Operaciones 2

xviiiPREFACIO SECCIÓN I • Los tubos de calor y los intercambiadores de placas se incluyen en el capítulo sobre equipo de intercambio calórico. • Los capítulos sobre destilación contienen secciones revisadas de destilación fla sh o instantánea, lím ites de inundación y eficiencia de los platos. • Se adicionaron correlaciones de velocidad de secado y un estudio de la eficiencia térmica de secado. Introducción RECURSOS ADICIONALES Esta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseñanzaaprendizaje, así com o la evaluación de los m ism os, los cuales se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener más información y conocer la política de entrega de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill. RECONOCIMIENTOS Apreciamos la ayuda brindada por los científicos de el laboratorio Merck: Ann Lee, Russel Lander, M ichael Midler y Kurt Goklen quienes nos proporcionaron valiosa información acerca de las bioseparaciones. También agradecemos a Joseph Gonyeau de Klickitat Energy Services por la fotografía de una torre de enfriamiento de tiro natural. N os gustaría agradecer a las siguientes personas por sus comentarios, sugerencias y críticas: B. V. Babu Huan-Jang Keh N ational Taiwan University Birla Institute o f Technology and Science James R. Beckman Virginia Polytechnic Institute and State University Kumar Mallikarjunan Arizona State University Stacey G. Bike Parimal A. Parikh S. V. National Institute o f Technology U niversity o f Michigan, A nn Arbor Man Ken Cheung Timothy D. Placek Auburn University The Hong Kong Polytechnic University K. S. Chou A. Eduardo Saez University o f Arizona N ational Tsing H ua University Tze-W en Chung Baoguo Wang Tianjing University Yun-Lin University o f Science and Technology James Duffy G. D. Yadav University Institute o f Chemical Technology, India M ontana State University Raja Ghosh I-Kuang Yang Tung H ai University M cM aster University Vinay G. Gupta Shang-Tiang Yang Ohio State University University o f Illinois-Urbana Champaign Keith Johnston Gregory L. Young University o f Texas San Jose State University CAPÍTULO 1 Definiciones y principios La ingeniería química trata de procesos industriales en los que las materias primas se transforman o separan en productos útiles. El ingeniero químico tiene que desarrollar, diseñar y encargarse de la ingeniería del proceso com pleto, así com o del equipo que se utiliza; selecciona las materias primas adecuadas; hace operar las plantas con eficiencia, seguridad y economía; y supervisa que los productos cumplan los requerimientos exigidos por los consumidores. La ingeniería química es un arte y una ciencia. El ingeniero utilizará la ciencia siempre que le permita resolver un problema. Sin embargo, en la mayoría de los casos, la ciencia no es capaz de proporcionarle una solución completa, y entonces tendrá que recurrir a su experiencia y criterio. La capacidad profesional de un ingeniero depende de su habilidad para combinar todas las fuentes de información para alcanzar soluciones prácticas a los problemas que se le presentan. La variedad de procesos e industrias que requieren de los servicios de los in genieros químicos es enorme. Los productos que conciernen al radio de acción de los ingenieros químicos a partir de sustancias químicas, tales com o el ácido sulfúrico y el cloro para producir artículos de alta tecnología com o soportes litográficos poliméricos para la industria electrónica, materiales compuestos de alta resistencia y agentes bioquím icos modificados genéticamente. Los procesos descritos en los tratados más conocidos sobre tecnología química y las industrias de procesos, permiten tener una idea bastante completa del campo que abarca la ingeniería química. U n ejemplo es el reporte de 1988 del National Research Council acerca de la profesión.1 , 8t A causa de la variedad y complejidad de los procesos modernos, este texto no es práctico para cubrir todos los temas que comprenden la asignatura de ingeniería química bajo una sola denominación. El campo se divide en sectores convenientes, pero arbitrarios. Este libro abarca la parte de ingeniería química que se conoce con el nombre de operaciones unitarias. t Los superíndices num éricos que aparecen en el texto corresponden a las referencias bibliográficas num eradas al final de cada capítulo. 4 CAPITULO 1 Definiciones y principios SECCIÓ N I Introducción 5 OPERACIONES UNITARIAS exclusivo, tanto para las materias de ingeniería y las científicas; pero los sistemas más antiguos, particularmente los sistemas centímetro-gramo-segundo (cgs) y de ingeniería gravitacional pie-libra-segundo (fps), todavía se usan y probablemente continuarán utilizándose por algún tiempo. El ingeniero químico encuentra muchos datos físicoquím icos expresados en unidades cg s; aunque m uchos de los cálculos se realizan de una forma más conveniente en unidades fps. Por otra parte, las unidades del SI alcanzan un uso creciente tanto en ciencia com o en ingeniería. A sí que es imperativo convertirse en un experto en el uso de los tres sistemas. En el tratamiento que sigue, se estudia primero el sistema SI y posteriormente se derivan los demás sistemas a partir de él. Sin embargo, el proceso histórico ha sido al contrario, ya que las unidades SI evolucionaron a partir del sistema cgs. Debido a la importancia creciente del sistema SI, debería tener lógicamente la preferencia. Si, con el tiempo, los otros sistemas desaparecen progresivamente, habrán de ignorarse para utilizar de manera exclusiva el sistema SI. Cantidades físicas Toda cantidad física consta de dos partes: una unidad, que expresa la cantidad de que se trata y da el estándar para su medida, y un número, que indica cuántas unidades se necesitan para completar la cantidad. Por ejemplo, la afirmación de que la distancia entre dos puntos es 3 m expresa lo siguiente: se ha medido una longitud determinada; para medirla se ha elegido una unidad de longitud estándar, denominada metro; y para cubrir la distancia desde un extremo hasta el otro se necesitan tres unidades de 1 m. Si un número entero de unidades resulta demasiado pequeño o demasiado grande para cubrir una distancia determinada, se definen submúltiplos, que son fracciones de la unidad, de manera que sea posible realizar la m edida con cualquier grado de precisión en términos de las unidades fraccionarias. Ninguna cantidad física está definida mientras no se proporcionen tanto el número com o la unidad. U n método muy conveniente para organizar la materia de estudio que abarca la ingeniería química se basa en dos hechos: 1) aunque el número de procesos individuales es grande, cada uno puede s er fragmentado en una serie de etapas, denominadas operaciones, que s e repiten a lo largo de los diferentes procesos ; 2) las operaciones individuales tienen técnicas comunes y se basan en los m ism os principios científicos. Por ejemplo, en la mayoría de los procesos es preciso mover los sólidos y los fluidos; transferir calor u otras formas de energía de una sustancia a otra, y realizar operaciones com o el secado, reducción del tamaño, destilación y evaporación. El concepto de operación unitaria es el siguiente: mediante el estudio sistemático de estas operaciones en sí m ism os —operaciones que evidentemente constituyen la trama de la industria y las líneas de producción— se unifica y simplifica el tratamiento de todos los procesos. Los aspectos estrictamente químicos de los procesos, se estudian en un área compatible de la ingeniería química llamada cinética de la reacción. Las operaciones unitarias se utilizan ampliamente para realizar las etapas físicas fundamentales de la preparación de reactantes, separación y purificación de productos, recirculación de los reactantes no convertidos, y para controlar la transferencia de energía hacia o desde el reactor químico. Las operaciones unitarias son aplicables a m uchos procesos tanto físicos com o químicos. Por ejemplo, el proceso empleado para la manufactura de la sal común consiste en la siguiente secuencia de operaciones unitarias: transporte de sólidos y líquidos, transferencia de calor, evaporación, cristalización, secado y tamizado. En este proceso no intervienen reacciones químicas. Por otro lado, el cracking del petróleo, con o sin ayuda de un catalizador, es una reacción química típica realizada a gran escala. Las operaciones unitarias que se efectúan en este proceso —transporte de fluidos y sólidos, destilación y separaciones mecánicas diversas— son todas de una importancia vital y la reacción de cracking no podría realizarse sin ellas. Las etapas químicas se llevan a cabo controlando el flujo de materia y energía hacia y desde la zona de reacción. Aunque las operaciones unitarias son una rama de la ingeniería, se basan de igual manera en la ciencia y la experiencia. Se deben combinar la teoría y la práctica para diseñar el equipo, construirlo, ensamblarlo, hacerlo operar y darle m antenimiento. Para un estudio com pleto de cada operación es preciso considerar de manera conjunta la teoría y el equipo, lo que constituye el objetivo de este libro. Unidades SI El sistem a SI cubre todo el cam po de la cien cia y la ingeniería, incluyendo el e le c trom agnetismo y la ilum inación. Para los propósitos de este libro, es suficiente un subconjunto de unidades SI que com prendan la quím ica, la gravedad, la m ecánica y la termodinámica. Las unidades son derivables de: 1) cuatro proporcionalidades de quím ica y física; 2) estándares arbitrarios para la m asa, la longitud, el tiem po, la temperatura y el m ol, y 3) eleccion es arbitrarias para los valores num éricos de dos constantes de proporcionalidad. Fundamentos científicos de las operaciones unitarias Para el estudio de las operaciones unitarias, son fundamentales diversos principios científicos y técnicas. Algunos de ellos son leyes físicas y químicas elementales tales com o la conservación de la masa y energía, equilibrios físicos, cinética y ciertas propiedades de la materia. Su uso general se describe en el resto de este capítulo. Otras técnicas especiales y de importancia en ingeniería química serán estudiadas en dos lugares pertinentes del texto. SISTEMAS DE UNIDADES Ecuaciones básicas Las proporcionalidades básicas, cada una escrita com o una ecuación con su propio factor de proporcionalidad, son El sistema internacional oficial de unidades es el SI (Systèm e International d’Unités). En la actualidad se realizan grandes esfuerzos para su adopción universal com o el sistema Las constantes k 1y k2 no son independientes sino que están relacionadas entre sí eliminando F de las ecuaciones (1.1) y (1.1 El estándar de tiempo es el segundo (s).01115. dicho valor es constante y sólo depende de las unidades utilizadas en la medida de las variables de la ecuación. Estándares Por acuerdo internacional. 6. es un cilindro de platino que se conserva en Sèvres. El estándar de masa es el kilogramo (kg).1) es la segunda ley de N ew ton del m ovimiento.6 CAPITULO 1 Definiciones y principios SECCIÓ N I Introducción 7 F = k1 — (m u) dt (1. k2. que expresa la fuerza de atracción entre dos partículas de masas may m h separadas entre sí una distancia r. k4 = fuerza = tiempo = masa = velocidad = distancia = trabajo = calor = presión = volumen = temperatura absoluta termodinámica = factores de proporcionalidad El estándar de longitud es el metro (m). Francia. La definición de m ol es equivalente a la afirmación de que la masa de un m ol de una sustancia pura en gramos es numéricamente igual a su peso m olecular calculado a partir de la tabla estándar de pesos atómicos. El número de moléculas en un gramo m ol está dado por el número de Avogadro. que expresa la proporcionalidad entre la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m y el aumento con el tiempo del momento (o momentum o cantidad de m ovim iento) de la partícula en la dirección de la fuerza resultante.5) 1 N = 1 kg • m /s2 (1. k3. La ecuación (1. se denomina new ton (N).2) es la ley de N ew ton de la gravitación.3) (1.2). la única temperatura a la que el agua líquida. tiempo.2). los términos kilogramo m ol y libra m ol se utilizan comúnmente para designar la masa de una sustancia pura en kilogramos o libras que sean iguales a su peso molecular. Cada una de las ecuaciones establece que si se dispone de m edios para medir los valores de todas las variables de la ecuación y se calcula el valor de k.5). k 1se fija com o la unidad y k2 se obtiene experimentalmente. también usada en la ecuación (1.1) p^o m donde1 " F t m u r W Q P V T k l. En el sistema SI. longitud. El m ol (abreviado de igual forma) se define7 com o la cantidad de una sustancia que contiene tantas unidades primarias com o átomos hay en 12* g de 12C. que se define asignando el valor de 273. Evaluación de constantes A partir de los estándares básicos. La ecuación (1.2). definido com o 9 192 631. En los cálculos de ingeniería. D e esta forma se obtiene: k1 _ d(m u)/dt k2 mam blr 2 Tanto k 1com o k2 se pueden fijar en forma arbitraria.022 X 1023. Este número difiere de 12* porque se aplica a la m ezcla isotópica natural del carbono en lugar de hacerlo al 12C puro. se m iden los valores de m.16* K a la temperatura del agua pura en su punto triple.2) en kilogramos.4) (1.3) es el enunciado de la primera ley de la termodinámica.1) y (1.2) (1. temperatura y mol.770* ciclos de frecuencia de una cierta transición cuántica de un átomo de 133Ce. el hielo y el vapor de agua coexisten en equilibrio. es preciso obtener las demás constantes por medio de experimentos en los cuales las fuerzas de inercia calculadas por la ecuación (1.5) La fuerza definida por la ecuación (1. Entonces la ecuación (1. Por lo tanto. Éstas son cinco de las unidades base del SI. 1El asterisco al final de cada núm ero significa que el núm ero es exacto.1) se comparan con las fuerzas de gravitación calculadas por la ecuación (1. . los estándares se fijan arbitrariamente para las cantidades de masa. r en metros y u en metros por segundo.6) La ecuación (1. por definición. m a y m h de las ecuaciones (1.1) se convierte en: d F = — (m u) dt (1.4) establece la proporcionalidad entre la temperatura absoluta termodinámica y el lím ite para presión cero. en la cual el peso atómico del C está dado por 12. del producto presión-volumen de una masa definida de cualquier gas. Establece la proporcionalidad entre el trabajo realizado por un sistema cerrado durante un ciclo y el calor absorbido por el sistema durante el m ism o ciclo. La ecuación (1. definido5 (desde 1983) com o la longitud de onda de la ruta recorrida por la luz en el vacío durante un periodo de 1/299 792 458* de un segundo. El estándar de temperatura es el K elvin (K). 1Al final de cada capítulo se presenta una lista de símbolos. definido com o la masa del kilogramo internacional. A partir de la ecuación (1. A continuación se mencionan los estándares comúnmente utilizados. 15 K. En la escala Celsius. Temperatura Unidades decimales La cantidad p V /m en la ecuación (1. . las temperaturas se expresan en la escala Celsius. llamada p a sc a l (Pa). es muy pequeña. Unidades de presión La unidad de presión en el sitema SI es el newton por metro cuadrado.01 K inferior al punto triple del agua.1.00 °C.4) para eliminar k4 de la ecuación (1. en la cual el punto cero se considera com o el punto de congelación del agua. la temperatura del vapor de agua medida en forma experimental. se utiliza la aceleración de la caída libre en el campo gravitacional de la Tierra.13) lím n . La ecuación (1. sólo es necesario mantener la tem peratura constante.— p ^ ----lím p^ ü (p V/m) ü La ecuación (1.8 CAPITULO 1 Definiciones y principios SECCIÓ N I Introducción 9 La constante k2 se representa por G y se denomina constante de gravitación. A partir de deducciones basadas en la ecuación (1. Para la situación especial en la cual el termostato contiene agua a su punto triple.3) se convierte en: Qc = Wc (1.14) Temperatura Celsius En la práctica.3) en forma arbitraria. definido com o la temperatura de equilibrio del hielo y aire saturado de vapor de agua a la presión de 1 atmósfera (atm). el valor lím ite se representa por (pV/m)0. En el sistema SI. definido por 1 bar = 1 x 105 Pa = 1 x 105N /m 2 (1. la ecuación (1. que se representa por g. El tiempo puede expresarse en unidades no decimales: minutos (min). Varía ligeramente en función de la latitud y la altura sobre el nivel del mar.9) El calor. Con un gas elegido de forma arbitraria. Su valor recomendado es4 Prefijos SI y cgs para múltiplos y submúltiplos Factor tera Prefijo Abreviatura Factor Prefijo Abreviatura TABLA 1. es casi constante.16---. La temperatura Celsius (°C) se define por: T °C = T K .4) conduce a En el sistema SI. Los valores de p V /m a varias presiones y a temperatura constante se extrapolan a presión cero para obtener el valor lím ite requerido en la ecuación (1. es 100.12) Es posible fijar la constante k3 de la ecuación (1. horas (h) o días (d). por lo que también se utiliza un m últiplo.2). Están listados en la tabla 1. llamado bar. una unidad llamada jo u le (J). se considera al igual que kp com o la unidad.15 (1. Para cálculos precisos. se encuentra que el punto de congelación del agua es 0. una unidad llamada w att (W). 0 (pV/m )T T = 273. es 273. y de esta manera 1 J = 1 N •m = 1 kg •m 2/s2 (1. al igual que el trabajo.80665* m /s2 (1.10).10) Para un experimento a la temperatura T en K elvin K. Gravedad estándar 273. se m iden en joules.7) Trabajo.273.) p ^ 0\ m ) 0 (1. esta magnitud.1 G = 6. que corresponde al punto de ebullición del agua a la presión de 1 atm. se utiliza la ecuación (1. energía y potencia d c m n n P f a En el sistema SI. pero no su magnitud.8) 101 2 109 106 103 102 101 giga mega kilo hecto deca T G M k h da La potencia se m ide en joules por segundo. Esta unidad. tanto el trabajo com o la energía se m iden en newton-metros.6726 x 10-11N •m 2/k g 2 (1. se ha establecido un estándar arbitrario gn definido por g n = 9.16 = k4 lím [ p V . y por lo tanto.11) Para ciertos propósitos. se define una sola unidad para cada magnitud. En este experimento.4) a la temperatura del termostato. Para este experimento.11) es la definición de la escala K elvin de temperatura a partir de las propiedades experimentales presión-volumen de un gas real. esta cantidad se determina m idiendo p y V de m kg de gas sumergido en un termostato. 