PEHLA-matematica

REP ÚBL ICA DEL P ER Ú Dirección General de Educación Básica Regular Dirección de Educación Secundaria MINISTERIO DE EDUCACIÓN Manual del docente anual ÁREA DE MATEMÁTICA Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional MINISTRO DE EDUCACIÓN José Antonio Chang Escobedo VICEMINISTRO DE GESTIÓN PEDAGÓGICA Idel Vexler Talledo VICEMINISTRO DE GESTIÓN INSTITUCIONAL Victor Raúl Díaz Chávez SECRETARIO GENERAL Asabedo Fernández Carretero DIRECTORA GENERAL DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR Miriam Janette Ponce Vértiz DIRECTOR DE EDUCACIÓN SECUNDARIA César Puerta Villagaray Área de Matemática Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional Manual del Docente. ELABORACIÓN DEL DOCUMENTO Martín E. Mendoza Bolo CORRECCIÓN DE ESTILO Gabriel Espinoza Suárez DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN Cecosami Comunicación Integral © MINISTERIO DE EDUCACIÓN Van de Velde 160, San Borja DIGEBR - DES 2007 Primera edición, 2007 Tiraje: 30 000 ejemplares Impreso en Quebecor World Perú S.A. Av. Los Frutales 344 Ate - Lima 03 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú No 2007 - 09455 EQUIPO DE DESARROLLO CURRICULAR Fernando Quiquia Rau (Coordinación) Víctor Arenas Mitre Begoña Astigarraga Cabornero José Barletti Pascuale Edelmira Canchucaja Ruiz Enrique Corvera Ormeño Marcos Díaz Abanto Ada Gamarra Ruiz Benito García Villalobos Fredy León Burgos Homer Melgarejo Obregón Martín Mendoza Bolo Elizabeth Quinteros Hijar Rosa Bertha Rodríguez Marco Antonio Rodríguez Brey Rojas Arroyo Jorge Romero Torres Roger Saavedra Salas Doris Saldarriaga Reto Víctor Sifuentes Vargas Ronald Velarde Valer Galo Viccina Linares ÍNDICE Introducción I. Descripción del Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional: Área de Matemática 1.1 Objetivos del Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional 1.2 Características del Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional 1.3 Organización del Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional 1.4 Aspectos priorizados en el Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional II. El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional y el Área de Matemática 2.1 Diversificación curricular 2.2 El Área de Matemática y su diversificación 2.3 El Área de Matemática y el desarrollo de capacidades III. Aspectos priorizados en el Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional 3.1 Planteamiento de interrogantes que propician el razonamiento riguroso 3.2 Situaciones problemáticas de la vida diaria 3.3 Elaboración de organizadores visuales 3.4 Recopilación de información estadística 3.5 Proyectos de investigación relacionados a procesos productivos 3.6 Modelización matemática y situaciones problemáticas de la vida 3.7 Razonamiento inferencial deductivo 3.8 Resolución de problemas teóricos-prácticos 3.9 Contabilidad básica en proyectos empresariales 3.10 Costos y beneficios en el desarrollo de proyectos IV. El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional y la Evaluación de Aprendizajes 4.1 Criterios de evaluación e indicadores 4.2 Calificación de los resultados 4.3 Instrumentos de evaluación Bibliografía 5 6 6 6 7 8 9 9 9 16 27 27 28 30 32 33 34 34 37 38 41 43 43 43 44 48 “Si sabes poco, aprende. Si sabes mucho, enseña” Compartir nuestros conocimientos es el principio de la solidaridad. Aprender más, buscar uno mismo más conocimientos. Conversar y discutir sobre lo aprendido. Esos son esfuerzos que te harán mejor, te darán seguridad y confianza. Y permitirán tu éxito en la vida. Recuerda que en cada niño hay un genio por descubrir. No dejes que el tuyo permanezca dormido. Es tu deber y tu victoria. Con afecto, Alan García Presidente Constitucional del Perú INTRODUCCIÓN Vivimos en un mundo de extraordinarios y acelerados cambios, en el cual surgen y evolucionan continuamente nuevos conocimientos, herramientas y formas de usar y comunicar la matemática. El Ministerio de Educación, como contribución al mejoramiento de la calidad de los aprendizajes, ha emitido la Resolución Ministerial Nº 0025-2007-ED y su modificatoria, la Resolución Ministerial Nº 0027-2007-ED, mediante las cuales se aprueban las normas para la implementación de la hora lectiva adicional en las instituciones educativas de gestión pública de educación secundaria de un solo turno a nivel nacional. En nuestra labor pedagógica existe la necesidad de entender y ser capaz de utilizar la matemática durante las sesiones de aprendizaje y en la vida diaria, razón por la cual es importante la optimización del tiempo durante las sesiones de aprendizaje y, en particular, el uso pertinente de la hora lectiva adicional. Cabe precisar que en el Área de Matemática se traduce como el incremento de dos horas pedagógicas adicionales en cada semana lectiva. Hasta el año pasado en un grueso de instituciones educativas de un solo turno, al Área de Matemática se le asignaba –al menos– cinco horas pedagógicas semanales. Con la implementación de la hora lectiva adicional, el Área de Matemática va a disponer de –al menos– siete horas pedagógicas semanales. La implementación de la hora lectiva adicional se realizará mediante un programa especial, cuyo propósito es fortalecer los aprendizajes logrados en el Área de Matemática, mediante la aplicación de los mismos en situaciones problemáticas de la vida cotidiana. Para el efecto, se ha elaborado el presente manual, que brinda orientaciones sobre cómo desarrollar dicho programa para garantizar un uso efectivo de las horas adicionales. Este manual se irá enriqueciendo a la luz de la experiencia. MANUAL DEL DOCENTE 5 I. DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL: ÁREA DE MATEMÁTICA 1.1 OBJETIVOS DEL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL Fortalecer, afianzar, evidenciar el desarrollo de las capacidades matemáticas en las sesiones de aprendizaje del Área de Matemática, aplicando los aprendizajes en la solución de situaciones problemáticas de la vida cotidiana. El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional (PEHLA) es un espacio dedicado al fortalecimiento de las capacidades matemáticas (razonamiento y demostración; comunicación matemática; resolución de problemas) que los estudiantes han desarrollado en el tiempo habitual que se otorga al Área de Matemática. El fortalecimiento en mención se realiza cuando los aprendizajes logrados en el área son aplicados para dar solución a situaciones problemáticas de la vida cotidiana. En el esquema adjunto se puede apreciar la relación que existe entre el Área de Matemática y el PEHLA. Del esquema se deduce que el docente del Área de Matemática debe garantizar que los aprendizajes del grado se obtengan en el tiempo que habitualmente se dedica al área. Asimismo, se recalca que ambos espacios son prácticos y que la matemática se aprende haciendo; es más, se complementan dado que en el área se desarrollan los aprendizajes y en el PEHLA se los fortalece. No obstante, hay que enfatizar que el Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional no está dedicado a resolver una batería de ejercicios de “razonamiento matemático”. En ese sentido, debemos recalcar que el PEHLA es un espacio de fortalecimiento y profundización, no de recuperación. Bajo ningún concepto se debe entender que en el Área de Matemática se desarrolla la teoría y en el PEHLA la práctica. 1El programa también 1.2 CARACTERÍSTICAS DEL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL El programa es especial, pues se realiza en horas adicionales a las que habitualmente se asigna al área de Matemática. También es especial1 porque prioriza algunos aprendizajes claves para fortalecer las capacidades matemáticas. Estos aprendizajes (denominados aspectos en la Resolución Ministerial Nº 0027-2007-ED) han sido extraídos del DCN, tomando 6 Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional es especial, dado que, por peculiaridades de la Institución Educativa, puede ser desarrollado por un docente distinto al que desarrolla el área en las horas habituales, lo cual implica una coordinación permanente. en cuenta su relevancia para el desarrollo de las capacidades matemáticas. Otra de las características del programa es la de ser eminentemente práctico y vivencial, pues en él se aplican los aprendizajes a la solución de situaciones problemáticas de la vida cotidiana. El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional está relacionado directamente con el Área de Matemática, pues comparten los mismos propósitos, los mismos aprendizajes, la misma forma de programación y de evaluación. Lo que varía es el énfasis que se pone en algunos aprendizajes vinculados con el desarrollo de las capacidades matemáticas. Sin pérdida de generalidad, se puede afirmar que el Área de Matemática atiende un espectro amplio de aprendizajes, mientras que el PEHLA es de carácter focalizado. Las características del PEHLA están representadas en el siguiente esquema: Es práctico y vivencial Los aprendizajes son aplicados a la solución de situaciones problemáticas de la vida diaria. Se priorizan aprendizajes relevantes para el desarrollo de las capacidades matemáticas. Se preserva el enfoque y los propósitos del área. Convoca la participación de las diferentes áreas curriculares en la ejecución de los proyectos y talleres. Es focalizado Es parte del área Es articulador En todos los casos, el PEHLA se desarrolla como parte del Área de Matemática, pues los tópicos tratados en este programa guardan relación con la programación del área y porque los resultados de la evaluación realizada en el PEHLA influyen en la promoción o repetición de los estudiantes en el área. Por lo tanto, 2Tener en cuenta que el programa no es un espacio aislado, mucho menos desvinculado de los aprendizajes del currículo. El PEHLA es un espacio que da la oportunidad para la articulación de las diferentes áreas curriculares, pues en la ejecución de los proyectos se puede aprovechar los aprendizajes obtenidos en todas ellas. si en la Programación Anual se le ha asignado al Área de Matemática siete horas semanales, dos horas son del PEHLA 3Se explicitan como 1.3 ORGANIZACIÓN DEL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL La hora adicional se implementa en las instituciones educativas de educación secundaria de un solo turno. La distribución de las horas adicionales se realiza luego de que a cada docente se le haya asignado 24 horas que corresponden como parte de su jornada laboral. Esto es así, pues el PEHLA es un espacio para fortalecer los aprendizajes y no forma parte de las horas habituales del Área de Matemática2. Por lo tanto, el número de horas destinadas al área deben ser las necesarias para que los estudiantes logren los aprendizajes en ese espacio; existe la necesidad de explicitar las horas adicionales3, con fines de monitoreo y acompañamiento. MANUAL DEL DOCENTE una sesión de aprendizaje de dos horas pedagógicas de duración o dos sesiones de aprendizaje de una hora pedagógica cada una. 7 El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional puede ser desarrollado por el mismo profesor del área. En este caso, el docente tendrá una programación del área que garantice el logro de los aprendizajes en las horas habituales, explicitará los aprendizajes esperados a tratar en el marco del PEHLA, así como también explicitará en las sesiones de aprendizaje correspondientes al PEHLA cómo se va a fortalecer los aprendizajes logrados en el área. En el caso hipotético de que el docente del área no asuma las horas del PEHLA, es importante que los docentes de los dos espacios de aprendizaje mantengan un diálogo franco y abierto para sumar esfuerzos en el mejoramiento de los aprendizajes de los estudiantes. El profesor del área debe brindar información sobre la situación en que se encuentran los estudiantes y sugerir formas de cómo mejorarlas. Esto es de suma relevancia al iniciar el programa, pues no se puede hacer ninguna planificación de las sesiones de aprendizaje sin tener un diagnóstico de las experiencias que tienen los estudiantes. La coordinación es indispensable cuando se trata de la evaluación de los aprendizajes, porque los resultados obtenidos en el PEHLA forman parte de la evaluación general del área, tomándose en cuenta para los promedios de cada criterio de evaluación; por lo tanto, influyen en la promoción o repetición del grado. 1.4 ASPECTOS PRIORIZADOS EN EL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL En el marco del PEHLA, se debe tener en cuenta que estudiar nociones o conceptos matemáticos es equivalente a pensar en la solución de alguna situación problemática. Se debe enseñar a usar la matemática; esta afirmación es cierta por las características que presenta la labor matemática en donde la lógica y la rigurosidad permiten desarrollar un pensamiento crítico. La matemática tiene un valor formativo, dado que promueve el desarrollo del pensamiento lógico-matemático de los estudiantes; un valor instrumental, dado que provee al estudiante de capacidades, habilidades y destrezas que se traducen en el manejo preciso y eficaz de procesos operativos; y un valor social, como medio de comunicación. El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional ha focalizado su atención en el desarrollo de determinados aprendizajes, considerados como prioritarios para desarrollar las capacidades matemáticas de los estudiantes. Estos aprendizajes no son diferentes a los del Área de Matemática, sino que han sido extraídos del Diseño Curricular Nacional de la EBR para abordarlos con especial énfasis, de manera práctica y en situaciones reales. 