UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI W KRAKOWIEPRACA ROCZNA II rok Studiów Matematyczno-Przyrodniczych 2015 Perkolacja przewodnictwa sieci wody w zwilżonym piasku Krzysztof GROCHOT Opiekun naukowy: dr Dagmara SOKOŁOWSKA Abstrakt: Niniejsza praca przedstawia zjawisko perkolacji przewodnictwa na przykładzie przeprowadzonego doświadczenia. Badając przewodnictwo nawilżonej próbki piasku, zaobserwowano przejście perkolacyjne przy niskim poziomie uwodnienia. Wyznaczony progowy współczynnik uwodnienia charakteryzuje się ekstremalnie małą wartością, porównywalną tylko z wartością charakteryzującą przejście perkolacyjne w niebieskozielonych algach. Wykazano, iż nie zależy on od początkowego uwodnienia próbki. Wykładnik krytyczny osiąga wartość w przybliżeniu równą jedności, co świadczy o złożonym mechanizmie zaobserwowanego przejścia perkolacyjnego w dwuwymiarowej sieci wody. 1 czy chociażby w badaniach socjologicznych [1. które mogą być otwarte (płyn może swobodne przepływać) z prawdopodobieństwem p lub zamknięte z prawdopodobieństwem 1-p.miejsca połączeń oraz odcinki łączące . Wartość parametru p w progu perkolacji zostanie oznaczona jako p*. W tym miejscu należy poczynić założenie. Dla układów o skończonych wymiarach (czyli układów rzeczywistych) nie możemy ustalić precyzyjnie p*. gdyż w ogólnym modelu perkolacji. jak na przykład przepływ płynów przez porowaty materiał. Wystarczy bowiem przerwanie jednego węzła. Z tego też powodu perkolację możemy podzielić na perkolację węzłów ( site percolation) i perkolację wiązań (bond percolation). Zespół połączonych. dla istnienia doskonale i ściśle określonego punktu granicznego. gdy [1] L →∞ a 2 (2) . 1) problem jest niezwykle prosty.1. dla którego jeszcze możliwy będzie przepływ płynu pomiędzy skrajnymi punktami sieci . jest dużo większa od długości wiązania (a) . wiązania. otwartych węzłów nazwano klastrem. 2 przedstawia regularną siatkę o wymiarach 19 x 13 zapełnioną losowo. Rys. iż stan danego węzła jest zupełnie przypadkowy i niezależny od stanu węzłów sąsiadujących. o parametrze p charakteryzującym się następującymi wartościami: 0. a jedynie oszacować pewien przedział jego wartości. Dla sieci dwuwymiarowej sprawa się nieco komplikuje.progu perkolacji. 2] Najprostszym i zarazem najłatwiejszym do zrozumienia przykładem modelu perkolacji jest przepływ płynu przez regularną sieć. L 1 a (1) Punkt graniczny (progowy) jest precyzyjnie określony tylko w wypadku. Przepływ cieczy jest możliwy. Opracowanie własne na podstawie [3]. jeżeli dwa sąsiadujące węzły są zapełnione (dwa połączone węzły są otwarte). aby płyn nie mógł przepłynąć przez układ. w którym odległość pomiędzy jej brzegami oznaczona jako L. 0. ważne są dwa założenia: Pierwszym z nich jest nieskończony wymiar siatki. węzły . Pierwsze próby zastosowania teorii miały miejsce w latach 40 XX wieku w pracy Paul’a John’a Flory’ego dotyczącej procesu żelowania polimerów. 0.tzw. Dla sieci jednowymiarowej (Rys. Sieć ta złożona jest z węzłów i połączeń. Rysunek 1: Przykład jednowymiarowej sieci. możemy wyróżnić tzw. Obecnie model ten wykorzystuje się bardzo szeroko do opisu zjawisk takich.50. rozprzestrzenianie się chorób drzew. co implikuje wartość współczynnika p* = 1. Wstęp Teoria perkolacji jest ogólnym modelem zjawisk krytycznych związanych z transportem.75 .25. Naszym celem jest znalezienie wartości granicznej parametru p (decydującego o stopniu zapełnienia poszczególnych węzłów). Generalnie dla każdego obiektu geometrycznego z powtarzającą się siecią połączeń. 