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-1 2 10-1 5 10-18 deci centi mili micro nano pico femto ato Calor En forma experimental. y resulta (1.4) se puede medir en (N/m 2)(m3/kg) o J/kg. pero también se reconocen múltiplos y submúltiplos decimales con nombres propios. 3 kg (1. Como en el SI. definida como (1. se define com o (1. tanto en actividades comerciales com o en ingeniería. es (1.3) se convierte en W = JQ C (1.30) 1 calIT = 4. La aceleración estándar de la caída libre en unidades fps. termodinámica de ingeniería química y cinética de reacción. La ecuación (1.(491.25) El estándar para la longitud es el centímetro (cm ).24) El sistema más antiguo centímetro-gramo-segundo (cgs) se puede derivar del sistema SI tomando ciertas decisiones arbitrarias.10 CAPITULO 1 Definiciones y principios SECCIÓ N I Introducción 11 Una unidad de presión empírica más común. definida por 1 din ^ 1g •cm/s2 (1.22) Libra fuerza El sistema fps se caracteriza por una unidad gravitacional de fuerza.) definida com o 2.1) se fija com o la unidad.29) (1. es g n = 980.17) El estándar de tiempo sigue siendo el segundo (s). La escala termodinámica de temperatura recibe el nombre de escala Rankine.21) 1 cal = 4. en la que las lecturas se re presentan por grados Fahrenheit. definida com o (1.16) 1 ft = 2. El sistema puede derivarse del SI considerando las decisiones siguientes.1868* J La caloría también se define de tal forma que el calor específico del agua es aproximadamente 1 cal/g • °C.26) Los estándares de tiempo. llamada caloría (cal). la constante k 1de la ecuación (1. usada en la ingeniería de potencia de calor. La escala análoga de la Celsius es la escala Fahrenheit.01325 bars Unidades cgs 1 lb = 0.8 (1.15 X 1. Se deriva de la escala Rankine.18) La unidad de energía y trabajo es el ergio (erg). temperatura y m ol no se modifican.54 x 12 x 10-2 m = 0.00 °F.67 (1.27) La constante k3 en la ecuación (1.28) Se han definido dos calorías diferentes.20) La relación entre las escalas Celsius y Fahrenheit se proporciona por la ecuación exacta siguiente: r °F = 32 + 1 . El estándar de masa es la libra (lb). con cinco cifras significativas.8 AT °F = AT K El punto de evaporación del agua es 212.1840* J La caloría de las tablas internacionales del vapor de agua (calIT ).1868* x 107 ergios = 4. Una unidad de calor. en la que las temperaturas se representan por grados Rankine y se definen com o 1 °R = 1 K 1.67 .8 = 491.54* cm.7 La caloría term oquím ica (cal). es la atm ósfera estándar (atm). tomando su punto cero exactamente 32 °F por debajo del punto de congelación del agua en la escala Rankine.67 °R. La constante 1/k3 se sustituye por J. se utiliza para convertir en ergios la unidad de calor. llamada libra fu e rza (lbf).01325* x 105Pa = 1.665 cm/ s2 (1. La aceleración estándar de la caída libre en unidades cgs. definido por 1 ergio = 1din • cm = 1 x 10-7 J (1. se define por (1.3) no es una unidad.1840* x 107 ergios = 4. (1. el sistema gravitacional de unidades no decimal.459. que representa el llamado equivalente m ecánico del calor y se m ide en joules por caloría.8 °C A partir de esta ecuación. definido por 1g = 1 x 10 . las diferencias de temperatura se relacionan por A T °C = 1. La unidad se define de tal forma que el campo gravitacional estándar ejerce una fuerza de una libra sobre la masa de una libra. La unidad de fuerza recibe el nombre de dina (din).32) = T °R .3048* m El estándar de longitud es la pulgada (in. Esto es equivalente a definir el pie (ft) com o (1.45359237* kg En algunos países se ha utilizado ampliamente.15) Unidades de ingeniería fps 1 atm = 1. El estándar para la masa es el gramo (g). utilizada con todos los sistemas de unidades.19) El punto de congelación del agua en la escala Rankine es 273. de tal manera que T °F = T °R . definido com o 1 cm = 1 x 10-2 m (1. utilizada en química.23) . Esta ecuación se aplica también a m ezclas de gases si n es el número total de m oles de todas las especies moleculares que forman el volumen V . (1. El valor numérico de R sólo depende de las unidades elegidas para la energía.174 m t lb • ft/s 2 (1. la constante k3 en la ecuación (1.34) R = 8.37) Puesto que comúnmente se utilizan tres sistemas de unidades. El ejemplo 1. donde n es el número de m oles. según la ley de Avogadro. ya que los factores de conversión para todas las demás unidades pueden calcularse a partir de ellos. b) unidades británicas térmicas Btu a calorías IT. es posible sustituir k4. el caballo de fu e r z a (hp).9859 X 103 1.36) Conversión de unidades Como en el sistema cgs. . el volumen estándar a 1 atm y 32 °F es 359 ft3/lb mol. La definición de la Btu requiere que el valor numérico del calor específico sea el m ism o en ambos sistemas y que en cada caso el calor específico del agua sea aproximadamente 1. Sólo se requieren los factores de conversión definidos para las unidades base.056 X 10-3 X 273 = 22.25) y (1.26).056 X 10-3 82. por El valor experimental aceptado para R es6 8 314.34) y (1.12 CAPITULO 1 Definiciones y principios SECCIÓ N I Introducción 13 La libra fuerza se define por Valores de la constante de los gases R TABLA 1. calcule factores para convertir a) newtons a libras fuerza. la longitud y la temperatura por las ecuaciones (1.4) se escribe de la manera siguiente: pV lím — —= R p^ 0 n T (1.1) con 1/gc en lugar de k Y : F = d ( m u)/dt (1. La unidad de calor es la unidad británica térm ica (Btu. .8198 X 10-4 gc = 32. EJEMPLO 1. los tres factores de conversión definidos para la masa. el llamado fa c to r de pro porcionalidad de la ley de N ew ton p a ra la unidad de fu e rza gravitacional.2.174 lb •ft/s2 •lb f (1. la temperatura y el m ol.31447 x 107 ergios/K • mol (1. donde J es el equivalente m ecánico del calor.4 m3 o 22.33) Grados Rankine g mol lb mol cm3-atm Btu ft Ŷlb.2 1 lb f = 32.3) se sustituye por 1/J. definido por 1 hp = 550 ft •lb f /s (1. En unidades fps.1) resulta F lb .2 se proporcionan valores de R en otras unidades de energía.31447 J/K • mol = 8. D e la tabla 1.17 ft • lbf /Btu. igual a 778. hp Ŷh kWh gc La comparación entre las ecuaciones (1.3 7.3048 en lugar del número fps 32.38) La unidad de trabajo y de energía m ecánica en el sistema fps es el pie-libra-fuerza (ft • lbf).31) Masa Energía R Entonces la ecuación (1.9858 1 545. que. Ambos emplean los m ism os estándares para el tiempo.8045 X 10-4 5.47 1. En las conversiones en las que interviene g c en unidades fps. por sus siglas en inglés). c) atmósferas a libras fuerza por pulgada cuadrada y d) caballo de fuerza a kilowatts. y únicamente se necesitan las conversiones decimales definidas por las ecuaciones (1. definida por la relación implícita 1 Btu / lb • °F = 1 calIT/g °C (1.35) muestra que para conservar tanto la igualdad numérica com o la consistencia de las unidades. temperatura y masa.9873 X 103 82. temperatura y masa. que puede sustituirse por la constante universal de los gases R.056 1. 1 Utilizando sólo definiciones y estándares exactos. es la m ism a para todos los gases.16) y (1. Constante de los gases Si la masa se m ide en kilogramos o gramos. f 32.35) En la tabla 1. Los sistemas SI y fps también utilizan el segundo com o el estándar de tiempo. Para ello se emplean factores de conversión. La potencia se m ide por una unidad empírica. se recomienda el uso de la relación numérica exacta 9.1 demuestra cóm o se calculan los factores de conversión a partir de números exactos utilizados para el establecimiento de las definiciones de las unidades de los sistemas SI y fps.17).4) difiere de un gas a otro. con frecuencia es necesario convertir las magnitudes de las cantidades de un sistema a otro.32) También es posible escribir la ecuación (1. es necesario definir g c. Las conversiones entre los sistemas cgs y SI son sencillas. es 82.1740 con el fin de obtener la precisión m áxima en el cálculo final y tomar ventaja de cancelaciones posibles de números durante el cálculo. 0 °C). son suficientes para todas las conversiones de unidades entre estos dos sistemas. respectivamente. el volumen de 1 kg m ol de gas en condiciones normales (1 atm.4 (L/g mol).174 lb •ft/s2 Temperatura Kelvins J c c m kg mol E -H (1. Pero cuando se usa el concepto de m ol com o una unidad de masa. la constante k4 en la ecuación (1.24). D e esta manera.0. Entonces la ecuación (1. V olum en m o la r estándar.80665/0. recordando usar gc y J cuando los ejemplos resueltos estén en unidades fps o cgs. y se mantienen todas las cifras en los valores de las constantes definidas.= 251.= .lb f 9.14) y (1.15) 1 atm = 1. Obviamente. . 1 hp = 0. rara vez se requiere una precisión tan elevada. 1k N 1. En el apéndice 1 se muestra que para convertir newtons a libras fuerza. Sin embargo.24). puesto que 1 ft = 12 in.45359237 x 0. Unidades y ecuaciones y así 0. 2 = --------------------------1 lb Ŷ ft/s2 .36) Precisión de los cálculos 1 lb 1°F 1 Btu = 1 calIT T g 1°C 1 lb 1 kg 1°F = 1 cal IT Ŷ IT 1 kg 1 g 1°C A partir de las ecuaciones (1. En este texto.35).14 CAPITULO 1 Definiciones y principios SECCIÓ N I Introducción 15 Solución Sustituyendo en la ecuación (1. . (1.74570 kW a) A partir de las ecuaciones (1.224809.3048 1 lb Ŷ ft/s2 = ---------. se cancelan todas las unidades de cada término y únicamente quedan las magnitudes numéricas. de tal manera que las constantes definidas y experimentales pueden truncarse para el número de cifras apropiadas en cada caso.01325 X 105 kg Ŷm/s2 • m2 Ecuaciones generales Excepto por la aparición de los factores de proporcionalidad gc y J. es más eficiente usar tablas de los factores más comunes. En el apéndice 1 se presenta una tabla de los factores utilizados en este libro. Muchas de ellas contienen términos que representan propiedades de las sustancias y se introducen a medida que se necesitan.224809 lb f 9.6959 lbf / in.6). o bien tienen las mismas unidades. Es posible utilizar una ecuación dimensionalmente homogénea con cualquier conjunto de unidades.8) y dividiendo entre 1000.30) 2 0. Cuando una ecuación de este tipo se divide entre cualquiera de sus términos.24) y (1.45359237 ft 1. para convertir libras fuerza a newtons hay que multiplicar por 1/0.448221.30482 = 745.3048 A partir de la ecuación (1. 1 Btu = 1 calIT------------------------.16). las ecuaciones para los tres sistemas de unidades son parecidas.25) resulta 1 hp = 550 x 32. Todas las nuevas magnitudes se m iden en combinaciones de unidades ya definidas.. El ingeniero deberá utilizar su criterio para establecer un nivel adecuado de precisión en el problema concreto que ha de resolver.45359237 J J Aunque las ecuaciones (1.70 J/s Las ecuaciones derivadas directamente de las leyes básicas de las ciencias físicas constan de términos que. las ecuaciones están escritas para unidades del SI.3048 1 1N = = ---------------1---------------lb f = 0. . (1. (1. ^ 5 1 lb/s2 0.1) a (1.174 x 0. (1. c) A partir de las ecuaciones (1.8 IT En la explicación anterior.174 ft2 Ŷ lb/s3 Utilizando las ecuaciones (1. . la longitud.35) 1 hp = 550 ft Ŷ lbf /s = 550 x 32.4) son suficientes para la descripción de los sistemas de unidades.01325 x 10 x ------------------------0.25) y (1. los valores de las constantes experimentales se dieron con el número m áximo de cifras significativas consistentes con la actual estim ación de la precisión con la que se conocen. representan sólo una pequeña fracción de las ecuaciones requeridas en este libro.80665 1 Aunque es posible calcular los factores de conversión cuando se necesitan. es preciso multiplicar por 0. aun cuando la disponibilidad de calculadoras digitales permite retener la m áxima precisión a bajo costo.3048 2 .45359237 x 0. la temperatura y el mol. Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones adim ensionales. kg Ŷ m/s 0. y todas ellas se expresan com o funciones de las cinco unidades base para la masa. o pueden expresarse en las mismas unidades usando las definiciones de magnitudes derivadas para expresar unidades com plejas en función de las cinco unidades base.224809 = 4. A partir de las ecuaciones (1.80665 x 0.--------------------------------.45359237x 1 000 ^ .31) y (1. 0.7 T lb lb) f / in.80665 x 0.24) y (1.24) y (1.6).996 calIT IT 1.45359237 x 0.174 x 0. siempre y cuando se utilicen las mismas unidades para las cinco unidades .2 32. b) A partir de la ecuación (1.2 Ecuaciones adimensionales y unidades consistentes d) A partir de las ecuaciones (1.3048 lb 9.25).3048 1 atm = 1. Las ecuaciones que reúnen este requerimiento se llaman ecuaciones dim ensionalm ente hom ogéneas. en la práctica.29) .45359237 x 122 1 = 14. el tiempo.01325 x 105 x 0. se modifica también la caída de presión. la velocidad de flujo del líquido. El método empírico para obtener una ecuación que relacione estos factores con la caída de presión requiere determinar el efecto de cada variable por separado. El procedimiento es laborioso y resulta difícil organizar o correlacionar los resultados obtenidos con el fin de encontrar una relación útil para los cálculos.50 X 1. y en ellas pueden aparecer dos o más unidades de longitud. Por ejem plo. ANÁLISIS DIMENSIONAL Z = u0t + 22g t 2 (1. dicha ecuación debe ser dimensionalmente homogénea. D ividiendo la ecuación entre Z se obtiene Una revisión de cada término en la ecuación (1. flujo de calor y difusión. D icho método se denomina análisis dim ensional. por ejemplo. en operaciones de flujo de fluidos. Una com binación de variables para la cual todas las dimensiones se cancelan de esta manera. se eligen las variables que se consideran importantes y se tabulan sus dimensiones. la elección de las variables es especulativa y al probar las relaciones resultantes quizá sea necesario establecer si algunas variables quedan fuera o si algunas de las elegidas no se necesitan. también es útil en la revisión de la consistencia de las unidades en las ecuaciones. Por ejemplo. consiste en recurrir a la experimentación empírica. la longitud) y deben ser los m ism os en ambos lados de la ecuación. sobre todo. Ecuaciones dimensionales Las ecuaciones deducidas por métodos empíricos. es posible reunir varios factores en un número menor de grupos adimensionales de variables. son suficientes para establecer las dimensiones y grupos adimensionales apropiados para un gran número de problemas de ingeniería química. En otras situaciones. Por ejemplo. En la formación de un análisis dimensional. recibe el nombre de grupo adim ensional. Si se m odica cualquiera de estas variables. A l tomar en cuenta esta condición. por ejemplo. Es obvio que las unidades de q /A no son las mismas que las del lado derecho de la ecuación (1. así com o de su densidad y viscosidad. La elección de las variables es relativamente fácil. com o se muestra en el ejemplo 1. En estas ecuaciones. las ecuaciones diferenciales fundamentales de flujo de fluidos. Esto simplifica en forma considerable la tarea de encontrar los datos experimentales apropiados para diseñar ecuaciones. Btu/h A = área de la superficie de la tubería.8125 = 1. una fórmula para la velocidad de pérdida de calor por conducción y convección a la atmósfera desde una tubería horizontal es la siguiente: q T = = 0. se debe cambiar el coeficiente. o de tiempo. Los problemas de este tipo son frecuentes. U n método de abordar un problema para el que no es posible deducir una ecuación matemática. se escribe una relación exponencial en la que los exponentes están relacionados a cualquier cantidad determinada (por ejemplo. . En la ecuación final aparecen los grupos com o tales en vez de los factores por separado. Suponiendo que las variables se relacionan por una serie exponencial.8 grados Fahrenheit. la pérdida de presión por fricción en una tubería circular.41) y por lo tanto. en la cual la dimensión de cada término puede ser la misma que la de la cantidad primaria. M uchos problemas importantes de ingeniería no pueden resolverse com pletam ente por métodos matemáticos o teóricos. ft2 A T = exceso de temperatura de la pared de la tubería sobre el ambiente (atmósfera circundante). recta y lisa depende de todas estas variables: la longitud y el diámetro de la tubería. combinadas con las leyes de la conducción y difusión del calor.7 in. el cual es un tratamiento algebraico de los símbolos para unidades consideradas independientemente de la magnitud.2. Por ejemplo. ya que 1 grado Celsius equivale a 1. pues de lo contrario la ecuación conducirá a un resultado erróneo. cada término es adimensional. si existe una ecuación teórica entre las variables que afectan a un proceso físico. mientras todas las demás se mantienen constantes. Las cantidades sustituidas en la ecuación (1. Las unidades que reúnen este requerimiento se llaman unidades consistentes. la ecuación usual para la distancia vertical Z recorrida por un cuerpo que cae libremente durante un tiempo t cuando la velocidad inicial es u0: En este libro todas las ecuaciones son dimensionalmente homogéneas a m enos que se indique otra cosa.50 0 5 0 ^ w 0 :2 5 A ( D'0 )0 (1.41) donde q = velocidad de pérdida de calor.39) muestra que las unidades de cada término corresponden a las de longitud. El valor numérico de un grupo adimensional para valores dados de las cantidades contenidas en éste es independiente de las unidades usadas.39) El análisis de la ecuación (1.16 CAPITULO 1 Definiciones y principios SECCIÓ N I Introducción 17 base. en las unidades de conversión y en el escalamiento de datos obtenidos en unidades de prueba m odelo para predecir el funcionamiento de equipo a gran escala.40) muestra que se han cancelado