Curso: Ciências Contábeis Turma: 2° Período.Disciplina: Matemática Aplicada à Contabilidade Prof. Esp. Káttia Ferreira da Silva. Acadêmico (a):_____________________________ Gurupi – TO, 2014 1 Introdução Quando se inicia o estudo dessa disciplina: Matemática Aplicada à Contabilidade é comum surgir à pergunta: Por que estudar essa disciplina? É muito interessante fazermos uma análise deste fato, pois através de matérias e artigos sobre a matemática aplicada à contabilidade, concluímos que a mesma está inserida na contabilidade, assim como faz parte de nosso cotidiano. Fica claramente definido que a matemática contribui bastante para o contador proporcionando a ele novas técnicas de planejamento, sejam no controle de produção, na comercialização, ate mesmo na área de negociações, e em processo que envolve a contabilidade em geral, bem como no desenvolvimento de seu raciocínio lógico. É formidável o apoio e as atividades exercidas que estimulam o raciocínio lógico e critico, dentro de variados problemas. Tem como base a ideia de selecionar à melhor tomada de decisão para diminuir riscos que podem afetar o futuro. Problemas existem e sempre vão existir, e em dos objetivos da matemática é tornar o método de tomada decisões mais racional possível, para a resolução de problemas. No entendimento dos fatos, concluímos que a matemática tem como objetivo capacitar o contador a formular o problema, estabelecer as regras a serem aplicadas para conduzir ao melhor resultado. O contador pode contar com a ajuda significante da tecnologia de informação para o processamento de dados, produzindo informação, que ajudará a visualizar e analisar gráficos, projetos, relatórios, simulação de vendas, planejamentos das despesas, análise de receita, demanda, oferta custos, margens de lucro, etc. Mas se não tiver um raciocínio lógico eficiente terá dificuldades em formular os conceitos necessários na área da contabilidade. 2 Função de 1º grau ou função afim Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ≠ 0. Na função f(x) = ax + b, o número “a” é chamado de coeficiente angular e, determina a declividade da reta e, número “b” é chamado de coeficiente linear e, determina o ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas (eixo Oy). Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1). GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU Inicialmente, vamos representar graficamente uma função do primeiro grau atribuindo valores arbitrários para x e obtendo suas respectivas imagens. O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Observe os dois casos: a) f(x) = 2x + 4 b) f(x) = - x + 3 f(x) = 2.(-2) + 4 = 0 f(x) = - (-2) + 3 = 2 + 3 = 5 f(x) = 2.(-1) + 4 = 2 f(x) = - (-1) + 3 = 1 + 3 = 4 f(x) = 2.(0) + 4 = 4 f(x) = - (0) + 3 = 3 f(x) = 2.(1) + 4 = 6 f(x) = - (1) + 3 = 2 f(x) = 2.(2) + 4 = 8 f(x) = - (2) + 3 = 1 De acordo com os pares ordenados obtidos, veja os gráficos abaixo: a) f(x) = 2x + 4 b) f(x) = –x+3 CONCLUSÕES DA ANÁLISE GRÁFICA a) Perceba que no primeiro exemplo (f(x) = 2x + 4), à medida que os valores de x no domínio aumentam, aumentam também os valores de f(x) na imagem. Já no segundo exemplo (f(x) = -x + 3), à medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem. Assim, concluímos que a função do primeiro exemplo é crescente, e a do segundo exemplo, decrescente. De um modo geral, o que determina se uma função do primeiro grau é crescente ou decrescente é o coeficiente a. Se tivermos a > 0, a função será crescente; a < 0, a função será decrescente. 3 b) A reta de uma função do primeiro grau toca o eixo y (eixo das ordenadas) no ponto correspondente ao coeficiente b, pois quando x for zero, f(x) = b. Assim, sempre haverá o ponto (0, b). c) A reta de uma função do primeiro grau toca o eixo x (eixo das abscissas) no ponto correspondente à sua raiz, pois ela é o valor de x que torna f(x) igual a zero. Assim, sempre haverá o ponto (- b/a; 0). Propriedades da função do 1º grau 1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta . 2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b ≠ 0 f é dita função afim . 3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x = - b/a . 4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde “b” é chamado coeficiente linear. 5) o valor “a” é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta . 6) se a > 0 , então f é crescente . 7) se a < 0 , então f é decrescente . 8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. Problemas Propostos 01) Dada à função do 1º grau F(x) = (1 - 5x). Determinar: a) F(0) b) F(-1) c) F(1/5) d) F(-1/5) e) F(4) 02) Considere a Função do 1º Grau F(x) = -3x + 2. Determine os valores de x para que se tenha: a) F(x) = 0 b) F(x) = 11 c) F(x) = -1/2 d) F(x) = -13 03) Dada a função F(x) = (ax + 2), determine o valor de a para que se tenha F(4) = 22. 04) Dada a função F(x) = (ax -10), determine o valor de a para que se tenha F(8) = 6. 