Placas

Índice general1. INTRODUCCIÓN 1.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Sobre las teorías de estructuras de pared delgada . . . . . . . . . . 1.2.1. De acuerdo al espesor relativo de la lámina . . . . . . . . . . 1.2.2. De acuerdo al orden de los desplazamientos en dirección perpendicular a la superficie media . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. De acuerdo a la curvatura de la superficie media . . . . . . . 1.2.4. De acuerdo a la importancia de la flexión . . . . . . . . . . . 1.2.5. De acuerdo con la cinemática adoptada . . . . . . . . . . . . 1.3. Enfoque de este trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Bibliografía sobre placas y cáscaras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 6 6 . . . . . . . 7 7 7 8 8 8 9 2. FORMULACIÓN PARA LÁMINAS PLANAS 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Hipótesis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. (a) Hipótesis referida a las tensiones normales . . . . . . . . . 2.2.2. (b) Hipótesis referida a las deformaciones de rectas normales a la superficie media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Consecuencias de las hipótesis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Contradicciones referidas a las deformaciones cortantes transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Contradicción referida la deformación normal a la superficie media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Resumen acerca de la resolución de las contradicciones . . . . 2.4. Variables referidas al comportamiento de la superficie media . . . . . 2.4.1. Esfuerzos Resultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Momentos resultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Deformaciones y curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Relaciones constitutivas entre variables de la superficie media 2.4.5. Ecuaciones de equilibrio de una placa . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Separación del problema de placas en membranal y flexional . . . . . 2.5.1. Mecanismo membranal en placas . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 12 13 1 13 14 15 16 16 17 17 18 20 21 22 25 25 ÍNDICE GENERAL 2.5.2. Mecanismo flexional en placas . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Condiciones de contorno de flexión . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Bordes empotrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Bordes simplemente apoyados . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3. Borde libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4. Interpretación física del Corte de Kirchhoff . . . . . . . . 2.6.5. Condiciones de fuerzas en las esquinas . . . . . . . . . . 2.6.6. Condiciones generales de contorno en un borde curvo . . 2.7. Formulación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Ecuación diferencial en el dominio . . . . . . . . . . . . . 2.7.2. Formulación mixta del problema diferencial . . . . . . . 2.8. Formulación de energía potencial total . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Expresión de trabajos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Teoría de placas incluyendo deformaciones transversales de corte 2.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. SOLUCIONES DE PLACAS UTILIZANDO LA FORMULACIÓN DIFERENCIAL 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Solución mediante series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Descomposición de la carga en series de Fourier . . . . . . . . 3.2.2. Descomposición de la solución en series de Fourier . . . . . . . 3.2.3. Ecuación diferencial en términos de componentes de Fourier . 3.2.4. Cálculo de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Cálculo de esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ejemplo de solución de una placa mediante series de Fourier . . . . . 3.4. Solución mediante diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Derivadas en función de diferencias finitas . . . . . . . . . . . 3.4.2. Derivadas parciales en función de diferencias finitas . . . . . . 3.4.3. Representación de ecuaciones diferenciales en el dominio utilizando diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4. Representación de condiciones de contorno utilizando diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5. Solución de los desplazamientos en placas . . . . . . . . . . . . 3.4.6. Momentos en la placa a partir de los desplazamientos . . . . . 3.5. Ejemplo de solución de una placa mediante Diferencias Finitas . . . . 3.5.1. Ecuaciones en el dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Condiciones de contorno de la placa . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3. Condiciones de simetría de la placa . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4. Sistema de ecuaciones simultáneas . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Problemas de Diferencias Finitas con mallas irregulares . . . . . . . . 3.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 26 27 27 28 29 30 32 33 33 34 35 36 39 41 44 44 44 45 46 47 47 48 48 50 51 53 54 55 58 59 59 60 61 61 62 63 63 ÍNDICE GENERAL 4. SOLUCIONES DE PLACAS UTILIZANDO LA FORMULACIÓN INTEGRAL 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Método de Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Aproximación de funciones en el método de Ritz . . . . . . . . 4.2.2. Condiciones que deben cumplir las funciones de aproximación 4.3. Ejemplos de solución de placas mediante el método de Ritz . . . . . . 4.3.1. Placa simplemente apoyada en dos bordes y empotrada en los otros dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Placa simplemente apoyada-libre . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Método de Elementos Finitos usando la teoría de Kirchhoff . . . . . . 4.4.1. Elemento finito rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Método de Elementos Finitos con deformaciones transversales de corte 4.5.1. Elementos finitos triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 67 67 68 68 69 72 72 73 76 76 80 83 83 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN 1.1. Conceptos básicos En la mecánica aplicada y la ingeniería estructural se conoce como estructura de pared delgada a una estructura que está limitada por dos superficies, la distancia entre las cuales es considerada pequeña. Otras designaciones comunes son estructuras laminares o láminas delgadas. Cuando las superficies son planas se denominan láminas planas, placas o losas, mientras que cuando las superficies son curvas se conocen como cáscaras o láminas curvas. Se denomina superficie media al lugar común de los puntos equidistantes de ambas superficies. En cualquier punto de la superficie media se puede trazar una recta perpendicular, y se define así la dirección del vector normal a la superficie en ese punto. Esa recta normal intercepta a las dos superficies externas de la lámina, y a la distancia h entre ellas se denomina espesor de la lámina. El espesor puede variar de un punto a otro de la lámina, y a los efectos del análisis supondremos que esa variación es suave. La geometría de una lámina puede entonces definirse especificando la posición de la superficie media y el espesor en cada punto. Figura 1.1: Estructura de pared delgada En lo que sigue supondremos que la superficie media es una superficie continua y tiene una variación suave. En la Figura 1.2.a se muestra una superficie media 4 La superficie media de una estructura laminar puede ser completa (como en el caso de esferas. se muestra en la Figura 1. Nótese que otro punto. bóvedas cilíndricas.b. Figura 1. también asociada a un cambio en el espesor. cilindros. no es adecuada para ubicar la posición de P ∗ porque la distancia QP ∗ no es mínima.2. .). Se supone que el contorno define una curva sobre la superficie media y que el corte es perpendicular a ella. elipsoides. Este caso se debe a un cambio de espesor en la estructura. Figura 1.3 se muestra que un punto P ∗ se podrá identificar por medio de P y de la distancia P P ∗ .) o incompleta (como en placas planas. como el Q.2. Como dimensión característica d es común emplear el diámetro en placas circulares. Finalmente.Introduccion 5 continua a pesar que las superficies externas de la estructura son discontinuas.3: Ubicación de un punto fuera de la superficie media Una lámina se denomina delgada si la relación entre el espesor h y una dimensión característica d de la superficie media es muy pequeña comparada con la unidad.c se ilustra un caso en el que la tangente de la superficie media presenta una discontinuidad.2: Ejemplos de discontinuidades en superficies de una lámina. en la Figura 1. etc. etc. Un ejemplo de discontinuidad en la superficie media. Un punto fuera de la superficie media se identifica por su mínima distancia a ella. En una lámina incompleta aparecen contornos. En la Figura 1. E.1. en cuyo caso será necesario relajar las hipótesis de Kirchhoff que se desarrollan más adelante. Prácticamente no existen ya limitaciones asociadas a dificultades de cálculo gracias al desarrollo de métodos numéricos en los últimos 40 años. algunos esfuerzos y deformaciones resultan significativamente más importantes que otros. En láminas delgadas. y otras. H. por el contrario. y distintos autores consideran diferentes niveles de aproximación. y el radio de curvatura mínimo de la superficie en láminas curvas. Para que la lámina pueda considerarse delgada se debe cumplir que h << 1 d Esto significa que h es por lo menos un orden de magnitud menor que d. Sobre las teorías de estructuras de pared delgada La forma de una estructura de pared delgada depende de una serie de factores. Para cálculos técnicos se acepta . controlando al mismo tiempo el error asociado a esas simplificaciones. entonces su comportamiento no difiere demasiado del de un sólido tridimensional.Introduccion 6 las dimensiones de los lados en placas rectangulares. el material que se emplee. se puede decir que las diferentes teorías de láminas atienden los siguientes aspectos: 1. La mayor parte de las teorías que se emplean en la actualidad tiene su origen en el trabajo de A. Por el contrario. Love hizo hipótesis de deformación similares a las de Kirchhoff en láminas planas.2. Love de 1892 [8]. el tipo de cargas a las que estará sometida. de modo que es razonable realizar simplificaciones. según la cual una lámina es delgada si d >> 1 h Si esta condición no se cumple se dice que la lámina es de espesor intermedio o de espesor grueso. Si una lámina es lo suficientemente gruesa. En algunos textos se emplea la condición inversa. consideraciones estéticas. 1. De acuerdo al espesor relativo de la lámina En láminas delgadas el valor máximo de h/R se puede despreciar frente a la unidad.2. En láminas delgadas el análisis lineal ha sido formulado hace más de 150 años y las ecuaciones de Lagrange para placas planas son ahora aceptadas casi universalmente. económicas. entre ellos su función. y a las de Navier en vigas. En general. no existe una única teoría para el análisis lineal de láminas curvas delgadas. Si se retienen términos cuadráticos o cúbicos se denominan “de orden superior”. y equivale a la teoría de Kirchhoff para placas y de Navier-Bernoulli para vigas. R Las láminas se consideran Para muchas aplicaciones prácticas en ingeniería civil se tiene que las cáscaras están en el rango
 h 1 1 > > 1000 R 50 Por ejemplo.3.2.4. teorías de cáscaras rebajadas sirven para láminas de poca curvatura. De acuerdo a la importancia de la flexión En láminas los momentos flectores se relacionan con las curvaturas de manera similar que en placas.2. De acuerdo a la curvatura de la superficie media Se denominan teorías generales aquellas que sirven para cáscaras con curvaturas grandes. se denomina teoría de primer orden. una esfera de recipiente de presión para almacenar gas tiene h/R = 450. 1. 1. una torre de enfriamiento de hormigón armado h/R = 200. La teoría de Kirchhoff-Love es de primer orden. 1.2. una cáscara rebajada de hormigón para techo h/R = 50. que se pueden proyectar en un plano y se pueden tratar como una extensión de la teoría de placas. En cambio. Eso reduce las variables del problema y lleva a ecuaciones sencillas. por ejemplo M11 Eh3 = (χ11 + ν χ22 ) 12 (1 − ν 2 ) Las teorías membranales desprecian la contribución de los momentos flectores.2. una cáscara metálica esférica en una central nuclear tiene h/R = 900.Introducción 7
 1 h m´ax ≤ R 20 En esas teorías se desprecian términos del orden de gruesas si
 h 1 m´ax > R 20 h . En muchos casos . De acuerdo al orden de los desplazamientos en dirección perpendicular a la superficie media Si expandiéramos los desplazamientos en serie de potencias en dirección de la normal (distancia a la superficie media de la lámina) y se retiene términos lineales. para luego considerarse efectos flexionales en una forma clásica. El tema de cáscaras se ve en los capítulos restantes. considerando el problema flexional. que es preferible en cursos más avanzados sobre el tema. y en el Siglo XX el clásico han sido los textos de Timoshenko [11] y Flugge para cáscaras [4]. y eso conduce a resultados que pueden ser adecuados. No se emplea la notación tensorial de cáscaras. La misma teoría membranal describe las dos situaciones mencionadas. Bibliografía sobre placas y cáscaras La bibliografía sobre estructuras laminares es sumamente extensa.3. a pesar que la rigidez puede no ser baja. El libro de Love [8] de finales del siglo XIX. 1. En este trabajo no se presenta una teoría general de cáscaras.2. en las que las cinemáticas son cuadráticas. 1]. La diferencia es que en el primer caso no se admiten esfuerzos de compresión. En Europa se destacan los estudios de Koiter [6] y Donnell [3]. y abarca tanto libros como artículos en revistas especializadas. Para estudiar el fenómeno de pandeo es necesario considerar teorías de grandes desplazamientos. es un clásico en el tema.4. 1. De acuerdo con la cinemática adoptada Se distingue entre teorías de pequeños desplazamientos. Enfoque de este trabajo Este trabajo contiene un enfoque introductorio al tema. Un capítulo se dedica a placas planas plegadas. sino que se recurre solamente a notación indicial y notación explícita en coordenadas cartesianas o polares. Billington [2] . 1. que se refleja en textos como las referencias [9.5. tal como se presenta en cursos avanzados a nivel de pregrado en ingeniería. (b) Cuando los cambios de curvatura son muy pequeños (χij → 0) la lámina se comporta como una membrana. Inicialmente se ve la teoría membranal de cáscaras. en las que las relaciones entre desplazamientos y deformaciones se consideran lineales. En forma análoga a la diferencia entre una cable y una barra de reticulado. En primer lugar se estudian placas en los Capítulos 2 a 4. Los textos más recientes que se emplean en cursos sobre placas y cáscaras incluyen Ugural [12]. o en cursos de maestría en ingeniería. Hubo una fuerte corriente de estudios sobre el tema en Rusia. La presentación se limita a teorías de primer orden y lineales en la cinemática.Introducción 8 basta con las ecuaciones de equilibrio. El empleo de teorías membranales se justifica en dos casos: (a) Cuando la rigidez flexional de una lámina es muy baja (h → 0) la lámina es una membrana. o de grandes desplazamientos. La cercha tiene sección √  transversal cuadrada [1 × 1]. se calcula la fuerza F en cada miembro y resulta F = − 45 P .5. mientras que para la teoría membranal de cáscaras se ha empleado Pflugge [10]. 