las unidades en todos ellos y que. no son en general dimensionalmente homogéneas y contienen términos en varias unidades diferentes.40) son grupos adimensionales. si las leyes físicas implicadas en una solución matemática son conocidas. utilizar unidades consistentes no representa ninguna ventaja. para expresar A T en grados Celsius. Existe un método intermedio entre el desarrollo matemático formal y el estudio empírico. Cuando se utilizan unidades consistentes no se necesitan factores de conversión. la ecuación es dimensional. siempre que sean consistentes. tales com o segundos y minutos. para lo cual es preciso efectuar una experimentación sistemática con cada una de las variables. por lo tanto. pulgadas y pies. en las que se correlacionan los resultados experimentales mediante ecuaciones empíricas sin considerar la consistencia dimensional. Las ecuaciones de este tipo son ecuaciones dim ensionales o ecuaciones dimensionalmente no homogéneas. °F Do ' = diámetro exterior de la tubería. Ambos términos del lado derecho de la ecuación (1. larga.042. Si se utilizan otras unidades.41) deben expresarse en las unidades que se indican.2 Este m étodo se basa en el hecho de que. Considere. el coeficiente numérico debe cambiarse a 0. Entonces se determina algebraicamente la relación entre los exponentes. (1. d y f. Esto da el conjunto de ecuaciones siguiente: 1 = e +f -2 = a + b . (1.47) (1.42) Si la ecuación (1.b . los exponentes de las unidades principales individuales en el lado izquierdo de la ecuación deben ser iguales a los del lado derecho.3c . M . Es conveniente dejar la frase las dimensiones de entre corchetes.46c) c = e.42) es una relación válida.2 Símbolo Dimensiones q/A D V P i cp k AT H L -2t-1 L L t-1 ML-3 M L -1t-1 H M -lT -1 H L -1--1T-1 T Cantidad b e "D V p' "cpM~ k _ M . Las dos letras conservadas pueden elegirse en forma arbitraria.d = e.43) es dimensionalmente homogénea. Solución El mecanismo de este proceso se estudia en el capítulo 12. V.d . todos los términos en la función ^ deben tener las mismas dimensiones que las del lado izquierdo de la ecuación.43) se convierte en = [D]b-1[V ]b[p]b[ n T b[cp ]e[k ]1-e[AT] (1. c.e (1. Se asume que la temperatura de la tubería es mayor para una cantidad constante que la temperatura promedio del líquido.b + 3c + d + f = . De la ecuación (1.46e) para las letras a. A partir de las características del proceso. Cualquier función de cualesquiera de estos tres grupos será dimensionalmente homogénea y la ecuación será adimensional.45d) (1.4 6 C ) (1.2 .f = 1. Si existe una ecuación teórica para este problema.2 .45b) (1. Al sustituir las dimensiones a partir de la tabla 1. q/A. como sigue.46a).46a) (1. y todos los grupos son adimensionales.45e) y (1.b + 3b + e . Entonces L se refiere a la dimensión de longitud.46a) hasta la (1.46d) a = . Flujo de calor por unidad de área Diámetro de la tubería (interior) Velocidad promedio del líquido Densidad del líquido Viscosidad del líquido Calor específico a presión constante del líquido Conductividad térmica del líquido Diferencia de temperatura entre la pared y el fluido .45c) y (1. El resultado final es igualmente válido para todas las opciones.43) Dejar una sobrebarra encima del símbolo significa que se refiere a una dimensión.b .f (1.18 CAPITULO 1 Definiciones y principios SECCIÓ N I Introducción 19 Exponentes de M Exponentes de T : 0 = -e .b +1 . Cinco de las desconocidas pueden determinarse en términos de las dos permanentes. pero para este problema es conveniente conservar los exponentes de la velocidad V y el calor específico cp.d . De tal manera que la función queda como qD D Vp cpM =o AkAT M k (1.3 se obtiene (1.e (1.3. cp . p. todos los factores que tengan exponentes b en otro grupo.46b) (1. Las dimensiones de cada uno de los tres grupos en corchetes en la ecuación (1. se espera que la velocidad de la transferencia de calor q/A dependa de las cantidades listadas con sus fórmulas dimensionales en la tabla 1.f -1 = -b .46a) d = 1.45d) y (1.46c) y (1.2 Una corriente constante de líquido en flujo turbulento se calienta pasándola a través de una tubería larga y recta.45a) Exponentes de H: Exponentes de L: Exponentes de t : TABLA 1.e = b -1 (1.45c) (1.45b). Es deseable encontrar una relación que sea factible utilizar para predecir la velocidad de la transferencia de calor desde la pared del líquido. puede escribirse en la forma general -A = W( D.48) son cero.48) _A kA T .f + g 0=c+d. Las letras b y e se conservarán y se eliminarán las cinco restantes.49) Cantidades y fórmulas dimensionales para el ejemplo 1.46e) Al sustituir los valores desde la ecuación (1.44) í í f V 1 = Lal}’r bM cL~3cM dr dt~dH eM ~ef ~ eH f r f r í f ~ f f s Puesto que se asume que la ecuación (1. A T ) De las ecuaciones Aquí hay siete variables pero sólo cinco ecuaciones. y los que tengan exponentes e en un tercero se obtiene qD (1.45e) EJEMPLO 1.46d) (1 .45a): f = 1. Entonces cualquier término en la función debe conformarse a la fórmula dimensional = [D]a[v f [p]c [M]d [cp f [k]f [AT ]g (1.e+ b = b De las ecuaciones (1.46a) g = e + f = e +1 . k.1 + e = e . la ecuación (1.b De las ecuaciones (1.3 Juntando todos los factores que tengan exponentes enteros en un grupo.e = 1 De las ecuaciones (1. . En el apéndice 2 se proporciona una lista de los más importantes. algunas ecuaciones adimensionales pueden cambiarse en cualquier número de nuevas opciones. los coeficientes viriales dependen de la temperatura y com posición de la mezcla. por lo tanto.3 + l (1. tercero y cuarto coeficientes viriales. Esto se utiliza con frecuencia cuando se desea obtener un solo factor en un grupo. el método no garantiza que se pueda aplicar una relación exponencial simple com o la implicada en la ecuación (1. la ecuación (1. Cada uno ellos es función de la temperatura e independiente de la presión. resulta más sencillo que correlacionar los efectos de cada uno de los factores individuales de la ecuación (1. T. está bien fundamentada por la teoría molecular de los gases.50) kAT D Vp cpl O D l k La relación dada en las ecuaciones (1.49). pero uno o más difiere de los grupos de la ecuación (1. Si las variables innecesarias se incluyen. Sin embargo. Si alguna de las tres cantidades se fija. Las ecuaciones de estado más satisfactorias se expresan en la forma pV .= 1 + --------. Para quien desee practicar en la aplicación de estos conceptos. Factor de compresibilidad y densidad molar Para propósitos de ingeniería. C y D para m ezclas a partir de sus valores para los gases puros individuales. n) = 0 (1. C y D se denominan el segundo.50) es el resultado final del análisis dimensional.49) y (1. si b y f se mantienen. si algunas variables importantes se omiten.8 y sigue la ecuación (1.49).49). B C D -----.49) pueden com binarse de cualquier forma que se desee: se multiplican y dividen. CONCEPTOS BÁSICOS Formación de otros grupos adimensionales Si se selecciona un par de letras diferentes de b y e.42).+ ---------. AVpc AT l k (1. Para otra. Entonces. A sí que en la ecuación (1. al final de este capítulo se incluyen problemas ilustrativos con respuestas. por ejemplo.52) Es posible encontrar otras combinaciones. Se han propuesto muchas de estas ecuaciones y varias de ellas son de uso común. Existen reglas para estimar los coeficientes B .49) multiplicando ambos lados por (^/D V p)(k/^cp) l D Vp i c v =O DVp cpl k k qD i k D Vp cpl =O AkAT D Vp i c p k Las formas específicas de esta relación se llaman ecuaciones de estado. Al correlacionar los valores experimentales de los tres grupos de variables de la ecuación (1. el resultado es D Vp Cpi q -= O. que se mantiene a una temperatura T y presión p . la ecuación (1.48). Por ejemplo. Ecuaciones de estado de los gases U n gas puro de n m ol. es innecesario repetir el álgebra para obtener tales grupos adicionales. Es factible incorporar coeficientes adicionales.51) Las operaciones unitarias de ingeniería química se fundamentan en un reducido número de conceptos básicos.51). Los coeficientes B . o se sacan recíprocos o múltiplos de ellos. balances de materia y balances de energía. Estos temas se tratan con amplitud en los cursos introductorios de química e ingeniería química.51). Esto se expresa mediante la ecuación funcional f ( p . la ecuación (1. La forma de la función $ debe encontrarse experimentalmente. y en la ecuación (1.3 Para alguna condición. D e esta forma.2 + ---------------------------------------------. el análisis arrojará un resultado válido pero sólo para ciertos lím ites o condiciones asintóticas com o.49). Como señala Churchill. incluyendo las ecuaciones de estado de los gases.54) A n á lisis d im en sio n a l especulativo. Como se muestra en el capítulo 12.53) se escribe con frecuencia así z= = 1 + p MB + P m C + p MD (1. o . de nuevo se obtienen tres grupos adimensionales. Sólo es necesario que cada grupo original sea usado al m enos una vez para encontrar nuevos grupos y que el ensamble final contenga exactamente tres grupos. el análisis dimensional será la herramienta más útil en el diseño de un programa experimental. En el capítulo 12 se proporcionan las correlaciones que se han determinado. k se encuentra en uno solo.51) es más útil para algunos propósitos que la ecuación (1. Por ejemplo. q A (1.53) n R T V /n (V/n)2 (V/n)3 Esta ecuación. aunque experimentos subsecuentes muestran que tal relación es enteramente satisfactoria. el análisis dimensional se ve mejor desde un proceso especulativo. respectivamente. razón por la que aquí sólo se abordarán brevemente. a velocidades de flujo muy bajas o m uy altas. pero los valores numéricos para los coeficientes superiores a D son tan poco conocidos que rara vez se utilizan más de tres.49).20 CAPITULO 1 Definiciones y principios SECCIÓ N I Introducción 21 Grupos adimensionales con nombres propios Algunos grupos adimensionales se presentan con tal frecuencia que se les han asignado nombres y sím bolos especiales. por determinación de los efectos de los tres grupos dentro de los corchetes sobre el valor del grupo de la izquierda de la ecuación (1. V . el análisis por lo general muestra que no son necesarias. cp aparece en un solo grupo. ocupará un volumen V. sólo tres cantidades son independientes. La ecuación virial también se aplica a m ezclas gaseosas. Observe que la función $ no es igual a la función $ .51) se obtiene de la ecuación (1. la selección de las variables a menudo se considera tentativa al hacer un análisis dimensional. Si se utiliza de manera correcta. Los tres grupos en la ecuación (1. la cuarta también se determina y. conocida com o ecuación virial. En estas circunstancias. puede realizar un trabajo. en la mayoría de los procesos de flujo algunas formas de energía tales com o la magnética. la entrada que cruza el lím ite debe ser igual a la salida más la acumulación. en vez de cada una por separado. lo hagan de manera que no haya pérdida ni ganancia. En un balance de energía. A medida que el efecto de D se hace despreciable. Se cumplen tanto para todo el material que entra y sale del proceso com o para cualquier material individual que pase a través del proceso sin modificarse. Considere el fluido de m kg de material. tiene una velocidad de u a m/s y es Z m arriba del dato horizontal al cual las alturas se midieron. U n ejemplo de proceso de flujo estacionario en el que se trata una corriente simple de material se muestra en la figura 1. la serie se interrumpe suprimiendo este término. en los procesos electroquím icos. después el término C y así sucesivamente. separado de los alrededores por un lím ite imaginario. hay que añadir a la lista la energía eléctrica. El equipo es un aparato a través del cual pasa el material. Suponga que el material fluye a través del sistema a una velocidad de masa constante. La conservación de la masa requiere que los materiales que entran a un proceso. que se deriva en los textos sobre técnicas termodinámicas:9 . La suma del debe tiene que ser igual a la suma del haber. Z b y H b. que contiene la definición de la temperatura absoluta. durante el tiempo que m kg de fluido entra al equipo. Esta ecuación es evidentemente consistente con la ecuación (1.22 CAPITULO 1 Definiciones y principios SECCIÓ N I Introducción 23 donde z es el factor de compresibilidad y pM la densidad molar. de nuevo a través de la acción de un eje girante. Como en un balance de masa. Si la unidad incluye una bomba. Balances de energía Presiones parciales La presión parcial es una magnitud útil para el tratamiento de los componentes individuales de una m ezcla gaseosa. no varían y por lo tanto no se consideran.11). La corriente total a la entrada (o que entra). hasta que para bajas presiones (del orden de 1 o 2 atm para gases ordinarios). o a una parte del m ism o. en la mayoría de las situaciones de ingeniería.56) cubre un intervalo útil de densidades para los cálculos prácticos y recibe el nombre de ley de los gases ideales.1. El calor en la cantidad de Q J es transferido a través de los lím ites del equipo hacia el material que fluye a través de él. Para este proceso. el trabajo de salida se efectúa sobre el material. la energía potencial. la energía y la masa son interconvertibles y la suma de las dos permanece constante. en este libro se considera que la masa y la energía son independientes. el com ponente A .57) donde p A = presión parcial del com ponente A en la m ezcla yA = fracción molar del componente A en la m ezcla P = presión total de la m ezcla U n balance de energía se aplica a un proceso. generalmente por m edio de un eje girante. La mayoría de los procesos que se consideran en este libro transcurren sin acumulación o disminución y la ley de la conservación de la materia adquiere la forma sencilla de que la entrada es igual a la salida.56) materiales que intervienen en cualquier proceso es constante. los valores numéricos de los términos viriales se anulan. Sin em bargo.55) Ley de los gases ideales Los gases reales a presiones elevadas requieren el uso de los tres coeficientes viriales para cálculos exactos de z a partir de pM y T. Esto es aplicable tanto para m ezclas de gases ideales com o no ideales. o bien se acumulan o salen del proceso. Pa + Pb + Pc + L = P ( K58) La suma de todas las presiones parciales de una m ezcla dada es igual a la presión total de la mezcla. La ley se aplica con frecuencia en la forma de balances de materia. Las formas más importantes son la energía cinética. definida por n Pm = V (1. Los balances de materia han de cumplirse para todo el proceso o equipo. la entalpía. de superficie y de tensión m ecánica.11) elimina de manera rigurosa los coeficientes viriales para proporcionar una definición precisa. la entrada es igual a la salida. el resultado es P a + p b + Pe + • • • = P ( y A + y B + y e +•••) Puesto que la suma de las fracciones molares es la unidad. El proceso es deudor con respecto a lo que entra y acreedor con respecto a lo que sale. y la ley se enuncia en la forma de que la masa de los B a la n ce de energ ía p a ra p rocesos de corriente sim ple. está definida por la ecuación pa = p yA (1. El proceso por aplicación de lím ites indicado por la ecuación (1. Esto conduce al concepto de masa. el calor y el trabajo. Su entalpía (una cantidad que se estudiará más adelante) es H J/kg. por ejemplo. Los efectos del trabajo de esta clase reciben el nombre de trabajo de eje. Balances de materia La ley de la conservación de la materia establece que la materia no se crea ni se destruye. esta transformación es demasiado pequeña para ser detectada. Las cantidades correspondientes para la corriente de salida son u b . A medida que se reduce la densidad por la disminución de la presión. así com o para cualquier parte de los mismos. Actualmente se sabe que la ley es muy limitada para el caso de materia que se m ueve a velocidades cercanas a la de la luz o para sustancias que experimentan reacciones nucleares. Suponga que el trabajo de eje igual a W J se realizó sobre la salida del equipo. aun cuando los valores de los coeficientes no se modifican. El resultado es la ley de los gases pV p z=^ — =—-— = 1 nRT Pm R T (1. Si se suman todas las presiones parciales de una m ezcla determinada. se pueden despreciar las tres viriales. la ecuación (1. es preciso incluir todas las formas de energía. si las condiciones son de estado estacionario y no varían con el tiempo. La presión parcial de un com ponente en una m ezcla. sobre la salida. Sin embargo. se aplica la siguiente ecuación. Si el equipo incluye una turbina o motor. 59) o. k3 en la ecuación (1. El espacio encerrado por la superficie de control recibe el nombre de volum en de control. El efecto del calor Q es. SÍMBOLOS En general.60) a una situación específica.80665* m /s2.35). La superficie de control la constituyen los límites del equipo y las secciones transversales de todos los ejes y puertos de entrada y salida. sin espacios. cm /s2 o ft/s2. g o lb. También hay que localizar todas las áreas de transferencia de calor entre el equipo y sus alrededores. cm 6/(g m ol)2 o ft6(lb m ol)2 Calor específico.— J 2gJ gcJ (1. din • cm 2/g 2 o lbf • ft2/lb2 Aceleración de caída libre. ft2 [Ec.H a = Q . y negativo cuando fluye en sentido contrario.59) y (1. en unidades fps. k4 en la ecuación (1. ecuación de estado. Finalmente. Q J E n trad a d e corriente. los valores individuales se suman algebraicamente y los valores netos de Q y W se utilizan en las ecuaciones (1. observe que no existen términos por fricción en las ecuaciones (1. J/kg A la entrada A la salida Coeficiente de transferencia de calor. u b En talpía. y negativo cuando el trabajo se suministra al equipo desde la salida de la superficie de control. com o representan las líneas punteadas.24 CAPITULO 1 Definiciones y principios SECCIÓ N I Introducción 25 m u2 . din o lbf Función de Velocidad de la masa. N . si hay más de un flujo de calor o trabajo de eje. las cantidades utilizadas sólo en una ecuación se identifican por el número de la ecuación. 