NÚMEROSNÚMEROSENTEROS ENTEROS(Z) (Z) a, b y c Z, (a + b ) c = a + (b + c) d) Propiedad del elemento neutro: a Z, se cumple que a + 0 = a e) Propiedad del inverso aditivo o elemento opuesto: a Z, se cumple que a + (-a) = 0 f) Propiedad aditiva: Si x = a x + n = a + n g) Propiedad cancelativa: Si x + c = b + c x = b El conjunto Z agrupa a los siguientes números: Z = {….; -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3;….} Enteros negativos cero Enteros positivos OJO: el número entero 0 (cero) no es ni negativo ni positivo. 1.Distancia de un punto de la recta al origen.- La distancia de un punto al origen siempre es un número positivo. Ejemplos: (+10) + (-18) = -8 (-33) + (+50) = +17 2.Valor Absoluto de un número entero.- Es la distancia de su punto correspondiente al origen. Ejemplo: 5 5 ; 15 15 6.Sustracción de números enteros: Para calcular la diferencia de dos números entre dos números enteros, se suma el minuendo el opuesto del sustraendo. Es decir, para cualquier par de enteos a y b se cumple que a – b = a + (-b). Donde (-b) es el opuesto del sustraendo b. 3.Número enteros opuestos.- Cuando tienen el mismo valor absoluto, pero diferentes signos. Ejemplo: -8 es opuesto de 8 +5 es opuesto de -5 Ejemplos: 4.Comparación de números enteros.- Dos o más números se pueden comparar cuando se establece una relación de orden, es decir, cuando se puede indicar el mayor o menor número. (+5) – (+3) = (+5) + (-3) = +2 (+12) – (-4) = (+12) + (+4) = +16 (-7) – (+2) = (-7) + (-2) = -9 7.Operaciones combinadas de adición y sustracción: Todo paréntesis precedido por un signo + puede ser eliminado, escribiendo luego los números contenidos en su anterior, cada cual con su propio signo. Todo paréntesis precedido por un signo – puede ser eliminado, escribiendo luego los números contenidos en su interior cada cual con signo cambiado. OJO: Dados dos números, es mayor aquel que está a la derecha y menor el que está a la izquierda en la recta numérica. Ejemplo: -2 < 0; +5 > 0; -9 < +3; -8 > -40; -76 < 75; 4 1 5.Adición de números enteros: Para sumar números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos de los sumandos y a dicha suma se le antepone el signo común. Para sumar dos números enteros de signos diferentes se halla la diferencia de sus valores absolutos y a esta diferencia se le antepone el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto. Ejemplos: -{13 – [-(23 – 12) + 18] - 27} -{13 – [-23 + 12 + 18] - 27} -{13 + 23 – 12 – 18 – 27} -13 – 23 + 12 + 18 + 27 = 21 Ejemplos: (+3) + (+8) + (-5) + (-7) (+11) + (-12) (-1) Propiedades de la adición de números enteros. a) Propiedad de clausura: a y b Z (a + b) Z b) Propiedad conmutativa: ayb Z a+b=b+a c) Propiedad asociativa: 8.Problemas que se resuelven mediante adición y sustracción de números enteros. Problema 1: Al realizar un trabajo de investigación con osos polares muertos, un grupo de científicos cogió uno de ellos y comprobó que tenía una temperatura de -5°C y luego de inyectarle una cierta sustancia su temperatura subió 38°C. ¿Cuál es la temperatura final del oso polar? Solución: La temperatura inicial del oso fue: -5°C 1 . Por tanto. c a . (-) = ó (-) . resbala y desciende 4 m. El producto es positivo si el número de factores negativos es par. se cumple que a . (+) . 1 = a e) Propiedad multiplicativa del cero: a Z. b + a . n h) Propiedad de cancelación: Si x . y es negativo si el número es impar. c x = b Problema 2: Danilo decide escalar el nevado de Pastoruri. b Z b) Propiedad conmutativa: Si a Zyb Z a. (-) = + Práctica Práctica dirigida dirigida N° N° 01 01 10. Operaciones combinadas de adición. (+) ÷ (+) = + Si el dividendo es positivo y el divisor es negativo o viceversa. (b + c) = a . (+) = + Si un factor es positivo y el otro negativo. Al empezar avanza 18 m. (+) = Si los dos factores son negativos. División de números enteros Si el dividendo y el divisor son positivos el cociente es positivo. (b . se cumple que a . de adentro hacia afuera. Multiplicación de tres o más números enteros: El valor absoluto del producto se obtiene multiplicando los valores absolutos de los factores. b y c Z. ¿A qué distancia se encuentra Danilo al inicio de su travesía? Solución: Tomemos en cuenta que: Cuando Danilo avance o asciende. (-) ÷ (-) = + 9. el producto es positivo. (a . 