operacoes unitarias Ia

OPERAÇÕES UNITÁRIAS I: SISTEMAS PARTICULADOS NOTAS DE AULAS OPERAÇÕES UNITÁRIAS I EQE-473 AObjetivos Apresentar os princípios fundamentais envolvidos nas operações unitárias relacionadas a sistemas particulados, de forma a permitir tanto o projeto quanto a análise do desempenho de equipamentos que lidam com estes sistemas. Ementa Fundamentos. Caracterização de partículas e de sistemas particulados. Dinâmica da interação sólido-fluido. Aplicações a sistemas diluídos. Separação sólido-fluido: Elutriação, câmaras de poeira, ciclones, centrifugas, e hidrociclones. Separações sólido-sólido: Peneiração, Classificação Jigagem, Flotaçâo. Aplicações a sistemas concentrados: escoamento monofásico em meios porosos, filtração, sedimentação, fluidização, transporte pneumático, e hidráulico de partículas. Escoamento bifásico em meios porosos. Livro texto: Fluidodinâmica em Sistemas Particulados. Massarani, G. 2a edição e-papers, Rio de Janeiro, 2002. Bibliografia: Perry, R.H.; and Green, D.W. Perry´s Chemical Engineering Handbook. 5a edição. McGraw-Hill, New York. 1999 Allen, T. ; Particle Size Measurement. 3a edição. Chapman and Hall, 1981. Coulson, J.M. and Richardson, J.F. :Chemical Engineering, vol. 2 3a edicao. Pergamon Press, Oxford, 1978. Kunii, e Levenspiel; Fluidization Engineering. J. Wiley. 1969. Svarovsky, L.; Solid-Gas Separation. Elsevier Scientific P. Co. 1981. Wills, B. A. Mineral Processing Technology. 4a Edicao. Pergamon Press, Oxford, 1988. Conversão de unidades. http://www.gordonengland.co.uk/conversion/ Fontes adicionais de informação: 1. Science direct. (www.sciencedirect.com/) Acesso direto a artigos das principais revistas técnicas e científicas do mundo. 2. Capes. (www.periodicos.capes.gov.br/) 3. Brazilian Journal of Chemical Engineering. 4. Revistas específicas sobre sistemas particulados: • Powder Technology • Particulate Systems • International Journal of Mineral Processing • Journal of Porous Media OPERAÇÕES UNITÁRIAS I: SISTEMAS PARTICULADOS NOTAS DE AULAS... ............1 OPERAÇÕES UNITÁRIAS I EQE-473 A.............................................................................1 1 I. Partículas e Distribuições de Tamanhos.................................................................. .........3 I.1 Caracterização de Partículas Isoladas....................................................................3 I.2.Estatística de Partículas: distribuições........................................................... ...........4 I.3 Determinação Experimental da Distribuição de Tamanhos.............................. .......5 I.4 Balanços Materiais..................................................................................................7 II.PENEIRAÇÃO............................................................................................. ......................8 III. COMINUIÇÃO, MOAGEM................................................................. ..............................9 III.1 Introdução...................................................................................................... ............9 III.2 Moagem Primária.......................................................................................................9 III.3 Moagem Secundária....................................................................... .........................10 III.4 Moagem Autógena...................................................................................................10 III.5 Consumo de Energia e Potencia para Redução de Tamanhos...............................10 IV. DINÂMICA DA INTERAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO................ ............................................11 IV.1 Movimento da Partícula.............................................. ............................................ 11 IV.1.1 Regime de Stokes, de Newton e Intermediário....... .............................................12 IV.2 VelocidadeTerminal.................................................. ...............................................13 IV.3 Diâmetro de Sedimentação.................................... .................................................14 IV.4 Efeito de Parede.................................................... ..................................................15 IV.5 Efeito da Concentração de Partículas ....................... Erro! Indicador não definido. IV.6 Partículas em Fluidos não-Newtonianos .................................................................17 V. DECANTAÇÃO E SEPARAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO.......................................................18 V.1 Câmara de Poeira .....................................................................................................18 V.2 Projetos de Ciclones Industriais................................................................................19 IV.3 Hidrociclones............................................................................................................22 VI INTRODUÇÃO AO BENEFICIAMENTO DE MINÉRIOS ...............................................23 VI.1 Elutriaçao .................................................................................................................24 VI.2 Flotação ...................................................................................................................25 VI.3 Jigagem....................................................................................................................28 VII SISTEMAS PARTICULADOS........................................................................................28 VII.1 Balanços de massa.................................................................................................28 VII.2 Balanços de Momento ............................................................................................30 VII.3 Escoamentos através de Meios Porosos ...............................................................31 VII.4 Permeabilidade .......................................................................................................33 VII .5 Escoamentos de Fluidos Não-Newtonianos..........................................................35 VII.6 Aplicações...............................................................................................................35 VIII FLUIDIZAÇÃO ..............................................................................................................36 VIII.1 Teoria da Fluidização.............................................................................................37 VIII.2 Tipos de Fluidização a Gás ...................................................................................38 VIII.3 Teoria das Duas Fases............................. ............................................................39 VIII.4 Mistura e Segregação................................. ..........................................................40 IX SEPARAÇÃO DE FASES...............................................................................................41 IX.1 Referencias e Aspectos Gerais ...............................................................................41 IX.2 Sedimentação em Batelada.....................................................................................42 IX.3 Sedimentação Contínua..................................................... .....................................44 IX.4FILTRAÇÃO..............................................................................................................46 Seleção de um sistema de filtração....................................................................... .........46 Teoria simplificada da filtração com formação de torta.......................................... ........47 Filtração a pressão constante.........................................................................................48 Lavagem da torta............................................................................................................49 Produção máxima, dimensionamento de um filtro..........................................................49 IX.5Filtração em filtro rotativo......................................................................................... 51 IX.6 Avaliação da teoria simplificada...............................................................................51 IX.7 Filtração em leito granular .......................................................................................52 2 I. Partículas e Distribuições de Tamanhos Esta disciplina trata de diversos sistemas, operações e equipamentos nos quais há a participação de uma fase descontínua, composta por partículas sólidas, ou gotas de um líquido, quase sempre interagindo com uma fase gasosa ou líquida. A primeira destas duas será denominada “fase particulada”, e a segunda de “fase contínua” ou “fluida”. Suas aplicações vão desde o controle da emissão de particulados para a atmosfera ao projeto de processos e de equipamentos comuns a diferentes indústrias de processamento químico. É possível fazer a distinção entre os métodos de estudo dos sistemas particulados por sua faixa de aplicação a sistemas diluídos e sistemas concentrados. Nos sistemas diluídos a atenção é dirigida à fase particulada, e o estudo das possíveis interações sólido-fluido tem por base o que acontece a uma partícula isolada, uma vez que estas estão distantes, uma das outras, e os efeitos da concentração de partículas são pequenos e podem, quando necessário, ser considerados como correções a serem introduzidas nos resultados simplificados. No outro extremo têm-se os sistemas concentrados, para os quais as duas fases interagem fortemente, tornando-se mais eficiente a abordagem do sistema por seus parâmetros macroscópicos, e menosprezando-se o comportamento individual das partículas. Com esta abordagem estudam-se os escoamentos em meios porosos em particular ou a teoria mecânica de sistemas multifásicos. Na primeira parte deste curso trataremos dos sistemas diluídos visando à descrição dos processos de arraste e coleta de sólidos particulados. Antes porem é necessário a caracterização das partículas isoladamente e em conjunto. I.1 Caracterização de Partículas Isoladas Consideramos uma amostra de partículas, a cada uma delas podemos associar certas propriedades, algumas das quais estão listadas no seguinte quadro. propriedade símbolo descrição unidades densidade massa /p.u.volume Kg/m3 (g/cm3) ρp tamanho Dp, L uma dimensão linear m; mm; µm, nm área superficial Sp área da superfície m2; mm2; µm2, nm2 volume Vp m3; mm3; µm3, nm3 esfericidade sem dimensão φ massa Kg; g mp ρp = mp / Vp A esfericidade é um fator de forma definido como a relação entre a área superficial da esfera de mesmo volume e a área superficial da partícula. π ⎛ 6 ⎞3 φ= Vp ⎟ . Sp ⎜ π ⎠ ⎝ Uma vez que a esfera é o sólido de menor área superficial, conclui-se que 0 ≤ φ ≤ 1 e φ=1 , se e apenas quando a partícula é esférica. Exercício 1. Calcule a esfericidade de um cubo e de um paralelepípedo com arestas l, l, e 1,5l. Partículas irregulares são caracterizadas por diferentes tipos dimensões lineares, denominadas diâmetros ou tamanhos. Alguns destes são apresentados a seguir: • • 2 ⎛ 6 ⎞3 Diâmetro da esfera de mesmo volume que a partícula Dp = ⎜ Vp ⎟ ; ⎝π ⎠ D# diâmetro de peneira, valor médio das aberturas de malhas de peneiras 1 consecutivas pelas quais a partícula passa e é retida D# = 2 (D+ + D− ) ; 3 1 • • • Diâmetro de Ferret, DFe, valor médio da distancia entre tangentes paralelas à área projetada da partícula. Obtido por microscopia; Diâmetro de sedimentação Dsed, diâmetro da esfera de mesma densidade, que sedimenta com a mesma velocidade que a partícula; Diâmetro de Stokes diâmetro de sedimentação no regime de Stokes; I.2. Estatística de Partículas: distribuições Uma amostra de um sistema particulado conterá partículas de diferentes tamanhos. Assim poderemos observar, ou medir as distribuições associadas a cada uma das seguintes quantidades: 1. número de partículas, 2. massa total da amostra, 3. volume total da amostra, 4. área superficial de todas as partículas, 5. tamanho, soma dos tamanhos individuais. As distribuições estatísticas têm por base a quantidade de partículas associadas a uma determinada propriedade de seu conjunto, ou de uma amostra. Alguns exemplos servirão para elucidar estas questões. Número de partículas com massa menor que m, Np ( m ) ; Fração numérica de partículas com massa menor que m, np ( m ) ; Massa de partículas com massa menor que m, Mp ( m ) ; Fração ponderal de partículas com massa menor que m, Xp ( m ) ; Volume de partículas com massa menor que m, Vp ( m ) ; Fração volumétrica de partículas com massa menor que m, v p ( m ) ; Distribuições associadas à área superficial, ou ao tamanho podem também ser definidas. O argumento das distribuições apresentadas pode ser outro no lugar da massa. Assim podemos falar de Np ( V ) , ou Mp ( S ) , ou Mp (D ) para: • o número de partículas com volume menor que V; • a massa de partículas com área superficial menor que S; • a massa de partículas com tamanho menor que D. A distribuição mais freqüentemente utilizada na descrição de sistemas particulados é aquela que representa a fração ponderal de partícula com diâmetros menores que D, denominada distribuição granulométrica. As derivadas destas distribuições em relação aos respectivos argumentos representam: dX (D ) x (D ) ≡ , x (D ) dD = dX (D ) = fração de partículas com diâmetros entre dD D e D+dD. A inversa desta relação determina a distribuição original. X (D ) = ∫ x (D ) dD. 0 D (I.2.1) As duas funções X (D ) , e x (D ) , possuem a mesma informação, pois o conhecimento de uma delas fornece o conhecimento da outra através de uma simples operação matemática. Análise granulométrica diz respeito a uma técnica experimental que visa a determinação da distribuição de tamanho de partículas de uma dada amostra. Expressões matemáticas para distribuições são múltiplas, e quase todas são contínuas, i.e. o argumento da expressão é um número real variando numa faixa de valores conhecidos. Assim, por exemplo, a expressão aplica-se a diâmetros compreendidos entre Dmin ≤ D ≤ Dmax . Existem muitos 4 analisadores de distribuição de tamanhos de partículas, que são usados para o controle da produção de pós. Em diversos setores industriais como: cimentos e cerâmicos; corantes e pigmentos; alimentos; fármacos; e muitos outros o controle da distribuição granulométrica é crítica. As técnicas mais empregadas para medida de distribuições granulométricas são: • a análise de peneiras [ 200µm ≤ D ≤ 20mm] • • observação microscópica difração de laser [0,04µm ≤ D ≤ 2000µm] Algumas expressões analíticas para as distribuições granulométricas são dadas abaixo. i). Distribuição de Weibull a três parâmetros: ⎧ ⎛ D − D ⎞α ⎫ ⎪ ⎪ (I.2.2) X (D ) = 1 − exp ⎨− ⎜ ⎟ ⎬ , D ≥ D, α > 0, D′ > 0, ⎪ ⎝ D′ ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ ⎡ ⎛ D − D ⎞α ⎤ (I.2.3) exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥. ⎢ ⎝ D′ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ D é um diâmetro inferior de corte para o qual se supõe que inexistam partículas menores D´, e α são parâmetros indicativos da dispersão das partículas, e devem ser determinados por ajuste aos dados da distribuição de tamanhos. ii). Distribuição de Weibull a 2 parâmetros É a que resulta quando se faz D = 0 , i.