980.Z a ) + H b . 9.1868 J/calIT .60). (1. 32. positivo cuando el flujo de calor proviene de la salida de la superficie de control hacia dentro del equipo.1 está limitada por las paredes del equipo. energía o trabajo Entalpía.1). ua m /s E n talpía.W 2 (1. m9/(kg m ol)3. ecuación de estado. kg.1740 ft • lb/lbf • s2 D im ensión del calor. La ecuación (1. debe hacerse una elección precisa de los lím ites del equipo. 778. W m ub .ul + g( Z b . masa de las partículas [Ec. 4.Z a ) + H b . también constante gravitacional. 1/kt en la ecuación (1. H b Equipo am O .1 Diagrama para el proceso de flujo estacionario. m3/kg m ol. el trabajo requerido C a lo r a d ic io n a d o a través d e la p a red del e q u ip o .59) o la (1. Ha J / k g S a lid a d e corriente.H a = Q . g .4) D im ensión de la longitud Peso molecular D im ensión de la masa Masa. J/g • °C o Btu/lb • °F Diám etro. A sí. tam bién cuarto co eficien te virial. m a . así com o también localizar los puertos de entrada y salida y el mencionado eje rotatorio. la superficie de control del proceso que se muestra en la figura 1.T ra b a jo d e eje gc H H Ha Hb h J k Zb m re a liz a d o p o r el eq u ip o Ws J FIGURA 1. Hay que identificar la entrada y salida de la (las) corriente(s). in.60). g( Z b .60) por una bomba localizada en el interior de la superficie de control es negativo.2)] Número de m oles . W /m • °C o Btu/h • ft • °F. presentan efectos netos. m 6/(kg m ol)2. Estos efectos se incluyen en otros términos de la ecuación. g y g C tienen su significado habitual. A B C cp D D' F f G g donde J. m kg V e lo c id a d . cm3/g m ol o ft3/lb mol Tercer coeficiente virial. por convención. m /s2.59) se aplica para el equipo y material dentro de la superficie de control. [Ec. las cantidades proporcionadas sólo en sistemas cgs y fps se limitan al sistema considerado. Tanto Q com o W . kg/s • m2 o lb/h • ft2. L M M m n Área de la superficie de calentamiento. Esta superficie es una envoltura cerrada. m o ft.41)] Segundo coeficiente virial. también factor de proporcionalidad k 1 en la ecuación (1.665 cm /s2.2). k2 en la ecuación (1.17 ft • lbf /Btu Conductividad térmica.3). La fricción es una transformación interna de la energía m ecánica a calor y ocurre dentro de la superficie de control.ua . N • m 2/kg2. las cantidades están dadas en unidades SI. (1. las secciones transversales del eje y los puertos de entrada y salida. m b . Para aplicar la ecuación (1. (1. valor estándar.1740 ft/s2 Factor de proporcionalidad. m kg V e lo c id a d .59) y (1. Por ejemplo. cgs y fps. 32. El trabajo del eje Ws se considera positivo cuando el trabajo se realiza por el equipo en la salida de la superficie de control. cm 9/(g m ol)3 o ft9/(lb m ol)3 Diámetro exterior de la tubería.41)] Fuerza. ecuación de estado. W /m 2 • °C o Btu/h • ft2 • °F Equivalente m ecánico del calor. ¿Aproximadamente cuántos minutos hay en un microsiglo? 1. cm3 o ft3 Velocidad promedio del fluido.6.71 m3/h Z z Presión total sobre la m ezcla Presión. se escribe 1. Durante la evaporación se elimina vapor de agua.98588 Btu/°R • lb mol Distancia entre dos masas puntuales ma y m h [Ec.c / (uT 3)] u + B0\ 1---P =. g m ol/cm 3 o lb m ol/ft3 Función de Funciones de 1.2)] Temperatura. presión parcial del componente C Cantidad de calor. 2. sobre una base seca. trabajo realizado por el sistema durante el ciclo Fracción molar en la m ezcla gaseosa.(1. así como en el interior de la torre. En la parte superior de la torre hay inyectores que distribuyen agua sobre el empaque. b) 2 400 kg/h. a) Si el gas que entra fluye a través de la parte inferior vacía de la columna a una velocidad promedio (ascendente) de 1. La ecuación de Beattie-Bridgman.01101. calor absorbido por el sistema durante el ciclo Velocidad de transferencia del calor. °R o °F.3.1. El aire entra a 40 °F con una velocidad de 50 ft/s. 8. y sale del tubo a 140 °F y 75 ft/s. b) 177 lb PROBLEMAS 1. b) Para el aire.61) h = 2.5 ft/s. C y D en términos de las constantes de la ecuación (1. 1. 2% de NaCl y 48% de H2O. es de 1.00. m/s cm /s o ft/s Trabajo. din/cm2 o lbf /ft2. Una mezcla al 25% de gas amoniaco y 75% de aire (en base seca) sube (o pasa en forma ascendente) a través de una torre de depuración vertical.°C. 8.5. kelvins. Q . b) los kilogramos de sal precipitada por hora y c) los kilogramos de disolución concentrada que se produce por hora.04611 y c X 10-4 = 66. 1.54) y derive ecuaciones para los coeficientes viriales B.p A. u0. c) 5 000 kg/h 1. B0 y c son constantes experimentales y u es el volumen molar. y B. 1/g mol.02 atm manométricas. el tiempo y la temperatura.1 °C. Calcule los valores de los coeficientes viriales para el aire en unidades SI. Diferencia de temperatura. b) galones (1 gal = 231 in. circula aire en estado estacionario. °F [Ec. ¿cuántos pies cúbicos del gas de entrada se tratan por hora? b) ¿Cuántas libras de amoniaco se absorben por hora? Respuestas: a) 16 965 ft3/h.41)] Constante de la ley de los gases. El gas entra a la torre a 37. s. como gas seco a 15. velocidad inicial de la caída de un cuerpo Volumen. ¿Qué porcentaje del amoniaco que entra a la torre no es absorbido por el agua? ¿Cuántos metros cúbicos de agua por hora se bombean a la parte superior de la torre? Respuestas: 1. dimensión del tiempo V elocidad lineal.31447 X 103 J/K • kg m ol.01931. adimensional Letras griegas AT ß p pM ^ $. kg/m 3.6 °C y 1 atm. (1. temperatura absoluta termodinámica [Ec. todas las unidades en el sistema cgs (atmósferas. B0= 0. J. b = -0.2 _ A f 1_ a u 2 11 u (1. La mezcla de aire-amoniaco entra a la torre a la velocidad de 28.1 Btu/lb 1. m3. p B. g/cm 3 o lb/ft3 Densidad molar.32 m3/min. m /s.0% de amoniaco. y por la parte inferior sale una disolución acuosa que contiene 10% de amoniaco en peso. t. Utilizando las constantes y los factores de conversión definidos para la masa. ¿Cuántos Btus por libra de aire se transfieren a través de la pared del tubo? Respuesta: 24. presión parcial del com ponente B .2. a) Demostrar que esta ecuación se puede poner en la forma de la ecuación (1.8. la longitud.61). m.31447 X 107 ergs/K • g m ol o 1.7. fracción molar del componente A. cm /s o ft/s. r T T t u V V W y 1. Ambas corrientes gaseosas de entrada y salida están saturadas con vapor de agua. Respuestas: Véase apéndice 1.8 °C y sale a 21. La disolución concentrada que sale del evaporador contiene 50% de NaOH.26 CAPÍTULO 1 Definiciones y principios SECCIÓ N I Introducción 27 P p Q q R donde a.6 D-0-5G0-5^~ 017c0 p 33k 0-67 . El gas depurado sale de la parte superior de la torre que contiene 0.11)] D im ensión de la temperatura Tiempo. 10% de NaCl y 80% de H2O. (1.3) a litros (103 cm3). b. p . K. c) Calcule z para el aire a una temperatura de 300 K y un volumen molar de 0. El gas que sale contiene. Un evaporador se alimenta de forma continua con 25 t (toneladas métricas)/h de una solución consistente de 10% de NaOH. y . Calcule a) los kilogramos de agua evaporada por hora. con R = 0. La presión de ambas corrientes. y el gas depurado sale por la parte superior. Btu/h [Ec. fracción molar del com ponente B. litros. presión parcial del componente A. A0. El gas seco contiene 75% de aire y 25% de vapor de amoniaco que entra por la parte inferior de una torre de absorción cilíndrica empacada que tiene 2 ft de diámetro. Revise la consistencia dimensional de la siguiente ecuación empírica para la transferencia de calor entre un fluido en movimiento y la superficie de una esfera (véase capítulo 12): Rr[l .3012.41)] Viscosidad absoluta.08206).5%. El calor promedio específico del aire es 0. kg/m • s o lb/ft • s Densidad.0kD-1 + 0. las constantes son a = 0. A través de un tubo horizontal calentado. fracción molar del componente C Altura sobre el plano de referencia. gramo mol..4. y . ergios o ft • lb f Wc. y la sal se precipita en forma de cristales que sedimentan y se separan de la disolución residual. Por el fondo de la columna de la torre se succiona una disolución de amoniaco en agua. Pa. a cuya parte superior se bombea agua. una famosa ecuación de estado para gases reales. calcule los factores de conversión para a) fuerza en pie-libra a kilowatthora. kg m ol/m 3. cm o ft Factor de compresibilidad. y sale a 60 °F y 730 mm. A0 = 1. cal o Btu. c) Btu por libra mol a joules por kilogramo mol. El gas entra a 80 °F y 760 mm Hg de presión.200 m3/kg mol. (1.24 Btu/lb • °F. J.5% de amoniaco en peso. Respuestas: a) 17 600 kg/h. luego se muelen para obtener harina de tapioca.M. Molecular Theory o f Fluid-Phase Equilibria. Austin. ¿Puede la ecuación más simple provenir de la ecuación (1. Bridgman. respectivamente. Para elaborar harina de pescado. ed. Bur.17. Fundamentals o f Physics.. 3a. F191. 1. 1984. Englewood Cliffs. CRC Handbook o f Chemistry and Physics. M. Esta pasta se seca parcialmente para reducir el contenido de humedad hasta 40%. p. Una planta generadora de energía alimentada con carbón. Nueva York: Wiley. ¿cuántas toneladas métricas (1 ton = 1 000 kg) se usan por hora? 1. la densidad del fluido p. 3.59)? 1. Van Ness y M. tiene una eficiencia de 38% en la conversión de calor a trabajo.C. ed. NJ: Prentice-Hall. 1988. 1996.59) y la ecuación simple que a veces se muestra en los libros de texto de termodinámica. Shreve’ s Chemical Process Industries. luego de lo cual la pasta se muele. En el medidor de orificios que se estudia en el capítulo 8. la viscosidad del fluido i y los diámetros de la tubería y la abertura. Smith. Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics. D. Eng. 1978. A E = Q . Para elaborar 1 200 kg/h de harina. primero se extrae el aceite.M. ¿Cuántos kg/h de pasta húmeda se necesitarán para producir 800 kg/h de pasta “seca”? 1. 5. D y D .28 CAPITULO 1 Definiciones y principios SECCIÓ N I Introducción 29 donde h D p k G i cp = coeficiente de transferencia de calor = diámetro de la esfera = conductividad térmica del fluido = velocidad de masa del fluido = viscosidad del fluido = calor específico del fluido 1. 93(2): 85 (1988). En muchos países de América del Sur. Nueva York: McGraw-Hill. Churchill. Tech. 8.W. Los datos de transferencia de calor a veces se expresan como un factor j. FL. M . Resnick. 4. ed. Bur.13. 4.W . PW. 9. Std. J. y se mide la caída de presión A p a través de la abertura. y col. Chem.T. dejando una pasta húmeda que contiene 82% de agua en peso. J.14.N. 69a.15. Natl. H. trozos de yuca o mandioca que contienen 65% de agua se secan hasta llevar ese porcentaje hasta 5%.9.. ¿Cuántas moléculas de oxígeno hay en una libra mol de aire a 1 atm y 0 °C? ¿Cuántas moléculas de O2 hay en un kilogramo mol de aire a 1 atm y 30 °C? .G. Education. en kg/h? ¿Qué cantidad de agua se deberá extraer? 1. Pulpa de papel húmeda que contenía 66% de humedad se secó bajo condiciones tales que se extrajo 53% del agua que existía inicialmente.11. 5a.12. Std. Nueva York: AMS Press. Boca Raton. ed. 55: 3 (marzo 1971). Lichtenthaler y E. Moldover. ¿Cuál fue el contenido de humedad de la pulpa seca? ¿Cuánta pulpa seca se produjo por cada kilogramo de pulpa húmeda? 1.M. 5a. Abbott. donde Demuestre que tal correlación se puede convertir en una que exprese el número de Nusselt (Nu = hD/k) como función del número de Reynolds (DG /i) y el número de Plandtl (cpi/k). 2.p . un disco plano con una abertura central de diámetro DOse coloca en forma transversal a una tubería de diámetro D. G. y R. 1. Si el carbón tiene un valor calórico de 30 000 kJ/kg. 6. S. con un rendimiento de 360 megavatios. R. p.R. de Azevedo. ¿cuál deberá ser el flujo de alimentación al secador. 7. Halladay. Prausnitz. Se postula que Ap es una función de la velocidad promedio del fluido en la tubería V. Explique la diferencia entre la ecuación (1. 30(3): 158 (1997). ¿En qué valor la temperatura en grados Fahrenheit es igual a la temperatura en grados Celsius? ¿Hay algún punto en que la temperatura en Kelvin sea igual que la temperatura Rankine? 1. Nueva York: McGraw-Hill. CRC Press. 1988. D0) REFERENCIAS Encuentre un conjunto aceptable de grupos adimensionales que relacionen los diversos factores 1. D. 1986.16. Dimensional Analysis. News Bull.10. Res. Natl. J. De esta manera Ap = 0 (V . que también incluye el estudio de los sólidos sometidos a esfuerzo. La rama de la ingeniería que estudia el comportamiento de los fluidos —se sobreentiende que los fluidos comprenden líquidos. que trata de los fluidos en el estado de equilibrio sin esfuerzo cortante. El capítulo 8 aborda importantes problemas de ingeniería de fluidos que circulan a través del equipo de proceso. El capítulo 4 trata de las leyes y ecuaciones básicas cuantitativas del flujo de fluidos. que en esencia son m ecánica de fluidos aplicada. . el capítulo 6 está dedicado al flujo de fluidos compresibles. El capítulo 2 estudia la estática de fluidos y algunas de sus importantes aplicaciones. bombas y otro tipo de equipos de proceso. La mecánica de fluidos es. El capítulo 3 discute importantes fenóm enos que aparecen en el flujo de fluidos.SECCIÓN II Mecánica de fluidos El comportamiento de los fluidos es importante para los procesos de ingeniería en general y constituye uno de los fundamentos para el estudio de las operaciones unitarias. el capítulo 9 estudia las operaciones de mezclado. y el capítulo 7 describe el flujo alrededor de sólidos sumergidos en un fluido en movimiento. El capítulo 5 trata el flujo de fluidos no compresibles a través de tuberías. así com o de la medida y control de fluidos en movimiento. una parte de una disciplina más amplia llamada m ecánica continua. a su vez. La elección de los temas es solamente una muestra del inmenso campo de la m ecánica de fluidos en general. Finalmente. La mecánica de fluidos tiene dos ramas importantes para el estudio de las operaciones unitarias: la estática de fluidos. y la dinám ica de flu id o s . El conocim iento de los fluidos es esencial. que trata los fluidos cuando partes de ellos se mueven con relación a otras. sino también para el estudio del flujo de calor y de muchas operaciones de separación que dependen de la difusión y transferencia de masa. Los capítulos de esta sección tratan aquellas áreas de la mecánica de fluidos que son importantes para las operaciones unitarias. gases y vapores— recibe el nombre de m ecánica de fluidos. agitación y dispersión. no sólo para tratar con precisión los problemas de m ovimiento de los fluidos a través de tuberías. un fluido p osee una densidad definida. la densidad de un líquido cambia apreciablem ente bajo grandes variaciones de presión y temperatura. Aunque la densidad de todos los fluidos depende de la temperatura y de la presión. En cualquier punto dentro del volumen del fluido existe también una determinada presión. El esfuerzo cortante se define com o la relación de esta fuerza al área de la capa.1 cuya magnitud depende de la viscosidad del fluido y de la velocidad del deslizamiento. al fluido se le llam a no com presible. Aunque los términos son relativos. la variación de la densidad con los cam bios en estas variables puede ser pequeña o grande. U n fluido en equilibrio carece de esfuerzos cortantes. si los cam bios en la densidad son significativos. y es posible ignorar los cam bios en la densidad bajo tales condiciones sin riesgo de cometer un error significativo. se produce un deslizamiento de unas capas de fluido sobre otras hasta que se alcanza una nueva forma. Si los cam bios en la densidad son ligeros con cam bios moderados en la temperatura y presión.CAPÍTULO 2 Estática de fluidos y sus aplicaciones Naturaleza de los fluidos U n fluido es una sustancia que no resiste en forma permanente la distorsión. los gases som etidos a pequeñas variaciones relativas de presión y temperatura se comportan com o fluidos no com presibles. que en la práctica de la ingeniería se m ide por lo general en kilogram os por metro cúbico o libras por pie cúbico. Ésta es 1Corte es el desplazam iento lateral de una capa de m aterial relativo a otra capa por una fuerza externa. . Véase capítulo 3. pero cuando se alcanza la forma final desaparecen todos los esfuerzos cortantes. Si se intenta cambiar la forma de una masa del fluido. A una determinada temperatura y presión. al fluido se le denomina com presible. A dem ás. La presión en un fluido estático se considera com o la fuerza superficial que ejerce un fluido por unidad de área de las paredes del recipiente que lo contiene. existen esfuerzos cortantes. Los líquidos se consideran no com presibles y los gases com presibles. Durante el cambio de forma. 6) entre los niveles a y b.2) suponiendo que p es una constante da. esta magnitud es la m isma para cualquier punto dado. en todas las direcciones. 3) la fuerza de gravedad que actúa hacia abajo. Á rea = S .3) EQUILIBRIO HIDROSTÁTICO ^ P ^ P = g (Z a . se obtiene dp + M dZ = 0 p RT (2. Suponga que el área de la sección transversal de la colum na es S. La densidad es constante para los fluidos no compresibles y.4) muestra la relación entre la presión y la altura de una colum na de líquido. resulta en pM RT (2.34 CAPITULO 2 Estática de fluidos y sus aplicaciones SECCIÓ N II M ecánica de fluidos 35 una cantidad escalar. La cabeza Z está dada por Z = p /p g . excepto por las grandes variaciones en la altura.1 La ecuación (2. se ofrece en el capítulo 8). Considere la colum na vertical del fluido que se muestra en la figura 2.5) en la ecuación (2.g p S d Z = 0 (2.1) se convierte en Ecuación barométrica Para un gas ideal. La integración de la ecuación (2. para los cálculos de ingeniería es con frecuencia pertinente considerar que p es esencialmente constante. A una altura Z arriba de la base de la colum na. Después de simplificar y dividir entre S. La resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el pequeño volum en del fluido de altura d Z y el área de la sección transversal S debe ser cero.Za ) RT (2. en unidades fps. la cual es la altura de la co lumna de líquido que ejercería esa cantidad de presión en su base (una definición más precisa de cabeza. también lo es para los compresibles.1) La ecuación (2. Presión = ( p + d p ) a Presión = p D en sid ad = p id Z I ln ^ pa (Zb . la cual es gpS ld Z . la presión es p y la densidad p. suponiendo que T es constante. 