1. mientras que los esfuerzos por flexión valen σ = 2 × 0. La revista Thin-Walled Structures se especializa en este tipo de estructuras. mientras que la viga tiene sección rectangular 1 × 5 . Ambas estructuras tiene el mismo volumen de material. Evalúe las tensiones en cada una de ellas. mientras que la segunda es una viga. Solución: Para √ la estructura tipo cercha.4. el momento máximo ocurre al centro M = A PL .4: Efectos membranales y flexionales en estructuras sencillas. la configuración de cercha es más eficiente para resistir cargas en el modo axial que la configuración .Introducción 9 y Gould [5].3P L. (b) Viga. una de ellas es una cercha. La relación entre esfuerzos flexionales y axiales entre las dos estructuras son de 42. compare los valores y comente acerca de la eficiencia de cada solución. Para L = 40 se tiene 2 una tensión en la fibra extrema de σ = 24P . Considere L = 40. Como se observa. Los esfuerzos internos axiales son de compresión y valen σ = F = 0.8. y otras. (a) Cercha. ASCE Journal of Engineering Mechanics.56P .1. Para la estructura tipo viga. El texto que más se acerca al enfoque de estas notas es el de Ugural. pero otras revistas también publican artículos referidos al tema. y cubren la misma longitud 2L entre los soportes. consideremos las dos estructuras que se dibujan en la Figura 1. Como manera introductoria de comparar las estructuras que trabajan membranalmente y aquellas que trabajan flexionalmente. Figura 1. como International Journal of Solids and Structures. Problemas Problema 1. mientras que en la de viga sólo tienen el esfuerzo máximo las fibras extremas de la sección.Introducción 10 de viga en el modo flexional. . En la configuración axial todas las fibras en la sección tienen el mismo nivel de esfuerzos. desarrolladas siguiendo las hipótesis de Kirchhoff. El desarrollo principal corresponde a lo que se denomina “teoría clásica de placas” pero se incluye también la teoría de placas incluyendo deformaciones cortantes. con lo cual se construye una teoría técnica.2) ε =  ε12 ε22 ε23  ε13 ε23 ε33 Las relaciones elásticas entre deformaciones y tensiones. las ecuaciones de la teoría de elasticidad [13] resultan adecuadas. La presentación del problema es un tema clásico en la literatura y puede encontrarse en casi todos los textos sobre este tema. en el entorno de un punto cualquiera de la placa (no necesariamente sobre la superficie media). 2. lineal e isótropo.1) σ13 σ23 σ33 Las deformaciones se caracterizan mediante el tensor de deformaciones   ε11 ε12 ε13 (2. obtenidas de la anterior relajando una hipótesis. se reducen a: 11 . sin embargo. los esfuerzos se caracterizan usando el tensor de esfuerzos   σ11 σ12 σ13 σ =  σ12 σ22 σ23  (2.1. La historia del desarrollo de las ecuaciones que gobiernan el problema es sumamente interesante y puede consultarse en la Referencia [8]. la discusión acerca de las contradicciones que implican las hipótesis de Kirchhoff se encuentran muy bien tratadas en el texto de Novozhilov [9]. Introducción Para modelar el comportamiento de una lámina plana de espesor grueso. para material elástico. En ese caso.Capítulo 2 FORMULACIÓN PARA LÁMINAS PLANAS Este capítulo contiene las ecuaciones fundamentales de placas. 2.6)  (2. ε23 1 = 2
∂u2 ∂u3 + ∂x3 ∂x2 (2.3) E ε12 1+ν E = ε13 1+ν E = ε32 1+ν (2.Formulación para láminas planas 12 E [(1 − ν) ε11 + ν (ε33 + ε22 )] (1 + ν) (1 − 2ν) E = [(1 − ν) ε22 + ν (ε11 + ε33 )] (1 + ν) (1 − 2ν) E = [(1 − ν) ε33 + ν (ε11 + ε22 )] (1 + ν) (1 − 2ν) (2.4) σ11 = σ22 σ33 σ12 = σ13 σ32 Las ecuaciones de equilibrio en tres dimensiones resultan ∂σ11 ∂σ12 ∂σ13 + + + F1 = 0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂σ21 ∂σ22 ∂σ23 + + + F2 = 0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂σ31 ∂σ32 ∂σ33 + + + F3 = 0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 (2.7) Hipótesis de Kirchhoff En lo que sigue estudiaremos el comportamiento de láminas con pequeños desplazamientos. las ecuaciones cinemáticas se escriben en la forma ∂u1 ∂u2 ∂u3 ε22 = ε33 = ∂x1 ∂x2 ∂x3

 1 ∂u1 ∂u2 1 ∂u1 ∂u3 = + ε13 = + 2 ∂x2 ∂x1 2 ∂x3 ∂x1 ε11 = ε12 2.8) .5) Finalmente. de modo que se supone que los desplazamientos son suficientemente menores que el espesor ui << 1 h (2. .1.2. ∗ Como consecuencia de ello. tal como el punto P ∗ en la Figura 2. (2.1.10) donde ui son los desplazamientos de la superficie media (del punto P en la figura) y βi son las rotaciones de la fibra recta a consecuencia de la deformación. Hipótesis (b.Formulación para láminas planas 13 donde ui son las componentes de desplazamiento. Las hipótesis de Kirchhoff1 pueden expresarse así: 2. la componente σ33 de un punto cualquiera de la lámina es nula: ∗ σ33 =0 2. se supone que las fibras rectas perpendiculares a la superficie media permanecen perpendiculares a la superficie media deformada. multiplicada por la distancia x3 del punto a la superficie media. El desplazamiento u∗i de un punto fuera de la superficie media. mientras que aquellas sin asterisco se refieren a valores sobre la superficie media de la lámina. Como indica la Figura. en lo que se denomina “teoría clásica de placas”. observemos la Figura 2.10). para el caso de una lámina plana.2.1. Esta hipótesis no contiene ninguna afirmación sobre la orientación final del plano con respecto a la superficie media deformada. (a) Hipótesis referida a las tensiones normales Se acepta que las tensiones normales que actúan sobre planos paralelos a la superficie media son despreciables frente a otras componentes de tensión. se supone que el sentido positivo del eje x3 normal a la cáscara va hacia abajo. Nuevamente referimos el caso a una lámina plana y la hipótesis implica que las rotaciones β no son variables independientes sino que dependen de la variación de 1 Usaremos el término hipótesis para referirnos a las suposiciones iniciales que acepta la teoría.1) Las fibras que eran rectas y perpendiculares a la superficie media antes de la deformación permanecen rectas después de la deformación.2) Adicionalmente. el desplazamiento u∗i de un punto fuera de la superficie media es igual al desplazamiento ui del punto correspondiente ubicado sobre la superficie media más la rotación βi de la sección plana a la que pertenece el punto. puede expresarse como u∗1 = u1 + x3 β1 u∗2 = u2 + x3 β2 (2. Para aclarar el sentido de esta hipótesis.9) (b) Hipótesis referida a las deformaciones de rectas normales a la superficie media Esta hipótesis puede descomponerse en tres enunciados: Hipótesis (b. Las variables que se escriban a continuación con un asterisco se refieren a los valores en puntos que no están necesariamente sobre la superficie media. De acuerdo a las ecuaciones (2.2. Las rotaciones β pueden expresarse como β1 = − ∂u3 ∂x1 β2 = − ∂u3 ∂x2 (2. (2.1: Hipótesis b.3) Las fibras rectas y normales a la superficie media antes de la deformación no cambian de longitud después de la deformación. Por lo tanto. como se muestra en la Figura 2. No todas esas consecuencias son consistentes entre .1 los desplazamientos. los desplazamientos u∗3 de puntos ubicados sobre una fibra P P ∗ perpendicular a la superficie media no varían con x3 : u∗3 = u3 2.Formulación para láminas planas 14 Figura 2.11) Figura 2.12) Consecuencias de las hipótesis de Kirchhoff Las hipótesis que se han planteado tienen consecuencias importantes acerca del comportamiento de la estructura.2: Hipótesis b.2 Hipótesis (b.3.2. Si se pretendiera emplear las ecuaciones ∗ constitutivas para calcular las tensiones σ13 asociadas a ε∗13 se tendría que . Contradicciones referidas a las deformaciones cortantes transversales Veremos que el valor de las deformaciones cortantes depende en principio del camino que se siga para computarlas.1. 2.15) 1 ∂(x3 β1 ) ∂u3 = + 2 ∂x3 ∂x1
 1 ∂x3 ∂u3 β1 = + 2 ∂x3 ∂x1 1 = (β1 − β1 ) 2 =0 De este razonamiento cinemático se concluye que para la teoría clásica de placas. Consideraciones cinemáticas: Sabemos que la expresión cinemática general para evaluar las deformaciones cortantes. de manera que hay que decidir cuál consideración se acepta en la teoría. la deformación cortante ε∗13 debe ser nula (similar a la teoría clásica de vigas).Formulación para láminas planas 15 ellas y se plantean algunas contradicciones que se señalan en esta sección.13) + 2 ∂x3 ∂x1 donde ∂u3 (2. por ejemplo ε∗13 . De igual manera resulta nula la deformación ε∗23 .14) ∂x1 Los desplazamientos membranales de la superficie media no dependen de la coordenada x3 de modo que al derivar resulta: u∗1 = u1 + x3 β1 siendo β1 = − ∂(u∗1 ) ∂(x3 β1 ) = ∂x3 ∂x3 Substituyendo en la ecuación de ε∗13 se tiene ε∗13 (2.3. Veremos a continuación que cuando se acepta esa consecuencia ya no pueden emplearse las ecuaciones constitutivas para establecer tensiones cortantes. es
 1 ∂u∗1 ∂u∗3 ∗ ε13 = (2. Consideraciones constitutivas: La conclusión anterior sobre despreciar la contribución de las deformaciones cortantes se obtuvo por consideraciones puramente cinemáticas. 3.3.17) debido a que u∗3 no varía con x3 por hipótesis (b. ∗ = σ13 2.19) 1 − ν 11 como en un estado plano de tensiones. Aceptaremos la siguiente salida para esta contradicción: Contradicción 1: La aceptación de que las deformaciones cortantes transversales son nulas no implica que las tensiones cortantes transversales se consideren nulas.17). Consideraciones cinemáticas Si se desea obtener ε∗33 a partir de las relaciones cinemáticas se tiene ε∗33 = ∂u∗3 =0 ∂x3 (2.18) 1+ν ∗ = 0.3). la satisfacción de las ecuaciones de equilibrio en dirección normal a la lámina y de las ecuaciones de equilibrio de momentos. Resumen acerca de la resolución de las contradicciones En la resolución de las contradicciones 1 y 2 se ha privilegiado la satisfacción de las consideraciones cinemáticas y de equilibrio por encima de la vinculación entre .Formulación para láminas planas 16 E ∗ ε =0 (2. Consideraciones constitutivas ∗ resulta: Si se usa la ecuación constitutiva de σ33 E [(1 − ν) ε∗33 + ν (ε∗11 + ε∗22 )] (2.16) 1 + ν 13 Sin embargo.2. ε∗33 = − 2. ∗ ∗ requiere de la existencia de tensiones σ13 y σ23 . y por lo tanto no deben ser nulas.3. sino que queda definida en función de ε∗11 y ε∗22 . Contradicción referida la deformación normal a la superficie media Veremos que el valor de las deformaciones en dirección normal a la superficie media dependerían del camino seguido en el cómputo. se supuso que σ33 relación entre deformaciones: ∗ σ33 = ν (ε∗ + ε∗22 ) (2. de donde se obtiene la siguiente De acuerdo a la hipótesis (a). como se verá más adelante. Esta expresión está en contradicción con el valor nulo para ε∗33 que se obtuvo de consideraciones puramente cinemáticas (2. Contradicción 2: La aceptación de que las fibras no cambian de longitud en sentido normal a la superficie media no implica que las deformaciones correspondientes ε∗33 sean nulas. La tabla a continuación resume las hipótesis.4. N22 . Estos son esfuerzos por unidad de longitud. mientras que N13 y N23 corresponden a los esfuerzos cortantes.22) N13 N23 0 Las componentes N11 .4. la forma que tiene los tensores de acuerdo a las hipótesis adoptadas es la siguiente  ∗   ∗  ∗ ∗ σ11 σ12 σ13 ε11 ε∗12 0 ∗ ∗ ∗  σ22 σ23 σij∗ =  σ21 ε∗ij =  ε∗21 ε∗22 0  (2. N12 corresponden a los esfuerzos axiales N en la teoría de vigas.1.Formulación para láminas planas 17 tensiones y deformaciones mediante ecuaciones constitutivas. Esfuerzos Resultantes En las teorías técnicas es habitual expresar el estado tensional en un punto cualquiera del plano medio mediante esfuerzos integrados en el espesor. Hipótesis u3 < h ∗ ui = ui + x3 βi 3 βi = − ∂u ∂xi u∗3 = u3 ∗ σ33 =0 Implica Cinemática Lineal ε∗13 = 0 ε∗23 = 0 ν ε∗33 = − 1−ν (ε∗11 + ε∗22 ) No implica ∗ σ13 =0 ∗ σ23 =0 ∗ ε33 = 0 Finalmente.21) −h/2 Esto permite construir un tensor simétrico de esfuerzos de la forma siguiente   N11 N12 N13 Nij =  N12 N22 N23  (2.3 muestra los sentidos positivos de los esfuerzos membranales y cortantes. . La Figura 2. Variables referidas al comportamiento de la superficie media 2.20) ∗ ∗ σ31 σ32 0 0 0 ε∗33 Nótese que los tensores de la placa no corresponden ni a estado plano de tensión ni a estado plano de deformación. consecuencias y lo que no se implica dentro del contexto de la teoría clásica de placas. de modo que para obtener fuerzas es necesario multiplicar esos valores por la longitud sobre la superficie media en la que actúan. 2. Nij =  h/2 σij dx3 (2. M12 > 0. integrando en el espesor Mij =  h/2 σij x3 dx3 (2. Para los momentos torsores se ha respetado la reciprocidad de las tensiones tangenciales.4.3: (a) Esfuerzos membranales.18) genere M11 < 0. se definen momentos resultantes. y ello conduce a que la cupla torsora sobre la cara normal a x1 tiene un momento con sentido vectorial entrante. 2.2. M21 < 0. como en la Figura 2. Los momentos flectores positivos M11 y M22 producen tensiones positivas (tracciones) en la parte inferior de la placa y compresión en la superior.Formulación para láminas planas 18 Figura 2. consideremos (a) Un caso de tensiones σij constante en el espesor.24) Los sentidos de los momentos están fijados por los sentidos positivos de las tensiones que les dan origen.a. (b) Esfuerzos cortantes. M22 > 0.23) −h/2 Los momentos pueden agruparse como un tensor   M11 M12 0 M11 M12   Mij = M12 M22 0 = M12 M22 0 0 0 (2. Casos particulares Para ilustrar que esfuerzos resultantes surgen de determinadas situaciones tensionales. de modo que resultan como en la Figura 2. Momentos resultantes Adicionalmente.4. Los vectores momento usando la regla de la mano derecha hacen que la definición según (2.5. Los momentos resultan  h/2 x2 h/2 Mij = σij x3 dx3 = σij 3 |−h/2 2 −h/2 .

 2 2 σij h h = − − =0 2 2 2 . (b) Por otra parte. De manera que un estado de tensiones constantes en el espesor no producen momentos. sino sólo momentos.25) −h/2 no hay efectos membranales.b. (b) Acción flexional pura.4: (a) Momentos flectores y torsores. (c) Finalmente. como se muestra en la Figura 2. (c) Combinación de membrana y flexión .5: (a) Acción membranal pura. y para ello es necesario una variación de tensiones. En este caso Nij =  h/2 σij dx3 = 0 (2. (b) Representacion vectorial de los momentos.5. consideremos el estado tensional de la Figura 2. hay casos en los que se combinan esfuerzos membranales con momentos.Formulación para láminas planas 19 Figura 2. Figura 2. con una variación lineal y tensión nula en la superficie media. con tensiones no nulas en la superficie media.c.5. Aquí se combinan efectos de membrana y de flexión. 11) se tienen relaciones en función de las componentes de desplazamiento de la superficie media: ∂β1 ∂ ∂u1 (u1 + x3 β1 ) = + x3 ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂u2 ∂β2 = + x3 ∂x2 ∂x2

 1 ∂u1 ∂u2 1 ∂β1 ∂β2 + x3 = + + 2 ∂x2 ∂x1 2 ∂x2 ∂x1 ε∗11 = ε∗22 ε∗12 (2.30) para i.6).32) χ12 χ22 .31) ε12 ε22 χ11 χ12 χij = (2. 2. aproximamos los cambios de curvatura χij de la superficie media por
 ∂β1 ∂ 2 β2 1 ∂β1 ∂β2 χ11 = χ22 = χ12 = + (2.4.28) ∂x1 ∂x2 2 ∂x2 ∂x1 que para la teoría de placas clásica (ec. Así.26) Debe notarse que u1 . Substituyendo las componentes de desplazamiento por sus valores en términos de las hipótesis de Kirchhoff (2.29) entonces se pueden escribir las deformaciones de un punto cualquiera de la placa en función de lo que ocurre en la superficie media: ε∗ij = εij + x3 χij (2. las variables de deformación de una placa se reducen a seis valores: tres de deformación εij y tres de curvatura χij .11) resulta χ11 = − ∂ 2 u3 ∂x21 χ22 = − ∂ 2 u3 ∂x22 χ12 = − ∂ 2 u3 ∂x1 ∂x2 (2.3.27) ∂x1 ∂x2 2 ∂x2 ∂x1 Además.Formulación para láminas planas 2. Esas variables constituyen tensores simétricos ε11 ε12 εij= (2. 20 Deformaciones y curvaturas Las relaciones cinemáticas lineales para un punto cualquiera fuera de la superficie media de una placa se expresan como en la (2. u2 . u3 no varían para diferentes valores de x3 . 2. Designamos las deformaciones específicas sobre la superficie media como
