Universidad Alas PeruanasFacultad de Ingenier´ ıa y Arquitectura Escuela de Formaci´ on Profesional de Ingenier´ ıa Civil CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II DOCENTE: Ing.DE LA CRUZ ORIUNDO HUGO PAVEL INFORME: ´ DE OTTO MOHR A LA CONTRIBUCION INGENIER´ IA CIVIL ALUMNO: VALDEZ OCHOA DAVID ´ AYACUCHO - PERU 29 de octubre de 2012 . . . . . CONTRIBUCION IA DE LA CONSTRUCCION RA Y ACERO . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teor´ ıa del c´ ırculo de Mohr para dos dimensiones . .3. . . . . . CONTRIBUCION ´ ´ 1. . . . . .5. . USOS . .5. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES . . . CIRCULO DE MOHR . . BIOGRAFIA DE OTTO MOHR . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . .8. . VENTAJAS . . . . . 1. . . . . MATERIALES . . . . . . . . . . . . .3. . . .2. . DERIVACION GENERAL DE MAXWELL . ´ MAS ´ SIMPLE Y MAS ´ EXTENSA DEL METODO ´ 1. . . .´ Indice general ´ DE OTTO MOHR A LA INGENIER´ I CONTRIBUCION IA CIVIL 6 ´ DE OTTO MOHR 1. . CERCHAS . . METODO DE LAS CARGAS ELASTICAS O LA VIGA CONJUGADA . .1. Teor´ ıa del c´ ırculo de Mohr para estados tensionales tri . . 1. . . CONTRIBUCION IA DE LAS ARMADURAS CON NUDOS R´ IGIDOS .1. ´ ´ 1. .5. . . . . . . . . . . 18 2 . . . . . . . . . . . . 7 7 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11 II III IV ´ CONCLUSION ´ BIBLIOGRAFICA ANEXO 12 14 16 2. . . . . .7. . . . . . . LOGROS CIENT´ IFICOS . . .2. . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . .4. . . . . CONTRIBUCION A LA TEORIA DE LAS CERCHAS . . . 1. . . . . . . 1.dimensionales: ´ A LA TEOR´ ´ EN MADE1. . . .2. . . . . 1. . . . . . . . . . . . . . . .5. . . ´ A LA TEOR´ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. . .5. . . . ASPECTO PRIVADO DE OTTO MOHR 17 2. . . . . . . . . . . . . . . CONTRIBUCION IA DE LOS ARCOS . . . . . .1.1. . . . . . . . . . . . . . . 1. . . . . .2.6. . . . . . . ´ A LA TEOR´ 1. . . . . . . . . quien es el que me gu´ ıa a seguir adelante Y por demostrar tu sabia disciplina y alcanzar el bien ante todo.UAP ING. CIVIL DEDICATORIA: A mis padres. VALDEZ OCHOA DAVID 3 RESISTENCIA DE MATERIALES II . UAP ING. VALDEZ OCHOA DAVID 4 RESISTENCIA DE MATERIALES II . conocido como el diagrama de mohr-williot. CIVIL ´ INTRODUCCION Su legado. de gran utilidad pr´ actica. para la representaci´ on gr´ afica de los esfuerzos en un estado biaxial de esfuerzos. dentro de los que se cuentan: contribuci´ on a la teor´ ıa de la construcci´ on en madera y acero (1868). usando los principios del trabajo virtual. que a´ un gravita en los fundamentos de la ingenier´ ıa civil. contribuci´ on a la teor´ ıa de los arcos (1874). Tambi´ en obtuvo su famoso c´ ırculo de mohr. Present´ o tambi´ en una derivaci´ on m´ as simple y m´ as extensa del m´ etodo general de maxwell para el an´ alisis de estructuras indeterminadas. Contribuci´ on a la teor´ ıa de las cerchas (1874). ?desde el a ´mbito de la mec´ anica t´ ecnica?. conocido como el m´ etodo de las cargas el´ asticas o la viga conjugada. y contribuci´ on a la teor´ ıa de las armaduras con nudos r´ ıgidos (1892). es tan vasto como el cat´ alogo de sus aportes. desarroll´ o la construcci´ on gr´ afica que lleva su nombre y a la que est´ a dedicada esta publicaci´ on. Hizo aportes en el an´ alisis gr´ afico de deflexiones de cerchas. con el complemento al diagrama de williot. Desarroll´ o el m´ etodo para determinar las deflexiones en vigas. En sus escritos. El alem´ an otto mohr (1835-1918) hizo grandes aportes a la teor´ ıa de estructuras. Repasar y ver otras metodolog´ ıas para el c´ alculo de deflexiones en vigas. que en lugar de hallar directamente la pendiente y la flecha. imaginaria o ´ conjugada. tales como: El m´ etodo de LA VIGA CONJUGADA ´ o m´ etodo de la viga imaginaria. flechas y pendientes ´ en vigas con la ayuda de tablas. 