5937460 ± 0. Dla siatki kwadratowej o nieskończonych wymiarach. Jako s oznaczono średni rozmiar klastra.0000005. aby po przekroczeniu wartości krytycznej wypełnienia pojawił się pierwszy klaster łączący oba przeciwległe boki siatki (obraz c)). co skutkuje wzrostem parametru p). Otwarty węzeł zaznaczono poprzez zapełnione kółko.25. Różne koncentracje zapełnionych węzłów dla tego samego fragmentu sieci. obliczona analitycznie krytyczna koncentracja [4] wynosi pc = 0. Zaczerpnięto z [1] 3 .25 jest on w przybliżeniu równy jedności. Dla wypełnienia sieci 0. Powyższy przykład doskonale obrazuje istotę zjawiska perkolacji. Przekroczenie wartości granicznej. zwanej progiem perkolacji. stopniowo zamykając węzły . Można też rozważać sytuację. a zamknięte węzły pozostają puste.5 i c) 0. Rysunek 2: Zjawisko perkolacji w sieci kwadratowej. kiedy przechodzimy ze stanu o dużej wartości paramteru p. czyli stopniowe zmiany mikroskopowych parametrów układu (losowe otwieranie węzłów.Drugim założeniem jest całkowita losowość zapełniania węzłów w sieci.75.po przekroczeniu wartości progowej następuje zanik spójności układu [1]. następnie wraz ze wzrostem współczynnika wypełnienia wzrasta jego długość. skutkuje dalekozasięgową spójnością układu (możliwością transportu przez całą siatkę). kolejno: a) 0. b) 0. Poziom uwodnienia jest proporcjonalny do prawdopodobieństwa zajętych miejsc w sieci wody. iż jako masę suchej próbki (m0 ) rozumie się tutaj masę próbki w równowadze wilgotnościowej z otoczeniem.miara ciągłości układu. p > p∗ (3) gdzie: p .Perkolacja przewodnictwa Rozważając perkolację przewodnictwa. natomiast dla p > p∗ . m0 . W toku dalszych rozważań parametrem odzwierciedlającym zależność natężenia prądu od koncentracji będzie σ(p) .3 [2. (*) . Zgodnie z powyższym rozważaniem dla (p-p*) przewodnictwo σ(p) dąży do zera. Przecinając kolejno losowo wybrane przewody i oznaczając liczbę nieprzeciętych jako p. Dla p < p∗ funkcja σ(p) jest stale równa zero.masa wody.1. h= mw m0 (4) gdzie mw . Przekroczenie progu perkolacji odpowiada pojawieniu się lub zanikowi przewodnictwa elektrycznego pomiędzy dwoma granicznymi elektrodami.masa suchej próbki.wartości w progu perkolacji.rośnie. Masa wody definiowana jest jako: mw = m − m0 . która jest tematem niniejszej pracy.wykładnik krytyczny. kwadratowej siatki mieści się w zakresie 1.1 . zgodnie z zależnością: (σ − σ∗) ∝ (h − h∗)µ . W pobliżu progu perkolacji funkcja ta staje się funkcją potęgową i możemy zapisać [1]: σ(p) ∝∼ (p − p∗)µ . W badanym układzie za miarę ciągłości przyjmuje się współczynnik h . 1]. h > h∗ (5) W wyniku prowadzonych pomiarów uzyskuje się wielkość zwaną zespoloną przenikalnością dielektryczną . Parametr ten wyraża się jako stosunek masy wody w próbce do suchej masy tej próbki.zwany stopniem uwodnienia [5]. skupimy się na na powszechnie używanym modelu sieci komunikacyjnej o połączeniach stanowiących jednostkowe przewodniki [2.przewodnictwo. Literaturowa wartość wykładnika dla dwuwymiarowej. charakteryzującą właściwości dielektryka znajdującego się w polu elektrycznym: (ω) = 0 (ω) − i00 (ω) (6) 4 . gdzie m to masa całej próbki. gdyż oprócz wody zgromadzonej na powierzchni istnieje też woda związana w strukturze badanej próbki. Wartość wykładnika krytycznego jest wartością uniwersalną i zależy jedynie od wymiaru sieci. a stąd do przewodności. σ . 