1) Completa: a)-3 es el opuesto de b)-9 es el opuesto de c)+10 es el opuesto de d)+17 es el opuesto de 2) Halla los siguientes valores absolutos: a) 5 _____ b) 36 _____ 11. < ó = a) -3 ____ 0 b) -9 ____ -1 2 . para determinar la distancia con respecto al inicio se sumarán todos los desplazamientos de Danilo. Se efectúan los productos. b – a . . c = b . c) ____ ____ ____ ____ c) 845 _____ d) 2947 _____ 3) Comparar escribiendo los símbolos >.a c) Propiedad asociativa: a. Se efectúan las adiciones y sustracciones. las cantidades se consideran con signo positivo. resbala y cae 2 m. Cuando Danilo resbale o desciende las cantidades se consideran con signo negativo. (+) ÷ (-) = ó (-) ÷ (+) = Si el dividendo y el divisor son negativos el cociente es positivo. asciende nuevamente 9 m y vuelve a descender 1 m. La temperatura después de la inyección al oso sube: +38ºC Su temperatura final será la suma de ambas temperaturas: (-5ºC) + (+38ºC) = +33º La temperatura final del oso es +33ºC (Respuesta) d) Propiedad del elemento neutro: a Z. vuelve a subir 15 m. Ejemplo: Efectuar.b=b. c = a . -5 + 3 x 8 – (4 – 1 x 5) -5 + 24 – (4 – 5) -5 + 24 – (-1) -5 + 24 + 1 20 13. (b . el cociente es negativo. sustracción y multiplicación en Z: Se efectúan las operaciones indicadas dentro de los símbolos de colección. n = a . el producto es negativo.c) = a . Luego del problema tenemos: Distancia con respecto al inicio (D): D = (+18) + (-4) + (+15) + (-2) + (+9) + (-1) = +14 + 13 + 8 = +35 La distancia en la que se encuentra Danilo con respecto al inicio de su travesía es 35 m (Respuesta) 12. b ) . (-) .Multiplicación de dos números enteros: Si los dos factores son positivos el producto es positivo. 0 = 0 f) Propiedad distributiva: a . c g) Propiedad multiplicativa: Si x = a x . Propiedades de multiplicación de enteros: a) Propiedad de clausura: Si a Z y b Z a . (+) . y qué cantidad? b) (-7) + (-8) + 0 + (-1) + (-20) c) (+6) + (-1) + (+9) + (-2) + (-3) + (+12) b) De un pozo de agua José saca 4 litros. más tarde vuelve sacar otros 5 litros más. .c) d) e) f) +10 -83 -167 -42 ____ ____ ____ ____ 0 +23 -166 │-42│ e) (7 – 3 + 5 – 1) + (-11 + 4 – 1) – (-5 – 3 +2) 4) Sumar: a) (-3) + (-2) + (-9) + (-5) + (-15) f) [14 – (12 – 5 -6)] + [-15 + (4 – 3)] 7) PROBLEMAS: a) Jorge logró ahorrar 250 dólares. Si desea adquirir una cocina por 195 dólares y un compac disk por 65 dólares. enseguida Víctor agrega 6 litros de agua al pozo. ¿Le falta o le sobra. ¿En cuántos litros ha disminuido el contenido del pozo? d) 16 + -2 + -3 e) 14 + -1 + -2 + -4 f) 19 + 1 + -16 + -14 + -1 8) Encontrar los siguientes productos: a) 2(-3)(-4)(-5) 5) Resta: a) (+9) – (+7) = b) (-9) – (+7) = c) (+9) – (-7) = d) (-9) – (-7) = e) (+55) – (+66) = f) (-34) – (-34) = b) -4(-1)(7)(-4) c) -13(-100)(-25) d) 6(-6)(-5)(-3)(-1)(-8) e) (-8)(-1)(-1)(-2)(-2)(-5) 6) Halla el resultado de: a) -4 + (-7) – (-13) + (-9) 9) Resuelve en tu cuaderno operaciones: a) -5 + 4 x 8 b) 32 – 40 x 5 + 128 b) -13 – (-14) + 27 – 18 + (-38) las siguientes c) (-13 + 6) x (-3) + 4 x (-1) c) 53 – 28 + 39 – 47 + 18 d) 15 x (-2 + 3 x 4) – 6 + 8 x 2 d) -68 – (-4) + (-73) – 52 + 106 3 . ¿A qué altura del árbol estará el día jueves? c) Si en las Guerras Médicas entre Griegos y Persas concluyeron en el año 449 AC y tuvieron una duración de 43 años.20} 22 – (-4 + 3 – 1) + {-[-6 + (5 – 1) + 8] – (-8 + 3)} e) -14 + (-7 + 3) – {. ¿A qué altura sobre el nivel del mar se encontraba el aeródromo donde aterrizó? b) Un caracol sube a un árbol de 6 m cada día. luego desciende 3940.17} 75 – {12 – [-4 – (16 – 23 + 5) . 