“AÑO DE LA CONSOLIDACIÓN DEL MAR DE GRAU”UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE CHOTA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL TEMAS 1. ESFUERZOS COMBINADOS 2. COLUMNAS Alumno Campos Quispe, Alex Neiser Profesor Ing. Luis Silva Tarrillo Chota – Perú 2016 INTRODUCCIÓN El desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el estudio de la resistencia de materiales, tomando como base los esfuerzos y las deformaciones para su análisis, estos son básicos para el entendimiento de los temas a tratar. La combinación de esfuerzos es algo que los ingenieros deben de enfrentar al momento de diseñar un elemento estructural debido a su geometría y a su aplicación, con diferentes concentraciones de esfuerzos, y debido a esta infinidad de posibles concentraciones de esfuerzos u otras características es de vital importancia conocer y entender los conceptos básicos de los que son los esfuerzos combinados. Pero en esta ocasión también se estudiara el tema de columnas ya que estas son frecuentemente usadas para soportar vigas o arcos sobre los cuales las partes superiores de las paredes o techos descansan por lo tanto en el presente trabajo abordaremos la clasificación y métodos para dimensionar una columna, como sabemos este elemento estructural cumple un rol fundamental en edificaciones, es por eso que este modesto trabajo va evocado para difundir algunos conceptos y metodología de desarrollo de los mismos. OBJETIVOS Investigar la teoría de Esfuerzos Combinados y analizar la interacción de esfuerzos al combinarse entre sí al ser aplicado a elementos estructurales Analizar la manera en que se relacionan los esfuerzos por carga axial, por carga de torsión y por carga de flexión cuando actúan conjuntamente, para determinar el esfuerzo neto Investigar la teoría de columnas para nosotros poder diseñar elementos estructurales que soporten las diferentes cargas sin llegar al punto de pandeo. Esto ocasiona la aparición de diferentes tipos de esfuerzos en los elementos estructurales. Su valor es . el esfuerzo normal de flexión es �f = My/I. flexión. cortante y torsión. compresión. 9-1b) los esfuerzos axiales se distribuyen uniformemente sobre cualquier sección transversal (Sec. 1-3). más bien a la interacción de varios esfuerzos de manera simultánea. si no. otras fuerzas y cargas exteriores que actúan sobre ellos. como se indica en la figura. COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y POR FLEXIÓN La viga simplemente apoyada de la figura 9-1a soporta una carga concentrada Q. 1. Pero en esta ocasión se estudiara los tres tipos básicos de cargas que son: axiales. Su determinación es de mucha utilidad en todas las ramas de la ingeniería. En el punto A. También es un método para seleccionar y dimensionar el material adecuado en un proceso de construcción Los elementos de una estructura deben de soportar. y la fuerza que actúa sobre un elemento diferencial de área A es �f dA. Es Una tensión dirigida perpendicularmente al plano de la sección recta. Si la misma viga apoyada en la misma forma se somete solamente a la acción de una fuerza axial P (Fig. de torsión y de flexión. Supongamos que la viga está unida a los apoyos en el centro de gravedad de la secciones extremas. esfuerzos de tracción. esfuerzo por carga de flexión o esfuerzo por carga de torsión.CAPITULO I ESFUERZOS COMBINADOS Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación de varios esfuerzos que son aplicados a un elemento siendo estos esfuerzos de carga axial.1. y su actuación conjuntamente de dos o más combinaciones posibles de esos esfuerzos. además de su propio peso. ya que por lo general los elementos analizados no están sometidos a un solo tipo de esfuerzo. La fuerza que actúa en el mismo elemento A es �a dA. la fuerza resultante que actúa sobre el elemento diferencial A es el vector suma de las dos fuerzas coaxiales �a dA. pero por encima de ella. Si a los esfuerzos de tensión se les da signo positivo y a los de compresión. en un punto B de la misma sección.�a = P/A y también es una tensión perpendicular a la sección recta. Si ambas cargas actúan simultáneamente en la viga (Fig. el . Y �f dA. el esfuerzo resultante es la diferencia entre los esfuerzos axial y por flexión. En efecto. Dividiendo esta fuerza entre el área dA se deduce el esfuerzo resultante � = �a + �f dirigido perpendicularmente a la sección recta. negativos. también a distancia y de la línea neutra. Análogamente. 