8 Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional 2. EL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL Y EL ÁREA DE MATEMÁTICA 2.1 DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR El Diseño Curricular Nacional (DCN) se caracteriza por ser diversificable; es decir, abierto y flexible. Al proceso de ajuste, adecuación, complementación y enriquecimiento del DCN para atender a la diversidad existente en cada aula se denomina diversificación curricular. Para la realización de este proceso, se debe tener en cuenta las peculiaridades de cada ámbito geográfico. Por esa razón, para su aplicación a cada realidad, debe ser enriquecido y adecuado a las condiciones reales de cada institución educativa y, en especial, a las necesidades de aprendizaje de los estudiantes y a las necesidades, intereses y aspiraciones de la comunidad local. Existen determinados acontecimientos que ocurren en la localidad o que suceden en el contexto regional, nacional e internacional que tienen importancia y repercuten en los procesos pedagógicos porque, precisamente, se pueden utilizar como motivo para programar aprendizajes que se desarrollarán durante el año lectivo. Por ejemplo, la celebración de la fiesta patronal o el aniversario de creación de una determinada ciudad en la que han nacido nuestros padres (acontecimientos locales), las elecciones para el gobierno municipal o regional (acontecimientos regionales), la celebración de la independencia de nuestro país (evento nacional) o la realización de los juegos olímpicos o el campeonato mundial de fútbol (eventos internacionales), pueden aprovecharse en la programación curricular a partir de los aspectos priorizados por el Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional. Tanto para el caso de la programación anual como para la programación de unidades didácticas, la variable fundamental a considerar es el tiempo. En ambos casos, ese tiempo es de un año escolar, que suele ser dividido en bimestres o trimestres, según la opción que elija la institución educativa sobre este particular. El número de unidades didácticas que se programen guarda estrecha relación con el tiempo (número de horas pedagógicas) asignado a cada una de las áreas curriculares, además del tiempo efectivo que se disponga para el trabajo escolar, la complejidad del contenido, así como de la formulación pertinente de los aprendizajes esperados por cada unidad. 2.2 EL ÁREA DE MATEMÁTICA Y SU DIVERSIFICACIÓN Al presentar los contenidos temáticos del Área de Matemática se deben tener en cuenta las características y necesidades del ámbito geográfico donde se encuentra la institución educativa; las necesidades e intereses de aprendizaje de los estudiantes y el potencial económico regional (producción pecuaria, agrícola; vitivinícola, etc.). Cabe precisar que un primer paso para la diversificación curricular es la adecuación o contextualización de los contenidos a presentar; es decir, el desarrollo de las capacidades del Área de Matemática abordando situaciones problemáticas de la vida diaria (ámbito regional). Como sabemos, resolver situaciones problemáticas contextualizadas involucra procesos cognitivos de orden superior que permiten una diversidad de transferencias y aplicaciones a otras situaciones y áreas; y en consecuencia, proporciona grandes beneficios en la vida diaria; es decir se desarrolla y se afianza una identidad personal y regional. El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional preserva el enfoque y organización curricular del Área de Matemática, haciendo hincapié en el fortalecimiento de los aprendizajes que los estudiantes ya han logrado en el área. Es importante dejar en claro que los dos espacios son prácticos; por lo tanto, no se debe relacionar a uno con la teoría y al otro, con la práctica. MANUAL DEL DOCENTE 9 Si bien es cierto que desde el Área de Matemática se maneja una carpeta pedagógica (programación anual; unidades didácticas y sesiones de aprendizaje), se deben explicitar en cada unidad didáctica los espacios para tratar los aspectos priorizados por el PEHLA. 2.2.1 Programación Anual La experticia docente tiene como principales características: el manejo de la información de su área, ser asertivo, identificar las necesidades, intereses y perfiles de sus estudiantes y la voluntad de optimizar los procesos pedagógicos. Son estos rasgos los que hacen de los docentes los principales actores del proceso de elaboración de los carteles curriculares diversificados4 (cartel de contenidos y cartel de capacidades), los cuales convergen en la Programación Anual. A continuación, se presenta un ejemplo de programación anual en la que se identifican proyectos de investigación relacionados a los procesos productivos y flujo comercial. PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL I. INFORMACIÓN GENERAL Institución educativa Área Grado Horas semanales Profesor II. PRESENTACIÓN La institución educativa “Paulo Freire” presenta, en el Área de Matemática, un conjunto de actividades para que los estudiantes experimenten diversas y variadas situaciones –relacionadas entre sí –que los lleven a realizar con gusto las tareas matemáticas, desarrollar hábitos mentales matemáticos y entender y apreciar el rol que la matemática cumple en situaciones de la vida cotidiana. III. PROPÓSITOS DEL GRADO - Interpreta el resultado obtenido al resolver una situación problemática de la vida diaria. RAZONAMIENTO Y - Realiza abstracciones a través del descubrimiento de regularidades numéricas DEMOSTRACIÓN en el plano y el espacio. - Interpreta la información estadística recopilada. Comprende el azar y su medida a partir de experimentos aleatorios reales. - Modela e interpreta representaciones gráficas de objetos tridimensionales en el plano, figuras en el plano, áreas superficiales y sólidos de revolución, así como histogramas, polígonos de frecuencia y ojivas. - Argumenta gráficamente, la solución a una situación problemática de la vida cotidiana. - Modela y resuelve situaciones problemáticas que requieren de ecuaciones e inecuaciones polinomiales, sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables, variables estadísticas, histogramas, polígonos de frecuencia y medidas de tendencia central, así como figuras en el plano, áreas superficiales y sólidos de revolución. : “Paulo Freire” : Matemática : 3ro secundaria : 7 horas pedagógicas5 : Augusto Palmas Zabala Se espera que el estudiante desarrolle las capacidades del Área de Matemática de Educación Secundaria al enfrentar situaciones problemáticas que constituyan retos y que pongan en juego un conocimiento matemático relevante. Hay que tener en cuenta que una situación problemática dada puede necesitar de más de una estrategia, lo cual se debe explicitar al implementar la hora lectiva adicional. COMUNICACIÓN MATEMÁTICA 4Hacemos explícito que la elaboración de sendos carteles es de suma utilidad para el docente en la elaboración e implementación del proceso de diversificación curricular explicitado en la programación anual. 5En el marco del Programa Especial de dos horas lectivas adicionales para el Área de Matemática. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS IV. TEMAS TRANSVERSALES Y VALORES TEMAS TRANSVERSALES Educación para el emprendimiento Educación para la calidad de vida Educación para la identidad local VALORES Laboriosidad Honestidad Solidaridad Responsabilidad Respeto Tolerancia V. ORGANIZACIÓN DE LAS UNIDADES DIDÁCTICAS NÚMERO DE UNIDAD N°1 TIPO DE UNIDAD Unidad de aprendizaje Proyecto de aprendizaje Unidad de aprendizaje Unidad de aprendizaje Proyecto de aprendizaje Unidad de aprendizaje CRONO-GRAMA (trimestres) I Actividades productivas de Tembladera y la solución de ecuaciones e inecuaciones. El flujo comercial de Tembladera y la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Nociones geométricas del plano y los recursos naturales de Yonán. Características geométricas de la Perla del Jequetepeque. La noción de espacio y medida y los recursos naturales de Yonán. Recogida de data y probabilidad de sucesos en Tembladera. 08 semanas 06 semanas 05 semanas 10 semanas 04 semanas 07 semanas II III TÍTULO DE LA UNIDAD TIEMPO N°2 N°3 N°4 N°5 N°6 VI. ESTRATEGIAS GENERALES DEL ÁREA Y MATERIALES ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS Método de proyectos Método demostrativo Método inductivo/deductivo Técnicas grupales Dinámicas motivacionales Investigación bibliográfica MEDIOS Y MATERIALES Fólder y papel bond tamaño A4 Juego de escuadras Lápiz, tajador y borrador Papelógrafos Plumones de papel Cinta maskingtape VII. ORIENTACIONES PARA LA EVALUACIÓN - La evaluación será permanente e integral. En cada unidad didáctica se evaluará las tres capacidades priorizadas del área. - El calificativo del trimestre (CT) se obtiene mediante promedio simple de los criterios de MANUAL DEL DOCENTE 11 calificación (capacidades de área y actitud ante el área): ; donde NCi: nota de la capacidad i (i ∈{1;2;3}), NAm: nota de la actitud frente al área. -El calificativo anual (CA) se obtiene mediante promedio simple de los tres trimestres: ; donde CTi : nota del trimestre i (i ∈{1;2;3}) - La evaluación de la actitud ante el área se realizará mediante una lista de cotejo de actitudes. - La autoevaluación y la coevaluación tendrán carácter formativo para identificar avances y dificultades. - Los instrumentos que se aplicarán son pruebas de opción múltiple, pruebas de desarrollo, listas de cotejo, fichas de cotejo o verificación, mapas conceptuales y trabajos de investigación realizados por los estudiantes. VIII. BIBLIOGRAFÍA ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Texto del estudiante de 3º de secundaria. Manual del docente de 3º de secundaria. Módulo de biblioteca: Matemática aplicada a situaciones de la vida cotidiana. Guía para el desarrollo del pensamiento a través de la Matemática. OTP de Matemática. Páginas web relacionadas a los contenidos de las unidades de aprendizaje. 2.2.2 Unidad Didáctica En relación a la elaboración de la unidad didáctica, es muy importante tener en cuenta la pertinencia del número o cantidad de aprendizajes esperados formulados por unidad didáctica. Además, no existe una receta o fórmula que exprese cuál es la cantidad de aprendizajes esperados que se deben formular por unidad didáctica. En ese sentido, es inadecuado considerar que una determinada unidad didáctica no está bien elaborada porque tiene, por ejemplo, sólo tres aprendizajes esperados formulados. Sin embargo, por cuestiones metodológicas inherentes a nuestra labor pedagógica y por la dinámica de la misma no se sugiere atiborrarnos de una cantidad considerable de aprendizajes esperados; dado que existe el riesgo que nuestra labor pedagógica se restrinja sólo a aplicar instrumentos de evaluación. Asimismo, formular de manera pertinente los aprendizajes esperados por unidad didáctica nos va a permitir decantar, con naturalidad y sin dificultad, nuestras sesiones de aprendizaje en el marco del PEHLA. A continuación, se presenta un ejemplo de unidad didáctica. UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº06 I. INFORMACIÓN GENERAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA GRADO Y SECCIÓN ÁREA CURRICULAR HORAS SEMANALES PROFESOR DEL ÁREA : “ PAULO FREIRE” : 3ro secundaria : Matemática : 7 horas pedagógicas6 : Augusto Palmas Zabala 6En el marco del Programa Especial de dos horas lectivas adicionales para el Área de Matemática. II. TÍTULO DE LA UNIDAD Recogida de data y probabilidad de sucesos en Tembladera. III. JUSTIFICACIÓN La presente unidad tiene como propósito que los estudiantes recopilen información estadística, discriminen información relevante, infieran información nueva a partir de datos explícitos y emitan apreciaciones personales. Tener en cuenta que la presentación de la Estadística comienza como una metodología de recopilación, presentación e interpretación de datos. Es decir, se debe garantizar la recopilación y organización de datos, representación e interpretación de tablas y gráficas estadísticas. Asimismo, se explicita la manera como pueden tratarse matemáticamente situaciones inciertas y graduar la mayor o menor probabilidad de ciertos sucesos o eventos; así como los aspectos priorizados por el PEHLA relacionados a los aprendizajes esperados formulados. Los estudiantes deben ser capaces de tomar decisiones pertinentes frente a fenómenos aleatorios. La interpretación de datos y la estadística permiten a los estudiantes establecer conexiones y/o relaciones para la solución de problemas. IV. CAPACIDADES FUNDAMENTALES PRIORIZADAS ˙ Toma de decisiones ˙ Solución de problemas V. TEMA TRANSVERSAL ˙ Educación para la identidad local VI. VALORES Y ACTITUDES Actitudes Actitud frente al área Comportamiento Asume la conducción de su equipo y Aplica normas de higiene en su planifica la ejecución de sus tareas. presentación personal. Responsabilidad Cumple con las tareas académicas Contribuye con la conservación encomendadas. del orden e higiene del aula. Permanece en la institución educativa. Es perseverante en la ejecución de las Lidera y organiza el equipo, tareas académicas consulta frecuentemente. Asume los errores con naturalidad. Laboriosidad Se esfuerza por mejorar en la Muestra entusiasmo y dedicación presentación de sus tareas. al trabajar. Reacciona positivamente ante Persiste a pesar de los errores. las dificultades. Valores MANUAL DEL DOCENTE 13 VII. DEFINICIÓN DE LOS APRENDIZAJES ESPERADOS. Cronograma por semanas del tercer trimestre 1 Discrimina variables estadísticas Elabora tablas de distribución de frecuencias Elabora diagramas de barras y sectores circulares, histogramas, polígonos de frecuencias y ojivas Interpreta diagramas de barras y sectores circulares, histogramas, polígonos de frecuencias y ojivas Interpreta medidas de tendencia central Identifica sucesos y espacios muestrales Interpreta la probabilidad de un suceso Interpreta la esperanza matemática 2 3 4 5 6 7 Aprendizajes esperados VIII. EVALUACIÓN La evaluación en cada área se realizará a partir de las matrices correspondientes. Sin pérdida de generalidad, debemos explicitar siempre el carácter formativo de las evaluaciones. CRITERIO DE EVALUACIÓN INDICADORES INSTRUMENTOS RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Identifica variables cualitativas y cuantitativas en una muestra local7. Prueba de opción Identifica variables discretas y continuas en una múltiple. muestra local. Identifica espacios muestrales a partir de un Mapas conceptuales. conjunto de experimentos aleatorios. Identifica sucesos a partir de una data local. Elabora tablas de distribución de frecuencias a partir Prueba de desarrollo. de una data local. Elabora diagrama de barras y sectores circulares Fichas de cotejo o (pye), histogramas, polígonos de frecuencias y ojivas verificación. a partir de una data local. Interpreta medidas de tendencia central en Prueba de desarrollo situaciones problemáticas de la vida diaria8. y de opción múltiple. Interpreta la probabilidad de un suceso en situaciones problemáticas de la vida diaria. Fichas de cotejo o Interpreta la esperanza matemática en situaciones verificación. problemáticas de la vida diaria. 