Unidad nº1 Nº NaturalesNÚMEROS NATURALES Los números surgieron a partir de la necesidad que tuvo el hombre de contar sus pertenencias. Desde la antigüedad, los pueblos utilizaron distintos sistemas con símbolos especiales para representar números. El cero comenzó a utilizarse alrededor del año 300 a.C. para indicar la ausencia de valor. Al conjunto de los números naturales los designamos con la letra mayúscula N. Incluye a todos aquellos números positivos y enteros. Hay autores que consideran al cero como nº natural. N =1,2,3,4,…. menor a mayor. Utilizando una unidad de medida. Por ejemplo 1cm=1unidad N 0 =0,1,2,3,… Los N se pueden ordenar en una recta numérica, ubicándolos de Ejercicio 1. • Ubicar en la recta numérica los siguientes números naturales. a) Utilizando 2cm por unidad= 0, 2, 5 ,7. b) Utilizando 0,5 cm por unidad = 0,3,8 ,16,25. Ejercicio 2. • Escriban como se leen los siguientes números. a) 706.300= b) 6.000.750= c) 45.058.075= d) 14.587= Ejercicio 3. • Cuales de los siguientes números pertenece al conjunto de los N. -2; 5; 0.52; 2 5 ; 20; 1001; -1.35 ; -45; 0; 3; 16/10; 8; 17. 1 Unidad nº1 Nº Naturales Ordenarlos de menor a mayor. Ejercicio 4. • Cambiar de posición las cifras de estos números para obtener en cada caso el mayor y le menor número posible ( ejemplo:607.401, mayor=764.100, menor=1.467) MAYOR a) 102.497 b) 890.113 c)483.128 d)300.701 e)793.229 Ejercicio 5. • Completar con un número. a) El menor número de 4 cifras. b) El mayor número de 6 cifras. c) El menor número de 4 cifras distintas. d) El mayor número de 6 cifras distintas. e) El menor número de 4 cifras iguales. f) El mayor número de 5 cifras iguales. MENOR Ejercicio 6. • Ayuda a Laura a encontrar la clave de mail. Solo recuerda que es un número: _mayor que 52.000 y menor que 53.000. _impar. _cuya centena está ocupada por 9. _que tiene todas sus cifras diferentes. _que no termina en 1. _cuyas cifras suman 24. 2 2 = 3 . 100 = 1. (3 + 2) = 5. 4=8 Factores Producto DIVISION Dividendo Divisor 10 7 3 1 Resto Cociente Las propiedades de las operaciones permiten realizar algunos cálculos en forma más sencilla. • Escriban las propiedades que se aplicaron en cada caso.2) = 5. cuando la suma o la resta ocupa el lugar del dividendo: (8 + 4) : 2 = 8:2 + 4:2 (8 – 4) :2 = 8:2 . 7 . 2 .3 Propiedad asociativa: (5 + 6) + 2 = 5 + (6 + 2) (3 . (3 . Propiedad conmutativa: 5 + 6 = 6 3 . es decir. 2 .5 =5. 7=700 c) 5.10 = 3 Minuendo Sustraendo Diferencia MULTIPLICACIO N 2 .Unidad nº1 Nº Naturales OPERACIONES Y PROPIEDADES ADICION 9 + 3 = 12 Sumandos Suma SUSTRACCI ON 13 .2 Propiedad distributiva de la división con respecto a la suma y la resta.3 – 5. 2 = 100 .4:2 Ejercicio 7. (5 . 5) .000 e) (80+90):10 = 8 + 9 = 17 3 .50=350 d) 5 . 2) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y de la resta: 5. (80-10) = 400 . 50 = 10 .2 5. a) 90+10+55 = 100+55=155 b) 50 . Solo se puede distribuir a derecha.3 + 5. a) 538-30+8-100=400 b) 17-4-8-5=10 c) 94-20-3+7=70 Ejercicio 11. • ¿Da lo mismo (20-6)-4 que 20-(6-4)? ¿por qué? Ejercicio 10. 12= b) 16 . a) 99+15+1= b) 4 . 3 c) 5 . 