PERIODOACADEMICO 2013-03 Alumnos: - RAMOS VERA OSCAR ARTURO - HAIBA HOSAM - SALAS CAPO NANCY ANDREA - INGA HUANCA GUSTAVO ALEXIS - CUIZANO HUERA NIKOLAY - *falta el nombre de alguien más pero no me acuerdo su nombre ni su cara como para buscarlo en el AV Profesor: - ROVALINO CHAVEZ Fernando Miguel LABORATORIO N°1 PENDULO SIMPLE Y COMPUESTO - Curso: FISICA II - Turno: mañana – B307/B315/D403 - Realizado 23/12/2013 - Fecha de entrega: 30/12/2013 1 INDICE OBJETIVOS 2 EQUIPOS Y MATERIALES 2 FUNDAMENTO TEORICO 2 PROCEDIMIENTO 4 ACTIVIDAD 6 CUESTIONARIO 8 OBSERVACIONES 10 RECOMENDACIONES 11 CONCLUSIONES 11 BIBLIOGRAFIA 11 2 1. OBJETIVOS: - Medición del periodo de un péndulo como una función de la amplitud y longitud. - Determinar la aceleración de la gravedad obtenida a través del péndulo simple. - Revisar el concepto de Inercia. 2. EQUIPOS Y MATERIALES: - Un (01) Soporte universal - Una (01) Plomada - Un (01) juego de masas para el péndulo simple 10... 50 g - Una (01) Barra y masa pendular para el péndulo compuesto - Una (01) Balanza de tres brazos - Una (01) Regla métrica 1m o una Wincha, 1/100 m - Un (01) Transportador, 360º, 1/360º - Un (01) Cronometro digital, 1/100 s 3. FUNDAMENTO TEORICO: Elementos del movimiento pendular: a. Longitud del péndulo: Es la distancia entre el punto de suspensión y el centro de gravedad del péndulo (masa). b. Oscilación Completa o doble Oscilación: Es el movimiento realizado por el péndulo, desde una posición extrema hasta la otra y su vuelta hasta la primera posición inicial (arco ABA). c. Oscilación Simple: Es la trayectoria descrita entre dos posiciones extremas (arco AB). d. Periodo: Es el tiempo que emplea el péndulo en realizar una oscilación completa. e. Frecuencia: Es él número de oscilaciones por unidad de tiempo. f. Amplitud: Es el ángulo formado por la posición de reposo (equilibrio) y una de las posiciones extremas. 3 PENDULO SIMPLE: El péndulo simple o matemático, es un punto geométrico con masa suspendido de un hilo inextensible. Este modelo de péndulo llamado péndulo matemático es imaginario. En la misma Figura Nº 1 se representan las fuerzas que actúan sobre la masa pendular. La simetría de la situación física exige utilizar un sistema de coordenadas cuyos ejes tengan las direcciones de la aceleración tangencial y de la aceleración centrípeta de la masa. Aplicando la segunda ley de Newton y desarrollando las ecuaciones respectivas: (1) Esta ecuación diferencial no es lineal, y por lo tanto el péndulo simple no oscila con Movimiento Armónico Simple M.A.S. (es decir que en este tipo de movimiento el periodo se conserva) Sin embargo para pequeñas oscilaciones (amplitudes del orden de los 10º), , se tiene: (2) es decir, para pequeñas amplitudes el movimiento pendular es armónico. La frecuencia angular propia es: 4 √ (3) El periodo será: (péndulo simple) √ (3) despejando g: (5) Donde: T = Periodo (s) l = Longitud del péndulo (m) g = Aceleración de la gravedad (m.s -2 ) Principales leyes del péndulo simple: 1. El periodo es independiente de la masa del péndulo. 2. El periodo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del péndulo. PENDULO COMPUESTO: Cuando un cuerpo pesado (disco metálico) no pende de un hilo sin peso, sino de un cuerpo con masa no despreciable (barra metálica) tenemos un péndulo compuesto. En este caso hay que tener en cuenta la distribución de la masa de la barra metálica y el punto donde pende el disco metálico, de modo que su período de oscilación viene dado por la expresión. √ (6) donde " " es la longitud equivalente del péndulo, cuyo valor es: (7) 5 siendo " " el momento de inercia respecto al eje de suspensión, "m" la masa total del péndulo (disco y barra) y "R" la distancia entre el eje de suspensión y el centro de masas del conjunto (barra y disco). Sustituyendo esta última expresión en la fórmula que nos da el período de oscilación "T" se obtiene: (8) Teniendo en cuenta la geometría del Sistema Obtenemos las siguientes relaciones: (9) (10) Donde: - = masa del disco metálico - = masa de la barra metálica - = distancia del punto de suspensión al centro del disco metálico 6 - = longitud total de la barra metálica. Para el cálculo de " " se ha supuesto que el momento de inercia del disco, respecto a un eje perpendicular a él y que pase por su centro de gravedad, es despreciable frente al término “ “. 