Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades

Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades.11/04/2011 Eder Sabino Carlos Deixe um comentário Go to comments Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades. NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS INTRODUÇÃO: Observe que, no conjunto dos números naturais, a operação de subtração nem sempre é possivel exemplos: a) 5 – 3 = 2 (possível: 2 é um número natural) b) 9 – 9 = 0 ( possível: 0 é um número natural) c) 3 – 5 = ? ( impossível nos números naturais) Para tonar sempre possível a subtração, foi criado o conjunto dos números inteiros relativos, -1, -2, -3,……… lê-se: menos um ou 1 negativo lê-se: menos dois ou dois negativo lê-se: menos três ou três negativo Reunindo os números negativos, o zero e os números positivos, formamos o conjunto dos numeros inteiros relativos, que será representado por Z. Z = { …..-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,……} Importante: os números inteiros positivos podem ser indicados sem o sinal de +. exemplo a) +7 = 7 b) +2 = 2 c) +13 = 13 d) +45 = 45 Sendo que o zero não é positivo nem negativo EXERCICIOS 1) Observe os números e diga: -15, +6, -1, 0, +54, +12, -93, -8, +23, -72, +72 a) Quais os números inteiros negativos? R: -15,-1,-93,-8,-72 b) Quais são os números inteiros positivos? R: +6,+54,+12,+23,+72 2) Qual o número inteiro que não é nem positivo nem negativo? R: É o zero 3) Escreva a leitura dos seguintes números inteiros: a) -8 =(R: oito negativo) b)+6 = (R: seis positivo) c) -10 = (R: dez negativo) d) +12 = (R: doze positivo) e) +75 = (R: setenta e cinco positivo) f) -100 = (R: cem negativo) 4) Quais das seguintes sentenças são verdadeiras? a) +4 = 4 = ( V) b) -6 = 6 = ( F) c) -8 = 8 = ( F) d) 54 = +54 = ( V) e) 93 = -93 = ( F ) 5) As temperaturas acima de 0°C (zero grau) são representadas por números positivos e as temperaturas abaixo de 0°C, por números negativos. Represente a seguinte situação com números inteiros relativos: a) 5° acima de zero = (R: +5) b) 3° abaixo de zero = (R: -3) c) 9°C abaixo de zero= (R: -9) d) 15° acima de zero = ( +15) REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA Vamos traçar uma reta e marcar o ponto 0. À direta do ponto 0, com uma certa unidade de medida, assinalemos os pontos que correspondem aos números positivos e à esquerda de 0, com a mesma unidade, assinalaremos os pontos que correspondem aos números negativos. _I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_ -6.. -5…-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6 exercícios 1) Escreva os números inteiros: a) compreendidos entre 1 e 7 (R: 2,3,4,5,6) b) compreendidos entre -3 e 3 (R: -2,-1,0,1,2) c) compreendidos entre -4 e 2 ( R: -3, -2, -1, 0, 1) d) compreendidos entre -2 e 4 (R: -1, 0, 1, 2, 3 ) e) compreendidos entre -5 e -1 ( R: -4, -3, -2) f) compreendidos entre -6 e 0 (R: -5, -4, -3, -2, -1) 2) Responda: a) Qual é o sucessor de +8? (R: +9) b) Qual é o sucessor de -6? (R: -5) c) Qual é o sucessor de 0 ? (R: +1) d) Qual é o antecessor de +8? (R: +7) e) Qual é o antecessor de -6? ( R: -7) f) Qual é o antecessor de 0 ? ( R: -1) 3) Escreva em Z o antecessor e o sucessor dos números: a) +4 (R: +3 e +5) b) -4 (R: -5 e – 3) c) 54 (R: 53 e 55 ) d) -68 (R: -69 e -67) e) -799 ( R: -800 e -798) f) +1000 (R: +999 e + 1001) NÚMEROS OPOSTOS E SIMÉTRICOS Na reta numerada, os números opostos estão a uma mesma distancia do zero. -I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_ -6.. -5…-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6 Observe que cada número inteiro, positivo ou negativo, tem um correspondente com sinais deferentes exemplo a) O oposto de +1 é -1. b) O oposto de -3 é +3. c) O oposto de +9 é -9. d) O oposto de -5 é +5. Obsevação: O oposto de zero é o próprio zero. EXERCÍCIOS 1) Determine: a) O oposto de +5 = (R:-5) b) O oposto de -9 = (R: +9) c) O oposto de +6 = (R: -6) d) O oposto de -6 = (R: +6) e) O oposto de +18 = (R: -18) f) O oposto de -15 = (R: +15) g) O oposto de +234= (R: -234) h) O oposto de -1000 = (R: +1000) COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS , Observe a representação gráfica dos números inteiros na reta. -I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_ -6.. -5…-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6 Dados dois números quaisquer, o que está à direita é o mair deles, e o que está à esquerda, o menor deles. exemplos a) -1 > -4, poque -1 está à direita de -4. b) +2 > -4, poque +2 está a direita de -4 c) -4 menor -2 , poque -4 está à esquerda de -2. d) -2 menor +1, poque -2 está à esquerda de +1. exercicios 1) Qual é o número maior ? a) +1 ou -10 (R:+1) b) +30 ou 0 (R: +30) c) -20 ou 0 ( R: 0) d) +10 ou -10 (R: +10) e) -20 ou -10 (R: -10) f) +20 ou -30 (R: +20) g) -50 ou +50 (R:+50) h) -30 ou -15 (R:-15) 2) compare os seguites pares de números, dizendo se o primeiro é maior, menor ou igual a) +2 e + 3 (menor) b) +5 e -5 (maior) c) -3 e +4 (nenor) d) +1 e -1 (maior) e) -3 e -6 ( maior) f) -3 e -2 (menor) g) -8 e -2 (menor) 4.-9.4.-740.8 ( R: 8. -3.-90 ( R: -105.-6.-3.-2 ( R: +6. -3.+3.0.-3. a) -9. -64 (R: +83.-1.+8.-4.+1000.0.1.-286.-5.-21. -5.+83.-3.0.+4.-3.+25) e) +60.1) b) -2.-2) c) 5.-740) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS ADIÇÃO 1) Adição de números positivos A soma de dois números positivos é um número positivo.+8.-3.+620.0 (R: +5.-4) c) -5.+904 (R: +904.0.-100 ( R: -840.-21.+6.1.-34.0 (R: -9.-18.h) 0 e -5 (maior) i) -2 e 0 (nenor) j) -2 e -4 (maior) l) -4 e -3 (menor) m) 5 e -5 (maior) n) 40 e +40 ( igual) o) -30 e -10 (menor) p) -85 e 85 (menor) q) 100 e -200 (maior) r) -450 e 300 (menor) s) -500 e 400 (menor) 3) coloque os números em ordem crescente.-9) e) -18. -6.0.-9.-90.-3.+5.-6) b) -4.+1 (R: +10. +827.0.+827.-1.-34.+15.-400.+1.-7.0.+15.+1.-18.-1.-100. -6.-840.-172) f) -286.-2.-105.20) d) 25. -8 (R: -8.0.1. EXEMPLO a) (+2) + (+5) = +7 b) (+1) + (+4) = +5 c) (+6) + (+3) = +9 Simplificando a maneira de escrever a) +2 +5 = +7 b) +1 + 4 = +5 c) +6 + 3 = +9 .-7.-4.+620.+4.-3.5.-5) d) +10.20 (R: -3.+6.0.+1000) 4) Coloque os números em ordem decrescente a) +3.-3.-3.-64. +60) f) -400.+6.0.1.-172.-1.-9 (R: -18. 2) Adição de números negativos A soma de dois numeros negativos é um número negativo Exemplo a) (-2) + (-3) = -5 b) (-1) + (-1) = -2 c) (-7) + (-2) = -9 Simplificando a maneira de escrever a) -2 – 3 = -5 b) -1 -1 = -2 c) -7 – 2 = -9 Observe que podemos simplificar a maneira de escrever deixando de colocar o sinal de + na operação e eliminando os parênteses das parcelas. EXERCÍCIOS 1) Calcule a) +5 + 3 = (R:+8) b) +1 + 4 = (R: +5) c) -4 – 2 = (R: -6) d) -3 – 1 = (R: -4) e) +6 + 9 = (R: +15) f) +10 + 7 = (R: +17) g) -8 -12 = (R: -20) h) -4 -15 = (R: -19) i) -10 – 15 = (R: -25) j) +5 +18 = (R: +23) l) -31 – 18 = (R: -49) m) +20 +40 = (R: + 60) n) -60 – 30 = (R: -90) o) +75 +15 = (R: +90) p) -50 -50 = (R: -100) 2) Calcule: a) (+3) + (+2) = (R: +5) b) (+5) + (+1) = (R: +6) c) (+7) + ( +5) = (R: +12) d) (+2) + (+8) = (R: +10) e) (+9) + (+4) = (R: +13) f) (+6) + (+5) = (R: +11) .Observe que escrevemos a soma dos números inteiros sem colocar o sinal + da adição e eliminamos os parêteses das parcelas. Exemplo a) (+3) + (-3) = 0 b) (-8) + (+8) = 0 c) (+1) + (-1) = 0 simplificando a maneira de escrever .g) (-3) + (-2) = (R: -5) h) (-5) + (-1) = (R: -6) i) (-7) + (-5) = (R: -12) j) (-4) + (-7) = (R: -11) l) (-8) + ( -6) = (R: -14) m) (-5) + ( -6) = (R: -11) 3) Calcule: a) ( -22) + ( -19) = (R: -41) b) (+32) + ( +14) = (R: +46) c) (-25) + (-25) = (R: -50) d) (-94) + (-18) = (R: -112) e) (+105) + (+105) = (R: +210) f) (-280) + (-509) = (R: -789) g) (-321) + (-30) = (R: -350) h) (+200) + (+137) = (R: +337) 3) Adição de números com sinais diferentes A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os valores absolutos. exemplos a) (+6) + ( -1) = +5 b) (+2) + (-5) = -3 c) (-10) + ( +3) = -7 simplificando a maneira de escrever a) +6 – 1 = +5 b) +2 – 5 = -3 c) -10 + 3 = -7 Note que o resultado da adição tem o mesmo sinal que o número de maior valor absoluto Observação: Quando as parcelas são números opostos. a soma é igual a zero. dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto. exemplo a) (+5) +0 = +5 b) 0 + (-3) = -3 c) (-7) + 0 = -7 Simplificando a maneira de escrever a) +5 + 0 = +5 b) 0 – 3 = -3 c) -7 + 0 = -7 exercícios 1) Calcule: a) +1 – 6 = -5 b) -9 + 4 = -5 c) -3 + 6 = +3 d) -8 + 3 = -5 e) -9 + 11 = +2 f) +15 – 6 = +9 g) -2 + 14 = +12 h) +13 -1 = +12 i) +23 -17 = +6 j) -14 + 21 = +7 l) +28 -11 = +17 m) -31 + 30 = -1 2) Calcule: a) (+9) + (-5) = +4 b) (+3) + (-4) = -1 c) (-8) + (+6) = -2 d) (+5) + (-9) = -4 e) (-6) + (+2) = -4 f) (+9) + (-1) = +8 g) (+8) + (-3) = +5 h) (+12) + (-3) = +9 i) (-7) + (+15) = +8 j) (-18) + (+8) = -10 i) (+7) + (-7) = 0 . a soma é igual ao outro número.a) +3 – 3 = 0 b) -8 + 8 = 0 c) +1 – 1 = 0 4) Um dos numeros dados é zero Quando um dos números é zero . exemplos 1) -12 + 8 – 9 + 2 – 6 = = -4 – 9 + 2 – 6 = = -13 + 2 – 6 = = -11 – 6 = = -17 2) +15 -5 -3 +1 – 2 = = +10 -3 + 1 – 2 = = +7 +1 -2 = = +8 -2 = = +6 . adicionamos esse resultado com o terceiro. exemplo: (+8) + 0 = 0 + (+8) = +8 4) Associativa: na adição de três números inteiros. em seguida. exemplo: (+7) + (-7) = 0 ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS Para obter a soma de três ou mais números adicionamos os dois primeiros e. e assim por diante. sem que isso altere o resultado. exemplo: [(+8) + (-3) ] + (+4) = (+8) + [(-3) + (+4)] 5) Elemento oposto: qualquer número inteiro admite um simétrico ou oposto. podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos.l) (-6) + 0 = -6 m) +3 + (-5) = -2 n) (+2) + (-2) = 0 o) (-4) +10 = +6 p) -7 + (+9) = +2 q) +4 + (-12) = -8 r) +6 + (-4) = +2 PROPRIEDADE DA ADIÇÃO 1) Fechamento : a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro exemplo (-4) + (+7) =( +3) 2) Comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma. exemplo: (+5) + (-3) = (-3) + (+5) 3) Elemento neutro: o número zero é o elemento neutro da adição. INDICAÇÃO SIMPLIFICADA a) podemos dispensar o sinal de + da primeira parcela quando esta for positiva.Na adição de números inteiros podemos cancelar números opostos. exemplos a) (+7) + (-5) = 7 – 5 = +2 b) (+6) + (-9) = 6 – 9 = -3 b) Podemos dispensar o sinal + da soma quando esta for positiva exemplos a) (-5) + (+7) = -5 + 7 = 2 b) (+9) + (-4) = 9 – 4 = 5 EXERCÍCIOS 1) Calcule a) 4 + 10 + 8 = (R: 22) b) 5 – 9 + 1 = (R: -3) c) -8 – 2 + 3 = (R: -7) d) -15 + 8 – 7 = (R: -14) e) 24 + 6 – 12 = (R:+18) f) -14 – 3 – 6 – 1 = (R: -24) g) -4 + 5 + 6 + 3 – 9 = (R: + 1) h) -1 + 2 – 4 – 6 – 3 – 8 = (R: -20) i) 6 – 8 – 3 – 7 – 5 – 1 + 0 – 2 = (R: -20) j) 2 – 10 – 6 + 14 – 1 + 20 = (R: +19) L) -13 – 1 – 2 – 8 + 4 – 6 – 10 = (R: -36) 2) Efetue. cancelando os números opostos: a) 6 + 4 – 6 + 9 – 9 = (R: +4) b) -7 + 5 – 8 + 7 – 5 = (R: -8) c) -3 + 5 + 3 – 2 + 2 + 1 = (R: +6) d) -6 + 10 + 1 – 4 + 6= (R: +7) e) 10 – 6 + 3 – 3 – 10 – 1 = (R: -7) f) 15 – 8 + 4 – 4 + 8 – 15 = (R: 0) 3) Coloque em forma simplificada ( sem parênteses) a) (+1) + (+4) +(+2) = (R: 1 +4 + 2) b) (+1) + (+8) + (-2) = (R: 1 + 8 – 2) . poque a soma deles é zero. calcule a) x + y = (R: +11) b) y + z = (R: -4) c) x + z = (R: -3) SUBTRAÇÃO A operação de subtração é uma operação inversa à da adição Exemplos a) (+8) – (+4) = (+8) + (-4) = = +4 b) (-6) – (+9) = (-6) + (-9) = -15 c) (+5) – (-2) = ( +5) + (+2) = +7 Conclusão: Para subtraimos dois números relativos. Observação: A subtração no conjunto Z tem apenas a propriedade do fechamento ( a subtração é sempre possivel) ELIMINAÇÃO DE PARÊNTESES PRECEDIDOS DE SINAL NEGATIVO Para facilitar o cálculo.c) (+5) +(-8) + (-1) = (R: +5 – 8 – 1) d) (-6) + (-2) + (+1) = (R: -6 – 2 + 1) 4) Calcule: a) (-2) + (-3) + (+2) = (R: -3) b) (+3) + (-3) + (-5) = (R: -5) c) (+1) + (+8) +(-2) = (R: +7 ) d) (+5) + (-8) + (-1) = (R: -4) e) (-6) + (-2) + (+1) = (R: -7) f) (-8) + ( +6) + (-2) = (R: -4) g) (-7) + 6 + (-7) = (R: -8) h) 6 + (-6) + (-7) = (R: -7) i) -6 + (+9) + (-4) = (R: -1) j) (-4) +2 +4 + (+1) = (R: +3) 5) Determine as seguintes somas a) (-8) + (+10) + (+7) + (-2) = (R: +7) b) (+20) + (-19) + (-13) + (-8) = (R: -20) c) (-5) + (+8) + (+2) + (+9) = (R: +14) d) (-1) + (+6) + (-3) + (-4) + (-5) = (R: -7) e) (+10) + (-20) + (-15) + (+12) + (+30) + (-40) = (R: -23) 6) Dados os números x= 6. y = 5 e z= -6. basta que adicionemos ao primeiro o oposto do segundo. eliminamos os parênteses usando o segnificado do oposto . veja: a) -(+8) = -8 (significa o oposto de +8 é -8 ) b) -(-3) = +3 (significa o oposto de -3 é +3) analogicamente: a) -(+8) – (-3) = -8 +3 = -5 b) -(+2) – (+4) = -2 – 4 = -6 c) (+10) – (-3) – +3) = 10 + 3 – 3 = 10 conclusão: podemos eliminar parênteses precedidos de sinal negativo trocando-se o sínal do número que está dentro dos parênteses. EXERCÍCIOS 1) Elimine os parênteses a) -(+5) = -5 b) -(-2) = +2 c) – (+4) = -4 d) -(-7) = +7 e) -(+12) = -12 f) -(-15) = +15 g) -(-42) = +42 h) -(+56) = -56 2) Calcule: a) (+7) – (+3) = (R: +4) b) (+5) – (-2) = (R: +7) c) (-3) – ( +8) = (R: -11) d) (-1) -(-4) = (R: +3) e) (+3) – (+8) = (R: -5) f) (+9) – (+9) = (R: 0 ) g) (-8) – ( +5) = (R: -13) h) (+5) – (-6) = (R: +11) i) (-2) – (-4) = (R: +2) j) (-7) – (-8) = (R: +1) l) (+4) -(+4) = (R: 0) m) (-3) – ( +2) = (R: -5) n) -7 + 6 = (R: -1) o) -8 -7 = (R: -15) p) 10 -2 = (R:8) q) 7 -13 = (R: -6) r) -1 -0 = (R: -1) s) 16 – 20 = (R: -4) . t) -18 -9 = (R: -27) u) 5 – 45 = (R:-40) v) -15 -7 = (R: -22) x) -8 +12 = (R: 4) z) -32 -18 = (R:-50) 3) Calcule: a) 7 – (-2) = (R: 9) b) 7 – (+2) = (R: 5) c) 2 – (-9) = (R: 11) d) -5 – (-1) = (R: -4) e) -5 -(+1) = (R: -6) f) -4 – (+3) = (R: -7) g) 8 – (-5) = (R: 13) h) 7 – (+4) = (R: 3) i) 26 – 45 = (R: -19) j) -72 -72 = (R: -144) l) -84 + 84 = (R: 0) m) -10 -100 = (R: -110) n) -2 -4 -1 = (R: -7) o) -8 +6 -1 = (R: -3) p) 12-7 + 3 = (R:8) q) 4 + 13 – 21 = (R: -4) r) -8 +8 + 1 = (R: 1) s) -7 + 6 + 9 = (R:8) t) -5 -3 -4 – 1 = (R: -13) u) +10 – 43 -17 = (R: -50) v) -6 -6 + 73 = (R: 61) x) -30 +30 – 40 = (R: -40) z) -60 – 18 +50 = (R: -25) 4) Calcule: a) (-4) -(-2)+(-6) = (R: -8) b) (-7)-(-5)+(-8) = (R: -10) c) (+7)-(-6)-(-8) = (R: 21) d) (-8) + (-6) -(+3) = (R: -17) e) (-4) + (-3) – (+6) = (R: -13) f) 20 – (-6) – (-8) = (R: 34) g) 5 – 6 – (+7) + 1 = (R: -7) h) -10 – (-3) – (-4) = (R: -3) i) (+5) + (-8) = (R: -3) j) (-2) – (-3) = (R: +1) l) (-3) -(-9) = (R: +6) m) (-7) – (-8) =(R: +1) n) (-8) + (-6) – (-7) = (R: -7) o) (-4) + (-6) + (-3) = (R: -13) p) 15 -(-3) – (-1) = (R: +19) q) 32 – (+1) -(-5) = (R: +36) . exemplo a) + (-4 + 5) = -4 + 5 b) +(3 +2 -7) = 3 +2 -7 2) Parênteses precedidos pelo sinal Ao eliminarmos os parênteses e o sinal de – que os precede. devemos conservar os sinais dos números contidos nesses parênteses.5) Calcule: a) (-5) + (+2) – (-1) + (-7) = (R: -9) b) (+2) – (-3) + (-5) -(-9) = (R: 9) c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) = (R: 0) d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) = (R: -12) e) (+9) -(-2) + (-1) – (-3) = (R: 13) f) 9 – (-7) -11 = (R: 5 ) g) -2 + (-1) -6 = (R: -9) h) -(+7) -4 -12 = (R: -23) i) 15 -(+9) -(-2) = (R: 8 ) j) -25 – ( -5) -30 = (R: -50) l) -50 – (+7) -43 = (R: -100) m) 10 -2 -5 -(+2) – (-3) = (R: 4) n) 18 – (-3) – 13 -1 -(-4) = (R: 11) o) 5 -(-5) + 3 – (-3) + 0 – 6 = (R: 10) p) -28 + 7 + (-12) + (-1) -4 -2 = (R: -40) q) -21 -7 -6 -(-15) -2 -(-10) = (R: -11) r) 10 -(-8) + (-9) -(-12)-6 + 5 = (R: 20) ELIMINAÇÃO DOS PARENTESES 1) parenteses precedidos pelo sinal + Ao eliminarmos os parênteses e o sinal + que os precede. devemos trocar os sinais dos números contidos nesses parênteses. exemplo a) -(4 – 5 + 3) = -4 + 5 -3 b) -(-6 + 8 – 1) = +6 -8 +1 EXERCICIOS 1) Elimine os parênteses: a) +(-3 +8) = (R: -3 +8) b) -(-3 +8) = (R: +3 -8) . Exemplos: 1°) exemplo 8 + ( +7 -1 ) – ( -3 + 1 – 5 ) = 8+7–1+3–1+5= 23 – 2 = 21 .c) +(5 – 6) = (R: 5 -6 ) d) -(-3-1) = (R: +3 +1) e) -(-6 + 4 – 1) = (R: +6 – 4 + 1) f) +(-3 -2 -1) = (R: -3 -2 -1 ) g) -(4 -6 +8) = (R: -4 +6 +8) h) + (2 + 5 – 1) = (R: +2 +5 -1) 2) Elimine os parênteses e calcule: a) + 5 + ( 7 – 3) = (R: 9) b) 8 – (-2-1) = (R: 11) c) -6 – (-3 +2) = (R: -5) d) 18 – ( -5 -2 -3 ) = (R: 28) e) 30 – (6 – 1 +7) = (R: 18) f) 4 + (-5 + 0 + 8 -4) = (R: 3) g) 4 + (3 – 5) + ( -2 -6) = (R: -8) h) 8 -(3 + 5 -20) + ( 3 -10) = (R: 13) i) 20 – (-6 +8) – (-1 + 3) = (R: 16) j) 35 -(4-1) – (-2 + 7) = (R: 27) 3) Calcule: a) 10 – ( 15 + 25) = (R: -30) b) 1 – (25 -18) = (R: -6) c) 40 -18 – ( 10 +12) = (R: 0) d) (2 – 7) – (8 -13) = (R: 0 ) e) 7 – ( 3 + 2 + 1) – 6 = (R: -5) f) -15 – ( 3 + 25) + 4 = (R: -39) g) -32 -1 – ( -12 + 14) = (R: -35) h) 7 + (-5-6) – (-9 + 3) = (R: 2) i) -(+4-6) + (2 – 3) = (R: 1) j) -6 – (2 -7 + 1 – 5) + 1 = (R: 4) EXPRESSÕES COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS Lembre-se de que os sinais de associação são eliminados obedecendo à seguinte ordem: 1°) PARÊNTESES ( ) . 3°) CHAVES { } . 2°) COLCHETES [ ] . 2 )] = (R: -5) 7) -6 – [10 + (-8 -3 ) -1] = (R: -4) 8 ) -8 – [ -2 .( -2 + 6 ) ] = 10 + [ -3 + 1 + 2 .(-12) + 3 ] = (R: -21) 9) 25 – { -2 + [ 6 + ( -4 -1 )]} = (R: 26) 10) 17 – { 5 – 3 + [ 8 .3 .3 .2] } = (R: -29) 14) { 30 + [ 10 .2 ) + 2 +3 ]} = (R: -15) 20) {[( -50 -10) + 11 + 19 ] + 20 } + 10 = (R: 0 ) MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS MULTIPLICAÇÃO 1) multiplicação de dois números de sinais iguais observe o exemplo .5 ) + 3 ] } = (R: -20) 13) { 2 + [ 1 + ( -15 -15 ) .3) .( -6 +9 ) ]} = -17 + { +5 – [ +2 + 6 .10 ] = (R: 30 ) 6) -4 + [ -3 + ( -5 + 9 .6 ] = 10 – 3 + 1 + 2 – 6 = 13 – 9 = =4 3°) exemplo -17 + { +5 – [ +2 .( .5 + ( -2 -3)] -18 -12} = (R: 0 ) 15) 20 + { [ 7 + 5 + ( -9 + 7 ) + 3 ] } = (R: 33) 16) -4 – { 2 + [ .2°) exemplo 10 + [ -3 + 1 .3 ) + 5 ] } = (R: -2) 11) 3 – { -5 -[8 .2 + ( -5 + 9 ) ] } = (R: 18) 12) -10 – { -2 + [ + 1 .( -1 .2] + 6 } = (R: 3 ) 18) -{ -2 – [ -3 .3 .8 ) .9]} = -17 + { +5 – 2 – 6 + 9 } = -17 +5 – 2 – 6 + 9 = -25 + 14 = = – 11 EXERCICIOS a) Calcule o valor das seguintes expressões : 1) 15 -(3-2) + ( 7 -4) = (R: 17) 2) 25 – ( 8 – 5 + 3) – ( 12 – 5 -8) = (R: 20 ) 3) ( 10 -2 ) – 3 + ( 8 + 7 – 5) = (R: 15) 4) ( 9 – 4 + 2 ) – 1 + ( 9 + 5 – 3) = (R: 17) 5) 18 – [ 2 + ( 7 .( -1 + 7) ] + 2} = (R: 1) 17) 10 – { -2 + [ +1 + ( +7 .6 .(-5) + 1 ]} – 18 = (R: -13) 19) -20 – { -4 -[-8 + ( +12 . (-9) = (R: 27) h) (+3) . (-2) = +10 d) (-3) . (+3) = (R: 12) o) (-5) . (+4) = -20 c) (+6) . (+10) = (R: 70) l) (-7) . (-9) = (R: -27) g) (-3) . (+10) = (R: -70) m) (-7) . ( -5) = (R: 40) c) (+8) . (+7) = (R: -35) . (-5) = -30 d) (-1) . (-7) = +21 conclusão: Se os fatores tiverem sinais iguais o produto é positivo 2) Multiplicação de dois produtos de sinais diferentes observe os exemplos a) (+3) . (+9) = (R: -27) f) (+3) . (-10) = (R: -70) j) (+7) . (+) = (+) b) (-) .a) (+5) .(-5) = (R: -40) d) (-8) . (+7) = -7 Conclusão : Se dois produtos tiverem sinais diferentes o poduto é negativo Regra pratica dos sinais na multiplicação SINAIS IGUAIS: o resultado é positivo + a) (+) . (-10) = (R: 70) n) (+4) . (+5) = (R: 40) b) (-8) . (-) = (+) SINAIS DIFERENTES: o resultado é negativo a) (+) . (+9) = (R: 27) i) (+7) . (+5) = (R: -40) e) (-3) . (+) = (-) EXERCÍCIOS 1) Efetue as multiplicações a) (+8) . (-) = (-) b) (-) . (-2) = -6 b) (-5) . (+7) = +21 c) (-5) . (+2) = +10 b) (+3) . (-2) = (R: +60) d) (+8) . (-2) . 2 = (R: -16) i) (-1) . (-6) = (-60) . (+1) = (R:8) f) 7 . (+1) . ( +4) = (R: -24) b) (+5) . (-7) = (R: -14) b) 13 . (-20) = (R: -500) i) -36) . (+18) = (R: -216) l) (+24) . (-4) . (-6) = (+12) . (-2) = (R: -8) v) (+8) . (-6) = (R: 36) 2) Calcule o produto a) (+2) . (+5) = -30 b) (-3) . (+5) = (R: 45) u) (+4) .(-1)= (R: -1) f) (+3) . (-30) . o produto obtido pelo terceiro e assim sucessivamente.p) (+9) . (+2) = (R: -10) c) (-6) . 0 = (R: 0) MULTIPLICAÇAO COM MAIS DE DOIS NÚMEROS Multiplicamos o primeiro número pelo segundo. (-1) . (+6) = (R: -24) s) (-2) .(-36 = (R: 1296) j) (-12) . (-2) . (+5) . (-10) = (R: -50) h) (-8) . até o ultimo fator exemplos a) (+3) . (-4) . (-6) = (R: -42) g) 5 . (-6) = +360 EXERCÍCIOS 1) Determine o produto: a) (-2) .(-4) = (R: 8 ) t) (+9) . (+5) = (-6) . 4 = (R: -4) j) (-16) .(-3) = (R: +48) e) (+1) . (+3) .(-2) . (+5) = (R: 240) h) (+25) . (-1) . (-7) = (R: 56) r) (-4) . 20 = (R: 260) c) 13 . (+1) . (+6) . (-11) = (R: -264) m) (+12) . (-5) = (R: -30) g) (-2) . (-5) . (+7) = (R: -28) z) (-6) . (-1) = (R: 360) . (-2) = (R: -26) d) 6 . (-2) = (R: -18) q) (-8) . (-1) = (R: -6) e) 8 . (-5) . (+8) = (R: 64) x) (-4) . (-2) . (-2) . (-2) = (R: 13) h) (-4) . (-4) = (R: 43) m) (+3) . (-1) . (-6) = (R: 9) PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO 1) Fechamento: o produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro. (-1) = (R: -4) 3) Calcule o valor das expressões: a) 2 . (-1) = (R:-6) r) (-4) . (-3) . 5 (-3) = (R: 30) q) (-2) . (-2) = (R: 96) n) 3 . (-4) = (R: +60) g) 1 .(-5) = (R: -120) c) (-2) . (-2) . . 4 – 20 = (R: -8) d) -15 + 2 . (-6) . (-7) -12 = (R: 16) i) (-7) . (+3) . (-2) . 2 = (R: -14) h) 8 . (-1) . (+2) . (-7) + (-5) . (-2) . (+4) = (R: -17) f) 10 + (+2) . (-5) + 35 = (R: 20) 4) Calcule o valor das expressões a) 2 (+5) + 13 = (R: 23) b) 3 .