135 = – 10 Ainsi.25 m1(F4) = 16. l’expérimentateur calcule le degré du modèle dM. — F3 = méthode de conservation (M1 et M2) . a 2 = 160 – 135 = 25 . b 2 = 135 – 135 = 0 . 1 y. Plan « produit » F5 1 1 2 2 F6 1 2 1 2 Moyennes F1 F2 F3 F4 1 1 1 1 y11 y12 y13 y14 y1. c 2 ]F 3 + [ d 1 . y. 1 2 1 2 y31 y32 y33 y34 y3. 6. (0) Tableau 14 – Table T2 Le plan produit est un plan basé sur le produit des deux tables T1 et T2.3 y. 2 Moyennes 4.1 Produit de deux tables orthogonales Dans ce tableau : Soit le modèle symbolique défini par : • yij désigne le résultat de l’essai dans lequel les facteurs F1. d’où y = 23. Par exemple : y. le facteur F4 est au niveau 2. – © Editions T. = ( y 31 + y 32 + y 33 + y 34 )/4 • y. ( bc ) 11 ( bc ) 12 ( bc ) 21 ( bc ) 22 F2 F3 + . 4.25 . d 2 ]F 4 + [ e 1 . 1 2 2 1 y41 y42 y43 y44 y4. tableau D en doc. le facteur F3 est au niveau 1..4 = (y14 + y24 + y34 + y44 + y54 + y64 + y74 + y84)/8 Le nouveau modèle produit est donc : y = ᐉ + [ a 1 .j désigne la moyenne des résultats correspondant à la j e colonne. y = ᐉ + F1 + F2 + F3 + F4 + F2 F3 où les 4 facteurs ont 2 niveaux. 2 1 1 2 y51 y52 y53 y54 y5. y 3. 2 2 1 1 y71 y72 y73 y74 y7. 5 ]F 2 (0) + [ – 3 . 2 2 2 y81 y82 y83 y84 y8. – 0. b 2 ]F 2 + [ c 1 . F3 et F4 prennent les niveaux de la ligne i et les facteurs F5F6 prennent les niveaux de la colonne j. le facteur F5 est au niveau 2 et le facteur F6 est au niveau 1. désigne la moyenne des résultats correspondant à la i e ligne.2 y. 2 1 2 1 y61 y62 y63 y64 y6.25 ]F 3 + [ – 6.I. Considérons le plan d’expériences défini par la table «T1 » du tableau 13 déduite de la table de Taguchi L8(27) donnée dans [10] (cf. La meilleure note est atteinte lorsque le facteur F3 est au niveau haut (méthode de conservation M2) et le facteur F4 est au niveau haut (méthode de la fabrication de la sauce S2).25 + [ 0. 3. et le plan d’expériences 22 défini par la table «T2 » du tableau 14. [F 1 006]). t 2 ]F 6 Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. les facteurs F3 et F4 (la méthode de conservation et la méthode de préparation de la sauce) ont un effet sur la note du jury.5 . 1 1 2 2 y21 y22 y23 y24 y2. Ainsi. Par exemple : Tableau 13 – Table T1 No essai F1 F2 F3 F4 F2F3 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 3 1 2 1 2 2 4 1 2 2 1 1 5 2 1 1 2 1 6 2 1 2 1 2 7 2 2 1 1 2 8 2 2 2 2 1 F 1 006 − 8 Par exemple y53 correspond au résultat de l’essai dans lequel le facteur F1 est au niveau 2. le facteur F2 est au niveau 1. – 0 . considérons un autre modèle symbolique défini par : Tableau 12 – Partie de la table L8(27) pour l’exemple 7 y = ᐉ + F5 + F6 No essai F4 F3 F4F3 F1 F2 Réponse 1 1 1 1 1 1 15 2 1 1 1 2 2 14 3 1 2 2 1 2 20 No essai F5 F6 4 1 2 2 2 1 18 1 1 1 5 2 1 2 1 2 25 2 1 2 6 2 1 2 2 1 26 3 2 1 7 2 2 1 1 1 36 4 2 2 8 2 2 1 2 2 32 où les facteurs F5 et F6 ont deux niveaux.75 . F2.5 ]F 4 + 1 – 1 F 4 F 3 –1 1 Tableau 15 – Table d’expériences du plan « produit » ■ Interprétation On considère que seuls les effets correspondant aux paramètres dont les valeurs sont inférieures à 1 sont négligeables.5 .4 y. (0) • yi. a 2 ]F 1 + [ b 1 . La table d’expériences plan produit consistant à réaliser 4 × 8 = 32 essais est celle du tableau 15. e 2 ]F 5 + [ t 1 .75 ]F 1 + [ 0.PLANS D’EXPÉRIENCES _________________________________________________________________________________________________________________ (0) D’autre part. 2 y21. t 2 = [ ( y ..1 y18.5 1 1 3 3 y71 y72 y73 y74 y7.2 y. ( bc ) 11 = [ ( y 1.5 1 3 3 1 y31 y32 y33 y34 y3.1 y25.1 y14.3 y25. Exemple 8 : pour fabriquer un nouveau cake.1 y.740 17. + y 7. + y 7. 