materiał pochodzi ze strony matematyka.pisz.pl Okrąg i koło . Łuk okręgu, wycinek i odcinek koła A A α r α r okrąg o środku A koło o środku A l= α · 2πr 360◦ P = α · πr2 360◦ długość łuku pole wycinka π ≈ 3, 14 promień średnica cięciwa α r Długość okręgu i pole koła . odcinek koła pole odcinka koła = pole wycinka koła − pole trójkąta r A r Kąty w okręgu l = 2πr P = πr 2 K π ≈ 3, 14 A B A F B A B F kąt środkowy oparty — matematyka.pisz.pl — 1 kąt wpisany oparty kąt środkowy oparty — matematyka.pisz.pl — pl — 2 — matematyka.na łuku AFB na łuku AFB na łuku AKB okrąg opisany na trójkącie Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu.pisz. 180 ◦ — matematyka.pl — .pisz. Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu. b. Przykłady: α 240◦ Środek okręgu opisanego na trójkącie znajdujemy rysując symetralne boków trójkąta. Przykłady: promień: R = α α α α α a 2 sin α a – dowolny bok α – kąt naprzeciw tego boku R= abc 4P a. c – długości boków trójkąta P – pole trójkąta Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym Trójkąt oparty na średnicy jest prostokątny. 2α 30◦ 60◦ 120◦ Kąt wpisany oparty na średnicy ma 90◦ . Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku co kąt środkowy. R a b c α Twierdzenie o kątach wpisanych Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. pisz. promień okręgu wpisanego w czworokąt c Środek okręgu wpisanego w trójkąt znajdujemy rysując dwusieczne kątów trójkąta. jeżeli suma jego przeciwległych kątów jest równa 180◦ . r= r d a b 2P a+b+c+d P – pole czworokąta Wzajemne położenie prostej i okręgu Okrąg opisany na czworokącie (czworokąt wpisany w okrąg) δ γ α β O prosta jest zewnętrzną okręgu α + γ = 180◦ β + δ = 180◦ prosta jest sieczną okręgu O Czworokąt możemy wpisać w okrąg.pl — . jeżeli suma jego przeciwległych boków jest równa. A r O prosta jest styczną okręgu — matematyka.pole trójkąta a b a+c=b+d Czworokąt możemy opisać na okręgu.pisz.okrąg wpisany w trójkąt Okrąg wpisany w czworokąt (czworokąt opisany na okręgu) c promień okręgu: d c r a b r= 2P a+b+c P .pl — 3 — matematyka. Odległość stycznej od środka okręgu O jest równa promieniowi okręgu r .pisz. γ Suma wszystkich kątów w trójkącie wynosi 180◦ .A – punkt styczności.pisz. okręgi współśrodkowe wzajemne położenie dwóch okręgów Kąty w trójkącie r1 A r2 B okręgi rozłączne zewnętrznie |AB| > r1 + r2 . dwie styczne do okręgu r1 A r2 B okręgi przecinające się |r1 − r2 | < |AB| < r1 + r2 Dwie styczne do okręgu A B O C A r1 Br2 okręgi styczne wewnętrznie |AB| = |r1 − r2 | A r1 B r2 okręgi rozłączne wewnętrznie |AB| < |r1 − r2 | Odcinki AB i AC są równe |AB| = |AC| Półprosta AO jest dwusieczną kąta CAB . Kąt między promieniem okręgu a styczną jest prosty.pl — . Jedyny punkt wspólny prostej i okręgu. α r1 A r2 B okręgi styczne zewnętrznie β α + β + γ = 180◦ |AB| = r1 + r2 — matematyka.pl — 4 — matematyka. Środkowe przecinają się w jednym punkcie.pl — 5 — matematyka. 3 4 3 < 4+2 4 < 3+2 2 < 3+4 2 2 6 5 6 < 2+5 5 < 2+6 2 < 6+5 3 5 4 5 < 3+4 4 < 3+5 3 < 5+4 p a x b y q x 2 = y 1 a 2 = b 1 q 2 = p 1 Środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach. — matematyka.Nierówność trójkąta Dowolny bok trójkąta ma mniejszą długość od sumy długości pozostałych boków.pisz. Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie. P 1 = P2 P1 Wysokość trójkąta Wysokość to odcinek łączący wierzchołek trójkąta z podstawą lub jej przedłużeniem pod kątem prostym. P2 symetralna Wysokości lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie.pisz. Środkowa trójkąta Środkowa to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy wysokości.pl — . Przykłady: Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku 2 : 1. Przykłady: Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do boku i przechodząca przez jego środek. Nazywamy go środkiem ciężkości trójkąta. który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. pisz.pl — . β β odcinki o równej długości Twierdzenie o dwusiecznej Trójkąt równoboczny Twierdzenie o dwusiecznej a a c b d Wysokość i pole Dwusieczna dzieli bok trójkąta na odcinki c i d o długościach spełniających równanie: a a c d = a b a Trójkąt równoramienny h √ a 3 h= 2 √ a2 3 P = 4 Kąty w trójkącie 60◦ 60◦ 60◦ Wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w jednym punkcie.dwusieczna Dwusieczna kąta to półprosta dzieląca go na dwa równe kąty.pl — 6 — matematyka. α α Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie. który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. b – ramiona W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. Wysokość dzieli podstawę i kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego na dwie równe części. Punkt przecięcia dzieli wysokość na odcinki w stosunku 2 : 1 b a b b a b b a b x y x= 2 h 3 y= 1 h 3 x 2 = y 1 a – podstawa — matematyka.pisz. 7 b b a α α a — matematyka. b – przyprostokątne c – przeciwprostokątna h a h a h a h a a – podstawa h – wysokość P = 1 ah 2 Twierdzenie Pitagorasa Funkcje trygonometryczne Wzory na długość boków trójkąta prostokątnego (gimnazjum) c a b wzór Herona: P = p(p − a)(p − b)(p − c) 1 p = 2 (a + b + c) – połowa obwodu Twierdzenie Pitagorasa W każdym trójkącie prostokątnym: c b a b α a2 + b2 = c2 a P = 1 ab sin α 2 Cechy przystawania trójkątów Przykłady: Przystawanie wielokątów 3 5 4 a=? c=? 6 (bbb) bok – bok – bok odpowiednie boki trójkątów są równe c b a c b a a2 + 32 = 52 a2 = √ − 9 25 a = 16 = 4 62 + 42 = c2 c2 = √ + 16√ 36 √ c = 52 = 4 · 13 = 2 13 (bkb) bok – kąt – bok odpowiednie dwa boki trójkątów są równe i kąt między nimi.pisz.Trójkąt prostokątny Pole trójkąta b a c a.pl — .pisz.pl — — matematyka. α (kbk) kąt – bok – kąt odpowiednie dwa kąty trójkątów są równe i bok do nich przyległy b β c β α a α β a γ a a b c = = = 2R sin α sin β sin γ Cechy podobieństwa trójkątów . to możemy wyznaczyć długość trzeciego. bok – bok – bok bok – kąt – bok kąt – kąt – kąt R .pisz.długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie Kwadrat a a twierdzenie cosinusów Przekątna kwadratu Jeżeli mamy długość dwóch boków trójkąta i kąt jaki tworzą.pl — . a d a √ d=a 2 b γ a c Obwód kwadratu a a a a Pole kwadratu Obw = 4a