PEDRO AUGUSTO CIRINOPILAR ESBELTO EM FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA MÉTODO APROXIMADO Londrina 2016 PEDRO AUGUSTO CIRINO PILAR ESBELTO EM FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA MÉTODO APROXIMADO Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil da Universidade Estadual de Londrina, como requisito parcial à obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil. Orientador: Prof. Dr. Roberto Buchaim Londrina 2016 PEDRO AUGUSTO CIRINO PILAR ESBELTO EM FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA MÉTODO APROXIMADO Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil da Universidade Estadual de Londrina, como requisito parcial à obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil. BANCA EXAMINADORA ____________________________________ Prof. Dr. Roberto Buchaim Orientador Universidade Estadual de Londrina - UEL ____________________________________ Prof. Dr. Jorge Bounassar Filho Componente da Banca Universidade Estadual de Londrina - UEL ____________________________________ Prof. Dr. Paulo Sérgio Bardella Componente da Banca Universidade Estadual de Londrina - UEL Londrina, 04 de março de 2016. Wilmar e Sandra.Dedico este trabalho aos meu pais. . aos meus irmãos Alysson e Elissa e à minha namorada Ana Caroline. Agradeço também ao professor Doutor Roberto Buchaim. A todos os professores e colegas que me auxiliaram. acima de tudo. dentre muitos outros. guardarei com muito carinho em minha memória os anos descontraídos e de muita amizade que passamos juntos. por sua competente orientação. As circunstâncias fizeram com que nos conhecêssemos. por sua disponibilidade. certamente a minha vida não teria sentido sem vocês. .AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente aos meus pais Wilmar e Sandra. O incentivo de vocês foi essencial para superar cada desafio enfrentado durante os anos de faculdade. Aos amigos que cultivei durante esses anos de faculdade: Paulo. João. Vitor. por seu conhecimento e. a todos que influenciaram direta ou indiretamente nesse trabalho. Renan. mas foi nossa escolha permanecer um na vida do outro. Lucas. ensinaram e conviveram comigo durante a faculdade. por fim. paciência. Ricardo. E. Samara. aos meus irmãos Alysson e Elissa e à minha namorada Ana Caroline por todo apoio desde o momento em que decidi que teria na engenharia a minha opção de vida. “A tarefa não é tanto ver aquilo que ninguém viu. mas pensar o que ninguém ainda pensou sobre aquilo que todo mundo vê.” Arthur Schopenhauer . Pilar esbelto. é de suma importância que se amplie o estudo acerca desse método. apresenta-se a teoria que fundamenta o dimensionamento dos pilares em concreto armado de acordo com as prerrogativas normativas. Método aproximado de dimensionamento. Tendo em vista essas considerações. embora o dimensionamento de pilares com essas características seja relativamente corriqueiro. Londrina. a fim de fornecer subsídios para o entendimento do método. Ele demonstrou em sua tese que a análise atualmente aplicada pode gerar resultados inverossímeis devido à possibilidade de instabilidade lateral.CIRINO. . Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Civil) – Universidade Estadual de Londrina. Segundo o autor. os trabalhos que tratam do assunto ainda são um tanto quanto escassos. fato que não é considerado nos atuais métodos de dimensionamento. 2016. Palavras-chave: Concreto armado. Flexão composta oblíqua. Com este objetivo. RESUMO Este trabalho apresenta um método aproximado de dimensionamento de pilar esbelto submetido a flexão composta oblíqua. 61 p. e orientar a utilização da ferramenta computacional desenvolvida para sua aplicação em ambiente Excel. 2016. PILAR ESBELTO EM FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA MÉTODO APROXIMADO. proposto por Nelson Szilard Galgoul em sua tese apresentada à Technische Universität München no ano de 1978. Pedro Augusto. Given these considerations. Londrina. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Civil) – Universidade Estadual de Londrina. He has shown in his thesis that the analysis currently applied can lead to implausible results due to the possibility of lateral instability. although the design of columns with these characteristics is relatively commonplace. 2016. 61 p. Combined axial load and biaxial bending. in order to provide resources for the understanding of the method. 2016. a fact that is not considered in current design methods. Reinforced concrete. Key words: Slender columns. . we present the theory behind the design of the columns of reinforced concrete in agreement with the regulatory standards. and to guide the use of a computational tool developed for its application in Excel environment . Approximate design Method. it is extremely important to broaden the study of this method. To this end.APPROXIMATE METHOD. Pedro Augusto. ABSTRACT This paper presents an approximate design method of slender columns subjected to combined axial load and biaxial bending proposed by Nelson Szilard Galgoul in his thesis submitted to the Technische Universität München in 1978. the works dealing with the subject still are somewhat scarce. According to the author.CIRINO. SLENDER COLUMNS IN COMPOUND BENDING OBLIQUE . ..LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1 ................................... 41 Figura 14 ..........................Seção de concreto armado submetida à flexão composta oblíqua ........................... 56 .... 17 Figura 2 ...... 33 Figura 10 ........................................... 53 Figura 20 .....................................Domínios e deformações no estado limite último ................. 31 Figura 9 .......Exemplo de aceleração da convergência do método ............... 29 Figura 7 ............... 18 Figura 3 .......................... ...............................Curvas de interação típicas dos carregamentos transversais últimos para força normal de compressão e taxa de armadura constantes........................Armadura para os novos esforços da segunda iterção do Exemplo 1 ......... 26 Figura 5 .......................................... 37 Figura 13 ...................................... 46 Figura 17 ...................Comparação dos momentos solicitantes e resistentes para taxas de armaduras crescentes .....Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passlvas .................... 30 Figura 8 .........Segunda iteração do Exemplo 1 ..................... 27 Figura 6 ....................Diagrama parábola-retângulo para concreto comprimido ......................................................Pilar do Exemplo 2 .................Armadura para os novos esforços da primeira iteração do Exemplo 1 ...............................Seção genérica de concreto armado ..........Estados de deformações sob solicitações normais...............Máximos carregamentos no pilar submetido a flexão composta oblíqua no Exemplo 1 ......................Pilar genérico duplamente simétrico ..... 49 Figura 18 ....................Primeira iteração do Exemplo 1 ............... .. 35 Figura 12 ............................Pilar genérico com seção duplamente simétrica ......................Pilar do Exemplo 1 ....................Diagrama bi-linear para o concreto comprimido.................................... 42 Figura 15 ..................................... 55 Figura 22 .. ............................Distribuição de tensões na seção transversal segundo as leis bi-linear e parábola-retângulo ....Elemento infinitesimal esquemático submetido à esforços normal e momento fletor...............................Seção genérica com sistema de coordenadas x' e y' .................................... 34 Figura 11 ................... 45 Figura 16 ....................... 53 Figura 19 ..................................... 19 Figura 4 ................ 56 Figura 23 ....Pilar esbelto em curvatura simples e simétrica (pilar padrão) .... 54 Figura 21 ............................................................................................................... .......LISTA DE TABELAS Tabela 1 .... .......... 24 Tabela 2 ......................... 25 .....Valores estimados de módulo de elasticidade em função da resistência característica à compressão do concreto (Considerando o uso de granito como agregado graúdo) .........................................................................................................Parâmetros da lei parábola retângulo em função das classes de resistência do concreto.......................................... ....................PROCESSO DO PILAR PADRÃO COM CURVATURA APROXIMADA................................ 29 6................................................................... .................................... 17 6...................................... 22 6........................................2 EXEMPLO 2 .................................. 