2 3 3 3 32 21 20 15 22 1 3 1 2 y61 y62 y63 y64 y6. + y 4. ) ]/4 – y.3 y20.1 y22.4 y21.3 y15. Moyennes 26.I.25 1 1 2 2 26 17 15 13 17. 3 2 2 2 y23.1 y13.25 2 2 3 1 y11. 3 2 1 1 y20.75 Les résultats des essais réalisés selon le plan produit sont donnés dans le tableau 17. + y 4. ( bc ) 12 = [ ( y 2.1 + y . 3 2 3 3 27 18 24 16 21. 3 3 1 3 20 22 20 10 2 3 2 2 y15. d 1 = [ ( y 1. )/2 ] – y.86111 F 1 006 − 9 .3 y13.1 y17...2 y18.75 Pour les facteurs intérieurs (F1.. + y 8. )/2 ] – y.4 y23. d 2 = [ ( y 2.5 2 1 3 2 y13. + y 8.75 1 1 2 2 y41 y42 y43 y44 y4.3 y26.2 y15.1 y16.. un expérimentateur a construit un plan pour faire varier les doses de quatre constituants : — facteur F1 : huile de tournesol ayant 3 niveaux : 12 %.4 y24.4 y17. + y 8.3 y23. + y 6. la table d’expériences appropriée .8148 18.1 y23.25 20.5 1 2 1 3 19 13 17 15 16 1 3 2 3 25 15 15 8 15. – © Editions T.. + y 6. )/2 ] – y. il s’agit de la table de Taguchi L27(37).3 ) ]/2 – y. 2 3 3 3 y18. 2 2 2 3 30 19 23 22 23. La table d’expériences du plan produit est donnée dans le tableau 16. )/2 ] – y.2 y20..75 1 2 3 2 30 21 21 18 22.2 y26.75 2 1 2 1 29 21 23 21 23.4 y15. 3 1 3 1 29 24 21 20 23. + y 5.4 y14.. + y 3.75 1 3 2 3 y91 y92 y93 y94 y9. — facteur F2 : coco râpé à 3 niveaux : 15 %.2 y17. 3 2 3 3 y26.. 3 2 2 2 33 23 23 30 27. ) ]/4 – y.. 3 1 1 2 25 18 15 12 17. 18 19. 20 % et 27 % .3 y21. L’expérimentateur désire également contrôler d’autres facteurs extérieurs : — facteur F5 : condition de conservation après la fabrication . 3 3 2 1 y21.1 y21.2 y25. ) ]/4 – y. 3 1 1 2 y22. + y 2.3 y10.2 y23. farine 2 et farine 3.888 16 Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. F2.2 y27. 3 1 3 1 y19.3 y22. F3 et F4). ) ]/4 – y.4 y16. + y 4. + y 8.4 ) ]/2 – y. b 2 = [ ( y 3. e 1 = [ ( y .2 y24.1 y10.1 y27. ) ]/4 – y. e 2 = [ ( y . 3 1 2 3 34 27 18 15 23.4 y22. + y 3.4 y26. F6.3 y24. + y 2. ) ]/4 – y. ( bc ) 22 = [ ( y 4.. 3 3 1 3 y27.. a 2 = [ ( y 5.5 1 3 1 2 23 16 11 13 15.4 y25. + y 5.3 y19.2 ) ]/2 – y.5 2 2 3 1 22 17 17 18 18.4 ) ]/2 – y.4 y13. y.75 1 3 3 1 26 18 16 13 18.3 y27. 2 2 2 3 y17.5 1 2 3 2 y51 y52 y53 y54 y5.4 y10.4 y20.2 y22.3 y11.4 y19. 3 2 1 1 23 17 14 10 16 1 2 1 3 y81 y82 y83 y84 y8. 1 1 3 3 30 17 15 16 19. t 1 = [ ( y . + y 3.3 y.1 y26. — facteur F6 : l’emballage est considéré comme un facteur important . + y 7. il existe deux façons de le faire (deux niveaux notés « 1 » et « 2 ») . ( bc ) 21 = [ ( y 3. l’expérimentateur a déterminé.2 y10. b 1 = [ ( y 1. 2 3 2 2 28 16 15 15 18.1 y24.3 y16. + y 6.2 y19. F6 1 2 1 2 c 2 = [ ( y 2. + y 4...2 y13.1 y15. — facteur F4 : nature de farine à 3 niveaux : farine 1. F5 1 1 2 2 c 1 = [ ( y 1..5 (0) Tableau 16 – Table produit L27(37) ⴛ 22 F5 1 1 2 2 Moyennes F6 1 2 1 2 F1 F2 F3 F4 1 1 1 1 y11 y12 y13 y14 y1.1 y12. 