Notas de Aula - Micro 2Gil Riella 9 de agosto de 2015 ii Sumário 1 Revisão sobre Otimização 1.1 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Otimização sem Restrição . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Método para Resolver um Problema de Maximização sem 1.5 Otimização com Restrição em Formato de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Restrição . . . . . . 2 Equilíbrio Geral - E…ciência no Sentido de Pareto 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Economia de Trocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Dois Consumidores e Dois Bens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Trocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Caracterizando as Alocações E…cientes . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Alocações E…cientes no Interior da Caixa de Edgeworth . 2.5.2 Alocações E…cientes na Fronteira da Caixa de Edgeworth 2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Equilíbrio Geral - Equilíbrio Competitivo 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Equilíbrio Competitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Lei de Walras e Equilíbrio de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Preços Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Encontrando o Equilíbrio Competitivo . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Existência do Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Equilíbrio e E…ciência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 E…ciência e Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Leitura Complementar Obrigatória . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.A Demonstração da Existência de Equilíbrio na Caixa de Edgeworth 4 Equilíbrio Geral - Economias com Produção 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Um Consumidor e uma Firma . . . . . . . . . 4.2.1 Alocação E…ciente . . . . . . . . . . . 4.2.2 Equilíbrio Competitivo . . . . . . . . . iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 2 2 3 . . . . . . . . 7 7 8 8 9 11 12 13 14 . . . . . . . . . . . 15 15 16 18 19 19 21 22 23 25 25 26 . . . . 31 31 31 31 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . . . 8. . . . .2. . . 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . 61 61 61 64 67 68 71 . . . 7. . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Discriminação de Preços de Terceiro Grau . 8. . . . . .1 Discriminaçao de Preços de Terceiro Grau Lineares . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . 6 Monopólio 6. . .5 Um Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . . . . 6. . . . . . . . . . . .3 Equilíbrio Competitivo . . .2 Maximização de Lucro do Monopolista 6. . . . . . .2. . . .3 Economia com Firmas Privadas . . . . . . . . . . . . 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Segundo Teorema do Bem-Estar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Exercícios . . .3 Teorema da Utilidade Esperada . . . . .2 Discriminação de Preços de Primeiro Grau .1 Introdução . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . . 5. . . . 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Utilidade Ordinal e Utilidade Esperada . . . . . . . . . . . . . . . . 7. . . .4 Monopólio Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Leitura Complementar Obrigatória . .1 Preferências Sociais sobre Duas Alternativas 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . 34 35 36 36 37 38 39 39 40 44 44 . . . . . . Demanda . . . . . . .2 Teoria da Utilidade Esperada . . . .3 Discriminação de Preços de Segundo Grau . .iv SUMÁRIO 4. . . . . .2 Preferências Sociais sobre k Alternativas . . . . . . .3. . . . .4 Motivações Positivas e Normativas para a Utilidade Esperada . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Agregação de Preferências . . .5 Exercícios . . . . . 5. . . . . . . . . . . . 5. . . 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. . . . . .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Exercícios . . 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introdução .3 Funções de Utilidade Social . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . .2 Preferências sobre Loterias .4 Lei de Walras e Preços Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de .3. . . . . . . . . . . . . . . .2 Produção E…ciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. .6 Exemplo .5 Primeiro e Segundo Teoremas do Bem-Estar 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 73 73 74 80 80 86 89 89 90 90 91 92 94 . . . . . . . . . . . .1 Introdução . .3. 5 Bem-estar Social 5. . . . . . . . 47 47 47 47 50 54 57 58 . . . . . . . . .5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . . . 4. . . . com Curvas . . . .3 Primeiro Teorema do Bem-Estar . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Discriminação de Preços 7. . .1 E…ciência de Pareto . . . . . . . . . .4 Alocações Justas . 8.3 A Ine…ciência do Monopólio . . . . . . . . . . . . . .3. . .3. . . . . . . . . . 7. . . . . . . . . . 8 Escolha sob Incerteza 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. . . . . 9. . . . 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 133 133 134 135 138 140 12 Oligopólio 12. . . 10. . . . . . . . . . . . . . .2 O Conceito de Jogo . . . . . . . . . . . . . .1 Introdução . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . .3. 11. . . . 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. .6 Equilíbrio de Nash . . . .4 Jogos Resolvíveis por Dominância . . . . . . . . . . . . . 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. . . . .4 Fixação Simultânea de Quantidades . . . . . . . . .4 Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos e Indução Retroativa 11. . .2 Jogos na Forma Extensiva . . . . . . . . 9. . . . . . . . . . 10. . . . . . . . . . . . . .2 Problema dos Sorveteiros . 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. . . . . . . . . .5. . 12. . . . . . . . . . 9. . . . . . . . . 9. . . . .7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Aversão ao Risco . . . . . . . . . . 102 9 Teoria dos Jogos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Estratégias Estritamente Dominadas . . 9.2 Solução por Estratégias Estritamente Dominantes . 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Jogos Sequenciais 11. . . . . . . . . . . . . 9. . . . . . . 11. . . . . . . . . . . .2 Estratégias Mistas e Existência de Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Exercícios . . . . . . .4 Exercícios . . . . . . . . . . . . .SUMÁRIO v 8. 8. . . . . . . . . . .1 Equilíbrio de Nash em Estratégias Mistas .1 Estratégias . . . . . . . . .4 Comportamento de um Agente Avesso ao Risco 8. . 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Estratégias Mistas 10. . . . . . . . . . . . . .2 Equilíbrio de Nash . . .3 Loterias Monetárias e Aversão ao Risco . . . . . . . . . 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . .3 Equilíbrio de Nash de Jogos Sequenciais . . . . . . . .6. . . . . . . . . . . . . . . . 9. . .3. . . . .1 Introdução . . . . 9. . . . . . . . . 11 Teoria dos Jogos . . . .1 Equilíbrio de Cournot .1 Estratégia Dominante . . . . 12. . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . . . . . .3 Fixação Simultânea de Preços . . . . . . . . . . . . . . .7 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Eliminação Iterativa de Estratégias Dominadas .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Eliminação Iterativa de Estratégias Estritamente Dominadas 9. 145 145 145 149 150 . .1 Melhores Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 .2 Loterias Monetárias . 9. . . . . . . . . . . . . 9. . . .2 Liderança de Quantidade . . . . . . . . . . . .2. . 11. . . 123 123 123 124 129 . . . . .3 Exercícios . . . . . . . . . 9. . . . 12.2.4. . . . . . . . . 100 .3 Eliminação de Estratégias Fracamente Dominadas .5 Exercícios .3 Conjuntos de Estratégias Finitos e Jogos na Forma Matricial . . . . . . . . . . . . . . 10. . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 105 106 107 108 108 109 110 110 110 112 113 114 115 117 117 119 121 10 Teoria dos Jogos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introdução . . . . . . 8. . . . . . . . . . . .1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introdução . . . . . .Jogos na Forma Normal 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . . . . . . .5 Exercícios . . .1 Esforço Observável . . . . . . . . . . 13. . . . . . . . . 14. . 13. . . . . . . . .3 Externalidades na Produção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Filtragem em Mercado Competitivo 13. . . . . . . . . . . . . 14. .3. . 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Quando Prover um Bem Público . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 O que acontecerá na prática? . . . . . . . .3 Sinalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. 13. .1 Introdução . . . . . . . . 14 Externalidades e Bens Públicos 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 171 171 171 174 174 175 176 177 178 178 179 180 180 180 181 182 15 Implementação de Projeto Público 185 15. . . . . . . . . . .6 Subprovisão de Bens Públicos . . . .6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Exercícios . . . . . . . .3 Soluções para a Externalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . 14. . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Seleção Adversa . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Exercício Resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. . . . . . .5. .1 E…ciência . . . . . . . . . . . .3. . . .4 Bens Públicos . 14. . . . . . .3 Problema do carona . . . . . . . . . . 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Índice Remissivo 189 Referências Bibliográ…cas 191 . . . . . . 13. . . . . . . . . . .1 Educação . . . . . . 155 155 155 157 157 159 165 165 167 168 .2 Externalidades e E…ciência . . . . .2 Nível de Poluição E…ciente . .5. . . . . . . . . . . . . . . . 14. . . . . . . . . .1 Introdução . . . . . . .2 Nível do bem público em equilíbrio 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Fumante e Não-fumante. . . . . . . . . . . . . . 14.1 E…ciência . . . . 13. . 13. . . . .vi SUMÁRIO 12. 14. . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . .1 Equilíbrio de Mercado . . . . . . . . . . . . . . 14. 14. 152 13 Economia da Informação 13. . . . .5 Perigo Moral . . . . .5. . . . . . . .2 Esforço Não Observável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ci 1 . x2 ) = (x1 )3 : x2 Algumas vezes as variáveis da função tem um signi…cado especí…co. Por exemplo. Isto é xj = cj para todo j 6= i. :::. cn ) : Observe que g é uma função de uma única variável. xn ) por f (x1 . cn ).Capítulo 1 Revisão sobre Otimização 1. :::. :::. ci . em uma função de produção F (K. cn ) : Notação. nós denotamos a derivada parcial de f com respeito ao iézimo termo. xn ) : Suponha que …xemos o valor de todas as variáveis exceto xi . :::. A derivada da função g em um dado ponto ci é chamada de derivada parcial de f com respeito ao iézimo argumento no ponto (c1 . Agora.2 Otimização Grande parte das situações estudadas em microeconomia envolve a solução de algum problema de otimização. Isto é. :::. no ponto (c1 .1 Derivadas Parciais Seja f uma função diferenciável de n variáveis. :::. x2 ) = (x1 )3 ln x2 . :::. :::. xi . ci+1 . Nós denotamos o valor de f no ponto (x1 . cn ) : Exemplo 1. L). Então. ci . por fi (c1 . nós temos um agente econômico resolvendo um problema do tipo max f (x) x sujeito a x 2 S: 1 . podemos de…nir uma função g da variável xi por g (xi ) := f (c1 . :::. :::. x2 ) = 3 (x1 )2 ln x2 e f2 (x1 . Nesses casos nós escrevemos FK e FL para representar as derivadas parciais de F: 1. Dada uma função de n variáveis f .1. K representa o capital utilizado pela …rma e L representa a mão de obra. Seja f (x1 . ci . f1 (x1 . 1.4 Método para Resolver um Problema de Maximização sem Restrição Dado o que aprendemos na seção anterior. o seguinte método parece ser uma alternativa interessante para a solução de problemas de maximação sem restrição: 1. (1. x de variável de escolha e S de conjunto restrição.2. então f é sua função de utilidade. respectivamente.2 CAPÍTULO 1. Isto é. 1.2) são chamadas de condições de primeira ordem do problema. De qualquer forma. xn ) = 0 para i = 1 até n. (1. Nem todo ponto crítico é uma solução do problema de maximização.1. Exemplo 1.2).1) se f é uma função de uma única variável.1) e (1. Um ponto ou vetor x que satisfaz (1. ou fi (x1 . o problema do agente econômico é max f (x) : x Em geral a existência de uma solução para um problema do tipo acima não é garantida. x é sua cesta de consumo.2) Observações. Encontre todos os pontos críticos do problema. quando o problema acima tem solução e f é uma função diferenciável.1 Para uma função de uma única variável f nós usamos a notação f 0 para representar a derivada de f: . a função f (x) = x obviamente não tem um máximo irrestrito. é chamado de ponto crítico. REVISÃO SOBRE OTIMIZAÇÃO O problema acima é lido da seguinte forma: encontre x no conjunto S tal que f (x ) f (x) para todo x em S. Usualmente nós chamamos f de função objetivo. e S é o conjunto das cestas de consumo que o consumidor tem condições de comprar. 1. :::. Por exemplo. nós sabemos que qualquer solução x acima satisfaz f 0 (x ) = 0.1) ou (1.3 Otimização sem Restrição Nós estudaremos agora a versão simpli…cada do problema de maximização acima em que não existe restrição. mas toda solução do problema de maximização é ponto crítico.1 (1. se f é uma função de n variáveis. Se o agente econômico é um consumidor padrão. 2) é zero. Ou seja. 2) é a solução do problema acima. Isto é. y.5. Como o valor da função objetivo no ponto (1. 2).y (x 1)2 (y + 2)2 As condições de primeira ordem do problema acima são: x: 2 (x 1) = 0 y: 2 (y + 2) = 0 É fácil ver que o sistema acima tem uma única solução dada por (x . y ) = (1. Compute o valor de f para todos os pontos críticos.5 Otimização com Restrição em Formato de Igualdade Considere um problema da seguinte forma: max f (x. ) = f (x. y. Para veri…car isto. 2) realmente maximiza a função objetivo. 3. Considere o seguinte problema de maximização: max x. . Portanto. Exemplo 1. Identi…que os pontos críticos em que f atingiu o seu maior valor. y) g (x. OTIMIZAÇÃO COM RESTRIÇÃO EM FORMATO DE IGUALDADE 3 2. y. y) : A variável auxiliar. de…na uma função L (x. note que a função objetivo nunca assume valores positivos. se o problema acima tiver solução.1. y. ) = 0: . ) dada por L (x. De fato (1.3. concluímos que (1. Construa o Lagrangeano do problema. 2). ) = 0 L (x. O método consiste dos seguintes passos: 1. y) = 0: O método para solução de um problema do tipo acima é conhecido como o método do Lagrangeano. então esta solução é exatamente (1. y. utilizada na construção do Lagrangeano é conhecida como multiplicador de Lagrange.y sujeito a g (x. 1. Se o problema tem solução. então os pontos críticos em que f atinge o seu maior valor (dentre os pontos críticos) são exatamente as soluções do problema. ) = 0 Ly (x. resolva o sistema Lx (x. 2. Encontre os pontos críticos de L como no caso de otimização sem restrição. y) x. REVISÃO SOBRE OTIMIZAÇÃO 3.1. podemos usar o método acima para resolvê-lo. y.3) nós encontramos y = (1 1. Como este problema se trata de um de maximização com restrição de igualdade. ) que satisfazem o sistema acima encontre aqueles em que f atinge o seu maior valor.3) Substituindo a expressão acima na restrição orçamentária nós …camos com px x + py 1 px x = w: py Isolando x na expressão acima nós encontramos x= w : px Substituindo a expressão acima em (1.2 Este é dado por L (x. ) = x y 1 [px x + py y w] : As condições de primeira ordem do problema são: y x x : 1 = px x = py y : px x + py y = w: y : (1 Isolando ) na segunda expressão e substituindo na primeira nós obtemos px y = : x py 1 Ou seja. Exemplo 1. y= 1 px x: py (1.4 CAPÍTULO 1. y) := x y 1 x.y sujeito a px x + py y = w: em que 0 < < 1. Dentre os pontos (x . y) = px x + py y w: .4 (Problema do consumidor Cobb-Douglas). O primeiro passo é construir o Lagrangeano do problema. Considere o seguinte problema de maximização: max f (x.2 ) w : py Note que no problema do consumidor acima g (x. y . Feito isto. Por exemplo. Como a restrição do problema acima é linear. substituimos tal expressão na função objetivo e o transformamos em um problema de otimização sem restrição. . isolando y na restrição orçamentária do consumidor Cobb-Douglas e substituindo na função objetivo nós …camos com o seguinte problema de maximização sem restrição: 1 w px x a max x x py A condição de primeira ordem do problema acima é x 1 w px x py 1 = (1 que implica que x= ) w : px px x py w px x py .5 (Método alternativo para solução do problema do consumidor). existe um método alternativo para sua solução. OTIMIZAÇÃO COM RESTRIÇÃO EM FORMATO DE IGUALDADE 5 Exemplo 1.1.5. O método consiste em usar a restrição para escrever uma das variáveis como função da outra. REVISÃO SOBRE OTIMIZAÇÃO .6 CAPÍTULO 1. Boa parte da pesquisa em equilíbrio geral trabalha com modelos que nem mesmo possuem uma solução analítica e. só podem ser resolvidos com o auxílio de um computador. durante boa parte do tempo. surgiu em economia o interesse pela área de pesquisa que …cou conhecida como equilíbrio geral. Principalmente. Mesmo os modelos que possuem uma solução analítica geralmente têm uma solução que demanda um conhecimento matemático superior ao assumido por este curso. Geralmente em economia estamos interessados em entender situações que envolvem vários agentes interagindo e também situações em que existe interação entre os mercados dos diversos bens.Capítulo 2 Equilíbrio Geral . 7 . Embora esta seja uma simpli…cação radical. De forma resumida. no máximo entender como o mercado de um determinado bem funcionava sob a hipótese de que os outros fatores da economia permaneciam constantes.1 Introdução O curso de microeconomia 1 na maior parte do tempo concentra-se na teoria da decisão individual e na análise de equilíbrio parcial. Naquele curso estávamos preocupados em entender como fatores como riqueza inicial e preço afetavam a demanda de um único consumidor por um determinado bem ou.E…ciência no Sentido de Pareto 2. Isto acaba compensando a perda de generalidade obtida como consequência de se trabalhar com uma economia tão reduzida. Embora importantes. vários fenômenos que ocorrem em modelos mais interessantes podem ser descritos de maneira elegante e intuitiva em tal economia. tais problemas são na maioria das vezes bastante complicados. Por esta razão. nós trabalharemos com uma economia que possui apenas dois consumidores e dois bens. nós trabalharemos com várias hipóteses simpli…cadoras. Como já era de se esperar. portanto. a teoria de equilíbrio geral estuda como as condições de oferta e demanda interagem em vários mercados para determinar os preços de muitos bens. Pelas razões acima. tais análises nos fornecem apenas a base teórica para que posteriormente possamos estudar situações econômicas mais interessantes. Vemos que a dotação inicial de A inclui uma grande quantidade do bem 1 e uma quantidade pequena do bem 2.EFICIÊNCIA NO SENTIDO DE PARETO 2. xk1 . Observe que nesta economia não temos …rmas produtivas. Notação: Dado um bem j. Na …gura 2. mas este é um problema menor. 2.2 A interpretação aqui é que wij é a quantidade inicial do bem j que o indivíduo i possui. a dotação inicial de B inclui uma quantidade pequena do bem 1 e uma quantidade grande do bem 2. xkn . wik :2. :::. x1n . :::. uma alocação é factível se para todo bem j o consumo agregado deste bem é igual a sua dotação inicial agregada. batizada em homenagem a Francis Ysidro Edgeworth. uma para cada consumidor.3 Dois Consumidores e Dois Bens Vamos nos concentrar agora no caso simpli…cado em que a nossa economia possui apenas dois consumidores e dois bens. Vamos primeiro olhar para a …gura em sua posição normal. Não é possível representar alocações não factíveis de forma natural na caixa de Edgeworth. a …gura representa as cestas de consumo do consumidor A.8 CAPÍTULO 2. Identi…caremos os dois consumidores por A e B e os bens por 1 e 2. temos um vetor de dotação inicial wi1 . :::. 