40 7.............................. 11 2 OBJETIVO .............................................4 ESFORÇOS RESISTENTES DA SEÇÃO .....................................1 CONDIÇÕES DE CONTORNO .........1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO NA FLEXÃO COMPOSTA NORMAL E OBLÍQUA........... 13 3 JUSTIFICATIVA .......................... 14 4 METODOLOGIA ....................................... 46 8 EXEMPLOS ......................................................................................................4 ROTEIRO DE CÁLCULO PARA APLICAÇÃO DO MÉTODO ...........................................................................................................................................1 EXEMPLO 1 ..................................2 LEIS CONSTITUTIVAS DOS MATERIAIS .........................................................................................................6 CONSTRUÇÃO DO DIAGRAMA DE MOMENTO-CURVATURA........................5 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE INSTABILIDADE ............................................... 44 7... 40 7...........3 ACELERAÇÃO DA CONVERGÊNCIA DO MÉTODO ............. 15 5 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO .............................................................................................................. 16 6 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............. .......SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO .. 61 ........................................... 60 10 BIBLIOGRAFIA...................................................................................................... 49 8.... 17 6......... 31 6......................3 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO .......................... 38 7 DETERMINAÇÃO DA ARMADURA EM PILARES ESBELTOS SUJEITOS À FEXÃO COMPOSTA OBLIQUA. 56 9 CONCLUSÃO . 35 6....................................................................................................................................................2 CURVA DE INTERAÇÃO DOS CARREGAMENTOS TRANSVERSAIS ... 40 7........................................................ 49 8. pois considera a relação momento – curvatura. nas quais lança-se mão de métodos bastante utilizados e cristalizados na área de cálculo estrutural. seção retangular e armadura simétrica constantes ao longo de seu eixo. Essa situação gera. maiores desafios a serem vencidos pelos projetistas estruturais. uma a ser citada é o dimensionamento de barras retas de concreto armado. vigas e pilares. na maioria das vezes.2 e 15. na grande maioria dos casos. as dimensões da seção (como os anteriores). de modo geral. estes.3. Para pilares com índice de esbeltez ≤ 140 submetidos à flexão composta normal. N.3. um dos cernes da exequibilidade das obras de engenharia civil e sua importância se torna mais evidente com o avanço das civilizações atuais e da maior demanda por grandes edifícios e obras de arte. . a esforços preponderantemente axiais. 1/r”. que serão objeto de estudo doravante no presente trabalho. o dimensionamento e detalhamento recaem em uma pequena porção de situações corriqueiras. Além disso.11 1 INTRODUÇÃO O cálculo estrutural é. existem situações em que se apresentam esforços de flexão em um (Flexão composta normal) ou em dois planos principais de inércia da seção (Flexão composta oblíqua). indiscutivelmente. contidos nos itens 15. porém. tem-se o método do “Pilar-padrão com curvatura aproximada” e o método do “Pilar-padrão com rigidez aproximada".8. que é mais preciso que os anteriormente citados. porém. principalmente quando se trata de análise global.3 respectivamente.8. Embora essa crescente demanda gere a necessidade de softwares cada vez mais poderosos. A NBR 6118:2014 apresenta dois métodos aproximados para dimensionamento de pilares: Para pilares com índice de esbeltez ≤ 90 submetidos à flexão composta normal com força normal. e ferramentas cada vez mais avançadas de cálculo e análise estrutural. Dentre as possíveis situações.3.3. tem-se o método “Pilar-padrão acoplado a diagramas M. além disso. por consequência. Os pilares de concreto armado são submetidos. no dimensionamento desses pilares levam-se em consideração as possíveis consequências estruturais da instabilidade proveniente da geometria da barra em questão. contudo. e com carregamentos transversais atuantes no plano principal de maior rigidez possa ser instável lateralmente no plano principal de menor rigidez não solicitado. especialmente pela fissuração da seção. que aparecem com maior frequência em estruturas metálicas (Flambagem lateral com torção). Este método é apresentado no item 15. com seção transversal constante e que apresentem dupla simetria.3. Este fato é decorrente da redução da rigidez à flexão EI na direção perpendicular ao plano de flexão. produzindo flexão composta oblíqua. Isso também ocorre. tem-se o método do “Pilar-padrão para pilares de seção retangular submetidos à flexão composta oblíqua”. . de maneira semelhante. Com isto.3. analisar-se-á o método proposto por Galgoul (1978) de dimensionamento de colunas de concreto armado submetidas a esforço normal constante e carregamentos transversais quaisquer. verifica-se se a combinação dos momentos solicitantes fica contida na envoltória de momentos resistentes em cada seção ao longo do eixo para a armadura escolhida.3.12 considera a área de aço da armadura e sua distribuição na seção transversal. Esse método é contemplado no item 15. na flambagem lateral de vigas com pequena inércia à torção. O problema é restrito a colunas com quaisquer condições de apoio nos planos principais.3. Os métodos descritos. não levam em consideração que uma barra de concreto armado submetida a força axial de compressão.5 da norma. que trata da aplicação dos processos aproximados anteriormente descritos simultaneamente em cada uma das direções.8. sua capacidade de carga na direção de maior rigidez fica significativamente menor. Após a obtenção dos momentos totais.8. Para consideração do efeito citado.4. tanto de concreto como de armação. Para pilares com índice de esbeltez ≤ 90 submetidos à flexão composta oblíqua. que trata especificamente do tema que será abordado. levando em consideração a possibilidade de instabilidade na direção principal secundária antes da ocorrência do esgotamento da capacidade portante na direção considerada. Pretende também. bem como contribuir para o acréscimo na literatura. aumentando assim.13 2 OBJETIVO Esse trabalho tem por objetivo apresentar e analisar um método aproximado de dimensionamento de pilar esbelto à flexão composta oblíqua. fato que passa frequentemente despercebido. ainda relativamente escassa. o arcabouço teórico à disposição acerca do assunto. contribuir na elaboração de uma nova ferramenta computacional de dimensionamento de pilares a flexão composta oblíqua. . que estejam comprovadamente seguras e. Galgoul demonstrou em sua tese que essa análise pode gerar resultados inverossímeis devido à possibilidade de instabilidade lateral. dessa forma. Como se sabe. O autor relata na introdução de seu artigo apresentado na XX Jornada Sul-Americana de Engenharia Estrutural. de suas considerações e aplicações para que. . em 1978. o dimensionamento de pilares esbeltos submetidos à flexão composta oblíqua é relativamente corriqueiro na engenharia estrutural. Porém. de forma geral. fato que não é considerado nos atuais métodos de dimensionamento.14 3 JUSTIFICATIVA O método que é o foco desse trabalho foi desenvolvido por Nelson Szilard Galgoul em sua tese apresentada à Technische Universität München. Cordoba em 1979. é de suma importância que se amplie o estudo acerca desse método. as soluções acabam reduzindo um problema biaxial complexo a dois casos de flexão uniaxial. Tendo em vista essas considerações. E. se possa realizar análises mais refinadas e precisas. contribuam para o avanço do cálculo estrutural e da engenharia como um todo. que os trabalhos referentes ao assunto ainda são relativamente escassos. por fim. Isso ocorre pois os métodos tradicionais realizam uma análise plana em cada um dos planos que contêm os eixos principais do pilar e o fenômeno ressaltado só pode ser entendido à luz da análise espacial. os quais podem ser resolvidos via soluções aproximadas ou tabelas. utilizam-se os laboratórios de informática da universidade para acesso aos microcomputadores.15 4 METODOLOGIA O trabalho tem início com uma busca minuciosa da bibliografia disponível para consulta pública no portal da Capes e nas bibliotecas da UEL. é necessário utilizar um outro programa para dimensionamento da seção à flexão composta oblíqua. portanto é feito a partir de um programa desenvolvido por terceiro a ser citado e detalhado no decorrer do trabalho. não se ateve somente a trabalhos que tratem estritamente do método proposto por Galgoul. como citados acima. Nesta