Optimización con restricciones de no negatividadC. Hernández, L. M. Neira, J. Ramírez y M. Rojas 1. Restricciones de no-negatividad de las variables Las restricciones de no-negatividad de las variables surgen con naturalidad en los problemas de economía y administración. Por ejemplo, la cantidad de pelotas de golf a producir en una fábrica debe ser positiva. Ud. no puede decidir fabricar una cantidad negativa de pelotas de golf! Tampoco el precio que decida cobrar puede ser negativo, eso implicaría que ud. estaría dispuesto a pagar por que le compren su producto. Al igual que con el caso de las pelotas de golf existen muchos otros ejemplos donde las variables son no negativas: La cantidad de habitaciones que decidan construir los dueños de un hotel. El número de personas a contratar por una empresa. El número de máquinas a comprar para un proceso productivo. El precio que fijaremos para vender un producto o servicio. Cantidad a producir de bienes. Y muchos otros más. En los capítulos anteriores vimos que al resolver un problema de optimización en una variable sin restricciones se cumple que en el óptimo la derivada de la función objetivo es igual a cero. df (x∗ ) =0 dx Para el caso de múltiples variables debe cumplirse que el gradiente de la función objetivo es igual a cero, es decir, todas las derivadas parciales de la función objetivo son iguales a cero. ∇f (x∗ ) = 0 ∂f (x∗ ) =0 ∂xi ∀i En la figura 1.1 vemos que para un problema de maximización sin restricciones, el óptimo global puede darse para x < 0. Sin embargo, esto no ocurre cuando incorporamos la restricción de no-negatividad de las variables. Todos los x < 0 quedan excluidos del dominio del problema, por lo tanto no los consideramos. El resultado se muestra en la figura 1.2, donde el máximo global se encuentra para un valor de x > 0. 1 vemos que en ese punto. las condiciones de optimalidad para un problema sin restricciones no son suficientes para caracterizar un problema con restricciones 2 .3 vemos que el máximo global se encuentra en el borde del dominio.2: Puntos críticos máximos en un problema de optimización con restricción de no-negatividad de las variables Ahora bien. en x = 0. ¿Se cumplen las restricciones de optimalidad que conocemos en este punto? Observando la figura. la derivada de la función objetivo es distinta de cero.Figura 1. df (x∗ ) =0 dx En este caso.1: Puntos críticos máximos en un problema de optimización sin restricciones Figura 1. es decir. ¿qué ocurre si el óptimo se encuentra en x∗ = 0? En la figura 1. En general. la condición de optimalidad que conocemos no es suficiente. df (x∗ ) =0 dx La condición anterior implica que se cumple alguno de los 2 casos: en el punto crítico x = 0.3: Puntos críticos máximos en un problema de optimización con restricción de no-negatividad de las variables Estas condiciones pueden resumirse en una sola. no necesariamente debe cumplirse que la derivada sea igual a cero.de no-negatividad1 . la condición de optimalidad sigue siendo la misma: la derivada debe ser igual a cero en el punto. Matemáticamente. no importa que la derivada sea igual a cero. y en los puntos críticos x = 0 la derivada debe ser igual a cero. x∗ Para el caso multivariable. si el óptimo está en el borde del dominio. df (x∗ ) =0 dx df (x∗ ) =0 dx si x∗ = 0 si x∗ = 0 Figura 1. que será la condición de optimalidad para problemas con restricciones no-negativas. Para los puntos críticos que no se encuentran en el borde del dominio. Pero. ¿Cómo sabemos si los puntos críticos son máximos o mínimos? Para los puntos que no se encuentran en el borde. medida que en el curso vayamos introduciendo distintos tipos de restricciones al dominio veremos que las condiciones de optimalidad se van complejizando. la condición de optimalidad es muy similar al caso anterior y es la siguiente: x∗ i ∂f (x∗ ) =0 ∂xi ∀i Esta condición también es válida para problemas de minimización con restricciones de no negatividad en las variables. se utiliza la misma condición de segundo orden que en el caso sin restricciones. 1A 3 . y encontrar así la solución óptima. < 0. 4 .3. en x∗ = 0 la derivada es negativa. en la figura 1. Por ejemplo. el punto es un máximo. el punto es un mínimo. si ∂f ∂x ∂f ∂x > 0. Luego de encontrar todos los puntos críticos (en el borde y fuera del borde) debemos compararlos para determinar cuál es el máximo o mínimo global. Matemáticamente. por lo tanto podemos concluir que el punto x∗ = 0 es un máximo.Si d2 f (x∗ ) <0 dx2 d2 f (x∗ ) >0 dx2 x∗ es un máximo x∗ es un mínimo ¿Y para los puntos en el borde del dominio? Debemos ver el signo de la derivada de primer orden.
Report "Optimizacion Con Restricciones de No Negatividad"