2. esta agora representa as cestas de consumo de B. um dos desenvolvedores da noção de curva de indiferenças e criador de uma versão preliminar da ferramenta que vamos estudar agora. uma alocação é um conjunto de n vetores x11 . Ou seja. nós escrevemos xji para representar a quantidade do bem j que o consumidor i está consumindo. De forma consistente com o que observamos para o consumidor A. Tal ferramenta é conhecida como caixa de Edgeworth. Neste caso simpli…cado existe uma ferramenta grá…ca que fornece uma representação bastante útil da nossa economia. é chamado de alocação. já que alocações não factíveis têm pouco interesse econômico. EQUILÍBRIO GERAL . Uma alocação é dita factível se para todo bem j. xj1 + ::: + xjn = w1j + ::: + wnj : Ou seja. :::.1 Para cada consumidor i.2 Um conjunto de cestas de consumo. Mas agora.2 Economia de Trocas Suponha que tenhamos uma economia com n consumidores e k bens.1 . temos uma função de utilidade U i x1i . Na posição normal. 2. :::.1 vemos uma representação da alocação da dotação inicial na caixa de Edegworth. de cabeça para baixo. se olharmos para …gura em sua posição invertida. A mais óbvia alocação factível é a alocação da própria dotação inicial. Observe que todas as alocações factíveis podem ser representadas por um único ponto. xki :2. Os seguintes elementos caracterizam uma economia de trocas: Para cada consumidor i. o que justi…ca o fato de que tais economias sejam conhecidas como economias de trocas. 2). Na …gura 2. TROCAS 9 Figura 2.4.4 Trocas Suponhamos que A e B tenham funções de utilidade que representem preferências convexas (ou seja que tenham curvas de indiferenças como na …gura 2. Figura 2.2: Curvas de Indiferença que passam pela alocação da dotação inicial Observe que as cestas que A considera preferíveis à sua dotação inicial encontram-se na parte do diagrama que …ca acima da curva de indiferenças de A. Similarmente.1: Representação da Dotação Inicial na Caixa de Edgeworth 2. as cestas que .2.2 nós vemos as curvas de indiferenças de ambos os agentes que passam pela alocação da dotação inicial. As curvas de indiferenças de A e B também podem ser representadas na caixa de Edgeworth. então. Alternativamente. Na …gura 2. sob o ponto de vista de B (ou seja.3. Quais seriam as características de tal ponto? Figura 2.2. existe uma região (a região com um formato de lente na …gura ) em que tanto A quanto B preferem as alocações naquela região à alocação da dotação inicial. De modo similar ao que …zemos anteriormente.3: Curvas de Indiferença que passam por M Parando para re‡etir um pouco. se fosse oferecida a ambos a possibilidade de trocarem seus bens de modo a mudarem da alocação da dotação inicial para o ponto M na …gura.10 CAPÍTULO 2. Observe que os pontos que o consumidor A prefere ao ponto E encontram-se acima da curva de indiferenças de A. Mas então. De qualquer forma. na parte superior da …gura. sob o ponto de vista de B. Por exemplo. acima da curva de indiferenças de B. Poderíamos repetir tal processo inde…nidamente até que chegássemos a um ponto em que não houvesse mais trocas vantajosas para ambos os consumidores. com a folha de cabeça para baixo). agora podemos traçar as curvas de indiferenças de A e B que passam por M . a região das alocações preferidas a M pelos dois consumidores é menor do que a região das alocações preferidas a w. EQUILÍBRIO GERAL . Como podemos observar na …gura 2. mas abaixo desta .4 vemos uma destas alocações. Já os pontos que o consumidor B prefere à alocação E encontram-se na parte inferior da …gura. poderíamos imaginar que os dois agentes ao se depararem com uma situação como na alocação da dotação inicial. vemos que para que não existam mais trocas vantajosas para ambos os consumidores precisaremos que as suas curvas de indiferenças sejam tangentes.EFICIÊNCIA NO SENTIDO DE PARETO B considera preferíveis à sua dotação inicial encontram-se. ambos considerariam esta possibilidade como uma vantagem. o processo de trocas que estudamos acima poderia ser repetido de modo que os consumidores concordassem em mover a alocação da economia para um novo ponto na região cinza da …gura. Suponhamos. provavelmente iriam negociar de modo a trocarem bens para moverem-se para algum ponto no interior da região em formato de lente. que os agentes tenham negociado trocas de modo a moverem-se do ponto w para o ponto M na …gura 2. acima da curva de indiferenças de B. . De…na as dotações iniciais agregadas por A1 := wA +wB e A2 := wA +wB . 2.1. a de…nição de e…ciência no sentido de Pareto simplesmente diz que uma alocação factível é e…ciente se não existe nenhuma outra alocação factível que faz pelo menos um consumidor na economia estritamente mais satisfeito sem fazer nenhum outro consumidor mais insatisfeito.2. Dizemos que uma alocação factível [(x1A . alocações não e…cientes no sentido de Pareto são claramente indesejáveis.3 Nós escrevemos a de…nição acima em termos da nossa economia com apenas dois consumidores e dois bens. Também. x2A ) . Esta discussão motiva a introdução do seguinte conceito: Figura 2.2. CARACTERIZANDO AS ALOCAÇÕES EFICIENTES 11 curva se estivermos olhando para a …gura sob a orientação normal do papel. mas observe que ela pode ser facilmente adaptada para uma economia com n consumidores e k bens. Pelo menos 2. Intuitivamente. sob um ponto de vista social. nós esperaríamos que tais negociações acabassem por gerar uma alocação e…ciente. numa economia em que os consumidores têm a possibilidade de negociar os seus bens.5. x2A e U B yB1 . com pelo menos uma das desigualdades acima estrita. O conceito de e…ciência no sentido de Pareto é. então. uma condição de consistência que aplicamos às alocações factíveis da nossa economia. x2B )] é e…ciente no sentido de Pareto se não existe nenhuma outra alocação factível [(yA1 .4: Alocação sem trocas vantajosas para ambos os consumidores De…nição 2.3 Em palavras. (x1B . yB2 )] tal que U A yA1 . yA2 ) .5 Caracterizando as Alocações E…cientes Gostaríamos agora de ter um método para encontrar as alocações e…cientes no sentido de 1 1 2 2 Pareto. yA2 U A x1A . (yB1 . x2B . yB2 U B x1B . Tipicamente a curva de contrato começa no ponto (x1A . caso contrário os agentes teriam incentivo para realizar mais um troca vantajosa para ambas as partes. x2A ) = (A1 .5)2.4 Aqui nós estamos trabalhando com a hipótese implícita de que as funções de utilidade de ambos os consumidores são estritamente crescentes em relação aos dois bens. estamos falando da alocação (x1A . x2B )] seja uma alocação e…ciente no sentido de Pareto no interior da caixa de 2. Se T Mg S = . É claro que estamos falando dos casos extremos em que um dos consumidores não recebe nada. 2. x2A ) = (0. A2 ) (ver …gura 2.5: Curva de Contratos 2.5 Alguns livros usam uma terminologia um pouco diferente.2. x2A ) = (0. x2i ) é chamada de taxa marginal de substituição entre os bens 1 e 2.EFICIÊNCIA NO SENTIDO DE PARETO duas alocações e…cientes são óbvias. 2. x2A ) = (0. Intuitivamente. x2A ) = (A1 .6 A …gura 2. Mas isto claramente torna a situação de B pior. .5. a única opção para melhorarmos a situação de A é retirar algo de B sem lhe dar nada em troca. A2 ) e da alocação (x1A .12 CAPÍTULO 2. (x1B . x2A ) . seja " > 0 um valor muito pequeno. Ou seja.4 O conjunto de todas as alocações e…cientes no sentido de Pareto é chamado de curva de contrato ou conjunto de Pareto. A2 ) e (x1B .5 foi retirada de Varian (2006). 0) e termina em (x1A . Observe que se (x1A . x2i ) U2i (x1i . 0). 0) e (x1B . 0).6 . então se o consumidor trocar " unidades do bem 1 por " unidades do bem 2 ele …ca mais ou menos com a mesma utilidade. Figura 2. A terminologia adotada aqui segue Varian (2006). x2B ) = (0. Eles chamam o conjunto de todas as alocações e…cientes de conjunto de Pareto e chamam de curva de contrato o conjunto das alocações e…cientes que são preferíveis à alocação da dotação inicial por todos os consumidores.1 Alocações E…cientes no Interior da Caixa de Edgeworth Lembre-se de Micro 1 que para um dado consumidor i a razão T M gS (i) = U1i (x1i .2. Suponha agora que [(x1A . EQUILÍBRIO GERAL . x2B ) = (A1 .5 O primeiro nome é motivado pela idéia de que todos os contratos …nais de troca têm que se localizar sobre a curva de contrato. Considere a seguinte alocação: [(0 ". então [(x1A . portanto 1 2 1 [(xA + ". x1B ". x2B + " ainda são todos estritamente positivos. Nós concluímos que T M gS (A) T M gS (B). Suponha que T M gS (A) = < = T M gS (B). x2A ) . x2A ) . suponha primeiramente que T M gS (A) = > = T M gS (B). Similarmente. Nós podemos mostrar que na alocação [(0. (1 + ". x2A ").2 Alocações E…cientes na Fronteira da Caixa de Edgeworth Para simpli…car a notação. nós sabemos que x1A + ".2. (1. para algum número " bem pequeno. Fixe um número qualquer tal que > > . x2B + ")].5. (1. x2B + ") do que ele estava antes. Nós podemos mostrar que a alocação [(x1A . para algum número " bem pequeno. Como " é pequeno. (1 ". Uma análise absolutamente simétrica à feita no caso anterior mostra que os dois consumidores estariam mais felizes com tais cestas. (x1B . x2A ) . x2B )] seja e…ciente no sentido de Pareto. x2A . (x1B . (x1B . x2B > 0. suponha que as dotações iniciais agregadas na nossa economia sejam dadas por A1 = A2 = 1. novamente contrariando o fato de que [(x1A . Embora o consumidor A realmente fosse …car mais feliz se ele pudesse trocar " unidades do bem 1 por " unidades do bem 2. ele está mais feliz com a cesta (x1B ". Como …zemos acima. os dois consumidores estarão mais felizes em tal situação. x2A ) . Portanto. x2A ". para algum número " bem pequeno. x2A + "). x2B )] não é e…ciente. x2B ")]. os consumidores estão trocando " unidades do bem 1 por " unidades do bem 2. …xe um número tal que < < e considere a seguinte alocação: [(x1A ". ele não tem nenhuma unidade do bem 1 para . para algum número " bem pequeno. x2A ) . x2A ) . x2A + "). Ou seja. x2B )] é e…ciente. Portanto. o que contradiz o fato de que [(0. Mas se os dois consumidores estão mais felizes. xA "). x2B )] nós necessariamente temos que ter T M gS (A) T M gS (B) : Para mostrar isto. x2B ")]. considere a seguinte alocação: [(0+". Fixe um número qualquer tal que > > . Agora lembre-se que para " pequeno o consumidor A é mais ou menos indiferente a trocar " unidades do bem 2 por " unidades do bem 1. x2B + ")]. (x1B +".5. (x1B ". Mas na troca acima ele está dando " unidades do bem 1 e recebendo " > " unidades do bem 2. x2A B …caria mais ou menos indiferente se ele trocasse " unidades do bem 1 por " unidades do bem 2. Novamente. x2A "). Nós concluímos que necessariamente nós temos que ter T M gS (A) = T M gS (B). Agora suponha que T M gS (A) = < = T M gS (B). Suponha que [(0. (xB ". Isto é o que queríamos mostrar. agora temos um problema. Concluímos que não pode ser verdade que T M gS (A) > T M gS (B). Considere a seguinte alocação: [(x1A + ". o que contradiz a nossa hipótese inicial. Fixe um número qualquer tal que < < . Novamente. o consumidor mais feliz com a cesta (x1A + ". Opa. Isto é. x2B )] necessariamente tem que satisfazer T M gS (A) = T M gS (B) : Para mostrar isto. suponha que T M gS (A) = > = T M gS (B). como argumentamos acima. 2. ele está ") do que ele estava antes. x2B )] é e…ciente. x2B + ")] ainda é uma alocação no interior da caixa de Edgeworth. uma alocação e…ciente em que x1A . x1B . mas será que também neste caso não podemos mostrar que de fato temos que ter T M gS (A) = T M gS (B)? Vamos tentar. Mas na troca acima ele está recebendo " unidades do bem 1 e dando em troca apenas " < " unidades do bem 2. (1. CARACTERIZANDO AS ALOCAÇÕES EFICIENTES 13 Edgeworth. 2. suponha que T M gS (A) = < = T M gS (B). x2B )] é e…ciente no sentido de Pareto. B.1 (Argumento intuitivo das taxas marginais de substituição na fronteira da caixa de Edgeworth).EFICIÊNCIA NO SENTIDO DE PARETO oferecer em troca.6 Exercícios Exercício 2. o ponto [(0. 0)] é e…ciente. 1 ")]. x2i ) = x1i + (x2i ) para algum 0 < < 1. então T M gS (A) T M gS (B) e que se [(x1A . Suponha que [(x1A . tudo que podemos garantir a respeito de [(0. Fixe tal que < < e. x2A ) . Represente gra…camente. Utilize o que aprendemos nas notas de aula e no exercício 2.14 CAPÍTULO 2. 1) . Neste caso nós podemos mostrar que T M gS (A) T M gS (B). ache uma expressão do tipo x2A = f (x1A ) que caracterize todas as alocações e…cientes para esta economia. x2A ) . Repita a análise acima. Nós vemos aqui que o argumento usado acima é problemático agora. x2i ) = (x1i ) (x2i ) . para i = A. então T M gS (A) T M gS (B). De fato. considere a seguinte alocação: [(x1A ". então T M gS (A) T M gS (B). Vamos analisar mais um caso. mas agora suponha que as funções de utilidade dos dois consumidores sejam dadas por U i (x1i . Mesmo quando tal desigualdade é estrita.1 acima para encontrar uma expressão algébrica que caracterize a curva de contrato desta economia. (x1B + ". Para tanto. 0)] é e…ciente no sentido de Pareto. Exercício 2. (1. x2A ) . para algum 0 < < 1. então T M gS (A) T M gS (B) e se [(x1A . as utilidades dos dois consumidores são medidas pela mesma função Cobb-Douglas. Ou seja. x2A ) . 1) . (x1B . 0) . Ou seja. (0. o que é uma contradição. x2B )] é T M gS (A) T M gS (B). Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as dotações iniciais agregadas são dadas por A1 = A2 = 1 e as funções de utilidade dos consumidores são 1 dadas por U i (x1i . para um " pequeno. Seguindo o mesmo raciocínio nós podemos ainda mostrar que se [(1. 0 + ") .3. x2B )] ainda é e…ciente no sentido de Pareto. Na lista de exercícios você será solicitado a mostrar estes dois casos. EQUILÍBRIO GERAL . (x1B . 1)] seja e…ciente no sentido de Pareto. (x1B . x2B )] é e…ciente. esta curva de contrato.2. na caixa de Edgeworth. Observe que os dois consumidores estariam mais felizes. Utilizando a técnica aprendida nas notas de aula mostre que se [(1. Continue trabalhando com A1 = A2 = 1: . (0. (1. Exercício 2. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as dotações agregadas dos dois bens são dadas por A1 = A2 = 1. Nós concluímos que T M gS (A) T M gS (B). Capítulo 3 Equilíbrio Geral - Equilíbrio Competitivo 3.1 Introdução No capítulo anterior nós estudamos o conceito de e…ciência no sentido de Pareto. Nós vimos que este é um conceito que caracteriza uma mínima condição necessária para que uma dada alocação possa ser considerada aceitável sob um ponto de vista social. Basicamente, o conceito de e…ciência no sentido de Pareto diz que alocações em que você pode melhorar simultaneamente a situação de todos os agentes na economia não são aceitáveis. Em uma economia de trocas com dois agentes e dois bens, e…ciência no sentido de Pareto está associada com a inexistência de uma troca mutuamente bené…ca para os dois agentes na nossa economia. Se existe uma possibilidade de negociação, é de se esperar que ao veri…car que existem trocas que vão bene…ciar a ambos, os agentes vão acabar realizando contratos de trocas de modo que os dois …quem mais satisfeitos. Nós chamamos o conjunto de todas as alocações e…cientes de conjunto de Pareto ou curva de contrato (ver …gura 3.1). A motivação para isto vem da idéia de que todos os contratos …nais de troca têm que se localizar dentro do conjunto de Pareto. Assim, dada uma dotação inicial W , é de se esperar que depois de negociarem os agentes acabem assinando um acordo que os leve para alguma alocação sobre a curva de contrato que deixe ambos mais satisfeitos (ver …gura 3.1 novamente). O grande problema com o processo de trocas descrito acima é que ele é muito impreciso. Através dele nós aprendemos que a alocação …nal da nossa economia provavelmente estará localizada sobre a curva de contratos, mas não somos capazes de prever exatamente que alocação será esta. Para tentar sanar este problema, vamos tentar um processo diferente, então. Suponha que associemos um vetor de preços (p1 ; p2 ) às duas mercadorias em nossa economia. Suponha, também, que os dois agentes na nossa economia encarem tal vetor de preços como dado e simplesmente maximizem as suas utilidades dada a restrição orçamentária imposta por tal vetor de preços. Conforme aprendemos em Micro 1, gra…camente a solução do problema do consumidor é caracterizada pelo ponto em que a sua curva de indiferenças é tangente a sua reta de restrição orçamentária. Se representarmos tal ponto para os nossos dois consumidores na caixa de Edgeworth teremos uma con…guração como na …gura 3.2. 15 16 CAPÍTULO 3. EQUILÍBRIO GERAL - EQUILÍBRIO COMPETITIVO Figura 3.1: Trocas vantajosas sobre a curva de contratos Observe que a alocação representada na …gura 3.2 não é factível. De fato, percebemos que x1A + x1B < A1 e x2A + x2B > A2 . Ou seja, existe um excesso de oferta pelo bem 1 e um excesso de demanda pelo bem 2. Quando tal situação acontece dizemos que o vetor de preços (p1 ; p2 ) não equilibra os mercados para os dois bens da nossa economia. Na …gura 3.3, representamos um vetor de preços que equilibra o mercado para os dois bens em nossa economia. Vemos que tal situação é caracterizada, na caixa de Edgeworth, pelo fato de que as curvas de indiferenças dos dois agentes são tangentes à reta de restrição orçamentária no mesmo ponto. Mas isto implica que, em particular, as curvas de indiferenças dos dois agentes também são tangentes entre si. Tal observação nos indica que provavelmente existe alguma relação entre alocações originárias de vetores de preços que equilibram os mercados e e…ciência. Nas próximas seções nós exploraremos tal resultado mais a fundo. 3.2 Equilíbrio Competitivo Lembre-se que quando deparado com um vetor de preços (p1 ; p2 ) o consumidor i resolve o seguinte problema de maximização. max U i x1i ; x2i (x1i ;x2i ) sujeito a p1 x1i + p2 x2i x1i ; x2i 0: p1 wi1 + p2 wi2 Suponha que a solução do problema do consumidor A seja (x1A ; x2A ) e a do consumidor B seja (x1B ; x2B ). Como discutimos na seção anterior, em geral, para um vetor de preços (p1 ; p2 ) 3.2. EQUILÍBRIO COMPETITIVO 17 Figura 3.2: Vetor de preços que não equilibra os mercados de bens Figura 3.3: Preços que equilibram os mercados 1 1 2 2 qualquer não é verdade que x1A + x1B = wA + wB e x2A + x2B = wA + wB . Ou seja, não é verdade que (p1 ; p2 ) equilibra os mercados para os dois bens na nossa economia. No entanto, a discussão que tivemos no …nal da seção anterior sugere que vetores de preços que equilibrem os mercados na nossa economia têm uma importância especial. Formalmente, nós temos a de…nição do seguinte conceito: De…nição 3.1. Dada uma economia com n consumidores e k bens, de…nimos um equilíbrio competitivo como sendo composto por um vetor de preços (p1 ; :::; pk ) e por uma alocação x11 ; :::; xk1 ; :::; x1n ; :::; xkn tais que, dado (p1 ; :::; pk ), pra i = 1; :::; n, x1i ; :::; xki é uma solução para o problema do consumidor i e, além disto, pra todo bem j, xj1 + ::: + xjn = w1j + ::: + wnj . Ou seja, um equilíbrio competitivo constitui-se de uma alocação e um vetor de preços que satisfazem algumas condições. A primeira condição diz que dado o vetor de preços a Mas observe que neste caso a renda do consumidor i é dada por p1 wi1 + p2 wi2 . Isto sugere que um método para encontrar tal equilíbrio seja algo de grande utilidade. Para veri…car a propriedade que mencionamos acima. p2 ) + p2 x2A (p1 . o valor da demanda agregada na economia é igual ao valor da dotação inicial agregada da economia. 3. 3. p2 ) + p2 x2A (p1 . p2 ) 2 2 wA + wB = 0: A lei de Walras é uma consequência imediata do problema dos consumidores.3 Lei de Walras e Equilíbrio de Mercado 1 2 Voltemos à nossa economia com dois consumidores. Dada uma dotação inicial [(wA . p2 ). as soluções dos problemas dos dois consumidores geram funções de demanda x1A (p1 . A outra condição simplesmente diz que a alocação citada na de…nição do equilíbrio deve ser factível.EQUILÍBRIO COMPETITIVO cesta de escolha referente ao agente i é uma solução para o seu problema do consumidor. p2 ) + x1B (p1 . que vinhamos estudando até então. x1B (p1 . embora formalmente a restrição do problema do consumidor i seja p1 x1i + p2 x2i p1 wi1 +p2 wi2 . p2 ) 1 1 wA + wB + p2 x2A (p1 .3. Abaixo nós mostramos isto para a nossa economia com dois bens. p2 ) = p1 wA + p2 wA e 1 2 3. Sendo assim. como a dotação inicial é …xa. suponha que o mercado para o bem 1 esteja equilibrado. p2 ) + p2 x2B (p1 . a renda é também apenas uma função do vetor de preços. 