é: ⎡ ⎛ D ⎞α ⎤ X (D ) = 1 − exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ , D ≥ 0, α > 0, D′ > 0, (I.2.4) ⎢ ⎝ D′ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ α−1 ⎡ ⎛ D ⎞α ⎤ α⎛D⎞ x (D ) = ⎜ ⎟ exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ . (I.2.5) D′ ⎝ D′ ⎠ ⎢ ⎝ D′ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ Estas duas distribuições são muito utilizadas para as distribuições de tamanho de partículas. iii) Distribuição lognormal A distribuição norma não deve ser utilizada por não fazer sentido seu ramo negativo. Uma variável X é de distribuição lognormal se Y =lnX é de distribuição normal, ⎧ ( lnD )2 ⎫ 1 ⎪ ⎪ x (D ) = exp ⎨− , D ≥ 0, σ > 0. (I.2.6) 2 ⎬ 2πσD ⎪ 2σ ⎪ ⎩ ⎭ lnD ⎞ ⎛ (I.2.7) X (D ) = φ ⎜ ⎟, ⎝ σ ⎠ α ⎛D−D⎞ x (D ) = ⎜ ⎟ D′ ⎝ D′ ⎠ α−1 I.3 Determinação Experimental da Distribuição de Tamanhos Análise de Peneira Uma das técnicas mais simples e diretas para a determinação da distribuição de tamanho de uma amostra de partículas é a análise de peneiras. Peneiras padronizadas, com malhas precisas, formando uma série com abertura de malhas cada vez mais finas. As peneiras selecionadas são empilhadas, como mostra a figura, e colocadas sobre um vibrador, a amostra sendo colocada na peneira superior, a mais aberta. 5 048 79.0 1680.026 71. Após certo tempo. seguros e precisos sobre a distribuição de tamanhos permitindo o controle de qualidade.1 8. Produzem resultados bem precisos na análise de partículas numa larga faixa de tamanhos desde 0.61 12.178 15. A seguinte seqüência de uma série Tyler é dada. Peneira # 4 6 8 12 16 20 30 40 Abertura Massa retida(g) (µm) 4750.9 601. que passam por todas as malhas das peneiras. formando uma malha quadrada com aberturas que decrescem na proporção de 2.8534 21.As peneiras ficam encaixadas sobre uma panela destinada a recolher a parcela de partículas mais finas. e ainda determine os parâmetros ótimos para a distribuição de Weibull.549 Peneira # 50 60 80 100 140 200 270 fundo Abertura Massa retida(g) (µm) 299.894 17.08 Difração de Laser Analisadores da distribuição de tamanhos de partículas por difração de laser são empregados para o controle da produção de pós em todas as situações onde o estado da distribuição é determinante da qualidade do produto.764 87.9 105.9 148. 6 . Entre estas exclui se a produção de materiais cerâmicos.0 74.708 17.0 850. Exemplo 2. previamente determinado retira-se e pesa-se o material retido em cada uma das peneiras do sistema.0 0 51.97 21. ou 4 2 .0 1180. Os analisadores por difração de laser dão resultados rápidos.0 2360.231 26. X(D).445 15.9 248.1 53. As peneiras de serie Tyler são produzidas de diferentes materiais.33 60. Para esta análise determine as curvas de x(D) e a distribuição cumulativa.288 66. de fármacos e de alimentos. com resultados de uma análise.0 426.592 39.1 mícron até 2mm.0 3350.8 178. .8) Balanço de partículas com diâmetros na faixa D e D+dD MA x A (D ) dD = MT x T (D ) dD + MF xF (D ) dD.15) (I. I. Alguns exemplos são: 1 1) Mistura de duas (ou mais) correntes xP = (I. O sistema possui uma alimentação A. Razões de fundo 2 2 2 R1 = M1 / M1 . Partículas diferentes serão coletadas com eficiências diferentes. e MF. F F A A 1 1 F F 2 T 2 T 2 2 F F 7 . Balanço no segundo separador 2 M2 = M2 + MF . RF 1 − RF Note que esta eficiência depende do tamanho da partícula.2. os dois produtos de fundo e de topo são idênticos à entrada. Balanço Global: (para o regime permanente) MA = MT + MF . e de fundo F.14) ∑ MAi x Ai.12) x A . A T F (I. com vazão mássica MA. xT = xA. A T A F 1 A 1 A 1 1 T T 1 1 F F M x = M x +M x .13) Outros arranjos de correntes de sistemas particulados são possíveis.2.2. F F A A A Eficiências de coleta η1 (D ) = M1 x1 / M1 x1 . ∑ MAi 2) Associação de separadores. (I. pelo fundo ou pelo topo. 0 ∞ (I.2.9) MA x A = MT x T + MF xF . (I.11) η 1− η (I.16) (I. ou (I.2. Balanço no primeiro separador M1 = M1 + M1 . Em geral a eficiência de coleta é maior para as maiores partículas.18) (I. RF = MF / M2 = MF / M1 . Quanto da alimentação é retirado pelo fundo é dado pela relação RF = MF / MA .2. respectivamente com vazões mássicas MT. compreendendo de 5nm ate 300nm. (I. A Polymer Laboratories lançou recentemente um sistema que alcança a faixa de nonopartículas.2.Malvern é um dos produtores de sistemas automáticos para esta faixa de tamanhos.2.4 Balanços Materiais Consideremos uma corrente de particulados com distribuição de tamanhos conhecida que alimenta um sistema de separação por tamanhos.2.2.2.17) (I.20) M x =M x +M x . η (D ) = MF xF / MA x A . e produtos de topo T.19) (I. M2 = M1 .10) Note que a situação em que fA = fF = fT representa uma solução trivial.2. Conhecida uma expressão para a eficiência de coleta em função do diâmetro podemos calcular a eficiência média de coleta pela expressão: xF = η = ∫ η (D )x A (D ) dD. para a qual o sistema nada faz. A eficiência de coleta das partículas é definida pela relação entre o que sai pelo fundo sobre a alimentação.2. Com ela podemos escrever o balanço acima sob a forma: x A = (1 − RF ) x T + RF xF . 2. A A As soluções destas equações dão os seguintes resultados: η1 1 − η1 1 x1 = 1 x1 . relação entre abertura da malha e tamanho das partículas. ou o ângulo de sua inclinação.2. PENEIRAÇÃO Sistemas de peneiração podem ser empregados para produzir de 2 a 4 correntes de produtos. largura da área onde o material está sendo alimentado. 3. 8 . Usualmente as peneiras são calculadas para suportar 5g de aceleração. A capacidade das peneiras depende do seguinte: 1. inclinação da peneira. ou alta capacidade mesmo para materiais de difícil tratamento.2. 4. para uma peneiração suave e grandes tempos de residência. Este ajuste permite características de vibração diferentes. T 2 2 F RF 1 − RF η2 η1 1 1 − η2 η1 1 x A . e ativadas por um motor com excêntrico ajustável. vibração imposta à peneira.23) (I. 2. x1 = xA. T 2 2 RF R1 1 − RF R1 F F 2 xF = II. F A T RF 1 − R1 F 2 xF = (I.22) (I. Pode-se aumentar a capacidade da peneira aumentando a freqüência da vibração. x2 = xA .2 2 η2 (D ) = MF xF / M2 x 2 . Uma boa capacidade é alcançada pela “vibração circular” no plano vertical.2.24) η2 1 1 − η2 1 xF . x 2 = x .21) (I. Usualmente são fabricadas de aço carbono ou aço inoxidável. a mandíbula móvel se afasta e a carga desce. ou “Cominuição” referem-se a todas as técnicas pelas quais materiais sólidos são cortados ou quebrados em pedaços menores.2 Moagem Primária A moagem primária aplica-se diretamente ao material minerado. A redução de tamanho das matérias-primas minerais consiste de três fases: mineração moagem primaria ou britagem moagem secundaria ou moagem III. O material é comprimido entre uma superfície fixa e outra móvel. A mistura é então queimada para transformar-se no clinquer e este é novamente moído. Na produção de tintas diversos pigmentos são empregados. Pesquisa Google: britadores de mandibulas Britadores giratórios.III. As duas mandíbulas formam uma câmara na forma de V. Blocos de minérios são esmagados a tamanhos apropriados. Pesquisa Google: britadores de rolos Britadores de impacto Pesquisa Google: britadores de impacto Britadores de Mandíbulas Britadores de mandíbulas operam sob o princípio de compressão. No próximo movimento de abertura das mandíbulas o material moído desce para uma abertura mais 9 . e o produto obtido possui comumente cerca de 10mm. No movimento de retorno a mandíbula comprime o material e resulta a moagem. larga na parte superior.1 Introdução Os termos “redução de tamanho”. Na produção de cimento os materiais empregados como matéria prima são moídos até que a distribuição adequada de tamanhos de partículas seja obtida. e estreita na parte baixa. COMINUIÇÃO. A moagem se dá nesta câmara. A carga a ser moída é introduzida no topo. MOAGEM III. folhas de plásticos são cortadas em pequenos cubos. e é acionado por um excêntrico. A mandíbula móvel está fixa em um ponto. Britadores Para a moagem primária são empregados três classes de britadores: Britadores de mandíbulas. este deve ser eficientemente moído. Na produção de polpa de papel a madeira é feita em lascas de tamanho adequado para permitir um cozimento eficiente. Uma vez que a tinta recobre a superfície a ser pintada tão melhor quanto mais finamente moído estiver o pigmento. independentemente dos diferentes propósitos da redução. “moagem”. materiais sintéticos são moídos e transformados em pós. Pesquisa Google: britadores giratórios Britadores de rolos. O tamanho máximo difere substancialmente com o equipamento empregado. ou a qualquer outro material grosseiro e consiste de uma ou varias etapas de aplicação de pressão ou de impacto sobre o material com tamanho de partícula adequado para ser alimentado a um equipamento de moagem primaria. Quando o britador é acionado o cone gira em torno de seu eixo.5. Britadores de rolos são empregados para moagem fina. é o diâmetro médio do produto. vertical. Um catalogo da Metso Minerals Industries encontra-se no: http://www. é diâmetro médio da alimentação Dpprod. III. O material é comprimido entre o cone móvel e o cone fixo. mas pode possuir uma superfície de peneiramento. por rolamentos e o outro rolo é sustentado por molas.e.5 Consumo de Energia e Potencia para Redução de Tamanhos O custo da energia despendida na moagem é elevado. segundo a qual o trabalho é proporcional à criação de superfície. A abertura máxima determina o tamanho máximo de partícula que pode ser admitido. ⎝ Nesta equação Kr é a constante de Rittinger.1) ⎟. A relação de moagem situa-se entre e 3 e 10. há um consumo de energia ⎛ 1 dPm 1 ⎞ − Pm / m = K r ⎜ − ∼ Dp2 (III. a distância entre os rolos é ajustável. Dpa lim. Britador de impacto Britadores de impacto são usados para materiais friáveis ou maleáveis. ⎜ Dp ⎟ Dpa lim. O material é alimentado ao moinho e sua movimentação causada pela rotação do moinho provoca a moagem.metsominerals. Britador de Rolos Um britador de rolos consiste de dois rolos com superfície de aço com eixos horizontais entre os quais a moagem se dá. O espaço entre o cone e a parede da câmara decresce gradualmente. da velocidade de rotação dos martelos e do ajuste entre martelos e a carcaça. A cabeça de moagem na forma de um cone truncado está montada num eixo vertical excêntrico. 10 . O material a ser moído é alimentado no topo. semelhante ao moinho de bolas é utilizado. Moinho de bolas Pesquisa Google: moinhos de bolas Moinho de bastões III. ⎠ dDp prod. O eixo de um dos rolos é fixo à estrutura do britador. A razão de moagem de um britador de mandíbulas varia entre 3 e 7. operando numa câmara aberta. ou até a nanômetros.4 Moagem Autógena Na moagem autógena o material a ser moído tem a função de moer. Tipicamente um moinho de cilindro rotativo. enquanto que a mínima relaciona-se com o tamanho do produto. rotativo em forma de cone. O britador é frequentemente aberto no fundo. Impactos se sucedem continuamente. como nos britadores comuns. Depende do material a ser moído. Uma de suas características é que a moagem é baseada no impacto e não na pressão.3 Moagem Secundária Na britagem secundária o material é transformado em pós finos levados até a ordem de alguns micra.com/ III. O ajuste do britador. em séries rápidas. A relação de moagem é muito alta. Britadores Giratórios Os britadores giratórios possuem um elemento central. Para a moagem de m [kg / s] de matéria prima alimentada ao moinho. i. mas o agente da moagem é o próprio material a ser moído.estreita e o ciclo se repete. por conseqüência seu controle é importante. Assim o material não deixa o britador antes de estar suficientemente moído. A mais antiga relação proposta para o cálculo da energia gasta na moagem é a lei de Rittinger. atualmente necessários à nanotecnologia. 1.. A equação descreve a potência específica necessária para reduzir o tamanho de uma alimentação em que 80% passa pela mallha D80 . ⎛ Dp ⎞ dPm − Pm / m = K k ln ⎜ a lim. Esta parcela. ∼ Dp1 (III. quando a aceleração da partícula se anula: 0 = + ρp . ( ) (IV. tamanho e forma da partícula. é dada pela expressão de Arquimedes da forma −ρF Vpg ..é. ∆ρ = ρp .1 Movimento da Partícula Este capítulo se inicia com o estudo do movimento de uma partícula sólida de massa mp no seio de um fluido. que se anula quando a velocidade relativa entre fluido e partícula é nula. n é a normal unitária e o produto Tn nos dá a força por unidade de área.1. Com base na análise dimensional é possível estabelecer a seguinte definição do coeficiente de arraste: 1 = A p 2 ρFu2CD eu . o tamanho e a forma da partícula. Escreve-se: = u.1.ρF . da velocidade relativa. A lei de Bond que emprega um expoente entre os dois resultando em dependência com o inverso da raiz do diâmetro da partícula.ρF Vpg = + ∆ρVpg.A lei de Kick tem por base a suposição de que o trabalho para moer certa quantidade de sólido só depende da relação entre os tamanhos da alimentação e produto. ⎠ ⎝ onde Kk é a constante de Kick.5. u = v ∞ − vp .1. Será esta designada por . Sp Nesta T é o tensor tensão que atua em cada ponto da superfície da partícula. A ação do campo externo é dada pelo produto da massa vezes o campo gravitacional g.2) ( ) ( ) A parcela resistiva é função de diversas variáveis dentre as quais são citadas: a velocidade relativa.3) P / m = K bond ⎜ − 80 80 ⎜ Dprod Da lim ⎟ ⎝ ⎠ Esta lei foi especialmente desenvolvida para a determinação da potencia necessária à moagem em moinhos de bolas.4) O coeficiente de arraste assim definido é adimensional. DINÂMICA DA INTERAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO IV.3) onde Ap é a área projetada da partícula sobre um plano perpendicular ao vetor unitário na direção da velocidade relativa eu = u / u .1) mp ap = ∫ TndA + mpg. (IV. Tem-se então. i. que atua em cada ponto da superfície.A figura abaixo mostra o coeficiente de arraste para uma esfera e para um cilindro em função do número de Reynolds 11 . (IV. dinâmica. a um produto no a lim 80 qual 80% passa pela malha Dprod . sua orientação. a densidade e viscosidade do fluido. u = u . IV. O movimento é regido pela 2a lei de Newton que é escrita sob a forma: (IV. ρ.A p . µ. mas depende de diversos fatores incluindo propriedades físicas dos fluidos. ⎛ 1 ⎞ 1 ⎟ . oposta ao campo gravitacional.5. b) Uma força resistiva.2) ⎜ Dp ⎟ dDp prod. (III. A interação sólido-fluido pode ser decomposta em duas parcelas: a) uma ação estática representando o empuxo do fluido sobre a partícula. ⎟ . 