FENÓMENOS DETRANSPORTE. CAPÍTULO 3: DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR. SISTEMAS RADIALES. Ing. Willians Medina. Maturín, Junio de 2015. Capítulo 3. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas radiales. PRESENTACIÓN. La presente es una Guía de Ejercicios de Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial, Mecánica, de Petróleo y Química de reconocidas Universidades en Venezuela. El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos. Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Fenómenos de Transporte en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente en la literatura. Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor. Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3, correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas. Ing. Willians Medina. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1 Desde el año 2006.slideshare.Capítulo 3. Física. al sur del Estado Monagas hasta el año 1998. forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas. Es autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas. egresado de la Universidad de Oriente. Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica. Métodos Numéricos. Petróleos de Venezuela (PDVSA). Termodinámica. Química. Ing. http://www. Willians Medina. ACERCA DEL AUTOR. Venezuela. Métodos Numéricos. momento en el cual comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín. desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión. Mecánica Vectorial. cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial). Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé. Diseño de Experimentos. Durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000. En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana. donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas. en la localidad de Punta de Mata. Matemáticas II (Cálculo Integral).net/asesoracademico/ 2 . Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales). Fenómenos de Transporte. pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas. Fenómenos de Transporte. en Morichal. adscrito al Departamento de Ciencias. Willians Medina es Ingeniero Químico. Estado Anzoátegui. siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Matemáticas III (Cálculo Vectorial). Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela. Estadística. Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Sistemas radiales. Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO). Núcleo de Anzoátegui. 3. v z es la misma para z 0 y z L . Fenómenos de Transporte. los términos tercero y cuarto (efecto de velocidad) se anulan entre sí. 2 r L rz r 2 r L rz r r 2 r r v z2 2 r r v z2 2 r r L g 2 r r ( p0 p L ) 0 z 0 zL Efecto viscoso Efecto de gravedad Efecto de velocidad Efecto de presión Como se supone que el fluido es incompresible. Balance de cantidad de movimiento.. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Balance de cantidad de movimiento en un cilindro. por tanto. Sistemas radiales. Ing. Willians Medina. http://www.DEFINICIONES BÁSICAS.1. y. Elemento diferencial de radio. Flujo volumétrico. 2 r L rz r 2 r L rz r r 2 r r L g 2 r r ( p0 p L ) 0 Definición de la derivada de una función: f d f lim d x x0 r x x f x x R Velocidad máxima.slideshare. Velocidad media.net/asesoracademico/ 3 .Capítulo 3. ln (1 x) x ex 1 x x 2 x3 x 4 x5 (1)n 1 n .Capítulo 3. http://www. 1.2. Ejercicios propuestos. r z 0 0 2 0 z R Q 2 0 R 0 v z (r ) r d r d 0 Número de Reynolds. Consideremos el flujo laminar en estado estacionario de un fluido de densidad constante en un tubo <<muy largo>> de longitud L y radio R .. Re D v 4Q D Flujo laminar Re 2100 Flujo turbulento Re 2100 Desarrollo en serie de potencias para funciones de interés. 2 3 4 5 n x2 x3 x4 x5 xn . Ing. Flujo a través de un tubo circular.... 2! 3! 4! 5! n! Integrales notables. Willians Medina.... 1 ax e c a a x 1 a x ax x e d x a2 e c mxa bm an m n x b d x n x n 2 ln (n x b) c e ax a 2 a 2 dx bu a 1 1 c du ln 2 2 2 a b b u a b u u 1 d u 2 ln (a 2 b 2 u 2 ) c 2 2 b u 2b 3. Sistemas radiales. 