Pauta_Solemne I_1_TeoJuegos_2014.pdf

Prueba Semestral IOtoño-2014 Profesores: Felipe Balmaceda y Cristian Troncoso Auxiliares: Pablo Hueichapan, Cristian Orellana y Gonzalo Salazar. 1. (25) Dos personas suben a un bus. El bus sólo tiene dos asientos disponibles, uno al lado del otro. Cada una de estas dos persona debe decidir si sentarse or quedarse parado. Sentarse sólo es más cómodo que sentarse al lado de la otra persona, pero sentarse al lado de la otra persona es más cómodo que quedarse parado. (a) (10) Suponga que a cada persona sólo le interesa su propia comodidad. Modele la situación como un juego en forma normal (elija n´ umeros o letras que sean consistentes con esta preferencias). Es este juego un juego tipo Dilema del Prisionero? Encuentre el conjunto de equilibrios (esto es, todos) de Nash del juego. Solution: J2 J1 S (β, β) (0, α) S NS NS (α, 0) (0, 0) 0<β<α Mejores respuestas: Jugador1: Sentarse si el jugador 2 se sienta. Sentarse si el jugador 2 no se sienta. Jugador 2 : Sentarse si el jugador 1 se sienta. Sentarse si el jugador 1 no se sienta. Equilibrio de Nash en estrategias puras: Sentarse, Sentarse El juego no se asemeja al tipo de juego del Dilema del prisionero debido a que no es posible mejorar los pagos de ambos jugadores partiendo del equilibrio, es decir, encontramos un Pareto optimo. ´ (b) (10) Suponga ahora que cada persona es altruista, y ordena los diferentes resultados de acuerdo a la comodidad de la otra persona, pero, por ser muy educada, prefiere quedarse parado que sentarse si la otra persona se queda parada. Modele esta situación como un juego en forma normal (elija n´ umeros o letras que sean consistentes con esta preferencias). Es este juego un juego tipo Dilema del Prisionero? Encuentre el conjunto de equilibrios (esto es, todos) de Nash del juego. J2 Solution: J1 (1 − Q) NS γ<0<β<α (γ, α) (0, 0) Q S (β, β) (α, γ) P S (1 − P ) N S Mejores respuestas: Jugador1: No sentarse si el jugador 2 se sienta. No sentarse si el jugador 2 no se sienta. Jugador 2 : No sentarse si el jugador 1 se sienta. No sentarse si el jugador 1 no se sienta. Equilibrio de Nash en estrategias puras: No sentarse, No sentarse. Este juego se asemeja al dilema del prisionero dado que los pagos que se alcanzan en el equilibrio de Nash no corresponden al punto Pareto ´ optimo, es decir, partiendo del equilibrio No sentarse, No sentarse se 1 Matriz de pagos (en $) 1 2 3 . . .. las mejores respuestas del alumno 1 frente a las acciones escogidas por el alumno 2 no muestran estrategias estrictamente dominantes. Comente. Estrategias mixtas: Jugador 1: Valor esperado de jugar Sentarse: β ∗ Q + γ ∗ (1 − Q) Valor esperado de jugar No sentarse: α ∗ Q + 0 ∗ (1 − Q) γ Igualando valores esperados y despejando Q obtenemos: Q∗ = (β−γ−α) Jugador 2: Valor esperado de jugar Sentarsqe: β ∗ P + γ ∗ (1 − P ) Valor esperado de jugar No sentarse: α ∗ P + 0 ∗ (1 − P ) Igualando valores esperados y despejando P obtenemos: P ∗ = En donde las P ∗ y Q ∗ γ (β−γ−α) nos indican el equilibrio en estrategias mixtas para este juego. . . . . -2. donde i = 1. (a) (4) Tiene este juego estrategias estrictamente dominadas? Solution: Sea si ∈ [1.-1 0. . se observa que siendo altruista y educado disminuyen los pagos de equilibrio de ambos jugadores. . . . . donde el alumno 1 escoge entre las filas presentes en la matriz y el alumno 2 escoge entre las columnas respectivas. paga nada).0 -1. (30) Suponga que hay dos estudiantes y cada uno debe escribir un n´ umero entero contenido en {1.-2 0..0 2 0. sin embargo. . ..-2 -2.. .. en un acuerdo de cooperaci´ on se puede llegar a obtener pagos similares a los de la parte (a).0 . 0. -99. De igual forma ocurre para el caso del alumno 2.podria mejorar los pagos de ambos jugadores si es que decidieran jugar la estrategia (Sentarse. . 2. El estudiante que escribe el n´ umero mayor paga cero pesos (o sea. . Asuma que los estudiantes son neutrales al riesgo (por lo que maximizan sus pagos esperados) y solo les interesan sus pérdidas y ganancias. .-2 0. . el estudiante j 6= i.-100 Como se puede apreciar en la matriz de pagos.-3 .