1. (IV.1. mas importante é o da solução dada por Stokes.1. i.O gráfico mostra uma assintota.2 ) . (IV. Dpuρ ( ) Isto é CD = 24 / Re. (IV.43.2. com a forma: = 3πµDpu = 3πµDpueu .e.4) e (IV.5) Esta solução aplica-se quando as seguintes condições são válidas: a) partícula esférica.1. c) escoamento lento com aceleração desprezível. Re = µ para 5 * 102 ≤ Re ≤ 3 * 105 .6) πDp / 8 ρFu2CD = 3πµDpu ⇒ CD = 24 .1. e) partícula lisa. Por outro lado a definição do coeficiente de arraste. com a forma: 12 . é geral e válida para todo número de Reynolds.4). Em especial aplica-se para valores do número de Reynolds menores que 0.8) As duas assíntotas podem ser combinadas e expressas por uma equação geral. Para exemplificar estes efeitos vamos comparar as expressões (IV.5). simples.1. CD = 0. obtendo-se: µ 2 (IV.1. CD dada pela eq. ( ) IV.1 Regime de Stokes. Na região entre este valor e Re ≈ 107 há uma redução do valor do coeficiente de arraste causado pela redução da região de separação da camada limite. g) região infinita (longe de quaisquer outros sólidos). reta com inclinação logarítmica igual a -1.7) A expressão para o coeficiente de arraste inversamente proporcional ao número de Reynolds permanece sujeita às sete restrições enumeradas acima. de Newton e Intermediário Um caso especial. Regime de Newton Para altos valores do número de Reynolds verifica-se que o coeficiente de arraste atinge o valor assintótico. Regime de Stokes Sob qualquer desvio destas condições aplicam-se correções e assim torna-se necessário levantar cada uma das restrições listadas. f) partícula isolada.(IV.1. e uma segunda assintota pequenos valores do número de Reynolds (Re ≤ 0. b) regime laminar. Re = Dpuρ / µ. válida para Duρ . válida para todos os valores de Re. d) fluido newtoniano. 4) ρF v 2 t É importante ressaltar que o coeficiente de arraste depende da velocidade da partícula. (IV.2) força de arraste=peso-empucho.n ⎡⎛ 24 ⎞n n⎤ CD = ⎢⎜ + ( 0. (IV. Nesta equação há primeiramente um ajuste dos fatores de correção K1. Vp 2∆ρφDp g 2∆ρg Vp CD = . 1 A p 2 ρF v 2CD = ∆ρVp g t (IV.2 Velocidade Terminal Há uma solução da equação do movimento (IV. (IV.(IV.10) ⎢⎝ K1 Re ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ e se 0.2. Partimos da equação do movimento da partícula. 43 ) ⎥ . escrita sob a forma da eq. 1 IV. Inicialmente a velocidade da partícula é baixa e a ação do campo externo prevalece e a aceleração é positiva. como o campo gravitacional.85. Massarani.11) E a seguir o ajuste do expoente n na expressão (IV.1. Ela se reduz às seguintes expressões para os regimes de Stokes e o de Newton: 2 K ∆ρgφDp vt = 1 .5) 18 µ e vt = CD = 2∆ρφDp g 4 ∆ρgφDp . Uma correção aplicável a partículas para as quais está determinada sua esfericidade consiste na alteração das duas constantes que determinam as duas assíntotas. (IV.843log10 ( φ / 0.59φ.9 ≤ φ ≤ 1 ⇒ n = 3. e enquanto se acelera.1.2) para a qual a aceleração da partícula é nula.1. Tal situação costuma ocorrer.6) 13 .065 ) .9) ⎟ ⎝ Re ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ O ajuste desta expressão aos dados experimentais fornece como o melhor valor para o expoente n = 0.2. (IV. por exemplo.9.15 − 2. ⇒ CD = (IV.31 − 4. K1 = 0.2. sempre que a partícula parte do repouso sob a ação de um campo externo g.2. Escreve-se: 1 ⎡⎛ 24 ⎞n ⎤n n CD = ⎢⎜ ⎟ + K 2 ⎥ . para o regime de Stokes.2.1. 3K 2 ρF (IV. ≈ φDp . A velocidade da partícula é chamada de “velocidade terminal”. Até aqui consideramos apenas as expressões do coeficiente de arraste para partículas esféricas.63.3) 2 ρF v t A p Ap ρF v 2 t .9 ⇒ n = 0.2): 2 1 mp ap = − A p 2 ρF v p CD e g + ∆ρVp ge g . e K 2 a partir de dados com partículas com esfericidade conhecidas.1) Os termos à direita na equação têm sinais opostos. e que portanto a fórmula acima não é conveniente para o cálculo da velocidade terminal. sua velocidade aumenta até que a força de arraste se iguala ao efeito do campo externo na forma de peso – empuxo. se 0.10) resultando n = 0.88φ.85 ≤ φ ≤ 1.2. Com a aceleração o termo de araste aumenta até o instante no qual a aceleração se anula.1. Esta forma de abordagem do ajuste é devida ao prof. a primeira restrição presente na lista. (IV. Como veremos ela é de grande utilidade.6 ≤ φ ≤ 0. para o regime de Newton. e K 2 = 5. 0.1. Este valor permite que D vρ Re = p t F seja calculado e se o resultado for menor que 0.75φ. Há também que se considerar o regime intermediário para o qual não há uma fórmula explicita para a velocidade terminal. Por exemplo v t versus viscosidade.7 − 1.8. No caso contrário é necessário recalcular a velocidade partindo agora do número de Reynolds.9 ⇒ n = 0.7) 3 µ2 Os dados necessários á solução do problema do cálculo da velocidade terminal permitem o cálculo do número de Kármán. ou qualquer outro método numérico pode ser empregado. Qual das duas expressões deve ser usada? São conhecidos os seguintes valores: Dp . e em função do diâmetro da partícula. A solução por tentativa e erro. ρF .2.2. 14 .Note a diferença de comportamento da velocidade terminal em função das variáveis presentes nas duas expressões. (IV. ou da densidade do fluido.10) por Re2.II. no seguinte esquema: eq.10 eq. se 0. e µ calcular o tamanho da partícula que sedimenta com a velocidade v t . o que exige uma solução numérica por tentativas ou outro método numérico. Por exemplo partindo da suposição de que o número de Reynolds é inferior a 0. Esta expressão permite a determinação da velocidade terminal diretamente em função dos dados do problema. ∆ρ.: 3 4 ρF ∆ρgφDp Ka2 = CD Re2 = .8) CD Re2 ⎥ ⎬ ⎨1 + ⎢ 24 ⎦ ⎪ ⎪ ⎣ ⎩ ⎭ e se 0. Isto é dados v t . φ.(IV. e µ .5 ⎤ ⎪ ⎪ 1 2 (IV.2 calcula-se a velocidade terminal empregando-se a eq. Suponha que se deseje calcular a velocidade terminal de uma determinada partícula imersa num fluido.5 ⎤ ⎪ ⎪ ⎡ K1K 2 CD Re2 ⎥ ⎬ ⎨1 + ⎢ ⎦ ⎪ ⎪ ⎣ 24 ⎩ ⎭ ( ) ( ) ( ) ( ) IV.5 ⎫ 0.II.5 ⎫ 0.9) vT = . φ.8 ≤ φ ≤ 1 ⇒ n = 2.2.5). ρF . n 1/ n ρf Dp ⎧ 0. a priori não se conhece o regime em que a velocidade terminal se estabelece.e. Entretanto nota-se que a relação CD / Re não depende do diâmetro. Por outro lado a multiplicação da expressão (IV.2.2. i. por conseguinte o resultado obtido esta correto. e.2 fica validada a hipótese do µ regime de Stokes e. e subseqüente inversão para o número de Reynolds conduz à expressão K1 / 24 CdRe2 Re = .3 Diâmetro de Sedimentação O problema inverso ao do cálculo da velocidade terminal é o da determinação do tamanho de partícula que sedimenta com determinada velocidade.6 ≤ φ ≤ 0.1. em conseqüência o número de Reynolds não pode ser calculado. 1/ n n ⎧ ⎡ K K 0. Novamente tanto CD quanto Re dependem simultaneamente da velocidade e do diâmetro. K1 / 24 CdRe2 µ (IV.1. ∆ρ.7 Re ⎯⎯⎯⎯ CD ⎯⎯⎯⎯ v t ⎯⎯ Re → → → ↑ ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ↓ ⎯ Um método direto para o cálculo da velocidade terminal foi desenvolvido por Massarani tendo por base o fato do número de Kármán ser independente da velocidade. 1.4 ⎯⎯⎯ CD ⎯⎯⎯ → → µ eq.II.2. CD Re2 ⎯⎯⎯⎯ v t eq.0865λ 3 − 1. supondo que Dp e do número de Reynolds.1.3.II.5 3.5λ 2 f = 1.4 Efeito de Parede A queda de partículas no interior de tubos.e v t → calcular . et al.75857λ 5 Isaac Newton Munroe (1889) Di Felice (1996) (IV. λ = Dp / Dt As seguintes expressões são encontradas na literatura: 1 − 2. ou entre placas.2) Dt ⎦ ⎣ A velocidade terminal é corrigida calculando-se a relação f = v t / ( v t )∞ entre a velocidade terminal sob o efeito das paredes com a velocidade terminal no fluido infinito.3.4) (IV. CD / Re ⎯⎯⎯⎯ Dp 1. Powder Technology 129 (2003) 53 – 58. (IV.10 II.33λ ⎠ Uma referência importante sobre este assunto é Chhabra. IV. e v t → calcular Dp . dadas Dp .4.4. ⎡ 9D ⎛ 1 1 ⎞ ⎤ = −3πµDp ⎢1 + p ⎜ + ⎟ ⎥ vp . α − 0.7) ⎟ . (IV.7068λ 5 + 0.4.105λ + 2.5) (IV. (IV.85 = 0.4.1.Re ) .72603λ 6 Haberman e Sayre1958 f = 1 − 0. D ⎤ ⎡ = −3πµDp ⎢1 + 2.2∆ρµφg .1) 2 ρF v 3 t A divisão da eq. (IV.9 → 2.4.3) (IV. 15 . ou ainda na proximidade de uma ou mais paredes planas já foi suficientemente estudada. ρF . Re = Dp v t ρF O resumo destas correlações sobre a dinâmica de partículas isométricas é dado na seguinte tabela. esta relação é uma função de Dt f = v t / ( v t )∞ = f ( λ.4.3.6) f = 1 − λ 2 1 − 0. µ.4.5 α ( )( ) 0.1) 32 ⎝ h1 h2 ⎠ ⎦ ⎣ No interior de tubos com diâmetro Dt.λ1. dadas . Alguns exemplos são dados: Entre duas placas paralelas às distancias l1 e l2.3 − α ⎛ 1− λ ⎞ f =⎜ (IV.2) Dp = ⎥ +⎢ ⎥ ⎬ ⎨⎢ ρf v t ⎪ ⎢ K1 ( CD / Re ) ⎥ ⎢ ( CD / Re ) ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭ ⎩ A síntese dos problemas. e Dp → calcular v t .10) pelo número de Reynolds e solução da expressão resultante para o número de Reynolds dá CD / Re = n n ⎧ ⎤ 2 ⎡ K2 ⎤ ⎫ µ ⎪⎡ 24 ⎪ (IV. dadas . relacionados ao movimento de partículas isométricas é: dadas as propriedades físicas ρp .2 → 3. em regimes permanentes. e a esfericidade n 1 II.1 p ⎥ vp .1Re∞ ⎝ 1 − 0. 6 ≤ φ ≤ 0.62 − 2. t ) dV. Prof. COPPE/UFRJ (1984).4.3 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ 1/ n ( ) se 0. n 1 se 0.9 ⇒ n = 0. então verifica se a relação: ε s + ε = 1.5 12 n ⎡⎛ 24 ⎞n ⎤n n CD = ⎢⎜ ⎟ + K2 ⎥ ⎢⎝ K1 Re ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ Re = 1 se 0. s (IV. Re = Dp v t ρ / µ.9) Vf ( V ) = ∫ ε ( x. n = 3.Variável Assíntota para Re<0.4φ ) .2 a ser estimada CD CD = 24 / K1 Re.8. n = 2.8) De modo análogo define-se a concentração volumétrica de fluido. É definida pela expressão Vs ( V ) = V ∫ ε ( x.4.10) 16 .5 n n ⎧⎡ ⎤ 2 ⎡ K2 ⎤ ⎫ 24 ⎪ ⎪ Re = ⎨ ⎢ ⎥ +⎢ ⎥ ⎬ ⎪ ⎢ K1 ( CD / Re ) ⎥ ⎢ ( CD / Re ) ⎥ ⎪ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭ ⎩⎣ K10.75φ 0.6 ≤ φ ≤ 0.15 − 2.8. Esta é definida pelo volume total das partículas sólidas numa determinada região do espaço V. também denominada de porosidade: (IV.8 ≤ φ ≤ 1.5 ⎪ 1 2 CD Re2 ⎨1 + ⎢ ⎪ ⎣ 24 ⎩ ( ) ⎤ ⎥ ⎦ n se 0. LSP PEQ.65φ Ref. Giulio Massarani: “Novas Correlações para a Dinâmica de Partículas Isométricas”. (IV.9 ≤ φ ≤ 1.31 − 4.88φ. partículas sólidas e fluido.8 ≤ φ ≤ 1.t ) dV.843log (15.9 se 0.5 se 0. n = 3.7 − 1. V Se o espaço é integralmente ocupado pelas duas espécies.5 K1 / 24 CdRe2 ⎧ ⎡ K K 0. n = 1. Relatório n0 4/84.5 Efeito da Concentração de Partículas A concentração volumétrica das partículas é a principal variável determinante do efeito de população.6 ≤ φ ≤ 0. Desvio máximo s% 12 6 Re ( v t ) K1 CD Re2 24 ( ) Re (Dp ) Assíntota para Re>3x103 K2 ⎡ ⎤ 24 ⎢ ⎥ ⎢ K1 ( CD / Re ) ⎥ ⎣ ⎦ Correlação 0. n = 1.5φ ⎡ CD Re2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ K2 ⎦ K2 ( CD / Re ) 0.4. K 2 = 5. IV. onde γ ef = 9 Por exemplo no caso de um fluido que se ajusta à lei da potência efetiva será dada por: τ ( γ ) = κ γ n−1 γ .5ε s ) . v t / v t∞ = 1/ (1 + 2. ε2 φDp conforme dados experimentais de Massarani.03 para 0.1).4.2 (IV.1) . é a taxa de cisalhamento. µ ef = τ ( γ ef ) / γ ef .11) Este trabalho foi complementado por Richardson e Zaki com base na seguinte expressão: v t / v t∞ = f (Re∞ . a viscosidade (IV.(IV. ε ) = εn .65 para Re∞ ≤ 0.5. (IV.2 ≤ Re∞ ≤ 1. substituindo-se a viscosidade pela viscosidade efetiva µef . (IV.5. 17 .45Re∞0.45Re∞0. onde γ = dv x = taxa de cisalhamento.1 para 1 ≤ Re∞ ≤ 500.4.13) − n = 4. IV. em seu estudo sobre o movimento Browniano quem determinou a seguinte relação entre a velocidade terminal reduzida pelo efeito de população e a velocidade terminal à diluição infinita.Foi Einstein.12) n = 4.6 Partículas em Fluidos não-Newtonianos O movimento de partículas no seio de um fluido não-Newtoniano é determinado pelas equações apresentadas nos itens anteriores.39 para Re∞ > 500.4. Em todas as equações onde está presente a viscosidade do fluido.5. n = 2. esta deve ser substituída pela viscosidade efetiva µef dada pela eq. definida pela relação entre a tensão de cisalhamento τ = τ ( γ ) . dy τ ( γ ) é a curva material do fluido com a qual define-se a viscosidade efetiva: 1− ε v t (IV. − n = 4.2) 1− ε v t µ ef = κ 9 2 ε φDp n −1 . V. Óxido de Zinco. u = Q / (BH) . As principais finalidades são: • Controle de poluição. ou de outros gases de processo.1 Câmara de Poeira A Câmara de poeira é simplesmente uma caixa suficientemente ampla de modo a reduzir a velocidade do fluido a um valor que permita a sedimentação das partículas.3) Partículas menores serão recolhidas com eficiência menor.0005 µm Partículas típicas CO2 negro de fumo 0. e o comprimento da caixa é L. (V. Negro de fumo. • Coleta de produtos como Leite em pó.01 µm a 0. prevenção de acidentes. t queda = h / v t ≤ t resid. 18 . Café solúvel.e. e que caem por ação do campo gravitacional com velocidade v y = v t .01 µm a 2 µm nuvens 2 µm a 50 µm chuva 100 µm a 5000 µm 0. redução de risco à saúde: • Produção de ar. = L / u.3 µm a 20 µm A análise tem por base a velocidade terminal estudada no capítulo anterior. tanto para a atmosfera quanto para corpos de água serão analisados agora. (V. Considerando que altura h < H .5 µm pigmentos 0. Uma partícula admitida na posição h a partir da base da caixa será depositada no fundo da caixa se o seu tempo de queda for menor que seu tempo de residência. • Segurança industrial.1.V. A velocidade média do fluido é conhecida em função da vazão. e partículas admitidas a uma ⎡ ⎛ h ⎞⎤ uh terão eficiência de coleta η ⎢Dp ⎜ u ⎟ ⎥ = h / H.05 µm bactérias 0.1. v t ≥ uH / L ⇒ η = 1.: v x = u . é justificável supor que a queda se dê no regime de Stokes.1.005 µm a 0. (V.1 µm a 5 µm vírus 0.2) Vale dizer que serão integralmente coletadas todas as partículas com velocidade terminal maior que uH / L . DECANTAÇÃO E SEPARAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO Alguns sistemas empregados para a coleta de poeira visando a redução da emissão de particulados. sem deslizamento i.001 µm a 1 µm Líquidos na atmosfera neblina 0. Tamanho comum das partículas Sólidos na atmosfera –poeiras de 1 µm a 200 µm fumaças de 0. O fluido contendo partículas é admitido através da face de altura H e largura B.1) Admite-se que as partículas sejam arrastadas pelo fluido. com v t = L ⎣ ⎝ L ⎠⎦ poeiras possuem pequeno diâmetro. 2 ⎜ Dpc ⎟ ⎝ ⎠ 2 (V.1. (V. A vazão mássica de corante é de10 kg/hr. 19 .1. (diâmetro de corte ou D50).1. Isto é: para η = 0. ∆ρgK1 Com o auxílio da expressão para a eficiência.1. X(50)=40%. Estão grupados e 3 classes: alta eficiência. usualmente substituída por uma expressão. media eficiência.9 m3/s. V.vt = 2 ∆ρgDpK1 18µ = uh uH h uH = = η. Todas as dimensões listadas estão normalizadas pelo diâmetro do corpo do ciclone. para Dp > 2Dpc .1. Fazendo η = 0. L L H L (V.1.(V.4) Ou seja: 2 ⎧ L ∆ρgDpK1 ⎪ ⎪ uH 18µ η=⎨ ⎪1 ⎪ ⎩ se η ≤ 1.1.5)e resolvendo para o diâmetro obtêm-se: 9µuH / L 9µQ Dpc = = .5) podemos escrever (V.8) Esta expressão para a eficiência de coleta de uma câmara de poeira é.5 na eq. contendo um corante. X(80)=70%. onde u = Q / BH. para Dp ≤ 2Dpc . Q = 0. X(120)=100%. X(30)=20%. e multi. eq.7) 1⎛ D ⎞ η = ⎜ p ⎟ . ρp = 1500kg / m3 na ( ) faixa 5µm ≤ Dp ≤ 120µm com a seguinte distribuição cumulativa: X(15)=10%.9) Exercício Dados: Vazão de ar a 1atm e 30C. X(100)=90%.2 Projetos de Ciclones Industriai Configurações padronizadas de ciclones industriais para a remoção de particulados estão disponíveis como resultados de uma compilação de resultados experimentais. ∆ρgK1 (V. contínua e diferenciável com a forma: (D / D ) η= 1 + (D / D ) 2 p pc p pc 2 . e η = 1.(V.1.5) Diâmetro de corte é definido como aquele para o qual a eficiência de coleta é de 50%. A tabela abaixo lista alguns dos projetos padronizados.5 Dp = Dpc = D50 . ∆ρgK1 BL∆ρgK1 Tamanho da menor partícula coletada com 100% de eficiência: 18µuH / L Dpm = = 2Dpc .propósito.6) (V. 18µuH / L se Dp > . de base empírica. Projetar uma câmara de poeira para recuperar 95% do corante. 33 3. B → Hc. 2 g → v F / ( Dc / 2 ) .208 0.5 1.a s Lc Hc Bc Descrição Diâmetro do corpo Altura da admissão Comprimento da saída Diâmetro da saída de gás Altura do corpo cilíndrico Altura Total Diâmetro da saída do pó Ka=a/D =b/D Ks=S/D KH=H/D H Kb=B/D Stairmand 1 0. baseado na suposição de escoamento empistonado. L → πNcDc . ⎛ ⎞ ⎛ 9µQ ⎞ 9µv FBcHc 9µBc Dpc = ⎜ .5 0.9 0.375 Swift 1 0.5 0. b Bc.17 0. 