1 2 (wB .1 Geralmente estamos acostumados a descrever a demanda do consumidor como função também da renda deste. p2 ) + x2B (p1 . p2 ) + x1B (p1 . nós sabemos que a solução do problema necessariamente irá satisfazer p1 x1i +p2 x2i = p1 wi1 +p2 wi2 : . ou seja. ela implica que ao tentarmos localizar um ponto de equilíbrio de uma economia com k bens. ela diz que. nós só precisamos nos preocupar com o mercado de k 1 dos bens. mas é evidente que o argumento se generaliza para uma economia com qualquer número de bens.2 Observe que aqui nós estamos implicitamente usando o fato de que obviamente o agente consumirá toda a sua renda. Nós vamos ver que o conceito de equilíbrio competitivo nos dá uma previsão bem mais precisa do que vai ocorrer em nossa economia do que o conceito de e…ciência no sentido de Pareto. p2 ).2 p1 x1B (p1 . suponha que 1 1 x1A (p1 .1 Das restrições orçamentárias dos problemas dos dois consumidores temos: 1 2 p1 x1A (p1 . Em palavras. x2A (p1 . mas antes nós precisamos nos familiarizar com algumas propriedades do equilíbrio competitivo. Nós vamos estudar tal método em breve.18 CAPÍTULO 3. p2 ) = p1 wB + p2 wB : Somando as duas equações acima temos: 1 1 2 2 p1 x1A (p1 . Nós podemos rearranjar a equação acima da seguinte forma: p1 x1A (p1 . p2 ) + x2B (p1 . p2 ) = wA + wB : 3. p2 ) + x1B (p1 . p2 ) e x2B (p1 . dado um vetor de preços. wA ). Isto é. EQUILÍBRIO GERAL . p2 ) = p1 wA + wB + p2 wA + wB : A equação acima é conhecida como lei de Walras. p2 ). wB )]. Na prática. p2 ) = wA + wB e 2 2 x2A (p1 . tudo que precisamos fazer para encontrar p1 e p2 é resolver o sistema acima. Como podemos. então. p2 ) = wA + wB : Aparentemente. p2 ) + x1B (p1 . p2 ) + x2B (p1 . (x1B . apenas a razão p1 =p2 será determinada.4. Em geral. x2B (p1 . p2 ). ( p1 . Apenas preços relativos são determinados pela abordagem acima. x2A (p1 . p2 ) também é parte de um equilíbrio competitivo com a mesma alocação. x2B )]. o que simpli…ca aquela expressão para p2 x2A (p1 . p2 ). x1B (p1 . tal fato é também generalizado para economias com um número maior de bens. p2 ) = wA O resultado acima além de ter a implicação prática de que só precisamos checar que os mercados para k 1 bens estejam equilibrados para garantir que uma economia com k bens esteja em equilíbrio. Observe que isto é também uma consequência direta da homogeneidade de grau zero das funções demanda em relação aos preços. nós fazemos p1 = 1: 3. Na prática. tem também a implicação teórica de que apenas preços relativos são determinados em uma abordagem de equilíbrio geral. O problema é que na seção anterior nós vimos que uma das consequências da lei de Walras é que as duas equações acima não são independentes. ao procurarmos por um equilíbrio competitivo nós sempre escolhemos um dos preços como numerário. Nós discutimos isto formalmente na próxima seção. 3. p2 ) é parte de um equilíbrio competitivo com alocação [(x1A . se (p1 .3. p2 ) 2 2 wA + wB = 0: Mas agora é evidente que a equação acima só pode ser verdade se 2 2 : + wB x2A (p1 . PREÇOS RELATIVOS 19 Mas isto implica que o primeiro termo na nossa versão rearranjada da lei de Walras acima é nulo. Por exemplo. para qualquer > 0.4 Preços Relativos Suponha que tenhamos resolvido o problema dos nossos dois consumidores e tenhamos achado as suas funções demanda x1A (p1 . p2 ). então. Novamente. Por exemplo. só temos k 1 equações independentes. Isto é. num equilíbrio competitivo. Sabemos que um vetor de preços que é parte de um equilíbrio competitivo tem que satisfazer 1 1 x1A (p1 . p2 ).5 Encontrando o Equilíbrio Competitivo Nesta seção vamos encontrar o equilíbrio competitivo em um exemplo especí…co. em uma economia com k bens. tudo que podemos determinar são as razões entre os diversos preços. x2A ) . determinar completamente o vetor de preços em nosso equilíbrio competitivo? A resposta é que não podemos determinar o valor absoluto dos preços. p2 ) + x2B (p1 . Na nossa economia com dois bens. . p2 ) + x2B (p1 . sem perda de generalidade. x2B = x1B x2B 1 . e suponha que suas funções de utilidade sejam dadas por U A x1A . x2A 0 e max (x1B . < 1. Sejam as dotações iniciais dos nossos consumidores (wA . nós sabemos que apenas preços relativos podem ser determinados e. p2 ) que equilibre os mercados desta economia. A equação de equilíbrio de mercado para o bem 1 é 1 1 x1A (p) + x1B (p) = wA + wB . temos que resolver ( max x1A . p) = 1 2 w1 + pwB x2B (p) = x2B (1. . com 0 < .x2A ) x1A x2A 1 sujeito a 1 2 x1A + px2A wA + pwA x1A . Vamos agora tentar encontrar um vetor de preços (p1 . x2B 0: Os dois consumidores acima são Cobb-Douglas tradicionais e nós já sabemos que as suas funções demanda são dadas por 1 2 + pwA wA 1 2 w1 + pwA x2A (p) = x2A (1. p) = (1 ) A p 1 2 wB + pwB x1B (p) = x1B (1. p) = (1 ) B : p x1A (p) = x1A (1. Como foi discutido acima. respectivamente. wA ) e (wB . então. p) = Para encontrarmos o valor de p. o formato (1. wB ). que p1 = 1. Ou seja.20 CAPÍTULO 3. EQUILÍBRIO GERAL . nós temos que equilibrar o mercado para um dos bens (o outro estará automaticamente equilibrado por consequência da lei de Walras). portanto. O primeiro passo é resolver o problema dos dois consumidores e encontrar as suas respectivas funções demanda. O nosso vetor de preços assume. Equilibremos o mercado para o bem 1. então. p) e o nosso objetivo passa a ser encontrar p. nós podemos assumir. x2A = x1A x2A 1 e U B x1B .EQUILÍBRIO COMPETITIVO 1 2 1 2 Exemplo 3.1.x2B ) x1B x2B 1 sujeito a 1 2 x1B + px2B wB + pwB x1B . Toda a análise neste capítulo foi feita sob a hipótese implícita de que os consumidores encaram o vetor de preços como algo dado exogenamente. Isto é equivalente a assumir que todos os agentes na nossa economia têm funções de utilidade contínuas e quase-côncavas.6. mas podemos pelo menos apreciar a sua importância. pois exatamente quando as hipótes do nosso modelo fazem mais sentido. Existem casos em que um equilíbrio competitivo não existe.6 Existência do Equilíbrio No exemplo anterior nós pudemos veri…car a existência do equilíbrio calculando-o explicitamente.3. tal hipótese não é muito razoável em uma economia com apenas dois agentes. . 3. em que o impacto das ações individuais de cada consumidor é praticamente insigni…cante. Mas numa economia com muitos agentes. EXISTÊNCIA DO EQUILÍBRIO 21 o que em termos das funções demanda encontradas acima pode ser escrito como 1 2 wA + pwA + 1 2 1 1 wB + pwB = wA + wB : Resolvendo a equação acima para p nós obtemos p= (1 1 1 ) wA + (1 ) wB : 2 2 wA + wB Substituindo tal valor de p nas expressões para as nossas funções demanda acima nós obtemos 2 2 1 1 1 2 ( wA + wB ) wA + ((1 ) wA + (1 ) wB ) wA 2 2 wA + wB 2 2 1 1 1 2 ( wA + wB ) wA + ((1 ) wA + (1 ) wB ) wA = (1 ) 1 1 (1 ) wA + (1 ) wB 2 2 1 1 1 2 ( wA + wB ) wB + ((1 ) wA + (1 ) wB ) wB = 2 2 + wB wA 2 1 1 1 2 2 ) wB + (1 ) wB + ((1 ) wA ) wB + wB ( wA = (1 ) : 1 1 (1 ) wA + (1 ) wB x1A = x2A x1B x2B Portanto. a hipótese de que os consumidores são tomadores de preço parece bem mais razoável. o resultado acima é particularmente interessante. pra todo entre 0 e 1. duas condições particularmente interessantes são su…cientes para garantir que um equilíbrio competitivo exista. Obviamente. No entanto. já que em tal situação os consumidores facilmente perceberiam que suas escolhas afetam os preços. Formalmente. Primeiramente. nós temos a garantia de que o equilíbrio existe. Em termos grá…cos esta condição simplesmente diz que as curvas de indiferenças dos agentes são bem comportadas como nos exemplos acima. Infelizmente não temos a bagagem técnica necessária para discutir tal resultado formalmente. Portanto. O segundo caso em que sabemos que um equilíbrio sempre existe é quando o número de consumidores é grande. isto signi…ca que a função de utilidade do agente i é contínua e satisfaz U i (X) U i (Y ) =) U i ( X + (1 )Y ) U i (Y ) . sabemos que um equilíbrio competitivo existe se as preferências de todos os agentes na nossa economia forem contínuas e convexas. mas será que ele existe sempre? A resposta é não. o nosso equilíbrio competitivo é dado pelo vetor de preços e a alocação acima. (yB1 . x2i ).3. B. tal resultado é verdade. yA2 ) . x2i ) é solução para o seguinte problema de maximização: max U i x1i .x2i ) sujeito a p1 x1i + p2 x2i x1i . Teorema 3. Mas isto implica que as curvas de indiferenças dos dois agentes são tangentes entre si. (x1B . O argumento formal completo não é importante para nós no momento. portanto nós vamos nos contentar com a nossa pequena trapaça. x2B )] é e…ciente no sentido de Pareto.1 (Primeiro Teorema do Bem-Estar). EQUILÍBRIO GERAL . x2A ) .3. y~B que de fato faça as duas desigualdades acima estritas. yA2 ) . B. é também o que caracteriza uma alocação e…ciente no interior da caixa de Edegworth. Ou seja. yB2 U B x1B . Se yi1 ou yi2 é menor do que zero.7 CAPÍTULO 3. [(x1A . nós podemos concluir que (yi1 . Suponha que [(yA1 . y~A . Isto é. yB2 )] não é factível. Ou seja. yi2 ) não pode satisfazer as restrições do problema acima. (yB1 . Demonstração.22 3. como nós mostramos abaixo. . p1 yi1 + p2 yi2 > p1 wi1 + p2 wi2 . Então. De posse de y~A . (x1B . (yB1 . x2i (x1i . yi2 ) > U i (x1i . (x1i . suponha que U A yA1 . yB2 )] não é factível. nós só temos que nos preocupar com a situação em que a primeira restrição não é satisfeita. então trivialmente [(yA1 . Suponha que [(x1A . Lembre-se que para i = A. Logo. por hipótese. yA2 U A x1A . Somando as desigualdades acima para A e B nós obtemos a seguinte desigualdade: 2 1 1 2 + wB + p2 wA + wB : p1 yA1 + yB1 + p2 yA2 + yB2 > p1 wA Rearranjando a equação acima temos: p1 3. x2A e U B yB1 . (x1B . yA2 ) . y~B . as curvas de indiferenças dos dois agentes são tangentes à restrição orçamentária induzida pelo vetor de preços. x2B . x2A ) . como vimos antes. com pelo menos uma das desigualdades acima estrita. x2A ) . o que. y~B . Na verdade. para i = A. y~B nós podemos usar esta alocação para …nalizar a demonstração. podemos usar um argumento de continuidade para construir uma nova alocação 1 2 1 2 1 2 1 2 y~A . De fato. x2B )] e (p1 .3 Nós vamos mostrar agora que isto implica que [(yA1 . yB2 )] domine [(x1A . vamos trapacear um pouquinho aqui e assumir que as duas desigualdades acima são estritas. Isto nos leva a conjecturar que talvez alocações que são parte de um equilíbrio competitivo sejam sempre e…cientes.EQUILÍBRIO COMPETITIVO Equilíbrio e E…ciência Lembre-se que no interior da caixa de Edgeworth um equilíbrio competitivo se parece com a …gura 3. y~A .3 yA1 + yB1 1 1 wA + wB + p2 yA2 + yB2 2 2 wA + wB > 0: Formalmente. p2 ) sejam um equilíbrio competitivo. U i (yi1 . x2i 0: p1 wi1 + p2 wi2 Como. x2B )] no sentido de Pareto. Sob tal restrição orçamentária a escolha do agente A seria o ponto Y e não X.5. as curvas de indiferenças dos dois agentes têm que ser tangentes em tal ponto. qualquer alocação que domine [(x1A .5. então sempre poderemos construir um equilíbrio competitivo para qualquer alocação e…ciente. (yB1 . 3. o que implica 1 2 que o mercado para o bem 2 não está equilibrado e. De fato. o resultado é válido para uma economia com um número genérico de consumidores e bens. yB2 )] equilibre o mercado para o bem 1.2 (Segundo Teorema do Bem-Estar). investigaremos sob que condições alocações e…cientes são parte de algum equilíbrio competitivo. yA ) .3). . então.8 E…ciência e Equilíbrio Suponha que tenhamos uma alocação e…ciente típica no interior da caixa de Edgeworth (ver …gura 3. (x1B . x2B )] no sentido de Pareto necessariamente é não factível. Como já sabemos. x2A ). Vemos que o ponto X é e…ciente. Suponha que as preferências dos dois agentes na nossa economia sejam contínuas e convexas. nós podemos sempre escolher uma dotação inicial e um vetor de preços de modo a fazer uma dada alocação e…ciente parte de um equilíbrio competitivo. Suponha que associemos à economia acima um vetor de preços que induza como reta orçamentária exatamente a reta que separa as curvas de indiferenças dos dois agentes na …gura 3.3. yA2 ) . k Acabamos de demonstrar que alocações que são parte de um equilíbrio competitivo são sempre e…cientes. yB2 )] não é factível. Novamente.4 e escolhamos uma dotação inicial sobre esta reta orçamentária (ver …gura 3. então.3. Teorema 3. (x1B . no entanto a reta tangente às curvas de indiferenças dos agentes no ponto X não está associada a um equilíbrio competitivo.4). (yB1 . O problema é que no exemplo acima as preferências dos nossos agentes são excessivamente bem comportadas.8. embora tenhamos mostrado o resultado para a nossa economia simpli…cada com apenas dois consumidores e dois bens. x2A ) . com um pouco de atenção podemos perceber que o argumento da demonstração acima pode ser facilmente generalizado para uma economia com mais consumidores e mais bens. [(yA . x2B )] é e…ciente 3.4 De fato. se exigirmos que os nossos consumidores tenham preferências convexas. Nós concluímos. suponha que 1 1 : + wB yA1 + yB1 = wA Isto implica que o primeiro termo da desigualdade acima é nulo o que a reduz para p2 yA2 + yB2 2 2 + wB wA > 0: 2 2 Mas a desigualdade acima só pode ser verdadeira se yA2 + yB2 > wA + wB . por exemplo. Considere a situação representada na …gura 3. x2B )] é e…ciente no sentido de Pareto. (x1B . Aparentemente.4 Agora estudaremos a situação inversa. Isto é. x2A ) . EFICIÊNCIA E EQUILÍBRIO 23 Suponha que a alocação [(yA1 . Agora observe que a nossa alocação e…ciente é parte de um equilíbrio competitivo com qualquer vetor de preços que induz a restrição orçamentária na …gura. gerando a curva de indiferenças mal comportada que observamos na …gura 3. Ou seja. ou seja. Se [(x1A . portanto. que [(x1A . O problema no exemplo acima surgiu porque as preferências do agente A não são convexas. x2B ). wB ) . então podemos encontrar uma dotação inicial [(wA .EQUILÍBRIO COMPETITIVO Figura 3. dos nossos resultados a respeito da existência de equilíbrio. x2A ) . (x1B . x2A ) .4: Alocação E…ciente Figura 3. x2A ) 1 2 e (wB . wB )] e 1 1 2 2 1 2 1 um vetor de preços (p1 . como (wA . wA ) := (x1A . x2B )] e 1 2 (p1 . EQUILÍBRIO GERAL . Como as preferências dos dois indivíduos são contínuas e convexas. yB2 )] que formam um equilíbrio competitivo. p2 ) constituem um equilíbrio competitivo. wB ) = (x1B . x2B ). wA ) := (x1A . (wA . nós sabemos que existe um vetor de preços (p1 .5: Preferências não convexas 1 1 2 2 no sentido de Pareto. x2B ). Nós vamos agora mostrar que [(x1A . x2A ) e (wB . x2A ) satisfaz as restrições do problema do consumidor A e (x1B . xA ) . (yB1 . yA2 ) . (x1B . yA2 ) U A (x1A . Isto implica que U A (yA1 . x2B ) satisfaz as restrições do problema do consumidor B. wB ) . wB )]. x2A ) . então existe um vetor de preços tal que [(x1A . (wA .24 CAPÍTULO 3. (xB . wB ) := (x1B . p2 ) constituem um equilíbrio competitivo. p2 ) tais que dada a dotação [(wA . x2A ) 1 2 e (wB . wB ) := (x1B . 1 2 Demonstração. então. logicamente (x1A . p2 ) também formam 1 2 1 2 um equilíbrio competitivo. nós podemos mostrar que se …zermos (wA . x2B )] e (p1 . wA ) = (x1A . x2B )] e (p1 . Suponha. que (wA . Note que. Na verdade. p2 ) e uma alocação factível [(yA1 . [(xA . em que r := 8=9 1=9 3. yB2 ) U B (x1B . (x1A .2. wB ) = (1. x2A ) e U B (yB1 . então a alocação [(yA1 . x2B = 1 1 x 8 B 8 + x2B : 1 2 1 2 As dotações iniciais são dadas por (wA . x2A ) . x2B ) também é solução do problema do consumidor B. . (xB . 2). (x1B . (x1B . (b) Resolva o problema do consumidor B e encontre a sua função demanda (Use apenas lógica. xB )] é um equilíbrio competitivo para esta economia. p2 ) formam um equilíbrio competitivo. (wB . p2 ) e 1 2 1 2 [(wA . Nós concluimos que U A (yA1 .1.5 2 2 . Suponha que as dotações iniciais dos consumidores 1 2 1 2 são (wA . wB )] também é. x2B ). também. 1) e (wB .9. p2 ). x2A ) = (x1A ) (x2A ) . matemática não será de nenhuma utilidade aqui). wA ) . Considere uma economia com dois bens e dois consumidores com funções de utilidade estritamente crescentes em relação aos dois bens. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de 1 utilidade dos consumidores são dadas por U A (x1A . o que contradiz a e…ciência de [(x1A . Suponha. escreva o problema do consumidor B. (a) Dado um vetor de preços genérico (p1 . x2A ) também é solução do problema do consumidor A e (x1B . x2A = x1A 1 2 x 8 A 8 e U B x1B .10 Exercícios Exercício 3. p) e escreva as funções demanda para os dois consumidores em termos de p (por enquanto você ainda não precisa substituir o valor de r nas expressões que você encontrar). r) e (wB . 3. yA2 ) = U A (x1A . xA ) . x2B ) = min (x1B . então (p1 . x2A ) . x2B ). (a) Fixe um vetor de preços da forma (p1 . yB2 )] domina [(x1A . (c) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia.13 de Varian (2006). yB2 ) = U B (x1B . para algum 0 < < 1. wB )] seja uma alocação e…ciente no sentido de Pareto. LEITURA COMPLEMENTAR OBRIGATÓRIA 25 e U B (yB1 . (yB1 . x2B )].3. Exercício 3. wB ) = (r. Mas se alguma das duas desigualdades acima for estrita. x2A ) . Exercício 3. x2B ).3 (Múltiplos Equilíbrios). yA2 ) . x2B )] no sentido de Pareto. e U B (x1B . (wB . p2 ) = (1. 3.12 e 31. 0). wA ) = (0. wA ) = (2.5 Tal valor de r foi escolhido para que os preços de equilíbrio …quem com valores redondos. Mostre que se 1 2 1 2 (p1 . p2 ). Ou seja. que a dotação 1 2 1 2 inicial [(wA .9 Leitura Complementar Obrigatória Seções 31. [(xA . Isto é. k 3. Suponha que os dois consumidores em nossa economia tenham funções de utilidade dadas por U A x1A . [(x1A . x2B )] e (p1 . wA ) . (x1B . y 1 .26 CAPÍTULO 3. Ou seja.x ) sujeito a p1 x1 + p2 x2 x1 . escreva a condição de equilíbrio de mercado para o bem 1. Encontre o vetor de preços e as transferências t1 e t2 2 5 relacionadas a tal equilíbrio (Atenção! Existem várias combinações de transferências que geram a alocação citada.6 Uma função U : R2 ! R é estritamente quase-côncave se sempre que tivermos U x1 . x2B ) = 12 . t2 ) e (wB . substituindo o valor de r na condição de equilíbrio de mercado encontrada acima. 45 e (x1B . 1 t2 ). 0) e (x1B ) 3 (x2B ) 3 .4. Suponha que as dotações iniciais dos consumidores sejam (wA 1 2 (wB .A Demonstração da Existência de Equilíbrio na Caixa de Edgeworth Nesta seção nós demonstraremos a existência de equilíbrio competitivo para uma economia de trocas com dois bens e dois consumidores com funções de utilidade contínuas. Como a economia acima satisfaz as condições do Segundo Teorema do Bem-estar nós sabemos que com uma correta redistribuição das dotações iniciais nós podemos fazer com que tal alocação seja parte de um equilíbrio competitivo. encontre o vetor de preços e a alocação que constituem um equilíbrio competitivo para esta economia (b) É possível mostrar que a alocação (x1A .6 Lembre-se que o problema de um consumidor desse tipo pode ser escrito como max U x 1 .EQUILÍBRIO COMPETITIVO (b) Usando as funções de demanda encontradas no item (a). pra todo 2 (0. wA ) = (1. x2B ) = 1 2 1 2 . x2A ) = 1 4 . 1 2 1 2 existem t1 . x2B ) = 12 .3. (a) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia. e (x1B . 51 é e…ciente no sentido de Pareto. 1). 15 . x2A ) = 21 . x2 . wA ) = (1 t1 . (c) Agora sim.x ) 3. t2 > 0 tais que quando (wA . 1). então U ( x1 +(1 )y 1 . y 2 . Exercício 3. veri…que que p = 1. x2 +(1 )y 2 ) > U y 1 . estritamente crescentes e estritamente quase-côncavas. wB ) = (0. que. Ou seja. x2A ) = (x1A ) 3 (x2A ) 3 e U B (x1B .) 3. y2 para algum x1 . x2 U y1 . 2 ou 1=2 são soluções para aquela equação. Isto é. x2 1 2 (x . . y 2 2 R2 . a alocação resultante do equilíbrio competitivo da economia é exatamente (x1A . x2 0: p1 w 1 + p2 w 2 É fácil notar. wB ) = (t1 . Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de 2 1 utilidade dos consumidores sejam dadas por U A (x1A . Vocês podem escolher qualquer uma dentre as combinações que funcionam. para qualquer (p1 . x2 1 2 (x . p2 ) 2 R++ e > 0. nesta economia nós temos 3 equilíbrios competitivos distintos. as soluções do problema acima são as mesmas do problema max U x 1 . EQUILÍBRIO GERAL . Para tanto.3. sempre existem valores de p que fazem a demanda por tal bem ser tão grande quanto desejemos.7 k Agora mostraremos que. então. w2 ) 2 R2+ nf(0. z 2 ). y 2 ) e (z 1 . . Aqui nós vamos nos preocupar em mostrar que a solução é única. estritamente quase-côncava e estritamente crescente em relação aos seus dois argumentos. A continuidade de tal função agora decorre de outro resultado famoso conhecido como Teorema do Máximo.x2 ) sujeito a x1 + px2 w1 + pw2 x1 . durante toda esta seção nós trabalharemos com a normalização p1 = 1 e chamaremos p2 simplesmente de p. O problema do consumidor pode ser escrito como max U x1 . isto contradiz a otimalidade de (y 1 . x2 (x1 . 2 > U (y 1 . então. Como y +z . O nosso primeiro resultado mostra que um consumidor como o acima sempre tem uma função demanda bem de…nida e contínua. z 2 ) sejam soluções para o problema acima. pra qualquer > 0 existe p > 0 tal que x1 (p) > . Considere um consumidor cuja função de utilidade U : R2 ! R é contínua. nós chamamos (x1 (:) . Isto só pode ocorrer se U (y 1 . 