OS CONCEITOS DE LIMITE, DERIVADA E INTEGRAL EM LIVROS DIDÁTICOS DE CÁLCULO E NA PERSPECTIVA DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA E DE DISCIPLINAS ESPECÍFICAS EM CURSOS DE ENGENHARIA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Mestrado em Educação Tecnológica

Iêda do Carmo Vaz

OS CONCEITOS DE LIMITE, DERIVADA E INTEGRAL EM LIVROS DIDÁTICOS DE CÁLCULO E NA PERSPECTIVA DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA E DE DISCIPLINAS ESPECÍFICAS EM CURSOS DE ENGENHARIA

Belo Horizonte (MG) 2010

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Iêda do Carmo Vaz

OS CONCEITOS DE LIMITE, DERIVADA E INTEGRAL EM LIVROS DIDÁTICOS DE CÁLCULO E NA PERSPECTIVA DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA E DE DISCIPLINAS ESPECÍFICAS EM CURSOS DE ENGENHARIA

Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Educação Tecnológica do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais - CEFET-MG, para obtenção do título de Mestre em Educação Tecnológica. Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares

Belo Horizonte (MG) 2010

Iêda do Carmo Vaz

OS CONCEITOS DE LIMITE, DERIVADA E INTEGRAL EM LIVROS DIDÁTICOS DE CÁLCULO E NA PERSPECTIVA DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA E DE DISCIPLINAS ESPECÍFICAS EM CURSOS DE ENGENHARIA

______________________________________________ Prof. Dr. João Bosco Laudares (Orientador) ______________________________________________ Profª. Drª Adriana Maria Tonini (UFOP) ___________________________________________ Profª. Drª Maria Clara Rezende Frota (PUC-MINAS) __________________________________________ Prof. Dr. Jerônimo Coura Sobrinho (CEFET-MG)

Belo Horizonte ,23 de agosto de 2010.

Para Ilton e Iêda, meus pais, pelo amor incondicional. Para Gabriel e Iago, meus filhos, por existirem em minha vida.

Agradecimentos João Bosco Laudares. Meu orientador. Seu cuidado constante durante toda a trajetória de meus estudos nesses últimos 30 meses, possibilitou, não só a redação do presente trabalho, mas também o meu crescimento enquanto profissional e principalmente enquanto pessoa. Membros da Banca Disponibilizaram-se para a leitura e consequente avaliação dessa dissertação, ensinandome a trilhar nesse caminho tão frutífero em inquietações. Professores do Mestrado Com competência incontestável, muito contribuíram para que me fizesse leitora, na compreensão das entrelinhas. Professores pesquisados. Grande foi a receptividade de todos. Ao abrirem as portas de suas salas de aula e também se disponibilizarem para a entrevista, muito contribuíram para que essa pesquisa se efetivasse com veracidade e transparência.

Coordenadores dos cursos pesquisados. Solicitude, transparência e acolhida foram práticas constantes no exercício de suas funções. Ao procurá-los encontrei pessoas receptivas e muito envolvidas, fornecendo e explicando com clareza as informações necessárias. Foram grandes as contribuições oferecidas durante o todo o processo de pesquisa. Lorena Freitas. Diretora do Colégio Santo Agostinho, unidade Nova Lima. Carinho, cuidado e respeito são a tônica de sua gestão. A partir da crença no homem e em suas possibilidades de crescimento, muito contribuiu para que a conclusão desses estudos se efetivasse. Fernanda Araújo. Supervisora do Colégio Santo Agostinho, unidade Nova Lima. Com seu olhar terno e cuidadoso, acompanhou todo o desenrolar desse processo, num diálogo constante entre a teoria e a prática.

Juliana Rodrigues. Minha ajudante. Com seu dinamismo, manteve organizada minha casa e ajudou-me a cuidar dos meus filhos, dando-me assim, tranquilidade para realizar minhas obrigações enquanto estudante. Meus irmãos, cunhadas e sobrinhos. Paciência e entendimento foi um exercício constante na convivência de minhas ausências.

RESUMO

Esta dissertação apresenta uma pesquisa desenvolvida no Mestrado Acadêmico em Educação Tecnológica do CEFET-MG, tendo como objeto de estudo o tratamento dos conceitos básicos do Cálculo Diferencial e Integral: Limite, Derivada e Integral de uma função real. Foram determinados como parâmetros à análise desses conceitos as abordagens numérica, algébrica e geométrica (gráfica) no tratamento didático pelos professores de Cálculo I de disciplinas específicas, de Cursos de Engenharia do CEFET-MG, e também foram analisados livros- texto de Cálculo. Assim, os métodos de pesquisa foram: observação de aulas de Matemática e disciplinas específicas de cursos de Engenharia; entrevistas semi-estruturadas com professores das aulas observadas e outro professor; análise documental de livros de Cálculo. O referencial teórico utilizado foi o de registro de representação semiótica de Duval e o de conceito baseado na didática francesa, abordada por Pais. Também foi referenciado Lévy quanto ao conhecimento por simulação da era informática. Os resultados da pesquisa indicam que os autores de livros apresentam os conceitos de Cálculo com bastante ênfase, utilizando as abordagens numéricas, algébricas e geométricas (gráfica). Os professores também trabalham com os conceitos usando as abordagens dos livros-textos, mas com a tendência à algebrização e o Cálculo operacional. Palavras-Chave: Ensino de Cálculo. Cursos de Engenharia. Conceitos de Limite, Derivada e Integral. Livro-texto de Cálculo.

ABSTRACT This dissertation presents a research carried out in the Academic Master of Technology Education of the CEFET-MG, where the object of study was the treatment of the basic concepts of Differential and Integral Calculus: Limit, Derivative and Integral of a real function. It was determined as parameters to the analysis of these concepts to approach numerical, algebraic and geometric (graphic) in the treatment by teachers teaching in Calculus I and in specific contents of the Courses Engineering CEFET-MG and also was analyzed textbooks of Calculus. The methods of research were: classroom observations of mathematics and specific contents of Engineering; semi-structured interviews with teachers of the classes observed and other teacher; documental analysis of the Pedagogic Politic Project, of Teaching Plane and were studied books on calculus. The theoretical framework used was the record of semiotic representation of Duval and the concept was based at French didactics, boarding by Pais. Lévy was also referenced as knowledge of the computer era. The research results indicate that the authors of books present the concepts of calculus with enough emphasis, using, numerical, algebraic and geometric (graphic), approaches. Teachers also work with the concepts using the approaches but with the tendency to employ algebraic formulae processes and to make operational calculus. Key-Words: Teaching Calculus. Engineering courses. Concepts of Limit, Derivative and Integral. Textbook Calculus.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 Estudo aritmético e geométrico do limite de uma função.........................54 FIGURA 2 Representação geométrica do estudo algébrico de uma função .............55 FIGURA 3 Interpretação geométrica de Limite..........................................................57 FIGURA 4 Representação geométrica do limite lim f ( x) = − ∞ ..............................59 x→a

FIGURA 5 Representações de uma reta tangente....................................................61 FIGURA 6 Estudos laterais do limite de uma função ................................................62 FIGURA 7 Exercícios propostos................................................................................64 FIGURA 8 Estudo aritmético do limite de uma função ..............................................65 FIGURA 9 Relação entre

δ e ε

na definição de Limite ..........................................66

FIGURA 10 Limites obtidos graficamente .................................................................66 FIGURA 11 Representação geométrica do Teorema do Confronto ..........................67 FIGURA 12 Representação geométrica de limites laterais .......................................68 FIGURA 13 Representações de limites: em uma mola .............................................69 FIGURA 14 Representação geométrica de lim ( x 2 + 1 ) ..........................................70 x →1

FIGURA 15 Representação geométrica do estudos de limite em três funções distintas .....................................................................................................................71 FIGURA 16 Tabelas referentes aos estudos dos limites das funções da figura 14...72 FIGURA 17 Propostas de uso de calculadoras e computadores ..............................73 FIGURA 18 Interpretação geométrica de uma derivada ...........................................75 FIGURA 19 Três formas de f deixar de ser diferenciável em a .................................77 FIGURA 20 Representação geométrica da definição de limite como inclinação da reta tangente .............................................................................................................77 FIGURA 21 Limite bilateral - o limite que define a derivada é inexistente.................80

FIGURA 22 Inclinação da reta tangente pela esquerda e pela direita - o limite que define a derivada é inexistente..................................................................................80 FIGURA 23 Estudos de reta tangente.......................................................................83 FIGURA 24 Quando ∆ x tende a zero, as retas secantes tendem para a reta tangente ....................................................................................................................85 FIGURA 25 Cálculo de uma superfície a partir de soma de áreas de retângulos. ....88 FIGURA 26 Cálculo de uma superfície com lado curvo a partir de soma de áreas de retângulos..................................................................................................................90 FIGURA 27 Subdivisão dos intervalos nos retângulos..............................................93 FIGURA 28 Exercícios propostos - Enfocando conceitos .........................................94 FIGURA 29 Exercício contextualizado ......................................................................96 FIGURA 30 A (x) = Área de a até x ...........................................................................97 FIGURA 31 Utilização do cálculo de área com retângulo (por falta e por excesso) para calcular a superfície abaixo da curva ................................................................98 FIGURA 32 Cálculo por estimativa de uma região limitada por uma curva...............98 FIGURA 33 Cálculo de uma região cuja área é representada por uma Integral Definida .....................................................................................................................99 FIGURA 34 Registro das aulas de disciplinas específicas......................................134 FIGURA 35 Registro das aulas de disciplinas específicas......................................135 FIGURA 36 Registro das aulas de disciplinas específicas......................................136 FIGURA 37 Registro das aulas de disciplinas específicas......................................137 FIGURA 38 Registro das aulas de disciplinas específicas......................................138

LISTA DE QUADROS QUADRO 1 Obras analisadas...................................................................................51 QUADRO 2 Definição de Limite. ...............................................................................55 QUADRO 3 Definição Precisa de Limite. ..................................................................56 QUADRO 4 Definição de assíntota vertical. ..............................................................59 QUADRO 5 Definição de Limites infinitos no infinito. ................................................63 QUADRO 6 Definição de formal de Limite. ...............................................................65 QUADRO 7 Teorema do Confronto...........................................................................68 QUADRO 8 Definição de derivada. ...........................................................................74 QUADRO 9 Definição da derivada. ...........................................................................74 QUADRO 10 Interpretação da Derivada como inclinação da Reta Tangente. ..........75 QUADRO 11 Definição da função derivada. .............................................................78 QUADRO 12 Definição de uma função diferenciável. ...............................................79 QUADRO 13 Definição de derivada. .........................................................................81 QUADRO 14 Definição de módulo da Velocidade. ...................................................82 QUADRO 15 Definição da inclinação de uma função. ..............................................86 QUADRO 16 Definição de Derivada. ........................................................................87 QUADRO 17 Derivabilidade e Continuidade . ...........................................................87 QUADRO 18 Definição da área abaixo de uma determinada curva, em um plano cartesiano..................................................................................................................89 QUADRO 19 Definição da área abaixo de uma determinada curva, em um plano cartesiano..................................................................................................................91 QUADRO 20 Definição de antiderivada. ...................................................................92 QUADRO 21 Notação Integral. .................................................................................95 QUADRO 22 Definição de antiderivada. ...................................................................95 QUADRO 23 Definição de Integral Definida..............................................................97

QUADRO 24 Organograma do PP da Engenharia Elétrica.....................................106 QUADRO 25 Classificação pelos conteúdos da diretriz curricular: núcleo de conteúdo básico ......................................................................................................107 QUADRO 26 Organograma do PP da Engenharia Elétrica.....................................109 QUADRO 27 Eixos de Conteúdos e Atividades: desdobramento em disciplinas ....110 QUADRO 28 Carga horária da disciplina de Cálculo I na Engenharia de Computação. ................................................................................................................................111

LISTA DE SIGLAS ABENGE- Associação Brasileira de Educação em Engenharia ANPEd- Associação Nacional de Pesquisadores em Educação CAS – Computer Álgebra System CEFET-MG- Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais CNPq- Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico COBENGE- Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia DECOM- Departamento de Computação DFM- Departamento de Física e Matemática EPC- Engenharia de Produção Civil FAE-UFMG- Faculdade de Educação da Universidade Federal de Minas Gerais PCN- Parâmetros Curriculares Nacionais PINEM- Práticas Investigativas no Ensino de Matemática PPP- Projetos Políticos Pedagógicos PREPES- Programa de Especialização de Professores de Ensino Superior PUC Minas- Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais SAC- Sistema de Álgebra por Computador

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................15 1.1 Formação e pesquisa........................................................................................15 1.2 Justificativas......................................................................................................16 1.2.1 Educação Matemática e Educação Tecnológica..............................................16 1.2.2 Ensino de Matemática ......................................................................................17 1.2.3 Pilares da Matemática ......................................................................................19 1.2.4 O que é conceituar? .........................................................................................19 1.2.5 O que é definição em Matemática?..................................................................20 1.2.6 Ensino de Cálculo ............................................................................................20 1.2.7 Ensino em cursos de Engenharia.....................................................................21 1.2.8 A Educação e o ensino em Engenharia ...........................................................22 1.3 Objetivos ............................................................................................................23 1.3.1 Objetivo geral ...................................................................................................23 1.3.2 Objetivos específicos........................................................................................23 1.4 Metodologia e métodos de pesquisa..............................................................24 2 EDUCAÇÃO E ENSINO DE MATEMÁTICA - O CONCEITO EM FOCO ..............26 2.1 A natureza da matemática e o objeto matemático....................................26 2.2 Conhecimento e saber matemático .................................................................27 2.2.1 Conhecimento ..................................................................................................27 2.2.2 Saber matemático ............................................................................................28 2.3 A estrutura matemática....................................................................................29 2.4 Pensamento matemático ..................................................................................31 2.5 A definição e o conceito das proposições matemáticas .........................34 2.6 Educação matemática e educação tecnológica .........................................40 2.7 O ensino de cálculo na perspectiva da produção acadêmica..............43 3 O ENSINO DE CÁLCULO NA PERSPECTIVA DE LIVROS DIDÁTICOS ............48 3.1 Limite..................................................................................................................53 3.1.1 James Stewart .................................................................................................53 3.1.2 Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis......................................................60 3.1.3 George Thomas ..............................................................................................64 3.1.4 Ron Larson e Bruce H. Edwards ......................................................................69 3.2 Derivada .............................................................................................................73 3.2.1 James Stewart..................................................................................................73 3.2.2 Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis......................................................77 3.2.3 George Thomas ...............................................................................................80 3.2.4 Ron Larson e Bruce H. Edwards ......................................................................83 3.3 Integral ...............................................................................................................88 3.3.1 James Stewart..................................................................................................88 3.3.2 Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis......................................................91

3.3.3 George Thomas ...............................................................................................94 3.3.4 Ron Larson e Bruce H. Edwards ....................................................................95 4 O ENSINO DE CÁLCULO EM CURSOS DE ENGENHARIA NA PERSPECTIVA DE PROFESSORES DE CÁLCULO E DISCIPLINAS ESPECÍFICAS DO CURSO ................................................................................................................................100 4.1 Metodologia adotada.......................................................................................100 4.2 Metodologia científica.....................................................................................102 4.3 Métodos da pesquisa ......................................................................................103 4.3.1 Instrumento para coleta de dados ..................................................................103 4.4 Objetos / Sujeitos ............................................................................................104 4.5 Cursos da instituição pesquisada ................................................................104 4.5.1 Projetos Pedagógicos ( PP ) .........................................................................105 4.5.2 Plano de ensino para a disciplina de cálculo I................................................113 4.6 Observação de aula.........................................................................................115 4.6.1 Aulas de cálculo I ...........................................................................................116 4.6.2 Tratamento Conceitual de Limite de uma função ...........................................117 4.6.3 Tratamento Conceitual de Derivada de uma função ......................................124 4.6.4 Tratamento Conceitual de Integral de uma Função .......................................128 4.6.5 Aulas de disciplinas específicas ....................................................................131 4.7 Entrevistas .......................................................................................................139 4.7.1 Professores de Cálculo I ................................................................................139 4.7.2 Professores de Disciplinas Específicas ..........................................................144 4.8 Entendimento dos conceitos de Limite, Derivada e Integral.......................149 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................152 REFERÊNCIAS.......................................................................................................158 APENDICE..............................................................................................................163 APENDICE A - COM O PROFESSOR DE DISCIPLINA ESPECÍFICA..................164 APENDICE B - ENTREVISTA COM O PROFESSOR DE MATEMÁTICA .............166 ANEXO ...................................................................................................................168 ANEXO A - PLANO DE ENSINO............................................................................169 ................................................................................................................................169 ANEXO B - CRONOGRAMA CEFET MG - CÁLCULO I - 2009/02........................173 ANEXO C - CÁLCULO I - ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO, 2º 2009 ..............175

15 1 INTRODUÇÃO

1.1 Formação e pesquisa

Ao longo de minha trajetória profissional, experienciei inúmeras situações que me levaram a buscar fundamentos teóricos que respondessem e justificassem minhas práticas de ensino em Matemática, entendendo que a teoria fundamenta a prática, e a prática respalda a teoria (SAVIANI, 2000). Treze anos após o término de minha graduação em Matemática, retornei à universidade em busca de respostas para minhas perguntas e inquietudes, oriundas de minhas vivências enquanto educadora. Matriculei-me então, no Programa de Especialização de Professores de Ensino Superior (PREPES), oferecido pela Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais (PUC Minas), integrando à primeira turma do curso de Educação Matemática oferecido por aquela instituição, em 1998. No período entre 2001 / 2005 experienciei na PUC Minas, a docência no ensino superior, nas disciplinas de Didática Aplicada ao Ensino da Matemática e Instrumentação para o Ensino de Matemática, para graduandos em Matemática, num trabalho de formação de futuros professores. Essa vivência levou-me a vislumbrar novas possibilidades de estudos e pesquisas. Em 2005 iniciei minha participação no grupo de estudos e pesquisas denominado Práticas Investigativas no Ensino de Matemática (PINEM), que também integra os trabalhos realizados pela PUC Minas. Várias leituras passaram a fazer parte de minha rotina enquanto integrante do grupo, com estudos e reflexões contínuas sobre ensino de Matemática aliada à prática investigativa, com a rica possibilidade de parcerias colaborativas entre os participantes do grupo, sempre muito fecundas. O incentivo nas participações em eventos dentro do universo de estudos da Educação Matemática sempre foi uma constante no grupo, com debates com as líderes e desenvolvimentos de trabalhos surgidos a partir das práticas individuais dos integrantes, sempre à luz dos estudos teóricos praticados pelo grupo.

16 Ao iniciar o mestrado em Educação Tecnológica, no Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais (CEFET-MG), após longos diálogos com meu orientador, vislumbrei a possibilidade de desenvolver pesquisas sobre o ensino de Matemática, nos cursos de Engenharia. Tais estudos apresentaram-se para mim como um novo e grande desafio. Entender e fundamentar os processos de ensino, dos conceitos básicos de Cálculo, em um constante diálogo entre a Educação Matemática e a Educação Tecnológica, passaram a fazer parte de minhas inquietudes enquanto Educadora Matemática, objeto de temáticas do Mestrado inserido no comitê de Ensino de Ciências e Matemática.

1.2 Justificativas

1.2.1 Educação Matemática e Educação Tecnológica

Na validação ou concepção de um curso de Graduação universitária, procura-se a formação, não apenas profissional, mas a inserção do estudante na academia, formando-o para a profissão, mas com embasamento teórico, numa dupla abrangência técnico/científica. Nessa perspectiva, a Matemática além de ser requisito ao desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo do estudante, o municia de instrumentos para o entendimento e a construção da tecnologia. A atual sociedade do conhecimento, onde o científico está vinculado ao raciocínio causal, organizado, sistêmico e lógico, a Matemática acontece como requisito conceitual científico. Se, fazer ciência é matematizar os fenômenos, realizando sua leitura e compreensão pelo raciocínio lógico-dedutivo, essência da estruturação Matemática, a Educação Tecnológica ou para a Tecnologia, se faz numa interação estreita com a Educação Matemática. Nessa interação tecnológica com a matematização da realidade, a Educação Matemática se apropria da Etnomatemática (D’AMBROSIO,1998) tomando os

17 princípios socioculturais, hoje, de uma sociedade tecnizada, e utiliza a modelagem, segundo Bassanezi (2002) para interpretação do real e do fenômeno, através do instrumental matemático. Isso constitui o fundamento pedagógico para a Educação Tecnológica e Educação Matemática, que se integram no processo educacional pela ação efetiva do educador matemático e do educador tecnológico. Ambos estão a serviço da formação e capacitação do homem para sua inserção social no mundo do trabalho, e sua integração cultural para viver numa sociedade impregnada da ciência e da tecnologia. Aliado a esses estudos espera-se do professor a criação de um novo ambiente escolar do questionamento, encorajando o estudante a propor soluções, explorar possibilidades, levantar hipóteses, justificar seu raciocínio, fazer simulações, entrar em rede, analisar e justificar resultados utilizando a Matemática como instrumental na resolução de problemas, surgidos da construção e da criatividade em situações de trabalho, da técnica, do econômico e do social (LAUDARES, 2004, p.294).

1.2.2 Ensino de Matemática

O ensino de Matemática, esteve durante décadas sedimentado em processos lineares de transmissão de conhecimentos já construídos, ao longo da história das ciências. Pesquisas se desenvolvem no campo da Educação Matemática, novas estruturas curriculares são propostas, e novas ideias pedagógicas surgem, desenvolvidas pelas teorias de aprendizagem. Assistiu-se recentemente no Brasil a um debate curricular que evidenciou, a partir da década de 1990, uma rejeição à pedagogia dos conteúdos e conduziu à elaboração dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1998), por volta da metade da mesma década. O movimento gerou reações calorosas por parte da comunidade de pesquisadores do país, representada, em sua maioria por educadores associados à Associação Nacional de Pesquisadores em Educação (ANPEd). Um ensino tradicional, pensado em termos de conteúdos disciplinares, espelhou, ao longo dos anos, uma concepção de aprendizagem como “acumular conteúdos”. Ao se pensar o ensino e o currículo em termos de competências e habilidades corre-se, talvez o risco de, novamente adotar

18 uma concepção restrita do que é aprendizagem, onde “acumular conteúdos” é apenas substituído por “acumular habilidades”.(FROTA, 2002, p.11)

Oficializa-se um discurso de estado que indica uma organização curricular, que aponta competências globais e específicas por áreas. Nesse sentido a Matemática pode ser vista como uma linguagem unificadora, possibilitando o desenvolvimento de trabalhos interdisciplinares. O objetivo é uma educação que se preocupa com a formação integral do indivíduo, atentando para o seu papel na sociedade, que exige uma formação científica do homem, mas que transcende uma formação apenas de conteúdo. 'Assim, nesses parâmetros os conteúdos estão dimensionados não só em conceitos, mas também em atitudes' (BRASIL, 1998, p. 49)

Tais procedimentos devem visar a construção de um raciocínio que englobe os conceitos matemáticos e seus processos, que desenvolva uma postura eficiente diante de diversas situações-problema. Deve-se exterminar a visão de procedimento como simples metodologia para que, desta forma, a apreensão se perpetue mais facilmente. Entende-se hoje que conhecer é conhecer o significado (BARUFI, 1999), num processo dialógico entre educandos e educadores, a fim de que todos possam emitir ideias críticas sobre questões colocadas. 1

A postura pedagógica decorrente da concepção fenomenológica privilegia o diálogo entre sujeitos, busca o sentido que o mundo faz para o aluno, considerando também o que do mundo das ciências dizem, dá destaque à linguagem falada e escrita, trabalhando com a interpretação e com a verdade como decorrente da clareza do que é intersubjetiva e historicamente construída (BICUDO; GARNICA 2003, p.26).

Numa prática dialógica, aprender a resolver problemas matemáticos estabelece-se como forma de aprender a resolver também os problemas da sociedade, ciente de que soluções de problemas sociais transcendem à lógica da própria Matemática, porque envolvem variáveis políticas e vontade cidadã.

Bicudo e Garnica (2003) defendem que o âmago da postura fenomenológica está na sua forma de entender o mundo como sendo sempre e necessariamente correlato à consciência. Consciência assumida e trabalhada como intentio, que significa, em termos simples, o ato de “entender-se a [...]”, abarcando o percebido pela percepção. A realidade, com a qual a fenomenologia trabalha é a realidade percebida. Percepção é vista como o encontro que se dá entre o percebido e o sujeito que percebe. 1

19 "Vejo a prática curricular como o espaço privilegiado em que se viabiliza a tentativa de conciliar um projeto emancipatório e princípios pós-modernos" (MOREIRA, 1998, p.32). Num processo de fazer Matemática, Ponte e Brocardo (2003) defendem que a investigação possibilita estabelecer relações entre conceitos matemáticos, à procura de propriedades implícitas ou subjacentes nos estudos desenvolvidos. Defendem também que investigar é procurar conhecer o que não se sabe.

1.2.3 Pilares da Matemática

A Matemática, na sua formalidade, desenvolve-se a partir de uma lógica estrutural. Os conceitos emergem de situações concretas e teóricas ou de fenômenos, no cotidiano, na ciência, na tecnologia e se operacionalizam na aplicação em situações problemas.

1.2.4 O que é conceituar?

A Filosofia da Matemática traz perguntas básicas, que nos ajudam a pensar a questão: O que existe? O que é conhecimento? O que vale? Qual a realidade dos objetos matemáticos? Como são conhecidos os objetos matemáticos e quais os critérios que sustentam a veracidade das afirmações matemáticas? Os objetos e as leis matemáticas são inventados (construídos) ou descobertos? Conceituar exige uma ação, através de uma atividade mental, pois não se trata de uma descoberta fruto de uma clarividência conseguida por graça ou casuisticamente, mas a conseqüência de um árduo trabalho mental de perseguição à verdade. Trata-se de um processo lógico que privilegia as descrições dos objetos matemáticos e das relações e estruturas que os unem.(BICUDO; GARNICA., 2003, p.30)

20 1.2.5 O que é definição em Matemática?

Ao pensar a definição em Matemática, busca-se a formalização de conceitos, numa explicação precisa, isto é, busca-se dar forma ao conceito, a partir da utilização da linguagem matemática, também entendida e explicada nos estudos da semiótica. É necessária uma abordagem cognitiva, pois o objetivo do ensino de matemática, em formação inicial, não é nem formar futuros matemáticos, nem dar aos alunos instrumentos que só lhes serão eventualmente úteis muito mais tarde, e sim contribuir para o desenvolvimento geral de suas capacidades de raciocínio, de análise e de visualização. (DUVAL, 2005, p. 11).

Há uma grande variedade de representações semióticas utilizadas em Matemática, e que possuem diferentes registros de representação. Essas representações foram desenvolvidas, ao longo da história da humanidade, segundo a evolução do pensamento matemático. Muito dos bloqueios vividos por estudantes de Matemática não devem ser procurados nos domínios dos conhecimentos dos conceitos Matemáticos, mas na importância das representações semióticas e na grande variedade que essas representações, utilizadas em Matemática, possuem.