7Entendemos por COMUNICACIÓN MATEMÁTICA muestra o data local al conjunto de recursos naturales, potencialidades turísticas, cultura y folklore de la ciudad de Tembladera. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 8Entendemos por situaciones problemáticas de la vida diaria al conjunto de actividades agrícolas, pecuarias y artesanales así como al flujo comercial de la ciudad de Tembladera. 14 Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional CRITERIO DE EVALUACIÓN INDICADORES INSTRUMENTOS Es perseverante en la ejecución de las tareas académicas. Se esfuerza por mejorar la presentación de sus tareas. ACTITUD ANTE EL Persiste a pesar de los errores. ÁREA Asume la conducción de su equipo y planifica la ejecución Lista de cotejo de sus tareas. Cumple con las tareas académicas encomendadas. Asume los errores con naturalidad. IX. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA. ˙ ˙ ˙ ˙ Manual del docente de 3º de secundaria. Texto del estudiante de 3º de secundaria. Páginas web relacionadas a los contenidos de las unidades de aprendizaje. Guía para el desarrollo del pensamiento a través de la Matemática. 2.2.3 La articulación de componentes Otro elemento a tener en cuenta en el enfoque de desarrollo de capacidades en el Nivel de Educación Secundaria está vinculado a la articulación pertinente, mas no artificial ni arbitraria, de contenidos en las unidades didácticas. Partimos de la premisa de que el docente tiene un cúmulo de información relacionada a su área y la administra con idoneidad. Además, teniendo en cuenta que el docente principalmente ha de constituirse en mediador de los procesos de aprendizaje de los estudiantes para el desarrollo de las capacidades del área, así como para la comprensión y uso de conocimientos matemáticos, existe la necesidad de explicitar la articulación de los componentes del área de manera natural. Asimismo, queda claro que en el enfoque de desarrollo de capacidades los contenidos temáticos son importantes; en tanto y en cuanto nos sirvan como insumos para el logro de los aprendizajes esperados formulados en cada unidad didáctica y, en consecuencia, para el desarrollo de las capacidades del área. Por ejemplo, la geometría es el resultado de una interacción entre el mundo real y nuestra capacidad de abstracción; es decir, el componente Geometría y medida debe integrarse (al igual que los componentes Número, relaciones y funciones; Estadística y probabilidad), cuando sea posible, con los otros componentes; lo cual implica planificar, presentar y evaluar los distintos contenidos del Área de Matemática que enseñamos. A continuación se presenta un ejemplo que aborda, de manera natural, la resolución de problemas teórico-prácticos vinculados a situaciones de la vida diaria: Situación problemática9.- La relación entre el peso de una persona y su edad es una relación lineal, como se muestra en el gráfico adjunto. ¿Cuál fue el peso de esta persona a los ocho años? EDAD (años) 9Resulta importante que el estudiante tenga la oportunidad de evaluar más de una estrategia de solución. Solución 01: Función Lineal.- Se tiene como información un segmento de recta cuya pendiente es igual a: m = 48 - 3 = 45 = 3 Sea p0 = (0;3) 15 - 0 15 un punto de paso, entonces: y - 3 = 3(x-0)⇒ y = 3x + 3 ⇒ ƒ(x) = 3x + 3 Haciendo x = 8: ƒ(8) = 3(8) + 3 = 27; es decir, a los ocho años de edad su peso fue de 27 kg. Solución 02: Semejanza de triángulos.- A partir del segmento de recta se establece la siguiente relación de igualdad: 48 - h = h - 3 ⇒ h = 27; 7 8 donde el par ordenado (8; h) pertenece al segmento de recta. Entonces, se puede afirmar que a los ocho años de edad su peso fue de 27 kg. 2.3 EL ÁREA DE MATEMÁTICA Y EL DESARROLLO DE CAPACIDADES Con la finalidad de tener un marco teórico orientador para operativizar los logros educativos el Nivel de Educación Secundaria de la Educación Básica Regular (EBR), asume que las capacidades son potencialidades inherentes a la persona y que ésta puede desarrollarlas a lo largo de toda su vida, dando lugar a la determinación de los logros educativos. Sendas capacidades se cimientan en la interrelación de procesos cognitivos, socio afectivos y motores. Al ser desarrolladas, las capacidades permiten al estudiante egresado de la EBR enfrentar con éxito contextos, problemas y desempeños de la vida cotidiana en el ámbito privado, social o profesional. Las capacidades se pueden desarrollar a lo largo de toda la vida; es decir, tienen un desarrollo continuo desde que el hombre nace hasta que muere. Este proceso se realiza mediante la educación formal, la educación no formal y la experiencia cotidiana, al solucionar problemas y en la búsqueda de la satisfacción de las necesidades. De lo expuesto se desprende que las capacidades se desarrollan a través de dos modalidades: aprendizaje directo y aprendizaje mediado. ˙ El aprendizaje directo se realiza mediante la exposición directa del organismo a los estímulos que provee el contexto; es decir, una capacidad que se desarrolla en la vida diaria, cuando solucionamos problemas y necesidades reales. ˙ La experiencia del aprendizaje mediado se realiza por la acción de un mediador (padre, educador, tutor u otra persona relacionada con el sujeto), quien desempeña un rol fundamental 16 Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional en la selección, organización y presentación de los estímulos provenientes del exterior, que permitan la interacción activa entre el individuo y los estímulos para facilitar su comprensión, interpretación y utilización por parte del estudiante. Durante el aprendizaje o en la vida diaria las capacidades se manifiestan a través de un conjunto de procesos cognitivos, socio afectivos y motores relacionados entre sí; asimismo se expresan de distintas formas y grados de complejidad, según las características de las etapas de desarrollo del ser humano. Por ello los sistemas educativos generan diversos niveles de logros de aprendizaje. En el caso de la EBR se han determinado logros de nivel, logros de ciclo, propósitos de grado y aprendizajes esperados en función de capacidades. La formulación de los logros educativos demanda no sólo tener claridad en la conceptualización de las capacidades que se pretende desarrollar. Es indispensable, además, la precisión en los procesos cognitivos, motores y socioafectivos que involucra su manifestación en determinados niveles de desarrollo y, sobre todo, la plena conciencia de que no es lo mismo realizar sesiones de aprendizaje para desarrollar contenidos que realizar sesiones de aprendizaje orientadas al desarrollo de capacidades. 2.3.1. Los procesos pedagógicos Partimos de la premisa de que el docente aprende mientras enseña. Se debe propiciar en el estudiante un interés permanente por desarrollar capacidades matemáticas que le van a ser de utilidad en su futuro profesional o técnico, al concluir sus estudios. En una sociedad en la cual la información cuantitativa y sus representaciones tienen una presencia cada vez mayor, es de vital importancia desarrollar la habilidad para expresar ideas matemáticas en forma coherente. Resulta importante explicitar en los procesos pedagógicos, de manera natural, las razones por las cuales se han elegido un conjunto de procedimientos en particular (toma de decisiones) al realizar una determinada actividad. Ello implica seleccionar una determinada estrategia de aprendizaje. Bajo esta mirada, elegir y aplicar una estrategia supone algo más que el dominio o manejo de un conjunto de algoritmos en la resolución de un problema. En relación a los procesos pedagógicos10, podemos hacer mención a los siguientes: 2.3.1.1 La Motivación. Es el proceso permanente mediante el cual el docente crea las condiciones propicias para mantener el interés del estudiante por su aprendizaje. Se parte de la premisa de que el docente, para motivar, orienta los propósitos, contenidos y actividades de aprendizaje en función de los intereses y necesidades de los estudiantes. Asimismo, diseña actividades y procedimientos que permiten alcanzar los propósitos de aprendizaje y las metas personales de los estudiantes de manera clara y fluida. Uno de los desafíos del docente de matemática es hacer interesantes las sesiones de aprendizaje, sin prescindir de la rigurosidad teórica propia del Área de Matemática. Se debe explicitar que hacer matemática es una actividad muy distinta que el restringirse a desarrollar ejercicios en el aula. Por ejemplo, es diferente para un estudiante resolver el siguiente triángulo: 10Se debe tomar en que obtener la solución del siguiente enunciado: Un avión es observado por dos personas que se encuentran a 300 metros de distancia una de la otra. Cuando el avión pasa por la recta que los une, cada observador mide el ángulo de elevación al avión, como indica la figura adjunta. ¿A qué distancia del avión se encuentran las personas en dicho momento? El docente debe orientar a los estudiantes en relación a la investigación y las posibles aplicaciones de tópicos del Área de Matemática que se presentan y desarrollan en la programación curricular. Existe la necesidad de tomar conciencia de las aplicaciones, bagaje histórico, significado e importancia actual de la matemática que se presenta y trabaja en las sesiones de aprendizaje. A continuación, presentamos un ejemplo: Bagaje histórico.- Carl Friedrich Gauss fue uno de los genios matemáticos dotados de una excelente habilidad con los números. A la edad de tres años se cuenta que corrigió la nómina de los empleados de su padre. Un día en la escuela cuando tenía 10 años, el maestro propuso como ejercicio sumar los 100 primeros números consecutivos. Gauss usó un método sencillo: ˙ La suma 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . + 97 + 98 + 99 + 100, la escribió de la siguiente forma: ˙ (1+100) + (2+99) + (3+ 98) + . . . . . . + (50+51) ˙ 101 + 101 + 101 + . . . . . . + 101 = 50 x 101 = 5050 cuenta que estos procesos pedagógicos son recurrentes y no tienen categoría de momentos fijos. Cuando, al cabo de una hora, acabaron sus compañeros, el maestro comprobó sorprendido que el resultado de Gauss que aparecía en la pizarra era el correcto. El maestro quedó tan impresionado que de su propio bolsillo compró un libro de aritmética y se lo regaló a Gauss, quien rápidamente lo devoró. 2.3.1.2 Los saberes previos. Se construyen a partir de las experiencias del estudiante al querer explicar algún hecho o fenómeno cotidiano del mundo que le rodea. En algunas ocasiones son explicaciones que cada quien genera para una mejor comprensión de algún hecho o fenómeno; por ende, no necesariamente los saberes previos tienen sustento científico. Tener en cuenta que un aprendizaje es significativo cuando los contenidos son relacionados de manera natural (no arbitrario) y sustancial con los saberes previos de los estudiantes. A continuación, se presenta un ejemplo: Función cuadrática (cuarto grado de secundaria).