9-1c) el esfuerzo resultante en A se obtiene como superposición de los dos efectos aislados. la flexión producida por una carga transversal Q en una viga. el momento flexionante producido por P en cualquier sección. Este es el motivo de poner los signos positivo y negativo delante de P/A. como se aclara a continuación. el efecto puede tener su importancia y deben emplearse otros procedimientos más exactos de cálculo. y al contrario ocurre si se trata de una compresión axial. tiende a disminuir el momento flexionante producido por Q y. los valores dados por la ecuación (9-1) son algo mayores que los reales si P es de tensión. Ahora bien. . Obsérvese que el esfuerzo axial puede ser de tensión o de compresión. La figura 9-2 muestra. y menores que los reales si P es una compresión. por tanto. Si P es de tensión. y que vale . En la ecuación (9-1) se ha aplicado el método de superposición. si las deflexiones son muy pequeñas. hay que tener en cuenta la modificación que la carga axial puede introducir en el momento flexionante. muy exageradamente. es decir. Pero si las barras son largas y flexibles. reduce los esfuerzos por flexión. como en la figura 9-2a. Este efecto es despreciable en muchas ocasiones si las barras o elementos de la estructura son tan rígidos que los esfuerzos producidos por P� son muy pequeños frente a los producidos por el momento flexionante de las fuerzas transversales Q. y el rodearlos con un círculo es para recordar que el esfuerzo axial es uniforme en toda la sección recta. En otras palabras.esfuerzo resultante en un puto cualquiera de la viga dado por la suma algebraica de los esfuerzos axial y de flexión en aquel punto: O bien. La superposición de un sistema nulo. el esfuerzo resultante tiene la forma de la figura 95e. que aparece en la figura 9-5c. Los esfuerzos en una sección cualquiera m-n son el resultado de la superposición del esfuerzo axial �a = P/A de compresión. y del esfuerzo por flexión �f = Mc/I = (Pe)/I que se ve en la figura 9-5d. El punto de esfuerzo nulo es la .1. CARGAS APLICADAS FUERA DE LOS EJES DE SIMETRÍA Un caso particular de esfuerzos axiales y de flexión combinados es el que representa la figura 9-5a en la que un puntal de pequeña longitud soporta una carga P aplicada con una cierta excentricidad con respecto a uno de los ejes principales de la sección. NÚCLEO CENTRAL DE UNA SECCIÓN. da lugar al sistema equivalente indicado en la figura 9-5b. dos fuerzas iguales y opuestas y del mismo módulo que P. aplicadas en el centro de gravedad de la sección.2. Si el esfuerzo por flexión máximo es mayor que el esfuerzo axial. Es evidente que si el esfuerzo axial de compresión es igual o mayor que el máximo esfuerzo de flexión. En donde. Para conseguir esto en una sección rectangular de ancho b y altura h con P aplicada con una excentricidad e (sobre la altura h. figura 9-6) se ha de tener: . no existirá zona alguna que trabaje a tensión.nueva posición de la línea neutra y se encuentra fácilmente hallando la distancia a la que el esfuerzo por flexión (positivo) es igual al esfuerzo axial (negativo). Por tanto. se tiene: . el esfuerzo � en un punto cualquiera (x. o línea de esfuerzo nulo. siendo ry y rx . y) de la sección viene dado por: Para determinar la línea neutra. la excentricidad máxima paro no tener tensión es: Esta fórmula es el fundamento de la regla usual en diseño de obras de ladrillo o de otros materiales muy poco resistentes a tensión.En estas condiciones. Consideremos ahora el caso general en el que la carga P se aplica en un punto arbitrario de una sección cualquiera. de que la resultante de las cargas debe pasar por el tercio central de la sección. Pe y y Pex. Por superposición. respectivamente. siendo sus coordenadas ex y ey con respecto a los ejes principales de la sección. como indica la figura 9-7. Teniendo en cuenta que los radios de giro respecto de los ejes Y y X. se resuelve la ecuación � = 0. Los momentos de P con respecto a los ejes X y Y son. Sustituyendo � = 0. no es perpendicular a la dirección OP. Vamos a determinar ahora las coordenadas e x y ey de la carga P para las que la línea neutra pase por una esquina B. la intersección de la línea neutra con AB y con BC se calcula por semejanza de triángulos. en la figura 9-8b se representa la distribución de esfuerzos en una sección rectangular cuando la fuerza P