1.2.6 Ensino de Cálculo

Hoje, pesquisas desenvolvidas no campo da Educação Matemática buscam entender as estratégias de aprendizagem que os educandos desenvolvem para aprender Matemática (FROTA, 2001). A apreensão dos conceitos matemáticos acontece a partir de experimentações, e descrições são feitas juntamente com conceitos anteriormente adquiridos. As construções de gráficos acontecem para fornecer imagens visuais, que são utilizadas para verificação das afirmações e dos teoremas estudados. Há uma tensão entre a coerência da matemática elementar e a conseqüência da matemática formal, num movimento do descrever para o definir (PINTO, 2001).

21 1.2.7 Ensino de Matemática em cursos de Engenharia

Em estudos desenvolvidos, Cabral e Baldino (2004) apresentam pesquisas sobre o ensino profissional de Matemática. A partir da reforma universitária ocorrida em 1969, aboliu-se a estrutura de cátedras e implantou-se a de departamentos e institutos básicos, seguindo modelo vigente nos Estados Unidos, o que passou a significar um problema no ensino da Matemática para não-matemáticos. Com a implantação dos cursos de Pós-graduação os matemáticos centraram esforços em suas próprias carreiras, e voltaram-se para os cursos de Bacharelado e Licenciaturas, este último, considerado como um subproduto do primeiro. Com isso, as disciplinas de Matemática, ministradas em outros cursos, ficaram a cargo de professores inexperientes. Tais cursos chegaram a ser chamados como cursos de “serviço”. Muitos dos professores que ministravam essas disciplinas estavam completando seus Mestrados e Doutorados em Matemática e, além de didática e pedagogicamente estarem subordinados aos departamentos de Matemática, não tinham qualquer visão sobre como a disciplina que ministravam se encaixaria no elenco das disciplinas profissionais de Engenharia. Tendiam, então, a organizá-la pelo viés da prática científica matemática, aproveitando para retomar, como professores, seus cursos de Graduação, nem sempre bem feitos, cujos conhecimentos, agora, faziam falta na Pós-Graduação. (CABRAL; BALDINO, 2004, p. 140)

Assim, o ensino de Matemática nos cursos de Engenharia foi se tornando cada vez mais precário, e ainda hoje, segundo Cabral e Baldino (2004), o problema permanece, pois os professores de Matemática, muitas vezes, não possuem uma prática didático-pedagógica reflexiva. Epistemologicamente, o tratamento da Matemática na escola pode ser abordado em duas perspectivas: a primeira, como ciência, na sua autonomia, e a segunda, como tecnologia, instrumental para a técnica, hoje construída com base científica. O tratamento científico privilegia a abstração, com o acúmulo de dedução de fórmulas, resolução de equações, num algebrismo restrito. As atividades escolares,

22 muitas vezes, primam pela busca de saberes teóricos e descontextualizados do mundo do trabalho e da vida social, econômica e política.

1.2.8 A Educação e o ensino em Engenharia

A Associação Brasileira de Educação em Engenharia (ABENGE) tem dedicado esforços para a discussão e levantamento de questões relativas aos cursos de Engenharia quanto a temáticas emergentes como metodologia do ensino e formação de professores, entre outras. A realização anual do Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia (COBENGE) contribui para estudos da atualização e implementação de novas didáticas à luz do desenvolvimento tecnológico e científico, seja na qualificação de professores, seja na busca de novas metodologias para as disciplinas básicas e específicas do currículo. Cabral e Baldino (2004) apresentam debates sobre o ensino de Matemática em cursos de Engenharia de Sistemas Digitais, e formulam hipóteses baseadas também em autores que apresentaram trabalhos nos COBENGES. Assim, o ensino de Matemática para as Engenharias pode ser analisado com alguns relatos que se seguem: Entre as estratégias de solução apresentadas nos COBENGES destacamos algumas que, de certo modo, são representativas de outras similares. São elas: dar preponderância à questão metodológica na consolidação da base conceitual dos alunos [...]; fazer uso e projetos de trabalho e de novas tecnologias da informação e comunicação [...] (NASCIMENTO; FLEMMING; LUZ, apud CABRAL; BALDINO, 2004, p. 143). fazer uso de calculadoras gráficas e programas computacionais como Maple, Matlab e outros, em salas de aula informatizadas [...]; [...], usar metodologias alternativas de ensino, como modelagem matemática . (LINO FRANCHI, FRID; SALLES; BALDIN; BALDIN; FERRUZZI et al., apud CABRAL; BALDINO, 2004, p. 143). mudar as concepções epistemológicas dos professores [...], investir na educação que possa ser realizada a distância e na construção de ambiente de aprendizagem [...], promover cursos de nivelamento para calouros [...]. (LODER; (MENDES FILHO et al., DZIEDZIC et al., apud CABRAL; BALDINO, 2004, p. 143).

23 1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo geral

Estudar os conceitos de limite, derivada e integral, pelos professores de Matemática e de disciplinas específicas, em cursos de Engenharia, e pelos autores de livrostexto de Cálculo.

1.3.2 Objetivos específicos

- Fazer uma exploração do projeto pedagógico dos cursos cujas disciplinas foram estudadas quanto à proposta de formação profissional e científica. - Verificar as disciplinas de Cálculo e da parte profissionalizante que mais utilizam os conceitos de Matemática relacionados aos fenômenos físicos e da tecnologia. - Verificar como alguns autores apresentam os conceitos de Cálculo em livros didáticos. - Identificar a abordagem que o professor de Matemática faz quando introduz os conceitos básicos de Limite, Derivada e Integral: numérica, geométrica, do cotidiano, ou a linguagem formal matemática. - Verificar como os professores de disciplinas específicas, dos cursos de Engenharia, utilizam estes mesmos conceitos na introdução dos saberes tecnológicos.

24 1.4 Metodologia e métodos de pesquisa

A metodologia usada foi baseada em autores que abordam o tratamento conceitual como Duval (2003) com a representação de registros semióticos , Lévy (1993 ) que trata do desenvolvimento do conhecimento e dos saberes com as tecnologias da inteligência, especificamente da nossa era, denominada era de informática. Buscouse também em Pais (2001) parâmetros da didática francesa especificamente do trabalho com conceitos. Os métodos usados na pesquisa foram três: 1. Análise documental: Projetos Políticos Pedagógicos dos cursos de Engenharia pesquisados, (PPP da Engenharia Elétrica, Engenharia de Produção Civil e Engenharia de Computação) e o Plano de Ensino de Cálculo I, elaborado pelo Departamento de Física e Matemática do CEFET-MG. Também foram analisados livros-texto de Cálculo I para identificação da abordagem dos conceitos investigados. 2. Observação de aula de Cálculo I e de disciplinas específicas dos cursos já mencionados. 3. Entrevistas semi-estruturadas com professores das aulas observadas e também um professor que somente foi entrevistado.

1.5 Estrutura da dissertação

Esta dissertação está estruturada da seguinte forma: O capítulo 1 compreende a Introdução na qual foi delimitado o tema, apresenta os objetivos e discorre sobre as justificativas da pesquisa.

25 O capítulo 2 apresenta o referencial teórico relativo ao tema investigado, isto é, educação e ensino de matemática - o conceito em foco de Limite, Derivada e Integral, fundamento do Cálculo Diferencial e Integral I, em curso de Engenharia. O capítulo 3 apresenta a análise de livros-texto de Cálculo no qual se buscou a abordagem dos conceitos estudados, na perspectiva da interpretação aritmética, geométrica e algébrica. O capítulo 4 traz os resultados das observações de aulas e das entrevistas efetivadas. O capítulo 5 traz as considerações finais. Apresenta a questão principal com um diálogo com os referenciais teóricos e os resultados obtidos da pesquisa, e aponta novas questões.

2 EDUCAÇÃO E ENSINO DE MATEMÁTICA - O CONCEITO EM FOCO

2.1 A natureza da matemática e o objeto matemático

A etimologia da palavra Matemática é a denotação de uma ciência. A ciência do contar e do medir. Ou seja, o conhecimento desta ciência busca o entendimento de significados no mundo real e objetivo, no desenvolvimento do pensamento e seus construtos que D’Ambrósio (1998) chama de “mentefato”, isto é, o produto da mente, resultado, segundo o mesmo autor, de três componentes essenciais e básicos: realidade, indivíduo e ação, em completa e contínua interação. Os objetos da Matemática são revestidos da perspectiva antropológica, psicológica, social, econômica e tecnológica, frutos da mente do homem, ser situado num espaço, num tempo, numa cultura. A construção do conhecimento matemático visa a expressão, a objetividade e a materialização do pensamento pela linguagem e registros de representação semiótica. (Duval, 2003). Mas, "na tradição da ciência ocidental com suas raízes na Grécia Antiga, os objetos matemáticos são concebidos como tendo existência objetiva e real, como perfeitos e

perenes". (BICUDO; GARNICA, 2001, p. 27). Segundo os mesmos autores, os objetos assim concebidos têm a descoberta como resultado de um trabalho mental de busca da verdade. Na perspectiva da cognição, a Matemática, ainda conforme a concepção explicitada, está presente no modo de entender-se a forma do raciocínio, principalmente no modelo Kantiano e respectivos seguidores na Filosofia e na Psicologia. (BICUDO; CARNICA, 2001, p. 29).

Descartes afirma que o objeto matemático é constituído pela ordem e medida, explicitado nas mais diversas áreas, como da música, da astrologia, da literatura. Desta forma, a Matemática tem uma natureza racional, isto é, um produto da razão humana. Então, objetos matemáticos são construídos no mundo da mente.

27 Na teoria platônica, a Matemática é um ser intermediário entre o mundo das ideias e o mundo da matéria.

2.2 Conhecimento e saber matemático

2.2.1 Conhecimento

Ora, se o conhecimento é uma descoberta, a sua construção se faz pelo pensar, característica ontológica do homem e pela ação, numa contínua busca de relações. Há uma elaboração de significado, isto é, da luz sobre a realidade. A compreensão de um fato real, de um fenômeno, de uma atividade, emergindo de experiências vividas individualmente ou no coletivo, se faz pela reflexão, pela práxis. Conhecer é entender o significado, a explicação da realidade, que inicialmente está contextualizada, plena de relações ou de rede de relações, rede esta dinâmica em constante transformação e devir.

RELAÇÕES

SIGNIFICADOS

CONHECIMENTOS (CONCEITOS)

As relações são interações geradas em experiências vividas por um sujeito humano, que as percebe e as reproduz de uma maneira sistemática ou assistemática. Articulações são estabelecidas e as redes reconfiguradas. Desta forma o indivíduo, numa produção de significados em rede, consegue romper com concepções como a mecanicista da ideação da linearidade, causa e efeito, com resultados previsíveis, em direção a novos paradigmas da complexidade, do pensamento não linear e de novas teorias, a privilegiar diferentes modelos.

28 Novas formas de estabelecer conexões aparecem entre elementos da informação construtivas de sistemas organizados com padrões flexíveis e prontos a serem remodelados e reconstituídos. No ambiente altamente tecnológico, Lévy (1993) propõe o trabalho mental com as Tecnologias da Inteligência, num mundo técnico e numa sociedade tecnológica, do atual século. Numa metáfora com a própria rede de significações vivenciadas pelos indivíduos, o mesmo autor cria o que denomina de “hipertexto” na passagem da oralidade para a escrita e daí para a informática, que permite e facilita uma complexificação e variações possíveis, conexões com processamentos das mais diversas informações, "cada um em sua escala, os autores da comunicação ou os elementos

de

uma

mensagem

constroem

e

remodelam

universos

de

sentidos...chamaremos estes mundos de significação de hipertextos". (LÉVY, 1993, p. 25) A rede de significações criadas pelo estudante inclui como personagem ativo o professor. Este como elemento propulsor do ato mental e objetivo à conclusão da identificação da rede de significações, tem o objetivo de apoiar o estudante para que o mesmo, como agente de sua aprendizagem, possa organizar as informações. Inicialmente, o conhecimento aparece desorganizado, desconexo, em múltiplas redes. O professor se encarrega de apoiar, com as tecnologias da inteligência, o trabalho mental do estudante, no seu universo de significações, entendendo que as redes individuais não são disjuntas, mas se entrelaçam numa interação simbiótica do coletivo. Portanto, o conhecimento, em relação de reciprocidade, é construído e reelaborado individual e coletivamente.

2.2.2 Saber matemático

Há diversas maneiras de se conceber as ideias científicas e matemáticas, que se relacionam com diferentes aspectos da natureza do saber matemático.

29 Entender estes diferentes aspectos pode direcionar as várias abordagens pedagógicas. Davis e Hersh (1985), citado por Pais (2001), aponta 3 (três) tendências fundantes das concepções históricas: - platonismo; - formalismo; - construtivismo. Pais (2001) traz a explicação dessas concepções: Na visão mais radical do “platonismo”, os objetos matemáticos são ideias puras e acabadas, que existem em um mundo não material e distante daquele que nos é dado pela realidade imediata [...]. Na concepção proposta pelo “formalismo”, a rigor, não se pode falar da existência a priori dos objetos matemáticos [...]. Os construtivistas consideram matemática genuína somente o que pode ser obtida por uma construção finita. (PAIS, 2001, p. 30)

Na prática educativa, a abordagem metodológica requer a não exclusividade de uma dessas concepções. Assim, o trabalho do professor de Matemática é conciliar as diversas concepções, trazendo-as para as atividades acadêmicas, diferentemente do matemático

que

tenta

eliminar

as

condições

contextuais,

buscando

as

generalizações abstratas. A ação pedagógica do professor de Matemática é da recontextualização, da colocação de uma situação ou um espaço, ao nível de compreensão do estudante, para que o mesmo possa entender as relações ou as redes de relações, que definem o saber matemático.

2.3 A estrutura matemática

A Matemática como ciência tem uma estrutura lógica organizada com os seguintes componentes estruturantes:

30

Axioma Postulado

Convenção Linguagem Proposição

Conceito Não Formalidade

Definição Formalidade

Teorema Demonstração Lema Colorário Figura 1: Estrutura - matemática

Nas várias ciências, alguns destes componentes podem ser identificados. Em Matemática, cada um deles pode ser explicado como: - Axioma é uma proposição num contexto mais amplo, que se admite como verdadeira, porque dela se podem deduzir as proposições de uma teoria ou de um sistema lógico ou matemático. Um postulado também é uma proposição não demonstrável que se admite como princípio de um sistema dedutível.

31 - Convenção é um acordo ou pacto estabelecido dentro de uma comunidade para decisão de um assunto específico. A linguagem é o vocabulário específico usado numa ciência e, uma proposição é um enunciado algorítmico verbal suscetível a de ser aceito como verdadeiro ou falso. - Conceito é a representação de um objeto pelo pensamento, por meio de suas características gerais. Conceituar é buscar o entendimento de estudos pretendidos a partir de situações de não formalidade. - Definição é a compreensão de um conceito enunciado a partir da linguagem de uma determinada ciência. É o entendimento de estudos pretendidos a partir da formalidade existente em determinada ciência. - Teorema é uma proposição que para ser admitida como verdadeira necessita de demonstração; se faz a partir de uma dedução que prova a verdade de sua conclusão, por se apoiar em premissas admitidas como verdadeiras. Ao se organizar uma demonstração, articula-se um lema que é o propósito que prepara a demonstração. Colorário é a proposição que imediatamente se deduz de outra demonstrada. Na pesquisa que gerou esta dissertação o objeto de estudo foi o “Conceito”, um dos componentes da Estrutura da Matemática.

2.4 Pensamento matemático

O homem é um ser constituído de matéria e espírito, cuja forma de vida se desenvolve no meio ambiente da natureza e em relações sociais com seus semelhantes. Com capacidade intelectual, seu trabalho de transformação da natureza tem como mecanismo regulador o poder do pensamento conceptual, com origem biológica num sistema nervoso central. Assim, o trabalho humano foi chamado ação inteligente por Aristóteles, pois, o trabalho dos homens é consciente e proposital, sendo o dos outros animais, instintivo. As atividades instintivas são inatas e peculiares a cada espécie.

32 O pensamento, como forma de elaboração mental das ideias e construtos abstratos, determina um sistema cognitivo de Capital a serviço da produção de bens e serviços, com aquisição das capacidades: a faculdade de perceber, de imaginar e de manipular. A faculdade de “percepção” ou do reconhecimento de formas, é caracterizada por sua grande rapidez. A percepção imediata é a habilidade cognitiva básica. A faculdade de “imaginar”, ou de fazer simulações mentais do mundo exterior, é um tipo particular de percepção, desencadeada por estímulos externos. A faculdade operativa ou manipulativa é mais específica da espécie humana que as anteriores. (LÉVY, 1993, p. 157)

Lévy (1993) discute a capacidade de manejar e remanejar o espaço ambiental como básico da cultura, sendo o pensamento lógico ou abstrato um dos aspectos, variável e historicamente datado e situado, isto é, da cultura. O mesmo autor define abstração em termos das suas relações com as tecnologias intelectuais. Processos intelectuais não se desenvolvem apenas na mente mas, com objetos e artefatos técnicos na interioridade espacial do homem. O homem na sua racionalidade trabalha sua arquitetura cognitiva com as memórias de curto e de longo prazo. Nossa atenção consciente ou nossa memória de curto prazo poderiam processar apenas uma quantidade mínima de informação a cada vez. Na memória de longo prazo, a informação não se encontraria empilhada ao acaso, mas sim estruturada em redes associativas e esquemas. LÉVY (1993, p. 153)

O pensamento como produtor de conhecimento, em ação, da forma interativa e relacional, pode ser explorado de maneira provisória e não acabada, com auxilio da tecnologia, para gerar um saber “por simulação”, o qual não é um conhecimento teórico, nem uma experiência prática, nem acúmulo de uma tradição oral. (LÉVY, 1993). A manipulação de parâmetros e a simulação de toda sorte de possibilidades das redes de relações podem necessitar da intuição e de conjecturas, características da realização de investigação. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003). Esses mesmos autores determinam os momentos da realização de uma investigação, isto é, um ensaio de acertos e erros, da experimentação do

33 levantamento de questões, conjecturas com seus testes e justificação. O método cartesiano procura a exatidão e o encadeamento lógico como sequência de intuições. Decorre uma relação de dedução e intuição a ser trabalhada nos métodos didáticos, se a opção é pelo cartesiano. O pensamento matemático no desenvolvimento curricular necessita de uma lista completa de ideias e processos, entre eles incluindo, segundo Abrantes (2005, p. 5): - As ideias de relação funcional e de transformação; - A procura de regularidades e de invariantes; - A abstração e a generalização; - A construção de conceitos por analogia; - A crise da intuição na exploração de situações, envolvendo objetos matemáticos; - A formulação de conjectura, sua demonstração ou refutação.

Desta forma, na organização curricular do processo ensino / aprendizagem da Matemática, ideias e processos são tomados em substituição aos particularismos técnicos, sendo cada tópico do conteúdo com abordagem das diferentes maneiras da produção de pensamento. Segundo Abrantes (2005), o fato de se considerar ideias e processos como verdadeiros conteúdos não significa a rejeição dos saberes de aritmética, álgebra e geometria, entre outros: "Não é possível ter ideias e desenvolver processos em Matemática sem ser sobre 'qualquer coisa', e esta qualquer coisa são os temas usuais do currículo de Matemática". (ABRANTES, 2005, p. 46). Desta forma, há uma especificidade do pensamento quando do trabalho dos vários ramos da Matemática. O pensamento aritmético, com o processo de produção de significados em uma perspectiva diferente de reconceitualização do papel da escola, considera lugar de tematizações e de formalizações, traz a coexistência de significados matemáticos (escola) e não matemáticos (da rua), ambos com sua legitimidade na construção do “sentido numérico”, isto é, um conjunto de percepções e intuições, com base em uma grande variedade de experiências com números. (LINS; GIMENEZ, 1997).

34 Historicamente, o pensamento em álgebra evidencia um desenvolvimento intelectual da concepção retórica (apenas palavras), para a sincopada (algumas notas e especial, em particular palavras abreviadas), e, mais tarde, à simbólica (apenas símbolos e manipulações). O pensamento em geometria sobretudo da exploração de espaços e figuras busca o desenvolvimento da “visualização” e reconhecimento espacial e figural numa visão analítica e sintética, para depois o entendimento da demonstração e do rigor, da lógica e da formalização. (VAN HILE, Apud Nasser, 2004). O pensamento em Cálculo Diferencial e Integral busca desenvolver o significado dos conceitos básicos de: - Funções: na modelagem cujo modelo é expresso matematicamente através de equações e gráficos, pela relação de variáveis e parâmetros. - Limites: no estudo da vizinhança de um ponto e da tendência de valores cada vez maiores ou menores; - Derivada: como taxa de variação nos fenômenos e interpretação do valor da derivada, para o estudo do comportamento de uma função; - Integral: no cálculo operacional, como antiderivada, e na interpretação geométrica, como soma de infinitésimos, numa relação do cálculo infinitesimal e do cálculo integral.

2.5 A definição e o conceito em matemática

Segundo Huete e Bravo (2006, p. 68), “são quatro os tipos de aprendizagem matemática, a saber: memorização, aprendizagem algorítmica, aprendizagem de conceitos e resolução de problemas”. Já Laudares (1987, p. 3), traz quatro abordagens para a metodologia matemática: Raciocínio e memorização, o ensino do essencial, a correlação dos conceitos matemáticos com a vida real, com outras disciplinas profissionalizantes e com a Física, especialmente, a interfase, entre os

35 próprios compartimentos da Matemática, isto é, da Álgebra e do Cálculo com a Geometria”.

Nas duas citações são destacados os conceitos, entretanto é importante entender a diferença da definição e do conceito. A definição se faz quando da formalização de determinado conceito com a utilização da linguagem técnica oral e escrita, com uso da simbologia própria e específica de cada área do conhecimento, na qual se define uma proposição. Assim, o conceito é trabalhado antes da definição, a qual exige uma inserção do estudante no mundo da linguagem do conteúdo em estudo, com o uso de símbolos, normas, códigos, padrões, registros peculiares no qual se conceitua ou se define. Pais (2001, p. 56) destaca o conceito como, de certa forma superior, à definição: Aprender o significado de um conceito não é permanecer na exterioridade de uma definição, pois sua complexidade não pode ser reduzida ao estrito espaço de uma mensagem linguística. Definir é necessário, mas é muito menos do que conceituar, porque o texto formal de uma definição só pode apresentar alguns traços exteriores ao conceito. Por exemplo, a definição de uma figura geométrica, por si só, não pode traduzir a essência do conceito correspondente. O mesmo autor diferencia esses dois níveis cognitivos: "trabalhar com o desafio da elaboração conceitual e com seu registro através de um texto formal”. (PAIS, 2001, p. 56) Na teoria de campos conceituais de Vergnaud (1996), citado por Pais(2001) o conceito envolve um conjunto de situações (matemáticas e não matemáticas das várias áreas de conhecimentos) que proporcionam significados e sentidos ao conceito, um conjunto de invariantes operatórios e um conjunto de significantes que podem representar os conceitos ou as situações tomadas que os envolvem. Com a aproximação da dimensão conceitual, o estudante consegue fazer a trajetória do saber cotidiano ao saber escolar, e deste para o saber científico.

36 As situações didáticas na qual o professor envolve os estudantes são de temáticas problematizadas da vida real, da tecnologia, de questões qualitativas dos fenômenos em diversas áreas da Física, Química, Biologia, Economia, entre outras, trazendo o conceito a ser estudado e, consequentemente, favorecendo as condições de acesso ao saber escolar e científico, mas por aproximações, analogias, comparações, imitações, levantamento de conjecturas e hipóteses, a serem justificadas mais tarde. A partir da compreensão conceitual o estudante pode alcançar níveis satisfatórios de generalidades e abstração, e então formular a definição. Aprender um conceito requer um planejamento didático de situações variadas que privilegiem o trabalho com significados ao nível sensível e perceptível do estudante. O conceito é uma percepção via reino da sensibilidade do aprendiz situado na tarefa de obtenção do “mentefato”, produto que é resultado da elaboração mental, não pertencente ao mundo imediato da materialização. (D’AMBRÓSIO, 1998). O processamento desta construção mental, pela generalização e abstração, é muitas vezes obtido pela manipulação e operação de uma classe de objetos materiais nos quais se internalizam os parâmetros conceituais, os quais emergem, via compreensão de relações, interações, comparações. Esta ação com estratégias numa dinâmica evolutiva de passos, etapas, idas e vindas em movimento, é que Pais (2001, p. 58) denomina de “estado de devir”, no sentido de que, no plano subjetivo, sempre é possível descortinar novos horizontes na compreensão de um conceito.” A abordagem multi e interdisciplinar facilita a emersão da totalidade oculta e obscura do conceito, o qual se diversifica pelo processo racional da distinção das características essenciais e peculiares da natureza científica de cada área. A tecnologia, hoje de base científica, com o uso intensivo da técnica, de novos materiais, da eletrônica, da instrumentação informática-computacional vem trazer possibilidades, pela simulação e diversidade de recursos e abordagens operacionais, de aproximação, de contorno, de envolvimento do conceito estudado, contribuindo

37 para a compreensão individual do “significado” embutido no corpo do conceito. A “significação” é uma posse do indivíduo, que o professor tenta pela dimensão experimental de processos, práticas, manipulações, modelagem, criação de situações e estratégias, iluminar o caminho da intuição, da percepção e da apropriação do conceito pelo estudante. A formação do conceito requer a construção de uma rede de situações, em que o “novo” se apresenta revestido de situações já vivenciadas e articuladas longe de um contexto isolado. Devemos observar ainda que a formação de um conceito não acontece através de um único tipo de situação, da mesma forma como uma única situação, geralmente, envolve uma diversidade de conceitos. O desafio consiste em destacar os invariantes referentes ao conceito principal que conduz a aprendizagem no momento considerado, articulando-os com outros conceitos já aprendidos pelo aluno. De posse dos conceitos já elaborados, o aluno é desafiado a compreender outras situações, onde aparecem os novos conceitos e novos invariantes. Portanto, conclui-se que a aprendizagem não pode ser efetuada em um contexto isolado, como se o significado pudesse subsistir por si mesmo. (PAIS, 2001, p. 60)

A complexidade da elaboração conceitual se faz pela dificuldade do estudante de coordenar, ao nível subjetivo de internalização, uma síntese de extensa e complexa rede de significados com fundamentos e parâmetros a envolver a articulação de variáveis e invariantes, que apesar da manifestação de uma dimensão social requer uma reflexão crítica, relacional, subjetiva. Essas considerações remetem a se considerar o referencial de “campos conceituais”, no que se refere às características do processo de formação de conceitos, associados à existência de classe de situações de aprendizagem.” (PAIS, 2001, p. 62). Nesta perspectiva da elaboração do conceito, Duval (2003), pela via do trabalho com situações, traz a necessidade da atividade matemática desenvolver uma diversidade de registros de representação semiótica, a qual é mobilizada pela sua natureza dinâmica operacional, de ativar, de agir, de fenômeno. Assim, segundo o mesmo autor, a variedade de registros conduz à aprendizagem, pelas representações mentais construídas pelo aprendiz.