2 vz . Distribuciones de velocidad en flujo laminar.. x .. max vz R v (r ) r d r d v r d r d 0 r . .FLUJO EN TUBOS CIRCULARES.net/asesoracademico/ 4 .slideshare. Fenómenos de Transporte. Determinar: a) Distribución de esfuerzo cortante. b) El perfil de velocidades. Determinar: a) Distribución de esfuerzo cortante. Fenómenos de Transporte. d) Velocidad media. y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar r . f) Fz ( R) R 2 p R 2 L g . 8 L 8 L 2.net/asesoracademico/ 5 . http://www. Willians Medina. Resolver de nuevo el problema 1 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la forma siguiente: 0 e r / R . 1 . f) Componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie.Capítulo 3. c) Velocidad máxima. Ing. b) El perfil de velocidades. c) v z . máx 4 L R P R 2 P R 4 d) v z . b) v z 4 L 2L r 2 P R 2 . Distribuciones de velocidad en flujo laminar. e) Q . e) Velocidad volumétrica de flujo. c) Velocidad máxima. Flujo a través de un tubo circular con viscosidad variable. en la que 0 es la viscosidad en el centro de la tubería. Sistemas radiales. Respuesta: a) rz P P R2 r .slideshare. f) Fz ( R) R 2 p R 2 L g . Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Willians Medina. en la que 0 es la viscosidad en el centro del R tubo. e) Velocidad volumétrica de flujo. d) Componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie. d) 2 L 2 P R2 vz 2 L 2 v z r/R r 1 . Respuesta: a) rz v z . e) 2 L 4 P R 4 3 Q [e ( 3 2 6 6) 6] . f) Componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie. b) v z 2 L 2 2L r r 1 R ln 1 R ln (1 ) . Ing. c) P R2 P R2 [ ln (1 )] . Flujo a través de un tubo circular con viscosidad variable.max P R2 P r . 4 12 L Fenómenos de Transporte. 2L b) P R 2 [e ( 1) 1] .Capítulo 3.slideshare. 4 2 L 3. d) Velocidad media.máx a) rz P r. Determinar: a) Distribución de esfuerzo cortante. y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar r . Respuesta: v z . d) v z [2 3 3 2 6 6 ln (1 )] . Sistemas radiales. e ( 1) e R c) P R2 3 [e ( 3 2 6 6) 6] . Demostrar como el resultado de este problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso límite de que 0 (fluido de viscosidad constante). 2 4 2 L 12 L e) Q P R 4 [2 3 3 2 6 6 ln (1 )] . http://www. c) Velocidad máxima. f) Fz ( R) R 2 p R 2 L g . b) El perfil de velocidades.net/asesoracademico/ 6 . Resolver de nuevo el problema 1 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición r radial en la forma siguiente: 0 1 . Determinación de la viscosidad a partir de datos de flujo en un tubo capilar.CHOH.883 cm3/s. A partir de estos datos calcular la viscosidad de la glicerina en centripoises.5 mm de diámetro interno. Un fluido newtoniano se transporta entre dos puntos en flujo estacionario e incompresible mediante una tubería horizontal de sección circular.766 atm. En un laboratorio de mecánica de fluidos se cuenta con un capilar horizontal de longitud L 60 cm .slideshare. Determinación del radio de un capilar mediante medidas de flujo. Fenómenos de Transporte. Uno de los métodos para determinar el radio de un tubo capilar consiste en medir la velocidad de flujo de un fluido viscoso a través del tubo. Velocidad de flujo de masa a través del tubo = 2. indique cómo cambia el flujo volumétrico de fluido si su temperatura (la cual puede suponerse uniforme) se aumenta bruscamente mediante una transferencia de calor desde el exterior.02 cm Viscosidad cinemática del fluido = 4.CH2OH) a 26. Si se mantiene la diferencia de presión entre la entrada y la salida de la tubería y el flujo puede considerarse desarrollado en todo momento.957 kgf/cm2 la velocidad de flujo es 1.98 . Hallar el radio de un capilar a partir de los siguientes datos: Longitud del capilar = 50.829105 N/m2 = 4.75126 mm . La densidad de la glicerina a 26.9552103 kg/m3 Caída de presión a través del tubo capilar (horizontal) = 4. Considere las posibilidades de que el fluido pueda ser un líquido o un gas. Re 65.5ºC es 1. ¿Cómo cambia su respuesta si el ducto es de sección cuadrada en vez de circular? 