PENDULO CONICOCONICAL PENDULUM Alejandra Yanes Velásquez 20092150060, Luz Stella Castellanos Meneses 20112135053, María Camila Amado 20111135042. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de ciencias y educación Proyecto curricular de licenciatura en física Resumen Se presenta a continuación la realización y explicación experimental y teórica del péndulo cónico; se realizó la practica experimental la cual consistía en un péndulo que se hacía girar en forma de circular llamándose de esta manera un péndulo cónico, se variaron datos como la longitud de la cuerda dejando el ángulo constante, variación de ángulos dejando la longitud de la cuerda constante y en ambos casos se tomó el tiempo en que tarda la masa considerada en dar determinadas circunferencias. Se realizó lo anterior con el fin de verificar si son ciertas o no las hipótesis más adelante mencionadas (punto 2) llegando a la conclusión de que el periodo de oscilación si depende de la longitud de la cuerda, para pequeños ángulos menores de 10°, el periodo de revolución es aproximadamente independiente del valor del ángulo θ, lo que significa que, a pesar de que el ángulo vaya disminuyendo (por fricción con el aire, por ejemplo), el periodo permanece prácticamente constante. Palabras Clave: frecuencia, periodo, ángulo, longitud. Abstrac And conducting experimental and theoretical explanation of the conical pendulum is presented below; experimental practice which consisted of a pendulum, which was rotated in a circular shape thereby calling a conical pendulum, is varied as the data length of the rope leaving the constant angle, angle variation, leaving the length of the rope is made constant in both cases took the time it takes for the mass to be considered in giving certain circles. Above was performed in order to verify whether they are true or not later mentioned hypothesis (point 2) and concluded that if the period of oscillation depends on the length of the string, for small angles, the period of revolution it is approximately independent of the value of the angle θ, which means that, although the angle is diminishing (due to friction with air, for example), the period remains practically constant. Keywords: frequency, period, angle, length. 1. Introducción: El péndulo cónico está constituido por un cuerpo pesado de pequeñas dimensiones (puntual, idealmente) suspendido de un punto fijo mediante un hilo inextensible y de masa despreciable. Su construcción es la misma que la de un péndulo simple, pero, a diferencia de éste, el péndulo cónico no oscila, sino que la masa pendular describe una trayectoria circular en un plano horizontal con aceleración constante. Su nombre proviene del hecho de que el hilo traza una superficie cónica. El péndulo cónico es un caso particular del péndulo esférico. En concreto es un péndulo esférico en el que el vector velocidad (inicial) es perpendicular al plano determinado por la vertical y el hilo. El científico inglés Robert Hooke fue el primero en estudiar las características de este péndulo, en 1660. En 1673 el científico holandés Christiaan Huygens calculó su periodo, usando su nuevo concepto de la fuerza centrífuga. Más tarde fue utilizado como el elemento de indicación de la hora en algunos relojes mecánicos y otros dispositivos de temporización del mecanismo. Cuanto mayor es la velocidad angular w, mayor es el ángulo α, por esta razón el péndulo cónico ha sido utilizado como un regulador de velocidad de las máquinas de vapor; cierra la válvula de la entrada de vapor cuando la velocidad supera un límite prefijado y la abre cuando dicha velocidad baja de dicho límite. Durante la década de 1800, péndulos cónicos se utilizan como elemento de cronometraje en unos mecanismos de sincronización del mecanismo en el que se requiere un movimiento suave, en comparación con el movimiento inevitablemente desigual proporcionada por péndulos ordinarios. Dos ejemplos son los mecanismos para convertir las lentes de los faros para barrer sus rayos a través del mar, y las unidades de seguimiento de los telescopios de montura ecuatorial, para permitir que el telescopio para seguir sin problemas una estrella en el cielo que gira la Tierra. También fueron utilizados en algunos relojes dormitorios, para evitar el sonido tic-tac de un movimiento de la rueda del péndulo o el equilibrio, lo que podría perturbar el sueño. 