se aplica en un punto fuera de los ejes principales (Fig.Que es la ecuación de una recta cuyas intersecciones con los ejes (ordenada y abscisa en el origen) se obtienen anulando y para obtener u. y luego x para obtener v. como en la figura 9-8c.N. en la ecuación (a). y y = -b/2 en la ecuación (9-4) resulta: . Por ejemplo. B y C. 9-8c). Obsérvese que la intersección puede estar en las prolongaciones (Fig. en general. Se tiene: Quiere esto decir que E. pasa por el cuadrante opuesto aquel adonde actúa P y. x = -h/2. Si se calculan los esfuerzos en A. 9-8a). El elemento rayado de la figura 9-9b está sometido únicamente a esfuerzo normal. Como se puede ver en la figura 9-9a. los esfuerzos varían según la dirección u orientación del elemento diferencial que se considere en dicho punto. y b-b esta inclinada con respecto a la resultante R. Esta línea es el lugar geométrico de los puntos de aplicación de P que producen en esfuerzo nulo en B.Simplificando. o por un borde rectilíneo. se produce un esfuerzo nulo en C. producidos por N y T. como se indica en la figura 9-9b. Esta zona de la sección se llama núcleo de la misma Se demuestra de forma análoga que el núcleo de una sección circular es otro círculo de diámetro igual a un cuarto del diámetro de la sección. en el cual se hacen pasar por el mismo punto dos secciones de exploración a-a y b-b. se tiene un sólido sometido a la acción de fuerzas de equilibrio. . está sometido a esfuerzos normal y cortante.3. que corta a los ejes X y Y en h⁄6 y b⁄6. respectivamente. ya que la línea neutra pasará o fuera de la sección. es evidente que ningún punto de la sección podrá estar sometido a tensión si la carga se aplica dentro o en el borde del rombo rayado de la figura. o por una esquina. pero el elemento en el mismo punto que está en la figura 9-9c. Análogamente. Continuando el procedimiento. donde aa es perpendicular a la dirección de la resultante R de P1 y P2. Que es la ecuación de la recta m-n de la figura 9-8d. respectivamente. VARIACIÓN DEL ESFUERZO CON LA ORIENTACIÓN DEL ELEMENTO La magnitud y el tipo de esfuerzo dependen de la orientación o inclinación del elemento a considerar. como se puede ver en la figura 9-9c. la recta m1n1 es el lugar geométrico de los puntos en los que P. 1. Entonces se puede observar que para un mismo punto de un sólido que está sometido a un estado de esfuerzos (ubicados en la intersección de a-a y bb). Por ejemplo en el caso de vigas. con la fórmula de flexión se pueden determinar los valores del esfuerzo normal que aparecen en el plano perpendicular al eje de la viga. Esto es muy importante y lo que se persigue es determinar en qué planos se representan los esfuerzos máximos y calcular sus valores. como se muestra en la figura 9-10. También se puede calcular el esfuerzo cortante en estos dos planos. con su correspondiente formula se obtiene el valor del esfuerzo cortante en planos perpendiculares al eje de la barra. Entonces cuando una barra está sometida simultáneamente a flexión y a torsión. Existen dos métodos para determinar . se calculan los esfuerzos correspondientes a ambos tipos de esfuerzo. En el caso de torsión. pero solamente si los elementos están orientados como se puede ver en esta figura. se hace imposible hallar directamente los valores de los esfuerzos en un plano que tenga una dirección cualquiera. Pero existirá una determinada posición u orientación en donde el esfuerzo normal será máximo. como lo indica la figura 9-9. En forma general.En las secciones siguientes se estudia cómo varían los esfuerzos con la orientación del elemento. ESFUERZO EN UN PUNTO El esfuerzo en un punto define el esfuerzo medio uniformemente distribuido sobre un elemento diferencial de área. en el que los esfuerzos actúan paralelamente a un plano. 