5.net/asesoracademico/ 7 . Para una caída de presión de 2. Respuesta: R 0. dos fluidos (agua @ 20ºC y uno desconocido) e instrumentos para medir la caída de presión en el capilar y el flujo másico. 6.0310-5 m2 /s Densidad del fluido = 0. (La medida del flujo en tubos capilares es uno de los métodos corrientes para la determinación de viscosidad. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. 7.261 g/cm3. 4.99710-3 kg/s. Por un tubo horizontal de 30 cm de longitud y 2. http://www. Justifique su respuesta. Respuesta: 492 cp .5ºC. estos aparatos se denominan <<viscosímetros capilares>>). Sistemas radiales. fluye glicerina (CH2OH. Willians Medina.Capítulo 3. Ing. 50 Pa. como resultado de una diferencia de presión. Una solución acuosa al 1% de polietileno a 333 K tiene los parámetros de la ley de potencias n 0.6 y m 0. Ing.5% (por peso) de polisopropeno en isopentano tiene los siguientes parámetros de la ley de potencias a 323 K: n 0.502 2. Flujo de una solución de polisopropeno en un tubo.88 g/cc y las propiedades del agua @ 20ºC son 1 cp y 1 g/cc . a) Escriba un procedimiento para determinar la viscosidad del fluido desconocido. Verificar la validez de los resultados. Deducir la expresión para la velocidad de flujo másico de un líquido polimérico. Sistemas radiales. Respuesta: Desconocido 20. Una solución al 13. 8.94510–4 2.6 m de longitud con la misma velocidad de flujo másico y la misma caída de presión. Flujo laminar en un tubo circular de un fluido incompresible que obedece a la ley de potencias. descrito por el modelo de la ley de potencias. w (1 / n) 3 2 m L (1 / n) 1 R 1/ n 9.s n . http://www.29 cm . 10.slideshare.3 cm de diámetro interior.net/asesoracademico/ 8 . Se desea usar otro tubo de 30. ¿Cuál debe ser el radio del tubo? Respuesta: R2 1.96 cp . de gravedad o de ambas cosas. Willians Medina.s n . ( P PL ) R Respuesta: v z 0 2m L 1/ n r (1 / n )1 R R 3 ( P0 PL ) R 1 . La solución se bombea entre dos tanques.225 4.2 m de longitud y 1. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. El fluido circula por un tubo circular largo de radio R y longitud L . donde el Fenómenos de Transporte. La solución se bombea (en flujo laminar) a través de un tubo horizontal de 10. b) Se hace circular el agua y luego el fluido desconocido a través del capilar obteniéndose los siguientes datos: Agua Fluido desconocido 0.Capítulo 3. Bombeo de una solución de óxido de polietileno.2 y m 5 103 Pa.47410–4 Caída de presión (atm) Flujo másico (kg/s) Nota: Se determinó que el fluido desconocido tenía una densidad de 0. Determinar. primero está a una presión p1 y el segundo está a una presión p 2 . a) Distribución de esfuerzo cortante. Se ha decidido sustituir el tubo simple por un par de tubos de la misma longitud. ¿Qué diámetro deben tener estos tubos de modo que la velocidad de flujo másica sea la misma que en el tubo simple? Respuesta: R2 0. g) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido exterior. Fenómenos de Transporte. c) Velocidad máxima. Ing. Sistemas radiales. 11. El tubo que transporta la solución mide 14. Un fluido incompresible fluye en estado estacionario a través de la región comprendida entre dos cilindros circulares coaxiales de radios k R y R . e) Velocidad volumétrica de flujo.slideshare. d) Velocidad media. http://www. Flujo a través de una sección de corona circular.7 m de longitud y es de 0. f) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido interior.27 cm de diámetro interior. Willians Medina. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. pero de diámetro interior más pequeño.Capítulo 3. b) El perfil de velocidades.net/asesoracademico/ 9 .12 cm . 794 cm. Considere que la densidad y la viscosidad de la glicerina son constantes e iguales a 1. El radio externo del cilindro interior es de 1.261 g/cm3 y 65 cP respectivamente. Ing.slideshare. f) ( 1 k ) F ( kR ) P R k 1 z . se utiliza para calentar una línea de glicerina utilizando agua caliente proveniente de otro proceso. ¿Cuál es la velocidad volumétrica de flujo cuando se le comunica una diferencia de presión de 0. Un anillo circular horizontal tiene una longitud de 8.379 kgf/cm2? Respuesta: Q 3. 