4 05) Representar graficamente as retas dadas por: a) y = 2x – 4, b) y = 6 + x, c) y = 10 – 2x, d) y = 6 + 2x, 06) Sendo f(1)=4 e f(2)=6, temos, então, dois pontos e os valores da função nestes pontos. Determine a função. 07) Dados os pontos abaixo, determine a lei de formação da função: X 1 2 3 4 f(x) 3 7 11 15 08) Sendo f(1)=4 e f(2)=1, temos, então, dois pontos e os valores da função nestes pontos. Determine a função. 09) Dados os pontos abaixo, determine a lei de formação da função: X 5 10 15 20 f(x) 21 46 71 96 10) Escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que: a) f(-1) = 7 e f(2) = 1 b) f(2) = -2 e f(1) = 1 11) Dada a função f(x) = ax + b e sabendo que f(3) = 5 e f(-2) = -5, calcule f | . | \ | 2 1 . 12) Numa certa cidade operam duas empresas de táxis. A empresa E cobra pela bandeirada inicial R$ 6,00 e mais R$ 3,00 por quilômetro rodado enquanto que a empresa F cobra apenas por quilômetro rodado R$ 4,00. Sendo x a quantidade de quilômetros rodados e f(x), o preço pago pela corrida. Se você precisar fazer uma corrida de 8 km, qual das empresas deve optar para ter um menor custo? FUNÇÃO DO 1º GRAU – Função Receita Na atividade operacional de uma empresa diversos fatores contribuem para a formação da receita proveniente do volume de vendas. Fatores como volume da produção e potencial de mercado não podem ser esquecidos na formação da receita: porem em pequenos intervalos, onde já foram consideradas as variáveis restritivas, e considerando-se o preço constante nesse intervalo de produção, o rendimento total da empresa ou receita total, será função, somente, da quantidade vendida. Supondo que sejam vendidas “q” unidades do produto, o que se recebe pela venda efetuada é chamado função receita de vendas e pode ser representada genericamente por: 5 ( ) f v x P q P R + = . Onde: P f = Preço fixo. P V = Preço variável em relação às unidades vendidas. q = Quantidade vendida de produtos ou serviços Função Custo Total ( ) f v t C C C + = C t = Função custo Total C V = Custo variável C f = custo fixo Sendo: ( ) q P C u v . = P u = Preço de custo por unidade. Função Lucro Líquido ou Lucro total Chama-se função lucro líquido ou total (e indica-se por L) a diferença entre a função receita e a função custo total, isto é: L t = R x ÷ C t Exemplos 01) Numa certa cidade operam duas empresas de táxis. A empresa E cobra pela bandeirada inicial R$ 6,00 e mais R$ 3,00 por quilômetro rodado enquanto que a empresa F cobra apenas por quilômetro rodado R$ 4,00. Sendo q a quantidade de quilômetros rodados e R x , o preço pago pela corrida. Se você precisar fazer uma corrida de 8 km, qual das empresas deve optar para ter um menor custo? Se você optou pela em E, e pagou R$ 35,00 pela corrida, quantos quilômetros foi percorrido? Calcule quantos quilômetros teria percorrido se tivesse pago o mesmo valor na empresa F? 02) Uma pequena indústria de rádios opera com um custo fixo mensal de R$ 3500,00, com um custo por unidade de R$ 60,00 e preço de venda R$ 100,00. a) Quantas unidades teria que vender para pagar as despesas? b) Se fosse vendida 200 unidades, qual o lucro total? c) Para a empresa ter um lucro total de R$ 6 000,00, quantas unidades devem ser vendidas? 03) Suponha que a tabela mostre o custo de produção de um bem para vários níveis da quantidade produzida. Determine a função desse custo de produção. q = quantidade produzida 5 11 16 20 25 R(x) = Função Receita 30 54 74 90 110 6 Problemas Propostos 01) Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por quilômetro rodado (valor variável). a) Determine a função que define o valor a ser cobrado por uma corrida de x quilômetros (função receita). b) Utilizando os conceitos de função, determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 18 quilômetros. c) Se o valor cobrado pelo taxista for de R$ 21,00. Quantos quilômetros o taxi percorreu. 02) Um produto é vendido por R$ 7,00 à unidade. Determine: a) A função Receita. b) O gráfico correspondente para uma venda de 20 unidades do produto. Veja que atribuindo dois valores arbitrários a q = 0 e q = 20. c) A receita de q = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Unidades vendidas. d) Se f(x) = 7,00.q, quantas unidades do produto devem ser vendidas para que a Receita seja de R$ 28.000,00? 03) O preço de venda de um livro é de R$ 25,00 a unidade. Sabendo que o custo de cada livro corresponde a um valor fixo de R$ 2000,00 mais R$ 6,00 por unidade, construa uma função capaz de determinar o lucro líquido (valor descontado das despesas) na venda de q livros, e o lucro obtido na venda de 500 livros. 04) O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma parte variável de 12% sobre o valor de suas vendas no mês. Caso ele consiga vender R$ 25 000,00, calcule o valor de seu salário. Para o vendedor ter um salário mensal de R$ 5 000,00 no mês, quanto ele deve vender. 