 ∂u1 ∂u2 1 ∂u1 ∂u2 ε11 = ε22 = ε12 = + (2. j = 1. 33) De manera similar se pueden encontrar ecuaciones constitutivas para momentos: M11 = D (χ11 + νχ22 ) M22 = D (χ22 + νχ11 ) M12 = D (1 − ν) χ12 donde K= Eh 1 − ν2 D= h2 Eh3 = K 12 (1 − ν 2 ) 12 (2. .4. se puede demostrar que conducen a N11 = K (ε11 + νε22 ) N22 = K (ε22 + νε11 ) N12 = K (1 − ν) (ε12 ) (2. resulta conveniente contar con una expresión para los esfuerzos resultantes Nij .34) (2. Adicionalmente. Es necesario recordar que en la teoría de placas clásica no hay relaciones constitutivas para los esfuerzos cortantes transversales. lineales. 21 Relaciones constitutivas entre variables de la superficie media Vimos que la condición constitutiva ∗ σ33 = E [(1 − ν) ε∗33 + ν (ε∗11 + ε∗22 )] 1+ν conducía a la relación ν (ε∗11 + ε∗22 ) 1−ν Sustituyendo esa condición en las otras ecuaciones constitutivas se puede llegar a ε∗33 = − E (ε∗ + νε∗22 ) 1 − ν 2 11 E = (ε∗22 + νε∗11 ) 2 1−ν E ∗ = ε 1 + ν 12 ∗ σ11 = ∗ σ22 ∗ σ12 que son las ecuaciones constitutivas elásticas.35) son la rigidez membranal K y la rigidez flexional D de una placa. de un punto fuera de la superficie media.4. Si se integran las ecuaciones constitutivas en el espesor de la placa.Formulación para láminas planas 2. Figura 2.4. Componentes flexionales Las componentes de flexión que entran en las ecuaciones de equilibrio se muestran en la Figura 2. Componentes membranales Consideremos en primer lugar las componentes de fuerzas que están en el propio plano medio de la placa (componentes membranales). Para garantizar equilibrio sobre el contorno de la placa se deben satisfacer las condiciones de fuerzas.7. Por ejemplo. sobre una cara actúa N11 + ∂x1 dx1 dx2 . 22 Ecuaciones de equilibrio de una placa Escribiremos por separado las ecuaciones de equilibrio membranales y flexionales.5. Nuevamente hay que multiplicar por el arco sobre el cual actúan . mientras que sobre la cara opuesta actúa [−N11 dx2 ].Formulación para láminas planas 2. y además hay que distinguir entre los valores  de los esfuerzos  que actúan en ∂N11 caras opuestas. que aparece en todos los términos que no se cancelan. sólo que están escritas en términos de fuerzas resultantes en el espesor en lugar de escribirse en términos de tensiones.36) ∂N21 ∂N22 + + p2 = 0 ∂x1 ∂x2 Estas ecuaciones son similares a las que aparecen en estados planos de tensión.6: Esfuerzos membranales que deben satisfacer la ecuacion de equilibrio. resultan dos condiciones ∂N11 ∂N12 + + p1 = 0 ∂x1 ∂x2 (2. Para sumar fuerzas es necesario multiplicar los esfuerzos resultantes por las longitudes del arco sobre el cual actúan. Sumando contribuciones y simplificando (dx1 dx2 ). En la suma de momentos se anula la contribución de las fuerzas externas p3 y de las variaciones de N13 .7: Esfuerzos flexionales que deben satisfacer la ecuación de equilibrio. entonces no habría posibilidad de equilibrar a p3 .38) ∂M21 ∂M22 + − N23 = 0 ∂x1 ∂x2 Debe notarse que los mismos resultados pueden obtenerse si se integran las ecuaciones de equilibrio de elasticidad tridimensional y se consideran las definiciones de esfuerzos resultantes.37) ∂x1 ∂x2 Nótese que los esfuerzos cortantes son vitales para poder mantener en equilibrio la placa. el equilibrio frente a cargas normales es mantenido por la variación del cortante. Si se hubieran despreciado los cortantes por ser nulas las deformaciones cortantes. La suma de fuerzas en sentido normal a la placa lleva a la condición ∂N13 ∂N23 + + p3 = 0 (2. y se llega a ∂M11 ∂M12 + − N13 = 0 ∂x1 ∂x2 (2. y hay que distinguir entre las acciones sobre una cara y sobre su opuesta. Estrictamente. cada uno de los esfuerzos a fin de sumarlos. como se muestra a continuación . que introducen un diferencial de orden superior.Formulación para láminas planas 23 Figura 2. j = 1.40) ∂x2 ∂x3 −h/2 ∂x1 por ser las xi variables independientes en los dos primeros términos es posible intercambiar la operación de derivada parcial con la integración. En cuanto al tercero es posible integrar por partes de forma que . Restringiéndonos a problemas estáticos. se supone aceleración nula.Formulación para láminas planas 24 Deducción del equilibrio flexional a partir de las ecuaciones de equilibrio tridimensionales Partiendo de las ecuaciones de equilibrio en tres dimensiones ∂σij + ρ (bj − aj ) = 0 ∂xi i. Nótese que al integrar la ecuación en el espesor desde el punto de vista de esta ecuación de equilibrio es indistinto que las cargas estén aplicadas en la cara superior. El tercer término resulta de integración inmediata. Luego ∂ ∂x1  h/2 −h/2 σ13 ∂ dx3 + ∂x2  h/2 −h/2 σ23 dx3 + σ33 |h/2 −h/2 + hρb3 = 0 (2. 2 (2.36). La integral de la tercera resulta  h/2 ∂σ13 ∂σ23 ∂σ33 + + + ρb3 dx3 = 0 (2. Similarmente a la ecuación de traslación se permuta el orden de integración y derivación en los dos primeros términos. La integración de las dos primeras ecuaciones en el espesor de la placa conducen a las condiciones de equilibrio del estado plano membranal (ec. bj es la fuerza másica (por unidad de masa) y aj es la aceleración. Tomando momento entonces de las ecuaciones de equilibrio en las direcciones x1 y x2 respecto al plano medio  h/2 ∂σ1i ∂σ2i ∂σ3i + + + ρbi x3 dx3 = 0 i = 1.39) donde ρ es la masa por unidad de volumen (densidad). en la cara inferior o en el interior de la placa. en tanto que en base a la hipótesis de homogeneidad del material el último resulta la integral de una constante.43) ∂x2 ∂x3 −h/2 ∂x1 Nótese primero que bi es uniforme (constante) y por lo tanto la integral asociada se anula. Además de esta ecuación de equilibrio de fuerzas resulta necesario plantear el equilibrio de momentos respecto al plano medio a donde han sido trasladadas todas las acciones.41) ∂N13 ∂N23 + + p3 = 0 (2. 2. 3 (2.42) ∂x1 ∂x2 donde se ha reemplazado la definición de los cortes transversales y se han agrupado las acciones transversales al plano de la placa (fuerzas másicas y de contacto) en una variable p3 . 45) −h/2 i = 1. El acoplamiento de mecanismos y la redundancia son formas más eficientes de resistir cargas exteriores y están presentes en cáscaras pero no en placas. u2 . escritas en términos de esfuerzos integrados en el espesor y de la carga total aplicada en la dirección x3 a partir de las ecuaciones de equilibrio en tres dimensiones. ε11 .44) −h/2 El primer término del segundo miembro se anula por las condiciones de contorno en las superficies inferior y superior de la placa donde las tensiones de contacto son normales a la placa y no se admiten tensiones rasantes.Formulación para láminas planas  h/2 −h/2 25 ∂σ3i +h/2 x3 dx3 = σ3i x3 |−h/2 − ∂x3  +h/2 σ3i dx3 (2. se desprende que la placa no puede usar esfuerzos membranales para resistir las cargas p3 . 2. N22 . u1 . Se tiene entonces ∂ ∂x1  h/2 ∂ σ1i x3 dx3 + ∂x2 −h/2  h/2 −h/2 σ2i x3 dx3 − ∂M1i ∂M2i + − Ni3 = 0 ∂x1 ∂x2  +h/2 σ3i dx3 = 0 (2. 2 (2. Mecanismo membranal en placas Las ecuaciones membranales se escriben en términos de las ocho variables asociadas a la superficie media N11 .47) ∂xi Se han obtenido entonces las tres ecuaciones de equilibrio relevantes para el problema de flexión de placas. se deduce que las ecuaciones de placas se separan en dos grupos que no están acoplados entre ellos.46) o ∂Mij − Ni3 = 0 i. El desacoplamiento de estos efectos hace que la solución sea más sencilla de encontrar. ni puede usar esfuerzos flexionales para resistir a p1 y p2 . De la observación de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas. 2 (2. j = 1. Separación del problema de placas en membranal y flexional De lo visto en este capítulo. placas laminadas) o si las ecuaciones cinemáticas fueran no lineales. 2.5. N12 . porque un mecanismo no puede ayudar al otro cuando sea necesario. pero es una desventaja desde el punto mecánico. Estas ecuaciones resultarían acopladas si el material fuera no homogéneo en la dirección transversal (por ej.1. ε12 . ε22 .5. con dos componentes . 34) y de equilibrio (2. 2. χ22 .5. que es idéntico al que se estudia en elasticidad bidimensional como estado plano de tensiones.2. constitutivas (2. las condiciones de contorno deberán en definitiva escribirse en términos de esa misma variable.29). M22 . que es nuevo en el contexto de la teoría de elasticidad. las ecuaciones flexionales se escriben en función de nueve variables asociadas a la superficie media M11 . N13 . En el interior de la placa se deben satisfacer las condiciones cinemáticas (2. En lo que sigue no nos ocuparemos de la solución de este problema. χ12 . es decir (en lo que sigue particularizaremos las condiciones a un borde como el que se muestra en la figura.38). M12 . que es de cuarto orden y . u3 . En este trabajo nos ocuparemos de la solución de este problema. Se deben satisfacer las condiciones cinemáticas (2. 2. χ11 . N23 . Condiciones de contorno de flexión Las condiciones de contorno pueden interpretarse como restricciones que se imponen a los valores que deben tomar las variables que gobiernan el problema en la frontera del dominio.36).Formulación para láminas planas 26 de carga en el dominio: p1 y p2 .6.23) y de equilibrio (2. Esto está de acuerdo con la ecuación diferencial a resolver.37. 2. En todo punto del contorno es posible y necesario fijar una de cada una de las variables conjugadas y nunca ambas. sujetas a condiciones de borde de fuerza o de desplazamientos. sujetas a condiciones de borde de fuerza o de desplazamientos. Como las variables principales del problema son los desplazamientos u3 .27). constitutivas (2. por lo cual si conocemos u3 a lo largo del contorno queda implícitamente prescrito ∂ u¯3 (s) β¯s (s) = = β¯2 (s) ∂s Es decir que sólo se pueden imponer dos condiciones de contorno en cada punto.) Variable cinemática Variable de fuerza u3 o N13 β1 o M11 β2 o M12 En la teoría de placas clásica los giros no son independientes del desplazamiento. Desde un punto de vista general en cada punto del contorno existen tres variables de desplazamiento (el desplazamiento transversal y los dos giros) y tres variables de fuerzas generalizadas conjugadas de las anteriores (el corte transversal y dos momentos). con una componente de carga p3 . Mecanismo flexional en placas Para el caso de la teoría clásica de placas. si el borde ubicado en x1 = a está empotrado.50) Nótese que el giro β1 .48) ef donde N13 es una combinación de N13 y M12 . En síntesis. Además.8: Placa rectangular.6. los desplazamientos transversales y los giros normales al borde están impedidos. Si el borde ubicado en x1 = a de la Figura 2.1.6. a lo largo del contorno sólo podemos especificar dos condiciones u3 β1 o o ef N13 M11 (2. El giro resultará de la solución de la ecuación . 2. Bordes simplemente apoyados En este caso la placa puede girar libremente. el momento flector normal al borde es nulo. 2.2.Formulación para láminas planas 27 por lo tanto sólo permite imponer dos condiciones en cada punto del contorno. u3 = 0 β1 = − Figura 2. En una placa rectangular. como se indica en la Figura 2.8. el momento torsor M12 y el esfuerzo cortante N13 no se conocen inicialmente sobre ese borde. se tiene ∂u3 =0 en x1 = a (2. se tiene u3 = 0 M11 = 0 en x1 = a (2.9 está simplemente apoyado. Esta necesidad de combinar estos esfuerzos proviene de la imposibilidad de fijar en forma independiente u3 de βs (hipótesis b.49) ∂x1 Nótese que los momentos M11 M12 y el esfuerzo cortante N13 sobre ese borde no están determinados por la condición de borde y son reacciones a ser calculadas luego de solucionada la ecuación diferencial. Bordes empotrados En un borde empotrado. pero no se puede desplazar en sentido transversal.2 de Kirchhoff). 51) M11 = −D +ν 2 =0 ∂x21 ∂x2 o sea ∂ 2 u3 ∂ 2 u3 + ν =0 ∂x21 ∂x22 (2. De modo que un borde simplemente apoyado se puede caracterizar en función de desplazamientos como u3 = 0 2.56) Estas tres condiciones de contorno no pueden tomarse como condiciones independientes entre sí. Esto generó un conflicto y muchas discusiones durante el desarrollo de la teoría de placas. La condición de momento no está escrita de manera conveniente en términos de desplazamientos.6. Sobre el borde se tiene que las fuerzas son cero o un valor que se conozca. de manera que su derivada en la dirección del mismo borde también es cero ∂ 2 u3 =0 ∂x22 (2.3. se llega a ∂ 2 u3 =0 ∂x21 (2. por lo que se la debe modificar usando el mismo método de desplazamientos. Esta dificultad de tener tres variables y dos condiciones para fijarlas es otra contradicción de la teoría de Kirchhoff. u3 y β1 se determinan usando la ecuación diferencial del problema. en todo el borde x1 = a los desplazamientos son cero. mientras que el esfuerzo cortante y el momento torsor son reacciones de apoyo.Formulación para láminas planas 28 diferencial de desplazamientos. ∂ 2 u3 =0 ∂x21 en x1 = a (2. Usando las ecuaciones constitutivas y cinemáticas se llega a 
2 ∂ u3 ∂ 2 u3 (2.53) Substituyendo en la condición de momento nulo.55) Borde libre Si un borde en x1 = a no tiene restricciones de desplazamiento. Sin embargo. porque se vio que sólo pueden administrarse dos condiciones en cada punto del borde.54) que es la condición de curvatura nula (χ11 = 0). de manera que resulta M11 = 0 M12 = 0 N13 = 0 en x1 = a (2. Para solucionar este probleef ma se define una variable de corte transversal efectivo N13 llamada “corte efectivo” .52) Esta condición depende de una propiedad del material (el módulo de Poisson ν). y puede escribirse como: ∂ 2 u3 ∂ 2 u3 + ν =0 ∂x21 ∂x22 ef Ahora hay que transformar N13 ef N13
 ∂M12 ∂M11 ∂M12 ∂M12 = N13 + = + + ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂M11 ∂M12 = +2 ∂x1 ∂x2 Reemplazando los momentos por derivadas de desplazamientos se llega a
2 
2  ∂ ∂ 2 u3 ∂ u3 ∂ ∂ u3 ef N13 = −D +ν 2 +2 =0 ∂x1 ∂x21 ∂x2 ∂x2 ∂x1 ∂x2 (2. 2. consideremos la Figura 2.90).59) o bien ∂ 3 u3 ∂ 3 u3 + (2 + ν) =0 ∂x31 ∂x1 ∂x22 en x1 = a (2.57) ∂x2 Nótese que esta definición del corte de Kirchhoff es la que aparece multiplicando a la variación del desplazamiento transversal δu3 en la integral sobre el contorno de la expresión de trabajos virtuales (ec.9. ∂M12 en x1 = a (2. 2. Sobre un borde libre debe entonces prescribirse el momento flector y el corte efectivo ef N13 = N13 + M11 = 0 ef N13 =0 en x1 = a (2.4.60) Esta condición involucra derivadas terceras de desplazamiento y depende del material. Interpretación física del Corte de Kirchhoff Para comprender como M12 puede ser parte del cortante. Para interpretarlo físicamente.6. se puede recurrir a las ecuaciones de equilibrio (2.Formulación para láminas planas 29 o “corte de Kirchhoff”. .58) Nuevamente nos encontramos con la situación que las condiciones de contorno están definidas en términos de fuerzas y hay que sustituirlas por desplazamientos. Para M11 ya se encontró su equivalencia al estudiar borde simplemente apoyado.63) y ver que ambas entran en la misma ecuación. que se supone que es equivalente al efecto combinado de momentos torsores y esfuerzos cortantes. por la presencia del módulo de Poisson ν. Condiciones de fuerzas en las esquinas Sobre el contorno de una placa rectangular se desarrollan esfuerzos cortantes de Kirchhoff. ′ N13 = 2. los efectos de esta substitución estarán limitados a una zona próxima al borde de ancho igual al espesor h de la placa. Pero si se integran esas reacciones verticales sobre los lados de la placa.61) ∂x2 Esta contribución se agrega al corte para formar el corte efectivo o de Kirchhoff. Si se considera el borde x1 = a.5. El campo de tensiones originales de la placa no cambia si las tensiones tangenciales que dan origen a los momentos torsores (M12 dx2 ) que actúan en un elemento de borde de longitud dx2 en sentido x1 = a. como se verá en la sección siguiente. se observará que el valor de las reacciones es mayor que el valor de la carga total aplicada. pero no hay nada que las equilibre al extremo del borde. el artificio de Kirchhoff . Para comprender dónde está la diferencia entre acciones y reacciones es necesario considerar qué acciones no han sido balanceadas por las ecuaciones de equilibrio sobre el contorno.Formulación para láminas planas 30 Figura 2.9: Definición de esfuerzo de Kirchhoff sobre un borde. son reemplazados por un par de fuerzas verticales cuya magnitud es M12 . De modo que las reacciones a lo largo de los lados tenderían a subir la placa en algún lugar. Por lo tanto. Por eso surge dos fuerzas: una de valor (M12 ) y la otra de valor M12 + ∂M ∂x2 una fuerza desbalanceada positiva (hacia el sentido positivo de x3 en este caso) de intensidad ∂M12 (2. La mayor parte de los esfuerzos cortantes M12 introducidos se cancelan por fuerzas opuestas en cada línea divisoria interior del borde de la placa. hay un efecto global que queda sin balancear al extremo del borde. actuando con un brazo de palanca dx2 . Sin embargo. sobre cada lado  de elementodx2 se tendrán 12 dx2 . Se puede argumentar que. según se vio antes. Venant. de acuerdo al principio de St.6. Si a una placa se le permite girar transversalmente. Esas fuerzas van en sentido contrario al de las reacciones distribuidas suministradas por el corte de Kirchhoff. por ejemplo mediante apoyos que impidan desplazamientos positivos pero no restrinjan desplazamientos negativos. Figura 2. En cada esquina de una placa se desarrolla una fuerza perpendicular a la placa. esa fuerza en la esquina es necesaria para mantener el borde sin levantarse. Este aspecto del problema asociado a bordes no-suaves aparece naturalmente en la formulación de trabajos virtuales. entonces la placa se levantará en sus esquinas.10. Existe un desbalance a lo largo de cada lado. entonces aparecen fuerzas verticales en cada quiebre que presente el contorno. que se visualiza cuando se substituyen los momentos torsores por fuerzas estáticamente equivalentes M12 dx2 . La Figura 2. .10: Momentos torsores a lo largo del contorno.Formulación para láminas planas 31 también genera una fuerza en el extremo de valor igual al momento M12 en ese punto. pero que si presenta ángulos no. Pero si el borde puede proveer reacciones en dos sentidos.90. y corresponde al último término de la expresión 2. tanto en sentido positivo como negativo. producto de la acción acumulada de los momentos torsores.a muestra la acción de los momentos torsores sobre los lados de la placa.   ∂M12 dx2 = dM12 R1 = ∂x2  
