Teoria - Resumo• Probabilidades • Geometria • Área, Volume. Exercício 1: CESPE - 2011 - EBC - Cargos de Nível Superior - Conhecimentos Básicos - EXCETO Cargo 4 Advocacia Em pesquisa acerca dos hábitos dos brasileiros de se informarem, foram entrevistadas 12 mil pessoas em todas as unidades da Federação e o resultado foi o seguinte: • 46% dos entrevistados leem jornal e, entre estes, 25% tem o hábito de ler jornal todos os dias e 30% o fazem em apenas um dia da semana • 35% leem revista • 97% assistem TV • 80% ouvem rádio • 46% acessam internet Tendo como referência as informações acima, julgue os itens a seguir. Selecionando-se ao acaso um dos entrevistados, a probabilidade de ele ter o hábito de ler jornal todos os dias da semana é superior a 11% Resposta: • Correto. 46% dos entrevistados leem jornal e, entre estes, 25% tem o hábito de ler jornal todos os dias e 30% o fazem em apenas um dia da semana. Ou seja, 25% dos 46% que leem o jornal o fazem em um dia da semana. Logo, 0,25 x 46% = 0,115 ou seja, 11,5% Exercício 2: CESPE - 2011 - EBC - Cargos de Nível Superior - Conhecimentos Básicos - EXCETO Cargo 4 Advocacia Em pesquisa acerca dos hábitos dos brasileiros de se informarem, foram entrevistadas 12 mil pessoas em todas as unidades da Federação e o resultado foi o seguinte: • 46% dos entrevistados leem jornal e, entre estes, 25% tem o hábito de ler jornal todos os dias e 30% o fazem em apenas um dia da semana • 35% leem revista • 97% assistem TV • 80% ouvem rádio • 46% acessam internet Tendo como referência as informações acima, julgue os itens a seguir. Se todos os entrevistados assistem TV ou ouvem rádio, então a probabilidade de um desses, selecionado ao acaso, utilizar esses dois veículos para se informar é superior a 3 / 4 Resposta: • Correto. Questão simples. (uma coisa E outra = uma coisa x outra) 97% x 80% = 0,97 x 0,8 = 0,776 Ou seja, 77,6% fazem as duas coisas. Logo, basta comparar 75% é maior ou menor que 77,6%... Exercício 3: CESPE - 2011 - EBC - Cargos de Nível Superior - Conhecimentos Básicos - EXCETO Cargo 4 Advocacia As entrevistas e as análises dos currículos dos candidatos Carlos e Sérgio, realizadas pelo setor de recursos humanos de uma empresa, revelaram que a probabilidade de Sérgio ser contratado é igual a !; que a probabilidade de apenas Carlos ser contratado é igual a 1/4 ; que a probabilidade de Carlos não ser contratado é igual a 7/12. Nessa situação hipotética, a probabilidade de os dois candidatos serem contratados é igual a 1/6. Resposta: • Correto. P4 = Probabilidade dos dois Carlos P2 Sérgio P1:probabilidade de Sérgio ser contratado (!) P2: probabilidade de apenas Carlos ser contratado (1/4) P3: probabilidade de Carlos não ser contratado (7/12) P4 P1 P3 Probabilidade de Carlos ser contratado = 1 – P3 = 5/12 Probabilidade P4 = Probabilidade de Carlos ser contratado – P2 P4 = 5/12 – " = 5/12 – 3/12 = 2/12 = 1/6 Exercício 4: CESPE - 2011 - EBC - Cargos de Nível Superior - Conhecimentos Básicos - EXCETO Cargo 4 Advocacia As entrevistas e as análises dos currículos dos candidatos Carlos e Sérgio, realizadas pelo setor de recursos humanos de uma empresa, revelaram que a probabilidade de Sérgio ser contratado é igual a !; que a probabilidade de apenas Carlos ser contratado é igual a 1/4 ; que a probabilidade de Carlos não ser contratado é igual