38 Muitas vezes, as representações mentais não passam de representações semióticas interiorizadas. As representações úteis ou pertinentes em matemática são sempre representações semióticas interiorizadas em interação com um tratamento de produção externa de representações semióticas. (DUVAL, 2003, p. 31).

O desenvolvimento das capacidades de raciocínio, de análise e de visualização requer o funcionamento cognitivo da compreensão em matemática, base epistemológica do trabalho com conceitos. Desta forma, a abordagem cognitiva traz exigências de descrição, da ativação, da operação com desenvolvimento de habilidades a permitir o estudante compreender, efetuar e controlar os processos presentes numa situação proposta. Para a construção de conceitos matemáticos Duval (2003) coloca duas questões para analisar as condições e os problemas da aprendizagem em matemática: 1. Quais sistemas cognitivos são necessários mobilizar para aceder aos objetos matemáticos e para efetuar as múltiplas transformações que constituem os tratamentos matemáticos? 2. Esses sistemas cognitivos são os únicos a ser mobilizados por qualquer processo de conhecimento em outros domínios científicos (geologia, astronomia, física, biologia...) e práticos, ou, ao contrário, trata-se de sistemas específicos, cujo desenvolvimento e cuja aquisição são próprios da atividade matemática?. (DUVAL, 2003, p. 12).

Procura, o mesmo autor, compreender as causas das dificuldades dos alunos, desta maneira começaremos pela segunda questão, pois ela envolve orientações diferentes daquelas que são postuladas nas abordagens didáticas neo ou pós-piagetianas: não podemos nos ater a um modelo geral comum de aquisição de conhecimentos centrado sobre a ação, as interações e os desequilíbrios como fatores principais da construção de conceitos matemáticos. (DUVAL, 2003, p. 12).

Duval (2003), defende que “podemos” conjecturar o seguinte : "a compreensão em matemática supõe a coordenação de ao menos dois registros de representações semióticas” e destaca a especificação do pensamento matemático em relação a outros domínios do conhecimento. E, segundo Duval, tratamento2 e conversão são dois tipos de transformação de uma representação (operações) semiótica em outra.

2

Há dois significados a ser atribuído à expressão “tratamento”: Um primeiro seria na maneira de abordar determinado conceito, e a outra no sistema de representação utilizado.

39 Ele define dois tipos destas representações: tratamento (permanecendo no mesmo sistema) e conversão (mudando de sistema, mas conservando a referência aos mesmos objetos). Em síntese, Duval (2003) adverte para a confusão de uma representação com o objeto representado, "nessa perspectiva, a oposição feita muitas vezes entre a compreensão que seria conceitual (ou puramente mental) e as representações semióticas que seriam externas aparece como uma oposição enganadora". (DUVAL, 2003, p. 22) Comparativamente se faz a dialética de:

CONCEITO X

DEFINIÇÃO

Se conceituar é uma atividade de compreensão do objeto em estudo e da criação subjetiva de significados pelo estudante, definir é manipular símbolos, registros, sinais da linguagem específica da área de conhecimento, na qual está imersa o objeto, o conceito em tratamento. Reconhecer que cada área possui seus sinais de linguagem oral e escrita, a serem codificados e decodificados no uso dos saberes inerentes ao campo cognitivo em estudo, pode servir para definir melhor as estratégias e situações de aprendizagem. Desta forma, não há que negar que a definição é a conquista da linguagem oral e escrita. A não dominação de simbologia básica da linguagem é empecilho do iniciante num espaço novo cognitivo de transitar nas rotas conceituais do objeto em estudo. É aconselhável a introdução paulatina de símbolos e sua linguagem oral, com o cuidado de uma passagem não rápida do senso-comum, do coloquial para o acadêmico, entendendo que o estudante pode desejar, pelas suas opções pessoais, a não se dedicar a uma carreira das ciências exatas e assim, não precisa de

40 dominar integralmente a linguagem matemática, buscando mais o conceito. A matematização ou o algebrismo exacerbado pode levar a uma manipulação de registros, símbolos, fórmulas, modelos, sem a apreensão e compreensão do conceito. A organização e composição dos métodos de ensino e da prática educativa deveriam contemplar atividades ora no domínio conceitual, ora no domínio da definição até que o estudante possa conviver com estes dois tratamentos articulando-os com habilidade de modo interativo.

2.6 Educação matemática e educação tecnológica

A terminologia “Educação Tecnológica” tem interpretação diversa, se considerar a complexidade de conceituação de educação como prática social, a se realizar em tempo e espaço históricos determinados, com características ideológicas. Assim, pode-se interpretar ainda “Educação para a Tecnologia”, “Educação com a Tecnologia”, “Educação pela Tecnologia”. Desta forma, Educação e Tecnologia são conceitos imbricados, pois educar é ação de um sujeito no contexto das relações sociais num espaço societal histórico, econômico, técnico-científico aonde se desenvolve a produção da técnica, e da Tecnologia, que é um sistema de produção de artefatos e serviços, no coletivo das organizações sociais. Assim, ambos os conceitos são pertinentes à ação do homem na cultura, na sociedade, na história. O conhecimento, fruto da educação, e, a ação técnica, resultado da tecnologia, estão em constante reciprocidade, numa relação da interdependência. A tecnologia é um processo permanente, pois o homem produz técnica permanentemente, sempre buscando diminuir seu esforço físico e aumentar o seu conforto material. A técnica como resposta de uma necessidade ou demanda do

41 homem, leva, em termos de valores, a uma nova visão do mundo pelo indivíduo. Assim, O conceito de Educação Tecnológica prende-se, evidentemente, aos conceitos específicos de sua expressão, mas na sua interação e integração diz respeito ou à formação do indivíduo para viver na era tecnológica, de uma forma mais crítica e mais humana, ou à aquisição de conhecimentos necessários à formação profissional (tanto uma formação geral como específica), assim como às questões mais contextuais da tecnologia, envolvendo tanto a invenção como a inovação tecnológica. (GRINSPUN, 2001, p. 57).

Desta forma, educar tecnologicamente é formar um indivíduo reflexivo e crítico, com trânsito numa sociedade, hoje, com velocidade crescente de produção e uso de técnica. Grinspun (2001, p. 58), [...] analisa que “alguns pontos são básicos no conceito que pretendemos estruturar para educação tecnológica, quais sejam: - A educação é a tônica do processo evolutivo da tecnologia; - A formação do indivíduo deve estar voltada para as condições – termos de acesso ao conhecimento e pesquisa – de sua inserção no campo da tecnologia, propiciando-lhe meios e ferramentas para criar tecnologias; - A interação ciência-tecnologia se faz presente em todo seu percurso, e para isto o comprometimento é bem maior com o processo do que com o produto/resultado final da tecnologia; - A construção de uma educação que não separe a tecnologia de seu cotidiano, esclarecendo e desvelando as implicações das novas relações sociais, em especial a formação do trabalhador; - Desperta no indivíduo o lado humanístico da tecnologia e, por outro lado, instigá-lo à rede de conhecimentos e saberes que a tecnologia propicia. Não podemos valorizar a técnica em detrimento do mundo subjetivo; para tudo há lugar, em especial para se pensar e para aprender a aprender.

Se antes a tecnologia era de base empírica, da experimentação, do ensaio acerto/erro, da conformação, hoje, ganha uma nova base estrutural científica da geração do modelo para construção técnica do produto, via matematização dos processos na sociedade da informação, com uso intensivo do computador. A matemática é o sustentáculo lógico do processamento da informação, e o pensamento matemático é também a base para as atuais aplicações da tecnologia da informação. De fato, todas as aplicações de um computador podem ser vistas como uma aplicação de um modelo matemático simples ou complexo. (SKOVSMOSE, 2001, p. 77).

42 Educação matemática versus 3 educação crítica é o tratamento 4 que Skovsmose (2001) estabelece, desde que se entenda o conceito sociológico da Educação Matemática, relacionando às condições do processo educacional numa sociedade técnico / tecnológica. Numa sociedade científica e tecnológica, em célere evolução de conhecimento, de informação e de saberes, assiste-se uma integração das duas áreas de conhecimento, em dialética.

EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA X EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Ambas são prática social de características antropológicas, históricas, sociais, educacionais. Ambas desenvolvem habilidades e competências críticas, a serem cultivadas no espaço das relações sociais a serem instituídas no processo formativo do mundo do trabalho, na profissão. Abrantes (2005) define, na constituição das relações da Matemática com a vida real, a valorização do que denomina competências críticas, Adaptar uma perspectiva educativa que valoriza o desenvolvimento de competências críticas a respeito das relações da Matemática com a realidade e que considera que estas relações fazem parte integrante da Matemática, como ciência e como disciplina escolar, tem conseqüências ao nível de conteúdos, dos métodos e da organização do mesmo. (ABRANTES, 2005, p. 92)

No plano sócio-político, Skovsmose (2001) interpreta a educação matemática crítica como questão de democracia. Há uma crescente análise quantitativa e matematizada da realidade, em todos seus aspectos educacionais, sociais, políticos.

3 4

Termo utilizado pelo autor. Maneira como dialoga os dois campos tratados.

43 Buscou-se construir o objeto da pesquisa, a qual gerou essa dissertação, pela análise da prática educativa de educador matemático, o professor de Cálculo I de curso de Engenharia, e do educador tecnológico, o professor de disciplinas específicas do mesmo curso, quanto a sua postura didática no trabalho de conceitos, na aula de tecnologia.

2.7 O ensino de cálculo na perspectiva da produção acadêmica

O ensino de Cálculo Diferencial e Integral tem sido objeto de estudo pela academia na perspectiva do ensino, do currículo e da aprendizagem. No contexto internacional, a obra de Caraça (2002) “Conceitos Fundamentais de Matemática” apresenta um estudo na forma qualitativa, com descrição reflexiva e analítica dos conceitos fundamentais da Matemática e simplicidade máxima na forma de exprimir, rigor máximo na forma de expor, segundo um dos vários apresentadores da obra, que também enfatiza novo estilo de ensino de matemática inovador de Caraça (2002), classificando ainda a obra como um “livro de cultura”. Este estilo é do enfoque à conceituação, utilizando da linguagem retórica, sem abuso da algebrização e fazendo o tratamento aritmético e geométrico dos conceitos, com prioridade. Caraça (2002) inicia com o estudo de Números com o problema da contagem e da medida, chegando aos Limites e a questão da continuidade, passando pelo conceito de função e infinitésimo, no que se refere ao Cálculo. Sua abordagem é descritiva com uso da aritmética e interpretação geométrica que denomina significado geométrico, esse sempre evidenciado. Para o conceito de Limite, parte do comportamento de sucessão de números e de problemas do movimento. A definição rigorosa usando a linguagem verbal tem o uso de simbologia apenas necessária para a definição. Faz um estudo de séries quanto a seu comportamento de convergência e traz um debate constante com o leitor, chamando-o para a necessidade de verificar que, ao criar um conceito, o rigor vem depois da experimentação,

44 a teoria de séries oferece-nos um dos mais flagrantes exemplos de como as necessidades atuam como aguilhões na criação dos conceitos, independentemente da sua ordenação lógica. Primeiro é preciso obter resultados e, para isso, criam-se os instrumentos precisos; as preocupações de rigor e de ordenação aparecem mais tarde. (CARAÇA, 2002, p. 262)

Dá importância ao conceito matemático de continuidade. Já no tratamento de “infinitésimos”, antes da rigorização afirma “os conceitos intuitivos de infinitamente pequeno e infinitamente grande foram utilizados sabiamente por alguns matemáticos no cálculo infinitesimal e na interpretação de fenômenos físicos”. (CARAÇA, 2002, p. 297) Outra obra de destaque é “O que é Matemática?” de Richard Courant e Herbert Robbins (2000) que como subtítulo traz" uma abordagem elementar de métodos e conceitos”. No prefácio da primeira edição, Courant (1941) traz a seguinte advertência: O ensino de Matemática tem algumas vezes degenerado em exercício repetitivo e vazio de solução de problemas, o que pode desenvolver capacitação formal mas não conduz a uma real compreensão ou independência intelectual. A pesquisa matemática tem mostrado uma tendência no sentido da superespecialização e da ênfase excessiva na abstração. Aplicações e ligações com outros campos têm sido negligenciadas.

Já no prefácio das segunda, terceira e quarta edições (1943, 1945, 1947), enfatiza a compreensão em relação ao formalismo e manipulação. Durante os últimos anos, a força dos eventos conduziram a uma crescente demanda de informações e treinamento em Matemática. Agora, mais do que nunca, existe o perigo de frustração e desilusão, a menos que estudantes e professores tentem olhar para além do formalismo e da manipulação matemática e aprender a verdadeira essência da Matemática (COURANT; ROBBINS, 2000)

Dá um direcionamento ao leitor intitulado “como utilizar este livro” enfatizando a compreensão e não a rotina na aprendizagem matemática. Na introdução da obra quando define o “o que é Matemática”, traz que “se a forma dedutiva é a meta, a intuição e a construção são pelo menos as forças propulsoras”. Courant e Robbins (2000, p. III) afirmam que

45 a Matemática é como expressão da mente humana, reflete a vontade ativa, a razão contemplativa, e o desejo da perfeição estética. Seus elementos básicos são a lógica e a intuição, a análise e a construção, a generalidade e a individualidade. (COURANT; ROBBINS, 2000, p. I).

A abrangência do conteúdo se faz desde Números, passando por construções geométricas e chegando ao Cálculo (funções, limites, derivadas e integrais, entre outros). Trata-se de uma extensa obra de 621 páginas, que difere de Caraça (2002) por maior abrangência do conteúdo e ênfase não só nos conceitos, mas também nos métodos rigorosos de dedução. Daí, sua amplitude. Utiliza uma linguagem clara na forma descritiva de conceitos fundamentais como o de infinito, entre outros. Enfatiza pela verbalização o detalhamento de todos os passos das deduções, com clareza e se utiliza da geometria para facilitar a compreensão. Na parte do Cálculo inicia com “Limites por aproximação contínua” utilizando uma função com sua expressão algébrica e seu gráfico. Traz observações sobre o conceito de limite explicando a definição do mesmo por " ε " e "δ " . Recorre a história da Matemática e traz sempre os conceitos relacionados aos grandes cientistas, como ao descrever a invenção do Cálculo referindo-se a Newton e Leibniz mas, ressalta que "o Cálculo é produto de uma longa evolução que não foi iniciada nem concluída por Newton e Leibniz”. (COURANT; ROBBINS, 2000, p. 481). Ao apresentar a integral, anteriormente a derivada, à interpreta como “a área como limite”. A derivada como inclinação. Para ênfase das definições, que trata com rigor, reforço dos conceitos, cada capítulo tem um “suplemento” com questões fundamentais. No cenário brasileiro se destacam três coletâneas de artigos trabalhados por acadêmicos: “A prática Educativa sob o olhar do professor de Cálculo”, “Educação Matemática no Ensino Superior - Pesquisas e Debates” e “Disciplinas Matemáticas em Cursos Superiores: Reflexões, Relatos, Propostas.”

46 Os organizadores da primeira coletânea Laudares e Lachini (2001, p. 9-10) introduzem a obra considerando a Matemática como ciência, A Matemática, que tem no Cálculo um de seus ramos, é colocada como ciência básica para os cursos da área de exatas. Dizer que uma ciência é básica significa considerá-la como linguagem, um capital cultural que deve ser incorporado pelo estudante. Incorporar se refere ao corpo, ao fazer parte como modo de ver os fenômenos, ao se transmutar em habitus (conforme discutido por Pierre Bourdieu), ao se tornar um referencial teórico por meio do qual é possível nomear, classificar e analisar as coisas e os acontecimentos. O processo de incorporação é lento, exige investimento pessoal de tempo e, à semelhança do bronzeamento, não pode ser feito por procuração.

Cada capítulo apresenta resultado de pesquisa ou estudo versando sobre temas de Cálculo, com abordagem histórica, concepções dos alunos sobre números reais, o uso do computador, estratégias de resolução de exercícios, discussão da transição do Cálculo para Análise Real, subsídios para explicar o fracasso de alunos em Cálculo. O trabalho com Cálculo, segundo os autores, serve para que o estudante incorpore um modo sistematizado de pensar, que desenvolva a autonomia no lidar com a ciência e seja capaz de transferir estes conhecimentos fundamentais para novas tecnologias. Esta premissa foi propulsora de parte do método da pesquisa, ora apresentada, de verificar como o professor de Engenharia trata o conhecimento matemático. Já a segunda coletânea, organizada por Frota e Nasser (2009), apoiada pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática, pela coleção Biblioteca do Educador Matemático, coleção SBEM, v.5, traz pesquisas e debates acerca da Educação Matemática no ensino superior. Os autores dos diversos capítulos trazem questões relativas ao ensino e educação da Matemática em cursos superiores de graduação, como: Como o aluno se relaciona com a Matemática formal? Que professor deve ser formado e que reflexões esse professor tece à respeito de sua prática? Em que consiste a pesquisa sobre a própria prática e seu sentido no ensino superior? Uma terceira importante obra na Educação e Ensino de Matemática é a coletânia intitulada “Disciplinas Matemáticas em Cursos Superiores – reflexões, relatos,

47 propostas”, editada pela PUC-RS e organizada por Helena Noronha Cury. A obra procurou congregar professores e pesquisadores que trabalham com disciplinas matemáticas ou estatísticas, em cursos superiores, “para apresentarem suas ideias e relatarem suas experiências, objetivando a formação de futuros grupos de pesquisa sobre problemas relacionados com ensino de Matemática, em cursos para profissionais não dedicados, especificamente a essa área”, como afirma a autora-organizadora. Os artigos versam sobre diversos temas como, por exemplo, “Modelagem Matemática em Cursos para não-matemáticos; o ensino de Matemática em curso de Engenharia de Sistemas Digitais; a Matemática e a estatística em cursos de graduação da área tecnológica e gerencial, entre outros”. Assim, apresenta-se um tratamento da Matemática como ferramenta para outras áreas do conhecimento. A problematização da pesquisa retratada nessa dissertação perpassa por estas questões do tratamento da Matemática na graduação, especificamente em cursos de Engenharia. Dissertações e teses têm sido produzidas na discussão da temática do trabalho com o conceito e significados. Barufi (1999), na relação do conhecimento e significado, afirma que conhecer é conhecer o significado, pela análise e discussão com o estabelecimento de relações e a conseqüente incorporação na rede de significações do indivíduo. Segundo a mesma autora, quanto ao discurso do professor em sala de aula, se busca a negociação dos significados na construção individual, coletiva e compartilhada do conhecimento. A necessidade da introdução de conceitos surge a partir de problemas e questionamentos levantados num trabalho de interação professor/aluno e aluno/aluno. A linguagem, a utilização de imagens pictóricas, esquemas, desenhos, diagramas, gráficos, são facilitadores do processo de significação e a consequente apreensão dos conceitos. Reis (2001) discute as relações existentes entre o rigor e a intuição no ensino de Cálculo Diferencial e Integral e Análise Matemática na universidade. Para isso, faz dentre outros estudos, análise de abordagens rigorosas e intuitivas de determinados tópicos em alguns manuais didáticos de Cálculo e Análise.

48 3 O ENSINO DE CÁLCULO NA PERSPECTIVA DE LIVROS DIDÁTICOS

Neste capítulo, pretende-se analisar o tratamento que os conceitos de limite, derivada e integral recebem por determinados autores, em suas obras, quanto a propostas de metodologia de ensino. Considera-se que o livro texto não é apenas uma colocação de conteúdos, pois, este sempre interfere na parte metodológica a ser desenvolvida pelo professor. O conteúdo abordado nos livros, em um determinado período do curso, é o mesmo. O que diferencia os autores é a forma de apresentação. Cada autor imprime em sua obra uma maneira de trabalhar. A partir de então, é possível perceber a concepção de ensino e aprendizagem trazida por cada um deles. O livro didático, para o estudante, é um material facilitador, um objeto de aprendizagem, um suporte e também um complemento das aulas. Para o professor, é um roteiro precioso, constituindo-se referencial, com a finalidade do cumprimento do Plano de Curso, que dificilmente é contemplado totalmente por uma obra. O livro didático mostra um caminho proposto por seu autor, para viabilizar a sua concepção de como o conhecimento de Cálculo pode ou deve ser construído. A rota, muitas vezes, foi inicialmente estabelecida em apostilas, que foram sendo aprimoradas através dos cursos que o próprio autor ministrou, para finalmente serem transformadas no livro, editado, re-editado, num processo de aperfeiçoamento contínuo. Essa é a rota definitiva, pelo menos até que novas modificações sejam eventualmente propostas numa posterior edição. (BARUFI, 1999, p. 50)

Barufi (1999), em sua tese de doutorado, especifica os seguintes critérios para analisar livros didáticos de Matemática: - Ideias: historicamente construídas são explicitadas ou não explicitadas? - Problematização: parte de importantes problemas, apresenta exemplos simples, ou inicia diretamente com o conceito para depois colocar exemplos, exercícios ou problemas?

49 - Linguagem: além do texto usual em linguagem matemática há diálogo com o estudante, com o qual o autor apresenta possíveis caminhos e discute dificuldades ou utiliza primordialmente a linguagem matemática? - Visualização: Há figuras e gráficos com argumentos geométricos, ou apresenta figuras e gráficos, mas os argumentos são algébricos para serem visualizados na figura? Ou o texto quase não tem figuras ou não tem figura alguma? - Argumentação: o autor busca a construção do conhecimento através de aproximações, retornando várias vezes, sem caráter definitivo, ou o autor estabelece um caráter definitivo para o conhecimento construído. - Formalização / generalização: a organização do texto mostra o Cálculo em construção, ou após a introdução de um novo conceito, parte para um esquema revelador do Cálculo, logicamente organizado? Reis (2001), em sua tese de doutoramento, também apresenta análise de livros didáticos, nos estudos de Limite e Continuidade, para o ensino de Cálculo, e relata que o livro didático expõe a plenitude dos saberes particulares do autor e, direta ou indiretamente, sua postura e experiência enquanto docente daquela disciplina. Reis (2001) observa os seguintes aspectos em suas análises: - Como os autores introduzem as noções / os conceitos de Limite e Continuidade; - O número de páginas destinadas ao desenvolvimento da teoria, dentro do total de páginas do livro; - A abordagem dos teoremas relativos a esses tópicos e suas demonstrações; - Número de exercícios relativos a cada tópico e sua natureza; - Destaque feito pelos autores na apresentação de sua obra. A escolha do livro traz uma compatibilização entre a proposta metodológica da instituição, do professor e do autor. [...] um bom manual didático para o ensino de Cálculo deve conter não só uma apresentação visual cativante e elucidativa dos conteúdos mas, principalmente uma abordagem exploratória e problematizadora dos conteúdos, sob a mediação das novas tecnologias. (REIS, 2001, p. 107)

50 Na pesquisa realizada privilegiamos algumas categorias de análise coincidentes com as de Barufi (1999) e também de Reis (2001), tais como: - A visualização na apresentação em análise de gráficos; - A problematização; - A contextualização dos exercícios apresentados; - O tratamento dos conceitos pretendidos; - A linguagem utilizada; - A apresentação da definição formal. Buscou-se analisar nos livros texto, o objeto da pesquisa em desenvolvimento: o tratamento dos conceitos de Limite, Derivada e Integral, nos cursos de Engenharia, a partir das abordagens Aritméticas, Geométricas e Algébricas. Os autores das obras analisadas apontaram uma direção para esse tratamento. Algumas perguntas permearam as análises: - Há um tratamento numérico? Como é feito? - Como se apresenta a abordagem algébrica? - E as representações geométricas, como se dão? Procurou-se observar o diálogo estabelecido entre os três campos da Matemática: Aritmética, Álgebra e Geometria, para um melhor entendimento de como são trabalhados os conceitos estudados. Os livros-texto aqui analisados foram escolhidos por serem trabalhados em cursos de Engenharia, apesar dessas obras não serem voltadas, especificamente, para esses cursos, mas fornecem a base para o Cálculo estudado no currículo. Na instituição pesquisada, CEFET-MG, o livro adotado para o ensino de Cálculo I é do autor George B. Thomas, Ross L. Finney, Maurice D. Weir e Frank R. Giordano.

51 Foram tomadas as seguintes obras:

Livro Cálculo

Autor

Editora

. Howard Anton

Bookman

. Irl Bivens

Companhia

. Stephen Davis

Editora

Cálculo com

. Ron Larson

LTC

aplicações

. Bruce H. Edwards

Editora

Cálculo

- George B. Thomas Jr - Ross L. Finney

Addison Wesley

Edição

Ano

8ª

2007, v. 1

6ª

2003

10ª

2002, v. 1

5ª

2006, v. 1

- Frank R. Giordano - Maurice D. Weir Cálculo

Pioneira James Stewart

Thomson Learning

Quadro 1: Obras analisadas Fonte: Dados da pesquisa

Em todas as obras, os autores apresentam no Prefácio ou na Introdução indícios da metodologia que foi utilizada ao longo do trabalho. Stewart (2006) inicia discutindo Polya e a arte de ensinar a resolver problemas. Ressalta a importância de focalizar na compreensão conceitual 5. Para tanto, o autor implementa o que chama de Regra de três - os tópicos são apresentados de forma geométrica, numérica e algébrica. E insiste que é preciso ir além - busca então a Regra de quatro - acrescenta à regra de três o ponto de vista verbal ou descritivo. O autor, em seu diálogo com o estudante, enfatiza a importância da leitura e compreensão de cada seção do texto, antes de iniciar as resoluções dos exercícios propostos. Ressalta a importância de examinar as definições para entender o significado dos termos e também cria um ícone que adverte a possibilidade de erros, a partir de sua observação a um grande número de estudantes, num determinado erro. Stewart (2006) apresenta essa expressão no livro, em itálico, por se tratar de uma recomendação formulada na Conferência de Tulane, 1986, onde se iniciou o atual movimento de reforma do ensino de Cálculo. Entende-se também, nessa pesquisa, ser uma expressão “chave” metodológica. 5

52 Busca como meta desenvolver o pensar lógico, e consequentemente ensinar a escrever e solucionar os exercícios de forma conexa não como uma conjunto de equações desconexas ou fórmulas. Ao longo de sua obra, Stewart (2006) apresenta exercícios conceituais, com dados do mundo real. Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) afirma serem os pontos fortes de sua obra o rigor matemático, as aplicações relevantes para as ciências e a engenharia e os exercícios. Apresenta uma ênfase na modelagem e nas aplicações do Cálculo. Para tanto, busca dados reais, e procura dar maior equilíbrio aos métodos gráficos, numérico e analítico, e apresenta discussões que, segundo o autor, encorajam os estudantes a pensar a partir dos três campos propostos. Os exercícios encontram-se agrupados segundo os conteúdos, aplicações ou uso de tecnologias específicas, e apresentam ícones de identificação. Larson e Edwards (2003) afirmam procurar, na edição analisada, tornar o texto mais acessível. Dizem formular um programa de estudos com revisões continuadas e ênfase em aplicações práticas. Iniciam cada capítulo com um módulo que se intitula “Estratégias para o sucesso” onde apresentam para o estudante os tópicos de estudos previstos e suas aplicações em contextos específicos. Ao longo da obra, os autores retomam conceitos de Álgebra obra antes de aplicá-lo a um conceito de Cálculo. Para isso, apresentam o que chamam de “Dicas de Álgebra”, para reforçar conceitos-chave algébricos. Apresentam “Dicas de Estudo” para casos especiais que ampliam conceitos e ajudam os estudantes a evitar erros comuns. Afirmam manter uma preocupação especial com a apresentação, o rigor matemático e com a clareza da exposição. Anton, Bivens e Davis (2007) afirmam que para aumentar a compreensão fizeram uma revisão cuidadosa da exposição do texto, criaram novos tipos de problemas, em particular os exercícios de “Compreensão” e os exercícios de “Enfocando Conceitos”. Enfatizam os “Recursos Computacionais” aplicados a exemplos e exercícios propostos, marcados com ícones próprios. Apresentam uma proposta curricular flexível, pois afirmam ser possível permutar livremente a ordem dos tópicos

53 apresentados para contemplar as necessidades específicas do professor. Dialogam ao logo dos textos propostos, com notas históricas e biográficas. Afirmam que “todo o material biográfico foi destilado de referências básicas com o objetivo de capturar as personalidades dos grandes matemáticos e trazê-los com vida aos estudantes”. (ANTON; BIVENS, DAVIS, 2007, p. xx. viii, ix). Anton, Bivens, Davis (2007) buscam um equilíbrio no que denominam “correto”, entre o rigor e a clareza e afirmam que, quando esses colidem, optam pela clareza e defendem a importância de o estudante entender a diferença entre uma demonstração precisa e um argumento informal. Optou-se, a seguir, para melhor compreensão do leitor, estabelecer uma comparação, e sempre que possível, um diálogo entre os autores, a partir dos estudos, em separado por autor, dos conceitos pretendidos de Limite, Derivada e Integral.

