PUCRS – FAFIS NOTAS DE AULA DE FÍSICA GERAL B Profa.Maria Eulália Tarragó Ano: 2012/1 OSCILAÇÕES E ONDAS MECÂNCIA 1. OSCILAÇÕES MECÂNICAS Oscilação, do latim, oscillatione, significa movimento de vaivém. Oscilações mecânicas são movimentos que se repetem em algum meio material. Têm-se oscilações mecânicas nas cordas vibrantes de um violão, na membrana vibrante de um tambor, nas moléculas de ar em vibração que resultam no som, no movimento de uma mola, etc. As oscilações mecânicas são geralmente amortecidas, isto é, a amplitude do movimento de vibração se reduz gradualmente, transformando energia mecânica em térmica, pela ação das forças de atrito. Porém vamos estudar nesta disciplina as vibrações mecânicas não amortecidas, correspondentes às situações ideais. Estudar tais oscilações é importante devido aos conceitos envolvidos e ao formalismo matemático implicado; tal formalismo não descreve apenas as oscilações relativas a objetos materiais, aplica-se também no estudo das ondas eletromagnéticas e na descrição das ondas de matéria na mecânica quântica. 2. Qualquer movimento que se repete em intervalo de tempo regular é chamado de movimento periódico ou movimento harmônico, logo uma oscilação mecânica que apresenta uma freqüência constante também é chamada de Movimento Harmônico. Diz-se que um corpo executa um MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) quando a sua posição x varia no tempo de acordo com a função seno ou cosseno. Exemplos de oscilações mecânicas do tipo MHS são: (i) movimento de oscilação do sistema massa-mola; (ii) movimento do pêndulo simples; (iii) movimento do pêndulo físico. 3. RELAÇÃO ENTRE MOVIMENTO HARMÔNICO MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) Ver as animações e os textos dos seguintes links: http://www.fisica.ufpb.br/~mkyotoku/texto/texto3.htm http://www.pion.sbfisica.org.br/pdc/index.php/por/multimidia/simulacoes/ondas_mecanic as/mcu_e_mhs http://www.walter-fendt.de/ph14br/ Vamos considerar um ponto P executando um MCU no sentido anti-horário ao redor de O, como mostra a Figura 1, onde R é o raio do círculo, v é a velocidade tangencial, ac é a aceleração centrípeta, S é o arco descrito, θ é o ângulo descrito. SIMPLES (MHS) E 1 Figura 1 (obtida de http://educar.sc.usp.br/sam/anexo_1.html, acessado em 23/07/2008). Vamos lembrar brevemente algumas grandezas do MCU (estudado na Física Geral Experimental A): ω é a velocidade angular; φ é a posição angular no tempo zero (chamada ângulo de fase); f é a freqüência (número de voltas na unidade de tempo); T é o período (tempo necessário para dar uma volta). O ponto P´ é a projeção (“sombra”) de P no eixo-x; enquanto P executa o MCU, o ponto P´ executa o MHS no eixo-x, conforme Figura 2. Vamos deduzir como varia a posição x do ponto P´ em função do tempo, isto é, vamos mostrar que a função x(t) é cossenoidal, por isto o movimento de P´ é dito MHS. Em termos de descrição do movimento, pode-se dizer que o MHS é a projeção do MCU no diâmetro do círculo. Figura 2 (obtida de http://educar.sc.usp.br/sam/anexo_1.html, acessado em 23/07/2008) A função POSIÇÃO x(t) no MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES é obtida pela projeção do vetor posição R no eixo-x, x(t ) = xmax cos (ω t + φ ) , onde: xmax é a amplitude do movimento (considera-se sempre positiva); xmax é o próprio raio R do círculo (no MCU); é o deslocamento máximo da partícula (ou ponto P´); xmax é uma constante. ω é a velocidade angular do movimento circular uniforme executado por P, no S.I, é dado em rad/s. φ é a posição angular de P (no MCU) no tempo zero, chamada ângulo de fase. 2 314s. Q3) Uma partícula P´ executa um MHS de acordo com x(t ) = 1. v(t).. quando x=1. “a” será dada em m/s2 e “t” em s. sendo vmax=9. (c )0.52s e -1.0t + 1.52 s. sendo a max = x max ω .5m. sendo v max = xmax ω .5m e x=-1.80) . “t” em s.0 sen (6. é dada por a (t ) = −a max cos (ω t + φ ) . correspondente ao MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES. (a) Qual a amplitude do movimento? (b) Qual a velocidade angular? (c) Qual o ângulo de fase? (d) Qual a posição x da partícula em t=0? (e) Qual a posição x da partícula em t=4. 3 .0t ) . demonstre que: (a) a função velocidade v(t) de P´. x(t). onde: 2 amax é aceleração máxima que P´ apresenta.30cos(4πt+π). em unidades S. Q5) Obtendo as RELAÇÕES ENTRE MHS E MCU quanto às funções velocidade e aceleração.300m.0 rad/s. Q4) Uma partícula Q executa um MHS de acordo com x(t ) = 0.QUESTÕES: Q1) Uma partícula executa um MHS de acordo com x(t) = 0. (d) a (t ) = −54 cos (6. velocidade.0s? (f) Qual o período deste movimento? (h) Represente o gráfico da posição da partícula em função de tempo. no MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES.5m. correspondente ao MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES. sendo v max = xmax ω . onde amax é aceleração máxima que P´ 2 apresenta.0 rad/s. em unidades S.0t ) . sendo amax=54m/s2 e ω=6.5 cos (6. no eixo-x. em unidades S. Q2) Recordando seus conhecimentos do cálculo diferencial e integral e por meio das relações entre posição. e aceleração.314s? (f) Qual o período do movimento? Respostas: (a) 0. é dada por v(t ) = −v max sen (ω t + φ ) . é dada por v(t ) = −v max sen (ω t + φ ) .0 rad/s. onde: vmax é a velocidade máxima que P´ atinge. (c) 1. “v” será dada em m/s. (a) Qual a amplitude do movimento? (b) Qual a velocidade