1]. Dla idealniej siatki przewodników (p = 1) prąd przepływa swobodnie pomiędzy krawędziami siatki i natężenie w funkcji parametru p osiąga maksimum. Dla krytycznej wartości p* zanika połączenie przewodników i I(p) wynosi 0 dla każdego p mniejszego od parametru krytycznego. aby osiągnąć wartość maksymalną w p = 1. obserwujemy stopniowe zmniejszanie się wartości natężenia prądu elektrycznego płynącego przez układ.makroskopowe przewodnictwo sieci [3]. µ . Należy tutaj zaznaczyć. Część urojoną (współczynnik strat dielektrycznych) opisuje zależność: 00 = σ + 00M W + 00P E 0 ω 1−n (8) gdzie σ . Rysunek 3: Ziarna kwarcowe piasku widziane w obrazie BSE skaningowego mikroskopu elektronowego [8] Do tego celu wykorzystano. którego wykładnik krytyczny jest charakterystyczny dla sieci dwuwymiarowej. ω . natomiast ω jest częstością kołową. piasek do piaskownic koloru biało-żółtego. natomiast G(w) funkcją przewodnictwa. zbudowanych. = C0 ω ∗ C0 (7) gdzie C0 jest pojemnością pustego kondensatora.przewodnictwo właściwe. dostępny powszechnie na rynku detalicznym. W toku opracowania danych użyteczny dla nas będzie tylko sygnał pochodzący z przewodnictwa ( 0 ωσ1−n ). dającym znaczy wkład przy wyższych częstotliwościach (00M W ) [5]. głównie z dwutlenku krzemu. Przebieg eksperymentu Perkolacja przewodnictwa w mezoporowatych strukturach krzemionki (SiO2 ) (SBA15. 2.częstość kołowa. Jak informuje producent.gdzie 0 i 00 oznaczają odpowiednio część rzeczywistą i urojoną przenikalności dielektrycznej. jest to osadowa skała 5 . a C(ω) . W niniejszej pracy starano się stwierdzić obecność przejścia perkolacyjnego przy niskim uwodnieniu w piaskach. że w obu typach krzemionek istnieje przejście perkolacyjne przy niskim uwodnieniu.przenikalność dielektryczna próżni. podobnie jak przytoczone powyżej rodzaje krzemionki. Współczynniki można wyznaczyć z poniższych zależności 0 = G(w) C(ω) 00 . Aerosil ) była tematem licznych badań [6. 7].funkcją pojemności. Dowiedziono. 0 . Pozostałe elementy sumy są wkładami związanymi ze zjawiskiem polaryzacji elektrod przy niskich częstotliwościach (00P E ) i efektem MaxwellaWagnera. Części rzeczywiste (0 ) i urojone (00 ) dla trzech reprezentatywnych stopni uwodnienia dwóch badanych próbek przedstawiono na Rys. Warto podkreślić. Ostatecznie próbkę nawodniono wodą destylowaną do momentu maksymalnego zwilżenia próbki.2. drożdżach [5]. Mała zwilżalność próbek jest także wynikiem niskiej gęstości grup silanowych (SiOH) na powierzchni ziaren. oraz krzemionce w postaci Aerosilu [6] czy preforowanego SBA-15 [7] i zgodny z protonowym charakterem przewodności. w celu pozbycia się zanieczyszczeń i wody z powierzchni ziaren.1 . Spektrum i masa kondensatora były automatycznie rejestrowane dla kolejnych próbek co 90 i 120 s. każdy o średnicy 2 mm. co zapewnia dobrą wymianę gazową pomiędzy próbką a otoczeniem. gdyż piasek. iż stosunkowo wysokie wartości przenikalności dielektrycznej (0 ).62g/cm3 . Masę wypełnionego kondensatora monitorowano w sposób ciągły z dokładnością około 20 µg za pomocą wagi laboratoryjnej (Radwag WAA 160/C/2). Wymieniony piasek odpowiada wymaganiom higienicznym . Gęstość ziaren piasku kwarcowego wynosi około 2. Posiada atest Państwowego Zakładu Higieny nr HK/W/0003/01/2007 i jest przeznaczony do piaskownic. następnie