13 = (100 + 1) .Unidad nº1 Nº Naturales Ejercicio 8.313 • Utilicen la propiedad distributiva para facilitar los siguientes cálculos. (4 + C-2) =20+15-10 B= C= Ejercicio 9. a) 99 . 6= 4 . 12. • Conmuten y asocien para que sea más simples las siguientes operaciones. 20= c) 110 . a) A + (8+4) = (3+8) + 4 A= b) 3 . 13 = 1. • Escriban el valor numérico de cada letra para que la igualdad sea verdadera. • Coloca paréntesis para que los resultados sean los que se muestran. Por ejemplo.25= c) 6+14+4 Ejercicio 12. La propiedad distributiva resulta muy útil para hacer más sencillas algunas operaciones. 101 . (B-1) = 7 .300 + 13=1. se escribe la misma base y se suman los exponentes.m ( A. se escribe la misma base y (2²)³ = 2 ². Am = An+m An : Am = An .2² = 2 ³. Por ejemplo: 2³=2.³ = 26 se multiplican los exponentes. da 5 Para multiplicar dos potencias de igual base. se escribe la misma base y se restan los exponentes.m (An)m = An. indica cuantas veces hay que multiplicar la base por si misma. ² = 25 25 :2 ²= 25-² = 23 Para calcular una potencia de otra potencia. 2³. (10:5)² =10² : 5² 5¹ = 5 .2² división.2)² = 3². Cualquier ase elevada a la cero.3=9 PROPIEDADES An . La potenciación es distributiva respecto de la multiplicación y la (3. Para dividir dos potencias de igual base.Bn ( A:B )n = An :Bn A¹ = A Cualquier base elevada a la uno (1).B )n = An .2. da como resultado la base.2 =8 3²=3. La potenciación es una operación que permite escribir en forma abreviada una multiplicación de factores iguales.Unidad nº1 Nº Naturales POTENCIACION An = B A= base n=base B= potencia El exponente (n). 1 = h) 4. 5 = d) 2 . 3 . 1 . 7 = g) 1. 1 . 1 . 2 . 6 = c) 5 . 1 .. 4 . 2 . • Calcula estas potencias de 10.. 3 = f) 7 . siguiendo el ejemplo del ítem a. a) 2³ = 2 .Unidad nº1 Nº Naturales Aº = 1 como resultado uno. a) 10² = b) 10³ = c) 104 = e) 105 = f) 106 = g) 10¹ = ¿Encontras alguna relación entre el exponente y la cantidad de ceros del resultado? ¿Cuál? 6 . 4 = Ejercicio 14. 2 = e) 3 . 5 . 4 . 2 . 2 = 8 b) 5² = c) 15 = d) 3³ = = = = e) 10² = f) 7 ¹ = g) 6² = h) 11² = = = = = Ejercicio 15. • Escribir como potencia. 7 . 7º = 1 Ejercicio 13. a) 4 . 2 . 2 . • Escribir como multiplicación y calcular. 1 . 4 = 45 b) 6 . 4 . siguiendo el ejemplo del ítem a. 3 . 7 2) : (7. 5 = g) (3 2)3 : (32 . • Aplicar propiedades de la potencia. • Realizar las cuentas. 42 = e) 67 : 63 = f) 58 : 52 = g) 210 : 29 = h) 33 : 33 = i) (2 3) 4 = j) (33 )3 = k) (82 ) 4 = l) (5 2)2 = Ejercicio 17. a) 5 ..24 = 23+4 = 27 b) 32 .72) = k) (5 2)2 : 5 = 7 . 32 62 : 32 43 : 23 102 . a) ( 3+4 ) 2 b) ( 5 – 2 )2 c) ( 2 + 3 ) 3 d) ( 4 + 3)2 32 + 42 52 . 7 = d) 46 .22 = j) (7. 2 )2 22 22 ..22 23 + 33 4 2 + 32 e) ( 2 .7.Unidad nº1 Nº Naturales Ejercicio 16. 52 = b) 106 : 104 = c) (2 4) ² = e) (3 . 5 . luego completar con = o ≠. 34 = c) 75 . Ejercicio 18. 3 )2 f) ( 6 : 3 )2 g) ( 4 : 2 )3 h) ( 10 . 32 ) : 3 = f) (54 : 52) . • Aplicar propiedades de la potencia y resolver. 32) = i) (28 )2 : (23)4. a) 23. 3 6= 6 4. se resuelve: 1º: separo en signos más y menos (términos). Ejemplo: 32 . 2º: resuelvo potencias y raíces. 