3.1 Limite

"Um limite é uma concepção peculiar e fundamental, cujo uso na prova de proposições da Geometria Superior não pode ser suplantado por qualquer outra combinação de hipóteses e definições". (WHEWELL apud ANTON; BIVENS, DAVIS, 2007, p. 101).

3.1.1 James Stewart

Stewart (2006), ao iniciar o capítulo, discute o significado da palavra tangente, entendo que conhecer é conhecer o significado (BARUFI, 1999) e, a partir de então, busca desenvolver a ideia de Limite, com os estudos da inclinação da reta tangente e as inclinações das retas secantes. Em seguida, com estudo numérico e geométrico, desenvolve a definição de Limite de uma função.

54 Apresenta tabelas para situar melhor o estudo gráfico e dá o seguinte exemplo:

Encontre o valor de lim x →1

x −1 . x2 − 1

Figura 1: Estudo aritmético e geométrico do limite de uma função Fonte: Stewart (2006, p. 94)

Stewart (2006) apresenta uma aplicação para esse conceito, e desenvolve um exemplo físico de velocidade instantânea, para estudo num ponto. Propõe novos exercícios, alternando atividades contextualizadas em situações cotidianas e no interior da própria Matemática. Para o desenvolvimento da definição algébrica e apresentação da notação de Limite, Stewart (2006) investiga o comportamento da função f(x) = x² - x + 2 para valores próximos de 2, com apresentação da tabela e sua representação geométrica.

55

Figura 2: Representação geométrica do estudo algébrico de uma função Fonte: Stewart (2006, p. 92)

Nas páginas 93 e 115, respectivamente, Stewart (2006) apresenta a definição formal e a definição precisa de Limite, discorrendo entre elas uma sequência de atividades propostas que se apresentam de forma intercalada, seja para construção de gráficos, seja para análises de gráficos já construídos, seja de estimativas, oportunizando ao educando desenvolver habilidades analíticas e descritivas.

Definição: Escrevemos

lim f ( x) = L x→a

e dizemos “ o limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L ” se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L quanto quisermos), tornando x suficientemente próximo de a ( por ambos os lados de a) mas não igual a a. Quadro 2: Definição de Limite. Fonte: Stewart(2006, p.93)

56 Definição: Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a, exceto possivelmente no próprio a. Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a é L, Quadro 3: Definição Precisa e escrevemos lim de f ( xLimite. )=L x→a

Fonte: Stewart(2006, p.115) se para todo número ε 〉 0 há um número correspondente

f ( x) − L 〈 ε sempre que Quadro 3: Definição Precisa de Limite. Fonte: Stewart(2006, p.115)

0〈 x−a 〈δ

δ 〉 0 tal que

57 A partir da definição precisa de Limite, Stewart (2006) apresenta a interpretação geométrica para uma melhor compreensão do processo.

Figura 3: Interpretação geométrica de Limite Fonte: Stewart (2006, p. 116)

58

Durante o diálogo que Stewart (2006) estabelece com o estudante, em exemplos resolvidos, ele apresenta conjecturas, ora corretas, ora falsas, e justifica-as, sempre com análises apresentadas a partir de estudos em representações geométricas. Na página 96, o autor também sugere o uso de Computer Algebra Systems (CAS) a fim de que o estudante possa experienciar 6 técnicas mais sofisticadas, como o cálculo por séries infinitas, e verificar as respostas dos exercícios do capítulo. Um momento oportuno é criado pelo autor para o desenvolvimento de uma atividade investigativa

(PONTE,

2003),

pelo

professor,

com

o

uso

da

ferramenta

computacional, que possibilitará ao educando um melhor entendimento dos estudos apresentados, num processo dialogado entre o livro-texto, o educador e o educando. Numa proposta relacional, Stewart (2006) utiliza-se da função de Heaviside (função unitária), contextualizando-a historicamente, para desenvolver os estudos de Limites laterais. Para os Limites infinitos, o autor usou o mesmo tratamento dos Limites finitos, com tabelas, gráficos e a definição algébrica. Nos Limites infinitos, o autor usa uma interpretação geométrica, definindo a reta x = a, como assíntota vertical.

O termo experienciar sugere uma oportunidade de experiência, experimentação e vivência para uma nova situação proposta. 6

59 Definição:

A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos

uma das seguintes condições estiver satisfeita:

lim f ( x) = ∞ x →a

lim f ( x) = − ∞ x →a

lim f ( x) = ∞

x →a −

lim f ( x) = − ∞

x →a −

lim f ( x) = ∞

x→ a +

lim f ( x) = − ∞

x →a +

Quadro 4: Definição de assíntota vertical. Fonte: Stewart(2006, p.100)

Stewart (2006) desenvolve representações geométricas, como a indicada abaixo, para os estudos dos Limites de uma função.

Figura 4: Representação geométrica do limite

lim f ( x) = − ∞

x→a

Fonte: Stewart, 2006, p. 100

O autor ressalva que isso não significa considerar ∞ um número, tampouco significa que o Limite exista.

60

Observa-se que, em momentos propícios, Stewart (2006) usa a linguagem convencional ao longo de alguns exercícios propostos, como o que segue: Explique com suas palavras o significado da proposição lim f ( x) = 5 . x→2

Nota-se nessa atividade que o autor “força” o aluno a redigir, com suas palavras, significados matemáticos, que, para os estudos da Educação Matemática, são fundamentais. O trabalho com produção de textos, quando acompanhado de discussões, propicia ao aluno a oportunidade de se expressar, cria um ponto de entrada no seu sistema cognitivo, desestabilizando-o, para que, ao restabelecer o equilíbrio, incorpore novos conhecimentos e habilidades. Em vários exercícios, Stewart traça o gráfico do problema proposto, e pede ao estudante para analisá-lo e apresentar os valores do limite. Comumente encontramse atividades com propostas para construções de gráficos. Essa inversão propicia ao educando desenvolver novas habilidades de análise e interpretação. Ainda, a partir do diálogo do cálculo por conjectura 7 , o autor propõe o uso de calculadoras e computadores, e leva o estudante a estimar valores de limites, num cuidado constante em desenvolver no educando, a partir de vários enfoques, habilidades descritivas.

3.1.2 Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis

Anton, Bivens e Davis (2007) nomeiam o capítulo sobre os estudos de Limites como “Limite e Continuidade”. Iniciam os estudos com uma abordagem intuitiva, enquanto Stewart (2006) faz conjecturas, e ambas as obras, enfocam a continuidade. Como Stewart (2006), Anton, Bivens e Davis (2007) iniciam com os estudos com o problema das retas tangentes, mas não se preocupam em apresentar a etimologia da palavra “tangente”. 7

Expressão “chave” metodológica. Grifo da pesquisadora.

61

Figura 5: Representações de uma reta tangente Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, 102)

Ao longo da obra, Anton, Bivens e Davis (2007) apresentam uma seção denominada “Enfocando Conceitos”, que agrupa exercícios de compreensão. Nesse tópico do capítulo de Limite, eles trabalham os conceitos através da interpretação gráfica. Enfatizam uma abordagem intuitiva 8 quando, na página 112(13-16), pedem ao educando que “dê um palpite” sobre limite no cálculo de uma determinada função nos pontos especificados, propondo um trabalho com as tecnologias computacionais. Nessa mesma página, no exercício 22, os autores novamente interagem e dialogam com o educando ao pedir que façam uma conjectura sobre limite. Anton, Bivens e Davis (2007), fazem alusão à perspectiva aritmética para limites, apresentam tabelas, como encontradas em Stewart (2006), com análises à esquerda e à direita do valor para o qual se pede o limite da variável independente, o que possibilita ao estudante uma melhor visualização, com valores bem especificados. Assim, apresentam a definição de Limites, de um ponto de vista informal, pelas vizinhanças laterais.

8

Grifo da pesquisadora – expressão “chave” metodológica.

62

Figura 6: Estudos laterais do limite de uma função Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, 104)

63

Já para os limites infinitos, Anton, Bivens e Davis (2007, p. 125) apresentam a ideia9 geral:

Limites infinitos no infinito ( um ponto de vista informal) Se os valores de f(x) crescem sem cota quando x → + ∞ ou x → − ∞ , então escrevemos

lim f ( x) = + ∞

x→+∞

ou

lim

x → −∞

f ( x) = + ∞

conforme o caso. Se os valores de f(x) decrescem sem cota quando x → + ∞ ou x → − ∞ , então escrevemos lim

x → +∞

f ( x) = − ∞ ou

lim f ( x) = − ∞

x →−∞

Quadro 5: Definição de Limites infinitos no infinito. Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p. 125)

Enquanto desenvolvem esses conceitos, os autores estimulam os educandos a buscar um recurso gráfico para gerar gráficos de funções, num quadro denominado “domínio da tecnologia”. Como descrito em LÉVY (1996) as simulações feitas numa tela de computador desempenham um papel de persuasão do estudante e são facilitadores da aprendizagem. Nos estudos dos limites infinitos, a alusão à perspectiva geométrica, não possue muita diferença entre Anton, Bivens e Davis (2007) e Stewart (2006). Todos trazem as assíntotas verticais. Em suas seções de exercícios, Anton, Bivens e Davis (2007) apresentam “recortes” ao qual denominam “enfocando conceitos”, em grupos de exercícios que são mais conceituais.

9

Grifo da pesquisadora. Expressão chave metodológica.

64

Figura 7: Exercícios propostos Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, 152)

3.1.3 George Thomas, Ross L. Finney, Maurice D. Weir, Frank R. Giordano

Assim como Anton, Bivens, Davis (2007) e Stewart (2006), para discutir o limite num ponto, Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) também aborda o estudo da reta tangente a uma curva. Utiliza-se de um exemplo prático de termodinâmica, estuda a variação na temperatura de uma blindagem térmica e apresenta o gráfico. A partir de então, calcula a taxa média de variação. Concomitante a esse trabalho, na mesma página, ele apresenta a definição geométrica de taxa de variação média, para mostrar que a mesma é o coeficiente angular de uma reta secante à curva representativa de uma função. Para definir Limite, Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) estuda o comportamento de uma função perto de um ponto, apresenta o desenvolvimento de uma tabela e seu gráfico correspondente. Só então apresenta a definição informal de Limite, com a apresentação de alguns exercícios resolvidos.

65

Figura 8: Estudo aritmético do limite de uma função Fonte: Thomas (2002, p. 87)

Também como Anton, Bivens, Davis (2007) e Stewart (2006), Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) traz a definição precisa de Limite e em seguida a definição formal de Limite usando episolon e delta.

Definição: Definição formal de limite Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de x 0 , exceto talvez em x 0 . Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a x 0 e escrevemos

lim

f ( x) = L ,

x → x0

se para cada número ε 〉 0 existir um número correspondente δ 〉 0 tal que, para todos os valores de x,

0 〈 x − x0 〈 δ ⇒ f ( x) − L 〈 ε .

Quadro 6: Definição de formal de Limite. Fonte: Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002, p.90)

66

Apresenta também a representação geométrica da mesma, como mostra a Figura 8 seguinte:

δ

e Figura 9: Relação entre Fonte: Thomas (2002, p. 90)

ε

na definição de Limite

Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) apresenta um grupo de exercícios nomeado “Limites Obtidos Graficamente”, em que o educando é levado a analisar, a partir de estudo gráfico uma determinada função, para então encontrar e / ou explicar por que eles não existem.

Figura 10: Limites obtidos graficamente Fonte: Thomas (2002, p. 93)

67

Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) apresenta também exercícios para serem desenvolvidos com software, nos quais ele faz referência ao Sistema de Álgebra por Computador (SAC), quando sugere o Mathematica, Maple ou MatLab, em sessões especiais denominadas “Usando o Computador”, para estimativa10 gráfica de Limites. Thomas, ao sugerir o uso das novas tecnologias, cria um contexto para simulações11 e modelagens (LÉVY,1996), e deixa aos educadores e educandos a oportunidade para que as mesmas aconteçam. Ao discutir o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema do Sanduíche), Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) explora representações gráficas para o educando entender melhor a teoria a ser estudada. Figura 11.

Figura 11: Representação geométrica do Teorema do Confronto Fonte: Thomas (2002, p. 101)

10 11

Grifo da pesquisadora. Expressão “chave” metodológica. Grifo da pesquisadora. Expressão “chave” metodológica.

68 Teorema 4 Teorema do Confronto Suponha que g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) para qualquer x em um intervalo aberto contendo c, exceto possivelmente em x = c. Suponha também que:

lim g ( x ) = lim h (x ) = L x →c

Então:

x →c

lim f ( x ) = L x →c

Quadro 7: Teorema do Confronto. Fonte: Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002, p.100)

Ao definir Limites laterais Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) apresenta o estudo na reta e evidencia as análises necessárias a serem feitas para um melhor entendimento nesse tópico. Figura 12

Figura 12: Representação geométrica de limites laterais Fonte: Thomas (2002, p. 101)

69

3.1.4 Ron Larson e Bruce H. Edwards

Larson e Edwards (2003) buscam o entendimento do significado da palavra Limite ao iniciar o capítulo, quando referem-se a Limite como sendo uma fronteira que, em certas circunstâncias, não pode ser atingida ou mesmo ultrapassada. Os autores ilustram esse conceito utilizando-se da representação de uma mola que pode ser esticada até um determinado limite.

Figura 13: Representações de limites: em uma mola Fonte: Larson e Edwards, 2003, p. 77

E acrescentam: Um Limite matemático se parece com o limite de uma mola. A notação de Limite é

lim f ( x ) = L .

x →c

Em seguida, contextualiza dentro da própria Matemática os estudos de Limite, utilizando-se de representações numéricas – tabela, e gráfica.

70

Figura 14: Representação geométrica de

lim ( x 2 + 1 ) x →1

Fonte: Larson e Edwards, 2003, p. 77

Logo em seus primeiros exemplos, os autores determinam o limite de três funções, com a construção dos gráficos correspondentes e seus estudos numéricos, atribuem a x os mesmos valores nas tabelas e também, desenvolve estudos à esquerda e à direita nas mesmas.

71

Figura 15: Representação geométrica do estudos de limite em três funções distintas Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 78)

72

x tende a 1. X f(x)

0,900 1,810

x tende a 1. 0,990 1980

0,999 1998

1,000 2,000

1,001 2,002

1,010 2,020

f(x) tende a 2

f(x) tende a 2

x tende a 1. X f(x)

0.900 0.900

x tende a 1. 0.990 0.990

0.999 0.999

1.000 0.000

1.001 1.001

1.010 1.010

f(x) tende a 1

1.100 1.100

f(x) tende a 1

x tende a 1. X f(x)

1.100 2,210

x tende a 1.

0.900 -1.000

0.990 -1.000

0.999 -1.000

1.000 ?

1.001 1.001

1.010 1.000

f(x) tende a 1

1.100 1.000

f(x) tende a 1

Figura 16: Tabelas referentes aos estudos dos limites das funções da figura 14. Fonte: Larson e Edwards (2003)

Observa-se aqui que os autores não enunciam o estudo dos Limites laterais num tópico específico, como visto em Anton, Bivens, Davis (2007), Stewart (2006) e Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002). Posteriormente Larson e Edwards (2003) discutem Limite unilateral. Larson e Edwards (2003) propõem o uso da calculadora e também do software Mathematica, oportunizando que o estudante interaja com novas situações de aprendizagem.

73

Coerente com a sua apresentação, Larson e Edwards (2003), ao iniciar os exercícios, propõem o uso de softwares através do que eles chamam “um programa de plotagem” e convidam o estudante a expandir e observar a região do gráfico nas vizinhanças do ponto estudado, utilizando também as calculadoras. Essa oportunidade representa um grande facilitador para os estudantes, levando-os a perceber as ideias implícitas nos estudos propostos.

Figura 17: Propostas de uso de calculadoras e computadores Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 79)

Esses autores não apresentam a definição, na linguagem algébrica, de limite, com o rigor de Stewart (2006), Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) e, Anton, Bivens, Davis (2007).

3.2 Derivada

"O Cálculo é o melhor auxílio de que dispomos para apreciar a verdade física no mais amplo sentido da palavra". (FOGG apud ANTON, BIVENS e DAVIS, 2007, p. 165 )

74

3.2.1 James Stewart

Stewart (2006) descreve, em um único capítulo, o conceito de Limite e Derivada. Utiliza-se de um processo de diálogo contínuo, em evidente recursividade. Retoma os estudos da inclinação da reta tangente à curva e da velocidade de um objeto com uma função posição, e, a partir deles, estabelece uma relação direta com os estudos de Derivada.

Definição: A derivada de uma função f em um número a, denotada por f’(a),

f ' (a) = lim h →0

é

f ( a + h) − f ( a ) h

Se o limite existe.

Quadro 8: Definição de derivada. Fonte: Stewart (2006, p.158)

Stewart (2006, p. 158) descreve: Se escrevermos x = a + h, então h = x – a, e h tende a zero, se e somente se x aproximar-se de a. Consequentemente, uma maneira equivalente de enunciar a definição da Derivada, como vimos na determinação das retas tangentes, é:

f ' ( a ) = lim x →a

f ( x) − f (a) x−a

Quadro 9: Definição da derivada. Fonte: Stewart (2006, p.158)

75

O autor traz, em seguida, um exemplo resolvido para o cálculo da derivada da função f(x) = x 2 - 8x + 9 em um número a, cujo desenvolvimento oportuniza ao educando acompanhar o processo algébrico. Em seguida, discute a interpretação da Derivada como a inclinação da reta tangente, e apresenta:

A reta tangente a y = f(x) em (a,f(a)) é a reta que passa em (a,f(a)), cuja inclinação é igual a f’(a), a derivada de f em a.

Quadro 10: Interpretação da Derivada como inclinação da Reta Tangente. Fonte: Stewart (2006, p.159)

Apresenta a interpretação geométrica de uma derivada, como definições apresentadas anteriormente já evidenciadas.

Figura 18: Interpretação geométrica de uma derivada Fonte: Stewart (2006, p. 159)

Retoma os estudos da função f(x) = x 2 - 8x + 9 num exemplo resolvido, mostra a interpretação geométrica e numérica da mesma no ponto (3, - 6), nos estudos da

76

equação da reta tangente, à parábola da mesma. Percebe-se aqui uma inversão no processo metodológico desenvolvido pelo autor, pois, o mesmo deixa a interpretação algébrica anteceder a numérica e a geométrica. Segundo DUVAL(1993) é preciso propiciar ao aluno situações em que ele possa compreender e controlar a diversidade dos processos matemáticos. Para que isso ocorra, é interessante que desenvolvimentos numéricos e geométricos antecedam as interpretações algébricas, por exigirem uma abstração maior. No tópico “A Derivada como uma Função”, Stewart (2006), apresenta num exemplo, o gráfico de uma função f qualquer, e, a partir desse gráfico, solicita que o estudante esboce o gráfico da derivada f’. Nesse fazer, o autor estabelece um diálogo entre a Aritmética e a Geometria, para que o estudante perceba a relação entre o crescimento e decrescimento de uma função e sua derivada. Em seguida, ainda no estudo de Derivada como uma função, Stewart traz uma situação problema que envolve a taxa de crescimento populacional de um determinado país, aplica os estudos de Limite e, com análises gráficas e suas respectivas tabelas, calcula valores aproximados para a derivada. O autor alterna, ao longo dos exercícios propostos, situações que se relacionam com o cotidiano e também situações unicamente matemáticas, a serem desenvolvidas a partir de um aprofundamento algébrico. Numa estrutura paralela, Stewart apresenta dados históricos em momentos que julga propício, o que enriquece o contexto de sua obra. No decorrer dos estudos sobre funções, Stewart discute como pode uma função f deixar de ser diferenciável em a, e apresenta três possibilidades.

77

Figura 19: Três formas de f deixar de ser diferenciável em a Fonte: Stewart (2006, p. 172)

3.2.2 Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis

Diferentemente de Stewart (2006), Anton, Bivens e Davis (2007) apresentam os estudos de Derivada em um capítulo separado dos estudos de Limite. Os autores também retomam os estudos sobre reta tangente a uma curva, no cálculo de sua inclinação.

Figura 20: Representação geométrica da definição de limite como inclinação da reta tangente Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p. 166)

78

Utilizam-se de exemplos de situações cotidianas, com aplicações em cálculo de velocidade média e velocidade instantânea, até chegarem ao estudo de taxas de variação e suas aplicações, para então, estabelecer um elo entre Derivada e taxas de variação. Anton, Bivens e Davis (2007) separam as seqüências de exercícios propostos em “exercícios de compreensão”, que visam abordar em aptidões e conceitos básicos, e “enfocando conceitos”, que trabalham exercícios mais conceituais. Ao iniciar os estudos de Função Derivada, Anton, Bivens e Davis (2007) dialogam com o educando e ressaltam que o conceito de uma “derivada” é a principal ferramenta matemática utilizada para calcular e estudar as taxas de variação. E definem:

Definição: A função f’ definida pela fórmula

f ' ( x) = lim h →0

f ( x+ h) − f ( x) h

é denominada derivada de f em relação a x. O domínio de f’ consiste em todos os x do domínio de f para os quais existe o limite. Quadro 11: Definição da função derivada. Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p.178)

Também como Stewart (2006), Anton, Bivens e Davis (2007) apresentam em exercício resolvido, uma função f definida por f(x) = x 2 + 1 e pedem para encontrar sua derivada em relação a x, mas estabelecem novas analogias e, nessa mesma atividade, propõem que o educando utilize o resultado anterior para encontrar a equação de reta tangente a y = x 2 + 1 em x = 2.

79

Nesse diálogo Anton, Bivens e Davis (2007) utilizam-se do pensar 12 em f’ como uma função “que produz inclinações”, no sentido de que o valor de f’(x) em x = x0 é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em x = x0 . Anton, Bivens e Davis (2007), ao discutirem a diferenciabilidade de uma função, introduzem a terminologia derivável.

Definição: Dizemos que uma função f é diferenciável ou derivável em x 0 se existir o limite

f ' ( x0 ) = lim h→0

f ( x0 + h) − f ( x0 ) h

Se f é diferenciável em cada ponto do intervalo aberto (a,b), então dizemos que a função é diferenciável em (a,b) e, analogamente, em intervalos abertos da forma ( a, + ∞ ) , ( - ∞ , b) e ( - ∞, + ∞ ). Nesse último caso dizemos que f é diferenciável em toda a parte. Quadro 12: Definição de uma função diferenciável. Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p.182)

Em seguida, discutem geometricamente a diferenciabilidade de uma função, descrevendo informalmente de duas maneiras: 1) Inclinações das retas secantes – O Limite que define a Derivada não existe.

12

Grifo da pesquisadora – expressão “chave” metodológica abordada no referencial teórico.

80

Figura 21: Limite bilateral - o limite que define a derivada é inexistente Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p. 182)

2) Pontos de tangência vertical – o Limite que define a Derivada não existe.

Figura 22: Inclinação da reta tangente pela esquerda e pela direita - o limite que define a derivada é inexistente Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, 182)

3.2.3 George Thomas, Finney, Weir e Giordano

Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) apresentam um resumo no inicio do capítulo 2, denominado Derivadas. Nele retoma a definição do coeficiente angular de

81

uma reta tangente como Limite dos coeficientes angulares das secantes, descrita no capítulo 1. E afirma: “Esse Limite, chamado derivada, mede a taxa de variação de uma função e é um dos conceitos mais importantes de Cálculo.” Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) retomam os estudos de Limites desenvolvidos no final do capítulo 1 e dialogam com o educando, para justificar a apresentação de técnicas mais fáceis para calcular uma Derivada: “Obter derivadas calculando Limites pode ser demorado e difícil.” Em seguida, apresentam a definição de Derivada.

Definição:

Função derivada

A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a função f’ cujo valor de x é

f ' ( x ) = lim h→0

f ( x + h) − f ( x ) h

desde que o limite exista.

Quadro 13: Definição de derivada. Fonte: Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002, p. 141)

A

partir

de

então,

apresentam

exercícios

resolvidos,

iniciando

com

o

desenvolvimento algébrico, e então, apresenta sua representação geométrica. Só depois, desenvolve um exemplo numérico. Já nos primeiros tópicos, antes mesmo de propor ao educando que exercite a nova teoria apresentada, introduz as regras de derivação. Somente ao final do “bloco” de Regras e Teoremas é que Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) propõe uma sequência de exercícios para o estudante experienciar suas habilidades e entendimentos sobre o assunto proposto.