a 7/12. Nessa situação hipotética, a probabilidade de nenhum candidato ser contratado é igual a 1/3. Resposta: • Errado. P4 = Probabilidade de nenhum Carlos P2 Sérgio P1:probabilidade de Sérgio ser contratado (!) P2: probabilidade de apenas Carlos ser contratado (1/4) P3: probabilidade de Carlos não ser contratado (7/12) P4 P1 P3 P4 = Probabilidade de Carlos não ser contratado E probabilidade de Sérgio não ser contratado Probabilidade de Sérgio não ser contratado = 1 – ! = 1/2 P4 = 7/12 x 1/2 = 7/24 Exercício 5: CESPE - 2011 - EBC - Analista - Administração de Sistemas Ao tentar acessar o banco de dados por meio da conta de determinado usuário, a probabilidade de o invasor acertar a senha já na segunda tentativa é igual à probabilidade de tê-la acertado na primeira tentativa Resposta: • Errado. Como já usou uma tentativa, a probabilidade será maior. Lembrando que probabilidade = soma de eventos de interesse/ total de possibilidades Sabendo que, após uma tentativa, o total de possibilidades diminuiu, aumenta a possibilidade de acerto. Exercício 6: CESPE - 2011 - EBC - Analista - Administração de Sistemas Ao tentar acessar o banco de dados por meio da conta de um usuário cuja senha tem apenas 4 algarismos, a probabilidade de o invasor acertar a senha na primeira tentativa é superior a 1/5.000. Resposta: • Errado. Lembrando que probabilidade = soma de eventos de interesse/ total de possibilidades Evento de interesse = 1 Total de possibilidade = ___ ___ ___ ___ = 10000 10 10 10 10 Logo, P = 1/10.000 Exercício 7: CESPE - 2011 - EBC - Cargos de Nível Superior - Conhecimentos Básicos - Cargo 4 Advocacia Uma pesquisa de opinião, para verificar a viabilidade das candidaturas de um candidato a prefeito e de um candidato a vereador de determinado município, entrevistou 2.000 pessoas: 980 responderam que votariam apenas no candidato a prefeito; 680 responderam que votariam apenas no candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos. A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria nos dois candidatos é igual a 0,17. Resposta: • Correto. Prefeito P1 Vereador P4 P2 P3 P1: Apenas o prefeito (980) P2: Apenas o vereador P3: Vereador ou nenhum (680) P4: os dois N4 = (2000-N1) – N3 = 2000 – 980 – 680 = 340 P4 = Numero de interesse/ numero total = 340/2000 = 0,17 Exercício 8: CESPE - 2011 - EBC - Cargos de Nível Superior - Conhecimentos Básicos - Cargo 4 Advocacia Uma pesquisa de opinião, para verificar a viabilidade das candidaturas de um candidato a prefeito e de um candidato a vereador de determinado município, entrevistou 2.000 pessoas: 980 responderam que votariam apenas no candidato a prefeito; 680 responderam que votariam apenas no candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos. A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a prefeito é superior a 0,68 Resposta: • Errado. Prefeito P1 Vereador P4 P2 P3 P1: Apenas o prefeito (980) P2: Apenas o vereador P3: Vereador ou nenhum (680) P4: os dois Probabilidade pedida = P1 + P4 Probabilidade pedida = 980/2000 + 340/2000 = 1320/2000 = 0,66 Exercício 9: CESPE - 2011 - EBC - Cargos de Nível Superior - Conhecimentos Básicos - Cargo 4 Advocacia Uma pesquisa de opinião, para verificar a viabilidade das candidaturas de um candidato a prefeito e de um candidato a vereador de determinado município, entrevistou 