0)g.1.7 Tanto o Teorema de Wierstrass como o Teorema do Máximo vão além do escopo deste curso. mas como U é estritamente 1 1 y 2 +z 2 1 1 y 2 +z 2 . Isto mostra que a função demanda do consumidor está bem de…nida. Nós concluimos que (y 1 . Nós precisamos da seguinte de…nição: De…nição 3. Considere um consumidor cuja função de utilidade U : R2 ! R é contínua e estritamente quase-côncava e com dotação inicial (w1 . x2 (p)) para qualquer valor de p > 0.A. y 2 ) = U (z 1 . 0)g. Similarmente.2. 3. z 2 ). A dotação inicial do consumidor é (w1 . A função demanda de tal consumidor está bem de…nida e é contínua. Se o problema do consumidor sempre tem uma única solução (x1 (p) . y 2 ). Lema 3. Se w1 > 0. 2 satisfaz quase-côncava isto implica que U y +z 2 2 as restrições do problema acima. y 2 ) 6= (z 1 . Lema 3. DEMONSTRAÇÃO DA EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO NA CAIXA DE EDGEWORTH27 sujeito a p 1 x1 + p 2 x2 x1 . x2 (:)) : R++ ! R2+ de função demanda do consumidor. pra qualquer > 0.2. Demonstração do Lema. sem perda de generalidade. z 2 ). e que (y 1 . y 2 ) = (z 1 . suponha que (y 1 . existe p > 0 tal que x2 (p) > .3. Vocês encontram mais sobre eles em qualquer livro de análise no Rn . se w2 > 0. y 2 ). x2 0: p1 w 1 + p2 w 2 Portanto. w2 ) 2 R2+ n f(0. x2 0: A existência de uma solução para o problema acima decorre de um resultado famoso conhecido como Teorema de Weierstrass. para qualquer um dos dois bens. x2 (0)) = (w1 . k De…na agora a função z 1 : R++ ! R por z 1 (p) = x1A (p) + x1B (p) 1 wA 1 wB : A função acima é conhecida como função de excesso de demanda pelo bem 1. que o problema do consumidor tradicional. Para mostrar que quando w2 > 0. 1) > . Como nós não podemos ter limp!0 (x1 (p) . O raciocínio acima nos garante que. Isto implica que. pra todo p > 0. lembre que a lei de Walras diz que para qualquer preço p > 0 nós temos x1A (p) + x1B (p) 1 wA 1 wB + p x2A (p) + x2B (p) 2 wA 2 wB = 0: . A diferença agora é que (x1 (p) . Na esperança de uma contradição. encontrar um preço p tal que z 1 (p ) = 0 é o mesmo que encontrar um preço p que equilibre os dois mercados da nossa economia.EQUILÍBRIO COMPETITIVO Demonstração do Lema. por exemplo. Como o problema acima também satisfaz as condições do Teorema do Máximo. x2 (p)) = (w1 . Suponha que w1 > 0. Note que quando z 1 (p) > 0 existe excesso de demanda pelo bem 1 e quando z 1 (p) < 0 existe excesso de oferta pelo bem 1. como consequência da lei de Walras o Lema 3. isto implica que lim x1 (p) . Como (x1 (:) . pra todo > 0. x2 0 x2 : Por construção. existe p tal que x1 (p. Mas então x1 1. x2 (:)) é contínua. Nós concluimos que. a solução do problema do consumidor também é a única solução do seguinte problema: max U x1 . ) e limp!0 (x1 (p) . Como em uma economia com apenas 2 bens a lei de Walras implica que quando um mercado está equilibrado o outro também automaticamente está. nós sabemos que (x1 (:) . Note agora que é evidente que (x1 (0) . x2 (p)) = (w1 . : p!0 Mas observe que foi escolhido de forma arbitrária. pra todo > 0. pra todo > 0 existe p > 0 tal que x1 (p) > nós podemos mudar a nossa normalização e fazer p2 = 1 e p1 = p. Nós poderíamos repetir a análise acima com 2 . nós chegamos a uma contradição. existe p > 0 tal que x2 (p) > . x2 (p)) está de…nida até mesmo para p = 0.28 CAPÍTULO 3. suponha que existe > 0 tal que x2 (p) pra todo p > 0.x2 ) sujeito a x1 + px2 w1 + pw2 x 1 . O nosso trabalho agora passa a ser encontrar um preço p > 0 tal que z 1 (p ) = 0.2 implica também que existe um preço p tal que z 1 (p) < 0. x2 (x1 .2 acima implica que existe p > 0 tal que z 1 (p) > 0. x2 (:)) será contínua em todo ponto p 0. Observe primeiro que o Lema 3. EQUILÍBRIO GERAL . então. ). o problema acima induz a mesma função demanda. Para ver isto. (x1 (:) . 2 ) ao mesmo tempo. x2 (p) = w1 . O caso z 1 (p) = 0 representa a situação em que o mercado do bem 1 está em equilíbrio. Na verdade. x2 (:)). p1 > e a demonstração está completa. 3. Agora o teorema do valor intermediário garante que existe p 2 (p. nós observamos que z 1 é uma soma de funções contínuas e.3. f (b)] existe x 2 [a. nós aprendemos que para este mesmo p nós temos z 1 (p) < 0. então para qualquer y 2 [f (a).A.2 implica que existe p tal que 2 2 x2A (p) + x2B (p) wA wB > 0.8 Isto completa a demonstração da existência de equilíbrio na caixa de Edgeworth. Como o Lema 3. 3. p) tal que z 1 (p ) = 0. é claro que sempre que houver excesso de demanda por um dos bens existirá excesso de oferta pelo outro e vice-versa.8 O teorema do valor intermediário diz que se f : [a. DEMONSTRAÇÃO DA EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO NA CAIXA DE EDGEWORTH29 Mas então. Para completar a demonstração. b] ! R é uma função contínua. ela própria é uma função contínua. . b] com f (x) = y. portanto. EQUILÍBRIO GERAL .30 CAPÍTULO 3.EQUILÍBRIO COMPETITIVO . Capítulo 4 Equilíbrio Geral .1 l. Ou seja.2.1 Introdução Nós estudamos os conceitos de e…ciência no sentido de Pareto e equilíbrio competitivo em economias de trocas. Seja. l o número de horas trabalhadas pelo consumidor e y o bem de consumo produzido pela …rma.y) 31 . 4. Como só temos um agente. vamos assumir que estamos em uma economia que tem um consumidor. Para tanto. Agora nós incorporaremos a possibilidade de produção à nossa análise. e apenas dois bens.2 Um Consumidor e uma Firma Como tem sido nosso hábito. Nós assumimos que o máximo de trabalho que o consumidor pode fornecer é dado por L. então. e…ciência aqui signi…ca simplesmente maximizar a utilidade deste agente dada a tecnologia de produção. Um destes bens será o trabalho (ou lazer) do consumidor e o outro será um bem de consumo qualquer que será fabricado pela …rma. y) (l.Economias com Produção 4. os principais resultados estudados nas economias de trocas permanecerão válidos para economias com produção. Alocação E…ciente O conceito de e…ciência no sentido de Pareto assume um formato trivial nesta economia simpli…cada. Nós podemos representar a tecnologia de produção da …rma por y = f (l) : A utilidade do consumidor é representada pela função U (L 4. Como veremos. uma …rma. signi…ca resolver o seguinte problema: max U (L l. y). nós começamos com a economia mais simples possível que incorpore as modi…cações que desejamos investigar. y) sujeito a y = f (l) : O Lagrangeano do problema acima é L = U (L l. embora o consumidor seja o proprietário da tecnologia de produção. então.1). y) + f 0 (l) = 0 y : Uy (L l.2 Equilíbrio Competitivo Vamos supor agora que. nos concentrar no seguinte problema: max U (L l.ECONOMIAS COM PRODUÇÃO sujeito a y = f (l) 0 l L: Para a nossa discussão intuitiva aqui. Vamos. py ) e que tanto a …rma quanto o consumidor tratem o vetor de preços como dado. Vamos supor. y) (l. y) : l. y) Se nós representarmos a função f em um grá…co. y) f 0 (l) = 0. y) [y f (l)] : As condições de primeira ordem do problema são: l : Ul (L l. y) =0 : y f (l) = 0: Isolando condição: na segunda condição e substituindo na primeira.32 CAPÍTULO 4. 4.2. Primeiramente analisamos o problema da …rma que pode ser escrito como = max py f (l) l pl l: Ou seja. A condição de primeira ordem do problema acima é f 0 (l) = pl : py . também. que tenhamos um vetor de preços (pl . com o único objetivo de maximizar o próprio lucro. l. a condição acima signi…ca que no ponto ótimo a curva de indiferenças do consumidor será tangente a f (ver …gura 4. a …rma escolhe a quantidade ótima de mão-de-obra que ela deseja contratar com o intuito de maximizar o seu lucro. nós …camos com a seguinte Ul (L l. nós podemos ignorar a segunda restrição do problema acima. ele crie uma …rma que trabalhe de forma independente. y) + Uy (L que pode ser reescrita como f 0 (l) = Ul (L Uy (L l. EQUILÍBRIO GERAL . embora a …rma comporte-se como uma entidade independente. para um vetor de preços qualquer. UM CONSUMIDOR E UMA FIRMA 33 Figura 4. y) py = 0 : py y pl l = 0: Isolando na segunda condição e substituindo na primeira. é L = U (L l.y) sujeito a py y = pl l + 0 l L: Novamente. Levando isto em consideração. para um vetor de preços qualquer. no …nal do dia ela tem que repassar os seus lucros para o consumidor.2. y) + pl = 0 y : Uy (L l.1: Alocação E…ciente Lembremos que o consumidor é o dono da …rma. Ou seja. y) (l. a nossa economia não necessariamente tem que estar em equilíbrio. Em geral. o problema do consumidor pode ser escrito como max U (L l. O Lagrangeano do problema acima. portanto. y) : l. a solução do problema do consumidor ocorre em um ponto em que a sua curva de indiferenças é tangente à restrição orçamentária induzida pelo vetor de preços. a segunda restrição acima não é importante para a nossa discussão intuitiva aqui e nós vamos ignorá-la.4. sem a segunda restrição. é perfeitamente possível . y) Como já sabíamos. nós obtemos a seguinte condição: Ul (L pl = py Uy (L l. y) [py y pl l ]: As condições de primeira ordem do problema são l : Ul (L l. 34 CAPÍTULO 4. EQUILÍBRIO GERAL - ECONOMIAS COM PRODUÇÃO que o valor de l que resolve o problema da …rma seja diferente do valor de l que resolve o problema do consumidor e, também, o valor de y que resolve o problema do consumidor não necessariamente tem que ser igual a f (l). Mas suponhamos que o vetor de preços (pl ; py ) equilibre os mercados em nossa economia. Como este equilíbrio iria se parecer gra…camente? Nós já vimos que a solução do problema do consumidor é caracterizada por uma curva de indiferenças tangente à restrição orçamentária. Mas do problema da …rma acima, nós vemos que a solução deste ocorrerá em um ponto em que a função de produção f é também tangente à restrição orçamentária gerada pelo vetor de preços (pl ; py ).4.1 Na …gura 4.2 nós vemos a caracterização de tal situação. Figura 4.2: Equilíbrio competitivo 4.2.3 Primeiro Teorema do Bem-Estar Nós vimos na …gura 4.1 que o que caracteriza uma alocação e…ciente nesta economia simpli…cada é a tangência entre a curva de indiferenças do consumidor e a função de produção. Por outro lado, vimos na …gura 4.2 que o que caracteriza um equilíbrio de mercado é uma curva de indiferenças do consumidor tangente à restrição orçamentária induzida pelo vetor de preços e, também, uma função de produção tangente à mesma reta de restrição orçamentária (chamada no problema da …rma de reta de isolucro), no mesmo ponto. Mas se tanto a função de produção quanto a curva de indiferenças do agente são tangentes à reta da restrição orçamentária, então elas são também tangentes entre si. Mas isto, como vimos antes, é o que caracteriza uma alocação e…ciente em tal economia. Isto nada mais é do que uma versão do primeiro teorema do bem-estar aplicada a este tipo de economia. Também aqui, alocações que são parte de um equilíbrio de mercado são e…cientes no sentido de Pareto. 4.1 Quando estamos falando do problema da …rma, geralmente chamamos tal reta de reta de isolucro, mas aqui ela coincide exatamente com a reta da restrição orçamentária do problema do consumidor. 4.2. UM CONSUMIDOR E UMA FIRMA 4.2.4 35 Segundo Teorema do Bem-Estar Agora olhemos novamente para a …gura 4.1 acima. Naquela …gura está caracterizada uma alocação e…ciente. Será que é possível encontrar um vetor de preços que induza aquela alocação em um equilíbrio competitivo? A resposta é sim, e é precisamente isto que fazemos na …gura 4.2. Observe que para construir tal equilíbrio competitivo tudo que temos que fazer é escolher um vetor de preços que induza como reta orçamentária exatamente a reta que separa a curva de indiferenças do consumidor da função de produção. Parece, então, que uma versão do segundo teorema do bem-estar também se aplica a este tipo de economia. De fato, isto é verdade, mas como acontece com tal resultado nas economias de troca, também aqui o teorema depende de hipóteses de convexidade. No exemplo anterior, a função de produção exibia retornos decrescentes de escala. Ou seja, quanto mais mão-de-obra estivesse sendo utilizada, menor era a produtividade marginal. Gra…camente, a função de produção era côncava. Suponha agora que tenhamos uma função com retornos crescentes de escala. Gra…camente, isto signi…ca que a função de produção agora é convexa. Como podemos ver na …gura 4.3, agora é possível que tenhamos pontos e…cientes que não são mais suportados por um equilíbrio de mercado. O ponto (l ; y ) na …gura é de fato e…ciente, mas a reta que é tangente a curva de indiferenças do consumidor e à função de produção em tal ponto não induz um equilíbrio de mercado. Sob tal restrição orçamentária o consumidor de fato escolheria (l ; y ), mas a …rma teria outras opções mais lucrativas.4.2 Figura 4.3: Função de produção com retornos crescentes de escala Mais formalmente, temos o resultado de que se as preferências do consumidor forem convexas e a função de produção tiver retornos não crescentes de escala, então para toda alocação e…ciente nós conseguiremos encontrar um vetor de preços tal que essa alocação seja parte de um equilíbrio competitivo com o vetor de preços em questão. 4.2 Na verdade, o problema da …rma representada na …gura não tem solução. Tal …rma demandaria uma quantidade in…nita do bem l. 36 CAPÍTULO 4. EQUILÍBRIO GERAL - ECONOMIAS COM PRODUÇÃO 4.3 Economia com Firmas Privadas Vamos complicar um pouco a análise que …zemos até agora e permitir que a nossa economia tenha mais consumidores, mais bens produzidos e mais tecnologias de produção, que agora chamaremos de …rmas. Para manter a nossa notação simples, nós vamos limitar o número de consumidores e …rmas em nossa economia a 2 e vamos assumir que temos apenas um insumo, x, e dois bens produzidos, y e z. Cada consumidor recebe uma dotação inicial wx do insumo x. Suponha que ambas as …rmas tenham capacidade para produzir cada um dos bens. Formalmente, suponha que existam …rmas f e g. O bem y pode ser produzido pela …rma f através de uma função de produção y = fy (x) ou pode ser produzido pela …rma g através de outra função de produção y = gy (x). Similarmente, o bem z pode ser produzido usando funções de produção z = fz (x) ou z = gz (x). 4.3.1 E…ciência de Pareto Chame os consumidores na nossa economia de A e B. A de…nição de alocação para uma economia como esta é dada por De…nição 4.1. Uma alocação consiste de duas cestas de consumo (xA ; yA ; zA ) e (xB ; yB ; zB )], e planos de produção xfy ; xfz e xgy ; xgz . Ou seja, uma alocação é uma lista que especi…ca as cestas consumidas por cada consumidor e a quantidade de insumo utilizada na produção de cada bem, por cada …rma. Novamente, nós concentraremos nossa atenção nas alocações ditas factíveis: De…nição 4.2. Uma alocação [(xA ; yA ; zA ), (xB ; yB ; zB ), xfy ; xfz , xgy ; xgz ] é dita factível se 1. yA + yB = fy xfy + gy xgy e zA + zB = fz (xfz ) + gz (xgz ) ; x x : + wB 2. xA + xB + xfy + xgy + xfz + xgz = wA Ou seja, uma alocação é factível se o que é consumido dos bens y e z é exatamente o que é produzido de tais bens e, além disto, a soma do que é consumido do bem x, tanto pelos consumidores quanto pelo processo de produção, é exatamente igual à dotação inicial agregada de tal bem. Agora estamos preparados para de…nir e…ciência de Pareto para este tipo de economia. De…nição 4.3. Uma alocação factível [(xA ; yA ; zA ), (xB ; yB ; zB ), xfy ; xfz , xgy ; xgz ] é dita e…ciente no sentido de Pareto se não existe nenhuma outra alocação factível [(^ xA ; y^A ; z^A ), (^ xB ; y^B ; z^B ), x^fy ; x^fz , x^gy ; x^gz ] tal que U A (^ xA ; y^A ; z^A ) U A (xA ; yA ; zA ) e U B (^ xB ; y^B ; z^B ) U B (xB ; yB ; zB ) ; com pelo menos uma das duas desigualdades acima estrita. Vemos que a de…nição de e…ciência é basicamente a mesma utilizada em uma economia de trocas. A única mudança é que a de…nição de alocação factível agora incorpora a possibilidade de produção. a produção agregada de cada bem é y = fy xfy + gy xgy e z = fz (xfz ) + gz (xgz ).xg sujeito a xf + xg = xy e max fz (xf ) + gz (xg ) xf . Por construção y^A > yA . e fy x^fy + gy x^gy > fy xfy + gy xgy . xgy e (xfz . xgz ] é uma alocação factível. Um plano de produção agregada xfy . Como a cesta de consumo do consumidor B não mudou e o consumidor A claramente estaria mais feliz com a sua nova . xfz . Suponha que [(xA . De…na y^A := yA + fy x^fy + gy x^gy fy xfy + gy xgy . yB . Isto signi…ca que existe x^fy . Lema 4. em que xy = xfy + xgy .4. xgz ] seja uma alocação e…ciente no sentido de Pareto. se xfy . zB ). xgy não seja solução para o problema max fy (xf ) + gy (xg ) xf . xfz e xgy . O lema abaixo mostra precisamente esta relação. Nós podemos também de…nir a quantidade agregada de insumo que está sendo utilizada na produção de cada bem. suponha que xfy . (xB . respectivamente.1. xfz . x^fy . x^gy tal que x^fy + x^gy = xy . xfz e xgy . xgz constituem um plano de produção agregada e…ciente. xgz ) são soluções para os seguintes problemas de maximização: max fy (xf ) + gy (xg ) xf . xfz e xgy . y^A . xgz para cada uma das …rmas. xfy . (xB .4. nós podemos de…nir xy = xfy + xgy e xz = xfz + xgz como as quantidades do insumo x que estão sendo utilizadas para produzir y e z.xg sujeito a xf + xg = xy .xg sujeito a xf + xg = xz : Ou seja. xgy .3. xgz não seja um plano de produção agregada e…ciente. De…nição 4. xgz é dito e…ciente. yA . dadas as quantidades de insumo que estão sendo gastas na produção de cada um dos bens. um plano de produção é e…ciente se. Então xfy .3. Suponha que xfy . xfz e xgy .2 37 Produção E…ciente Dado planos de produção xfy . Isto é. yB . zA ). Por exemplo. Demonstração. ECONOMIA COM FIRMAS PRIVADAS 4. a sociedade como um todo está produzindo a maior quantidade possível de cada um dos bens. zA ). Seria natural esperarmos que a e…ciência na produção se relacionasse de algum modo com a e…ciência total na economia. é fácil ver que [(xA . Além disto. x^gy . zB ). Agora nós podemos de…nir o conceito de produção e…ciente. zi ) sujeito a px xi + py yi + pz zi xi . B e. Mas isto é uma contradição que foi originada da hipótese de que xfy . Os lucros das …rmas serão divididos entre os dois consumidores de acordo com os vetores f e g . o problema do consumidor i pode ser escrito como max U i (xi . k Embora o lema acima tenha sido demonstrado bastante formalmente. e xfy . dizemos que a nossa economia está em equilíbrio. zi ) (xi . yA . Nós concluímos que esta hipótese estava incorreta e. o problema do consumidor agora incorpora o fato de que este receberá uma parcela ji dos lucros das …rmas. zB ). Portanto. zA ). yi . também aqui os consumidores são os proprietários das …rmas. com ji j = f. g e i = A. Se um plano de produção não é e…ciente. zA ). xfz e xgy . Dado um vetor de preços (px . portanto. isto implica que [(xA . xgz ] em que (xA . Como no caso anterior. xgz não era um plano de produção agregada e…ciente.3. xgz constituem um plano de produção agregada e…ciente. Suponha agora que tenhamos uma alocação [(xA . yA . yi . py . Assim. EQUILÍBRIO GERAL . não necessariamente esta alocação será factível. então é possível produzir uma maior quantidade de um dos bens usando a mesma quantidade de insumo.ECONOMIAS COM PRODUÇÃO cesta de consumo. zB ) sejam soluções para os problemas dos consumidores A e B. xfz . gB ). zB ). yA . zA ) e (xB . (xB . dado o vetor de preços (px . alocações que envolvem planos de produção ine…cientes não podem ser e…cientes no sentido de Pareto.yi . yB . xfz e xgy . xgz sejam soluções para os problemas das …rmas. de…na dois 0 pra todo j = f. py . py . pra vetores f := ( fA . pz ) os problemas das …rmas na nossa economia serão: f = max py fy xfy + pz fz (xfz ) p x x fz + x fy g = max py gy xgy + pz gz (xgz ) px xgy + xgz xfy . g. De forma similar ao caso de uma economia com apenas um consumidor e uma tecnologia de produção. Novamente. xgy . xfy . xgy .3 Equilíbrio Competitivo Suponha que agora estejamos em uma situação descentralizada em que cada …rma age de forma independente com o único objetivo de maximizar o seu lucro.38 CAPÍTULO 4. xgz ] não é e…ciente no sentido de Pareto. xfy . xfz e xgy . A interpretação do vetor j é que ele indica a fração das ações da …rma j que cada consumidor possui. 