36 = 2 .9 100 : 25 25 9 = 100 : 4 = 10 : 5 2 = 2 CALCULOS COMBINADOS Si en un cálculo combinado no hay paréntesis. 2 9 – 2 + 10 = 17 Si en el cálculo combinado hay paréntesis. 4º: resuelvo sumas y restas.B A: B = = n A A . se resuelve primero las operaciones que ellos encierran (con el orden establecido antes). si solo si Bn = A porque 2³=8 Se lee la raíz cúbica de 8 n A=B 3 8 =2 PROPIEDADES n A. Ejemplo: 43 : (2 + 3 27 . 3º: resuelvo multiplicación y división. 2) 8 .Unidad nº1 Nº Naturales RADICACIÓN La radicación es la operación inversa a la potenciación.36 : 3 + 5.2 9 – 6 : 3 + 5. = 4. : n B B n n n La raíz es distributiva respecto de la multiplicación y de la división. 2) 64 : (2+6) 64 : 8=8 Ejercicio 19. a) b) c) d) 16 + 9 25 − 9 16 : 4 16. La raíz cúbica de 27 es…….Unidad nº1 Nº Naturales 64 : ( 2 + 3 .(5+ 100 ):2- 36 c)(22)5:29+50. La raíz cuadrada de 81 es…….2= f) 3 27 ..4 16 25 16 16 + : .. 3 8 + 100 :2= = g) (2+ h)2. porque……elevado al cuadrado es 144.. La raíz cuadrada de 144 es……. • Calcula las siguientes raices.3= 25 )-22= 9 . a) 5-8:4+22:2= b)345:344+ 121 .... porque……elevado al cuadrado es 81. porque……elevado al cubo es 27. Ejercicio 20. Aplicar propiedades de la potencia. a) b) c) d) 100 = 64 = 16 = 49 = e) f) g) h) 3 3 4 = 125 = 9= 16 = 64 i) j) k) l) 121 = 3 = 8= 25 = 36 Ejercicio 21. Separar en términos. 9 9 4 4 Ejercicio 22. • Resolver los cálculos combinados. • Hacer las cuentas y completar con = o ≠. b. • Completa a. c. • Efectuar lo siguientes cálculos.2+3=35 c) 3+4. Corregir con bien o mal.(3+ 36 . a) 52+(30-1).Unidad nº1 Nº Naturales d) e) 3 144 - 36 + 6.2+32= 10 . • Colocar los números que creas convenientes para que el resultad sea correcto.3+ b) (52+30-1). ___________= 24 b) _______________ + ___________ . a) (27 + 81 ):3 .2= 36 1)450 2)35 3)37 4)40 Ejercicio 24. a) 22 +4:4= 4+ 4:4= 8:4=2 b) 22 +4:4= 4+ 4:4= 4+1=5 Ejercicio 25. a) 3+4.2+3=23 Ejercicio 27. para que cada cálculo sea correcto.23= i)( 28 1 +3).(2 3 -110)= 1000 . • Observar ambos cálculos. • Coloca los paréntesis donde sea necesario. a) _______________ + ___________ .2+3=14 d) 3+4.5+42:4= Ejercicio 23. • Unir con el resultado que corresponda.2+3=17 b) 3+4. ___________= 17 Ejercicio 26.2= ). cuando la división A:B es exacta. (7 – 5)0= MULTIPLOS Y DIVISORES. La suma de sus cifras es múltiplo de 3. Un número A es divisible por otro número B. Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de 4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. sin necesidad de hacer la división . 8:4=2 resto = 0 “8 es divisible por 4” y “4 es divisor de 8” Los criterios de divisibilidad son reglas que permiten saber cuando un número es divisible por otro. Un nº es divisible por: 2 3 4 5 6 8 9 10 11 Cuando La cifra de la unidad es 0 o par. Es divisible por2 y por 3. Si la resta entre la suma de las cifras que ocupan un lugar par y la suma que ocupan un lugar impar es 0.Unidad nº1 Nº Naturales b) 48 : (12-4)+4. Ej: 7. La cifra de la unidad es 0. La suma de sus cifras es múltiplo de 9. Una división es exacta cuando el resto es cero.50= c) 27 + 81 :3 – (2+3)2= d) 48 : 12-4 + 4 .7 . 11 . Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de 8.832 =(7+3)-(8+2)=10-10=0 EL 1 ES DIVISOR DE TODOS LOS NÚMEROS. La cifra de la unidad es 0 o 5. Unidad nº1 Nº Naturales EL 0 ES MÚLTIPLO DE TODOS LOS NÚMEROS. 2 320 875 297 516 590 672 285 5 Es múltiplo de 3 9 10 Ejercicio 30. . no sobraba ninguno. cuando tu respuesta sea afirmativa. . le sobraban 2. Ejercicio 28. escribir un nº de cuatro cifras que sea: a) Divisible por 6= b) Divisible por 4= Ejercicio 31.si colocaba 5 en cada estante. 5. c) Divisible por 2= d) Divisible por 5= Julio tenía cierto número de casetes y quería acomodarlos en su biblioteca de manera que en cada estante hubiera la misma cantidad de casetes. -si colocaba 6 en cada estante. 8 y 1. 12 . a) 18= b) 21= c) 16= d) 12= e) 5= f) 30= g) 13 h) 44= Ejercicio 29. • Leer atentamente. si eran más de 50 y menos de 70? Ejercicio 32. • Marca con una cruz en la casilla. le sobraba 1. ¿Cuántos casetes tenía Julio. • Escribir los divisores de los siguientes números. • Con las cifras 4.si colocaba 7 en cada estante. El nº 10 es compuesto.7 y 21 El número 1 no es ni primo ni compuesto. FACTORIZACIÓN Un número natural es PRIMO. . Los números 8 y 21 son corrimos. ya que tiene exactamente cuatro divisores:1. FACTORIZACIÓN Un número compuesto se puede descomponer en factores.2. Dos números son COPRIMOS. a) 7 es divisor de 567 b) 562 es divisible por 6 c) 667 es divisible por 23 d) 7040 es divisible por 11 e) 213 es múltiplo de 13 f) 920 es divisible de 5 y 8 NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS. 8=1.Unidad nº1 Nº Naturales • Rodea la respuesta correcta.4 y 8 21=1. Un nº compuesto se puede factorizar asi: A la derecha se escriben los divisores primos y a la izquierda. los resultados de 13 las divisiones.5 y 10. pues el único divisor común entre ambos es el 1. cuando tiene más de dos divisores. Por ejemplo: El nº 17 es primo.3. cuando su único divisor natural es el 1. entonces se dice que el número esta factorizado. Un número natural es COMPUESTO. 2 . cuando solo tiene dos divisores: el 1 y así mismo. ya que tiene solo dos divisores: el 1 y el 17. Si todos los factores son números primos. Unidad nº1 Nº Naturales 60 30 15 5 1 2 2 3 5 60 = 22. _ con marrón los múltiplos de 7. excepto el 2. • Completa la tabla con los divisores naturales. 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 14 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 11 21 31 41 51 61 71 81 91 Escribir los números que quedaron sin tachar ¿Cómo se llaman? 14 . Número 8 10 Divisores a) ¿Cuáles son primos? b) ¿Cuales son compuestos? 13 15 19 22 24 c) ¿Qué números son comprimos? Ejercicio 34. • En la siguiente tabla marcar: _con azul los múltiplos de 2.3. excepto el 5. excepto el 7.5 Ejercicio 33. _ con rojo los múltiplos de 3 excepto el 3. _ con verde los múltiplos de 5. c) 20 como suma de dos nº primos ____ +_____=20 d) 24 como suma de dos nº compuestos ____ +_____=24 e) 3 como cociente de dos nº compuestos_____ :____ =3 f) 17 como diferencia de dos nº compuestos_____ . a)120 b)210 c)297 d) 90 e) 1925 f) 504 Ejercicio 38.33.5 22. b) Tres nº primos mayores que 100. 