Permissividade Dielétrica Dos Materiais

1 de 20http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... Esta é a versão em html do arquivo http://www.das.ufsc.br/~scussiato/Latex/texto_A5/permissividade.tex. G o o g l e cria automaticamente versões em texto de documentos à medida que vasculha a web. Propriedades Dielétricas dos Materiais Este capítulo trata sobre a interação entre ondas eletromagnéticas e materiais dielétricos, mais especificamente sobre a permissividade relativa de materiais dielétricos. Serão abordadas aqui as dependências da permissividade relativa em função da temperatura e da salinidade. São apresentados gráficos ilustrando o efeito da variação da temperatura e da salinidade tanto na parte real quanto na imaginária da permissividade relativa, em especial do efeito dessa dependência sobre a água. A partir disso, será possível identificar algumas freqüências de operação que apresentem melhor resultado no desenvolvimento de um sensor de medição de vazão bifásica por micro-ondas. A teoria sobre permissividade dielétrica descreve como um material se comporta na presença de um campo elétrico, e o entendimento dessa teoria se faz necessária para compreender o funcionamento do medidor de fração de água apresentado neste trabalho. Basicamente, o medidor monitora a mudança da frequência de ressonância associado à permissividade relativa do meio que está presente em uma cavidade ressonante que forma uma parte do medidor. Introdução Uma onda eletromagnética propaga-se através de algum meio, denominado meio de propagação. Este meio apresenta características que afetam a interação da onda eletromagnética com o meio, como por exemplo, a permissividade elétrica ou constante dielétrica ϵ, a permeabilidade µ e a condutividade σ. Juntamente com a frequência, estes parâmetros determinam o comportamento da onda eletromagnética. Neste trabalho, consideramos os materiais como sendo não magnéticos, ou seja, considera-se que µr=1; portanto µ=µ0=4π·10-7[NA-2]. Assim, este capítulo realiza uma análise mais detalhada sobre a permissividade do meio. Muitas propriedades elétricas das moléculas (como a permissividade) podem ser relacionadas com as ações dos núcleos que competem pelas cargas dos elétrons ou pelo efeito da ação do núcleo competindo com a influência de um campo elétrico externo aplicado. A água é uma molécula polar e isso significa que há um momento de dipolo elétrico permanente. Este momento de dipolo provém das cargas parciais dos átomos na molécula provocadas pelas diferenças das eletronegatividades. Na presença de uma campo elétrico esse momento dipolo é modificado pela ação do campo externo. Um dipolo elétrico é constituído por duas cargas elétricas puntiformes q e -q separadas por uma distância R. Essa configuração é representada por um vetor, o momento de dipolo elétrico, que tem o sentido da carga negativa para positiva. Quando o campo elétrico aplicado às moléculas se altera lentamente, o momento de dipolo tem tempo para se orientar e a molécula gira acompanhando a modificação do campo. Porém, quando a frequência do campo é muito elevada (superior a 100GHz) a molécula não pode alterar sua posição com tal rapidez para acompanhar o campo. Quando duas cargas q1 e q2 estão separadas por uma distância r no vácuo, a energia potencial da respectiva interação é V={q1q2}/{4π rϵ0}. 16/05/2014 23:17 2 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... Porém, quando as mesmas cargas estão imersas num meio, como por exemplo o ar ou a água, a energia potencial se reduz a V={q1q2}/{4π rϵ} , em que ϵ é a permissividade do meio, [atkins:fisico] . Sendo a permissividade ϵ=ϵ0ϵr e uma vez que ϵ0 é a permissividade do vácuo e tem seu valor constante e igual a ϵ0=8,8541878176·10-12F/m. Desta forma, toda a análise deste capítulo será realizada sobre a permissividade relativa ϵr. Diferente do vácuo, materiais normais, como por exemplo a água, apresentam uma resposta para o campo elétrico externo que geralmente depende da frequência. Essa dependência com a frequência ilustra o fato que a polarização do material não ocorre instantaneamente para um campo aplicado, e isso pode ser representado por uma diferença de fase. Por esta razão a permissividade é geralmente tratada como um número complexo ϵr=ϵr’-jϵr" , para poder representar a magnitude e a fase de uma campo aplicado com uma determinada frequência ω. Quando uma onda eletromagnética propaga-se num meio, o campo elétrico E desta onda polariza o material. Entretanto, quando um material apresenta perdas, ou seja, tem condutividade (σ) não nula, surge um atraso entre o campo elétrico e a polarização do meio (figura fig:Polarizacao). O nível das perdas depende da diferença entre a fase do campo elétrico e da polarização, [lsbumicrowave] . Resultado da polarização de material em função de um campo elétrico E incidente. Quanto maior as perdas, maior será o aquecimento no meio, provocado por uma densidade de corrente J fluindo no meio. Esta densidade de corrente está relacionada diretamente com a condutividade do meio σ, pois J=σ E . A tangente de perdas tan(δ) é definida como sendo tan(δ)={ϵr"}/{ϵr’}. A parte imaginária da permissividade ϵr" está associada as perdas do meio, e seu valor é sempre positivo (ϵr"≥0). Para um caso ideal de um meio sem perdas, tem-se a parte imaginária nula, ou seja ϵr"=0, [lsbumicrowave] . A parte real da permissividade ϵr’ afeta o campo elétrico de uma onda em propagação e também muda a relação entre os campos elétricos e magnéticos. Ao mesmo tempo, ϵr’ afeta a velocidade de propagação da onda. Em uma cavidade ressonante, isto altera a frequência de ressonância de forma a deslocá-la para uma frequência maior ou menor. Este deslocamento da frequência de ressonância em função da variação do valor da permissividade relativa é o princípio de funcionamento do medidor descrito neste trabalho. A equação da velocidade de fase (equação eq:Vp) ilustra como a permissividade afeta a velocidade com que a uma onda eletromagnética propaga-se no meio. Para o vácuo, tem-se uma velocidade de propagação de aproximadamente c≅3·108m/s. Para outros meios não magnéticos com poucas perdas, pode-se aproximar a velocidade de propagação como sendo Vp={1}/{√{µϵ}}≃{c}/{√{ϵr}}≃{3·108}/{√{ϵr}}. As equações eq:comprimento e eq:comprivac permitem calcular o comprimento de onda (λϵ num meio dielétrico. Observa-se que o comprimento de onda num dielétrico é menor que o comprimento de onda no espaço livre λ0 à mesma frequência. λϵ={1}/{f√{µϵ}}={c}/{f√{ϵr}}, 16/05/2014 23:17 3 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... λϵ≃{λ0}/{√{ϵr’}}. Cada material apresenta um valor de permissividade. Em geral, esse valor está entre a permissividade do ar (ϵr=1) e a permissividade da água (ϵr=81). A tabela tab:permimat apresenta alguns valores de ϵr’ para diferentes materiais, [Eletromag:ufsc] . Permissividade relativa ϵr’ [Eletromag:ufsc] . Permissividade ϵr’ Material Ar 1,0 Polietileno 1,05 Madeira Seca 1,5 - 4,0 Teflon 2,0 Petróleo 2,1 Óleo mineral 2,3 Solo seco 2,8 Borracha 3,0 Papel isolante 3,0 Nylon 3,1 Parafina 3,2 Quartzo 3,8 Vidro 6,0 Porcelana 7,0 Álcool etílico 25,0 Água destilada 81,0 A permissividade depende tanto da frequência como das propriedades físicas dos materiais, tais como umidade, densidade, temperatura e condutividade. Na próxima seção será discutida a dependência da permissividade da água com estes fatores. Permissividade da Água Esta seção utiliza a água como exemplo para ilustrar a dependência da permissividade com a variação da temperatura e da frequência. No entanto, a água apresenta uma condutividade na presença de sal, o que não ocorre com o ar e óleo, por exemplo. A água é uma molécula formada por dois gases (figura fig:agua1), o oxigênio e o hidrogênio, porém nas condições ambientes de temperatura e pressão (23ºC, 1 atm) a água é um líquido. Estrutura da molécula de água [lsbuWestruture] . Para a água pura, o valor da permissividade