4. fB ) e g := ( gA . xfy . pz ) tal que os mercados para todos os bens estejam equilibrados. claramente este …cará mais feliz. Mas se …zermos isto e dermos a quantidade excedente produzida para um dos consumidores. zi 0: px wix + f i f + g i g Ou seja. quando temos um vetor (px . cada …rma escolhe um plano de produção que maximize o seu lucro. Formalmente. (xB . observe que a idéia da demonstração é extremamente simples.xgz Ou seja. pz ). yB . respectivamente. xfz . jA + jB = 1. yB . .xfz e xgy . aqui também o primeiro teorema do bem-estar é válido. xfy . ECONOMIA COM FIRMAS PRIVADAS 39 De…nição 4. xgy . yA . temos o seguinte resultado: Teorema 4. yA . (xB . Formalmente. zB ). yB . Dado o vetor de preços (px . Dado o vetor de preços (px . A economia é caracterizada pelas funções de utilidade U A e U B dos dois consumidores.5. py . zA ). zA ). aqui também nós só precisamos veri…car os mercados para k 1 dos bens para garantir que a economia esteja em equilíbrio. De novo. . xgy . xgy . Só preços relativos estarão determinados em uma economia com produção e. zB ) resolvem os problemas dos dois consumidores na economia. 3. (xA . xgz ] é e…ciente no sentido de Pareto. py . yB . xgz ] e (px . zB ). Lembramos. gB ) que ambos os consumidores detêm das empresas. pz ) sejam um equilíbrio competitivo. yA . py . Então. zA ). (xB . 2. xfy . xgz resolvem os problemas das …rmas. pz ). então. Observação 4. yB . [(xA .4. Nós também temos uma versão do segundo teorema do bem-estar para economias com produção. 4. e wB das …rmas. no entanto. que a hipótese implícita de que a …rma e os consumidores são tomadores de preços é essencial para o resultado. zA ) e (xB . fz . zA ).1. (xB . xfz . zB ). xfz . o primeiro teorema do bem-estar é válido praticamente sem nenhuma hipótese explícita. pz ). a mesma de antes. Todos esses elementos fazem parte da descrição da nossa economia e permanecem …xos durante a nossa busca por um equilíbrio competitivo. novamente. Dizemos que uma alocação [(xA . A ) e ( fB . as funções de produção fy . py . A única diferença é que incorporamos àquela de…nição o fato de que agora temos duas …rmas maximizadoras de lucro na economia cujas ações estão divididas entre os consumidores. xgy . a de…nição de equilíbrio competitivo aqui é similar à de…nição no caso de uma economia de trocas puras.3.5 Primeiro e Segundo Teoremas do Bem-Estar Como no caso de uma economia de trocas. xfz e xgy . nós sempre escolheremos o preço de um dos bens para funcionar como numerário. xfz . xfy . (xB . xfy . pz ) constituem um equilíbrio competitivo se 1. tal teorema necessitará de hipóteses explícitas sobre as preferências dos agentes e a tecnologia de produção. yB . yB .1 (Primeiro Teorema do Bem Estar). É importante não se confundir aqui entre o que é parte da descrição da economia e o que caracteriza um equilíbrio competitivo. pelas parcelas de ações ( A . xgz ] e um vetor de preços (px . 4. zB ). gy e gz x x que ambos os consumidores possuem do bem x e. Novamente.4 Lei de Walras e Preços Relativos Como no caso de uma economia de trocas. xgz ] é factível. A implicação é. xfy .3. yA . yA . na prática. xfz . Novamente. nós só temos 2 equações independentes para determinar o nosso vetor de preços em equilíbrio. Suponha que [(xA . [(xA . Então. as dotações iniciais wA f g …nalmente.3. se p1 < p2 e se p1 = p2 : (c) Usando o que você aprendeu na parte (b) encontre todos os equilíbrios competitivos para esta economia. Isto é.3 4.2 (Segundo Teorema do Bem Estar). B ) = (0.1. A solução será dividida em 3 casos. pz ) tais que para a dotação inicial e a divisão de ações anteriores. ou seja. inclua as condições de não negatividade do consumo entre as restrições do problema. 1). x2A = x1A 1 2 x2A 1 2 e U B x1B . wB ). A …rma representativa usa o bem 1 para produzir o bem 2 de acordo com a seguinte função de produção: y2 = 2 y1 1 2 : Suponha que o consumidor B seja o dono da …rma. Vários livros de pós-graduação podem ser utilizados para tanto. Solução. Considere uma economia com dois consumidores. De todo modo.3. xfz . B ) e um vetor de preços (px . Para completar. uma divisão das f f g g f g ações das …rmas = ( A. B ) e = ( A . xfy . py . py . Para enunciar o teorema precisamente.x2B ) 4. (xB . nós precisaríamos de algumas condições técnicas adicionais que não são importantes no momento. yA .3 O enunciado do teorema acima não está cem por cento preciso.40 CAPÍTULO 4. pz ) constituem um equilíbrio competitivo. [(xA . Suponha que todos os consumidores em nossa economia tenham preferências convexas e que as funções de produção das empresas x x f e g sejam bem comportadas.ECONOMIAS COM PRODUÇÃO Teorema 4. para esta economia ( A . yB . Se p1 > p2 . zB ). . zA ). x2B = x1B + x2B : (a) Dado um vetor de preços (p1 . xgy . dois bens e uma …rma. …ca aqui o aviso para que o teorema como escrito acima não seja utilizado como fonte de referência para um preciso enunciado do segundo teorema do bem-estar em economias com produção. xgz ] e (px . então existe uma dotação inicial (wA . (b) Usando apenas lógica (matemática não vai ser de muita ajuda aqui) descreva a solução do problema do consumidor B. Os dois consumidores têm uma dotação inicial de uma unidade do bem 1. mas não possuem inicialmente nenhuma unidade do bem 2. p2 ) e tratando o lucro da …rma como exógeno escreva o problema do consumidor B de forma completa.6 Exemplo Exemplo 4. EQUILÍBRIO GERAL .4. (a) O problema do consumidor B é max x1B + x2B (x1B . suponha que as funções de utilidade dos consumidores nesta economia sejam dadas por U A x1A . incluindo os dois extremos. ECONOMIA COM FIRMAS PRIVADAS 41 sujeito a p1 x1B + p2 x2B p1 + x1B . então B gastará toda sua renda no bem 2 e a solução do seu problema será p1 + x1B . Lembremos que o problema do consumidor A é max (x1A . os bens 1 e dois são substitutos perfeitos para o consumidor B. Neste caso as soluções do problema tomam a seguinte forma: p1 + . Façamos. Em outras palavras. então x1B . x2A 0: O consumidor A é um consumidor Cobb-Douglas. é óbvio que ele gastará toda a sua renda no bem mais barato. x2B = p1 + . p1 = 1 e p2 = p. se p1 < p2 . x2B = 0. x2B 0:4.4 (b) O objetivo do consumidor B é maximizar a soma dos dois bens. então.x2A ) x1A 1 2 x2A 1 2 sujeito a x1A + px2A 1 x1A .4. : p2 Similarmente. então. (c) A primeira coisa a fazer para encontrar os equilíbrios competitivos é escolher um dos preços como numerário. Desta forma.3. x2B ) em que o consumidor B gaste toda a sua renda será uma solução para o seu problema. se p1 > p2 . podendo ser qualquer número entre zero e um.0 : p1 Se p1 = p2 . . x2B = com ) p1 + p2 . Nosso objetivo agora passa a ser determinar p. dada a sua restrição orçamentária. Mas. então qualquer combinação (x1B . portanto nós já sabemos que a sua função demanda é dada por x1A = 4.4 11 11 e x2A = : 21 2p Lembre-se de que a dotação inicial do consumidor B consiste de apenas uma unidade do bem 1. (1 p1 x1B . já que somente preços relativos podem ser determinados. (p1 . Sob tal hipótese sabemos que A estará consumindo a cesta de consumo x1A . para algum entre zero e um será ótima para o consumidor 2. 2 2 . Sabemos. y 2 = (1. . que qualquer cesta da forma x1B .42 CAPÍTULO 4. 2 2 y 1 . x2B = (2 . o que em termos das expressões encontradas acima vira 1 +2 =2 2 1: Resolvendo a equação acima obtemos = 1=4: Portanto. também. vamos ver se existe um equilíbrio em que p1 = p2 . 2 (1 )) . 2) . . p2 ) = (1. EQUILÍBRIO GERAL . e a …rma estará utilizando 1 unidade do bem 1 no seu processo de produção. Chequemos se podemos equilibrar o mercado para o bem 1. 2 2 1 3 x1B . Primeiro. nós podemos resolver o problema da …rma max p2 y 1 1 1 2 y1 y A condição de primeira ordem do problema acima é p p y1 O que é equivalente a 1=0 y 1 = p2 : O lucro da …rma será dado por = p2 : Do problema do consumidor B nós sabemos que temos que lidar com 3 casos.ECONOMIAS COM PRODUÇÃO Finalmente. Tudo que temos que fazer agora é ver se existe algum valor de que equilibra a nossa economia. x2A = . encontramos o seguinte equilíbrio competitivo para a nossa economia. x2A = 1 1 . x2B = . A condição de equilíbrio para o mercado do bem 1 é x1A + x1B = 2 y1. 1 1 . então. ou seja p = 1. 1) : x1A . Como consequência da lei de Walras sabemos que só precisamos checar o mercado para um dos bens. y2 x1A . = 2 2p = 1 + p2 . y2 x1A . x2A x1B . mas esta solução não satisfaz p > 1. 2 2p 1 + p2 = 0. . Ou seja. x2A x1B . = p2 1 1 = .3. suponha que 1 > p. temos que testar a condição p1 < p2 . então. ou seja 1 < p. concluímos que não existe equilíbrio competitivo para esta economia satisfazendo p1 < p2 . 0 : Se tentarmos equilibrar o mercado para o bem 2 nós obtemos a seguinte condição: x2A + x2B = y 2 () 1 = 2p 2p () 1 p2 = : 4 p A solução positiva da equação acima é p = 1=4. Nesta situação temos y1. x2B = p2 . 2p . Observe que esta solução não satisfaz p < 1. portanto. Nesta situação temos y1. 2p . ECONOMIA COM FIRMAS PRIVADAS 43 Temos agora que veri…car a existência de equilíbrio para os dois outros casos oriundos da solução do problema do consumidor B. k . x2B = p2 . portanto não existe equilíbrio competitivo satisfazendo a condição p1 > p2 . = p2 1 1 .4. . Finalmente. Vamos começar pelo caso p1 > p2 . p : Se tentarmos equilibrar o mercado para o bem 1 nós obtemos x1A + x1B = 2 y 1 () 1 = 2 p2 2 () 3 p2 = : 2 p A solução positiva da equação acima é p = 3=2. Ou seja. em que quantidades positivas dos bens y e z sejam produzidas. A e B. representado pela letra A e Bandanas. 32. f e g. A letra (a) facilita a solução. o primeiro e o segundo teoremas do bem-estar têm sérias limitações (principalmente o segundo). maçãs. Isto é. A leitura das seções 31. independentemente de quais sejam as dotações iniciais do bem x e independentemente de como as ações das …rmas estejam distribuídas entre os consumidores (Dica: se tal resultado é independente das funções de utilidade dos consumidores. . gy xgy = bxgy e gz (xgz ) = dxgz . representado pela letra B. Nesta economia existem dois insumos para produção. Trabalho e terra são utilizados para produzir dois tipos de bens. fz (xfz ) = cxfz . para se produzir uma unidade de Bandana só é necessário se utilizar uma unidade de trabalho.ECONOMIAS COM PRODUÇÃO 4. y e z. dois consumidores. também dá para resolver a questão sem utilizá-la. Considere uma economia com um consumidor e uma …rma.5 É isto mesmo. B) = A 4 B 4 :4. então provavelmente ele só depende do problema das …rmas. dois bens produzidos.44 CAPÍTULO 4.4 Leitura Complementar Obrigatória Na prática. Exercício 4. pz ) é sempre o mesmo. Suponha que a tecnologia de produção de maçãs seja dada pela seguinte função de produção: A = min fL. faça px = 1. As funções de produção das duas …rmas são dadas por fy (xfy ) = axfy . 31. Trabalho.2. 4.12. Bandana tem a seguinte função de produção: B = L: Para …nalizar a descrição de nossa economia.13.1. T g : Ou seja. 32.7. Isto ocorre independentemente de quais sejam as funções de utilidade dos consumidores.8 e 32.14 de Varian (2006) é fundamental. e duas …rmas. 4. embora dê mais trabalho. py . o vetor de preços (1. O consumidor recebe uma dotação inicial de 15 unidades de L e 10 unidades de T . a utilidade do consumidor só depende de quanto ele consome de maçãs e bandanas. representado pela letra L e terra. suponha que as preferências do nosso consumidor sejam dadas pela seguinte função de utilidade: 3 1 U (A. em que a > b e d > c. (a) Mostre que em qualquer plano de produção e…ciente para esta economia somente a empresa f produz o bem y e somente a empresa g produz o bem z: (b) Escolha o preço do bem x como numerário. Isto é. mas. uma economia com um insumo x.5 Exercícios Exercício 4.5 Calcule o equilíbrio competitivo desta economia. representado pela letra T . Considere uma economia como a estudada nas notas de aula. EQUILÍBRIO GERAL . Por outro lado. Mostre que em qualquer equilíbrio competitivo da economia acima. para produzir uma unidade de maçã é necessário utilizar pelo menos uma unidade de trabalho e uma unidade de terra.). x2A ) = (1=4. Aquele exemplo satisfaz as condições do segundo teorema do bem-estar.3. sabemos que com a correta redistribuição das dotações iniciais e da propriedade da …rma existirá um equilíbrio competitivo que gera a alocação acima. Considere a economia no exemplo 1 das notas de aula sobre economias com produção. EXERCÍCIOS 45 Exercício 4. encontrar uma distribuição de dotação inicial e de propriedade da …rma que leve a um equilíbrio com a alocação acima é fácil). 2) é e…ciente no sentido de Pareto. A partir daí. portanto.5. (x1B . 7=4) e (y 1 . y 2 ) = (1. . Encontre um destes equilíbrios (Dica: do problema do consumidor A você já consegue descobrir qual vai ser o vetor de preços no equilíbrio. É possível mostrar que a alocação (x1A . x2B ) = (3=4. 1=4).4. ECONOMIAS COM PRODUÇÃO . EQUILÍBRIO GERAL .46 CAPÍTULO 4. No decorrer do texto nós vamos ver que as di…culdades não são apenas computacionais. quando impressa. sendo em certos casos até mesmo impossível de…nir um conceito de ótimo social aceitável. 47 .Capítulo 5 Bem-estar Social5. O grande problema agora é determinar o que é melhor para a sociedade. o arquivo é visualisado corretamente na tela do computador. a função de um governante deveria ser promover o bem-estar social. depois clicando no botão avançado e depois selecionando a opção imprimir como imagem. uma sociedade é composta por vários indivíduos com preferências distintas. x e y. algumas expressões que têm um símbolo de preferência como sobrescrito aparecem apenas como um til. portanto. Isto é só uma dica caso alguém tenha o mesmo problema. Em geral.2 Agregação de Preferências O problema de bem-estar social é acima de tudo um problema de agregação de preferências. Utilizando a notação padrão em economia. 5. o problema de saber quais ações seriam melhores para a sociedade está longe de ser um problema simples.2. Nós temos uma sociedade com vários indivíduos com preferências distintas e queremos agregar estas preferências de modo a gerar uma preferência social. 5. Lembre-se. mas no caso em que a economia tem apenas 2 bens as coisas funcionam perfeitamente.1 Introdução Idealmente. Para ajudar na intuição você pode imaginar que x e y são dois projetos que o governo está pensando em implementar e nós estamos agora tentando descobrir qual deles é preferível de um ponto de vista social.1 5. Ou seja. A única forma que eu encontrei para resolver isto foi imprimir o arquivo como imagem. mas a impressão apresenta tal problema. No meu caso isto é feito selecionando imprimir. Isto é. tal problema não tem uma solução satisfatória. Nesta sociedade existem N indivíduos e cada indivíduo i tem uma preferência determinada entre as alternativas x e y. Isto signi…ca que ao se deparar com alguma decisão o governante deveria fazer a escolha que fosse melhor para a sociedade. 5.1 Quando eu imprimo o texto na minha impressora. a expressão %% aparece apenas como %~ . escrevemos x i y.1 Preferências Sociais sobre Duas Alternativas Suponha que a nossa economia tenha duas alternativas. A interpretação é que se fS (f1 . Como dissemos antes. então. fN ) um valor em f1. 0 ou 1 se x i y. Isto é. 0 ou 1. Agora o nosso funcional de preferência social pode ser representado por uma função fS que associa a cada vetor da forma (f1 . indiferente. N fS (f1 . então x é socialmente preferível. 1) = 1: Ou seja.1. x S yg : Exemplo 5. :::. indiferente ou pior do que y.1 (Maioria simples). :::. :::. a função fS tem como argumento um vetor que representa as preferências de todos os agentes em nossa economia e fornece como resposta um ranking social entre x e y. :::. no sentido de que qualquer funcional de bem-estar social aceitável deve satisfazê-la. Provavelmente. 1) = 1 e fS ( 1.48 CAPÍTULO 5. Provavelmente.1. Neste caso simpli…cado. Usando a notação acima o funcional de bem-estar social associado à regra de votação por maioria simples pode ser escrito como 8 PN < 1 se Pi=1 fi > 0. :::. Note que um funcional de bem-estar social associa uma preferência social a todas as possíveis combinações de preferências dos agentes. fN ). 1g. :::. Formalmente. podemos representar tal propriedade da seguinte forma: De…nição 5. Vamos mudar um pouco a abordagem agora e vamos tentar pensar em algumas propriedades que gostaríamos que um funcional de bem-estar social genérico tivesse. Um funcional de preferência social é simplesmente uma regra que associa a cada possível combinação de preferências dos N indivíduos em nossa economia. ou é Paretiano.2 (Ditador). ninguém questionaria que o funcional de bem-estar social mais justo seria o dado por uma votação simples. Exemplo 5. esta propriedade é praticamente inquestionável. uma preferência social %S . se todos na sociedade consideram x melhor do que y. :::. Dizemos que um funcional de bem-estar social fS respeita unanimidade. com apenas duas alternativas. Ou seja. :::. então um funcional de bem-estar social Paretiano deve também considerar x melhor do que y. em um contexto em que nenhum agente possa ser considerado mais importante que o outro. Nós dizemos que um funcional de bem-estar social é ditatorial se existe um indivíduo i tal que fS (f1 . temos uma notação que funciona bem. x i y se o indivíduo considera x uma alternativa melhor. x S y. a propriedade mais indiscutível que qualquer funcional de bem-estar social minimamente aceitável deva satisfazer é a propriedade de unanimidade. um funcional de bem-estar social é ditatorial quando ele sempre . um funcional de bem-estar social é Paretiano se ele respeita um per…l de preferências unânime. fN ) = 0 se i=1 fi = 0. Ou seja. BEM-ESTAR SOCIAL x i y. respectivamente. associa uma das respostas em fx S y. de…na fi como fi = 1. ou pior que y. respectivamente. 0. x i y ou x i y. se fS (1. fN ) = fi para qualquer per…l de preferências (f1 . Para um dado indivíduo i. fi . uma regra que. Observação 5. para qualquer combinação de respostas possível. fN ) = 1. Suponha que passemos um questionário a todos os agentes de nossa economia perguntando sua opinião a respeito de x e y. respectivamente. O funcional de bem-estar social é. PN : 1 se i=1 fi < 0: Vimos acima o exemplo do funcional de bem-estar social dado por maioria simples. O único funcional de bem-estar social que satisfaz Anonimidade. um funcional de bem-estar social que satisfaz esta propriedade não faz distinção entre os diversos indivíduos na sociedade. Agora suponha que alguns indivíduos aumentem a sua consideração por x. :::. Ou seja. fN ) = fS ( f1 . É claro que esta propriedade só é interessante em situações em que realmente não existem justi…cativas para considerar a opinião de alguns indivíduos mais importante que a de outros. Teorema 5. Agora nós consideraremos três outras propriedades que são desejáveis a um funcional de bem-estar social em um grande número de situações. Nós demonstramos tal fato no teorema abaixo. Dizemos que um funcional de bem-estar social é neutro entre as alternativas se sempre temos fS (f1 . com desigualdade estrita para algum i. . Ou seja.5. De…nição 5.4 (Resposta Positiva). Neutralidade Entre Alternativas e Resposta Positiva. :::. De…nição 5. ao menos ele respeita decisões unânimes. Em particular. A última propriedade que vamos considerar é a que diz que o funcional de bem-estar social deve ser in‡uenciado por mudanças de preferências individuais de uma forma consistente com estas mudanças.2. Ou seja. e fS (f1 . Como discutimos antes. Portanto. :::. Embora existam situações em que nem todas as propriedades acima sejam desejáveis para um funcional de bem-estar social. fN ). AGREGAÇÃO DE PREFERÊNCIAS 49 concorda com a preferência de algum indivíduo especí…co da sociedade. se 10 indivíduos consideram x melhor do que y. fN ) só depende do número de 1’s. Para qualquer vetor (f1 . :::. fN ). :::. em geral elas são propriedades bem razoáveis. fN ) 0. A propriedade a seguir é uma espécie de anonimidade entre as alternativas. :::. o valor fS (f1 . mas como o exemplo acima mostra. Dizemos que um funcional de bem-estar social responde de forma positiva a mudanças de preferências individuais. De…nição 5. Observe que um funcional de bem-estar social ditatorial é sempre Paretiano. Um pouco menos óbvio é o fato de que na verdade maioria simples é o único funcional de bem-estar social que satisfaz Anonimidade. 