(-2) .(-2) . ( -2) . (-2) . (-3) = (R: -13) g) (-3) . (-4) = (R: 80) p) (-2) . (+4) . (-3) . (-4) . (-1) = (R: -6) o) 5 . (+5) + 50 = (R: 15) j) -18 + (-6) . (-4) . (-5) = (R: 0 ) g) 31 – (-9) . (-7) = (R: -84) l) 6 . 4 + 14 = (R: -22) e) (-7) . (-6) = (R: 720) f) 5 . 9 = (R: -45) c) 3. (-4) . 3 = (R: -9) e) 15 + (-8) . (-1) . (+7) = (R:-60) l) 15 + (-7) . (-6) . (-3) . (-3) + 8 = (R: -1) c) -17 + 5 .5 = (R: 40) j) 3 . (-4) . (+1) . (-5) – (-2) = (R: 37) f) (+4) . 3 – 10 = (R: -4) b) 18 – 7 . (+2) . (-5) = (R: -120) b) (-1) . (-2) = (R: -27) d) (-9) . (-8) = (R: 34) h) (+3) . (-7) . 2 = (R: -32) i) (-2) .2) Calcule os produtos a) (-3) . (-2) = (R: 64) d) (+1) . (-6) + (-2) .(+2)= (R: -72) e) (+3) . (-5) . 4 . (-5) – (+4) . (-4) = (R: +48) m) 8 . exemplo: (-2) .exemplo: (+2) . (-5) + (-2) . (+3) ] . (-5) = (-10) 2) Comultativa: a ordem dos fatores não altera o produto. (+4) DIVISÃO Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação Observe: a) (+12) : (+4) = (+3) . (+5) = (+5) . (-4) 5) Distributiva exemplo: (-2) . Exemplos: (-6) . (-4) = +12 d) (-12) : (+4) = (-3). porque (-3) . exemplo: (-3) . (-3) 3) Elemento Neutro: o número +1 é o elemento neutro da multiplicação. (-4) = -12 c) (+12) : (-4) = (-3) . porque (+3) . (-6) = -6 4) Associativa: na multiplicação de três números inteiros. porque (-3) . (-4) ] = [ (-2) . (+4) = -12 REGRA PRÁTICA DOS SINAIS NA DIVISÃO As regras de sinais na divisão é igual a da multiplicação: SINAIS IGUAIS: o resultado é + (+) : (+) = (+) (-) : (-) = (-) SINAIS DIFERENTES : o resultado é (+) : (-) = (-) (-) : (+) = (-) EXERCÍCIOS 1) Calcule o quocientes: . porque (+3) . (+1) = (+1) . sem que isso altere o resultado. (+4) = +12 b) (-12) : (-4) = (+3) . [(+3) . podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos. [(-5) +(+4)] = (-2) . (-5) = (R: 70) o) (-1) . (-8) + 20 = (R: 28 ) .a) (+15) : (+3) = (R: 5 ) b) (+15) : (-3) = (R: -5) c) (-15) : (-3) = (R: 5) d) (-5) : (+1) = (R: -5) e) (-8) : (-2) = (R: 4) f) (-6) : (+2) = (R: -3) g) (+7) : (-1) = (R: -7) h) (-8) : (-8) = (R: 1) f) (+7) : (-7) = (R: -1) 2) Calcule os quocientes a) (+40) : (-5) = (R: -8) b) (+40) : (+2) = (R: 20) c) (-42) : (+7) = (R: -6) d) (-32) : (-8)= (R: 4) e) (-75) : (-15) = (R: 5) f) (-15) : (-15) = (R: 1) g) (-80) : (-10) = (R:8) h) (-48 ) : (+12) = (R: -4) l) (-32) : (-16) = (R: 2) j) (+60) : (-12) = (R: -5) l) (-64) : (+16) = (R: -4) m) (-28) : (-14) = (R: 2) n) (0) : (+5) = (R: 0) o) 49 : (-7) = (R: -7) p) 48 : (-6) = (R: -8) q) (+265) : (-5) = (R: -53) r) (+824) : (+4) = (R: 206) s) (-180) : (-12) = (R: 15) t) (-480) : (-10) = (R: 48) u) 720 : (-8) = (R: -90) v) (-330) : 15 = (R: -22) 3) Calcule o valor das expressões a) 20 : 2 -7 = (R: 3 ) b) -8 + 12 : 3 = (R: -4) c) 6 : (-2) +1 = (R: -2) d) 8 : (-4) – (-7) = (R: 5) e) (-15) : (-3) + 7 = (R: 12) f) 40 – (-25) : (-5) = (R: 35) g) (-16) : (+4) + 12 = (R:8) h) 18 : 6 + (-28) : (-4) = ( R: 10) i) -14 + 42 : 3 = (R: 0) j) 40 : (-2) + 9 = (R: -11) l) (-12) 3 + 6 = (R: 2) m) (-54) : (-9) + 2 = (R:8) n) 20 + (-10) . os números fracionários ou racionais. o homem foi encontrando situações mais difíceis para resolver. Para representar os números fracionários foi criado um símbolo. (-2) -25 = (R: -31) s) (-4) . Surgiram assim.8. pois 10 é múltiplo de 2.p) 4 + 6 . Que quantidade de chocolate Agenor comeu? Que parte da barra de chocolate sobrou? Dividindo o chocolate em 4 partes. A fração envolve a idéia de alguma coisa que foi dividida em partes iguais. obtemos o quociente 5. a divisão de 10 por 2. Agenor comeu ¾ de uma barra de chocolate. Eles usavam cordas com nós separados sempre pela mesma distância.7. por exemplo. (+2) = (R: 36) t) 5: (-5) + 9 . Assim. Em muitos casos. 10/2 é um número natural. Agenor comeu ¾ . a é o numerador e b é o denominador Efetuando. indicamos a divisão de a por b com o símbolo a : b ou.6. por exemplo. (-5) + 8 . que é a fração. Mas. (-7) + 40 = (R: 19) r) (+3) . Assim. No antigo Egito.9 ½ um meio . principalmente para efetuar medições. com o passar do tempo. ainda a/b Chamamos o símbolo a/b de fração. portanto sobrou ¼ LEITURA DE UMA FRAÇÃO Algumas frações recebem nomes especiais: as que têm denominadores 2.3. os números naturais eram os únicos números que o homem utilizava. iguais temos. Logo ¾ não é um número natural. 2 = (R: 17) u) 36 : (-6) + 5 . a fração 10/2 é igual a 10 : 2 Na fração a/b. Mas efetuando a divisão de 3 por 4 não obtemos um número natural. 4 = (R: 14) Esta matéria foi retirada do blog jmpmat NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS: Durante muito tempo. Sendo a e b números racionais e b ≠ 0. (-2) = (R: -8) q) 3 .5. precisou criar outros números que não fossem apenas os números naturais. as terras próximas ao rio Nilo eram muito disputadas por isso os faraós tinham funcionários que mediam e demarcavam os terrenos.4. 100.¼ um quarto 1/6 um sexto 1/8 um oitavo 2/5 dois quintos 9/8 nove oitavos 1/3 um terço 1/5 um quinto 1/7 um sétimo 1/9 um nono 4/9 quatro nonos 16/9 dezesseis nonos as que tem denominadores 10. etc…………. 1/10 um décimo 1/100 um centésimo 1/1000 um milésimo 7/100 sete centésimos as decimais que são lidas acompanhadas da palavra avos : 1/11 um onze avos 7/120 sete cento e vinte avos 4/13 quatro treze avos 1/300 um trezentos avos 5/19 cinco dezenove avos 6/220 seis duzentos e vinte avos EXERCÍCIOS 1) indique as divisões em forma de fração: . 1000. imprópria ou aparente: a) 8/9 (R: própria) b) 10/10 (R: imprópria e aparente) c) 26/13(R: imprópria e aparente) d) 10/20 (R: própria) . Exemplos : 2/3. 19/19. 24/12. 7/7 EXERCÍCIO 1) Classifique as frações em própria. o numerador é 5 e o denominador é 6 a) Em quantas partes o todo foi dividido? (R: 6) b) Quantas partes do todo foram consideradas? (R: 5) 4) Escreva como se lêem as seguintes frações: a) 5/8 (R: cinco oitavos) b) 9/10 (R: nove décimos) c) 1/5 (R: um quinto) d) 4/200 ( R: quatro duzentos avos) e) 7/1000 (R: sete milésimos) f) 6/32 (R: seis trinta e dois avos) TIPOS DE FRAÇÕES a) Fração própria : é aquela cujo o numerador é menor que o denominador. 4/7.a) 14 : 7 = (R: 14/7) b) 18 : 8 = (R: 18/8) c) 5 : 1 = (R: 5/1) d) 15 : 5 = ( R: 15/5) e) 18 : 9 = (R: 18/9) f) 64 : 8 = (R: 64/8) 2) Calcule o quociente das divisões a) 12/3 = (R:4) b) 42/21 = (R: 2) c) 8/4 = (R: 2) d) 100/10 = (R: 10) e) 56/7 = (R:8) f) 64/8 = (R: 8 ) 3) Em uma fração. 5/5 c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo o numerador é múltiplo do denominador Exemplo: 6/2. 1/8 b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador Exemplo: 3/2. 5/10 são algumas frações equivalentes a 1/2 SIMPLIFICANDO FRAÇÕES Cláudio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. 2/4. 4/8. Exemplo: a) 5/7 – 2/7 = 3/7 b) 4/9+ + 2/9 = 6/9 = 2/3 c) 3/5 – 1/5 = 2/5 Exercícios 1) Efetue as adições a) 3/6 + 2/6 = (R: 5/6) b) 13/7 + 1/7 = (R: 14/7) c) 2/7+ 1/7 + 5/7 = (R: 8/7) d) 4/10 + 1/10 + 3/10 = (R: 8/10) e) 5/6 + 1/6 = (R: 1) f) 8/6 + 6/6 = (R: 14/6) = (R: 7/3) g) 3/5 + 1/5 = (R: 4/5) . Assim: ½. podemos obter uma fração equivalente dividindo os dois termos da fração por 2 e vamos obter ½ OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS ABSOLUTOS (FRAÇÕES) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 1°) Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de fração de denominadores iguais Conclusão: Somamos os numeradores e conservamos o denominador comum. A fração 2/4 ainda pode ser simplificada. multiplicamos o numerador e o denominador da fração ½ por um mesmo numero natural diferente de zero. 3/6. Mas 4/8 é equivalente a 2/4. A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 4/8 por 2 veja: 4/8 : 2/2 = 2/4 Dizemos que a fração 2/4 é uma fração simplificada de 4/8.e) 37/19 (R: imprópria) f) 100/400 (R: própria) FRAÇÕES EQUIVALENTES Para encontrar frações equivalentes. ou seja. Que fração da pizza ele comeu? Cláudio comeu 4/8 da pizza. Assim podemos dizer que Cláudio comeu 2/4 da pizza. 2 I 2 3. 3 = 12 exercícios 1) Efetue as adições: a) 1/3 + 1/5 = (R: 8/15) b) ¾ + ½ = (R: 5/4) c) 2/4 + 2/3 = (R: 14/12) d) 2/5 + 3/10 = (R: 7/10) . 2. exemplo: a) 2/3 +1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6 3.2) Efetue as subtrações: a) 7/9 – 5/9 = (R: 2/9) b) 9/5 -2/5 = (R: 7/5) c) 2/3 – 1/3 = (R: 1/3) d) 8/3 – 2/3 = (R: 6/3) e) 5/6 – 1/6 = (R: 2/3) f) 5/5 – 2/5 = (R: 3/5) g) 5/7 – 2/7 = (R: 3/7) 3) Efetue as operações: a) 5/4 + ¾ – ¼ = (R: 7/4) b) 2/5 + 1/5 – 3/5 = (R: 0/5) c) 8/7 – 3/7 + 1/7 = (R: 6/7) d) 7/3 – 4/3 – 1/3 = (R: 2/3) e) 1/8 + 9/8 -3/8= (R: 7/8) f) 7/3 – 2/3 + 1/3 = (R:6/3 ) = (R: 2) g) 7/5 + 2/5 – 1/5 = (R: 8/5) h) 5/7 – 2/7 – 1/7 = (R: 2/7) 2°) Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de fração de denominadores diferentes conclusão: Quando os denominadores são diferentes fazemos o m. 1 I —2 . dos denominadores . 2 I 2 3. 1 I 3 1. 1 I 3 1.c.m. 1 I —-2 . 3 = 6 b) 2/3 – ¼ = 8/12 – 3/12 = 5/12 3. 