2 ln (1 / k ) 2 k ln (1 / k ) (1 k 2 ) g) Fz ( R) P R 2 1 . 1 ln (1 / k ) R R vz P R 2 4 L (1 k 2 ) (1 k 2 ) P R 2 1 k 4 1 k 2 . La glicerina circula por la región anular experimentando una caída de presión a lo largo del intercambiador de 2. 2 ln (1 / k ) 12.286 g/cm3 y su viscosidad 56. d) 1 1 ln v z .net/asesoracademico/ 10 .257 cm y el radio interno del cilindro exterior es de 2. Willians Medina. Sistemas radiales. La densidad del fluido es de 1.5 cp. concéntricos (ver figura). http://www.23 m.06 103 cm 3 /s . Velocidad volumétrica de flujo a través de un anillo circular. Fenómenos de Transporte. 2 2 ln ( 1 / k ) 2 ln ( 1 / k ) 8 L 1 k ln ( 1 / k ) e) Q P R 4 8 L b) c) (1 k 2 ) 2 (1 k 2 ) 4 2 2 . Respuesta: a) rz P R r (1 k 2 ) R . Un intercambiador de calor de doble tubo.Capítulo 3.1 atm. 2 L R 2 ln (1 / k ) r vz P R 2 4 L r 2 (1 k 2 ) r ln . 13. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. En estas condiciones: a) Qué caudal de este producto fluye por la región anular? b) ¿Qué fuerza ejerce éste sobre las paredes del tubo? c) Determine si el flujo es laminar o no. Mediante una bomba se hace circular a través del conducto anular una solución acuosa de sacarosa (C12H22O11) al 60 por ciento a 20ºC. Willians Medina. 2R Petróleo 2 Ri Agua 15.s ) a través de una tubería horizontal de 1 m de longitud y 4 cm de radio desde un punto a otro. b) Fz ( R1 ) 7937. Flujo turbulento. Distribuciones de velocidad en flujo laminar.24 m3 /s . Esto hace que. Fenómenos de Transporte. Sistemas radiales. R .net/asesoracademico/ 11 . Fz ( R) 13386.52 .39 N/m . Ing. 14. Uno de los mayores problemas que se presentan en el transporte de petróleo crudo es que. debido a su alta viscosidad. en ciertas condiciones. 1 mPa. como se muestra en la figura.05 Pa/m . y la caída de presión por unidad de longitud.Capítulo 3. Una alternativa para aliviar el problema consiste en inyectar agua en la tubería. lo cual se traduce en altos costos de bombeo. c) Re 14234415. Ri . entre los cuales existe una caída de presión por unidad de longitud ( P0 PL ) / L 0.slideshare. se transporta agua en flujo estacionario ( 1000 kg/m 3 .99 N/m . Determine para este caso el flujo volumétrico de cada fase en términos de sus propiedades físicas. se obtenga un régimen de flujo anular (ver figura). las caídas de presión que se generan en las tuberías de transporte son muy altas. P / L . Considere flujo estacionario unidimensional y desprecie los efectos de la tensión superficial en la interfase agua-petróleo. Se modifica el diseño original colocando concéntricamente en el interior del tubo de 4 cm de radio un tubo de 2 cm de radio. En el diseño original de un sistema. Respuesta: a) Q 334. http://www. y entre el cilindro y el ducto hay un fluido lubricante (rellena completamente el espacio) de viscosidad 1000 cp y densidad 800 kg/m 3 . longitud L 30 cm y densidad 1200 kg/m 3 ). Willians Medina. 16. Sistemas radiales.Capítulo 3. Por un ducto circular de diámetro D 20 cm . http://www. Si se mantiene la diferencia de presión en los extremos de la tubería y se desea que el flujo volumétrico de agua sea el mismo que en el diseño original. Si la fuerza aplicada al cilindro para que se mueva es de F 100 N . Especifique en detalle las suposiciones necesarias para resolver el problema. Si se mantiene la diferencia de presión en los extremos de la tubería y se desea que el flujo volumétrico de agua sea el mismo que en el diseño original. b) El ducto está vertical y la fuerza se ejerce hacia arriba. y suponiendo que el fluido lubricante es newtoniano y que la diferencia de presión en la dirección de flujo es despreciable. determine a qué Fenómenos de Transporte. calcule la velocidad del cilindro dentro del ducto si: a) El ducto está horizontal. Ing. circula un cilindro (de diámetro d 19 cm . Desprecie efectos