0’s e -1’s em (f1 . :::. se para quaisquer dois per…s (f^1 .2 (Anonimidade). para um funcional que respeita anonimidade não importa quem são esses 10 indivíduos. mesmo regras intuitivamente super injustas a satisfazem. suponha que para um dado per…l o nosso funcional de bem-estar social considere x melhor ou pelo menos tão bom quanto y. fN ) tais que f^i fi pra todo i. A propriedade acima diz que agora o nosso funcional de bem-estar social tem que considerar x estritamente melhor do que y.1 (Teorema de May).3 (Neutralidade Entre Alternativas). f^N ) e (f1 . então fS (f^1 . Neutralidade Entre Alternativas e Resposta Positiva é a regra da maioria simples. :::. :::. Ou seja. um funcional de bem-estar social é neutro entre as alternativas se quando todos os indivíduos da sociedade invertem suas preferências em relação a x e y. fN ). f^N ) = 1. ser paretiano é uma espécie de propriedade mínima que todo funcional de bem-estar social deve satisfazer. então a preferência social também é invertida. é fácil veri…car que a regra da maioria simples satisfaz todas as propriedades acima. fN ) = fS ( f1 . então. então fS realmente age como a regra da maioria. :::. Como antes nós havíamos visto que fS (f1 . Nós veremos que tal problema tem uma resposta bem menos satisfatória do que no caso em que K = 2. :::. fN ) = 0. fN ) n (f1 . Novamente. :::. fN ) que satisfazem fi = 1: n (f1 . :::. :::. a desigualdade é estrita para os n+ (f1 . fN ) é tal que n+ (f1 . em conformidade com o que aconteceria com a regra da maioria. Isto quer dizer que no per…l (f1 . fN ) temos n+ (f1 . fN ) = fS ( f1 . fN ) : A primeira coisa que vamos mostrar agora é que se n+ (f1 . fN ) = fS ( f1 . n+ (f1 . Mas observe que fi f^i pra todo i. n (f1 .2 Usando Resposta Positiva nós concluímos que fS (f1 . :::. Por Neutralidade Entre Alternativas nós sabemos que fS (f1 . :::. :::. f^N ) satisfaz n+ (f^1 . fN ) := # fi : fi = 1g. :::. f^N ) = 0. usualmente. fN ) = fS ( f1 . :::. fN ) = 1. Mas observe que. Como o valor de fS só depende do número de 1’s e -1’s em um determinado per…l. f^N ) em que nós mudamos o valor dos n+ (f1 . :::. por construção. :::. Considere um novo per…l (f^1 . Mas agora. :::. fN ).2 Mais precisamente. o per…l (f^1 . fN ). portanto. fN ). com K 3. fN ) n (f1 . de…na n (f1 . BEM-ESTAR SOCIAL Demonstração. :::. :::. fN ) como o número de indivíduos em (f1 . fN ) = G n+ (f1 . fN ) = n ( f1 . :::. :::. fN ) := # fi : fi = 1g. fN ) < n (f1 . :::. fN ) = 1. :::. Lembre-se que. :::.2. fN ) = fS ( f1 . :::. Para completar. suponha que o per…l (f1 . com desigualdade estrita para algum i. f^N ) = n (f^1 . fN ). fN ) = n (f1 . Portanto. uma relação de preferência satisfaz as seguintes propriedades: 5. :::. Agora vamos apenas demonstrar que se fS é um funcional que satisfaz as três propriedades acima. então. :::.50 CAPÍTULO 5. :::. :::. o nosso funcional fS também satisfaz fS (f1 . fN ). :::. usando Neutralidade entre Alternativas nós obtemos fS (f1 . :::. :::. fN ) . Já sabemos. que fS ( f1 . fN ) = n+ ( f1 . que quando o número de pessoas que prefere x a y é igual ao número de pessoas que prefere y a x. fS comporta-se exatamente como a regra da maioria simples em todas as situações possíveis. Similarmente.5. :::. fN ). fN ) primeiros indivíduos . :::. 5. fN ) primeiros indivíduos que tinham fi = 1 para f^i = 0. Pelo que acabamos de aprender sabemos. ou seja n+ (f1 . :::. nós somos obrigados a concluir que fS (f1 . fN ) > n (f1 . fN ). Considere agora um per…l tal que n+ (f1 . fN ) = 1. então fS é a regra da maioria. Como fS satisfaz anonimidade. fN ) que consideram x estritamente melhor do que y.2 Preferências Sociais sobre k Alternativas Nós agora estudaremos o problema de agregação de preferências sobre um conjunto de K alternativas. :::. :::. :::. fN ). :::. Na lista de exercícios vocês vão ter que checar que a regra da maioria sempre satisfaz as três propriedades acima. fN ) é tal que n+ (f1 . :::. suponha que a sociedade seja composta por N agentes e que cada agente i tenha uma preferência %i sobre um conjunto X de K alternativas. de…na n+ (f1 . :::. :::. e será o caso aqui. Isto implica que n+ ( f1 . fN ) = fS ( f1 . :::. fN ) = n (f1 . :::. Suponha que (f1 . pelo que nós aprendemos na primeira parte da demonstração. o que conclui a demonstração do teorema. fN ) e n (f1 . :::. :::. então. :::. fN ) e. Por construção. fN ). Para um dado per…l de preferências (f1 . nós temos que ter fS (f1 . :::. fN ). nós agora aprendemos que fS ( f1 . :::. fN ) = 0. fN ) > n ( f1 . :::. f^N ) e. :::. :::. :::. tem que satisfazer fS (f^1 . :::. fN ) pessoas a mais que preferem x a y do que y a x. :::. nós podemos escrever fS na forma fS (f1 . :::. a função que para qualquer per…l de preferências (%1 . nós representaremos a preferência social induzida por (%1 . Clara no sentido de que eles sempre sabem apontar qual alternativa é preferida em uma comparação dois a dois. Ou seja.%N ) sempre faz %S 1 =%i . os agentes em nossa economia sempre têm uma clara opinião em relação a qualquer par de alternativas. Um funcional de bem-estar social é uma regra que associa a cada possível per…l de preferências estritas (%1 .%N ) dado o per…l de preferências dos agentes (%1 . y x e z x. então o agente i deve considerar x pelo menos tão bom quanto z.2 (Transitividade). A outra propriedade usualmente satisfeita pelas relações de preferência utilizadas em economia é a seguinte: Propriedade 5. %N ). x S 1 y signi…ca que x é estritamente socialmente preferível a y. Nós agora de…nimos um funcional de bem-estar social no presente contexto: De…nição 5. para algum indivíduo i .2. . (% . Nós dizemos que uma preferência %i é estrita se para nenhum par de alternativas x e y. pela expressão %S 1 . Também neste caso. Uma forma conveniente de representar preferências estritas é através de uma lista ou vetor. :::. x) representa a relação de preferência em que y z. A lista (y.5. Para uma preferência completa %i a a…rmação eu não sei como x se compara a y não é uma resposta válida. Nós usaremos a seguinte notação: Para um dado per…l de preferências dos agentes (%1 . y 2 X.3 (Preferências Estritas).:::. De forma similar. :::.3. Uma relação de preferência %i é transitiva se para qualquer trio de alternativas x. y e z. dado o nosso funcional de bem-estar social e (% .:::. %N ) uma preferência %S . mas ressaltamos que tal hipótese não é necessária para os resultados nesta seção. :::. ou x %i y ou y %i x: Ou seja. suponha que o nosso conjunto de alternativas seja dado por X := fx. com x 6= y nós temos x i y. :::. a a…rmação x %S 1 y signi…ca que x é socialmente preferível a y. as preferências de todos os agentes em nossa economia satisfarão as duas propriedades acima. uma das funções de bem-estar social mais imediatas seria a função ditatorial. Por simplicidade. AGREGAÇÃO DE PREFERÊNCIAS 51 Propriedade 5.5.:::. %N ). dado um (% . %N ). uma preferência completa %i sabe comparar qualquer par de alternativas. então necessariamente temos que ter x %i z: A propriedade acima simplesmente a…rma que se x é considerado pelo menos tão bom quanto y pelo agente i e y é considerado pelo menos tão bom quanto z. %N ). y. Por hipótese. Exemplo 5. Uma relação de preferência %i é completa quando para qualquer x. Por exemplo. nós faremos uma hipótese adicional. z.%N ) (% . nós suporemos que as preferências dos agentes são todas estritas: Propriedade 5.:::.1 (Complitude).%N ) funcional de bem-estar social. não necessariamente estrita (mas que satisfaz complitude e transitividade). zg. Para simpli…car a análise. Ou seja. toda vez que tivermos x %i y e y %i z. Desta forma. Tudo o que o ranking usa é a informação de que i considera x melhor do que y. . BEM-ESTAR SOCIAL Exemplo 5. Ou seja. 2 para o segundo e 1 para o último e de…nir.:::% ) x i y para todos os agentes i. uma função de utilidade dada pela soma de sua pontuação no ranking de cada um dos agentes em nossa economia. Um funcional de bem-estar social é Paretiano. na hora de comparar x e y.52 CAPÍTULO 5. que na verdade é simples. Uma possibilidade para agregar tais preferências seria atribuir 3 pontos para o primeiro colocado. y) e (y. para cada alternativa em X. No exemplo em questão nós teríamos U (x) = 6. y.:::. É importante que o formalismo matemático não prejudique o entendimento da propriedade acima. A principal delas é que se estamos interessados em decidir se x é melhor do que y socialmente. (z. z). x. U (y) = 6 e U (z) = 6. Suponha que X := fx. é bastante comum na análise econômica nos mais diversos contextos. se é o caso que (% .4. ou satisfaz unanimidade. De…nição 5.%0N ) y se e somente se x %S 1 y. um funcional de bem-estar social é Paretiano se pelo menos ele concorda com a preferência dos agentes quando eles forem unânimes na maneira em que eles comparam x e y. Logo. não faz diferença para o nosso ranking social se o agente i considera x a melhor alternativa de todas e y a pior. Nós dizemos que um funcional de bem-estar social satisfaz Independência de Alternativas Irrelevantes (IAI) se para quaisquer dois per…s de preferências (%1 . x).6. também é verdade que x %S (%1 . :::. %0N ) e par de alternativas x e y tais que x %i y se e somente se x %0i y. alguns funcionais de bem-estar social interessantes não satisfazem tal condição. zg e que tenhamos três agentes com preferências estritas dadas por (x. z. só deve depender de como os agentes em nossa economia comparam x e y. então x S 1 N y. É fácil perceber que a propriedade acima é bem mais discutível do que a propriedade de Paretianismo. Nós agora apresentamos outra propriedade que. (%01 .%N ) (%0 .:::. :::. embora não seja tão indiscutível quanto a propriedade de Paretianismo acima. %N ). mas esta também tem as suas justi…cativas. para todo i. não há justi…cativa óbvia para concluirmos que tal decisão deva depender de como os agentes em nossa economia comparam x e y com outras alternativas. y. ou se i considera x a quarta melhor alternativa e y a quinta. se para qualquer par de alternativas x e y e per…l de preferências (%1 . o nosso funcional de bem-estar social associaria a este per…l de preferências a seguinte preferência social: x S y S z. De…nição 5. O que IAI diz é que o ranking social entre qualquer par de alternativas x e y. uma propriedade mínima para um funcional de bem-estar social ser considerado aceitável é a propriedade de unanimidade. ::: %N ) .7. No entanto. Ou seja. Novamente. y.5. z) e %2 = (y. Na verdade. isto implica que na verdade para qualquer per…l em que x 1 y e (% . x).3 Dado IAI. z. Por IAI e Paretianismo aprendemos que para qualquer (% .5. %2 ) em que y x. É por isto que na demonstração do passo nós só nos preocupamos com o caso em que x 1 z e z 2 x. .% ) e x 2 y nós obrigatoriamente teremos x S 1 2 y: 5. Tudo que …zemos foi trocar a posição entre x e z no ranking do último agente. Por (% . Teorema 5.5. %2 ) em que z 2 x nós teremos z S x. Suponha que o número de alternativas seja pelo menos 3. zg o conjunto de alternativas. y) e (y. Se 1 não é um ditador. mas nós demonstraremos o resultado para o caso simpli…cado em que existem apenas dois agentes e três alternativas.4 Observe que para qualquer per…l (%1 . %2 ) em que y 2 x. y. Demonstração do teorema de Arrow com 2 agentes e 3 alternativas. não mudamos. Se um funcional de bem-estar social satisfaz Paretianismo e Independência de Alternativas Irrelevantes.4 k Nós precisamos de mais um passo agora. Para qualquer per…l (%1 .% ) y %S 1 2 x. Suponha que o agente 1 não seja um ditador. x.% ) z S 1 2 x. x.% ) per…l (%1 .%2 ) S Demonstração do Passo 2. Considere o seguinte per…l: %1 = (x. z. z). um resultado famoso provado por Kenneth Arrow mostra que o ocorrido no exemplo acima não foi um caso especial. Modi…quemos um pouco o per…l de preferências naquele exemplo para (x.% ) (% . Paretianismo imediatamente nos (% . temos y S 1 2 x. Agora IAI e Paretianismo implicam que para qualquer per…l (%1 . devido a Paretianismo. k 5. AGREGAÇÃO DE PREFERÊNCIAS 53 Exemplo 5.4. e um per…l de preferências tais que x 1 y. x). y 2 x.2. Mas isto implica que agora socialmente nós temos y S z contrariando IAI. %2 ) em que z x: 2 x. Agora.%2 ) S Demonstração do Passo 1. Para qualquer per…l (%1 . sempre que x 1 y (% . Nós prosseguiremos através de vários passos. digamos x e y. A demonstração do teorema acima na sua forma mais geral está um pouco além dos objetivos deste curso. Mas observe que agora temos U (y) = 6 e U (z) = 5.2 (Teorema da Impossibilidade de Arrow).% ) y 2 x nós teremos y %S 1 2 x. 2 x. y. mas (% . para nenhum agente. Mas agora transitividade da preferência social implica que (% . por (% . nós necessariamente temos y (%1 . Ou seja. então este é um funcional ditatorial. (% . (z.% ) transitividade.% ) unanimidade nós temos que ter z S 1 2 y. y. mas pelo que nós aprendemos acima nós também (% .% ) temos que ter y %S 1 2 x. Nós vamos mostrar que neste caso o agente 2 será um ditador. então y S 1 2 x. então tem que existir um par de alternativas.% ) Por unanimidade nós temos y S 1 2 z e pelo passo anterior temos z S 1 2 x. y) e %2 = (z. Agora considere o seguinte per…l %1 = (x. Considere o funcional de bem-estar social no exemplo 5. Passo 2.5. z).3 Para chegar a tal conclusão nós estamos usando o fato de que.% ) garante que z S 1 2 x. Seja X := fx. %2 ) em que z 1 x e z 2 x. nós necessariamente temos z (%1 . Passo 1. a forma como ele compara y e z. :::. Isto deixa aberta a possibilidade de que possamos encontrar funcionais de bem-estar social razoáveis. Uma alocação agora é simplesmente um vetor x1 . :::. :::. nós vamos supor que para todo indivíduo i. Ou seja. a nossa teoria não entende a…rmações do tipo x é muito melhor do que y. sem espaço para considerações de intensidade. e sem um maior conhecimento de teoria da escolha ela torna-se um pouco confusa. A teoria econômica como foi desenvolvida é totalmente binária. o grande problema é que a teoria econômica como foi desenvolvida é totalmente ordinal. mas que não satisfaçam IAI. Ela só entende se x é melhor ou pior do que y. O nosso problema agora é saber que alocações em X são melhores ou piores sob um ponto de vista social. x1 . xK := N X i=1 U i x1 . :::. Você pode pensar nos K bens acima como estradas. :::. serviços de saúde. xK : . :::. etc. xK %i y 1 . O que queremos dizer com bens públicos é que todos os agentes em nossa economia sempre recebem a mesma quantidade de cada bem. xK que diz o quanto de cada bem está sendo oferecido à sociedade. Vamos tentar uma abordagem mais prática para a agregação de preferências que ilustrará bem os problemas acima. Em particular. Isto é. :::. simplesmente somar as suas funções de utilidade. BEM-ESTAR SOCIAL Todos os outros casos possíveis podem ser demonstrados de forma similiar aos dois passos acima. y 1 . 5. Vamos supor que as relações de preferências de todos os indivíduos admitam uma representação por função de utilidade. aquele teorema falava de duas propriedades que um funcional de bem-estar social deveria satisfazer. xK U i y 1 . A primeira delas era a propriedade de Paretianismo. :::. xK . um vetor x1 . xK 2 X. A discussão acima é um pouco subjetiva demais. xK é factível se e somente se x1 . y K () U i x1 . Isto completa a demonstração do teorema. nós poderíamos de…nir uma função de utilidade social dada por U S x1 . Já a outra propriedade mencionada no enunciado daquele teorema. exista uma função U i tal que para quaisquer cestas de consumo x1 . :::. y K 2 X. Como veremos a seguir. Cada indivíduo i em nossa economia tem uma relação de preferências %i bem de…nida sobre as cestas de consumo em X. Ou seja. IAI.54 CAPÍTULO 5. :::. Na verdade. Suponha que tenhamos K bens públicos na nossa economia e N consumidores. Ou seja. esta propriedade é totalmente inquestionável. y K : Um jeito fácil e aparentemente justo de agregar as preferências dos consumidores em nossa economia seria. Como vimos antes. certos tipos de votação que levem em conta o quanto uma pessoa prefere uma alternativa a outra serão possíveis.3 Funções de Utilidade Social Na seção anterior nós vimos um resultado um pouco inquietante. :::. é bem mais discutível. ou x é 10 pontos superior a y. então. O Teorema de Impossibilidade de Arrow mostrou que sob certas condições de consistência é impossível agregar as preferências dos diversos agentes da nossa economia de uma forma satisfatória. Suponha que tenhamos um conjunto X que represente todas as alocações factíveis em nossa economia. :::. xK ? Uma propriedade que x1 . xK . Ou seja. y K 2 X. e N i=1 são médias ponderadas das utilidades dos diversos agentes. Lembre-se que a função de utilidade que representa uma dada relação de preferência nunca é única. é totalmente arbitrário. :::. se V é estritamente crescente. Esta constatação faz com que possamos nos concentrar em funções de utilidade social da seguinte forma: U S x1 . x1 . para qualquer > 0 também é uma representação para as mesmas preferências. i=1 P i = 1. y K : Mas observe que. Não é difícil ver que a função V (U i (:)) também representa %i . O que nós podemos dizer sobre x1 . Ou seja. :::. x K := N X i U i x1 . :::. uma função como a acima é tão justi…cável quanto uma que simplesmente some as utilidades dos agentes. V U i (:) também representa %i . :::. nossas funções de utilidade social agora em que i > 0 pra todo i. Ou seja.5.:::. :::. xK . para qualquer x1 .5 Formalmente.xK ) sujeito a x1 . então U i . suponha que U i representa %i .5 Em particular. xK := N X i U i x1 . Mas será que a arbitrariedade do método acima o torna completamente inútil? Suponha que nós tenhamos obtido uma função de utilidade social utilizando o método acima para algum vetor e agora nós vamos usar esta função para escolher a suposta melhor aloção sob um ponto de vista social. FUNÇÕES DE UTILIDADE SOCIAL 55 O grande problema é que o método descrito acima. xK . i > 0. xK U i y 1 . :::. :::. :::. :::. então V U i x1 . Esta liberdade que temos para multiplicar funções de utilidade por constantes positivas abrange até mesmo a função de utilidade social U S . i=1 em que pra todo i. xK 2 X: Suponha que a solução para o problema acima seja x1 . xK (x1 . () U i x1 . :::. y 1 . y K : . :::. Agora considere qualquer função estritamente crescente V . suponha que a função U i represente as preferências do agente i. xK . xK certamente terá é e…ciência no sentido de Pareto. nós vamos resolver o seguinte problema: max U S x1 .5. :::.3. xK V U i y 1 . :::. Formalmente. embora aparentemente justo. Como discutimos antes. y K () U i x1 . y K Logo. Isto torna a função de utilidade social acima tão justi…cável quanto qualquer outra função do tipo U S 1 x . :::. Formalmente: 5. :::. xK %i y 1 . :::. para U S de…nida como acima. xK U i y 1 . :::. se U i representa as preferências do agente i. :::. existe uma coleção de funções N fU i gi=1 sendo que para cada i. :::. xK := N X i U i x1 . que x1 . xK é e…ciente no sentido de Pareto. Se x1 . então. :::. para todo i e exista i tal que x1 .1. :::. Como já discutimos antes. xK .6 Vocês não precisam se preocupar com estas hipóteses técnicas aqui. :::.5. Elas estão aqui apenas para que o resultado seja escrito de forma precisa. xK . pelo menos enquanto as preferências dos nossos agentes forem bem comportadas. x da utilidade social acima. e…ciência no sentido de Pareto é uma propriedade mínima que toda alocação desejável sob um ponto de vista social deve satisfazer. :::. a resposta é não. :::. xK é uma solução para o problema acima. xK . Infelizmente. Proposição 5. :::. Então. . :::. com preferência estrita para pelo menos um agente i . xK 2 X tal que x1 . xK > U i x1 . xK 2 X tal que x1 . mas o importante é a idéia de que o resultado é válido se as preferências dos agentes forem razoavelmente bem comportadas. :::. :::. :::.2. xK e…ciente no sentido de Pareto. :::. Demonstração da Proposição. pra todo i e Ui x1 . A proposição abaixo formaliza tal resultado. :::. Suponha que exista uma alocação x1 . :::. :::. xK x1 . para todos os agentes i. Suponha que X seja um conjunto compacto e convexo e que todos os agentes tenham preferências contínuas. então x1 . :::. Isto é. :::. Mas então. xK : i=1 5. N satisfazendo i 0 P i para todo i e N = 1 tais que x1 . :::. U i representa %i e um vetor 1 . xK : i Como as funções U i representam as preferências dos agentes.6 Fixe uma alocação x1 . N X i U i x1 . não existe nenhuma alocação x1 . i=1 1 K é uma solução para o problema de maximização o que contraria o fato de que x . Nós concluímos. :::. :::. xK %i x1 . xK . k A proposição acima nos mostra que as escolhas feitas quando uma função de utilidade social como a de…nida acima é utilizada pelo menos são e…cientes no sentido de Pareto. BEM-ESTAR SOCIAL Proposição 5. :::. estritamente monótonas e convexas. xK > i=1 N X i U i x1 . xK é uma solução para o problema de maximização i=1 da utilidade para uma função U S de…nida por U S x1 . Mas será que a abordagem acima nos garante algo mais do que e…ciência. xK tem que ser e…ciente no sentido de Pareto. isto implica que U i x1 .56 CAPÍTULO 5. xK . xK U i x1 . :::. :::. xK %i x1 . Ninguém pode argumentar que esta divisão seja injusta. o que nós já concordamos é uma condição mínima para uma alocação ser socialmente aceitável. mas que ilustra bem por que esta divisão geralmente não é muito apropriada sob um ponto de vista social. a mensagem da proposição acima é que na maioria das vezes o máximo que uma função de utilidade social pode nos oferecer é a garantia que as escolhas feitas usando-se tal função serão e…cientes. x2B = x2B . 