1. y del valor del esfuerzo normal cuando es máximo. tal . se puede representar por los esfuerzos que actúan sobre un elemento diferencial de volumen que rodee el punto considerado. Por ejemplo �x.z el cual es el esfuerzo uniforme que actúa sobre el área diferencial dydz. Cuando el esfuerzo en un punto se define por las componentes que actúan en varias direcciones en el espacio. En esta sección. y el otro método es el grafico utilizando el círculo de Mohr.esta posición u orientación del elemento.y.4. En la figura 9-12 se muestra las componentes del esfuerzo presentes en un elemento diferencial. solo se considera el estado plano o bidimensional de esfuerzos. �y y �xy los esfuerzos en un punto. En la figura 9-11 se muestra el esfuerzo normal en la dirección X que existe en un punto de coordenadas x. Los cuales son: el analítico usando expresiones matemáticas. así como los esfuerzos cortantes �xz y �yz que se producen en las caras X y Y. EJERCICIOS RESUELTOS Problema N° 01 . respectivamente.como el XY. En un estado tridimensional de esfuerzos la cara Z de un elemento queda sometida a la acción de un esfuerzo normal �z . los esfuerzos �xz y �yz son numéricamente iguales. . . Problema N° 02 . . . La carga de flexión de la figura 7-2 (c) produce esfuerzos de tensión en las fibras superiores y esfuerzos de . pues en ese lugar el momento flexionante es máximo.Problema N° 03 Calcular los esfuerzos máximos y localizar el eje neutro en la viga en voladizo de 40mm x 100mm como se indica en la figura 7-2 Solución El esfuerzo máximo ocurrirá en el extremo empotrado. lo bastante delgado respecto su longitud.compresión en las fibras inferiores. Entonces: Luego: CAPITULO II COLUMNAS Una columna es un elemento axial sometido a compresión. experimenta una flexión lateral despreciable. aunque esté cargado excéntricamente. Esto se diferencia de un poste corto sentido a compresión. Aunque no existe una limita perfectamente establecido entre elemento corto y . para que abajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menos que la necesaria para romperlo por aplastamiento. La carga axial de la figura 7-2 (b) produce esfuerzos de tensión en todas las fibras. el cual. se suele considerar que un elemento a compresión es una columna si su longitud es más de diez veces su dimensión transversal menor.columna. Todo esto se representa muy exageradamente en la figura 11-1. Una columna ideal es un elemento homogéneo. lo bastante delgado respecto su longitud. en una sección cualquiera m . las columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y de fabricación. Una columna es un elemento axial sometido a compresión. A veces. con respecto al centro de gravedad. por aplastamiento. inicialmente perpendicular al eje. junto con la posición de la carga. y el esfuerzo resultante está producido por la superposición del esfuerzo directo de compresión y el esfuerzo de flexión (o mejor dicho. La curvatura inicial de la columna. dan lugar a una excentricidad indeterminada e. así como una inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la carga.n. Sin embargo. aplastamiento y pandeo. por combinación de esfuerzas. . Las diferencias entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento. El estado de carga en esta sección es similar al de un poste corto cargado excéntricamente. y los postes cortos. Las columnas largas re rompen por pandeo o flexión lateral. para que abajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menos que la necesaria para romperlo por aplastamiento. por flexión). Las columnas suelen dividirse en dos grupos: Largas e Intermedias. los elementos cortos a compresión se consideran como un tercer grupo de columnas. de sección recta constante. las intermedias. y sometido a compresión. y el esfuerzo de flexión es insignificante comparado con el esfuerzo de compresión directo. en la zona intermedia no es posible determinar exactamente la forma en que varían estos dos tipos de esfuerzos. Sin embargo. Así. una columna corta soporta fundamentalmente el esfuerzo directo de compresión. que es mucho más flexible ya que las flexiones son proporcionales al cubo de la longitud. Cuando aumenta la longitud de una columna disminuye la importancia y efectos del esfuerzo directo de compresión y aumenta correlativamente las del esfuerzo de flexión. y una columna larga está sometida principalmente al esfuerzo de flexión. Es esta indeterminación la que da lugar a la gran variedad de fórmulas para las columnas intermedias. es decir. pues. la columna larga está sometida esencialmente a esfuerzos de flexión y la intermedia lo . criterio alguno de diferenciación entre columnas largas e intermedias. la flexión lateral es despreciable. acompañado de un esfuerzo directo de compresión despreciable. o la proporción con la que cada una contribuye al esfuerzo total. hasta aquí. en las dos situaciones extremas. No se ha dado. en un elemento largo. con un valor relativamente pequeño de la carga P puede producirse un esfuerzo de flexión grande. Por desgracia. excepto