05) Carlos trabalha como DJ e cobra uma taxa fixa de R$ 100,00, mais R$ 20,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. Calcule o tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos. 06) Um grupo de estudantes, dedicado à confecção de produtos de artesanato, tem um gasto fixo de R$ 600,00 e, em material, gasta R$ 25,00 por unidade produzida. Cada unidade será vendida por R$ 175,00. Determine: a) Quantas unidades os estudantes terão de vender para obter o nivelamento; b) Quantas unidades os estudantes terão de vender para obter um lucro de R$ 450,00. 07) Se o preço de venda de um certo produto é R$ 70,00 e “q” representa a quantidade vendida, determina: a) a função receita total; b) o gráfico da função receita total. 08) Em algumas cidades você pode alugar um carro R$ 154,00 por dia mais um adicional de R$ 16,00 por km . Determine a função por um dia e esboce no gráfico. Calcule o preço para se alugar por um dia e dirigi- lo por 200 km. 09) Uma fábrica de bolsas tem um custo mensal de R$ 5000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4000,00, ela deverá fabricar e vender mensalmente X bolsas. Qual é o valor de X? 10) A função receita da venda de um produto é R x = 5,20q +10, sabendo que a função custo total é C t = 2q + 4. Calcule o lucro total se forem vendidas 200 unidades desse produto. Para se ter um lucro total de R$ 1600,00, quantas unidades devem ser vendidas? 11) Suponha que a tabela mostre o custo de produção de um bem para vários níveis da quantidade produzida. Determine a função. q = quantidade produzida 10 12 15 17 20 f(x) = custo correspondente 150 180 225 255 300 7 12) Um motorista de táxi cobra R$ 8,45 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 1,25 por quilômetro rodado (valor variável). a) Determine a função que define o valor a ser cobrado por uma corrida de x quilômetros (função receita). b) Utilizando os conceitos de função, determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 18 quilômetros. c) Se o valor cobrado pelo taxista for de R$ 52,20. Quantos quilômetros o taxi percorreu. 13) O preço de venda de uma geladeira é de R$ 1855,00 a unidade. Sabendo que o custo de cada geladeira corresponde a um valor fixo de R$ 15000,00 mais R$ 1100,00 por unidade, construa uma função capaz de determinar o lucro líquido (valor descontado das despesas) na venda de q geladeiras, e o lucro obtido na venda de 200 geladeiras. 14) O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 672,00, mais uma parte variável de 8% sobre o valor de suas vendas no mês. Caso ele consiga vender R$ 12000,00, Determine a função e calcule o valor de seu salário. Para o vendedor ter um salário mensal de R$ 3000,00 no mês, quanto ele deve vender? 15) Um primeiro mecânico cobra uma taxa fixa de R$ 200,00, mais R$ 40,00 por hora, para consertar os veículos de uma empresa. Um segundo mecânico, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$ 150,00, mais R$ 50,00 por hora. a) Se o primeiro mecânico for contratado e trabalhar 8 horas, quanto receberá pelo serviço? b) Se o segundo mecânico for contratado e trabalhar 8 horas, quanto receberá pelo serviço? c) Calcule o tempo máximo de horas trabalhadas, para que a contratação do primeiro mecânico não fique mais cara que a do segundo mecânico. 16) Uma Associação de Mulheres, dedicadas à confecção de produtos de artesanato, tem um gasto (custo) fixo de R$ 850,00 e, em material, gasta R$ 30,00 por unidade produzida. Cada unidade será vendida por R$ 175,00. Determine: a) Quantas unidades a associação tem de vender para obter o nivelamento; b) Quantas unidades a associação tem de vender para obter um lucro de R$ 2000,00. 17) Suponha que a tabela mostre o custo de produção de um bem para vários níveis da quantidade produzida. q = quantidade produzida 10 14 18 f(x) = custo correspondente 85 121 157 a) Determine a lei de formação da função receita. b) Se forem produzidas 20 unidades, qual será o custo correspondente? c) Se forem produzidas 85 unidades, qual será o custo correspondente? FUNÇÕES DE OFERTA E DEMANDA LINEAR Oferta é a quantidade de um produto ou serviço disponível para compra. Demanda, por sua vez, é a quantidade de produtos ou serviços que os consumidores estão dispostos a comprar. Quando a demanda é maior do que a oferta, os preços dos produtos tendem a subir, já que os consumidores se 8 dispõem a pagar mais para obter um determinado item. Por outro lado, quando a oferta é maior do que a demanda, os preços tendem a cair. Matematicamente, a relação entre a quantidade demandada e o preço de um bem ou serviço pode ser expressa pela chamada função demanda ou equação da demanda: Q d = ƒ(P) E a função ou equação da oferta, matematicamente é dada pela expressão: Q 0 = ƒ(P) Em que: Q d = quantidade demandada de determinado bem ou serviço, num dado período de tempo. Q 0 = quantidade ofertada de determinado bem ou serviço, num dado período de tempo. P = preço do bem ou serviço. A expressão Q d = ƒ(P) significa que a quantidade demandada Q d é uma função ƒ do preço P, isto é, depende do preço P. Já a expressão Q o = ƒ(P) significa que a quantidade