piasek poddano procesowi nawadniania. Proces nawodnienia próbek sprawił wiele problemów. W ramach doświadczenia przygotowano i przebadano dwie próbki. Dodatkowo ziarna są znacznych rozmiarów i nie posiadają wewnętrznych porów (a co za tym idzie ich powierzchnia właściwa jest bardzo mała). Kształt otrzymanych wykresów zależności odpowiednio części rzeczywistej i urojonej widma od częstości kołowej jest podobny do obserwowanego już wcześniej w badaniach nad zjawiskiem perkolacji przewodnictwa w algach [9]. której głównym składnikiem jest kwarc. Pomiary przeprowadzono z użyciem zestawu doświadczalnego i procedury opisanej szczegółowo w pracach naukowców z Zakładu Fizyki Materiałów Organicznych UJ [5-7].47 ∗ 10−11 F. które mogą tworzyć słabe wiązania wodorowe z cząsteczkami wody. Oferowany materiał jest myty przesiewany i sortowany. Rezultaty W niniejszym eksperymencie uzyskano niskoczęstotliwościowe urojone widma dielektryczne badanych próbek piasku. Próbki suszone były z naturalną szybkością parowania między 0.0. Górna elektroda zawiera 56 kołowych otworów. objawiającego się wyciekaniem nadmiaru wody. W pierwszej kolejności wszystkie próbki były prażone w wysokiej temperaturze. zbudowany jest z jednolitych ziaren kwarcu i jako całość bardzo słabo wchłania wodę. 4 i 5. w których mogłaby gromadzić się woda.1 V. W celu zebrania danych dotyczących spektrum przenikalności dielektrycznej użyto mostka Novocontrol Alpha-A lub Agilent E4980A w zakresie częstotliwości 100 Hz ¬ f ¬ 20 MHz z amplitudą napięcia wynoszącą 0. Piasek wydobywa się w odkrywkowej kopalni BIAŁA GÓRA koło Tomaszowa Mazowieckiego. podczas całego procesu suszenia.okruchowa o wielkości ziaren 0. obserwowane również w przypad6 . 3.15 g/h.05 .5 mm. Mokry materiał został umieszczony pomiędzy dwoma równoległymi płytami kondensatora zbudowanymi z miedzi pokrytej złotem. Pojemność pustego kondensatora wynosiła 1. przy temperaturze powietrza w komorze około 23 − 25o C i wilgotności względnej około 35 − 40%. 0012 [mg[H2 O] /g[piasku] ]. zawarta w pracy [10].0561 i (N) h = 0. 0 (ω). i (b) współczynnika strat dielektrycznych. ( ) h = 0. 00 (ω). dla trzech różnych poziomów uwodnienia: () h = 0. gdzie 0 jest przenikalnością próżni [7]. Typowe zaobserwowane spektra (a) przenikalności dielektrycznej.(a) (b) Rysunek 4: Zwilżoną próbkę A (h0 = 0. umożliwia znaczne uproszczenie i przyspieszenie analizy danych doświadczalnych. w sąsiedztwie progu perkolacji h ¬ h∗. ku krzemionki SBA-15 [7] są spowodowane bardzo wyraźnym wkładem do widma pochodzącym od polaryzacji elektrody. Na szczęście zjawisko to nie zaburza ilościowego oszacowania wartości przewodności σDC .2215 [mg[H2 O] /g[piasku] ]) badanego piasku swobodnie suszono w powietrzu atmosferycznym.0680. 00 (ω). Typowe zaobserwowane spektra (a) przenikalności dielektrycznej. 0 (ω).0680 [mg[H2 O] /g[piasku] ]) badanego piasku swobodnie suszonego w powietrzu atmosferycznym. ( ) h = 0.2215. dla każdej częstotliwości z podanego zakresu zastosować mono7 . Uzyskane widma współczynnika strat dielektrycznych dla częstotliwości f ¬ 100 kHz charakteryzują się znaczną dominacją wkładu przewodności DC σDC : 00 (f ) ∼ = σDC /(2π0 f ). i (b) współczynnika strat dielektrycznych. dla trzech różnych poziomów uwodnienia: () h = 0. Można bowiem.0105 [mg[H2 O] /g[piasku] ]. Obserwacja ta.0135 i (N) h = 0. (a) (b) Rysunek 5: Zwilżoną próbkę B (h0 = 0. 