1=2). Formalmente. o agente A só se preocupa com o quanto ele consome do bem 1 e o agente 2 só se preocupa com o quanto ele consome do bem 2. É claro. A nossa economia tem uma dotação inicial agregada Aj de cada bem j. Além de nós já termos outros métodos para identi…car alocações e…cientes. existem alocações e…cientes que ignoram totalmente o bem-estar de alguns agentes e tais alocações só podem ser obtidas se pudermos associar um peso zero às funções de utilidades de tais agentes na de…nição de U S . o agente B iria receber meia unidade do bem 1. a proposta mais natural seria oferecer a cesta de consumo A1 =N. Provavelmente. ao receber tal tarefa a maioria das pessoas iria propor uma divisão igualitária dos recursos. suponha que tenhamos N agentes e K bens na nossa economia. Ou seja. algumas alocações e…cientes não parecem aceitáveis sob um ponto de vista social. Nós abordaremos a questão de como dividir recursos entre os diversos agentes em nossa economia de uma forma justa. AK =N para todos os agentes. Ou seja. De qualquer forma. No entanto. Agora o problema será dividir uma certa quantidade de recursos entre diversos agentes de uma forma justa. a…nal de contas estamos tratando todos os agentes de forma absolutamente simétrica. As dotações iniciais agregadas dos dois bens são dadas por A1 = A2 = 1 e as funções de utilidade dos agentes são dadas por U A x1A . similarmente. . Isto é. de acordo com a divisão igualitária acima os dois agentes iriam receber a cesta de consumo (1=2.4 Alocações Justas Nas seções anteriores nós vimos alguns resultados negativos a respeito de agregações de preferências a respeito de escolhas sociais. ALOCAÇÕES JUSTAS 57 Observe que para a proposição acima nós temos que permitir que as vezes i seja igual a zero para algum agente i. Intuitivamente. Mas isto é muito pouco. um pouco exagerado. Suponha agora que a nossa tarefa seja dividir tais bens de uma maneira justa e e…ciente.4. 5. :::. o agente A iria receber 1=2 unidade do bem 2. A mensagem que nós podemos tirar de tais resultados é que em geral o problema de agregar as preferências de diversos agentes de uma forma que pareça justa é muito complicado e não tem uma resposta muito satisfatória. Nós vamos ver que tal problema tem uma resposta bem mais satisfatória do que o problema de escolher uma alocação de bens públicos de uma maneira socialmente ótima. Exemplo 5. Suponha que tenhamos dois agentes e dois bens na nossa economia. Mas será que esta é uma divisão desejável de um ponto de vista social? Considere o seguinte exemplo.6. o qual ele não dá a mínima importância e. x2A = x1A e U B x1B . que o problema com tal exemplo é que a divisão igualitária não é nem mesmo e…ciente no sentido de Pareto.5. Na próxima seção nós analisaremos um problema um pouco diferente. Nós estudaremos agora um problema um pouco diferente. 58 CAPÍTULO 5. BEM-ESTAR SOCIAL No exemplo acima nós vimos que a divisão igualitária dos bens na nossa economia em geral não tem que ser e…ciente no sentido de Pareto. Ainda assim, ninguém pode discordar que esta parece ser uma divisão justa. Tentemos agora encontrar a propriedade que faz com que tal divisão nos pareça justa. Que tal a seguinte de…nição? 1 K De…nição 5.8. Dizemos que uma dada alocação x11 ; :::; xK é equitativa 1 ; :::; xN ; :::; xN se nenhum agente sente inveja da cesta de consumo recebida pelo outro agente. Formalmente, K i 1 a alocação acima é equitativa se para nenhum i; j, U i (x1j ; :::; xK j ) > U (xi ; :::; xi ): Observe que a alocação igualitária é equitativa. Obviamente, se todo mundo recebe a mesma coisa ninguém pode ter inveja de ninguém. Por outro lado, o conceito de alocação equitativa parece ser uma descrição interessante do que consideraríamos uma alocação justa. O problema é que, como vimos acima, alocações equitativas não necessariamente serão e…cientes. Portanto, embora nenhum agente possa reclamar que foi injustiçado em uma alocação equitativa, sob um ponto de vista social estas alocações podem as vezes ser inapropriadas. A discussão acima motiva a seguinte de…nição: 1 K De…nição 5.9. Dizemos que uma alocação x11 ; :::; xK 1 ; :::; xN ; :::; xN uma alocação equitativa e e…ciente no sentido de Pareto. é justa se esta é A de…nição acima parece ser uma descrição apropriada do que seria uma alocação aceitável sob um ponto de vista social. A questão agora é saber se tais alocações sempre existem e, caso a resposta de tal pergunta seja positiva, como fazer para encontrá-las. Contrariando os resultados negativos das seções anteriores, a resposta para tal pergunta é positiva e além disto está relacionada a um conceito que já nos é bastante familiar. Considere o seguinte procedimento. Comece com a alocação igualitária. Ou seja, ofereça a cesta de consumo A1 =N; :::; AK =N para todos os indivíduos desta economia. Agora 1 K encontre um equilíbrio competitivo (p1 ; :::; pK ) e x11 ; :::; xK para esta 1 ; :::; xN ; :::; xN economia. A seguinte proposição é de fácil demonstração: Proposição 5.3. K 1 x11 ; :::; xK 1 ; :::; xN ; :::; xN é uma alocação justa. Demonstração da Proposição. Pelo Primeiro Teorema do Bem-estar nós já sabemos que K 1 é e…ciente no sentido de Pareto, portanto nós só temos que x11 ; :::; xK 1 ; :::; xN ; :::; xN K 1 é equitativa. Mas observe que todos os consumidores mostrar que x1 ; :::; x1 ; :::; x1N ; :::; xK N começam com a mesma dotação inicial. Isto implica que todos eles enfrentam exatamente a mesma restrição orçamentária e, consequentemente, qualquer consumidor na nossa economia poderia comprar a cesta de consumo de qualquer outro consumidor se ele assim o quisesse. Então, se o consumidor i comprou a cesta x1i ; :::; xK e não a cesta (x1j ; :::; xK i j ), é porque i 1 K i 1 K U xi ; :::; xi U (xj ; :::; xj ). Concluímos que em tal alocação nenhum consumidor sente inveja do outro, o que completa a demonstração. k 5.5 Exercícios Exercício 5.1. Considere uma situação em que os agentes têm preferências sobre um par de alternativas x e y. Mostre que o funcional de bem-estar social dado pela regra de votação por maioria simples é Paretiano e satisfaz as propriedades Anonimidade, Neutralidade entre Alternativas e Resposta Positiva. 5.5. EXERCÍCIOS 59 Exercício 5.2. Complete mais dois passos da demonstração do Teorema de Impossibilidade de Arrow para dois agentes e três alternativas. Mais especi…camente, usando o que foi aprendido nos passos 1 e 2 nas notas de aula mostre que para qualquer per…l (%1 ; %2 ) em (% ;% ) que z 2 y, nós temos que ter z S 1 2 y e, posteriormente, mostre que para qualquer per…l (% ;% ) (%1 ; %2 ) em que x 2 y, nós temos que ter x S 1 2 y: Exercício 5.3. Suponha que estejamos em uma economia como a da seção 4 das notas de aula. Ou seja, os agentes têm preferências sobre suas cestas de consumo individual. 1 K Seja x11 ; :::; xK uma alocação e…ciente no sentido de Pareto. Mostre que 1 ; :::; xN ; :::; xN existe um agente i que não inveja ninguém. Ou seja, mostre que existe um agente i tal que U i x1i ; :::; xK U i x1i ; :::; xK pra todo i: i i Exercício 5.4. Suponha que estejamos em uma situação com 3 alternativas fx; y; zg e três agentes fA; B; Cg. As preferências dos agentes são dadas pela tabela abaixo: A x y z B y z x C z : x y Ou seja, o agente A prefere x a y e prefere y a z, e assim por diante. Suponha que nossa tarefa seja escolher uma das alternativas acima com o intuito de fazer o melhor para a sociedade. Considere o seguinte método: primeiro escolha um par de alternativas e realize uma votação entre os agentes. Feito isto, pegue a alternativa vencedora da votação anterior e realize uma nova votação contra a alternativa que …cou de fora da primeira votação. (a) Mostre que tal procedimento é totalmente manipulável. Isto é, mostre que de acordo com a ordem de votação que escolhermos nós podemos in‡uenciar na escolha …nal. (b) Suponha agora que nós usemos estas votações dois a dois para de…nir a nossa preferência social entre as alternativas. Ou seja, uma alternativa será socialmente preferível a outra se mais agentes a considerarem melhor do que a outra. Chame a preferência social de…nida desta forma de %S . Não é difícil ver que tal método para de…nir uma preferência social satisfaz Paretianismo e IAI, mas obviamente não é ditatorial. Parece, então, que algo mais fundamental não está correto aqui. Discuta. 60 CAPÍTULO 5. BEM-ESTAR SOCIAL trabalhamos durante todo o tempo com a hipótese de que …rmas e consumidores eram tomadores de preços. Apenas por conveniência. o mais natural é até modelarmos o monopolista como se este escolhesse o preço de venda do seu produto. Neste capítulo estudaremos exatamente modelos em que uma determinada …rma age como monopolista em um determinado mercado. portanto. faça as suas escolhas levando tal fato em consideração. interpretarmos o monopolista como escolhendo o preço ou a quantidade produzida são duas abordagens completamente equivalentes. nós escreveremos o problema do monopolista como aquele de um agente que escolhe a quantidade a produzir. por exemplo. Tais modelos são apropriados para o estudo de economias em que existe um grande número de pequenas empresas e de pequenos consumidores. O problema do monopolista assume a seguinte forma: max r (y) y c (y) : A condição de primeira ordem do problema acima é simplesmente r0 (y) = c0 (y) : Ou seja. Na verdade. Note que tal fato é bastante intuitivo. Se 61 .Capítulo 6 Monopólio 6. a solução do problema acima se dará em um ponto em que a receita marginal do monopolista se iguale ao seu custo marginal. temos estudado apenas mercados competitivos. Seja r (y) := p (y) y a função receita do monopolista.1 Introdução Até o momento. mas quando temos uma situação de monopólio é claro que a hipótese de que a empresa monopolista age como tomadora de preços não é apropriada. nos nossos modelos. 6. Quando estudamos equilíbrio geral. Nós utilizaremos p (y) para representar a curva de demanda inversa do mercado e c (y) para representar a função custo.2 Maximização de Lucro do Monopolista Vamos iniciar pelo problema de maximização de lucros do monopolista. Nesta situação é natural que o monopolista reconheça que as suas decisões de produção in‡uenciem o preço …nal do produto e. Nós veremos que. " (y) r0 (y) = p (y) 1 + em que " (y) := y 0 (p) p y é o que nós chamamos elasticidade da demanda. a maximização dos lucros também se dá em um nível de produção que satisfaz a condição acima. Na verdade. Isto é. se diminuindo um pouco a quantidade produzida o custo diminuísse mais do que a receita. Usando a expressão acima na condição de primeira ordem do problema do monopolista nós podemos escrever c0 (y) = p (y) 1 + 1 : " (y) Como a elasticidade da demanda em relação ao preço é naturalmente negativa. obviamente. então. então é claro que o monopolista iria querer produzir mais. o monopolista iria querer produzir um pouco menos. a expressão para a receita marginal é dada por r0 (y) = p0 (y) y + p (y) : Lembre-se que do teorema da função implícita nós temos p0 (y) = y0 1 : (p) Substituindo isto na expressão para a receita marginal nós podemos escrevê-la como 1 . como o preço é uma função da quantidade produzida. Para que tal fato …que sempre claro as vezes vale a pena escrever a expressão acima como c0 (y) = p (y) 1 1 : j" (y)j Lembre-se que em uma situação competitiva a elasticidade da demanda em relação ao preços é in…nita. nós vemos que em uma situação de monopólio a quantidade escolhida para a produção induzirá um custo marginal inferior ao preço do produto. portanto a expressão acima continua nos dando a resposta certa mesmo no caso competitivo. numa situação competitiva c0 (y) = p (y) 1 = p (y) 1 = p (y) : 1 j" (y)j 1 1 . A diferença é que naquele caso a receita marginal é simplesmente o preço do produto a ser vendido. mesmo no caso de uma empresa competitiva. MONOPÓLIO aumentando um pouco a quantidade produzida a receita aumentasse mais do que o custo. Similarmente. No caso do monopolista.62 CAPÍTULO 6. A receita do monopolista será p y . Obviamente o monopolista nunca escolheria tal nível de produção. Obviamente o lucro do monopolista é dado por p y CMe (y ) y .6. suponhamos que ela seja dada pela seguinte expressão: p (y) = a by. Para concluir a discussão aqui. Suponhamos que a curva de demanda inversa do bem y seja linear. observe que se j" (y)j fosse menor do que 1. então a receita marginal do monopolista seria negativa. . é o ponto em que a curva de receita marginal intercepta a curva de custo marginal. nós identi…camos o preço relativo a tal nível de produção na curva de demanda inversa (ponto p na …gura 6. Após identi…cado o ponto de produção ótima. Figura 6. b > 0.1. a área do retângulo cinza na …gura 6. Este caso simpli…cado pode ser representado gra…camente como na …gura 6. que a curva de demanda. a. enquanto o seu custo será c (y ) = CMe (y ) y .2.1 abaixo. mas com uma inclinação duas vezes maior. r0 (y) = a 2by: e a receita marginal será dada por Observe que a curva de receita marginal tem o mesmo intercepto vertical.1: Curva de demanda inversa linear A produção ótima y . Neste caso a função receita será dada por r (y) = ay by 2 .1). logo a solução do problema do monopolista sempre se dará em um ponto em que j" (y)j > 1. em que a. numa situação de monopólio o preço escolhido pelo monopolista é um markup acima do custo marginal. Ou seja. MAXIMIZAÇÃO DE LUCRO DO MONOPOLISTA 63 Se isolarmos p (y) na expressão acima nós obtemos p (y) = c0 (y) 1 1 : 1= j" (y)j Ou seja. enquanto a região A representa uma perda de excedente para o monopolista. Similarmente. Suponha que estejamos na economia com um consumidor e uma …rma que vimos quando estudamos equilíbrio geral. Note que a região A. o preço será em geral maior e a produção menor em uma situação de monopólio do que em uma situação competitiva.y) sujeito a y= p wx O Lagrangeano do problema acima é dado por p L=x+2 y y x: p wx x : . Observe que a área A+B representa um ganho no excedente do consumidor quando da passagem de uma economia monopolista para uma competitiva. Ou seja. o ganho agregado de excedente quando passamos de uma situação de monopólio para uma situação competitiva é dado por B + C: Exemplo 6. Considere agora um preço p entre p e c0 (y ).1 (Economia com um consumidor e uma …rma). o monopolista também …caria feliz se ele pudesse vender mais um pouco do bem y pelo preço p. Por outro lado. Por isto. não …ca claro se no agregado a sociedade estará melhor ou pior em uma situação de monopólio do que numa situação competitiva. Seria interessante agora obter alguma medida desta ine…ciência. y) = x + 2 y. Portanto. Como vimos antes. em que estão ilustradas as variações nos excedentes do produtor e do consumidor resultantes da passagem da produção monopolista para a competitiva. então. representa apenas uma transferência de excedente do produtor para o consumidor. o que mostra que existe uma certa ine…ciência em uma situação de monopólio. Por este motivo. Nós vimos anteriormente que uma indústria monopolista opera em um ponto em que o preço é maior do que o custo marginal. A primeira vista. a região C representa um ganho no excedente do produtor. os consumidores estarão tipicamente em uma situação pior se eles estiverem comprando de uma empresa monopolista. que podemos argumentar contra o monopólio no que tange à e…ciência. Considere a …gura 2. Lembre-se que para tal economia o conceito de e…ciência no sentido de Pareto consiste simplesmente na solução do seguinte problema de maximização: p max x + 2 y (x. MONOPÓLIO A Ine…ciência do Monopólio A indústria competitiva opera em um ponto em que o preço é igual ao custo marginal. Veremos. no entanto. p Suponha que a função de utilidade do consumidor seja dada por U (x. então. p > c0 (y ).3 CAPÍTULO 6.64 6. Pela mesma razão. Suponha que estejamos em uma situação de monopólio e considere a quantidade y e preço p = p (y ) provenientes da solução do problema do monopolista. Mas as regiões B e C representam aumentos verdadeiros de excedente. O bem y é produzido de acordo com a função de produção y = x. tanto o monopolista como o consumidor estariam em uma situação melhor. Aprendemos acima que um mercado monopolista é ine…ciente. o monopolista estará em uma situação melhor. O x consumidor tem uma dotação p inicial w do bem x. Se o consumidor pudesse comprar uma pequena quantidade do bem y pelo preço p ele estaria em uma melhor situação. 2: Perda de e…ciência devida ao monopólio As condições de primeira ordem da solução do problema são 1 1 p x 2 w x : 1 1 y : p y : y Isolando x =0 =0 p wx x = 0: na segunda condição e substituindo na primeira. Suponha agora que estejamos em uma economia competitiva em que o consumidor e a …rma são tomadores de preços.y) sujeito a x + py = wx + : O Lagrangeano do problema acima é p L=x+2 y [x + py wx ]: .3. Escolhendo o preço do bem x como numerário nós podemos escrever o problema do consumidor como p max x + 2 y (x. a expressão acima pode ser escrita como 1 p = 2y.6. como y = p wx x: x. nós obtemos a seguinte expressão: p 1 p = 2 wx y Observe que. A INEFICIÊNCIA DO MONOPÓLIO 65 Figura 6. y p o que implica que y = 3 1=4. 6. como y = p wx x e usando também a x: x. tem que incorporar o fato de que do problema do consumidor nós aprendemos que o preço do bem y pode ser escrito como 6. enquanto o monopolista representa realmente uma única …rma. em que xf é a quantidade do insumo x utilizada pela …rma. A condição de primeira ordem do problema é 1 1 p p 1 = 0. consequentemente.1 O problema do consumidor continua o mesmo e a sua solução é caracterizada da mesma forma que acima.1 1 1 p = p = pp : y xf A melhor interpretação aqui é que o consumidor na verdade representa um conjunto de vários consumidores iguais. Ou seja.66 CAPÍTULO 6. a expressão acima pode ser escrita como 1 p = 2y y p e. nós podemos calcular o equilíbrio desta economia quando o consumidor age como tomador de preços e a …rma age como monopolista. Esta é só mais uma manifestação do primeiro teorema do bem-estar. Finalmente. O problema da …rma agora tem que incorporar o fato de que esta entende como a sua escolha da quantidade a ser produzida afeta o preço do bem y. MONOPÓLIO As condições de primeira ordem do problema são: x : 1 =0 1 y : p p=0 y : x + py wx Isolando = 0: na primeira condição e substituindo na segunda nós obtemos a seguinte expressão: 1 p = p: y O problema da …rma pode ser escrito como p = max p xf xf xf . 2 xf que pode ser reescrita como p p = 2 xf : Usando o fato de que em equilíbrio nós temos que ter xf = wx condição derivada do problema do consumidor nós temos p 1 p = p = 2 wx y Novamente. y = 3 1=4. Não é surpresa que a solução obtida ao calcularmos o equilíbrio competitivo seja a mesma que obtivemos quando calculamos a alocação e…ciente. . Em termos do preço. nós obtemos y = 3 1=16. a produção no caso de monopólio é menor do que a produção e…ciente. Considere o seguinte exemplo: Exemplo 6. Do ponto de vista de um governante. aparentemente é fácil regular um mercado monopolizado. a …rma tem um custo marginal igual a y. Se deixarmos o monopolista agir de forma desregulada em tal mercado sabemos que ele escolherá o nível de produção em que a receita marginal é igual ao custo marginal.4 Monopólio Natural Nós vimos nas seções anteriores que em geral em uma situação de monopólio o nível de produção é menor do que o e…ciente. ele escolherá um nível de produção que satisfaz: a 2by m = y m : . ou seja.4. o problema da …rma pode ser escrito como 1 = max pp xf p xf xf xf A condição de primeira ordem do problema acima é 1 f x 2 3=4 1 f x 2 Que pode ser reescrita como 1=2 xf 1=2 + xf p 1 1 p = 2 wx 2 y 1=4 1 f x 2 1=2 1 = 0: x.2 (Lucro Negativo). a expressão acima pode ser escrita como 1 1 p = 2y: 2 y p Isolando y na expressão acima. Usando novamente o fato de que y = wx x. e a função custo da …rma seja dada por c (y) = + 1 2 y : 2 Ou seja. MONOPÓLIO NATURAL 67 Formalmente. 