CÁLCULO III Producto Académico N° 1Producto Académico N° 1 Control de lectura 1 Instrucciones: Resuelva el problema de mezcla propuesto. JUSTIFICACIÓN Este proyecto promoverá una visión más general de lo que es el uso de ecuaciones diferenciales en mezclas; buscando brindar el conocimiento de este campo a los estudiantes que no han sabido solucionar problemas con relación al tema de mezclado como por ejemplo: A. ¿Cómo varía la concentración de soluto en función del tiempo en un tanque cuando el gasto de entrada y salida son iguales? B. ¿Cómo varía la concentración de soluto en función del tiempo en un tanque cuando el gasto de entrada y salida son diferentes? INTRODUCCIÓN Al mezclar dos soluciones salinas de distintas concentraciones se da pie a una ecuación diferencial de primer orden, que define la cantidad de sal que contiene la mezcla, tema que es muy importante para la formación y desarrollo del conocimiento ingenieril, el cual necesitan manejar a la perfección los futuros aspirantes a ser profesionales en el campo de la ingeniería. OBJETIVO GENERAL Obtener el modelo matemático que determina la concentración de sal en cualquier instante en un tanque dado sus condiciones iniciales. OBJETIVO ESPECÍFICOS Determina la cantidad de sal en cualquier instante en el tanque. Para cierta concentración de soluto determina el tiempo transcurrido. 1|P ági na 𝑑𝐴 𝐴 (𝑡 ) = 3∗2−2∗ 𝑑𝑡 (3 − 2)𝑡 + 300 𝑑𝐴 2𝐴 (𝑡) = 6− 𝑑𝑡 𝑡 + 300 𝑑𝐴 2𝐴(𝑡) + =6 𝑑𝑡 𝑡 + 300 𝑑𝐴 (𝑡 + 300)2 + 2𝐴(𝑡)(𝑡 + 300) = 6(𝑡 + 300)2 𝑑𝑡 𝑑(𝐴(𝑡)(𝑡 + 300)2 ) = 6(𝑡 + 300)2 𝑑𝑡 𝐴(𝑡)(𝑡 + 300)2 = 6 ∫(𝑡 + 300)2 𝑑𝑡 𝐴(𝑡)(𝑡 + 300)2 = 2(𝑡 + 300)3 + 𝑎 2|P ági na . Una ecuación diferencial que expresa la cantidad de sal A(t) que hay en el tanque al tiempo “t”. Otra salmuera ingresa al tanque a una razón de 3 gal/min y la solución bien mezclada sale a una razón lenta de 2 gal/min. CÁLCULO III Producto Académico N° 1 PROBLEMA PROPUESTO Suponga que un tanque grande de mezclado contiene inicialmente 300 galones de agua. Si la concentración de solución que entra es 2 lb/gal. en los que se han disuelto 50 libras de sal. determina: a. 5𝑡 + 300 𝑑𝐴 3. 54000000 54000000 𝐴(5) = 2(5 + 300) − (5+300)2 = 610 − = 610 − 580. ¿Cuál es la ecuación diferencial en el caso de que la solución bien mezclada sale a una razón más rápida de 3.489 = 28.5 ∗ 𝑑𝑡 (3 − 3.5𝐴(𝑡) − =6 𝑑𝑡 0.5)𝑡 + 300 𝑑𝐴 3.5 gal/min? 𝑑𝐴 𝐴 (𝑡 ) = 3 ∗ 2 − 3. Cantidad de sal después de 5 minutos. CÁLCULO III Producto Académico N° 1 𝑎 𝐴(𝑡) = 2(𝑡 + 300) + (𝑡 + 300)2 𝑡 = 0. 𝐴(𝑡) = 0 𝑎 0 = 600 + 90000 𝑎 = −54000000 54000000 𝐴(𝑡) = 2(𝑡 + 300) − (𝑡 + 300)2 b.51 93025 c.5𝐴(𝑡) = 6+ 𝑑𝑡 0.5𝑡 + 300 𝑑𝐴 7𝐴(𝑡) − =6 𝑑𝑡 𝑡 + 600 3|P ági na . CÁLCULO III Producto Académico N° 1 𝑑𝐴 𝑑𝑡 7𝐴(𝑡) 6 7 − 8 = (𝑡 + 600) (𝑡 + 600) (𝑡 + 600)7 𝑑𝐴 𝑑𝑡 𝑑 1 6 7 + 𝐴( 𝑡 ) ( 7 )= (𝑡 + 600) 𝑑𝑡 (𝑡 + 600) (𝑡 + 600)7 𝑑(𝐴(𝑡)/(𝑡 + 600)7 ) 6 = 𝑑𝑡 (𝑡 + 600)7 𝐴 (𝑡 ) 1 7 = 6∫ 𝑑𝑡 (𝑡 + 600) (𝑡 + 600)7 𝐴 (𝑡 ) 1 7 = −6 ( )+𝑎 (𝑡 + 600) 6(𝑡 + 600)6 𝐴 (𝑡 ) −1 = +𝑎 (𝑡 + 600)7 (𝑡 + 600)6 𝐴(𝑡) = −(𝑡 + 600) + 𝑎(𝑡 + 600)7 𝑡 = 0. 𝐴(𝑡) = 0 0 = −600 + 𝑎(600)7 𝑎 = 1/6006 1 𝐴(𝑡) = −(𝑡 + 600) + (𝑡 + 600)7 6006 4|P ági na . PLANTEAMIENTO Se anticipa como las matemáticas y más exactamente las ecuaciones diferenciales modela el comportamiento desde el momento que se inicia el proceso. 1 𝐴(5) = −(5 + 600) + (5 + 600)7 = −595 + 635. Interprete el proceso para un tiempo prolongado en este último caso. Siendo una particularidad el planteamiento de la ecuación de la continuidad para este caso de la vida cotidiana y muy frecuente que se presentan en muchas compañías. 1 𝐴(𝑡) = −(𝑡 + 600) + (𝑡 + 600)7 6006 Para un tiempo prolongado A(t) crecerá. 5|P ági na . CÁLCULO III Producto Académico N° 1 d.89 6006 e. Cantidad de sal después de 5 minutos en este último caso.887 = 40.