2) la fuerza debida a la presión p + dp que actúa en dirección descendente.3) expresa matemáticamente la condición de equilibrio hidrostático. la ecuación (2.5) dp + g p d Z = 0 (2. la densidad y la presión se relacionan por la ecuación siguiente: P= donde M = peso molecular T = temperatura absoluta A l sustituir la ecuación (2. la presión es constante en cualquier sección transversal paralela a la superficie de la tierra.1. o. — + g Z = constante P o entre las dos alturas definidas Z y Z que se indican en la figura 2. La presión comúnmente se expresa com o cabeza. y que está dada por (p + dp)S.1. (2. a m enos que se conozca la variación de la densidad con la presión a lo largo de la columna del fluido. Entonces Cabeza de un líquido +p S .Z b) La ecuación (2. pero varía con la altura. En una m asa estacionaria formada por un solo fluido estático. Z = p g s/pg. necesaria al considerar el comportamiento de las bombas. que tiene un valor de pS. Sin embargo. En esta ecuación. Sobre este volum en actúan tres fuerzas verticales: 1) la fuerza debida a la presión p que actúa en dirección ascendente. se toman com o positivas las fuerzas que actúan hacia arriba y com o negativas las que lo hacen hacia abajo.4) (2.Z a) RTy b a! o pb a = exp g M ( Zb .7) se conoce con el nombre de ecuación barom étrica.6) La integración de la ecuación (2.7) T _L Equilibrio hidrostático Zb > < FIGURA 2.2).2) no puede integrarse para los fluidos compresibles.2) La ecuación (2.( p + dp)S . La caída de presión a través de cualquier espacio anular del líquido que gira. el de un pozo profundo de gas natural. en el que el gas no se comporta com o ideal y la temperatura no es constante. ® 2p r dr b Centrifugación de un solo líquido.p b y R m.2pero en las centrifugadoras industriales la velocidad de rotación es m uy elevada y la fuerza centrífuga es mucho más grande que la fuerza de gravedad. Estas afirmaciones se resumen en la ecuación donde dF = fuerza centrífuga dm = m asa del líquido en el elemento a = velocidad angular. contienen un fluido B de densidad pB. . rad/s Pa Pb ------Fluido B 4 D en sid ad pg El cambio de presión en el elem ento viene dado por la fuerza ejercida por el elemento del líquido. La figura 2. Para deducir una relación entre p a . y puede utilizarse la distancia vertical entre los dos m eniscos R para medir la diferencia de presión. pero para sistemas prácticos el error es pequeño. situadas por encima del líquido.36 CAPÍTULO 2 Estática de fluidos y sus aplicaciones SECCIÓ N II M ecánica de fluidos 37 FIGURA 2. Esta situación se ilustra en la figura 2. es aun menor por el término gZmpB. com o se muestra en la ecuación (2.Pi = La ecuación (2. una capa de líquido se arroja desde el eje de rotación y se mantiene contra las paredes de la carcasa por m edio de la fuerza centrífuga. donde la presión es p . Bajo estas condiciones. por ejemplo. La superficie libre del líquido adopta la forma de una paraboloide de revolución.8) 2 * ri - -H h-dr P2 .3 M anóm etro sencillo.P i= ¡. Como resultado de la diferencia de presión p a . y r2es el radio de la carcasa de la centrifugadora.2 La caída de presión en todo el espacio anular es P 2 . sin ningún deslizam iento de una capa del líquido sobre otra.3 muestra la forma más sencilla de un manómetro. p b. APLICACIONES DE LA ESTÁTICA DE FLUIDOS Manómetros Equilibrio hidrostático en un campo centrífugo A l rotar una centrífuga..8) se aplica estrictamente cuando r l y r2 no son muy diferentes. la presión en el punto 2 es p + g(Z + Rm)pB . D e acuerdo con los principios de la hidrostática. la distribución de la presión en el líquido se puede obtener a partir de los principios de la estática de los fluidos. Suponga que la porción sombreada del tubo en U está llena con un líquido A de densidad pA y los extrem os (o brazos) del tubo en U .2 gira com o un cuerpo rígido. dividida entre el área del espacio anular: Fluido A D en sid ad p A FIGURA 2. El total de la masa del líquido que se indica en la figura 2. esta presión es igual a la del punto 3. por lo que la superficie del líquido es virtualmente cilíndrica y coaxial con respecto al eje de rotación. se com ienza por el punto 1. se calcula de la manera siguiente. Considere el espacio anular del líquido que se muestra en la figura 2. con frecuencia es un gas com o el aire o el nitrógeno. La presión en el punto 4 es menor que la del punto 3 por el término gR mpA.p b.2 y un elem ento de volumen de espesor dr situado a un radio r: d F = m 2r d m Presión Presión El manómetro es un instrumento importante utilizado para medir diferencias de presión. entonces. Sobre uno de los extremos (o brazos) del tubo en U se ejerce una presión p . donde r 1 es la distancia radial desde el eje de rotación hasta la superficie libre del líquido. el m enisco está más elevado en uno de los extremos del tubo U que en el otro. Si se supone que la velocidad es constante. y la presión en el punto 5. y sobre la otra una presión p b.2.3). Se dispone de métodos en la bibliografía3 para estimar las distribuciones de presión en casos. El fluido B es inm iscible con el líquido A y m enos denso que él. después de la integración se obtiene (2. y descargan por las líneas de desborde al otro extremo del separador.pb = gR1(PA . Cuando las presiones en las tomas son iguales.x 9. así pa .5 la densidad del líquido p esado es pA y la del líquido ligero es p .14 bar.38 CAPÍTULO 2 Estática de fluidos y sus aplicaciones Presión Presión SECCIÓ N II M ecánica de fluidos 39 p a + g [( Z m + Rm)p B . de tal manera que el m ovim iento del m enisco en el ensanchamiento sea despreciable dentro del intervalo de operación del instrumento.17).3.Rmp A . y la descarga se efectúe a la misma presión que existe en el espacio gaseoso situado sobre el líquido del tanque.PB ) sen a (2.1 Decantador continuo por gravedad Para medir la caída de presión a través de un orificio (véase figura 8.9. es necesario tener un ensanchamiento en el brazo vertical. Por ejemplo. Si el fluido B es un gas. que se muestra en la figura 2. EJEMPLO 2. se utiliza el m anóm etro inclinado. La profundidad de la capa del líquido pesado es S a lid a del líquido p e s a d o Al sustituir en la ecuación (2. Decantador por gravedad continuo para líquidos no miscibles. Con tal de que las líneas de desborde sean lo suficientemente grandes para que la resistencia por fricción al flujo de los líquidos sea insignificante. En este tipo. o 391 mm S a lid a del líquido liviano c FIGURA 2.„ = 0. separándose en dos capas.Z mp B ] = p b Pa Pb (2 * 9) Manómetro inclinado. p B es generalmente despreciable en comparación con p A y se omite de la ecuación (2.4 La simplificación de esta ecuación proporciona p a —p b = gR m( p A — p B ) (2.11) X Líquido V IST A LATERAL liviano Líquido pe sad o En este tipo de manómetros. El líquido A es mercurio (densidad 13 590 kg/m3) y el fluido B. siendo éste el ángulo de inclinación. el funcionamiento del decantador se analiza mediante los principios de la estática de fluidos. ¿Cuál es la lectura del manómetro en milímetros? Solución p a = 0. Haciendo que a sea lo suficientemente pequeño. la presión manom étricaf en la tomacorriente de entrada es de 0. es salmuera (densidad 1260 kg/m3).14 x 105 = 14 000 Pa p b = Z b8P A 250 = ---------.4) U n decantador de gravedad del tipo que se muestra en la figura 2. R espirad ero 14000 + 33318 = Rm x. que circula a través del orificio y llena parte del manómetro. de tal forma que para un valor pequeño de R .4. la magnitud de R m se transforma en una distancia grande Rp y a una pequeña diferencia de presión le corresponde un desplazamiento grande. uno de los brazos del manómetro está inclinado. FIGURA 2.9 m por debajo de las tomas del orificio. en el decantador mostrado en la figura 2. se utiliza un manómetro del tipo que se m uestra en la figura 2.5 J V IS T A SUPERIOR R esp irad ero P Para medir pequeñas diferencias de presión.10) 1 Observe que esta relación es independiente de la distancia Z y de las dimensiones del tubo. los dos líquidos fluyen lentamente a través del tanque. entonces los datos numéricos para sustituir en la ecuación (2.80665 x 13 590 1 000 = -3 3 318 Pa Si se considera como cero la presión atmosférica. . La m ezcla de alimentación entra por un extremo del separador.10) son: De la ecuación (2.80665 x (13590 -1260) R.10) se obtiene Jl Alim en tación TT . el nivel del mercurio en el manómetro está 0.391 m. Esta distancia es igual a R m dividida entre el seno de a .5 se utiliza para la separación continua de dos líquidos no m iscibles de densidades diferentes. Bajo las condiciones de operación. t La presión m anom étrica es la presión m edida por encim a de la presión atm osférica existente.10). y la de la tomacorriente a la salida es de 250 mm Hg por debajo de la atmosférica. el m enisco del tubo inclinado se desplazará una distancia considerable a lo largo del tubo. con tal que las presiones p a y p b se midan en el m ism o plano horizontal. Calcular: a) el tam año del tanque y b) la altura de desborde del ácido por encim a del fondo del tanque. membranas. EJEMPLO 2. La longitud del tanque debe ser cerca de 5 veces su diámetro. con frecuencia son necesarios para que la separación sea satisfactoria. kg/m 3 X = viscosidad de la fase continua. cP La ecuación (2. Convendría un tanque de 4 ft (1. pero cuando los líquidos tienen aproximadamente la misma densidad. La ecuación indica además que cuando p A y p B son aproximadamente iguales.90 x 4 = 3.2 Un decantador continuo cilíndrico horizontal separa 1500 bbl/d (9. El tamaño de un decantador se establece por el tiempo requerido para la separación.40 CAPÍTULO 2 Estática de fluidos y sus aplicaciones y una densidad de 54 lb/ft3 (865 kg/m3). la posición de la interface se vuelve m uy sensible a los cambios en ZA 2. que a su vez depende de la diferencia entre las densidades de los dos líquidos y de la viscosidad de la fase continua.96 m) La ecuación (2. el tamaño de un decantador a menudo se reduce enormemente colocando las tuberías o placas planas de forma horizontal o ligeramente inclinada.15) se obtiene t= 100 x U = 0.03 m3). Para líquidos que difieren ampliamente en su densidad. Las líneas de desborde y la parte superior del tanque están comunicadas a la atmósfera. y para un cilindro horizontal esto significa que la profundidad será de 90% del diámetro del tanque.12) se obtiene (2. La parte superior del brazo con frecuencia es m óvil. Si se despeja ZA2de la ecuación (2.14) para la altura del desborde del líquido pesado.15) donde t = tiempo de separación. ligeramente superior.Zb P b = Za2 . su volumen total sería de 2 124 gal. La ecuación (2. p B = densidades de los líquidos A y B .15) no es adimensional.80 ft. esta altura no es crítica.p B / p A (2 .15 ft (0.( Z T . U n balance hidrostático conduce a la ecuación Z Bp B + Z Aip A = Z A2p A (2 *12) o 23 min. y se deben utilizar las unidades indicadas.6 ft Si la interface entre los dos líquidos se encuentran a la mitad del tanque. es preciso operar con cuidado. que es la altura del brazo del líquido pesado. b) La fracción del volumen del tanque ocupado por el total del líquido será de 95%. Puesto que la resistencia por fricción al flujo es insignificante en las líneas de descarga. La profundidad total del líquido en el tanque Z T se fija por la posición de la línea de desborde (o rebosadero) para el líquido ligero.8 0 ) H = 3. de tal manera que las gotas de la fase pesada caen a sólo una distancia pequeña antes de alcanzar una capa del líquido pesado. Por lo tanto. Al sustituir en la ecuación (2. el tiempo de separación se estim a a partir de la ecuación empírica1 t= J 0 0 £ PA . la columna del líquido pesado en el brazo de desbordamiento de dicho líquido. . Ya que 1 bbl = 42 gal. y es independiente de las velocidades de flujo de los líquidos.95 o 2120 gal (8.1 cP El éxito en la operación de un decantador depende tanto de la sedim entación com o de la coalescencia (unión) de la fase dispersa. se obtiene ZA2 = 1.Z M ) P B PA pA La cantidad total del líquido para ser contenido en el tanque es 2 x 43. 14) El tanque debería estar cerca de 95% de su capacidad.93 m3/h) de una fracción líquida de petróleo a partir de un volumen igual de un ácido de lavado. Tales contaminantes pueden también provocar la form ación de una capa sucia de gotitas no coalescentes (desunidas) —llamada “d esech o”— en la interface líquido-líquido.60 -1 . de tal m anera que utilizando cabezales estándar en sus extremos.14) indica que la posición de la interface líquido-líquido en el separador depende de la relación de las densidades de los dos líquidos y de las alturas de las líneas de desborde.13) Z a i = Z a 2 . entonces la altura de la superficie líquida Z = 1.8 gal / min 24 x 60 Despejando ZA 1 en la ecuación (2. o campos de alto voltaje.80 + (3. El petróleo es la fase continua y a la tem peratura operacional tiene una viscosidad de 1. y la del líquido ligero es Z B . Con los líquidos más lim pios. La descarga del líquido pesado se efectúa a través de una línea (o brazo) del rebosadero conectada al fondo del tanque y cuya altura sobre la base del m ism o es ZA 2.38 h 1 153 . Con tal de que el líquido sea lim pio y no se formen em ulsiones. la velocidad de flujo de cada corriente es 1 500 x 42 -------------.15) proporciona resultados deficientes si los líquidos a separar no están purificados y contienen partículas o películas polim éricas que reducen la velocidad de coalescencia. Instrumentos coalescentes tales com o lechos de sólidos porosos. entonces su volumen es de 2 014/0.Z T (p B / p A ) ZA 1= 1. A partir de ésta Z = ZA2 .= 43. La densidad del ácido es 72 lb/ft3 (1153 kg/m3).865 ZA 1 .10 m) de longitud. de los dos líquidos en el tanque.22 m) de diámetro y 22 ft (6. ZT = 0.8 x 23 = 2 014 gal donde Z T = Z B + Zai es la profundidad total del líquido en el tanque. tiene que equilibrar a la profundidad. SECCIÓ N II M ecánica de fluidos 41 Solución a) El tamaño del tanque se determina a partir del tiempo de separación. de tal manera que es posible ajustarla durante la operación para obtener la separación óptima.p B (2. h p A . y descarga en el punto 1. 2 I 1.P b = Pi . radio del borde de descarga para el líquido pesado. Si ahora se hace girar el recipiente. Las dos capas están separadas por una interface cilíndrica de radio r . el líquido pesado pasa por debajo de una placa anular. separación del líquido pesado del ligero.2 -------. y que el líquido ligero. Consta de un recipiente de metal cilíndrico. que es m ucho mayor. comprendido entre rB y r . desborda la compuerta situada a un radio rA. debajo de la capa del líquido ligero.8) 2P a ( r. y que gira alrededor de su eje a gran velocidad. La ecuación (2. Esta interface es vertical. ha de hacerse lo contrario.rA ) ® 2P b (r 2 . La descarga del líquido ligero se efectúa por el punto 2 a través de los puertos próximos al eje del recipiente.P a donde (2.6b. varía con la relación de densidades. La posición de la zona neutra es muy importante en la práctica. La separación puede entonces realizarse en una centrífuga líquido-líquido. próxim a a la pared interna del aparato. zona B. el líquido más ligero se separa del pesado. que se representa en la figura por la zona A .17) indica además. En el interior de la capa de líquido pesado se forma una capa de líquido ligero que se representa por la zona B. b) recipiente en rotación. 2) Salida del líquido ligero. de densidad pB. Si uno de los procesos es más difícil que el otro. . la diferencia entre pA y pB no ha de ser inferior a 3% aproximadamente.17) Cuando la diferencia entre las densidades de los dos líquidos es pequeña. Cuando el aparato está en funcionamiento. la diferencia de presión en el líquido ligero. Zona A. y en la zona B ocurre lo contrario. Esta interface se conoce com o zo n a neutra. se obtiene p B ( ^ . En la zona A. la desplaza hacia la pared. la fuerza de la gravedad es dem asiado débil para separar los líquidos en un tiem po razonable. Para obtener un factor mayor en la zona A. en especial cuando esta relación es próxima a la unidad. bien aumentando rA o disminuyendo rB. el aparato está en reposo y contiene una cierta cantidad de dos líquidos no m iscibles de densidades diferentes. el líquido pesado forma una capa. Si se disminuye rA. un aumento de rB.. ya que que la fuerza de gravedad es insignificante en com paración con la fuerza centrífuga.42 CAPÍTULO 2 Estática de fluidos y sus aplicaciones SECCIÓ N II M ecánica de fluidos 43 Decantador centrífugo Suponga que el líquido pesado de densidad p . provoca también un desplazamiento de la zona neutra hacia el eje.6a..f . la zona neutra se desplaza hacia la pared de la centrífuga. aun cuando la velocidad de rotación sea suficiente para separar los líquidos en forma rápida.rB ) = p A (ri2 . que por lo general se coloca de forma vertical.14) para un tanque de sedim entación gravitatorio. perpendicular al eje de rotación. separación del líquido ligero del pesado. Se construyen muchos separadores centrífugos de manera que puede variarse tanto rA com o rB con el fin de controlar la posición de la zona neutra.P a = ' A l igualar estas caídas de presión y al simplificar. manteniendo constante rA.6. Esto es posible desplazando la zona neutra hacia la pared. En ella se observa que el radio de la zona neutra. que si rB se mantiene constante y se aumenta rA. la posición de la interface líquido-líquido se establece en función de un balance hidrostático y las “alturas” relativas (distancias radiales al eje) de los puertos de desborde en los puntos 1 y 2. El líquido pesado forma una capa sobre el fondo del recipiente.16) p = presión en la interface líquido-líquido p B = presión en la superficie libre correspondiente al líquido ligero en rB p A = presión en la superficie libre correspondiente al líquido pesado en rA D e la ecuación (2. necesitará más tiempo para realizarse. de esta manera Pi .17) es análoga a la ecuación (2. El principio de operación es exactamente el m ism o que en el decantador continuo de gravedad. que se muestra en forma esquem ática en la figura 2.rB )= m : Pi .6 Separación centrífuga de líquidos no miscibles: a) recipiente en reposo. com o indica la figura 2. A sí. Si ambos líquidos giran con el recipiente y la fricción es depreciable. la zona B ha de ser grande y la A pequeña. Para que la operación sea estable. Si la resistencia por fricción al flujo de los líquidos que salen del recipiente es despreciable. r . si la separación en la zona B es más difícil que en la zona A. Si las densidades de los fluidos son m uy semejantes. 