4 I 2 3. e) 5/3 + 1/6 = (R: 11/6) f) ¼ + 2/3 + ½ = (R: 17/12) g) ½ + 1/7 + 5/7 = (R: 19/14) h) 3/7 + 5/2 + 1/14 = (R: 42/14) i) 4/5 + 1/3 + 7/6 = (R: 69/30) j) 1/3 + 5/6 + ¾ = (R: 23/12) k) ½ + 1/3 + 1/6 = (R: 1) l) 10 + 1/8 + ¾ = (R: 85/8) m) 1/3 + 3/5 = (R:14/15) n) ¾ + 6/7 = (R: 45/28) o) 5/7 + ½ = (R: 17/14) p) ½ + 1/3 = (R: 5/6) q) 3/14 + 3/7 = (R: 9/14) r) 3/5 + ¾ + ½ = (R: 37/20) s) 1/12 + 5/6 + ¾ = (R: 20/12) t) 8 + 1/5 + 4/5 = (R: 45/5) u) 2) efetue as subtrações a) 5/4 – ½ = (R: 3/4) b) 3/5 – 2/7 = (R: 11/35) c) 8/10 – 1/5 = (R: 6/10) d) 5/6 – 2/3 = (R: 1/6) e) 4/3 – ½ = (R: 5/6) f) 13/4 – 5/6 = (R: 29/12) g) 7/8 – 1/6 = (R: 17/24) h) 4/5 – 1/3 = (R: 7/15) i) 3/5 – ¼ = (R: 7/20) j) 10/11 – ½ = (R: 9/22) l) 6/4 – 2/3 = (R: 10/12) m) 5/8 – ½ = (R: 1/8) n) 4/5 – ¼ = (R: 11/20) o) ¾ – 5/8 = (R: 1/8) p) 9/11 – ½ = (R: 7/22) q) 7 – 2/3 = (R: 19/3) r) 4/2 – 2/3 = (R: 8/6) s) 3/2 – 2/3 = (R: 5/6) t) 1/2 – 1/3 = (R: 1/6) u) 3/2 – 1/4 = (R: 5/4) 3) Efetue a) 2 + 5/3 = (R: 11/3) b) 7 + ½ = (R: 15/2) c) 3/5 + 4 = (R: 23/5) d) 6/7 + 1 = (R: 13/7) e) 8 + 7/9 = (R: 79/9) f) 5 – ¾ = (R: 17/4) g) 2 – ½ = (R: 3/2) . h) 7/2 – 3 = (R: 1/2) i) 11/2 – 3 = (R: 5/2) j) 7/4 – 1 = (R: 3/4) k) 1 – ¼ = (R: ¾ ) l) ½ – 1/3 = (R: 1/6) m) ½ + ¼ = (R: ¾) n) 1 + 1/5 = (R: 6/5) o) 1 – 1/5 = (R: 4/5) 4) Calcule o valor das expressões: a) 3/5 + ½ – 2/4 = (R: 12/20) b) 2/3 + 5/6 – ¼ = (R: 15/12) c) 4/5 – ½ + ¾ = (R: 21/20) d) 5/7 – 1/3 + ½ = (R: 37/42) e) 1/3 + ½ – ¼ = (R: 7/12) f) ¾ – ½ + 1/3 = (R: 7/12) g) 5/6 – ½ + 2/3 = (R: 1) h) 4/5 – ¾ + ½ = (R: 11/20) i) ½ + 2/3 + 2/5 + 1/3 = (R: 57/30) j) 6/5 – ¾ + ½ – 2/3 = (R: 17/60) l) 1/6 + 5/4 + 2/3 = (R: 25/12) MULTIPLICAÇÃO Vamos Calcular : 2/3 x 4/5 = 8/15 Conclusão : multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si Exemplo: a) 4/7 x 3/5 = 12/35 b) 5/6 x 3/7 = 15//42 = 5/14 simplificando EXERCICIOS 1) Efetue as multiplicações a) ½ x 8/8 = (R: 8/16) b) 4/7 x 2/5 = (R: 8/35) c) 5/3 x 2/7 = (R: 10/21) d) 3/7 x 1/5 = (R: 3/35) e) 1/8 x 1/9 = (R: 1/72) f) 7/5 x 2/3 = (R: 14/15) g) 3/5 x ½ = (R: 3/10) h) 7/8 x 3/2 = (R: 21/16) i) 1/3 x 5/6 = (R: 5/18) j) 2/5 x 8/7 = (R: 16/35) k) 7/6 x 7/6 = (R: 49/36) l) 3/7 x 5/2 = (R: 15/14) m) 3/10 x 5/9 = (R: 15/90) n) 2/3 x ¼ x 5/2 = (R: 10/24) o) 7 x ½ x 1/3 = (R: 7/6) p) 2) Efetue as multiplicações a) 4/3 x ½ x 2/5 = (R: 8/30) b) 1/5 x ¾ x 5/3 = (R: 15/60) c) ½ x 3/7 x 1/5 = (R: 3/70) d) 3/2 x 5/8 x ¼ = (R: 15/64) e) 5/4 x 1/3 x 4/7 = (R: 20/84) 3) Efetue as multiplicações a) 2 x 5/3 = (R: 10/3) b) 3 x 2/5 = (R: 6/5) c) 1/8 x 5 = (R: 5/8) d) 6/7 x 3 = (R: 18/7) e) 2 x 2/3 x 1/7 = (R: 4/21) f) 2/5 x 3 x 4/8 = (R: 24/40) g) 5 x 2/3 x 7 = (R: 70/3) h) 7/5 x 2 x 4 = (R: 56/5) i) 8 x 2/3 = (R: 16/3) j) 5/9 x 0/6 = (R: 0/54) k) 1/7 x 40 = (R: 40/7) l) ½ x 1/3 x ¼ x 1/5 = (R: 1/120) m) 1 x 2/3 x 4/3 x 1/10 = (R: 8/90) DIVISÃO Vamos calcular ½ : 1/6 Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira fração pela inversa da segunda Assim: ½ : 1/6 = ½ x 6/1 = 6/2 = 3 Exemplos: a) 2/3 : 5/2 = 2/3 x 2/5 = 4/15 b) 7/9 : 1/5 = 7/9 x 5/1 = 35//9 c) 3/7 : 4 = 3/7 x ¼ = 3/28 Exercícios 1) Efetue as divisões a) ¾ : 2/5 = (R: 15/8) b) 5/7 : 2/3 = (R: 15/14) c) 4/5 : 3/7 = (R: 28/15) d) 2/9 : 7/8 = (R: 16/63) e) 1/6 : 5/3 = (R: 3/30) ou (3/10) f) 7/8 : ¾ = (R: 28/24) ou (7/6) g) 8/7 : 9/3 = (R: 24/63) h) 4/5 : 2/5 = (R: 20/10) ou (2/1) ou ( 2) i) 5/8 : ¾ = (R: 20/24) ou (5/6) j) 2/9 : 4/7 = (R: 14/36) ou (7/18) 2) Efetue as divisões : a) 5 : 2/3 = (R: 15/2) b) 4 : 1/7 = (R: 28/1) ou (28) c) 8/9 : 5 = (R: 8/45) d) 3/7 : 3 = (R: 3/21) e) 7/3 : 4/7 = (R: 49/12) f) 2/3 : ½ = (R: 4/3) g) 4/5 : 2/3 = (R: 12/10) h) 2/7 : 5/3 = (R: 6/35) i) 3/7 : 2 = (R: 3/14) j) 3/2 : 5/7 = (R: 21/10) k) 3/8 : 4/7 = (R: 21/32) POTENCIAÇÃO Vamos calcular a potência (2/5)³= 2/5 x 2/5 x 2/5 = 8/125 Conclusão: para elevar uma fração a um expoente, elevam-se o numerador e o denominador da fração desse expoente. Exemplo a) (5/7)² = 5²/ 7² = 25/49 1) Toda fração de expoente 1 dá como resultado a própria fração Exemplo: (3/8)¹ = 3/8 2) Toda a fração elevada ao expoente zero dá como resultado o número 1 Exemplo : (3/4)⁰ = 1 Exercícios 1) Calcule as potências a) (2/3)² = (R: 4/9) b) (4/7)² = (R: 16/49) c) (7/5)² = (R: 49/25) d) (1/3)² = (R: 1/9) e) (5/3)² = (R: 25/9) f) (7/30)⁰ = ( R: 1) g) (9/5)¹ = (R: 9/5) h) (2/3)³ = (R: 8/27) i) (1/5)³ = (R: 1/125) j) (1/2)² = (R: 1/4) k) (2/3)⁴= (R: 16/81) l) (2/5)¹ = (R: 2/5) m) (3/11)² = (R: 9/121) n) (9/4)⁰ = (R: 1) o) (12/13)² = (R: 144/169) p) (1/2)⁵ = (R: 1/32) q) (3/7)³ = ( R: 27/343) RAIZ QUADRADA DE NÚMEROS RACIONAIS (FRAÇÃO) Sabemos que : √25 = 5 √49 = 7 √25/49 = 5/7 Conclusão: Para extrair a raiz quadrada de um número fracionário, extraem-se a raiz quadrada do numerador e a raiz quadrada do denominador. Exemplos a) √4/9 = 2/3 b) √1/36 = 1/6 Exercícios 1) Calcule a raiz quadrada a) √9/16 = (R: 3/4) b) √1/25 = (R:1/5) c) √9/25 = (R: 3/5) d) √16/49 = (R: 4/7) e) √64/25 = (R: 8/5) f) √1/9 = (R: 1/3) g) √25/81 = (R: 5/9) h) √49/36 = (R: 7/6) i) √1/100 = (R: 1/10) EXPRESSÕES COM NÚMEROS RACIONAIS As expressões com números racionais devem ser resolvidas obedecendo à seguinte ordem de operações: 1°) Potenciação e Radiciação 2°) Multiplicação e Divisão 3°) Adição e subtração Essas operações são realizadas eliminando : 1°) Parênteses 2°) Colchetes 3°) Chaves exemplos: 1) 1/5 + 4/5 x 1/3 = 1/5 + 4/15 = 3/15 + 4/15 = 7/15 2) (3/5)² + 2/5 x ½ = 9/25 + 2/10 = 18/50 + 10/50 = = 28/50 = 14/25 3) ( 4 + ½ ) – 1/5 : 2/3 = ( 8/2 + ½ ) – 1/5 : 2/3 = 9/2 – 1/5 : 2/3 = 9/2 – 1/5 x 3/2 = 9/2 – 3/10 = 45/10 – 3/10 = = 42/10 = 21/5 Exercícios 1) Calcule o valor das expressões: a) 5/8 + ½ -2/3 = (R: 11/24) b) 5 + 1/3 -1/10 = (R: 157/30) c) 7/8 – ½ – ¼ = (R: 1/8) d) 2/3 + 3 + 1/10 = (R: 113/30) . e) ½ + 1/6 x 2/3 = (R: 11/18) f) 3/10 + 4/5 : ½ = (R: 19/10) g) 2/3 x ¾ – 1/6 = (R: 4/12 ou 1/3) h) 7 – ¼ + 1/7 = (R: 193/28) i) 3 x ½ – 4/5 = (R: 7/10) j) 7/4 – ¼ x 3/2 = ( R: 11/8) k) ½ + 3/2 x ½ = ( R: 5/4) l) 1/10 + 2/3 x ½ = (R: 13/30) 2) Calcule o valor da expressão: a) 7 x ½ + (4/5)² = (R: 207/50) b) (1/3)² + 2/5 x ½ = (R: 28/90 ) ou (14/45) c) (1/2)² : ¾ + 5/3 = ( R: 24/12) ou (2) d) (1/3)² x 5/2 + ½ = ( R: 14/18) ou (7/9) e) 2/5 x ½ + ( 3/5)² = ( R: 28/50) ou (14/25) f) (2/3)²+ 4 + 1/3 -1/2 = ( R: 77/18) 3) Calcule o valor da expressão: a) 5/6 – ( 1/3 + 1/5 ) = ( R: 9/30) ou (3/10) b) 2/5 x ( ¾ + 5/8) = ( R: 22/40) ou (11/20) c) ½ : ( 2/3 + ¾ ) = ( R: 12/34) ou ( 6/17) d) ( 1/3 + ½ ) : 5/6 = (R: 30/30) ou (1) e) ½ . ( 2/3 + ¾ ) = ( R: 17/24) f) ( 5/7 x 2/3 ) : 1/6 = (R: 60/21) g) (3/2 – 2/5 ) + ( 5/4 – 2/3) = (R: 101/60) h) 1 + (1/2 – 1/5) – (7/4 – 5/4) = (R: 16/20) i) ( 7/8 – 5/6) + ( 8/9 – 7/9) = (R: 11/72) 4) Calcule o valor das expressões a) ( ¾ x ½ + 2/5 ) + ¼ = (R: 41/40) b) ( 2/3 x ¼ ) + ( 1/3 x ½ ) = (R: 4/12) c) ( 5.½ ) : ( 2 – 1/3) = ( R: 27/10) d) ( 3 x 5/2 ) : ( 1/5 + 1/3 ) = (R: 225/16) e) ( 3 x ¾ ) + ( 3 x ¼ ) = ( R: 12/4) f) ( 3 + ½ ) x 4/5 – 3/10 = (R: 25/10) 5) Calcule o valor das expressões a) ½ : 1/3 + ¾ x 5/9 = ( R: 69/36) b) 3/8 x ( ½ x 4/3 + 4/3 ) = (R: 36/48) c) ( 1/3 + ¼ ) : 5/2 + 2/3 = (R: 54/60) d) ( ¾ + ¼ – ½ ) : 3/2 = (R: 8/11) d) ( 1 + 1/3 )² x 9/4 + 6 = (R: 360/36) e) 1 + (3/2)² + ( 1 + ¼ ) = (R: 18/4) 6) calcule o valor das expressões . meu irmão tem ¾ dessa quantidade.00. Quanto possuo? (R: 1200) 9) Um time de futebol marcou 35 gols. Quantas fichas tem o meu irmão ? 60 x ¾ = 180/4 = 45 R: O meu irmão tem 45 fichas EXERCICIOS 1) Determine 2/3 de R$ 1200. Calcule 2/5 desses bombons.PROBLEMAS COM NÚMEROS RACIONAIS Os problemas com números racionais absolutos são geralmente resolvidos da seguinte forma : 1°) Encontrando o valor de uma unidade fracionária 2°) obtendo o valor correspondente da fração solicitada exemplo Eu tenho 60 fichas. Quanto é a capacidade desse reservatório? (R: 600 litros) 11) Se 2/9 de uma estrada corresponde a 60 km. quantos quilômetros tem essa estrada? (R: 270 km) .00 (R: 800) 2) Numa caixa existem 80 bombons. Quanto medem 3/7 dessa peça ? (R: 18 m) 4) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada de 600 km.. Você estudou 5/6 do livro. já foram percorridos ¾ . Qual é esse número? (R: 200) 8 ) Os ¾ do que possuo equivalem a R$ 900. correspondendo a 7/15 do total de gols do campeonato. Quantos gols foram marcados no campeonato? (R: 75) 10) Para encher 1/5 de um reservatório são necessários 120 litros de água. Quantas paginas você estudou? (R: 200) 7) Os 2/5 de um número correspondem a 80. Quantos quilômetros já foram percorridos? (R : 54 km) 6) Um livro tem 240 páginas. (R: 32) 3) O comprimento de uma peça de tecido é de 42 metros. Quantos quilômetros percorreu? (R: 360 km) 5) Numa viagem de 72 km. Quantos azulejos são necessários para revestir toda a parede? (R: 200) 13) De um total de 240 pessoas. a virgula separa a parte inteira da parte decimal LEITURA DO NÚMERO DECIMAL Para ler um. Quantas questões ele acertou? (R: 30 ) 16) Numa classe de 45 alunos. procedemos do seguinte modo: 1°) Lêem -se os inteiros 2°) Lê-se a parte decimal.03 c) 27/1000 = 0.1/8 não gosta de futebol. Que distancia eu percorri de ônibus? (R: 400 km) 15) Numa prova de 40 questões um aluno errou ¼ da prova.027 nos números decimais . Quanto estou devendo? (R: 126. Quantas pessoas gostam de futebol? (R: 210) 14) Eu fiz uma viagem de 700 km.10. Quantos meninos há nessa classe? (R: 18) 17) Um brinquedo custou R$ 152.7 b) 3/100 = 0. 3/5 são meninas. número decimal..12) Para revestir ¾ de uma parede foram empregados 150 azulejos.75) NÚMEROS DECIMAIS FRAÇÃO DECIMAL Chama-se fração decimal toda fração cujo denominador é 10 ou potência de 10 ex 10. 100. 100… como: a) 7/10 b) 3/100 c) 27/1000 NÚMEROS DECIMAIS a) 7/10 = 0. Paguei 1/6 do valor desse objeto. seguida da palavra: . Os 3/7 do percurso foram feitos de automóvel e o restante de ônibus. 007 – lê-se doze inteiros e sete milésimos quando a parte inteira for zero.114) j) 2856/1000 = (R: 2.634) h) 328/ 1000 = (R: 0.38 – lê-se trinta e oito centésimos TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO DECIMAL EM NÚMERO DECIMAL Para transformar uma fração decimal em número decimal.35 c) 135/1000 = 0.57) f) 348/100 = (R: 0. 1) transforme as frações em números decimais a) 3/10 = (R: 0.7) d) 2138/10 = (R: 213.5) c) 517/10 = (R:51.3) b) 45/10 = (R: 4.4761) m) 15238 /10000 = (R: 1. escrevemos o numerador e separamos. acrescentamos zeros à esquerda do número.348) g) 1634/100 = (R: 1.se houver três casas decimais exemplos: a) 5.34 – lê-se um inteiro e trinta e quatro centésimos c) 12.029 b) 7/1000 = 0.007 EXERCÍCIOS .2 b) 135/100 = 1.décimos . lê-se apenas a parte decimal a) 0.se houver duas casas decimais milésimos . exemplo: a) 29/1000 = 0. tantas casas quanto são os zeros do denominador exemplos: a) 42/10 = 4.135 Quando a quantidade de algarismos do numerador não for suficiente para colocar a vírgula.856) l) 4761 / 10000 = (R: 0.se houver uma casa decimal centésimos .5238) .4 – lê-se quatro décimos b) 0. à direita da virgula.8) e) 57/100 = (R: 0.328) i) 5114 / 1000 = (R: 5.3 – lê-se cinco inteiros e três décimos b) 1. 2) transforme as frações em números decimais a) 9 / 100 = (R: 0.29 = (R: 429/100) d) 0.3 = (R: 153/10) h) 0.7 = 7/10 b) 8.436 = (R: 8436/1000) f) 69.08 = (R: 8/100) i) 0.09 = (R: 3409/100) l) 7.0014) TRANSFORMAÇÃO DE NÚMERO DECIMAL EM FRAÇÃO Procedimentos: 1) O numerador é um número decimal sem a virgula 2) O denominador é o número 1 acompanhado de tantos zeros quantos forem os algarismos do número decimal depois da vírgula.003) c) 65 /1000 = (R: 0.64 + 5.34 / 834 /100 0.005 = 5/ 1000 EXERCÍCIOS 1) Transforme os números decimais em frações a) 0. exemplos: a) 0.047) e) 9 / 10000 = (R: 0.013 = (R: 13/1000) j) 34.09) b) 3 / 1000 = (R: 0.4 = (R: 4/10) b) 7.11 = (R: 13811/100) OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Colocamos vírgula debaixo de vírgula e operamos como se fossem números naturais> exemplo 1) Efetuar 2.016 = (R: 7016/1000) m) 138.674 = (R: 674/1000) e) 8.0009) f) 14 / 10000 = (R: 0.37 = (R: 6937/100) g) 15.065) d) 47 /1000 = (R: 0.19 .3 = (R: 73/10) c) 4. 