ofertada Q o é uma função ƒ do preço P, isto é, depende do preço P. Gráficos: O gráfico ao lado representa o comportamento da demanda em relação a um produto genérico. Quando o preço está em um nível elevado, a demanda pelo produto é menor, ou seja, uma boa parte dos consumidores não está disposta a adquirir o produto a este nível de preço. No gráfico, ao preço de R$10,00 teremos somente 8.000 quilos vendidos. Se o preço está em um nível mais baixo, a demanda pelo produto será maior, pois mais consumidores estarão dispostos a adquirir o produto àquele nível de preço. Nota-se no gráfico que ao preço de R$ 4,00 haverá 15.000 quilos vendidos. No gráfico ao lado podemos observar o comportamento da oferta em relação a um produto genérico. Com o nível de preço elevado, os produtores tendem a ofertar uma quantidade maior do produto. Se o preço estiver em R$10,00 (veja gráfico), a quantidade colocada no mercado será de 15.000 unidades. Mas, se o nível de preço cair para R$4,00, muitos produtores deixarão de ofertar a mercadoria, e a este preço teremos uma oferta de 8.000 unidades, ocasionando uma queda na quantidade ofertada. Isto pode ocorrer por vários motivos. Se o preço estiver muito baixo, alguns produtores terão o seu custo de produção acima deste preço e se torna inviável continuar produzindo; outros preferirão produzir outra mercadoria que esteja com preço de venda mais atrativo, etc. Equilíbrio de Mercado: O gráfico abaixo representa o equilíbrio de mercado. Nesta situação há uma "harmonia" entre oferta e demanda. Teoricamente, neste ponto, o nível de preço não está nem muito alto nem muito baixo, satisfazendo tanto a consumidores quanto a produtores. Citando novamente o exemplo da carne bovina, se o quilo do "costela bovina" estiver em R$10,00 o quilo, 9 será um bom negócio para o produtor, mas muito ruim para o consumidor, o preço é considerado muito alto. Inversamente, se o preço cair para R$3,00 o quilo, é ótimo para o consumidor mas ruim para o produtor. Agora se o preço ficar em R$ 6,00 o quilo, teoricamente seria melhor para os dois lados. Problemas Propostos 01) Suponha que as quantidades de um determinado bem que os consumidores estão dispostos a comprar, para cada nível de preços, são os seguintes: a) Esboce o gráfico do preço em relação à quantidade. b) Essa relação define uma oferta ou uma demanda? Justifique. 02) As leis da oferta e da demanda de um determinado produto são dadas por: Qo = 0,6p + 12 e Qd= -0,8p + 40. Encontre o ponto de equilíbrio (P.E) entre as leis de oferta e demanda. 03) Uma empresa produz um certo produto de tal forma que suas funções de oferta diária e demanda diária são: p = 20 + 5q e p = 110 – 4q, respectivamente. Determine: a)o preço para que a quantidade ofertada seja igual a 50; b) a quantidade vendida demanda, quando o preço é R$ 10,00; c)o ponto de equilíbrio do mercado; d)os gráficos das funções de oferta e demanda no mesmo sistema de eixos; e)interpreta o resultado obtido em (c). 04) Considere agora que, em virtude de um aumento do rendimento, as quantidades procuradas variam do seguinte modo: a) Esboce o gráfico do preço em relação à quantidade. b) Essa relação define uma oferta ou uma demanda? Justifique. 05) Considere os seguintes valores relativos à oferta e à procura do bem A: a) Qual o quadro relativo à oferta? Justifique esboçando os gráficos. Preço -p Quantidade - q 10 650 15 600 25 450 35 350 Preço -p Quantidade – q 2 10 4 20 6 30 8 40 10 06) Determine o preço de equilíbrio de mercado nas seguintes situações: a) oferta: p =10 + q, demanda: p = 20 - q b) oferta: p = 3q + 20, demanda: p = 50 - q 07) Podemos dizer que “o preço de equilíbrio de um produto corresponde ao valor em que a procura por parte dos consumidores se iguala ao que é oferecido por parte dos fornecedores, ou seja, quando a demanda é igual à oferta”. Considerando as funções demanda e oferta respectivamente: p = -q + 4 e p = 2q+1 a) Calcule algebricamente o ponto de equilíbrio entre oferta e demanda. b) Represente em um mesmo sistema de eixos, os gráficos da oferta e da demanda e indique o P.E. 08) A curva de demanda de um artigo é 4 10 y x ÷ = . Assuma que y representa o preço e x a quantidade. a) Ache a quantidade demandada se o preço é de R$ 25,00 b) Ache o preço se a quantidade demandada é de 7 unidades 09) As funções de oferta e demanda de um produto são respectivamente: q = 2p +80 e q= -4p + 200. a) Determine a quantidade e o preço de equilíbrio. b) Represente graficamente as funções oferta e demanda e o ponto de equilíbrio. 10) Quando o preço de um certo produto for de p reais, um lojista espera oferecer Qo = 4p + 300 produtos, enquanto a demanda local é de Qd = −2p + 480. a) Para que preço de mercado a oferta será igual a demanda local? b) Quantos produtos serão vendidos por este preço? c) Construa os dois gráficos no mesmo par de eixos. Análise Econômica O objetivo de traçarmos a oferta e a demanda no mesmo gráfico é visualizar o comportamento conjunto de ambas e, desse modo, compará-las a partir do P.E. onde oferta e demanda são iguais. Veja o gráfico abaixo, onde temos p = f(q). *Excesso de demanda: quantidade demandada em excesso O excesso de demanda ocorre quando os consumidores estão dispostos a comprar mais do que os produtores estão dispostos a vender a um determinado preço. Situação em que o preço de um bem está abaixo do preço de equilíbrio. 