-99 -99.. Solution: Dados los pagos asignados en los juegos parte (a) y parte (b). . 99 0. .-3 .-1 0. Sentarse) (puesto que β > 0) llegando a un acuerdo de cooperación. .-1 0. .-1 -2. .-2 -3.0 3 0. la cual describe las distintas combinaciones de estrategias que realizan los alumnos 1 y 2. -3.0 . . es:  si si > sj  0 −si si si = sj Ui (si . 2.. .. . . La funci´ on de mejor respuesta del estudiante i frente a la elección de su compa˜ nero. 99 100 1 -1. 100}. 100] el n´ umero que escribe el estudiante i. .0 100 0.0 -3.0 .0 -2. El estudiante que escribe el n´ umero más peque˜ no debe pagarle al profesor esa cantidad en pesos. sj ) =  −si si si < sj De esta forma. -1. . ambos pagan la cantidad que escribieron. (c) (5) Compare la comodidad de las dos personas en el equilibrio de los dos juegos. Si ambos escriben el mismo n´ umero. podemos construir la siguiente matriz de pagos. .-3 . 2 ..-1 -1.-99 -100.0 -1. . cualquiera sea la conjetura que el jug 1 se forme respecto al jugador 2. 100} y EN2 = {100. es de esperar que cada una de las acciones se juegue con alguna probabilidad asociada. (d) (15) Encuentre un equilibrio simétrico (esto es. si el jug 1 cree que el jug 2 escogera con prob positiva un numero distinto a uno o cien (digamos el nro 2) entonces. discuta brevemente porque es esperable que este juego tenga un equilibrio en estrategias mixtas. es de esperar que cada una de las acciones se juegue con alguna probabilidad asociada. Como lo anterior vale para cualquier numero distinto a 1 o 100. Por ejemplo. EN1 y EN2 . deberiamos observar que en cualquier equilibrio en estrategias mixtas. Si esto fuera parte de un equilibrio. coinciden en dos puntos. Creer que el jug 2 jugara algun nro distinto de 1 o 100 con probabilidad positiva no puede formar parte de algun equilibrio. sin pérdida de generalidad podemos reducir nuestra matriz de pagos a los casos extremos 1 y 100. dado que el alumno 1 no sabe con certeza que acción escogerá el alumno 2. Por lo tanto. Si esto no fuera asi. un equilibrio en el que ambos jugadores usan la misma estrategia) en estrategias mixtas de este juego. 2 y 100. Ahora. 1}. el jug 2 tambien debe poner prob positiva al nro 100. la mejor respuesta del alumno 1. Pero entonces. seria posible para el jug 1 desviarse y jugar el nro 100 con prob 1 (pues de esta forma incrementa su pago). supongamos que el jug 1 cree que el jug 2 escogera con prob positiva los numeros 1. Solution: Tal como se aprecia en la matriz de pagos presente en (a). (c) (4) Dado lo establecido hasta aqu´ı. probabilidad que nos entregará por resultado una estrategia mixta. esta conjetura debe ser tal que el jug 2 asigna probabilidad positiva a jugar algun numero distinto a 1 (en caso contrario. s∗1 . EN1 = {1. en equilibrio. Por lo tanto. el jug 2 deberia escoger el nro 100 con prob 1/100. Lo 3 . puesto que su pago aumenta a -3/100 > -1. dado que los jugadores no tienen incentivos para cambiar sus acciones. Ahora. Observe lo siguiente: No importa que tipo de equilibrio sea (simetrico o no). Solution: Debido que tenemos dos equilibrios en estrategias puras. los jugadores solo ponen probabilidad positiva en los nros 1 y 100. con lo cual los equilibrios en estrategias puras seguirán siendo los mismos de (b). Como los pagos asociados a cada estrategia pura del jug 1 (o jug 2. da lo mismo) son ceros o numeros negativos. dando origen a los equilibrios de Nash en estrategias puras de este juego. el jug 1 estaria mejor jugando el nro 3 con prob 1. frente a la mejor respuesta del alumno 2. éste asignará una probabilidad q a que su compa˜ nero juegue 1 y una probabilidad 1 − q a que juegue 100. no se puede predecir lo que realmente suceder´ a. probabilidad que nos entregará por resultado una estrategia mixta. Solution: Debido que tenemos dos equilibrios en estrategias puras. s∗2 . no se puede predecir lo que realmente suceder´ a. no habria forma de hacer indifirente al jug 1).(b) (7) Encuentre los dos equilibrios en estrategias puras de este juego. si el jugador 1 asigna una probabilidad positiva a jugar el nro 1 entonces en equilibrio el pago esperado de este jugador debe ser -1. Por lo tanto. 