53 4.81 Se o número de casas depois da virgula for diferente.013) f) 4 + 0.42 5.75) b) 0.2 + 15.67 EXERCÍCIOS 1) Calcule a) 1 + 0.1 = (R: 13.7 + 5 + 0.4 + 1..6 + 1.12 = (R: 3.746 + 0.07 + 9.42 2.17) c) 4.2 – 2.03 + 0.53 —— 1.42 —8.4 = (R:6.5) 2) Efetue as adições a) 3.5 = (R: 1.70 5.5 + 0.00 + 0.07 = (R: 9.61 8.013 = (R: 6. igualamos com zeros à direita 3) Efetuar 2.17) g) 16.2.1 + 0.9 + 3.8 + 0.01 = (R: 16.83 2) Efetuar 8.64 5.0) d) 2.3) f) 5 + 0.42 – 5.5 + 0.75 = (R: 1.7 + 12.5 + 0.3) c) 0.19 + —7.61 —2.71) d) 2.12 4) efetuar 4.7 = (R: 22.20 2.5 = (R: 1.5 + 0.62) b) 9.72 = (R: 18.5 + 0.7 = (R: 3.666) e) 6 + 0.92 = (R: 3.5 + 1.7) e) 0.15) . 5 ) – 0.8 – 1.08) d) 45 – ( 14.872 2) efetuar 0.99) h) 10.2 – 5.12 + 1.45 + 4.3 + 2.56) e) 3 – 0.111) f) 4.47 – 8 = (R: 9.81 = (R: 5.2 2.734 = (R: 7.4) b) 2.03 – 1.3 + 8.02) = (R: 1.576) 3) Efetue as subtrações a) 8.456) = (R: 16.625 = (R: 2.5 – 0.366) 4) Calcule o valor das expressões a) 5 – 1.27 x 0.2 + 0.04) e) 12.1 – 2.1) e) 12 + ( 15 – 10.04) h) ( 7 + 2.13 = (R: 0.329) g) 15.45 x 3.3 – 1.63 + 1.2 ) = (R: 1.6 = (R: 0.048 = (R: 13.59) MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS Multiplicamos os números decimais como se fossem números naturais.18 = (R: 1.48 = (R: 4.125 + 0.74 = (R: 10.003 .75 ) – ( 0.42 = (R: 1.995) 5) Calcule o valor das expressões a) (1 + 0.46 x3.05) c) ( 5 – 3.74 = (R: 4.2 —– 7.04) = (R: 1.2 – 8.5) b) 5 – 0.77) d) 3.001 = (R: 4.04) = (R: 8.3 + 6.25 – 1.44) d) 12.4) – 0. O números de casas decimais do produto é igual a soma do número de casas decimais dos fatores.44 = (R: 7.92 – 0.8 + 0.8) b) 0.193) g) ( 3.35 – 2.96) f) 7 – 5.329 – 2 = (R: 2.6) – ( 6.3 ) = (R: 39. Exemplo 1) efetuar 2.h) 5.503 – ( 2.8 – 9.3 + 0.544) f) 1.26) c) 4.1 – 10.7 = (R: 6.889 = (R: 2.43) c) 17.548) i) 0.75 + ( 0.1 – 1.2 – 1.7 = (R: 6. etc casas decimais.5 = (R: 0.000008) e) 0.7 = (R: 0.25 x 3 = (R: 0.1 = (R: 0.008 = (R: 0.5 x 4 = (R: 2) c) 0.25) e) 13.12 x 2.24 x 0.5 x 0.3 = (R: 0.8 = (R: 13.8 x 4 + 1.5 + 6 = (R: 9) c) 3.112) f) 7.1 x 1.00081 EXERCÍCIOS 1) Efetue as multiplicações a) 2 x 1.7= (R: 3.8 x 2.5 x 0.422) d) 14.5 = (R: 7.5 x 4 – 0.2 x 0.288) d) 0.7) e) 2. basta deslocar a vírgula para a direita.01 = (R: 6.5) d) 0.2 x 0.7 x 1.2) g) 21.976) h) 3.1 = (R: 1. três.8 x 0.14 x 0.4 = (R: 7.3 = (R: 16.x0.5 = (R: 4.49) f) 1.092 x 0.75) f) 6 x 3. .5 = (R: 6) b) 2 x 1.42 x 0. 1000. uma.27 0.75) c) 5 x 0.3 x 1. etc.21 = (R: 19.26) 2) Efetue as multiplicações a) 5.176) f) 3. duas.12 = (R: 6.002 = (R: 0.2 x 0.3 – 1.16 = (R 2.98) b) 0.04 x 5 = (R:35.003 ——0.5 x 7 = (R: 3.7672) i) 2.5 x 0. 100.012276) 3) Determine os seguintes produtos: a) 0.32 = (R: 6.69 = (R: 0) MULTIPLICAÇÃO POR POTENCIA DE 10 Para multiplicar por 10.01712) j) 4.2) d) 0.9 x 5 – 8.032) 4) calcule o valor das expressões a) 3 x 2.126) c) 7.4) b) 0.7 x 0.81 = (R: 8.003 = (R: 0.5 – 1.5 x 0.14 x 2.02 x 0.125) b) 3 x 1. exemplos a) 3.6 : 1.92 : 5.9 = (R: 4) c) 3.785 x 100 = 378.08 x 1000 = (R: 3080) g) 0.6) c) 73.7 x 1000 = (R: 3700) j) 0.576 : 5.723 x 10 = (R: 47.7 x 1000 = (R: 700) h) 0.568 : 7.32 Igualando as casas decimais fica : 17568 : 7320 = 2.5 c) 3.05 = (R: 45.09 exercícios 1) Efetuar as divisões: a) 38.5 : 0.2) g) 9.3) b) 7.996 : 5.6 : 2 = (R: 19.4 2) Efetuar 12.83 = (R: 1.6 = (R: 3.6) .7 = (R: 5) d) 17.23) b) 8.25 = ( R: 620) f) 6.296 x 100 = (R: 829.046 x 10 = (R: 0.785 x 10 = 37.85 b) 3.32 = (R: 1.2) e) 155 : 0.49 x 1000 = (R: 6490) e) 0.478 x 100 = (R: 478) f) 3.435 x 1000 = ( R: 73435) d) 6.280 : 0.0928 x 100 = 9.27 : 3 Igualando as casas decimais fica: 1227 : 300 = 4.785 x 1000 = 3785 d) 0. exemplos 1) efetuar 17.46) DIVISÃO Igualamos as casas decimais do dividendo e do divisor e dividimos como se fossem números naturais.8) h) 2.28 EXERCÍCIOS 1) Efetue as multiplicações: a) 4.5 x 10 = (R: 5) i) 3. 3 = (R: 3.i) 1.4 : 100 = 3.5 ) c) 6.012 : 100 =(R: 0.2624 : 2.4 : 10 = 37.5 .8434) f) 1634. exemplos a) 379.07 : 10 = (R: 0.198 : 10² d) 123.9 : 10 = ( R: 18.7 – 1.004 = (R: 310) j) 7.7) DIVISÃO POR POTÊNCIA DE 10 Para dividir por 10.6 : 4 – 0.7 = (R: 4. 1000 = 0.03 = (R: 3.0425 exercícios 1) Efetuar as divisões a) 3.794 c) 379.5 : 100 = (R: 2.28) f) 8. etc.5 : 0.4 : 1000 = 0.36 : 2 – 1.9 : 3 – 0.2 : 100 =(R: 16.94 b) 379. etc casas decimais.1 + 6.7) b) 2.71 = (R: 1.2 : 2.9 : 1000 =( R: 4.59) d) 8.342) g) 4781.0012) i) 0.561) c) 182.58436) 2) efetue as divisões a) 72 : 10² b) 65 : 10³ c) 7.8 : 2 = (R: 5. duas três .3794 d) 42. 1000.12 = (R: 0.4) 2) Calcular o valor das expressões a) 7.15) e) 1.745) e) 84.34 : 100 = (R: 0. basta deslocar a vírgula para a esquerda.24 : 0.4 + 1.007) j) 584.36 : 1000 = (R: 0.7819) h) 0. 100.136 = (R: 3.84 : 10 = (R: 0. uma.384) b) 45.29) d) 274.61 : 10 = (R: 4.45 : 10⁴ POTENCIAÇÃO A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais . 2) ² d) (2.3) ² c) (1.4) ² g) (1.2) ² + (0.064 vamos lembrar que: são válidas as convenções para os expoentes um e zero.53)¹ = 7.6) ² = c) (0. Exemplos 1) (7.4 x 0.5)² = 1.7) ² + ( 7 – 6)⁵ TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÕES EM NÚMEROS DECIMAIS Para transformar uma fração em números decimais.7)² b) (0.7) ² f) (8.3 = b) 20 – (3.2)⁴ 2) Calcule o valor das expressões a) (1.5) ² – (0.1)³ h) (0.5 x 1.5) ² e) (1.1)⁴ = g) 4² : 0.8333…… é uma dizima periódica composta outros exemplos .2)³ + 1.5) ² = h) ( 1 – 0.3) ² = e) 1 – (0.Exemplos: 1) (1.25 2) (0.9) ² = f) 100 x (0.5 – (1.4 = 0. basta dividir o numerador pelo denominador (obs o numerador é o números de cima da fração e o denominador o números debaixo) Exemplos transformar em números decimais as frações irredutíveis 1) 5/4 = 5 : 4 = 1.85)⁰ = 1 1) Calcule as potências a) ( 0.8) ² = d) (1.4 x 0.1)³ i) (0.4)³ = 0.777… é uma dizima periódica simples 3) 5/6 = 5: 6 = 0. número decimal exato 2) 7/9 = 7 : 9 = 0.5 = 2.53 2) ( 2.15) ² j) (0.25 que será um. 8777….413333…. A palavra equação tem o prefixo equa.a) 4.03) e) 74/100 = (R: 0. que em latim quer dizer "igual".357) g) 7/1000 = (R: 0.9) b) 57/10 = (R: 5.0015) i) 4782/10000 = (R: 0. Exemplos: 2x + 8 = 0 .007) h) 15/10000 = (R: 0. dízima periódica simples (período 35) d) 0.74) f) 2357/1000 = (R: 2.1818….7) c) 815/10 = (R: 8. dízima periódica composta (período 3 e parte não periódica 41) EXERCÍCIOS 1) Transforme em números decimais as frações: a) 10/4 = b) 4/5 = c) 1/3 = d) 5/3 = e) 14/5 = f) 1/6 = g) 2/11 = h) 43/99 = i) 8/3 = 2) Transforme as frações decimais em números decimais : a) 9/10 = (R: 0. dízima periódica composta (período 7 e parte não periódica 8 ) e) 5.dízima periódica simples ( período 18) c) 0.3535….15) d) 3/100 = (R: 0.4782) Equações de primeiro grau (com uma variável) Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade.666… dízima periódica simples (período 6) b) 2. Na equação acima a incógnita é x. nem igualdade) A equação geral do primeiro grau: ax+b = 0 onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0. A palavra incógnita significa " desconhecida". 2º membro. temos: Considera a equação 2x . tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro. obtemos: ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados).5x . e o que sucede.c = 0 Não são equações: 4+8=7+5 x-5<3 (Não é uma sentença aberta) (Não é igualdade) (não é sentença aberta.4 = 6x + 8 3a . . se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados.b .8 = 3x -10 A letra é a incógnita da equação. 5}. Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma equação. Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação Considere o conjunto A = {0. 1. 5} e a equação x + 2 = 5. que satisfazem a equação. do 1º ou do 2º membro. podendo ser indicado por: V = {-5.Qualquer parcela. é um termo da equação. Observe este outro exemplo: • Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25 O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação. sendo a e b números racionais. 4. 3. formam o conjunto verdade. 2. Os números -5 e 5. Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b. com a diferente de zero. Daí concluímos que: Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que . Indica-se por V. Observações: • O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo. • Não sendo citado o conjunto universo. que tornam verdadeira a equação . Para verificar se um número é raiz de uma equação. . devemos obedecer à seguinte seqüência: • • • Substituir a incógnita por esse número. 2. Exemplos: Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo. sendo U = {0. devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números racionais. 3}. Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U. determinando em cada caso o conjunto verdade. Determinar o valor de cada membro da equação.2 = 0. 1. o número considerado é raiz da equação. • O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S. Raízes de uma equação Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação.variável pode assumir. Indica-se por U. Verificar a igualdade. • Resolva a equação x . sendo uma sentença verdadeira. (V) Para x = 3 na equação x .5 = 1 temos: 2 . finalmente.2 = 0 temos: 0 .5 = 1. (-1) . 1 .2 = 0 => 2 = 0.2 = 0. 0 . 2 . .2 = 0 => 1 = 0. Resolução de uma equação Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem. determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação.5 = 1 temos: 2 . • Resolva a equação 2x . Resumindo: Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.Para x = 0 na equação x . 0.2 = 0 => 1 = 0.5 = 1 não possui raiz em U.2 = 0 temos: 3 .5 = 1 temos: 2 . (F) A equação 2x . (F) Verificamos que 2 é raiz da equação x .5 = 1 => -1 = 1. 1. 2}. (F) Para x = 1 na equação x .2 = 0 => 0 = 0. sendo U = {-1. logo V = {2}. Para x = -1 na equação 2x . dentro do conjunto universo considerado. (F) Para x = 1 na equação 2x . (F) Para x = 2 na equação 2x . (F) Para x = 2 na equação x .5 = 1 temos: 2 .5 = 1 => -7 = 1. (F) Para x = 0 na equação 2x .2 = 0 temos: 2 .2 = 0 temos: 1 .5 = 1 => -5 = 1.5 = 1 => -3 = 1. logo V = Ø. Exemplos: • Sendo . então .4 . (x . devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação: 2 x . resolva a equação 2 . então .8 2x + 3x -2 x=-8+4+3 3x = -1 Como . resolva a equação .4). 6) = 12 -9x = 10 9x = -10 => Multiplicador por (-1) Como .x) = 2 . MMC (4. (1 . • Sendo .2) .Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita.3 + 3x = 2x . (x .3 . portanto. a sua resolução: 2 .x=5 Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5. Equações desse tipo. Denominamos esses números de par ordenado. são denominadas identidades. Exemplos: . (6x .Equações impossíveis e identidades • Sendo . 4 = 3 . 