relativa é ϵr=81, considerando pressão e temperatura ambientes. Contudo, a água é um ótimo solvente que dissolve vários tipos de substâncias polares e também iônicas, como por exemplo o sal. Por isso, a água na natureza é raramente pura e geralmente possui sais e minerais dissolvidos, os quais afetam o valor da permissividade. Nas próximas seções, será discutida a variação do valor da permissividade relativa da água para a mudança de temperatura, concentração de sal e frequência. Mais informações sobre a permissividade da água, podem ser encontradas nas referências: [Agua:dielref] , [lsbumicrowave] , [Nyfors:book] . Permissividade Relativa e sua Dependência com a Frequência 16/05/2014 23:17 4 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... Esta seção trata sobre a dependência da permissividade relativa com a variação da frequência. Esta dependência é muito importante para poder definir a frequência de operação. Por exemplo, uma aplicação como em fornos de micro-ondas, escolhe-se uma frequência de operação em que as perdas sejam elevadas, em outras palavras, em que a parte imaginária ϵr" seja máxima. Por outro lado, para uma aplicação em instrumentação, deseja-se encontrar um ponto de operação em que as perdas sejam mínimas, para que uma grande parcela do sinal transmitido seja recebido pela antena receptora. Desta forma, é muito importante compreender a variação do valor da permissividade em função da frequência. A variação de ϵr na faixa de micro-ondas é causada pela mudança polar das moléculas. Essa dependência da freqüência é descrita pela relação de Debye ϵr=ϵr∞’+{ϵrs’-ϵr∞’}/{1+jωτ}=ϵr’+jϵr" , que pode ser separada em parte real eq:debyeReal ϵr’=ϵr∞’+{ϵrs’-ϵr∞’}/{1+ω2τ2}, e parte imaginária eq:debyeImag ϵr"={(ϵrs’-ϵr∞’)ωτ}/{1+jω2τ2}, onde τ é o tempo de relaxação, ϵrs’ é a permissividade relativa para baixas frequências (região estática), enquanto ϵr∞’ é a permissividade óptica ou infinita (frequências elevadas) e seu valor é ϵr∞’=4,9. O tempo de relaxamento (τ) é a medida de tempo necessária para a água rotacionar, também considerado como atraso para as partículas responderem a mudança de campo. O tempo de relaxação (τ) para água doce é obtido através de: τ={4πη r3}/{kT}, onde r é o raio molecular, k a constante de Boltzmann (k=1,3806503·10-13{J}/{K}), η a viscosidade e T a temperatura em Kelvin. O raio molecular r da água é a metade da distância entre as moléculas de Oxigênio, e vale r=0,14nm, [lsbuWestruture] . A viscosidade da água η também depende da temperatura. Para 20ºC é de η=1,003·10-3Pa s e para 25ºC é η=8,90·10-4Pa s. Ao resolver a equação eq:LSBU:Relax para 20ºC, tem-se τ=8,5451ps e para 25ºC obtém-se τ=7,4533ps. Para água salgada τ pode ser obtido através da equação eq:Nyfors:RelexT, [Nyfors:book] , [lsbumicrowave] , [Trel:water] [Trel:Analysis] . Ao resolver a relação de Debye (equação eq:debye), em função da frequência ω, é possível ilustrar a variação de ϵr, tanto a parte real quanto a imaginaria, para a mudança da frequência, como representado na figura fig:permiComplex. Permissividade da água doce a 25ºC em função da frequência. Percebe-se que a parte real ϵr’ é constante em baixas e em altas freqüências, e a transição ocorre lentamente na vizinhança da freqüência de relaxação, que pode ser encontrada através da equação f rel={1}/{2πτ}. No entanto, a parte imaginária ϵr" é pequena tanto em baixas freqüências quanto em altas, porém na região de transição apresenta um valor elevado, isso considerando água pura. Em baixas freqüências, onde a polarização sempre ocorre completamente, as perdas por ciclo são proporcionais à freqüência, pois a fricção em fluídos viscosos é diretamente proporcional à velocidade do movimento. Por outro lado, em altas frequências, as perdas desaparecem com o aumento da frequência, pois a polarização desaparece também. Na frequência de polarização, ϵr" tem seu valor máximo, que pode ser facilmente calculado pela equação eq:ErImagMax. ϵr"max={ϵr’-ϵr∞’}/{2}. 16/05/2014 23:17 5 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... A relação de Debye é baseada em três constantes ϵrs”, ϵr∞’ e τ em que a permissividade óptica ϵr∞’ não é afetada pela variação da temperatura. Entretanto, a permissividade estática ϵrs’ e o tempo de relaxação τ sofrem alterações. Com o aumento da temperatura, ϵrs’ diminui por causa do aumento da desordem. Já o tempo de relaxação τ é inversamente proporcional à temperatura devido ao fato que todo movimento é mais rápido em temperaturas mais elevadas. O gráfico apresentado na figura fig:permiComplex é construido sobre a solução da relação de Debye. Por outro lado, um trabalho realizado de forma experimental para água pura é apresentado na figura fig:dieletricghz [Agua:dielref] . Tanto ϵr’ quanto ϵr" são ilustrados em função da frequência. Permissividade relativa da água para 25ºC, obtida experimentalmente para 0,1 - 1000GHz, [Agua:dielref] . Permissividade Relativa e sua Dependência com a Temperatura A temperatura afeta ϵr e consequentemente ϵr’ e ϵr". Além disso, afeta também o tempo de relaxação. Com o aumento da temperatura, a água torna-se um material pobre em absorção de micro-ondas. O gráfico da figura fig:ErRealTemp ilustra como é afetada a permissividade relativa da água doce variando a freqüência de 10MHz a 1THz e ao mesmo tempo a temperatura de 0 a 40ºC em passos de 5ºC, enquanto o gráfico fig:ErImagTemp ilustra ϵr" para o mesmo caso. As setas indicam o sentido do aumento da temperatura. Permissividade relativa da água para uma variação de temperatura e de frequência. Fator de perdas da água para variação da temperatura e frequência. É possível perceber que em altas freqüências a permissividade óptica ϵr∞’ não é significativamente afetada com a mudança de temperatura. A permissividade estática ϵrs’ depende da temperatura e pode ser aproximada pela equação eq:ErstaticTemp para água doce (não condutiva), considerando variações de temperatura entre -35ºC e 100ºC. ϵrs’(t)=A e-bt, onde A=87,85306 e b=0,00456992, portanto ϵrs’(T=25ºC)=78,36. Permissividade Relativa e o Efeito de Íons Condutivos Esta seção trata sobre os efeitos dos íons condutivos dissolvidos na água. Os efeitos aqui analisados são referentes à permissividade e como consequência a interação de água salina com micro-ondas. A permissividade da água depende crucialmente da condutividade, consequentemente da quantidade de sal (salinidade). A permissividade de um meio não condutivo é dada por eq:debye. No entanto, quando um meio apresenta condutividade, surge um novo termo associado à parte imaginária da permissividade. Portanto, se a condutividade é conhecida, pode-se representar a permissividade pela equação eq:Ercondutiva ou eq:DebyeCond. Equivalentemente, ela também pode ser obtida através da equação eq:Ercondutiva, que é a equação de Debye considerando íons condutivos. ϵr=ϵr’-j(ϵr"+{σ}/{ωϵ0}), ϵr=ϵr∞’+{ϵrs’-ϵr∞’}/{1+jωτ}-j{σ}/{ωϵ0}. O efeito da condutividade diminui com a frequência, pois o termo ω está no denominador de eq:DebyeCond. Assim, a condutividade tem grande influência em baixas freqüências, mas não na faixa de GHz. E como a condutividade está associada a um termo puramente imaginário, ela afeta apenas a parte imaginária da permissividade. Contudo, íons condutivos introduzem perdas no material, porém para uma 16/05/2014 23:17 6 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... aproximação de primeira ordem isto não afeta o comprimento de onda. As equações eq:Nyfors:Er, eq:Nyfors:RelexT e eq:Nyfors:Cond apresentam aproximações para curvas da permissividade relativa, tempo de relaxação e condutividade da água, considerando a presença de sal diluído, [Nyfors:book] e [Nyfors:Applic] . ϵrs’=88,195-4,3917S+0,16738S2-0,40349T+0,65924·10-3T2 +0,43269·10-1ST -0,42856·10-2S2T+0,4441·10-5S2T20,92286·10-4ST2, τ·1012=19,39-1,137S+0,11471S2-0,6802T+0,95865·10-2T2 +0,58629·10-1ST-0,54577·10-2S2T+0,82521·10-4S2T2 -0,87596·10-3ST2-0.65303·10-17· exp(T), σ=0,87483 