4. zarówno jeśli chodzi o poziom uwodniania w progu perkolacji. Dyskusja Porównanie parametrów krytycznych badanych próbek (Tabela 1) z parametrami literaturowymi oraz danymi eksperymentalnymi i teoretycznymi dla materiałów biologicznych i krzemionek przedstawiono w Tabelach 2 i 3. Dane zaczerpnięto z [7.równanie (5)). Uzyskane wartości.2215. Typowe wykresy zależności monochromatycznego współczynnika strat dielektrycznych 00 |f od poziomu uwodnienia h [mg[H2 O] /g[piasku] ].06796 i (b) h0 = 0. 6). (a) (b) Rysunek 6: Zwilżone próbki badanego piasku swobodnie suszone w powietrzu atmosferycznym. jak 8 . Do wykresów (dla każdej z trzech różnych częstości) dopasowano proste (równanie (9)) metodą regresji liniowej aż do uzyskania najwyższej wartości parametru chi squares i wyznaczono wartości wykładników krytycznych µh (Rys. starając się wyznaczyć próg perkolacji poprzez najlepsze dopasowanie liniowe. Przedstawione wykresy reprezentują widmo w progu perkolacji dla dwóch różnych poziomów początkowego uwodnienia (a) h0 = 0. Postulowano istnienie progu perkolacji dla danego h∗ i rysowano wykresy log(00 − 00 ∗) od log(h − h∗). aby znaleźć progowe wartości stopnia uwodnienia h∗ oraz wykładnika krytycznego µh . Wyniki analizy regresji liniowej przedstawiono w Tabeli 1. (00 |f − 00 ∗ |f ) ∝ (h − h∗)µh ↔ log|00 |f − 00 ∗ |f | = µh log|h − h ∗ | + const. 9]. (9) Z kilkudziesięciu wybranych wykresów log00 (logω) wyselekcjonowano wspólny zakres liniowości i obliczono odpowiadające mu częstości. Linia ciągła na wykresach jest dopasowaniem równania (9) do punktów na wykresie.chromatyczny współczynnik strat dielektrycznych 00 bezpośrednio (bez konieczności żmudnego wyznaczania współczynnika przewodnictwa σ z regresji liniowej . Dalsze obliczenia prowadzono niezależnie dla tych trzech częstości. Do dalszych kroków użyto trzech wartości częstości ω: ze skrajów oraz z wnętrza wyznaczonego zakresu. 002 1.05 1.002 1. która jest znacząco niższa od zamieszczonych w Tabeli 3 wartości dla innych biologicznych i abiotycznych materiałów. µh -wykładnik krytyczny w progu perkolacji.29±0. W pierwszym z nich powierzchnia materiału wykazuje właściwości hydrofobowe.06±0.002 1.00288 0. h0 -uwodnienie początkowe. h∗uwodnienie w progu perkolacji. w 9 . W pracy [9] naukowcy formułują twierdzenie.002 (001 ) (002 ) (003 ) (001 ) (002 ) (003 ) Tabela 2: Wykładniki krytyczne charakteryzujące przejścia perkolacyjne przy niskim uwodnieniu dla materiałów biologicznych i abiotycznych i ich porównanie z teoretycznie obliczonymi wartościami dla sieci 2D.06796 Piasek (B) 0. gdyż uzyskana wartość wykładnika krytycznego jest zbliżona do danych teoretycznej dla tego typu siatki.00288 0.004 i wykładnik krytyczny.019±0. w tym wypadku ziaren krzemowych. Materiał Model teoretyczny 2D Węzły Sieć Sieć Biomateriały Drożdże Porosty Nasiona kukurydzy zarodek Sproszkowane białko Niebiesko-zielone algi Materiały niebiologiczne Aerosil 90 Aerosil 150 Aerosil 380 SBA-15 Wykładnik krytyczny 1.34±0.042±0.91±0.3 1.002 1.030±0.03 0. Zasadniczo istnieją dwie drogi przewodzenia poprzez przestrzenie międzyziarnowe oraz na powierzchni ziaren.25±0.00282 0.10±0. W miarę dalszego odwadniania zaczyna dominować sposób drugi.Tabela 1: Parametry krytyczne badanych próbek.00282 0.05 1.05 1. Na uwagę zasługują tutaj dwa fakty. w miarę stopniowego odwadniania woda opuszcza przestrzenie miedzyziarnowe i droga