c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ a twierdzenie sinusów Dzieląc długość dowolnego boku trójkąta przez sinus kąta naprzeciwko otrzymujemy ten sam — matematyka.pl — 8 P = a2 a — matematyka.wynik.pisz. prostokąt Kąty w równoległoboku β α a b a Obwód prostokąta Przekątne w równoległoboku y x α + β = 180◦ b α β a b a Pole prostokąta x O b Obw = 2a + 2b y Punkt przecięcia przekątnych O dzieli przekątne na równe części b a P = ab Romb Romb to równoległobok. a Równoległobok Równoległobok to czworokąt. a a Obwód rombu Obw = 4a Pole rombu a a b a Obwód równoległoboku Obw = 2a + 2b Pole równoległoboku b f h a a b α a h a α e f e a P = ah P = a2 sin α P = e·f 2 h a P = ah h a P = ah — matematyka. którego przeciwległe boki są równoległe.pl — .pisz.pl — P = ab sin α 9 — matematyka. którego wszystkie boki są równe.pisz. q – przekątne Przekątne w rombie y x y Pole deltoidu x P = pq 2 Przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym. który ma n wierzchołków.pl — 10 — matematyka.pisz. a kąty są równe — matematyka. wielokąty Trapez α α wielokąt wypukły wielokąt wklęsły prostokątny Pole trapezu: równoramienny suma miar kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego. b – podstawy h – wysokość wielokąty foremne a a+b ·h 2 Kąty w trapezie: δ α γ β α + δ = 180◦ β + γ = 180◦ trójkąt równoboczny kwadrat pięciokąt foremny sześciokąt foremny pięciokąt foremny w pięciokącie foremnym wszystkie boki mają taką samą długość.Kąty w rombie deltoid β α β α α + β = 180◦ q p p. Punkt przecięcia przekątnych dzieli przekątne na równe części. jest równa (n − 2) · 180◦ b h a P = h b a.pisz.pl — . pisz.pl — 120◦ 12 ◦ 0 0 12 ◦ 60◦ 60 ◦ 0◦ 6 120◦ 72 ◦ 72 108 ◦ ◦ 72 ◦ .pl — 11 — matematyka.a a a pięciokąt foremny wpisany w okrąg a pole: konstrukcja 5 2 4a a P = ctg 36 ◦ Kąty w sześciokącie foremnym: 60 ◦ 0◦ 6 konstrukcja 60◦ 60◦ 60 ◦ 60◦ 12 ◦ 0 0 12 ◦ 360◦ : 6 = 60◦ kąty w pięciokącie foremnym 108◦ 60◦ + 60◦ + 60◦ = 180◦ 108 ◦ 72 ◦ Obwód wielokąta Obwód dowolnego wielokąta otrzymujemy dodając długości wszystkich boków. Przykłady: 72◦ 72◦ 54◦ 54◦ 10 8◦ 10 8 ◦ 360◦ : 5 = 72◦ 54◦ + 54◦ + 72◦ = 180◦ 3 Sześciokąt foremny 2 4 3 Obw = 4 + 2 + 3 = 9 W sześciokącie foremnym wszystkie boki mają taką samą długość.pisz. a a a a Sześciokąt foremny wpisany w okrąg: 3 a a Pole: 3 3 5 Obw = 4 · 3 = 12 √ 3a2 3 P = 2 3 5 3 Obw = 2 · 5 + 2 · 3 = 10 + 6 = 16 — matematyka. a kąty są równe. ω c γ 5 e d ω c γ e α α 4 Obw = 4 + 5 + 1 + 3 + 2 = 15 a β b b β a 24 100◦ 8 100◦ 15 60◦ 60◦ 5 przystające trójkąty: 80◦ 120◦ 18 80◦ 120 ◦ 6 4 2. aby dokładnie się pokryły.pl — .d 1 3 2 b c d e a = = = = =k a b c d e Przystawanie wielokątów Przykład: Dwie figury nazywamy przystającymi. gdy można je nałożyć na siebie tak.pl — 12 — matematyka. k=2 k = −2 k= 1 2 k = −1 3 Po przekształceniu jednokładnością o skali k : — matematyka. a boki proporcjonalne w skali równej k .pisz.pisz.5 100◦ 4 60◦ 80◦ 3 120◦ 12 2 2 3 4 2. k Oznaczenie takiej jednokładności: JO przystające pięciokąty: przykłady: D B A D C B A B A C C S O O O B Podobieństwo wielkokątów A A O B S B C A Wielkokąty są podobne. 