S+0,25662·10-2S2+0,45802·10-1 ST -0,37158·10-2 S2T+0,3928810-4 S2T2-0,16914·10-3 ST2, onde ϵr∞’=4,9 e S é a salinidade do meio, representada pela porcentagem de sal em relação ao peso total do meio e T é a temperatura em graus Celsius. A salinidade é também comumente expressa em ppm (partes por milhão) onde 1ppm={1}/{1.000.000}. Por exemplo, 35g equivale a 35kppm, pois {35g}/{1kg}=35.000ppm ou 35kppm. Em relação à água do mar, é possível encontrar na literatura um valor médio da condutividade de 4 Siemens/m, porém esse valor é apenas uma média utilizada para ilustrar a condutividade. Sabe-se que esse valor depende da temperatura, concentração de sal, pressão, entre outros fatores. Desta forma, para diferentes profundidades e localizações, têm-se diferentes valores de condutividade e permissividade para a água do mar. Portanto, é possível encontrar diferentes valores de condutividade para água do mar na literatura. Por exemplo, um estudo realizado pelo National Physical Laboratory [Kaye:sea] apresenta que a média da condutividade dos oceanos é de 3,27 Siemens/m (excluindo águas rasas), e que para água profundas com aproximadamente 4000m de profundidade e temperatura de 0ºC com concentração de sal de 35Kppm, tem-se uma condutividade 6% superior à da superfície. A tabela Tab:Salinity apresenta os valores de condutividade para diferentes temperaturas e concentração de sal na água do mar. Condutividade elétrica da água do mar sob pressão atmosférica, [Kaye:sea] . Temperatura Salinidade(g· kg-1) ºC 20 25 30 35 40 0 5 10 15 20 25 σ (S· m-1) 1.745 2.015 2.300 2.595 2.901 3.217 2.137 2.523 2.906 3.285 2.466 2.909 3.346 3.778 2.811 3.313 3.808 4.297 3.170 3.735 4.290 4.837 3.542 4.171 4.788 5.397 3.926 4.621 5.302 5.974 A condutividade esta diretamente relacionada com a concentração de sal diluído em um meio, e esta afeta o valor da permissividade elétrica de uma solução de água com sal diluído. Por exemplo, a figura fig:ErRealCond ilustra a constante dielétrica ϵr’ e a figura fig:ErImagCond a parte imaginária ϵr" de uma solução de água com sal diluído a 35kppm, em função da frequência. Considera-se uma variação de 16/05/2014 23:17 7 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... temperatura entre 0 e 40ºC. As linhas sólidas ilustram a permissividade da água pura enquanto as linhas pontilhadas para água salina. As setas ilustram a variação das curvas da permissividade com o aumento de temperatura. Diagrama da permissividade real de água pura (linha sólida) e de uma substância de água com sal diluído (linha tracejada), ambas em função da frequência, para uma variação de temperatura de 0 - 100ºC. Diagrama da permissividade imaginária de água pura (linha sólida) e de uma substância de água com sal diluído (linha tracejada), ambas em função da frequência, para uma variação de temperatura de 0 - 100ºC. Em baixas frequências, os íons condutivos são capazes de responder e se mover com a mudança do potencial elétrico, produzindo aquecimento por fricção, aumentando as perdas ϵr". Com o aumento da temperatura, a água absorve menos energia nas frequências de micro-ondas. Porém, com a presença de sal a água torna-se melhor absorvedora de micro-ondas com o aumento da temperatura [lsbumicrowave] . Ao manter a temperatura fixa é possível ilustrar de forma clara a variação da permissividade para diferentes concentrações de sal. As figuras fig:ErRealSali e fig:ErImagSali mostram a dependência de ϵr em função da freqüência e do aumento da salinidade para uma temperatura constante de 25ºC. Os gráficos são construídos com base nas fórmulas eq:Nyfors:Cond, eq:Nyfors:RelexT e eq:Nyfors:Er. Permissividade relativa da água ϵr’ em função da frequência à 25ºC, para variações da concentração de sal de (0 - 50)kppm em passos de 5kppm. Fator de perdas da água ϵr" em função da frequência à 25ºC, para variações da concentração de sal de (0 50)kppm em passos de 5kppm. Comparando os gráficos fig:ErRealSali e fig:ErImagSali para água salina com o apresentado na figura fig:permiComplex para água pura, pode-se perceber que a parte real sofre uma pequena variação de seu valor para o acréscimo da salinidade. No entanto, as perdas representadas por ϵr" sofrem um grande aumento com a salinidade. Portanto, um alimento contendo sal absorve com maior facilidade as micro-ondas do que um alimento sem sal, com maiores perdas e consequente maior aquecimento, o que é interessante para um forno de micro-ondas. Por outro lado, em aplicações de instrumentação esse aumento das perdas é ruim, pois se tem uma grande atenuação do sinal eletromagnético. Contudo, observando a figura fig:ErImagSali conclui-se que o efeito da salinidade é reduzido com o aumento da frequência. Com efeito, pode-se observar que a partir de 300MHz já é possível operar com instrumentação, porém é somente na faixa de GHz que as perdas do material dominam as da salinidade. Levando em conta o projeto do medidor de fração de água, que será discutido no próximo capítulo, é possível fazer uma análise, e justificar que é praticamente impossível projetar uma cavidade para operar como medidor de fração de água na frequência de 10GHz, em que as perdas pela presença de sal são mínimas. Isso porque as dimensões da cavidade seriam muito pequenas para operar com a primeira ressonância em 10GHz. Por exemplo, uma cavidade cilíndrica preenchida com água, operando em 10GHz, seu raio deve ser menor que 1mm, o que é incompatível com a aplicações na industria do petróleo. Para desenvolver o projeto do medidor de fração de água para um escoamento bifásico de água e óleo é crucial o entendimento do comportamento da permissividade em uma mistura de dois materiais e em diferentes frações. Na próxima seção será abordado o comportamento da permissividade em misturas equivalentes de diferentes líquidos. Permissividade Relativa Equivalente para Mistura de Dois Meios Para misturas dielétricas existem formulas para calcular a permissividade efetiva de uma mistura como uma função das permissividades que constituem a mistura. A mistura pode ser homogênea ou não. O uso 16/05/2014 23:17 8 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... do conceito de mistura efetiva implica que a mistura responde à excitação eletromagnética como se fosse homogênea. A permissividade efetiva pode ser complexa, ϵeff=ϵ’eff-jϵ"eff, em que a parte real e imaginária são certamente médias da parte real e imaginária das componentes dos materiais. A mistura pode ser analisada pela sua estrutura, que é o meio principal, muitas vezes denominado de “Fase Contínua”, e a adição de bolhas esféricas, de acordo com a figura fig:Mixturespherical. As duas componentes da mistura são denominadas de fases e o material incluído sobre a fase principal é denominado de “convidado”. Uma simples mistura com inclusões esféricas em um meio homogêneo. A fórmula de Brüggeman eq:Bruggman:1 estima a permissividade de uma mistura de dois materiais, como por exemplo, óleo e água. A permissividade da mistura ϵmix é determinada pela permissividade e o volume relativo das frações de cada fase, assim como pela estrutura da mistura. Esta fórmula representa a parte real de uma mistura de água/hidrocarboneto com elevada precisão. A equação representa misturas constituídas de um escoamento contínuo de água contendo bolhas distribuídas homogeneamente de óleo, [Sihvola:arti] , [Sihvola:Mix] e [Nyfors:Applic] . {ϵOil-ϵmix}/{ϵOil-ϵW}·({ϵW}/{ϵmix}){1}/{3}=1-ϕOil=ϕw, onde ϵOil, ϵw e ϵmix são respectivamente, as permissividades do óleo, da água e da mistura e ϕOil é a fração de volume relativa do óleo enquanto que ϕw é a da água. A figura fig:Bruggeman apresenta a curva para diferentes frações de água e óleo para uma mistura bifásica segundo a fórmula de Brüggeman. Esse resultado considera um caso ideal com permissividade da água ϵr=81 e do óleo como ϵr=2,1. Permissividade relativa equivalente para uma mistura de água e óleo pela fórmula de Brüggeman, para um caso ideal, com