ta zostaje zniszczona.01±0.08±0.033±0.032±0. Jedynie współczynnik charakteryzujący perkolację w niebieskich algach jest zbliżony do zbadanej wartości.00288 (001 ) (002 ) (003 ) (001 ) (002 ) (003 ) µh 1.05 1.05 1.00282 0.02 1.036±0. Próbka h0 Piasek (A) 0.002 1.05 1. Po pierwsze bardzo niska wartość progowego stopnia uwodniania h∗.22150 h∗ 0.022±0.002 1. iż ma to związek z chemiczną budową powierzchni materiału. Tutaj znów możliwe są dwa scenariusze.18 1.234±0. Przy dużym uwodnieniu dominuje pierwszy sposób. w sposób bezsprzeczny można skategoryzować jako odpowiadające zjawiskom w sieci 2D. Aerosilu.14 0. można byłoby się spodziewać wartości h* znacząco niższej niż obliczona w niniejszej pracy.082±0. że h* dla piasku jest tylko o 1-2 rzędy wielkości mniejszy niż dla aerosili.302 ± 0. przewodnictwo utrzymuje się długo w miarę stopniowego wysychania.001 0. Taki mechanizm zaobserwowano np.02). ale także czynnik chemiczny (bardziej hydrofobowa niż w Aerosilu powierzchnia ziaren podnosząca progowy stopień uwodnienia). Dla dobrze zwilżonej powierzchni. Scenariusz ten zaobserwowano w przypadku niebiesko-zielonych alg [9]. że na uzyskaną wartość uwodnienia w progu perkolacji dla badanego piasku wpływa nie tylko czynnik geometryczny (wielkość ziaren). świadczyć może o tym. Warto zwrócić uwagę na fakt.007 tym przypadku w trakcie zbliżania do progu perkolacji sieci 2D. nieprzewodzące fragmenty (kropelki) o znacznej grubości.01 0. które wykazuje spójną strukturę i nie obserwuje się 10 . Materiał Biomateriały Drożdże Porosty Nasiona kukurydzy zarodek Sproszkowane białko Niebiesko-zielone algi Materiały niebiologiczne Aerosil 90 Aerosil 150 Aerosil 380 SBA-15 Stopień uwodnienia h* 0. w drożdżach Saccharomyces cerevisiae [5] (h* = 0. Biorąc pod uwagę. Wiąże się to najprawdopodobniej z samego budową ziarna piasku. zbudowana głównie z warstwy mannoprotein.828±0. tak więc ostatni przewodzący dwuwymiarowy klaster wody zanika przy stosunkowo wysokim stopniu uwodnienia (wyższe wartości h*). iż progowe uwodnienie nie zależy od uwodnienia początkowego h0 podobnie jak dla Aerosili i przeciwnie do rezultatów otrzymanych przy badaniu krzemionki SBA-15 [7].0008 0.24±0.02 0. a więc jest bardzo bliski wartości uzyskanej w niniejszym opracowaniu.01 0. gdzie zewnętrzna powierzchnia ściany komórkowej.001 0.302±0. Jak można zobaczyć. iż stosunkowo niski stopień uwodnienia w progu perkolacji dla piasków doskonale wpisuje się w tendencję zaobserwowaną dla najbardziej zbliżonego materiału zawartego w Tabeli 2 i 3 . Aerosil wykazuje tendencję do obniżania wartości h* w miarę wzrostu wielkości ziaren [10]. gdzie krytyczny współczynnik uwodnienia wynosił h* = 0. że średnia wielkość frakcji badanego piasku jest sześć rzędów wielkości większa od wielkości ziaren Aerosilu. a co za tym idzie punkt perkolacji znajduje się na poziomie nawodnienia charakterystycznego dla pojedynczej warstwy wody (bardzo niskie wartości h*). woda silnie przylega do podłoża i powierzchnia wysycha warstwa po warstwie.Tabela 3: Stopnie uwodnienia (h*) w progu perkolacji dla materiałów biologicznych i abiotycznych.0029±0. wielowarstwowa struktura wody stopniowo zanika i tworzą się odseparowane.09±0.056±0.093±0.0008. Fakt.0029 ± 0. Na powierzchniach hydrofilowych z kolei.009 0. wykazuje właściwości hydrofobowe. W uzyskanych rezultatach jasno widać. Skalowanie wykładnika jest bliskie jedności. SBA-15 czy drożdży. takich jak początkowy stopień uwodnienia h0 . 