2 (Dp / Dpc ) η= (V.4 3.2.44 0. sem mistura axial ou radial.Alta eficiência Símbolo Dc.5 0.Modelo de Lapple O primeiro modelo foi desenvolvido por Lapple.25 0.25 0.588 1.1) ⎟ = ⎟ =⎜ 2 ⎜ H πN D ∆ρv / (D / 2 ) ⎟ 2π∆ρNc v F ⎝ BL∆ρg ⎠ c c c F c ⎝ ⎠ Nesta expressão Nc é o número efetivo de voltas que o fluido dá desde a admissão até o centro do ciclone.6 1. (V.5 Eficiência de Coleta .2 0.75 0.21 0.2.2) 2 1 + (Dp / Dpc ) 0.5 0. D Hc. Para o cálculo da eficiência calcula-se primeiramente o diâmetro de corte com base no seguinte argumento de transposição dos resultados da câmara de poeira: H → Bc.25 Multi-propósito Swift 1 0.4 Mêdia eficiência Shephard & Lapple 1 0.5 20 .625 2 4 0.5 1.5 4 0.75 3.4 Peterson & Whitby 1 0583 0. Note que a eficiência cresce com a velocidade do fluido na entrada. sendo de 15 m / s a velocidade usualmente recomendada. e $ o custo da energia elétrica.5 / 2 ) ≈ 900 m / s2 ∼ 90g′s . c) com estes resultados é possível calcular a eficiência média de coleta.81 − 0. Observe a expressão que determina o diâmetro do ciclone. Dp. distribuição de tamanhos de partículas. 1.i . A queda de pressão pode ser calculada por: 2 2 1 ∆p = 2 βρF v F = 0. Dc = 8Q / v F . o custo de bombeamento é C = Pv $ . e para um ciclone de 0. pode ser calculado. ⇒ Dc = ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⇒ o diâmetro do ciclone ⎝ v F ⎠ ⎝ 15 ⎠ e todas as demais dimensões do ciclone estão determinas. x (Dp ) Seqüência de cálculo ⎛ 8Q ⎞ ⎛ 8Q ⎞ 2 a) arbitrar v F = 15 m / s . Estabelece-se um balanço entre: ganhos devidos ao aumento de eficiência.min ∫ x (D ) η (D p p / Dpc ) dDp ≈ Dp.suspensão de partícula e pouco significativa.max Dp. Para o projeto são dados: Q ρp . ρF . µ a vazão de gás m3/s. e dos dois parâmetros da distribuição n. (V. então a eficiência média pode se calculada pela expressão: 1.min ∑ x (D ) η (D p. e alta eficiência depende da alta velocidade o aumento de eficiência é acompanhado por um aumento da queda de pressão. e) os valores obtidos para a eficiência média e para a perda de carga permitem a avaliação econômica do custo total e alteração do valor para a velocidade vF empregada.max η= Dp. 2 2 1 d) cálculo da perda de carga ∆p = 2 ρF v FNH = 0. Perda de Carga Como o funcionamento do ciclone depende da velocidade do fluido.5) η= D′ / Dpc . propriedades físicas. que se traduz em custo operacional. e Nc = 5 é um valor conservativo empregado com o propósito de dimensionamento. quando então a re . e da perda de carga.i p. A velocidade recomendada situa-se na faixa 6 m / s ≤ vF ≤ 21m / s .Nc é determinado experimentalmente e situa-se na faixa 5 ≤ Nc ≤ 10 .068ρF v F . e para um ciclone Lapple bem operado.332n + D′ / Dpc ( ) que só depende de Dpc.118 + n (V. versus perdas com o consuma de energia. a eficiência de coleta associada ao 2π∆ρNc v F tamanho das diferentes partículas.3) O valor apresentado é o empregado para o ciclone Lapple.5m de diâmetro 2 tem-se um campo (15 ) / ( 0. e D´. 9µBc b) Dpc = . e também.4) Se a distribuição de tamanhos das partículas segue a distribuição de Weibull a dois parâmetros. e por conseqüência o campo centrifugo 21 ( ) .2. Aumento da velocidade traz como conseqüência o aumento da eficiência. Para este valor. Fatores de Projeto.i / Dpc ) ∆Dp. (V. A potencia do ventilador é Pv = Q∆p . A = BcHc = Dc / 8 .11n 0.068ρF v F . Grandes vazões determinam grandes ciclones Q ↑⇒ Dc ↑ .2.2. Por outro lado a perda de carga é proporcional ao quadrado desta velocidade. 3. Do diâmetro do tubo de saída. em especial na vazão de alimentação e na concentração de sólidos.20 0. d) separação de líquidos imiscíveis.039 0. (V. e a eficiência de coleta aumenta.3. b) concentração de lamas. Acresce os problemas de abrasão e a formação de incrustações.8 (1 − ε s ) ⎤ 2 ⎣ ⎦ A razão de líquido pode ser estimada pela seguinte relação: C RL = B [Du / Dc ] . (V.133 0. e baixo custo operacional. fáceis de instalar. baixo custo de manutenção.5. A distribuição granulométrica se ajusta à de Weibull com: X (Dp ) = 1 − exp − (Dp / D′ ) .1) ⎥ f ( RL ) g ( ε s ) .3) 1 .3 2.5) exp ( 5Dp / Dpc ) + 146 22 1 . baratos. Dentre suas vantagens inclui-se os fatos de serem simples. Três tipos de hidrociclones disponíveis no mercado têm suas proporções listadas na tabela abaixo Di/Dc Do/Dc l/Dc L/Dc Np A B C K β θ o 0. e uma vez instalados apresentam forte dependência da eficiência nas variáveis de projeto.2.3.035cp . ⎡ 4. Diâmetro de corte Segundo Massarani o diâmetro de é dado pela seguinte expressão: ⎡ µDc ⎤ 2 Dp / Dpc = K ⎢ (V.00 20 Bradley 0. ⎣ Q∆ρ ⎦ 1 onde f (RL ) = .73 145 4.3. para tratar 100 m3/min de gás com cinzas de carvão ρp = 2300kg / m3 . Testando o caso de 2 ciclones Dc fica dividido por 2. Há um grande número de configurações para arranjos de hidrociclones em paralelo.323 1.34 0.134 1. Adicione-se o fato de serem pequenos em relação a outros separadores.8 (1 − ε s )2 − 3.85 9o 0.63 7500 l altura da parte cilíndrica.4) Eficiência de coleta A expressão empregada para o cálculo da eficiência de coleta de partículas é puramente empírica e tem a forma: exp ( 5Dp / Dpc ) − 1 η′ (Dp / Dpc ) = .33 6. D′ = 37. (V. n { } (V. L altura total.2) 1 + ARL 1 g ( εs ) = (V.443kg / m3 .73 55.6) IV. µ = 0. Mantida a mesma velocidade a perda de carga não é alterada.28 0.3. θ ângulo do cone. Di diâmetro do tubo de admissão.3.016 0. Exercício Projetar uma bateria de ciclones Lapple e o compressor. Neste caso é recomendável a divisão da vazão total por dois ou mais ciclones em paralelo. com eficiência superior a 90%.40 5.76 1200 Rietema 0.3 Hidrociclones Hidrociclones são empregados para uma grande faixa de aplicações dentre as quais citase: a) clarificação de líquidos com baixa concentração de sólidos. Em contrapartida são inflexíveis.2 v F / (Dc / 2 ) torna-se pequeno e ineficaz. c) classificação de sólidos. ρF = 0. n = 1. 322n + D′ / Dpc ( ) Rietema 5x103 ≤ Re ≤ 50x103 X (Dp ) = 1 − exp − (Dp / D′ ) .n )η′ (Dp .7) η′ = D′ / Dpc . onde Q é a vazão total e N o número de ciclones em paralelo. com eficiência superior a 90%.5cp . contidos no interior de um vaso de pressão.3.3. 1 2 (V. Tem-se: Q / N = π / 4Dc v c . e de pequeno diâmetro para boa eficiência é muito mais crítica. D′ = 37. Convêm ressaltar que a questão levantada a respeito da necessidade de se ter hidrociclones em paralelo. estados de agregação.3. 0 ∞ (V. n { } (V.3. Uma vez que os hidrociclones operam obrigatoriamente com uma vazão de fundo. são mostrados equipamentos com mais de 50 hidrociclones que operam em paralelo.81 − 0. composições.D′.8) A queda de pressão é calculada por uma expressão similar à empregada para ciclones. e queda de pressão ∆p ≤ 3x105 Pa . Raramente são comercializados no estado natural e necessitam de um beneficiamento. 2 na qual β está listado na tabela acima. etc.3. hipótese escreve-se para a eficiência média: Esta é uma eficiência reduzida ao efeito do campo centrífugo. e que esta vazão aporta sólidos.3. 1. para tratar 200 m3/hr de uma suspensão de um sal insoluvel em água ρp = 3500kg / m3 .11n 0. ρF = 1000kg / m3 . µ = 1 . n = 1. Re = Dc v c ρF / µ .então o efeito centrífugo se dá apenas sobre a vazão Q (1 − RL ) . A distribuição granulométrica se ajusta à de Weibull com: O integrando desta equação.10) Bradley 3x103 ≤ Re ≤ 20 x103 Exercício Projetar uma bateria de hidrociclones Rietema e Bradley e o sistema de bombeamento.3.9) ∆p = β ρF v F .118 + n (V. A especificação da velocidade do fluido nos hidrociclones é dada em função do número de 2 Reynolds.11) VI INTRODUÇÃO AO BENEFICIAMENTO DE MINÉRIOS Minérios são distribuídos na crosta terrestre em diversas constituições. No seguinte endereço http://www.5. De acordo com esta η = (1 − RL ) ∫ x (Dp .asp?t=ProductPage&ProductID=71.com/Content.natcogroup. para a distribuição de Weibull pode ser estimado pelo seguinte resultado: 1 .6) η = (1 − RL ) η′ + RL (V. e: (V. dada por QRL . Algumas das operações do tratamento de minérios são listadas a seguir: Amostragem Caracterização Mineralógica de Minérios Cominuição Classificação e Peneiração Elutriaçao Separação em Meio Denso Separação Magnética e Eletrostática 23 . da qual é subtraída o efeito do transporte de sólidos carreados pela vazão de fundo.Dpc ) dDp + RL . eqs. (D1. preferencialmente. Partículas cujas velocidades terminais são menores que a velocidade da corrente de fluido são por este arrastadas.2. Isto se dá quando a velocidade terminal da menor partícula do material pesado é maior que a velocidade terminal da maior partícula da ganga. onde há uma corrente ascendente de um fluido. A velocidade terminal das diferentes partículas é a propriedade básica responsável pela separação e/ou beneficiamento.(IV. I. o produto de fundo. consideremos em primeiro lugar o problema de separar um conjunto de partículas em duas faixas de tamanhos. Este pode ser água ou ar. . Suporemos conhecidas suas densidades ρP . para todo valor de Dp. O que se deseja é obter a separação completa entre as duas espécies. enquanto que todas as partículas cujas velocidades terminais superam a velocidade do fluido se sedimentam.D2 )… (DN .Flotação Flotação em Coluna Floculação Separação Sólido-Líquido Briquetagem Processos para o Tratamento de Efluentes na Mineração Reciclagem Simulação de Usinas de Beneficiamento: Princípios Básicos Sistemas Especialistas no Processamento de Minérios Elaboração e Avaliação Econômica de Projetos de Mineração A cominuição já foi tratada no capítulo III. Há portanto uma corrente de alimentação dos sólidos e duas correntes de saída. e (IV.. situa-se.. ou para o beneficiamento de minérios em razão da diferença entre as densidades das partículas que compõe o minério. Os problemas relacionados ao beneficiamento de minérios são mais interessantes.e.DN. A liberação das duas espécies se processa por moagem suficientemente fina.1 Elutriaçao A elutriação que aqui trataremos é uma operação que pode ser empregada para separar partículas por faixas de tamanhos. 34 do livro texto. e diâmetros na faixa Dm ≤ Dp ≤ DM e deseja-se separar em um número de frações com diâmetros intermediários (Dm . composto principalmente das partículas mais pesadas e a corrente de topo composta principalmente das partículas mais leves. Usualmente todo minério compõe-se de um mineral com valor econômico em mistura com uma ganga imprestável que deve ser descartada. Para uma separação em batelada. DN. Exercício Resolva o problema no 1. conduzindo a um produto com diâmetros na faixa Dm ≤ Dp ≤ DM . Pode acontecer que não existam para. pg.. Tem-se: Um conjunto de partículas com densidade ρp. não existem partículas equitombantes na mistura dos dois materiais. arrasta as partículas mais leves enquanto que as mais pesadas se sedimentam. Assim. Considere um minério composto de uma mistura de um mineral com valor econômico agregado a uma ganga sem valor. A elutriação emprega uma corrente ascendente de um fluido que.. e agora trataremos a elutriação. acima da curva correspondente à ganga. Tem-se: 24 . que denominaremos de minério. Para tanto basta calcular as velocidades terminais correspondentes aos diâmetros D1 .9). e utilizar elutriadores com correstes de fluido correspondentes a estas velocidades. partículas com idênticas velocidades terminais. os dois materiais.2) é possível calcular todos os parâmetros de desempenho de um elutriador. Uma corrente de partículas sólidas vai ter ao elutriador. Com o emprego das equações que permitem o cálculo da velocidade terminal. e ρL . um único elutriador é suficiente fazendo-o operar com velocidades correspondentes às velocidades terminais das partículas D1. A curva da velocidade terminal do material pesado.DM ) .D1 ) . VI. onde ρP > ρL . e do diâmetro de sedimentação.3. É um processo para a concentração de um mineral de valor econômico contido num minério.1) t t Neste caso a separação completa entre as duas espécies pode ser realizada em um único elutriador operando com uma corrente ascendente de fluido com velocidade 1 (VI.5 0 0 0. um dos dois conterá uma mistura de minério e ganga.1. Ou produto de fundo ou o produto de fundo. t t ⎦ 2⎣ Esta velocidade é maior que a de todas as partículas da ganga.003 0. leve pesado VI. A espuma é retirada.e. misturado com água.5 2 vt(cm/s) 1. agentes espumantes.2) u = Q / A = ⎡ v P (Dm ) + v L (DM ) ⎤ .3) t t Não existe uma velocidade do fluido que determine a separação completa dos dois materiais. (VI. e sobem para a superfície formando uma camada de espuma.001 0.: v P (Dm ) < v L (DM ) .004 0.v P (Dm ) > v L (DM ) .2 Flotação A flotação é hoje o processo dominante de beneficiamento de minérios. e o mineral é separado da água e os agentes químicos adicionados são removidos restando um concentrado do mineral limpo. O minério bruto é moído a um pó fino. e menor que a de todas as partículas do minério.002 0. i.1). Casos mais complexos ocorrem quando existem partículas equitombantes. 25 .1.1. Esta situação é retratada na figura abaixo na qual se verifica que a separação completa pode ser obtida com a passagem por uma única peneira.1. (VI.005 Dp (m) Exercício Determine a melhor dimensão de malha de peneira capaz de produzir duas correntes de partículas inteiramente separáveis por elutriação. Toda ganga é arrastada para o topo. e coletores. A ganga sedimenta no fundo do equipamento. e todo minério afunda e e sai na corrente de fundo. Neste caso inverte-se a desigualdade (VI.5 1 0. as partículas do mineral se aderem às bolhas de ar. Velocidade Terminal 2. Quando ar é bombeado através da mistura. O dimensionamento de um sistema de flotação contínuo depende da determinação experimental dos valores destes parâmetros. A constante k é linearmente dependente do fluxo de área superficial das bolhas. principalmente para os minerais sulfetados são diferentes misturas de: Ditiofosfatos.pitt.. de mistura perfeita.Um bom texto sobre o processo da flotação..m-3 água de bolhas por m3 (Wh/m-3) (min ) Flotação Auxiliada (por adição de óleo) Flotação Mecanica (por espuma) Ar Dissolvido (clarificação) 100-400 2-5 mm 5-10 5-15 10.J. A relação é usualmente expressa como k =℘Sb .C. tamanho de bolha.B. 2. Sb. e de eucalipto polipropileno. tiocarbamato. esfarelita (ZnS).engr.000 0. Alguns dos agentes coletores.1) ⎣ ⎦ onde Rmax é a máxima recuperação possível. Minerals Engineering 16 (2003) 347–352. Processo de Fluxo de ar Tamanho Consumo de energia Tempo de retenção Flotação Nl. Minerals Engineering 17 (2004) 81–85”. L. e baseia-se no tempo de residência. e onde b um deslocamento da origem de t. certos álcoois alifáticos com de 5 a 8 átomos de carbono. óleo de pinho. Bergh. E. 3.2. da suspensão que se divide em tanques de flotação arranjados em serie e paralelo. e Jg é o fluxo de gás e Db o diâmetro médio das bolhas. Uma boa referencia sobre este assunto encontra-se em “Flotation scale up: use of separability curves q”. etc. J. pirita (FeS) Minerios de cobre Cobre e molibdênio Cobre/chumbo/zinco Ouro e pirita Cobre e níquel Prata Cobre e cobalto Platina Carvão mineral Agentes espumante podem ser citados incluindo. em série. contem algumas expressões para os parâmetros presentes nestas equações. e polietileno glicois de baixo peso molecular. Sb = 6Jg / Db . flotação mecânica. São três as tecnologias de flotação: 1.pdf Exemplos de minérios beneficiados por flotação são listados a seguir: Sulfetos complexos: calcopirita (CuFeS2). incluindo alguns aspectos de sua físicoquímica está disponível em: http://www.2-2 mm 60-120 4-16 15-50 40-70 µm 40-80 20-40 (excluindo a floculação) Cinética da flotação A recuperação do mineral desejado em uma flotação em batelada é dada em função do tempo por uma expressão do tipo: R = Rmax ⎡1 − exp ( −k ( t + b ) ) ⎤ . (VI.edu/chemical/undergrad/lab_manuals/flotation. que inclui diferentes efeitos com a hidrofobicidade. Aguilera. onde ℘ é um “fator de flotabilidade”. galena (PbS). idênticos. 