angular? (c) Qual o ângulo de fase? (d) Qual a posição x da partícula em t=0? (e) Qual a posição x da partícula em t=0. (b) a função aceleração a(t). no MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES. a partícula apresenta aceleração máxima quando está em x=xmax e x=-xmax.0t ) . isto é. onde vmax é a velocidade máxima que P´ atinge.068m. (e) 0 e 0. (b) a função aceleração a(t) de P´. (d) -0. (b) 0.300 cos (20.I. demonstrar que: (a) a função velocidade v(t). é dada por a (t ) = −a max cos (ω t + φ ) . (e) -0. (a) Qual a função velocidade do MHS? (b) Qual será a velocidade de P´ em t=0? (c) Qual o segundo instante de tempo em que a velocidade é nula? Onde se encontra P´ neste momento? (d) Qual a função aceleração da partícula? (e) Quais são o primeiro e o segundo tempo e quais são as posições x correspondentes em que a aceleração de P´ apresenta módulo máximo? Respostas: (a) v(t ) = −9.I. sendo a max = xmax ω . (f) =0. Por meio das projeções do vetor velocidade tangencial e do vetor aceleração centrípeta do ponto P.067 m.80 rad.0m/s e ω=6. a(t). (b) 20.I. para um determinado valor de deslocamento.htm. A ENERGIA NO MHS 4 . Logo. os sistemas que executam MHS também são chamados Osciladores Lineares. m 2π 2π m Como ω = pode-se escrever T = . por exemplo. Figura 3 (obtida de http://www. onde k é constante elástica da mola. = 2π T ω k 6. Como a aceleração apresenta sentido contrário ao deslocamento x podemos escrever. SISTEMA MASSA-MOLA Considere um bloco de massa m apoiado em uma superfície horizontal e preso a uma mola de constante elástica k. φ é o ângulo de fase associada a esse MHS.br/~mkyotoku/texto/texto2.fis. obtendok se k = mω 2 ou ω = .unb. a máxima elongação da mola. como mostra a Figura 3. como. A Lei de Hooke diz que a força elástica é F = −k x . a força elástica é a força restauradora. é possível igualar-se. fazendo com que o sistema sempre retorne a posição de equilíbrio.ufpb. então. que não há atrito entre o bloco e a superfície e que não existe força de resistência do ar ao movimento do bloco. em torno de sua posição de equilíbrio. é o MHS. a (t ) = −ω 2 x(t ) .html O movimento que o bloco executa.4. isto é. logo a sua posição varia no tempo de acordo com x(t ) = xmax cos (ω t + φ ) onde: xmax é a amplitude do movimento. as mostradas em: http://www. a = −ω 2 x . a constante elástica da mola k com a massa do bloco e a freqüência angular do movimento. força essa que sempre se opõe ao deslocamento. acessado em 23/07/2008) Buscar simulações na internet. que atua num corpo de massa m. Este resultado indica que para o MHS a F ∞ − x . com a sua aceleração resultante a. para qualquer tempo. Com a força elástica é a força resultante sobre a mola.fisica. Considere. ou. A segunda lei de Newton relaciona a força resultante F. A LEI DA FORÇA NO MHS A toda oscilação mecânica corresponde uma força restauradora. também.br/simulacao/augusto/mcu. 5. de tal forma que F = ma 2 No MHS vimos que o módulo da aceleração máxima é a max = ω x max . a segunda lei de Newton para o MHS é 2 2 F = ma = m(−ω x) = (− mω ) x . Considerando o sistema massa-mola. Como F ∞ − x1 (pelo fato do expoente de x ser um). ω é a velocidade angular associada a esse MHS. unidades S. quando o tempo t=0)? b) Qual a constante elástica da mola? c) Qual o tempo necessário para o sistema massa-mola executar uma oscilação completa? d) Qual a máxima velocidade do bloco e em que posição ela ocorre? R. em função da posição x.1s.30m e o bloco se move no sentido negativo com velocidade em módulo igual a 1.79) .80m. Q7) Um bloco de 0. onde Ec é a energia cinética e E p é a energia potencial do oscilador. Q9) Um bloco está apoiado em uma superfície horizontal (sem atrito) e está preso a uma mola ideal de tal forma que executa um MHS.0t + π ) . (c) 2.I. onde θ = ωt + φ . a energia potencial elástica e a cinética.7 N/m.25 kg está apoiado em uma superfície horizontal (sem atrito) e está preso a uma mola ideal cuja constante é igual a 30N/m. Para t=0 a mola comprimida de 0. em unidades do sistema internacional.80 cos (3. dirigindo-se para a posição de equilíbrio.2 m/s. (b) 2. Para t=0 o bloco está na metade da distância entre a posição de equilíbrio e a posição de máxima compressão. a) Em que posição se encontrava o bloco quando se começou a registrar o movimento (ou seja. no mínimo. explicitando. 2 2 QUESTÕES Q6) Em um oscilador harmônico simples as grandezas posição e velocidade podem ter o mesmo sinal? Justifique.95t + 2. (d) Qual a energia mecânica do sistema e quais os valores da energia potencial elástica e da cinética para x=xmáx/2? (e) Traçar num mesmo gráfico a energia mecânica do sistema.30 kg que está apoiado em uma superfície horizontal (sem atrito) e que está preso a uma mola horizontal de constante elástica k é dada por x(t ) = 0. Qual o ângulo de fase φ ? 5 . A energia cinética do oscilador está associada à massa e é dada por 1 1 Ec = mv 2 = m(−ω xmax ) 2 sen 2θ = EM sen 2θ e a energia potencial está associada à mola 2 2 1 2 1 2 2 2 e é dada por E p = kx = k ( xmax ) cos θ ou E p = EM cos θ .: (a) -0. Q8) A posição de um bloco de massa m=0.A energia mecânica é constante e pode a qualquer instante ser calculada por EM = Ec + E p . (a) Qual o ângulo de fase deste MHS? (b) Qual a amplitude do movimento? (c) Escreva a equação do movimento em função do tempo. Algumas respostas: c) x(t ) = 0. dois valores de x e os valores das energias correspondentes.32 cos (10. Exemplos: ondas em cordas e ondas sonoras.if. Maria Eulália Tarragó Sugestões de sites: 1) http://www. Na Figura seguinte a direção da vibração ocorre na vertical. Classificação das ondas quanto à natureza: Ondas Mecânicas: necessitam de um meio material para se propagar..) 