en su forma de trabajar.Si la excentricidad es pequeña y el elemento es corto. en el límite. como se indica en la fig. de manera que produzca flexión según la dirección de máxima flexibilidad. Entonces. Pcr es la carga crítica necesaria para mantener la columna deformada sin empuje lateral alguno.está a esfuerzos de flexión y compresión directa. Apliquemos una fuerza horizontal H en su punto medio. en el centro no varíe. La distribución entre ambos tipos de acuerdo con su longitud sólo puede comprenderse después de haber estudiado las columnas larga 2. articulémosla en sus extremos mediante rotulas que permitan la flexión en todas sus direcciones. CARGA CRITICA Coloquemos verticalmente una viga muy esbelta. no experimentaran alguna si se añade una fuerza axial P en cada extremo. como en la figura 11-2b. Es estas condiciones. el momento flexionarte en el centro es: Y. Como los esfuerzos de flexión son proporcionales a la flexión. 11-2c. como se indica en la figura 11-2a. Un pequeño incremento de P sobre este valor crítico hará que aumente la . cuando H ha disminuido hasta anularse. y haciendo que H disminuya simultáneamente con el aumento de P de manera que la flexión δ.1. la pendiente dy/dx es pequeña y se puede aplicar la ecuación diferencial aproximada de la elástica de una viga: El momento M es positivo en la Fig. pues. Ahora se sabe que este análisis es válido hasta que los esfuerzos alcanzan el límite de proporcionalidad. aunque en equilibrio inestable. Por lo que él no tuvo en cuenta la existencia de un límite superior de la carga crítica. el momento sería negativo. 2. 11-3 al pandear la columna en el sentido contrario al del reloj. es decir. Así. la carga crítica puede interpretarse como la carga axial máxima a la que puede someterse una columna permaneciendo recta. disminuye la deflexión. si P disminuye ligeramente por debajo de su valor crítico. el gran matemático suizo Leonardo Euler realizó un análisis teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basado en la ecuación diferencial de la elástica EI(d2y/dx2) = M.. de acuerdo con el criterio de signos adoptado. etc. y la columna termina por enderezarse por completo. Por el contrario. de manera que un pequeño empuje lateral haga que se deforme y quede pandeada. . FORMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS Y MUY ESBELTAS En el año 1757. 11-2c. La figura 11-3 muestra la línea eje de una columna en equilibrio bajo la acción de la carga crítica P. Se supone que la columna tiene los extremos articulados (mediante rótulas o pasadores) de manera que no pueden tener desplazamientos laterales. En tiempo de Euler no se habían establecido los conceptos de esfuerzo. con lo cual volverá aumentar δ y así sucesivamente hasta que la columna se rompa por pandeo. lo que incrementará M. ha de ir precedida del signo menos. ni de límite de proporcionalidad. como en la fig. En estas condiciones. lo que a su vez hace disminuir M. en la dirección de y positiva.2. por lo que al ser la y negativa.deflexión δ. Si la columna se pandeara en sentido contrario. vuelve a disminuir δ. La deflexión máxima δ es lo suficientemente pequeña para que no exista diferencia apreciable entre la longitud inicial de la columna y su proyección sobre el eje vertical. y y = 0. presentamos dos métodos para resolverla. Sin embargo.La ecuación anterior (a) no se puede integrar directamente. de la que se obtiene . como se hacía anteriormente ya que allí M solamente era función de x. por analogía. y = 0. Conociendo algo de dinámica nos damos cuenta que la ecuación anterior es semejante a la ecuación de un cuerpo que vibra simplemente: Para lo cual una solución general es: De aquí. la solución (a) viene dada por Al aplicar las condiciones de frontera para x = 0. para x = L. lo que da C 2 = 0. . . . 