26 . auxiliada. A referência: “Estimation of flotation kinetic parameters by considering interactions of the operating variables”. Çilek. com um tempo total de residência τ = NVF / QTOTAL . Para um arranjo de N flotadores. mercaptobenzotiazol. flotação por ar dissolvido. e k é uma constante de tempo de primeira ordem. Yianatos. Alguns dados sobre estes processos estão colecionados na tabela. álcoois cíclicos.G. que retirado da célula. (VI. O agitador garante.2. simultaneamente a manutenção do sólido em suspensão e a dispersão do ar em pequenas bolhas. A remoção de enxofre de finos de carvão é um exemplo. As colunas de flotação são eficientes e estão sendo empregadas para efetuar beneficiamentos difíceis. continuamente.2) R = Rmax kτ (N − 1) N Células de flotação Uma geometria de célula de flotação em batelada está representada na figura abaixo. contendo o concentrado do mineral desejado. e é descartada ao final do processamento. A ganga hidrofílica se acumula no fundo da célula. Células para a operação contínua são semelhantes às mostrada acima tendo. Trata-se de um tanque com um agitador. por cuja haste o ar necessário é admitido. 27 . no entanto. um sistema para a admissão da suspensão e outro para a retirada do rejeito. Na superfície da suspensão forma-se a camada de espuma.⎧ ⎡ ⎛ kτ ⎞ ⎤1−N ⎫ ⎪ ⎪ 1 − ⎨ ⎢1 − ⎜ 1 + ⎟ ⎥ ⎬ N ⎠⎦ ⎪ ⎪⎣ ⎝ ⎩ ⎭. Flotação em Colunas O desenho esquemático de uma coluna de flotação contínua está representado no desenho que segue. ε.3) εf a concentração volumétrica de fluido. massa de sólido por volume total. e εs = 1 − ε . ms (R ) = ∫ ρs dV. (VII. com uma freqüência relativamente alta. εf = εf é comumente denominado de “porosidade”. mas de eficiência relativamente baixa.3 Jigagem A jigagem é uma das mais antigas técnicas de beneficiamento de minérios. e portanto: ε s + ε f = 1.1) ∂V R dVf ..2) dV R Como não há um terceiro componente nesta mistura. ε s = . é ocupada ou pelo sólido ou pelo fluido. por gravidade. 28 .t ) dV.4) ρf densidade parcial do fluido. ρs densidade parcial do sólido. é possível estabelecer: ∂ Vs εs a concentração volumétrica de sólido. (VII. A jigagem é uma operação simples e barata. VII SISTEMAS PARTICULADOS VII. Nestas circunstâncias a aceleração e deceleração tornam-se os termos dominantes da equação do movimento da partícula. (VII. então cada parte da região parte da região R. Nela a mistura minério e ganga.1.1. R (VII.VI. e para cada ponto da região ocupada pelas duas fases. e a cada instante. massa de fluido por volume total.1.t ) dV. Vs (R ) = ∫ ε s ( x. suspensa em água é conduzida a um equipamento onde é imposta uma pulsação à mistura por intermédio de um movimento alternativo.1. As duas fases são vistas como uma mistura.1 Balanços de massa Este novo capítulo começa a tratar de sistemas de misturas sólido – fluidos intimamente dispersos em uma região do espaço. e responsáveis pela separação. Vf (R ) = ∫ ε f ( x. 1.1. ⎦ R⎣ A integral é nula qualquer que seja R. independentemente de seu tamanho ou formato.1. válidas para os casos em que as densidades materiais são constantes.1.1.14) + div ( ε f v f ) = rf / ρF .15) 29 . (VII. (VII.11) ∂ρf ∂ρ ε + div ( ρf v f ) = rf ⇔ F f + div ( ρFε f v f ) = rf . é igual ao balanço do que entra menos o que sai através da superfície de A.5) ρS densidade material do sólido. ∂t ∂t (VII.: para um sólido incompressível ∂ε s + div ( εs v s ) = rs / ρS . acrescida da taxa de produção desta fase”.1. e a velocidade do centro de massa da mistura são definidos pelas somas.10) ∂t Escreve-se para cada uma das duas fases. (VII.1. massa de sólido por volume de sólido dV ms (R ) = ∫ ρS dVs = ∫ ρS s dV = ∫ ρS ε sdV ⇔ ρs = ρSε s . ∂t A densidade total.1.1. Daí resultam as equações da continuidade para cada uma das fases da mistura.12) ∂t ∂t As duas formas de cada um dos balanços para as massas de sólidos e de fluidos são equivalentes. por conseqüência seu integrando deve anular-se. (VII. ∫ ∂t R ⎧variação ⎫ ⎧entrada menos ⎫ ⎨ ⎬⎨ ⎬ {geração} ⎩da massa ⎭ ⎩ saida ⎭ (VII. ρ = ρS ε s + ρFε f .e. Estas definições permitem o estabelecimento dos balanços de massas para cada uma das duas fases.1. massa de fluido por volume de fluido dV mf (R ) = ∫ ρF dVf = ∫ ρF f dV = ∫ ρFε f dV ⇔ ρ f = ρFε f . vf campo de velocidade do fluido.6) dV R R R ρF densidade material do fluido. ∂ρs ∂ρ ε + div ( ρs v s ) = rs ⇔ S s + div ( ρS ε s v s ) = rs . (VII.8) A aplicação do teorema da divergência permite transformar a integral de superfície em integral de volume. (VII. a fase de sólidos particulados e para o fluido. ρv = ρS ε s v s + ρFε f v f .1.13) ∂t para um fluido incompressível ∂ε f (VII. ∂ ∫ ρadV = −∂∫R ρa va ⋅ ndA + R radV.9) ∫ ⎢ ∂ ta + div ( ρa va ) − ra ⎥dV = 0.mf (R ) = ∫ ρf dV. R (VII. Em palavras estas são descritas por: “a taxa de variação da massa de uma das fases contida no interior da região A. i. e disto resulta: ⎡ ∂ρ ⎤ (VII. Formas simplificadas podem ser escritas. ∂ρa + div ( ρa va ) = ra .7) dV R R R vs campo de velocidade do sólido. ∂x ∂y ∂z 2. A A e qf é a velocidade superficial.1. A vazão de fluido através desta seção é dada por: (VII. tanto em relação ao tempo. é denominada de velocidade intersticial. z = z.18) Q f = ∫ ε f v f ⋅ ndA = ∫ qf ⋅ ndA.z ) (VII.1.1. φ ) 2 base ( er .1. y = rsenθ. vale dizer que a mudança de fase se dá sem alteração da massa. Expressões para o divergente 1.1. y = rsenφsenθ z = r cos φ 1 ∂r qr 1 ∂( senθqθ ) 1 ∂ qφ + + (VII. r ∂r ∂θ rsenθ rsenθ ∂φ Outras expressões para o divergente de um campo vetorial para VII. tem-se: Qs = ε s v s A = (1 − ε ) v s A = qs A.1. visto que descreve o movimento do fluido no interior dos poros do meio poroso. vezes a aceleração. e θ . θz ) divq = divq = 1 ∂rqr ∂ qθ ∂ qz + + ∂θ ∂z r ∂r (VII.2 Balanços de Momento O movimento das fases é determinado pelas equações de balanço de momento. vale dizer que o sólido particulado tem porosidade constante. (VII. (VII.23) 3. Isto significa que as fases podem ganhar ou perder massa. Coordenadas cilíndricas ( r.1. (VII. que representam expressões para a segunda lei de Newton. e outra de aceleração convectiva.22) base ( er .1. Coordenadas cartesianas ( x.e a soma das duas equações de balanços de massas nos dá: ∂ρ (VII.21) ∂ q x ∂ q y ∂ qz + + . A A No caso em que o fluxo seja uniforme em todos os pontos de A.1.20) Qs = − ∫ ε s v s ⋅ ndA = − ∫ qs ⋅ ndA. e θ . e φ ) q = qr er + qθ e θ + qφ e φ x = rsenφ cos θ. então: div ( v s ) = rs / ρs . ∂t A equação da continuidade para a mistura é válida se e apenas quando a soma das gerações é nula. por unidade de volume. Se a concentração volumétrica de sólidos é constante. Seja A uma seção do escoamento.17) A velocidade vf. quanto em relação ao espaço. Uma velocidade calculada como se o fluido ocupasse toda a seção do escoamento. 30 .19) Interpretações análogas aplicam-se à fase sólida. de cada fase é igual à soma das forças que sobre cada fase atuam. e z ) q = qr er + qθ e θ + qz e z x = r cos θ. onde qf = ε f v f . Coordenadas esféricas ( r. mas o que uma perde a outra ganha. No caso em que o perfil da velocidade é constante temos: Qf = εv f A = qf A.24) divq = 2 . Massa. As acelerações são compostas de dois termos correspondentes a uma parcela de aceleração local.y.16) + div ( ρv ) = 0 ⇔ rs + rf = 0. θ. e div ( v f ) = rf / ρf . Define-se a vazão volumétrica de sólidos (VII. isto é. que se expressa por: ls + l f = 0 . Um caso particular. e deste fato conclui-se que o próprio integrando seja nulo em todos os pontos da região.2. (VII. Esta expressão é válida para as duas fases.6) ∫ [ρaaa − divTa − la − ρag]dV = 0.10) ⎣ ∂t ⎦ ⎡ ∂v ⎤ ρs ⎢ s + ( gradv s ) v s ⎥ = −gradps + divTsE + ls + ρsg . (VII.1) escreve-se: ⎡ ∂v ⎤ ρf ⎢ f + ( gradv f ) v f ⎥ = −gradpf + divTfE − ls + ρf g . forças de campo externo R ∫ ρ gdV . forças de interação entre as fases ∫ la dV.2) (VII. ⎡ ∂v ⎤ ρa = ρ ⎢ + ( gradv ) v ⎥ = divT + ρg. e estacionário. O escoamento é permanente. a (VII. ou ao menos desprezível.2. Acrescentou-se apenas um termo de interação entre as duas fases.1) ∂R ∫ T ndA. e à direita da equação há a divergência da tensão e o termo de força de campo externo. mas de grande importância será estudado a seguir.2. ls é a força que o fluido faz sobre o sólido particulado.2.(VII.3) (VII. que pode ser descrito como a força que cada fase faz sobre a outra. ρa aa = divTa + la + ρag.2. a Em conformidade com a lei de Newton escreva-se.3 Escoamentos através de Meios Porosos Consideramos o escoamento de um fluido newtoniano através de um meio poroso rígido com porosidade constante. e a aceleração do fluido é nula. As forças que atuam sobre estas são divididas em: 1. A terceira lei de Newton conduz à reciprocidade destas duas forças.9) Com o auxílio das expressões para as acelerações provenientes da eq.2. (VII.2. R (VII.2. A aplicação do teorema da divergência transforma a integral de superfície em integral de volume. para cada fase ∫ ρaaadV = ∫ TandA + ∫ (la + ρag) dV.5) R Novamente a equação de balanço apresenta duas integrais de volume e uma integral de superfície. e lf a força que o sólido faz sobre o fluido.7) Estas são as equações do movimento das fases. (VII. R A integral deve anular-se independentemente da região de integração. independentemente de seu tamanho ou formato.4) 3.2.2. Tf = −p f 1 + TfE . Ts = −ps 1 + TsE . e para todo instante. (VII.2. correspondente à aceleração de cada fase é perfeitamente análogo. No caso do sistema sólido-fluido.aa = ∂ va + ( gradva ) va ∂t {local} + {convectiva}. forças de tensão sobre a superfície de cada região 2. VII.2. Elas se assemelham às equações para movimento de um fluido puro em escoamento monofásico.11) ⎣ ∂t ⎦ Estas são equações gerais capazes de descrever o movimento simultâneo das duas fases nas mais diversas situações. e obtêm-se: (VII. R ∂R (VII. A equação do movimento do fluido se simplifica para 31 .8) ⎣ ∂t ⎦ O termo da esquerda. Manômetros contendo o fluido que satura o meio poroso. Acresce que sua substituição na eq.4). k (VII. à semelhança com as leis: de Fourier ( q = −kgradθ ) que determina o fluxo térmico proporcional 0 = −gradpf − ls + ρFεg.2) lf representa a ação do fluido sobre os sólidos particulados.3. portanto de natureza geométrica.8) m= v f = qf . onde g = g . estática.6) que acrescenta a carga de altura de fluido à pressão estática.3. a primeira delas é uma ação de empuxo.3. (VII. para o movimento do fluido pode ser escrita em termos da pressão piezométrica. a lei de Fick ( j = −Dgradc ) que determina o fluxo de um componente químico em solução proporcional ao gradiente de sua concentração.3.3. 32 . A primeira fica aparente na diferença entre as equações que regem o transiente.3.3. ls = −εsρFg − m = − (1 − ε ) ρFg − m. no equilíbrio. A força dinâmica m foi estudada primeiramente por Darcy. que segundo Arquimedes tem a forma oposta à gravidade e proporcional ao peso do volume de fluido deslocado. Esta pode ser dividida em duas parcelas. k k Nela k é a permeabilidade do meio poroso.10) divqf = − div ( grad℘f ) = 0 ⇒ ∆ 2℘f = 0.3. pois grad℘f = 0 ⇔ m = 0 ⇔ v f = 0. uma grandeza com dimensões de L2. que propôs a linear da força a velocidade do fluido.9) qf = − grad℘f .7) Deve ficar claro que a “causa” do movimento é o gradiente da pressão piezométrica. Nela se observa a analogia com a condução de calor nas condições de regime permanente. m.1) ao gradiente da temperatura. valores idênticos para a pressão piezométrica. m = 0 ⇔ v f = 0 . Existem duas diferenças fundamentais entre a lei de Darcy e a de Fourier. Propôs ainda a dependência na viscosidade do fluido.14) escrita para o regime permanente e geração nula dá como resultado uma equação idêntica à da condução de calor.3. ℘f = pf − ρF gH. Estamos qualificando esta força de dinâmica por que se anula se e apenas quando a velocidade relativa entre as fases é nula.(VII.4) 0 = −gradps + m + ( ρS − ρF )(1 − ε ) g. (VII. µ Esta equação foi durante um longo tempo interpretada como uma equação constitutiva. k (VII. µ Note que a formulação desta equação só depende da equação de balanço de massa do fluido e da equação de Darcy. (VII. A substituição desta expressão nas duas equações simplificadas dá: 0 = −gradp f − m + ρFg. Substituindo a lei de Darcy na forma simplificada da equação do movimento do fluido obtêm-se a equação de Darcy.3. (VII.1. independentemente da altura da tomada de pressão.3) a segunda.0 = −gradps + ls + ρS (1 − ε ) g. (VII. e diversas outras “leis” lineares entre fluxos e forças termodinâmicas. (VII. marcarão. Com esta definição a equação do movimento do fluido fica: −grad℘f = m. e geração nula.3.5) A equação (VII. chegando a seguinte relação: µε µ (VII. (VII. é a força dinâmica devida à velocidade relativa entre as duas fases. A eq.℘f ) .12) ρF ε ⎢ f + ( gradv f ) v f ⎥ = −grad℘f − εv f . O meio poroso é inserido num tubo.(VII. há massa em movimento.∂ε k 2 − ∆ ℘f = 0.11) ∂θ 2 − α∆ θ = 0.9) permite o cálculo da permeabilidade. reside no fato de que em qualquer escoamento. É uma propriedade do arranjo e distribuição de tamanho dos poros por onde o fluido deve passar.3. 33 ( ) . talvez mais fundamental. ∂t Na primeira destas o balanço de massa envolve duas variáveis ( ε. Escoamento no capilar. k k VII. e a correspondente queda de pressão no meio poroso em regime darciano. É fácil passar deste ponto à “Equação de Kozeny-Kármán”. ∂t µ (VII. então na lei de Darcy deve-se substituir a velocidade do fluido pela velocidade relativa entre as fases v f → v f − v s = u . Um fluido newtoniano com viscosidade conhecida é bombeado a diferentes valores de vazão e a queda de pressão piezométrica é medida.3. seja através de meios porosos ou não. Sua dimensão é de quadrado de comprimento. razão pela qual diz-se que seja de natureza geométrica. Daí resulta: ε (VII. Uma estimativa da permeabilidade pode ser obtida por intermédio de um modelo capilar.1) Rh = . (1 − ε ) ρSSm Nesta última relação Sm é a superfície específica do meio poroso. A segunda diferença. Não há substituto para o dado de laboratório. Permeabilidade deve ser determinada experimentalmente. bem ajustado de modo a não permitir o escoamento entre a parede do tubo e o meio poroso. Nos casos onde as acelerações não se anulam obtêm-se o seguinte resultado: ⎡ ∂v ⎤ µ (VII. analogia com Escoamento no meio poroso 2 ∂℘ µεv f εR h ∂℘ µv − f = ⇒k = − f = k ∂x β ∂ x Rh / β β = constante característica do capilar v = velocidade média β = 2 para seção circular β = 3 para placas paralelas Rh= raio hidráulico O raio hidráulico é definido pela relação da área da seção transversal do tubo para o perímetro de contato fluido-sólido. dada por Sm = 6 / ρS φDp .4 Permeabilidade Permeabilidade é um parâmetro característico do meio poroso.13) m= ( v f − v s ) = u. Massa possui inércia e as equações de balanço de momento devem ser satisfeitas. enquanto que no balanço de energia a temperatura é a variável presente nos dois operadores. µε µε (VII.4. k ⎣ ∂t ⎦ Se as duas fases estão em movimento.3.3. área da seção livre volume vazio Rh = Rh = perímetro de contacto área de contacto A justificativa para a interpretação que é dada para o raio hidráulico do meio poroso é obtida por “multiplicação” pelo comprimento. obtido cuidadosamente. Modelo Capilar Admite-se a equivalência entre a queda de pressão no regime laminar no interior de um tubo capilar de seção transversal arbitrária. k⎢ µ ⎥ ⎣ ⎦ µ m = [1 + Re] qf .98 (VII.6) (VII.5) c= 3 . ε2 e por Massarani.4) k k A constante c. Regime de Stokes m ∼ 2 .4. as formas mais comumente citadas são as propostas por Ergun. e há indicações de que o diâmetro médio de Sauter é o mais apropriado.4.k= ( φD ) p 2 ε3 36β (1 − ε ) 2 .4.4.4. No caso de haver uma distribuição de tamanhos das partículas deve-se empregar um diâmetro médio. (VII. vem de trabalhos experimentais.13 ( k 0 / k ) + 0. 