pressão e temperatura ambiente. Em casos onde o escoamento de água contínuo apresenta bolhas de óleo e de gás é necessário aplicar duas vezes a formula de Brüggeman. Nos casos apresentados até aqui, assume-se que os materiais que compõem a mistura não apresentam perdas. Ou seja, está sendo tratada apenas a parte real da permissividade de cada fase, logo da mistura também. Todo o esforço realizado até o presente momento foi para determinar uma permissividade equivalente, considerando uma mistura homogênea com adição de geometrias esféricas de um material. Contudo, vale salientar que na prática têm-se outros casos de misturas, como por exemplo, aquelas em que o escoamento não é homogêneo ou para partículas com outras geometrias adicionadas à mistura, como elipsóides. Existem na literatura outras fórmulas para estimar misturas com outras geometrias, porém não serão consideradas neste trabalho, [Sihvola:Mix] e [Sihvola:arti] . Sumário Neste capítulo foi apresentada uma formulação sobre permissividade dielétrica de materiais, juntamente com suas dependências da temperatura, frequência e salinidade. Também foi apresentada a equação de Brüggeman que determina a permissividade efetiva de uma mistura de água/óleo. Esta formulação será aplicada no capítulo cha:Sensor, onde serão abordadas as cavidades ressonantes utilizadas como sensores, seu projeto e funcionamento. LaTeX Original %============================================================================== 16/05/2014 23:17 9 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... % Permissividade %============================================================================== \chapter{Propriedades Dielétricas dos Materiais} \label{cha:permis} Este capítulo trata sobre a interação entre ondas eletromagnéticas e materiais dielétricos, mais especificamente sobre a permissividade relativa de materiais dielétricos. Serão abordadas aqui as dependências da permissividade relativa em função da temperatura e da salinidade. São apresentados gráficos ilustrando o efeito da variação da temperatura e da salinidade tanto na parte real quanto na imaginária da permissividade relativa, em especial do efeito dessa dependência sobre a água. A partir disso, será possível identificar algumas freqüências de operação que apresentem melhor resultado no desenvolvimento de um sensor de medição de vazão bifásica por micro-ondas. A teoria sobre permissividade dielétrica descreve como um material se comporta na presença de um campo elétrico, e o entendimento dessa teoria se faz necessária para compreender o funcionamento do medidor de fração de água apresentado neste trabalho. Basicamente, o medidor monitora a mudança da frequência de ressonância associado à permissividade relativa do meio que está presente em uma cavidade ressonante que forma uma parte do medidor. %============================================================================== \section{Introdução} \label{sec-cap4-int} Uma onda eletromagnética propaga-se através de propagação. Este meio apresenta características eletromagnética com o meio, como por exemplo, a dielétrica $\epsilon$, a permeabilidade $\mu$ e com a frequência, estes parâmetros determinam o eletromagnética. algum meio, denominado meio de que afetam a interação da onda permissividade elétrica ou constante a condutividade $\sigma$. Juntamente comportamento da onda Neste trabalho, consideramos os materiais como sendo não magnéticos, ou seja, considera-se que $\mu_{r}=1$; portanto $\mu=\mu_{0}=4\pi\cdot10^{-7}[NA^{-2}]$. Assim, este capítulo realiza uma análise mais detalhada sobre a permissividade do meio. Muitas propriedades elétricas das moléculas (como a permissividade) podem ser relacionadas com as ações dos núcleos que competem pelas cargas dos elétrons ou pelo efeito da ação do núcleo competindo com a influência de um campo elétrico externo aplicado. A água é uma molécula polar e isso significa que há um momento de dipolo elétrico permanente. Este momento de dipolo provém das cargas parciais dos átomos na molécula provocadas pelas diferenças das eletronegatividades. Na presença de uma campo elétrico esse momento dipolo é modificado pela ação do campo externo. Um dipolo elétrico é constituído por duas cargas elétricas puntiformes \textit{q} e \textit{-q} separadas por uma distância \textit{R}. Essa configuração é representada por um vetor, o momento de dipolo elétrico, que tem o sentido da carga negativa para positiva. Quando o campo elétrico aplicado às moléculas se altera lentamente, o momento de dipolo tem tempo para se orientar e a molécula gira acompanhando a modificação do campo. Porém, quando a frequência do campo é muito elevada (superior a 100GHz) a molécula não pode alterar sua posição com tal rapidez para acompanhar o campo. Quando duas cargas $q_{1}$ e $q_{2}$ estão separadas por uma distância \textit{r} no vácuo, a energia potencial da respectiva interação é \begin{equation} V=\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi r\epsilon_{0}}. \label{eq:defiPermiVac} \end{equation} Porém, quando as mesmas cargas estão imersas num meio, como por exemplo o ar ou a água, a energia potencial se reduz a \begin{equation} 16/05/2014 23:17 10 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... V=\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi r\epsilon} , \label{eq:defiPermiLiq} \end{equation} \noindent em que $\epsilon$ é a permissividade do meio, \cite{atkins:fisico}. Sendo a permissividade $\epsilon=\epsilon_{0}\epsilon_{r}$ e uma vez que $\epsilon_{0}$ é a permissividade do vácuo e tem seu valor constante e igual a $\epsilon_{0}=8,8541878176\cdot10^{-12}F/m$. Desta forma, toda a análise deste capítulo será realizada sobre a permissividade relativa $\epsilon_{r}$. Diferente do vácuo, materiais normais, como por exemplo a água, apresentam uma resposta para o campo elétrico externo que geralmente depende da frequência. Essa dependência com a frequência ilustra o fato que a polarização do material não ocorre instantaneamente para um campo aplicado, e isso pode ser representado por uma diferença de fase. Por esta razão a permissividade é geralmente tratada como um número complexo $\epsilon_{r}=\epsilon_{r}'-j\epsilon_{r}"$ , para poder representar a magnitude e a fase de uma campo aplicado com uma determinada frequência $\omega$. Quando uma onda eletromagnética propaga-se num meio, o campo elétrico \textit{E} desta onda polariza o material. Entretanto, quando um material apresenta perdas, ou seja, tem condutividade ($\sigma$) não nula, surge um atraso entre o campo elétrico e a polarização do meio (figura \ref{fig:Polarizacao}). O nível das perdas depende da diferença entre a fase do campo elétrico e da polarização, \cite{lsbu_microwave}. \begin{figure}[!ht] \centering \includegraphics[width=0.6\textwidth] {figs/Diagrama_Polariazacao2.eps} \caption{Resultado da polarização de material em função de um campo elétrico \textit{E} incidente.