16 % et 20 % .1 y11.4 y12.2 y14. + y 5. Moyennes 2 1 1 3 y16. 3 3 3 2 28 22 19 15 21 2 3 1 1 y12.4 y27.3 y17.1 y19. 2 2 1 2 29 21 18 14 1 2 2 1 y21 y22 y23 y24 y2.2 y11.4 y11. + y 8. ) ]/4 – y. Il a choisi également le plan 22 pour les facteurs extérieurs F5. 3 3 3 2 y24.4 y18. 3 3 2 1 26 19 17 25 21.4 y. grâce à la méthode de Taguchi. + y 6..2 y16.1 + y . 2 1 1 3 29 14 23 21 21.25 2 2 1 2 y14.5 2 1 2 1 y10. 1 2 2 1 22 16 13 12 15. il existe deux sortes d’emballages (deux niveaux notés « 1 » et « 2 »)._________________________________________________________________________________________________________________ PLANS D’EXPÉRIENCES avec Tableau 16 – Table produit L27(37) ⴛ 22 (suite) a 1 = [ ( y 1. + y 5.. Le modèle produit proposé est : y = ( ᐉ + F1 + F2 + F3 + F4 + F1 F2 ) ( ᐉ + F5 + F6 ) Moyennes (0) Tableau 17 – Table produit L27(37) ⴛ 22 F1 F2 F3 F4 F5 1 1 2 2 F6 1 2 1 2 Moyennes 1 1 1 1 27 17 16 15 18. + y 6 + y 7.3 y18.3 y14. — facteur F3 : pépites de chocolat à 3 niveaux : 8 %.1 y20.2 y12. + y 7. La réponse mesurée est une note donnée par un jury sur la variable Moelleux.2 + y . 3 1 2 3 y25.3 y12. ) ]/4 – y. 10 % et 12 % .5 2 3 1 1 25 18 17 12 18 2 1 3 2 27 19 17 18 20.3 + y . 25 La réponse maximale est atteinte avec le facteur F1 au niveau 3. )/3 ] – y.I. + y 23. – 2. Techniques de l’Ingénieur.86111111 ( a b ) 22 = [ ( y 11. + y 3.490 ..49074074 Ainsi. + y 8. + y 15. )/3 ] – y. + y 20. FINE (J.25 .). + y 11. + y 10.4 )/2 ] – y. La note maximale est donc atteinte avec 20 % d’huile de tournesol. + y 3.). + y 2. vol. . Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. )/3 ] – y.. + y 16.805 .) et WU (C. + y 15. )/3 ] – y...944 . Éditions T. no 2 (mai 1990).52777778 d 2 = [ ( y 4. + y 11. )/3 ] – y. + y 9. Quality and Reliability Engineering International.).PLANS D’EXPÉRIENCES _________________________________________________________________________________________________________________ ■ Calculs d 3 = [ ( y 7. + y 5. a 1 = –2. – Techniques mathématiques pour l’industrie agroalimen- F 1 006 − 10 taire.27777778 a 2 = [ ( y 10. + y 25. [12] TAGUCHI. + y 13. – 2. + y 13. 10 % de pépites de chocolat. + y 5. b 2 = 0.972 – 0. SHOEMAKER (A. – Signal-to noise ratios. = – 1. 0. + y 13.. + y 21.888 ] F 3 + [ – 0. + y 21. [14] VIGIER (M. Références bibliographiques [1] [2] [3] [4] [5] BOX (G. = 2.) et SHAININ (P.J. – © Editions T.C. Performance criteria and transformations.277 ] F 4 c 2 = [ ( y 2.. édition Tec & Doc. + y 27.97222222 a 3 = [ y 19. [10] SCHIMMERLING (P. )/9 ] – y.940 ]F 6 ■ Interprétation d 1 = [ ( y 1.83333333 e 2 = [ ( y . réponses qualitatives. + y 9.638 0. + y 24. + y 13. – Planification expérimentale en agroalimentaire F 1005.833 . )/9 ] – y. COLLOMBIER (D.527 . + y 18. – Introduction to quality engineering. + y 3. Technometrics. a 2 = 0. + y 19.4 )/2 ] – y. + y 16.3 )/2 ] – y. + y 6. + y 26. + y 5. + y 15.G. éditions Technip (1997). Designing quality into products and processes. + y 7. + y 17. no 2 (avril 1992).1 + y .38888889 e 1 = [ ( y .P.97222222 + y 18. + y 14. + y 23.F.63888889 a 3 = 1. + y 12.63888889 b 1 = [ ( y 1. le modèle devient : y = 19. no 