2. pois é o próprio meio que vibra enquanto a energia se propaga. 6 . Física: Ondas. RJ: LTC.html: (além de um bom texto oferece animações) 2) http://www. transportar massa. Classificação das ondas quanto à forma de propagação: Ondas Transversais: A direção da oscilação/vibração é perpendicular à direção de propagação da onda. são regidas pelas leis de Newton. onde v é a velocidade de T propagação da onda. R. λ Para qualquer onda vale a relação v = λf = . 3. Mecânica e Termodinâmica. Ondas Eletromagnéticas: não necessitam de um meio material para se propagar. estão indicados o comprimento de onda λ − qual significa a o distância entre duas cristas consecutivas− e a amplitude da onda a. pois se propaga inclusive no vácuo – são os campos elétricos e magnéticos que vibram enquanto a energia se propaga –. (Adaptado de SERWAY. ultravioleta e visível.br/ (animações sobre pressão sonora) 1.fisicanimada. Uma onda é uma oscilação que se propaga no espaço e transporta energia sem. 1996.net.ONDAS MECÂNICAS Profa. f é a frequência de oscilação − número de ondas que ocorrem na o unidade de tempo−e T é o período − o tempo para transcorrer uma onda. enquanto a direção de propagação é na horizontal. são regidas pelas equações de Maxwell. Exemplos: raios X. no entanto.ufrj. Exemplos: ondas em cordas e as ondas eletromagnéticas. A figura abaixo ilustra o transporte de energia por uma onda propagando-se numa corda.br/teaching/fis2/ondas1/ondulatorio. 3a ed. chamada onda progressiva. Exemplos: Ondas numa mola e ondas sonoras. A descrição mais completa da onda é aquela que mostra como a vibração no eixoy (isto é.unime. sua unidade é [m 1].m 1].htm# 4. sendo λ o comprimento de onda. no S. no S. Vamos considerar que a onda vibra na direção y e se transporta na direção x.unime. Lembra-se que ω = T freqüência.it/weblab/awardarchivio/ ondulatoria/ Princípio %20da%20Superposição acesso em 15/10/08.it/weblab/awardarchivio/ ondulatoria/ Princípio %20da%20Superposição acesso em 15/10/08. K é o número de onda angular definido como K = A unidade S. a equação da onda é y ( x.I de K é [rad. λ 7 . Para uma onda transversal que se propaga no sentido positivo do eixo-x. − 2π . sua unidade é [m].htm# Ondas Longitudinais: A direção da oscilação/vibração é paralela à direção da propagação (vide Figura seguinte). Descrição de uma Onda Senoidal Transversal: Vamos tomar como exemplo uma onda senoidal transversal que se propaga numa corda. significa a distância entre dois pontos consecutivos ao longo do eixo-x que apresentam o mesmo deslocamento. sendo T o período e f a ω é a freqüência angular. 2π = 2πf .I. adotaremos a função seno. λ é o comprimento de onda. Vamos considerar uma situação ideal onde a onda não é amortecida e a corda é tão longa que a onda não é refletida (de volta).I. 1 K k é o número de onda k = = e significa o número de ondas por unidade de λ 2π − comprimento. Observa-se que uma onda senoidal pode ser descrita pela função seno ou cosseno. o deslocamento do meio) varia com a posição no eixo-x e com o tempo t. ondas.Fonte: http://ww2. onde: ymax é a amplitude do movimento (amplitude da oscilação). ondas. Fonte: http://ww2. t ) = y max sen ( Kx − ω t + φ ) . a) Qual a amplitude do movimento? b) Qual o comprimento de onda? c) Qual o número de onda? Indicar o número de onda numa representação de y em função de x. unidades S.0cm e a freqüência da oscilação é 10Hz. 8 . nas quais se propagam ondas transversais no sentido positivo do eixo-x de tal forma que na corda 1 a função de onda é y1 ( x. (b) o valor de y quando x=0 e t=0.1m −1 x − 62. π R: a) ou simplesmente y ( x. t ) = 0. A velocidade com que essa onda se propaga no eixo-x é v = = K K T Q1) Considere três cordas 1.200 m sen (25. quando x=0.100 m sen (31.200 sen (25.0s. O deslocamento y de uma partícula na corda. (c) Representar y em função de x. Q3) Considere uma onda transversal se movendo numa corda no sentido positivo do eixox de tal forma que o comprimento de onda é 25.200m. (d) e (e) serão feitos 2 em aula. Salienta-se que para descrever esta onda. Determinar: a) Qual a função de onda y(x. y=ymax.4rad m −1 x − 12.t). o valor de y quando x=1. quando t=0 e x=0.1s. a) Escrevam a função de onda y(x.0m e t=1.6rad s −1 t ) . b) y=0. t ) = sen (5 x − 4t ) e na corda 3. (d) Representar y em função de t.I. Q4) Uma onda senoidal transversal.. a) Em qual corda a onda apresenta maior comprimento de onda? b) Em qual corda a onda apresenta maior amplitude? c) Em qual corda a velocidade de propagação da onda é maior? Q2) Considere uma onda transversal que se propaga numa corda de acordo com y ( x.φ é o ângulo de fase (inicial). na corda 2 a função é y2 ( x. y3 ( x.0cm. c) y=0. f) Escrever a equação y(t) para a posição x=0 e desenhá-la. considerou-se que em x=0 e t=0. para t=0. t ) = 0. a amplitude da oscilação (ymax) é 20. t ) = 2 sen (4 x − 5t ) . em função da posição x. quando t=0. neste caso. cujo período é π/2 segundos se propaga para a direita no eixo-x. t ) = 2sen (3 x − 3t ) . ω 2πf λ = = λf . é mostrado no gráfico seguinte.t). 