11 *Excesso de oferta: quantidade ofertada em excesso O excesso de oferta ocorre quando os produtores estão dispostos a vender mais do que os consumidores estão dispostos a comprar a um determinado preço. Ocorre quando o preço está acima do preço de equilíbrio. Note inicialmente que: 1) q 1 é o intercepto da oferta no eixo q, portanto para calcula-lo fazemos p = 0 na oferta. 2) q 2 é o intercepto da demanda no eixo q, então para calculá-lo fazemos p =0 na demanda. 3) p 1 é o intercepto da demanda no eixo p, portanto para calcula-lo fazemos q = 0 na demanda. 4) O gráfico tem significado econômico em [q 1 , q 2 ] no eixo q e em [0, p 1 ] no eixo p, pois neles temos p≥0 e q≥0. Nossa análise econômica pode ser feita pelas quantidades, isto é, no intervalo [q 1 , q 2 ] no eixo vertical, ou pelos preços no intervalo [0, p 1 ] no eixo horizontal, observando que se tivéssemos q = f(p) a análise seria a mesma. Exemplo: Dadas as funções oferta e demanda respectivamente q = p + 8 e q = -2p +12, determine os intervalos nos quais o gráfico tem sentido econômico. Análise a partir do ponto de equilíbrio - Análise em [q 1 , q e [ (Antes da q e ): Tomemos uma quantidade genérica qe[q 1 , q e [, o preço demandado será maior que o ofertado, portanto os consumidores estão dispostos a pagar por esse produto um preço maior que o desejado pelos produtores, tal situação provocará um excesso de demanda: q 1 ≤ q ˂ q e p d > p 0 Excesso de demanda. - Análise em ]q e , q 2 ] (Depois da q e ): Repetindo o raciocínio anterior, tomemos q e]q e , q 2 ], p preço ofertado será superior ao demandado. Em termos econômicos os produtores estão exigindo pelos seus produtos um preço superior àquele que os consumidores estão dispostos a pagar, portanto temos um excesso de oferta: q e ˂ q ≤ q 2 p o > p d Excesso de oferta. - Análise em [0, p e [ (Antes do p e ): preço antes do ponto de equilíbrio, a quantidade demandada é maior que a quantidade ofertada. 0≤ p ˂ p e q d > q o Excesso de demanda. - Análise em ] p e, p 1 ] (Depois do p e ): preço acima do equilíbrio, a quantidade ofertada é maior que a quantidade demandada. p e ˂ p ≤ p 1 q o > q d Excesso de oferta. Resumindo: Análise quantidade q 1 ≤ q ˂ q e ÷ p d > p 0 Excesso de demanda. q = q e ÷ p d = p 0 Equilíbrio q e ˂ q ≤ q 2 ÷ p o > p d Excesso de oferta. Análise preço 0≤ p ˂ p e ÷ q d > q 0 Excesso de demanda. p = p e ÷ q d = q 0 Equilíbrio p e ˂ p≤ p 1 ÷ q o > q d Excesso de oferta. Para melhor compreensão: Exemplo: Quantidade demandada e ofertada em relação à variação do preço da pizza. 12 Exemplo: Para as funções q = -2p+20 e q = p+2 pede-se: a) P.E. gráfica. b) Análise economicamente pelo preço. Problemas Propostos 01) A demanda e a oferta de um produto são dadas por: p = 20 + 5q e p = 110 – 4q, determinar: a) O ponto de equilíbrio de p e q. b) Os intervalos nos quais o gráfico tem sentido econômico. c) Análise economicamente o problema pela quantidade. 02) Os preços e as quantidades de certo produto são dados pelas funções p = -1,5q+50 e p=3q+5. Encontre P.E e analise economicamente o problema pelo preço e quantidade. 03) Um produto tem sua oferta e demanda dada pelas funções: p = 2 + 5q e p=14-3q, faça a análise econômica pela quantidade. 04) Para as funções q = 1+2q e q = 7-p pede-se: a) P.E. gráfica. b) Análise economicamente as funções pelo preço e quantidade. 05) Analise economicamente as seguintes funções: a) oferta: p =10 + q, demanda: p = 20 - q b) oferta: p = 3q + 20, demanda: p = 50 - q 06) Dado: q = 22-3p e q = 10-1p, pede-se: a) Determinar o preço de equilíbrio e a respectiva quantidade. b) Se o preço for R$ 4,00, existe excesso de oferta ou de demanda (responda sem esboçar o gráfico)? 07) Dadas as funções: q = 68 – 10p e q = 4p - 16, qual o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio de mercado? Faça a análise econômica. 08) Quando o preço de um bem é R$ 35,00; 25 unidades são oferecidas e, quando o preço é R$ 45,00; 40 unidades são oferecidas. Achar a equação de oferta, supondo a linear para q unidades do bem a um preço p. Obs.: adote x sendo q e y ou f(x) sendo p. 09) Quando o preço é de R$ 60,00; 10 canetas são vendidas, porém, quando o preço é de R$ 50,00 , são vendidas 16 canetas. Achar a equação de demanda linear para a quantidade q de canetas a um preço p. Obs.: adote x sendo q e y ou f(x) sendo p. 10) Com base nas equações de oferta e demanda dos exemplos 8 e 9, calcule o preço e a quantidade de equilíbrio, mostrando-o graficamente e fazendo a análise econômica. 