Cuarto Examen de Electricidad y Magnetismo I12/12/14 Universidad Nacional Autónoma de Honduras Nota Facultad de Ciencias Escuela de Física Pauta Examen de FS-321 (Valor 100 %) Nombre: ___________________________________ No. Cuenta: ____________ Catedrático: ________________________________Sección: ________________ Duración: 2 horas. Tipo Práctico (25% c/u) Resuelva en forma clara y ordenada los siguientes problemas. 1. Una esfera de radio a tiene su centro en el origen. Dentro de la esfera, el campo eléctrico está dado por ⃗⃗⃗⃗ 𝐸1 = 𝛼𝑥̂ + 𝛽 𝑦̂ + 𝛾 𝑧̂ , donde 𝛼, 𝛽 𝑦 𝛾 son constantes. Existe una densidad superficial de carga sobre la superficie de la esfera, dada en coordenadas esféricas por 𝜎 = 𝜎0 𝐶𝑜𝑠(𝜃), donde 𝜎0 = constante. Encuentre ⃗⃗⃗⃗ 𝐸2 en todos los puntos justo afuera de la esfera y expréselo en coordinadas rectangulares. Solución Ya que es una esfera, el vector unitario normal a la esfera es 𝑟̂ = 𝑥𝑥̂+𝑦 𝑦̂+𝑧 𝑧̂ 𝑎 𝐸⃗1 = 𝐸⃗1𝑛 + 𝐸⃗1𝑡 𝐸⃗1𝑛 = (𝐸⃗1 ∙ 𝑛̂)𝑛̂ = 𝐸⃗1𝑛 = (𝛼𝑥 + 𝛽 𝑦 + 𝛾 𝑧) 𝑟̂ 𝑎 (𝛼𝑥 + 𝛽 𝑦 + 𝛾 𝑧) (𝑥 𝑥̂ + 𝑦 𝑦̂ + 𝑧 𝑧̂ ) 𝑎2 𝐸⃗1𝑡 = 𝐸⃗2𝑡 𝐸2𝑛 = 𝐸1𝑛 + (𝛼𝑥 + 𝛽 𝑦 + 𝛾 𝑧) 𝜎0 𝑧 𝜎0 𝐶𝑜𝑠(𝜃) = + 𝜖0 𝑎 𝜖0 𝑎 𝐸⃗2 = 𝐸⃗2𝑛 + 𝐸⃗2𝑡 = (𝐸⃗1𝑛 + 𝜎0 𝑧 𝜎0 𝑧 𝑟̂ ) + 𝐸⃗1𝑡 = 𝐸⃗1 + 𝑟̂ 𝜖0 𝑎 𝜖0 𝑎 𝐸⃗2 = 𝛼𝑥̂ + 𝛽 𝑦̂ + 𝛾 𝑧̂ + 𝐸⃗2 = (𝛼 + 𝜎0 𝑧 𝑥 𝑥̂ + 𝑦 𝑦̂ + 𝑧 𝑧̂ ( ) 𝜖0 𝑎 𝑎 𝜎0 𝑧 𝜎0 𝑧 𝜎0 𝑧 𝑥) 𝑥̂ + (𝛽 + 𝑦) 𝑦̂ + (𝛾 + 𝑧) 𝑧̂ 2 2 𝜖0 𝑎 𝜖0 𝑎 𝜖0 𝑎 2 2. a) Asumiendo que no existe densidad superficial de carga libre, demostrar que los ángulos de la figura 1 satisface la relación 𝜅𝑒1 cot 𝜃1 = 𝜅𝑒2 cot 𝜃2. La región entre los materiales es un plano paralelo al plano “xy”. Si en la región 1 ke1 = 2.31 y en la región 2 ke2 = 4.00. b) Encontrar θ2 si θ1 = 30 .