3 .1} Tarea Tarea N° N° 01 01 1) Hallar el resultado de: a) b) c) d) -46 – {-3 – [5 – 1 + 16]} – (16 – 4 +9) 27 – (5 – 14 – 12) – {14 – [-3 – 5 + 2] . 3 . ¿En qué año ingresó al ejército esta persona? e) 7 x (-3) + (-2) x (-15) – 3 x 8 + 1 f) -3 x [-5 + 2 x (-3 + 6 x 8)] + 1 3) Encontrar los siguientes productos: a) (-6)(-2)(-1)(-3) g) 6 x (-5 – 4) – 8 x [4 – (2 x 3 – 5) + 1] b) (-8)(-4)(2)(-5) c) (3)(-11)(-21)(-2) d) (12)(-11)(-5)(2)(-8) e) -16(-14)(-6)(-2)(-1) h) [(11 – 4) : (-7) + 8] .2 metros. (+2) – 27 : (+3) i) 4) Resolver: a) 1 – {-4 x [-2 x (-8 + 5 x 2) – 3 – 4 + 2] – 5 + 6 x 3} b) –[-5 x (4 – 8 x 3 + 1 – 5) + 3 x (-2)] – 4 x3+9 c) -5 x (-14 + 2 x 7) – 15 x [4 – 8 x (5 – 4 x 4) .19] . ¿En qué año se iniciaron? d) Un hombre que falleció en el año 2001 vivió 60 años de los cuales 42 años sirvió al ejército de su país. vuelve a subir 1340 m y por último desciende 4100 m para tomar tierra. (+2) – 27 : (+3) f) {3 + [2(-4) + (8 – 6) : (-2)] . .[-9 – (6 + 5 – 1)] + (4 + 3 – 8)} f) –(7 – 4) + {-3 + [.1] d) 1 – 2 x {-4 + 4 x [3 – 8 x (1 – 6) + 4 – 3 x 2] – 5 x 3} e) [(11 – 4) : (-7) + 8] . pero su propio peso le hace descender 4 .(6 – 5 – 2) + 9] + 8} 2) Resuelve los problemas: a) Un avión Mirage se eleva 7800 m sobre el nivel del mar. Si la subida comienza el martes en la mañana.1} g) (-6) : (+2) + [18 – 9 : (+3)] . (-2 + 4) + 5(-7) {3 + [2(-4) + (8 – 6) : (-2)] . Producto de bases iguales: mn P m P n P Luego: 2 x 2 x 2 x 2 16 24 = 64 = 4 4 veces + A) 32 x 33 = + 3 6 B) 4 x 4 = 15 C) 52 x 55 x 58 = 5 = x x x = D) 2 5 x 4 veces 3 6 = x xm m n x n x = veces A) 75 73 B) 88 82 C) 1110 118 5 x = veces = x9x 22 2. Potencia de potencia: [()n]m = n x m = 5 x 5 x 5 = A) [()2]5 = veces 5 x = . .POTENCIA POTENCIAEN ENZZ Observemos el siguiente ejemplo: Exponente N Base = 82 Potencia PROPIEDADES 1. Cociente de bases iguales: x = 2x2x2x 6 x 2 = x = D) 615 - - = = - = - = 3 = veces 3. Coloca (V) ó (F) según convenga: Multiplicar exponentes A) B) C) Sumar exponentes Potencia de Potencias ) ) ) A) 610 6 8 = B) 7 . Potencia de un producto: n n (x . . 12 8 = 2401 = 7 5 B) ( ( ( 11.4. Une con flechas A) Producto de bases Iguales B) 9. Resuelve: A) 3 2 = B) 50 = 5 = 36 C) D) 512 3 = 13. 2 = 3 3 . Completa: A) 350 x 36 = 344 (2 x 5)4 = 104 (7 x 8)0 = 56 243 = 12. 5 = 5. Une con flechas: A) Se resta exponentes a0 = 1 A) B) C) = 1 B) 0 C) (55)0 = D) (111)0 = = 1 * Exponente cero Da siempre uno * Cociente de bases (base 0) iguales 8. Resuelve: 3 . 10. y ) = x . Completa la siguiente tabla: 30 = Potencias Base Exponente valor 53 Práctica Práctica dirigida dirigida N° N° 02 02 35 27 45 18 1. 2 A) B) C) B) (5 x 7)2 = x 38 35 = 45 4 3 = 27 2 4 = 6. Resuelve: C) (4 x 3)5 = A) 0 = B) 5 0 = x 5. 2 5 6 B) {[(3) ] } = = B) 4. A) . Completa 24 = 16 2. 2 5 = C) 1210. Resuelve: 3. Completa: “Potencia es un _____________ de varios __________ iguales”. y A) C) n 24 = 35 X 36 = 4 . Resuelve: 6 . Exponente cero: 7. Resuelve: . 9. Resuelve: A) 2 B) 2 2 17 2 3 2 x 2 13 3 7 2. 5 2 3 5 6. * Operar 2 1. Exponente fraccionario: Radicando m xn n xm Luego: 2 25 = 5 porque 52 = 25 2 64 = 8 porque 82 = 64 = 81 porque 100 = porque 169 = porque 5 A) 23 3 = 2 2 2 = 81 2 = 100 B) = 169 C) = 8 3 5 32 2 = 2.b 25 = porque n a. 2 3 x 2 17 6 4. 3. 10. 7 5 100 0 16 14. 7 x 7 2 2 x 2 4 5 2 x 5 0 3 2 x 3 3 x 3 4 8 3 x 8 2 2 2 x 3 2 x 4 2 x 5 2 1 17 x 2 17 x 3 17 x 4 17 2 7. 11. Raíz de un producto: n A) 3 27 = porque B) 3 8 = porque C) 5 32 = porque = 27 A) 2 4 x9 = B) 3 8 x 64 = C) =8 a. 2 2 3 RADICACIÓN RADICACIÓNEN ENZZ Índice de la raíz (N) n a x E) 16 porque 2 = PROPIEDADES Raíz = 1. 12. Tarea Tarea N° N° 02 02 5 0 3 5. b x x 32x 243 = 5 3 32 x 3. x 2 17 x 2 13 x 6 = 3 8. Raíz de un cociente: = 32 n D) n = 25 7 a b n n a b . . 