OSCILLAZIONI SMORZATE E FORZATEDESCRIZIONE DELL’APPARATO Un disco di alluminio è imperniato su una puleggia sulla quale scorre un filo. Ad una estremità il filo è fissato, tramite una molla, al braccio di un oscillatore elettromeccanico. L’altra estremità del filo è fissata, ancora con interposta una molla, alla base del pendolo. Il disco può ruotare liberamente oppure sotto l’azione dell’oscillatore. La frequenza dell’oscillatore elettromeccanico è variabile, cresce all’aumentare della tensione con cui viene alimentato ( 0-12 V). In prossimità del disco è posto un piccolo magnete che può essere avvicinato al disco fino quasi a toccarlo, il suo effetto è di frenare il moto del disco con una forza di attrito, dovuta all’insorgere di correnti di Foucault, proporzionale alla velocità angolare del disco stesso. L’effetto frenante aumenta quanto più si avvicina il magnete al disco. La puleggia e il disco sono fissati su un sensore di moto rotatorio, che misura la posizione angolare del disco in funzione del tempo, e trasferisce i dati al PC. Il periodo di rotazione del braccio dell’oscillatore meccanico è misurato da una fotocella, anch’essa acquisita dal PC. Il software a disposizione permette di visualizzare i dati raccolti, interpolarli tramite funzioni definite dall’utente ecc. Il sistema a disposizione permette quindi di studiare le oscillazioni smorzate e forzate del pendolo e di osservare il fenomeno della risonanza. INTRODUZIONE ALLE OSCILLAZIONI SMORZATE E FORZATE In assenza di attriti, se ruotiamo il disco di una angolo θ rispetto l’asse centrale, il sistema sviluppa un momento elastico Μel = – C θ, dove C è la costante elastica del sistema, dovuta alle due molle. Lasciato libero il disco si mette allora ad oscillare secondo l’equazione: Ι α = Μel Ι d2θ/ dt2 = − C θ cioè: d2θ/ dt2 + ω02 θ = 0 dove I è il momento di inerzia del sistema rispetto l’asse di rotazione e ω02 = C / I. Il sistema descrive una oscillazione armonica con posizione angolare: θ(t) = A0 sin( ω0t ) con pulsazione ω0 e periodo T=2π/ω0. Esperimentazioni di Fisica 2007 1 La soluzione. e di una parte di oscillazione permanente descritta da: Esperimentazioni di Fisica 2007 2 . A(t) è smorzata esponenzialmente. come nel nostro apparato. in caso di smorzamento debole. oltre alla forza elastica. il modulo del suo momento rispetto l’asse di rotazione del disco vale Μs= – r b v. realizzando un sistema che oscilli con frequenza definita e ampiezza costante. La forza agisce sul disco con un momento rispetto l’asse di rotazione di modulo: Mf = F0 r sin(ωt). L’equazione dell’oscillatore smorzato e forzato non è omogenea. l’equazione del moto diventa: d2θ/ dt2 + 2γ dθ/ dt + ω02 θ = 0 Questa è l’equazione differenziale dell’oscillatore armonico smorzato. è del tipo: θ(t)=A(t) sin(ωt+φ) =A0 e − γ t sin(ωt+φ) con A0 e φ determinate in base alle condizioni iniziali.Se. pertanto l’equazione del moto diventa ora: 2 ω = ω0 − γ 2 < ω0 Ι α = Μel + Μs + Mf Ι d2θ/ dt2 = − Cθ − r b dθ/ dt + F0 r sin(ωt) d2θ/ dt2 + 2γ dθ/ dt + ω02 θ = M0 sin(ωt) con M0 =F0 r / I . anche in presenza di attrito viscoso. dobbiamo applicare al sistema una forza sinusoidale F(t) =F0 sin(ωt). Il disco. La legge del moto si scrive ora: Ι α = Μel + Μs Ι d2θ/ dt2 = − Cθ − r b dθ/ dt Chiamiamo coefficiente di smorzamento γ =rb/2Ι. cioè in un pseudoperiodo l’ampiezza si riduce Si ha θ(t+T)/θ(t)=e−γT esponenzialmente di un fattore e−γT . omogenea. La soluzione generale è somma di una parte transitoria. compie oscillazioni di pulsazione e pseudoperiodo T = 2π / ω. è una equazione differenziale lineare del secondo ordine. nel caso di smorzamento debole ( γ2 < ω02 ). L’ampiezza delle oscillazioni non è