etapa. consultam-se as normas técnicas referentes ao assunto e o material bibliográfico fornecido pelo orientador a fim de reunir o maior arcabouço teórico acerca do método pormenorizado nesse trabalho. para aplicação desse método. são utilizados apenas os recursos restritos à revisão bibliográfica. Vale ressaltar que. Além disso. na etapa de desenvolvimento do programa. Após esta etapa. consultando também diversas correntes teóricas que considerem o mesmo assunto. prossegue-se com uma detalhada revisão bibliográfica acerca do método apresentado. fornecendo ferramentas para seu correto entendimento teórico e prático. . Contudo. nos quais se desenvolve o programa para aplicação do método. Para esta etapa de programação utiliza-se o software Microsoft Excel como plataforma intermediária da linguagem de programação Visual Basic (VBA). Por fim. que não é escopo do presente trabalho. Além disso. as prerrogativas normativas a serem consideradas ao aplicar-se o método. bem como algumas características peculiares de seções com dupla simetria. No capítulo 8 são apresentadas as considerações finais e a conclusão acerca dos pontos levantados como foco de estudo do trabalho. Os capítulos seguintes. anexo ao trabalho. Por fim. No capítulo 6 são apresentadas as fundamentações teóricas. .16 5 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO O primeiro capítulo do trabalho trata da introdução do tema. 2. 3 e 4. apresenta-se detalhadamente o método de Galgoul (1978). Já no capítulo 7. levantando algumas características do cenário no qual está inserido. realiza uma apresentação em linhas gerais do método a ser tratado. suas premissas de aplicações. as atuais considerações e. apresenta-se o programa computacional desenvolvido para aplicação do método de dimensionamento proposto por Galgoul (1978). apresentam respectivamente os objetivos a serem atingidos com esse trabalho. as justificativas para sua realização e a metodologia de trabalho adotada nesta monografia. fundamentações e forma de aplicação. apresentam-se alguns exemplos contemplando a aplicação do método. por fim. propriedades e métodos de dimensionamento segundo a NBR 6118: 2014 e o Eurocode 2. caracteriza-se a flexão composta normal.1.1. abordando suas características.17 6 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Nesse capítulo apresentam-se conceitos e definições sobre pilares de concreto armado. o que faz com que a seção esteja submetida apenas a tensões de natureza normal. A Figura 1 apresenta uma seção duplo T assimétrica. Quando este momento for coincidente com um dos eixos principais da seção transversal. submetida a uma solicitação normal (N) e um momento fletor (M) segundo seu eixo principal.1 Estado Limite Último na Flexão Composta Normal e Oblíqua 6. 6.Elemento infinitesimal esquemático submetido à esforços normal e momento fletor. 6. Figura 1 .2 Seções de concreto armado submetidas à Flexão Composta Oblíqua A flexão composta oblíqua ocorre quando o ponto de aplicação do esforço normal atuante em uma seção transversal posiciona-se fora de ambos os . em uma seção transversal.1 Seções de concreto armado submetidas à Flexão Composta Normal A flexão composta ocorre quando. atuam concomitantemente esforços de natureza normais (N) e momento fletor (M). ?1 e ?2. . é função da distância entre a linha neutra e a borda comprimida ou menos tracionada. pode-se observar da distribuição das tensões atuantes em uma seção transversal genérica que. conforme ressalta a hipótese de Bernoulli. Dessa forma. a seção em flexão composta oblíqua está submetida concomitantemente esforços de natureza normais (?) e às componentes do momento fletor. 2014.3 Distribuição das tensões na seção transversal para a flexão composta Com o auxílio das situações das solicitações apresentado nas Figuras 1 e 2.Seção de concreto armado submetida à flexão composta oblíqua Fonte: CARDOSO. A Figura 3 apresenta as diversas possibilidades de distribuição segundo a posição da linha neutra (LN). A Figura 2 apresenta a distribuição de tensões em uma seção retangular. submetida a uma solicitação normal (?) e momentos fletores (?1 e ?2) segundo seus eixos principais.1.18 eixos de simetria da seção. conforme especificado anteriormente. Por conta dessa excentricidade tem-se um momentos fletor oblíquo aos eixos de simetria da seção. 6. Figura 2 . cada qual atuante em um plano de simetria da seção. que pode ser decomposto em tais eixos. LN contida na seção transversal com alongamento no bordo tracionado igual ao alongamento no bordo comprimido. −∞ < ?. ≤ 0. mas pode haver momento fletor.Estados de deformações sob solicitações normais Os possíveis casos de flexão composta normal mostrados de forma esquemática na Figura 3 são explicados a seguir: 1. situação em que caracteriza-se a flexão pura. não houver simetria da armadura em relação ao eixo x. situação de tração simples. podendo ser caracterizado com flexo-tração se. ?? → −∞. 5. situação de flexo-tração em que toda a seção transversal está submetida a tensões de tração. LN contida na seção transversal com alongamento no bordo comprimido maior do que o alongamento do bordo tracionado. há na seção duas zonas distintas. Quer dizer. 4. LN contida na seção transversal com deformação no bordo tracionado maior do que a do bordo comprimido. e somente se. . situação de flexo-tração de grande excentricidade. situação de flexo-compressão de grande excentricidade. uma comprimida e outra tracionada. 2.19 Figura 3 . Isto quer dizer que o estado de deformação na seção é uniforme (curvatura nula). ?. 3. submetidas às solicitações descritas nos itens 6. adotar-se-á as seguintes hipóteses básicas. não houver simetria da armadura em relação ao eixo x. Novamente. segundo a qual as seções planas do elemento permanecem planas após a deformação. (ℎ − ?′ 2 ) < ?? < +∞. 3. despreza-se a resistência à tração do concreto e para o aço considera-se a mesma resistência na tração e na compressão. ?.20 6.1. em que todas as armaduras e o concreto estão submetidos a tensões de compressão.4 Hipóteses Adotadas para o dimensionamento Para o dimensionamento das estruturas acima citadas. O momento fletor é adotado como positivo .1.5 Convenção de Sinais e Adimensionais Estabelece-se como positivas as deformações de encurtamento. tem-se somente compressão na seção transversal. 6. Como a resistência à tração do concreto é desprezada. as barras de aço apresentarão o mesmo encurtamento do concreto ao seu redor. 7.1. Os esforços solicitantes na seção são iguais aos esforços resistentes nessa mesma seção. Adota-se a hipótese de Bernoulli. 4. situação de flexo-compressão com pequena excentricidade. → ∞.1. 2. Estabelece-se a lei tensão-deformação dos materiais e.1 e 6. Admite-se na compressão hipótese de aderência perfeita entre o concreto e o aço. para o dimensionamento. podendo ser caracterizado como flexo-compressão se. situação de compressão simples se houver simetria de armadura. e somente se.2. as tensões e a força normal de compressão. 1. mas pode ter momento fletor. 6. ou seja. ?. a seção não tem curvatura. 85??? ?ℎ2 Momento fletor relativo de cálculo resistido pela seção metálica. ?? = ?? 0.85??? ??. referente a uma camada de ??. Taxa mecânica da armadura.21 quando. Adotam-se os seguintes adimensionais: ? ℎ ?′ ?′ = ℎ ?= Profundidade relativa da linha neutra Relação entre a distância do CG da armadura à borda mais próxima e a altura total da seção. Curvatura da seção. conforme Figura 1. ?= ? ℎ ?̅ = 103 ? ?= 1 ? 103 ℎ ? ?? ?? = 0. sendo positiva quando caminha no sentido negativo do eixo Y da convenção cartesiana. inverso do raio ? de curvatura. área As .??? = concreto. mas não superior a 0. gera compressão numa borda da seção e tração na face oposta. . referente a uma camada de área As . Curvatura relativa multiplicada por mil.?? ?ℎ ??? ?? ??? ?? = = ?? ?ℎ 0.85??? 0.85??? ?ℎ Força normal relativa de cálculo resistida pela seção metálica.85??? ?ℎ Força normal relativa de cálculo resistida pela seção de ?? = ?? 0.85??? ?ℎ ̅= ? Relação entre as alturas úteis e total da seção.85??? ?ℎ2 Momento fletor relativo de cálculo. ou seja.85??? ?ℎ2 Momento fletor relativo de cálculo resistido pela seção de ?? = ?? 0. A profundidade ? da linha neutra é tomada a partir do bordo superior da seção. concreto.5ℎ. ?? = ?? 0. Força normal relativa de cálculo. isoladamente. positiva ou nula. 0 ≤ ? ′ = ?′⁄ℎ ≤ 1⁄2. ?? = ?? 0. Taxa geométrica da armadura total. e negativa ao caminhar no sentido contrário. ?? = ?? ?ℎ Taxa geométrica da armadura. Deformação multiplicada por mil. Parábola-retângulo 2. os valores 1. expresso na Tabela 12. Obs. o Euro-Code 2 e o Model Code 2010 (MC-2010) abordam. Atribuem-se a ele.1 da NBR 6118: 2014. ?2 = ??? ??? Tensões relativas de cálculo das armaduras 1 (mais comprimida ou menos tracionada) e 2 (Mais tracionada ou menos comprimida). 