6 x C) 8 3 4 Completa: A) 4 x 16 C) =r = 9. RADICALES HOMOGÉNEOS 3 x . B) Completa: n 4 3 7 1 2 B) 3 = = 27 x 64 = 9 x 49 = x x x 10. Potencia de un radical: 3 B) n n m = x 4.A) B) C) = 3 64 = 4 2 5 3 27 1000 3 4 1 = 32 1 5 mn B) C) D) 3 2 x2 2 4 256 2 2 81 = 3 3 = x = 64 m. 2 3. = x = x 64 = x = 512 n m C) 4. . C) D) 1 = 64 2 3 3 ( ) ( ) 16 = 4 = 1 x 16 = 9 4 ) = = = 0. 63 b) 10 5 2 6 . Coloca (V) ó (F) según convenga: 8 . 008 Resuelve: A) B) C) 32 n 64 = 16 = 4 B) n = B) 8 n x x A) 3 = 323 m n Resuelve: = x ab = ab m ……… ( x n 3 A) 5. Resuelve: 3. 4 5. = 7. 4 2 3. 3 6 y 8 RADICALES SEMEJANTES ………………. n . Completa: = C) 6. Raíz de raíz: A) A) 3 3 3 3 . Une con flechas: A) R.n 512 m A) = 27 2 8 B) C) 2 5 xn = 2 5. Semejantes - 4 2. 21 5 8.…. 8 64 = 125 = 4 x 16 = Une con flechas: A) El radical afecta a los factores ∙ n B) Se multiplica los Exponentes ∙ m C) El radical afecta al dividendo y divisor ∙ x y x. xm ………. Homogéneos - 2 B) R. 6 Completa: 2 A) 64 3 = Práctica Práctica dirigida dirigida N° N° 03 03 1. y n m x Ejemplo: a) 8 3 2 . 25 16 2. 12. 4 6.A) 3 B) 2 C) 4 3 8 = 27 64 4 3 = 3 81 = 16 3 Tarea Tarea N° N° 03 03 1 2 1. 2 4. 625 81 3. 3 512 x 576 x 5 25 = 32 = 2304 = CONJUNTOS CONJUNTOS 1. Intuitivamente. Concepto: El término conjunto es aceptado en matemática como un concepto primitivo. 25 2 x 3 64 x 11. 1 3 32 = = 1 10. Ejemplo: i) El conjunto de los días de la semana. 3 5. un conjunto es una colección o agrupación de objetos llamados elementos. es decir. 1 2 8 9. se acepta sin definición. 9 . 3 = 1 4 = 1 = 64 125 = 64 16 = 81 27 x 100 = 1 25 x 3 125 x 625 2 = 7. 8. . 4.Unión o reunión () Dados los conjuntos: A y B. 6} B = {2. Conjunto vacío o nulo: Es aquel conjunto que carece de elementos. 7} C = {1. 7. 2}. Ejemplo: A = {2. 2} Entonces: P(A) = {. 12} B = {x + 3/x es impar 0 < x < 10} 6. Conjunto unitario: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.. Ejemplo: A = {a. 4.{2}. u} Notación: Generalmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas A. 8} Entonces: 2 A. A la unión pertenecen los elementos de A. Se denota por la letra . 10. al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. 4. A importante!! 7. mayúsculas u otros símbolos. e. Por extensión: Cuando se nombran todos los elementos que conforman el conjunto. Igualdad: Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Por comprensión: Cuando se menciona una o mas características comunes a todos los elementos del conjunto. 6. entre conjuntos: 10 . Relaciones Conjunto potencia: Dado el conjunto A. 2} B = {2. 5} 5. 4.2}} 2. miércoles. Ejemplo: A = { } B = {x/ x N 4 < x < 5} 1. 14} 6. separados por comas y encerrado entre llaves. iii) A. Ejemplo: Si A = {1. .1. Se denota por A = B Ejemplo: A = {x/x es una vocal} B = {a. 4 A.1. en el que se encuentran todos los elementos con que se está trabajando. Notación: A B = {x/x A x B} ( = se lee “o”) Ejemplo: A = {1. 2. u} B = {6. i. viernes.Intersección (∩) Tenemos A y B. 18} 3.. Ejemplo: Dado el conjunto: A = {2. y los elementos por letras minúsculas. 3. Ejemplo: A = {3} B = {x/ x N 6 < x < 8} Propiedades: i) AB=BA ii) AA= A iii) A=A iv) AU=U 5.ii) El conjunto de los números N.3. se dirá que no está incluido (). se llama intersección al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B a la vez. se denomina conjunto potencia de A y se denota por P (A). Ejemplo: A = {x/x es una vocal} B ={x/5 < x < 18 x es par} 5. 12. 4. Conjunto universal: Es aquel conjunto que se toma como referencia.2. domingo} B = {2. para un problema determinado. Ejemplo: A = {lunes. o. 2. ii) A B y B C A C.1.. 5. 8. 3. Determinación de conjuntos: Existen 2 formas de determinar un conjunto: 4.2. C. 7 A 4. Se le denota por: ó { }. {1. o. 5. entonces todos los subconjuntos de A son: : {1}. 6. Relación de pertenencia (): Si un elementos está en un conjunto o es parte de él. i. 12. e. diremos que “pertenece” a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo “” y en el caso de no pertenecer por “”. Se denota: A B Ejemplo: A = {2. 2. 6. 4.