2. Planteamiento de Hipótesis: - El periodo de oscilación depende linealmente de la longitud. - El periodo de oscilación es inversamente proporcional a la masa. - El periodo de oscilación es independiente del ángulo. 3. Desarrollo Experimental Se suspende una plomada en un soporte universal dejando como constante el ángulo con una determinada longitud, se tomara su cuerda como inextensible, y de masa despreciable Al soltarse con un determinado angulo esta describe una trayectoria en un plano horizontal con aceleración constante, circunferencial. Se tomaron medidas del angulo, de la longitud de la cuerda y del tiempo en que tarda en describir determinadas circunferencias. Se establecieron variaciones del angulo y la longitud de la cuerda, midiéndose para cada uno determinados tiempos. Figura N°1: Péndulo Conico Figura N°2: Situación Problema Para determinar una expresión física que relacione el periodo del péndulo conico, estableciendo un diagrama de cuerpo libre sobre la masa y estableciendo ejes coordenados se tiene que: Figura N°3: Diagrama de cuerpo libre Se tiene que para el eje horizontal se cumple que ¿ = a m F y en el eje vertical que ¿ = 0 F . r x ma Tsen F = ¿ u : (1) ¿ = ÷ 0 cos : mg T F u (2) En el eje horizontal cuando describe una trayectoria circunferencial tiene tambien un movimiento de este tipo, donde el radio de la trayectoria puede darse en términos de la longitud de la cuerda y del angulo formado por la vertical siendo este u Lsen r = . Si de la ecuación (1) se toma que dt dv a t r = con dt d r v t u = se tiene que 2 2 dt d r a r u = llegándose a: 0 2 2 = ÷ u u Tsen dt d mr (3) Y al dividir por la masa y el radio se tiene que; 0 2 2 = ÷ mr Tsen dt d u u (4) Debido a que el u u ~ sen para ° >10 u se tiene que: 0 2 2 = ÷ u u mr T dt d (5) Donde se establecera para la solución de esta ecuación diferencial homogénea, de segundo orden que mr T w = 2 , esta es la rapidez angular. Otra forma de establecer la rapidez angular está dada por: TENSION De la ecuación (1) se puede establecer al remplazar la aceleración dada por r v a c 2 = con c y rw v = que: u u Lsen mw Tsen 2 = (12) Así de la ecuación (12) se puede establecer que la tensión se encuentra dada por: L mw T 2 = (13) ACELERACION La expresión que relaciona la aceleración del movimiento a partir de la ecuación (1) se puede establecer que está dada por: m Tsen a u = (14) Al remplazar la tensión se tiene que: L w a 2 = (15) De la ecuación (12) al despejar w se tiene que: u u mLsen Tsen w = 2 (16) Llegando a que: mL T w = (17) De la expresión (2) se puede llegar a despejar la tensión en términos del ángulo y al remplazar se tiene que la rapidez angular está dada por: u cos L g w = (18) El periodo se encuentra dado por; w T t 2 = (19) Al remplazar la ecuación (18) en (19) se tiene que el periodo está dado por: g L T u t cos 2 = (20) Otra expresión para determinar el periodo es mediante el tiempo: k t T = (21) Donde k es el número de vueltas que da la masa en su trayectoria circunferencial. TABLA DE DATOS ( ) m L 005 . 0 ± ( ) ° ± 1 . 0 u ( ) s t 1 . 0 ± 0.485 20.0 6.4 0.398 20.0 5.8 0.284 20.0 4.9 0.187 20.0 4,3 0.151 20.0 4.0 Tabla N°1: Datos con ángulo constante ( ) m L 005 . 0 ± ( ) ° ± 1 . 0 u ( ) s t 1 . 0 ± 0.425 20.0 6.3 0.425 30.0 6.2 0.425 40.0 5.9 0.425 50.0 5.4 0.425 60.0 4.8 0.425 70.0 3.9 Tabla N°2: Datos con longitud constante RESULTADOS ( ) s T TEO ( ) s T EXP ( ) m L 005 . 0 ± 1.35 1.28 0.485 1.23 1.16 0.398 1.04 0.98 0.284 0.84 0.86 0.187 0.75 0.8 0.151 Tabla N°3: Periodo con ángulo constante El periodo sacado a partir del valor de la longitud y el ángulo mediante la ecuación (8) es el que va a ser tomado como teórico y el determinado mediante el tiempo será tomado como el experimental. ( ) Hz f ( ) s rad w 0.74 4.64 0.81 5.12 0.96 6.06 1.19 7.47 1.33 8.31 Tabla N°4: Frecuencia y aceleración con longitud constante Datos dejando la longitud constante y estableciendo variaciones del ángulo: ( ) s T TEO ( ) s T EXP ( ) ° ± 1 . 