 ∂M21 R2 = dx1 = dM21 ∂x1 
sobre los lados paralelos a x2 sobre los lados paralelos a x1 Para una lámina rectangular. que se anula si el borde es suave. 32 Condiciones generales de contorno en un borde curvo Las anteriores expresiones en términos de los desplazamientos son válidas para bordes rectos. x3 ) mediante un cambio de base  χνν χνt ν χ11 χ12  ν t = χtν χtt t χ21 χ22 cos α − sin α cos α sin α χ11 χ12 − sin α cos α χ21 χ22 sin α cos α 2. Para ello hay básicamente dos posibilidades Figura 2. 1.6. es decir donde no hay un cambio continuo de la dirección normal al contorno.62) χ21 χ22 y transformarlo a χ¯ = χ¯ = la terna local (ν.11: Borde curvo. Estas herramientas están fuera del alcance de estas notas y no daremos más detalles.Formulación para láminas planas 2. . t. Expresar directamente el tensor de curvaturas χ¯ en función de derivadas respecto a un sistema de coordenadas curvlíineas ortogonales.6. Para ello es necesario usar las herramientas matemáticas apropiadas de forma que la derivada de un tensor de primer orden (∇u3 en este caso) sea un tensor de segundo orden (χ¯ en este caso). Expresar el tensor de curvaturas en el borde en función de sus componentes cartesianas χ11 χ12 χ= (2. En casos de bordes curvos generales es necesario reconocer la naturaleza tensorial de las χij y tratarlas como tal. una de las cuales coincida con el contorno (t a lo largo de Γ) y la otra con la normal. Ecuación diferencial en el dominio Siguiendo el método de los desplazamientos.Formulación para láminas planas 2. En este trabajo sólo veremos planteos siguiendo el método de desplazamientos y derivaremos las formulaciones diferenciales y energéticas.37). surge que el número de ecuaciones de equilibrio que se dispone es menor que el numero de incógnitas de esfuerzos. tanto para el estado membranal como para el flexional.1.34). Se obtiene así una ecuación diferencial de cuarto orden en función de los desplazamientos u3 . En ambos casos el problema es estáticamente indeterminado y por ello es necesario incluir las deformaciones y constitutivas como parte de la solución.38) se despejan los esfuerzos cortantes N13 = ∂M11 ∂M12 + ∂x1 ∂x2 (2. A continuación se reemplazan los momentos por las curvaturas usando las ecuaciones constitutivas (2. se parte de las ecuaciones de equilibrio del problema. en la que se agrupan las ecuaciones diferenciales del problema de una manera conveniente. En este caso conviene reducir el número de ecuaciones de equilibrio. A su vez. 33 Formulación diferencial Del planteo de las ecuaciones de equilibrio. ya que las deformaciones ε13 .29).64) Nótese que en esta teoría los esfuerzos cortantes N13 . en el estado membranal se tienen dos ecuaciones con tres incógnitas. Finalmente se reemplazan las curvaturas por los desplazamientos transversales usando las cinemáticas (2. 2. N23 . Así.7. ε23 . son nulas bajo las hipótesis de Kirchhoff. mientras que en el estado flexional se llega a tres ecuaciones con cinco incógnitas.7.63) N23 = ∂M21 ∂M22 + ∂x1 ∂x2 Substituyendo las (2. se obtienen de las condiciones de equilibrio de momentos (2.63). La formulación diferencial se plantea en forma prácticamente idéntica al caso de teoría clásica de vigas y se reduce a una única ecuación diferencial de cuarto orden. se obtiene una condición en función de derivadas segundas de momentos y de la fuerza resultante externa ∂ 2 M12 ∂ 2 M22 ∂ 2 M11 + 2 + + p3 = 0 ∂x21 ∂x1 ∂x2 ∂x22 (2. asociadas a dichos esfuerzos.63) en la ecuación (2. en cada caso se puede emplear el método de los desplazamientos (rigidez) o el método de las fuerzas (compatibilidad). Partiendo de las condiciones (2. Básicamente se puede emplear una formulación diferencial. en la que se escribe la energía potencial total del problema. o mediante una formulación integral. dividiendo por (1 + ν).Formulación para láminas planas 34 ∂ 4 u3 ∂ 4 u3 p3 ∂ 4 u3 + 2 + − =0 ∂x41 ∂x21 ∂x22 ∂x42 D (2. se obtiene: M = −D ∆ (u3 ) (2.2. Esta es la ecuación de cuarto orden de Germaine-Lagrange.64) puede ahora escribirse en función 1 ∂x2 de M ∆ (M ) = p3 (2.66) 2 2 ∂x1 ∂x2 El operador que afecta a u3 se denomina operador bilaplaciano y puede escribirse como ∆∆ (u3 ) = ∂ 4 u3 ∂ 4 u3 ∂ 4 u3 + 2 + ∂x41 ∂x21 ∂x22 ∂x42 (2. la ecuación de equilibrio (2.65) Para escribir la ecuación anterior de manera compacta se puede hacer uso del operador de Laplace ∂2 ( ) ∂2 ( ) ∆( )= + (2. Si sumamos M11 + M22 = D(1 + ν) (χ11 + χ22 )
2  ∂ u3 ∂ 2 u3 = D(1 + ν) − 2 − ∂x1 ∂x22 (2.70) Esta ecuación debe resolverse acoplada con la ecuación constitutiva.7. definida como M= 1 (M11 + M22 ) 1+ν (2.69) 2 ∂ M12 Para ∂x = 0. Formulación mixta del problema diferencial Una manera alternativa de plantear el problema de placas por la vía diferencial consiste en usar la función de momento M. ∆∆ (u3 ) − 2.68) D que incluye derivadas de cuarto orden en los desplazamientos transversales.71) o bien.72) .67) De manera que la ecuación diferencial de la placa se resume en una condición escalar p3 =0 (2. La energía interna total se calcula integrando la expresión anterior en la superficie media de la placa. Substituyendo Mij mediante ecuaciones constitutivas se llega a 1 U = D[χ211 + χ222 + 2νχ11 χ22 + 2(1 − ν)χ212 ] (2. Formulación de energía potencial total La ecuación de densidad de energía interna de deformación para un sólido elástico puede escribirse como 1 U = σij εij (2.75) 2 2 En lo que sigue. y se emplean las variables definidas sobre la superficie media.76) 2 Esta expresión corresponde a una unidad de superficie sobre la superficie media.74) 2 Si se integra esta densidad en el espesor.Formulación para láminas planas 35 La forma mixta de este problema consiste en resolver dos ecuaciones diferenciales de segundo orden en dos variables. El esfuerzo cortante se evalúa a partir de los momentos como ∂M (2. consideraremos solamente la parte flexional. se llega a la expresión de la densidad de energía interna de una placa 1 1 U = Mij χij + Nij εij (2. Substituyendo en términos de los giros se obtiene 
2 ∂β1 ∂β2 + ∂x1 ∂x2 .73) ∂xi Debido a la restricción planteada sobre M12 en este método. Ni3 = 2. M y u3 .8. en lo que sigue no lo utilizaremos.
  ∂β1 ∂β2 1 ∂β1 ∂β2 2 − 2(1 − ν) − + ∂x1 ∂x2 4 ∂x2 ∂x1 1 U= D 2 El potencial de las cargas exteriores se escribe integrando  dV = − p3 u3 dA A La energía potencial total π(u3 , p3 ) es la suma de ambas  π(u3 , p3 ) = U (u3 ) dA + V A (2.77) Formulación para láminas planas 36 Si se reemplazan las ecuaciones cinemáticas 2.11, siguiendo la teoría clásica de placas de Kirchhoff, queda: 
2 ∂ 2 u3 ∂ 2 u3 D + ∂x21 ∂x22
2 2  ∂ 2 u3 ∂ 2 u3 ∂ u3 −2(1 − ν) − dx1 dx2 2 2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 x2   − p3 u3 dx1 dx2 1 π(u3 , p3 ) = 2  (2.78) En esta formulación, la condición de equilibrio de la placa está dada por la primera variación de la energía con respecto a los desplazamientos, ∂π δu3 = 0 (2.79) ∂u3 Nótese que al igual que en la formulación diferencial las condiciones de equilibrio de la teoría clásica de placas se pueden expresar exclusivamente en función de u3 . Esto a su vez se hace al costo de que energía interna de deformación U resulte en términos de derivadas segundas de la variable incógnita. En este trabajo no se va a realizar la variación de la energía sobre el continuo, sino que se utilizarán métodos numéricos para discretizar la estructura de la placa y se realizará la variación de π con respecto a un número finito de grados de libertad. Tal enfoque se lleva a cabo en el Capítulo 4. δπ = 2.9. Expresión de trabajos virtuales Las técnicas numéricas más eficaces para análisis de estructuras están basadas en “formulaciones débiles”, que conducen a la expresión de trabajos virtuales donde quedan explícitas además en forma natural las condiciones de contorno que pueden considerarse. Una forma estándar de generar la formulación débil es tomar las ecuaciones de equilibrio que gobiernan el problema, multiplicar cada una de ellas por el desplazamiento (generalizado) virtual asociado (desplazamientos para las ecuaciones de equilibrio de traslación y giros para las ecuaciones de equilibrio de rotación), sumar las expresiones e integrar en el dominio del problema. En este caso la expresión de la formulación débil toma la forma  [(∇ · Q + p3 ) δu3 + (∇ · M − Q) · δβ] dA = 0 (2.80) A donde A es el área de la placa. Los desplazamientos (generalizados) virtuales son en este caso δu3 y δβ. Recuérdese que por ser los desplazamientos virtuales arbitrarios Formulación para láminas planas 37 e independientes entre sí la integral igualada a cero conduce a la necesidad de que independientemente se satisfagan las ecuaciones de equilibrio en todo el dominio. A continuación aplicando el teorema de la divergencia (equivalente a la integración por partes en dominios bidimensionales) a los términos donde aparece en forma explícita la divergencia (∇ · (.)) de los tensores M y Q se tiene:   A A (∇ · Q) δu3 dA = (∇ · M) · δβ dA =  Γ Γ (Q · ν) δu3 dΓ −  (M · ν) · δβ dΓ − A Q · ∇δu3 dA A M : ∇δβ dA donde ν es la normal al contorno Γ de la placa y M : ∇δβ es el producto interno de dos tensores de segundo orden (Mij (∇δβ)ij Por ser M un tensor simétrico, puede demostrarse fácilmente que sólo la parte simétrica de ∇δβ tiene influencia M : ∇δβ = M : ∇s δβ = M : δχ (2.81) Reemplazando estas expresiones en la formulación débil resulta  [(∇ · Q + q) δu3 + (∇ · M − Q) · δβ] dA =   − [Q· (∇δu3 + δβ) + M : δχ − q δu3 ] dA + [(Q · ν) δu3 + (M · ν) · δβ ] = 0 A A Γ reconociendo que (∇δu3 + δβ) = 2δ ε13 ε23 =δ γ1 γ2 = δγ (2.82) es la variación de las deformaciones transversales de corte (que son nulas para la teoría clásica de placas, pero que de momento se mantendrán por razones de generalidad) y escribiendo Q · ν = Qv (2.83) (corte transversal en la dirección normal al contorno), resolviendo el término de momentos en las direcciones normal ν y tangente t al contorno (M · ν) · δβ = Mνν δβν + Mνt δβt (2.84) resulta  [Q·δγ + M : δχ] dA = A  A q δu3 dA +  Γ [Qν δu3 + Mνν δβν + Mνt δβt ] dΓ (2.85) y se tiene por un lado δγ = 0 (2.87) integrando en el espesor y aplicando integración por partes al término de la divergencia de las tensiones. de otra forma es necesario subdividir el contorno en partes suaves lo que da lugar a fuerzas concentradas (notar que Mνt tiene dimensiones de una fuerza) en la unión de los distintas partes como se ve en la próxima sección. Integrando por partes el término    ∂Mνt L δu3 dΓ Mνt δβt dΓ = − Mνt δu3′ t dΓ = − Mνt δu3 |0 + (2. Si ahora se adopta la teoría clásica de placas δβ no es independiente de δu3 . El segundo miembro corresponde al trabajo virtual externo como la suma del debido a las fuerzas normales al plano medio y el debido a los esfuerzos en el contorno.90) El último término se anula en el caso de que el contorno sea suave.88) y por otro que δβt = −δu3′ t no es independiente de δu3 en el contorno.Formulación para láminas planas 38 El primer miembro es el trabajo virtual interno donde se puede reconocer el trabajo virtual de los momentos y del esfuerzo de corte transversal. A la misma expresión de trabajos virtuales se puede llegar usando las expresiones generales en tres dimensiones: ∇ · σ + ρ (b − a) = 0 (2.89) Γ Γ Γ ∂t la expresión de trabajos virtuales para la teoría sin deformación de corte transversal resulta    
∂Mνt M : δχ dA = q δu3 dA + Qν + δu3 − Mνν δu3′ ν dΓ − Mνt δu3 |L0 ∂t A A Γ (2.86) restringiendo los desplazamientos virtuales a δu1 = δβ1 x3 δu2 = δβ2 x3 δu3 = δu3 haciendo  v δu· [∇ · σ + ρ (b − a)] dV = 0 (2. . Luego las tensiones asociadas E ∗ (2. 39 Teoría de placas incluyendo deformaciones transversales de corte Una teoría que incluya deformaciones transversales de corte se obtiene si en el mismo contexto de las hipótesis indicadas en la Sección 2 no se realiza la segunda parte de la hipótesis “b”.93) donde G es el módulo de corte.37.Formulación para láminas planas 2.10. El coeficiente κ habitualmente se toma con valor 5/6 y resulta de igualar la energía que resulta de utilizar una tensión cortante constante en el espesor con la que resulta de utilizar una variación parabólica de la tensión.1). M22 . El tensor de deformaciones tiene ahora 5 componentes distintas no-nulas puesto que ε13 y ε23 no son nulos sino constantes en el espesor.34. Es habitual definir estas deformaciones como
 ∂u3 γ1 = 2ε13 = β1 + (2. β1 y β2 con una componente de carga p3 . γ2 . análoga a lo que significa la teoría de vigas de Timoshenko a la teoría clásica de vigas de Bernoulli-Navier. Notar ahora que no solo γ1 y γ2 son distintas de cero sino que además los giros β1 y β2 son . las correspondientes ecuaciones constitutivas son N13 = Ghκ γ1 N23 = Ghκ γ2 (2. χ22 .92 complementan las ecuaciones cinemáticas 2. χ12 . siendo nulas en las superficies externas de la placa y máximas sobre la superficie media.28 que expresan las curvaturas en función de derivadas de los giros. 2. pero no necesariamente normales a la placa deformada Las deformaciones de corte transversal resultan
 1 ∂u3 ∗ εi3 = βi + i = 1. Las ecuaciones flexionales se escriben en función de trece valores M11 .93 complementan las ecuaciones constitutivas 2. γ1 . El comportamiento de la lámina se encuadra dentro de lo que se conoce como teoría de Reissner-Mindlin.92) ∂x1
 ∂u3 γ2 = 2ε23 = β2 + ∂x2 ∗ = σi3 Para el caso de considerar tales deformaciones. Nótese que en este caso las fibras que originalmente eran normales al plano de la placa se mantienen rectas (hipótesis b. 2 2 ∂xi constantes en el espesor de la lámina.38). M12 . N13 . u3 .91) ε = cte 1 + ν i3 Lo cual también genera una contradicción porque las tensiones de corte transversales deberían tener variación parabólica en el espesor (similar al corte de Jourasky en vigas). en tanto que las ecuaciones constitutivas 2. χ11 . Las ecuaciones de equilibrio no difieren de las teorías de placas clásicas (2. Las expresiones 2. N23 . Las tres ecuaciones de equilibrio pueden escribirse en términos del desplazamiento transversal y los giros.37. lo que representa un total de 13 ecuaciones con 13 incógnitas por lo cual el problema está correctamente definido. se tiene 
2 ∂β1 ∂β2 + ∂x1 ∂x2 . pero no pueden como en el caso de la teoría clásica reducirse a una única ecuación diferencial.94) Reemplazando las relaciones cinemáticas. Notar que las ecuaciones diferenciales resultan de 2do.93). orden.34 y 2. 2. La energía interna de deformación debe ahora incluir los términos asociados al corte U=   1 D[χ211 + χ222 + 2νχ11 χ22 + 2(1 − ν)χ212 ] + Ghκ γ12 + γ22 2 (2.34. En este caso se mantienen 3 ecuaciones de equilibrio en función de 3 incógnitas de desplazamiento (generalizado) ∇ · Q + p3 = 0 GHκ ∇ · γ + p3 = 0 GHκ ∇ · (β + ∇u3 ) + p3 = 0 ∇·M−Q=0 ∇ · (D : χ) − GHκ γ = 0 ∇ · (D : ∇s β) − GHκ (β + ∇u3 ) = 0 donde ∇s β es la parte simétrica del gradiente de los giros y D es un tensor constitutivo de cuarto orden que relaciona el tensor (de 2do orden) de momentos flectores con el tensor (de 2do orden) de curvaturas.Formulación para láminas planas 40 independientes de u3 . cuyas componentes no nulas son las que aparecen en la relación 2.38). Se tienen entonces 3 ecuaciones de equilibrio (2. 5 ecuaciones cinemáticas ( 2.92) y 5 ecuaciones constitutivas (2.28 y 2.
2 ∂β1 ∂β2 1 ∂β1 ∂β2 − 2(1 − ν) − + ∂x1 ∂x2 4 ∂x2 ∂x1 . β1 . β2 . p3 ) es la suma de ambas  π(u3 .95) (2. β1 . β2 ) dA + V (2.96) A donde V no ha cambiado con respecto al caso de la teoría de placas clásica. De esta última pueden obtenerse las posibles condiciones de contorno que pueden imponerse: . β1 .85. β2 . p3 ) = U (u3 . La correspondiente ecuación de trabajos virtuales es la 2.