ͦ Solución Al no existir carga libre D1n = D2n Por otro lado E1t = E2t Al dividir estos términos se tiene: Figura 1: Campos eléctricos en la frontera entre dos dieléctricos h. Un capacitor de placas paralelas cuadradas de lado L.0° 3.31) 𝑇𝑎𝑛(30. ¿Cuál es la carga ligada volumétrica total? Encontrar el potencial debido a este sistema. Despreciar los efectos de borde y demostrar que el líquido subirá hasta una altura h dentro del capacitor. Encontrar 𝐷 puntos dentro de la esfera.0°)] ≈ 45. Se coloca entonces verticalmente con uno de sus extremos sumergido en un recipiente que contiene un dieléctrico líquido de densidad de masa 𝛿 (ver figura 2). de radio a también posee carga libre a densidad cons⃗ y 𝐸⃗ para todos los tante 𝜌0 . Encontrar la energía total de los campos dentro de la esfera. siendo Solución La capacitancia equivalente de este sistema está dada por: 1 𝐶𝑒𝑞 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑈 = = 1 1 𝑥 𝑑−𝑥 + = + 2 𝐶1 𝐶2 𝜖𝐿 𝜖0 𝐿2 1 𝑄2 1 𝑄2 (𝑥 + 𝑘𝑒(𝑑 − 𝑥) ) = 2 𝐶𝑒𝑞 2 𝜖 𝐿2 En este caso la carga es constante.l.00/2. ¿Cuál es el valor del potencial en el centro de la esfera? 1 𝑄2 (𝑘𝑒 − 1) 2 𝜖 𝐿2 (𝑘𝑒 −1)𝑄 2 2 𝜖 𝑔 𝛿 𝐿4 Solución La carga libre encerrada es: 𝑄𝑓 𝑒𝑛𝑐 = ∫ 𝜌0 𝑑𝑣 Si r < a 𝑄𝑓 𝑒𝑛𝑐 = 𝜌0 ( 𝑄𝑓 𝑒𝑛𝑐 = 𝜌0 ( 4 𝜋 𝑟3 ) 3 Si r > a Usando Ley de Gauss ⃗⃗⃗⃗ = 𝑄𝑓 ⃗ ∙ 𝑑𝑎 ∮𝐷 𝑒𝑛𝑐 Si r < a 𝐷= 𝜕𝑈 1 𝑄2 (1 − 𝑘𝑒 ) )=− 𝜕𝑥 2 𝜖 𝐿2 𝑄𝑓 𝑒𝑛𝑐 𝜌0 𝑟 = 2 4𝜋𝑟 3 4 𝜋 𝑎3 ) 3 . para toda r.Cuarto Examen de Electricidad y Magnetismo I 12/12/14 𝐷1𝑛 𝐷2𝑛 = 𝐸1𝑡 𝐸2𝑡 𝑜 𝜖1 𝐸1𝑛 𝜖2 𝐸2𝑛 = 𝐸1𝑡 𝐸2𝑡 𝜖0 𝑘𝑒1 𝐶𝑜𝑡(𝜃1 ) = 𝜖0 𝑘𝑒2 𝐶𝑜𝑡(𝜃2 ) 𝑘𝑒1 𝐶𝑜𝑡(𝜃1 ) = 𝑘𝑒2 𝐶𝑜𝑡(𝜃2 ) 𝑘𝑒1 /𝑇𝑎𝑛(𝜃1 ) = 𝑘𝑒2 /𝑇𝑎𝑛(𝜃2 ) 𝑇𝑎𝑛(𝜃2 ) = (𝑘𝑒2 / 𝑘𝑒1 ) 𝑇𝑎𝑛(𝜃1 ) 𝜃2 = 𝑇𝑎𝑛−1 [(4. Una esfera dieléctrica i. y separación d recibe una carga Q y se desconecta de la batería. 