} \label{fig:Polarizacao} \end{figure} Quanto maior as perdas, maior será o aquecimento no meio, provocado por uma densidade de corrente $J$ fluindo no meio. Esta densidade de corrente está relacionada diretamente com a condutividade do meio $\sigma$, pois \begin{equation} J=\sigma E . \label{eq:densidadeCorr} \end{equation} A tangente de perdas $tan(\delta)$ é definida como sendo \begin{equation} tan(\delta)=\frac{\epsilon_{r}"}{\epsilon_{r}'}. \label{eq:tanperdas} \end{equation} A parte imaginária da permissividade $\epsilon_{r}"$ está associada as perdas do meio, e seu valor é sempre positivo ($\epsilon_{r}"\geq0$). Para um caso ideal de um meio sem perdas, tem-se a parte imaginária nula, ou seja $\epsilon_{r}"=0$, \cite{lsbu_microwave}. A parte real da permissividade $\epsilon_r'$ afeta o campo elétrico de uma onda em propagação e também muda a relação entre os campos elétricos e magnéticos. Ao mesmo tempo, $\epsilon_r'$ afeta a velocidade de propagação da onda. Em uma cavidade ressonante, isto altera a frequência de ressonância de forma a deslocá-la para uma frequência maior ou menor. Este deslocamento da frequência de ressonância em função da variação do valor da permissividade relativa é o princípio de funcionamento do medidor descrito neste trabalho. A equação da velocidade de fase (equação \ref{eq:Vp}) ilustra como a permissividade afeta a velocidade com que a uma onda eletromagnética propaga-se no meio. Para o vácuo, tem-se uma velocidade de propagação de aproximadamente $c\cong3 \cdot10^{8}$m/s. Para outros meios não magnéticos com poucas perdas, pode-se aproximar a velocidade de propagação como sendo 16/05/2014 23:17 11 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... \begin{equation} V_{p}=\frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}}\simeq\frac{c}{\sqrt{\epsilon_{r}}}\simeq\frac{3 \cdot10^{8}}{\sqrt{\epsilon_{r}}}. \label{eq:vprogag} \end{equation} %A relação freqüência e comprimento de onda \eqref{eq:comprimento}, dependem do meio de propagação ($\epsilon_{r}$), e isso permanece igual para velocidade de propagação, ou seja, menor velocidade significa que o comprimento de onda em um meio dielétrico ($\lambda_{\epsilon}$) é menor que no espaço livre ($\lambda_{0}$), essa relação pode ser facilmente percebida em \eqref{eq:comprivac}. As equações \eqref{eq:comprimento} e \eqref{eq:comprivac} permitem calcular o comprimento de onda ($\lambda_{\epsilon}$ num meio dielétrico. Observa-se que o comprimento de onda num dielétrico é menor que o comprimento de onda no espaço livre $\lambda_{0}$ à mesma frequência. \begin{equation} \lambda_{\epsilon}=\frac{1}{f\sqrt{\mu\epsilon}}=\frac{c}{f\sqrt{\epsilon_{r}}}, \label{eq:comprimento} \end{equation} \begin{equation} \lambda_{\epsilon}\simeq\frac{\lambda_{0}}{\sqrt{\epsilon_{r}'}}. \label{eq:comprivac} \end{equation} Cada material apresenta um valor de permissividade. Em geral, esse valor está entre a permissividade do ar ($\epsilon_{r}=1$) e a permissividade da água ($\epsilon_{r}=81$). A tabela \ref{tab:permimat} apresenta alguns valores de $\epsilon_r'$ para diferentes materiais, \cite{Eletromag:ufsc}. \begin{table}[!ht] \caption{Permissividade relativa $\epsilon_r'$ \cite{Eletromag:ufsc}.} \begin{center} \begin{tabular}{| l | r | } \hline Material & Permissividade $\epsilon_r'$ \\ \hline Ar & 1,0 \\ \hline Polietileno & 1,05 \\ \hline Madeira Seca & 1,5 - 4,0 \\ \hline Teflon & 2,0 \\ \hline Petróleo & 2,1 \\ \hline Óleo mineral & 2,3 \\ \hline Solo seco & 2,8 \\ \hline Borracha & 3,0 \\ \hline Papel isolante & 3,0 \\ \hline Nylon & 3,1 \\ \hline Parafina & 3,2 \\ \hline Quartzo & 3,8 \\ \hline Vidro & 6,0 \\ \hline Porcelana & 7,0 \\ \hline Álcool etílico & 25,0 \\ \hline Água destilada & 81,0 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \label{tab:permimat} \end{table} A permissividade depende tanto da frequência como das propriedades físicas dos materiais, tais como umidade, densidade, temperatura e condutividade. Na próxima seção será discutida a dependência da permissividade da água com estes fatores. %Além disso, é sempre dependente da frequência. Nas seções seguintes, serão discutidas as dependências da permissividade. Em geral, as abordagens realizadas são sobre a permissividade da água. Logo, os exemplos apresentados serão também sobre a água. 16/05/2014 23:17 12 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... %============================================================================== \section{Permissividade da Água} Esta seção utiliza a água como exemplo para ilustrar a dependência da permissividade com a variação da temperatura e da frequência. No entanto, a água apresenta uma condutividade na presença de sal, o que não ocorre com o ar e óleo, por exemplo. A água é uma molécula formada por dois gases (figura \ref{fig:agua1}), o oxigênio e o hidrogênio, porém nas condições ambientes de temperatura e pressão (23ºC, 1 atm) a água é um líquido. %Além disso, a água apresenta outro fenômeno surpreendente, que é a possibilidade de transformar água em temperatura ambiente em gelo, apenas aplicando um campo elétrico da ordem de $10^6$ V/m, e ao manter este campo elétrico a água permanece congelado mesmo em temperatura ambiente, \cite{Water:Frez}. \begin{figure}[!ht] \centering \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figs/Molecula_Agua.eps} \caption{Estrutura da molécula de água \cite{lsbu_Westruture}.} \label{fig:agua1} \end{figure} Para a água pura, o valor da permissividade relativa é $\epsilon_{r}=81$, considerando pressão e temperatura ambientes. Contudo, a água é um ótimo solvente que dissolve vários tipos de substâncias polares e também iônicas, como por exemplo o sal. Por isso, a água na natureza é raramente pura e geralmente possui sais e minerais dissolvidos, os quais afetam o valor da permissividade. Nas próximas seções, será discutida a variação do valor da permissividade relativa da água para a mudança de temperatura, concentração de sal e frequência. Mais informações sobre a permissividade da água, podem ser encontradas nas referências: \cite{Agua:dielref}, \cite{lsbu_microwave}, \cite{Nyfors:book}. %============================================================================== \subsection{Permissividade Relativa e sua Dependência com a Frequência} Esta seção trata sobre a dependência da permissividade relativa com a variação da frequência. Esta dependência é muito importante para poder definir a frequência de operação. Por exemplo, uma aplicação como em fornos de micro-ondas, escolhe-se uma frequência de operação em que as perdas sejam elevadas, em outras palavras, em que a parte imaginária $\epsilon_{r}"$ seja máxima. Por outro lado, para uma aplicação em instrumentação, deseja-se encontrar um ponto de operação em que as perdas sejam mínimas, para que uma grande parcela do sinal transmitido seja recebido pela antena receptora. Desta forma, é muito importante compreender a variação do valor da permissividade em função da frequência. A variação de $\epsilon_r$ na faixa de micro-ondas é causada pela mudança polar das moléculas. Essa dependência da freqüência é descrita pela relação de Debye \begin{equation} \epsilon_{r}=\epsilon_{r\infty}'+\frac{\epsilon_{rs}'-\epsilon_{r\infty}'}{1+j\omega \tau}=\epsilon_{r}'+j\epsilon_{r}" , \label{eq:debye} \end{equation} \noindent que pode ser separada em parte real \eqref{eq:debyeReal} \begin{equation} \epsilon_{r}'=\epsilon_{r\infty}'+\frac{\epsilon_{rs}'-\epsilon_{r\infty}'} {1+\omega^{2}\tau^{2}}, \label{eq:debyeReal} \end{equation} 16/05/2014 23:17 13 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... \noindent e parte imaginária \eqref{eq:debyeImag} \begin{equation} \epsilon_{r}"=\frac{(\epsilon_{rs}'-\epsilon_{r\infty}')\omega\tau}{1+j\omega^{2} \tau^{2}}, \label{eq:debyeImag} \end{equation} \noindent onde $\tau$ é o tempo de relaxação, $\epsilon_{rs}'$ é a permissividade relativa para baixas frequências (região estática), enquanto $\epsilon_{r\infty}'$ é a permissividade óptica ou infinita (frequências elevadas) e seu valor é $\epsilon_{r \infty}'=4,9$. %Se a permissividade muda com a frequência, ela depende também do comprimento de onda ($\lambda$), e pode-se definir ($\epsilon_r'$) em função do comprimento de onda, como apresentado na equação \eqref{eq:debyeComp} % %\begin{equation} %\epsilon_{r}'=\epsilon_{r\infty}'+\frac{\epsilon_{rs}'-\epsilon_{r\infty}'} {1+(\lambda s/\lambda)^{2}}, %\label{eq:debyeComp} %\end{equation} %\noindent onde $\lambda_s$ é o comprimento de onda crítico para valores máximos de perdas. O tempo de relaxamento ($\tau$) é a medida de tempo necessária para a água rotacionar, também considerado como atraso para as partículas responderem a mudança de campo. O tempo de relaxação ($\tau$) para água doce é obtido através de: \begin{equation} \tau=\frac{4\pi\eta r^{3}}{kT}, \label{eq:LSBU:Relax} \end{equation} \noindent onde $r$ é o raio molecular, $k$ a constante de Boltzmann ($k=1,3806503\cdot10^{-13}\frac{J}{K}$), $\eta$ a viscosidade e $T$ a temperatura em Kelvin. O raio molecular $r$ da água é a metade da distância entre as moléculas de Oxigênio, e vale $r=0,14nm$, \cite{lsbu_Westruture}. A viscosidade da água $\eta$ também depende da temperatura. Para 20ºC é de $\eta=1,003\cdot10^{-3}Pa\;s$ e para 25ºC é $\eta=8,90\cdot10^{-4}Pa\;s$. Ao resolver a equação \eqref{eq:LSBU:Relax} para 20ºC, tem-se $\tau=8,5451ps$ e para 25ºC obtém-se $\tau=7,4533ps$. Para água salgada $\tau$ pode ser obtido através da equação \eqref{eq:Nyfors:RelexT}, \cite{Nyfors:book}, \cite{lsbu_microwave}, \cite{Trel:water} \cite{Trel:Analysis}. Ao resolver a relação de Debye (equação \eqref{eq:debye}), em função da frequência $\omega$, é possível ilustrar a variação de $\epsilon_r$, tanto a parte real quanto a imaginaria, para a mudança da frequência, como representado na figura \ref{fig:permiComplex}. \begin{figure}[!ht] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth] {figs/Er_Agua_Doce_Complexa_LOG.eps} \caption{Permissividade da água doce a 25ºC em função da frequência.