2
2  ∂u3 ∂u3 + Ghκ β1 + + β2 + ∂x1 ∂x2 1 U= D 2 La energía potencial total π(u3 . Problemas Problema 2. En la gran mayoría de los casos prácticos. Nn3 − N13 cos(n.97) . donde las superficies externas son muy rígidas comparadas con el centro del espesor de la placa.12.Formulación para láminas planas 41 Variable cinemática Variable de fuerza u3 o N13 β1 o M11 β2 o M12 donde ya no existe la relación entre u3 y βs . como las realizadas con materiales compuestos.11. con lo cual no es necesario introducir el corte de Kirchhoff.a) Figura 2. 2. x2 ) = 0 de donde (2.12: (a) Transformación de esfuerzos cortantes. Demuestre que los esfuerzos cortantes se transforman como un vector. las deformaciones de corte transversal son muy bajas. Solución: El corte transversal Ni3 se transforma según la ecuación de equilibrio (ver Figura 2. x1 ) − N23 cos(n. (b) Transformación de momentos. Sin embargo estas teorías se han utilizado mucho debido a que las ecuaciones resultantes son más sencillas de resolver numéricamente debido a que el orden de derivación es más bajo. exceptuando casos de placas no homogéneas en el espesor.1. 98) donde σij′ se refiere a un sistema y1 . y2 se escribe  ′ 
 ′ 1 ∂βi ∂βj 1 ∂ (λli βl ) ∂ (λmj βm ) ′ χij = + = + 2 ∂yj ∂yi 2 ∂yj ∂yi Donde se han reemplazado las componentes del vector rotación de acuerdo a la ley de transformación de vectores. Luego Mij′ = λli λmj Mlm (2.2. y σlm se refiere a un sistema x1 . y2 . Solución: Los momentos Mij se transforman de un sistema coordenado cartesiano a otro siguiendo la definición de momento (2. Problema 2.99) Esto quiere decir que los momentos también constituyen un tensor de segundo orden. En un sistema y1 .3. Además notando la definición de los cosenos directores ∂xl = λli ∂yi ∂xm = λmj ∂yj (2. Solución: Interesa averiguar cómo se transforman las curvaturas cuando se rotan los ejes coordenados con respecto a los cuales se la define.Formulación para láminas planas 42 Nn3 = N13 λ1n − N23 λ2n = Ni3 λin Ns3 = Ni3 λis De manera que las dos componentes cartesianas del corte transversal se transforman como un vector. Demuestre que los momentos flectores en una placa se transforman como un tensor de segundo orden.100) se tiene χ′ij
 1 ∂ (λli βl ) ∂ (λmj βm ) = λmj + λli 2 ∂xm ∂xl
 1 ∂βl ∂βm = + λmj λli 2 ∂xm ∂xl de donde χ′ij = λli λmj χlm (2. Demuestre que las curvaturas en una placa se transforman como un tensor de segundo orden. Problema 2.101) . La transformación de tensiones σij se hace como un tensor de segundo orden [13] σij′ = λli λmj σlm (2. x2 .23). Demuestre que se pueden encontrar las ecuaciones de equilibrio de una placa a partir de las ecuaciones de equilibrio de elasticidad tridimensional. Problema 2.Formulación para láminas planas 43 Las curvaturas se transforman como un tensor de segundo orden.74) e integrando en el espesor.102) ∂  ∂x2 y escribiendo un vector del corte Q en la forma N13 (2. Problema 2.7.1) de energía potencial de una placa se puede obtener a partir de la ecuación tridimensional (2. la ecuación de momentos resulta: ∇·M−Q= 0 (2. Escriba las ecuaciones de equilibrio de flexión usando notación tensorial.105) .4.103) Q= N23 la ecuación de equilibrio en la dirección transversal a la placa puede escribirse como ∇ · Q + p3 = 0 (2. Demuestre que la ecuación (4. Problema 2.6.5. Problema 2.104) Introduciendo el operador Nabla. Solución: Recordando la definición del operador Nabla en dos dimensiones   ∂  1  ∇ =  ∂x (2. Demuestre que se pueden encontrar las ecuaciones constitutivas a partir de la integración de las ecuaciones constitutivas generales. Solución mediante series de Fourier En el capítulo anterior se vio que la ecuación diferencial de una placa. En esta sección nos limitaremos a placas de geometría rectangular bajo condiciones de contorno simplemente apoyadas. En este capítulo se exploran solamente dos posibilidades: la solución analítica mediante series de Fourier y la solución numérica mediante diferencias finitas. Una versión clásica de la solución de ecuaciones diferenciales mediante métodos numéricos se encuentra en el libro de Collatz [14]. y p = p3 es la carga distribuida por unidad de superficie que actúa perpendicular a la placa. y se llegó a un sistema desacoplado de flexión y de efectos membranales.2. y estudiaremos la solución desarrollada originalmente por Navier en 1820. 3.Capítulo 3 SOLUCIONES DE PLACAS UTILIZANDO LA FORMULACIÓN DIFERENCIAL 3. Introducción En el capítulo anterior se estudió la formulación diferencial de placas planas. 44 . es ∂ 4u ∂4u ∂ 4u p + 2 + − =0 4 2 2 4 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 D donde u = u3 es el desplazamiento transversal de la placa. bajo las hipótesis de Kirchhoff. 12].1. Otras soluciones para diferentes condiciones de borde pueden encontrarse en las Referencias [11. La solución de la ecuación diferencial de flexión sujeta a condiciones de contorno se puede realizar en forma analítica o en forma numérica. o sea x1 entre 0 y a.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 3. 45 Descomposición de la carga en series de Fourier A los efectos de solucionar el problema mediante series de Fourier.1) por sin sπx sin . N que se desea incluir en el análisis. por lo que los resultados de esta sección serán de interés en otras partes de este trabajo.3) Para la integración de la ecuación es necesario utilizar los siguientes resultados . n entre 1 y el número de términos M .1) donde a y b son las dimensiones de los lados de la placa en direcciones x1 y x2 respectivamente. donde s y t son valores fijos enteros. Para ello se multiplica cada término de la ecuación    tπx 1 2 (3.  tπx2 dx1 dx2 p sin sin a b x1=0 x2=0  a  b  N  N  mπx   nπx  1 2 = pmn sin sin a b x1=0 x2=0 m=1 n=1
  sπx  tπx2 1 sin sin dx1 dx2 a b  a N  N  mπx   sπx   1 1 = pmn sin sin dx1 a a x1=0 m=1 n=1
  b  nπx  tπx2 2 sin sin dx2 b b x2=0  a  b  sπx  1
(3.1. Resulta a b
 tπx2 sin p sin a b
 N N  nπx   sπx    mπx1  tπx2 2 1 = pmn sin sin sin sin a b a b m=1 n=1  sπx  1 (3. La ecuación anterior es una doble sumatoria que se extiende a valores de m. se considera que la carga puede descomponerse mediante la aproximación siguiente: p= N  N  pmn sin m=1 n=1  mπx  1 a sin  nπx  2 b (3. En la descomposición de la carga es necesario calcular cuanto valen los coeficientes de participación pmn.2) A continuación se integra la ecuación anterior en la superficie de la placa. y x2 entre 0 y b.2. y en otros problemas de láminas curvas. Este tipo de representación se utiliza también en las formulaciones integrales de placas. 2. o sea u= N  N  m=1 n=1 amn sin  mπx  1 a sin  nπx  2 b (3.1).4) De manera que para calcular cada coeficiente de participación en la serie de Fourier que representa la carga es necesario integrar la función de carga multiplicada por la función correspondiente al término de Fourier asociado. de manera que la carga puede expresarse como dice la ecuación (3.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial  a sin x1=0  mπx  1 a sin 46  sπx  dx1 = 0 si a 2 m = s si m=s
dx2 = 0 si n = t b 2 si n=t 1 a = similarmente  a sin x2=0  nπx  2 b sin tπx2 b  = Esto hace que los términos en los cuales los índices son diferentes se cancelen.5) pero ahora los coeficientes amn no pueden calcularse como los de la carga. .4) para cada término de Fourier que se vaya a considerar. y sólo subsisten aquellos términos que tienen los mismos subíndices m = s y n = t.3) desaparecen las sumatorias y se reduce a  a  b  nπx   mπx  ab 1 2 sin dx1 dx2 = pmn p sin a b 22 x1=0 x2=0 de donde pmn 4 = ab  a x1=0  b p sin x2=0  mπx  1 a sin  nπx  2 b dx1 dx2 (3. En la ecuación (3. de manera que la solución presente está limitada a ese tipo de contorno. 3. En lo sucesivo supondremos que ya se ha calculado la ecuación (3.2. sino que deben satisfacer la ecuación diferencial de la placa. Se puede verificar que la representación de desplazamientos de la forma (3.5) satisface condiciones de borde simplemente apoyadas. Descomposición de la solución en series de Fourier A continuación se realiza una descomposición de la solución similar a la que se realizó para la carga. Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 3. Cálculo de momentos Las funciones de momentos se calculan derivando los desplazamientos M11
 ∂2u ∂ 2u = −D +ν 2 ∂x21 ∂x
2 2 2   mπx   nπx  m n 1 2 2 = Dπ amn +ν 2 sin sin 2 a b a b . 3.5).7) La ecuación (3. incluyendo en el contorno.9) a b D Una vez calculados los valores de amn se puede obtener el campo de desplazamientos mediante la ecuación (3.3. de manera que para que se verifique para cualquier punto de coordenadas x1 . x2 debe cumplirse que los coeficientes Amn se anulen independientemente: Amn = 0 o bien amn  mπ 2 a +  nπ 2 2 b − pmn =0 D (3.2.8) Cada valor de amn depende sólo del coeficiente correspondiente de participación de la carga pmn . Despejando amn se obtiene  mπ 2  nπ 2 −2 pmn amn = + (3.6) debe satisfacerse en todos los puntos de la placa.5) es una función de x1 . Nótese que la (3.2.4.6) (3. x2 y proporciona los desplazamientos en todos los puntos de la placa. 47 Ecuación diferencial en términos de componentes de Fourier Substituyendo la carga y los desplazamientos en la ecuación diferencial de la placa se llega a N  N  Amn sin m=1 n=1 donde Amn = amn   mπx  1 a sin  nπx  2 b =0  mπ 2  nπ 2  nπ 4 p mπ 4 mn +2 + − a a b b D (3. 3. bajo carga distribuida de valor uniforme pero restringida a una zona de la placa definida por p3 = q para a1 ≤ x1 ≤ a2 b1 ≤ x2 ≤ b2 Las componentes de Fourier de la carga son   b2  mπx   nπx  4 a2 1 2 pmn = q sin sin dx1 dx2 ab x1=a1 x2=b1 a b (3.10) Los momentos flectores M11 y M22 varían con funciones seno.11) .2.3.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial M22 48
 ∂2u ∂ 2u = −D +ν 2 ∂x22 ∂x
2 1 2   nπx   mπx  n m 1 2 2 = Dπ amn sin sin +ν 2 2 b a a b M12
 ∂ 2u = −D (1 − ν) ∂x1 ∂x2   nπx    mπx  mn 1 2 = −Dπ 2 amn cos cos ab a b (3.5. mientras que la variación del momento torsor M12 sigue funciones coseno. Ejemplo de solución de una placa mediante series de Fourier Consideremos una placa rectangular simplemente apoyada. de lados a y b. Cálculo de esfuerzos cortantes Los esfuerzos N13 y N23 se calculan mediante las ecuaciones de equilibrio ∂M11 ∂M21 + ∂x1 ∂x2  nπx   mπx  3 π 1 2 sin = D amn 2 3 m (m2 b2 + n2 a2 ) cos ba a b N13 = ∂M22 ∂M12 + ∂x2 ∂x1  mπx   nπx  3 π 1 2 2 2 2 2 = D amn 3 2 n (m b + n a ) sin cos ba a b N23 = 3. Los momentos M11 están en la Figura 3.01m. a2 = 3a/4. Como ejemplo se ha tomado una placa de acero con a = 1. Los factores de participación de la carga en este caso cambian de signo. a1 = a/4.5m.1.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 49 Figura 3. y el máximo valor ocurre para m = 1.a y el momento torsor M12 en la Figura 3. Cuando se reconstruye la carga p se tiene el gráfico de la Figura 3. que trata de representar la carga del problema de manera aproximada. Figura 3.a para n = 1 y diferentes valores de m.1: (a) Componentes de Fourier de la carga parcial. b = 2. b1 = b/4. Los esfuerzos .3. y es una superficie suave. El campo de desplazamientos con 23 términos tanto para momentos como para esfuerzos cortantes ( N m´ax = M m´ax = 23) está en la Figura 3. (b) Carga parcial tal como se la representa con 23 modos y se representan en la Figura 3.2. b2 = 3b/4.3. q = 1.b.b. Los modos con valores altos de m dejan de contribuir de manera significativa.1.2: Desplazamientos para carga parcial.5m. h = 0. por ejemplo. La integración de la carga total de la Figura 3.4. Figura 3.4. . mientras que la reacción debida al cortante es de 0. La diferencia se debe a las fuerzas en las esquinas. 3. (b) Momentos torsores M12 . Solución mediante diferencias finitas La solución de placas mediante diferencias finitas ha sido tradicionalmente un método muy empleado en la literatura (ver.4.b en este caso es 0.92. 12]). las referencias [18.b se ve el corte N13 al centro de la placa.1.906. (b) En la sección central. pero ésta es aun una metodología importante conceptualmente y que puede programarse con mucha facilidad.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 50 cortantes N13 se han representado en la Figura 3. En las últimas décadas el auge del método de elementos finitos ha superado notablemente al desarrollo de soluciones utilizando diferencias finitas.4: Esfuerzos cortantes N13 (a) en toda la placa. 15.a. Figura 3. y en la Figura 3.3: (a) Momentos flectores M11 . 12) es O(∆x4 ).. se puede escribir la expansión f(x0 +∆x) = f(x0 ) + df 1 d2 f 1 d3 f 2 | ∆x + |x=x0 ∆x3 +.. Con referencia a la Figura 3. El método de diferencias finitas opera de manera inversa al desarrollo de Taylor: Se trata de averiguar cuánto valen las derivadas de una función a partir de valores de la función en determinados estados.5: (a) Función f (x).. se pueden obtener valores de la función para estados vecinos.13) Despejando la derivada primera se tiene df f (x0 + ∆x) − f(x0 ) |x=x0 ≃ dx ∆x (3. Por ejemplo.a.4. la ecuación (3.12) se trunca en determinado término.5. 51 Derivadas en función de diferencias finitas En una expansión en serie de Taylor se conoce el valor de la función f (x) en un punto determinado x = x0 . cada término no nulo en la expansión incide menos que el anterior. dx (3. y el error que se comete en la aproximación es del orden del primer término siguiente que no fue incluido en la aproximación. supongamos que la expansión (3.1.12) |x=x0 ∆x+ x=x0 2 3 dx 2! dx 3! dx donde las derivadas se deben evaluar en el estado x = x0 .12) se trunca luego del término ∆x. Vale decir que si se conoce el valor de la función y de sus derivadas en un estado..14) . (b) Función f (x) en diferentes puntos x. se dice que el orden del error en la expresión (3. (3. e interesa conocer el valor de la función en un estado vecino caracterizado por x = x0 + ∆x. Por ejemplo.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 3. Figura 3. Para valores de incrementos ∆x pequeños. Se tendrá así: f(x0 + ∆x) = f (x0 ) + df |x=x0 ∆x + . En situaciones prácticas. que utiliza valores de f en x0 y en x0 + ∆x se denomina diferencias finitas hacia adelante. También puede obtenerse una aproximación de la derivada hacia atrás. Así.20) 2 |n+1 −2 ddxf2 |n + ddxf2 |n−1 ∆x2 . se llega a d2 f dx2 2 (3.15)  dx x=x0 ∆x Por último.19) Las derivadas de orden superior pueden computarse utilizado en forma recursiva las diferencias finitas hacia adelante y hacia atrás. en las que la derivada se aproxima como  df  f (x0 + ∆x) − f (x0 − ∆x) ≃ (3.. pueden usarse expresiones de diferencias finitas centrales.16)  dx x=x0 2 ∆x En lugar de referirnos a las coordenadas x en cada caso.17) diferencias hacia atrás (3. n + 2. Una aproximación de este tipo. se tiene: d2 f d df |n = ( ) |n = 2 dx dx dx Substituyendo df | dx n+1 y df | dx n df | dx n+1 df − dx |n ∆x por diferencias finitas hacia atrás se llega a d2 f fn+1 − 2fn + fn−1 | = n dx2 ∆x2 Las derivadas cuartas pueden calcularse como d4 f d2 d2 f | = ( ) |n = n dx4 dx2 dx2 Substituyendo.5. n + 1. etc. como se muestra en la Figura 3. entonces se puede evaluar la derivada de la función en x = x0 . y resulta en la forma  df  f (x0 ) − f(x0 − ∆x) ≃ (3.18) diferencias centrales (3.b. con diferencias hacia adelante y considerando que el espaciamiento ∆x entre puntos que definen las derivadas es constante. podemos identificar una secuencia de puntos en x y designarlos como n.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 52 Vale decir que si se conoce el valor de la función f en los estados x = x0 y x = x0 +∆x. Así se tendrán las derivadas primeras aproximadas como  df  fn+1 − fn ≃  dx n ∆x  fn − fn−1 df  ≃  dx n ∆x  fn+1 − fn−1 df  ≃  dx n 2∆x diferencias hacia adelante (3. es fácil demostrar que las derivadas cuartas evaluadas en el punto 1 resultan: ∂ 4f 1 | = (f6 − 4f2 + 6f1 − 4f3 + f7 ) (3. Una estrella en diferencias finitas es equivalente al concepto de elemento en el método de elementos finitos.b. Figura 3.21) Derivadas parciales en función de diferencias finitas Cuando se trata de problemas bidimensionales. para los cuales se encuentra definida una función f (x1 . Utilizando la notación de la Figura 3. incluyendo al propio punto n = 1 en el que se desea realizar la .22) 1 ∂x41 ∆x41 ∂ 4f 1 | = (f8 − 4f4 + 6f1 − 4f5 + f9 ) 4 1 ∂x2 ∆x42 ∂4f 1 | = [4f1 − 2 (f2 + f3 + f4 + f5 ) + (f10 + f11 + f12 + f13 )] 2 2 1 2 ∂x1 ∂x2 ∆x1 ∆x22 Las ecuaciones anteriores indican que para representar las derivadas cuartas se necesitan 13 puntos.2. La grilla de puntos que se utiliza para evaluar derivadas en un punto es el conjunto de puntos vecinos que resultan afectados. Supondremos un conjunto de puntos ubicados según una cuadrícula cuadrada o rectangular. x2 ) (Figura 3. las derivadas se transforman en derivadas parciales en función de variables x1 .4.6.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 1 d4 f |n = (fn+2 − 4fn+1 + 6fn − 4fn−1 + fn−2 ) 4 dx ∆x4 3. x2 ). Las derivadas direccionales no difieren de las derivadas en una dirección.a). 53 (3. (b) Estrella utilizada para definir derivadas cuartas sobre una grilla ortogonal de puntos. y a este conjunto se lo denomina estrella. x2 . pero las derivadas parciales cruzadas se deben calcular nuevamente.6.6: (a) Función f (x1 . como se muestra en la Figura 3.3. 3.b. cuyo centro corresponde al punto en el cual se obliga a cumplir la condición de diferencias finitas.