- Sin pérdida de generalidad, podemos afirmar que la Geometría Cartesiana consiste –básicamente– en interpretar ideas o nociones geométricas mediante ideas algebraicas; por ejemplo, la solución de ecuaciones. Resolver algebraicamente la ecuación x2 + x - 6 = 0 implica el siguiente proceso: x2 + x - 6 = 0 (x - 2)(x + 3) = 0 (x - 2 = 0) v (x+3 = 0) x = 2 v x = -3 C.S. = {2; -3} Geométricamente, implica graficar las funciones f(x) = x2 + x – 6 y g(x) = 0, luego identificar los pares ordenados (puntos de intersección) tales que pertenezcan tanto a f como a g y, finalmente, seleccionar las abscisas de sendos pares ordenados como solución. Gráficamente: Es decir, la Geometría Cartesiana hace uso de la notación, propiedades y resultados algebraicos. De allí que se necesite como saberes previos del tema Funciones cuadráticas la información referente a: ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Plano Cartesiano Definición de función. Regla de correspondencia Gráfica de una función en el plano cartesiano Resolución de ecuaciones de segundo grado Valor numérico Cabe precisar que los contenidos temáticos mencionados involucran un conjunto de capacidades específicas desarrolladas, a la par, en el estudiante. 2.3.1.3 El conflicto cognitivo. Se produce cuando el estudiante, por ejemplo, se enfrenta con una situación que no puede comprender o explicar en su totalidad. Es decir, cuando ocurre un desequilibrio de las estructuras mentales (los sicólogos hablan de una disonancia cognitiva). El conflicto cognitivo es el catalizador para que se produzca el aprendizaje. Está presente en cada una de las actividades de aprendizaje. Por ejemplo, cuando un estudiante se enfrenta a una situación problemática novedosa a la que no puede dar solución y –a lo más– se queda en el planteamiento. Veamos el siguiente caso: Enigma (primer grado de secundaria).- Beremiz y un amigo, camino a Bagdad, socorren en el desierto a un rico jeque, que había sido asaltado, y fraternalmente conparten con él su comida, que consistía en ocho panes: cinco de Beremiz y tres del amigo. Al llegar a su destino, el jeque los recompensa con ocho monedas de oro: cinco para Beremiz y tres para el amigo. Todos entonces se sorprenden con la suave protesta de Beremiz; según él, la manera justa de repartir las ocho monedas sería dando apenas una a su amigo y siete para él. ¿Cuál es el proceso aritmético aplicado por Beremiz para justificar su distribución de monedas? 2.3.2 Las sesiones de aprendizaje.11 Al elaborar la sesión de aprendizaje se deben tener en cuenta estrategias que propicien un aprendizaje por descubrimiento y el trabajo en equipo, de manera tal que el estudiante participe activamente en la construcción de su propio 11Se entiende la se- -3 sión de aprendizaje como la interacción, en tiempo real, entre el docente y los estudiantes con la finalidad de desarrollar y lograr determinados aprendizajes. aprendizaje. Asimismo, deberán utilizarse de manera adecuada los recursos educativos con que se cuenta (texto del estudiante, manual del docente, bibliografía del área, orientaciones para el trabajo pedagógico); y considerar la evaluación como un proceso permanente, con sus respectivos instrumentos de medición. La estructura sugerida de una sesión de aprendizaje está compuesta de: ˙ Aprendizaje esperado: los aprendizajes esperados están orientados al desarrollo de capacidades y propician el desarrollo de actitudes. ˙ Secuencia Didáctica: se diseña en términos de actividades de aprendizaje seleccionadas en función de los procesos cognitivos o motores de la capacidad específica. ˙ Evaluación (indicadores): regula el proceso de aprendizaje. Se deben explicitar los criterios, indicadores, técnicas y, de ser el caso, los instrumentos. En algunas ocasiones genera un calificativo, en otras no. Sabemos a partir de nuestra labor docente y el DCN, que el desarrollo de capacidades implica apelar a constructos pedagógicos (aprendizajes esperados e indicadores) que guarden coherencia interna. Asimismo, dado que el desarrollo de una capacidad específica implica un conjunto de procesos mentales (y, por ende, cierto grado de complejidad) debemos tener en cuenta la gradualidad de los procesos mentales involucrados. Es necesario explicitar que no se pueden identificar todos los procesos mentales involucrados en el desarrollo de una capacidad específica (una aproximación formal se puede dar desde la Neurociencia). Apelando a una figura literaria – la metáfora – podemos afirmar que el desarrollo de una capacidad específica es como ascender una escalera; esto es comparable a la acción de subir un número finito de peldaños de una escalera atendiendo la gradualidad de los procesos mentales involucrados. Es decir, tenemos que subir sendos peldaños gradualmente. 2.3.2.1. Por ejemplo, analizar una función cuadrática, implica que debemos asegurarnos previamente que nuestros estudiantes han logrado u obtenido –al menos– los siguientes aprendizajes esperados: ˙ ˙ ˙ ˙ Identifica funciones cuadráticas. Elabora gráficas de funciones cuadráticas. Infiere el comportamiento de funciones cuadráticas. Interpreta funciones cuadráticas. Dado que, por ejemplo, la capacidad específica IDENTIFICA se entiende como la capacidad para ubicar en el tiempo, en el espacio o en algún medio físico elementos, partes, características, personas, indicaciones u otros aspectos; en nuestro caso el aprendizaje esperado identifica funciones cuadráticas implica: MANUAL DEL DOCENTE 19 Regla de correspondencia: f(x) = ax2+bx+c Búsqueda y recepción de la información Características: i) Polinomio en una variable ii) Grado absoluto 2 Caracterización Función Cuadrática Expresión o reconocimiento También: Gráfica en el plano: 3 2 1 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 1 2 Características: i) Vértice (h; k) ii)Eje de simetría iii) Concavidad Caracterización Función Cuadrática Expresión o reconocimiento Búsqueda y recepción de la información Como podemos observar la capacidad IDENTIFICA se manifestó o desarrolló mediante un conjunto de procesos cognitivos. Sin embargo, no se pretende afirmar que el desarrollo de la capacidad IDENTIFICA involucra sólo tres procesos cognitivos; éstos pueden ser más o menos dependiendo de la complejidad del contenido que se utiliza como medio para desarrollar la capacidad. Tampoco se pretende manifestar que éstos son procesos independientes; por el contrario, están relacionados entre sí y ocurren en forma simultánea en muchos de los casos. Asimismo, no pretendemos señalar que el desarrollo de la capacidad es sólo consecuencia exclusiva de los procesos cognitivos, sino también está supeditada a procesos afectivos, motores y valorativos. 2.3.2.2 Teniendo en cuenta lo expresado en 2.3.2 y en el marco del Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional (PEHLA) se debe evidenciar en las sesiones de aprendizajes: ˙ Planteamiento de interrogantes que propicien el razonamiento riguroso. ˙ Situaciones problemáticas relacionadas a los contenidos. ˙ Resolución de problemas teórico-prácticos vinculados a la vida diaria. ˙ Elaboración de organizadores visuales. 20 ˙ Recopilación de data vinculada a las características del ámbito geográfico local. ˙ Razonamiento inferencial. ˙ Proyectos de investigación relacionados a procesos productivos y flujo comercial. ˙ Identificar costos y beneficios en el desarrollo de proyectos. ˙ Elementos de contabilidad básica. ˙ Modelización matemática 2.3.2.3 Supongamos que ya hemos presentado la información relacionada con el contenido Funciones cuadráticas (texto del estudiante de 4º de secundaria: páginas 21 - 26). Luego de presentar la información sobre Funciones cuadráticas –en cinco horas lectivas– y teniendo en cuenta que los estudiantes están en la capacidad de: ˙ Identificar funciones cuadráticas a partir de su regla de correspondencia. ˙ Identificar funciones cuadráticas en el plano cartesiano. ˙ Inferir el comportamiento de funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo o su punto de mínimo. ˙ Interpretar funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo o su punto de mínimo. Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional De 2.3.2.1 y 2.3.2.2 y partiendo de la premisa que como docentes planificamos nuestras sesiones de aprendizaje –al menos– con una semana de anticipación se propone, a continuación, una sesión en el marco del PEHLA: SESIÓN DE APRENDIZAJE (PEHLA)12 I. Aprendizaje esperado: Analiza funciones cuadráticas II. Secuencia didáctica: El docente propone y resuelve, en el marco del PEHLA, una situación problemática que se puede modelar mediante la gráfica de una función cuadrática: Situación problemática.- Suponga que el gerente de una empresa que produce y vende CD’s multimedia educativos ha determinado que su función utilidad se modela mediante la regla de correspondencia U(x)=4x-x2; donde U está expresada en miles de dólares y x está expresada en miles de CD’s producidos y vendidos. A partir de la gráfica adjunta de la función Utilidad U nos piden determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: ˙ ˙ ˙ ˙ Al producir y vender 2000 CD se hace máxima la utilidad. La utilidad máxima es $ 4000. La utilidad es la misma al producir y vender 1000 CD que producir y vender 3000 CD. U(1,8) < U(3). 12Tiempo: 2 horas pedagógicas. La estructura sugerida de una sesión de aprendizaje es: Aprendizaje esperado; Secuencia Didáctica y Evaluación (indicadores). A partir de la gráfica adjunta de la función Utilidad U nos piden determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: ˙ ˙ ˙ ˙ Al producir y vender 2000 CD se hace máxima la utilidad. La utilidad máxima es $ 4000. La utilidad es la misma al producir y vender 1000 CD que producir y vender 3000 CD. U(1,8) < U(3). A continuación, se sugiere que los estudiantes –en equipo– resuelvan de su texto las siguientes situaciones problemáticas: 127; 128 y 129 (página 26). Seguidamente, el docente interactúa con los distintos equipos de trabajo conformados. Se invita a los diferentes equipos a exponer sus resultados; asimismo, se propicia el intercambio de opiniones entre los estudiantes, lo cual implica la toma de decisiones, comparación y selección de la respuesta apropiada para los requerimientos planteados y comunicación de los alcances de su trabajo desde la modelación matemática con funciones cuadráticas. III. Evaluación (indicadores): Finalmente, teniendo en cuenta que la evaluación es de carácter formativo para regular el proceso de aprendizaje y está dirigida a verificar los avances o dificultades en el desarrollo de los aprendizajes, se solicita a los estudiantes –de manera individual– resolver la siguiente Ficha de Verificación (se entregan dos Fichas de Verificación Fila A y Fila B): Fila A Enunciado 1. Formula el ingreso I como una función de x: I(x) = p.x I(x) 500 400 El precio p y la cantidad vendida x de cierto producto cumplen la ecuación de demanda x= -5p + 100; 0 ≤ x ≤ 100 . 300 2. Elabora la gráfica del ingreso I en el plano cartesiano (primer cuadrante) 200 100 x 20 40 60 80 100 3. Discrimina el número de artículos que debe venderse para maximizar el ingreso. 4. Identifica el ingreso máximo. 5. Infiere datos implícitos a partir de la regla de correspondencia y de la gráfica de la función I. 22 Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional Fila B Enunciado 1. Formula el ingreso I como una función de p: I(p) = p.x I(p) 500 400 El precio p y la cantidad vendida x de cierto producto cumplen la ecuación de demanda x= -5p+ 100; 0 ≤ p ≤ 20 . 2. Elabora la gráfica del ingreso I en el plano cartesiano (primer cuadrante) 300 200 100 p 4 8 12 16 20 3. Discrimina el precio que debe fijarse para maximizar el ingreso. 4. Identifica el ingreso máximo. 5. Infiere datos implícitos a partir de la regla de correspondencia y de la gráfica de la función I. Como vemos, en esta sesión de aprendizaje el docente ha mediado para que los estudiantes puedan inferir datos implícitos a partir de la regla de correspondencia de una función cuadrática dada. Es decir, apelando a la metáfora de la ascensión de la escalera, tenemos: FORMULA INFIERE IDENTIFICA DISCRIMINA ELABORA Dado que la capacidad específica FORMULA se entiende como la capacidad que permite interrelacionar elementos para presentar resultados, nuevas construcciones o solucionar problemas; en nuestro caso de la Ficha de Verificación (Fila A), implica: Variables: Enunciado de la Ficha de Verificación A I: función ingreso x: nº de artículos p: precio Identificación de los elementos Interrelación de elementos Presentación de la interrelación Búsqueda y recepción de la información 2.3.3 ¿Gradualidad o jerarquización de capacidades? Considerando que cada sesión de aprendizaje es una situación única e irrepetible13 y apelando a la perspectiva sincrónica y diacrónica14 se puede afirmar que en una sesión de aprendizaje –en un tiempo dado– convergen (sincronía) un conjunto de procesos pedagógicos: motivación permanente, recuperación de saberes previos, conflicto cognitivo, procesamiento de la información, evaluación, retroalimentación, metacognición, entre otros. Asimismo, dado que en el enfoque de desarrollo de capacidades se tiene en cuenta la complejidad del aprendizaje esperado, en dicha sesión de aprendizaje se debe evidenciar la gradualidad (diacronía) de los procesos mentales involucrados en el desarrollo de una capacidad específica. Sin embargo, si bien es cierto que la gradualidad implica cierta jerarquización de los procesos, ésta –obviamente– no es absoluta. Por ejemplo, de la ascensión de la escalera dada en 2.3.2.1: ANALIZA INTERPRETA INFIERE ELABORA IDENTIFICA Como se observa, la capacidad ELABORA se ubica un peldaño inmediato posterior a IDENTIFICA. No obstante, como consecuencia del instrumento elaborado en 2.3.2.3 tenemos que: INFIERE IDENTIFICA DISCRIMINA ELABORA FORMULA La capacidad IDENTIFICA se ubica dos peldaños inmediatamente posteriores a la capacidad ELABORA; por lo que no es necesariamente cierto que la capacidad específica IDENTIFICA sea más compleja que la capacidad específica ELABORA o que la capacidad específica ELABORA sea más simple que la capacidad específica IDENTIFICA. Lo expresado es evidencia de la riqueza del enfoque de desarrollo de capacidades, dado que no se parte de una suerte de taxonomía de los aprendizajes a rajatabla. 