} \label{fig:permiComplex} \end{figure} % - figura Er complexa em escala lienar %\begin{figure}[!ht] % \centering % \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figs/Permi_Doce_Complexa.eps} % \caption{Permissividade da água doce a 25ºC em função da freqüência em escala linear} % \label{fig:permiComplexLinear} %\end{figure} 16/05/2014 23:17 14 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... Percebe-se que a parte real $\epsilon_r'$ é constante em baixas e em altas freqüências, e a transição ocorre lentamente na vizinhança da freqüência de relaxação, que pode ser encontrada através da equação $f_{rel}=\frac{1}{2\pi\tau}$. No entanto, a parte imaginária $\epsilon_r"$ é pequena tanto em baixas freqüências quanto em altas, porém na região de transição apresenta um valor elevado, isso considerando água pura. Em baixas freqüências, onde a polarização sempre ocorre completamente, as perdas por ciclo são proporcionais à freqüência, pois a fricção em fluídos viscosos é diretamente proporcional à velocidade do movimento. Por outro lado, em altas frequências, as perdas desaparecem com o aumento da frequência, pois a polarização desaparece também. Na frequência de polarização, $\epsilon_r"$ tem seu valor máximo, que pode ser facilmente calculado pela equação \eqref{eq:ErImagMax}. \begin{equation} \epsilon_{r}"_{max}=\frac{\epsilon_{r}'-\epsilon_{r\infty}'}{2}. \label{eq:ErImagMax} \end{equation} A relação de Debye é baseada em três constantes $\epsilon{}_{rs}''$, $\epsilon_{r} {}_{\infty}'$ e $\tau$ em que a permissividade óptica $\epsilon_{r}{}_{\infty}'$ não é afetada pela variação da temperatura. Entretanto, a permissividade estática $\epsilon{}_{rs}'$ e o tempo de relaxação $\tau$ sofrem alterações. Com o aumento da temperatura, $\epsilon{}_{rs}'$ diminui por causa do aumento da desordem. Já o tempo de relaxação $\tau$ é inversamente proporcional à temperatura devido ao fato que todo movimento é mais rápido em temperaturas mais elevadas. O gráfico apresentado na figura \ref{fig:permiComplex} é construido sobre a solução da relação de Debye. Por outro lado, um trabalho realizado de forma experimental para água pura é apresentado na figura \ref{fig:dieletric_ghz} \cite{Agua:dielref}. Tanto $\epsilon_r'$ quanto $\epsilon_r"$ são ilustrados em função da frequência. \begin{figure}[!ht] \centering \includegraphics[width=0.75\textwidth]{figs/dieletric_exp_ghz.eps} \caption{Permissividade relativa da água para 25ºC, obtida experimentalmente para 0,1 - 1000GHz, \cite{Agua:dielref}.} \label{fig:dieletric_ghz} \end{figure} %Uma outra forma de representar a dependência da freqüencia em $\epsilon_r$ é utilizando o gráfico de cole-cole, que representa a permissividade relativa ($\epsilon_r'$) pelo fator de perdas ($\epsilon_r"$) variando a freqüência. Para representar o gráfico de cole-cole é utilizado a equação de Debye \eqref{eq:debye}, graficando a parte real pela imaginária, obtêm-se então a figura \ref{fig:colecole}, \cite{Nyfors:book} \cite{Agua:dielref}. %\begin{figure}[!ht] % \centering % \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figs/Diagrama_Cole-Cole_1.eps} % \caption{Diagrama de cole-cole para água pura} % \label{fig:colecole} %\end{figure} %============================================================================== \subsection{Permissividade Relativa e sua Dependência com a Temperatura} A temperatura afeta $\epsilon_r$ e consequentemente $\epsilon_r'$ e $\epsilon_r"$. Além disso, afeta também o tempo de relaxação. Com o aumento da temperatura, a água torna-se um material pobre em absorção de micro-ondas. O gráfico da figura \ref{fig:ErRealTemp} ilustra como é afetada a permissividade relativa da água doce variando a freqüência de 10MHz a 1THz e ao mesmo tempo a temperatura de 0 a 40ºC em passos de 5ºC, enquanto o gráfico \ref{fig:ErImagTemp} ilustra $\epsilon_{r}"$ para o mesmo caso. As setas indicam o sentido do aumento da temperatura. 16/05/2014 23:17 15 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... \begin{figure}[!ht] \centering % \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figs/dieletric_freq_temp.eps} \includegraphics[width=0.9\textwidth] {figs/Er_Real_0_40Graus_ok_Corel.eps} \caption{Permissividade relativa da água para uma variação de temperatura e de frequência.} \label{fig:ErRealTemp} %dielFrecTemp \end{figure} \begin{figure}[!ht] \centering % \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figs/dieletric_freq_temp.eps} \includegraphics[width=0.9\textwidth] {figs/Er_Imag_0_40Graus_ok_Corel.eps} \caption{Fator de perdas da água para variação da temperatura e frequência.} \label{fig:ErImagTemp} \end{figure} É possível perceber que em altas freqüências a permissividade óptica $\epsilon_{r \infty}'$ não é significativamente afetada com a mudança de temperatura. A permissividade estática $\epsilon_{rs}'$ depende da temperatura e pode ser aproximada pela equação \eqref{eq:ErstaticTemp} para água doce (não condutiva), considerando variações de temperatura entre -35ºC e 100ºC. \begin{equation} \epsilon{}_{rs}'(t)=A e^{-bt}, \label{eq:ErstaticTemp} \end{equation} \noindent onde $A=87,85306$ e $b=0,00456992$, portanto $\epsilon_{rs}'(T=25ºC)=78,36$. %Pode-se utilizar a representação de cole-cole para ilustrar a dependência de temperatura e freqüência da permissividade relativa, como apresentado na figura \ref{fig:coletempfreq}. As linhas vermelhas representam a variação da temperatura de 0ºC a 100ºC com passos de 20ºC. Enquanto as linhas azuis representam a variação da temperatura em uma freqüência fixa. %\begin{figure}[!ht] % \centering % \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figs/cole-cole_temp_freq.eps} % \caption{Diagrama de Cole-Cole para diferentes freqüências e temperaturas} % \label{fig:coletempfreq} %\end{figure} %============================================================================== \subsection{Permissividade Relativa e o Efeito de Íons Condutivos} Esta seção trata sobre os efeitos dos íons condutivos dissolvidos na água. Os efeitos aqui analisados são referentes à permissividade e como consequência a interação de água salina com micro-ondas. A permissividade da água depende crucialmente da condutividade, consequentemente da quantidade de sal (salinidade). A permissividade de um meio não condutivo é dada por \eqref{eq:debye}. No entanto, quando um meio apresenta condutividade, surge um novo termo associado à parte imaginária da permissividade. Portanto, se a condutividade é conhecida, pode-se representar a permissividade pela equação \eqref{eq:Ercondutiva} ou \eqref{eq:DebyeCond}. Equivalentemente, ela também pode ser obtida através da equação \eqref{eq:Ercondutiva}, que é a equação de Debye considerando íons condutivos. \begin{equation} \epsilon_{r}=\epsilon_{r}'-j\left(\epsilon_{r}"+\frac{\sigma}{\omega\epsilon_{0}} \right), 16/05/2014 23:17 16 