costante. che si smorza in un tempo che dipende dal coefficiente γ. agisce anche una forza di attrito di tipo viscoso Fa=− bv. a coefficienti costanti. Se vogliamo rendere l’oscillazione persistente. con r raggio della puleggia. La pulsazione ω della forzante è in generale diversa dalla pulsazione propria del pendolo ω0 . • L’ampiezza è massima per ω = ωM = ω02 − 2γ 2 < ω0 e vale: A(ωM ) = M0 2 2γ ω0 − 2γ 2 La presenza di un picco molto pronunciato dell’ampiezza nelle vicinanze di ω0 indica la condizione di risonanza. • La funzione non è simmetrica rispetto il massimo: per ω→0 l’ampiezza tende al valore M0 /ω02 mentre per ω → ∞ l’ampiezze tende a zero. Il massimo esiste solo se ω02 > 2 γ2. ma funzione della pulsazione. è data da: A(ω) = M0 2 (ω0 − ω 2 ) 2 + 4γ 2ω 2 La fase è data da: tgϕ = 2γω ω02 − ω 2 Osserviamo che: • ad una sollecitazione sinusoidale l’oscillatore risponde con uno spostamento angolare sinusoidale: la pulsazione non è quella propria bensì è uguale a quella impressa dall’esterno. M0=5 e diversi valori di γ. Figura 1.θ(t)=A(ω) sin(ωt + ϕ ) la cui con ampiezza. Esperimentazioni di Fisica 2007 3 . costante nel tempo. • La risposta dell’oscillatore non è la stessa per qualunque valore di ω: ampiezza e fase dipendono da ω. A(ω) perω=4. altrimenti A(ω) ha un andamento monotono decrescente. ωM →ω0 e • Per γ →0 : ΑM→∞ : questa è propriamente la condizione di risonanza. In realtà il sistema ha comunque un poco di attrito. le oscillazioni risultano pertanto leggermente smorzate. Esperimentazioni di Fisica 2007 4 . prima di raccogliere i dati. γ. Si interpolano i dati con una funzione del tipo: A(ω) = M0 2 (ω0 − ω 2 ) 2 + 4γ 2ω 2 dove M0. 3. la pulsazione misurata sarà leggermente minore di ω0 . Dal grafico della posizione angolare in funzione del tempo si misura il periodo delle oscillazioni libere. Si costruisca una tabella con i valori di periodo. Oscillazioni smorzate Si avvicina il magnete al disco e. Si raccolgano almeno una decina di misure variando la pulsazione dell’oscillatore nella regione compresa tra circa ω0 /4 e 2 ω0. Si interpolano i dati con una funzione del tipo: θ(t)=A0 e −γ t sin(ωt+φ) + θ0 dove A0. si misura col calibro la distanza tra essi. Si pone il disco in oscillazione e dal grafico della posizione angolare in funzione del tempo si misura il periodo delle oscillazioni smorzate. Oscillazioni libere Si pone il disco in oscillazione. 2. Ogni volta che si cambia il periodo della forzante si deve attendere che il sistema si sia stabilizzato. Si confrontino le curve di risonanza ottenute al variare dello smorzamento. γ. Si sposti il magnete in modo da variare significativamente lo smorzamento e si ripetano le misure ai punti 2 e 3. Si confronti il valore ottenuto per ω0 con quello misurato al punto 1) per le oscillazioni libere e si confronti il valore del parametro di smorzamento γ con quello ottenuto al punto 2). ω0 sono i 3 parametri liberi da determinare. Dal grafico della posizione angolare in funzione del tempo si misura il periodo delle oscillazioni e la loro ampiezza. si legge dalla acquisizione della fotocella il periodo corrispondente. come riferimento.SVOLGIMENTO DELL’ESPERIENZA 1. ω. e l’ampiezza delle oscillazioni divenuta costante. e l’oscillatore elettromeccanico spento. mantenendo il magnete allontanato dal disco. Si ricava pertanto il valore del parametro di smorzamento γ corrispondente alla posizione del magnete scelta. pulsazione e ampiezza e si costruisca un grafico di A in funzione di ω. si aziona l’oscillatore elettromeccanico. θ0 sono i 5 parametri liberi da determinare. φ. Oscillazioni smorzate e forzate Mantenendo il magnete smorzante nella stessa posizione del punto 2).