gravitacionales.net/asesoracademico/ 12 . Distribuciones de velocidad en flujo laminar. determine a qué velocidad y con qué fuerza se debe halar el tubo interior en la dirección del movimiento del fluido.slideshare. Capítulo 3. Sistemas radiales. velocidad y con qué fuerza se debe halar el tubo interior en la dirección del movimiento del fluido. Willians Medina. Considere que el fluido que se encuentra entre ambos mantiene sus propiedades constantes y que la longitud del cilindro que se desliza es L . Fz (kR) . Ing. La fuerza tiene sentido opuesto al movimiento del cilindro. La varilla y el cilindro son coaxiales. 17. ln k ln (1 / k ) Fenómenos de Transporte. Considerar el sistema representado en la figura. http://www. Halle una expresión para determinar la fuerza tangencial que actúa sobre el cilindro que se mueve.slideshare. Por un riel cilíndrico.net/asesoracademico/ 13 . Desprecie efectos gravitacionales. Especifique en detalle las suposiciones necesarias para resolver el problema. Respuesta: v z ln (r / R) R 2V . en el que la varilla cilíndrica se mueve con una velocidad V . se desliza otro cilindro con una velocidad V . Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del cilindro interior. tal como se muestra en la figura. Hallar la distribución de velocidad en estado estacionario. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Respuesta: Fz ( R) 2 V L . ln k 18. la velocidad volumétrica de flujo y la fuerza requerida para halar la varilla cilíndrica. Q 2 V ln k (1 k 2 ) 2 V L 2 k 2 . Este tipo de problemas se presentan en el recubrimiento de alambres con barniz. 3-2) d) ¿Cuál es la velocidad de flujo másico para fluidos con n 13 ? e) Simplificar la ecuación 8B.3-2 para el fluido newtoniano. Flujo no newtoniano en tubos concéntricos. Si el cilindro interno se mueve hacia la izquierda y el externo hacia la derecha. Sistemas radiales. Volver a trabajar el problema 20 para el flujo en tubos concéntricos de un fluido que obedece a la ley de potencias. ambos con velocidad v 0 . Fenómenos de Transporte. Willians Medina. 20.net/asesoracademico/ 14 . http://www. a) Demostrar que la distribución de velocidad para el fluido es v z (r / R)1(1 / n ) 1 v0 k 1(1 / n ) 1 b) Comprobar que el resultado del inciso a) se simplifica al resultado newtoniano cuando n tiende a la unidad. con el flujo impulsado por movimiento axial del cilindro interior. 19. calcule: a) El perfil de velocidades. c) Demostrar que la velocidad de flujo másico en la región anular está dada por w 2 R 2 v0 1 k 3(1 / n ) 1 k 2 1 (para n 3 ) 2 k 1(1 / n ) 1 3 (1 / n) (8B.Capítulo 3. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. c) Determine la posición r para la cual la velocidad del fluido es igual a cero. b) El caudal que pasa entre los dos cilindros. Un fluido newtoniano se encuentra entre dos cilindros concéntricos horizontales de radio R1 y R 2 (ver figura).slideshare. Ing. Se tiene una tubería vertical de radio R 2 y dentro de ella. Ing. Q ( R2 R1 ) . R1 R2 .Capítulo 3. un fluido newtoniano que se mueve hacia arriba. b) Q V0 ( R12 R22 ) V0 ln ( R1 / R2 ) ( R22 R12 ) . a) r ln R vz 1 2 2 V0 R ln 1 R2 .slideshare. Fenómenos de Transporte. Se pide: a) El perfil de velocidades que hay entre los dos cilindros concéntricos. 4 L 4 L ln ( R2 / R1 ) R1 P ( R22 R12 ) 2 ( R22 R12 ) 2 p g L. radio R1 y longitud L ( L R1 ) como puede verse en la figura. Willians Medina. 21. Sistemas radiales. Respuesta: a) v z P 2 P ( R22 R12 ) r (r R12 ) ln . b) La diferencia de presión p que debe haber entre los extremos de la barra para que ésta pueda mantenerse en equilibrio. c) El caudal que pasa entre los dos cilindros.net/asesoracademico/ 15 . 