13 FUNÇÕES DO 2º GRAU Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax 2 + bx + c , com a ≠ 0. Exemplos: f(x) = x 2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ; y = - x 2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 ) Obs.: Gráfico da função do 2º grau y = ax 2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical. Propriedades do gráfico de y = ax 2 + bx + c 1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo . 2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo 3) o vértice da parábola é o ponto V(x v , y v ) onde: x v = - b/2a y v = - Δ/4a , onde Δ = b 2 - 4ac 4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa x' e x'' , que são as raízes da equação ax 2 + bx + c = 0 . O sinal do coeficiente do termo dominante O sinal do coeficiente do termo dominante desta função polinomial indica a concavidade da parábola ("boca aberta"). Se a>0 então a concavidade estará voltada para cima e se a<0 estará voltada para baixo. Exemplo: A parábola, que é o gráfico da função f(x) = x² + 2x - 3, pode ser vista no desenho. O modo de construir esta parábola é atribuir valores para x e obter os respectivos valores para f(x). A tabela a seguir mostra alguns pares ordenados de pontos do plano cartesiano onde a curva deverá passar: Como a>0, a concavidade ("boca") da nossa parábola estará voltada para cima. 14 Calcular os zeros da função Os zeros da função quadrática que correspondem aos valores de xeIR para os quais a função se anula, graficamente corresponde aos pontos em que a parábola intercepta o eixo das abscissas ou eixo Ox, cujas raízes podem ser calculadas pela fórmula de Báskara dado por: Problemas Propostos 01) Dada a função quadrática f(x) = 3x² - 4x + 1, determine: a) f(1) c) f( 2 ) e) f(-3) b) f(0) d) f(-2) f) x de modo que f(x) = -1 02) Calcule as raízes, caso existam, das seguintes funções quadráticas abaixo. a) f(x) = 2x 2 - x -3 b) f(x) = x 2 – 7x + 12, c) f(x) = x 2 – 2x + 1 d) f(x) = 2x 2 –3x + 5 e) f(x) = 2x 2 – 5x 03) O esboço da gráfico da função quadrática f(x) = 2x² - 8x + 6 é: 04) Numa sapataria, o custo diário da produção de x sapatos é dado por: , onde P é a produção de sapatos e x o valor em reais. O dono da sapataria quer saber qual é o custo mínimo da produção diária? 05) Quais são os valores do x vértice e y vértice da equação f(x) = 10x² + 20x + 40. 06) Sabe-se que o gráfico da função quadrática f(x) = x 2 + ax + 3 passa por (1, 2). Então "a" é igual a: a) 2 b) 1 c) - 3 d) -2 e) -2 07) Encontre os valores de x e de y para os quais as funções abaixo atingem máximo e/ou mínimo. a) 2 ( ) 4 3 f x x x = ÷ + a ac b b x 2 4 ² ÷ ± ÷ = 15 b) 2 ( ) 3 2 f x x x = ÷ + c) 2 ( ) 6 f x x x = + d) 2 ( ) 8 1 f x x x = ÷ + + e) 2 ( ) 6 9 f x x x = ÷ + ÷ 08) Considere a função f(x) = 3x 2 – 1. Calcule f(2 5 ). O PREÇO PODE SER MODIFICADO COM CONSEQUENTE VARIAÇÃO DE DEMANDA DE MERCADO – FUNÇÃO RECEITA DO 2º GRAU. Vimos anteriormente como obter a função receita do 1º grau considerando o preço fixo. Daqui por diante veremos também alguns exemplos de como obter a função receita quadrática pela venda de x unidades do produto, quando o preço pode ser modificado, com consequente variação de demanda do mercado, pois quanto menor o preço, maior será a demanda ou procura desse produto, o qual foi mais especificamente mostrado no estudo de função demanda e função oferta. Problemas Propostos 01) Numa empresa o preço de venda do seu produto é dado pela função p(x) = 20x – x². Determine: a) A função receita b) O gráfico da função receita c) Qual o intervalo de produção que proporciona uma receita positiva d) Qual o menor nível de produção para que a receita seja de R$ 75,00 02) Uma indústria produz, por dia, x unidades de determinado produto, e pode vender tudo o que produzir a um preço de R$ 100,00 a unidade. Se x unidades são produzidas a cada dia, o custo total, em reais, da produção diária é igual a x² + 20x + 700. Portanto, para que a indústria tenha lucro diário de R$ 900,00, qual deve ser o número de unidades produzidas e vendidas por dia? 03) Um fabricante vende mensalmente c unidades de um determinado artigo por V(x) = x² – x, sendo o custo da produção dado por C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máximo? 04) Uma indústria de refrigerantes tem sua produção diária P, em garrafas, variando com o número de operadores em serviço n, de acordo com a função P(n) = n 2 + 50n +20 000. Calcule: a) a produção se o número de operadores for 40. b) o número de operadores necessário para produzir 25400 garrafas de refrigerantes. 05) Considerando-se a função real f(x) = –2x 2 + 4x + 12, o valor máximo desta função é: a) 1 b) 3 c) 4 d) 12 e) 14 06) Supondo que o custo total para fabricar “x” unidades de um certo produto seja dado por: C t (x) = x 2 + 8, determina: a) o custo fixo; b) o preço variável; 16 c) o custo de fabricação de quatro unidades; d) o custo de fabricação da quarta unidade; e) a função do custo médio; f) o custo médio de produção das quatro primeiras unidades. 07) Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um determinado artigo por R(x) = x² – x, sendo o custo da produção dado por C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máximo? 08) O vértice da parábola y = - x 2 + 4 x + 5 é: a) V = ( 2, 9) b) V = ( 5, -1) c) V = ( -1, -5) d) V = ( 0, 0) e) N.D.A Considere a função f(x) = x 2 – 4x + 3 e responda as questões 09, 10 e 11: 09) Os zeros ou raízes de um função do 2º grau são os valores de x que anulam a função, isto é: f(x) = 0. Sendo assim, calculando os zeros da função acima encontraremos: a) –1 e -3 b) 1 e -3 c) –1 e 3 d) 1 e 3 e) N.D.A 10) O vértice da parábola é o ponto de máximo ou mínimo da função. O vértice da parábola descrita pela função acima está representada no item: a) V(2, 1) b) V(2, -1) c) V(-2, 1) d) V(-2, -1) e) N.D.A 11) O gráfico da função está representado no item: 12) O lucro diário L é a receita gerada R menos o custo de produção C. Suponha que, em certa fábrica, a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções R(x) = 60x – x 2 e C(x) = 10(x+40), sendo x o número de itens produzidos no dia. Sabendo que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia, considere as seguintes afirmativas: I. O número mínimo de itens x que devem ser produzidos por dia, para que a fábrica não tenha prejuízo, é 10. II. A função lucro L(x) é crescente no intervalo [0, 25]. III. Para que a fábrica tenha o maior lucro possível, deve produzir 30 itens por dia. IV. Se a fábrica produzir 50 itens num único dia, terá prejuízo. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras. 17 b) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 13) Uma empresa que elabora material para panfletagem (santinhos) tem um lucro, em reais, que é dado pela lei L(x) = - x 2 + 10x - 16, onde x é a quantidade vendida em milhares de unidades. Assim, a quantidade em milhares de unidades que deverá vender, para que tenha lucro máximo, é a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 14) Uma pesquisa de mercado constatou que a função quadrática 56 2 + ÷ ÷ = P P D descreve a demanda de mercado D, de um determinado produto, como função de seu preço P , em reais. a) Qual o valor da demanda de mercado para 00 , 6 = P reais? b) Faça a representação gráfica desta demanda em função do preço do produto. 15) O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C = 2x 2 - 100x + 5000. O valor do custo mínimo é: a) 3250 b) 3750 c) 4000 d) 4500 e) 4950 Função Exponencial Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe: y = 2 x y = 3 x + 4 y = 0,5 x y = 4 x A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação: f: R→R tal que y = a x , sendo que a > 0 e a ≠ 1. Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas: 18 Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação. Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais. Exemplo 1: (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) =v 0 . 2 –0,2t , em que v 0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada. Temos que v(10) = 12 000, então: Exemplo 2: (EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa: P(x) = P0 * (1 + i) t , qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,03 20 = 1,80. Problemas Propostos O texto a seguir, refere-se às questões 1, 2 e 3 Suponha que, com base em dados obtidos em empresas de mesmo porte, o Diretor de Recursos Humanos da Companhia Nacional de Motores (CNM), depois de um estudo estatístico, tenha chegado à conclusão de que após t anos (t ≥ 0), a empresa terá seu número de funcionários dado pela expressão ( ) ( ) t t N 5 . 0 01 , 0 . 10000 = 01) Segundo esse estudo, o número inicial de funcionários empregados pela CNM foi: a) 10.000 b) 200 c) 10 d) 500 e) 100 02) O número de funcionários que estarão empregados na CNM após dois anos, será de: a) 5,3 b) 5,2 c) 2 d) 5,1 e) 25,0 03) Depois de quanto tempo a CNM empregará 1.000 funcionários? a) 6 meses b) 1 ano c) 3 anos d) 1 ano e 6 meses e) 2 anos e 6 meses 04) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produzia mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = .1 000 ⋅ 9,0 x . Quantas unidades foram produzidas no segundo ano desse período recessivo? 05) A sentença P(n) = 40 – 40. 2 -0,34n permite calcular o número de artigos que um operário recém- contratado é capaz de produzir diariamente, após n dias de treinamento. Para que esse operário produza pelo menos 30 artigos por dia, o menor valor inteiro de n é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.D.A 06) Uma indústria de pequeno porte tem os custos operacionais dados pela função C(p) = 9 000 – 6000 . e- 0,02p , em que p representa o número de peças produzidas. O custo para uma produção de 200 unidades está próximo a: Dado: e -4 ≈ 0,018 a) R$ 8.890, 00 b) R$ 8.090, 00 c) R$ 7.890, 00 d) R$ 7.090, 00 e) N.D.A 19 11) Num depósito a prazo efetuado em um banco, o capital acumulado ao fim de certo tempo é dado pela fórmula C =D * (1 +i) t , onde C representa o capital acumulado, D o