1. Bi-linearidade 3.1) Onde ?? é o coeficiente de segurança parcial do concreto. sem prejuízo da verossimilhança do cálculo. E ??? é a resistência característica à compressão do concreto aos 28 dias.85 de minoração da resistência reflete correção de três fatores que alteram a resistência do concreto: .1 Leis Constitutivas do Concreto Para a realização do processo de cálculo estrutural é necessário que se faça algumas aproximações das leis constitutivas do concreto observada experimentalmente. O coeficiente 0.4 para combinações normais e 1. no estado limite último. A NBR 6118. Rígido-plástico Para o dimensionamento das peças de concreto armado é desprezada a resistência à tração do concreto e a resistência de cálculo à compressão do concreto é dada pela equação (5. Essas considerações são adotadas por questões de segurança e de simplificação no processo.2.2 Leis Constitutivas dos Materiais 6.85??? = 0.2 para combinações especiais. de construção ou excepcionais.22 ?1 = ???1 ???2 .85??? /?? (6. três leis que podem ser satisfatoriamente adotadas para esse fim. para o dimensionamento tanto no Estado Limite Último (ELU) quanto no Estado Limite de Serviço (ELS). com probabilidade de 95% de ser ultrapassada para o lado favorável em uma amostra analisada em uma distribuição normal. 6.: Isto não deverá ser usado.1) 0. A velocidade em que se realiza o carregamento do concreto (Efeito Rüsch). ????? é a resistência a tração na flexão do concreto.? é a resistência média do concreto a tração.4 da NBR 6118:2014: ???.7 ) 0. A correção da diferença entre as resistências medidas em um corpo de prova cilíndrico.06ℎ0.0. porém.0.6) Onde: ???. maiores serão as deformações se comparadas a uma peça submetida às mesmas tensões.95 = 1. ????.4) ????.05 = 0.06ℎ0. O ganho de resistência do concreto ao longo do tempo por conta da hidratação do cimento. para as peças de concreto não cilíndricas. carregada mais rapidamente. ????. 2.3 ???? (6.0.2) ??? > 50 ??? ???. 3. ou quantil de 5%.0.23 1.3 ??? 2⁄ 3 ???? ??? ≤ ?50 ??? (6. Isto se deve à ação da fluência do concreto. contidas no item 5.95 é o valor característico superior segundo a distribuição normal.? = 2. ou quantil de 95%. utilizado no ensaio.5) ????? = ??? [ (1+0. ℎ é a altura da seção. utilizam-se as seguintes expressões. . com seções geralmente poligonais.12 ln [1 + ( 10 )] { } ≤ 90 ??? (6. pois quanto mais lento for realizado o carregamento do concreto.05 é o valor característico inferior segundo a distribuição normal.7 ] (6.? = 0. Em análises onde deve-se levar em conta a resistência a tração do concreto.7 ???? (6.3) ????. (6. Porém. na ausência desses ensaio. pode-se utilizar o módulo de elasticidade secante. obtido através das expressões (6.Valores estimados de módulo de elasticidade em função da resistência característica à compressão do concreto (Considerando o uso de granito como agregado graúdo) Fonte: NBR 6118:2014.85??? [1 − (1 − ? ? ) ] para 0 ≤ ?? ≤ ??2 ?2 (6. Tabela 1 .8 + 0.8) ?? = 0. Estes valores podem ser utilizados no projeto estrutural.2 ??? 80 ≤ 1.12) .24 Quanto ao módulo de elasticidade do concreto. E ??? (NBR 6118:2014) é definido como o módulo de elasticidade secante ao trecho ascendente da curva de tensãodeformação. A Tabela 1 seguinte. ??? = 5600 ??? 1/2 (6. apresenta valores estimados de ?? para ??? e ??? em função de diversas classes de resistência de concreto. pode-se obtê-lo através de ensaios. bilinearidade (2) e rígido-plástica (3) são definidas a seguir: A lei da parábola retângulo (1) é definida através das seguintes equações: ? ? ?? = 0.1.9) dadas pela NBR 6118: 2014. As três leis citadas anteriormente.7) ??? = ?? ??? (6.0 (6.9) Onde ??? é definido como o módulo de elasticidade tangente ao ponto de origem do diagrama de tensão-deformação.7). Tabela 8. parábola-retângulo (1).8) e (6. 12 a 6.53 se 50 ??? < ??? ≤ 90??? (6.18) 4 ] se 50 ??? < ??? ≤ 90??? (6. ???2 e ? em função das classes de resistência do concreto.085(??? − 50)0. Com as equações 6.6 + 35 [ (90−??? ) 100 (6.4 + 23.13) Onde ??2 é a deformação no início do patamar de escoamento e vale: 2‰ se ??? ≤ 50 ??? (6.19 pode-se gerar o diagrama parábolaretângulo para concreto comprimido.0 + 0. Notas de Aula apud SOUZA.15) ???2 é a deformação limite do concreto e é igual a: ???2 = 3.4 [ (90−??? ) 100 (6. Tabela 2 .5‰ se ??? ≤ 50 ??? ???2 (‰) = 2.16) 4 ] se 50 ??? < ??? ≤ 90??? (6. Fonte: Buchaim.19) A Tabela 2 apresenta os valores de ??2 .14) ?? (‰) = 2. apresentado na Figura 4 a seguir: . 2012.25 ?? = 0.Parâmetros da lei parábola retângulo em função das classes de resistência do concreto.85??? para ??2 ≤ ?? ≤ ???2 (6.17) O expoente ? corresponde a: ? = 2 se ??? ≤ 50 ??? ? = 1. Esta lei é definida através das seguintes equações: ?? = ???1 ?? /??3 se ?? ≤ ??3 (6. ou seja. 2004 apud KOMARCHESQUI. atribuir a função valores menores ou iguais aos valores encontrados quando se considera a parábola.24) (6.20) ?? = ???1 se ??3 < ?? ≤ ???3 (6.25) . A lei bilinear (2).75‰ se ??? ≤ 50 ??? ??? −50 ??3 (‰) = 1.Diagrama parábola-retângulo para concreto comprimido Fonte: Adaptado de Euro-Code. segundo o Euro-Code. 2004 é uma simplificação da relação de tensão-deformação.75 + 0.26 Figura 4 . 2012.22) (6. tendo como ressalva que ela é equivalente ou mais conservadora do que a lei da parábola-retângulo.21) Onde ??3 é a deformação correspondente ao início do patamar de escoamento.5‰ se ??? ≤ 50 ??? 90−??? 4 ???3 (‰) = 2. e é igual a: ??3 = 1. por considerar a região descrita pela função parabólica como uma reta.6 + 35 ( 100 ) se 50 ??? < ??? < 90??? (6. e é igual a: ???3 = 3.55 ( 40 ) se 50 ??? < ??? < 90??? (6.23) E ???3 é a deformação última. 25 pode-se gerar o diagrama bi-linear para concreto comprimido.85??? ). por sua vez. ? = ??.29) . 2004 apud KOMARCHESQUI. Fonte: Adaptado de Euro-Code. em que a sua altura ? é definida pelo fator ? aplicado à profundidade da LN ?.27 Com as equações 6. ou seja. A lei Rígido-plástica (3). ou seja.27) (6.26) (6.28) (6. Estes coeficientes são calculados segundo as seguintes equações dadas na NBR 6118: 2014 e no Euro-Code. e a resistência é dada pelo fator ?.Diagrama bi-linear para o concreto comprimido.8 se ??? ≤ 50 ??? ? = 0.0 − (??? −50) 200 se 50 ??? < ??? < 90??? (6.22 a 6. 2004.0 se ??? ≤ 50 ??? ? = 1. aplicado à resistência de cálculo.8 − (??? −50) 400 se 50 ??? < ??? < 90??? ? = 1. apresentado na Figura 5 a seguir: Figura 5 . ?(0. ? = 0. considera a distribuição de tensões em um bloco retangular. 2012. Vale ressaltar que. que também podem ser chamadas de fios. apresentam as mossas que propiciam uma maior aderência entre o concreto e o aço. Porém.30) Onde: ??? é a resistência característica do aço. CA-60: Barra lisas. apesar do fato do gráfico ter sido obtido através de ensaios realizados a tração. A resistência de cálculo dos aços utilizados como armadura passiva nas peças de concreto armado é obtida por meio da seguinte equação: ??? = ??? ⁄? ? (6.00 para as combinações chamadas excepcionais. CA-50: O tipo de barra mais utilizado para a composição das armaduras das peças. normalmente utilizadas em estribos ou armaduras de lajes. especiais ou de construção e 1.1 da NBR 6118: 2014. ?? é o coeficiente de segurança do aço para o estado limite último.15 quando se tratam de combinações normais. seu valor é 1. na compressão.2. 2. a deformação limite é atingida pelo concreto antes . CA-25: Utilizadas como alças para içamento de peças pré-moldas ou como armaduras nas regiões D de peças protendidas. Segundo a Tabela 12. 3. dentre diversas outras possibilidades.1 Armadura Passiva Na construção civil os tipos de aço utilizados para armaduras passivas são três: 1. Para o dimensionamento é permitida a utilização do gráfico apresentado na Figura 6.28 6. ressalva-se que.2.2. adota-se o mesmo para a compressão.2 Leis Constitutivas do Aço 6. 6. Figura 6 . Os domínios são indicados pelos números de 1 a 5. 2004 e o MC-2010.3 Domínios de deformação Os domínios de deformações são definidos pela NBR 6118:2014 e sua caracterização é apresentada na Figura 7. Figura 8. portanto. pois neles está estabelecida uma deformação limite. sendo. já o Euro-Code.4. na ausência de valores de ensaio.Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passlvas Fonte: NBR 6118:2014. por vez. o dimensionamento do concreto a fator limitante de seu encurtamento. estabelecem o alongamento limite do aço igual a 90% do alongamento de sua ruptura. .29 do aço. A NBR 6118:2014 estabelece o alongamento último de cálculo igual a 10‰. seu valor pode ser tomado com 210 GPa. ?? é o módulo de elasticidade e. no aço ou no concreto. Para caracterizar o estado limite último deve-se observar uma distribuição de deformações na seção transversal que esteja contida em um dos domínios exibidos nessa figura. segundo preconização da norma. Domínio 5 → Caracterizado por apresentar compressão uniforme ou não uniforme e nessa situação o concreto trabalha com deformações no intervalo de . Domínio 4a → Caracterizado por apresentar flexão simples ou flexão composta e nessa situação o concreto trabalha com deformação limite ?? = ??? e o aço. o aço tracionado não chega à tensão de escoamento . ou seja. está submetido à compressão. Domínio 2 → Caracterizado por apresentar flexão simples ou flexão composta e nessa situação o concreto trabalha com deformações no intervalo de 0 ≤ ?? ≤ ??? e o aço com ?? = ??. Domínio 4 → Caracterizado por apresentar flexão simples ou flexão composta e nessa situação o concreto trabalha com deformação limite ?? = ??? e o aço com ?? ≥ ??? .??? = −10‰. Domínio 3 → Caracterizado por apresentar flexão simples ou flexão composta e nessa situação o concreto trabalha com deformação fixa e igual a ?? = ??? e o aço tem alongamento no intervalo −10‰ ≤ ?? ≤ ??? . essas situações apresentam os seguintes mecanismos de ruptura: Domínio 1 → Caracterizado por apresentar tração pura ou flexo- tração e nessa situação apenas o aço é solicitado.30 Figura 7 . tanto da armadura inferior quanto da superior.Domínios e deformações no estado limite último Fonte: NBR 6118:2014 Cada um dos domínios caracteriza uma situação distinta. pode-se dizer que nos domínios 1 e 2 observa-se a ruptura convencional por deformação plástica excessiva. apresentada por CARDOSO. Figura 8 .Seção genérica de concreto armado Fonte: CARDOSO. . Segundo essas características. Para a obtenção dos esforços resistentes será considerado uma peça com seção transversal qualquer.4 Esforços resistentes da seção Nesta seção será apresentada a teoria básica para obtenção dos esforços em uma seção genérica de concreto armado. 6. com a origem de um sistema cartesiano em seu centro geométrico.??? = −10‰. 4a e 5. pois a deformação limite é ??. o fator limitante para a ruptura da peça é o concreto comprimido.31 ??? ≤ ?? ≤ ??? e o aço. está submetido à compressão. nessa situação. 4. Nos domínio 3. Isto significa que a o fator limitante de ruptura é o aço submetido à tração. Isto significa que. 2014. 2014. apresenta-se ruptura convencional por encurtamento limite do concreto. tanto da armadura inferior quanto da superior. apresentada na Figura 8. por sua vez. as equações 6. Porém a dificuldade de aplicar o método dessa maneira gera um empecilho. ??? é a tensão no aço no nível do centroide da barra ?. pode-se descontar da tensão do aço o valor correspondente à tensão no concreto.32 e 6.34) ?? = ∑??=1 ??? ??? ??? + ∑? ?=1(??? − ??? )??? ??? (6. as equações de equilíbrio de uma seção submetida à flexão composta oblíqua com ? barras de aço. Levando isso em conta. são as seguintes: ? = ∫?? ?? ?? + ∑? ?=1 ??? ??? (6.31. a seção genérica de concreto analisada pode ser discretizada em ? elementos de área ??? .31) ?? = ∫?? ?? ?? ?? + ∑? ?=1 ??? ??? ??? (6. deve-se considerar apenas a seção efetiva de concreto. ?? é a tensão de compressão no nível do centroide da área ??. Para a correta aplicação do processo numérico. descontando-se da seção a parcela correspondente ao aço. Como forma de solucionar esse problema.32 De forma genérica. ??? é a área de aço da barra ?.35) ?? = − ∑??=1 ??? ??? ??? + ∑? ?=1(??? − ??? )??? ??? (6. ??? e ??? são as coordenadas no nível do centroide da barra ?.33) Onde: ?? e ?? são as coordenadas no nível do centroide da área ??.36) . como é exemplificado na Figura 9. 6. Para a aplicação do processo numérico.32) ?? = − ∫?? ?? ?? ?? + ∑? ?=1 ??? ??? ??? (6.33 ficam de seguinte forma: ? = ∑??=1 ??? ??? + ∑? ?=1(??? − ??? )??? (6. ?? é a área de concreto da seção resistindo a tensões de compressão. Distribuição de tensões na seção transversal segundo as leis bi-linear e parábola-retângulo Fonte: CARDOSO.3.2. ? elementos de concreto comprimidos.2. ? = 1. com o auxílio do diagrama de tensão-deformação dos materiais. . 2014. ? elementos de aço tracionado. é adequado que se rotacione os eixos ? e ? definidos inicialmente para os eixos ?′ e ?′.33 Onde: ? = 1. fazendo com que o eixo ?′ seja paralelo à linha neutra da seção. . Determina-se as tensões nos elementos de aço e de concreto a partir de suas respectivas deformações. .3. . Para facilitar a aplicação do método numérico. conforme a . Figura 9 . 41) . ??? é a deformação no nível do centroide da seção.40) (6.38) ? = ??? − ??′??? (6. a deformação de qualquer elemento pode ser calculada da seguinte maneira: ? = ??? − ??′ (6.39) ?? Para ( 10‰ ? = (?−? ?? ) ? = 10‰ − ??′??? ??? ??? +10‰ ) ? ≤ ??? ≤ ℎ: (6. Dessa forma.37) Onde: ? é a curvatura referida a ?′. Os valores de ? e ??? podem ser obtidos levando-se em consideração a profundidade da linha neutra: Para ??? ≤ ( ??? ??? +10‰ ) ?: ? ? = ? ?? (6.34 Figura 10 . 2014.Seção genérica com sistema de coordenadas x' e y' Fonte: CARDOSO. . Figura 11 . portanto. Por se tratar de um pilar esbelto.35 Para ℎ < ??? : ?= 2‰ (6.42) 3 (??? −7ℎ) 3 ? = 10‰ − ? (? ′ ??? − ℎ) 7 (6. de seção e armadura constante e simétricas submetido à um carregamento também simétrico em relação ao eixo mais solicitado.Processo do pilar padrão com curvatura aproximada. ficam definidos os valores de tensões para as equações 6.34 a 6. para realização do dimensionamento deve-se obter os momentos últimos considerando esses efeitos de segunda ordem.43) Dessa forma. é necessário considerar os efeitos de segunda ordem devidos ao deslocamento de seu eixo. 6.36.5 Estado limite último de instabilidade . leva- se em consideração o pilar esbelto da Figura 11. Para a caracterização do Estado limite último de instabilidade. Notas de aula.Pilar esbelto em curvatura simples e simétrica (pilar padrão) Fonte: BUCHAIM. ou seja.44) é denominada curvatura 1/?(?). onde se deve prefixar a geometria da seção. ou seja. Dessa forma.1?? 2 ( ) ? (6. suas resistências e leis constitutivas.45) Dessa equação obtém-se: ?2 = ?? 2 1 1 ?2 ? ( ) ≅ 0. originado por deformações de flexão. não decorre da ação de momentos fletores.47) .36 Admite-se de forma aproximada para aplicação do método que a deformada do pilar é senoidal.44) ? Onde o valor de ?2 é dado pelo maior deslocamento observado no pilar. Considera-se que o momento total solicitante no pilar é a soma dos momentos solicitantes de primeira e de segunda ordem: ???. na seção central do pilar onde acontece a máxima curvatura (mínimo raio). Essa equação é descrita a seguir: 1 ? 2 ? 0 ?? ( ) = ( ) ?2 (6. Note-se que a falta de retilineidade é uma ação não-mecânica.??? = ??1 + ??2 = ??1 + ??? ?2 (6. e no ponto de maior deslocamento. sua armadura. descrita pela seguinte equação: ?? ? = ?2 ??? ( ? ) (6. nesta seção o momento solicitante total é função linear da curvatura e sua obtenção é feita através da plotagem dos diagramas de momentocurvatura para uma dada força normal. A derivada segunda da equação (6. que ocorre na seção central do pilar.46) Através dessa equação. pode-se deduzir que a maior excentricidade observável no pilar está diretamente relacionada com a curvatura máxima. a ordenada ? assume o valor de ?? /2. ??. Neste caso o pilar não é capaz de resistir aos esforços externos aos quais estaria submetido. Contudo.???2 < ??. A segunda situação ocorre quando a reta do momento solicitante total ???.???1 .Comparação dos momentos solicitantes e resistentes para taxas de armaduras crescentes Fonte: BUCHAIM. ??. ??. Isto ocorre quando a peça possui taxa de armação menor do que a necessária.???1. desse gráfico é possível observar três situações.???1 < ??. caso exista um acréscimo de ?2 o momento solicitante ainda será menor do que o resistente.??? não intercepta a curva do momento resistente ??? . ou seja. Conforme BUCHAIM. no ponto ?. Ou seja. Figura 12 . que são descritas a seguir: A primeira delas é o caso em que o momento solicitante total ???.37 Na Figura 12.??? intercepta a curva do momento resistente ??? . isso ocorre pois a armadura do pilar é excedente e por esse motivo o efeito de segunda ordem é reduzido. Isto ocorre quando a peça possui taxa de armação maior do que a necessária. Notas de aula. pois não há possibilidade de equilíbrio.???3 . pois. mostra o gráfico de três situação distintas para diferentes taxas mecânicas de armadura. . o momento resistente apresenta uma maior variação de resistência para uma mesma variação de ?2 se comparada à do momento solicitante. Neste caso a seção do pilar resiste às solicitações externas em um equilíbrio estável. Isto ocorre quando a peça possui taxa de armação. assim como sua largura e distância da base da seção ao CG da camada. Da mesma forma deve-se definir o número de camadas de aço e respectivas áreas presentes na seção transversal. 