2 e 3.8rad s −1 t + rad ) 2 π y ( x.1x − 62. y = y max sen (φ ) . t ) = 0.200m. d) Qual a freqüência e o período desta onda? e) Escrever a equação y(x) para o instante de tempo t=0 e desenhá-la.I. em unidades S.8t + ) . o que permite escrever y ( x. Se a função da onda 1 é y1 ( x. logo d) Como K = e ω = vK .1) no mesmo sentido e estando defasadas pelo ângulo φ . Equações para descrever uma onda transversal progressiva: Vimos que uma onda transversal que se propaga no sentido positivo do eixo-x pode ser descrita por y ( x. 2π 2π 2π x − v t ) . ou seja: y R ( x. usando a relação trignométrica 1 1 senα + senβ = 2 sen (α + β ) cos (α − β ) . logo λ T x t y ( x. Vamos analisar a forma da onda resultante quando temos duas ondas y1 e y2 com a mesma amplitude ymax. t ) = y max senω ( −t ) . vamos analisar as diversas formas de escrever a função de uma onda senoidal progressiva para o caso em que φ =0. t ) = y max sen K ( x − vt ) . a função da onda resultante poderá ser 2 2 1 1 escrita na forma y R ( x. com a mesma freqüência angular ω. pode-se escrever y ( x.. unidades S. t ) = y max sen ( Kx − ω t + φ ) + y max sen ( Kx − ω t ) = y max senα + y max sen β .08m/s 5. Por simplificação. v ω . para um intervalo de tempo que vai desde zero até t=T. c) Qual a velocidade de propagação dessa onda? d) Qual a máxima velocidade transversal dessa onda? R: a) y ( x. propagando-se na mesma direção (direção x): 6. t ) = y max sen ( Kx − vK t ) . t ) = y max sen 2π ( − ) . para x=0. t ) = y max sen ( Kx − ω t + φ ) . então ω = vK . t ) = y max sen ( 2π 2π x − t ) . t ) = y max sen ( x − ω t ) .b) Desenhem a onda y(t). K logo y ( x. t ) = 0.032m/s.02 sen ( 40πx − 4. sendo α = Kx − ω t + φ e β = Kx − ω t . o que permite escrever y ( x. logo K v v x y ( x. a onda resultante será yR= y1+ y2. Porém. então K = . t ) = y max sen ( x − vt ) . c) 0. λ c) Como v = 6. temos y ( x. t ) = y max sen ( λ λ λ 2π y ( x. O princípio da superposição diz que a onda resultante é a soma algébrica das ondas individuais. t ) = y max sen ( Kx − ω t + φ ) e a função da onda 2 é y 2 ( x. d) 0.0t + π ) . t ) = y max sen ( Kx − ω t ) .I. Princípio da Superposição: Quando duas ou mais ondas passam simultaneamente por uma mesma região ocorre a superposição de ondas. a) Explicitando o significado de K e de ω. λ T ω ω ω b) Como v = . isto é 2 2 9 . t ) = y max 2 sen ( Kx − ω t + φ ) cos φ . 1. por isso ela é chamada de onda estacionária. t ) = 2 y max cos (ωt ) sen ( Kx) .2) em sentidos contrários: Se a função da onda 1 é y1 ( x.br/teaching/fis2/ondas1/ondulatorio. Ondas Estacionárias: Vamos imaginar que estamos produzindo pulsos idênticos em uma corda de comprimento L presa nas duas extremidades. t ) = y max sen ( Kx − ω t ) ou. y1 ( x. 6.2) se φ =π rad. t ) = y max senα e a função da onda 2 é y 2 ( x. t ) = y max 2 sen (2 Kx ) cos (−2ω t ) . Mas como cos( −ω t ) = cos(ω t ) . 6. Adaptada de http://ww2. acesso em 15/10/08.html acesso em 15/10/08. t ) = 2 y max sen ( Kx ) cos (ωt ) . 1 1 Usando a relação trignométrica senα + senβ = 2 sen (α + β ) cos (α − β ) . Fonte: http://www. t ) = y max sen ( Kx + ω t ) ou y 2 ( x. A sobreposição das ondas incidentes e refletidas gera uma onda resultante que apresenta nós e ventres que não se propagam na corda. t ) = y max senβ demonstraremos que a onda resultante será y R ( x. t ) = 2 y max cos (φ / 2) sen ( Kx − ω t + φ ) .unime. é o caso de interferência construtiva como ilustra a Figura abaixo.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/ondas. t ) = 0 . de outra forma. pode-se 2 2 1 1 y R ( x. as ondas estão em fase.htm#Princípio %20da%20Superposição. escrever Ou seja 2 2 y R ( x. 7. Diz-se que esta onda estacionária é produzida na ressonância e que a corda ressoa apenas 10 . A onda resultante será y R ( x. Quando estes pulsos chegam às extremidades da corda se refletem invertidos (pois as extremidades são fixas). A função da onda resultante é y R ( x. então y R ( x.if. onde a amplitude da onda resultante é ymax(R)=2 ymax cos (φ /2). t ) = 2 y max sen( Kx) cos( −2ω t ) . t ) = 2 y max sen ( Kx − ω t ) .1) se φ =0.1. as ondas estão em oposição de fase (e é o caso de interferência destrutiva). 6.ufrj.y R ( x. onde a amplitude da onda resultante na posição x é y máxcR ( x) = 2 y max sen ( Kx ) . O conjunto dos modos de oscilação possíveis é chamado série harmônica.. Fonte:http://ww2. está vibrando numa série de frequências harmônicas. chamados comprimentos de onda de ressonância (como f=v/λ.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/ondas. Ao primeiro harmônico λ 2L v corresponde a freqüência fundamental f1 = =. 3.htm Quando um instrumento musical vibra numa determinada nota musical. Em outras palavras. teremos f = = .ufs. cujo comprimento de onda é o maior. de fato ele está vibrando na frequência fundamental (que caracteriza esta nota) e. n=2. todos afinados na mesma nota.htm#Princípio%20da %20Superposição acesso em 15/10/08.br/egsantana/ondas/acustica/tubos/tubos. poderíamos falar em freqüências de ressonância). a série harmônica 2L contem múltiplos inteiros da freqüência fundamental.em comprimentos de onda particulares. f n = nf1 .. o terceiro harmônico. n=3. 11 . Os comprimentos de onda das ondas estacionárias produzidas nesta corda são 2L quantizados e valem λ = . juntamente. A figura abaixo ilustra a forma de onda gerada por um diapasão e por dois instrumentos musicais diferentes.fisica.unime. 