100 ) del alumno 2 99 1 y (r.1 = 19 % donde P(c/v=i) es la probabilidad de contagio (c) dado el numero de vacunas. la probabilidad que el alumno 1 se encuentre indiferente entre jugar 1 ó 100 se obtiene igualando ambas ecuaciones: −1 q = −100 + 100q 99 = 100 Dado que la matriz de pagos es simétrica. (25) Tres estudiantes de la UDP-FEE comparten un departamento. si es que él o ella ya est´ a contagiada. sabemos que la probabilidad de indiferencia del 99 99 1 alumno 2 es r = 100 .9 ∗ 0. 1 − q) = ( 100 .9 ∗ 0. Matriz de pagos (en $) q 1−q 1 100 r 1 -1. cada estudiante est´ a dispuesto a pagar $100 por un remedio milagroso que cure la gripe. Asimismo. cuando juega 1: −1q + −1(1 − q) = −q − 1 + q = −1 Ahora. pero con probabilidad r y 1 − r.9 ∗ 0.-100 De esta forma resolvemos para el alumno 1.-1 -100. Por lo tanto. 1 − r) = ( 100 . forman un equilibrio de Nash.1 + 0. Si uno de ellos se enferma de gripe. respectivamente. Solution: La probabilidad es la siguiente: P (c/v = 0) = 0. Es oto˜ no y ellos saben que se avecina la temporada de gripes. para cuando juega 100: 0q + −100(1 − q) = −100 + 100q Por consiguiente. 3. el cual es simétrico desde que r = q. las estrategias mixtas (q.1 % de contagiarse si ninguno de los compa˜ neros se vacuna y de 19 % si uno de ellos se vacuna. 1 % P (c/v = 1) = 0. Es de conocimiento com´ un que cada uno de ellos tiene una probabilidad de 10 % de ser contagiado de gripe por un compa˜ nero de casa aleatorio. 1]. El costo del tiempo de ir al vacunatorio y de la vacuna es de $20. La vacuna contra la gripe evita contagiarse de gripe con certeza. (a) (5) Demuestre que un compa˜ nero de departamento no vacunado tiene una probabilidad igual a 27. (b) (5) Considere un planificador central benevolente que busca maximizar la suma de las utilidades de los tres estudiantes.0 1 − r 100 0. i = [0. los otros dos se enfermar´ an de gripe con probabilidad 1.1 ∗ 0.mismo realizar´ a el alumno 2 frente las acciones inciertas del alumno 1.1 = 27.1 + 0. 100 ) del alumno 1.9 ∗ 0. Cuantos estudiantes vacunará este planificador a fin de maximizar esta suma de utilidades? 4 .-1 -1. El pago esperado para cada estudiante si no se vacuna nadie es: πi = 100 − P (c/v = 0) ∗ 100 = 100 − 27. (c) (10) Suponga que ninguno de los tres compa˜ nernos se ha contagiado con gripe. Como beneficio usamos el pago maximo que estaria dispuesto a realizar cada uno de los estudiantes por el remedio milagroso. debemos calcular los beneficios que obtendria cada uno en las distintas situaciones y sumarlos a fin de ver cual es la que nos entrega una mayor utilidad. 9 + 72. el de no vacunarse cuando uno de sus compa˜ neros se vacuna es 81. 9 = 218.. El servicio de salud de la universidad anuncia que una sola cl´ınica vacunará contra la gripe. Usando los datos de la respuesta anterior sabemos que el pago de vacunarse es 80. y que lo hará durante un d´ıa particular de la semana. Cada compa˜ nero debe decidir simultánea e independientemente si ir or no a la cl´ınica a vacunarse. donde el pago esperado del individuo que no se vacuna es simplemente: π = 100 − 10 = 90 Y el pago de los que si se vacunan es 80. Solution: Resp.9 Como cada uno recibe este pago esperado.Solution: Como nos importa la suma de los beneficios. la suma de los beneficios que reciben si nadie se vacuna es de: X πi = 72. 9 + 72. igual que en el caso anterior. mayor a la utilidad de los otros casos analisados. el pago de no vacunarse cuando dos de sus compa˜ neros se vacunan es 90. 