6. deve-se calcular as deformações específicas (?? ) de cada camada. a deformação de um ponto qualquer da seção e a respectiva curvatura de um ponto qualquer da seção. Para uma seção genérica de concreto. Para a seção de aço. seja para mais ou para menos. Neste caso diz-se que o pilar atingiu o estado limite último de instabilidade. calcula-se a área da armadura presente em cada camada.38 A terceira situação ocorre quando a reta do momento solicitante total ???. os esforços devidos às cargas externas crescem mais rapidamente do que o os esforços internos. Conhecida a deformação da seção transversal.6 Construção do diagrama de momento-curvatura Nesse item será explicado a construção do diagrama Momento- Curvatura de maneira conceitual. é possível calcular a deformação (?) no centro de gravidade da camada. e obtém-se a distância da base da seção até o CG da camada de armadura. Neste caso é possível o equilíbrio. Com base na lei constitutiva do aço. no caso ??. Ou seja. encontra-se o valor da tensão atuante em cada .???2 . ou seja. porém. exatamente igual à necessária para prover um único ponto de equilíbrio nas curvas de ambos os momentos. de acordo com as características geométricas da peça. conhecida a tensão e a área em cada uma das camadas é possível obter a força e o momento resistente do concreto. De maneira análoga à seção de concreto. no ponto ?.??? tangencia a curva do momento resistente ??? . o programa deve calcular a espessura de cada camada. Para a construção desse diagrama de maneira computacional inicialmente é necessário dividir a seção de concreto adotada em ? camadas. corresponde a um momento solicitante total maior do que o momento resistente. trata-se de um equilíbrio instável onde qualquer variação mínima na excentricidade. para uma determinada forma de seção transversal. Por fim. portanto sua obtenção numérica não é escopo do presente trabalho. haja vista que sua utilização no método depende de outros programas. Com esse valor obtém-se a tensão que atua no concreto utilizando-se a respectiva lei constitutiva. Com isto. e a reta de deformação da seção. Para isso o programa computacional prossegue da seguinte forma. deseja-se obter. Realizado o procedimento acima descrito. que ocorre no instante em que o momento fletor se iguala ao de fissuração. sua armadura e a deformação da seção. a da borda mais comprimida) da seção até que a normal dada seja igual à força normal resistente da seção. o momento resistente de uma determinada seção dado a força normal e a seção. para toda a faixa possível de curvatura a partir de seu valor nulo. por simples soma calculam-se a força e o momento resultantes da seção metálica. Contudo. obtém-se a profundidade da LN. . é possível determinar alguns pontos da curva pré-fixados. até que seja atingida uma deformação limite de um dos dois materiais. dada uma seção transversal.39 camada de armadura. Na flexão composta normal a armadura deve ser suficiente para garantir que não atinja o escoamento no estádio II de tensões. Desta maneira. e assim obter os respectivos momentos resistentes. Após esse procedimento. é possível obter o momento fletor e o esforço normal resistentes. dada uma curvatura procura-se a deformação de um ponto (por exemplo. A seção transversal e a armadura devem possuir dois eixos de simetria Vale ressaltar que o pilar pode estar submetido à quaisquer condições geométricas de contorno. submetido a esforço normal de compressão ?? e a carregamentos transversais ? e ? quaisquer.1 Condições de contorno 1. Em seu trabalho foi mostrado que um pilar de concreto armado solicitado segundo sua direção mais rígida pode vir a ser instável lateralmente na direção não solicitada. por não considerarem o problema da instabilidade lateral. em 1978. e elas podem ser diferentes em cada uma das direções. antes que seja atingido o carregamento resistido naquela direção principal. a seção transversal e a armadura devem ser constantes ao longo de todo pilar 2. 7. Galgoul demonstrou que os métodos de análise disponíveis na bibliografia podem ser contra a segurança. . Apresenta-se a seguir o método proposto por Galgoul. que produzem flexão nos planos ?? e ??.40 7 DETERMINAÇÃO DA ARMADURA EM PILARES ESBELTOS SUJEITOS À FEXÃO COMPOSTA OBLIQUA. A força normal. 1978. 7. respectivamente.2 Curva de interação dos carregamentos transversais Considerando-se o pilar apresentado na Figura 13. É válido ressaltar novamente que o método apresentado nesse capítulo foi desenvolvido por Nelson Szilard Galgoul em sua tese apresentada à Technische Universität München. 41 Figura 13 . ?0?? = ?? ? Máximo carregamento transversal na direção ? de acordo com a teoria de segunda ordem (sem considerar a flambagem lateral).Pilar genérico duplamente simétrico Fonte: GALGOUL. ?0? = ?? ? Máximo carregamento a que o pilar resiste na direção ? de acordo com a teoria de primeira ordem (sem considerar a flambagem lateral). Para uma determinada porcentagem de armadura e um determinado esforço normal. ?0?? = ?? ? Máximo carregamento transversal na direção ? de acordo com a teoria de segunda ordem (sem considerar a flambagem lateral). 1979. mantida constante em todas as etapas ?? do processo. define-se as seguintes grandezas e equações: Força normal conhecida. ?0? = ?? ? Máximo carregamento a que o pilar resiste na direção ? de acordo com a teoria de primeira ordem (sem considerar a flambagem lateral). . ? Cargas transversais dadas (estado de utilização) nas direções principais ? e ?. constante ao longo do pilar. ?. representada pela Reta 1 da Figura 14 apresenta uma situação segura apenas se a verdadeira curva de interação for totalmente convexa (Curva 2 da Figura 14). B (apud Galgoul. segundo Galgoul. Essa curva de interação convexa apresenta uma descrição verossímil quando o material apresenta comportamento sempre elástico. 1978. com outras apresentadas por diversos autores. A interação linear.1) + ??? ≤ 1 0 O gráfico representado na Figura 14 compara a interação apresentada logo acima. As interações descritas pelas curvas 1. Fonte: GALGOUL. que tem comportamento elasto-plástico. 1978) que seja satisfeita a seguinte equação de capacidade de carga.42 Para levar em consideração os carregamentos atuando concomitantemente nas duas direções foi proposto por Menegoto.2 e 3. ? ?0?? ? (7. portanto. . pelos motivos descritos a seguir. não descrevem com precisão o que acontece na realidade. A e Pinto. não representa uma descrição satisfatória para o concreto armado. Figura 14 .Curvas de interação típicas dos carregamentos transversais últimos para força normal de compressão e taxa de armadura constantes. ? ?. adotando-se em seu lugar o prolongamento representado pela linha tracejada: (? ?? ? .3) a (7.?? ? ? ? 1 ? ? 1 ) + (?. Seus valores podem ser obtidos pelas equações de (7. por conta da instabilidade lateral.4) . em decorrência disso.? ) = (? ) + (?. Porém nesse trabalho. Os valores de ? e ? foram parametrizados por Galgoul (GALGOUL. 1978) através de análise de regressão de diversos casos.43 No seu trabalho dos mencionados autores foi alertado que a curva de interação poderia ocorrer parcialmente abaixo da reta fato que pode ser notado ao observar a Reta 3 da Figura 14. foi considerado como pressuposto que o carregamento transversal máximo em uma direção não é influenciado pelo carregamento transversal e pela esbeltez da outra direção.10). Na aplicação destas equações introduzemse os chamados fatores de não-linearidade (?? ? ?? ) e o seu quociente ?. o fator de redução ? faz com que ??? corresponda ao máximo carregamento transversal que pode ser aplicado na direção de maior rigidez. a capacidade de carga é sempre igual a 1.3) 0 ?? ?? = ???0 0 (7. Galgoul mostrou que quando se leva em consideração a lei constitutiva do concreto.? ) ≤ 1 ? ? ? ? (7. em alguns casos os resultados podem ser ainda mais desfavoráveis do que os observados por Menegoto e Pinto. apresentada na Curva 4 da Figura 14. como mostra as equação de (7. Pode-se considerar a curva de interação com precisão satisfatória lançando-se mão do fator de redução ? e desconsiderando-se a inversão de curvatura da lei de interação dos carregamentos. de acordo com a teoria de segunda ordem e levando-se em consideração o fenômeno da instabilidade lateral.2) Nesta equação de interação.6) a (7.5) ?? ?? = ???0 (7. Porém. assim como nos que o precederam. Definição de F: ? = 1 para ? ≤ 3 (não há flambagem lateral) 200 ? = 0.7) (7.8) Definição de ?: ? = 1.21 + 0. definida pelo como: ?= 7. 1978). as condições de apoio. apresenta-se a seguir a sequência iterativa de aplicação das equações para obter rápida convergência.5) Esses fatores de não-linearidade expressam a razão entre os carregamentos transversais a que o pilar resiste pelas teorias de primeira e segunda ordem em ambas as direções. onde ?? ≥ ?? (7.8 )] para 3 < ? < 200. Por esse motivo. (há flambagem lateral) ? = 0. as equações apresentadas no item 7. os carregamentos e a resistência dos materiais envolvidos.11) ?? ??? Aceleração da convergência do método Conhecidas as dimensões da peça.9) (7.21 para ? ≥ 200 (há flambagem lateral) (7.2 + 0.2 permitem determinar a taxa de armadura.44 ?