1 Dp = . o que dá para o denominador da equação 144 ≤ 36β ≤ 180 .4. ρq µ m = qf + c F f qf . Partículas Meio Poroso µu µ Regime de Darcy m = qf .2).37 0.7) resulta com a substituição de (VII.4. k 0. . ⎣ ⎦ −9 válida para 0. a “forma quadrática de Forscheimer”. (VII.01 c = 1/ ε 2 ⎡0.(VII.75 3 f 2 3 ⎢ ⎥ ε ( φDp ) ε ( φDp ) ⎣ ⎦ Esta sendo a equação de Ergun.4. Expressões equivalentes são encontradas na literatura dentre as quais estão µ ⎡ cρ kqf ⎤ m = ⎢1 + F ⎥ qf .4. Uma forma simplificada para a eq. 0.3) 1 dX Dp Dp Forma quadrática de Forscheimer Agora faz-se a analogia com a força por unidade de volume sobre partículas isoladas com o que ocorre nos meios porosos.7). (VII. Dp k 0 ∫ ( ) Desta comparação resulta que Dp ∼ k .2 2 ⎡ 1− ε) µ (1 − ε ) ρF q ⎤ q .14 (VII. Regime de Newton m ∼ ρF 3 0.5) na equação (VII. de proporcionalidade.2) A comparação de suas previsões com dados experimentais dá como resultado o valor de β situando-se na faixa 4 ≤ β ≤ 5 .4.8) 34 .15 ≤ ε ≤ 0. e de (VII.75. (VII. obtida utilizando-se β = 4. ⎢150 ( ⎥ f m= + 1. q2 u2 m ∼ ρF f . µ que tem por dimensão linear característica k . Dp k Desta analogia resulta a forma completa para a força resistiva para o escoamento de fluidos newtonianos em meios porosos isotrópicos. onde qf = qf . e para 10 ≤ k ≤ 10 −3 cm.4.1( k 0 / k ) ⎤ .7) Nesta última empregou-se a seguinte definição para o número de Reynolds Re = cρF kqf . onde k 0 = 10 −6 . que satisfaz à seguinte equação: µ = µ ∞ + ( µ0 − µ ∞ ) 1 + ⎡α ( T ) γ ⎤ ⎣ ⎦ { 2 } n −1 2 . e altas taxas de ∂v x ⎛T ⎞ . Para ∂y ⎝T⎠ baixos valores da taxa de distensão a viscosidade tende a µ0. (VII.por (VII.45 pode-se estimar a taxa de distensão em: γ ef ≈ qf / k . (VII.2 qf γ ef = . k (VII. O expoente n é análogo ao expoente da lei da potência n −1 µ=κγ . (VII.5 Escoamentos de Fluidos Não-Newtonianos A determinação da força resistiva para o escoamento de fluidos não-newtonianos tem por base o emprego na eq.⎥ ⎬ .3) 1 (tε ) 2 k distensão γ = onde t é a tortuosidade do meio poroso definida pela relação entre o comprimento do percurso do fluido e o comprimento do meio.5. e para os altos valores tende a µ ∞ . (VII.5.4). n −1 (VII. com porosidade ε independente da posição e do tempo. Note que O valor frequentemente adotado para a tortuosidade é de t = 2.4.(VII.5) VII.2) Dados experimentais permitiram a Massarani estabelecer a seguinte relação: 1.6. respectivamente para baixas. 1 ⎢ tε ) 2 k ⎥ ⎪ ( ⎪ ⎣ ⎦ ⎭ ⎩ Ela deve ser empregada no lugar de µ na eq.7). µ O balanço de massa expresso. e que a lei de Darcy é aplicável.1) qf = − grad℘f . A expressão final para a viscosidade efetiva tem a forma 2 ⎧ ⎡ ⎫2 1. α(T) uma função da temperatura com a forma α ( T ) = α 0 exp ⎜ 0 ⎟ . Alem disso consideramos a aceleração do fluido desprezível. A forma da curva dá a característica de aumento ou da diminuição da viscosidade em função da taxa de distensão. µ ef = µ ( γ ef ) . e µ ∞ são dois valores assintóticos.1.4) Se a tortuosidade e porosidade são conhecidas então a equação (VII.5.5.5.4) de um valor de viscosidade baseada na curva material da tensão de cisalhamento observada no escoamento viscométrico deste fluido.1) onde µ0 .12) reduz-se a: 35 .2 qf ⎤ ⎪ ⎪ µ ef = µ ∞ + ( µ0 − µ ∞ ) ⎨1 + ⎢α ( T ) . e uma porosidade de 0.4. substituindo a viscosidade pela viscosidade efetiva expressa em função da taxa de distensão efetiva no escoamento do fluido no meio poroso.6 Aplicações Escoamentos em meios porosos rígidos Consideramos um meio poroso rígido. Um modelo bastante amplo e de grande aplicação prática é o modelo de Carreau. Com este valor para a tortuosidade. Do ponto de vista da equação constitutiva para a força dinâmica nos escoamentos em meios porosos é proposta a validade da equação (VII.5 .5.3) deve ser empregada.4. (VII.VII . com freqüência operam em reatores de leito fluidizado. No início da 2ª. em 1940. Considere uma barragem que retêm água. unicidade. a condução de reações químicas industriais em reatores de leito fluidizado é bastante comum. Problema 1. e se o escoamento é isotérmico podemos escrever. Nesta reação ocorrem reações paralelas e consecutivas levando a uma mistura de 36 . No escoamento através de um leito fixo com propriedades constantes tem-se: VIII FLUIDIZAÇÃO A fluidização foi desenvolvida em 1922 durante a primeira guerra para a gaseificação do carvão visando a produção de gás de síntese para a síntese de combustíveis líquidos. FCC. (VII.divqf = 0.5 m. O livro clássico de Pelageya Yakovlevna Polubarinova-Kochina considerada uma das mais importantes matemáticas da União Soviética. e estabilidade das soluções de um grande número de problemas de importância prática. Um meio poroso.000 barris/dia. a montante. O gaseificador Winkler foi o primeiro destes sistemas de gaseificação de carvão. (VII. Toda a hidráulica subterrânea tem por base soluções desta equação. O processo Houdry de craquemento com catalisador de alumina operava intermitentemente pois a deposição de coque obrigava a regeneração do catalisador. da ESSO foi instalado o processo. D=5cm.3) Esta expressão determina que pressão piezométrica seja solução equação diferencial mais estudada. eliminando qf entre as duas últimas equações div ( grad℘f ) = 0 ⇒ ∆ 2℘f = 0. Alem do craqueamento. Problema 2. Dados: L= 0. e inúmeras outras reações catalisadas por sólidos. a uma altura H e a jusante à altura h.210-5cm2. Um importante exemplo é o da produção de óxido de eteno pela reação de oxidação com oxigênio. engenheiros americanos foram instados a desenvolver processos de transformação de querosene e óleos leves em gasolinas de alta octanagem para a aviação.6.000 barris/dia passando depois para 100. esta variável é harmônica o que determina a existência. Conhecida a sua permeabilidade k determine a curva de vazão versus queda de pressão piezométrica. de as condições de contorno para o problema do escoamento da água através da barragem. O laplaciano da pressão piezométrica sendo nulo.guerra. A Esso Research e a Kellog Co. está contido no interior de um tubo com diâmetro D.6. de comprimento L. dedica-se quase que exclusivamente a soluções desta equação. k=3. Na refinaria de Baton Rouge. inicialmente com a capacidade de 13. Sabendo sua permeabilidade (k). e esboce a forma da superfície.2) A equação de Kozeny-Kármán demonstra que para este caso a permeabilidade é constante. O craqueamento de frações de petróleo. com a participação dos professores Lewis e Gilliland desenvolveram o Fluid Catalitic Cracking. devido ao termo 37 . portanto uma força para cima aplicada às partículas do sólido. como demonstrada pela inclinação igual a 1 no gráfico logxlog. Sem escoamento o leito exerce sobre o distribuidor o peso do sólido menos o empuxo. (VIII. O mais estrito controle da temperatura é de importância para a maximização da conversão ao óxido de eteno.1. e aproxima-se de 2. Para baixos valores do número de Reynolds a queda de pressão varia linearmente. progressivamente o esforço sobre o distribuidor. Aumentando-se a velocidade do fluido chega-se a um ponto de equilíbrio.1) Para valores da velocidade do fluido ocorre ao longo do leito a queda da pressão piezométrica −∆℘f µ ρ q2 −grad℘f = = qf + c F f .1. Esta inclinação passa a aumentar à medida que Re aumenta. indesejáveis. (VIII. VIII. de acordo com a equação de Darcy. Uma curva típica de fluidização tem o seguinte aspecto: No trecho AB ocorre o aumento progressivo da queda de pressão no leito fixo. que reduz. de baixo para cima um leito poroso de partículas sólidas assentes sobre um distribuidor poroso fixo.produtos até CO2.2) L k k A queda de pressão ao longo do leito cresce com a velocidade superficial do fluido. peso menos empuxo = AL (1 − ε ) ∆ρg ⇔ −∆℘f = L (1 − ε ) ∆ρg .1 Teoria da Fluidização Vamos observar o que se passa quando um fluido atravessa. Este ponto é denominado de velocidade mínima de fluidização qmf. e H2O. peso – empuxo = atrito do fluido sobre o leito. para o qual todas as partículas do leito estão em equilíbrio. Há. (VIII. em seu artigo de [Powder Technology 7. entre qf e ε.4) No caso de escoamento lento.2 Tipos de Fluidização a Gás Geldart. k. e a altura inicial do leito L0. No caso geral há que ser resolvida a equação do 2º. A equação de Ergun é particularmente útil: (1 − ε ) 150 2 µ ε3 ( φDp ) q + 1.1. (há coesão entre as partículas).1. Há grande circulação do sólido acompanhado de rápida mistura. (VIII. (VIII. e (VIII. A expansão do leito é pequena. 150 (1 − ε ) µ 150 (1 − εmf ) µ Existem diversas correlações empíricas para qmf. ou formam-se canais que atravessam o leito.quadrático da equação de Forscheimer. e para cada valor de qf.75 2 f (1 − ε ) ρF q2 = ε3 ( φDp ) f (1 − ε ) ∆ρg. Para cada valor de qf .5) . dependem da porosidade.grau (VIII.4g / cm3 .1. e (Dpsauter ) = ∫ . correspondente a partículas com diâmetros 40µm ≤ 500µm. qf = ∆ρg ( φDp ) ε3 2 3 ∆ρg ( φDp ) εmf 2 VIII.1. No trecho BC inicia-se a expansão do leito poroso.1.3). 285-292 (1973)] estabeleceu um critério de classificação do comportamento de particulados na fluidização a gás. pós coesivos. baseado nos parâmetros: 1 dX −1 (VIII.2). correspondente a partículas pequenas com ρS ≤ 1. As bolhas sobem com velocidade maior que a velocidade superficial do fluido qf.3) k k Esta equação de equilíbrio é satisfeita ao longo de todo o trecho DE. Para estas as bolhas aparecem desde o inicio da fluidização qf ∼ qmf . A eliminação da queda de pressão entre (VIII.3) expressa uma relação.1). qmf = . podemos calcular a sua porosidade inicial.4 ≤ ρS ≤ 4g / cm3 . Os dois parâmetros do leito. e densidades entre 1. em que a equação de Darcy é válida obtêm-se a expressão para a velocidade superficial do fluido (VIII. corresponde um valor de porosidade que satisfaz a eq.1. Em todo este trecho é válida a eq. para as quais o leito se expande homogeneamente até o início do borbulhamento.6) Conhecido o volume de sólidos a área da seção transversal do vaso. A fluidização normal é extremamente difícil.(VIII.2. resulta de sua resolução um valor correspondente para a porosidade.1. De C para D ocorre a fluidização do leito havendo o equilíbrio entre atrito e peso aparente do leito. Dp 0 Grupo A. onde se observa a fluidização do leito. Grupo C. com o conseqüente aumento de sua porosidade. D. independentes da porosidade mínima de fluidização. não-linear. Grupo B.1.2) conduz a: ρ q2 µ qf + c F f = (1 − ε ) ∆ρg. e daí resulta que a eq. o diâmetro médio de Sauter.(VIII.1. e Dpsauter ≤ 40µm.1) ρS . Grupo D. e c. O gás levanta o leito como se este fosse uma rolha. (VIII. partículas grandes ou muito densas. Por outro lado.1.4). Bolhas de diâmetros menores que 4cm sobem com velocidade vB de 30 a 40 cm/s. Decorre desta a altura do leito fluidizado e sua expansão L/L0. 38 . desde qmf até o valor da velocidade correspondente ao ponto E. desde que a perda de partículas de sólido seja desprezível tem-se: Volume de sólidos/A = L 0 (1 − ε0 ) = Lmf (1 − εmf ) = L (1 − ε ) . As expressões que apresentamos acima aplicam-se à fluidização homogênea.3. Eng. onde εbolha = vol.A.4) é.. mais comumente quando o fluido é um líquido. A fluidização ocorre.A condução de uma boa fluidização. e a fase bolha ocupando o restante do volume do leito é possível demonstrar que: κ = 1 − εbolha . A alta velocidade significa escoamento turbulento. comumente aceito para a porosidade mínima da fluidização de partículas esféricas.2) mf mf mf mf 3 3 εmf εmf Esta expressão nos dá uma relação entre o número de Arquimedes e o número de Reynolds nas condições mínimas de fluidização.2. W. então a primeira forma desta equação deve ser usada.. J. J. e que todo o excesso de vazão atravessa o leito fluidizado sob a forma de bolhas. baseado em observações experimentais da porosidade mínima de fluidização for conhecido. A. de fato irrealista. ⇒ Ar = 1640Re + 30Re2 . e Harrison. de todas as bolhas/vol. A teoria pretende prever o valor de κ na equação para um leito fluidizado qf = κqmf + qbolha . pode ser expressa por uma relação entre o número de Arquimedes e o de Reynolds baseado no valor εmf = 0. Esta solução entretanto é instável. no sentido de se ter uma configuração estável para o leito requer alta velocidade para o fluido. D. ( Squires.1. Sci. 15-18. Eng. Recentemente foi apresentada uma nova classificação baseada no número de 3 Arquimedes ⎡ Ar = DpρF ( ρS − ρF ) g / µ 2 ⎤ . M.2.(VIII.22. A estabilidade é aumentada com a dispersão da distribuição de tamanhos de partículas. a porosidade depende da posição e tempo.2) 39 . Chem. Chem. (VIII. feita por Goossens.3. ⎣ ⎦ 48-53 (1998).M. Davidson. e Harrison.F. cuja existência pode ser desprezada.46 x10 −5 Ar − 1 = . mas não há pulsação. 23. (VIII.. (VIII. A expressão de Ergun. e qf = qf i com qf . O sistema de equações para as duas fases admite a solução qs = 0.(1968).εmf ) . 1059-1066 (1967).F. Sci. J. De todo modo esta é uma expressão geralmente empregada para a previsão da velocidade mínima de fluidização.R. e a instabilidade determina a existência de outras soluções mais complexas onde a fase sólida se movimenta. implicitamente imposta na eq.1) Em primeira aproximação κ é. Powder Technology. do leito. O borbulhamento pode ser intenso. (1 − εmf ) Re + 1. Supondo a repartição do meio em uma fase fluidizada com porosidade εmf.3) 60 60 Se um valor mais preciso. Remf = VIII.. On the two phase theory of fluidisation.3 Teoria das Duas Fases A “teoria de duas fases” formulada por Davidson. Esta teoria é uma aproximação bem sucedida baseada na suposição de que o leito fluidizado é composto de uma fase fluidizada que permanece sob as condições mínimas de fluidização. Nela a porosidade e a velocidade superficial são independentes da posição e do tempo. 660. A adição de finos a um catalisador transforma um leito borbulhante em um leito turbulento estável. D. por hipótese igual a 1. Powder Technology 98. ( qmf . A hipótese de velocidade nula para a fase sólida. e ε independentes da posição e do tempo. (ver também Lockett. 151.