𝐹𝑒 = − ( 𝐹𝑒 = El sistema alcanza el equilibrio Cuando 𝐹𝑒 = 𝑚𝑔 = 𝛿 ℎ 𝐿2 𝑔 𝐹𝑒 𝛿 𝐿2 𝑔 = ℎ= 4. Cuarto Examen de Electricidad y Magnetismo I 12/12/14 Si r < a ⃗ = 𝐷 𝐸⃗ = 𝜌0 𝑟 𝑟̂ 3 ⃗ 𝐷 𝜌0 𝑟 = 𝑟̂ 𝜖 3𝜖 Si r > a 𝐷= 𝑄𝑓 𝑒𝑛𝑐 𝜌0 𝑎3 = 4 𝜋 𝑟2 3 𝑟2 𝐸= 𝐷 𝜌0 𝑎3 = 𝜖0 3 𝜖0 𝑟 2 La energía en los campos dentro de la esfera es: 𝑈 = 1 1 2𝜋 𝜋 𝑎 𝜌 2 𝑟 2 2 ⃗ ∙ 𝐸⃗ 𝑑𝑣 = ∫ ∫ ∫ 0 ∫𝐷 𝑟 𝑆𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑑𝜑 2 2 0 0 0 9𝜖 𝑎 1 𝑎 𝜌0 2 𝑟 4 𝜌0 2 𝑟 5 2 𝜋 𝜌0 2 𝑎5 𝑈 = (4𝜋) ∫ 𝑑𝑟 = 2𝜋 [ ] = 2 0 9𝜖 45 𝜖 0 45 𝜖 La polarización dentro de la esfera es: 𝑃⃗ = 𝜖0 𝜒𝑒 𝐸⃗ = ⃗ ∙ 𝑃⃗ = − 𝜌𝑏 = −∇ (𝑘𝑒 − 1)𝜌0 𝑟 𝑟̂ 3 𝑘𝑒 1 𝜕(𝑟 2 𝑃𝑟 ) (𝑘𝑒 − 1)𝜌0 =− 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑘𝑒 La carga ligada volumétrica total es: ∫ 𝜌𝑏 𝑑𝑣 = − (𝑘𝑒 − 1)𝜌0 4 𝜋 𝑎3 ( ) 𝑘𝑒 3 El potencial electrico es: Si r > a ⃗⃗⃗ = ∆𝑉 = − ∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑙 𝑟 𝑉𝑟 − 𝑉∞ = − ∫ ∞ 𝜌0 𝑎3 𝑑𝑟 3 𝜖0 𝑟 2 𝑟 𝜌0 𝑎3 𝑉𝑟 − 0 = [ ] 3 𝜖0 𝑟 ∞ 𝑉𝑟 = Si r < a 𝜌0 𝑎3 3 𝜖0 𝑟 . Solución ⃗ ∙ 𝑃⃗ = −3 𝑃𝑜 𝜌𝑏 = −∇ 𝜎𝑏1 = 𝑃⃗ ∙ 𝑛̂1 = 𝑃⃗ ∙ 𝑥̂ = 𝑃𝑜 𝑥𝑥=𝐿/2 𝜎𝑏1 = 𝑃𝑜 𝐿 2 𝜎𝑏2 = 𝑃⃗ ∙ 𝑛̂2 = 𝑃⃗ ∙ (−𝑥̂) = −𝑃𝑜 𝑥𝑥=−𝐿/2 𝜎𝑏2 = 𝑃𝑜 𝐿 2 Lo mismo ocurre con el resto de caras.Cuarto Examen de Electricidad y Magnetismo I 12/12/14 𝑟 𝑉𝑟 − 𝑉𝑎 = − ∫ 𝑎 𝑉𝑟 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑟 = 𝑟 𝜌0 𝑟 𝜌0 𝑟 2 𝜌0 (𝑟 2 − 𝑎2 ) 𝑑𝑟 = − [ ] =− 3𝜖 6𝜖 𝑎 6𝜖 𝜌0 (𝑟 2 − 𝑎2 ) 𝜌0 𝑎2 𝜌0 (𝑎2 − 𝑟 2 ) = + 6𝜖 3 𝜖0 6𝜖 2 𝜌0 𝑘𝑒 𝑎2 + 𝜌0 (𝑎2 − 𝑟 2 ) 𝜌0 𝑎2 (2 𝑘𝑒 + 1) − 𝜌0 𝑟 2 = 6𝜖 6𝜖 Si r = 0 𝑉𝑟 = 𝜌0 𝑎2 (2 𝑘𝑒 + 1) 6𝜖 Bono (16%) La polarización de un cubo dieléctrico de lados L. es decir 𝜎𝑖 = 𝑃𝑜 𝐿 2 La carga volumétrica ligada total es ∫ 𝜌𝑏 𝑑𝑣 = − 3 𝑃𝑜 𝐿3 𝑃𝑜 𝐿 La carga superficial ligada total es ∑𝑖 ∫ 𝜎𝑏 𝑖 𝑑𝑎 = 6 ( La carga ligada total es −3 𝑃𝑜 𝐿3 + 3 𝑃𝑜 𝐿3 = 0 2 𝐿2 ) = 3 𝑃𝑜 𝐿3 . b) Demuestre que la carga total ligada es cero. centrado en el origen. esta expresada por 𝑃⃗ = 𝑃𝑜(𝑥𝑥̂ + 𝑦𝑦̂ + 𝑧𝑧̂ ) . a) Determine las densidades superficial y volumétrica de carga ligada.