2.3.4. Las Experiencias de Aprendizaje Una Experiencia de Aprendizaje es una actividad que se orienta intencionalmente a la generación de procesos cognitivos o mentales para el desarrollo de capacidades y actitudes, así como la construcción de conocimientos. Las actividades presentadas implican que los estudiantes experimenten diversas y variadas situaciones relacionadas entre sí, que los lleven a realizar con gusto las tareas matemáticas, desarrollar hábitos mentales matemáticos y en24 Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional tender y apreciar el rol que la matemática cumple en situaciones de la vida cotidiana. Así, se pretende que los estudiantes: ˙ Se animen a explorar, realicen estimaciones e inclusive cometan errores y los corrijan de manera que ganen confianza en su propia capacidad de dar respuesta a situaciones problemáticas. ˙ Puedan leer, escribir, debatir y elaborar conjeturas sobre situaciones problemáticas reales; es decir, que formulen hipótesis, las verifiquen y elaboren argumentos sobre la validez de las hipótesis formuladas. ˙ Comprendan su entorno haciendo matemática de manera activa. Se espera que el estudiante desarrolle las capacidades del Área de Matemática de Educación Secundaria al enfrentar situaciones problemáticas que se constituyan en un reto y que pongan en juego conocimientos matemáticos relevantes. Hay que tener en cuenta que una situación problemática 13La sesión de aprendizaje del cuarto grado de secundaria de la sección A no es la misma que la del cuarto grado de secundaria de la sección B; aún tratando el mismo contenido por primera vez o planteando el mismo aprendizaje esperado. 14DE SAUSSURE, Ferdinand. Curso de Lingüística General. dada puede necesitar más de una estrategia. Cada docente puede realizar las adaptaciones o modificaciones pertinentes, siempre y cuando tome en cuenta los recursos disponibles y la realidad de su institución educativa: currículo diversificable. A fin de que la comprensión de los estudiantes sea más profunda y duradera, se ha de proponer situaciones problemáticas –bajo el rótulo de Experiencias de Aprendizaje– cuya solución les posibilite conectar ideas matemáticas. Así, pueden identificar conexiones matemáticas en la interacción entre contenidos matemáticos, en contextos que relacionan la matemática con otras áreas y en sus propios intereses y experiencias. De este modo se posibilita además que se den cuenta de la utilidad de la matemática. 2.3.5. Uso de recursos educativos Dado que los docentes son los encargados de mediar en los aprendizajes de los estudiantes empleando todos los recursos a su alcance para cumplir con esta responsabilidad, nuestro punto de partida es la optimización del uso de los recursos educativos (texto del estudiante, manual del docente, guías, OTP de Matemática, etc.) durante los procesos pedagógicos. Hay que tener en cuenta que no es suficiente que los recursos educativos lleguen a las instituciones educativas, existe la necesidad de que los recursos educativos lleguen a las aulas y sean utilizados tanto por docentes como por estudiantes; para lo cual se necesita que el docente tenga conocimiento de: ˙ Estrategias que activen los procesos cognitivos y afectivos de los estudiantes. ˙ Actividades que propicien el desarrollo de la curiosidad y el interés en el área que enseña. ˙ La bibliografía existente en el CRE; por ejemplo, los módulos de biblioteca. ˙ Información de la(s) disciplina(s) teórica(s) vinculada(s) con el Área de Matemática. El MED desarrolla un programa de entrega gratuita de textos para los estudiantes en seis áreas curriculares de secundaria, entre ellas Matemática. Asimismo, cada docente recibe un Manual correspondiente a su área, así como tiene acceso a material complementario: Orientaciones para el Trabajo Pedagógico; Calculadoras Científicas DS-737CQ15; algeplanos; balanzas; módulos con temática del área y guías metodológicas. Los materiales mencionados se encuentran en el Centro de Recursos de cada Institución Educativa. 2.3.5.1 Las TIC16 como recurso didáctico Hoy en día no se puede negar que las TIC forman parte del quehacer educativo, convirtiéndose no sólo en una ventaja para quien las utiliza, sino también en una necesidad. Sin embargo, el docente debe seleccionar con criterio los recursos informáticos: software educativo, material audiovisual, multimedia, apletts, Internet (web sites, WebQuest, blogs, etc.) adecuados para reforzar los aprendizajes. De igual modo, el momento y la forma de utilizar este recurso tecnológico requiere de mucha pericia, que el docente irá perfeccionando con la práctica. Con el desarrollo de las TIC, los procesos pedagógicos encuentran en los recursos informáticos (por ejemplo los softwares educativos) recursos didácticos que favorecen un aprendizaje por descubrimiento y el trabajo en equipo. De lo que se trata es que las nuevas tecnologías favorezcan el desarrollo de las capacidades de área priorizadas en los tres niveles de la EBR17 (Inicial, Primaria y Secundaria). Sin embargo, la tecnología no es una panacea; la tecnología en sí misma no es una actividad educativa, es una herramienta, un medio para alcanzar un objetivo. Por ello, se deben encontrar canales viables y productivos para integrar las nuevas tecnologías en los procesos pedagógicos. a. Diagnóstico y elección de software educativo.- Sugerir una lista de cotejo para la evaluación de software educativo puede tener un sesgo en relación a la eficacia y eficiencia en el uso de un determinado software. Por ejemplo, podría darse el caso que se descarte un software en particular y sin embargo ser útil para el desarrollo de capacidades específicas de una determinada área de la EBR. A continuación, se presentan los aspectos MANUAL DEL DOCENTE 15Se ha entregado a cada Institución Educativa, junto con un manual de uso y conservación. 16TIC: = Tecnologías de la Información y Comunicación 17EBR: = Educación Básica Regular 25 relevantes a tener en cuenta en el momento de elegir un software educativo: a.1 El software como recurso didáctico.- El uso de software educativo constituye una herramienta de apoyo efectiva durante las sesiones de aprendizaje18. El docente va a poder organizar y presentar mejor sus clases, lo cual implica ahorro de tiempo a la hora de presentar un tema, menos desgaste físico en cuanto a voz, integración de los recursos educativos ya existentes (texto del estudiante, manual del docente, bibliografía del área, orientaciones para el trabajo pedagógico) y retroalimentación efectiva de los temas tratados. Al implementar su uso, se va a propiciar en el estudiante: el desarrollo de capacidades específicas al participar activamente en la construcción de su propio aprendizaje, una interacción con el computador, la posibilidad de una educación personalizada así como una retroalimentación inmediata de los contenidos temáticos tratados. no deja de ser cierto que el dominio de una técnica no garantiza que ésta se use de la mejor manera. Hay que tener en cuenta que nuestras motivaciones, expectativas, temores, dudas, conocimientos y nuestras actitudes favorecen o limitan la incorporación de cualquier tecnología. Bibliografía especializada sesión de aprendizaje a.2 Perfil del docente usuario de software educativo.- La introducción de las TIC en los procesos pedagógicos se encuentra con una serie de resistencias naturales. Existe resistencia porque la tecnología perturba las formas acostumbradas de enseñanza organizada. Hay que tener en cuenta que la introducción de las TIC en la gestión escolar generan en el docente una serie de interrogantes: ¿qué va a cambiar en mis clases si incorporo estas nuevas herramientas?, ¿cómo las puedo aprovechar en clase?, ¿dónde puedo aprender a usarlas correctamente?, ¿cuenta la institución educativa con infraestructura idónea para el diseño de sesiones de aprendizaje que requieran de TIC? Toda nueva tecnología es utilizada con dominio y naturalidad luego de un proceso de capacitación. El uso del software educativo como herramienta metodológica implica el dominio instrumental del mismo por parte del docente. Sin embargo, 26 Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional Debemos tener presente que la elección de un software educativo en particular como recurso didáctico, necesita un sustento técnico pedagógico para su uso, dado que por sí mismo no va a resolver los desafíos y las dificultades que se desprenden en los procesos pedagógicos. Son los docentes quienes deben evaluar y seleccionar los softwares educativos de acuerdo con las posibilidades que estos ofrecen como recurso didáctico en su labor docente. Todos los recursos didácticos, convencionales y nuevos, pueden y deben coexistir en el aula. El software educativo surge, en este contexto, como instrumento para ser usado libre y creativamente por docentes y estudiantes en la realización de las actividades más diversas. Profesor y estudiante pasan a ser actores de un mismo proceso: el desarrollo de capacidades. b. Eficacia y eficiencia.- Se entiende por eficacia a la cualidad del software para alcanzar los aprendizajes esperados19 de una determinada unidad didáctica. Por otro lado, cuando un recurso didáctico le otorga dinámica a los procesos pedagógicos, se puede afirmar que es un recurso eficiente. En este contexto, el software como recurso didáctico es eficiente en la medida que optimiza las energías de los actores involucrados. En consecuencia, al seleccionar un software educativo se debe explicitar: las características técnicas del mismo; los contenidos temáticos a tratar; definir los aprendizajes esperados e indicadores; plantear las situaciones problemáticas a resolver y plantear las actividades y/o estrategias relacionadas a los aprendizajes esperados. 18Se entiende la sesión de aprendizaje como la interacción, en tiempo real, entre el docente y los estudiantes. 19Aprendizaje esperado: = capacidad específica + contenido diversificado. 3. ASPECTOS PRIORIZADOS EN EL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL A continuación, a manera de ejemplos, se presentan los aspectos a tratar en la implementación de la hora lectiva adicional. Resulta importante tener en cuenta que el logro de estos aprendizajes (denominados aspectos en la Resolución Ministerial Nº 0027-2007-ED) no son diferentes a los que están en el DCN, sino que han sido extraídos de él por su relevancia para el desarrollo de las capacidades matemáticas. 3.1 PLANTEAMIENTO DE INTERROGANTES QUE PROPICIAN EL RAZONAMIENTO RIGUROSO La geometría es el resultado de una interacción entre el mundo real y nuestra capacidad de abstracción. Esta es la idea central de la presente Experiencia de Aprendizaje. Específicamente se presenta el cálculo de áreas superficiales, el concepto de volumen y el cálculo de volúmenes de cilindro circulares rectos. Se pueden hacer variaciones trabajando con otros cuerpos geométricos: prismas, pirámides, esferas, etc. 3.1.1.¿Qué necesita saber el estudiante para dar solución a esta Experiencia de Aprendizaje? Cuerpo de revolución.- Son aquellos cuerpos que se generan al rotar una superficie plana alrededor de una recta fija tomada como eje. Por ejemplo el cilindro circular recto: R Cilindro recto R= h= Área lateral = Área total = Volumen = ...................... ...................... ...................... ...................... ...................... h h R 3.1.2 ¿Qué aprenden los estudiantes? ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Organizan los datos disponibles. Identifican interrogantes e incógnitas. Anticipan argumentos lógicos y el uso pertinente de algoritmos. Elaboran diseños, tablas y resultados. Analizan estrategias de resolución de problemas. Evalúan estrategias metacognitivas para la resolución de problemas. MANUAL DEL DOCENTE 27 3.1.3 Secuencia didáctica Se pide al estudiante que calcule y compare áreas superficiales. El docente pone énfasis en la necesidad que tiene el estudiante de precisar las unidades de medidas a considerar (por ejemplo: cm, cm2, cm3). Asimismo, es importante recalcar que el área es un número que se le asigna a una región determinada. Se sugiere un procedimiento análogo para el cálculo y comparación de volúmenes. Se pide a los estudiantes trabajar en equipos conformados por cuatro integrantes. El docente interactúa con los distintos equipos conformados. A continuación se presentan las siguientes actividades: Elaboración de costos: A una empresa de servicios se le ha encargado colocar etiquetas a los tarros de leche de una marca conocida. Los tarros de forma cilíndrica, tienen un r diámetro de 6 cm y 10 cm de altura. La etiqueta debe cubrir toda la superficie lateral. El metro cuadrado de papel que empleará la empresa de servicios, cuesta 1,5 nuevos soles. El recorte del papel al tamaño requerido por cada tarro, más la colocación de la misma cuesta 25 céntimos de nuevo sol. Además, la etiqueta de la marca de leche y el dibujo co-rrespondiente cuesta 45 céntimos de nuevo sol para cada tarro. Si en total se encarga la colocación de etiquetas a 20 mil tarros, se quiere saber: ˙ ¿Qué cantidad de papel, en metros cuadrados, se empleará en esta labor? ˙ ¿Qué costo significa para la empresa de servicios cumplir con el trabajo encomendado? ˙ Si se quiere ganar el 30% del costo, ¿cuánto debe cobrar la empresa de servicios? r h 2πr r h Pozo de agua: Un pozo de agua cuya forma es cilíndrica tiene 15 metros de profundidad, un radio interior de 1,5 metros y el espesor de la pared es de 0,5 metros. Se pide obtener: ˙ ˙ ˙ ˙ La capacidad de agua al llenar el pozo. El área lateral y total de la pared interior del pozo. El área lateral y total de la pared exterior del pozo. El volumen de la pared del pozo. r R R r h 3.2 SITUACIONES PROBLEMÁTICAS DE LA VIDA DIARIA 3.2.1 Experiencia de Aprendizaje20.Nuestro amigo Gabino sale de su casa, camina por la calle y se dirige hasta una librería donde compra unos plumones para realizar una asignación. Luego, regresa a su casa a cumplir con las labores escolares. El 28 Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional gráfico adjunto describe el movimiento de Gabino teniendo en cuenta que el tiempo transcurre en minutos, desde el instante en que salió de su casa, y la distancia, hasta su domicilio, se expresa en metros en cada instante. 