2.000 pessoas: 980 responderam que votariam apenas no candidato a prefeito; 680 responderam que votariam apenas no candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos. Se a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a vereador for igual a 0,40, então 220 dos entrevistados responderam que não votariam em nenhum dos dois candidatos. Resposta: • Certo. Prefeito P1 Vereador P4 P2 P3 P1: Apenas o prefeito (980) P2: Apenas o vereador P3: Vereador ou nenhum (680) P4: os dois P2 + P4 = 0,40 = 4/10 = 800/2000 P1 + P2 + P4 => N1 + N2 + N4 = 980 + 800 = 1780 Probabilidade de nenhum = TOTAL – (N1+N2+N4) = 2000 – 1780 = 220 Exercício 10: CESPE - 2008 - MPE-RR - Analista de Sistemas Em uma urna há 100 bolas numeradas de 1 a 100. Nesse caso, a probabilidade de se retirar uma bola cuja numeração seja um múltiplo de 10 ou de 25 será inferior a 0,13. Resposta: • Certo. N1: Múltiplo de 10 = 10 possibilidades N2: Múltiplo de 25 = 4 possibilidades N3: Múltiplo de 10 e 25: 2 possibilidades (50 e 100) NT: Total de possibilidades: 100 Probabilidade de P1 OU P2 = P1 + P2 = 10/100 + 4/100 – 2/100 = 12/100 = 0,12 Exercício 11: CESPE - 2008 - MPE-RR - Analista de Sistemas Um dado não viciado é lançado duas vezes. Nesse caso, a probabilidade de se ter um número par no primeiro lançamento e um número múltiplo de 3 no segundo lançamento é igual a 1⁄6. Resposta: • Certo. N1: possibilidade de número par: 3 N2: número múltiplo de 3 = 2 N3: Múltiplo de 10 e 25: 2 possibilidades (50 e 100) Probabilidade de Par E Múltiplo de 3 = P1 + P2 = 3/6 . 2/6 = 1/6 Exercício 12: CESPE - 2008 - PC-TO - Delegado de Polícia Considere que 9 rapazes e 6 moças, sendo 3 delas adolescentes, se envolvam em um tumulto e sejam detidos para interrogatório. Se a primeira pessoa chamada para ser interrogada for escolhida aleatoriamente, então a probabilidades de essa pessoa ser uma moça adolescente é igual a 0,2. Resposta: • Certo. N1: quantidade de ser moça = 3 N2: Total de pessoas: 9 + 6 = 15 possibilidades Probabilidade de moça adolescente = (3/15) = 0,2 Exercício 13: CESPE - 2005 - TRT-16R - Analista Judiciário - Área Judiciária Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. Em cada jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma seqüência de dez dígitos, como, por exemplo, 0110011010. Considerando essas informações, julgue os próximos itens. A probabilidade de serem obtidas seqüências nas quais ocorra coroa nas primeiras 3 jogadas é inferior a ". Resposta: • Certo. N1: possibilidade de ser coroa: 1 N2: Total de possibilidades : 2 Probabilidade de ser coroa E coroa E coroa = ! x ! x ! = 1/8 Exercício 14: CESPE - 2007 - TRT - 9ª REGIÃO (PR) - Analista Judiciário - Área Judiciária De 100 processos guardados em um armário, verificou-se que 10 correspondiam a processos com sentenças anuladas, 20 estavam solucionados sem mérito e 30 estavam pendentes, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente. Nessa situação, a probabilidade de se retirar desse armário um processo que esteja com sentença anulada, ou que seja um processo solucionado sem mérito, ou que seja um processo pendente, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente, é igual a 3/5. Resposta: • Certo. N1: possibilidade de sentença anulada: 10 N2: possibilidade de solucionada sem mérito: 20 N3: possibilidade de pendentes: 