5 1 = = = = 12 18 24 15 6 k= 1 6 18 24 15 12 = = = =3 4 6 8 5 przystające prostokąty: k=3 jednokładność Figura i jej obraz w jednokładności o środku O i skali k . jeżeli ich kąty są odpowiednio równe. – obwód figury zmienia się |k| razy: – pole figury zmienia się k 2 razy: Obw2 = |k| · Obw1 P2 = k 2 · P 1 y A A A B y C jednokładność w układzie współrzędnych Obrazem punktu A = (x. 2) A = (−3. 3) k = −1 2 A = (−6. C A A B B A O konstrukcja konstrukcja konstrukcja konstrukcja symetria środkowa względem początku układu współrzędnych k k A A B k C A B k O obrazem punktu A = (x.pisz.pl — 13 . −1) — matematyka. −4) B = (2. 4) B = (−2. −2) 2 Figura i jej obraz w symetrii środkowej względem punktu O . 3 · 1) = (6. −y) obrazem punktu A = (x. −4) C = (5. 1) — matematyka. 4) 1 B = − 1 · (−2). y) w jednokładności o środku O w początku układu współrzędnych i skali k jest A = (kx. − 2 · 4 = (1. −2) A = (−7. C B A A O O A A A B B C S B A O S O symetria osiowa Figura i jej obraz w symetrii osiowej względem prostej k . −1) 2 B = (−2. y) w symetrii względem osi y jest A = (−x. 2) x symetria środkowa k=3 A = (2. − 2 · 2 = (3. y A x B x A A C C x B B A A A B y punkt: względem osi x: względem osi y : A A = (3. 1) A = (3 · 2. y) w symetrii środkowej względem punktu początku układu współrzędnych jest A = (−x. ky). y) w symetrii względem osi x jest A = (x. 2) A = (3. 2) 1 A = − 1 · (−6). −2) A = (−3. y) A B A A = (3. 4) C = (−5.pisz. −y) y A B y konstrukcja konstrukcja konstrukcja konstrukcja A C x C x symetria osiowa w układzie współrzędnych obrazem punktu A = (x.pl — A = (7. pisz.y przesunięcie (translacja) o wektor Punkt A = (x. y ) x A = [x + a.pl — 14 — matematyka. 1 + 2) = (5. −1) c = [0. 4) y B A = (2. −3 + 0) = (2. 0] D = (4 + (−2). 2 + 2) = (−3. y + b] przykłady: x = x cos α − y sin α y = x sin α + y cos α przykłady wyprowadzenie B = (−1. y) przesunięty o wektor v = [a. −3) D = (4. 2] A = (2 + 3.pisz. x przykłady figur z jedną osią symetrii: D D C = (−2. −3) trójkąt równoramienny obrót trapez równoramienny deltoid Figura i jej obraz w obrocie dokoła punktu O B A O A B A A O C A A B C S przykłady figur z dwiema osiami symetrii: B S O O obrót o 40◦ obrót o 50◦ obrót o −60◦ obrót o −110◦ obrót w układzie współrzędnych — matematyka. 2) b = [−2. −3) d = [−2. 2] B = (−1 + (−2). y) obrócony o kąt α wokół początku układu współrzędnych daje punkt A A A = (x . 1) a = [3. −1 + (−2)) = (−2. −2] C = (−2 + 0.pl — . względem której ta figura jest do siebie osiowo symetryczna. 3) A B A C C oś symetrii figury Oś symetrii figury jest prostą. b] daje punkt A o współrzędnych α Punkt A = (x. Oś symetrii dzieli figurę na dwie przystające części. odcinek prostokąt romb dalej środek symetrii figury Środek symetrii figury jest punktem. koło sześciokąt foremny kwadrat przykłady figur bez środka symetrii: — matematyka.pl — 15 — matematyka. Figura obrócona o 180◦ wokół swojego środka symetrii nałoży się na siebie. przykłady figur ze środkiem symetrii: prostokąt odcinek okrąg.pisz.pl — .pisz. względem którego ta figura jest do siebie środkowosymetryczna.