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... \label{eq:Ercondutiva} \end{equation} \begin{equation} \epsilon_{r}=\epsilon_{r\infty}'+\frac{\epsilon_{rs}'-\epsilon_{r\infty}'}{1+j\omega \tau}-j\frac{\sigma}{\omega\epsilon_{0}}. \label{eq:DebyeCond} \end{equation} O efeito da condutividade diminui com a frequência, pois o termo $\omega$ está no denominador de \eqref{eq:DebyeCond}. Assim, a condutividade tem grande influência em baixas freqüências, mas não na faixa de GHz. E como a condutividade está associada a um termo puramente imaginário, ela afeta apenas a parte imaginária da permissividade. Contudo, íons condutivos introduzem perdas no material, porém para uma aproximação de primeira ordem isto não afeta o comprimento de onda. %A equação \eqref{eq:DebyeCond} possibilita uma aproximação para propriedades das moléculas de água. No entanto existem algumas dificuldades que podem reduzir a precisão da aproximação, como por exemplo, a viscosidade interna do fluído. Por outro lado, existem na bibliografia algumas aproximações para curvas de permissividade incluindo condutividade \cite{Nyfors:book} e \cite{Nyfors:Applic}. As equações \eqref{eq:Nyfors:Er}, \eqref{eq:Nyfors:RelexT} e \eqref{eq:Nyfors:Cond} apresentam aproximações para curvas da permissividade relativa, tempo de relaxação e condutividade da água, considerando a presença de sal diluído, \cite{Nyfors:book} e \cite{Nyfors:Applic}. \begin{equation} \begin{array}{l} \epsilon_{rs}'=88,195-4,3917S+0,16738S^{2}-0,40349T+0,65924\cdot10^{-3}T^{2} \\+0,43269\cdot10^{-1}ST -0,42856\cdot10^{-2}S^{2}T+0,4441\cdot10^{-5}S^{2}T^{2}\\0,92286\cdot10^{-4}ST^{2}, \label{eq:Nyfors:Er} \end{array} \end{equation} \begin{equation} \begin{array}{l} \tau\cdot10^{12}=19,39-1,137S+0,11471S^{2}-0,6802T+0,95865\cdot10^{-2}T^{2}\\+0,58629 \cdot10^{-1}ST-0,54577\cdot10^{-2}S^{2}T+0,82521\cdot10^{-4}S^{2}T^{2}\\-0,87596 \cdot10^{-3}ST^{2}-0.65303\cdot10^{-17}\cdot exp(T), \label{eq:Nyfors:RelexT} \end{array} \end{equation} \begin{equation} \begin{array}{l} \sigma=0,87483 S+0,25662\cdot10^{-2}S^{2}+0,45802\cdot10^{-1} ST\\-0,37158 \cdot10^{-2} S^{2}T+0,3928810^{-4} S^{2}T^{2}-0,16914\cdot10^{-3} ST^{2}, \label{eq:Nyfors:Cond} \end{array} \end{equation} \noindent onde $\epsilon_{r\infty}'=4,9$ e $S$ é a salinidade do meio, representada pela porcentagem de sal em relação ao peso total do meio e T é a temperatura em graus Celsius. A salinidade é também comumente expressa em $ppm$ (partes por milhão) onde $1ppm=\frac{1}{1.000.000}$. Por exemplo, $35g$ equivale a 35kppm, pois $\frac{35g}{1kg}=35.000ppm$ ou $35kppm$. Em relação à água do mar, é possível encontrar na literatura um valor médio da condutividade de $4\;Siemens/m$, porém esse valor é apenas uma média utilizada para ilustrar a condutividade. Sabe-se que esse valor depende da temperatura, concentração de sal, pressão, entre outros fatores. Desta forma, para diferentes profundidades e localizações, têm-se diferentes valores de condutividade e permissividade para a água do mar. Portanto, é possível encontrar diferentes valores de condutividade para água do mar na literatura. Por exemplo, um estudo realizado pelo \emph{National Physical Laboratory} \cite{Kaye:sea} apresenta que a média da condutividade dos oceanos é de $3,27\; Siemens/m$ (excluindo águas rasas), e que para água profundas com aproximadamente 4000m de profundidade e temperatura de 0ºC com concentração de sal de 35Kppm, tem-se uma condutividade $6\%$ superior à da superfície. A tabela \ref{Tab:Salinity} apresenta os valores de condutividade para 16/05/2014 23:17 17 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... diferentes temperaturas e concentração de sal na água do mar. \begin{table}[!h] \caption{Condutividade elétrica da água do mar sob pressão atmosférica, \cite{Kaye:sea}.} \label{Tab:Salinity} \begin{center} \begin{tabular}{|c|r|r|r|r|r|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{Temperatura} & \multicolumn{5}{|c|}{Salinidade($g\cdot kg^{-1}$)} \\ \cline{2-6} ºC & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 \\ \cline{2-6} \multicolumn{1}{|c|}{} & \multicolumn{5}{c|}{$\sigma$ ($S\cdot m^{-1}$)} \\ \hline 0 & 1.745 & 2.137 & 2.523 & 2.906 & 3.285 \\ 5 & 2.015 & 2.466 & 2.909 & 3.346 & 3.778 \\ 10 & 2.300 & 2.811 & 3.313 & 3.808 & 4.297 \\ 15 & 2.595 & 3.170 & 3.735 & 4.290 & 4.837 \\ 20 & 2.901 & 3.542 & 4.171 & 4.788 & 5.397 \\ 25 & 3.217 & 3.926 & 4.621 & 5.302 & 5.974 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{table} A condutividade esta diretamente relacionada com a concentração de sal diluído em um meio, e esta afeta o valor da permissividade elétrica de uma solução de água com sal diluído. Por exemplo, a figura \ref{fig:ErRealCond} ilustra a constante dielétrica $\epsilon_r'$ e a figura \ref{fig:ErImagCond} a parte imaginária $\epsilon_r"$ de uma solução de água com sal diluído a 35kppm, em função da frequência. Considera-se uma variação de temperatura entre 0 e 40ºC. As linhas sólidas ilustram a permissividade da água pura enquanto as linhas pontilhadas para água salina. As setas ilustram a variação das curvas da permissividade com o aumento de temperatura. \begin{figure}[!ht] \centering %\includegraphics[width=0.9\textwidth] {figs/Diagrama_Er_Salinidade_.eps} \includegraphics[width=0.9\textwidth] {figs/Er_real_Temp_0_40_Condu_0_4Sm_OK.eps} \caption{Diagrama da permissividade real de água pura (linha sólida) e de uma substância de água com sal diluído (linha tracejada), ambas em função da frequência, para uma variação de temperatura de 0 - 100ºC.} \label{fig:ErRealCond} %DiagramaSalEr \end{figure} \begin{figure}[!ht] \centering \includegraphics[width=0.9\textwidth] {figs/Er_Imag_Temp_0_40_Condu_0_4Sm_OK.eps} \caption{Diagrama da permissividade imaginária de água pura (linha sólida) e de uma substância de água com sal diluído (linha tracejada), ambas em função da frequência, para uma variação de temperatura de 0 - 100ºC.} \label{fig:ErImagCond} \end{figure} Em baixas frequências, os íons condutivos são capazes de responder e se mover com a mudança do potencial elétrico, produzindo aquecimento por fricção, aumentando as perdas $\epsilon_r"$. Com o aumento da temperatura, a água absorve menos energia nas frequências de micro-ondas. Porém, com a presença de sal a água torna-se melhor absorvedora de micro-ondas com o aumento da temperatura \cite{lsbu_microwave}. 16/05/2014 23:17 18 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... Ao manter a temperatura fixa é possível ilustrar de forma clara a variação da permissividade para diferentes concentrações de sal. As figuras \ref{fig:ErRealSali} e \ref{fig:ErImagSali} mostram a dependência de $\epsilon_{r}$ em função da freqüência e do aumento da salinidade para uma temperatura constante de 25ºC. Os gráficos são construídos com base nas fórmulas \eqref{eq:Nyfors:Cond}, \eqref{eq:Nyfors:RelexT} e \eqref{eq:Nyfors:Er}. \begin{figure}[!ht] \centering \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figs/Ers_Real_Var_Sal_25C.eps} \caption{Permissividade relativa da água $\epsilon_r'$ em função da frequência à 25ºC, para variações da concentração de sal de (0 - 50)kppm em passos de 5kppm.} \label{fig:ErRealSali} \end{figure} \begin{figure}[!ht] \centering \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figs/Ers_Imag_Var_Sal_25C.eps} \caption{Fator de perdas da água $\epsilon_r"$ em função da frequência à 25ºC, para variações da concentração de sal de (0 - 50)kppm em passos de 5kppm.