{1}. B o de ambos a la vez. Conjuntos especiales OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 5. Inclusión (): Se dice que un conjunto A esta incluido () en otro conjunto B. etc.2. {2}. en caso contrario. 10. si todos los elementos de A pertenecen a B. 5} A B = {1.{1.. 5} Entonces: A B AC Propiedades: i) A A A ( A: para todo conjunto A). B. 5. ¿cuántas mañanas come huevos y tocino? 6) En un salón 40 alumnos estudian portugués. 3. 6. 6} B = {2. 4) De 50 alumnos que llevan los cursos de aritmética y álgebra. 6} B = {2. 5. 2. 2. ¿Cuántos llevan solo álgebra? 5) Una persona come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de abril. . {1}} A V) {{1}} A 11 . 2. Si todos los alumnos estudian por los menos un idioma y a lo sumo dos ¿cuántos alumnos hay en total? 4. 3. 7. 7. {1}} y dados las proposiciones: I) A II) {} A III) A IV) {{0}. 4. pero dentro del conjunto universo. 70 francés y hay 30 que estudian ambos idiomas. 7. 8} A – B = {1. A’ = AC = {x/x x A} Ejemplo: Sean U = {1. a todos los elementos que están fuera de A. 5. 6} Propiedades: i) A B = B A. 8} A B = {2. 6} Propiedades: i) (A’)’ = A ii) ’ = U iii) U’ = iv) A A’ = U v) A A’ = Práctica Práctica dirigida dirigida N° N° 04 04 1) Si A = {0.A B = {x/x A x B} ( = se lee “y”) Ejemplo: A = {1. 3. A – B = {x/x A x B} Ejemplo: A = {1. 3} Propiedades: i) A– A= ii) A-=A iii) -A= iv) A– B B – AA B 2) Si se tiene el conjunto: S = {4m-2 / m N. {}. 2 < x < 10} Hallar la suma de los elementos de P M. 6.Diferencia: Llamado al conjunto formado por todos los elementos de A y que no pertenecen a B. 7. 0 < x < 5} y sea M = {x/x N. 0 < m 2} Entonces la suma de todos los elementos de S es: 3) Sea P = {x/x N. ii) AA= A iii) A= iv) AU=A ¿Cuáles son verdaderos? 3. 6. 8} A’ = AC = {2. se sabe que 30 llevan aritmética y 13 llevan aritmética y álgebra. 4. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. 4. es el conjunto formado por los elementos que solo pertenecen a A. 3. 4. es decir. 8} A = {1. 1. se denomina complemento del conjunto A.Complemento de un Conjunto: Dado un conjunto A está incluido en el universo (). ¿Cuántas personas estudian y trabajan? 12 . 38 tienen TV y 40 radios. . 40 que no estudiaban y 35 que no trabajaban.7) 8) 9) 10) 11) De 243 alumnos. ¿Cuántos quieren estudiar ambos áreas al mismo tiempo? 12) De 65 familias encuestadas. 30 dijeron que sólo trabajaban. De 100 personas. ¿Cuántos días estudió? 14) 40 jóvenes: 18 estudian. 9 trabajo y estudio. 87 derecho y 120 ninguna de las 2 carreras. 6 estudian y trabajan. 49 no compran el producto A. se sabe que 92 quieren estudiar medicina. ¿Cuántas personas compran sólo uno de los dos productos? De 80 personas que se encontraban en una reunión. ¿Cuántos fuman ambas cosas a la vez? Si todos fuman por lo menos alguna de las dos cosas. ¿cuántos tienen un solo artefacto? 13) 31 días: 21 días trabajó. 15) Dados los conjuntos: A = {x N / 0 < x 4 x es Nº par} B = {x Z / x < 3 ó x > 7} C = {x N / x 2 0 < x 8} Determine M = [(A C) B] En un avión hay 100 personas de las cuales 50 no fuman y 30 no beben. sabiendo que hay 20 personas que solamente fuman? Tengo 100 amigos de los cuales 86 fuman puros y 35 cigarrillos. 53 no compran el producto B y 27 no compran ni A ni B. ¿Cuántas personas hay que fuman y beben. 21 trabajan. 8. 44 no estudian historia y 28 no estudian ni lenguaje ni historia. 9} y C = {4. y se dice que: I) (A B) tiene un solo elemento. c} y B = {a. 3. b}. ¿Cuántos alumnos estudian lenguaje e historia? Tarea Tarea N° N° 04 04 17) 18) 19) En un centro de investigación trabajan 67 personas. Calcular: (x + 4y – z) 13 . De estas saben inglés 47. II) (A B) III) A = A IV) (A – B)´ es un conjunto unitario. 8}. 12 mujeres no estudian historia. 44 no estudian historia (H) y 28 no estudian ni lenguaje ni historia. ¿Cuál es correcto? a) A = B b) A = C c) A B d) A B e) B A 2) Si A = {a. . 7}. 46 no estudian lenguaje. 