82

- Determinando e Calculando Funções Derivadas. - Cálculo de Derivadas. - Coeficientes Angulares e Tangentes. - Gráficos. - Recuperando uma Função a partir de Sua Derivada. - Derivadas Laterais. - Quando uma Função Não Apresenta Derivada em um Ponto? Observa-se, no entanto, que, entremeados aos exercícios, o autor introduz novos estudos e conceitos sobre Derivada. Desenvolve nesse contexto uma estrutura curricular relacional, ainda que mantenha alguns tópicos em “compartimentos”. Nos exercícios propostos, Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) apresenta itens diferenciados que se intitulam: “Escrevendo para Aprender” e “Teoria e Exemplos”. Esses tópicos dialogam com a teoria estudada e propiciam ao educando a oportunidade de descrever com as próprias palavras o seu pensamento. Ao apresentar os estudos de velocidade instantânea, Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) nomeia de “Módulo da Velocidade”, o que Stewart nomeou “velocidade escalar instantânea” e define:

Definição: Módulo da Velocidade Módulo da velocidade é o valor absoluto da velocidade.

Módulo da Velocidade =

v (t )

=

ds dt

Quadro 14: Definição de módulo da Velocidade. Fonte: Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002, p. 156)

Há, em algumas sessões de exercícios, um ícone “usando o computador”, que apresenta uma sequência de exercícios propostos com o uso do mesmo.

83

Ao longo do capítulo é apresentado, em situações oportunas, um ícone denominado “Companion Website” - Um convite à pesquisa - biografias e ensaios históricos disponibilizados

no

site

www.aw.com/thomas_br;

o

que

oportuniza

um

enriquecimento de saberes e busca de significados13. Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) apresentam várias situações problemas cotidianas aplicadas aos estudos de Derivadas, como por exemplo “Escolhendo funções para ilustrar a Economia”.

3.2.4 Ron Larson e Bruce H. Edwards

Larson e Edwards (2003) apresentam os estudos de Derivada no capítulo 2, com o subtítulo: A Derivada e a Inclinação de um Gráfico. Desenvolvem os estudos a partir da observação da reta tangente a uma curva, que varia de um ponto para outro, e também da reta tangente a uma circunferência.

Figura 23: Estudos de reta tangente Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 108)

13

Expressão “chave” metodológica. Grifo da pesquisadora.

84

Larson e Edwards (2003) desenvolvem a ideia intuitiva de Derivada a partir da observação da reta secante e buscam alcançar a reta tangente. Levam esse processo até o limite, até determinar a inclinação exata da reta tangente no ponto almejado.

85

Figura 24: Quando ∆ x tende a zero, as retas secantes tendem para a reta tangente Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 110)

86

Larson e Edwards (2003) apresentam:

Definição da Inclinação de uma Função A inclinação da função f no ponto ( x, f(x) ) é igual à inclinação da reta tangente à curva da função f no ponto ( x, f(x) ), e é dada por

m = lim msec = lim ∆ x →0

∆ x →0

f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x

contando que esse limite exista.

Quadro 15: Definição da inclinação de uma função. Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 110)

Larson e Edwards (2003) resolvem alguns exemplos e, ao final de cada um deles, propõem ao educando que Tente14 fazer uma atividade semelhante. Os autores dialogam em alguns momentos ao longo das resoluções apresentadas: “É importante que o estudante compreenda 15 a diferença na forma como os

quocientes diferenciais foram montados nos Exemplos 3 e 4. (LARSON; EDWARDS, 2003, p. 110-111). Exemplo 3 – Determinação da Inclinação pelo Processo de Limite Determine a inclinação da curva de f(x) = x² no ponto ( - 2, 4). Após apresentar a resolução algébrica e geométrica, passo a passo, os autores incentivam o estudante:

14 15

Palavra apresentada conforme escrita no livro texto. Expressão “chave” metodológica.

87

TENTE

Determine a inclinação de f(x) = x² no ponto (2,4).

Exemplo 4 – Determinação da inclinação de uma Linha Reta Determine a inclinação da curva de f(x) = - 2x + 4 TENTE

Determine a inclinação de f(x) = 2x + 5

E apresentam:

Definição de Derivada A derivada da função f no ponto x é dada por

f ' (x ) =

lim

∆x →0

f (x + ∆x ) − f (x ) ∆x

contando que o limite exista. Uma função é derivável no ponto x se a derivada da função existe no ponto x. O processo de calcular derivadas é chamado de derivação. Quadro 16: Definição de Derivada. Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 112)

Larson e Edwards (2003), ao discutirem a continuidade de uma função ressaltam:

Derivabilidade Implica Continuidade Se uma função é derivável no ponto x = c, a função é contínua no ponto x = c.

Quadro 17: Derivabilidade e Continuidade . Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 114)

88

3.3 Integral

"Dai-me um ponto de apoio que eu moverei o mundo". (ARQUIMEDES apud ANTON; BIVENS; DAVIS, p. 349) .

Figura 25: Cálculo de uma superfície a partir de soma de áreas de retângulos. Fonte: Stewart (2006, p. 368)

3.3.1 James Stewart

Stewart (2006), ao iniciar o capítulo de Integrais, afirma que há uma conexão entre o Cálculo Integral e o Diferencial, que, por sua vez, está diretamente relacionado à Derivada. Ressalta que o Teorema Fundamental do Cálculo relaciona a Integral com a Derivada, e que para a resolução de muitos problemas, isso será um facilitador.

89

Propõe o cálculo da área de uma região com um lado em curva e lembra que trazemos sempre a ideia intuitiva do que é uma área. E, a partir de então, torna-se necessário transformar essa ideia numa definição exata. O autor trabalha com estimativas16 a partir de análises gráficas em busca de uma aproximação, na construção de retângulos em uma superfície curva. Dialoga com o educando para que perceba que quanto maior for o número de faixas retangulares que se conseguir colocar na região estudada, menor será o erro no final do cálculo da superfície pesquisada, ou seja, há um Limite a ser estudado. A partir de várias análises, Stewart (2006) define:

Definição: A área A da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f é o limite das somas das áreas dos retângulos aproximantes: A = lim R n = lim [ f (x1 ) ∆ x + f (x 2 ) ∆x + . . . + f (x n →∞

n

) ∆ x]

n →∞

Quadro 18: Definição da área abaixo de uma determinada curva, em um plano cartesiano. Fonte: Stewart (2006, p. 374)

Stewart (2006) ressalta a nomenclatura utilizada para indicar a nomenclatura de notação somatória (notação sigma), na representação da soma de muitos termos, de maneira mais compacta.

n

∑ f (x ) ∆x = f (x ) ∆x + f (x ) ∆x + ... + f (x ) ∆ x i

1

2

n

i =1

16

Grifo da pesquisadora - expressão “chave” metodológica.

(1)

90

Figura 26: Cálculo de uma superfície com lado curvo a partir de soma de áreas de retângulos Fonte: Stewart (2006, p. 374)

Após dialogar com o educando nos estudos de problemas de distância em situações análogas às que esse já vivenciou no ensino básico, Stewart (2006, p. 380) mostra que novamente os estudos de Limite irão ajudar a precisar as soluções dos mesmos e também em estudos futuros de cálculo de comprimento de curvas, volumes de sólidos, centros de massas e outras situações de quantidade. Resolve uma série de exercícios e também apresenta outros para serem resolvidos, vários de estimativa, e define:

91

Definição de Integral Definida Se f é uma função contínua por a ≤ x ≤ b , dividimos o intervalo [ a, b] em n subintervalos de comprimentos iguais a ∆ x = (b − a ) / n . Seja

x 0 ( = a ) , x1 , x 2 , ... , x n ( = b ) os extremos desses subintervalos e vamos escolher os pontos amostrais x1* , x 2* , ... , x n* nesses subintervalos de forma que x i* está no i-ésimo subintervalo [ xi − 1 , xi ]. Então a integral definida de f de a para b é b a

n

( )

* ∫ f (x ) d x = lim ∑ f xi ∆ x n→∞ i = 1

Quadro 19: Definição da área abaixo de uma determinada curva, em um plano cartesiano. Fonte: Stewart (2006, p. 380)

3.3.2 Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis

Assim como Stewart (2006), Anton, Bivens e Davis (2007) iniciam o Capítulo denominado Integração, discutindo o problema de área. Eles evidenciam a História da Matemática, lembrando que os matemáticos primitivos se deparavam com muitas dificuldades para encontrar fórmulas para a área de regiões com contornos curvilíneos. Os autores citam Arquimedes e aproveitam a oportunidade para apresentar sua biografia. Os autores também exploram áreas de retângulos e dizem que embora esse método seja intuitivamente atraente, os Limites que dele resultam somente podem ser calculados em certos casos. E, mais uma vez, eles se apóiam na história, lembrando Newton e Leibniz, e afirmam que, de forma independente, eles descobriram uma relação fundamental entre áreas e integrais. A partir desse diálogo, os autores desenvolvem a ideia da antiderivada e afirmam: "O processo de encontrar uma função a partir de sua derivada é denominado antiderivação, e um procedimento para encontrar áreas através da antiderivação é denominado método de antiderivação". (Anton; Bivens; Davis, 2007, p. 353-355, grifo dos autores).

92

Definição Dizemos que uma função F é uma antiderivada de uma função f em um dado intervalo se F’(x) = f(x) para cada x do intervalo.

Quadro 20: Definição de antiderivada. Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p. 355)

E é no desenvolvimento dos estudos da antiderivada que Anton, Bivens e Davis (2007), diferentemente de Stewart (2006), definem primeiramente a Integral indefinida e apresentam vários exemplos resolvidos e seus teoremas. Estudam curvas integrais e a integração do ponto de vista de Equações Diferenciais, e apresentam a fórmula de integração e as propriedades da Integral indefinida. Em seguida, os autores propõem vários exercícios ao educando, seja de compreensão, seja enfocando conceitos. Ao longo desses estudos, Anton, Bivens e Davis (2007), retomam a definição de área como um Limite e estudam a área sob uma curva. Figura 27.

93

Figura 27: Subdivisão dos intervalos nos retângulos Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, 377)

Novos exercícios são propostos ao estudante para, só então, apresentarem a definição de Integral Definida e suas propriedades. Anton, Bivens e Davis (2007), em nova sessão de exercícios, dialogam com os educandos, numa proposta de resgate dos conceitos trabalhados. Figura 28.

94

Figura 28: Exercícios propostos - Enfocando conceitos Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007, p. 395)

3.3.3 George Thomas, Finney, Weir e Giordano

Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002), em seu capítulo denominado Integração, traz um resumo que dialoga com a necessidade do homem em calcular taxas de variação instantâneas. E foi a partir dessas necessidades que, ao longo da história da humanidade, chegou-se à investigação do cálculo de áreas sob curvas, o que acabou por levar a pesquisa ao segundo ramo principal do cálculo, o Cálculo Integral. Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002, p. 318) introduz, no inicio do capítulo, a definição da Primitiva de uma Função e a partir desses estudos apresenta a notação de Integral da seguinte maneira:

95

∫ f (x ) dx = F (x ) + C Quadro 21: Notação Integral. Fonte: Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002, p.318)

Assim como Anton, Bivens e Davis (2007), Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) desenvolve, primeiramente, os estudos de Integral indefinida, apresenta uma tabela com as fórmulas, seguido de uma sequencia de exercícios resolvidos e também uma sequência de exercícios a sem resolvidos. Em meio a essas páginas de fórmulas, Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002) desenvolve o processo de Modelagem Matemática e seus passos a serem seguidos. Na sequência de exercícios propostos, há aplicações que o educando poderá experienciar o estudo de um modelo matemático. O autor segue os estudos de Integrais estimando somas finitas, estabelecendo relações entre deslocamento e distância percorrida, para então chegar ao estudo da soma de Riemann e às Integrais Definidas.

3.3.4 Ron Larson e Bruce H. Edwards

Larson e Edwards (2003) iniciam o capítulo denominado Integração e suas Aplicações, com o estudo da antiderivada.

Definição de Antiderivada Uma função F é uma antiderivada de uma função f se para qualquer x no domínio de Quadro Definição de antiderivada. f. F’(x)22: = f(x) Quadro 22: Definição de Antiderivada. Fonte: Larson e Edwards (2003, p.324)

96

Imediatamente, os autores apresentam a notação de Antiderivadas e Integrais Indefinidas, seguidas das regras básicas de integração. Nas seqüências de exercícios propostos, Larson e Edwards (2003) intercalam problemas relacionados ao cotidiano e problemas relacionados unicamente com a matemática.

Figura 29: Exercício contextualizado Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 338)

Larson e Edwards (2003), somente ao iniciar os estudos das Integrais Definidas, num tópico denominado "Área e o Teorema Fundamental do Cálculo", abordam os estudos do cálculo de área, para um melhor entendimento dos conceitos pretendidos.

97

Definição de Integral Definida Seja f uma função não-negativa e contínua no intervalo [a,b]. A área da região limitada pela curva de f, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b é representada por

Área =

A expressão

b

∫ f (x ) dx a

b

∫ f (x) dx a

é chamada de integral definida da função f de a a b, onde a é o

limite inferior de integração e b é o limite superior de integração.

Quadro 23: Definição de Integral Definida. Fonte: Larson e Edwards (2003, p.348)

Figura 30: A (x) = Área de a até x Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 349)

Em meio a todas essas representações, corre-se o risco de que toda integral definida seja associada ao valor da área de uma região plana.

98

Figura 31: Utilização do cálculo de área com retângulo (por falta e por excesso) para calcular a superfície abaixo da curva Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 349)

Larson e Edwards (2003) desenvolvem os estudos de Integral Definida dialogando com atividades do tipo Análise Marginal, Cálculo do Valor Médio de uma Função, Funções Pares e Ímpares para, então, chegarem ao cálculo de uma região limitada por duas curvas e, após uma sequência de exercícios, abordarem a Integral Definida como Limite de uma soma.

Figura 32: Cálculo por estimativa de uma região limitada por uma curva Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 367)

Em exercício apresentado, Larson e Edwards (2003) pedem ao estudante que utilizem a regra do Ponto Central com n = 4 para estimarem a área da região

99

limitada pela curva da função f(x).

Figura 33: Cálculo de uma região cuja área é representada por uma Integral Definida Fonte: Larson e Edwards (2003, p. 369)

100

4 O ENSINO DE CÁLCULO EM CURSOS DE ENGENHARIA NA PERSPECTIVA DE PROFESSORES DE CÁLCULO E DISCIPLINAS ESPECÍFICAS DO CURSO

4.1 Metodologia adotada

A metodologia de pesquisa utilizada na segunda parte buscou, principalmente, seus parâmetros na didática da Matemática sob influência francesa, segundo Pais (2001, p. 13), que direcionou sua obra na análise e indagação do funcionamento específico da formação dos conceitos matemáticos, com perguntas do tipo: - É possível planejar uma atividade de ensino, envolvendo um único conceito matemático? - Quais são os elementos precedentes que entram na síntese cognitiva de um novo conceito?

Para o desenvolvimento dessas e outras questões, Pais (2001) discute concepções dialogando com Bachelard quanto ao conceito de “obstáculos epistemológicos”, com Vergnaud, quanto à teoria dos “campos conceituais”, com as “situações didáticas” de Brousseau, entre outras. Também foi um outro francês Raymond Duval, em que os parâmetros básicos da elaboração da problematização e determinação das categorias de análise dos resultados

da

pesquisa

tiveram

fundamentação.

Duval

(2003)

trata

do

funcionamento cognitivo implicado na atividade matemática e na aprendizagem, em termos de registros de representação semiótica. Existem dois tipos de transformação de representações semióticas: - Os tratamentos são transformações de representações dentro de um mesmo registro: por exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema de escrita ou de representação dos números: resolver uma equação ou um sistema de equações; completar uma figura segundo critérios de conexidade e de simetria. - As conversões são transformações de representações que consistem em mudar de registros conversando os mesmos objetos denotados: por exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação à sua representação física. (DUVAL, 2003, p. 16)

101

Principalmente as “conversões” foram as mais utilizadas, na pesquisa desenvolvida, quando se verificam o tratamento dos conceitos de Limite, Derivada e Integral passando do tratamento aritmético para o geométrico, com a representação gráfica, coerentemente com Duval (2003), que questiona "Como o aluno pode aprender a reconhecer um objeto matemático por meio de múltiplas representações que podem ser feitas em diferentes registros de representação?" (DUVAL, 2003, p. 23 )

Também procurou-se em Pierre Lévy (1993) algum referencial pelas novas maneiras de pensar e conviver, resultantes das novas tecnologias, emergindo, segundo o mesmo autor, no final do século XX um tipo de conhecimento “por simulação”. A tese defendida por este autor refere-se a uma história da própria inteligência, ou as “tecnologias da inteligência” ao analisar a forma de pensar que depende da oralidade, da escrita e da informática. Pretendeu-se observar o discurso do professor, livros-texto e os recursos utilizados no ensino, nas aulas de Matemática de cursos de Engenharia e do professor de disciplinas específicas tecnológicas do currículo. Também com base em estudos de pesquisadores do processo ensino / aprendizagem de Matemática Superior e Cálculo, evidenciando Caraça (2002) e Courant e Robbins (2000), foram estabelecido parâmetros analíticos de investigação, pois há um forte apelo na obra destes autores, conclamando os professores para uma inovadora prática educativa; na mudança do processo didático, com novas situações didáticas; privilegiando o enfoque do trabalho com os conceitos e registros semióticos (DUVAL, 2003); na análise numérica na construção de tabelas e procedimentos, com operações aritméticas, na interpretação gráfica, na análise do comportamento das funções (Limite, Derivada e Integral) e no registro algébrico.

102

4.2 Metodologia científica

A Educação Matemática, juntamente com a Educação Tecnológica, dialoga com as Ciências Sociais nas pesquisas desenvolvidas em situações conjuntas de suas áreas de conhecimento. O presente trabalho utiliza a metodologia qualitativa para responder as questões relativas ao tratamento dado aos conceitos básicos de Cálculo Diferencial e Integral. Ao trabalhar com a pesquisa qualitativa, cabe ao educador matemático perceber que, acostumado a lidar em boa parte de sua vida com as Ciências Exatas, não há somente algoritmo a ser seguido nesse percurso, pois, as pesquisas qualitativas englobam a idéia do subjetivo, passível de expor sensações e opiniões (BICUDO; GARNICA 2003). A pesquisa qualitativa desenvolve-se em um ambiente natural, acontece próximo ao fenômeno pesquisado, descreve situações e acontecimentos, valoriza o processo, interpreta significados atribuídos às coisas e às vidas das pessoas, e segue métodos indutivos dos pesquisadores envolvidos (LÜDKE, 1986). Os métodos trabalhados no decorrer dessa pesquisa consistiram, especialmente, em observar professores em sala de aula e, após a observação, foram feitas entrevistas semiestruturada

com

esses

mesmos

docentes,

para

complementação

de

informações. Também foi entrevistado um professor cujas aulas não foram observadas. A observação foi planejada a partir do foco da investigação, delimitado pelo objeto de estudo. Segundo Lüdke (1986, p. 26), “observação possibilita um contato pessoal e estreito do pesquisador com o fenômeno pesquisado”. Dessa forma, a pesquisadora, utilizando-se de aguçada sensibilidade, poderia perceber as idéias que estão subjacentes à visão de mundo dos sujeitos

103

pesquisados, e até mesmo neutralizar, a partir de comparações feitas em seus registros, possíveis alterações no ambiente pesquisado, ocorridas em detrimento à sua presença no local. A observação foi o principal método. Paralelamente às observações, foram feitas entrevistas semi-estruturadas com os professores de Matemática e os professores da área tecnológica, a fim de verificar como são elaborados e aplicados os materiais didáticos utilizados no tratamento dos conceitos de Limite, Derivada e Integral, nos cursos de Engenharia. As entrevistas foram um complemento da observação. 4.3 Métodos da pesquisa

4.3.1 Instrumento para coleta de dados

O método utilizado nesta investigação compreendeu a pesquisa bibliográfica, a qual constitui-se num "estudo sistematizado desenvolvido com base em material publicado em livros, revistas, jornais, redes eletrônicas, isto é, material acessível ao público em geral [...], conforme pontua Vergara (2005, p. 48). Nesse sentido, buscou-se informações em: 1. Análise dos Projetos Políticos Pedagógicos de três cursos: Engenharia de Produção Civil, Engenharia de Computação e Engenharia Elétrica; 2. Análise do Plano de Ensino para a disciplina de Cálculo I; 3. Análise de livro texto de Cálculo Diferencial e Integral; 4. Observação de aulas de Cálculo I e aulas de disciplinas específicas dos cursos analisados. 5. Entrevistas semi-estruturadas com professores das disciplinas observadas.

104

4.4 Objetos / Sujeitos

O objeto de estudo foi o tratamento dado aos conceitos de Limite, Derivada e Integral pelos autores de livros texto, pelos docentes da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I e de disciplinas específicas de cursos de Engenharia, quanto as 3 (três) abordagens dos conceitos em investigação: numérica, geométrica / gráfica e algébrica. Os sujeitos da pesquisa foram os professores de disciplina específica e os professores de matemática, do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais.

4.5 Cursos da instituição pesquisada

A instituição pesquisada foi o CEFET-MG, instituição superior, que nos últimos anos, tem expandido sua atuação em cursos superiores de bacharelado, especialmente em Engenharia de Produção Civil, Engenharia Elétrica, Engenharia Mecânica, Engenharia de Computação, Engenharia de Automação Industrial, Engenharia Ambiental, Engenharia de Controle de Automação, Engenharia de Materiais e Engenharia Mecatrônica. Anteriormente, o CEFET-MG ofereceu cursos de Engenharia de Operação, curso de graduação curta, com três anos de duração, na década de 70, do século passado. No final dessa mesma década, esses cursos foram extintos, surgindo os cursos de Engenharia Industrial, com cinco anos de duração, com elevada carga horária de disciplinas com teoria e prática e também disciplinas práticas, acrescida de um Estágio Profissional Supervisionado, com duração mínima de 360 horas. Atualmente, os cursos de Engenharia não mais trazem o adjetivo Industrial, e sofreram uma reformulação curricular.

105

Foram estudados, nessa pesquisa, os documentos referentes aos cursos de Engenharia Elétrica, Engenharia da Computação e Engenharia de Produção Civil.

4.5.1 Projetos Pedagógicos (PP)

a) Engenharia Elétrica O Projeto Político Pedagógico do curso de Engenharia Elétrica do CEFET-MG, cuja atualização data de novembro de 2008, objetiva formar profissionais com sólida base conceitual nos conteúdos básicos, profissionalizantes e específicos do curso. As disciplinas são divididas em dois blocos temáticos: as tecnológicas e as básicas. As disciplinas tecnológicas abrangem conteúdos dos seguintes campos da Engenharia Elétrica: - Automação e Controle de Processos; - Sistemas de Energia Elétrica; - Qualidade, Conservação e Eficiência de Energia; - Sistemas Eletrônicos; - Telecomunicações; - Modelagem Computacional. Os campos acima citados, tendo em vista a especificidade de cada área, envolvem conhecimentos de Física, Química e Matemática, Computação, e da área técnica, como Circuitos Elétricos, Eletromagnetismo, entre outros. Dentre os itens arrolados no campo científico e tecnológico, é enfatizado: - O desenvolvimento de uma sólida base em Matemática, Física, Circuitos Elétricos / Eletrônicos e Eletromagnetismo, além da capacidade de interrelacionar e construir conhecimento a partir dessa base; - O desenvolvimento e aplicações dos conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais no campo profissional;

106 - A capacidade de identificar, formular e resolver problemas relacionados à Engenharia, quantificando e avaliando a potencialidade técnica e econômica de tais soluções. - O desenvolvimento e aplicações de modelos na Engenharia. (CEFET-MG, 2008b)

E outras competências na área tecnológica. A estrutura curricular está organizada em eixos de conteúdos e atividades, a partir dos quais são desmembradas as disciplinas e as práticas pedagógicas que integram o currículo, como ilustra o organograma abaixo, e que integra o documento oficial do PP da Engenharia Elétrica:

EIXO DE CONTEÚDOS E ATIVIDADES: Relaciona os eixos de conteúdos / atividades constituintes do currículo, descrevendo os conteúdos de cada eixo e respectivas cargas horárias. DISCIPLINAS E ATIVIDADES: Relaciona as disciplinas com ementas / CH integrantes de cada eixo. PLANO DE ENSINO: Relaciona o plano de ensino de cada disciplina


Engenharia da Computação

Quadro 24: Organograma do PP da Engenharia Elétrica. Fonte: Projeto Pedagógico do curso de Engenharia Elétrica do CEFET-MG (2008, p.20)

Os Eixos de Conteúdos e Atividades são descritos a partir dos conteúdos e seus desdobramentos em disciplinas.

Eixo 1 – Matemática

Objetivos: formar sólida base em Matemática, visando construção de conhecimentos posteriores, desenvolvendo no aluno a capacidade de equacionar e resolver

107

problemas, além de dar capacidade de estudos independentes. Classificação pelos conteúdos da diretriz curricular: núcleo de conteúdo básico.

Conteúdos Obrigatórios

Carga horária (horas)

Carga horária (horas-aula)

Cálculo vetorial; geometria analítica; cônicas; matrizes; sistemas lineares; funções reais: limites, continuidade, derivadas; funções elementares; integrais definidas, indefinidas e impróprias; funções de várias variáveis: derivadas parciais, diferenciais, integrais múltiplas; quádricas; problemas de otimização; coordenadas polares no plano e no espaço; campos vetoriais; simetrias; integrais curvilíneas e de superfície; operadores diferenciais; teoremas integrais; séries numéricas e de funções; transformadas integrais; equações diferenciais ordinárias e parciais; espaços vetoriais; transformações lineares; valores próprios; produto interno; ortogonalidade; formas quadráticas; diagonalização.