20Se hace explícita la necesidad de manejar información de la componente Geometría y Medida (Plano Cartesiano; ejes coordenados; par ordenado; etc.) y la Componente Número, relaciones y funciones (variable dependiente e independiente; regla de correspondencia de una función; dominio de una función; etc.) distancia 200 100 5 10 15 20 25 tiempo Se solicita al estudiante que: ˙ Formule la regla de correspondencia que expresa la distancia recorrida. ˙ Interprete la función distancia. ˙ Identifique, en el plano cartesiano, la posición inicial y la posición final de Gabino ˙ Discrimine la distancia recorrida por Gabino desde la casa a la librería y el tiempo que tarda en llegar a ésta. Además, se pide contestar las siguientes preguntas: ˙ ˙ ¿Cuánto tiempo permanece Gabino en la librería? ¿Cuánto tiempo empleó Gabino para volver a casa? 3.2.2 En el campo de la Ingeniería Civil al momento de realizar el diseño y posterior construcción de un puente se puede identificar, como en la figura adjunta, un arco semielíptico. Dicho arco tiene la forma de la mitad superior de una elipse y es usado para sostener un puente que debe atravesar un río de 24 metros de ancho. En el centro del arco la longitud de la altura es de 8 metros, desde el centro del río. Esta descripción nos invita a plantear una situación problemática de la vida real. Por ejemplo, se puede pedir que se deduzca la ecuación de la elipse que contiene al arco semielíptico21. Además, se puede pedir encontrar la altura del arco a 3, 6 y 9 metros desde el centro del río. 21Se sugiere seleccionar un sistema de coodenadas rectangulares adecuado, por ejemplo hacer que el Eje X coincida con el nivel del agua y el Eje Y pase por el centro del arco. 8m 24 m 3.3 ELABORACIÓN DE ORGANIZADORES VISUALES La actividad lúdica y los organizadores visuales.- Los juegos matemáticos, planteados como desafíos cognitivos, posibilitan un acercamiento extraordinario al mundo de los números y de las formas. Tienen la particularidad de trascender el aula de clase y llegar hasta los hogares como entretenimiento colectivo que, al ser compartido en familia, motiva el interés y el placer por aprender. Eric Jensen22 , al referirse a la influencia del entorno, plantea que el aprendizaje se debe entender como un reto, es decir algo novedoso y desafiante, que a su vez, requiere de una retroalimentación interactiva o feedback; se sugiere variar las estrategias de enseñanza con frecuencia. Recomienda el uso de rompecabezas, juego de palabras, acertijos, crucigramas matemáticos; son excelentes para generar procesos mentales que converjan al desarrollo de capacidades específicas, así como realizar proyectos de aprendizaje, practicar juegos lógicos de computadora, trabajos grupales, realizar excursiones y elaborar revistas. En este contexto, dado que se necesita organizar e internalizar la información (entendida como un conjunto de reglas y/o procedimientos a seguir) resulta pertinente apelar a estructuras visuales para organizar tanto la información como los procesos cognitivos involucrados en sendas actividades lúdicas . A continuación, se presentan un conjunto de actividades lúdicas bajo el rótulo de regularidades numéricas, las cuales involucran el uso de operaciones combinadas: 3.3.1 ¿Qué aprenden los estudiantes? ˙ Discriminan procesos cognitivos usados en el razonamiento. ˙ Anticipan el uso pertinente de algoritmos. ˙ Organizan los datos disponibles. ˙ Analizan condiciones determinadas. ˙ Elaboran resultados. ˙ Evalúan conceptos y relaciones. 3.3.2 Secuencia didáctica El docente presenta los juegos a realizar. Se pide a los estudiantes trabajar en equipos conformados por cuatro integrantes. Los estudiantes leen las instrucciones y/o reglas propuestas para todos por igual para así poder participar en el juego matemático respetando los turnos y prestando atención al desarrollo del mismo. El docente interactúa con los dis30 Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional tintos equipos conformados. Al finalizar la actividad se puede formular las siguientes preguntas a los participantes: ¿Qué te pareció el juego? ¿Es un juego donde interviene el azar o el razonamiento? ¿Qué capacidades crees que desarrollas en la actividad? 3.3.3 Regularidades numéricas 3.3.3.1 Cuadrados mágicos.- Las filas, columnas y diagonales tienen la misma suma. Denominándose a dicha suma número mágico. Suma 15: Hay que distribuir los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en los nueve casilleros de un cuadrado de 3x3, de modo que éste sea mágico. Se debe permitir al alumno ensayar hasta obtener el cuadrado mágico deseado, y no ofrecer las respuestas o artificios que inhiben el desarrollo de habilidades, limitándolo a repetir las instrucciones. 2 7 6 9 5 1 4 3 8 3.3.3.2 Triángulos mágicos.- De manera similar hay que distribuir los números: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9, de modo tal que la suma de cada lado del triángulo sea 20. Presentamos dos soluciones. Anímate a encontrar las otras soluciones. 5 8 4 3 9 1 2 6 7 1 6 3 7 8 5 2 4 9 Además de promover la búsqueda de más soluciones, es oportuno también inventar desafíos y discriminar los casos que no son posibles como figuras mágicas. Por ejemplo, para el caso de los triángulos mágicos, podemos usar recursos algebraicos para la construcción de estas figuras: Para que sea mágico, los lados deben sumar igual a k. Entonces planteamos: x+a+b+y=k y+c+d+z=k x+e+f+z=k 22 Autor del libro Cerebro y aprendizaje, Madrid. Editorial Narcea, 2004 Sumando las 3 ecuaciones y reemplazando: x + y + z + 45 = 3k x + y + z mínimo: 1 + 2 + 3 = 6 x + y + z máximo: 7 + 8 + 9 = 24 Entonces “k” puede ser: 17, 18,..., 23 x b a y c d e f z Hemos obtenido un método para inventar triángulos mágicos. Son procesos que el docente y los estudiantes pueden abordar. En nuestro ejemplo presentado: k = 20, luego x + y + z = 15. Estas deducciones nos permiten invertir menor tiempo en nuestros ensayos de solución, así como la imposibilidad de solución. Por ejemplo, no hay triángulo mágico cuyos lados sumen 24. No es necesario intentarlo. Hemos visto que todos podemos identificar las restricciones y de ello deben estar informados los estudiantes 3.3.3.3 Colocar los números del 1 al 8 , uno en cada casilla, en la figura que se muestra, de tal manera que las casillas correspondientes a dos números consecutivos no se toquen ni por los lados ni por los vértices. 3.3.3.4 Los números a partir de 1 son arreglados en cuatro columnas como se muestra a continuación: A 1 8 9 ......... B 2 7 10 ........ C 3 6 11 14 D 4 5 12 13 ¿En qué columna debe aparecer el número 101? 3.3.3.5 Se juega un triangular de fútbol sala entre Cristal, Alianza y Universitario; en el que cada equipo juega dos partidos. Luego de concluido el triangular, se presenta la siguiente tabla con los goles a favor (GF) y los goles en contra (GC) que tuvo cada equipo. Encontrar cuántos goles hubo en el partido “ CRISTAL - UNIVERSITARIO” Equipo CRISTAL Alianza Universitario GF 6 3 4 GC 3 6 4 MANUAL DEL DOCENTE 31 3.4 RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN ESTADÍSTICA RELACIONADA A CARACTERÍSTICAS DE UN ÁMBITO GEOGRÁFICO 3.4.1 Una empresa agrícola paga sueldos a sus trabajadores que varían de S/.300 a S/.800 mensuales, distribuidos en 5 intervalos de igual longitud con frecuencias porcentuales de 15%, 20%, 30%, 20% y 15% respectivamente. Se pide: ˙ Organizar los datos disponibles en una tabla de distribución para datos agrupados en intervalos. ˙ Calcular la media de los sueldos. ˙ Calcular la mediana de los sueldos. ˙ Inferir el porcentaje de trabajadores que tienen sueldos superiores al salario medio. 3.4.2 Vitoko estaba interesado en saber con qué frecuencia come fruta, así que durante el mes de mayo apuntó el nombre de cada fruta que comía. Luego elaboró la siguiente tabla: Fruta Sauco Plátano Cocona Total Frecuencia 8 13 10 31 Elabora, en la siguiente cuadrícula, un diagrama de barras que represente los datos de la tabla anterior: 3.4.3 En la casa de Wilson crían gallinas blancas (B); negras (N) y rojas (R).Wilson elaboró el diagrama que se muestra adjunto para representar la cantidad de gallinas de cada color. A partir del diagrama, si hay 15 gallinas blancas, ¿cuántas no son blancas? B N COLOR R 32 Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional 3.5 PROYECTOS DE INVESTIGACIÓN RELACIONADOS A PROCESOS PRODUCTIVOS El diseño, elaboración, formulación y aplicación de un proyecto de investigación permite la participación activa de los estudiantes desde su concepción a nivel de idea, hasta su planteamiento como estudio de prefactibilidad y, luego de pasar por una serie de filtros, su viabilidad y aplicación. La posible solución de la situación problemática identificada en el proyecto debe concretarse en un producto, bien o servicio. 3.5.1 Factibilidad de un proyecto productivo.Se sugiere la siguiente secuencia: ˙ Identificar las necesidades, características o demandas del ámbito geográfico local al que se desea dar cobertura con el proyecto de investigación. Por ejemplo, en una Institución Educativa de la Amazonía se ha identificado que los estudiantes tienen deficiencia en minerales como el hierro y en vitamina B. Asimismo, una característica de la localidad es la producción de frutos como la cocona. ˙ Identificar proyectos productivos que respondan a estas necesidades, así como identificar costos y beneficios en el diseño, elaboración, formulación y aplicación de los proyectos ˙ Realizar un listado de al menos ocho ideas que puedan plasmarse en un proyecto, considerando siempre que las propuestas deben satisfacer las necesidades planteadas. Por ejemplo en esta localidad se puede elaborar mermelada de cocona, jugos y zumo de cocona, yogurt de cocona o helados de cocona, chocotejas elaboradas con frutos de la localidad (por ejemplo, cocona, sauco). Hasta esta etapa, los estudiantes han identificado procesos productivos que presumiblemente tendrán una respuesta del mercado, dado que de alguna manera satisfacen una necesidad local. ˙ Realizar una evaluación (recogida de data, organización y sistematización de la información, interpretación y análisis de la data) exhaustiva para determinar la viabilidad del proyecto formulado. Asimismo, definir un conjunto de filtros que determinen la viabilidad del proyecto. Teniendo en cuenta la secuencia sugerida, se puede observar que los estudiantes participan en la programación y toma de decisiones; además, un proyecto de investigación puede ser desarrollado por cualquiera de las áreas curriculares o por un conjunto de ellas. Por ejemplo, supongamos que el proyecto empresarial seleccionado es “Producción y comercialización de yogurt de cocona”. De manera natural, este proyecto se puede llevar a cabo desde las áreas de CTA, Educación para el Trabajo y Matemática. Sin pérdida de generalidad, si la producción - en un primer momento - es artesanal (yogurt casero), se debe tener en cuenta las siguientes equivalencias: Utilidad = Ingreso - Costo Premisas: i) Costo = Cv + Cf ; donde Cv : costo variable, Cf : costo fijo. ii) Ingreso = (precio unitario)*(número de artículos vendidos) iii) Si la Utilidad es mayor que cero, entonces existe ganancia. Pv = Pc + g donde Pv : precio de venta, Pc : precio de costo; g : ganancia. MANUAL DEL DOCENTE 33 Premisas: i) Pv > Pc ii) Si g > 0, se denomina ganancia Si g < 0, se denomina pérdida Si g = 0, no se gana ni se pierde23 3.6 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Y SITUACIONES PROBLEMÁTICAS DE LA VIDA 3.6.1 En una ciudad de la selva central, el alquiler de motos cuesta S/. 15 el día más S/. 0,50 por kilómetro recorrido. ˙ ˙ Sea x la distancia recorrida, en kilómetros, en un día de alquiler. Sea y el costo de alquilar una moto, por el lapso de un día, para un recorrido de x kilómetros. Completa la siguiente tabla: x: distancia recorrida, en kilómetros, en un día de alquiler y: costo de alquiler, por día, en nuevos soles 10 20 35 45 58 ˙ Formula la relación o correspondencia que denota el costo de alquilar una moto, en el lapso de un día, para x kilómetros. 