12}. ¿cuántas personas no conocen ninguno de estos países? Dados los conjuntos: A = {1. V) (A B) Hallar la veracidad o falsedad de las proposiciones: a) FVVVV b) FFFVV c) FFFFF d) FFVFV e) FVFFV 3) Se tiene 50 choferes de los cuales 35 tienen carné del seguro social. B = {5. Entonces ¿Cuántos alumnos estudian lenguaje e historia? a) 18 b) 16 c) 14 d) 20 e) 12 5) De un grupo de 50 personas. B = {} y C = {0}. b. 2. ¿Cuántas personas no conocen ni el inglés ni el alemán? 1) Dados los conjuntos: A = . 46 no estudian lenguaje (L). Q = {y + 3. 6. 6.20) 16) De un grupo de 100 personas: 40 son mujeres. 4. 10} y S = {10 + z. P = {x + 2. 5. ¿Cuántos hombres no estudian historia? De 76 alumnos. 16 libretas tributarias y 15 solamente brevetes o los choferes que poseen al menos 2 documentos son: a) 30 b) 32 c) 18 d) 17 e) 20 4) De 70 alumnos. 7. 5} Determinar el conjunto cuya representación gráfica es la región sombreada de la figura: Dados los conjuntos unitarios. 35 el alemán y 23 ambos idiomas. 73 estudian historia. 28 conocen Brasil y 32 conocen Argentina. además 15 personas conocen ambos países. 7-a . ¿Cuántos alumnos no estudian ni matemática ni historia? a) 17 b) 16 c) 15 d) 14 e) 13 19) Si A = 2x/x N 5<2x+1<10 . Además 21 estudian matemática e historia. b+1 . b) 2 elem. b+2 . 45 C) 15. 16 cazaron por lo menos un conejo y 22 regresaron sin haber cazado liebre alguna. 21 mujeres tienen ojos negros o verdes. C = 4. además se sabe que 2 alumnos no practican ningún deporte.2a . ¿cuántos beben licor? a) 11 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 15) En el Quinto Grado de secundaria compuesto de 120 alumnos del Colegio Melitón Carvajal se supo que 65 alumnos no les gusta matemáticas y 45 no prefieren física. 30 personas tienen ojos verdes. tiene: a) 1 elem. 30 estudian matemática y 25 historia. 15.b+c . D = c+1. 45 han aprobado la evaluación de matemáticas y 20 las de lenguaje y matemáticas. B = 2a-1. 45 D) 25. 21 cazadores regresaron por lo menos con un animal. 9 no sólo cazaron libres sino también conejos. 40 B) 25. 40 E) 25.3+2a . 14 14) Entre comerciantes 9 fuman y 6 fuman y beben licor. Si se sabe que a 20 de ellos sólo les gusta matemática ¿a cuántos les gusta ambos cursos? a) 55 b) 65 c) 75 d) 85 e) 101 16) En un grupo de 100 alumnos. ¿Cuántos estudian sólo inglés? A) 43 B) 50 C) 47 D) 25 E) 70 11) Si A = a+2. Indica: ¿Cuántos aprobaron sólo matemáticas? ¿Cuántos aprobaron sólo lenguaje? ¿Cuántos aprobaron sólo lenguaje? ¿Cuántos han aprobado un solo curso? A) 25. 35. 450 estudian francés y 50 estudian francés e inglés.5% D) 1/4% E) 25% De 73 personas se sabe que: 8 mujeres tienen ojos negros. c) 3 elem. 45. 45. 25. ¿cuántos de ellos realizan sólo una de las dos actividades? A) 7 B) 12 C) 13 D) 15 E) 20 . Entonces el cardinal de A u [(B C)] . Son conjuntos unitarios. ¿Cuántos no cazaron conejos? a) 15 b) 18 c) 20 d) 25 18) De 50 alumnos. C = 3. 40 De un grupo de 22 estudiantes. B = x2-1/x N 0<2x<8 . Si 27 alumnos no siguen historia ni geografía ¿cuántos alumnos llevan exactamente uno de tales cursos? a) 24 b) 30 c) 48 d) 58 e) 60 17) Al final de una cacería de liebres y conejos.(B u C) . 25. determinar b + c . C = x-1/x A x B .4% B) 33 1/3% C) 12. calcular a + b + c. hay 13 que practican natación y 10 que practican atletismo. a+2 . 20) De un conjunto de 25 alumnos. B = 8-a. son conjuntos iguales. E) 5 elem. 40. 13 personas estudian y 5 personas hacen deporte. se sabe que 5 no estudian ni hacen deporte.a a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 12) Si A = a+1. ¿Cuántos hombres no tienen ojos verdes? A) 28 B) 26 C) 30 D) 24 E) 32 En una escuela de 600 alumnos. d) 4 elem. 100 no estudian ningún idioma extranjero. . 22 mujeres no tienen ojos negros. 40. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 13) En una fiesta hay 120 personas de las cuales 65 no fuman y 45 no beben. 15. 