375

450

Créditos

30

Desdobramento em disciplinas Geometria Analítica e Álgebra Vetorial Cálculo I Cálculo II Cálculo III Cálculo IV Álgebra Linear

75 75 75 50 50 50

90 90 90 60 60 60

6 6 6 4 4 4

Quadro 25: Classificação pelos conteúdos da diretriz curricular: núcleo de conteúdo básico Fonte: CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS, 2008b, p. 27

Também propõe disciplinas optativas da área de Matemática, e, a partir de seus conteúdos, apresenta os desdobramentos em disciplinas e suas ementas. São elas: - Variáveis Complexas - Métodos Matemáticos da Engenharia A - Tópicos Especiais em Matemática I - Tópicos Especiais em Matemática II

108

b) Engenharia de Computação

O Projeto Pedagógico (PP) criado pelo o Departamento de Computação, (DECOM), para curso de Engenharia da Computação, publicado em dezembro de 2008, após ser revisado, aponta para quatro dimensões básicas, que envolvem: a concepção de conhecimento e sua forma de aplicação e validação (dimensão epistemológica), a visão sobre o ser humano com o qual relacionamos e que pretendemos formar (dimensão antropológica), os valores que são construídos e reconstruídos no processo educacional (dimensão axiológica) e os fins aos quais o processo educacional se propõe (dimensão teleológica). (CEFET-MG, 2008a, p. 32)

O documento afirma que, para que esses princípios sejam consolidados na prática, é preciso que o Projeto aponte meios e ações que viabilizem as aplicações dos mesmos. Ao referir-se à dimensão do conhecimento, o PP dialoga com a análise da realidade contemporânea, diversificada e em constante modificação, o que torna a ideia de conhecimento dinâmico e com significado. Aprender é, neste sentido, um processo intrinsecamente ligado à vida; não é algo estocável. Implica a possibilidade de reconstrução do conhecimento pelo aluno, passa pela pesquisa como atitude diante do mundo, pelo desenvolvimento da autonomia do aluno e envolve o conceito de formação da cidadania. No processo de ensino / aprendizagem não é mais possível o modelo no qual o professor transmite o conhecimento para o aluno. Esse processo requer a interação do sujeito com a realidade e do professor com o aluno, implica a capacidade de interpretação do real e a possibilidade do conflito. Aprender é um processo ambíguo que deve conduzir ao diferente, não é uma linha de mão única; em síntese, envolve o conceito de complexidade. O professor tem o papel de instigar o aluno a formular e resolver o problema possibilitando, desta forma, o desenvolvimento da capacidade de pesquisa no aluno. (CEFET-MG, 2008a, p. 32)

Desse modo, o curso de graduação em Engenharia de Computação do CEFET-MG foi concebido, planejado e estruturado para formar um profissional que, no campo científico e tecnológico, seja capaz, dentre outras competências de: Desenvolver uma sólida base em Matemática, Física, Ciência da Computação, além da capacidade de inter-relacionar e construir

109 conhecimento a partir desta base; Desenvolver e aplicar conhecimentos lógicos, matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais no campo profissional; Utilizar a Matemática, a Física, a Ciência da Computação, conhecimentos de tecnologias modernas no apoio à construção de produtos ou serviços em software e/ou hardware – seguros, confiáveis e de relevância à sociedade. (CEFET-MG, 2008a, p. 32)

O modelo curricular proposto pelo PP, assim como no curso de Engenharia Elétrica, estrutura-se em Eixos de Conteúdos e Atividades, e se apresenta no formato abaixo, como descrito no documento oficial aqui relatado.

EIXO DE CONTEÚDOS E ATIVIDADES: relaciona o eixo de conteúdos e atividades constituinte do currículo descrevendo os conteúdos de cada eixo e respectiva carga horária. DISCIPLINAS E ATIVIDADES: relaciona as disciplinas com as respectivas ementas e cargas horárias integrantes de cada eixo de conteúdos e atividades. PLANO DE ENSINO: relaciona o plano de ensino de cada disciplina ou atividade a um certo eixo de conteúdos e atividades. Quadro 26: Organograma do PP da Engenharia Elétrica. Fonte: Projeto Pedagógico do curso de Engenharia de Computação do CEFET-MG (2008, p.48)

Há 690 horas-aula de conteúdos básicos de Matemática e Física, o que corresponde, aproximadamente 16% do currículo pleno. Observa-se no Quadro relacionado a seguir detalhes dos Eixos de Conteúdos e Atividades propostos, e seus respectivos desdobramentos em disciplinas. Eixos de Conteúdos e Atividades: desdobramento em disciplinas

110 Eixo 1: Matemática Conteúdos Obrigatórios

C.H. (horas-aula)

Espaços vetoriais, subespaços, bases, dimensão; transformações lineares e representação matricial; autovalores e autovetores; produto interno; ortonormalização; diagonalização; formas quadráticas; aplicações; funções reais: limites, continuidade, gráficos; derivadas e diferenciais: conceito, cálculo e aplicações; máximos e mínimos; concavidade; funções elementares: exponencial, logaritmo, trigonométricas e inversas; integrais definidas: conceito, teorema fundamental e aplicações; integrais indefinidas: conceito e métodos de integração; integrais impróprias; funções reais de várias variáveis: limites, continuidade, gráficos, níveis; derivadas parciais: conceito, cálculo, e aplicações; coordenadas polares cilíndricas e esféricas: elementos de área e volume; integrais duplas e triplas em coordenadas cartesianas e polares: conceito, cálculo, mudanças de coordenadas e aplicações; campos vetoriais; gradiente, divergência e rotacional; integrais curvilíneas e de superfície; teoremas integrais: Green, Gauss e Stokes; equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: resolução e aplicações; equações diferenciais lineares de ordem superior; sistemas de equações diferenciais; transformada de Laplace e sua aplicação em equações diferenciais; Séries numéricas e de potências; séries de Taylor e aplicações; séries de Fourier; transformada de Fourier; equações diferenciais parciais; equações da onda, do calor e de Laplace;equações analíticas de retas, planos e cônicas; vetores: operações e bases; equações vetoriais de retas e planos; equações paramétricas; álgebra de matrizes e determinantes; autovalores; sistemas lineares: resolução e escalonamento; coordenadas polares no plano; coordenadas cilíndricas e esféricas; superfícies quádricas: equações reduzidas (canônicas).

450

Desdobramento em Disciplinas Álgebra Linear Cálculo I Cálculo II Cálculo III Cálculo IV Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

60 90 90 60 60 90

Conteúdos Optativos Elementos de probabilidade: variáveis aleatórias discretas e contínuas; distribuições de probabilidades; tratamento de dados; amostragem e distribuições amostrais; estimação; teste de hipótese e intervalo de confiança; correlação e regressão; introdução às variáveis complexas: números e funções complexas; derivabilidade; condições de Cauchy-Riemann; funções complexas elementares; integrais complexas; teorema de Cauchy; independência do caminho; séries de Taylor e de Laurent; resíduos; aplicações de variáveis complexas; temas emergentes e/ou inovadores e/ou específicos na área de “Matemática” que não estejam abrangidos nas disciplinas regulares do curso, obrigatórias, optativas ou eletivas, em nível e/ou amplitude suficientes aos alunos.

120

Desdobramento em Disciplinas Estatística Variáveis Complexas Tópicos Especiais em Matemática

Quadro 27: Eixos de Conteúdos e Atividades: desdobramento em disciplinas Fonte: CEFET-MG, 2008a

60 60 A definir

111

Especificamente, para a disciplina de Cálculo I, tem-se a proposta:

Teoria 90

Carga Horária Prática –

Total 90

Pré-Requisitos

Créditos 6

Natureza Obrigatória

Co-Requisitos

Quadro 28: Carga horária da disciplina de Cálculo I na Engenharia de Computação. Fonte: Projeto Pedagógico do curso de Engenharia da Computação do CEFET-MG (2008, p.102)

Objetivo: As disciplinas da área de matemática, vistas em seu conjunto, visam propiciar ao aluno uma base teórico-conceitual sólida em matemática; estimular e desenvolver o raciocínio abstrato e lógico-matemático do aluno; conhecer as funções elementares sobre os reais e o cálculo diferencial e integral de funções reais de uma variável. Ementa: Funções reais: limites, continuidade, gráficos; derivadas e diferenciais: conceito, cálculo e aplicações; máximos e mínimos; concavidade; funções elementares: exponencial, logaritmo, trigonométricas e inversas; integrais definidas: conceito, teorema fundamental e aplicações; integrais indefinidas: conceito e métodos de integração; integrais impróprias. Área De Formação DCN: Básica. Eixo De Conteúdos E Atividades: Matemática

REFERÊNCIAS: LEITHOLD, Louis. O Cálculo com geometria analítica. 3. ed. Harbra, 1994. v. 1. PENNEY, E.D.; EDWARDS, Jr. C.H. Cálculo com geometria analítica. 4. ed. Prentice Hall do Brasil, 1999. v. 1.

112

SIMMONS, G.F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v. 1. SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1994. v. 1. A bibliografia indicada será complementada e mantida atualizada através da utilização de artigos científicos de periódicos e anais de congressos, bem como de web sites da Internet.

c) Engenharia de Produção Civil

O PPP atual do curso de Engenharia de Produção Civil (EPC) data do ano de 2003, e está hoje em processo de reestruturação por uma equipe designada. As premissas que norteiam o currículo proposto, além de atender às normas estabelecidas pela legislação educacional vigente, apontam para “dar uma sólida formação básica ao Engenheiro de Produção Civil com o fortalecimento do núcleo básico” (CEFET-MG, 2003, p. 84). Há um núcleo central constituído de conteúdos básicos imprescindíveis para a formação do graduando em Engenharia de Produção Civil, que apresenta suas características, e, de maneira geral, pode-se citar: Matemática, Probabilidade e Estatística, Física, Química, Computação, Filosofia, Ciências Humanas, Ciências Sociais Aplicadas, Ciências Ambientais, Língua Portuguesa, Línguas Estrangeiras Modernas, Expressão Gráfica e Artística. Os conteúdos do núcleo básico profissional essencial, necessários para a formação do Engenheiro de Produção Civil, completa-se, dentre outros, com os estudos de: Ciência dos Materiais, Mecânica, Termodinâmica aplicada, Resistência de Materiais.

113

O curso apresenta, para a disciplina de Cálculo I, 90 horas / aula, em um semestre. 4.5.2 Plano de ensino para a disciplina de cálculo I

Há, no CEFET-MG, um departamento que é responsável por cuidar da parte básica dos currículos, denominado Departamento de Física e Matemática (DFM). É também de sua responsabilidade organizar e alocar os professores dessas disciplinas para o trabalho junto aos cursos de Engenharia. Dentro desse departamento é elaborado o Plano de Ensino de Cálculo I, único para os cursos de Engenharias, que traz em seus objetivos, referentes ao tratamento conceitual, dentre outros: - Utilizar o conceito de função, limite e continuidade na análise de situações práticas; - Perceber a relação do conceito de limite com os conceitos de derivada e de integral definida; - Reconhecer derivadas como taxas de variação, identificando grandezas que são definidas a partir do conceito de derivada; - Compreender os conceitos de integral definida e de integral indefinida, bem como sua relação, por meio do Teorema Fundamental do Cálculo; - Conceituar e desenvolver aplicações práticas de derivadas e integrais. - Ter consciência da importância do Cálculo Diferencial e Integral como base para a continuidade de seus estudos. - Entender o Cálculo como um estudo das mudanças, dos movimentos, investigando os efeitos das pequenas mudanças (Cálculo Diferencial) e os efeitos cumulativos das pequenas mudanças (Cálculo Integral). - Refletir sobre o método pessoal de aquisição de conhecimento. (PLANO DE ENSINO PARA A DISCIPLINA DE CÁLCULO I - DIRETORIA DE GRADUAÇÃO- 2007).

Percebe-se que os cursos de Engenharia privilegiam explicitamente o trabalho dos conceitos para os conteúdos a serem estudados, quando em seus objetivos reconhecem sua importância, apesar desse documento não detalhar o trabalho a ser desenvolvido com as interpretações geométricas, aritméticas e algébricas. O Plano de Ensino para a disciplina de Cálculo I organiza-se a partir de seis unidades. A unidade 1 propõe uma introdução ao estudo do Cálculo e retoma os estudos de funções, com carga horária prevista para 12 horas-aula. A unidade 2 traz os estudos de Limite e Continuidade, e enumera os seguintes tópicos:

114 - Conceitos intuitivos e definições formais de limites - Propriedades dos limites - O teorema do confronto - O limite trigonométrico básico - Limites laterais - Limites envolvendo o infinito - Continuidade de funções (DEPARTAMENTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA PLANO DE ENSINO CÁLCULO I - DFM, 2007)

Para esse contexto, o Plano de Ensino prevê 10 horas-aula para o trabalho a ser desenvolvido com os conteúdos propostos, dentro dos quais o professor deverá trabalhar os conceitos previstos e necessários, para um melhor entendimento desse tópico do programa. Observa-se que o Plano de Ensino, ora em questão, propõe explicitamente o trabalho com o conceito em algumas unidades, mas, o mesmo não entra em detalhe quanto a interpretação aritmética, geométrica e algébrica passíveis de serem vivenciadas pelos educandos, nas unidades previstas. A unidade 3 apresenta os estudos de Derivada e suas interpretações, e para seu estudo o documento delimita 14 horas-aula. - A derivada num ponto: definição e interpretações - A derivada como função - Propriedades das derivadas - regras de derivação - Derivada de função composta - Derivada de função implícita - Derivadas das funções trigonométricas diretas - Derivadas das funções trigonométricas inversas - Derivadas das funções exponenciais - Derivadas das funções logarítmicas - Derivadas sucessivas (DEPARTAMENTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA PLANO DE ENSINO - CÁLCULO I - DFM, 2007)

Os estudos de Integrais Definidas constituem a unidade 6, cuja estrutura proposta inicia-se com a apresentação da definição e propriedades da mesma. O Plano de Ensino não faz menção alguma para uma abordagem dos conceitos intrínsecos a este tópico do programa. - Definição - Propriedades - O Teorema Fundamental do Cálculo

115 - Áreas de regiões planas - Volume pelo método das seções transversas - Volume pelo método das cascas cilíndricas - Integrais impróprias (DEPARTAMENTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA PLANO DE ENSINO - CÁLCULO I - DFM, 2007)

A disciplina de Cálculo I está sob a responsabilidade dos professores de Matemática e alguns com formação em Física. Dentro do currículo proposto é ministrada no primeiro período. É na disciplina de Cálculo I que os conceitos de Limite, Derivada e Integral são tratados, e, nessa pesquisa, constituem objetos de estudos.

4.6 Observação de aula

A Matemática é uma disciplina científica, trabalhada nos cursos de área tecnológica. Investigar, acompanhar e entender as metodologias e estratégias utilizadas pelos professores, segundo Tardif (2005) na maneira de ler e interpretar a classe, dos cursos tecnológicos, bem como nas abordagens conceituais, operacionalizações (utilização dos algoritmos) e aplicações dos conteúdos estudados, em situações que oportunizem os educandos a entender o “querer dizer” do professor, é fundamental para o entendimento dos processos cognitivos. Perceber como esse profissional faz a transposição do conhecimento Matemático (científico) para o saber tecnológico, nos cursos de Engenharia é de grande relevância para os estudos da Educação Matemática, que se insere nos estudos da Educação Tecnológica. Tardif (2005) afirma que há uma forte relação entre os saberes escolares e os saberes experienciais dos professores, no trabalho e no modo como é vivenciado e recebe significado por ele e para ele. Foram acompanhados quatro professores; sendo duas professoras de Matemática, na disciplina de Cálculo I, ministrada para estudantes de Engenharia, e dois professores de disciplinas específicas, também dos cursos de Engenharia.

116

4.6.1 Aulas de cálculo I

Foram observadas 40 horas/aula de Cálculo I, nos cursos de Engenharia de Computação e Engenharia de Produção Civil. A disciplina de Cálculo I pertence ao Eixo I – Matemática, descrito no Projeto Político Pedagógico nos cursos investigados apresenta conceitos fundantes propostos no Plano de Ensino, único para todas as Engenharias, e formação do futuro Engenheiro. É pré-requisito para as disciplinas de Cálculo II, Cálculo III e Cálculo IV e também é alicerce para o desenvolvimento de conceitos em estudos futuros, nas disciplinas de Física, nas específicas. As professoras pesquisadas possuem bacharelado e mestrado em Matemática. Uma delas terminou no final de 2009 a formação docente oferecida pelo CEFET-MG, no Programa Especial de Formação de Docentes. A mesma afirma, com muita segurança, que percebe diferença em seu fazer pedagógico após o término do curso. As professoras, aqui nomeadas como professora A e professora B, elaboraram um Cronograma, aula por aula, para o semestre, que previa o dia para a abordagem de cada um dos conteúdos propostos para a disciplina, os trabalhos a serem desenvolvidos pelos alunos e também as datas das avaliações. A distribuição das aulas foi, segundo horário apresentado pela instituição, constituída de três encontros semanais, cada um com duração de duas aulas de 50 minutos. De posse do cronograma, a pesquisadora observou as datas que continham os estudos dos conceitos de Limite, Derivada e Integral, isto é, as questões básicas da pesquisa aqui relatada, para organizar a observação das aulas. Optou-se por fazer o relato das observações das aulas de Cálculo I, a partir do diálogo com o Plano de Ensino proposto pelo DFM, em suas respectivas unidades.

117

4.6.2 Estudos dos conceitos de Limite de uma função

O Plano de Ensino de Cálculo I contém na Unidade 2, o conteúdo de Limite e Continuidade, com carga horária de 10 horas-aula. Ambas as professoras iniciaram os estudos de conceito de Limite privilegiando a intuição. Foi utilizada a função posição de um movimento de um corpo, nos estudos de Física, do tipo S (t ) = s 0 + V0 t +

a 2 t 2

com a sua interpretação gráfica, num tempo

determinado. Também foi utilizado o conceito de velocidade média com a construção de uma tabela com valores, num dado intervalo, isto é, taxa média de variação de uma função. Foi realizado o tratamento algébrico e numérico, como é mostrado a seguir. Uma pedra se desloca/desprende de um penhasco. Qual a velocidade média entre os instantes t = 1s e t = 2s? Qual a velocidade no instante t = 1s?

Vm =

∆S ; ∆t

S (t ) =

1 1 2 g t ou S t = .9,8 .t 2 2 2

Vm =

2 ou S (t ) = 4,9 t

s (2) − s (1) 19,6 − 4,9 = = 14,7 m / s 1 2 −1

Considerou-se a velocidade média no intervalo [ 1, 1+h ] , com h pequeno.

Vm =

s (1+ h) − s (1) h

(2)

118

1) Tabela com tratamento numérico.

H 1

Velocidade 14,7

0,1

S (1,1) − S (1) = 10,29 0,1

0,01

S (1,01) − S (1) = 9,849 0,01

0,001

S (1,001) − S (1) = 9,8049 0,001

2) Tratamento algébrico

s (1 + h) − s (1) 4,9(1 + h) 2 − 4,9 .12 = h h

(3) 4,9 + 9,8 h + 4,9 h 2 − 4,9 4,9 h (2 + h) = = 4,9 ( 2 + h) h h

Substituindo h = 0 ⇒ 4,9 . 2 = 9,8 No tempo t0 , consideramos o intervalo [ t0 , t0 + h ]

s (t 0 + h) − s (t 0 ) 4,9 ( t 0 + h) 2 − 4,9 t 0 2 = h h

(4) 4,9 t 0 2 − 9,8 t 0 h + 4,9 h 2 − 4,9 t 0 2 h

4,9 h (2.t0 + h) = 4,9 ( 2t0 + h) h

119

Substituindo h= 0, temos:

Vi (t ) = 9,8 t0 m / s

Taxa média de Variação – Definição algébrica e Interpretação geométrica. Dada a função y = f(x); a taxa média de variação de y em relação a x, no intervalo

[ x1 , x2 ]

∆ y f ( x 2 ) − f ( x1 ) = ∆x x 2 − x1

é

(5) y = f(x)

Reta secante Reta tangente

Taxa média de variação é o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de f(x) que liga os pontos

( x1 , f ( x1 ) ) e ( x2 , f ( x2 ) )

x x1

x2

Partiram também da interpretação geométrica pelo cálculo do coeficiente angular de uma reta secante, determinando a razão dos acréscimos da função e do acréscimo da variável; isto é, a razão incremental. Mostraram, então, que a velocidade média, quando o acréscimo do tempo tende a zero, se tem o coeficiente angular de uma reta tangente, que é o valor da derivada no ponto.

2 Também se utilizou a função y = x fazendo o mesmo tratamento da razão

incremental e a elaboração de uma tabela de valores. Para a função y =

x2 − 1 x −1

foi feito um tratamento algébrico e gráfico, sendo estudado

o ponto x = 1, no qual a função não é definida, mas tem Limite, como é mostrado no gráfico.

120

(6) y

2

o

x

1 -1

f ( x) = y =

x 2 −1 x −1

1

f ( x) = ?

D = ℜ − {1 }

x se aproxima de 1

( x +1) ( x −1) = x +1, x ≠1 x −1 Logo após essa introdução foi apresentada a notação de Limite de uma função, como a seguir: (7)

x 2 −1 ( x+1) ( x −1) lim = lim = lim ( x +1) = 2 x → 1 ( x −1) ) x→ 1 x→ 1 x −1 Após essa introdução conceitual foi descrito a definição formal de limite de uma função com ε e δ , usando o valor absoluto com dois a três exemplos. Definição formal de Limite - apresentada no livro adotado nos cursos pesquisados da instituição (THOMAS, 2002, p. 90). “Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de x 0 , exceto talvez em x 0 . Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a x 0 e escrevemos

121

lim f ( x) = L

(8)

x → x0

se para cada número ε 〉 0 existir um número correspondente δ 〉 0 tal que, para todos os valores de x, se tem: (9)

0 〈 x − x 0 〈 δ ⇒ f ( x) − L 〈 ε

”.

Ao apresentar a definição formal, uma das professoras foi interpelada por um aluno com a seguinte pergunta: “Professora, é possível você construir o gráfico dessa função para ver se entendo melhor?”. E foi prontamente atendido. Percebe-se aqui a importância e validade do tratamento geométrico nos estudos desenvolvidos, para um melhor entendimento dos conceitos trabalhados. Os próprios educandos se manifestam quando, algumas vezes, falta a representação geométrica, pois, o mesmo é um facilitador para uma melhor visualização e acompanhamento do processo. Como outra etapa do ensino de Limite, foram introduzidas as propriedades de Limite das operações de funções, regras ou leis para calcular Limite, como por exemplo:

Se L, M, C e K são números reais e lim f ( x ) = L e lim g ( x) = M , temos: x→c

x →c

(10) 1. Regra da soma

lim [ f ( x) + g ( x)] = L + M ⇒ lim f ( x) + lim g ( x) x →c

x→c

x→c

2. Regra da diferença (11)

lim [ f ( x ) − g ( x )]= L − M ⇒ lim f ( x ) − lim g ( x ) x →c

x→c

x→c

122

E, a partir daí, fizeram vários exemplos com os alunos, os quais prevaleciam os estudos algébricos. Uma nova interpretação conceitual foi utilizada nos estudos de Limites Laterais de um ponto. Para um melhor entendimento foram utilizados gráficos e o tratamento algébrico, como o que se segue. (12)

x

Seja a função f ( x) = x

lim f ( x) , lim+ f ( x)

x →0 −

lim f ( x) = lim

x→ 1

⇒

x →0

x→ 1

x

lim f ( x)

x→ 0

x x→ 1 x

= lim

x

 x, x ≥ 0 x = − x , x 〈 0

o

〉 0 〈

lim 1 = 1 x→ 1

Gráfico

⇒

x x

=

−x lim = −1 x→ 1 x

x  x , x 〉 0  − x , x 〈 0  x

1 , x 〉 0 f ( x) =  −1 , x 〈 0

⇒

y o 1 (

x

) 0 o

-1

Foi provado que existem os Limites laterais, mas como são diferentes não existe limite quando x

→ 0.

Outro tratamento conceitual foi a discussão de Limite envolvendo infinito. Foi

123

utilizada a função y =

1 quando x tende a zero por valores menores do que zero ( à x

esquerda), por valores maiores do que zero ( à direita). Também no estudo de Limites infinitos, as definições foram desenvolvidas com rigor matemático, utilizando ε e δ para uma tendência da função ao infinito, quando x tende para um valor finito, ou, quando x tende ao infinito e leva a função a tender a um valor finito. Alguns exercícios foram resolvidos algebricamente e, uma das professoras fez a seguinte afirmação: “Quando, lá na frente, nós formos traçar gráficos, facilitará muito...”, sem perceber que havia uma grande demanda dos alunos para que a construção dos mesmos acontecesse durante todo o processo, pois se tornou claro que, “para muitos, a visualização gráfica era um facilitador” para o entendimento dos conceitos trabalhados. As professoras utilizaram, para uma melhor visualização da interpretação geométrica, o traçado de assíntotas horizontais, verticais e oblíquas para um melhor entendimento do conceito de Limite, com o traçado do gráfico. Um dos gráficos apresentados pelas professoras foi da função y = e x . (13)

lim e x = ∞

x →∞

lim e x = 0

x→ − ∞

124

Como se pode verificar, os professores usaram as interpretações geométricas, algébricas e, em alguns momentos, a interpretação numérica para os estudos dos conceitos pretendidos. Uma das professoras sempre dialogava com os estudantes utilizando a expressão: “lembra dessa ideia?!... está clara essa ideia?!”, para estabelecer um elo entre as várias representações e interpretações ali desenvolvidas.

4.6.3 Os estudos do conceito de Derivada de uma função

O Plano de Ensino de Cálculo I contém, na Unidade 3, o conteúdo de Derivadas, com 14 horas-aula prevista para os estudos da mesma e, a Unidade 4, para os estudos das aplicações das Derivadas, com previsão de 22 horas-aula. O conceito de Derivada foi introduzido pelas professoras A e B, usando-se o tratamento gráfico paralelamente ao algébrico, com análise dos acréscimos para função e para variável independente, com a mesma abordagem do conceito de Limite, e também foi dada a definição formal de continuidade.

f ( x ) = f (b ) Se f é contínua no ponto b, então lim x →b Em seguida, a professora A resolveu com os alunos dois exercícios. Logo após, construiu o gráfico:

125

(14) y

msec =

∆y ∆x

msec =

f ( x0 + h ) + f ( x0 ) h

y = f ( x) f ( x0 + h )

f ( x0 )

x0

( x 0 + h)

A professora usou como motivação a interpretação geométrica da Derivada como coeficiente angular da reta tangente, para o início dos estudos sobre Derivada, (15) isto é,

lim

x→ x0

∆y = f ' ( x0 ) ∆x

Desde que o limite exista, tal número é chamado de Derivada de f e denotado por

f ' ( x0 ) . Logo: “Se P se desloca na direção de Q, a reta secante PQ tende à reta tangente ao ponto P, e o valor do coeficiente angular da reta secante tende ao valor do coeficiente angular da reta tangente". (professora B)

126

y Q P PQ é secante à curva

x x0

( x0 + h )

Em seguida, foram introduzidas as várias notações de Derivada. Numa outra etapa, introduziu-se a existência da Derivada, trabalhando com as funções contínuas, e mostrou-se que nem todas as funções contínuas possuem Derivada, isto acompanhado do tratamento algébrico e geométrico. E foi apresentada a questão: Todas as funções são deriváveis nos pontos de continuidade? Não. A proposição foi ilustrada com uma função modular e, utilizando-se a interpretação gráfica e calculado a Derivada, usando Limite no ponto zero, como se segue:

127

Interpretação gráfica: (16)

f ( x) = x y

y = −x x〈0 y = x, x≥ 0 x

(17) x = 0 ⇒ f ' ( 0 ) = lim

h →0

h f (h) − f (0) = lim h →0 h h

não

existe,

como

tinha

mostrado antes. Finalizando com vários exercícios essa etapa conceitual, foram introduzidas as regras de derivação. Uma importante aplicação de Derivada foi dada para o cálculo de alguns Limites, com apresentação da regra de L’Hôpital. As duas professoras não utilizaram tabelas numéricas para os valores da variável independente e da função, o que talvez oportunizasse ao educando um melhor entendimento do conceito de Derivada como limite da razão incremental.