1) Salida del líquido pesado. mientras que una disminución de rB. En la figura 2. tiene que ser igual a la que existe en el líquido pesado entre rA y r.Pb 1Pa Alimentación I FIGURA 2. la alimentación se introduce de manera continua cerca del fondo del mismo. la zona neutra puede ser inestable. La ecuación (2. Por ejemplo. sale a través de los puertos situados a un radio rB.y Pi . la zona se desplaza hacia el eje.rA ) Despejando r se obtiene ri = rA (p B 1 p A )rB (2.P b = --------. U na centrífuga con DI (diámetro interior) de 250 mm gira a 4000 r/min. en la superficie del líquido pesado de la centrífuga. fija el tamaño de un decantador de gravedad y determina si es necesaria o no una elevada fuerza centrífuga. de un líquido acuoso de lavado que tiene una densidad de 1020 kg/m3. para la superficie libre del líquido en la centrífuga. ZA 1. m o ft. a partir de 2100 kg/h de líquido de lavado? El líquido de lavado es la fase continua. 1 del manómetro inclinado Distancia radial desde el eje. Contiene una capa de anilina de 50 mm de espesor. ya que. Z B . en la superficie libre del líquido. En el capítulo 7 se estudian las velocidades de m ovimiento de una fase dispersa a través de una fase continua.17) para la posición interfacial en decantadores continuos están totalmente basadas en balances hidrostáticos. Si la tem peratura del aire al nivel del suelo es de 15 °C y la presión es de 760 mm Hg. m /s2o ft/s2 Factor de proporcionalidad de la ley de New ton. rB.5. p b .6). ¿A que presión. ¿cuál es la presión total en una ventana de 15 cm de diámetro? La densidad promedio del agua de mar es de 1028 kg/m3. r .del fluido A.174 ft • lb/lb^ • s2 Peso molecular Masa. ¿Cuál es la altura.6.2 si se utiliza la ecuación de equilibrio hidrostático [ecuación (2.14) y (2. ¿cuál es la fracción en volumen y la fracción en peso de arena que se debe utilizar? 2. Si la presión interior es de 1 atm. m o ft. es equivalente una cabeza de 10 m de alcohol etílico con una densidad de 785 kg/3? . para la pared del recipiente de la centrífuga Área de la sección transversal. SÍMBOLOS b F g gc M m p R Rm r S T t Z Anchura.11. para el derrame del líquido pesado. en la superficie del líquido ligero de la centrífuga. La lectura del manómetro es de 200 mm. ZA 2. b) ¿cuánto afectaría a la posición de la interface un error de 50 mm en esta altura? 2. del líquido pesado en el conducto de desborde.4)]. alturas en las localizaciones a y b . 2.. p . A medida que la resistencia al flujo en las tuberías de salida tiende a ser despreciable. p . ¿Cuál tendría que ser el volumen del separador del problema 2. El manómetro se llena con mercurio (gravedad específica de 13. para la interface líquido-líquido.4 se separan en una centrífuga tubular con un diámetro interior de 150 mm que gira a 8 000 r/min. Za. en la interface líquido-líquido. Z T. ¿Qué error se introduciría en la respuesta del problema 2. 32. cP Densidad. ¿a qué altura será la presión de 380 mm Hg? Suponga que el aire se comporta como un gas ideal.9. 2. de una colum na de agua a 10 °C equivalente a una presión de 1 atm? ¿Cuál es la altura en ft (pies)? Las ecuaciones (2.2. rad/s 2. del fluido B Á ngulo con la horizontal Viscosidad de la fase continua. p B . kg/m 3 o lb/ft3. ¿qué presión manom étrica actúa sobre la pared de la centrífuga? 2. La tem peratura de la atm ósfera terrestre disminuye aproximadamente 5 °C por cada 1000 m de altura sobre la superficie terrestre. N o lb^ A celeración de la gravedad. a) ¿Cuál es la caída de presión en lb^/in2 y en atm? b) ¿Qué porcentaje de error se introduce si la densidad del aire en el manómetro principal es despreciable? 2. en la pared del recipiente de la centrífuga Constante de la ley de los gases. en m. m o ft.1. y el líquido situado por encima del mercurio es tetracloruro de carbono (gravedad específica de 1. en la localización a .10. U na suspensión en agua de partículas de arena muy finas se utiliza para separar carbón bituminoso de partículas densas de roca. Un manómetro sencillo de tubo en U se instala a través de un medidor de orificio. p 2. p . Si la altura total del separador es de 1 m y la interfase ha de estar a 0.44 CAPÍTULO 2 Estática de fluidos y sus aplicaciones SECCIÓ N II M ecánica de fluidos 45 Flujo a través de decantadores continuos PROBLEMAS 2. h Altura. r2. su viscosidad es igual a la del agua a la tem peratura de operación de 35 °C. kg o lb Presión. Un submarino de investigación está diseñado para operar a 3 km debajo de la superficie oceánica. El agua que circula a través de un filtro de aire indica en un manómetro de tubo en U una caída de presión de 10 in. m o ft Fuerza. K o °R Tiempo de separación.6 m del fondo del tanque.4. Si la centrífuga contiene volúmenes iguales de los dos líquidos.47 J/kg mol • K o 1 545 ft • lb^/lb mol • °R Lectura del manómetro. p A . 2. la posición de la interface se hace independiente de las velocidades de flujo y de las cantidades relativas de los dos líquidos en la alimentación. para el derrame del líquido ligero. Z . N /m 2 o lb^/ft2. El aire está a 26 °C y la presión manom étrica estim ada es de 60 lb^ /in2. a) ¿cuál sería la altura (o en el conducto de desborde) del líquido pesado?. en kPa. R . Los líquidos descritos en el problema 2. altura de las conexiones de presión del manómetro por encima del líquido medido Letras griegas a X p a pB. con una densidad evaluada a 0 °C y a una presión promedio aritmética? 2. en la localización b.4 para separar 1 600 kg/h de clorobenceno. con una densidad de 1109 kg/m3. ¿Cuál es la diferencia de presión en el manóm etro expresada en newtons por metro cuadrado? 2.7. altura total del líquido. Velocidad angular. r A . de la capa de líquido pesado en el decantador. Un decantador de gravedad continuo por gravedad separa clorobenceno. tal com o se ha m encionado antes.3. r 1. La velocidad de separación es la variable más importante. Zb. Si la densidad requerida de la suspensión es de 1500 kg/m3. m2o ft2 Temperatura absoluta.12. La densidad de la anilina es de 1 102 kg/m3 y la presión en la superficie del líquido es la atmosférica. 8314. de la capa del líquido ligero en el decantador.8.6). pA. ¿cuál será la distancia radial desde el eje de rotación hasta la parte superior de la zona de derrame del líquido pesado? 2. La superficie libre del líquido dentro del recipiente está a 40 mm del eje de rotación. 10-139. ¿cuáles serían las dimensiones del decantador grande?. El tiempo de residencia requerido en el decantador es de 20 minutos. Transport Phenomena.46 SECCIÓ N II M ecánica de fluidos 2.G.15) para escalamiento. J. y 4) la separación de las capas límite del contacto con el lím ite sólido. y tanto la tensión de corte com o las fuerzas de corte sólo existen en esta parte del fluido. pp. 4. Knudsen.0 m. La mayoría de los procesos técnicos de fluidos se estudian mejor si se considera la corriente del fluido en dos partes: la capa lím ite y el resto del fluido. originados por variaciones significativas de la densidad que son características de los fluidos compresibles. 2.E. la capa lím ite ocupa todo el canal de conducción y no hay flujo potencial. adecuadamente colocado. el efecto del lím ite sólido sobre el flujo se lim ita a una capa de fluido inmediatamente adyacente a la pared sólida. prevalece el flujo potencial. El flujo de un fluido ideal recibe el nombre de flu jo p o ten cia l y se describe a partir de los principios de la m ecánica newtoniana y la conservación de la materia.. En el interior de la corriente de un fluido no compresible. Fluid D ynamics and H eat Transfer.15.6 m de diámetro y 3 metros de largo. se desprecia la capa límite. La teoría matemática del flujo potencial está altamente desarrollada. Barton.14. 81(14): 111 (1974). El comportamiento de un fluido en m ovim iento depende mucho de que el fluido esté o no bajo la influencia de lím ites sólidos.N. 1958. 1959. b) comente el empleo de la ecuación (2. y D. . R. En algunas situaciones. que se encuentra bajo la influencia de lím ites sólidos. pero está fuera del objetivo de este libro. Nueva York: Wiley. REFERENCIAS 1. es decir.16. El flujo potencial tiene dos características importantes: 1) no existen circulaciones ni remolinos dentro de la corriente. Nueva York: McGraw-Hill. no es com presible y tiene viscosidad cero. 2) el inicio de la turbulencia. Estime la presión atm osférica en la cumbre del monte Everest. R. En el flujo de fluidos compresibles junto a lím ites sólidos. B. Stewart y E. Compare el cambio de densidad con respecto a la tem peratura para w-octano y tolueno con el del agua en el rango de 0 a 100 °C. tal como lo indica un manómetro conectado a la parte superior y a la base del reactor. Nueva York: McGraw-Hill. tales com o el flujo a través de tuberías. b) Demuestre que la instalación de un segundo manómetro. En la región donde la influencia de la pared es pequeña. 3) la formación y crecimiento de las capas lím ite. a) Si se diseña una unidad grande para manejar un flujo 12 veces mayor. Bird. El nivel inicial del líquido es de 4. establecido originalmente por Prandtl en 1904. Eng.13. 1997. considerando la velocidad de depositación de las gotas más pequeñas. Fenómenos de flujo de fluidos 2. 8 848 m sobre el nivel del mar. 3. U n principio fundamental de la m ecánica de fluidos. dependiendo de la velocidad de flujo del aire. Green (eds. ed. 69-71. pp. y D.L.8 dice que. aparecen efectos adicionales. W. Durante la aereación. pero se encuentra que la lectura del manómetro no ha cambiado una vez agregado el aire. Perry. 96-98. pp. 7a. se espera que el nivel del líquido se eleve entre 10 y 20%. 2.L. no hay disipación de energía mecánica en calor.). Katz. CAPÍTULO 3 2. Fuera de la capa lím ite. aparecen cuatro efectos importantes: 1) el acoplamiento de los campos gradiente de velocidad y de tensión de corte. perm itiría el cálculo de la altura del líquido aireado. U na mezcla de aceite y agua proveniente de un reactor de una planta piloto se separa en un decantador horizontal de 0. por lo tanto. Esta capa recibe el nombre de capa lím ite. al estudiar el flujo de fluidos compresibles. mientras que en otras. com o es el caso del flujo en un inyector convergente. excepto para los fluidos que circulan a bajas velocidades o poseen visco sidades elevadas. A suma una tem peratura promedio de 0 °C. Lightfoot. y el comportamiento del fluido se aproxima al de un fluido ideal. a) Explique por qué la lectura del manómetro no cambia cuando el líquido es aereado. Exponga qué suposiciones se requieren. Chem. Estos efectos se consideran en el capítulo 6. Se lleva a cabo una oxidación parcial mediante el burbujeo de aire a través de un lote de un líquido en un reactor presurizado de 3 m de diámetro y 5 m de alto. Es posible que no lejos de un lím ite sólido exista flujo potencial. y 2) no existe fricción. de tal forma que el flujo potencial se denomina también flujo irrotacional. la tensión de corte se considera despreciable. P erry’ s Chemical E ngineers’ Handbook.H. Cuando una corriente de fluido se m ueve en bloque sobre una pared sólida.1b. se define por du Au — = lím dy Ay^o Ay (3. Por lo tanto. forma un ángulo recto con la dirección de la velocidad. el fluido se adhiere al sólido en la interface real que existe entre el sólido y el fluido. y sólo se necesita un componente de velocidad. recibe el nombre de flu jo unidim ensional. y el flujo se denomina estacionario. Este caso. Por consiguiente. que se considera escalar. el campo no varía con el tiempo. El gradiente local de velocidad también se denomina velocidad de corte. En vez de la fuerza total F . G radiente d e v elo cid a d y v elocid a d d e corte Considere el flujo laminar estacionario unidimensional de un fluido no compresible a lo largo de una superficie sólida plana. Para y = 0. define un campo. el fluido por debajo del plano C ejerce una fuerza igual y opuesta — F sobre el fluido que se encuentra sobre dicho plano. La abscisa u es la velocidad y la ordenada y es la distancia medida perpendicularmente desde la pared y.48 CAPITULO 3 Fenómenos de flujo de fluidos SECCIÓ N II M ecánica de fluidos 49 El cam p o d e v elocid ad FIGURA 3. un ejemplo es el flujo estacionario a través de tuberías rectas. Las fuerzas de corte se originan tanto en el flujo laminar com o en el turbulento. El efecto de la turbulencia se describirá más adelante. que obviamente es mucho más sencillo que el campo vectorial general. VELOCIDAD DE CORTE Y TENSION DE CORTE Flujo lam inar A velocidades bajas. la velocidad también puede variar con el tiempo. La siguiente explicación se basa en la suposición de flujo unidimensional estacionario. D e acuerdo con la tercera ley de Newton. los fluidos tienden a m overse sin m ezcla lateral y las capas adyacentes se desplazan unas sobre otras. Este tipo de régimen se llama flu jo lam inar.1a se muestra el perfil de velocidad para una corriente de este tipo. En un punto determinado. b) gradiente de velocidad o velocidad de corte. u = 0. siempre que haya una variación de dicha tensión con el tiempo. com o se estudiará más adelante. es posible que haya variaciones en la velocidad de un punto a otro dentro de la corriente en movimiento. A velocidades superiores aparece la turbulencia y se forman remolinos.1) PROPIEDADES REOLOGICAS DE LOS FLUIDOS Fluidos n ew to n ia n o s y no n ew ton ian os Las relaciones entre la tensión de corte y la velocidad de corte en un fluido real son parte de la ciencia de la reología. que recibe el nombre de tensión de corte y representada por t . o velocidad de tiempo de corte. FLUJO LAMINAR. En el flujo unidimensional. los cuales. si la pared está en reposo con respecto al marco de referencia elegido para el sistema sólido-fluido. o Fs T=A. que son también la causa de la tensión interfacial entre el sólido y el fluido. com o las cartas de una baraja. Como se ilustra en la figura 3.2) donde A es el área del plano. En la figura 3 . tiene que existir una fuerza de corte. Fijemos la atención sobre las velocidades en dos planos próximos. Por ejemplo. Sean uA y uB las velocidades respectivas a lo largo de los planos. la fuerza de corte Fs actúa en la dirección que se indica en la figura. la fuerza de corte actúa paralela al plano del corte. Esta fuerza es ejercida por el fluido que se encuentra sobre el plano C.uA El gradiente de velocidad en yA. la velocidad en un punto cualquiera es una función de las coordenadas espaciales de ese punto. y u aumenta con la distancia desde la pared. pero a una velocidad decreciente. Como a distancias mayores del sólido la velocidad no es cero. y existe un campo de velocidad en el espacio ocupado por el fluido. por lo tanto. en el plano C. (3. es más conveniente utilizar la fuerza por unidad de área del plano cortante.1a.2 muestra varios ejem plos del comportamiento . dan lugar a una m ezcla lateral. por lo tanto. Cuando la velocidad es constante en cada punto. El cam p o d e la tensión d e corte F lu jo u nid im en sio n a l. y en general.1 Perfiles y gradiente de velocidad para el flujo de la capa en movimiento: a) velocidad. La adhesión es resultado de los campos de fuerza en el lím ite. a una distancia y c de la pared. la tensión de corte también constituye un campo. Suponga que uB > uA y que Au = uB . la velocidad del flu id o en la interface es cero.1a. uno para cada coordenada espacial. La tensión de corte debida al flujo laminar o viscoso se sim boliza por t . du/dy. del fluido comprendido entre dicho plano y la pared. en un punto tiene tres componentes. todos los vectores de velocidad del campo son paralelos o prácticamente paralelos. La velocidad es un vector. o) Resulta claro que el gradiente de velocidad es el recíproco de la pendiente del perfil de velocidad en la figura 3. Puesto que un fluido real se opone a la tensión de corte. separados entre sí a una distancia Ay. según se observa en la figura 3. el gradiente de velocidad es por lo general una función de la posición en la corriente y. La figura 3 . N o existen corrientes transversales ni remolinos. En muchos casos sencillos. Puesto que t depende de y. el plano A y el plano B. por ejem plo.50 CAPITULO 3 Fenómenos de flujo de fluidos SECCIÓ N II M ecánica de fluidos 51 TABLA 3. La curva B es un ejem plo de este comportamiento. y una muestra determinada del material muestra el m ism o comportamiento sin importar el tiempo que la tensión de corte esté siendo aplicada. Exhiben una recuperación elástica a las deformaciones que ocurren durante el flujo. almidón en agua Suspensiones de arcilla de bentonita.2 Tensión de corte contra gradiente de velocidad para fluidos newtonianos y no newtonianos. Las estructuras originales y las viscosidades aparentes por lo general son recuperadas con el tiempo. suspensiones de almidón. La curva es cóncava hacia arriba para bajas tensiones de corte y casi lineal para tensiones de corte elevadas. La curva pasa por el origen. esto es. es cóncava hacia abajo para bajas tensiones de corte y se vuelve casi lineal para tensiones de corte elevadas. La curva D representa un flu id o dilatante. Los líquidos tixotrópicos se separan bajo un corte continuo y. Las curvas son