7 El pago esperado si uno de los estudiantes se vacuna. y el de no vacunarse cuando nadie se vacuna 5 . Encuentre el equilibrio de Nash de este juego. para los no vacunados es: πi = 100 − P (c/v = 1) ∗ 100 = 100 ∗ 19 = 81 Pero el pago para el estudiante que se vacuno es: π = 100 − 20 = 80 Por lo que en este caso la suma de los pagos de los estudiantes cuando solo uno se vacuna es: X πi = 81 + 81 + 80 = 242 El tercer caso es cuando dos de los estudiantes de vacunan. ya que esta situacion reporta una utilidad total de 250. por lo que la suma de dicha situacion es simplemente S πi = 80 + 80 + 80 = 240S De esta forma el planificador central benevolente elegira la situacion donde dos de los tres individuos se vacuna. Asi la suma de las utilidades es X πi = 90 + 80 + 80 = 250 Finalmente el pago de cada individuo si esPque los tres deciden vacunarse es 80.En este caso cada jugador vera cual es la situacion individual que le reporta mayor pago. 1 = 72. Los tres compa˜ neros se enteran por otros compa˜ neros (que no viven con ellos) el d´ıa en que la cl´ınica atenderá. De esta forma existe equilibrio de NASH en la estrategia donde un estudiante decide vacunarse. N V } S = {N V. de vacunarse a no vacunarse obteniendo este un pago de 90. Siendo asi. N V } no es un equilibrio de NASH Finalmente el caso donde 2 no se vacunan y uno si.9. el unico equilibrio de nash para este caso es cuando 2 individuos no se vacunan y uno si. si cambiara su decision pasara a obtener un pago de 72. y los otros dos no se vacunan. podemos notar que existe una diferencia. porque existen incentivos para que uno de ellos cualquiera cambie de opinion unilateralmente. S = {V. mientras que el del que no se vacuna es 90. por lo que no cambiaran. sin embargo. Solution: Si comparamos los equilibrios. N V } S = {N V. esto no es un equilibrio de NASH. esta tampoco es un equilibrio de NASH. mientras el pago del que se vacuna es de 80. y el individuo que decidio vacunarse por otro lado. V } (d) (5) Compare su equilibrio (el de la parte (c)) con la solución obtenida por el planificador central (en la parte (b)). por lo que tampoco tiene incentivos a cambiar su decision. porque los que se vacunan tienen incentivos de cambiar se decision. En este caso el pago de lo squ eno se vacunan es de 81. V. la que se desprende de la cooperacion y no cooperacion de los individuos. ya que si no se vacunan pasan a ganar 81 y no los 80 que estarian ganando si se vacunan.9. N V. La demostracion de esto es la siguiente: Si todos los compa˜ neros se vacunan el pago de cada uno es igual a 80. V } no es equilibrio de NASH Analicemos que sucede con la estrategia de dos vacunados y uno no vacunado. y pasaria de los 72. Por lo tanto.9 a un pago de 80. porque dada esta situacion cualquiera de los tres podria cambiar su opcion a vacunarse unilateralmente. esto porque el pago que preocupa es la suma de los pagos individuales. Explique las diferencias si las hay. este no es un equilibrio de nash.9. En este caso particular no existen incentivos para que ni uno de los jugadores cambie su decision unilateralmente. sin embargo. el equilibrio encontrado es un equilibrio de cooperacion de parte de los individuos. V. N V. N V. En este caso los pagos de los tres compa˜ neros es de 72. En el primer caso. el pago de para los que se vacunan es 80. V. del planificador benevolente. es decir los equilibrios de NASH son: S = {V.es de 72. N V } no es un quilibrio de NASH Analicemos la situacion de que ninguno se vacuna. esto porque si los que no se vacunan deciden vacunarse pasan de un pago de 81 a uno de 80. Por lo tanto S = {V. mientras que en el caso de la parte c) no existe cooperacion y cada uno de los individuos toma su 6 . Por lo tanto S = {N V. Sea lo más formal y breve posible. (10) Explique porque es necesario considerar estrategias mixtas para asegurarse de que exista un equilibrio de Nash en juego finito en forma normal. sin embargo segun el teorema de NASH. Solution: Es necesario considerar estrategias mixtas para asegurarse de que existen equilibrios de NASH porque hay juegos con un numero finito de jugadores y numero de estrategias finitas que no tienen equilibrio de NASH en estrategias puras. De ahi que sea necesario utilizar estrategias mixtas para asegurarse de la existencia de equilibrios de NASH. 4.decision en base a su propio beneficio. todo juego con un numero finito de jugadores y un numero finito de estrategias para cada jugador. 7 . debido a que la maximizacion del beneficio propio no es igual a la del beneficio comun. tiene al menos un equilibrio de NASH si se permite el uso de estrategias mixtas. de ahi que los resultados sean distintos. 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