15. ¿cuántos practican atletismo sólo? A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 10 La mitad de los habitantes de cierta ciudad bebe: la cuarta parte fuma pero no bebe y la sexta parte bebe y fuma ¿Qué porcentaje no bebe ni fuma? A) 0.A) 15 6) 7) 8) 9) 10) B) 5 C) 10 D) 16 E) 13 ¿Cuántas personas fuman y beben si 20 de ellos sólo fuman? a) 53 b) 65 c) 75 d) 85 e) 35 De 60 estudiantes de un aula. 49 no llevan el curso de historia y 53 no siguen el curso de geografía. ¿Cuáles son los múltiplos del metro?. . sustracción y multiplicación. 12 y 24 24 es divisible por 2. diferencia y producto de dos números enteros resulta siempre enteros. _____ porque: 16 1m x 10 = 1m x 100 = 1m x 1000 = 1m x Se llama múltiplo de un número al ____________ de dicho número por ____________ número natural. si no se dice lo contrario. ____. 8. 6. el respondía: Múltiplos Megámetro Miriámetro Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro 24 3 24 8 0 24 24 0 4 6 24 24 0 24 24 0 24 24 0 12 2 6 4 8 3 16 10 m 100 m 1000 m = m 1m x = m ¿Cuáles son los múltiplos de 8? 8 8 8 8 8 x x x x x 1 2 = 8 = = = = NOTA: NOTA Una característica de la matemática es su lenguaje simbólico. 12 y 24 Los divisores de 24 son 2. ____. Pero referido a la operación de división. este conjunto deja de ser cerrado: hablando en general. ____. 4. 16 0 64 15 8 . 12 y 24 16 1m Estas cantidades se pueden expresar como: DIVISIÓN Si un número A se puede dividir exactamente entre otro B se dice que: “A es divisible por B”. Es lo que suele llamarse a veces “Conjunto cerrado” de números enteros. 24 24 24 1 0 24 se puede dividir entre 2. 3. 8. Ejemplo: ¿Entre qué números se puede dividir exactamente 24 aparte del 1? 24 2 24 12 0 Equivalencia 1 000 000 m 1 000 0 m 1 000 m 1 00 m 10m Notación Simbólica A= “A es múltiplo de B” B OBSERVACIÓN: Los términos divisible y múltiplo están siempre asociados. refiriéndose a las operaciones de adición. Al expresar “número” vamos a entender siempre. 4. que es entero. lo cual permite resumir considerablemente lo que textualmente sería un poco difícil de entender. 8. 6. Textualmente se tiene ¿Entre que números es divisible 16? 16 es divisible por ____. 6.DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD INTRODUCCIÓN La suma. Cuando a Juan le preguntaron en la escuela. 3. 3. el cociente de la división de un entero por otro puede no ser entero. 4. ¿Cuál es el resto en: 48abc28 resto? Respuesta: _____________ abc4 84 ¿ es divisible por 4? Si. porque 25 no es múltiplo de 4 25 = 4 con resto _____ 25 + III. DIVISIBILIDAD POR 2n Divisibilidad por 2 = (21) Calcula el divisiones: 47 24 320 residuo de las II. porque 211 8 = _____ resto ____ 36894211 = 8 + _______ CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD I.___. ¿En qué cifra debe terminar un número para que sea divisible por 5? Veamos: 120 5 resto ____________ 241 5 resto ____________ 482 5 resto ____________ 633 5 resto ____________ 684 5 resto ____________ 905 5 resto ____________ Para que un número sea divisible por 5 su última _________ debe ser _________ o __________ 120 = 5 siguientes 2 = ______ resto ______ 2 = ______ resto ______ 2 = ______ resto ______ Un número es divisible por 2 si termina en __________ o en número _________ Ejm: 46 es divisible por 2 46 es múltiplo de 2 46 = 2 633 684 482 905 87 = 2 + resto 59 ____ divisible por 2 porque resta ___ 2 + 63 _____ divisible por 2 porque resta ___ 63 = 2 241 = 87 no es divisible por 2 porque resta ___ 87 se puede dividir entre 2 con resto ___ 87 es múltiplo de 2 con resto ____ 59 = DIVISIBILIDAD POR 5n Divisibilidad por 5 = (51) 5 = = = = 5 5 5 5 + 1 + + + + Divisibilidad por 25 = ( 5 2 ) Un número es divisible por 25 cuando sus _____________ cifras son ________ o múltiplos de ___________. porque 128 8 = ____. DIVISIBILIDAD POR 3 Y 9 Un número es divisible por 3 si la ______ de sus ________ es __________ de 3. porque: 84 es múltiplo de 4 abc484 4 ¿23125 es divisible por 4? No. Ejemplo: + Divisibilidad por 4 = (2 2 ) Un número es divisible por 4 si sus _____ últimas ________ son ________ o múltiplo de ___________. residuo _____ ¿36894 211 es divisible por 8? 