Já comparando as aulas de Limite e Derivada, do ponto de vista conceitual, pode-se constatar que houve interpretações, a partir de análises feitas com as construções de gráficos e também com os estudos na álgebra. Faltou porém a interpretação numérica, que poderia ter sido feita, por exemplo, com uma atividade investigativa junto aos educandos, para comparar o comportamento de

∆x

e

∆y ,

o que ajudaria a

128

entender e acompanhar melhor o desenvolvimento do processo e o consequente entendimento conceitual. Os livros analisados apresentam este tratamento numérico.

4.6.4 Os estudos do conceito de Integral de uma Função

O Plano de Ensino de Cálculo I contém na Unidade 5, o conteúdo de Integrais Indefinidas, com 14 horas-aula prevista para os estudos da mesma e, a Unidade 6, para os estudos das Integrais Definidas, com previsão de 18 horas-aula de trabalho. Enquanto o Plano de Ensino propõe o tratamento dos conceitos para os estudos de Limites e Derivadas, antes do desenvolvimento das definições dos mesmos, para o estudo de Integral, isso não ocorre. O cronograma de ambas as professoras prevê a introdução de Integral pela definição da primitiva, ou anti-derivada, ou Integral indefinida. O estudos desse conceito foi apenas algébrico. Ao introduzir o conceito de Integral definida, as professoras utilizaram a interpretação gráfica. Uma delas apresentou no Power point o problema: Como encontrar a área de uma região R acima do intervalo [ 0,1] do eixo x e abaixo da curva

y =1− x 2 , no primeiro quadrante. Esse exercício é apresentado no livro do

Thomas, Finney, Weir e Giordano (2002), capítulo 5.

129

Por excesso

Por falta

Tabela

Soma

Regra

Soma

Nº subintervalo

Inferior

Ponto médio

Superior

2

0,375

0,6875

0,875

4

0,53125

0,671875

0,78125

16

0,634765625

0,6669921875

0,697265625

A professora A ressalta, durante a aula, a importância das construções de gráficos, e afirma que irá cobrar também nas provas suplementares. Logo após, a professora desenvolve o cálculo com a somatória, como se segue:

130

(18) y

Fórmula do quadrado n

∑ k2 = k =1

0 1

n

2

n

k −1

1 n

x

n

S p = Z f ( ck ) ∆ xk = k =1

∑ f ( xk ) ∆ x k =1

n  k 1 S p = ∑  1−   2  = K n n k =1 

Sp =

Sp =

1 n3

n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ) 6

n

∑ (n 2 − k 2 ) k =1

⇒

⇒

Sp =

n  k2  1 S p = ∑  1− 2  n  n k =1 

n  1  2 n n ∑ 1− ∑ k 2  3  n  k = 1 k =1 

⇒

⇒

n  2 n −k2  1 Sp =∑  2  n k =1   n

Sp =

1 n3

(

 2 2n 3 + 3n 2 + n  n −n− 6 

) 

4n 3 − 3n 2 − n 6 n3

As professoras utilizam-se dos três tratamentos: geométrico, aritmético e algébrico para os estudos do conceito pretendido, nos registros de representação, DUVAL(2003). Percebe-se que, ao longo do processo, possibilidades se abrem para o uso da tecnologia, seja uma calculadora ou uma atividade investigativa, a partir do uso de um software; mas o mesmo não acontece.

131

4.6.5 Aulas de disciplinas específicas

Foram acompanhadas 18 horas-aula de disciplinas específicas na formação do Engenheiro, no trabalho de dois professores, aqui nomeados como professore C e professor D, do curso de Engenharia Elétrica. A distribuição das aulas foi, segundo horário apresentado pela instituição, constituída de dois encontros semanais, cada um com duração de duas aulas de 50 minutos. A partir da análise da matriz curricular buscou-se as disciplinas científicas, de acordo com pesquisa de Laudares (2004) no livro Disciplinas Matemáticas em Cursos Superiores, organizado por Cury (2004). Ambos os professores, C e D, utilizam intensivamente a Matemática na apresentação e discussão dos conceitos tecnológicos, seja de Transferência de Calor, seja de Eletromagnetismo. A prevalência é para o Cálculo Diferencial, com bastante ênfase, chegando às Equações Diferenciais. Os conceitos de acréscimos ou incrementos são fortemente utilizados e interpretados, sem o que não se teria o entendimento do conceito tecnológico, ou seja, conceitos ligados à formação do futuro engenheiro. É interessante notar que, para a introdução do conceito, o professor C utiliza alguns gráficos (esboços de componentes do fenômeno em estudo) para se chegar aos conceitos estudados, como no exemplo a seguir:

132

Equipamento Eletrônico de Potência (19)

P e = 20 W

q” rad

Sorvedouro (dissipador)

Ar

TS = 42º C

T∞ = 27 º C ∀C q" cons.

ε = 0,80 ⇒

Det ⇒ T S ⇒ Pe = 30 w

esse valor é fixo, depende do material.

Hipóteses: 1) Regime Permanente. 2) Toda a Potência é dissipada pelo dissipador. 3) TS é uniforme. As metodologias de aula dos professores C e D eram diferenciadas. Um dos professores desenvolvia os cálculos com maior detalhe. O professor D utilizava, em grande parte das aulas, apresentações no power point, com todo o conteúdo desenvolvido, o que poderia facilitar então uma interpretação mais detalhada dos conceitos tecnológicos e também explorar um pouco mais o tempo da aula, uma vez que todos os registros eram enviados virtualmente para os alunos. A utilização desse recurso possibilitaria uma interação maior com os educandos, interpretações mais detalhadas dos fenômenos físicos e também da parte Matemática.

133

O professor C desenvolvia os cálculos no quadro durante as aulas, nas resoluções de problemas propostos, além das interpretações.Várias ilustrações eram utilizadas mostrando, ora vetores, ora elementos de integração, quando se fazia uma integral dupla ou tripla. Os conceitos de Matemática utilizados foram da Matemática Superior, tais como, gradiente, divergente, rotacional, equações diferenciais, integrais duplas e triplas, mas com a prevalência de equações diferenciais. É possível constatar o uso intensivo do Cálculo Diferencial a partir das anotações feitas durante as observações das aulas. É apresentada a seguir algumas anotações das aulas, acompanhadas pela pesquisadora:

134

Figura 34: Registro das aulas de disciplinas específicas Fonte: Dados da pesquisa

135

Figura 35: Registro das aulas de disciplinas específicas Fonte: Dados da pesquisa

Frente aos registros escaneados, é possível concluir que há uma utilização da álgebra com referência aos esquemas traçados, poucos gráficos foram construídos e uma completa ausência de tabelas numéricas.

136

Figura 36: Registro das aulas de disciplinas específicas Fonte: Dados da pesquisa

137

Figura 37: Registro das aulas de disciplinas específicas Fonte: Dados da pesquisa

138

Figura 38: Registro das aulas de disciplinas específicas Fonte: Dados da pesquisa

Observa-se que o professor prepara a montagem dos Limites de integração por meio da interpretação gráfica. Em muitos momentos, o professor apresentava os cálculos, como mostrado no texto, mas há pouco diálogo com os educandos, o que favoreceria uma maior interpretação e a consequente aprendizagem.

139

4.7 Entrevistas

As entrevistas foram semi-estruturadas e são complementos da observação das aulas, para conhecimento do planejamento da aula ou das atividades desenvolvidas quanto ao livro texto, a utilização de materiais didáticos em geral, como software de ensino, entre outras técnicas. Os professores, sujeitos entrevistados, foram os mesmos das aulas observadas, e também um terceiro professor de disciplina específica que se prontificou a conceder a entrevista para a pesquisadora e que não foi acompanhado em suas aulas.

4.7.1 Professores de Cálculo I

a) Reestruturação curricular / Plano de Ensino Durante o processo de reestruturação curricular dos cursos de Engenharia, ocorrido no CEFET-MG, foi trazido ao grupo de educadores a necessidade de enxugar ao máximo os conteúdos da Matemática. Os professores do DFM participaram das discussões e conseguiram manter o eixo de conteúdos matemáticos com suas estruturas básicas, pois esses conceitos estruturam o ensino de Cálculo e fundamentam outras disciplinas, como as específicas e também a Física. Segundo a professora A: O programa previsto é muito extenso. Fico incomodada em ensinar para o aluno, por exemplo,

∫ sec

3

t dt , que volta nela mesma, simplesmente com

o argumento que é importante para desenvolver o raciocínio...assim, é preferível jogar xadrez. Não precisa de Matemática/Cálculo para desenvolver o raciocínio. Como o conteúdo é muito extenso (vários alunos falaram isso na avaliação, talvez devesse focar mais em conceitos mais importantes para o futuro do curso. Não se deve “riscar” coisas, mas talvez não aprofundar o tanto que se aprofunda sem que os alunos tenham base. Poderia estar “gastando”

140 mais tempo fixando o conteúdo, dando exemplos mais simples, que eles entenderiam melhor, do que fazer exercícios complexos, super elaborados, que não fica [...]

Já a professora B defende a importância do desenvolvimento do raciocínio lógico a partir dos estudos de Cálculo Para o Engenheiro é fundamental saber O QUE É a Integral, O QUE É a Derivada. Não propriamente a conta. Depende da ênfase que é dada. Não sei se é por aí, ou pensando no geral. O pensamento lógico que está “por trás”. Você montar um problema, você tirar os dados de um problema. Muito disso a gente vê com aplicação no Cálculo, aplicação nas Engenharias. Retirar um dado de um problema para resolver aquilo. Não é simplesmente calcular uma derivada, calcular uma integral. [...] O raciocínio lógico que está por trás do Cálculo, para a Engenharia, é fundamental, nesse sentido. Você é um antes do Cálculo e um depois do Cálculo.

As professoras relataram que a Matemática nos cursos de Engenharia compõe a formação básica, assim como a Física. b) Uso da Tecnologia Para o uso das tecnologias, as professoras mostraram-se pouco a vontade com as mesmas. A professora B afirma ter indicado um site com exercícios e suas respectivas respostas, e também desenhos; mas os alunos não se mostraram interessados. “Sequer olharam”. A professora que fez o curso de formação de professores, licenciatura, oferecido pelo CEFET, afirmou que, a partir de então, começou a “treinar” mais o uso do data show, fiz uma demonstração do Teorema de Pitágoras, movendo [...]. Tentei fazer apresentações com cálculo de área, que é visual. Método de integração não tem nada que dê para fazer desenho. Gráfico eu poderia ter levado. Na parte final, cálculo com volume, girando...mas alguns alunos falaram mal. Que não gostaram de aula com isso, que dorme, não conseguem concentrar.

141

c) Livro Didático Em relação ao livro didático adotado, Thomas, Finney, Weir e Giordano, como já foi tratado no capítulo II, as professoras desenvolveram um trabalho dialogado com o mesmo durante as suas aulas. Exploraram os exercícios, apontando alguns para serem feitos extra-classe. Elas apontam os desenhos apresentados como um fator positivo e comentam que o livro apresenta um tratamento interessante para a Engenharia. Mas, segundo a professora A, “algumas coisas ele coloca muito junto. Métodos de integração deveria dividir um pouco mais”. Para as aplicações, a professora A afirma que são pobres. No Cálculo I as aplicações são mais pobres. Derivada → velocidade (posição/tempo), velocidade instantânea. Há uma pequena relação com a Física. Problemas de otimização – é só aplicação: Dado uma chapa de metal, corte...monte uma caixa. Qual a caixa de volume máximo? Não é um problema aplicado ao curso dele. É um problema aplicado. Ele pode até usar mesmo, se precisar.

d) Conceitos x Cálculos Operacionais Para a professora A o trabalho com os conceitos é mais importante. Ela dedica um tempo maior para as representações gráficas, para os estudos de Limite, e um tempo menor para a demonstração formal. Desenvolve análise nos estudos gráficos passo a passo. Para o Teorema do valor médio diz: "Oh! Lembra daquele colorário..??!! A teoria está ali...não vou cobrar demonstração...mas olha aqui, o que é isso? Vai lá, demonstra e usa [...]".

Já a professora B afirma buscar um meio termo. Coloco questão teórica em prova, questão de cálculo mesmo. É importante, principalmente por ser em Engenharia, que eles façam um pouco de Cálculo, que eles tenham um pouco do manuseio do Cálculo em si. Eu acho que eu poderia / deveria cobrar mais o conceitual do que os exercícios mesmos, o operacional. Só que os alunos, a forma que se estuda Matemática desde o começo, é mais operacional do que conceitual.

142 Cálculo já é complicado. Então se você dá ênfase demais só pensando no conceito, aí a reprovação vai para 80%.

Nas representações gráficas, a professora B afirma ser importante, para que os estudantes percebam “o que aquilo está representando”, pois irá facilitar a entender os resultados, a luz dos teoremas estudados. Observo que é onde os alunos tem mais dificuldades. É o entendimento geométrico. Quando você vai pensar em volume. Dado uma região, rodar o sólido de rotação para calcular o volume, para eles enxergarem, descobrirem que método vai usar, e vê qual vai ser a cara do sólido que se vai obter. É falta de entendimento geométrico. A geometria é bem deixada de lado. Quando você vai falar de desenho de figura, de área, de gráficos, os alunos pedem para pular essa parte.

Na introdução do cálculo de Limite, a professora A faz a introdução graficamente: “Tenho que aproximar. Não posso trabalhar no ponto. Vários alunos viram no ensino médio substituir no ponto”. Ela observa que quando os alunos começam a usar a calculadora, eles não questionam os dados: Tem que ensinar antes mesmo...olha, cuidado, você está achando uma coisa que é inviável...seno de alguma coisa igual a 1,35?! Como, se ele varia de -1 até 1 ?! [...] Acho que é importante o estudo das funções seno e cosseno. Tem aplicação na Engenharia. Eles tem que saber que elas são limitadas. Uso o teorema do confronto.

A professora B ao tratar a função contínua usou o pensamento geométrico pela visualização para um melhor entendimento dos educandos, Sim, para continuidade é fundamental a gente pensar em Limite lateral porque realmente aí, vemos contra exemplos: -Ah, isso aqui é uma função contínua? Muitas vezes eu pergunto o que é para ver o que eles vão dizer. Aí vou pro quadro: gráfico tal...essa função é contínua? Por que? A partir da visualização levo os alunos a perceber o que eles estavam definindo como contínua. Aí vai pensar nos Limites. Essa introdução é feita mais graficamente mesmo do que pensando em números.

143 Nos estudos de Limites laterais, a professora introduz a noção de continuidade, concomitantemente, ao relacionar graficamente, numericamente e algebricamente, o desenvolvimento do processo, em um diálogo constante com os alunos.

O que é continuidade? A função para ser contínua ela tem que existir no ponto. E você estuda ponto a ponto. Você começa ensinando geometricamente, depois você extrapola...e qual é o domínio da função? O “Thomas” coloca isso né..?! Tem que existir Limite. E os valores tem que ser iguais... que é o passo a passo para verificar a continuidade.

Ao desenvolver os estudos dos Limites notáveis, a professora A constrói graficamente busca o cálculo de área de um triângulo de base “seno” e altura “cosseno”, um triângulo de base “um” e altura “tangente”. Área. Desenho um triângulo. Um triângulo de base “seno”, altura “cosseno”. Depois um triângulo de base 1 e altura “tangente”. E aí o setor circular está entre eles. E uso esses para fazer em tanto de outros né.... Os de polinômios são simplificando. E o e x eu deixo pra falar mais pra frente um pouco...uso a ideia de derivada...é um número que é construído para a inclinação “dá um”[...] é mais geométrico.

Percebe-se uma recursividade evidente no trabalho da professora, ao tratar os conceitos de forma relacional. A professora A afirma apresentar o conceito de Derivada praticamente junto ao de Limite. “Como encontrar a inclinação da reta tangente? Pego uma secante. Faço o ponto caminhar para o ponto de tangência.Vou mostrando geometricamente, e fazendo as contas junto com eles. E para a interpretação física, seria a velocidade. Velocidade instantânea num ponto.: Vm =

∆x ∆y

; pego a velocidade média e faço o meu tempo tender a zero, e num único

ponto. Só ensino L’Hopital muito depois.” Já a professora B alterna o trabalho de acordo com a turma: Se perceber que a turma tem um pouco mais de facilidade de entender...aquela coisa de você aproximar...de aproximação de um número. Eu já fiz bastante com tabela...eu tento mudar...f(2), f(3), f( 1 2 )... Tentei um pouco de gráfico. Tentei mesclar um pouco das informações. Não consegui descobrir qual é o melhor não.

144

As duas professoras afirmam apresentar para a turma o conceito de Diferencial, por ser fundamental para os estudos de Integral. A professora A desenvolve o diálogo a partir dos estudos de aproximação linear. Nos estudos de Integral as professoras usam como motivação o cálculo de área. A professora B inicia retomando os estudos de área de retângulos e triângulos. Vou modificando [...]. 2

Pega um x , abaixo do x 2 até o eixo x. - Ah professora, não dá fingir que ele é uma reta? -E se agente pegar os pedaços? E aí tem a soma de Riemann, pensando como a inversa da Derivada.

A professora A diz chamar a atenção para o erro provocado ao tentar calcular a área abaixo de uma curva utilizando-se retângulos, até chegar à soma de Riemann. "Observa-se a escolha do tamanho dos intervalos dos retângulos. Há um erro nas aproximações

→

Limite. Quando a função tem antiderivada. E aí demonstro o

Teorema Fundamental do Cálculo" .

4.7.2 Professores de Disciplinas Específicas

A formação acadêmica dos professores entrevistados é basicamente a mesma. Possuem graduação em Engenharia, mestrado em Engenharia, Doutorado em Engenharia, sendo que um dos professores pesquisados está terminando o doutorado em Modelagem Matemática Computacional, e o professor E possui pósdoutorado também em Engenharia. Esses professores ministram aulas para os cursos de Engenharia Mecânica e Engenharia Elétrica e esses cursos possuem partes do programa, na disciplina de Transferência de Calor, que são comuns. Por esse motivo, durante o diálogo estabelecido com esses professores, é ressaltado por eles uma maior ou menor importância de conceitos trabalhados em determinados cursos. Foi esclarecido a eles que a pesquisa não se restringe a um curso determinado e sim, a cursos de Engenharia.

145

a) Matemática no currículo da Engenharia Um dos professores entrevistados afirma que sua disciplina é muito importante para o curso de Engenharia Mecânica. É uma das disciplinas fundamentais. A carga horária é maior. A Elétrica tem 4 horas/aula por semana, a mecânica está passando para 6 horas/aula por semana. Inclusive no novo currículo da Elétrica essa matéria não existe mais. Ela foi emergida com Mecânica dos Fluídos e é dada como Fenômeno dos Transportes, seria uma parte de Mecânica dos Fluidos e uma parte de Transferência de Calor, no currículo que está sendo implementado.(professor C)

Segundo o professor C, a disciplina Transferência de Calor está para a Engenharia Mecânica assim como o Eletromagnetismo está para a Engenharia Elétrica. O professor E, que foi apenas entrevistado, também ministra aulas na disciplina Transferência de Calor e afirma que a mesma é uma disciplina teórica. “Não há laboratório. Está previsto, mas ele não acontece. Teria alguma aplicação prática.” Também o professor D afirma que sua disciplina é teórica e explica, Ela tem um contexto particular porque faz muito uso de fundamentos matemáticos de álgebra vetorial, pede a parte de integração e, de modo que, ela tem um contexto um pouco diferenciado das demais, que a maioria das disciplinas que os alunos fazem. Há grande uso de cálculos em circuitos e dispositivos eletrônicos.

b) O estudo da Matemática durante o curso de graduação dos professores entrevistados. É consenso entre os professores entrevistados a forma que estudaram Matemática: Basicamente era exercícios constantemente, além das aulas que a gente tinha de Cálculo e lista de exercícios, tirar dúvidas com o professor. A gente tinha acesso ao professor de Cálculo. Era na base de teoria e exercícios. Apesar que a maioria dos exercícios que é visto no Cálculo são bem assim, genéricos, sem aplicação direta. No princípio a gente fica assim treinando como trabalhar com derivada, como era a lógica da derivada, da integral. Talvez mais no final, quando você já tinha visto grande parte da teoria, tinha alguns exercícios aplicados. Isso depende muito do professor. Os professores de Cálculo são matemáticos puros, aí são muito formais.(Professor C)

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c) Uso de tecnologias O professor E afirma usar tecnologias em suas aulas. Uso um simulador. Faço algumas simulações na área de condução térmica, na área de transferência de calor, alguns vídeos. Resolvo alguns exercícios no Excel no cálculo de algumas funções, software para resolver equações diferenciais - transcall - software livre, aplicado nos estudos de transferência de calor.

O professor C que ministra a mesma disciplina que o professor E, afirma que “poderia até usar”. Para a Engenharia Mecânica foi adquirido um software que vem sugerido pelo livro, mas na Engenharia Elétrica, o curso que hoje ele trabalha, não usa. O aluno não tem tempo para se dedicar só a essa disciplina. Como não é uma disciplina fundamental para a formação do Engenheiro Eletricista... Como eles já usam o Mat-Lab em outras disciplinas; eu prefiro dar mais conteúdo teórico a ficar passando softwares e eles deixarem de ver a maior parte dos conceitos de Transferência de Calor.

Observa-se no discurso do professor que, utilizar a tecnologia em suas aulas seria simplesmente, para o estudante, conhecer um novo software. As novas tecnologias trazem possibilidades de, a partir de estruturas já conhecidas, como por exemplo, um Estudo Dirigido17, desenvolver atividades pedagógicas como facilitadores no processo de ensino / aprendizagem, e propiciar ao educando a construção de novas estruturas mentais, num processo recursivo e relacional, e também se utilizar

de investigações matemáticas. Segundo Lévy (1993) a

Psicologia contemporânea usa maciçamente os modelos computacionais e de processamento de dados fornecidos pela Informática. Essa tecnologia devidamente utilizada poderia inclusive, ajudar a minimizar os impactos trazidos pelo curto tempo nos estudos dos conteúdos/programa propostos para o curso. O Estudo Dirigido aqui proposto busca estabelecer um diálogo constante entre o educando e o educador. É importante perceber a diferença entre um “Estudo Dirigido” e uma “Instrução Programada”, descrita por Skinner. Ao pensar um Estudo Dirigido numa lógica construtivista, a partir de um trabalho desenvolvido com as tecnologias computacionais, uma atividade Construcionista será realizada. 17

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d) Tratamento dos conceitos com a Matemática Segundo o professor E, há uma Matemática pesada, uma Matemática robusta, que fundamenta os estudos de sua disciplina. Os professores procuram lembrar no decorrer das aulas, quando chega a parte que envolve Cálculo, os conceitos fundantes necessários, apesar de não resolverem e apenas apresentarem a solução. [...] O objetivo do curso não é resolver. As soluções já estão na literatura. São soluções exatas para alguns problemas. Serve mais como ilustração. O mais adequado para ir a fundo nessa solução seria o Mestrado. Na Graduação fixa mais na interpretação da solução, visualização. [...] Não me preocupo tanto com as soluções [...] Algumas a gente usa como caixa preta. (professor E)

Os professores declaram não se preocuparem com os cálculos. Preocupam-se em dar ênfase às análises necessárias ao desenvolvimento dos problemas propostos. [...] E às vezes o que a gente tem de passar para o aluno é a capacidade crítica dele enxergar de onde está vindo, alguém programou aquilo lá. Alguém fez. A ideia do Engenheiro, que diferencia de um técnico, é a capacidade de extrapolar aquilo que vê. (professor C)

Percebe-se que é intensa a busca dos professores-engenheiros em formarem profissionais que possuam independência intelectual, que sejam pessoas capazes de ir além do texto descrito, seja nos livros-didáticos, seja em situações-problema reais. Para se chegar a uma tabela, foi feito um modelo matemático, simplificou o modelo e colocou lá. Agora tem que saber se essa simplificação que o cara fez e gerou aquilo lá, se corresponde ao que se está aplicando. É esse tipo de PODER que o Engenheiro tem que ter em relação ao técnico. É buscar coisa além... Daí que vem a noção TECNOLÓGICA. Muitos conceitos matemáticos, que muitas vezes não tem aplicação nenhuma, descobrem que ela pode ser usada para um determinado problema. Muitos problemas com soluções numéricas, determinantes, matrizes, para chegar numa solução que seja numérica, mas fisicamente consistente. É preciso deixar isso bem claro nas aulas. (professor C)

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e) Livro Didático O professor C afirma que o livro adotado é clássico e é adotado em várias universidades. Possui um rigor matemático muito bom. Em sua opinião, para o curso de Engenharia Mecânica ele atende bem, mas para a Engenharia Elétrica é um livro muito avançado. O professor D trabalha com apresentações elaboradas no power point, que são enviadas posteriormente aos alunos via e-mail, e com os registros feitos no quadro. Já o professor E afirma que o livro não se aprofunda tanto na questão da Matemática. Na verdade, no modelamento matemático é a interpretação que a gente faz, essa que é a nossa questão aqui. Tentar descobrir o que aquele modelo físico traz de consideração, que eu posso eliminar nessa equação diferencial. A equação da condução, ela é bem grande, então, quais as simplificações que eu posso fazer para obter um resultado aproximado. Depois a gente interpreta. Essa é a linha do livro.

f) Resolução dos cálculos operacionais É consenso entre os professores entrevistados a pouca ênfase nos cálculos operacionais. Dependendo do exercício, procuro fazer passo a passo. Como eles estão vendo aquilo pela primeira vez, os exercícios que eu faço na lousa eu procuro dar o maior número de detalhes possível, para eles verem que o negócio não surge do nada. É evidente que os cálculos eu passo, que é simplesmente jogar numa calculadora, os valores você joga; agora, como chegou naquela conta, eu procuro mostrar. Agora, fazer conta em sala, eu evito. Primeiro que devido ao tempo, e segundo, se você recorre a um erro, por falta de atenção, pode confundir o aluno. É importante você levar o negócio mais ou menos pronto. (professor C).

Mais uma vez, observa-se uma preocupação maior com a interpretação do contexto em que os cálculos estão inseridos. Seria mais aos conceitos mesmos. A questão do modelo físico, transformar em modelo matemático, resolver e interpretar esses resultados. Quando acabo um exercício eu pergunto pra eles se entenderam o que aconteceu, o

149 que está saindo de resultado do problema e o que quer dizer aquele número. Não é simplesmente fazer o cálculo. (professor E)

Esse mesmo professor afirma que suas aulas estão fundamentadas na prática de resolução de problemas. Modelo físico, modelo matemático, interpretação do fenômeno. Tem que entender o que está acontecendo. Ainda dentro das análises e interpretações, o professor C afirma que o engenheiro mecânico gosta muito de saber a tendência, antes mesmo de quantificar. Foi perguntado a ele: O que é uma tendência? Dentro de um problema, se eu aumento tal parâmetro, qual é a tendência da resposta no final? É aumentar? É diminuir? É esse tipo de poder...!! Às vezes você coloca uma curva lá, genérica, pra mostrar que tal parâmetro aumenta com tal outro...a tendência é aumentar. Eu procuro verificar primeiro as tendências para depois colocar os números. E você consegue inclusive entender fisicamente o que está acontecendo, antes de colocar os números.