2.3. La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede producir el pandeo no depende de la resistencia del material. pues. Por este motivo. La tendencia al pandeo tiene lugar. con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta. LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER Una columna tiene a pandearse siempre en la dirección en la cual es más flexible. Como la resistencia a la flexión varia con el momento de inercia. sino de sus dimensiones y del módulo de elástico. el valor de I en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. dos barras de . aunque sus resistencias son muy diferentes tienen prácticamente el mismo modulo elástico. EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio N° 01 Determine la intensidad permisible máxima W de la carga distribuida que puede aplicarse al elemento BC sin causar que el elemento AB se pandee. Para determinar este esfuerzo. Suponga que AB es de acero y esta artuculado en sus extremos para el pandeo del eje x –x y fijo en sus extremos para el pandeo del eje y – y. para aumenta la resistencia al pandeo. Así pues. dado la anotación del párrafo precedente. interesa aumentar lo más posible el momento de inercia de la sección. La cantidad L/r es la relación de esbeltez de la columna. el material debe distribuirse tan lejos como sea posible del centro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean iguales. Es claro. �y = 360MPa . E ac = 200GPa. o lo más parecidos posible (como en una columna hueca) Para que la fórmula de Euler sea aplicable. Para un área dada. se sustituye en la fórmula el momento de inercia I por Ar2 . use un factor de seguridad con respecto al pandeo de 3. que el mínimo valor del radio de giro r debe usarse al calcular la relación de esfuerzo y el esfuerzo crítico de la columna. una de acero de alta resistencia y otra de acero suave. donde A es el área de la sección recta y r es el radio de giro mínimo. el esfuerzo que se produzca en el pandeo no debe exceder al límite de proporcionalidad. se pandearán bajo la misma carga crítica ya que.idénticas dimensiones. La ecuación anterior muestra que el esfuerzo crítico es proporcional al módulo de elasticidad del material e inversamente proporcional al cuadrado de la relación de esbeltez de la columna. 75 .Solucion Eje y – y Eje x – x Luego: Ejercicio N° 02 La columna W12x87 de acero A-36 tiene una longitud de 12 pies. Si su extremo inferior se encuentra fijo y su extremo superior esta libre. Use un factor de seguridad con respecto al pandeo de 1. determine la mayor carga axial que puede soportar. Solucion luego Ejercicio N° 03 . Por lo tanto seleccionamos un perfil W200X36 Ejercicio N° 04 . Solución Se tiene que K = 0. determinar la carga critica si la parte inferior esta fija y la parte superior esta articulada. Ew = 1.La columna de 10 pies tiene las dimenciones mostradas en la figura.6x103 Ksi.7 . �y = 5Ksi. 2 ry 14.5 se puede soportar en forma segura la carga σy = 250 Mpa y E= 200Gpa. Escogiendo el menor de los dos radios de giro.34 m CONCLUSIONES Mediante la aplicación de la teoría y conocimientos prácticos en el análisis de estructuras. Considere Si la carga de 60 kN ha se ser soportada en forma segura.2 La hipótesis sobre L/r ≥ Cc es correcta. debe tenerse σperm= P 60 x 103 N = =41.1 x 106 Pa 2 L r () L/r= 158.42) Cc2= 2 9 2 π 2 E 2 π (200 x 10 ) = =15.92 1.7 6 σy 250 x 10 Suponiendo que L/r ≥ Cc se usa la ecuación (10. la (10. resulta L L = =158.1 x 106 −6 2 A 1460 x 10 m Por otra parte. se tiene 12 1.Ejercicio N° 05 Determine la mayor longitud L no apoyada para la cual un elemento AB a compresión S100x11.79 x 103 =125. es más comprensible el comportamiento de las mismas bajo cargas soportadas.92 x r r r () () ( ) Igualando esta expresión por al valor requerido de σperm .028 x 10 Pa =41.43) y se escribe 2 9 π (200 x 10 Pa) 1. .8 x 10−3 m❑ L=2. para el límite de fluencia dado. céntrica mostrada.028 x 1012 Pa π2 E σperm= = = L 2 L 2 L 2 1. Mecánica de materiales. R. México. 6ta edición.V. Hibbeler. 5ta edición 2010. esto proporciona los elementos necesarios para el diseño de las mismas. Editorial McGraw-Hill. resistencia de materiales. Con los cálculos ejecutados se obtienen los esfuerzos principales y esfuerzos cortantes en un punto de una estructura. Mecánica de Materiales. Resistencia de materiales. 2006. Editorial mexicana. Mecánica de Materiales. 7ma. Cengage Learning Editores. Gere. Editorial McGraw-Hill. S.Singer.A de C. 2009. Nicholas Willems. y permite colocar los apoyos en puntos clave. 1988. Edición. Pytel .. donde el esfuerzo es máximo para que la estructura se mantenga estable Se investigó y estudió la teoría de columnas y los diferentes cálculos que debemos realizar para nosotros poder diseñar elementos estructurales que soporten las diferentes cargas sin llegar al punto de pandeo REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Beer y Johnston. . 1994. C. Editorial PEARSON EDUCACION James M.
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