11 . 5. Drugim ważnym faktem. Podobne wartości otrzymano dla Aerosilu. Podsumowanie Badaniu zmian przewodności w trakcie stopniowego odwadniania w powietrzu atmosferycznym poddano piasek kwarcowy. co wskazuje na złożony charakter przejścia. Okazało się. zgodnym z tendencją zaobserwowaną wcześniej w krzemionce Aerosil. jest uzyskana wartość wykładnika krytycznego wynosząca w przybliżeniu µh ≈ 1. taka wartość wykładnika może wskazywać na uszkodzenie ciągłej warstwy przewodzącej przez losowe przerwy (model ”sera szwajcarskiego” Halperina [11]). algach czy Aerosilu. Jak wykazano już jakiś czas temu. podobnie jak w drożdżach. że zbadane wartości krytycznego stopnia uwodniania h* i wykładnika krytycznego µh są typowe dla sieci 2D i niezależne od parametrów początkowych. Przejście perkolacyjne występuje przy bardzo niskim uwodnieniu. ograniczenia wielkości perkolującej dyskretnej sieci (zbadane przez Berkowitz’a i Knight’a [12]) czy też bistabilność oporu dyskretnej sieci (zmiana oporności węzłów z niskiej na wysoką przy przejściu perkolacyjnym) [7]. Przy niskim stopniu uwodnienia obserwowano przejście perkolacyjne. oznaczony przez producenta jako ”piasek do piaskownic”.w nim wewnętrznych porów. wartym odnotowania. MSFC-75-SA-4105-2C.Zallen. [2] D. Review of Scientific Instruments. Water-network percolation transitions in hydrated yeast. L.msfc. A. B. hydrophilic fumed silica powder. Grochot. M. Ottawa sand for mechanics of granular materials (mgm) experiment. Perkolacja przewodnictwa. 1985. Taylor and Francis. Nowak. 2013. Stauffer.pl/pl/PFNMO/Perkolacja przewodnictwa. data dostępu: 23. Sokolowska. and J. M.gov/abstracts.K. [3] Urszula Górska Daniel Dziob. Physical Review E . Moscicki. Sokolowska. Bialecka. Nonlinear. Journal of Non-Crystalline Solids. Sokolowska. Moscicki. 12 . Sokolowska. [4] Krzysztof M. Introduction to Percolation Theory. lightly wetted. 2007. Sokolowska. Gorska. U.edu. Kieltyka.Statistical.K.nasa. D. M. and J. Dziob.15r. Electric conductivity percolation in naturally dehydrating. http://www2. 70.Bibliografia [1] R. 206:202 – 206. Water-network percolation transition in hydrated blue-green algae in vivo.Statistical. Physical Review E . D. PWN. Studia Matematyczno- [5] D. [8] NASA Headquarters Office of Public Affairs Media Services Division News and Imaging Branch. and Soft Matter Physics. [9] D. Perkolacja . Note: Optimization of the numerical data analysis for conductivity percolation studies of drying moist porous systems.K. L. 2014. 87(6). L. Kwiatkowski. Dziob. Fiedor. D. Szczygiel. Krol-Otwinowska. 1994. Nowak. London and Philadelphia. Dziob.08. https://mix.K. U. 2015. [10] J. Nonlinear. Moscicki. Chmielarz. {DC} conductivity percolation on drying moistened mesoporous silica sba-15. Moscicki. Rutkowska. Gorska. 85(2). and J. Moscicki. [7] J. A. D. 2014. and J.pdf.uj. and J.php?p=744. [6] D. and Soft Matter Physics.K. Fizyka ciał amorficznych.praca roczna. 2004. Przyrodnicze. Krol-Otwinowska. Microporous and Mesoporous Materials.if. D. Rev.. J. 54:2391–2394. Sen.[11] B. Differences between lattice and continuum percolation transport exponents. Continuum percolation conductivity exponents in restricted domains. Shechao Feng. and P. Lett. 1995. Knight. [12] B. 1985. I. 13 . 80:1415–1423. Halperin. Berkowitz and R. Phys. Statistical Physics. N.