0 u 1.27 1.26 20.0 1.22 1.24 30.0 1.14 1.18 40.0 1.05 1.08 50.0 0.92 0.96 60.0 0.76 0.78 70.0 Tabla N°3: Periodo con longitud constante ( ) s rad w ( ) Hz f 4.96 0.79 5.16 0.81 5.49 0.85 5.99 0.93 6.79 1.04 8.21 1.28 Tabla N°4: Frecuencia, aceleración con longitud constate Error porcentual de periodo con ángulo constante T= ()() () T= Error Porcentual de Periodo con longitud de la cuerda constante T= GRAFICAS ESTAS VAN APARTE EN FORMATO .PDF Grafica N°1: Periodo vs longitud Grafica N°2: Periodo vs raíz de la longitud Grafica N°3: Periodo vs ángulo Grafica N°4: Periodo vs raíz del coseno del ángulo 4. Análisis de Resultados Un péndulo cónico es una masa que gira alrededor de la vertical con una velocidad angular w, colgada al extremo de un hilo inextensible de masa despreciable. La trayectoria que este describe es circunferencial, el movimiento de esta es circunferencial uniforme, donde la aceleración dada es radial, debido a que hay una cambio del ángulo del vector de la velocidad, mientras que la magnitud de esta permanece constante, por lo que no hay aceleración tangencial. El periodo depende de la rapidez angular, esta es el cambio del ángulo en el tiempo, por lo que depende del ángulo; también depende de la tensión de la cuerda, que al expresarla en términos del ángulo se establece que también depende de este, si se analizara el periodo se tendrá que se encuentra dado en términos de la rapidez angular y al ver esta en términos del radio (véase la ecuación N°18) se establece finalmente que también depende del ángulo (véase la ecuación N°20). Se determina que es directamente proporcional a la raíz de la longitud por el coseno del ángulo formado por la vertical mediante el análisis grafico ya que se obtuvo en la gráfica N°2 que al aumentar el periodo también lo hace la raíz de la longitud. Al comparar la ecuación obtenida mediante el análisis grafico T=(0.5141s/m 1/2 )L 1/2 +0.0002s con la ecuación dos se obtiene que la pendiente de la gráfica corresponde a g u t cos 2 . Para un péndulo cónico el periodo depende de la longitud siempre que ángulo permanezca constante, al variar este y dejar como constante la longitud se establece mediante la gráfica N° 4 que el periodo es directamente proporcional a la raíz del coseno del ángulo formado con la vertical, ya que en esta se ve que al aumentar el periodo también lo hace en igual proporción la raíz del coseno del ángulo. Al establecer una comparación entre la ecuación N°20 y la obtenida mediante la gráfica de periodo en función de la raíz del coseno del ángulo T=(0.7646s)(cosθ) 1/2 -1×10 -14 s se establece que la pendiente de la gráfica corresponde al valor de g L 2 . 5. Conclusiones El periodo de un péndulo cónico depende de la longitud teniendo en cuenta que el ángulo debe permanecer constante para poder evidenciar este hecho, se concluye lo anterior a partir del análisis de resultados que se realizó donde los datos tomados indican que el tiempo que tarda la masa en recorrer ciertas circunferencias es menor mientras la longitud de la cuerda sea menor, es decir que el periodo de la oscilación depende linealmente de la longitud de la cuerda. Se puede comprobar esta afirmación a partir de la ecuación (21) la cual indica el periodo es igual al tiempo sobre el número de vueltas que da la masa en su trayectoria circunferencial. El periodo de oscilación es independiente del ángulo desde que el valor del ángulo sea mínimo si se analiza la tabla de datos se observa que la diferencia de tiempo entre un ángulo de 10° a uno de 20° es muy pequeña pero si se compara de 10° a uno de 70° la diferencia ya es considerable. Cuando se analiza el cambio de ángulos muy pequeños se concluye que el período T de un péndulo cónico es igual al periodo de un péndulo ordinario de la misma longitud. Además, el período para ángulos pequeños es aproximadamente independiente de los cambios en el ángulo. Esto significa que el período de rotación es aproximadamente independiente de la fuerza aplicada para mantenerla girando. Esta propiedad, llamada isocronismo, se comparte con péndulos ordinarios. Pero si los ángulos son de gran valor, se concluye que el periodo depende de la rapidez angular, esta es el cambio del ángulo en el tiempo, por lo que depende del ángulo ya que en la rapidez angular se nota una variación de ángulos mayores de 10 grados. 6. Bibliografía \item Paul A. tipler. F\'{i}sica para la ciencia y la tegnologia . tercera edici\'{o}n. Espa�a. Editorial Reverte,S.A. 1995. P. 123-125. 1v. \item Douglas C. Giancoli. F\'{i}sica principios con aplicaciones. Cuarta edici�n. Mexico. Editorial prentice- hall Hispanoamericana; S.A. 1997. P. 135. \item Sears, zemansky, Young. Fisica Universitaria. Sexta edición. 1986 ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA, S.A. Pág. 239.