4. PROCEDIMIENTO: PENDULO SIMPLE: 1. Prepare el péndulo con una masa liviana tal y como se muestra en la Figura Nº 3. 2. Una bola de acero de masa m, pende de un hilo inextensible cuya masa es despreciable. La longitud del péndulo es la distancia entre el extremo superior del hilo, cuyo punto está en el eje de giro (P), y el centro de la bola de acero (Q). Esta longitud (L) se mide con una regla graduada. 3. Una vez conseguida la posición de equilibrio, el sistema se separa de la misma oscilando con amplitudes pequeñas (θ << 10º) en un plano que debe ser paralelo al perfil de la mesa del laboratorio, evitando cualquier movimiento lateral del mismo. 4. Con un cronómetro manual se mide el período de oscilación (T). 7 PENDULO COMPUESTO: 5. Prepare el péndulo de barra (compuesto) tal y como se muestra en la Figura Nº 4. 6. Observe la Figura Nº 2, el péndulo compuesto dispuesto en el laboratorio está constituido por una barra rígida de sección rectangular y de longitud Lb, y una masa (disco D) deslizante sobre la misma, apoyándose la barra mediante una cuchilla de acero (N) en una placa metálica. La arista de la cuchilla de acero, que está dirigida hacia abajo, constituye el eje de giro del péndulo. 7. Una vez conseguida la verticalidad de la barra, que es su posición de equilibrio, se separa de dicha posición oscilando con amplitudes pequeñas (θ << 10º) en un plano que debe ser paralelo al perfil de la mesa del laboratorio, evitando cualquier movimiento lateral de la barra. 8. Deslizando la masa a través de la barra se obtienen diferentes longitudes "La" del péndulo. Las longitudes Lb y La se miden con una regla graduada milimétrica. 9. Con un cronómetro manual se mide el período de oscilación (T). 8 Observaciones: " " es la masa del disco metálico ( = 1,400 kg), "mb" es la masa de la barra metálica ( = 0,800 kg), " " la distancia del punto de suspensión al centro del disco metálico y " " la longitud total de la barra metálica. Para el cálculo de "" se ha supuesto que el momento de inercia del disco, respecto a un eje perpendicular a él y que pase por su centro de gravedad, es despreciable frente al término “ “. 5. ACTIVIDAD: PENDULO SIMPLE: 1. Para 5 longitudes L diferentes del péndulo simple, distanciadas aproximadamente 0,10 m una de otra, se cronometra el tiempo ti para 10 oscilaciones. Esta operación se repite 3 veces para cada una de las 5 longitudes del péndulo, luego calcule para cada tiempo el periodo T1, T2 y T3, a partir de los cuales se calcula el período promedio Tm para cada longitud como promedio de los 3 valores anteriores, registre sus datos en la tabla Nº 1 Tabla Nº 1: Datos experimentales del péndulo simple, para 10 oscilaciones N° L(m) Tiempo (s) Periodo [T(s)] T m (S) T m 2 (S 2 ) t 1 t 2 t 3 T 1 T 2 T 3 1 2 3 4 5 2. ¿Cuáles son los errores absolutos de cada L y de cada medida de T? =___________ = __________ 9 3. Representar gráficamente en papel milimetrado Tm2 frente a L. Calcular el coeficiente de correlación lineal r, la pendiente con su error B (± B) y la ordenada en el origen A (± A) de la recta de mínimos cuadrados T2 = A + B L. Sobre la gráfica anterior, trazar la recta de mínimos cuadrados que se ha calculado. r = ____________ A (± A) = _______________ B (± B) = _______________ 4. A partir de la pendiente B (±B) calcular la aceleración de la gravedad con su error g( ± g ) = ________________ PENDULO COMPUESTO: 1. Para 5 longitudes La diferentes del péndulo compuesto, distanciadas aproximadamente 0,24 m (u otra indicada por el profesor) una de otra, se cronometra el tiempo ti para 10 oscilaciones. Esta operación se repite 3 veces para cada una de las 5 longitudes del péndulo, luego calcule para cada tiempo el periodo T1, T2 y T3, a partir de los cuales se calcula el período promedio Tm para cada longitud como promedio de los 3 valores anteriores, registre sus datos en la tabla Nº 2. Tabla Nº 2: Datos experimentales del péndulo compuesto, para 10 oscilaciones N° L(m) Tiempo (s) Periodo [T(s)] T m (S) t 1 t 2 t 3 T 1 T 2 T 3 1 2 3 4 5 2. Mida la longitud total de la barra con su error ( ± ) = ________________ 10 3. gravedad con su error ,(expresión (8), tomando m = ma + mb), cumplimentando la tabla adjunta 4. A partir de los 5 valores de , calcular el valor medio de con su error = ________________ 5. Sabiendo que el valor de la gravedad es 9,8 m/s2, calcule también el error relativo porcentual. Ingrese sus datos en la Tabla Nº 3. N° (m) (s) (kg.m/s 2 ) (m) 1 2 3 4 5 6. CUESTIONARIO: 6.1. ¿Se solapan las bandas de error del valor de “g” obtenido en el péndulo simple y gm en el péndulo compuesto?, Explique. Si se solapan las bandas de error por ser estas relativamente bajas. Los valores obtenidos de acuerdo a las experiencias demuestran que los errores relativos y absolutos son bajos y que casi la medición de la gravedad experimental iguala a la gravedad ya conocida. 