} \label{fig:ErImagSali} \end{figure} Comparando os gráficos \ref{fig:ErRealSali} e \ref{fig:ErImagSali} para água salina com o apresentado na figura \ref{fig:permiComplex} para água pura, pode-se perceber que a parte real sofre uma pequena variação de seu valor para o acréscimo da salinidade. No entanto, as perdas representadas por $\epsilon_r"$ sofrem um grande aumento com a salinidade. Portanto, um alimento contendo sal absorve com maior facilidade as micro-ondas do que um alimento sem sal, com maiores perdas e consequente maior aquecimento, o que é interessante para um forno de micro-ondas. Por outro lado, em aplicações de instrumentação esse aumento das perdas é ruim, pois se tem uma grande atenuação do sinal eletromagnético. Contudo, observando a figura \ref{fig:ErImagSali} conclui-se que o efeito da salinidade é reduzido com o aumento da frequência. Com efeito, pode-se observar que a partir de 300MHz já é possível operar com instrumentação, porém é somente na faixa de GHz que as perdas do material dominam as da salinidade. Levando em conta o projeto do medidor de fração de água, que será discutido no próximo capítulo, é possível fazer uma análise, e justificar que é praticamente impossível projetar uma cavidade para operar como medidor de fração de água na frequência de 10GHz, em que as perdas pela presença de sal são mínimas. Isso porque as dimensões da cavidade seriam muito pequenas para operar com a primeira ressonância em 10GHz. Por exemplo, uma cavidade cilíndrica preenchida com água, operando em 10GHz, seu raio deve ser menor que 1mm, o que é incompatível com a aplicações na industria do petróleo. Para desenvolver o projeto do medidor de fração de água para um escoamento bifásico de água e óleo é crucial o entendimento do comportamento da permissividade em uma mistura de dois materiais e em diferentes frações. Na próxima seção será abordado o comportamento da permissividade em misturas equivalentes de diferentes líquidos. %============================================================================== \section{Permissividade Relativa Equivalente para Mistura de Dois Meios} Para misturas dielétricas existem formulas para calcular a permissividade efetiva de uma mistura como uma função das permissividades que constituem a mistura. A mistura pode ser homogênea ou não. O uso do conceito de mistura efetiva implica que a mistura responde à excitação eletromagnética como se fosse homogênea. A permissividade efetiva pode ser complexa, $\epsilon_{eff}=\epsilon'_{eff}-j \epsilon"_{eff}$, em que a parte real e imaginária são certamente médias da parte real e imaginária das componentes dos materiais. 16/05/2014 23:17 19 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... A mistura pode ser analisada pela sua estrutura, que é o meio principal, muitas vezes denominado de ``Fase Contínua'', e a adição de bolhas esféricas, de acordo com a figura \ref{fig:Mixture_spherical}. As duas componentes da mistura são denominadas de fases e o material incluído sobre a fase principal é denominado de ``convidado''. \begin{figure}[!hb] \centering \includegraphics[width=0.4\textwidth] {figs/Mixture_spherical.eps} \caption{Uma simples mistura com inclusões esféricas em um meio homogêneo.} \label{fig:Mixture_spherical} \end{figure} A fórmula de Brüggeman \eqref{eq:Bruggman:1} estima a permissividade de uma mistura de dois materiais, como por exemplo, óleo e água. A permissividade da mistura $\epsilon_{mix}$ é determinada pela permissividade e o volume relativo das frações de cada fase, assim como pela estrutura da mistura. Esta fórmula representa a parte real de uma mistura de água/hidrocarboneto com elevada precisão. A equação representa misturas constituídas de um escoamento contínuo de água contendo bolhas distribuídas homogeneamente de óleo, \cite{Sihvola:arti}, \cite{Sihvola:Mix} e \cite{Nyfors:Applic}. \begin{equation} \frac{\epsilon_{Oil}-\epsilon_{mix}}{\epsilon_{Oil}-\epsilon_{W}} \cdot\left(\frac{\epsilon_{W}}{\epsilon_{mix}}\right)^{\frac{1}{3}}=1-\phi_{Oil}= \phi_{w}, \label{eq:Bruggman:1} \end{equation} \noindent onde $\epsilon_{Oil}$, $\epsilon_{w}$ e $\epsilon_{mix}$ são respectivamente, as permissividades do óleo, da água e da mistura e $\phi_{Oil}$ é a fração de volume relativa do óleo enquanto que $\phi_{w}$ é a da água. A figura \ref{fig:Bruggeman} apresenta a curva para diferentes frações de água e óleo para uma mistura bifásica segundo a fórmula de Brüggeman. Esse resultado considera um caso ideal com permissividade da água $\epsilon_{r}=81$ e do óleo como $\epsilon_{r}=2,1$. \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figs/Bruggman.eps} \caption{Permissividade relativa equivalente para uma mistura de água e óleo pela fórmula de Brüggeman, para um caso ideal, com pressão e temperatura ambiente.} \label{fig:Bruggeman} \end{figure} Em casos onde o escoamento de água contínuo apresenta bolhas de óleo e de gás é necessário aplicar duas vezes a formula de Brüggeman. Nos casos apresentados até aqui, assume-se que os materiais que compõem a mistura não apresentam perdas. Ou seja, está sendo tratada apenas a parte real da permissividade de cada fase, logo da mistura também. Todo o esforço realizado até o presente momento foi para determinar uma permissividade equivalente, considerando uma mistura homogênea com adição de geometrias esféricas de um material. Contudo, vale salientar que na prática têm-se outros casos de misturas, como por exemplo, aquelas em que o escoamento não é homogêneo ou para partículas com outras geometrias adicionadas à mistura, como elipsóides. Existem na literatura outras fórmulas para estimar misturas com outras geometrias, porém não serão consideradas neste trabalho, \cite{Sihvola:Mix} e \cite{Sihvola:arti}. %\begin{equation} %\epsilon_{eff}=\epsilon_{e}+3\digamma\epsilon_{e}\frac{\epsilon_{i}-\epsilon_{e}} {\epsilon_{i.}+2\epsilon_{e}-\digamma\left(\epsilon_{i}-\epsilon_{e}\right)}, %\label{eq:MaxwellGarnett} %\end{equation} 16/05/2014 23:17 20 de 20 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8oJH4ZPpZ5I... % %\noindent onde $\digamma=\eta V$, sendo $V$ o volume e $\eta$ a viscosidade, e $\digamma$ é uma quantidade adimensional da fração do volume do material incluído na mistura; $\epsilon_{e}$ e $\epsilon_{i}$ são, respectivamente, a permissividade da fase principal e do material inserido à mistura. % %A formula de Maxwell Garnett é amplamente utilizada em muitos campos de aplicações, por ser simples e satisfazer à limitação do desaparecimento de uma fase % % %\begin{equation} %\digamma\rightarrow0\Rightarrow\epsilon_{eff}=\epsilon_{e}, %\label{eq:MaxwellGarnett:1} %\end{equation} % %\noindent e ao desaparecer a fase contínua % %\begin{equation} %\digamma\rightarrow1\Rightarrow\epsilon_{eff}=\epsilon_{i}. %\label{eq:MaxwellGarnett:2} %\end{equation} % % Assim, se a fase principal $\epsilon_{e}$ corresponde a $100\%$ da fração, a permissividade efetiva será o proprio valor de $\epsilon_{e}$. Entretanto, se a fase correspondente a $\epsilon_{e}$ apresenta $0\%$ da fração, o valor da permissividade efetiva será o valor da fase convidada $\epsilon_{i}$, pois esta representa $100\%$ do fluído. % %Para misturas diluídas com $\digamma<<1$, a regra de Maxwell Garnett corresponde a % %\begin{equation} % \epsilon_{eff}=\epsilon_{e}+3\digamma\epsilon_{e}\frac{\epsilon_{i}\epsilon_{e}}{\epsilon_{i.}+2\epsilon_{e}}. % \label{eq:MaxwellGarnett:3} %\end{equation} % %O tratamento básico de misturas como um meio efetivo corresponde a um modelo idealizado para uma mistura de duas fases com componentes dielétricas isotrópicas e inclusão de geometrias esféricas de outro material. Existem alguns ``materiais'' na prática que seguem esse modelo razoavelmente bem, como por exemplo, nuvens, neblina e a garoa (chuva leve). A neblina é formada por gotas de água no ar que são certamente esféricas e a mistura é muito diluída \cite{Sihvola:arti}. %============================================================================== \section{Sumário} Neste capítulo foi apresentada uma formulação sobre permissividade dielétrica de materiais, juntamente com suas dependências da temperatura, frequência e salinidade. Também foi apresentada a equação de Brüggeman que determina a permissividade efetiva de uma mistura de água/óleo. Esta formulação será aplicada no capítulo \ref{cha:Sensor}, onde serão abordadas as cavidades ressonantes utilizadas como sensores, seu projeto e funcionamento. 16/05/2014 23:17