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 54 evaluación.6.6. Se tiene así 1 1 (f6 − 4f2 + 6f1 − 4f3 + f7 ) + (f8 − 4f4 + 6f1 − 4f5 + f9 ) 4 ∆x1 ∆x42 2 p1 + [4f1 − 2 (f2 + f3 + f4 + f5 ) + (f10 + f11 + f12 + f13 )] − 2 2 ∆x1 ∆x2 D =0 (3.b es de tipo local. Para cada punto de la malla es posible aproximar la ecuación diferencial mediante los valores de la función f en puntos vecinos. Consideremos una malla de puntos igualmente espaciados en la direcciones x1 y x2 .23) La ecuación anterior puede simplificarse si se escribe uno de los espaciamientos de la grilla en función del otro: ∆x1 = α ∆x2 ∴ ∆x2 = 1 ∆x1 α (3.24) y resulta     6 + 6α4 + 8α2 f1 + (f6 + f7 ) − 4 1 + α2 (f2 + f3 ) + α4 (f8 + f9 )   − 4α2 α2 + 1 (f4 + f5 ) + 2α2 (f10 + f11 + f12 + f13 ) p1 = ∆x41 D (3.4. . Consideremos la ecuación diferencial en el dominio de una placa ∂4f ∂ 4f ∂ 4f p + 2 + − =0 4 2 2 4 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 D donde p = p3 es la carga perpendicular a la superficie media de la placa y f = u3 es el desplazamiento transversal de la placa. Representación de ecuaciones diferenciales en el dominio utilizando diferencias finitas Con la aproximación numérica de derivadas parciales es posible construir aproximaciones locales de ecuaciones diferenciales. La numeración adoptada en la Figura 3.25) Es común escribir el operador de la ecuación en forma de molécula. y sirve para identificar puntos con respecto a la posición del punto 1 al centro de la estrella. la molécula se simplifica a lo siguiente 1 1 2 −8 2 −8 20 −8 2 −8 2 1 1 3.4.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 55 α4 1 2α2 −4α2 (α2 + 1) 2α2 −4 (1 + α2 ) (6 + 6α4 + 8α2 ) −4 (1 + α2 ) 2α2 −4α2 (α2 + 1) 2α2 1 α4 En el caso particular que el espaciamiento en ambas direcciones sea el mismo α=1 ∆x1 = ∆x2 ∴ se tiene 20f1 − 8 (f2 + f3 + f4 + f5 ) + 2 (f10 + f11 + f12 + f13 ) + (f6 + f7 + f8 + f9 ) p1 = ∆x41 (3. ficticios. que quedarían ubicados fuera del dominio físico de la placa y servirían para dar apoyo a los operadores centrales desarrollados en esta sección. Pero a medida que nos acercamos a un borde los puntos necesarios no estarán disponibles porque caerían fuera de la placa. La segunda es generar un conjunto de puntos auxiliares. Hay dos maneras de tratar puntos cercanos al contorno: La primera es utilizando allí expresiones de diferencias finitas hacia un lado en lugar de centrales. Representación de condiciones de contorno utilizando diferencias finitas Las ecuaciones anteriores resultan adecuadas para puntos dentro del dominio de una placa alejados de los bordes.4.26) D Para el caso de malla cuadrada. En esta presentación preferiremos la segunda opción . 28) De manera que el punto auxiliar 3 tiene un valor de la función desplazamiento f igual y de signo contrario al de un punto 2 a igual distancia del borde pero hacia el interior. Para ellos resulta f1 = 0 f3 = f2 (3. mientras que la segunda condición se puede representar utilizando diferencias finitas hacia un lado (hacia el interior de la placa). La condición de curvatura nula puede representarse también suponiendo un conjunto de puntos auxiliares que están fuera de la placa. Las condiciones de contorno de un problema de placas son también condiciones diferenciales.27) La primera condición es simple de aplicar. Contorno empotrado En un contorno empotrado se tiene f =0 ∂f =0 ∂x1 (3.7.7. tal como se indica en la Figura 3. tal como se indica en la Figura 3. f =0 ∂ f =0 ∂x21 2 (3.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 56 por dos motivos: Sencillez de la formulación y evitar de tener errores diferentes por el empleo de operadores diferentes.b.30) . Cada tipo de contorno requiere de un tratamiento diferente: Contorno simplemente apoyado Las condiciones de este tipo de apoyo son desplazamiento nulo y momentos (o curvaturas) nulos en dirección perpendicular al contorno. y se pueden representar de manera aproximada usando diferencias finitas. Para ellos resulta f1 = 0 f3 = −f2 (3.a.29) La condición de rotación nula puede representarse también suponiendo un conjunto de puntos auxiliares que están fuera de la placa. Contorno libre En un borde libre se tiene que el momento y el corte son nulos M11 = 0 N13 = 0 (3.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 57 Figura 3.31) Las expresiones que proporcionan los desplazamientos de los puntos auxiliares no son tan sencillas como las anteriores. si el punto 1 se encuentra sobre el borde mismo. Se puede demostrar que las condiciones resultan en: f3 = 2(1 + να2 )f1 − να2 (f4 + f5 ) − f2   f7 = f6 + να4 (2 − ν) (f8 + f9 ) − 4α2 1 − ν 2 α2 + 2να2 (f4 + f5 )   + 2α2 (2 − ν) (f10 + f11 ) − 4 1 + 2α2 − να2 f2   ν  2 4 + 4 1 + 2α + 3να 1 − f1 2 Esto modifica la molécula de diferencias finitas. f13 sobre la primera línea y f7 sobre la segunda. Para borde paralelo al eje x2 la molécula que corresponde a una distancia ∆x1 desde el borde se representa como .6. f3 . tal como el punto 2. (b) Borde empotrado. entonces los puntos ficticios tiene valores de la función f12 .7: Malla de puntos utilizados para (a) borde simplemente apoyado. (c) Condicion de simetría De manera que el punto auxiliar 3 tiene un valor de la función desplazamiento f igual y del mismo signo que un punto a igual distancia del borde pero hacia el interior de la placa. Con referencia al arreglo de puntos de la Figura 3. pueden utilizarse para obtener la solución aproximada de los desplazamientos en puntos de una placa. Condiciones de simetría Cuando existe una condición de simetría.5.4.7. que representan ecuaciones diferenciales de manera aproximada mediante una malla de puntos y diferencias finitas. y puede encontrarse por ejemplo en la Referencia [12]. se tiene f1 = incógnita f2 = f3 f4 = f5 3. . Con respecto a la Figura 3.32) Solución de los desplazamientos en placas Las ecuaciones anteriores. entonces los desplazamientos a uno y otro lado de la línea de simetría son iguales.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 58 α4 1 2α2 −4α2 (α2 + 1) α2 (2 + ν) −2 (1 + α2 ) (5 + 8α2 + 6α4 ) −2(1 + 2α2 − να2 ) 2α2 −4α2 (α2 + 1) α2 (2 + ν) α4 La molécula que se aplica cuando el punto esta sobre el borde mismo es la siguiente: [α4 (1 − ν 2 )] 2 [2α2 (2 − ν)] [4α2 (ν 2 α2 + ν − 1)] [−4(1 + 2α2 − να2 )] [4 (1 + 4α2 + 3α4 − 3ν 2 α2 − 4να2 )] [2α2 (2 − ν)] [4α2 (ν 2 α2 + ν − 1)] [α4 (1 − ν 2 )] Si el borde libre es paralelo al eje x1 . (3. Para una placa rectangular se deben realizar los siguientes pasos: 1) Se considera una serie de puntos distribuidos sobre una malla rectangular. con espaciamiento constante en cada dirección. ∆x1 y ∆x2 . se modifica la molécula debido a la presencia de α.c. 6.8.5. es posible calcular cuanto valen los momentos utilizando las ecuaciones constitutivas y cinemáticas.4. 3. con las que se determinan los valores de los desplazamientos auxiliares fuera del dominio de la placa. No se ha dado atención especial a conveniencias de numeración de los nudos.33) Con referencia a la numeración interna de la posición de los puntos con respecto a un punto 1. Las relaciones entre momentos y desplazamientos son M11 M12

2  ∂ 2f ∂2f ∂ f ∂2f = −D +ν 2 M22 = −D +ν 2 ∂x21 ∂x2 ∂x22 ∂x1
2  ∂ f = −D (1 − ν) ∂x1 ∂x2 (3. Se supone que la carga p3 es uniforme y que el espesor h de la placa es también constante. Momentos en la placa a partir de los desplazamientos Una vez que se conocen los valores de los desplazamientos en los puntos seleccionados de la placas. 4) Se soluciona un sistema de ecuaciones algebraicas con incógnitas que son desplazamientos en los nudos de la malla.6. La placa misma se discretiza utilizando 25 puntos igualmente espaciados en sentido x1 y x2 . los operadores requerirán el uso de puntos auxiliares que están fuera del dominio físico de la placa.b. adoptada en la Figura 3.34) Ejemplo de solución de una placa mediante Diferencias Finitas Como ejemplo de aplicación del método de diferencias finitas. consideremos el caso de la placa cuadrada de la Figura 3. Se tendrá así un conjunto de condiciones en función de valores de la función desplazamiento en los puntos de la malla. se tienen las aproximaciones mediante diferencias finitas siguientes: D [2 (1 + να) f1 − (f2 + f3 ) − αν (f4 + f5 )] ∆21 D M22 (n = 1) = − 2 [2 (ν + α) f1 − α (f4 + f5 ) − ν (f2 + f3 )] ∆1 D M12 (n = 1) = − 2 (1 − ν) α (f13 − f10 + f11 − f12 ) ∆1 M11 (n = 1) = − 3. 3) Se aplican las condiciones de contorno. Cerca del borde. (3. siendo ∆x1 = ∆x2 . . 5) Se evalúan los momentos en puntos de la placa a partir de los desplazamientos.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 59 2) Se aplica el operador que representa la ecuación diferencial en cada punto de la malla dentro del dominio de la placa. Resulta allí 20f13 − 8 (f8 + f12 + f14 + f18 ) + 2 (f7 + f9 + f17 + f19 ) + (f3 + f11 + f15 + f23 ) p13 ∆x41 = D Todos los puntos requeridos caen dentro de la placa. 3. Ecuaciones en el dominio Comencemos considerando la ecuación diferencial de la placa en el punto 13.5.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 60 Figura 3. Para el punto 8 se tiene la representación de la ecuación diferencial siguiente 20f8 − 8 (f7 + f3 + f9 + f13 ) + 2 (f2 + f4 + f12 + f14 ) + (f6 + f28 + f10 + f18 ) p8 = ∆x41 D Para el punto 7 se llega a .1. algunos están sobre el borde. sin embargo.8: Ejemplo de placa cuadrada con dos bordes simplemente apoyados y dos bordes empotrados. que está al centro. sabemos que los desplazamientos allí son nulos: f1 = f2 = f3 = f4 = f5 = f21 = f22 = f23 = f24 = f25 = 0 Las derivadas segundas en dirección x2 en bordes simplemente apoyados. 19). de modo que f26 = −f6 f27 = −f7 etc.5. pero para simplificar el problema se utilizarán las condiciones de simetría y de contorno.3. se sabe que los desplazamientos son nulos: f1 = f6 = f11 = f16 = f21 = f5 = f10 = f15 = f20 = f25 = 0 y sus derivadas primeras en dirección x1 son cero (rotaciones nulas). 17.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 61 20f7 − 8 (f6 + f2 + f8 + f12 ) + 2 (f1 + f3 + f11 + f13 ) + (f44 + f27 + f9 + f17 ) p7 = ∆x41 D Para el punto 12 se obtiene 20f12 − 8 (f11 + f7 + f13 + f17 ) + 2 (f6 + f8 + f16 + f18 ) + (f43 + f2 + f14 + f22 ) p12 = ∆x41 D Se puede continuar aplicando las ecuaciones de diferencias finitas al resto de los puntos del dominio de la placa (puntos 9.2. En las partes del borde que están empotradas. los desplazamientos resultarán también simétricos y eso simplifica el problema reduciendo el número de incógnitas. 18. f43 = f12 etc. 14. .5. de manera que se cumple f44 = f7 3. Las simetrías con respecto al eje x2 son. Condiciones de contorno de la placa Como se tienen condiciones de contorno simplemente apoyadas entre los puntos 1 y 5 y entre los puntos 2 y 25. 3. Condiciones de simetría de la placa Como la placa es simétrica con respecto a ejes que pasen por su centro (punto n = 13). 8. las simetrías con respecto al eje x1 son f17 = f7 f18 = f8 f19 = f9 Resultan así las condiciones f9 = f17 = f19 = f7 3.5.4. se obtiene un sistema algebraico en función de cuatro incógnitas: 20f13 − 8 (f8 + f12 + f12 + f8 ) + 2 (f7 + f7 + f7 + f7 ) p ∆x41 = D 20f8 − 8 (f7 + f7 + f13 ) + 2 (f12 + f12 ) + (−f8 + f8 ) p = ∆x41 D 20f7 − 8 (f8 + f12 ) + 2 (f13 ) + (f7 − f7 + f7 + f7 ) p = ∆x41 D 20f12 − 8 (f7 + f13 + f7 ) + 2 (f8 + f8 ) + (f12 + f12 ) p = ∆x41 D o bien p D p 20f8 − 8 (2f7 + f13 ) + 4 (f12 ) = D p 22f7 − 8 (f8 + f12 ) + 2 (f13 ) = D p 22f12 − 8 (2f7 + f13 ) + 4 (f8 ) = D 20f13 − 16 (f8 + f12 ) + 8 (f7 ) = o bien ∆x41 ∆x41 ∆x41 ∆x41 . 12 y 13). f14 = f12 f18 = f8 Sistema de ecuaciones simultáneas Substituyendo las condiciones de contorno y de simetría en las cuatro ecuaciones de diferencias finitas de la placa (correspondientes a establecer la ecuación diferencial en los puntos 7.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial f9 = f7 f14 = f12 62 f19 = f17 Por otra parte. Por ejemplo. en el punto central 13 resultan D [2 (1 + ν) f13 − 2 (f12 ) − 2ν (f8 )] ∆21 D M22 (n = 13) = − 2 [2 (ν + 1) f13 − 2 (f8 ) − 2ν (f12 )] ∆1 D M12 (n = 13) = − 2 (1 − ν) (f9 − f7 + f17 − f19 ) = 0 ∆1 M11 (n = 13) = − Como era de esperar. f8 .1. . 3.308 f7    f8    = ∆x41 p  0. Ejercicios Problema 3. 17] y las allí citadas).466   f12  D  0. el momento torsor M12 al centro de la placa es cero. Este tema escapa al interés introductorio de este texto.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial   22 −8 −8 2 f7    D  −16 20 4 −8   f8 4  −16 4 22 −8   f12 ∆x1 8 −16 −16 20 f13  63   p   p  =    p  p La solución de ese sistema no simétrico de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas provee los valores de los desplazamientos en los puntos en los que se ha discretizado la placa. f12 y f13 . Sin embargo es posible generalizar el método de modo de representar las ecuaciones diferenciales utilizando arreglos arbitrarios de los puntos que constituyen una estrella. para cargas arbitrarias.     0. desarrolle un programa de computadora para resolver placas con apoyos articulados mediante series de Fourier. los momentos se evalúan utilizando las ecuaciones (3. Utilizando un manipulador simbólico.414  0. [16.631 f13 Conocidos f7 .34). pero puede consultarse en numerosas referencias en la literatura (ver Refs.6. debido a la simetría de la placa y de la carga.7. Problemas de Diferencias Finitas con mallas irregulares En lo anterior se supuso que las mallas de puntos tenían espaciamiento regular en dos direcciones. Incluya la evaluación de momentos y esfuerzos cortantes. 3. Figura 3. 1 Este problema fue preparado por el Ing. un contrapiso de espesor 0. b =. Marcelo Rubinstein. (d) Grafique las componentes de Fourier del esfuerzo cortante N13 .Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 64 Problema 3. Para el ejercicio de la placa resuelto en este capítulo mediante diferencias finitas.6.3. e incluyen el peso propio de la placa de hormigón. En una edificación se deben evaluar las reacciones en las esquinas de una placa rectangular.5.9 mediante diferencias finitas. (a) Grafique las componentes de Fourier de la carga. 1 Problema 3. En todos los gráficos considere diferentes valores de m y solamente n = 1. Utilice la solución de Navier (series de Fourier). Utilice todas las condiciones de simetría que pueda. como se muestra en la Figura 3. (b) Grafique las componentes de Fourier de los desplazamientos. Para el hormigón. El muro de contención de la Figura 3. evalué los momentos en los puntos del contorno 6 y 9.2. Evalué los momentos en una de las losas.08m (cuyo peso es 1600Kg/m3 ).12m. Las cargas p3 se consideran uniformes sobre la placa.10 debe resistir el empuje de un suelo con ángulo de fricción interna de 20 grados y cohesión cero. Una placa cuadrada simplemente apoyada en sus contornos tiene espesor constante y fuerzas sobre la parte central de la placa. Problema 3. Problema 3. Comente sobre los resultados obtenidos.7. mientras que el espesor es de h = 0. La longitud L en la figura es L = 5m.12. b1 =.9. Problema 3. a1 =.2. considere el modulo de elasticidad E = 20GP a y el módulo de Poisson ν = 0. .6 con la calculada mediante series de Fourier en el Ejercicio 3. (c) Grafique las componentes de Fourier de los momentos M11 y M12 . Compare la solución del Ejercicio 3. a0 =. Explique los resultados que obtiene. Evalué los momentos en la placa de la Figura 3. Problema 3. profesor de la Universidad Nacional de Rosario. Los datos necesarios son a =. b0 =.9: Placa cuadrada con bordes simplemente apoyados y carga parcial al centro.4. Resuelva la placa usando series de Fourier. y una sobrecarga de 300Kg/m2 . Se agradece su autorizacion para incluirlo aqui. Los lados de la placa son a = 3m y b = 4m. Para el Problema 2. Para la placa de la Figura 3. La carga uniforme solo actua en la placa de la derecha de la figura. (b) Represente y discuta los resultados obtenidos.10: Muro de contencion con empuje de suelo.11 calcule los desplazamientos de la placa. (a) calcule los momentos flectores en el centro de cada placa y en los apoyos. Figura 3.11: Placa continua con dos bordes empotrados y dos bordes simplemente apoyados.35) . Problema 3. La ecuación diferencial en un punto de la placa puede también escribirse como 1 [8 (f2 + f3 + f4 + f5 ) − 2 (f10 + f11 + f12 + f13 ) 20 p1 − (f6 + f7 + f8 + f9 ) + ∆x41 ] D f1 = (3. Problema 3.8. El método de diferencias finitas se puede utilizar para problemas de placas continuas.Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 65 Figura 3.10.9. Problema 3.1. Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 66 Desarrolle un algoritmo iterativo para resolver placas con mallas de espaciamiento ∆x1 constante utilizando la ecuación anterior. Implemente el algoritmo utilizando una planilla de cálculo. . Capítulo 4 SOLUCIONES DE PLACAS UTILIZANDO LA FORMULACIÓN INTEGRAL 4.1. En este capítulo se estudia la solución aproximada de la ecuaciones integrales que se obtienen mediante el planteo del principio de mínima energía potencial total. Recordemos que la expresión de la energía potencial total π(u3 . Introducción En el capítulo anterior se estudió la solución aproximada de placas planas utilizando la formulación diferencial. p3 ) se obtuvo en el Capítulo 2 en la forma 
2 ∂ 2 u3 ∂ 2 u3 + D ∂x21 ∂x22 . se estudian aquí dos técnicas: la de Ritz y la de elementos finitos.