6.2. Investigue sobre los péndulos físicos acoplados. Que ecuaciones gobiernan a estos péndulos?, como implementaría usted un experimento para este péndulo?. Explique. Un sistema oscilatorio formado por dos péndulos simples idénticos, fijos a un mismo soporte con un resorte de constante elástica k colocado entre ellos, se le conoce con el nombre de péndulos acoplados. 11 La inclusión del resorte entre los péndulos hace que sus movimientos no sean independientes. El movimiento de uno de ellos influye en el movimiento del otro y viceversa dando como resultado un movimiento que se conoce como oscilaciones acopladas. Dado que para describir el movimiento de cada uno de los péndulos son necesarias dos funciones de posición angular con respecto al tiempo: 6.3. Investigue sobre el péndulo de muelle. Que ecuaciones gobiernan a estos péndulos?, como implementaría usted un experimento para este péndulo?. Explique. Este sistema es la combinación de dos modos de oscilación, el péndulo simple y el muelle elástico, estos están acoplados de forma no lineal y tienen su frecuencia característica. Si el péndulo se desplaza un ángulo q de la vertical o se cambia su longitud de equilibrio o se hace cualquiera de estas dos combinaciones, la dinámica del objeto está dada por la fuerza del resorte, la fuerza gravitatoria y su propia masa. En primera instancia, el sistemacomienza a oscilar de arriba abajo, pero el acoplamiento provoca que la masa m se desvíe de un lado a otro. 12 En el caso que el péndulo se aparta de la vertical un ángulo theta, la fuerza neta sobre la masa m está dada por: F = -k(r -r0) + mg en donde las letras en negrita indican vectores y r es el vector de posición de la masa m y r0 es el vector de posición del péndulo con la misma desviación de la vertical que antes, pero con la longitud original del resorte L. Las componentes escalares de la fuerza están dada por: Fx=-k(x-Lsenq) Fy = -k(y-y0 +L cosq ) - mg Donde De esta forma, las componentes de la aceleración quedan determinadas, por: 6.4. Investigue sobre las figuras de Lissajous. Que ecuaciones gobiernan a estas figuras?, como generaría usted estas figuras a partir del uso de los péndulos estudiados?. Explique. Descritas por el matemático francés Jules Antoine Lissajous, a partir de los trabajos de Nathaniel Bowditch. Básicamente, éstas se producen al representar de forma simultánea en un osciloscopio dos ondas senoidales cuyas frecuencias se encuentren en fase, dando lugar a imágenes bastante atractivas. Las ecuaciones que describen a ambas señales serían: X (t) = a sen (ωt + δ) 13 Y (t) = b sen (t) Y según la proporción que guarden entre sí las variables a y b, y la frecuencia angular ω en que ambas se encuentren, iremos obteniendo distintas figuras o curvas. Por ejemplo: A partir de ahí, y variando los parámetros de las dos ecuaciones paramétricas descrito, pueden obtenerse infinidad de curvas. 6.5. El periodo de ambos péndulos depende de la amplitud?, que relación existe entre ellos? Explique. El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei, observó que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud, al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, éste depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por: 14 Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie: Donde φ0 es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor obteniéndose una expresión más útil: Solución de la ecuación de movimiento Para pequeñas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, para amplitudes más grandes la oscilación ya no es senoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud φ0 = 0,999π (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud φ0 = 0,25π (gris). Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede aproximarse como combinación lineal de funciones trigonométricas. Para amplitudes grandes puede probarse el ángulo puede expresarse como combinación lineal de funciones elípticas de Jacobi. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una integral de movimiento y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento: Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y donde además: es la energía, que está relacionada con la máxima amplitude es la energía potencial. Realizando en variable , la solución de las ecuaciones del movimiento puede expresarse como: El lagrangiano del sistema es , donde θ es el ángulo que forma la cuerda del péndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la variable), y l es 15 la longitud de la cuerda (es la ligadura). Si se aplican las ecuaciones de Lagrange se llega a la ecuación final del movimiento: 6.6. El periodo de ambos péndulos depende de la Longitud?, que relación existe entre ellos? Explicar. Si depende por lo siguiente: Es siempre posible encontrar un péndulo simple cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico dado; tal péndulo simple recibe el nombre de péndulo simple equivalente y su longitud λ recibe el nombre de longitud reducida del péndulo físico. Utilizando la expresión del periodo del péndulo simple de longitud λ, podemos escribir y, por lo tanto, tenemos que Así, en lo que concierne al periodo de las oscilaciones de un péndulo físico, la masa del péndulo puede imaginarse concentrada en un punto (O′) cuya distancia al eje de suspensión es λ. Tal punto recibe el nombre de centro de oscilación. Todos los péndulos físicos que tengan la misma longitud reducida λ (respecto al eje de suspensión) oscilarán con la misma frecuencia; i.e., la frecuencia del péndulo simple equivalente, de longitud λ. Según la fórmula ambas oscilaciones dependen de la longitud o longitud equivalente. 6.7. El periodo de ambos péndulos depende de la masa?. Explicar. Esto es análogo a la cuestión de por qué una pluma y un yunque que son lanzados a una misma altura, caen al mismo tiempo (en el vacío por supuesto). Y la razón de esto, es que el tiempo de la caída depende de la aceleración. En el péndulo se encuentra que la aceleración es directamente proporcional al opuesto del desplazamiento, y cuya constante de proporcionalidad es g/L; es decir que la cinemática del péndulo no depende de la masa. 6.8. Determine la aceleración de la gravedad con ayuda del grafico T2 vs. l para ambos péndulos 6.9. Es el Péndulo de Foucault es un Péndulo simple?, explique sus características y usos. Un péndulo de Foucault es un péndulo simple, es decir, una bola colgada de un hilo largo y puesta a oscilar. 16 El científico francés J. B. Leon Foucault, en el año 1850, comprobó que el plano de oscilación del péndulo -el plano en donde se encuentra la trayectoria del péndulo- giraba lentamente en el sentido de las agujas del reloj. Esto le llamó la atención porque, en todo caso, debería girar en el sentido que lo hace la tierra que es el anti horario - mirando la tierra desde el hemisferio norte, que es en el que se encontraba nuestro científico. La explicación del fenómeno ya se podía dar, entonces, con ayuda de la mecánica newtoniana: el Principio de la Inercia lo explica. Ocurre que, aunque parece que la trayectoria del péndulo cambia, es el suelo, que tiene debajo, el que se mueve - y nosotros con él. Porque si sobre el péndulo sólo actúan la fuerza del peso y la tensión de la cuerda atada y ambas se encuentran en el mismo plano de la trayectoria, el péndulo tiene que seguir siempre en ese plano -al no haber fuerza alguna que lo saque de él. Aunque la velocidad angular es la misma en todos los puntos de la superficie de la Tierra, no ocurre lo mismo con su velocidad lineal. Esta velocidad vale w·r, donde w es la velocidad angular y r la distancia al eje de giro. Es máxima en los puntos del ecuador -que en este caso r es el radio de la Tierra- y vale cero en los polos. A un observador en la superficie de la Tierra le parecerá que actúa una fuerza sobre el péndulo, cambiando su trayectoria. Los físicos llaman a esta fuerza imaginaria: fuerza de Coriolis -o aceleración de Coriolis, si nos fijamos en la aceleración que produce. En el hemisferio norte parece desviar los cuerpos hacia la derecha de su trayectoria y en el hemisferio sur hacia la izquierda. En las siguientes figuras puedes ver las trayectorias que sigue el péndulo visto desde la Tierra (Fig.1) y desde el espacio exterior, por ejemplo, desde el platillo de un extraterrestre que se encuentre