representaciones gráficas de la tensión de corte contra la velocidad de corte y corresponden a presión y temperatura constantes. la tensión de corte es proporcional a la velocidad de corte. Los gases y la m ayoría de los líquidos son newtonianos. al mezclarlos de nuevo. dan lugar a una menor tensión de corte al aplicar una velocidad de corte dada.2 representan el comportamiento reológico de líquidos llam ados no newtonianos. F lu id o s viscoelásticos. líquidos más simples Harina de maíz. Las demás curvas de la figura 3 . La línea C representa un flu id o seudoplástico.3). Las características reológicas de los fluidos se resumen en la tabla 3. El látex del caucho es un ejem plo de dicho fluido. su viscosidad aparente disminuye con el tiempo. mayonesa. y la constante de proporcionalidad se denomina viscosidad^ du Tv = V ~ r dy (3.3) reológico de los fluidos. soluciones azucaradas. las aguas residuales lodosas. Éste no es el caso para algunos líquidos no newtonianos. cuyas curvas de tensión contra la velocidad de corte. suspensiones de yeso Flujo d ep en d ien te del tiem po FIGURA 3. para tensiones de corte superiores a t 0. no fluyen hasta que se alcanza una tensión de corte m ínima. Ejemplos de fluidos viscoelásticos son la m asa de harina. La arena m ovediza y algunas em ulsiones de arena presentan este comportamiento. A lgunos líquidos.1. . V iscosidad En un fluido newtoniano. arena húmeda de playa. t En algunos libros un signo m enos está incluido al lado derecho de la ecuación (3. Ninguna de las curvas en la figura 3. pinturas Algunas soluciones poliméricas. algunas pinturas Gases. Las sustancias reopécticas se comportan de la forma contraria. y la tensión de corte se incrementa con el tiempo. materia grasa. que es una recta que pasa por el origen de coordenadas. Los líquidos que se comportan de esta manera se denominan p lá stico s de B ingham . o casi lineal. el napalm y ciertos polímeros fundidos. dependen de cuánto tiempo ha estado activa la tensión de corte. pero generalmente sólo parte de la deformación se recupera cuando se suprime la tensión. por un engrosam iento de la velo cid a d de corte. El comportamiento más sencillo es el que se muestra en la curva A .1 Características reológicas de los fluidos Designación Seudoplásticos Tixotrópico Newtoniano Dilatante Reopéctico Espesos Sí Espesos No Ninguno No Delgados Sí Delgados No Efecto del aumento de la velocidad de corte Ejemplos2 ¿Dependiente del tiempo? Soluciones poliméricas. y entonces fluyen de manera lineal. Los fluidos viscoelásticos muestran tanto propiedades elásticas com o viscosas. Los seudoplásticos se caracterizan por presentar un adelgazam iento de la velo cid a d de corte y los fluidos dilatantes. com o lo hace la viscosidad aparente.2 depende del origen del fluido. Los fluidos que presentan esta sencilla linealidad reciben el nombre de fluidos newtonianos. que se representa por t 0. Puesto que la velocidad es proporcional a (T/M). Las diferentes propuestas para calcular Q F son revisados por Reid. teniendo a la viscosidad com o el factor de proporcionalidad. y las unidades de i son libras por pie-segundo o libras por pie-hora. de una región de temperatura alta a una de temperatura más baja.1 '2 la viscosidad es proporcional a (TM). el momento se transfiere por la acción viscosa com o resultado del gradiente de velocidad y la viscosidad puede ser considerada com o la conductividad de momento transferido por este m ecanismo. El gradiente de velocidad puede considerarse com o la “fuerza impulsora” para la transferencia de momento.0 0 2 6 7 donde i M T a = viscosidad. La velocidad de momento transferida por unidad de área. D e esta forma el momento de dirección x se transfiere en la dirección . y así sucesivamente. Una teoría simple para las m oléculas que no interactúan es la siguiente:9“ /1 = 0 . Para cálculos aproximados: (3. La transferencia de momento es también análoga a la transferencia de material por difusión molecular.42 10 1 0.005 y 0.02 cP. K = diámetro molecular. El fluido en m ovim iento a una distancia corta arriba de la pared posee algún momento.12 La viscosidad también depende de la trayectoria libre media. La definición de la ecuación es u du = (3. por lo que son comunes los errores de entre 6 y 10%. página 555. 0. es gobernada por el gradiente de velocidad du/dy. Ésta se demuestra por la ley de Fourier.3) por lo tanto afirma que el flujo de momento normal a la dirección del flujo de fluido es proporcional al gradiente de velocidad. t se m ide en newtons por metro cuadrado y i en kilogramos por metro-segundo o pascal-segundo. la cual es proporcional al peso molecular m ultiplicado por la velocidad promedio. El fluido en m ovimiento debe por lo tanto adquirir el momento desde la capa superior del m ovimiento más rápido. tal com o sucede con los flujos de calor.01 1 0. El momento se transfiere desde una región de alta velocidad de fluido a una de baja velocidad.6) donde s a C U cP s 1 000 100 1 0. donde la velocidad es cero. que se m ueven distancias relativamente grandes hasta regiones en donde la velocidad es más baja. Teorías rigurosas para la viscosidad de un gas incluyen el término de colisión integral Q f en el denominador de la ecuación (3. no tiene. En el apéndice 8 se dan los valores para otras sustancias. Los datos de viscosidad se expresan generalmente en milipascales-segundo o en centipoises (cP = 0. ya que la mayoría de los fluidos tienen viscosidades mucho menores que 1 pascal-segundo. V isco sid a d es d e g a s e s y líquidos En las unidades SI. La viscosidad depende del momentum promedio de las m oléculas. el momento se libera a la pared com o una fuerza de corte conocida com o corte de pared. puesto que el término M 12 en el numerador casi com pensa al término a 2 en el denominador. En el flujo laminar. en efecto.5) para permitir las interacciones entre las moléculas que colisionan.y a lo largo de todo el camino hacia la pared. La tensión (fuerza de corte por unidad de área) en la pared se sim boliza por t . el momentum se transfiere por moléculas. La ecuación (3. En las unidades fps. cP = peso molecular = temperatura absoluta. Cada capa es. la cual al girar recibe el momento desde la siguiente capa superior.5) para predecir viscosidad es de alrededor de 20%. en la página 315.672 0. también es posible interpretarla en términos del flujo de momento. En el sistema cgs. la viscosidad se define mediante el factor de conversión de la ley de N ew ton g . Las viscosidades de los gases aumentan con la temperatura de cierta manera más rápidamente que lo predicho por la sim ple teoría cinética.009 cP para el hidrógeno. TABLA 3. o flujo de m om ento. donde el factor de proporcionalidad entre el flujo de calor y el gradiente de temperatura se llama conductividad térm ica. arrastrada a lo largo de la capa superior.018 cP para el aire.s o kg/m • s2.72 X 10-4 2420 242 2.3) sirve para definir la viscosidad de un fluido.4) g c dy En la tabla 3. Las unidades del flujo de momento son (kg • m /s)/m 2. Las viscosidades de los gases a temperatura ambiente oscilan generalmente entre 0. Ésta se resume en la ley de Fick. V iscosid ad y flux d e m om ento En los gases.1 1 0-3 i = viscosidad a la temperatura absoluta.52 CAPITULO 3 Fenómenos de flujo de fluidos SECCIÓ N II M ecánica de fluidos 53 La transferencia de momento es análoga a la transferencia de calor por conducción que resulta de un gradiente de temperatura. El promedio de error en el uso de la ecuación (3.M T y 2 (3. y 0.9 El promedio de error al predecir la viscosidad de un gas varía entre 2 y 3%. A 20 °C.0672 6.01 P = 1 mPa • s). Es más difícil predecir la viscosidad de m ezclas de gases.2 se proporcionan los factores de conversión entre los diferentes sistemas. ya que 1 N /m 2 es igual a 1 kg/m • s2. donde el factor de proporcionalidad es la difusividad de la masa. la viscosidad es de 0. Ya que la pared no se m ueve. K l 0 = viscosidad a 0°C (273 K) n = constante para un gas en particular . que disminuye en la medida en que el tamaño de las m oléculas aumenta.5) Aunque la ecuación (3. la viscosidad se expresa en gramos por centímetro-segundo y esta unidad se llama poise (P). las mismas que las unidades para t .007 cP para el vapor de benceno. A (. N o existe una correlación simple con el peso molecular.2 Conversión de factores para la viscosidad £ -= «E 25 p Obsérvese que el efecto del peso molecular predicho es pequeño. donde u = 0. mientras que el fluido inmediatamente adyacente a la pared. aproximadamente el cuadrado de la velocidad. respectivamente. El incremento en la densidad de un gas.9) dy Viscosidades de líquidos.79 cP a 0 °C hasta 0. y para dilatantes (curva D ) n' > 1.1 cP para líquidos hasta casi su punto de ebullición tanto com o 106 para de fundidos de polímeros. se alcanzaba una cierta velocidad. la unidad para u son los metros cuadrados por segundo. un cambio de 6.65 para el aire. la viscosidad cinemática se denomina stoke (St).8) D esde hace mucho tiempo se sabe que un fluido puede circular a través de una tubería o un conducto de dos formas diferentes.2.350 0. sino de la leve expansión del líquido que hace que sea más fácil para las m oléculas deslizarse unas junto a otras. Sobre algún intervalo de las velocidades de corte.96 donde K es una constante. com o sucede con los gases. A presiones m uy elevadas. Para fluidos seudoplásticos (curva C) n'< 1.554 0.575 0. especialmente en la cercanía del punto crítico. La viscosidad es una función fuertemente no lineal de la temperatura.3 Índices de propiedades de flujo de fluidos seudoplásticos2 Fluido 1. El flujo de agua a través del tubo se podía controlar mediante una válvula.458 0. Las viscosidades de los líquidos son mucho mayores que las de los gases a la m ism a temperatura. Por ejemplo.13 9. que conduce a un aumento del flujo de m oléculas a través de una unidad de área.645 0.1 0 Sumergió un tubo horizontal de vidrio en un tanque de vidrio lleno de agua. el propulsor de agua coloreada fluía intacto a lo largo de la corriente principal sin que ocurriera un m ezclado transversal. pero no existe una teoría sencilla para predecir las viscosidades de los líquidos.02 0.173 1.0 para el vapor. Los factores de conversión son 1m2/s = 104 St = 10. una buena aproximación para temperaturas por debajo del punto de ebullición normal es9 ln i = A + B /T (3. El comportamiento de la banda de color mostraba claramente que el agua estaba fluyendo en líneas rectas paralelas y que el flujo era laminar. En el sistema cgs.31 20.566 0. o un factor de 1.2226 El exponente n es de aproximadamente 0.4 veces. aunque la velocidad molecular promedio sólo aumenta en una relación de (373/273)05. Evidentemente n' = 1 para fluidos newtonianos. La viscosidad generalmente aumenta a mayor peso molecular y decae rápidamente con el incremento de la temperatura. a altas velocidades se incrementa mucho más rápido. Cuando se aumentaba la velocidad de flujo.500 6.51 0. siguen una ecuación reológica del tipo (3. Con frecuencia es útil la relación de la viscosidad absoluta para la densidad de un fluido i / p .59 n' K X 103 3.59 0. las viscosidades cinemáticas varían con la temperatura en un intervalo más estrecho que las viscosidades absolutas.185 0. definido com o 1 cm 2/s. donde K y n ' son constantes llamadas índice de consistencia de flu jo e índice de com p orta m ien to de flu jo . La distinción entre los dos tipos de flujo fue inicialmente demostrada en un experimento clásico efectuado por Osborne Reynolds.9 para el dióxido de carbono. a bajas velocidades de fluido. V iscosidad cinem ática. la caída de presión en el fluido se incrementa directamente con la velocidad del fluido. sin embargo. para la cual el hilo de color se ondulaba y desaparecía gradualmente.3 se dan los valores de n' y K' para algunos fluidos seudoplásticos. la viscosidad del agua cae de 1.0% Pulpa de papel en agua 14.0% Carboximetilcelulosa en agua 4.7639 ft2/s TURBULENCIA Para los líquidos. A bajas velocidades de flujo. se encuentra compensado por la reducción de la trayectoria libre media. desde 0. reportado en 1883.17. Esta propiedad se llama viscosidad cinem ática y se representa por u. la viscosidad cinemática se incrementa más rápidamente con la temperatura que la viscosidad absoluta.54 CAPITULO 3 Fenómenos de flujo de fluidos SECCIÓ N II M ecánica de fluidos 55 TABLA 3. La unidad fps es pie cuadrado por segundo. En la tabla 3.28 cP a 100 °C. / Tu = K ' du 1 \n (3.7) Las viscosidades absolutas de 1os líquidos tienen un amplio rango de magnitudes. Las m oléculas en los líquidos se mueven a distancias muy cortas entre colisiones y la mayor parte de la transferencia de momentum ocurre mientras las m oléculas se deslizan a gran velocidad pasándose unas a otras.5% Carboximetilcelulosa en agua 3. también llamada ecuación de O stw ald-de Waele. y 1. El efecto principal del cambio de la temperatura no proviene del aumento de la velocidad promedio. la viscosidad se incrementa con la presión. V elocidad d e corte contra tensión d e corte para líquidos n o n ew ton ian os Los plásticos de Bingham. llamada velocidad crítica . 0. Reynolds encontró que. Tales fluidos se conocen com o flu id o s de ley de potencia.3% Arcilla en agua 25% Arcilla en agua Compota de manzana Puré de plátano Concentrado de jitomate 0. Para gases. a medida que la propagación del color se distribuía de manera uniforme a través de toda la sección . com o se representan por la curva B en la figura 3. La entrada al tubo estaba acampanada y el suministro se hacía al introducir un filamento fino de agua coloreada desde un matraz superior dentro de la corriente a la entrada del tubo. En el sistema SI. La viscosidad de un gas es casi independiente de la presión en la región donde se aplican las leyes de los gases ideales. los fluidos seudoplásticos y dilatantes frecuentemente siguen una ley de potencia. 0.8 para el butano. todos ellos son de tamaño m acroscópico y el flujo turbulento no es un fenóm eno molecular. se analiza en la página 121. La energía de los remolinos más grandes procede de la energía potencial del flujo global del fluido. Observaciones adicionales muestran que la transición del flujo laminar a turbulento realmente puede ocurrir para un amplio intervalo de números de Reynolds. que se estudia en el capítulo 9.1’3 Se han empleado métodos refinados de m edición para estudiar con detalle las fluctuaciones reales de la velocidad de los rem olinos durante el flujo turbulento. todas las perturbaciones disminuyen y el flujo laminar se mantiene. un tanto complicada.1 Si el flujo laminar a tales números elevados de Reynolds se perturba. El tamaño del torbellino m áximo es comparable con la dimensión m ínima de la corriente turbulenta. Continuamente se forman remolinos grandes. la turbulencia es un proceso de transferencia en el cual los remolinos. Finalmente. el flujo es siempre laminar a números de Reynolds inferiores a 2100. La turbulencia libre es especialmente importante en la operación de m ezclado. la ecuación (3.11) La figura 3. el remolino más pequeño desaparece.3 representa una gráfica típica de la variación en la velocidad instantánea en un punto dado de un campo de flujo turbulento. dependiendo de las condiciones a la entrada del tubo y de la distancia a dicha entrada. de cualquier manera. El flujo dentro de un remolino es laminar. El com ienzo de la turbulencia ocurre cuando el número de Reynolds es superior a 2100 con fluidos seudoplásticos. existe un amplio espectro de remolinos de varios tamaños. Bajo condiciones ordinarias. Finalmente esta energía mecánica se convierte en calor cuando los remolinos más pequeños se destruyen por la acción viscosa. N atu raleza d e la turbulencia La base de esta definición. La turbulencia con frecuencia se origina de otras maneras distintas del flujo a través de una tubería. a la cual el flujo laminar cambia a flujo turbulento.o3+J R en = 2 n n ^n' D n'p V 2±n' n I — ---------. una definición ampliamente usada para fluidos de la ley de potencia es: r. cuyos tres componentes varían .10) para el número de Reynolds no puede utilizarse. Cualquier remolino dado posee una cantidad definida de energía mecánica. Los remolinos menores que éstos se destruyen rápidamente por las fuerzas viscosas. sino que se desplaza al azar. Re. transportan su energía de rotación a lo largo de una serie continua de remolinos más pequeños. La turbulencia libre se presenta en el flujo de un propulsor dentro de una masa de fluido estancado o cuando una capa lím ite se separa de una pared sólida y se m ueve a través de la masa global del fluido. digamos por una fluctuación en la velocidad. densidad y velocidad lineal promedio del líquido. Este comportamiento del agua coloreada muestra que el agua ya no circula con m ovimiento laminar.