2. Este m´ etodo al igual que el de Eje el´ astico y a ´rea de momentos nos permite calcular los giros y flechas de los elementos horizontales denominados vigas o de los elementos verticales llamados columnas VALDEZ OCHOA DAVID 5 RESISTENCIA DE MATERIALES II .UAP ING. se hallan las cortantes y momentos en la viga ficticia. 3. utilizando el PRINCIPIO DE SUPERPOSICION. 1. CIVIL OBJETIVO C´ alculo de desplazamientos y rotaciones en vigas. An´ alisis de estructuras est´ aticamente indeterminadas o hiperest´ aticas. por medio de las ecuaciones PENDIENTE-DEFLEXION. C´ alculo de reacciones redundantes. An´ alisis de vigas y p´ orticos est´ aticamente indeterminados o ´ hiperest´ aticos con y ´ sin desplazamientos de nudos. m´ etodo de rigidez. L´ ıneas de influencia para cargas m´ oviles. Este m´ etodo es el precursor del m´ etodo matricial de Rigidez. Parte I ´ DE OTTO CONTRIBUCION MOHR A LA INGENIER´ IA CIVIL 6 . I ”. dividido por el m´ odulo de rigidez ”.Cap´ ıtulo 1 ´ DE OTTO CONTRIBUCION MOHR .El a ´ngulo comprendido entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de la l´ ınea el´ astica. respecto a la tangente en otro punto (1) .1: DIAGRAMA DE MOMENTOS 7 . comprendida entre las ordenadas de ambos puntos.1. Teorema: ”La ordenada de un punto (2) de la el´ astica. Figura 1. ´ ´ METODO DE LAS CARGAS ELASTICAS O LA VIGA CONJUGADA Los Teoremas de Mohr representan una valiosa herramienta para el c´ alculo de deformaciones. es tan Su Lega d vasto como el cat´ alogo de sus aportes. es igual al ´ area total del trozo correspondiente del diagrama de momentos flectores. Teorema: . es igual al momento est´ atico de la superficie de momentos flectores. dentro de los que se cuentan: o 1. 1er. 2o . respecto al punto primero. dividido por el m´ odulo de rigidez E. que a´ un gravita en los fundamentos de la Ingenier´ ıa Civil. T.2. Consideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano xy (ver figura 1). 1. Este m´ etodo tiene aplicaci´ on para estados tensionales en dos y tres dimensiones. 1. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones. donde las tensiones de corte nulas. CIRCULO DE MOHR Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918). as´ ı como el a ´ngulo (α) .2: DOS DIMENSIONES VALDEZ OCHOA DAVID 8 RESISTENCIA DE MATERIALES II . Esta suposici´ on se hace con el fin de no complicar por dem´ as la matem´ atica siendo el objeto de este desarrollo conocer el desarrollo matem´ atico a fin de ser asociado con el modelo f´ ısico: Figura 1. o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas.1. de Mohr. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mec´ anica de una pieza. de Mohr. el c´ ırculo de Mohr es un m´ etodo gr´ afico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Adoptamos un elemento triangular donde se supone que los ejes x e y son principales. CIVIL En la figura indicamos en la secci´ on 2. que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo. calculado utilizando el 1er. tomando como referencia la secci´ on 1. girado entre las secciones 1 y 2.UAP ING. de modo de que no existan esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). mediante una l´ ınea vertical (y) el valor calculado mediante el 2o T. importan en general las tensiones principales. Teor´ ıa del c´ ırculo de Mohr para dos dimensiones Considere un cuerpo sobre el cu´ al act´ ua un estado plano de cargas.2. en donde hemos dibujado la tangente. 