6x . em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira.8 = 12x .3 .10 + 8 0. V = Ø. (4x .2 .12x = .3x . não tem solução.4) = 3 . Pares ordenados Muitas vezes.8 = 2 . Observe a sua resolução: -3x + 3x = 2 . 4x . para localizar um ponto num plano. uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando e • Sendo .3 12x . numa certa ordem.x=0 Como todo número multiplicado por zero é igual a zero.3 + 8 0. Assim. agora.3x. utilizamos dois números racionais. dizemos que a equação é impossível e. dizemos que a equação possui infinitas soluções. considere a seguinte equação: 2 . Observe. 1 12x . considere a seguinte equação: 10 .1). Logo. s) são iguais somente se x = r e y = s. sendo x e y dois números racionais quaisquer. onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento. Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado. Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado. Dois pares ordenados (x. y) e (r. 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A. Representação gráfica de um Par Ordenado Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano. Coordenadas Cartesianas Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. • Observações 1. De um modo geral. Exemplos 2. Exemplos: A (3. o 2º número desse par. e ordenada.Assim: Indicamos por (x. y) o par ordenado formado pelos elementos x e y. temos: . Assim: . perpendiculares entre si. No encontro das perpendiculares aos eixos x e y. O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas. Localização de um Ponto Para localizar um ponto num plano cartesiano. • . 3). que corresponde ao par ordenado (0. x e y. O ponto comum dessas duas retas é denominado origem. por esses pontos. A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y). Esse plano é formado por duas retas. Exemplo: Localize o ponto (4.Plano Cartesiano Representamos um par ordenado em um plano cartesiano. determinamos o ponto procurado. 0). utilizamos a seqüência prática: • • • O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas. A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x). 4)} Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B. e é indicado por: Logo: Dados dois conjuntos A e B. Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B. 2. (2. 3} e B = {3. denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto de todos os pares ordenados (x. Assim . obtemos o conjunto: {(1. 4). 3). (3. 4}. (2. não-vazios. (3. 4). y) onde Equações de primeiro grau (com duas variáveis) .Produto Cartesiano Sejam os conjuntos A = {1. 3). (1. 3). 3y Trata-se de uma equação com duas variáveis. x e y.termo independente Exemplos: x + y = 30 2x + 3y = 15 x .4y = 10 -3x . Assim: 2x + 3y = 5 + 6 2x + 3y = 11 ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c . Denominando equação de 1º grau com duas variáveis. a toda equação que pode ser reproduzida à forma ax + by = c.6 = 5 . Na equação ax + by = c.7y = -48 2x. sendo a e b números diferentes de zero.3y = 0 x-y=8 Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis Quais o valores de x e y que tornam a sentença x .2y = 4 verdadeira? . simultaneamente.variáveis ou incógnita a .coeficiente de x b .Considere a equação: 2x . x e y.coeficiente de y c . pode ser transformada numa equação equivalente mais simples. denominamos: x + y . (8. Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções .infinitos (x. (-2. -3) são algumas das soluções dessa equação. atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis. seu conjunto universo .2y = 4 8-2. Assim. os pares (6. sendo.2y = 4 6-2. y) .2=4 8-4=4 4 = 4 (V) x = -2. Exemplo: .1=4 6-2=4 4 = 4 (V) x = 8. 1). y = 1 x . Podemos determinar essas soluções. y = -3 x .Observe os pares abaixo: x = 6.2y = 4 -2 . y = 2 x .. (-3) = 4 -2 + 6 = 4 4 = 4 (V) Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x . 2).2 . calculando a seguir o valor da outra. portanto.2y = 4. Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x. se para x = r e y = s a sentença é verdadeira.y = 8 3-y=8 -y = 5 y = -5 ==> Multiplicamos por -1 O par (1. 4) . Dispondo de dois pares ordenados de um equação. escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação. o conjunto das solução dessa equação. Atribuímos para o x o valor 1.y = 8. 1º par: A (4. Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções. (1) . V = {(1. -5)} Resumindo: Um par ordenado (r.y = 8 3 . e calculamos o valor de y. determinando. Assim: 3x . podemos representá-los graficamente num plano cartesiano. Inicialmente. 0) 2º par: B (0. através da reta que os une.• Determine uma solução para a equação 3x . -5) é uma das soluções dessa equação. s) é solução de uma equação ax + by = c (a e b não-nulos simultaneamente). Exemplo: • Construir um gráfico da equação x + y = 4. y). representamos esses pontos num plano cartesiano. determinando a reta r. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou? . x y 4 0 0 4 Finalmente. Sistemas de Equações Considere o seguinte problema: Pipoca. em sua última partida.A seguir. unimos os pontos A e B. acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. que contém todos os pontos soluções da equação. A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. 5). . essas equações. que torna ambas as sentenças verdadeiras. (4 . x =4-y • Substituímos esse valor na 2ª equação. Resolução de Sistemas A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras.y) -3y = 3 • Resolvemos a equação formada.Podemos traduzir essa situação através de duas equações. O par ordenado (20. ao mesmo tempo. é chamado solução do sistema. Estudaremos a seguir alguns métodos: Método de substituição Solução • determinamos o valor de x na 1ª equação. Costuma-se indicar o sistema usando chave. 2 . a saber: x + y = 25 2x + 3y = 55 (total de arremessos certo) (total de pontos obtidos) Essas equações contém um sistema de equações. Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução. em qualquer das equações.8 . x +1= 4 x= 4-1 x=3 • A solução do sistema é o par ordenado (3. 1)} Método da adição Sendo U = . pelo método da adição. Resolva o sistema abaixo: Solução • Adicionamos membros a membros as equações: 2x = 16 . 1).2y -3y = 3 -5y = -5 => Multiplicamos por -1 5y =5 y • =1 Substituímos o valor encontrado de y. determinando x. observe a solução de cada um dos sistemas a seguir. V = {(3.2y -3y = 3 8 . é qualquer equação que possa ser reduzida à forma ax + by = c. equação do 1° grau com duas incógnitas. resume-se a isolarmos a incógnita no primeiro membro. com a ≠ 0 e b ≠ 0. Como também já explicamos no referido tópico. determinado y: 8 + y = 10 y = 10 .8 y=2 A solução do sistema é o par ordenado (8. em qualquer das equações. onde x e y são incógnitas e a. 2) V = {(8. podemos montar a seguinte equação: x + y = 20 . a. Abaixo temos um exemplo de um problema envolvendo uma equação do 1° grau com duas incógnitas: "Em minha sapateira tenho sapatos meus e de minha esposa. b e c são números racionais. Quantos pares são meus e quantos são de minha esposa?" Assumindo que a incógnita x represente os meus pares de sapato e que y represente os pares dela. A sapateira tem capacidade para o armazenamento de 20 pares de sapatos e no momento está lotada. a resolução de problemas de equação do 1° grau com uma incógnita. 2)} Equação do Primeiro Grau com Duas Variáveis Como já explicado no tópico Equação. obtendo assim a raiz da equação no segundo membro. b e c são coeficientes da equação.x=8 • Substituímos o valor encontrado de x. y ∈ N | x ≤ 20. temos uma solução para qualquer valor de x entre 0 e 20 inclusive. Como a representação de sapatos é realizada pelo conjunto dos números naturais. cuja solução irá compor a solução da equação original. Vejamos: Como 40 ∈ N. então uma dentre as infinitas soluções seria: S = {10. para encontrarmos o correspondente valor de y que tornasse a equação verdadeira. já que a soma de 5 com 15 totaliza 20. y. teríamos infinitas soluções. então y = 12. se arbitrarmos -30 a x. por exemplo. Podemos então arbitrar 10 a x e 20 a y. Veja este exemplo: 2x + 3y . para então encontrarmos o valor de z. o que torna a equação verdadeira. por exemplo.Resolução de equações do 1° grau com duas incógnitas Antes mesmo de qualquer explicação você pode intuir que a equação x + y = 20 admite várias soluções.z = 40 . temos que y = 50.x} Com x e y sendo números naturais. sendo que o conjunto universo é: U = {x. x = 5 e y = 15 é uma das possíveis soluções. segundo o seu conjunto universo. y = 20 . bastaríamos subtrair tal valor de 20.x. 20. z ∈ N} Como as incógnitas são números naturais. temos 21 soluções possíveis para este problema. por exemplo. no entanto se não houvesse a restrição para números fracionários ou negativos. Matematicamente podemos fazer a seguinte representação: S = {x.(-30) = 50. se x = 8. Os valores atribuídos devem estar contidos no conjunto universo da equação. desde que y seja igual a 20 . só podemos atribuir valores inteiros e positivos às variáveis. A partir daí você terá uma equação do primeiro grau com uma incógnita. Regra geral para a resolução de equações do primeiro grau com mais de uma variável Para que você possa obter uma solução para uma equação do primeiro com duas ou mais incógnitas. pois 20 . se o valor encontrado estiver contido no conjunto universo da equação. pois qualquer que fosse o valor arbitrado a x. exceto a uma. já que não faria sentido termos sapatos fracionários ou negativos. você deve atribuir um valor aleatório a todas as incógnitas. 40} Agora observe o que aconteceria se tivéssemos arbitrado 3 a x e 5 a y: . ou então o número 0. Resolução de equações do 1° grau com uma incógnita Para solucionarmos a equação 2x + 10 = 100 iremos recorrer aos conceitos de equações equivalentes. Quantos reais eu possuo?" Inicialmente iremos expressar este mesmo problema em linguagem matemática. O dobro da quantia mais dez reais será expresso matematicamente como 2x + 10. que são quaisquer equações que podem ser reduzidas a uma equação equivalente da forma ax + by = c. Ao referir-me ao dobro da quantia. ao dobro de x. Finalmente devemos expressar que o dobro da quantia mais dez é igual a cem. Este é valor procurado. iremos obter equações equivalentes sucessivamente através da aplicação destes princípios. portanto {3. Utilizamos equações do 1° grau com uma incógnita na resolução de problemas tal qual o seguinte: "Se eu tivesse o dobro da quantia que eu possuo. ou seja. temos as equações do 1° grau com duas incógnitas. matematicamente estou me referindo a 2x. até que a raiz da equação seja encontrada. a e b são coeficientes da equação. Equação do Primeiro Grau Denomina-se equação do 1° grau com uma incógnita. Resumindo. onde x é a incógnita e a e b são números reais. além de a e b. Basicamente substituímos o texto em português pelos seus respectivos operadores matemáticos. temos também c como coeficientes da equação. Neste caso. . princípio aditivo da igualdade e princípio multiplicativo da igualdade. vistos no tópico Equação. Para isto vamos chamar a quantia que eu possuo atualmente de x. com mais dez reais eu poderia comprar um certo livro que custa cem reais. Como exemplo.Note que -19 não é um número natural. com a ≠ 0. Equações do 1° grau podem possuir mais de uma incógnita. com a ≠ 0 e b ≠ 0. -19} não está contido no conjunto universo desta equação e por isto não pode ser sua solução. qualquer equação que possa ser reduzida à forma ax = b. logo a expressão inteira será: 2x + 10 = 100. 