inmóvil respecto de las estrellasEl extraterrestre verá que la trayectoria es una línea recta. Desde la Tierra, la trayectoria va girando. La velocidad de giro de ésta, en los polos, es la máxima dando una vuelta cada 24 horas. En el ecuador el péndulo no gira. Según la latitud en la que se encuentre la velocidad de giro vale wf = w·senß. 17 Las trayectorias de las figuras anteriores corresponden a las de un péndulo que inicia su movimiento desde el centro de oscilación, en reposo, con un breve impulso. La aceleración es la responsable del giro del aire formando las borrascas y los anticiclones. En el hemisferio norte el aire de las borrascas se desvía hacia la derecha formando un remolino en sentido antihorario y en los anticiclones en sentido horario. En el hemisferio Sur ocurre al contrario. Si Foucaul hubiera hecho su experiencia en una ciudad del hemisferio Sur -en vez de en París, en donde lo llevó a cabo- habría observado como su péndulo giraba en sentido anti horario. 6.10. ¿Cuál de las siguientes relaciones entre la aceleración y el desplazamiento de la partícula relaciona un Movimiento Armónico Simple: (a) a=0.5x, (b) a=400x 2 , (c) a=-20x, (d) a=-3x 2 ? Porque es de la forma a= - x 6.11. Cuál cree que han sido las posibles fuentes de error en su experimento? - al momento de contar las oscilaciones (no fueron exactas) - la resistencia del aire dificulta el movimiento del péndulo compuesto - el péndulo opone la resistencia al cambio de estado - al medir el tiempo en las oscilaciones 6.12. como aplicaría este tema en su carrera profesional? Una aplicación del péndulo en la ingeniería, es en la construcción de edificaciones, veamos un ejemplo de la vida real: El Taipéi 101 es uno de los edificios más altos de mundo, que cuenta con novedosos adelantos tecnológicos y uno de los más seguros debido a que cuenta con un sencillo pero eficaz amortiguador estabilizador, un amortiguador de masa destinado a contrarrestar los efectos de huracanes y temblores de tierra sobre el edificio .Se trata de un mecanismo simple que consiste básicamente en un enorme bloque - bola de acero y hormigón colgando como un péndulo que contrarresta los vaivenes y movimientos laterales habituales en este tipo de edificios, desplazándose en el sentido contrario a estos. La esfera estabilizadora del Taipéi 101 se llama Damper Baby, pesa 660 toneladas, su actividad prioritaria es columpiarse haciendo tolerables los tifones y los terremotos que asaltan habitualmente a este rascacielos por estar construido en Taiwán, una de las zonas con más temblores del mundo. 18 7. OBSERVACIONES: El tiempo medido para cada caso de oscilación sufre variaciones debido a la precisión del cronometro. 8. CONCLUSIONES: Luego de realizada esta experiencia, podemos mostrar que los sistemas pendulares son mecanismos que permiten la Interacción de muchos factores como la gravedad, la masa, la longitud y demás unidades de medidas. por tanto, la masa y la naturaleza del objeto son independientes del funcionamiento del sistema. método de elaboración de la práctica es confiable y sus resultados son producto de la buena elaboración en el laboratorio punto de equilibrio, varia en el tiempo, es decir se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. aire, la fuerza de vibración del eje de suspensión. 9. RECOMENDACIONES: Para tener una mejor precisión a la hora de medir el tiempo de oscilación con el cronometro, es necesario tomar una referencia fija de llegada de la barra luego de cumplir sus oscilaciones. El alumno que toma la medida del ángulo con el transportador y el que alinea la barra deben ser diferentes para evitar errores humanos en la lectura. 10. BIBLIOGRAFIA: [1] JONES & CHILDERS, Física Contemporánea, 3ra. Ed., Mc Graw Hill, México D. F., México, 2001, Cap. 14, Pág. 447-449. [2] M. ALONSO & E. FINN; Física Vol. I, Mecánica, Addison Wesley Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 12, Pág. 366-369. 19 [3] FEYNMAN R., Física Vol. I, Mecánica, radiación y calor, Addison Wesley Iberoamericana, 1987, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 49-6. [4] MEINERS, EPPENSTEIN, MOORE; Experimentos de Física. [5] SEARS – ZEMANSKY – YOUNG, FISICA UNIVERSITARIA – SEXTA EDICION. "La frase mas excitante que se puede oir en ciencia, la que anuncia nuevos descubrimientos, no es “¡Eureka!” ¡Lo encontré! sino “Es extraño ...” ISAAC ASIMOV (1920-1996)