16 3 . Ejm: ¿48651 es divisible por 3? 23125 = 4 con resto _____ 23125 = 4 + _____ Divisibilidad por 8 = (2 3 ) Es divisible por 8 cuando sus _______ últimas cifras son ________ o múltiplo de _________ Solución: 4 + 8 + 6 + 5 + 1 = 24 24 es múltiplo de 3 48651 es divisible por 3 48651 = ¿ 48ab35ab 128 es divisible por 8? Si. . Ejm: abc00 es divisible por 25 porque sus 2 últimas cifras son ___________ ¿48575 es divisible por 25? ______ porque 75 _____ múltiplo de 25. 4 4 ( 3. IV. ) 3 III.A este resultado se le resta la suma de las cifras que quedaron.. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: El número ab46 es divisible por 4 ( ) 8 4 4 3 6 6+4+8 8 81423 3 6 El número El número ) 4.Empezando por la cifra de la derecha (6) se suman de manera intercalada las cifras. 4125 ( ) 2 + II. Completar en los espacios en blanco adecuadamente Si un número termina en cero o cifra par entonces será siempre divisible por _____ Si un número termina en cero o cifra 5 entonces será siempre divisible por _____ 9 ¿72652 es divisible por 9? No. 5. Hallar “a”. si: a36482a a) 0 b) 1 c) 2 ¿51030507 es divisible por 11? 5 1 0 3 0 5 9 2 d) 3 e) 4 0 7 (7 + 5 + 3 + 1) – (0 + 0 + 0 + 5) 16 – 5 = 11 = 11 51030507 es divisible por 11 6. 26132 ( ) 5 11 ( ) por 25 ( PASO 2. Ejm: ¿4329918 es divisible por 9? Si. Hallar “a”. .¿352164 es divisible por 3? ¿Cuál es el valor de “a”? Si: 548429 = 11 + a 3+5+2+1+6+4= ________ múltiplo de 3 352164 ______ divisible por 3. si: a) 4 b) 3 = (6 + 4 + 8) – (4 + 3) abba es divisible por ab25 es divisible 483a 25 8 c) 2 d) 1 e) 0 = 18 – 7 = 11 = 11 84436 es divisible por 11 Si el resultado fuera cero también será divisible por 11. porque 4 + 3 + 2 + 9 + 9 + 1 + 8 = 36 36 9 = 4 4329918 = Práctica Práctica dirigida dirigida N° N° 05 05 1. porque 7 + 2 + 6 + 5 + 2 = 22 22 9 = ______ resto ______ 22 = 9 + 72652 = 9 2. Relacione ambas columnas: I. DIVISIBILIDAD POR 11 ¿84436 es divisible por 11? ¿Cómo saberlo? PASO 1. 5 4 3 3 2 9 2 11 = ____ resto 548429 = 11 + a= + 368851 = 4 (9 + 4 + 4) – (2 + 8 + 5) 17 – 15 = 2 ¿368851 es divisible por 3? No.. porque 3 + 6 + 8 + 8 + 5 + 1 = 31 31 3 = ______ resto _____ 31 = 8 = + Un número es divisible por 9 si la ________ de sus _______ es _______ de 9. Hallar el valor de “a” si: 7 a6 3 y a) 0 b) 2 c) 3 17 4bca 5 d) 4 e) 5 . a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 b43b 5 II. 287? a) 29 b) 28 c) 30 d) 31 e) 32 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5 8. Si: 64 a7 11 entre 4. Hallar el valor de “a” si: b3a 11 a) 7 b) 5 c) 9 y 4b 5 d) 8 e) 0 2. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: El número 4624 es divisible por 25. ¿Cuántos múltiplos de 9 hay en: 21. 7. 61602 ( ) 11 3. Relacione ambas columnas: I. 564? a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100 9 e) 8 +4 d) 4 e) 5 6. ( El número 63851 es divisible por ab65 ) 4. … . Completar en los adecuadamente: espacios en blanco 18 . Hallar “a” si: a8672a a) 1 b) 2 c) 3 9. Si las dos últimas cifras de un número son ceros o múltiplos de 4 entonces el número es siempre divisible por _____________ Si la suma de cifras de un número es múltiplo de 9 entonces el número es siempre divisible por _____________ 7. ¿Cuántos múltiplos de 7 hay en: 1. a) 0 b) 1 Calcular el residuo de dividir: db8a 11. . 23. Hallar “a” si: 8a3 9 a) 5 b) 2 c) 7 d) 0 7. … . ( El número ) es divisible 11. 3. 4. ¿Cuántos múltiplos de 11 hay en: 4. 2. … . 5. Si: . Calcular el residuo de dividir: 437b entre 9. Hallar el valor de “b” si: b2a 9 78a5 25 e) 6 aa63a 8 a) 0 10. 787? a) 70 b) 71 c) 72 d) 73 e) 74 c) 2 d) 3 e) 4 Tarea Tarea N° N° 05 05 1. 5027 ( ) 4 III. 6. 5. ( ) por 4. 22. Si: 431a 4 ¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a”? a) 4 b) 2 c) 6 d) 8 e) 10 9. Hallar “a” si: 387 a 25 + 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 7 5. 1724 ( ) 3 8.