valor do depósito, i a taxa de juros ao mês e t o tempo de meses em que o dinheiro está aplicado. Nesse sistema, ao final de cada mês os juros capitalizados são incorporados ao depósito. a) Para um depósito de R$ 1 000,00, com taxa de 2% ao mês, qual o capital acumulado ao fim de 6 meses? E de 1 ano? b) Para um depósito de R$ 5 000,00, a uma taxa de 5% ao mês, qual o capital acumulado durante 4 meses? c) Para um depósito de R$ 2 500,00, a uma taxa de juros de 10% ao ano, qual será o capital acumulado durante 10 anos? 12) O custo mensal C, em reais, de um motor elétrico aumenta à medida que aumenta o número mensal de horas t em que é utilizado, conforme C = 40.000 - 30.000.e -0,0002t . Qual é o valor do custo mensal se esse motor elétrico é utilizado cerca de 150 horas por mês? Dado: e -0, 03 ≈0, 97 a) R$ 10.000,00 b) R$ 11.000,00 c) R$ 12.000,00 d) R$ 13.000,00 e) R$ 14.000,00 Função Logarítmica Toda função definida pela lei de formação f(x) = log a x, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Logaritmo de um número real N, real e positivo, numa base a, a ≠ 1 e positivo, é o expoente x, ao qual se eleva a base a para obter-se o logaritmando N, ou seja: Note que o logaritmo nada mais é que o número que serve de expoente. Calcular o logaritmo de um número consiste em descobrir qual é este número que servirá de expoente à base para obtermos o número dado. Dica! A função logarítmica é a inversa da exponencial, logo podemos sempre "migrar" de uma estrutura para outra quando for conveniente; por exemplo: Gráfico de uma função logarítmica Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações: quando a > 1 e 0 < a < 1 Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma: Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma: Função crescente Função decrescente 20 Exemplo Resolvido 1: Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00? Resolução: Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível. Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C . (1 + i) t . De acordo com a situação problema, temos: M (montante) = 3500 C (capital) = 500 i (taxa) = 3,5% = 0,035 t = ? M = C . (1 + i) t 3500 = 500 . (1 + 0,035) t 3500/500 = 1,035 t 1,035 t = 7 Aplicando logaritmo log 1,035 t = log 7 t . log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica) t . 0,0149 = 0,8451 t = 0,8451 / 0,0149 t = 56,7 O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação. Exemplo Resolvido 2: Pedro Ivo aplicou R$ 5.000,00 em um tipo de aplicação que rendeu juros a uma taxa de 8% ao mês sob regime de capitalização composta. Se o montante foi de R$10.794,62, quanto tempo durou essa aplicação? Problemas Propostos 01) Um capital de R$ 2.500,00 é aplicado a uma taxa mensal de 5% ao mês por um determinado período. Se os juros recebidos foram de R$ 538,77 por quanto tempo esse capital permaneceu empregado? Considere o regime de capitalização composta. 21 02) Dona Berenice quer aplicar R$ 80.000,00. Conseguiu encontrar um banco onde a taxa de juros da aplicação é de 0,91% a.m.. Use log2 = 0,3010 e log1,0091 = 0,0039 . a) Por quanto tempo o dinheiro deve ficar aplicado para que ela obtenha o dobro deste capital? b) Se ela aplicasse outro valor, o período de tempo para ela conseguir o dobro do capital, seria alterado? 03) Marcelo financiou R$10000,00 em uma financeira por 3 anos, ao final do financiamento pagou um montante de R$13536,00. Qual a taxa aplicada no financiamento? 04) Paulo aplicou R$ 800,00 num investimento que rende 3% a.m., a juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o saldo será de R$ 1.200,00? 05) A equação de oferta de um bem é dada por p = 120 + log2 (x + 3), onde x é a quantidade ofertada e p o preço. Pede-se: a) o preço quando são ofertadas 13 unidades; b) a quantidade ofertada quando o preço unitário é de R$ 125,00. Função Racional Estudaremos a relação entre duas grandezas que se relacionam na forma de produto ou de quociente. Analisaremos o comportamento de uma grandeza quando a outra aumentar cada vez mais. Também será estudado o caso onde uma das grandezas diminui. Inicialmente será apresentado algumas situações exemplificadas a seguir: Exemplo: A produção de uma firma é dada pela expressão P=2xy, onde x e y são as quantidades de dois insumos. Fixando o nível de produção em P = 24, pede-se: a) A obtenção de y em relação à x; b) O gráfico de y = f(x); c) A citação de alguns valores inteiros do par (x,y); d) Como se comportam as grandezas x e y nesse nível de produção; e) O Domínio da função y = f(x). Problema Proposto 01) Uma indústria opera com a produção dada pela expressão P = 4xy, onde x e y são as quantidades de dois produtos. Fixando o nível de produção em P = 60, pede-se: f) A obtenção de y em relação à x; g) O gráfico de y = f(x); h) A citação de alguns valores inteiros do par (x,y); i) Como se comportam as grandezas x e y nesse nível de produção; j) O Domínio da função y = f(x).
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