8 L ln ( R2 / R1 ) 2 ( R22 R12 ) R1 2 ln ( R2 / R1 ) mB g 22. Respuesta: r Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Dentro de la corriente del fluido se coloca una barra muy larga y delgada de masa m . http://www. Dicha barra la sostiene la corriente que fluye hacia arriba. Viscosímetro de cilindro descendente. cerrado en ambos extremos. Willians Medina. Flujo laminar de una película que desciende por el exterior de un tubo circular.slideshare. a) Demostrar que la distribución de velocidad en la rendija anular está dada por vz (1 2 ) (1 k 2 ) ln (1 / ) v0 (1 k 2 ) (1 k 2 ) ln (1 / k ) donde r / R es una coordenada radial adimensional. Encontrar una ecuación que proporcione la viscosidad del fluido en términos de la velocidad terminal v0 del pedazo de metal y las diversas cantidades geométricas que se muestran en la figura.Capítulo 3. respectivamente. Un viscosímetro de cilindro descendente consta de un largo recipiente cilíndrico vertical (de radio R ). 23. de modo que su eje coincide con el del tubo. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. El pedazo de metal está equipado con aletas. para descender después por la parte exterior del mismo. con un pedazo de metal cilíndrico sólido (de radio k R ). un fluido viscoso asciende por el interior de un pequeño tubo circular. Sistemas radiales. tal como se indica en la figura.net/asesoracademico/ 16 . Ing. http://www. Observese que las flechas de <<entrada de cantidad de movimiento>> y Fenómenos de Transporte. La velocidad de descenso del pedazo metálico en el recipiente cilíndrico puede observarse cuando éste se encuentra lleno de fluido. b) Hacer un balance de fuerzas sobre el pedazo de metal cilíndrico y obtener ( 0 ) g (k R) 2 2 v0 1 1 k 2 ln 2 k 1 k donde y 0 son las densidades del fluido y el pedazo de metal. Aplicar un balance de cantidad de movimiento a una envoltura de película de espesor r . En una experiencia de absorción de gases. aun cuando en este caso ocurre que la cantidad de movimiento fluye en la dirección r negativa. El radio y la longitud del tubo son. a 1 3 16 (a 1) 3 L´Hopital (3 veces) que lim 24. <<salida de cantidad de movimiento>> se toman siempre en la dirección r positiva al efectuar el balance. R y L . c) Escribir el caudal como Respuesta: b) Q 8 Q g ( R) ( R 3 ) (1 4 a 2 3 a 4 4 a 4 ln a) .slideshare. demostrar aplicando la Regla de 16 (a 1) 3 1 4 a 2 3 a 4 4 a 4 ln a 1 . Por analogía entre el sistema rectangular y 8 el sistema cilíndrico se tiene que el ancho de la película es W 2 R . Willians Medina. http://www. a) Demostrar que la distribución de velocidad en la película descendente (despreciando los efectos finales) es g R2 vz 4 r 2 r 2 1 2 a ln R R b) Obtener una expresión de la velocidad volumétrica de flujo en la película.net/asesoracademico/ 17 . gW 3 c) Demostrar que el resultado de (b) se transforma en la ecuación Q si el 3 espesor de la película es muy pequeño. Finalmente. g R4 (1 4 a 2 3 a 4 4 a 4 ln a) .Capítulo 3. Se desea obtener Fenómenos de Transporte. de donde R el espesor de la película es a R R R (a 1) . Al ser caudal queda g W 3 1 4 a 2 3 a 4 4 a 4 ln a . Ing. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas radiales. Flujo de Bingham en un tubo capilar. respectivamente. de donde R 3 sustituidas Q R R3 y en la ecuación del 3 (a 1) 3 W y 2 . Un fluido cuyo comportamiento se ajusta muy aproximadamente al modelo de Bingham circula por un tubo vertical en virtud de un gradiente de presión y/o la aceleración de la gravedad. 4 ( P0 PL ) R 4 4 0 1 0 ( P PL ) R 1 . Explíquese este hecho y establézcase un criterio de flujo para este experimento. Q .Capítulo 3. A partir de la información anterior encuéntrese la tensión de fluencia de la mostaza. y de 100 mm de longitud a la base de un bote de mostaza dirigido recto hacia abajo. Si se quiere que la mitad del fluido (en volumen) se mueva con una velocidad uniforme. un plástico de Bingham de densidad 1200 kg/m 3 . b) La caída de presión por unidad de longitud ( p / L ) que hay que ejercer en el fluido. Cuando el bote está lleno (altura de 1 m) la mostaza sale por el tubo. el fluido puede o no fluir por el extremo inferior debido a la gravedad. ¿Qué diámetro de tubo vertical permitiría a la mayonesa ( 1200 kg/m 3 ) fluir bajo su propio peso? 28. 27. una relación entre la velocidad volumétrica de flujo. 26. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Se tiene una tubería horizontal de longitud L con un fluido Bingham dentro de ella (ver figura). R 0 Respuesta: Q 8 0 L 2L 3 R 3 R 25. Determine si el fluido sale o no del tubo. Al separar la lámina. c) El caudal que pasa por la tubería y d) La fuerza F necesaria para mantener la tubería fija.slideshare. Un tubo vertical está lleno de un fluido de Bingham y cerrado por el extremo inferior mediante una lámina. Fenómenos de Transporte. el fluido puede salir o no del tubo por gravedad. calcule. pero cuando la altura en el tanque desciende hasta 0. Un tubo vertical de radio interno 3 cm está lleno de un fluido de Bingham ( 0 600 Pa . Al separar la lámina. 29. Flujo de un fluido de Bingham en un tubo circular. y la combinación de las fuerzas de presión y gravedad que actúan sobre el fluido.4 m el flujo se para.i. http://www. Willians Medina. Se conecta un tubo de 3 mm de d. despreciando los efectos de la gravedad: a) Perfil de velocidades.net/asesoracademico/ 18 . Ing. 2000 kg/m 3 ) y cerrado por el extremo inferior mediante una lámina. Sistemas radiales. tapado en su extremo inferior con una lámina removible. Como para el flujo en un tubo d vz es siempre negativo. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Flujo no – newtoniano en un tubo. si: a) El fluido es Newtoniano: rz d vz . tal como se muestra en la figura. la ley de la dr potencia se transforma en este caso en rz d vz m dr n 1 d vz dv m z dr dr n 1 d vz dr dv m z dr n (2.net/asesoracademico/ 19 . 1150 kg/m 3 . Ing. 31. una vez removida la tapa. Determine el tiempo necesario para llenar el tanque B (de 50 L de capacidad) a partir del tanque A.Capítulo 3. 80 cp. dr b) El fluido sigue la ley de la potencia: Fenómenos de Transporte.slideshare. b) Deducir una expresión de la velocidad volumétrica para el flujo en un tubo de un fluido de Ellis d vz 0 r z 1 r z dr 1 rz . Sistemas radiales. Al hacer la deducción debe de eliminarse primeramente el signo del valor absoluto.H-1. 30.H-1) Explicar cuidadosamente las transformaciones de la ecuación 2. http://www. a) Deducir la fórmula análoga a la de Hagen – Poiseuille para el modelo de Ostwald – de Waele (ley de potencia). Se dispone de un tanque A. Willians Medina. c) El fluido sigue el modelo de Bingham: rz 0 : d vz 0 dr rz 0 : rz 0 d vz dr 0 300 Pa. Respuesta: t 15. Ing.slideshare.6 . lleno de un fluido ( 50 cp. n 0. El tanque I se mantiene a un nivel constante de 4 m. http://www. Willians Medina. rz Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Fenómenos de Transporte.net/asesoracademico/ 20 . Sistemas radiales.Capítulo 3. 80 cp. Se tiene un tanque I de diámetro D1 10 m. de modo que pasa líquido al tanque II. Se conecta el tanque I a otro tanque II de diámetro D2 1 m que se encuentra inicialmente vacío mediante una tubería de 2 cm de radio. tal como se muestra en la figura. 32.43 s . Calcule el tiempo que transcurre hasta que el tanque II alcanza un nivel de 2 m. 1150 kg/m 3 . dv m z dr n m 2. 800 kg/m3).5 dinas n / cm 2 . Considere que el flujo en la tubería es del tipo Hagen – Poiseuille. 1150 kg/m 3 . net/asesoracademico/ 21 . Distribuciones de velocidad en flujo laminar.Capítulo 3. Ing. Fenómenos de Transporte. http://www.slideshare. Sistemas radiales. Willians Medina. http://www. Editorial Reverté. Fundamentos y Aplicaciones.A de C. Sistemas radiales. R.. ÇENGEL. EVETT.. Ing.. GILES. BIBLIOGRAFÍA. 1996. Madrid. Willians Medina. 1988. 1994. J y LIU. Segunda Edición.net/asesoracademico/ 22 .. Fenómenos de Transporte. S. McGraw-Hill / Interamericana Editores S..A.Capítulo 3. Editorial McGraw Hill. Mecánica de Fluidos.V.slideshare.. 1996. Editorial Prentice Hall.. Octava Edición. México. Mecánica de los Fluidos e Hidráulica. R. México. Cuarta Edición.. B. Fenómenos de Transporte. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. México. E. Barcelona.U. Mc-Graw Hill / Interamericana de España. Mecánica de los Fluidos. Mecánica de Fluidos Aplicada.. STREETER. MOTT. C. Tercera Edición. R. V y WILYE. J. 2012. Y y CIMBALA. BIRD.