3.6.2 La trayectoria del salto de un animal suele ser parabólica. La figura ilustra el salto de un conejo en un plano coordenado. La longitud del salto es de 9 pies y la altura máxima con respecto al suelo es 3 pies. Encuentra una regla de correspondencia que permita calcular la trayectoria del conejo. 3 trayectoria del conejo 9 3.7 RAZONAMIENTO INFERENCIAL DEDUCTIVO 3.7.1 Situación de la vida diaria.- Observa el recibo de luz adjunto y responde las siguientes preguntas: ˙ En el detalle de consumo, ¿cuál es la lectura del mes actual?, ¿cuál es la lectura del mes anterior? ˙ ¿Cuántos kwh se han consumido desde el 09/07/2006 y el 09/08/2006? ˙ Si el cargo por energía correspondiente al consumo del mes actual es de S/.72,72 ¿cuántos nuevos soles cuesta 1kwh? ˙ Si en el siguiente mes consume 250 kwh, ¿cuánto pagará por cargo de energía? ˙ ¿Cuántos kwh deberá consumir para pagar S/. 66,72? 34 Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional 23Sin pérdida de generalidad se puede afirmar que se ha perdido tiempo en la ejecución del proyecto y, también, que se ha ganado experiencia en la ejecución del proyecto. 24Atribuido a Herón de Alejandría Agosto 2006 Empresas de Distribución Eléctrica Datos de Suministro Alimentador: Poten. Contratada Medidor Conexión Detalle del Consumo Lectura Actual (09/08/06) Lectura Anterior (09/07/06) Factor Consumo Kwh. Precio unitario S/. Kwh. 250 200 150 100 50 0 Nv Dc En Fe Mr Ab My Jn Jl Ag Propietario: Usuario: Dirección: Nº de Recibo: Ruta: PA-06 6.00 kw Monofásico Subterranea FP 1060 842 1 218 0.3336 Cargo por energía Cargo fijo Alumbrado público Inmobiliaria El Derby Augusto Palmas Zavala Calle El Derby 555 Surco B-15645625 88-276-2869-73 Detalle de Importes por Consumo 77.72 2.06 7.10 0.61 1.12 83.61 15.88 Reposición y mantenimiento de conexión Interés compensatorio Sub total mes actual I.G.V. Total importes por consumo Fecha de emisión 09 / agos / 2006 Fecha de vencimiento 24 / agos / 2006 Total a Pagar 99.49 S/. *******99.49 3.7.2 Aproximaciones e iteraciones La función raíz cuadrada.- La función real de variable real f, cuya regla de correspondencia es f (x) = √ x, está definida para el conjunto de números reales no negativos. La notación √x se utiliza para representar al número real raíz cuadrada de x, x no negativo: x f(x) 4 3 2 1 0 0 1 1 2 4 2 9 3 √2 La función raíz cuadrada f es una función creciente, es decir: ∀ x1 x2 ∈ Dom( f ): Si x1 < x2 ⇒ f ( x1 )< f ( x2 ) 3.7.2.1. La notación √2 se utiliza para representar al número irracional raíz cuadrada de dos. Existen varias maneras de aproximar este valor; por ejemplo, a partir de la fórmula de recurrencia24 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 se puede obtener, mediante iteraciones, el valor de la raíz cuadrada de a. Así, si a = 2: x1 = 1 (1 + 2 ) = 1 (3) = 3 ; x0 = 1 2 1 2 2 x2 = 1 ( 3 + 2 ) = 1 ( 3 + 4 ) = 17 2 2 3 12 2 2 3 2 x3 = 1 ( 17 + 2 ) = 1 ( 17 + 24 ) = 577 408 2 12 17 2 12 17 12 . . . lím xn = √2 n→∞ 3.7.2.2 También, para hallar el valor del número real √2 podemos hacer uso del Método de Newton de Aproximaciones Sucesivas, teniendo en cuenta que existen algunas condiciones iniciales para su aplicación. Es importante tener en cuenta que no siempre el Método de Newton genera aproximaciones que convergen hacia la raíz que se desea encontrar. Una dificultad es que el valor inicial x0 no esté suficientemente cerca de la raíz a encontrar, para iniciar el proceso de convergencia; otra dificultad surge cuando f ı(x) es cero en la raíz o cerca de la raíz, dado que f ı(xn) se encuentra en el denominador del algoritmo. 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3 4 A partir de la gráfica, sea f(x) = x2 - 2; f (x) = 2x. Si x0 = 2, ı entonces la fórmula de recurrencia es la siguiente: xn+1 = xn f( xn ) f ( xn ) = 3 = 1,5 2 ı Tanto en 3.7.2.1 como en 3.7.2.2, la Calculadora Científica DS-737CQ sirve como medio de comprobación o verificación de resultados. 3.7.2.3 Obviamente, surge una interrogante: ¿Para qué utilizar estos procedimientos si existe la calculadora? Bueno, si bien es cierto que actualmente se puede conocer, presionando un botón, el valor de la raíz cuadrada de a, a no negativo; haciendo un poco de memoria ¿cómo hicieron las civilizaciones antiguas para obtener una aproximación de estos números irracionales? El Antiguo Imperio Babilónico se desarrolló en Mesopotamia entre los años 1900 A.C. y 1600 A.C. Existen, en la actualidad, tabletas cuneiforme de arcilla fielmente resguardadas en museos de universidades de prestigio25 a nivel mundial. La notación cuneiforme expresa números en base sexagesimal. Los babilonios resolvían, de manera natural a partir de un conjunto de tablas de sumas de cuadrados y cubos, ecuaciones de grado dos y grado tres. Sin embargo, resulta interesante cómo es que los babilonios hallaban una buena aproximación a la raíz cuadrada de un número dado. Se asume que los babilonios utilizaban un algoritmo similar al de Herón de Alejandría; es decir, empezaban por una aproximación inicial x0. de donde, x1 = 2 2 4 x2 = 3 2 - 1 4 17 = ≈ 1,4166 3 12 x3 = 17 12 - 1 144 17 6 = 577 408 ≈ 1,4142156863 x4 = 577 408 - 1 166464 577 204 = 135834828 96049728 ≈ 1,4142135624 √2 ≈ 1,41421356237309504880168872420 97 Por ejemplo, para hallar √32 , a partir de la gráfica de la función raíz cuadrada es fácil ver que 5 < √32 < 6 ; entonces √32 = 5 + α 2 ; 0 < α < 1 . Elevando al cuadrado ambos términos, tenemos 32 = 25 + 10α + α 2 . Es decir α 2 + 10α − 7 = 0; 0 < α 2 < α < 1 Sin pérdida de generalidad, despreciando el valor de α2, obtenemos α = 7 = 0,7 10 Por lo tanto, una primera aproximación a la √32 es 5+0,7=5,7. Geométricamente: a b Se observa que el área de la región cuadrada “grande” equivale a la suma de las áreas de las regiones interiores: a a a2 ab (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , lo cual implica a + b = √a2 + 2ab + b2 b ab a b2 b b Si la longitud del lado b es pequeña, entonces b2 tiende a 0; haciendo h = 2ab: √a2 + h ≈ a + h En nuestro ejemplo: 2a Si a = 5; h = 7: √52 + 7 ≈ 5 + 7 ⇒ √32 ≈ 5,7 2(5) 3.8 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS TEÓRICO-PRÁCTICOS 3.8.1. Ley de senos.- Un avión es observado por dos personas que se encuentran a 300 metros de distancia una de la otra. Cuando el avión pasa por la recta que los une, cada observador mide el ángulo de elevación al avión, como indica la figura adjunta. ¿A qué distancia del avión se encuentran las personas en dicho momento?26 50º A 300 m. 60º B Solución: Sea b la longitud, en metros, desde el avión al observador A y sea a la longitud desde el avión al observador B. La medida del ángulo comprendido por las longitudes de los lados b y a es igual 70º (180º-110º). Aplicando la ley de los senos tenemos: 25Por ejemplo la Colección Babilónica de la Universidad de Yale. Longitud de a: Longitud de b: Sen 50º = Sen 70º ⇒ a = a 300 Sen 60º = Sen 70º ⇒ b = b 300 300. Sen 50º ≈ 300(0,766) ≈ 244,47 Sen 70º 0,94 300. Sen 60º ≈ 300(0,866) ≈ 276,38 Sen 70º 0,94 26La respuesta numérica se puede verificar con la Calculadora Científica DS-737CQ. MANUAL DEL DOCENTE 37 Por lo tanto, la distancia a la cual se encuentra la persona desde el punto de observación A es 276,38 metros aproximadamente. La distancia a la cual se encuentra la persona desde el punto de observación B es 244,47 metros aproximadamente. 3.8.2 Ley de cosenos.- Se piensa construir un túnel que atraviese una montaña. Para estimar la longitud del túnel, un topógrafo toma las medidas que aparecen en la figura adjunta. Utilice los datos del topógrafo para hacer un cálculo aproximado de la longitud del túnel. Solución: Sea c la longitud del túnel (AB = c). Aplicando la ley de los cosenos relativa al ángulo C, obtenemos una aproximación de la longitud del túnel: c2 = (118)2 + (65)2 - 2 (118) (65) (cos 80º) c2 ≈ 13924 + 4225 - (15340) (0,174) c2 ≈ 15479,84 c2 ≈ 124,42 La longitud del túnel es 124,42 metros aproximadamente. 3.9 CONTABILIDAD BÁSICA EN PROYECTOS EMPRESARIALES Proyectos empresariales.- Mediante este tipo de proyectos se propicia el desarrollo de capacidades y actitudes emprendedoras y empresariales. Se deben generar espacios (por ejemplo, en el trabajo entre áreas) para el desarrollo de sendas potencialidades para que el estudiante pueda incorporarse a la Población Económicamente Activa (PEA), una vez finalizada su educación secundaria. Es necesario explicitar la importancia de la planificación, la noción de inversión, costos y gastos, así como el cálculo de la inversión, cálculo del costo unitario, determinación del precio unitario y el flujo de efectivo. 3.9.1 Elementos contables básicos27 En el marco de los proyectos empresariales, desde el Área de Matemática se puede sugerir un precio de venta por unidad en función de la estructura de costos. Por ejemplo, en la InstiNº 1 2 38 Producto Falda 700 700 700 tución Educativa Nuestra Señora de la Misericordia existen diez secciones por grado en el Nivel de Educación Secundaria. Luego de analizar la factibilidad del proyecto, las alumnas de tercero de secundaria (todas las secciones) han optado por la elaboración y confección de faldas para dama. A continuación, el equipo de docentes del Área de Matemática presenta – para su adaptación – una experiencia de estructura de costos a las alumnas del tercer grado de secundaria: 3.9.1.1 Proyección de ventas en unidades; es un instrumento de gestión importante para el desarrollo y posicionamiento del proyecto. En la proyección de ventas por unidades se consigna la cantidad de faldas que se espera vender en un intervalo de tiempo (semanas, meses, años). Se sugiere tener en cuenta la estacionalidad28 del producto. Ejemplo: Total 650 650 10000 27Tomado de “Desarrollando Periodo (un año) Ene Feb Mar Abr 650 ... Oct Nov Dic 600 Capacidades Emprendedoras y Empresariales”- Manual del Docente. 28La estacionalidad está refer- ida a los intervalos de tiempo en los cuales el producto tiene mayor demanda. Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional 3.9.1.2 Cálculo de la inversión; para lo cual es necesario: i. Cálculo de activo fijo: I. ACTIVO FIJO : Producción de faldas LISTA DE REQUERIMIENTOS POR RUBRO Infraestructura Construcción de local Instalación eléctrica Instalación de agua y desagüe Maquinarias y equipos Máquina de costura recta Máquina remalladora Máquina ojalatera Herramientas Tijera Regla curva Agujas Muebles y enseres Mesa para corte Escritorio Silla Estante RUBRO Infraestructura Construcción de local Instalación eléctrica Instalación de agua y desagüe Maquinarias y equipos Máquina de costura recta Máquina remalladora Máquina ojalatera Herramientas Tijera Regla curva Agujas Muebles y enseres Mesa para corte Escritorio Silla Estante VALOR UNITARIO (en nuevos soles) 2000,00 150,00 450,00 1200,00 1500,00 800,00 20,00 12,00 2,00 450,00 250,00 20,00 250,00 TOTAL (en nuevos soles) COSTO FIJO Infraestructura Construcción de local Instalación eléctrica Instalación de agua y desagüe Maquinarias y equipos Máquina de costura recta Máquina remalladora Máquina ojalatera Herramientas Tijera Regla curva Agujas Muebles y enseres Mesa para corte Escritorio Silla Estante TOTAL 2000,00 150,00 450,00 01 01 01 2000,00 150,00 450,00 COSTO VARIABLE REQUERIMIENTO (en unidades) 01 01 01 02 01 01 05 10 25 02 02 06 03 RUBRO VALOR UNITARIO (en nuevos soles) REQUERIMIENTO (en unidades) 1200,00 1500,00 800,00 20,00 12,00 2,00 450,00 250,00 20,00 250,00 02 01 01 05 10 25 02 02 06 03 2400,00 1500,00 800,00 100,00 120,00 50,00 950,00 500,00 120,00 750,00 9840,00 ii. Cálculo de gastos preoperativos: II. GASTOS PREOPERATIVOS VALOR UNITARIO (en nuevos soles) TOTAL (en nuevos soles) REQUERIMIENTO (en unidades) COSTO FIJO COSTO VARIABLE RUBRO Infraestructura Licencia de funcionamiento Licencia de avisos Elaboración de manuales de operación y producción Estatutos Elaboración de planos Gastos de constitución legal Capacitación del personal Capacitación del empresario 320,00 100,00 250,00 320,00 150,00 800,00 450,00 200,00 01 01 01 01 01 01 01 01 320,00 100,00 250,00 320,00 150,00 800,00 450,00 200,00 TOTAL 2590,00 iii. Cálculo de capital de trabajo; se determina la cantidad de faldas a elaborar según la proyección de ventas por unidades. Asumamos que se van a confeccionar 600 faldas: III. CAPITAL DE TRABAJO VALOR REQUERIMIENTO UNITARIO (en nuevos soles) TOTAL (en nuevos soles) COSTO COSTO FIJO VARIABLE 2520,00 300,00 60,00 300,00 1260,00 600,00 600,00 498,00 6138,00 RUBRO Materia prima e insumos Tela color negro Cierres negros de 15cm Botones negros Hilo Forro Mano de obra29 Costurera(o) Cortador Habilitador/control TOTAL 6,00 0,50 0,10 5,00 3,00 1,00 1,00 0,83 420 metros 600 unidades 600 unidades 60 conos 420 metros 600 unidades 600 unidades 600 unidades 29Es necesario explicitar que la mano de obra se puede considerar como costo fijo o costo variable 40 Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional iv. Cálculo de costos indirectos: IV. COSTOS INDIRECTOS RUBRO VALOR UNITARIO (en nuevos soles) REQUERIMIENTO TOTAL (en nuevos soles) COSTO FIJO 900,00 50,00 100,00 150,00 10,00 10,00 300,00 500,00 250,00 2270,00 COSTO VARIABLE Gastos administrativos Sueldo de personal administrativo. Útiles de oficina Pasajes Alquiler de tienda Mantenimiento Agua Electricidad Gastos de ventas Vendedor Publicidad (anuncio en radio por un mes) TOTAL 450,00 50,00 2,00 150,00 10,00 10,00 300,00 500,00 250,00 02 01 50 01 01 01 01 01 01 3.10 COSTOS Y BENEFICIOS EN EL DESARROLLO DE PROYECTOS En el marco de los proyectos empresariales y teniendo en cuenta lo tratado en 3.9, a continuación pasamos a calcular los costos y beneficios del proyecto de elaboración y confección de faldas para dama: 3.10.1 Cálculo del costo unitario; se realiza a partir de la estructura de costos: 3.10.1.1 Cálculo del costo fijo unitario: Costo Fijo Unitario (CFU) = Costo Fijo Total (CFT) (total de unidades producidas en el ciclo de vida del proyecto) Costo Fijo Total (CFT) = Activo Fijo + Gastos Preoperativos + costos indirectos En nuestro ejemplo: CFU = 9840 + 2590 + 2270 = 14700 = 0,735 20000 20000 Tener en cuenta que en el denominador se ha considerado 20000, dado que el proyecto tiene un ciclo de vida de dos años. 3.10.1.2 Cálculo del costo variable unitario: Costo Variable Unitario (CVU) = Costo Variable Total (CVT) Total de unidades producidas en un mes MANUAL DEL DOCENTE 41 En nuestro ejemplo: CVU = 6138 = 10,23 ; en donde el capital de trabajo se asume 600 como el equivalente al costo variable total. 