30 N2: Total de possibilidades : 100 Probabilidade de um OU outro OU outro = 10/100 + 20/100 + 30/100 = 6/10 = 3/5 Exercício 15: CESPE - 2011 - PC-ES - Perito Criminal Especial – Básicos CESPE - 2011 - PC-ES - Cargos de Nível Superior - Conhecimentos Básicos - Delegado de Polícia, Médico Legista, Perito Criminal, Perito Especial A questão da desigualdade de gênero na relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico de pessoas para fins de exploração sexual, pois as vítimas são, na sua maioria, mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das Nações Unidas sobre Drogas e Crime, concluída em 2009, indicou que 66% das vítimas eram mulheres, 14% eram meninas, enquanto apenas 12% eram homens e 9% meninos. Se for escolhida ao acaso uma das vítimas indicadas na pesquisa, a probabilidade de que ela seja ou do sexo feminino ou um menino será inferior a 80%. Resposta: • Errado. P1: probabilidade de Sexo feminino: 66% + 13% = 79% P2: probabilidade de ser menino: 9% Probabilidade de P1 OU P2 = 79% + 9% = 88% Exercício 16: CESPE - 2011 - PC-ES - Cargos de Nível Superior - Conhecimentos Básicos - Escrivão de Polícia, Perito Telecomunicação, Perito Papiloscópico Para o bom desempenho das funções dos agentes, os departamentos de polícia frequentemente realizam compras de equipamentos. Para certa compra licitada, um fabricante ofereceu 6 modelos de radiotransmissores. Com base nessa situação, julgue o item que se segue. Suponha que, para cada lote de 3 radiotransmissores de determinado modelo, a probabilidade de 1 deles apresentar defeito é 0,25, de 2 deles apresentarem defeito é 0,025, e de 3 apresentarem defeito é 0,0005. Nessa situação, considerando que, se pelo menos 1 dos radiotransmissores de um lote apresentar defeito, todo o lote será rejeitado, é correto afirmar que a probabilidade de se rejeitar um lote é inferior a 25%. Resposta: • Errado. P1: probabilidade de apresentar uma falha : 0,25 P2: probabilidade de apresentar duas falhas: 0,025 P3: probabilidade de apresentar três falhas : 0,0005 Probabilidade de P1 OU P2 OU P3 = 25% + 2,5% + 0,5 % = 28% Exercício 17: CESPE - 2004 - Polícia Federal - Delegado de Polícia - Regional De acordo com o texto acima, se um candidato marcar ao acaso todas as respostas dos 120 itens que compõem as duas provas objetivas, a probabilidade de ele ser reprovado nessas provas será igual a (8/50) x (17/70) x (36/120) Resposta: • Errado. P1: probabilidade de ser reprovado em P1: (1/50) + (2/50) + (3/50) + … + (8/50) P2: probabilidade de ser reprovado em P2: (1/70) + (2/70) + … + (17/70) P3: probabilidade de ser reprovado em P3: (1/120) + (2/120) + … + (36/120) Probabilidade de P1 OU P2 OU P3 > (8/50) x (17/70) x (36/120) Exercício 18: CESPE - 2004 - Polícia Federal - Delegado de Polícia - Regional Em meio a tanta notícia ruim, acaba de aparecer uma que ainda consegue ser pior, porque ameaça não apenas o presente, mas o futuro de nosso futuro, ou seja, as crianças e os adolescentes. Se hoje suas vidas já são o que são, a perspectiva para os próximos anos é de aumento da violência e da desnutrição, e de queda na qualidade da educação. No relatório divulgado pela Organização das Nações Unidas (ONU), essa talvez seja a revelação mais inquietante. O que será o amanhã em que meninos e meninas estarão mais desnutridos, menos educados e mais