4.8 Entendimento dos conceitos de Limite, Derivada e Integral

Para os conceitos de Limite, utiliza-se quando tem uma divisão, quando a equação é por série, ou número muito grande, a gente usa bastante.(professor E) "Ah, e se esse número tender para o infinito, o que você entende com essa equação? Ah, a troca de calor vai subir muito [...]. O professor C afirma que a disciplina não proporciona tanta matemática direta, somente algumas deduções básicas. "No caso das aletas, para eu chegar na derivada, é uma questão de Limite, você vai diminuindo o intervalo ∆x para tender a zero. É o Limite da Derivada" .

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E afirma lembrar aos alunos a importância de estudos já vivenciados no curso. Eu procuro, toda vez que aparece, fazê-los lembrar...isso aqui vocês viram lá...quem precisar de maiores informações é só pegar o livro de Cálculo. O aluno que sentir dificuldade tem que estudar pra relembrar...se não você não consegue avançar [...]

A utilização do conceito de Derivada é frequente, afirmam os professores. "A equação de condução é uma equação baseada na equação diferencial parcial, então acaba caindo na derivada e precisa saber resolver a derivada". (professor E) O conceito de Integral é mais utilizado pelo professor D, como afirmado anteriormente. Na disciplina dos professores C e E, a frequência é menor. E, ao final, o professor C conclui a importância de se pensar os cursos de Engenharia como um todo, e não simplesmente, em compartimentos disciplinares. Tem professor que defende que o engenheiro deveria dar aula de Cálculo. Eu acho que não [...] Eu acho que o engenheiro poderia sim dar uma aula aplicada. -Olha, eu acabei de dar derivada para a turma, você não tem um exemplo aplicado? Ou uma palestra...se for...ou então uma matéria só de aplicação. Não uma disciplina assim, mas talvez no final do curso... Não o engenheiro dar aula...por que aí vai faltar o rigor matemático. Para o aluno ver como é a ferramenta, qual a origem da ferramenta. Deveria ter um fechamento para o estudante não ficar tão alienado ao que vai ser [...]

O mesmo professor relata também a importância de um ensino com significado, impregnado de sentido, no entendimento do que está sendo ensinado e consequentemente naquilo que se aprende. Eu reclamei muito quando fiz Cálculo. Hoje eu vejo que isso me ajuda muito. Também fiz álgebra linear, que no fim das contas é Cálculo. E eu não sabia pra quê aquilo tudo, pra quê que eu vou usar isso. Onde vai aplicar espaço n

R ... E quando eu fui fazer mesmo o trabalho da dissertação, eu fui trabalhar muito com método numérico de solução, e muitos métodos usam a teoria de álgebra pra buscar a solução de um problema, uma equação nãolinear na solução. Lá no fundo, no método, ele partiu da ideia matemática, aí eu comecei a enxergar...é aí que aparece o negócio...Quer dizer, então, às vezes, você não está ainda preparado para vislumbrar o conhecimento...E

151 foi muito bom que eu tive aulas com matemáticos e físicos. Acho que aquele rigor matemático te ajuda. Quando você vai olhar um livro de álgebra, ali tem muito rigor matemático, e é preciso conhecer.

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5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Para finalizar levanta-se a questão principal da pesquisa: "Como é o tratamento dos conceitos de Limite, Derivada e Integral em cursos de Engenharia”. Buscou-se apoio teórico em Duval (2003) com relação aos registros de representação semiótica. Foi constatado que tanto os autores de livros de Cálculo, como os professores de Matemática e disciplinas específicas dos cursos de Engenharia, utilizam o que este mesmo autor denomina de “conversões”, as quais consistem em transformações de representações com mudança de registros. Na pesquisa estas “conversões” aconteceram na elaboração conceitual passando-se da abordagem algébrica, para a gráfica, geométrica e numérica, esta última com a tabela de valores. Já o outro tipo de transformação de representação semiótica, a qual Duval (2002) chama de “tratamento” que são transformações de representações dentro de um mesmo sistema, também foi utilizado quando se tem o cálculo de Limite pelo levantamento de indeterminação, com a simplificação da expressão algébrica da função que se calcula o Limite; já na Derivada quando se muda as diversas notações. A interpretação gráfica, como aplicação geométrica, consiste na exploração do pensamento

geométrico

da

visualização

para

melhor

compreensão

do

comportamento da função, de suas propriedades e variação no seu domínio da definição, seja uma análise discreta, por pontos isolados, ou contínua em intervalos. A tabela de dados, com a utilização do pensamento aritmético, pode trazer uma interpretação melhor do Limite de uma função quando a variável livre tende a um determinado valor, ou comportamento da função na vizinhança de um ponto, ou na tendência ao infinito com valores das variáveis independentes, ou das variações aproximadas, os infinitésimos.

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O uso das várias representações semióticas em interação constante proporcionou: 1. condições de diferentes interpretações, 2. possibilidade de melhor compreensão conceitual. Quanto ao que Pais (2001) traz da aprendizagem conceitual quando distingue o saber, mais relacionado ao aspecto evolutivo das ciências e o conhecimento, uma produção mais perto da aprendizagem, constata-se que os professores em suas aulas ficaram mais próximos do saber, utilizando uma didática da aula expositiva e do tratamento da informação. Na introdução dos conceitos de Limite, Derivada e Integral poderiam com atividades e, uso de calculadoras, levar os estudantes a elaborar tabelas de valores na obtenção dos Limites, Derivadas ou Integrais. Numa comparação da apresentação conceitual dos livros de Cálculo e da realização das aulas, nota-se que os autores dos livros exploram mais a representação gráfica, o uso da aritmética, com as tabelas de valores, do que os professores que muito rápido chegaram a definição formal do Limite, usando

ε

e

δ

, com valor absoluto, e

as regras ou tratamento modular de intervalos; já no estudo de derivadas foram para os cálculos algébricos sem uma exploração maior do conceito. Pais(2001) enfatiza que a formação do conceito não acontece através de um único tipo de situação, daí a necessidade de uma grande exploração das interpretações gráficas, como exploração geométrica, a elaboração de tabela de valores, com a exploração da aritmética, e o trabalho do “tratamento” de Duval (2003) com a exploração das diversas formas algébricas de trabalhar Limite, Derivada e Integral. O atingir do significado, uma conquista subjetiva do estudante, só virá, segundo Pais (2001), se houver a realização da síntese, um procedimento racional criativo. Para Vergnaud, citado por Pais (2001), o sentido de um conceito está associado à atividade de resolução de problemas, a qual foi trabalhada quando se trouxe o problema das retas secantes e tangentes a uma curva, o problema de movimento na Física, mas não foi proporcionada uma situação para o estudante intuir, levantar conjecturas, experimentar.

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Notou-se a intenção e a tendência dos professores em chegar rápido ao cálculo algébrico. Assim, se privilegiam mais a definição formal e os cálculos operacionais. A motivação conceitual ficou mais no campo de uma propedêutica da definição e do algebrismo. Os professores das disciplinas específicas se satisfizeram em mostrar a estruturação algébrica dos conceitos tecnológicos, utilizaram mais a transformação dentro de um mesmo registro, usando o “tratamento” de Duval (2003) sem uma intensiva e demorada interpretação da Matemática com o objetivo de desvelar o qualitativo, seja explícito ou implícito nas várias transformações algébricas. Partindo do pressuposto que o aluno sabe os conceitos de Limite, Derivada e Integral, o professor da disciplina específica supõe que somente a expressão matemática do saber tecnológico, expresso como um desses conceitos matemáticos traz, pela transposição didática, o entendimento tecnológico. Assim, uma equação diferencial expressando um conceito não elucida, não desvela o saber científico nela sistematizado, se não houver uma interpretação das condições iniciais e de contorno, da lei de formação, da lei de formação e desenvolvimento do fenômeno por ela modelado. A “simulação” que Lévy (1993) introduz como uma tecnologia da inteligência do desenvolvimento do pensamento na era da informática, com o aumento dos poderes da imaginação e da intuição que pode ser explorada com uso da tecnologia, especialmente, da calculadora e do software não foi uma técnica didática usada, tendo-se como domínio da prática dos professores pesquisados a passagem da informação aos estudantes pela aula expositiva. Lévy(1993) insiste que a informática com a simulação e pela visualização é uma tecnologia intelectual para a faculdade de imaginar, trazendo a habilidade da resolução de problemas, a criação de modelos. A Engenharia hoje é, na sua essência epistemológica uma ciência dos modelos, da

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experimentação, da simulação por computador, o que Lévy (1993) mostra que a exploração dos modelos mais complexos e em maior número pode se realizar, via computação, mais eficiente e rápida do que os recursos da mente e da memória do curto prazo. As técnicas didáticas nas aulas observadas se reduziram a aulas expositivas com apresentações dos conteúdos escritos no quadro da sala ou em slides power point. O uso da informática proporciona ao professor um tempo maior para debate, interação, interpretação, pois as elaborações dos cálculos ficarão a cargo da máquina. O uso de informática, como recurso didático, envolvendo representações algébricas, gráficas e com tabelas, não ocorreu. Calculadoras gráficas e softwares matemáticos tem uma grande difusão, com possibilidades crescentes de uso, segundo Borba e Penteado (2001), para simular, modelar, experimentar, levantar conjecturas, habilidades estas a desenvolver, na direção da aprendizagem significativa. Evidentemente, segundo os mesmos autores, o enfoque experimental não basta, há necessidade de teorizar e desenvolver os modelos matemáticos da linearidade, do comportamento quadrático, exponencial, senoidal, entre outros coerentemente ao comportamento dos fenômenos. Em suma, se tem numa análise comparativa da didática dos livros-texto e das aulas, quanto a uma similaridade conceitual usando a álgebra, aritmética e a geometria. Há um ganho nos livros da exposição mais abrangente, com mais situações matemáticas e da Física, e com sugestão do apoio da informática, inclusive citando tipos de softwares, que podem ser usados. Há um equilíbrio na abordagem gráfica, aritmética (tabela de valores) e a exposição algébrica. Os livros proporcionam ao estudante uma diversidade de situações, que poderão possibilitar uma maior aprendizagem.

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Quanto aos professores de Cálculo falta um equilíbrio no trabalho dos conceitos e do algebrismo na sua prática, favorecendo mais este último. Quanto aos professores de disciplinas específicas fica reduzida a abordagem qualitativa dos conceitos tecnológicos advindos de uma maior interpretação dos conceitos matemáticos, implícitos nos modelos, em sua forma algébrica. Desta forma a pesquisa teve como objetivo contribuir para a Educação Matemática enquanto estratégias para uma aprendizagem significativa de “Conceito” e também trouxe uma clara distinção da “Definição” e do “Conceito”. Uma grande contribuição foi trazer à tona a importância do entendimento conceitual do Cálculo, tanto na Educação Matemática quanto na Educação Tecnológica. A matematização, a Modelagem Matemática e Computacional dos fenômenos da ciência demandam uma formação conceitual sólida, na formação científica do engenheiro, profissional da Tecnologia. Os dados da pesquisa apontam a importância de um trabalho mais integrado entre os professores de Cálculo (e das demais disciplinas básicas) e os professores de disciplina específicas. É possível perceber, comparando os dados da pesquisa, uma diferença da notação simbólica adotada na Matemática (pelos professores e nos livros-texto analisados) e nas disciplinas específicas. Os registros de representação semiótica dos conceitos de Cálculo, diferem bastante, o que pode gerar conflitos e obstáculos ao entendimento. - Sugestões para pesquisas futuras 1. Estudar o conceito de Limite, Derivada e Integral na perspectiva da aprendizagem dos estudantes. 2. Estudar o conceito de Limite, Derivada e Integral a partir das aplicações tanto como Resolução de Problemas, como pela Modelagem.

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3. Identificar estratégias usadas pelos estudantes do cálculo operacional a partir das principais definições formais de Limites, Derivadas e Integrais, enfatizando os registros de representação semiótica.

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APÊNDICE

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APENDICE A - COM O PROFESSOR DE DISCIPLINA ESPECÍFICA

1) Qual é o seu nome? 2) Qual é a sua formação? 3) Qual o nome da sua disciplina? 4) Como você vê sua disciplina dentro do currículo da Engenharia ( ela é técnica, prática, teórica?...) 5) Como você estudou Matemática no seu curso? 6) Qual o MÉTODO (aula expositiva, trabalho em grupo, pesquisa) que você usa nas suas aulas? 7) Usa tecnologia ? Qual software? 8) Qual / como é a importância que você dá ao tratamento da Matemática nos conceitos que você trabalha? 9) Em relação ao livro / autor que você utiliza: - é ilustrado, - é mais descritivo? ( aprofunda nas ferramentas Matemáticas) 10) Como você avalia os conceitos científicos introduzidos na sua disciplina? Utilizando ou não a ferramenta da Matemática? 11) Você dá mais ênfase à compreensão dos conceitos ou aos cálculos operacionais? (utiliza gráficos, faz análises dos mesmos, traça os gráficos com os alunos).

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12) Você faz com os alunos os cálculos ou só aponta o caminho? 13) Você faz a interpretação gráfica do fenômeno, ou estatística? 14) Como você trabalha/entende o "LIMITE", "DERIVADA" e "INTEGRAL"? 15) Dê um exemplo da sua aula em que você usou os conceitos de Limite, Derivada e Integral. E no livro? Você lembra de um..?! 16) No trabalho que os alunos fazem na disciplina, você exige os cálculos? Ou uma explicação do porque da utilização daquele conceito de Matemática?

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APÊNDICE B - ENTREVISTA COM O PROFESSOR DE MATEMÁTICA 1) Qual é o seu nome? 2) Você tem bacharelado? Licenciatura? 3) Qual o nome da sua disciplina? 4) Como você situa a matemática no curso de Engenharia? 5) Como você vê sua disciplina, no contexto do currículo de Engenharia? Fale um pouco (opinião) sobre a Matemática. 6) Qual o método (aula expositiva, trabalho em grupo, pesquisa) que você usa nas suas aulas? 7) Usa tecnologia? Qual software? Pode me mostrar? 8) Em relação ao livro/ autor que você utiliza: - é ilustrado? - é mais descritivo (aprofunda nas ferramentas Matemáticas) 9) Você apresenta / trabalha aplicações em suas aulas? Como? De que maneira? Ou você trabalha os conceitos restritos à Matemática? 10) Você dá mais ênfase à compreensão dos conceitos aos cálculos operacionais? (utiliza gráficos, faz análises dos mesmos, traça os gráficos com os alunos)? 11) Limite – - Como você introduz o conceito de Limite.

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- Você pede para o aluno calcular LIMITE? - Como você exige esses cálculos? - Você calcula os limites laterais? - Como você introduz a noção de continuidade? (algebricamente, graficamente, numericamente ). - Como você trabalha os limites notáveis? Derivada - Como você introduz o conceito de derivada? - Você faz a interpretação geométrica? - Você faz a interpretação física? - Estuda aplicações do comportamento de função (crescimento, decrescimento, máximo, mínimo? ) - Taxa de variação – como você trabalha esse conceito? - Você dá o conceito de diferencial? Resolve problemas aplicados com diferencial? - Qual a ênfase que você dá às regras de variação? - Você exige o cálculo de derivada pela função? Integral (Definida) - Como você introduz esse conceito? - Você usa / trabalha o conceito de somatória ( com exercícios) antes de falar na integral? - Você faz a interpretação geométrica do cálculo de área, de volume, etc.? - Qual a ênfase que você dá ao cálculo de integrais? - Você trabalha a noção de infinitésimos?

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ANEXO

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ANEXO A - PLANO DE ENSINO

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DIRETORIA DE GRADUAÇÃO Plano de Ensino

DISCIPLINA: CÁLCULO I

Campus: I e II – Belo Horizonte

CÓDIGO: 2DB003

VALIDADE: Início: Dezembro/2007 Eixo: Matemática Carga Horária: Total: 75 horas/ 90 horas-aula Semanal: 6 aulas Créditos: 6 Modalidade: Teórica Integralização: Classificação do Conteúdo pelas DCN: Básica Ementa: Funções reais: limites, continuidade, gráficos; derivadas e diferenciais: conceito, cálculo e aplicações; máximos e mínimos; concavidade; funções elementares: exponencial, logaritmo, trigonométricas e inversas; integrais definidas: conceito, teorema fundamental e aplicações; integrais indefinidas: conceito e métodos de integração; integrais impróprias. Curso(s) Engenharia de Computação Engenharia Elétrica Engenharia Mecânica Engenharia de Produção Civil Engenharia de Materiais Química Tecnológica Departamento/Coordenação: Departamento de Física e Matemática - DFM

Período 1º 1º 1º 1º 1º 1º

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INTERDISCIPLINARIEDADES Pré-requisitos -Co-requisitos -Disciplinas para as quais é pré-requisito Cálculo II (Engenharia de Computação, Engenharia Elétrica, Engenharia Mecânica) Cálculo II B (Engenharia de Produção Civil, Química Tecnológica) Física I (Engenharia de Computação, Engenharia Elétrica, Engenharia Mecânica, Engenharia de Produção Civil, Química Tecnológica) Física Experimental A (Química Tecnológica) Termodinâmica Química (Química Tecnológica) Outras inter-relações desejáveis Geometria Analítica e Álgebra Vetorial Objetivos: A disciplina deverá possibilitar ao estudante 1 Utilizar os conceitos de função, limite e continuidade na análise de situações práticas. 2 Aplicar as funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas inversas a problemas reais. 3 Perceber a relação do conceito de limite com os conceitos de derivada e de integral definida. 4 Reconhecer derivadas como taxas de variação, identificando grandezas que são definidas a partir do conceito de derivada. 5 Aplicar técnicas de derivação em diversos contextos, tais como em problemas de otimização e taxas relacionadas. 6 Familiarizar-se com técnicas de construção de gráficos. 7 Compreender os conceitos de integral definida e de integral indefinida, bem como sua relação, por meio do Teorema Fundamental do Cálculo. 8 Calcular grandezas que são definidas como integrais definidas ou como integrais impróprias. 9 Utilizar técnicas de integração para resolver problemas. 10 Conceituar e desenvolver aplicações práticas de derivadas e integrais. 11 Perceber que o Cálculo é instrumento indispensável para a aplicação de técnicas de trabalho atuais em diversos campos. 12 Entender o Cálculo como um estudo das mudanças, dos movimentos, investigando os efeitos das pequenas mudanças (Cálculo Diferencial) e os efeitos cumulativos das pequenas mudanças (Cálculo Integral). 13 Ter consciência da importância do Cálculo Diferencial e Integral como base para a continuidade de seus estudos. 14 Refletir sobre o método pessoal de aquisição de conhecimento.

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Unidades de ensino 1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DO CÁLCULO Motivação ao estudo do Cálculo Retas Funções: definição, notação, gráficos e classificações Funções compostas e funções inversas Funções exponenciais e funções logarítmicas Funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas 2 LIMITES E CONTINUIDADE Conceitos intuitivos e definições formais de limites Propriedades dos limites O teorema do confronto O limite trigonométrico básico Limites laterais Limites envolvendo o infinito Continuidade de funções 3 DERIVADAS A derivada num ponto: definição e interpretações A derivada como função Propriedades das derivadas - regras de derivação Derivada de função composta Derivada de função implícita Derivadas das funções trigonométricas diretas Derivadas das funções trigonométricas inversas Derivadas das funções exponenciais Derivadas das funções logarítmicas Derivadas sucessivas 4 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS A Regra de l’Hôpital Máximos e mínimos de funções Crescimento e decrescimento de funções Concavidade em gráficos de funções Traçado de gráficos de funções O Teorema do Valor Médio Modelagem e otimização Incrementos e diferenciais Linearização e Polinômio de Taylor Taxas relacionadas 5 INTEGRAIS INDEFINIDAS Definição Propriedades Integrais de funções elementares Integração por substituição de variável Integração por partes Integração por decomposição em frações parciais

Carga-horária (horas-aula) 12

10

14

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14

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Integração por substituição trigonométrica 6 INTEGRAIS DEFINIDAS Definição Propriedades O Teorema Fundamental do Cálculo Áreas de regiões planas Volume pelo método das seções transversas Volume pelo método das cascas cilíndricas Integrais impróprias

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Total

90

Bibliografia Básica 1 WEIR, M.D., Hass, J. e GIORDANO, F.R. Cálculo (George B. Thomas Jr.), vol. I, 11ª ed., São Paulo, Addison Wesley, 2009. 2 STEWART,J. Cálculo, vol.1, 5ª ed., São Paulo, Pioneira Thomson Learning, 2006. Bibliografia Complementar 1 EDWARDS, C.H. e PENNEY, D.E. Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, Rio de Janeiro, Prentice-Hall, 1994. 2 SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica, vol.1, 2ª ed, São Paulo, Makron / McGraw-Hill, 1995. 3 SIMMONS, G. Cálculo com Geometria Analítica, vol.1, 1ª ed, São Paulo, McGraw-Hill, 1988. 4 LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica, vol.1, 3ª ed, São Paulo, Ed. Harbra, 1994. 5 DIVA, M. F. e Gonçalves, M. B. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação e Integração, São Paulo, Prentice-Hall, 2007. 6 Disponível em http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/medialib/indexb.html Acesso: 20 de outubro de 2008

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ANEXO B - CRONOGRAMA- CÁLCULO I – ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CIVIL 2º / 2009

Aula 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

Data 10/08 12/08 14/08 17/08 19/08 21/08 24/08 28/08 31/08 02/09 04/09 9/09 11/09 14/09 16/09 18/09 21/09 23/09 25/09 28/09 30/09 02/10 05/10 07/10 09/10 14/10 16/10 19/10 21/10 23/10 28/10 30/10 04/11 06/11 09/11 11/11 13/11 16/11 18/11 20/11 23/11 25/11 27/11 02/12 04/12 11/12 16/12

Assunto Aula inaugural. Apresentação. Equações da reta. Funções: definição, gráficos. Funções: função composta. Função inversa. Função modular. Funções exponenciais e funções logarítmicas. Funções trigonométricas e trigonométricas inversas. Parametrização de curvas planas.Modelagem. Conceito intuitivo de limites. Definição formal de limite. Limites laterais. Propriedades de limites. O Teorema do Confronto. O limite trigonométrico básico. Limites envolvendo o infinito. Continuidade de funções. Retas tangentes e derivada. A derivada como taxa de variação. Regras básicas de diferenciação. Derivadas sucessivas. A regra da cadeia. Diferenciação implícita. Derivadas das funções trigonométricas e trigonométricas básicas. Derivadas das funções exponenciais e logarítmicas. Aula de exercícios. 1ª Prova ( 30 pontos) Formas indeterminadas e a regra de l’Hôpital. Incrementos e diferenciais. Aproximação linear. Polinômios de Taylor. Extremos de funções. O Teorema do Valor Médio. Função crescente e decrescente. Traçado de gráficos de funções. Concavidade. Esboço de gráficos. Assíntotas horizontais e verticais. Máximos e mínimos em intervalo fechados. Máximos e mínimos em intervalo abertos. Taxas relacionadas. Integrais Indefinidas. Integrais elementares. Integração por substituição Integração por partes. Aula de exercícios. 2ª Prova ( 30 pontos) Somas de Riemann e integrais definidas. O Teorema Fundamental do Cálculo. Substituição em integrais definidas. Áreas de regiões planas. Estabelecendo fórmulas integrais: exemplos geométricos e físicos. Volume pelo método das seções transversais. Volume pelo método das cascas cilídricas. Integrais impróprias.Integrais definidas: definição e propriedades. Integrais trigonométricas. Integração por partes. Integração por decomposição em frações parciais. Aula de exercícios. Integração por substituição trigonométrica. Aula de exercícios. 3ª Prova ( 30 pontos) Prova suplementar. ( 30 pontos substituindo a menor nota) Exame especial.

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REFERÊNCIAS PRINCIPAIS FINNEY, R.L., WEIR, M.D.; GIORDANO, F.R. Cálculo de George B. Thomas Jr., São Paulo, Addison Wesley, 2009. v.1. ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. Ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v.1. REFERÊNCIAS COMPLEMENTARES STEWART, James. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. 2v. v.1. EDWARDS, C.H.; PENNEY, D.E. Cálculo com Geometria Analítica. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1994.

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ANEXO C - CÁLCULO I - ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO, 2º 2009

Aula 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

Data 10/08 12 14 17 19 21 24 26 28 31 02/09 4 9 11 14 16 18 21 23 25 28 30 02/10 5 7 9 14 16 C&T 19 C&T 21 C&T 23 26 28 04/11 06 09 13 16 18 20 23 25 27 30 02/12 04/12 07/12 09/12

Assunto Apresentação. Inspeção de conceitos. Funções: definição, gráficos. Tipos de Funções. Função composta. Função inversa. Função modular. Funções exponenciais e funções logarítmicas. Funções trigonométricas e trigonométricas inversas. Conceito intuitivo de limite. Definição formal de limite. Propriedades de limites. Limites laterais. O Teorema do Confronto. O limite trigonométrico básico. Limites envolvendo o infinito. Continuidade de funções. Retas tangentes e a derivada. A derivada como taxa de variação. Regras básicas de diferenciação. Derivadas das funções exponenciais. Derivadas superiores. Derivadas das funções trigonométricas. A regra da cadeia. Diferenciação implícita. Taxas relacionadas. Derivadas das funções trigonométricas inversas. Derivadas das funções logarítmicas. O número e como limite. Aproximação linear. Incrementos e diferenciais. Aula de exercícios. 1ª Avaliação Formas indeterminadas e a regra de l’Hôpital. Polinômios de Taylor. Extremos de funções. O Teorema do valor médio. Traçado de gráficos de funções. Concavidade. Esboço de gráficos. Assíntotas horizontais e verticais. Máximos e mínimos em intervalo fechado. Máximos e mínimos em intervalo aberto. Aula de exercícios. Aula de exercícios. 2ª Avaliação Integrais indefinidas. Integrais elementares. Integração por substituição. Integração por partes. Integração por decomposição em frações parciais. Aula de exercícios. Integrais trigonométricas. Integração por substituição trigonométrica. Aula de exercícios. 3ª Avaliação Integrais definidas: definição e propriedades. VI Workshop da Graduação. O Teorema Fundamental do Cálculo. Áreas de regiões planas. Volume pelo método das seções transversas. Volume pelo método das cascas cilíndricas. Comprimento de curvas planas. Integrais impróprias. Seção 8.8. Aula de exercícios. Aula de exercícios. 4ª Avaliação Avaliação da Disciplina e resultado

176 11/12

Prova suplementar

18/12

Exame especial

REFERÊNCIA PRINCIPAL FINNEY, R.L., WEIR, M.D.; GIORDANO, F.R. Cálculo de George B. Thomas Jr., São Paulo, Addison Wesley, 2003. v.1.

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