5. o inverso de 2 é 1/2. O oposto de 2 é igual a -2. à esquerda. Segundo este conceito. Gradualmente iremos passando os números do primeiro membro para o segundo membro. se a for um número real inteiro e diferente zero. o inverso multiplicativo da fração a/b será b/a. para o segundo membro. o seu inverso será 1/a. Obviamente o oposto de -2 voltará ao número 2 inicial. Para passarmos o número 10 no primeiro membro. Obviamente o inverso de 1 /2 é 2 pelo mesmo motivo. De antemão sabemos que um número real diferente de zero multiplicado pelo seu inverso resultará sempre em 1. No caso de frações. pois como já vimos. 1/2 = 1. que é -10 em ambos os membros como vemos abaixo. Precisamos também lembrar o que vem a ser o inverso de um número real diferente de zero. O inverso de 3/5 é 5/3. já que 2 . 5/3 = 1. ao somarmos um número real ao seu oposto o resultado sempre será igual a zero: Ao realizarmos as operações chegaremos à equação: Que é equivalente a: . A partir deste conceito podemos começar a solucionar a equação. Simplificando. iremos recorrer ao princípio aditivo da igualdade. Vamos subtrair 10 dos dois membros da equação: Ao subtrairmos 10 nos dois membros da equação.Primeiramente vamos lembrar que o oposto de um número real é igual a este mesmo número com o sinal trocado. de sorte que o 10 saia do primeiro membro. com a e b diferentes de zero. na verdade estamos somando o oposto de 10. pois 3/5 . Note ainda que a soma de um número pelo seu oposto sempre resultará em 0. Vejamos: A ideia é deixarmos a incógnita x isolada no primeiro membro à direita do sinal de igualdade e a raiz no segundo membro. podemos ver uma forma mais simples de solucionarmos este tipo de equação. Como ele está multiplicando. já que será reduzido ao número 1. vamos substituir a incógnita x por 45 para confirmarmos que este valor torna a equação verdadeira: . dividindo ambos os membros por 2: Na verdade o que estamos fazendo é multiplicando ambos os membros pelo inverso multiplicativo do coeficiente 2 que é 1/2. Vejamos: A ideia agora é passar o termo 10 do primeiro para o segundo membro. Como ele está sendo somado. já que a subtração é a operação inversa da adição: Que se resume a: Passamos agora o coeficiente 2 para o segundo membro. passará para o outro lado sendo subtraído. Isto porque a divisão é a operação inversa da multiplicação: Realizando a divisão encontramos a raiz 45 encontrada anteriormente: Apenas a título de verificação.Para tirarmos o coeficiente 2 do primeiro membro. iremos recorrer ao princípio multiplicativo da igualdade. do outro lado ele estará dividindo. Na realidade o cálculo seria este: Realizando os cálculos em qualquer um dos dois casos encontramos a raiz procurada: Passando para o outro lado Depois de adquirido tais conhecimentos. para que ele saia do primeiro membro. Matematicamente temos: 2 . Sabemos que o perímetro de uma figura retangular é igual ao dobro da soma do seu comprimento com a sua largura. pela medida da sua largura.Resumo Este método que acabamos de estudar resume-se em isolar a incógnita no primeiro membro. portanto: A área deste terreno é de 2304m2. O terreno tem de largura 28m a menos que o seu comprimento. A passagem é feita passando o termo para o outro lado. passa a subtração. Qual é a área deste terreno? Chamemos de x o comprimento do terreno. Se for multiplicação. então ele tem 36m de largura. então x . Se for divisão. Se for subtração. Como de largura ele tem 28 metros a menos que isto.28 será a medida da sua largura. invertendo-se a operação que é realizada sobre o mesmo: • • • • Se for adição. (x + x . Na verdade tais inversões nada mais são que uma forma simplificada de utilização dos princípios aditivo e multiplicativo da igualdade. Como sabemos.28) = 200 Resolvendo a equação temos: Então já temos que o comprimento do terreno é de 64m. passando progressivamente cada um dos coeficientes para o segundo membro. passa a adição. passa a multiplicação. passa a divisão. como visto inicialmente. a área do terreno será obtida multiplicando-se a medida do seu comprimento. Sistemas de Equações do Primeiro Grau com Duas Incógnitas . Exemplo de problema envolvendo a utilização de equação do primeiro grau O perímetro de um terreno retangular é de 200m. y = 6 pelos mesmos motivos. basta que calculemos y como sendo 20 . que resolva ao mesmo tempo tanto a primeira. quanto à segunda equação? Este é justamente o tema deste tópico que vamos tratar agora. e para tornar a equação verdadeira. Como as equações x + y = 20 e x . Agora veremos os dois mais utilizados. a fim de obtermos uma equação com apenas uma incógnita. Métodos de Resolução Há vários métodos para calcularmos a solução deste tipo de sistema. em não havendo restrições. isto é. A equação x . Quando a simples soma não nos permite alcançar este objetivo. Método da Adição Este método consiste em realizarmos a soma dos respectivos termos de cada uma das equações. nos permita obter uma equação com uma única incógnita.Quando tratamos as equações do 1° grau com duas variáveis vimos que a equação x + y = 20 admite infinitas soluções. Quando o sistema admite uma única solução? Tomemos como ponto de partida o sistema composto pelas duas equações abaixo: .x. também admite infinitas soluções. podemos atribuir qualquer valor a x. primeiro o método da adição e em seguida o método da substituição. de sorte que a equação equivalente resultante. A seguir temos outras explicações que retratam estas situações.y = 6 admitem infinitas soluções podemos nos perguntar: Será que dentre estas soluções existem aquelas que são comuns às duas equações. pois se não houver restrições como as do exemplo na página em questão. recorremos ao princípio multiplicativo da igualdade para multiplicarmos todos os termos de uma das equações por um determinado valor. se somarmos cada um dos termos da primeira equação com o respectivo termo da segunda equação: Agora de forma simplificada podemos obter o valor da incógnita x simplesmente passando o coeficiente 2 que multiplica esta variável. Observe também que neste caso primeiro obtivemos o valor da variável x e em função dele conseguimos obter o valor de y. não conseguiremos eliminar quaisquer variáveis. . já que teríamos -y no primeiro membro e não y como é preciso. pois se escolhêssemos a segunda. mas as duas. no entanto podemos escolher a equação que quisermos. Quando um sistema admite uma única solução dizemos que ele é um sistema possível e determinado. basta que troquemos x por 13 na primeira equação e depois isolemos y no primeiro membro: Escolhemos a primeira e não a segunda equação. para encontrarmos o valor de y. Se for mais fácil primeiro encontrarmos o valor da segunda incógnita. teríamos que realizar um passo a mais que seria multiplicar ambos os membros por -1.Perceba que iremos eliminar o termo com a variável y. porque isto nos era conveniente. O fato de termos obtido 0 = 0 indica que o sistema admite uma infinidade de soluções. dividindo assim todo o segundo membro por 2: Agora que sabemos que x = 13. Quando o sistema admite uma infinidade de soluções? Vejamos o sistema abaixo: Note que somando todos os termos da primeira equação ao da segunda. então vamos multiplicar os termos da primeira por -2 e então realizarmos a soma: Veja que eliminamos não uma das variáveis. Normalmente iremos escolher a equação que nos facilite a realização dos cálculos. para o outro lado com a operação inversa. é assim que devemos proceder. mas agora veja o que acontece se multiplicarmos por 2 todos os termos da primeira equação e realizarmos a soma das equações: Obtivemos 0 = -3 que é inválido. também não conseguiremos eliminar nenhuma das variáveis. Este procedimento também resultará em uma equação com uma única variável. assim como fizemos no caso do método da adição. Quando um sistema não admite soluções dizemos que ele é um sistema impossível. A seguir veremos em detalhes algumas situações que exemplificam tais conceitos. Quando o sistema admite uma única solução? Para nos permitir a comparação entre os dois métodos. a variável isolada pela expressão obtida no segundo membro da equação obtida quando isolamos a variável. este é o indicativo de que o sistema não admite soluções. vamos utilizar o mesmo sistema utilizado no método anterior: Vamos escolher a primeira equação e isolar a variável x: . Método da Substituição Este método consiste em elegermos uma das equações e desta isolarmos uma das variáveis. Feito isto substituímos na outra equação. O procedimento é menos confuso do que parece.Quando um sistema admite uma infinidade de soluções dizemos que ele é um sistema possível e indeterminado. Quando o sistema não admite solução? Vejamos este outro sistema: Note que se somarmos os termos da primeira equação com os da segunda. Agora na segunda equação vamos substituir x por 20 .2x: Como obtivemos 0 = 0.y: Agora que sabemos que y = 7. o sistema admite uma infinidade de soluções. Por ser mais fácil e gerar em um resultado mais simples. Quando o sistema não admite solução? Novamente vamos solucionar o mesmo sistema utilizado no método anterior: Observe que é mais viável isolarmos a variável x da primeira equação. pois o seu coeficiente 2 é divisor de ambos coeficientes do primeiro membro da segunda equação. vamos isolar a incógnita y da primeira equação: Agora na outra equação vamos substituir y por 10 . o que irá ajudar nos cálculos: Agora substituímos x na segunda equação pelo valor encontrado: . agora vamos resolvê-lo pelo método da substituição. podemos calcular o valor de x: Quando o sistema admite uma infinidade de soluções? Solucionemos o sistema abaixo: Este sistema já foi resolvido pelo método da adição. João resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros e pagou por eles R$ 15. José gastou R$ 9. Bom. como todos os cadernos. tinham o mesmo preço. Ao passarem por uma livraria. será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou caderno com as informações que temos ? Será visto mais à frente. No dia seguinte. diante deste problema. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Sabiam. Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y.20 na compra de 2 livros e 1 caderno. já estudamos sobre equações do primeiro grau com duas incógnitas.Conforme explicado anteriormente. porém não se lembrava do preço unitário de dos livros. no total dos produtos. como exemplo: . * Observações gerais Em tutoriais anteriores.40. o resultado 0 = -3 indica que este sistema não admite soluções. encontram um outro colega e falaram sobre suas compras. Sistemas do 1º grau * Definição Observe o raciocínio: João e José são colegas. pode ser definido como um conjunto formado por duas equações do primeiro grau. apenas que todos os livros. Assim.X+y=7 x – y = 30 x + 2y = 9 x – 3y = 15 Foi visto também que as equações do 1º grau com duas variáveis admitem infinitas soluções: X+y=6 x–y=7 Vendo a tabela acima de soluções das duas equações. é possível dizer que as equações X+y=6 X–y=7 Formam um sistema de equações do 1º grau. é possível checar que o par (4. é a solução para as duas equações. x = 4 e y = 2. Exemplos de sistemas: . isto é.2). Exemplos: a) O par (4. basta substituir os valores em ambas as equações: x-y=2 x+y=6 .* Resolução de sistemas Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das incógnitas X e Y que faça verdadeira as equações que fazem parte do sistema.3 ) pode ser a solução do sistema x–y=2 x+y=6 Para saber se estes valores satisfazem ao sistema. 4–3=1 4+3=7 1 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso) A resposta então é falsa. O par (4. O par (5. b) O par (5.3 ) pode ser a solução do sistema x–y=2 x+y=8 Para saber se estes valores satisfazem ao sistema. * Métodos para solução de sistemas do 1º grau.3) não é a solução do sistema de equações acima.3) é a solução do sistema de equações acima. basta substituir os valores em ambas as equações: x-y=2 x+y=8 5–3=2 5+3=8 2 = 2 (verdadeiro 8 = 8 (verdadeiro) A resposta então é verdadeira. . então .Método de substituição Esse método de resolução de um sistema de 1º grau estabelece que “extrair” o valor de uma incógnita é substituir esse valor na outra equação. ou seja. estabelecer o valor de acordo com a outra incógnita. Observe: x–y=2 x+y=4 Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de uma das incógnitas. desta forma: x–y=2 ---> x = 2 + y Agora iremos substituir o “X” encontrado acima.. na “X” da segunda equação do sistema: x+y=4 (2 + y ) + y = 4 2 + 2y = 4 ----> 2y = 4 -2 -----> 2y = 2 ----> y = 1 Temos que: x = 2 + y. Método da adição Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste apenas em somas os termos das equações fornecidas. somam-se as equações dadas: x – y = -2 3x + y = 5 + 4x = 3 x = 3/4 .x=2+1 x=3 Assim. o par (3. Observe: x – y = -2 3x + y = 5 Neste caso de resolução.1) torna-se a solução verdadeira do sistema. . Agora. temos: 5x + 5y = 5. fazemos o seguinte: » multiplica-se a 1ª equação por +2 » multiplica-se a 2ª equação por – 3 Vamos calcular então: . é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor excludente negativo. Isto tem que ocorrer para que possamos achar o valor de “X”.: 3x + 2y = 4 2x + 3y = 1 Ao somarmos os termos acima. então para anularmos o “x” e encontramos o valor de “y”.Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o termo “Y” se anula. e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de “x” ou “y” não se anularem para ficar somente uma incógnita ? Neste caso. Ex. (-1) = 1 2x = 1 + 3 x=2 Verificando: 3x + 2y = 4 ---> 3.9y = -3 + -5y = 5 y = -1 Substituindo: 2x + 3y = 1 2x + 3.3x + 2y = 4 ( x +2) 2x + 3y = 1 ( x -3) 6x +4y = 8 -6x .(2) + 2(-1) = 4 -----> 6 – 2 = 4 . cada uma destas frações de tempo corresponderá a exatamente uma hora. Se dividirmos em 24 partes iguais o intervalo de tempo relativo a um dia. se divertir e muitas outras coisas. cada uma destas partes terá a duração exata de um segundo. Uma ou duas horas é um bom tempo para se assistir um filme. porém se os filmes tivessem a duração de um dia. com isto concluímos que um minuto equivale a 60 segundos e que 1/60 do minuto equivale a um segundo. minutos e segundos Um dia é um intervalo de tempo relativamente longo. Dia. cada uma destas 60 partes terá a duração exata de um minuto. Se dividirmos em 60 partes iguais o intervalo de tempo relativo a um minuto. Se dividirmos em 60 partes iguais o intervalo de tempo correspondente a uma hora. assim como 1/60 da hora equivale a um minuto. portanto concluímos que um dia equivale a 24 horas e que 1/24 do dia equivale a uma hora. mas para se tomar um banho é um tempo demasiadamente grande. agora neste tópico o tema em questão são as unidades de medidas de tempo. mas sim uma tortura. eles não seriam uma diversão. o que nos leva a concluir que uma hora equivale a 60 minutos. tratamos sobre o Sistema Métrico Decimal.(2) + 3(-1) = 1 ------> 4 – 3 = 1 Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos. Das explicações acima podemos chegar ao seguinte resumo: . mas para atravessarmos a rua este tempo é um verdadeiro convite a um atropelamento. neste período você pode dormir.2x + 3y = 1 ---> 2. Dez ou quinze minutos é um tempo mais do que suficiente para tomarmos um bom banho. Muitas pessoas se divertem assistindo um bom filme. Unidades de Medidas de Tempo Em outro tópico relacionado às unidades de medidas. hora. se alimentar. estudar. Vamos raciocinar um pouco em cima disto. que é maior que um minuto.Conversões entre Unidades de Medidas de Tempo O texto acima foi escrito por pura formalidade. Obviamente para transformarmos de uma unidade menor para uma unidade maior. ou seja. pois todo mundo está cansado de saber que um dia possui 24 horas e que um minuto possui 60 segundos. não sabem se dividem ou se multiplicam. também pode seguir as instruções da tabela abaixo: Tabela para Conversão entre Unidades de Medidas de Tempo Exemplos de Conversão entre Unidades de Medidas de Tempo . Como nós sabemos um dia é maior que uma hora. Se você preferir apenas multiplicar. Para realizarmos a conversão de uma unidade de tempo maior para uma unidade de tempo menor. que é maior que um segundo. mas muitos se confundem quando querem passar de uma unidade para outra. devemos realizar uma multiplicação. devemos realizar a operação inversa. devemos realizar uma divisão. devemos multiplicar por 60. devemos realizar uma multiplicação. de acordo com o explicado acima. iremos solucionar o problema recorrendo a uma série de multiplicações. pois cada segundo equivale a 1/60 do minuto: Note que alternativamente. A unidade de tempo segundo é menor que a unidade minuto já que: Logo devemos dividir por 60. portanto. . já que 1 minuto contém 60 segundos. poderíamos ter multiplicado 1/60 ao invés de termos dividido por 60. que não são unidades vizinhas. mas devemos multiplicar por quanto? Ora. Como a unidade de tempo dia é maior que a unidade segundo. conforme a tabela de conversão acima. convertemos de minutos para segundos e vice-versa. Neste exemplo precisamos converter de dias para segundos.Converta 25 minutos em segundos A unidade de tempo minuto é maior que a unidade segundo. já que são operações equivalentes: 2220 s é igual a 37 min Quantos segundos há em um dia? Nos exemplos anteriores nos referimos a unidades vizinhas. pois cada minuto equivale a 60 segundos: Visto que: Então: 25 min é igual a 1500 s Converta 2220 segundos em minutos Este exemplo solicita um procedimento oposto ao do exemplo anterior. 01 s ou ainda 1/100 s. Um milésimo de segundo pode ser expresso por 0. Para convertermos de segundos para décimos. Como as unidades não são vizinhas. para convertermos de horas para minutos devemos multiplicar por 60 e finalmente para convertermos de minutos para segundos também devemos multiplicar por 60. Um décimo de segundo pode ser expresso por 0. É comum em alguns esportes trabalharmos com décimos. Mês. No cálculo inverso realizamos a multiplicação por estes valores. O cálculo será então: 10080 minutos são 7 dias Frações de segundo Em algumas situações mesmo o segundo é uma unidade de tempo muito grande. Semana. De minutos para horas precisamos dividir por 60 e de horas para dias temos que dividir por 24. centésimos e até mesmo milésimos de segundo. Século e Milênio . dividimos o valor por 10. 100 ou 1000 respectivamente.Pela tabela de conversão acima para convertermos de dias para horas devemos multiplicar por 24.001 s ou ainda 1/1000 s. Temos então o seguinte cálculo: Em um dia há 86400 segundos 10080 minutos são quantos dias? Semelhante ao exemplo anterior. Quinzena. Ano. vamos então precisar de uma série de divisões. centésimos ou milésimos de segundos.1 s ou ainda 1/10 s. Década. Expressamos um centésimo de segundo por 0. só que neste caso precisamos converter de uma unidade menor para uma unidade maior. podemos também relacionar algumas outras: Unidade Semana Quinzena Mês Bimestre Trimestre Quadrimestre Semestre Ano Década Século Milênio * Equivale a 7 dias 15 dias 30 dias * 2 meses 3 meses 4 meses 6 meses 12 meses 10 anos 100 anos 1000 anos . 29.Além das unidades estudas acima. Segundo o calendário um mês pode ter 28. 30 ou 31 dias dependendo do mês em si e de ser o ano bissexto ou não. A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.O mês comercial utilizado em cálculos financeiros possui por convenção 30 dias. Segundo . Medidas de tempo Introdução É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo: Qual a duração dessa partida de futebol? Qual o tempo dessa viagem? Qual a duração desse curso? Qual o melhor tempo obtido por esse corredor? Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo. O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.600 s minutos min 60 s dia d 24 h = 1.400s São submúltiplos do segundo: • décimo de segundo • centésimo de segundo • milésimo de segundo Cuidado: Nunca escreva 2.440 min = 86. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal. Múltiplos e Submúltiplos do Segundo Quadro de unidades Múltiplos hora h 60 min = 3. Observe: . As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal. O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.40h como forma de representar 2 h 40 min.