5. • Marcar con una cruza la/s solucion/es correcta/s a) 20 es coprimo con b) 35 es coprimo con c)100 es coprimo con d) 17 es coprimo con e) 18 es coprimo con 14 6 20 19 10 21 10 21 51 35 15 28 27 200 125 35 50 30 340 200 Ejercicio 37.5.7 2. • Escribir: a) Tres nº compuestos menores que 15.19 15 .____ =17 Ejercicio 36.Unidad nº1 Nº Naturales Ejercicio 35. 59 3.7 32.52 3. • Unan con una línea cada número con su correspondiente factoreo 1) 177 2) 124 3) 384 4) 270 5) 380 6) 315 a) b) c) d) e) f) 3. 5 . • Factorizar los siguientes números. 3 _ Lucia tiene entre 40 y 80 cd de música. es el mayor de los divisores comunes de esos números. • Teniendo en cuenta que 8=23. de a 3 o de a 5 siempre le sobra uno ¿Cuántos cd de música tiene en total? Ejercicio 40. escribí mentalmente la factorización en primos de cada número. Si los agrupa de a 2. • Resolver g) 31. Por ejemplo: 45 3 30 2 16 .7 d)32= e)24= f)88= a) ¿140 es divisible por 6? b) ¿140 es múltiplo de 35? c) ¿140 es divisible por 44? d) ¿28 es divisor de 140? DIVISOR COMÚN MAXIMO Y MÚLTIPLO COMÚN MENOR.Unidad nº1 Nº Naturales 7) 105 8) 75 Ejercicio 39.5. Se puede obtener descomponiendo los números en sus factores primos y multiplicando los factores comunes con su menor exponente. El divisor común máximo (dcm) de dos o más números. Se puede obtener descomponiendo los números en sus factores primos y multiplicando los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. a) 16 = b) 40= c) 56= Ejercicio 41. El múltiplo común menor (mcm) de dos o más números. es el menor de los múltiplos comunes mayor que cero. • Responder con solo mirar que 140= 22.22 h) 27. 815 y 1.14 y 39 g) 147.205 j)168 y 2. • Calculen M.5. 5=15 m.98 y 21 h) 24.m.c.m.c. 18 y 32 i) 378 y 2.Unidad nº1 Nº Naturales 15 3 5 5 1 45= 32. ¿cada cuántos segundos encienden las tres luces juntas? 17 .c.c. a) 36. f) 55.40 y 150 c) 20.M (24. de los siguientes números.32)= Ejercicio 43.5 d. • Factorizar calculen el m. A partir del momento en que comienza a funcionar el cartel.5 Ejercicio 42.80 y 240 d) 300 y 792 e) 1.2=90 15 3 5 5 1 30=2.m= 32.45 y 63 b) 60.C. la amarilla cada 16 segundos y la luz azul cada 12 segundos.C.18. • Resolver los siguientes problemas.m= 3.058 a) En un cartel electrónico hay luces fijas y otras tres que se encienden cada cierto periodo: la luz roja se enciende cada 8 segundos.782 Ejercicio 44.M (24.18 y32) = D. y el d.3. Paco. 49. ¿Cuántas fotos debe poner por sobre y cuantos sobres precisa? g) Mechi tiene 54 piedritas verdes. ¿cada cuántos segundos se abren todas a la vez? d) El encargado de una estación de servicios tiene tres tambores llenos de combustible: uno con 60 litros de gasoil. y Daniel. Con todas ellas va armar collares iguales sin que sobre ninguna piedrita ¿cuál es la mayor cantidad de collares que puede armar? ¿cuántas piedritas de cada color tendrá cada uno? h) Julián recibe regularmente noticias de tres amigos por correo electrónico. 135 de autos modernos y 45 de fórmula 1. que es verde. 