2 (1989). ( a b ) 21 = [ ( y 10.. + y 27.9166 . + y 24. = – 2 .). )/3 ] – y. Technometrics.222 ] F 1 + [0. DAUDIN (J.77777778 ( a b ) 13 = [ ( y 3.). + y 18. = – 1. + y 12. + y 18. )/3 ] – y. + y 17. + y 5.638 1. + y 6.1 + y . + y 21. + y 24. New-York (1986). Revue de Statistiques Appliquées vol. 0. vol.. Design News/7-8-85/99 (1985). + y 20. )/9 ] – y. + y 27. = 0. )/9 ] – y. vol. + y 19.27777778 ( a b ) 11 = [ ( y 1. c 3 = 0. = – 2. + y 22. )/9 ] – y.. + y 17. )/3 ] – y. White Plains.083]F 2 + [ – 1. + y 6. XXXVII. )/9 ] – y. = 0. – Pratique des plans d’expériences... 30.) et DUBY (C. + y 4... + y 15. + y 4. + y 25. + y 21. – How Japan defines quality. + y 2. p. SISSON (J. + y 7. + y 16. c 2 = 0. + y 18. + y 17. = – 1. [9] SABRE (R. + y 6.94444444 + c 3 = [ ( y 3. + y 15.. Technique et Documentation Lavoisier (1998). – Better than Taguchi orthogonal tables. + y 25. /9 ] – y. + y 21. + y 23. + y 22. – 1 . + y 22. + y 26. + y 23. d 1 = – 0. 31-43 (1992). le facteur F5 au niveau 1 et le facteur F6 au niveau 1. vol.49074074 t 2 = [ ( y . + y 13. + y 24.88888889 – 1. + y 27. HAMADA (M. + y 9.2 + y . + y 23..80555556 ( a b ) 33 = [ ( y 21.. + y 5.J. 4. + y 6. b 2 = 0. [8] LEON (V.. + y 11. + y 4. )/9 ] – y. + y 27.I. vol. xxxx (2). 143-149 (1988). base documentaire « Agroalimentaire » (3-2006). + y 26.91666667 b 2 = [ ( y 2.) et ZAÏDI (A.) et SAPORTA (G. – An explanation and criticism of minute accumulating analysis. 0.361 F 2 F 3 + [ 2. Les coefficients se calculent selon les étapes suivantes : a 1 = [ ( y 1. vol. 1. 0. + y 7. no 1 (1988). + y 14. + y 18. HAMADA (M. )/9 ] – y.08333333 d 3 = 0. + y 26. + y 19. 32. + y 12.388 + [ 2. – Plans d’expériences et amélioration de la qualité industrielle – une alternative à la méthode Taguchi. 0.8611 + [ – 2.)..).).). [6] DROESBEKE (J. 0.) et RAGHU KACKER (N. + y 21. – A critical look at accumulation analysis and related methods.22222222 ( a b ) 32 = [ ( y 20.3 + y .277 1. la condition de conservation 1 et l’emballage 1. + y 9. + y 9.. + y 22. + y 17. Revue de Statistique Appliquée. Technometrics.861. + y 7. le facteur F3 au niveau 2 et le facteur F4 au niveau 3.27777778 b 3 = [ ( y 3.19444444 ( a b ) 12 = [ ( y 2. + y 25. 15 % de coco râpé.). + y 9.2 )/2 ] – y. Collection Sciences et Techniques agroalimentaires. – Performance measures independent of adjustment – An explanation and extension of Taguchi’s signal-to-noise ratios. 29. + y 10. c 1 = – 1. Paris (2002). + y 8. + y 10. + y 14. la farine 3. méthodologie Taguchi. )/9 ] – y.. + y 23. + y 12.083 . + y 16.08333333 c 1 = [ ( y 3. ( a b ) 31 = [ ( y 19.36111111 +y 27. = – 1..). – Pratique des plans d’expériences. [11] SHAININ (D.91666667 t 1 = [ ( y . + y 26. )/9 ] – y. + y 8.194 – 1.). )/3 ] – y. Application à l’entreprise. le facteur F2 au niveau 1.. + y 15. + y 14. b 3 = – 1.966 ]F 5 1. + y 4..). = – 3. [7] Gestion de la Qualité – Méthodologie Taguchi. + y 11.277. = – 1. = 2.. no 3 (août 1987). ( a b ) 23 = [ ( y 12. d 2 = 0.. Édition d’Organisation (1988). [13] TAGUCHI (G.E.).777 – 3.C. p. 24. + y 20. Kraus International Publication. )/9 ] – y.).972 0. = – 0. – Plans d’expériences. Journal of Quality Technology.