(2005). e ocorrem bolhas em cujo interior a porosidade é praticamente igual a 1. Todos os leitos catalíticos de sucesso operam com pós do grupo A. Sua solução para Remf dá: 16402 + 120Ar − 1640 1 + 4. Ar = 150 (VIII. estável com pequenas bolhas.383 . promovendo uma intensa movimentação da fase particulada. As bolhas são relativamente pequenas. com escoamento turbulento.75 Re2 . A intensidade relativa destes dois processos é fortemente dependente das características do borbulhamento. As variáveis são: qs ( x.5) ρFεv f = −grad℘f − ( v f − v s ) .3.1. f (VIII. (VIII. dados pelas equações (VII. s v f = v f + v′ . velocidade superficial do sólido.3. com resultados diversos.2.1.t ) = ε s v s = (1 − ε ) v s . (VIII.9) ε ( x. Modelos para a descrição do movimento individual de cada fase de sólidos particulados. e dos balanços de momento para cada uma das fases.12) ∆℘f = ∆℘f + ∆℘′ . (VIII. O sistema de equações de balanços de massas.11). ∆℘f ( x.3. a distribuição de pressão piezométrica.10) O sistema acima admite a solução que caracteriza a fluidização homogênea. de fluido (VII. A teoria de duas fases prevê que em cada ponto no interior do leito fluidizado a porosidade alterne entre os valores εmf e 1. (VIII. (VIII. f ε = ε + ε′.8) (VIII.3.3.3. ∂t µε (VIII. v s = v s + v′ .3. idêntica à solução para a fluidização homogênea: v s = 0.3. k µε ρs v s = ( v f − v s ) + ∆ρ (1 − ε ) g.14).13). Para exemplificar observemos o escoamento bidimensional.2. Em cada ponto no interior do leito a porosidade salta de um valor próximo da εmf para um valor próximo a 1 se uma bolha passa pelo ponto no momento da observação. originando o aparecimento de bolhas.10). e para um valor crítico de Re aparecerão flutuações em todas as variáveis da lista apresentada.7) qf ( x. dada pela solução permanente. e são as responsáveis pelo aparecimento das bolhas. qf = (VIII.t ) velocidade superficial do fluido.3. de um leito fluidizado homogêneo sobre uma placa porosa plana. VIII.11) k (1 − ε ) ∆ρg.t ) = ε f v f = εv f .3) ∂t ∂ε (VIII. ps = 0. ao contrário em um leito segregado.4 Mistura e Segregação É bem conhecido o fato de que a fluidização de materiais particulados diferentes pode resultar em um leito bem misturado ou. ∆℘f = (1 − ε ) ∆ρg.t ) a distribuição de porosidade. e de sólido e(VII. µ Esta solução é instável. e do fluido são baseados nas equações de balanço de massa e de momento. Atualmente há capacidade computacional para a obtenção de soluções numéricas para a fluidização não-homogênea. e (VII.3. As variáveis acentuadas representam as flutuações sobre os valores médios. simplificadas para materiais incompres-síveis: ∂ε + div ( qf ) = 0. Mistura e a segregação ocorrem simultaneamente.Bolhas aparecem no interior do leito fluidizado como conseqüência da instabilidade da fluidização homogênea.4) − + div ( qs ) = 0. 40 .6) k A condição de fluidização foi imposta tornando nula a pressão nos sólidos. ou ser provocada por aditivos. Sedimentação contínua. F. d) tipo de vaso. ciclones e hidrociclones. que vimos tratando desde o capítulo VII. O balanço destas cargas promovem. usualmente negativa. Todas as partículas em suspensão possuem carga residual. e o “teste de proveta” que constituem a base para todos os cálculos. IX. e propriedades físico-químicas. Solid Liquid Separations Concha. São todas elas operações importantes seja para o sistema produtivo. e) partículas esféricas (ou quase) sedimentam mais rapidamente que não esféricas. ou a atração. ou líquido-líquido. 2. Na clarificação. A sedimentação. Alguns mecanismos que favorecem o aparecimento de cargas são: 41 . que se acumula na superfície. c) o tipo de pré-tratamento. O espessamento de lamas antes da filtração. As principais operações são: 1. Filtração em filtro rotativo: 5. floculação. Sedimentação em batelada. e por oposição baixa concentração favorece a dispersão. a distribuição de tamanhos. A floculação pode dar-se espontaneamente. municipal. a forma. Agora serão tratadas as operações de separação sólido-fluido. Foram apresentados: câmaras de poeira. Filtração em filtro de areia. Exemplos de espessamento são: O desaguamento de lamas na industria do cimento. como normalmente é empregada aplica-se à clarificação de suspensões diluídas (de 1 a 5% v/v. ou da secagem. F. A clarificação de salmouras na produção de sal ou de NaOH. L. R. tratamento térmico. As dificuldades da para a previsão da velocidade de sedimentação dos sólidos. geralmente.IX SEPARAÇÃO DE FASES Em capítulos anteriores foram apresentados alguns sistemas de separação e classificação de partículas com metodologias aplicáveis a sistemas diluídos. ou a repulsão. a densidade. 4.1 Referencias e Aspectos Gerais Referencias básicas: Svarovski. A floculação que transforma u grupo de partículas irregulares num floco aproximadamente esférico aumenta grandemente a velocidade de sedimentação. ou água para caldeiras. seja por sua alta concentração obrigam a realização de testes. O processamento de minérios. com base nas equações que descrevem sistemas concentrados. No espessamento. em geral os sólidos são o produto desejado. Powder and Particle. o líquido constitui-se no produto desejado. condicionamento químico. b) a concentração de sólidos. seja para o tratamento de rejeitos. Os principais fatores que influenciam a sedimentação de suspensões aquosas são: a) a natureza das partículas. A alta concentração de sólidos favorece a floculação.efeitos de forma e influência das paredes. Filtração em filtro prensa. no máximo até 10%v/v). e para o controle de poluição. A clarificação do caldo de cana. KONA # 20(20022). e ao espessamento de suspensões sólidolíquido. 3. A Century of Research in Sedimentation and Thickening. seja pela existência de flocos. Manual de Filtracion y Separacion Concha. Alguns exemplos são: O tratamento de água. e Bürger. de 15 a 30% v/v. A forma da adição do polieletrólito pode ter importância primacial. Em todos os casos a carga é altamente sensível ao pH da fase aquosa. e logo depois foi traduzido para o Alemão e Italiano.1%). 7) para alta diluição adicione reciclo de sólidos. Alguns exemplos de floculantes são: cal. etc.11). uma operação economicamente viável. As seguintes regras práticas são aconselháveis: 1) adicione o polieletrólito à corrente principal em solução muito diluída (<0. 2) interação iônica da partícula com a água. alumem. 3) adsorção de íons da fase aquosa. Este livro foi publicado em latim em 1556. Reduzem a carga das partículas e promovem a floculação.1) defeitos na superfície da rede cristalina. e sem geração resultam das equações (VII. a temperatura. Tratou o assunto sob a forma da propagação de ondas de concentração na suspensão. pode haver liberação de outros íons. acrilato de sódio. Agrícola. (x = 0) a suspensão sedimenta.1 a 0. IX.14) as seguintes expressões: 42 . Têm efeito manifesto. copolímeros de acrilamidas. Há que mencionar a contribuição de Coe e Clevenger que em 1916 descreveram procedimentos para o projeto de sedimentadores. Este invento fez da eliminação contínua de água de polpas diluídas. 4) adicione em estágios em diferentes pontos. Os seguintes monômeros geram polieletrólitos de uso comercial: acrilamida. Os desenvolvimentos modernos iniciam-se com a invenção de concentrador “Dorr-Oliver”. metafosfato de sódio (nome comercial: CALGON). A suspensão é tratada como um contínuo e o processo de sedimentação é representado pelas equações de balanços de massas das fases. 2) adicione no ponto mais próximo possível do ponto onde a floculação deve iniciarse. A sedimentação. o pH da suspensão. A concentração de sólidos.1 a 0. prata. 4) formação de pontes de hidrogênio entre a superfície de partículas e moléculas de polímeros. 5) adicione a toda a corrente de processo. Polímeros com cargas distribuídas em inúmeros pontos ao longo da cadeia polimérica são agentes floculantes de grande capacidade. a apresentação em 1952 do trabalho “Theory of Sedimentation”.1. Há necessidade de realização de um grande número de testes para a determinação de boas condições para a sedimentação. jigs. escreveu o famoso “De Re Metallica” que se constituiu na primeira contribuição ao desenvolvimento da indústria de mineração. ésteres de amônio quaternário. mesmo em quantidades muito pequenas (0. 6) para alta concentração de sólidos adicione reciclo. Uma das finalidades desta apresentação é a elucidação de alguns dos principais fatores controladores da sedimentação. fosfatos. Nele estão descritos os métodos de lavagem de ouro. e (VII. como um processo de processamento de minérios é empregado desde o início do século XVI. a natureza química do agente floculante e de sua concentração. em 1905. 3) adicione em local onde haja turbulência que favoreça uma rápida homogeneização.2 Sedimentação em Batelada Uma breve apresentação da teoria da sedimentação em batelada será apresentada agora. e concentradores. pode favorecer o aparecimento de cargas positivas ou negativas. A adição de eletrólitos desestabilizam os colóides do tipo “sol”. O caso da batelada realizada em um vaso em cujo fundo impermeável.4 kg/m3. na Saxônia. São usados na dosagem de 0. estanho e outros minérios metálicos. São descritos tanques de sedimentação e classificadores. e para o caso de materiais incompressíveis. óxido de etileno.1.15 g/m3). Mas deve-se a Kinch. e a liberação de –OH resulta no aparecimento de carga positiva. tempo de envelhecimento. a liberação de H+ resulta no aparecimento de carga negativa. onde vt é a velocidade terminal de uma partícula isolada num fluido estacionário. onde X = x − ct. ⎟ =+ ⎟ = ⎟ −c ⎟ = ⎟ = ∂ t ⎠x ∂ X ∂ t ⎠x ∂t ⎠X ∂X ∂ x ⎠t dX ∂ x ⎠t ∂ X A substituição destas derivadas na eq. Esta observação demonstra a existência de duas frentes de propagação das descontinuidades presentes na condição inicial (IX. (IX. + divqf = 0. Esta equação apresenta o defeito de prever velocidade de sedimentação 43 . e positiva para o valor máximo desta concentração. forçando a velocidade de propagação ser negativa para baixos valores da concentração volumétrica de sólidos. ∂t ∂x ∂εs A solução desta equação diferencial parcial de primeira ordem é da forma ˆ ε s ( x. O caso mais simples de sedimentação dá-se quando a sedimentação se dá com o aparecimento de um sobrenadante livre de sólidos.5) + = 0. com a qual se obtêm qs + qf = 0.2.t ) .5) pode ser escrita na forma de uma equação de propagação de onda.2.2. ⇒ ε s v s = ε sε f u.7) . ⇒ s + bk = 0 ∂t ∂x ∂t ∂x Nesta equação o termo fbk = ε sε su é denominado de “fluxo em batelada de Kynch”. (IX.2.(IX. ⇒ (IX. esta desloca o fluido para cima e a velocidade relativa entre as fases determina a velocidade de cada fase.2. a condição de impermeabilidade fornece a condição de contorno.2. Com esta suposição a eq. e ε s v s + ε f v f = 0. (IX. ∂t ∂x ∂t ∂x ∂x Em x = 0.6) dá o resultado ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ε s ∂ε ∂ε ⎞ ∂ε ∂ε ∂ε ⎞ ˆ (IX. onde c = bk s . ε s + ε f = 1.2.6) + c s = 0. ⎪ (IX.2. s ⎪ max ⎩εs para x = 0.(IX. e de um sedimento incompressível e de concentração constante.1) ∂t ∂t A soma das quais dá para o caso unidirecional ∂ε s ∂ qs ∂ε f ∂ qf ∂ + = 0. se há sedimentação.4) ∂f ∂ε s ∂ [ ε sε f u] ∂ε (IX.3) Por esta expressão verifica-se que fluido e sólido têm direções opostas. + = 0. ∂f (ε ) ∂ε s ∂ε (IX.2) ( qs + qf ) = 0. n > 1. Dada a condição inicial ⎧0 para x = L.2. A curva do fluxo de Kynch tem a forma tal que a derivada do fluxo de Kinch muda de sinal.t ) = ε s ( X. vale dizer x = X + ct.2. Kynch foi o pioneiro no estudo teórico da sedimentação.2. Sua suposição básica reside na hipótese de que a velocidade relativa sólido-fluido é função apenas da concentração volumétrica de sólidos εs. pois: dε s = ˆ ˆ ∂εs ⎞ ∂εs ⎞ ∂ε s ⎞ ∂ε s ⎞ ⎟ dt + ⎟ dx = ⎟ dt + ⎟ dX ∂ t ⎠x ∂ x ⎠t ∂t ⎠X ∂ x ⎠X ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ε s ⎞ ∂ε s ∂ X ⎞ ∂ε s ⎞ ∂ε s ∂ε s ⎞ dε s ∂ X ⎞ ∂ε s (IX.9). ∂t ∂x ∂ t ⎠X ∂X ∂X ∂t ⎠X Este resultado demonstra a propagação do perfil inicial da concentração de sólidos ao longo das retas X = x − ct.e . ou ε s v s + ε f v f = 0.2. u = v s − v f .∂ε s ∂ε f + divqs = 0.0 ) = ⎨ε0 para 0 < x < L.8) + c s = 0 ⇒ s ⎟ − c s + c s = 0 ⇒ s ⎟ ⇒ εs = εs ( X ) . A expressão de Richardson e Zaki n (1954) fbk = v t ε s (1 − ε s ) .9) ε s ( x. 2 e volta a fbk = 0 para εs = 0.33843 + 1. enquanto que experimentalmente verifica-se que isto ocorre para 0. Para esferas de vidro de diâmetro constante Shannon et al (1963) determinaram a seguinte expressão por ajuste de dados experimentais 2 4 fbk = 10 −2 εs −0.6 ≤ εmax ≤ 0.65.65 é valor adequado para esferas rígidas.902253ε s m / s (IX. IX.37672ε s − 1 .nula apenas quando a concentração volumétrica de sólidos é ε s = 1.3 Sedimentação Contínua 44 .7. Michaels e Bolger (1962) s propuseram a expressão a três parâmetros: εs fbk = v t ε s 1 − max n > 1.62275ε s − 0.2.10) εs Nesta expressão n = 4.11) s n ( ) Esta curva fornece valores negativos para fbk que passam por um mínimo para εs = 0.2. (IX.11264ε3 + 0. 45 . April 2003. A filtration engineer's guide to Achema 94 Filtration & Separation. Chem. Issue 5. Issue 7. Discharging filter bed material Filtration & Separation. Issue 7. Air filter Filtration & Separation. 81. 149. September 1994. Page 625 13. Volume 31. Ng Design and development of solids processes—a process systems engineering perspective. et al. September 1994. Fitch. Page 625 16. Issue 7. Issue 6. 117(1974). Page 713 10. Separation of mixture components Filtration & Separation. An assessment of the conventional cake filtration theory Chemical Engineering Science. 1975 pg. September 1994. Issue 6. Issue 6. September-October 1994. Issue 7. B. Water bath air filter Filtration & Separation. Algumas referências sobre o tema são: 1. Purchar. Volume 31. Ernst. June. 4. Issue 7. Page 71 8. Volume 29. September 1994. Pages 1323-1336 21.Ka M. Svarovski Solid-Liquid Separations. Issue 6. Volume 31. Page 625 14. Issue 3. Volume 31. Tackle solid-liquid separation problems Chem. Page 713 7. Volume 31. Mar. Page 340 19. November 1994. Progress. Page 713 11. Page 713 12. Page 625 17. Issue 6. November 1994. 1987 pg. November 1994. June 1994. Issue 7. D. Tiller. 91 pg. November 1994. September 1992. Volume 31. 3. Volume 31. Process for making ceramic membrane filters • ABSTRACT Filtration & Separation. Volume 126. Filtration and Separtion. Volume 31. Page 625 15. November 1994. Page 625 18. Cleaning a gas filter Filtration & Separation. Volume 58. 12 August 2002. Issue 4. Volume 31. Issue 7. Rubber membrane filter plate Filtration & Separation. Chi Tien and Renbi Bai. Engineer. Solid liquid separation equipment: a preliminary experimental selection programme. F. September 1994.B.4 FILTRAÇÃO Filtração é um processo de separação sólido-fluido envolvendo a passagem do fluido através de uma barreira porosa que retêm grande parte do material sólido que compõe a suspensão. Sintered metal filter sheet Filtration & Separation. Pages 205-210 Seleção de um sistema de filtração. Page 713 9.IX. Water bath air filter Filtration & Separation. Filtration apparatus Filtration & Separation. Eng. November 1994. Powder Technology. A seleção de um sistema de um sistema de filtração pode passar pelas seguintes etapas: 46 . When should you use separation techniques other then filtration. M. 2. Jan. Volume 31. Issue 6. 