2. . Ver simulação sobre ondas estacionárias em tubos de ar (excelente!) http://www. Escrevendo a relação anterior em termos v nv de freqüência das ondas estacionárias.. onde n = 1. o segundo harmônico. n A n=1 corresponde o primeiro harmônico. etc. 4.. cefetba. Mecânica e Termodinâmica.br/fisica/NFL/fge2/harmoniaMusical/harmoniaMusical.) Ver simulação sobre notas musicais: http://www. RJ: LTC.As ondas estacionárias mostradas na figura anterior foram decompostas em suas “senóides fundamentais”.0 m presa nas duas extremidades. por meio de uma análise matemática que utiliza as transformadas de Fourier. Física: Ondas. como ilustrado a seguir. onde se pode ver a constribuição de cada harmônico que compõe a onda.html Q5) Considere uma corda de comprimento L fixa nas duas extremidades onde são produzidas ondas estacionárias. Q6) Uma corda de violino de 15 cm presa em ambas as extremidades. (a) Qual é a frequência da onda emitida? (b) Qual o comprimento de onda? Q7) Considere uma corda de 10. R. A velocidade das ondas na corda é de 250 m/s e a velocidade do som é 348 m/s.. 3a ed. 1996. Desenhe os modos de vibração desde o primeiro harmônico até o quinto harmônico. oscila na freqüência do seu primeiro harmônico. (Adaptado de SERWAY. oscilando de acordo 12 . esta onda estacionária.0sen ( 8. sendo µ a densidade 2 linear de massa da corda. fazendo com que a amplitude da onda resultante alterne entre um valor máximo (correspondendo a interferência construtiva) e um valor mínimo (correspondendo a interferência destrutiva). onde m é a massa da corda e L o seu comprimento. m µ = . µ L Q8) O sonômero. se a tensão e a densidade linear de massa permanecessem as mesmas que em (a).I. Batimento é a interferência de duas ondas que se propagam na mesma direção e sentido e apresentam freqüências ligeiramente diferentes. 2 (a) Desenhar. RJ: LTC. representado abaixo. A velocidade v de propagação das ondas depende exclusivamente do meio em que se propagam. (b) Qual seria o máximo comprimento de onda de uma possível onda estacionária nesta corda? Para este máximo comprimento possível. por comprimento de onda. Física: Ondas. cuja equação é y1 ( x. 1996). Estas duas ondas estão alternadamente em fase e em oposição de fase. 9. A corda é fixa nas duas extremidades (A e C) e 13 . o que ocorreria com a velocidade de propagação da onda e com a freqüência angular. t ) = 2. R. A velocidade de propagação de ondas transversais em cordas depende da força de tensão F sofrida pela corda e da densidade linear de massa µ. é dada por Eλ = µω y max λ . sendo µ = . unidades S. Energia e Potência transportadas: A energia transportada por uma onda em uma 1 2 corda. observando proporção. de tal forma que F m v= . Ilustração relativa à sobreposição de ondas com freqüências bastante próximas resultando no fenômeno conhecido como batimento (adaptada de SERWAY. isto é massa da corda (m) pelo comprimento da corda (L).π x) cos(π t ) . em relação ao item (a)? com o padrão estacionário. 2 10. é um dispositivo que apresenta uma corda tensionada por uma força F conhecida. 3a ed.. representando seus nós e seus deslocamentos máximos e mínimos. A potência (ou taxa de energia transferida) por uma onda em uma corda é dada L 1 2 2 por P = µω ( y max ) v . Mecânica e Termodinâmica. 8W. qual das duas emitirá o som mais grave? Q11) Considere a seguinte série harmônica na qual falta uma freqüência: 150 Hz.00 N entre dois pontos fixos.500 m e velocidade de propagação de 30.08m. (ii) 414.180 kg e comprimento de 3. Q13) Uma corda esticada tem massa 0. como mostram os dados abaixo coletados em uma atividade experimental: a) Com os dados fornecidos. sendo uma mais “grossa” (isto é. A que taxa média a onda transporta energia ao longo da corda ? R. maior densidade linear de massa) do que a outra. 0.7m/s. qual a velocidade de propagação da onda na corda? (iii) Qual a densidade linear de massa da corda. Qual a potência fornecida a essa corda é capaz de gerar ondas harmônicas com amplitude de 0.seu comprimento L (entre A e C) pode variar. 375 Hz. para um mesmo comprimento L de uma mesma corda. Qual é a freqüência que está faltando nesta série? Q12) Uma corda tem densidade linear 525 g/m e está esticada por uma força de 45 N. aumentando-se a força de tensão. R: (i) 1.99. para uma mesma força de tensão.35g/m Q9) Considerando ondas em cordas. Q10) Ao comparamos o som emitido por duas cordas. c) Quando a corda do sonômero está afinada pelo diapasão de 384Hz: (i) Qual o comprimento de onda do primeiro harmônico na corda? (ii) Lembrando que v=λf. A) Qual é a velocidade da 14 . 225 Hz.0 m/s ? R. obteve-se o comprimento L(cm) para a frequência f(Hz) dos diapasões utilizados para afinar o sonômero.5 mm. Para uma massa de 6125g. cujo peso é F. a freqüência aumenta ou diminui? Justifique. Uma onda de freqüência 120 Hz e amplitude 8. se propaga ao longo da corda. b) Aumentando-se o comprimento da corda. a freqüência aumenta ou diminui? Justifique.60 m.129W Q14) Uma corda de comprimento igual a 125 cm tem massa 2. construa o gráfico de “f” em função de “L”. 