2 2  ∂ 2 u3 ∂ 2 u3 ∂ u3 − 2(1 − ν) − dx1 dx2 2 2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 x2   − p3 u3 dx1 dx2 1 π(u3 . 67 .1) En particular. sólo se ven casos sencillos de elementos para placas. Debido al carácter introductorio de este texto. p3 ) = 2   (4. Si los bordes están empotrados resulta adecuada una función
 1 2mπx1 φm (x1 ) = cos 1 − (4. una en cada dirección del dominio φmn (x1 . N En general las funciones se construyen como productos de dos funciones. Aproximación de funciones en el método de Ritz Este método se basa en aproximar la incógnita u3 a través de funciones conocidas φi (x1 . x2 ) que cumplen con las condiciones cinemáticas de dominio y de contorno homogéneas. M n = 1. M n = 1. Otra posibilidad es utilizar polinomios en lugar de funciones trigonométricas. y un conjunto de parámetros αi que inicialmente son desconocidos. x2 ) = φm (x1 ) φn (x2 ) La elección de funciones de aproximación sigue las condiciones que se enuncian a continuación.Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 68 4.2. y se ilustran en la Figura 4.2) m=1 n=1 o bien. u3 = αmn φmn (x1 . x2 ) + αmn φmn (x1 .2 muestra la familia de tales funciones.2.1. x2 ) para m = 1. x2 ) (4. usando notación indicial.1. x2 ) para m = 1. x2 ). Cuando existen condiciones de contorno no-homogéneas (desplazamientos prescritos no-nulos) es necesario agregar la solución particular necesaria para satisfacer esas condiciones ψ (x1 .3) a Las funciones seno como las propuestas son adecuadas para bordes simplemente apoyados. N donde M y N son la cantidad de términos en cada dirección del plano que se adoptan en la aproximación numérica. Método de Ritz 4. una familia de funciones trigonométricas es  mπx  1 φm (x1 ) = sin (4.3) resulta en la forma . pero podemos decir que esencialmente se utilizan funciones de dos familias: las funciones trigonométricas y los polinomios. La forma más simple de esta aproximación se escribe como una doble sumatoria u3 = N  N  αmn φmn (x1 . Por ejemplo.4) 2 a La Figura 4. Una familia de funciones polinómicas (Figura 4. con lo que resulta: u3 = ψ (x1 . 2 debe satisfacer esas condiciones. las condiciones cinemáticas son ∂u3 ∂ u¯3 = (4.1: Funciones de aproximación útiles para representar bordes simplemente apoyados. las funciones que se usan como solución tienen el prerequisito de satisfacer las condiciones cinemáticas sobre el contorno.6) ∂xn ∂xn la aproximación 4. u3 = u¯3 y/o . x2 ) = xm 1 x2 4. Condiciones naturales: En aquellos puntos sobre el contorno en los que las ef ¯ nn y N ¯n3 fuerzas son conocidas (en una placa en flexión se trata de M ). (4. la aproximación 4. En el contorno de una placa.Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 69 Figura 4.2. n φmn (x1 . pero al mismo tiempo hace que esas condiciones no se verifiquen de manera idéntica.2.2 no debe cumplir ninguna condición natural de contorno. Esto relaja las condiciones que se les exige a las funciones de aproximación.5) Condiciones que deben cumplir las funciones de aproximación Condiciones en el contorno Condiciones esenciales: En todos los problemas formulados con ecuaciones integrales y el método de los desplazamientos. x2 ) =0 ∂n ∂u ¯3 Si u¯3 o ∂x son distintos de cero en los puntos en los que se conoce su valn or. Condiciones mixtas: También es posible tener condiciones de contorno en las que se conoce una componente de desplazamientos y otra de fuerzas. en esos puntos deberá cumplirse φi (x1 . x2 ) = 0 Si la derivada primera en dirección normal al borde puntos deberá cumplirse  ∂u ¯3 ∂xn  es conocida.2: Funciones de aproximación útiles para representar bordes empotrados. en esos ∂φi (x1 . por ejemplo u3 = u¯3 y/o ¯ nn Mnn = M (4.7) Las funciones φi deberán cumplir las condiciones siguientes.Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 70 Figura 4. de acuerdo a lo que se le pida a las variables de desplazamiento: Si u¯3 es conocido (aun cuando sea diferente de cero). será necesario cumplir las condiciones homogéneas arriba indicadas [u3 = . la aproximación de Ritz (4. Como los términos de energía contienen derivadas segundas de desplazamientos. se tiene: Las φi deben ser continuas en el dominio de la placa. pero pueden ser discon∂xk ∂xl tinuas. Condiciones en el dominio Para el caso de una placa plana.3: Funciones de aproximación polinómicas. ∂φi (x1 . x2 ) a quien habitualmente se denomina “solución particular”. En resumen. En realidad.2) debe entonces incluir a ψ (x1 . ψ (x1 . En los casos de condiciones de borde no homogéneas. aunque sean constantes. La solución particular ψ debe cumplir con los valores no nulos asignados en el contorno. entonces es necesario que las φi tengan hasta derivadas segundas definidas.Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 71 Figura 4. x2 ) Las derivadas segundas deben existir. ∂xk 2 ∂ φi (x1 . . x2 ) no necesita ser una solución particular de la ecuación diferencial de la placa y es suficiente que cumpla con las condiciones no homogéneas de borde y con las mismas condiciones generales de continuidad y diferenciabilidad de las φi en el interior del dominio de la placa. ∂u3 ∂u ¯3 u¯3 y/o = ∂x ] y posteriormente superponer una solución particu∂xn n lar. las condiciones que deben cumplir las φi en el interior del dominio están asociadas a la necesidad de representar de manera no trivial a los términos de la energía potencial total. x2 ) Las derivadas primeras deben ser continuas en el dominio. Actúa una carga uniforme p3 = q y una carga concentrada P a distancia x1 = a/4 y x2 = 2b/3. o sea
  πx  2πx1 2 u3 = α cos 1 − sin (4.9) a b Figura 4. el primero usando funciones trigonométricas y el segundo mediante polinomios de aproximación.Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 4.3.1. que satisfacen las condiciones esenciales de contorno del problema
  mπx  2nπx1 2 sin φmn (x1 . x2 ) = cos 1 − (4.1).8) a b Por simplicidad de cálculo utilizaremos sólo el primer término de esa función. Se puede demostrar que resulta .4.4: Placa apoyada-empotrada.3. con dos bordes simplemente apoyados en dirección x1 . Se propone la función de aproximación seno en dirección x2 y coseno en dirección x1 . 72 Ejemplos de solución de placas mediante el método de Ritz Para ilustrar el empleo del método de Ritz en la solución de placas se plantean aquí dos ejemplos. 4. mientras que los bordes paralelos a x2 están empotrados. La función de u3 se deriva dos veces y se substituye en la ecuación de energía (4. Placa simplemente apoyada en dos bordes y empotrada en los otros dos Consideremos la placa rectangular que se muestra en la Figura 4. 11) . Consideraremos la aproximación para los desplazamientos en la forma de forma polinómica. x2 ) = x1 x2 u3 = α x1 x2 (4. bajo carga lineal uniforme aplicada en los bordes libres.5. El término que subsiste en la energía es φ (x1 . Nótese que el parámetro depende de las propiedades del material.3. Con este valor se pueden evaluar los momentos de la placa y los esfuerzos cortantes.2.10) Este es el valor del parámetro de Ritz. expresadas a través de D. Placa simplemente apoyada-libre Sea la placa cuadrada (a = b) de la Figura 4. supuesto la única incógnita del problema. 4. La primera variación de π resulta:
  4  4 3 2 1 δπ = π Dab + + α−2 ab q + P = 0 a4 4b4 a2 b2 π La solución del parámetro α resulta 1  q + P/ab 4  α = 4  4π π D a4 + 4b34 + a22b2 (4. dado que las curvaturas involucran derivadas segundas. Los términos lineales no entran en la energía potencial.Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 73 4 3 2ν 2 (1 − ν) D 4 2 + + + U = π abα 2 a4 4b4 a2 b2 a2 b2 D 4 3 2 = π4 abα2 4 + 4 + 2 2 2 a 4b ab El potencial de las cargas es   x =2b/3 q u3 dx1 dx2 + P u3 |x21 =a/4 
1 = 2α ab q + P π W = La energía potencial π es

 D 4 4 3 2 1 2 π= π ab + + α −2 ab q + P α 2 a4 4b4 a2 b2 π que contiene sólo una incógnita α. pero limitada a M = N = 1. 5: Placa libre-simplemente apoyada.12) .Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 74 Figura 4. Las curvaturas resultan χ11 = 0 χ22 = 0 χ12 = −α de donde   1 U= 2D(1 − ν)χ212 dx1 dx2 2 = [D(1 − ν)ab] α2 El potencial de las cargas se escribe como W =  a x1=0  qu3 dx1 |x2=b + a  b x2=0  qu3 dx2 |x1=a b = qbα x1 dx1 + qaα x2 dx2 x1=0 x2=0
2  qa b qab2 q + α = ab (a + b) α = 2 2 2 La energía potencial se reduce a la contribución de torsión constante q π = [D (1 − ν) ab] α2 − ab (a + b) α 2 De la condición de estacionario δπ = 0 se llega a α=q (a + b) 4D (1 − ν) Los momentos en esta placa resultan (4. pero en las esquinas A la carga R es positiva. las que involucran fuerzas. son nulos. La reacción total en los apoyos vale entonces  R = 2R − R = R = −q (a + b) 2 . M11 = M22 = 0 M12 = −D (1 − ν) α = −q ef N13 = N13 + ∂M12 =0 ∂x2 (4.14) Existe una aparente contradicción. Sin embargo. Esto ocurre porque la solución es aproximada. Los esfuerzos cortantes de Kirchhoff sobre el contorno son nulos. esta carga aparece en las esquinas de la placa con igual valor absoluto. que dependen de derivadas primeras de los momentos. R = 2M12 = −q (a + b) 2 Figura 4. porque por una parte los bordes cargados tienen una fuerza cortante aplicada que vale q.Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 75 (a + b) (4. Reacciones en las esquinas Se puede apreciar que el método de Ritz ha transformado la carga exterior q en una carga equivalente R. mientras que los momentos flectores son nulos. como se muestra en la Figura 4. mientras que por el interior se verifica que el cortante que resiste es nulo. mientras que en las esquinas B la carga es negativa.6: Placa libre-simplemente apoyada. cuyo valor consiste en la mitad de la carga aplicada en los bordes.13) 4 Nótese que el momento torsor es constante. La aproximación en este ejemplo es algo inadecuada.6. y que en el método de Ritz las condiciones naturales de contorno. ya que el corte exterior no es equilibrado punto a punto por el corte efectivo del interior. Por lo tanto N13 y N23 . En realidad. subsisten fuerzas concentradas en las esquinas de la placa. se cumplen en promedio. y por lo tanto la reacción calculada anteriormente es sólo una parte de la reacción verdadera. una parte de la carga exterior.1. sino que están definidas solamente en una región local llamada elemento. con lo cual se pone en evidencia que la solución de equilibrio es aproximada. y sobre el otro lado libre. Método de Elementos Finitos usando la teoría de Kirchhoff El método de elementos finitos puede conceptualizarse de manera similar al de Ritz. 4. Esta transferencia depende de la ley de desplazamientos propuesta. En esta versión introductoria consideraremos inicialmente un elemento muy simple.7: Elemento finito de cuatro nodos.Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 76 Sabemos que en realidad la suma de todas las reacciones debería ser igual a la carga exterior aplicada [q (a + b)]. en el lado x1 = a. Funciones de tipo lineal en desplazamientos no serían capaces de representar la . El tema de elementos finitos en placas es bastante complejo y un análisis detallado de los problemas asociados y los desarrollos realizados puede verse en la Referencia [21]. pero ahora la aproximación de las funciones φ no se extienden sobre todo el dominio de la placa. y en la medida que se aproxima a la solución exacta de u3 el error de equilibrio en las cargas deberá disminuir. 4. son transferidas directamente al apoyo sin pasar por la placa. Consideremos la interpolación mínima necesaria dentro de cada elemento. basado en la teoría de Kirchhoff. con cuatro nodos ubicados en las esquinas. que fue originalmente derivado por Melosh [20]. que es qa/2.4. En efecto. Figura 4.4. En primer lugar. Elemento finito rectangular Desarrollaremos un elemento de geometría rectangular de lados a y b. vamos a discutir qué tipo de funciones son necesarias para llevar a cabo una buena representación de la energía usando polinomios. de valor qb/2. sin embargo eso sólo asegura continuidad dentro del elemento y continuidad de la derivada (rotación) en la dirección tangente a los lados. Podríamos pensar que funciones cuadráticas basadas en desplazamientos en los nudos serían adecuadas. η). Para poder representar de manera no trivial los términos de la energía potencial. j = 0. Para ello se propone usar coordenadas (ξ. Esto conduce a que la derivada normal al lado sería discontinua y por lo tanto la derivada segunda infinita.Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 77 energía potencial. En la terminología del método de elementos finitos. Consideremos las características de la interpolación sobre los bordes de cada elemento. N Limitaremos el polinomio a 12 términos. porque se cancelarían todos los términos cuando se lleven a cabo las derivadas segundas. con lo cual resulta un polinomio incompleto de cuarto grado: . son necesarias funciones cuadráticas o cúbicas que incluyan desplazamientos y sus derivadas como grados de libertad. mientras que para x1 = x1 resulta ξ = 1. pero no se garantiza la continuidad de la derivada (rotación) normal a los lados. Según se ha visto. uno de los requisitos que deben cumplir las funciones de aproximación es la continuidad de las derivadas primeras (rotaciones de la fibra normal) del desplazamiento transversal. En resumen. lo cual imposibilita evaluar la energía interna de deformación. las funciones de interpolación deben ser de tipo cuadráticas o cúbicas. esto se conoce como exigencias de continuidad C 1 sobre las funciones de aproximación. Esto está asociado a que los desplazamientos de los puntos fuera de la superficie media dependen de las rotaciones. A los efectos de satisfacer la condición de energía finita entre elementos es necesario que los grados de libertad también incluyan derivadas de los desplazamientos. Las derivadas de (ξ η) con respecto a (x1 x2 ) son: ξ= ∂ξ 1 = ∂x1 a ∂η =0 ∂x1 ∂ξ =0 ∂x2 ∂η 1 = ∂x2 b El desplazamiento queda escrito en la forma u = αij ξ i η j para i. por lo cual la continuidad de los desplazamientos (y por lo tanto del sólido) exige continuidad de las rotaciones. definidas por x2 − xA x1 − xA 1 2 η= a b B Nótese que para x1 = xA 1 resulta ξ = 0. normalizadas entre 0 y 1. cuatro de ellas resultan ξ=0η=0 u = uA ξ=1η=0 u = uB ξ=0η=1 u = uC ξ=1η=1 u = uD Se puede invertir el sistema.16) (4. Esto provee 12 condiciones. que se toman como los grados de libertad del elemento. Resulta así .Soluciones de placas utilizando la formulacion integral   u = α00 + (α10 ξ + α01 η) + α20 ξ 2 + α11 ξ η + α02 η 2   + α30 ξ 3 + α12 ξ η 2 + α21 ξ 2 η + α03 η3   + α13 ξ η 3 + α31 ξ 3 η 78 (4. por ejemplo. para explicitar las funciones de interpolación.15) Las derivadas de u son ∂u ∂u ∂ξ 1 ∂u = = ∂x1 ∂ξ ∂x1 a ∂ξ ∂u ∂u ∂η 1 ∂u = = ∂x2 ∂η ∂x2 b ∂η o bien a b ∂u ∂u = = (α10 ) + (2α20 ξ + α11 η) ∂x1 ∂ξ   + 3α30 ξ 2 + α12 η 2 + 2α21 ξ η   + α13 η3 + 3α31 ξ 2 η ∂u ∂u = = (α01 ) + (α11 ξ + 2α02 η) ∂x2 ∂η   + 2α12 ξ η + α21 ξ 2 + 3α03 η 2   + 3α13 ξ η 2 + α31 ξ 3 (4.17) Para especificar los valores de los coeficientes αij es necesario imponer las condiciones que en las coordenadas de cada nudo los valores de la función y de sus derivadas deben ser iguales a los valores nodales. .u . . .21) Nótese que las funciones u son continuas entre elementos.Soluciones de placas utilizando la formulacion integral ∂uA ∂uA + φ3 ∂x1 ∂x2 B ∂u ∂uB + φ4 uB + φ5 + φ6 ∂x1 ∂x2 C ∂u ∂uC + φ7 uC + φ8 + φ9 ∂x1 ∂x2 D ∂u ∂uD + φ10 uD + φ11 + φ12 ∂x1 ∂x2 79 u = φ1 uA + φ2 (4. .18) Los grados de libertad del sistema son los valores nodales incógnita ∂uA ∂uA B ∂uB ∂uB C ∂uC ∂uC D ∂uD ∂uD . Pero .u . y también son continuas las derivadas con respecto a la dirección normal a los lados de un elemento. . } ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 Las funciones de interpolación asociadas a los desplazamientos son {uA . las funciones asociadas a derivadas con respecto a x2 son: φ3 = −bξ (η − 1)2 (ξ − 1) φ6 = bξη (η − 1)2 φ9 = −bη2 (ξ − 1) (η − 1) φ12 = bξη2 (η − 1) (4.u .19) Las funciones de interpolación asociadas a las derivadas de desplazamientos con respecto a x1 son: φ2 = −aξ (ξ − 1)2 (η − 1) φ5 = −aξ 2 (ξ − 1) (η − 1) φ8 = aξη (ξ − 1)2 φ11 = aξ 2 η (ξ − 1) (4.20) Finalmente.    φ1 = (ξ − 1) (η − 1) 1 + (ξ + η) − 2 ξ 2 + η 2    φ4 = (ξ) (η − 1) − (3ξ + η) + 2 ξ 2 + η 2    φ7 = (ξ − 1) (η) − (ξ + 3η) + 2 ξ 2 + η 2    φ10 = (ξ) (η) −1 + 3 (ξ + η) − 2 ξ 2 + η 2 (4. . Nótese que las integrales deben computarse en el espacio de (x1 .5. Las funciones de desplazamientos. 4. se soluciona el sistema de ecuaciones simultáneas para hallar los grados de libertad. βi . que incluye deformaciones por cortante. p3 ) = D 2(1 − ν) + 2 ∂x2 ∂x1 . y resulta una función algebraica en términos de los grados de libertad del sistema. resulta en la forma: 
2   1 ∂β1 ∂β2 π(u3 . Por ello hay que usar la siguiente transformación:     I(ξ.Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 80 las derivadas cruzadas en las esquinas no son continuas. Método de Elementos Finitos con deformaciones transversales de corte La energía potencial total en una placa modelada segun la teoría de ReissnerMindlin. Si se deseara un elemento que tuviera derivadas segundas continuas (no requerido por el método) habría que incluir también las derivadas cruzadas como grados de libertad en los nudos. que han sido aproximadas mediante las funciones de interpolación. η). η)abdξdη x1 x2 ξ η Se integran las ecuaciones y se obtiene la condición de estacionario de la energía (se la deriva con respecto a cada uno de los 12 grados de libertad y se igualan a cero las derivadas) para obtener las condiciones de equilibrio. y tal elemento fue desarrollado originalmente por Wilson y Brebbia [22]. x2 ) pero están definidas en las coordenadas normalizadas (ξ. η)dx1 dx2 = I(ξ. Finalmente. se reemplazan ahora en la energía potencial total. Como las rotaciones βi no dependen ahora de los desplazamientos transversales u3 . el funcional solamente requiere que las variables sean derivables hasta sus primeras derivadas. . se pueden usar funciones de interpolación que no estén vinculadas entre sí.