= ?? ?? . Trata-se de um pilar biarticulado em ambas .6[1 − 0. é necessária a aplicação de um processo numérico iterativo.435 log10 (?? )][1 − 0.27 [log10 ( ? 1.435 log10 (100?)] para ? ≤ 3 ? = 1 para ? > 3 (7. O exemplo trazido à luz na Figura 15 é o mesmo que foi utilizado na tese de Galgoul (GALGOUL. Este processo pode apresentar uma quantidade de cálculos relativamente grande.6) (7. pelo fato dos fatores de não-linearidade dependerem de uma taxa de armadura por hora desconhecida.3 ?? ??? (7. Contudo.10) Onde ? é a taxa de armadura do pilar. Figura 15 . decorrente do aumento da taxa mecânica da armadura. aproximando as excentricidades ?1 . o que diminui o efeito de segunda ordem do pilar. Define-se ?1 como a máxima excentricidade da força normal ?? que a seção transversal é capaz de resistir. apenas com o objetivo de facilitar a apresentação e compreensão do método. ?2 < ?1 . 1978. Ou seja. A Figura 15 apresenta os valores de ? em função de ?(?). mostra que a seção metálica aumenta sua importância em relação à de concreto.Exemplo de aceleração da convergência do método Fonte: GALGOUL. a excentricidade máxima ?1 no centro do pilar é necessariamente maior que a da extremidade ?2 . e o fator ? definido pela razão entre as excentricidades (? = ?1⁄?2) será sempre maior do que 1. Em segunda instância considera-se o mesmo pilar. logo. uma vez que o momento resistente do pilar continua sendo ?1 . Neste caso.45 extremidades submetidos a esforço normal de compressão ?? . Através dessa figura nota-se que ? é decrescente para todos os valores de ?. vale ressaltar que nesse exemplo exclui-se o fenômeno de instabilidade lateral. o momento máximo de primeira ordem atuante nesse pilar deve ser ?1 = ?1 ?? . . ?2 . Este fato. porém com uma excentricidade adicional decorrente do efeito de segunda ordem. Mostrado isso. 7.4 Roteiro de cálculo para aplicação do método Para auxiliar a explanação será utilizado o pilar genérico apresentado na Figura 16. pela teoria de primeira ordem e ?2 (0) pela teoria de segunda ordem. . Ou seja. Figura 16 . e vice-versa. considerando a excentricidade ? = ? (0) ?2 . Após isso será possível determinar o valor de ? (0) = ?1 (0) ⁄?2 (0) . Para a seguinte iteração adota-se para ? (2) a média entre os valores anteriormente citados: ? (2) = (? (0) + ? (1) )⁄2. 1979. ? (1) será maior do que essa taxa. Conhecido o valor de ? (0) obtém-se a nova taxa mecânica ? (1) .Pilar genérico com seção duplamente simétrica Fonte: Adaptado de GALGOUL. deve-se expandir o método de convergência acima descrito para a aplicação nos dois planos principais simultaneamente. Caso o ? (0) tenha sido escolhido menor do que a taxa realmente necessária. o valor da taxa realmente necessária está entre os valores de ? (0) ? ? (1) .46 Deve-se então estimar uma taxa inicial ? (0) e encontrar a maior excentricidade possível ?1 (0) . 47 São conhecidos: Dados geométricos do pilar e da seção transversal; Condições de vinculação em cada um dos eixos; Disposição da armadura na seção; Resistências de cálculo ??? e ??? ; Esforço normal constante; Carregamentos transversais atuantes nos dois planos principais de simetria. O objetivo é determinar a menor taxa (?) com a qual a coluna é capaz de resistir a esses esforços. Os passos para essa determinação são descritos a seguir. 1º - Estimar ? (0) 2º - ?0? = ?0? (?, ?, … ) ?0? = ?0? (?, ?, … ) Máximo carregamento transversal possível (nas direções ? e ?, respectivamente), em flexão composta normal pela teoria de primeira ordem. 3º - ?0?? = ?0?? (?, ?, ?, … ) Máximo carregamento transversal possível (nas ?0?? = ?0?? (?, ?, ?, … ) direções ? e ?, respectivamente), em flexão composta normal pela teoria de segunda ordem. 4º - ?? ?? 5º - ?? = ???0 ; ?? = ???0 0 0 ?? ?= ?? 6º - ? = ?(?? , ?) ???? ?? ≥ ?? ? ≤ 3 → ? = 1, +0,6[1 − 0,435 log10(?? )][1 − 0,435 log10(100?)] ?>3 → ?=1 7º - ? = ?(?) ?≤3 → ?=1 200 3 < ? < 200 → ? = 0,21 + 0,27 [log10 ( ? 1,8 )] ? ≥ 200 → ? = 0,21 8º - ?? ? ?? Máximos carregamentos transversais possíveis e atuantes simultaneamente para o caso de flexão composta oblíqua pela teoria de primeira ordem. 9º - ? ? = [( ? ??? 0 ? ) +( ? ?. ??? 0 ? −1⁄ ? ) ] 48 10º - ? ?? ? ? ?? Máximos carregamentos transversais possíveis e atuantes simultaneamente para o caso de flexão composta oblíqua pela teoria de segunda ordem. ? ?? = ?. ?; ? ?? = ?. ? 11º - ? = ?(? ? ?? ?? ; ? ? ? ? ?? ) 12º - ????? ; ????? ?= ?? ??? = ?? ??? ≥1 Os carregamentos transversais ? e ? são majorados pelo fator ?: ????? = ??; ????? = ?? 13º - ?? (1) Obtém-se um uma nova armadura para os esforços ????? e ????? . 14º - ? (2) ? (1) + ? (0) = 2 15º - Se ? (2) diferir de ? (0) menos de um erro, ? (2) será a armadura definitiva, caso contrário reinicia-se o cálculo tomando ? (0) = ? (2) no 1º passo. 49 8 EXEMPLOS Nesse capítulo serão apresentados exemplos de aplicação do método, seguindo os passos apresentados no item 7.4. Primeiramente será realizada uma resolução e posteriormente será apresentado e comparado com o programa computacional. 8.1 Exemplo 1 Determinar a armadura do pilar de Figura 17: Figura 17 - Pilar do Exemplo 1 Fonte: Adaptado de BUCHAIM, 1988. ??? = 25 ??? ?? = ? = 250 ??. ? ??? = 500 ??? ?? = ? = 90 ??. ? 1º. Estimar ? (0) : ?? (0) = 12 ∅ 25 = 6000 ??2 ? (0) ??? 500 ??. ? 6000. 1,15 ? = = = 0,6875 25 ? 5002 . 0,85. 1,4 ?. 0,85. ??? ? +0.5205 ≥ ?? = 1. 4º.6[1 − 0. Calcula-se por tabelas ou meios computacionais os máximos carregamentos transversais possíveis nas direções ? e ? em flexão composta normal pela teoria de segunda ordem.9481.28 5º.14 ?? ?? = ???0 = 503.61 ??.96 ? = 1. ?? 2. ? ?0?? = 503. ? Esses resultados foram obtidos através do programa de flexão composta normal (PRETASR.435 log10 (?? )][1 − 0.5205)][1 − 0.28 .14 ??.75)] = 1. Como ? ≤ 3: ? = 1 8º.435 log10 (100?)] ? = 1. ?= 6º.435 log10 (2. ? Nesse caso a vinculação dos eixos é irrelevante.435 log10 (68. ?? 585. 3º. atentando-se ao fato de que para ? (flexão em torno do eixo ?) o pilar é bi-articulado e para ? (flexão em torno do eixo ?) o pilar é em balanço: ?0?? = 256. ?? = ???0 = 1.BAS) do professor Roberto Buchaim. não é necessário inverter os eixos. Calcula-se por tabelas ou meios computacionais os máximos carregamentos transversais possíveis em flexão composta oblíqua .6[1 − 0.16 0 0 Como ?? = 2.50 2º. +0. Como ? ≤ 3: ?? = 1.01 = 2. Calcula-se por tabelas ou meios computacionais os máximos carregamentos transversais possíveis nas direções ? e ? em flexão composta normal pela teoria de primeira ordem: ?0? = ?0? = 585.30 7º.16 = 1.01 ??. 50 ??.36) ] −1⁄ 1. 90 = 130.51 pela teoria de primeira ordem.4. ? ? = 180 ??. 1.2994 + (300.???) ] 0 0 −1⁄ ? 90 1. portanto é necessário que se realize uma série de tentativas para que o ponto fique o mais próximo possível da curva.38 = 124. ? 13º. deve-se estimar uma nova armadura: ?? (1) = 12 ∅ 20 = 3775 ??2 14º. 9º. Verificar o erro da nova armadura encontrada: ?? (2) = ?? (1) + ?? (0) 3775 + 6000 = = 4887. Calculam-se os máximos carregamentos transversais possíveis e atuantes simultaneamente para o caso de flexão composta oblíqua pela teoria de segunda ordem: ? ?? = 90 . 250 = 362. ? ????? = ?? = 1. ? ? ? ? ? = [(??? ) + (?. ? 180 500 11º. 1. Com os novos carregamentos.15) 250 1. Essas tentativas devem sempre manter a proporção inicial dos carregamentos ? e ?.58 = 235.7 = 1. vale ressaltar que o programa é de verificação de seções.45 . como mostra a Figura 19. ? = 84.5 ??2 2 2 .2994 =[(232.2994 = 1.45 ≥ 1 12º. ? ? ?? = 250 .38 10º.45 .11 ??. ? Esses resultados foram obtidos através do programa PCalc 1.50 ??. ? ? ? = 500 ??. Os novos carregamentos transversais são: ????? = ?? = 1.75 ??.38 = 344. . o programa verifica se o erro é suficientemente pequeno para que aquela armadura seja adotada.. Obtém-se assim uma nova armadura. A segunda iteração retorna mais uma vez os valores de ????? e ????? . A Figura 18 mostra que o programa foi alimentado com os dados do problema. Este resultado é mostrado na Figura 19. A segunda iteração retorna uma área ?? (2) = 5275 ??2.25 ??2 2 2 ?? (2) 5275 = = 1. com exceção dos valores de ? ? e ? ? .54%. Como esse erro é suficientemente baixo. 8. ?? (2) = 5275 ??2 é a área de aço definitiva que o método retorna.8146 = 81. portanto tomar ?? (0) = ?? (2) e reiniciar o processo. conforme ilustra a na Figura 20. que alimentam o aplicativo externo e permitem a obtenção da nova taxa.0396 = 103.5 = = = 5081.5 ?? Nesse novo caso o critério de convergência se difere da armadura encontrada de 3. apresentada na ?? = 5280 ??2 no exemplo 2 de Buchaim.1. 