300 Hz. se ambas estão submetidas a uma mesma força de tensão e apresentam um mesmo comprimento L.00 g. Está esticada de modo a suportar uma força de 7. acesso em 16/10/08).ufsm. alto-falante.. b) 26. c) 241Hz.: a) 66. violão. líquidos e gases. Fonte: Representação de ondas mecânicas longitudinais: onda em um mola e ondas sonoras (http://www.20 g/m.: 198Hz 11. A corda oscila de acordo com o padrão estacionário mostrado na figura abaixo.. (c) a freqüência de oscilação.. Quando as freqüências forem inferiores ao intervalo audível temos ondas infra-sônicas (por exemplo: ondas sísmicas) e quando as frequências forem superiores ao intervalo audível temos ondas ultra-sônicas (exemplos: ondas produzidas pelos sonares e pelos aparelhos de ecografia).htm.. Halliday.) em colunas de ar em vibração (tubos de órgão. R. piano.0N. Q16) Um corda de 2..br/gef/Ondas02. b) 0. Todos estes elementos ao vibrarem produzem compressões e rarefações do ar em torno deles.) e em placas ou membranas vibrantes (xilofone.7m de comprimento e massa 260g está sob uma tensão de 36. com densidade linear de massa igual a 7.onda nessa corda? B) Qual é a mais baixa freqüência para essa corda ? R.. As freqüências das ondas sonoras audíveis estão compreendidas num intervalo aproximado de 20Hz a 20kHz. 15 . sujeita a uma tensão de 150N.70mm de amplitude. Determinar: (a) a velocidade de propagação da onda.: a) 144m/s. que transporta 85. de comprimento L=90cm. cordas vocais humanas. presa nas duas extremidades.0W de potência.. As ondas audíveis originam-se em cordas vibrantes (violino. Q15) (adaptada de 46E. (b) o comprimento de onda.. Qual a freqüência de vibração desta onda? R. Perturba-se a corda de tal forma que ela vibra produzindo uma onda senoidal de 7. Formando-se ondas que ao penetrarem no ouvido originam a sensação sonora. 4 ed) Considere uma corda.60m. Ondas Sonoras: As ondas sonoras são ondas mecânicas longitudinais que podem propagar-se em sólidos. flauta.4Hz. clarineta.1m/s.).. tambor. Quais são os comprimentos das ondas sonoras dessas freqüências? Q18) O menor comprimento de onda emitido por um morcego é de 3. calcular h. As frentes de ondas são superfícies sobre as quais as oscilações do ar devido às ondas sonoras têm o mesmo padrão. ω=2πf é a freqüência angular e Smax é a amplitude do deslocamento sofrido pelas partículas do meio. γP . considerando que γ ar =1. propaga-se uma variação da pressão do meio. A velocidade v de propagação do som nos gases pode ser calculada por: v = Q17) A frequência audível está entre 20Hz e 20kHz. a unidade SI para intensidade sonora é [W/m2]. varia senoidalmente no tempo. Frentes de onda esféricas.O deslocamento de um elemento do meio. v=340m/s. centradas na fonte. ρ é a densidade do meio. γ = . Pode-se mostrar que ∆pmax = vρω S max . µ a massa específica do cv gás. a pressão normal de 1. A Se o som se propaga através de frentes de ondas esféricas.: 399m 12. sendo R a distância até a fonte. µ sendo: γ a razão entre o calor específico molar a pressão constante e o calor específico cp molar a volume constante. Q20) Uma pedra cai de um penhasco que apresenta uma profundidade h. onde v é a velocidade de propagação da onda. Usar para a velocidade do som no ar.2kg/m3. Frentes de Ondas: A partir de uma fonte sonora pontual as ondas sonoras se propagam em todas as direções formando frentes de ondas esféricas.2s após a pedra cair escuta-se o som de sua batida contra o chão. em uma determinada posição. Intensidade Sonora I: A intensidade do som é a taxa média de transmissão de P energia por unidade de área: I = . A amplitude desta variação é ∆pmax e significa a variação máxima da pressão sofrida pelo meio. Qual a freqüência correspondente? Q19) Calcular a velocidade do som no ar. Se 10. como ilustra a Figura seguinte. R.3 mm. P a pressão normal do gás. Quando uma onda sonora se propaga. a amplitude do movimento. 13. a área é A=4πR2. 16 .4 e a massa específica do ar=1. sendo Smax o deslocamento máximo.0atm. Io − Io é a intensidade de referência padrão igual a 10 12W/m2 (escolheu-se este valor por ser a média do limite inferior da audição humana). Para reduzir numericamente este intervalo. ω é a freqüência angular. resulta que a intensidade dos sons audíveis abrange 1012 − − ordens de grandeza (desde 10 10 a 10 22). isto significa que a intensidade sonora de referência padrão corresponde ao nível sonoro igual a zero.I. 17 . 2 onde ρ é a densidade do meio. Nível Sonoro β: Como o intervalo de audição humana corresponde a valores de amplitude Smax que vão de 10-5 a 10-11m e a intensidade sonora é diretamente proporcional ao quadrado desta amplitude. onde dB é o decibél. β = 10 dB log 1 = 0 . Quando I = I o . A intensidade de uma onda sonora também pode ser dada por I = 14. a unidade de nível sonoro no S. adota-se o nível sonoro β definido I como β = 10 dB log .1 2 ρω 2 S max v . v é a velocidade de propagação da onda e Smax é a amplitude do deslocamento das partículas do meio. 2Km.6Pa Q23) Qual a intensidade sonora. Fundamentos Teóricos: As ondas sonoras ao penetrarem num tubo fechado numa extremidade. Conforme as zonas os níveis de decibéis nos períodos diurnos e noturnos são os seguintes: Área Zona de hospitais Período Diurno Noturno Zona residencial Diurno urbana Noturno Centro da cidade (negócios. de uma onda sonora que apresenta nível sonoro no limiar da dor (130dB)? R. R. qual será a ∆pmax no ar quando a amplitude é 10-5m? Considerar: densidade do ar=1.12kg/m3. (b) 3.com/fisica/ondas-sonoras/.