---------{ 3n + 1 ) K (3. A un tiempo y volumen dados. Las perturbaciones bajo estas condiciones se amplifican. El primer tipo de turbulencia se denomina turbulencia de p a re d y el segundo turbulencia libre . El agrupamiento de las variables se encuentra así Re = D Z P = D i U v (3 . que a su vez se transforman en otros todavía menores. Es uno de los grupos adimensionales listados en el apéndice 2. N úm ero d e R eynolds y transición d e flujo lam inar a turbulento Reynolds estudió las condiciones bajo las cuales un tipo de flujo cambia a otro y encontró que la velocidad crítica. En general. el flujo en una tubería o tubo es turbulento a números de Reynolds superiores a aproximadamente 4 000. el diámetro del rem olino más pequeño es de 10 a 100 i m . Este tipo de movimiento es un flu jo turbulento. A algunas velocidades de flujo una perturbación puede no amplificarse ni disminuirse. pero pasa de manera casi cuantitativa a los remolinos más pequeños. el flujo turbulento se ha estudiado intensamente en los últimos años y se dispone de abundante bibliografía sobre este tema.10) recibe el nombre de número de Reynolds. V elocid ades d e d esv ia ción en flujo turbulento Puesto que los fluidos no newtonianos no tienen un valor único de viscosidad que sea independiente de la velocidad de corte. N úm ero d e R eynolds para fluidos no n ew ton ian os Debido a su importancia en muchas ramas de la ingeniería. En una tubería. puede originarse bien por contacto de la corriente de flujo con lím ites sólidos o por el contacto entre dos capas de fluido que se m ueven con velo cidades diferentes. Esta magnitud es independiente de las unidades usadas. La conversión de energía por la acción viscosa recibe el nombre de disipación viscosa. Puesto que incluso los remolinos más pequeños contienen cerca de 101 2 m oléculas. La turbulencia de pared aparece cuando el fluido se m ueve a través de canales cerrados o abiertos o alrededor de formas sólidas sumergidas en la corriente. y los resultados de tales m ediciones han proporcionado mucha información cualitativa y cuantitativa sobre la naturaleza de la turbulencia. Esta velocidad es en realidad sólo uno de los componentes de la velocidad del vector real.9)] viscosidad del líquido densidad del líquido viscosidad cinemática del líquido El grupo adimensional de variables definidas por la ecuación (3. El flujo turbulento consiste en un conjunto de remolinos de varios tamaños que coexisten en la corriente de flujo. para los que n' < 1. D esde un punto de vista energético. Entre 2100 y 4 000 existe una región de transición . 1 0 ) donde D V i p u = = = = = diámetro del tubo velocidad promedio del líquido [ecuación (4.56 CAPITULO 3 Fenómenos de flujo de fluidos SECCIÓ N II M ecánica de fluidos 57 transversal de la corriente de agua. donde el tipo de flujo puede ser tanto laminar com o turbulento. dando lugar a corrientes transversales y remolinos. él encontró que estos cuatro factores pueden combinarse formando un grupo y que el cambio en el tipo de flujo ocurre para un valor definido del mismo. con tal de que sean consistentes. formados a partir del flujo global. el flujo está entonces neutralmente estable. depende de cuatro variables: el diámetro del tubo y la viscosidad. que se rompen en otros más pequeños. mientras que a números de Reynolds por debajo de 2100. pero este flujo laminar puede persistir hasta números de Reynolds superiores a 24 000 por eliminación de todas las perturbaciones en la entrada. Esta energía mecánica no se disipa apreciablemente en calor durante la ruptura de remolinos grandes en otros cada vez más pequeños. com o si se tratara de una pequeña cima rotatoria. La definición de un número de Reynolds para tales fluidos es un tanto arbitraria. el flujo se vuelve rápidamente turbulento. Además. respectivamente. Wattendorf YA. Aunque los valores de tiempo promedio de las componentes fluctuantes son cero. estudios14 más detallados de los oscilogramas. y los estudios de mayor éxito de turbulencia se basan en su naturaleza estadística. Kuethe. = componentes de la velocidad instantánea total en las direcciones x. ambas perpendiculares a la dirección del flujo total. y y z . Por lo tanto (u ' )2 es inherentemente positivo y sólo se anula cuando no existe turbulencia. Por ejemplo. Por lo tanto. En el flujo laminar no hay remolinos. [Según F.14) La razón de que estos valores promedio se anulen. D e esta manera la media cuadrática no es cero. Aunque a primera vista la turbulencia parece caótica. por lo tanto.153 (1934). Las velocidades instantáneas locales en un punto dado se m iden con anemómetros láser-Doppler. Esta magnitud para el com ponente u se define com o (3.15) donde u . esto no es necesariamente cierto para otras funciones o combinaciones de dichas com ponentes. de la velocidad instantánea en las direcciones x. y que la relación entre la frecuencia y el valor es del tipo de distribución de Gauss. Suponga también que el eje x está orientado en la dirección del flujo de la corriente y que las componentes u. u . y y z respectivamente. que al elevarlos al cuadrado. Los porcentajes están basados en la constante de velocidad. w.3 es en realidad una representación gráfica de la velocidad de desviación u '.12) v .3 . ejemplifican el comportamiento de ciertas funciones matemáticas “caóticas” no lineales. Physics.13) donde p. sigue la curva característica de error de las cantidades estadísticas completamente aleatorias. así que u y w son cero. el valor promedio temporal de la m edia cuadrática de cualquiera de estas componentes de velocidad no es cero.] La distribución de las velocidades de desviación en un punto concreto indica que el valor de la velocidad se relaciona con la frecuencia con que se presenta ese valor. y w. que son demasiado lentos para seguir las rápidas variaciones de la velocidad fluctuante. Para la presión.10) se han omitido los términos u y w debido a que no existe flujo neto en las direcciones de los ejes y y z en el flujo unidimensional. que son capaces de seguir oscilaciones rápidas.3. respectivamente u = velocidad neta constante de la corriente en la dirección x u'. La figura 3. siempre dan un valor positivo. el análisis estadístico de las distribuciones de frecuencia resulta útil para la caracterización cuantitativa de la turbulencia.L. respectivamente En las ecuaciones (3. y w. Los oscilogramas que muestran estas fluctuaciones suministran los datos experimentales necesarios sobre los que se basan las teorías modernas de la turbulencia. Sean las tres componentes (en coordenadas cartesianas) u .58 CAPÍTULO 3 Fenómenos de flujo de fluidos SECCIÓ N II M ecánica de fluidos 59 Las velocidades de desviación u '.3 Fluctuaciones de velocidad en el flujo turbulento. com o los tubos pitot. una representación gráfica de la velocidad instantánea u . m uestran que esto no es completamente cierto. tendría una apariencia idéntica puesto que en cualquier punto la ordenada estaría incrementada en la cantidad constante u . los tiempos promedio de los componentes fluctuantes de velocidad y presión desaparecen cuando se promedian para un periodo t 0 del orden de unos pocos segundos.M. son ambas cero. Las velocidades locales se analizan separando cada com ponente de la velocidad total instantánea en dos partes: una parte constante es el tiempo promedio. Además. u. y w . llamada la velocidad de desviación que corresponde a la fluctuación instantánea del componente alrededor del valor medio. com o el de la figura 3. Entonces las ecuaciones que definen las velocidades de desviación son: u = u + u' (3. ya que u ' adquiere una serie rápida de valores positivos y negativos. Este resultado demuestra que la turbulencia es un fenóm eno estadístico. son las componentes y y z. sin embargo. u '. controladas entre lím ites definidos. carente de estructura y generada al azar. = presión local variable p = presión promedio constante tal com o es medida por manómetros ordinarios o indicadores de presión p ' = parte fluctuante de la presión debida a los remolinos A causa de la naturaleza aleatoria de las fluctuaciones. reside en que para cada valor positivo de una fluctuación existe un valor negativo igual y la suma algebraica es cero. las cuales están. 5. y la otra. las velocidades de desviación y fluctuaciones de presión no existen.6 N o obstante. u'. o valor m edio de la componente en la dirección del flujo de la corriente. rápidamente tanto en magnitud com o en dirección. la presión instantánea en el m ism o punto fluctúa rápida y simultáneamente con las fluctuaciones de la velocidad. N atu raleza estadística d e la turbulencia = +5% -- -5% -Tiempo FIGURA 3. la velocidad total en la dirección de flujo u es constante e igual a u. sin embargo. w ' fluctúan todas alrededor de cero com o un valor promedio. Lo impredecible y aleatorio de las fluctuaciones. = U wi = w' (3. y u. pi = p + p (3. w' = velocidades de desviación en las direcciones x. La separación de una componente de velocidad puede realizarse por el método siguiente. La velocidad neta es señalada por medidores de flujo ordinarios. y y z. 4 muestra valores de u ' medidos simultáneamente para dos puntos separados por una distancia vertical y. En flujo despejado. Se expresa generalmente com o un porcentaje de la velocidad m edia o com o 100^ (u' )2 /u Los campos m uy turbulentos. Los remolinos pequeños. Los datos obtenidos para diferentes valores de y indican que la correspondencia entre las velocidades en los dos puntos varía desde una relación muy estrecha cuando los valores de y son muy pequeños hasta una independencia total cuando y es grande. Esto significa que cuando la velocidad en un punto cambia en dirección o magnitud. las m ediciones se hacen en remolinos separados y la correlación desaparece. y 2) los valores de una cierta velocidad de desviación (por ejemplo.16) (ui )2(u2 )2 Ui U2 donde u1' y u2' son los valores de u ' en los puntos 1 y 2 respectivamente. Turbulencia isotrópica K u = ir * r * V (u ) ( u ) |3 J 7 1 donde u ' y u ' están medidas en el m ism o punto y al m ism o tiempo. u ') pueden m edirse en diferentes puntos durante el mismo periodo. La figura 3 . Otro coeficiente de correlación que se aplica en un solo punto se define por la ecuación Cada dirección generalmente da un valor diferente de L y .4 Componentes de la velocidad de fluctuación en la medida de la escala de turbulencia.5 a 2%. Para determinar los valores de R u . Esfuerzos d e R eynolds FIGURA 3. El primero mide la intensidad del campo y se refiere a la velocidad de rotación de los remolinos y la energía contenida en un remolino de tamaño específico. Se sabe desde hace tiempo que en el flujo turbulento existen esfuerzos cortantes mucho mayores que en el flujo laminar. Aunque los coeficientes de correlación por lo general dependen de la elección del com ponente. Esto era de esperarse. Cuando las tres componentes de las velocidades de desviación se m iden en el mismo punto.4.60 CAPITULO 3 Fenómenos de flujo de fluidos SECCIÓ N II M ecánica de fluidos 61 Intensidad y esca la d e la turbulencia Los cambios de la turbulencia se caracterizan por dos parámetros promedio. com o los situados inmediatamente debajo de las rejillas productoras de turbulencia. cuando se encuentra un gradiente de velocidades a lo .5 Uno de estos coeficientes. en función de y. y este valor constituye una medida del tamaño promedio de los remolinos en la tubería. También se encuentra turbulencia prácticamente isotrópica en la corriente que se dirige hacia la salida de una rejilla colocada en el flujo. Cada componente de velocidad posee generalmente una intensidad diferente. se calcula la escala Ly del remolino en la dirección y ’ ’ mediante la integral Ly = J g ” R w dy (3. porque cuando la distancia entre las dos m ediciones es pequeña con respecto al tamaño de un remolino. tales com o R u . en algunos casos esto no es cierto. dependiendo de la elección de las componentes de velocidad usadas en la definición. se define de la forma siguiente: R -u ' = Ŷ (3. En este caso la turbulencia recibe el nombre de isotrópica. A distancias de separación mayores. El flujo turbulento cerca de una superficie es anisotrópico.. es un solo remolino el que se m ide y las velocidades de desviación en los dos puntos están estrechamente correlacionadas. La intensidad es medida por la raíz cuadrática promedio de una de las componentes de la velocidad. El segundo m ide el tamaño de los remolinos. pero la anisotropía se presenta principalmente con los remolinos más grandes. medidos com o una función de la distancia entre las localizaciones. Estas observaciones se cuantifican definiendo los coeficientes de correlación. en especial aquellos cercanos a su elim inación a causa de una acción viscosa. son prácticamente isotrópicos. La escala de turbulencia se basa en coeficientes de correlación. com o ocurre en la línea central de una tubería o más allá del borde exterior de una capa límite. u ' y w ' en lugares diferentes y en periodos variables: 1) pueden medirse en un solo punto las tres componentes de la velo cidad de desviación cada una en función del tiempo.18) Se obtienen dos clases de datos midiendo u '. que corresponde a la situación que se muestra en la figura 3. y un cambio en una de ellas da lugar a un cambio en las otras dos. las intensidades son menores y del orden de 0. Para el aire fluyendo en tuberías a 12 m /s. y la raíz cuadrática promedio de las com ponentes es igual para todas las direcciones en un punto dado. pueden alcanzar una intensidad de 5 a 10%. la escala es alrededor de 10 mm. en general se encuentra que dos cualesquiera de ellas están correlacionadas. y ( u )2 = ( U ) 2 = (w ' )2 Existe turbulencia prácticamente isotrópica cuando no hay gradiente de velocidad.. la velocidad en el otro punto actúa prácticamente de la m ism a forma (o exactamente de forma contraria). por analogía con la viscosidad cinemática v. mientras que la velocidad local se aproxima asintóticamente a la velocidad global de la corriente del fluido.14). Además. La velocidad del fluido a contracorriente desde borde de impacto de la lámina es uniforme a través de toda la corriente del fluido. El mecanism o de los esfuerzos en el flujo turbulento depende de las desviaciones de las velocidades con respecto a la velocidad promedio de la turbulencia anisotrópica. Puesto que las líneas de velocidad son asintóticas con respecto a la distancia desde la lámina. después de efectuar el tiempo promedio para todos los remolinos. la siguiente relación entre la tensión de corte y el gradiente de velocidad en una corriente turbulenta se utiliza para definir la viscosidad del remolino E v : Tt = E v dy du (3.5 Tensión de Reynolds.6.17). La velocidad instantánea en el plano es u . en el sentido de que todas estas cantidades son coeficientes que relacionan la tensión de corte y el gradiente de velocidad. tal com o se muestra en la figura 3. Para relacionar las tensiones de Reynolds con las correlaciones de las velocidades de desviación. (3. la viscosidad turbulenta E u y la difusividad turbulenta eMno son propiedades de los fluidos. Éstas son funciones de todos los factores que influyen en los patrones detallados de la turbulencia y de las velocidades de desviación. llamada difusividad turbulenta de m om ento. la viscosidad absoluta. se define com o £.. respectivamente. = E V /p. y son especialmente sensibles a la localización en el campo turbulento y a los valores locales de la escala y la intensidad de la turbulencia.21) largo de la superficie de contacto. la velocidad de transferencia de momento por unidad de área es p (—u ' )u '. com o las de los apéndices 8 y 9.62 CAPITULO 3 Fenómenos de flujo de fluidos SECCIÓ N II M ecánica de fluidos 63 La tensión de corte total en un fluido turbulento es la suma de las tensiones viscosas y las tensiones turbulentas. si cada uno de estos remolinos que cruzan el plano S desacelerado hasta la velocidad media u . La velocidad del fluido en la interface entre el sólido y el fluido es cero. y sólo por medio de instrumentos especiales) realizando experimentos sobre el flujo a estudiar. y su m ovim iento representa una velocidad de flujo m ásico p (—u ') dentro del fluido por debajo del plano S. consideremos el flujo de un fluido paralelo a una lámina delgada.19) (3. de forma que el gradiente de velocidad du/dy es positivo. Las viscosidades p y u son verdaderas propiedades del fluido y son el resultado macroscópico de promediar los m ovim ientos y momentos de innumerables moléculas. Una capa lím ite se define com o la parte de un fluido en m ovim iento en la cual el flujo del fluido se ve influido por la presencia de un lím ite sólido. se ha supuesto con el fin de localizar la línea discontinua en una forma definida. Las viscosidades pueden medirse en muestras aisladas de un fluido y presentarse en tablas o gráficas de propiedades físicas. com o se muestra en la figura 3. está dada por la ecuación Tt = p u ' U (3.5. La velocidad del remolino en la dirección x es u . Como un ejemplo específico de la formación de una capa lím ite. Éstos se m iden por m edio de los coeficientes de correlación del tipo R U 'V > definidos en la ecuación (3. y la velocidad m edia es u. V iscosid ad del rem olino CAPAS LÍMITE Flujo en ca p a s límite Por la analogía con la ecuación (3. La línea O L representa una superficie imaginaria que divide la corriente del fluido en dos partes: una donde la velocidad del fluido es constante y otra en la que la velocidad varía desde cero en la pared hasta una velocidad que es sustancialmente igual que la del fluido . com o se muestra en la figura 3.6 la línea discontinua O L se ha trazado de tal forma que las variaciones de velocidad están confinadas entre esta línea y el trazo de la pared. que dicha línea pasa a través de todos los puntos donde la velocidad es 99% de la velocidad global del fluido ua.6. o sea.22) Aunque E v y eM son análogos de p y v. la dirección positiva medida perpendicularmente a la capa S. Este flujo de momento. Las viscosidades y las difusividades de remolino se determinan (con dificultad. Cada una de las curvas corresponde a un valor definido de x. Suponga que u aumenta con y.20) La magnitud E es análoga a p . El plano S es paralelo al flujo. se utiliza el principio del momento. Por el contrario. la magnitud eM . La velocidad se incrementa con la distancia desde la lámina. es una tensión de corte turbulento o tensión de Reynolds. Considere un fluido en flujo turbulento que se m ueve en una dirección x positiva. Los esfuerzos de corte turbulento se denominan esfuerzos de Reynolds. o u + u '. Cualquier remolino que se desplaza hacia la pared tiene un valor negativo de u '. la distancia desde el borde im pulsor de la lámina. sino que dependen de la velocidad del fluido y de la geometría del sistema. existe una diferencia fundamental entre los dos tipos de cantidades. En la figura 3. La pendiente de las curvas cambia rápidamente cerca de la lámina. M r y v ͑ ͙ΤΚΘΟΠ͑ΟΖΘΒΥΚΧΠ͑ ΡΒΣΒ͑ΖΝ͑ ΗΝΦΚΕΠ͑΢ΦΖ͑ΖΟΥΣΒ͑ ΡΠΣ͑ΕΖΓΒΛΠ͑ΕΖ͑ ΄͚͑ ͑ v ͑ ͙ΤΚΘΟΠ͑ΡΠΤΚΥΚΧΠ͑ ΡΒΣΒ͑ΖΝ͑ ΗΝΦΚΕΠ͑΢ΦΖ͑ΤΒΝΖ͑ ΡΠΣ͑ΕΖΓΒΛΠ͑ΕΖ͑΄ ͚ 0 u FIGURA 3.