101. Si el 3 de marzo partieron los tres. desde Uruguay cada 10. cada 60 segundos. se abre cada 30 segundos. Si quiere fraccionar los tambores en bidones iguales. cada 45 segundos y la tercera que es azul. ¿en qué fecha volverán a coincidir en la salida? c) Las tres puertas de una bóveda secreta se abren a distintos intervalos. pero sin mezclarlas. otro con 45 litros de nafta y otro con 30 litros de kerosene. cada semana. y que tengan la mayor capacidad posible ¿qué capacidad deben tener los bidones a comprar? e) A partir del primer día del año. la comisión de fútbol de un club se reúne cada 48 días. a) ¿Cuáles de estos números son primos? 37. y colocar el mayor número de fotos en cada sobre. La primea. Quiere armar sobres que contengan cada uno igual cantidad de fotos. ¿cada cuanto se reúnen las tres comisiones a la vez y cuantas veces al año? f) Ezequiel colecciona fotos de autos. la segunda que es roja. 81.Unidad nº1 Nº Naturales b) Tres buques parten del puerto a distintos destinos. el 1º de marzo recibió correo de sus tres amigos. El primero sale cada 18 días. Diego le escribe desde Australia. 123 18 . desde España cada 14 días. Tiene 90 fotos de autos antiguos. 147. la de tenis cada 36 días y la de natación cada 24 días. el segundo cada 6 días y el tercero cada 27 días. 39. 72 blancas y 36 azules. ¿En qué fecha volverá a coincidir los tres? ¿Cada cuantos días coinciden los mails de Diego y de Paco? Ejercicio 45. c. c) Elegir dos números compuestos y hallar el m. b) La cantidad de azúcar es menor que 100 kg. c) En la biblioteca. y d. Por ejemplo LENGUAJE COLOQUIAL El doble de un número El siguiente de un número La mitad de un número El triple de un número aumentado en dos La cantidad de caramelos es menor que la cantidad de chupetines LENGUAJE SIMBÓLICO 2.X+2 X < Y X=caramelos. A los números que no tienen asignado un valor determinado se lo escribe mediante una letra.Unidad nº1 Nº Naturales b) Elegir dos números que sean coprimos. letras y símbolos.m.X X+1 X:2 3.m.c. a este lenguaje se lo denomina LENGUAJE SIMBÓLICO. 19 . a) La cantidad de globos es mayor que la cantidad de guirnaldas. los libros de ciencias naturales más lo de sociales suman 95. LENGUAJE COLOQUIAL Y SIMBÓLICO La matemática utiliza un lenguaje particular formado por números. • Escriban cada oración en el lenguaje simbólico. Y=chupetines Ejercicio 46. b) La mitad de la raíz cuadrada de un número. f) Mariana tiene el doble de la edad de Morena. h) El siguiente de M. m3 El cociente entre dos números. X2 :2 X :2 c) La cuarta parte de un número d) La mitad del cubo de un número. X3 20 . Ejercicio 47. • Completar la tabla LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE SIMBÓLICO La quinta parte de un número X+Y El doble de un número disminuido en cuatro. • Relaciones con una flecha a) Seis veces el cubo de un número. g) El anterior de un número N. X3:2 6. e) Germán es 7 años más joven que Esteban. X +1 El cuadrado de un número mas tres 2. Ejercicio 48.Unidad nº1 Nº Naturales d) La diferencia entre las películas de ciencia ficción y las películas de terror es igual a 70. f) La suma de dos números consecutivos g) La tercera parte del cuadrado de u número X:4 X2:3 X+(X+1) 21 .Unidad nº1 Nº Naturales e) La mitad del cuadrado de un número.