º 10. com o auxílio de um tubo de ressonância. formando nodos de deslocamento na superfície fechada do tubo.065 de Maio de 1996 e são determinados de acordo com a zona e horário segundo as normas da ABNT (n.1). Área Diurno predominantemente Noturno industrial dB (A) 45 40 55 50 65 60 70 65 Q21) Um som é emitido em todas as direções e a uma distância de 10. Aula Experimental sobre Velocidade do Som no Ar. b) 2.Figura: Intervalo de intensidade sonora percebida pelos (http://www. em W/m2. a temperatura ambiente. Noturno administração). acesso em 16/10/08).151). 25dB e 100dB? R: a) 7.0 dB.0dB. Q22) Se a freqüência de uma onda sonora é 400Hz. humanos Os índices de poluição sonora aceitáveis são estabelecidos pela Lei n. Q24) (a) Qual a variação do nível sonoro quando a intensidade de uma fonte é multiplicada por 5. Diurno comércio. em sua extremidade aberta se formará um antinodo e as ondas 4 18 . Se o tubo tiver um comprimento igual a um número impar de quartos de comprimento de onda.0m da fonte o nível sonoro é de 100dB.: 9. 40 e 100? (b) Qual a razão entre as intensidades sonoras provoca um aumento de 4. 1010. 316. a) Qual a intensidade sonora a esta distância? b) A que distância da fonte o nível sonoro será 50db? Respostas: (a) 10-2W/m2. Vamos determinar a velocidade do som no ar.infoescola.º 1.: 10W/m2. um diapasão e uma coluna variável de água. se refletem. vsom no ar=340m/s. λ l = ( 2n + 1) (Eq.51. 20dB. 16dB. 15. [Em uma análise cuidadosa. A distancia internodal é metade do comprimento de onda. a posição do antinodo é ligeiramente superior à extremidade.] Num tubo de ressonância pode-se variar o comprimento mediante o auxílio de uma coluna de água. estaremos na condição de ressonância. mantendo a freqüência sempre constante através de um diapasão colocado próximo à extremidade aberta do tubo. d) Um reservatório de água.6 do raio do tubo. isto é. c) Um martelo de borracha. correspondendo a um segundo nodo. b) Um diapasão de freqüência conhecida. h) Uma régua ou fita métrica.2). e) Uma haste metálica. Se o nível da água for abaixado ainda mais. Se o nível da água do tubo é abaixado (pelo abaixamento do reservatório). Uma vez determinado o comprimento de onda através da experiência e conhecendo-se a freqüência do diapasão. g) Um termômetro. Material: a) Um tubo de vidro. o primeiro modo de ressonância ocorre quando a posição do nível da água corresponder a posição do primeiro nodo. um segundo modo de ressonância poderá ocorrer. cerca de 0. à temperatura ambiente. f) Um tubo de plástico. determina-se a velocidade do som no ar.Montagem: Fazer a montagem da experiência como mostra o esquema seguinte: 19 . através da equação v = λ f (Eq.refletidas encontrando-se com as ondas diretas (incidentes) formarão ondas estacionárias. Fazer vibrar diapasão batendo-o levemente com o martelo de borracha (deve-se evitar qualquer tipo de ruído e conversa até a localização dos pontos de ressonância). até localizar a posição do segundo ponto de ressonância e através de outro atilho marcar a posição do segundo nodo. 3. muito atenta. Calcular o valor médio da velocidade do som no ar. 2. Efeito Doppler A metodologia de trabalho para o estudo do Efeito Doppler consiste na leitura. 20 . abaixando e levantando o nível da água até ficar bem localizado o primeiro nodo e marcar com um atilho a posição deste nodo. A velocidade do som no ar a uma determinada temperatura T (em °C) pode ser determinada aproximadamente através da equação v = 332 + 0. 4. Fazer várias tentativas. para várias frequências (perguntar ao professor). a) Usando esta equação determinar a velocidade do som no ar à temperatura T ambiente. b) Calcular o erro percentual do valor médio da velocidade do som obtido por você (no item 2) tendo como referência o valor obtido em 5(a). 2. Obter dez medidas. Tarefas: 1. simultaneamente. Levantar o reservatório de maneira que o nível da água fique próximo ao topo do tubo. a partir v2 T2 da velocidade obtida em 2. determinar a velocidade do som no ar a 0°C. repetindo 1 e 2. Determinar a incerteza percentual na velocidade assumindo que a incerteza na frequência do diapasão é desprezível. do texto que segue e a resolução dos problemas propostos. a distância entre o primeiro e o segundo nodos. correspondentes ao mesmo. Se houver outros diapasões determinar a velocidade do som no ar. Abaixar novamente o nível da água mantendo sempre a vibração do diapasão. 6. Medir. Sabendo que a velocidade do som nos gases é diretamente proporcional à raiz quadrada v1 T1 = da temperatura absoluta. Abaixar lentamente o nível da água no tubo pelo abaixamento do reservatório até se ouvir a primeira ressonância. Calcular a média e a incerteza. .Andamento da Experiência 1. 3. 16.61 T . 5. sinais de rádio e luz visível. f’<f. por último. os sinais superiores (+vD e − F) se referem ao movimento de aproximação e v os sinais inferiores (− D e +vF) designam o movimento de afastamento. A seguir vamos restringir a análise considerando ondas sonoras que se propagam dentro da massa de ar atmosférica. vD é a velocidade do detector. Este efeito. o detector ouve um som de freqüência mais baixa que a freqüência da fonte. vF é a velocidade da fonte. Satélites especializados orbitando em torno da Terra localizam aviões caídos. f’>f. incluindo microondas. Quando a fonte e o detector se afastam um do outro. Quando a fonte e o detector se aproximam. galáxias e outros corpos em relação a nós. Os sinais de rádio procedentes dos satélites artificiais da Terra chegam afetados na sua freqüência pelo efeito Doppler. a freqüência do som ouvido é mais elevada que a freqüência da fonte. onde: A freqüência f ’percebida pelo detector é dada por • • • • • f é a frequência emitida pela fonte. para estudo do movimento das estrelas. 