3.10.1.3. Costo total unitario: Costo Total Unitario (CTU) = CFU + CVU En nuestro ejemplo: CTU = CFU + CVU = 0,735 + 10,23 = 10,965 3.10.2. Determinación del precio; obviamente, para determinar el precio de venta se debe conocer los costos de producción y, como referencia, el precio de venta del producto en el mercado (la competencia). Asimismo, se debe considerar si el producto se va a diferenciar en el precio o en calidad. Así: Precio de Venta (PV) = CTU + Ganancia (G); donde PV es el precio de la competencia. En nuestro caso, 20 nuevos soles. Despejando el valor de G: (G) = PV - CTU = 20 - 10,23 = 9,77; donde G = 9,77 equivale, aproximadamente, al 95,5% del CTU. De lo expuesto, la ganancia máxima es 9,77 nuevos soles (0 < G ≤ 9,77). Si se va a diferenciar en el precio, entonces 10,23 < PV < 20. Una vez realizado el cálculo de la inversión, de los costos y fijado el precio por unidad del producto, se efectúa, de manera análoga, una proyección de ventas y, finalmente, se elabora el flujo de efectivo o caja. 4. EL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL Y LA EVALUCIÓN DE APRENDIZAJES La evaluación del aprendizaje en el Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional se realiza con el mismo enfoque, criterios e indicadores existentes para evaluar los aprendizajes en el Área de Matemática. En ese sentido, la evaluación cumple con el propósito fundamental de mejorar el aprendizaje de los estudiantes. Se realiza en forma permanente, flexible, integral y sistemática. Los resultados de la evaluación obtenidos en el PEHLA forman parte de la evaluación realizada en el Área de Matemática. 4.1. CRITERIOS DE EVALUACIÓN E INDICADORES Los criterios de evaluación utilizados en el PEHLA son los mismos que los del Área de Matemática. Es decir, las capacidades de área siguen siendo las unidades de recojo de información y comunicación de los resultados de la evaluación, así como la actitud frente al área. Los indicadores hacen observable el aprendizaje de los estudiantes y, a partir de ellos, se formulan los reactivos o ítems. Se debe procurar que haya coherencia entre los aprendizajes esperados, los indicadores que los evidencian y las actividades propuestas a los estudiantes para evidenciar que han aprendido. Es importante tener en cuenta que lo que se hace en el PEHLA es fortalecer los aprendizajes que se alcanzaron en el Área de Matemática. Por lo tanto, se preservan los criterios de evaluación y los indicadores, aun cuando la situación de evaluación cambie. La evaluación del aprendizaje en el PEHLA se realizará preferentemente en situaciones problemáticas de la vida real, debido a que es un espacio para fortalecer y transferir a situaciones nuevas los aprendizajes desarrollados en el Área de Matemática. 4.2. CALIFICACIÓN DE LOS RESULTADOS La valoración de los resultados se realiza de manera análoga que el Área de Matemática. Al final de cada periodo (bimestre o trimestre), los estudiantes obtienen un calificativo30 en cada criterio; esta calificación parcial pasa a ser una más de las que obtenga el estudiante, en el mismo periodo, en el Área de Matemática. Cuando el Área de Matemática y el PEHLA son desarrollados por el mismo docente, resulta natural utilizar un solo registro auxiliar, siempre que se reserve un espacio para colocar el calificativo del PEHLA. Dicho registro auxiliar puede tener la siguiente estructura: REGISTRO AUXILIAR DEL DOCENTE DEL ÁREA DE MATEMÁTICA Apellido paterno: nombre Melgarejo; Homer Raz y Dem. MAT 16 15 PEHLA 14 15 PRIMER BIMESTRE COM. MAT. Res. Prob. MAT PEHLA MAT PEHLA Actitud MAT PEHLA 30Se utiliza la escala de cero a veinte y los resultados se registran y comunican por cada criterio de evaluación. Calificativos del Área de Matemática Calificativos del PEHLA Este calificativo pasa al registro de evaluación MANUAL DEL DOCENTE 43 Sin pérdida de generalidad, se puede afirmar que el calificativo del bimestre o trimestre de cada criterio en el Área de Matemática se obtiene promediando31 los calificativos que el estudiante haya obtenido en dicho periodo en el Área de Matemática (MAT) y en el Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional (PEHLA). Tener en cuenta que independientemente si es uno o dos docentes las personas responsables de la calificación del Área de Matemática, el calificativo final del bimestre o trimestre es el mismo32 . 4.3 INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN Una preocupación permanente durante las sesiones de aprendizaje se relaciona con la elaboración de instrumentos de evaluación y el tiempo empleado en la aplicación de los mismos. Al respecto, por cuestiones metodológicas inherentes a nuestra labor pedagógica, la elaboración de sendos instrumentos debe propiciar el desarrollo de estrategias de resolución de situaciones problemáticas en los estudiantes. Plantear y resolver problemas desarrolla su creatividad en un grado que resulta insospechado. Asimismo, deben generar confianza en sus posibilidades de hacer matemática, estimulando su autonomía y expresando el grado de comprensión de sus conocimientos. Tener en cuenta que la evaluación es de carácter formativo para regular el proceso de aprendizaje y está dirigida a verificar los avances o dificultades en el desarrollo de los aprendizajes. Los instrumentos de evaluación no deben ser considerados como instrumentos de selección para identificar “estudiantes que saben” y “estudiantes que no saben”. Por ejemplo, teniendo en cuenta la situación problemática enunciada en la sesión de aprendizaje de 2.3.2.3, analizar la función cuadrática U (x) = 4x-x2 implica que el estudiante de cuarto grado de secundaria: ˙ ˙ ˙ ˙ Identifique funciones cuadráticas a partir de su regla de correspondencia Identifique funciones cuadráticas en el plano cartesiano Infiera el comportamiento de funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo. Interprete funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo; 31Promedio aritmético simple 32Dado que el calificativo final (bimestral o trimestral) es por promedio aritmético simple Lo cual se puede observar, de manera general, en el siguiente recuadro: Aprendizaje de una sesión Indicadores 1.1 Identifica la función cuadrática U (x) = 4X - x2 a partir de su regla de correspondencia. Acciones realizadas por el estudiante 1.1.1 Identificar la abscisa del vértice de U. 1.1.2 Identificar la ordenada del vértice de U. 1.2.1 Identificar el vértice de la parábola U. 1.2.2 Identificar la intersección de la parábola U con los ejes coordenados en el plano cartesiano. 1.3 Infiere el comportamiento de la función cuadrática U (x) = 4X - x2 a partir de su punto de máximo 1.4 Interpreta la función cuadrática U (x) = 4X - x2 a partir de su punto de máximo. 1.3.1 Discriminar los valores x del dominio de U tal que U es creciente o decreciente a partir de su punto de máximo. 1.4.1 Identificar el valor máximo de la función cuadrática U. 1.4.2 Interpretar el valor máximo de la función utilidad U. Instrumentos Analizar la función utilidad U (x) = 4X - x2 1.2 Identifica la función cuadrática U (x) = 4X - x2 en el plano cartesiano. Prueba de opción múltiple Ficha de Cotejo o Verificación 44 Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional Del recuadro, los indicadores 1.3 y 1.4 se pueden evidenciar, de manera natural, mediante los siguientes aspectos: ˙ ˙ ˙ ˙ Planteamiento de interrogantes que propicien el razonamiento riguroso. Situaciones problemáticas relacionadas a funciones cuadráticas. Resolución de problemas teórico-prácticos vinculados a la vida diaria. Proyectos de investigación relacionados a procesos productivos y flujo comercial. Además, se puede identificar un aspecto que - por su naturaleza - se considera clave al realizar la transferencia de la información obtenida a situaciones reales y se presenta transversalmente: ˙ La modelación matemática. Sendos aspectos se pueden explicitar mediante reactivos o ítems en, por ejemplo, una Ficha de Verificación o una Prueba Escrita; que incluso, se pueden elaborar en formato multimedia (lenguaje HTML o Java Script). 4.3.1 Elaboración de preguntas Partiendo de la premisa que la evaluación de los aprendizajes debe estar orientada al desarrollo de las capacidades del área y que el pensamiento matemático es un proceso que involucra un conjunto de procesos mentales (cognición) que convergen en la solución de situaciones problemáticas, se presenta a continuación elementos a tener en cuenta en la elaboración de reactivos en el marco del PEHLA: 4.3.1.1 La gráfica como complemento de la pregunta.- Una constante en la labor pedagógica del docente de Matemática es ¿qué preguntas formular para evaluar? El punto de partida debe tener en cuenta qué es lo que están aprendiendo los estudiantes. En este contexto, la evaluación forma parte del proceso de desarrollo de capacidades. Definitivamente, una gráfica complementa la comprensión de un enunciado; por ejemplo: i.- A partir de una caja abierta hay que elaborar una pieza rectangular de cartón de 20 x 30 cm, cortando cuadrados idénticos de área x2 de cada esquina y volteando hacia arriba los lados. Formular el volumen V de la caja como una función de x. 20 x ? x x ? 30 x ii.- En una balanza de platillos se observa que al colocar 3 envases iguales de vidrio y una pesa de 50 gramos en un platillo, estos pesan igual que una pesa de 500 gramos colocada en el otro platillo. ¿Cuánto pesa cada envase de vidrio? 500g 50g 4.3.1.2 Gradualidad.- En relación a la pertinencia de las preguntas formuladas, nuestras pistas se encuentran en las sesiones de aprendizaje y en los ritmos de aprendizaje de los estudiantes. Por ejemplo, es fácil ver que el grado de dificultad del ítem i no es el mismo que el del ítem ii: i.- El tiempo de un ingeniero consultor se factura en $60 la hora y la de su ayudante en $20 la hora. Un cliente recibió una factura por $540 por un determinado trabajo de consultoría. Si el ayudante trabajó cinco horas menos que el ingeniero, ¿cuántas horas trabajó el ayudante? ii.- Un organizador de conciertos espera que al próximo evento vayan 25 mil personas. Se está pensando colocar un precio entre $15 y $30 por entrada. Por experiencias anteriores, se sabe que si el precio es de $15, se venderían las 25 mil entradas y que por cada dólar que se aumente al valor de la entrada,la asistencia disminuirá en 500 personas. ¿Cuál debe ser el precio de la entrada para garantizar un ingreso de $450000? 4.3.1.3 Ejemplo de reactivos o ítems: i.- Al realizar una votación para la elección del delegado de aula, se obtuvo los siguientes resultados (en porcentajes): % votos 40 35 30 25 20 15 10 5Candidatos ¿Quién obtuvo más del 10% y menos del 20% de los votos? ii.- Entre 1500 profesionales, algunos son ingenieros, otros son abogados y los demás médicos. ¿Cuántos son médicos? Ingenieros 40% Abogados 35 % Médicos iii.- De acuerdo al gráfico, ¿qué porcentaje de personas no tiene ojos negros? 150número de personas 90ojos negros ojos pardos color de ojos Cascada / Waterfall Autor: M.C. Escher Litografía, 1961 El agua asciende y desciende de modo continúo. La cascada se inspira en un triángulo imposible de apariencia posible, cuyos ángulos suman 270º, del matemático Roger Penrose MANUAL DEL DOCENTE 47 Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. ANTIBI; A., La Constante Macabra, Fondo Editorial de la Pontificia Universidad Católica del Perú, 2005. DO CARMO; M., Trigonometría y Números Complejos, IMCA, 1999. HELFGOTT; M., Geometría Plana, Editorial Escuela Activa S.A. KRANTZ; S., How to teach mathematics: a personal perspective, American Mathematical Society, 1993. LIMA; E., La Matemática en la Enseñanza Media, IMCA, 2000. LIMA; E., Mi Profesor de Matemática, IMCA, 1998. 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JENSEN; Eric, Cerebro y Aprendizaje, Editorial Narcea, 2004 Módulo de Biblioteca del Centro de Recursos Educativos: 13.1 Matemática aplicada a situaciones de la vida cotidiana 13.2 Proyectos de Matemática Página web de la Dirección de Educación Secundaria: http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/articulo02_07.pdf http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/articulowebdesmate.pdf http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/articulomatematica0.pdf http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/logico%20matematica.pdf http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/Guiapensamientomatematica.pdf http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/Guiadesarrollocapacidades.pdf 14.