 2
2 ∂β1 ∂β2 ∂β1 ∂β2 + + + 2ν dx1 dx2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2

    1 ∂u3 ∂u3 ∂u3 ∂u3 + 2K(1 − ν) β1 + + β2 + dx1 dx2 2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2   − p3 u3 dx1 dx2 (4. Aparecen diferencias significativas con respecto a los elementos finitos construidos a partir de la teoría de Kirchhoff: Dentro de cada elemento. Funciones lineales de interpolación son ahora admisibles. βi ) como variables independientes.22) Esta expresión depende de (u3 . Debe mencionarse que al aproximar ahora tres variables (u3 . Hay un inconveniente aun más serio: se ha encontrado que en estos elementos se produce un “bloqueo” numérico debido a la imposibilidad de las funciones de . en placas esbeltas y muy esbeltas en las que la influencia del corte es despreciable. por lo cual los problemas asociados a la continuidad de la derivada mencionados anteriormente no aparecen y es posible satisfacer con facilidad las condiciones de continuidad entre elementos. el empleo de elementos basados en la teoría de Reissner se convierte en una desventaja. Como caso particular. lo que conduce a una mejor aproximación con menor cantidad de elementos. Por el contrario. este funcional solamente requiere continuidad de las variables mismas. Esto es efectivamente una ventaja cuando esta influencia es realmente apreciable. la utilización de elementos de tipo C 0 resulta doblemente inconveniente. la teoría de Reissner-Mindlin conduce a problemas de continuidad C 0 . utilizan en general polinomios de mayor orden.Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 81 En los contornos de cada elemento. Esto surge como consecuencia que las variables independientes del problema son ahora no sólo el desplazamiento transversal u3 sino también los giros βi . Por lo tanto para lograr aproximaciones similares resulta necesario utilizar mallas más densas. Por otro lado los elementos de continuidad C 1 . de modo que resultan φA = 1 − ξ − η + ξη φB = ξ(1 − η) φC = η(1 − ξ) φD = ξη La utilización de elementos basados en esta teoría presentan la particularidad de considerar la influencia de la deformación del corte transversal. No es necesario que el número de nudos usado para φ sea el mismo que para ψ. que son independientes entre sí. la cantidad de parámetros necesarios para obtener una solución similar aumenta considerablemente. Desde el punto de vista de la cantidad de grados de libertad. β1 y β2 ) en vez de una (u3 ). es decir convergen más rápidamente. El elemento más simple puede construirse tomando cuatro nudos por elemento A B B C C D D u3 = uA 3 φ + u3 φ + u3 φ + u3 φ β1 = β1A ψ A + β1B ψ B + β1C ψ C + β1D ψ D β2 = β2A ψ A + β2B ψ B + β2C ψ C + β2D ψ D donde φ son las funciones de interpolación para desplazamientos. no de sus derivadas. se pueden usar los mismos nudos y las mismas funciones para φ y para ψ. mientras que ψ son las funciones empleadas para las rotaciones. A diferencia de la teoría de Kirchhoff. Finalmente se hace notar que en general los elementos que incluyen deformaciones transversales de corte. donde la rigidez a la flexión está definida Eh2 por D = 12(1−ν 2 ) en tanto que la rigidez al corte es C = Gh. Esta “subintegración” se realiza exclusivamente sobre los términos asociados al corte. que en general se presentan como los de uso estandar a pesar de las desventajas mencionadas. Este efecto puede verse en los distintos términos que componen la energía interna de deformación de una placa. Pueden emplearse varias estrategias: Subvaluar el término asociado al corte. por lo cual permiten una mayor justicación. pero no funciona en todos los casos.Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 82 interpolación de acomodar adecuadamente la condición ∂u3 + βi ∼ =0 ∂xi Esto produce un aumento espurio de la energía de deformación debido al corte transversal. Aproximaciones mixtas. Las matrices de rigidez de los elementos en programas para propósitos generales se obtienen por integración numérica. los valores de α resultan del orden de 10000. Los resultados obtenidos son en general muy buenos y han dado lugar a un avance significativo de este tipo de elementos. son más sencillos de llevar al rango no-lineal geométrico. Este problema fue detectado hace tiempo y se han propuesto distintas aproximaciones para solucionarlo. Debido a que la formulación resulta de continuidad C 0 su desarrollo no presenta dificultades serias. . Por otro lado. En función de la mínima dimensión de la placa L es posible definir un coeficiente adimensional
2 C 2 12Gh L2 (1 − ν 2 ) L α= L = ≈ 3 D Eh h Para el caso de placas esbeltas (con Lh ≃ 100). lo que puede interpretarse como disminuir el valor de energía asociada o como permitir la existencia de modos de deformación con baja energía asociada. pues de otra manera conduce a singularidades (modos de cuerpo rígido) mayores que las necesarias. resultando en elementos que no son robustos. donde la cantidad de puntos de integración depende del orden de los polinomios a integrar y esos puntos se eligen de tal forma de lograr una integral lo más exacta posible. Tienen una mejor fundamentación desde el punto de vista teórico. Esto se conoce como “integración reducida”. Esta técnica fue ampliamente utilizada (y lo sigue siendo en muchos casos). los elementos más eficientes en el análisis de problemas elasto-plásticos son aquellos de bajo orden de interpolación. Integrar en forma reducida consiste en usar menor cantidad de puntos de integración que los necesarios. esto es.6.136400in. que escapa un poco a la estrategia habitual del desarrollo de elementos finitos y que cae dentro de la categoría de “elemento no conforme”.5. A pesar de ello no hay problema de aceptarla como función de aproximación de Ritz. width=7.1. Para ilustrar el significado de las condiciones especificadas en el método de Ritz. supongamos una viga orientada según el eje x1 (Figura 4.7175cm Figura 4. Uno de los autores ha desarrollado un elemento triangular [19]. height=4. que no satisface en forma explícita la condición de continuidad de la derivada normal al contorno.Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 4.7447cm. 4. natwidth=3. 83 Elementos finitos triangulares El elemento descrito en la sección anterior presenta dos limitaciones serias. Problemas Problema 4.8: Funciones de aproximacion en problema de viga.917400in. Por ello existen muchos otros elementos de mucho mayor generalidad desde el punto de vista de la geometría. que tiene la característica de tener sólo grados de libertad de desplazamientos (sin giros o derivadas).8). φ = x − 2x2 + x3 φ = x + 2x2 + x3 para para x>0 x≤0 Se aprecia que las funciones son diferenciables y continuas. La derivada segunda resulta d2 φ = −4 + 6x d2 x d2 φ = 4 + 6x d2 x para para x>0 x≤0 Se observa una discontinuidad en la derivada segunda en el origen de coordenadas. lo que incluye básicamente a cuadriláteros y triángulos [23]. En esa dirección las condiciones son similares a las que corresponden a una placa.1. Sea la función natheight=1. Por un lado no permite tratar placas de contorno arbitrario (placas circulares por ejemplo) y por otro lado resulta engorroso cuando se pretende utilizar una malla más fina en zonas de la placa donde existan mayores gradientes de esfuerzos. asociadas a su geometría rectangular. y al realizar la integración de la energía es necesario separar las integrales en dos tramos . Ejemplo de funciones de aproximación en un problema unidimensional. 3. Utilice un solo parámetro de Ritz. espesor h = 0. h = 0. y demuestre que la condición de equilibrio sobre los bordes se aproxima a la solución exacta. con un máximo donde se cruzan los dos bordes libres.5. de valor q. Esto es equivalente a subintegrar ese término. Elementos finitos usando la teoría de Kirchhoff. Use un elemento para representar un cuarto de la placa. el problema tiene tres grados de libertad. el problema tiene tres grados de libertad. q = 0.4M P a. Problema 4. 1]. Para la placa empotrada-libre del ejemplo de este capítulo. (b) Mejore la solución multiplicando el término asociado al cortante en la ecuación 4. considere E = 3 × 105 Kg/cm2 . (a) El desplazamiento vertical al centro resulta 6. bajo carga uniforme. La solución exacta del problema usando series de Fourier es 3. Evalúe el estado tensional σ en el punto de aplicación de la carga concentrada. Resuelva el problema anterior utilizando un elemento finito de interpolación lineal usando la teoría de Reissner-Mindlin. Este desplazamiento es mucho más pequeño que los obtenidos con las otras soluciones debido a que se produce bloqueo por cortante. Elementos finitos usando la teoría de Reissner-Mindlin.6. usando el método de Ritz. (b) En la ecuación 4. E = 20GP a. y su derivada es también continua.15. Problema 4. Solución: Con ese elemento. Problema 4. ν = 0. Evalúe los desplazamientos en una placa rectangular simplemente apoyada.3. Para la placa apoyada-empotrada resuelta en el texto. después de aplicar las condiciones de contorno. considere la influencia de términos siguientes en la solución de Ritz.22 se multiplica el término asociado a K por un factor σ < 1. Resuelva el problema utilizando el elemento finito no conforme desarrollado por Melosh. a = 6m. Considere que los lados de la placa son de 5m. Solución: Con ese elemento.1Kg/cm2 . Problema 4.10m. Problema 4.10m. Problema 4.33mm.4.7. El desplazamiento vertical al centro resulta 4. b = 4m. (a) Compare los resultados con la solución de Fourier y con los del elemento de Kirchhoff. La figura muestra el desplazamiento vertical al centro de la placa para diferentes .Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 84
2 2  d φ 1 EI U= 2 d2 x  0  1 1 1 2 = EI (4 + 6x) dx + EI (−4 + 6x)2 dx 2 x=−1 2 x=0 Nótese que la función φ propuesta es continua en el dominio [−1. P = 1000.57mm.1 × 10−5 mm. Una placa rectangular simplemente apoyada en sus cuatro lados está sometida a carga uniforme p3 = 2. ν = 0. Evalúe la placa del ejemplo empotrado-libre bajo la acción de cargas triangulares sobre los bordes.22 por un factor σ < 1.2. 79 S4 4 27 3. El valor de solución para el cual se ha eliminado el bloqueo es el mínimo en la curva. 4. conocidos en la literatura como S4. estudie la convergencia de la solución usando un elemento finito disponible en programas para propósitos múltiples.60 S4R 16 60 3. Una placa cuadrada de hormigón de 5m de lado y espesor constante h = 0.014 0.9.49 S4 9 48 3.8. Elemento N EL GDL uc3 [mm] S4 1 12 2. que corresponde a 2.59 S8R 1 24 2. En cada . en mm. tiene un agujero cuadrado al centro de 1m cada lado. de 4 y 8 nodos respectivamente. Los elementos S4R y S8R son de integración reducida.28 S4R 4 27 3.008 0.62 S4R 9 48 3.12 Sigma valores de σ.06 0. Se emplearon varios elementos. uc3 es el desplazamiento vertical en el centro de la placa. Solución: Debido a la simetría del problema se discretiza un cuarto de placa. N EL es el número de elementos en la malla. Se emplearon mallas de 1. Los resultados se muestran en la tabla a continuación.58 La solución exacta del problema (usando series de Fourier en la teoría de Kirchhoff) es 3.5. Para la placa del Problema 4.02 0. Problema 4.57mm.56 S4R 1 12 3.08 0.002 0 0 0.57 S8R 9 120 3.1 0. 9 y 16 elementos finitos de igual tamaño.8mm para σ = 0.04 0.012 0.018 Desplazamiento vertical [m] 0.016 0.12 S8R 4 63 3.1m. GDL es el número de grados de libertad.58 S8R 16 195 3. S4R y S8R.Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 85 0.07. Problema 4.01 0.006 0. Elementos finitos usando un programa para propósitos múltiples.54 S4 16 60 3.004 0. Evalúe el desplazamiento vertical en las esquinas usando un programa de elementos finitos para propósitos generales. Solución: El resultado depende de la malla y del elemento elegido. . pero el desplazamiento es aproximadamente 21mm. mientras que los bordes del agujero central están libres.Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 86 esquina del agujero se coloca una fuerza concentrada de valor P = 100KN. Los contornos externos de la placa están simplemente apoyados. A Treatise of the Mathematical Theory of Elasticity. Universitas/ AMCA. A consistent first approximation in the general theory of thin elastic shells. MIR Publishers. 87 .. Reinforced Concrete Structures. Estática Elemental de las Cáscaras. L. (1959). [13] Godoy. A. (1960). F. Segunda Edición. Moscu (Traducido del original en ruso de 1974). [12] Ugural. (1976). E. [8] Love. Noordhoff. (1981). Beams. [2] Billington. Prato. NJ. V. Stresses in Shells. Segunda Edición. Berlín. P. [6] Koiter. P. Springer-Verlag. 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