2. CIVIL 1. en rotatorios. ´ A LA TEOR´ CONTRIBUCION IA DE LAS CERCHAS CERCHAS La cercha es una composici´ on de barras rectas unidas entre s´ ı en sus extremos para constituir una armaz´ on r´ ıgida de forma triangular.3.4).1.2. ´ A LA TEOR´ CONTRIBUCION IA DE LA CONS´ EN MADERA Y ACERO TRUCCION ´ A LA TEOR´ CONTRIBUCION IA DE LOS ARCOS Cugnot. por medio del vapor. que logr´ o derivar el t´ ıpico funcionamiento de los pistones. Teor´ ıa del c´ ırculo de Mohr para estados tensionales tri dimensionales: Sea un tetraedro con tres caras ortogonales las cuales definen un punto O el cu´ al adoptamos como nuestro origen de coordenadas. 1. de atr´ as hacia adelante. en consecuencia. Figura 1.UAP ING. 1.4. fue la primera persona. todos los elementos se encuentran trabajando a tracci´ on o compresi´ on sin la presencia de flexi´ on y corte.3: TRI-DIMENSIONALES 1. particularmente aplicadas sobre las uniones denominada nodos (v´ ease Figura 1. 1.5.5. capaz de soportar cargas en su plano. VALDEZ OCHOA DAVID 9 RESISTENCIA DE MATERIALES II . y la cuarta cara es un plano oblicuo. es igual a la que se producir´ ıa en A si la causa actuase en B ”.4: ARMADURA 1. MATERIALES Las cerchas se pueden construir en madera y acero 1. ´ MAS ´ SIMPLE Y MAS ´ EXTENDERIVACION ´ SA DEL METODO GENERAL DE MAXWELL Aunque se cite u ´nicamente el nombre de Clerk Maxwell (1831-1879) hemos de considerar la aportaci´ on de otros cient´ ıficos como Mohr y Clapeyron .4. Las cerchas paralelas se usan en recintos amplios .5.2. ´ A LA TEOR´ CONTRIBUCION IA DE LAS ARMADURAS CON NUDOS R´ IGIDOS Comprende desde el final de la primera Guerra Mundial hasta la Gran Depresi´ on de 1929.3. B . 1. USOS Las cerchas se emplean cuando se tiene luces libres grandes como puentes. de cordones superiores curvos se comportan similar a una estructura colgante o un arco y se emplean en algunos puentes. CIVIL Figura 1. A . 1. 2 VALDEZ OCHOA DAVID 10 RESISTENCIA DE MATERIALES II .5. 1. sitios p´ ublicos y estadios. VENTAJAS La cercha es uno de los principales tipos de estructuras empleados en ingenier´ ıa.5.6. Maxwell en 1864 expone el teorema que denomin´ o ”M´ etodo de las Distorsiones o Desplazamientos Rec´ ıprocos que actualmente se conoce como Teorema de Maxwell como sigue: ”Si en un sistema el´ astico act´ ua una causa en un punto .7. la deformaci´ on que se produce en otro punto del sistema . ya que proporciona una soluci´ on pr´ actica y econ´ omica debido a la ligereza del peso y la gran resistencia.UAP ING. T. flectores.V. introduciendo la terminolog´ ıa de ”Trabajo virtual presentando un conjunto de aplicaciones. El P. fue enunciado por Santiago Bernouilli (1654-1705) y por Daniel Bernouilli (1700-1782).T.) se encuentra en la base del Teorema de Castigliano. sufre una deformaci´ on virtual debido a la acci´ on de una carga adicional. 1. especialmente en el conjunto de las estructuras planas de nudos articulados y mixtas. desarrollado por las tensiones causadas por la carga ”. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES ”Si una estructura. VALDEZ OCHOA DAVID 2 11 RESISTENCIA DE MATERIALES II . el trabajo virtual externo de la carga en cuesti´ on. torsores y las deformaciones lineal y angular) con la energ´ ıa de deformaci´ on interior ( funci´ on del tensor de tensiones y las deformaciones volum´ etricas).V. que es muy importante para la determinaci´ on de deformaciones y resoluci´ on de estructuras hiperest´ aticas.8.UAP ING.T. ya que desarrolla la teor´ ıa variacional y escribe su ”Mec´ anica Anal´ ıtica ”donde coloca las bases de dicha disciplina. El principio de los trabajos virtuales (P.V. fue utilizado por Galileo (1564-1642) para el dise˜ no y c´ alculo de mecanismos y desarrollado te´ oricamente con un enunciado m´ as matem´ atico y formal por Lagrange (1736-1813). estando en equilibrio. CIVIL Mohr en 1874 desarrolla por separado el mismo teorema. Este principio es muy importante al establecer una relaci´ on entre el trabajo de deformaci´ on exterior ( funci´ on de las solicitaciones exteriores: axiales. No obstante a lo anterior el n´ ucleo te´ orico del P. es igual al trabajo virtual interno. cortantes. Parte II ´ CONCLUSION 12 . Es por esa misma necesidad que muchas veces no hacemos conciencia de lo que ocasionamos al medio ambiente. La evoluci´ on de los veh´ ıculos tiene ventajas como tambi´ en desventajas ´ RECOMENDACION 1. contaminaci´ on. CIVIL ´ CONCLUSION 1. Sin embargo los autom´ oviles pasaron de ser un lujo a una necesidad y d´ ıa a d´ ıa nos encontramos con lo mismo tr´ afico. 2. 2.UAP ING. 4. VALDEZ OCHOA DAVID 13 RESISTENCIA DE MATERIALES II . La Universidad Alas Peruanas debe contar con una biblioteca especializada en Ingenier´ ıa Civil ya que nos hace falta informaci´ on. Se digitar´ ıa el trabajo en programa l´ atex porque tiene una buena presentaci´ on y u ´ til en digitar ecuaciones y publicarlo. Evoluci´ on del autom´ ovil desde los motores a vapor hasta las ultimas tendencias tecnol´ ogicas. 3. ruido. Parte III ´ BIBLIOGRAFICA 14 . investigacion/evoluciondelautomovil/. 15 . setiembre de 2012. L TEX. A [3] L. Taringa. Automundo-Wesley. Obtenida el 03 de setiembre de 2012. [2] T. Lamport. Obtenida el 01 de http://www. Taringa. http://www.encyclopedieenligne.Bibliograf´ ıa [1] T.com/. Parte IV ANEXO 16 . Otto Mohr (1835-1918) orient´ o su obra hacia la fundamentaci´ on de los principios y los procedimientos de la est´ atica de las construcciones. Simult´ aneamente con Emil Winkler introdujo el concepto de l´ ınea de influencia e invent´ o la analog´ ıa que 17 .1: OTTO MOHR Christian Otto Mohr (Wesselburen.1. 2 de octubre de 1918) fue un ingeniero civil alem´ an.Cap´ ıtulo 2 ASPECTO PRIVADO DE OTTO MOHR 2. uno de los m´ as celebrados del siglo XIX. 8 de octubre de 1835 . BIOGRAFIA DE OTTO MOHR Figura 2. Muy joven public´ o una memoria sobre el efecto del asentamiento de los apoyos en las vigas continuas.Dresde. 2. Sus trabajos sobre el principio de las fuerzas virtuales son una de las m´ as profundas contribuciones al desarrollo de la est´ atica de las construcciones. En 1882. LOGROS CIENT´ IFICOS En 1874. idea de una estructura est´ aticamente indeterminada. desarroll´ o el m´ etodo gr´ afico en dos dimensiones para el an´ alisis de tensi´ on conocido como c´ ırculo de Mohr y lo us´ o para proponer la nueva teor´ ıa de resistencia de materiales. la hasta entonces solo intuitiva. construcci´ on de ferrocarriles. Tambi´ en desarroll´ o el diagrama Williot-Mohr para el desplazamiento de armaduras y la teor´ ıa de Maxwell-Mohr para el an´ alisis de estructuras est´ aticamente indeterminadas.2. la reflexi´ on. En el polit´ ecnico de Stuttgart ense˜ no est´ atica gr´ afica. Mohr formaliz´ o. previamente propuesto por Carl Culmann. la originalidad y el conocimiento met´ odico y trascendental. CIVIL lleva su nombre.UAP ING. hidr´ aulica y resistencia de materiales. basada en el esfuerzo cortante. Mohr fue un entusiasta de las herramientas gr´ aficas y desarroll´ o un m´ etodo para representar visualmente tensiones en tres dimensiones. VALDEZ OCHOA DAVID 18 RESISTENCIA DE MATERIALES II . En su famosa pol´ emica con Heinrich M¨ uller Breslau sobre los fundamentos de la ense˜ nanza de la ingenier´ ıa tom´ o partido por una ecuaci´ on orientada hacia los fundamentos.