1988.96%. portanto: ?? (2) ?? (1) + ?? (0) 5275 + 4887. Após esse processo programa retorna o ????? e ????? .52 ?? (2) 3775 = = 0. dessa vez com esses novos valores. então deve-se entrar mais uma vez no aplicativo externo. que foram obtidos através do aplicativo externo PCalc 1. caso contrário deverá iniciar-se uma nova iteração.46 % ?? (0) 6000 Ou seja.4.96 % (0) 4887. Após ser obtida essa nova taxa. o critério de convergência se difere da armadura encontrada de 18.1 Solução utilizando o programa computacional Apresenta-se a seguir o programa computacional desenvolvido para a aplicação do método. Máximos carregamentos no pilar submetido a flexão composta .53 Figura 22. Figura 18 .Primeira iteração do Exemplo 1 Figura 19 . Essa nova taxa alimenta o programa e avalia o erro novamente. Neste exemplo a segunda iteração retorna um valor satisfatório e encerrase o processo. Armadura para os novos esforços da primeira iteração do Exemplo 1 .54 oblíqua no Exemplo 1 Figura 20 . Segunda iteração do Exemplo 1 ?? = 5280 ??2 no exemplo 2 de Buchaim. . 1988.55 Figura 21 .. 20 12. Contudo. ??? = 15 ??? ?? = ? = 14 ??.20.Armadura para os novos esforços da segunda iterção do Exemplo 1 8. .?2 2 = 1. todas de mesma bitola.40 = 138. pois o método programado é o da curvatura aproximada. ? ?? = 34.4.56 Esse resultado implica que não se possa aplicar o programa desenvolvido para obtenção dos esforços provenientes da flexão reta.42 2 = 11.56 Figura 22 .2 Exemplo 2 Determinar a armadura do pilar de Figura 23 cuja seção está armada com 3 barras por face. o qual possui limitação de ? ≤ 90.3 ?? Cálculo de ?: ?= ?? √?? ? = 800 3 √ 40. ? ??? = 500 ??? ?? = ? = ?.2 ??. Estimar ? (0) : ?? (0) = 2346 ??2 ? (0) 2º. 0.97 ??. ??? 500 ??. atentando-se ao fato de que para ? (flexão em torno do eixo ?) o pilar é bi-articulado e para ? (flexão em torno do eixo ?) o pilar é em balanço: ?0? = 234. Figura 23 .03 ??.400. ??? ? Calcula-se por tabelas ou meios computacionais os máximos carregamentos transversais possíveis nas direções ? e ? em flexão composta normal pela teoria de primeira ordem.Pilar do Exemplo 2 Fonte: Adaptado de BUCHAIM.85. 1988.4 ?. ? ?0? = 107. 1º.400 15 ? 200. 1.56 é possível aplicar o método com o auxílio de ábacos ou outros programas com método para ? > 90.0. 1. ? 2346.15 ? = = = 1.85. ? . é necessário inverter os eixos.97 ?? = ???0 = 210. ?? ?? 234.60 ??. ? 2º.2 ??. ?? = ? = 14 ??.42 2 = 11. ? ?? = ? = 1º.57 3º. ? Calcula-se os máximos carregamentos transversais possíveis nas direções ? e ? em flexão composta normal pela teoria de primeira ordem: ?0? = 81. ?? 81. 3º. Calcula-se por tabelas ou meios computacionais os máximos carregamentos transversais possíveis nas direções ? e ? em flexão composta normal pela teoria de segunda ordem: ?0?? = 210.29 .29 ≤ ?? = 3.23 .60 ?? ?? = ???0 = 25.23.60 ??. 1988. ?? = ???0 = 3. ? Resultados obtidos BUCHAIM. ?. retorna-se ao início invertendo-se os eixos.23 0 0 Como ?? = 1.29 0 0 . Portanto.30 ??. Calcula-se os máximos carregamentos transversais possíveis nas direções ? e ? em flexão composta normal pela teoria de segunda ordem: ?0?? = 25.41 = 1.33 ??. 1988. ? ?0? = 163. ? ?0?? = 126.20 ??.41 ??. 4º. ? Resultados obtidos BUCHAIM. ?? = ???0 = 1.?2 2 = 1. ? ?0?? = 55.4.30 = 3. +0.23 6º. Calcula-se por tabelas ou meios computacionais os máximos carregamentos transversais possíveis em flexão composta oblíqua pela teoria de primeira ordem. ? ? ? ? ? = [(??? ) + (?. Calculam-se os máximos carregamentos transversais possíveis e atuantes simultaneamente para o caso de flexão composta oblíqua pela teoria de segunda ordem: ? ?? = 11.435 log10 (3.88 ??.88 10º.???) ] 0 0 −1⁄ ? 11. Os novos carregamentos transversais são: .23)][1 − 0.435 log10 (140)] = 1.10 ??.10 73. 8º. ?= 5º. 1988. ? Resultados obtidos BUCHAIM. 1.62 ??.67 ≥ 1 11º.435 log10 (?? )][1 − 0.6[1 − 0.6) ] −1⁄ 1. Como ? ≤ 3: ? = 1 7º.97 = 22.23 = 1.2 1.58 ?? 3. 1.6[1 − 0. ? ? = 59. +0. ? 59.29 = 2.0 .10 = 27.97 = 27. ? ? ?? = 14.435 log10 (100?)] ? = 1. ? = 22.5 ? = 1.97 9º. ? ? ? = 73.2 . Como ? ≤ 3: ?? = 1.23 4º.30) 14 1.62 = 2.23 + (126.10 ??.23 =[(25. A segunda iteração retorna o valor da área ?? (1) = 1830 ??2 Como: ?? (2) = ?? (1) + ?? (0) 1830 + 2010 = = 1920 ??2 2 2 ?? (2) 1920 = = 0.9552 = 95. Com os novos carregamentos.3%.90 ??.67.38 ??. ?? (2) = 1920 ??2 é a área de aço definitiva que o método retorna. portanto tomar ?? (0) = ?? (2) e reiniciar o processo. o critério de convergência se difere da armadura encontrada de 14. ? 12º. 11.2 = 29.48%.8570 = 85.70 % ?? (0) 2346 Ou seja. Como esse erro é suficientemente baixo.59 ????? = ?? = 2. deve-se estimar uma nova armadura: ?? (1) = 1675 ??2 13º. Verificar o erro da nova armadura encontrada: ?? (2) ?? (1) + ?? (0) 1675 + 2346 = = = 2010 ??2 2 2 ?? (2) 2010 = = 0. . 14 = 37. ? ????? = ?? = 2.52 % ?? (0) 2010 Nesse novo caso o critério de convergência se difere da armadura encontrada de 4.67 . que traz informações dos resultados experimentais da tese de Galgoul e de seus precursores na abordagem dessa questão de instabilidade lateral. . O tema estudado levanta discussões importantes sobre o fenômeno observado por Galgoul e certamente deve ser mais aprofundado em oportunidades futuras. tornando mais propícia sua utilização no cotidiano do projetista estrutural além de fornecer mais um material teórico sobre esse tema. com o auxílio da ferramenta computacional para a aplicação do método tornou-se possível a consideração desse efeito de forma mais prática. Dessa forma seria possível constatar se a consideração feita pelo método retorna um resultado mais verossímil do que os normalmente considerados ou não. (2) Realização de estudos da instabilidade lateral em pilares com seções e disposições de armaduras diversas e a comparação dos resultados com o obtido pela teoria usualmente empregada. após isso realizar a comparação dos resultados teóricos com os experimentais. Menegoto e Pinto. Como por exemplo: (1) Realização de ensaios físicos em pilares armados sem a consideração da instabilidade lateral comparando-os com pilares que possuem essa consideração. A relevância dessa constatação é ressaltada na Figura 14. Estas são algumas sugestões que caberiam para aumentar o estudo do assunto e ampliar cada vez mais o entendimento sobre esta área da engenharia estrutural. Nesse gráfico é alertado para o fato de que podem existir determinadas situações as quais os resultados corriqueiramente adotados podem apresentar-se contra a segurança. fato que é frequentemente desconsiderado nos demais métodos de dimensionamento. ainda relativamente escasso. Por fim. Esse método traz à luz a discussão sobre a possibilidade de instabilidade lateral na direção principal secundária antes da ocorrência do esgotamento da capacidade portante na direção considerada.60 9 CONCLUSÃO Com este trabalho foi possível explanar com maior profundidade o método aproximado de dimensionamento de pilares esbeltos submetidos à flexão composta oblíqua. E.Monografia apresentada ao programa de educação continuada da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do título de especialista em Gestão de Projetos de Sistemas Estruturais.. Projeto de estruturas de Concreto. – Dissertação apresentada à Escola Politecnica da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Engenharia. D. São Paulo – 2014. Efeitos de segunda ordem e estado limite último de instabilidade em pilares de concreto armado. GALGOUL.. Momento-Curvatura em flexo-compressão de seção duplo T com um eixo de simetria e armadura passiva – Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Estruturas da Universidade estadual de Londrina. Sistema computacional para análise não linear de pilares de concreto armado . NBR 6118:2014 – Rio de Janeiro. N. CARDOSO. Método prático para o dimensionamento à flambagem de colunas de concreto armado submetidas à flexão composta oblíqua – XX Jornada Sul-Americana de Engenharia Estrutural. T.. Diagrama Momento – Curvatura em seções retangulares de concreto armado com armaduras nas quatro faces. S. Construções em concreto estrutural – Notas de aula.S. SOUZA. Solicitações normais em seções de concreto armado e protendido – Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Estruturas da Universidade estadual de Londrina. R.. B.. J.. NORIEGA. Londrina: Universidade Estadual de Londrina. KOMARCHESQUI. Cordoba – 1979. Londrina – 2012.61 10 BIBLIOGRAFIA Eurocode 2 [2004] EN 1992-1-1: Eurocode 2: Design of concrete structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings. Comportamento de Pilares Esbeltos de Concreto de Alta Resistência sob Flexão Composta Reta e Oblíqua . Munique – 1978 GALGOUL. 2004 Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Londrina – 1988.Belgium.. F. N. 2014. . Rio de Janeiro – 2011. V. 1979. duas a duas simétricas – Projeto de pesquisa realizado na Universidade Estadual de Londrina. BUCHAIM. BUCHAIM. Beitrag zur Bemessung von schlanken Stahlbetonstützen für schiefe Biegung mit Achsdruck unter kurzzeit und Dauerbelastung – Tese apresentada à Technische Universität München. S. R. Londrina – 2012.Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Brussels . CEN. BUCHAIM. Y. R..
Report "Pilar Esbelto em flexão composto oblíqua - método aproximado"