6. Volume 31.22. Eng. The Chem. Rotary filters using filter aid Filtration & Separation. Rotary filters using filter aid Filtration & Separation. Volume 31. Page 370 20. Sintered metal filter sheet Filtration & Separation. Volume 31. M.47. 5. How to select solid-liquid separation equipment. – filtro de tambor rotativo. Compactação. por 47 . Pós-tratamento Lavagem da torta teste da concentração versus volume de fluido de lavagem. e o meio filtrante. ou panelas. Pré-tratamento a) químico: coagulação/floculação – testes de determinação da taxa de filtração em função da quantidade de floculante adicionado. A figura IX.1 acima mostra uma idealização do processo de filtração com a formação de uma torta de espessura L ( t ) retida pelo meio filtrante. b) físico: cristalização/precipitação/ envelhecimento. . adição de auxiliar de filtração. II.filtro prensa. . O meio filtrante retém a totalidade dos sólidos. III. O fluido que acompanha a suspensão atravessa a torta anteriormente formada. com porosidade e permeabilidade constantes. Tipos de filtração a) Clarificação de suspensões diluídas a1) em leitos granulares. Secagem pó injeção de ar. Teste umidade versus umidade da torta. a2) em velas ou cartuchos filtrantes. . Teoria simplificada da filtração com formação de torta. – vasos de pressão com elementos verticais ou horizontais. IV.I. A figura abaixo mostra a torta (cake) formada pela acumulação dos sólidos contidos na suspensão alimentada ao filtro. A porosidade da torta é. c) Filtração centrífuga. A seguir será apresentada uma teoria da filtração de suspensões que durante o processo de filtração formam uma torta incompressível. b) Filtração sob pressão ou vácuo c) Filtração centrífuga.4.filtro de correia.filtro de discos rotativos. Tipos de filtro a) Filtração em bateladas. b) Filtração contínua. 9) = ⎢ ⎜ A ⎟ V + Rm ⎥ .4.4. c = massa de sólidos /massa de fluido na suspensão = Ms / MF .4. ao longo da torta. Um sistema de filtração pode ser configurado para manter constante a pressão na admissão do filtro independentemente da vazão da suspensão. d V A∆P ⎣⎝ ⎠ ⎦ As suposições feitas no início deste item permitem considerar α. com o volume de filtrado. e tem dimensões de [Rm ] = L−1.4. Há a necessidade de uma relação adicional entre estas duas variáveis para permitir sua integração.8) . (IX. A espessura da torta aumenta. e a integração conduz ao resultado: 48 . pois: ∂(1 − ε ) ∂ qs (IX. Filtração a pressão constante. ρFcV (IX. ρF V (1 − ε ) ρS A Com esta expressão para a espessura da torta em função do volume de filtrado obtém-se ⎡ ρFcV ⎤ ⎡ αρ c ⎤ 1 dV (IX. (IX. as duas permeabilidades as equações podem ser integradas e decorem: µL P1 − Pm = ∆PT = qf . no meio filtrante. linearmente.7) . ⎤ dt µ ⎡⎛ αρFc ⎞ (IX.5) km A soma destas duas equações dá como resultado a queda de pressão total ∆P = µ (L / k + Lm / k m ) qf . Em todas as posições ao longo da torta a velocidade da fase de sólidos.8) pode ser escrita na seguinte forma.hipótese. ∂t ∂x e ε é constante se e apenas quando a velocidade de dos sólidos é nula.4) k µL Pm − P0 = ∆Pm = m qf .4. que aplica-se à torta e ao meio filtrante. ∂P µ − + qf = 0. A queda de pressão é determinada pela equação do movimento do fluido. e a taxa de filtração.2) ∂x k ∂P µ − + qf = 0. (IX. (IX.e. Estas duas hipóteses são compatíveis com o balanço de massa dos sólidos. no tempo e no espaço.3) ∂ x km Supondo constantes. Seja c a razão de sólidos contidos na suspensão i. (IX.1) + = 0. Para este caso a Eq.4. v s = 0 . ∆P = µ ⎢ + Rm ⎥ qf = µ ⎢ F V + Rm ⎥ ⎣ A ⎦ A dt ⎢ (1 − ε ) AρSk ⎥ ⎣ ⎦ c= Nesta expressão α = (1 − ε ) ρS AL ⇒ L = 1 é a resistividade da torta. (IX. constante tanto em relação ao tempo quanto em relação à posição.6) O termo Lm / k m ≡ Rm é denominado resistência do meio filtrante.4.4. e Rm como constantes. Ela fornece uma relação entre a ρS (1 − ε ) k queda de pressão na durante a filtração. na qual a força resistiva é determinada pela lei de Darcy.4.4. uma vez que ela contém a totalidade dos sólidos contidos na suspensão. α.17) .4. quando VF / t T é máximo.15) Produção máxima. A∆P ⎣⎝ ⎠ ⎦ conhecido como “parábola de filtração”.4. O tempo de lavagem será então: BVF B = ( 2aVF + b ) . é mínimo.4. então o tempo de lavagem será tL = VL / QL . com coeficiente angular igual a “a”. A observação do primeiro desvio da reta permite o cálculo da porosidade da torta. e o linear igual a “b”. ρF .Rm . ⎝ d t ⎠final C é igual a 1. caso em que a água atravessa duas espessuras de torta.12) Lmax = F max = equadro / 2. Frequentemente as especificações do processo produtivo incluem a necessidade da lavagem da torta. e 2. e QL é sua vazão.4. i. Dados experimentais fogem da linha reta quando os quadros do filtro estiverem cheios. onde a = . 49 (IX. A produção do filtro é máxima quando o tempo total necessário para a filtração de determinado volume VF é mínimo. tL = (IX.16) (IX. as propriedades da suspensão. C⎠ ⎝ ⎝ C⎠ onde t0 é o tempo morto no qual o filtro é aberto. e a filtração prosseguirá por preenchimento pos poros da torta. as propriedades da torta. com o dobra da velocidade do fluido filtrado. e igual a ¼ se o filtro possui “placa de lavagem”.4.13) QL = C ⎜ ⎟ . Admite-se a suposição que a vazão será proporcional à vazão ao final da filtração. e se o percurso da água ao atravessar a torta é proporcional a espessura da torta. dimensionamento de um filtro Neste item consideramos que são conhecidas as seguintes variáveis: 1.14) C ⎛ dV ⎞ C⎜ ⎟ ⎝ d t ⎠final Com esta expressão podemos calcular o tempo total de um ciclo de filtração B⎞ ⎛ ⎛ B⎞ t T = tF + tL + t 0 = a ⎜ 1 + 2 ⎟ VF2 + b ⎜ 1 + ⎟ VF + t 0 . (1 − ε ) AρS t= Lavagem da torta.4. c. µ.e. e a do filtrado forem idênticas. ε .4.11) 2 2A ∆P A ∆P Esta equação quando locada em gráfico t/V versus V tem a forma de uma reta.10) ⎢⎜ 2A ⎟ V + Rm V ⎥ . Escreve-se sob estas condições: ⎛ dV ⎞ (IX. pois a máxima espessura ρ cV (IX. caso em que a torta formada não pode mais aumentar de espessura.⎤ µ ⎡⎛ αcρF ⎞ 2 (IX. ou. = a ⎜ 1 + 2 ⎟ − 02 = 0 ⇒ VF = B⎞ d VF C ⎠ VF ⎛ ⎝ a ⎜1+ 2 ⎟ C⎠ ⎝ Daí deduz-se o tempo ótimo de filtração e o tempo ótimo do ciclo. se o percurso da água é o mesmo que o do fluido filtrado. (IX. que é retificada quando se escreve sob a forma µαρFc µRm t / V = aV + b.4. o que é justificável se a viscosidade da água de lavagem. e VL = BVF . Se VL é o volume de água de lavagem a ser empregado. equivalentemente. tT C⎠ ⎝ ⎝ C ⎠ VF d ( t T / VF ) t0 B⎞ t ⎛ . VF B⎞ ⎛ ⎛ B⎞ t = a ⎜ 1 + 2 ⎟ VF + b ⎜ 1 + ⎟ + 0 . por redução da porosidade. ρS . limpo e remontado. eb= . (IX. O melhor possível é dividir igualmente o tempo entre a filtração e o tempo morto empregado na limpeza do filtro.5 15. e o volume de filtrado em cada ciclo deverá ser VF = V ∗ / Nciclos .4.18) t0 ⎛ B⎞ t T = 2t 0 + b ⎜ 1 + ⎟ .10) V∗ µ ⎡⎛ αcρF ⎞ 2 Rm ⎤ (IX.6 22. com a recomendação de dimensões nominais dos quadros. e uma vez conhecida a área é possível determinar a espessura do quadro fazendo uso da Eq.4. onde VF = .) 12 18 24 30 36 43 ¼ 48 a 56 50 Área efetiva por quadro (pe2) 1.2 28. ρFcVF (IX.4. e t T = 2t 0 + b 0 . (IX. ⎝ C ⎠ a ⎛1+ 2 B ⎞ ⎜ C⎟ ⎝ ⎠ Note que se a operação do filtro prescinde da lavagem então t t (IX. Quando Rm é significativo. e quando há lavagem estas a divisão dos tempos obedece relações diferentes dadas pelas equações (IX.4. A Nciclos ∆P ⎢⎜ 2A 2 ⎟ ⎠ ⎣⎝ ⎦ Nesta apenas a área de filtração é desconhecida. Suponha agora que se deseje projetar um sistema de filtração a pressão constante para filtrar V ∗ m3 de uma suspensão em uma jornada diária de trabalho de t ∗ horas. (IX.22) L= ≤ e / 2. (IX.18) verifica-se que elas não dependem da área de filtração já que o termo b / a presente no segundo termo das duas é: b/ a = µαρF / ( 2∆P ) µRm / ∆P = µ∆P Rm αρF / 2 . Por fim.9 7.19) B = 0 ⇒ tF = t 0 + b 0 .0 10.4.4.2 tF = aVF + bVF = t0 B⎞ ⎛ ⎜1+ 2 C ⎟ ⎝ ⎠ +b t0 B⎞ ⎛ a ⎜1+ 2 ⎟ C⎠ ⎝ . retirada da torta. O sistema opera em produção apenas 50% do tempo.7 3. A partir deste escreve-se a equação da parábola (IX.7). Área de filtração (pe2) 5 a 35 30 a 100 75 a 250 150 a 450 250 a 700 500 a 1000 >1000 Dimensões dos quadros (pol.18).8 a 48 . a a e se a resistência do meio filtrante é desprezível então tF = t 0 .21) tF = VF + VF ⎥ . e pode portanto ser calculada.20) Este fato é responsável por ser possível a determinação dos tempos ótimos e do número ótimo de ciclos diários. determinada pelo método apresentado deve ser decomposta no produto do número de quadros vezes a área de cada quadro e isto deve ser feito com o auxílio do catálogo do fabricante. e t T = 2t 0 .4. (1 − ε ) ρS A A área total de filtração. e os outros 50% são reservados à abertura. Observando as equações (IX.4. O número de ciclos diários será Nciclos = t ∗ / t T . E comum a apresentação de ampla faixas de área total de filtração. A tabela abaixo apresenta a recomendação do fabricante Shriver.4. limpeza do meio filtrante e remontagem do filtro. 3) = ⎜ ωRH ⎟ + µRm ⎜ ωRH ⎟ 2 ⎝ ω ⎠ ⎝ ⎠ Esta é uma equação de segundo grau para a vazão cuja raiz positiva é t= 2 Rm + ∆Pφαc / ( µω) − Rm ⎛ Q ⎞ (IX.1) dá 2 ∆Pφ µαc ⎛ Q ⎞ ⎛ Q ⎞ (IX. 2∆P ⎜ A ⎟ ∆P ⎜ A ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ onde V é o filtrado em um ciclo de revolução do tambor.e. de forma que é possível considerar uma operação de filtração a pressão constante. e há formação de torta. (IX. o que traz como conseqüência que as partículas que a compõe são imóveis.4) . (IX. i.e. Pages 1323-1336. A torta formada é considerada incompressível. Como vimos. Se ω é sua velocidade angular e φ o ângulo de submergência do tambor.5. April 2003. A velocidade de rotação do tambor sendo também constante é possível considerar a evolução da espessura da torta formada sobre um elemento de área na superfície do tambor empregandose as equações apresentadas no item anterior.5. frequentemente a vácuo. Chemical Engineering Science. e os balanços de massa de cada fase escritos para o escoamento unidirecional.5.4.1) + ⎟. com fases incompres-síveis.IX.5. e a espessura da torta cresce linearmente com o volume de filtrado. 2 IX.5.4). Resulta deste processo que as velocidades superficiais das duas fases sejam variáveis. Por isso. = ⎜ ωRH ⎟ αc ⎝ ⎠ Os resultados destas duas últimas seções aplicam-se a sistemas de filtração onde as suposições da teoria simplificada sejam válidas. An assessment of the conventional cake filtration theory. Como conseqüência a porosidade decresce expulsando o fluido dos poros da torta. A validade das suposições básicas empregadas na sua formulação será agora examinada.2) A substituição destas interpretações na Eq.5 Filtração em filtro rotativo Um filtro rotativo opera continuamente. para todo valor de x. Volume 58. µαc ⎛ V ⎞ µRm ⎛ V ⎞ (IX. durante a filtração os sólidos da suspensão são retidos pelo meio filtrante. Assim é que a equação de Darcy pode ser escrita em termos da velocidade superficial do fluido como está proposto na Eq. ps ( x. e Q = ωRHV.6 Avaliação da teoria simplificada A análise que segue tem por base o trabalho de Tien e Bai 1. e a velocidade relativa entre as fases seja igual à velocidade do fluido. Consideramos a filtração conforme apresentada na figura IX. O vácuo estabelecido no interior do tambor é mantido por um sistema de bomba de vácuo. a fração submersa da circunferência do círculo então o tempo de filtração e a vazão de filtrado são dados por: t = φ / ω.4. Issue 7. 1) Chi Tien and Renbi Bai. 1 51 . à medida que a filtração prossegue as varias camadas de torta ficam sujeitas a uma pressão crescente atuando na fase de sólidos. (IX.t ) aumenta com t.1. Todas as tortas de filtração têm alguma compressibilidade. i. Gráficos comparativos são apresentados na referencia citada. I. e p0 é a queda de pressão total até a s s interface torta-meio filtrante.4. α 0 .6. ⎝ ps ⎠ 0 n 0 −δ ⎛ ps ⎞ (IX. (1 − εs ) εs e com ela escreve-se a equação de Darcy Eq. δ. As condições de contorno na superfície da dx torta ps (L ) = 0. Issue 8. O caso unidirecional será tratado aqui. em conseqüência da Eq.5). ⎝ ps ⎠ 0 s β ∂(1 − ε s ) ∂(1 − ε s ) v f (IX. Uma boa referencia recente sobre o assunto é deIliuta e Larachi2. ⇒ = ∂t ∂x ∂t ∂ x onde x é a posição de distância ao meio filtrante. respectivamente. Pages 563-568.1) ∂ε s ∂ε s v s ∂ε ∂ qs . A queda de pressão do fluido que atravessa o leito é dada pela Eq.6.6. A velocidade relativa entre as fases é: q qf (IX. = ∂t ∂x ∂t ∂x (IX. e p f (L ) = P = pressão total na entrada do filtro.6. and F. A solução destas equações requer a especificação de equações constitutivas para ε s = ε s ( ps ) . + = 0. Comptes Rendus Mecanique. ⎝ ps ⎠ onde ε0 . Iliuta.∂ε s ∂ qf . O projeto destas unidades depende de dados obtidos em planta piloto e de modelos semi-empíricos. Estas são dadas por equações empíricas da forma: + =− ⎛ ps ⎞ εs = ε ⎜ 1 − 0 ⎟ . industrias.4). a pressão no fluido e a pressão no sólido são relacionadas à pressão total dP P = pf + ps . através do qual percola uma suspensão cujas partículas são parcial e progressivamente retidas pelo meio poroso. Larachi. e de k = k ( ps ) . e n são constantes empíricas. (VIII. Considera-se um leito de partículas inicialmente co porosidade ε0 . Colmatage des réacteurs gaz–liquide à lit fixe: Plugging in two-phase flow packed beds.k 0 .6. 2 52 .7 Filtração em leito granular A filtração em leito granular ocupa uma posição de destaque na remoção de particulados nos processos de tratamento de água para suprimento de cidades. e = 0.2) u = vf − vs = − s. IX. q qf ∂p f k (IX. 2002. Uma vez conhecidas estas relações o sistema de equações pode ser resolvido e os resultados comparados com os da teoria simplificada. e no tratamento de rejeitos industriais. na reciclagem da água. e qf . β.3.4) (IX. ou de α = α ( ps ) .6.5) ⎛ ps ⎞ k = k ⎜1− 0 ⎟ . e qs as velocidades superficiais do fluido e sólido. (IX. (1 − εs ) εs (1 − εs ) ∂ x onde a pf . Volume 330.3) u= − s = .6) α = α ⎜1− 0 ⎟ . t ) ≥ εc .5) = qf c. pois as partículas da suspensão são retidas pelo leito de uma forma aleatória. ∂t Dada a queda de pressão no leito poroso.7. com porosidade inicial ε0.7.2) − onde εc é um valor crítico da porosidade para a qual a permeabilidade torna – se nula. que recebe uma suspensão com concentração volumétrica de partículas sólidas c0. qf c é o fluxo de particulados que passa por um ponto do meio poroso. 53 .3) em um sistema fechado. São propostas as seguintes: ⎛ ε − εc ⎞ k = k 0 ( ε0 ) ⎜ ⎟ . (profundidade). ∂ x k 0 ⎝ ε − ε0 ⎠ ∂( εc ) ∂( qf c ) + = − qf c. por unidade de tempo. e do tempo.7.4) ∂P µ ⎛ ε − εc ⎞ − = ⎜ ⎟ qf .1) e (IX. Esta taxa requer uma equação constitutiva que adicionada a que determina a permeabilidade em função de porosidade transforma o sistema (IX.7. O balanço de massa de sólidos na suspensão que atravessa o meio poroso e a de sólidos na fase particulada são escritos sob a forma. (IX. considerando estacionaria esta última: ∂( εc ) ∂( qf c ) + = −σp .7. n (IX. ∂t ∂x (IX. ∂t ∂x ∂(1 − ε ) −3 (IX. Admitese que ε0 ≥ ε ( x.7.3) ∂(1 − ε ) = σp .1) = qf ∂x k Onde a permeabilidade em cada ponto do leito depende da posição. então este sistema pode ser resolvido numericamente resultando em particular a curva de decaimento da vazão de filtrado. ⎝ ε − ε0 ⎠ σp = qf c.∂P µ (IX.7. onde é comumente tomado n = 3. ∂t σp é a taxa de captura das partícula em suspensão pelo meio poroso.