21 . Automóveis multados por excesso de velocidade com auxílio de radar “podem culpar” o efeito Doppler.Em geral. um viajante ao se aproximar dessa sirene percebe a freqüência da mesma aumentando e caso se afaste percebe a freqüência diminuindo. v Observa-se que sempre que houver aproximação entre detector e fonte. O efeito Doppler estende-se a todas as ondas do espectro eletromagnético. na Holanda. quando houver afastamento. Q25) Um carro patrulha estacionado na rodovia aciona a sirene que tem uma freqüência f de 1000 Hz. um do outro. O efeito foi estudado em 1842. pelo físico austríaco Johann Christian Doppler e testado experimentalmente em 1845.br/image/doppler. é usado universalmente em Astronomia. por Buys Ballot.gif v ± vD f '= f v v F . Assim. “usando uma locomotiva com vagões abertos e vários trombeteiros”. http://www.qsl. v é a velocidade do som. medindo o efeito Doppler dos sinais emitidos pelo Transmissor Localizado de Emergência. se uma sirene parada ao longo da estrada emite determinada freqüência. que a maioria dos aviões privados possui.py2bbs. o efeito Doppler é observado sempre que há um movimento relativo entre a fonte sonora e o detector. 13 MHz em direção a um automóvel que se afasta. qual a freqüência ouvida? Resp. sempre apitando.0 km/h? Considere a velocidade do som 340m/s. A onda de choque gerada por um aeronave supersônica produz um efeito sonoro chamada explosão sônica.. equaciona-se a frequência f’ que um detector no automóvel registraria para a freqüência emitida pelo radar. isto é. Quando você vF v senθ 22 . equaciona-se a frequência f’’ que o detector do radar registra para a freqüência f’ emitida pelo automóvel. se vF = v . R: f’’=0. Ao longo da superfície desse cone existe uma onda de choque. 1096 Hz b) Se você estiver se afastando do carro patrulha com esta mesma velocidade.a) Que freqüência f’ você ouvirá quando estiver se aproximando do carro patrulha com velocidade de 33 m/s? Resp. é v v 1 dado por senθ = e a razão F = é chamada número de Mach. a freqüência detectada f’ será infinita. (muitas vezes chamado ângulo do cone de Mach). chamadas supersônicas as equações do efeito Dopller não valem mais. 904 Hz Q26) Um trem se move com velocidade de 40 m/s. quando o trem dele se aproxima e depois se afasta. que em três dimensões é um cone chamado cone de Mach. O semi-ângulo θ do cone . Qual a freqüência f’’ das ondas detectadas (de volta) pelo radar se a velocidade do automóvel for 100. porque o agrupamento de frentes de ondas causam súbitos aumentos e diminuições na pressão do ar. O que acontece quando a velocidade da fonte supera a velocidade do som? Para essas velocidades maiores que as próprias frentes de onda. Na segunda etapa. (vsom = 343 m/s) R. emitindo um apito cuja freqüência é de 500 Hz. Dica: Este problema deve ser equacionado em duas etapas: Na primeira. isto significa que a fonte se move tão rápido que alcança as suas próprias frentes de onda. Determinar a freqüência percebida por um detector estacionário.: 566 Hz e 448 Hz Q27) Um radar estacionário envia uma freqüência f = 0. Velocidades supersônicas Se uma fonte se aproxima do detector estacionário com velocidade muito próxima ou igual à velocidade do som. Neste caso todas as frentes de onda se acomodam numa envoltória em forma de V.11MHz 17. se vsom=340m/s. http://www. mas um ouvinte adiante do carro percebe um dó sustenido (277 Hz). Uma emissão de elétrons de um betatron à alta velocidade produz radiação Cerenkov na água.0s após o avião ter passado verticalmente sobre sua cabeça.: 1.4º Q29) Qual deve ser a velocidade de uma aeronave supersônica para que o semi-ângulo do vértice do cone da onda de choque seja igual a 40º? R.6 m/s. Uma bala é disparada por um rifle deslocando-se a Mach 1. tocando um acorde em dó (262 Hz).6. 23 . R.net/wpcontent/uploads/2008/03/f18_barreira.0Mach e seu estrondo sônico alcança uma pessoa no solo 5. Encontre a velocidade dos elétrons na água.google. Q31) Uma ambulância corre uma estrada à velocidade de 33. então vaeronave=1904km/h. A frente de onda desta luz forma um ângulo de 60º.br/imgres?imgurl=http://www. Qual a velocidade do carro? Usar a velocidade de 340 m/s como a velocidade do som no ar.: 475 Hz e 338 Hz.108m/s.: 66. R. R.com.vocesabia.3 vezes maior que a velocidade do som no ar. A foto a seguir mostra um avião supersônico e a nuvem formada após o vapor de água ter condensado devido às bruscas alterações de pressão na superfície do cone de Mach gerado. Q30) Uma banda se apresenta num carro de som. Considerar a velocidade da luz no vácuo c=3. Encontre o ângulo entre a onda de choque e a trajetória da bala.ouve dizer que um avião voou a Mach 2.38 ( isto é vF/v=1.5 m/s. R. Sua sirene emite um som com a freqüência de 400 Hz. qual a altitude do avião? Considere a velocidade do som no ar 340m/s.80km.108 m/s Q)33) Se um avião caça voa a 3.3 significa que a sua velocidade foi 2. Qual a freqüência percebida por um passageiro num carro que está a 24.jpg&imgrefurl Q28).55vsom. se aproximando da ambulância e depois se afastando da ambulância com a mesma velocidade? R.38). Q32) A velocidade da luz na água é cerca de três quartos da velocidade da luz no vácuo.: 1.: 46.: 2.3km/h.