violentos? O diagnóstico foi elaborado por 27 ONGs que monitoram políticas públicas nessa área - entre as quais UNESCO, UNICEF, fundações ORSA e ABRINQ - depois de analisarem o cumprimento das 21 metas do plano Um Mundo para Crianças, ratificadas pelo Brasil e por mais 188 países. Quanto à educação, há pelo menos duas previsões desanimadoras: taxa de escolarização no ensino médio 15,73% abaixo do prometido e atendimento na primeira infância aquém do esperado. Em relação à violência, o quadro é até previsível. De 1992 a 2002, os homicídios de pessoas de até 17 anos de idade aumentaram 136% - de 3 para 7,1 mortes por 100 mil habitantes. Em 2002, em uma cidade de 1 milhão de habitantes, a chance de um jovem de 16 anos de idade ser vítima de um crime de homicídio era, de acordo com o texto, igual a 0,071%. Resposta: • Errado. P1: probabilidade de morto: (7,1/100.000) = 0,0071/100 = 0,000071% Exercício 19: CESPE - 2011 - PC-ES - Cargos de Nível Superior - Conhecimentos Básicos - Delegado de Polícia, Médico Legista, Perito Criminal, Perito Especial Considere que os conjuntos A, B e C tenham o mesmo número de elementos, que A e B sejam disjuntos, que a união dos três possuia 150 elementos e que a interseção entre B e C possuia o dobro de elementos da interseção entre A e C. Nesse caso, se a interseção entre B e C possui 20 elementos, então B tem menos de 60 elementos. Resposta: • Certo. A e C = X B e C = 2X = 20 Logo, A e C = 10 elementos. Sabendo que A + B + C = 150 – (A e C) – (B e C) e A = B = C , teremos: B+B+B = 150 – 10 – 20 3B = 120 B = 40 A B C Exercício 20: CESPE - 2009 - SECONT-ES - Auditor do Estado – Tecnologia da Informação Em uma solenidade, 9 pessoas ficarão sentadas, lado a lado, no palco para serem homenageadas. Joaquim e Daniela, duas dessas 9 pessoas, desejam ficar um ao lado do outro, com Daniela sempre à direita de Joaquim. De acordo com essa configuração, julgue os próximos itens: Para respeitar a vontade de Joaquim e Daniela, a comissão organizadora do evento poderá acomodá-los de, no máximo, 7 maneiras diferentes. Resposta: • Errado. __ __ __ __ __ __ __ J D __ __ __ __ __ __ J D__ __ __ __ __ __ J D__ __ . . . 8 possibilidades Exercício 21: CESPE - 2007 - TRT-9R - Analista Judiciário - Área Administrativa O piso de uma sala deve ser revestido com peças de cerâmica em forma de triângulos retângulos isósceles cuja hipotenusa mede 16#2cm Calculou-se que seriam necessárias pelo menos 3.000 peças para cobrir todo o piso. Nessa situação, conclui-se que a área desse piso é superior a 38 m2. Resposta: • Certo. Dois triângulos isósceles contrapostos geram um quadrado. 3000 triângulos são 1500 quadrados. Vamos descobrir o valor do lado do triângulo: Sabe-se que hipotenusa = 16#2 Bom, l 2 + l 2 = (16#2) 2 2L 2 = 256x2 L 2 = 256 L = 16 Logo, a área de um quadrado é l 2 = 256 Atotal = 1500 * 256 cm 2 = 38,4 m 2 16#2 L L Exercício 22: CESPE - 2011 - PC-ES - Perito Criminal Especial – Básicos • Suponha, também, que as estações A, B e C tenham sido construídas em pontos equidistantes, de modo que a distância de uma dessas três estações para outra seja de 150 km. Com referência às informações contidas no texto acima e às considerações hipotéticas que a ele se seguem, e considerando 1,73 como valor aproximado para julgue os itens seguintes. • Supondo que uma nova estação, D, seja instalada em um ponto equidistante das estações A, B e C, então a distância da estação D para as estações A, B e C será inferior a 87 km. Resposta: • Certo. Considerando o triângulo ACD, tem-se que o ortocentro é 2/3 da altura. Bom, a altura é H = L.#3/2 Logo, O = 2/3 (L.#3/2) = L.#3/3 O = 150* (#3/3) = 66,51 km 150 150 150 Exercício 23: CESPE - 2011 - PC-ES - Cargos de Nível Superior - Conhecimentos Básicos - Escrivão de Polícia, Perito Telecomunicação, Perito Papiloscópico • Suponha que os potes de queijo tenham a forma de um tronco de cone de 7 cm de altura, em que o raio da base maior meça 4 cm e o da base menor, 3 cm. Nesse caso, tomando 3,14 como valor aproximado para é correto afirmar que essas embalagens têm capacidade para, no máximo, 250 mL. Resposta: • Errado. Decoreba: V = ¶ h (R 2 + r.R + r 2 ) / 3 V = 3,14 . 7 . (4 2 + 4.3 + 3 2 ) /3 V = 3,14 . 7. (16+12+9) /3 = 271, 08 cm 3 1 l = 1 dm 3 1 dm = 10 cm 1 dm 3 = 10 3 cm 3 1 Logo, 1 l = 1000 cm 3 1 ml = 1 cm 3 3 cm 4 cm 7 cm Exercício 24: CESPE - 2008 - PRF - Policial Rodoviário Federal Considere que um cilindro circular reto seja inscrito em um cone circular reto de raio da base igual a 10 cm e altura igual a 25 cm, de forma que a base do cilindro esteja no mesmo plano da base do cone. Em face dessas informações e, considerando, ainda, que h e r correspondam à altura e ao raio da base do cilindro, respectivamente, assinale a opção correta a) A função afim que descreve h como função de r é crescente b) b) O volume do cilindro como uma função de r é uma função quadrática. c) Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, então d) É possível encontrar um cilindro de raio da base igual a 2 cm e altura igual a 19 cm que esteja inscrito no referido cone. e) O cilindro de maior área lateral que pode ser inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 cm. Resposta: • Alternativa c. a) Tem-se a seguinte razão constante: 25/10 = (25-h)/r 25.r/10 = 25 - h h = 25 – 25r/10 (função decrescente) b) Volume do cilindro V = B.h = ¶r 2 . h = ¶ . r 2 . (25-25r/10) V = ¶.(25r 2 – 25r 3 /10) (função cúbica) c) Al = 2.¶.r.h = 2.¶.r.(25-25r/10) Al = 50¶r - 5¶r 2 (correto) d) Se r=2, h = 25 – 25.2/10 = 20cm Não dá para ter altura = 19cm e) Al = 50¶r - 5¶r 2 25 cm 10 cm r h Resposta: • Alternativa c. e) Al = 50¶r - 5¶r 2 Essa função é uma parábola invertida: 25 cm 10 cm r h Al r Ponto máximo de r: -b/2a b=50¶ a=-5¶ r= -50¶/(-2.5. ¶) = 5 cm Não tem como ser 6 cm! Exercício 25: CESPE - 2006 - TSE - Técnico Judiciário - Área Administrativa Um novo prédio de 40 m de altura está sendo planejado para um tribunal regional eleitoral. A figura acima ilustra a planta baixa da base desse novo prédio, composta de duas partes iguais, onde cada parte é formada por semicírculos concêntricos de diâmetros 40 m e 60 m, respectivamente. Tomando-se 3,1 como valor aproximado para !, é correto concluir que a área da base desse novo prédio é a) inferior a 1.600 m$. b) superior a 1.600 m$ e inferior a 2.000 m$. c) superior a 2.000 m$ e inferior a 2.400 m$. d) superior a 2.400 m$ Resposta: Os dois semi-circulos formam 1 círculo, basta calcular a área pela fórmula: A = ¶xR 2 . O Raio do círculo menor é de 20 e o maior é o de 30. Área Maior = ¶r 2 = ¶ . 30 2 = 2790 Área Menor = ¶r 2 = ¶ . 20 2 = 1240 2790 – 1240 = 1550 m 2 Alternativa a).