6. O problema é que tal abordagem desconsidera uma parte importante da análise. Uma …rma jamais entraria num mercado para ter lucro negativo.6. em que nós já usamos a condição de equilíbrio do mercado o bem x para eliminar xf p para da expressão acima. vimos que numa situação de monopólio a …rma cobra um preço maior do que o custo marginal. Suponha que a curva de demanda inversa da nossa economia seja dada por p (y) = a by. Tudo o que temos que fazer é forçar o monopolista a cobrar um preço igual ao custo marginal relativo a quantidade de produção e…ciente e deixá-lo maximizar o seu lucro. Como nós já esperávamos. +b a +b = = 1 2 a +b 2 1 2 a +b 2 2 : Mas então. certo? Não tão rápido.5 Um Exemplo Suponha que a …rma F produza um determinado bem y e que a sua função custo seja dada por C (y) = y 2 : . vamos calcular o lucro do a a monopolista se o preço do bem y for e ele produzir +b . o custo de se oferecer alguns litros de água a mais para algumas casas é mínimo. mas em contrapartida recebem subsídios para que não tenham incentivos para abandonar o mercado. em que existem grandes custos …xos e custos marginais pequenos é conhecida como monopólio natural. as …rmas que atuam em tais mercados sofrem alguma regulação de preços. Obviamente tal empresa não entraria no mercado. Por exemplo. a manutenção dos canos e usinas de tratamento representam um alto custo para uma empresa fornecedora de água. Custos …xos altos são geralmente encontrados em serviços de utilidade pública. o custo …xo do monopolista for muito alto. mas. Sabemos que em tal situação o monopolista produzirá exatamente o nível de produção e…ciente. se . Mercados em que existe uma situação de monopólio natural geralmente são regulados. se tentarmos forçar o monopolista a produzir a quantidade e…ciente ele preferirá abandonar o mercado do que permanecer no negócio. Então. 6. ou o serviço é provido pelo próprio governo. MONOPÓLIO Resolvendo a equação acima para y nós obtemos a : + 2b ym = Sabemos que o nível de produção e…ciente é encontrado no ponto em que o preço é igual ao custo marginal. Em geral.68 CAPÍTULO 6. aparentemente. tudo o que um regulador neste mercado precisaria fazer é a forçar o monopolista a cobrar um preço p = e deixar que ele produza a quantidade +b que maximize o seu lucro sob tal preço. No exemplo acima vimos que em uma situação em que os custos …xos são altos. ou seja. o monopolista obteria um lucro negativo em tal situação. uma vez que a manutenção do sistema já tenha sido feita. a by e = y e : O que nos dá o seguinte valor para o nível de produção e…ciente a : +b ye = Como já sabíamos. Tal situação. o nível de produção e…ciente é maior do que o nível de produção de monopólio. o que nos dá a condição y = p=2. UM EXEMPLO 69 Ou seja. ela receberá tx do governo. ela terá de pagar s de imposto. Seja a função demanda inversa do bem y dada por p (y) = 2 y: Considere primeiro o caso em que o mercado para o bem y é competitivo. a quantidade total paga à …rma em forma de subsídio deve ser igual à quantidade recebida da …rma na forma de imposto O problema da …rma neste caso pode ser escrito como max (1 y s) (2 y) y (1 t) y 2 . Tal imposto será uma fração do lucro total da …rma. se a …rma tiver um custo de produção total igual a x. (ii) O esquema é balanceado. o governo subsidiará uma fração t dos custos da …rma. O esquema de incentivos funcionará da seguinte forma: Primeiramente. Agora o problema da …rma pode ser escrito como max (2 y) y y2 A condição de primeira ordem para o problema acima é 2 4y = 0: O que nos dá um nível de produção y = 1=2. suponha que o governo queira implementar um esquema de subsídio e imposto de modo a fazer com que a …rma monopolista produza a quantidade e…ciente. y = 2=3. Substituindo tal condição na expressão para a curva de demanda inversa nós obtemos p : p=2 2 Resolvendo a equação acima para p nós obtemos p = 4=3. se a …rma tiver um lucro . para produzir y unidades do bem a …rma gasta y 2 . Em um mercado competitivo a …rma comporta-se como tomadora de preços. Consequentemente. Vamos calcular os valores de t e s que satisfazem as seguintes condições: (i) Com tais valores de t e s.5. o nível de produção neste caso será y = 2=3: Suponha agora que a …rma seja monopolista no mercado do bem y. Neste caso o problema da …rma pode ser escrito como max py y y2 A condição de primeira ordem do problema acima é simplesmente p 2y = 0. a …rma produz a quantidade e…ciente.6. Vamos calcular o preço e a quantidade produzida do bem y neste caso. Isto é. isto é. o governo cobrará um imposto sobre os lucros da …rma. ou seja. Substituindo tal valor na curva de demanda inversa nós obtemos p = 3=2: Finalmente. Ou seja. Juntamente com isto. Vamos calcular o preço e a quantidade produzida do bem y neste caso. MONOPÓLIO Uma forma de resolver o problema acima seria primeiramente observar que o valor de y que resolve tal problema também resolve o problema max (2 y y) y t) y 2 (1 Aqui nós não vamos fazer tal observação e vamos simplesmente calcular a condição de primeira ordem do problema original. O imposto s é cobrado sobre o lucro da …rma. igual a 42 = 33 2 = : 3 1 1 2 2 3 2 Portanto. o nível de produção escolhido pela …rma vai satisfazer a condição 2 2y 2 (1 t) y = 0: Lembre-se que queremos descobrir o valor do subsídio t que faz com que a …rma produza a mesma quantidade que ocorreria em uma situação competitiva. O melhor a fazer. então. para fazer com que a …rma produza a quantidade e…ciente o governo tem que subsidiar 50% do custo de produção da …rma. Como a …rma produz y = 2=3 neste caso. é susbtituir o valor y = 2=3 na expressão acima e resolvê-la para encontrar o valor de t. Ou seja. o valor de s que zera os gastos do governo com a …rma resolve a equação 2 2 s= . o governo gasta 1 2 2 3 2 = 2 9 em subsídios à …rma. 3 que resolvida para t nos dá t = 1=2. Fazendo isto nós obtemos a equação 2 2 2 3 2 (1 t) 2 = 0. antes do imposto. o que dá um lucro. Com tal nível de produção. Ou seja.70 CAPÍTULO 6. o preço cobrado pela …rma é p = 4=3. 3 9 o que nos dá s = 1=3: . Tal condição vai ser dada por (1 s) [2 2y 2 (1 t) y] = 0: É fácil agora ver que o termo (1 s) de fato é irrelevante para a solução do problema. 6 71 Exercícios Exercício 6. se a …rma obtiver uma receita de x reais com a venda do bem y. Suponha que a …rma F produza um determinado bem y e que a sua função custo seja dada por C (y) = y 2 : Ou seja. mas tem uma que é claramente mais relevante para a discussão aqui. x e y e um consumidor p com função deputilidade U (x.6. você percebeu que o nível de produção no item (b) é exatamente o mesmo do item (a). y) = x + 2 y. É claro que o modelo acima tem uma séria limitação que faz com que o modelo por de…nição já ignore um possível efeito de tal imposto. Lembre-se que naquele exemplo nós tínhamos dois bens. (c) Se você fez as contas corretamente. para produzir y unidades do bem a …rma gasta y 2 . Finalmente. O valor arrecadado com o imposto sobre os lucros do monopolista será repassado diretamente ao consumidor na forma de um subsídio de montante …xo.2. se o monopolista tiver um lucro ele terá que pagar um valor t de imposto. (b) Suponha agora que o governo. Isto é. o consumidor verá tal subsídio como algo totalmente exógeno e totalmente independente das suas ações. implemente o seguinte esquema de incentivo. na tentativa de eliminar a ine…ciência do monopólio. Isto é.2 Calcule o nível de produção de equilíbrio agora.3 O modelo obviamente tem várias limitações. (b) Suponha agora que o governo resolva impor um imposto proporcional sobre o lucro do monopolista. o bem x é usado como insumo para produzir o bem y.1 (Imposto sobre os lucros).6. EXERCÍCIOS 6. De acordo com tal modelo. (a) Calcule o nível de produção em equilíbrio quando a …rma age como monopolista (Dica: Quase todo o trabalho já está feito nas notas de aula. Tudo que você tem a fazer é pegar a expressão encontrada lá e usar uma condição de equilíbrio de mercado).3 Exercício 6. então o governo lhe pagará um bônus de sx reais. parece não haver nenhuma justi…cativa para a imposição de um imposto sobre os lucros das …rmas. ou seja. Seja a função demanda inversa do bem y dada por p (y) = 3 y: (a) Calcule o preço e a quantidade produzida do bem y quando o mercado é competitivo (…rma age como tomadora de preços) e quando a …rma age como monopolista. Também tínhamos uma tecnologia de produção dada por y = x. 6. o consumidor tinha uma dotação inicial wx do bem x. Que limitação e que efeito são estes?6.2 Ou seja. 6. em que 0 < t < 1. . Calcule o valor de s que faz com que a …rma produza a quantidade e…ciente (o valor encontrado no caso competitivo).6. O governo pagará um bônus de s reais por cada real vendido pela …rma. Considere o exemplo 1 das notas de aula sobre monopólio. É melhor con…ar na matemática e resolver o problema do monopolista completo. esta tenha a opção de vender o seu bem no mercado exterior. a solução do problema é a raiz positiva. (a) Calcule a quantidade q produzida pelo monopolista. Isto é. se os gastos da …rma com o insumo x forem l. O bem y é produzido de acordo com a função de produção y := ln x. Qual o valor de s que faz com que a …rma utilize a mesma quantidade de insumo x encontrada na letra (a)? . Uma empresa monopolista produz um bem q de acordo com uma função custo dada por c (q) = q + q 2 . (Atenção! Embora a …rma aja como tomadora de preços em relação a w. Isto é. A função custo da …rma continua sendo dada por c (q) = q + q 2 . esta receberá uma ajuda de s l do governo.4 (Monopsônio). Quanto a …rma venderá no mercado doméstico e no mercado internacional? Qual o seu lucro agora? (Dica: A intuição pode ser traiçoeira aqui. (Dica: No …nal você chegará em uma equação do segundo grau que tem uma raiz positiva e uma negativa. MONOPÓLIO Exercício 6. x.72 CAPÍTULO 6. em que este enfrenta uma curva de demanda inversa dada por pd (qd ) = 13 qd . Suponha que no caso tratado na letra (b) o governo queira implementar um esquema de incentivos que faça com que a …rma utilize a mesma quantidade de insumos da letra (a). A diferença é que agora q = qd + qi .3. Qual o seu lucro? (b) Suponha agora que. O preço do bem no mercado internacional não depende da quantidade qi vendida pelo monopolista neste mercado. embora a empresa monopolista funcione em um mercado protegido contra a importação. o monopolista tem a opção de vender o bem no mercado doméstico. posteriormente w tem que ser tal que a oferta e a demanda pelo bem x …quem equilibradas). (a) Suponha primeiro que o mercado para o bem x seja competitivo. (Dica: Novamente você chegará em uma equação do segundo grau que tem uma raiz positiva e uma negativa em que a solução do problema é a raiz positiva. Logicamente. Isto é. O esquema funcionará da seguinte forma: o governo subsidiará uma fração s dos custos da …rma com o insumo x.) (b) Suponha agora que a …rma seja o único consumidor do insumo x e que esta entenda que a sua decisão em relação a quantidade utilizada de x afeta diretamente o preço pago w(x).) Exercício 6. O único insumo para a produção do bem y é um bem super especializado.) (c) Se você fez as contas corretamente. Mais especi…camente. O preço pago por unidade do insumo x segue a curva de oferta inversa w(x) = 2+x. Suponha que a curva de demanda inversa do mercado seja dada por p (q) = 13 q. Suponha que uma empresa produza um bem y que é vendido no mercado internacional por um preço py = 24. Calcule quanto a …rma utilizará do insumo x neste caso. a …rma não é mais tomadora de preços em relação ao bem x. Calcule quanto a …rma utilizará do insumo x neste caso. você veri…cou que a quantidade de insumo x utilizada na letra (a) foi maior do que na letra (b). suponha que a …rma aja como tomadora de preços em relação ao preço w. mas tem também a opção de vender o bem no mercado internacional por um preço pi = 11. Capítulo 7 Discriminação de Preços 7. Na …gura. Novamente.1. Exatamente como no caso competitivo a soma do excedente do consumidor e do produtor é maximizada. a última unidade do bem será vendida exatamente pelo custo marginal de produção. a área escura que geralmente representa o excedente do consumidor. o monopolista que pratica uma discriminação de preços de primeiro grau tem que manter um nível de produção em que o preço se iguale ao custo marginal. As estratégias que vamos estudar são conhecidas como discriminação de preços. Formalmente.2 Discriminação de Preços de Primeiro Grau A discriminação de preços de primeiro grau é também chamada de discriminação perfeita. Um exemplo de curva de demanda em tal situação está ilustrado na …gura 7. como vemos na …gura 7. dizemos que o monopolista está praticando discriminação de preços sempre que este conseguir vender o mesmo bem por preços diferentes para diferentes consumidores.1 Introdução Empresas Monopolistas as vezes têm mais opções do que empresas competitivas. Na …gura nós também ilustramos um custo marginal constante para a …rma. A situação de discriminação de preços perfeita pode também ser representada em um grá…co com uma curva de demanda contínua. de acordo com a capacidade do monopolista de identi…car os diferentes potenciais compradores. cada unidade do bem é vendida exatamente ao seu preço de reserva. A hipótese aqui é que o monopolista pode vender cada unidade do bem à pessoa disposta a pagar mais. Como o produtor é capaz de praticar uma discriminação de preços perfeita. a única forma de melhorar o bem-estar do consumidor seria diminuir um pouco o lucro do produtor. Neste capítulo nós vamos estudar algumas estratégias de preci…cação que de vez em quando estão disponíveis para estas empresas. Observe que em tal situação. agora representa o excedente do produtor.2. portanto tal alocação é e…ciente no sentido de Pareto. Nós veremos que a prática da discriminação de preços pode ser classi…cada em 3 tipos. Suponhamos que estejamos falando de um bem que só é vendido em quantidades inteiras. Como o produtor lucra o máximo possível com cada unidade vendida. mas neste 73 . 7. o monopolista tinha que ser capaz de identi…car cada consumidor individualmente. o que corresponderia ao excedente do consumidor no caso de competição perfeita.1: Discriminação de preços de primeiro grau caso o monopolista …ca com todo o excedente. . Para tanto. o lucro do monopolista em uma situação de discriminação perfeita de preços é dado por Z x p (x) dx c (x ) . Observe que neste caso. Em termos formais. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS Figura 7. c (x ) é o custo de se produzir x unidades do bem x e x é tal que p (x ) = c0 (x ) : Figura 7.3 Discriminação de Preços de Segundo Grau Na seção anterior nós estudamos o que aconteceria se o monopolista pudesse vender cada unidade de um determinado bem a um preço especí…co. = 0 em que p (:) representa a curva de demanda inversa pelo bem x.74 CAPÍTULO 7. o lucro do monolista é dado pela área escura na …gura.2: Discriminação de preços de primeiro grau com curva de demanda inversa contínua 7. Um tipo de contrato possui um valor mensal …xo alto. o monopolista sabe apenas que existem diferentes tipos de consumidores. Ou seja. ele agora vende um pacote com q unidades do bem a um determinado preço p. A discriminação de preços de segundo grau ocorre quando o monopolista oferece um esquema de preci…cação que faz com que os consumidores. porém com um número grande de minutos livres. q) + (p. Nós vamos nos concentrar em uma situação um pouco diferente agora. É fácil ver que a solução do problema acima satisfaz q p = 0:7.q q2 sujeito a q p 0: Ou seja. tal solução resolve o seguinte problema: q= max U (p. . por escolha própria. as vezes ainda é possível que o monopolista pratique o tipo de discriminação de preços conhecido como de segundo grau. para produzir q unidades do bem o monopolista gasta q 2 .1 Mas agora é fácil resolver o problema acima e de suas condições de primeira ordem nós obtemos as seguintes expressões: 2 ep= : 2 2 Outra coisa que podemos notar é que tal solução maximiza o excedente de mercado. q) : 7. Exemplo 7. com hábitos distintos. O outro tipo de contrato oferece um valor …xo mensal mais baixo. Uma forma conveniente de modelar o comportamento do consumidor em tal caso é supor que este tem uma função de utilidade dada pela seguinte expressão: U (p. o monopolista escolhe o pacote que maximiza o seu lucro sob a restrição de que o consumidor considere tal pacote pelo menos tão bom quanto não consumir nada. os próprios consumidores selecionam o contrato que lhes for mais conveniente. Dados tais contratos.3. Que pacote o monopolista ofereceria ao consumidor em tal caso? Não é difícil ver que o monopolista resolveria o seguinte problema: max p p. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS DE SEGUNDO GRAU 75 Em algumas situações. Isto é. se separem em classes. Um exemplo disto ocorre com as empresas de telefonia celular.1 (Venda de Pacotes). Suponha que o custo de produção do bem seja dado simplesmente por q 2 . em que > 0 é um parâmetro relacionado a quanto que o consumidor valoriza quantidade. Observe que estas empresas oferecem dois tipos de contratos. porém com poucos minutos livres. Neste caso. Suponha que o monopolista ao invés de vender unidades do bem.1 Se não fosse este o caso o monopolista poderia aumentar ainda mais o preço e claramente obter um lucro maior.7. Vejamos agora um exemplo especí…co de discrimanação de preços de segundo grau. Suponha que agora o monopolista vá oferecer ao consumidor um pacote com q unidades do bem por um preço p. mas não possui meio de identi…cá-los. q) = q p. 76 CAPÍTULO 7. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS Ou seja, tal solução maximiza a soma da utilidade do consumidor com o lucro do produtor. Porém, como acontecia na seção anterior, o monopolista acaba …cando com todo este excedente. No problema acima havia apenas um consumidor e o monopolista conhecia exatamente a sua função demanda, ou, equivalentemente, a sua função de utilidade. Numa situação mais realista, nós teríamos mais de um consumidor e diferentes consumidores teriam diferentes funções de utilidade. Além disto geralmente não é possível para o monopolista identi…car perfeitamente cada consumidor. Mesmo sabendo que diferentes consumidores estarão dispostos a pagar diferentes preços por cada unidade do bem, o monopolista não tem como identi…car quem é quem. Uma alternativa para o monopolista é oferecer pacotes com diferentes quantidades do bem por diferentes preços direcionados aos diferentes grupos de consumidores. O problema aqui, é que como o monopolista não consegue diferenciar os consumidores, ele tem que oferecer pacotes tais que os próprios consumidores achem vantajoso escolher os pacotes direcionados a eles. O seguinte exemplo ilustra bem tal situação: Exemplo 7.2 (Modelo de Mussa e Rosen). A nossa economia tem dois tipos de consumidores, o consumidor L e o consumidor H. Os dois consumidores obtêm a seguinte utilidade se receberem uma quantidade q do bem vendido pelo monopolista e pagarem p por isto. U L (pL ; qL ) = L qL pL e U H (pH ; qH ) = H qH pH ; em que H > L > 0. Para facilitar as contas aqui nós trabalharemos com a hipótese adicional de que L > H =2. A tecnologia de produção do monopolista é tal que para produzir um pacote com q unidades do bem ele gasta q 2 . Ou seja, a única diferença do exemplo aqui para o exemplo anterior é que agora nós temos dois tipos diferentes de consumidores. Nós já estudamos acima que se o monopolista pudesse identi…car visualmente cada um dos consumidores ele ofereceria o pacote (pL ; qL ) = 2L =2; L =2 para o consumidor L e ofereceria o pacote (pH ; qH ) = 2H =2; H =2 para o consumidor H. Em tal situação a soma dos excedentes dos dois consumidores e do monopolista estaria sendo maximizada, mas o monopolista estaria …cando com todo este excedente. Como discutimos antes, em geral o monopolista não tem como identi…car os diferentes tipos de consumidores, portanto ele terá que agir de um modo que os consumidores escolham os pacotes direcionados a eles por vontade própria. Formalmente, o monopolista tem que oferecer dois pacotes de compra distintos, sob as restrições de que um consumidor não queira comprar o pacote do outro e de que os consumidores pre…ram comprar o pacote do que não comprá-lo. O problema do monopolista pode ser escrito da seguinte forma: max (pL ;qL );(pH ;qH ) pL qL2 + pH 2 qH sujeito a L qL H qH L qL H qH pL 0; pH 0; pL pH ; L qH pH pL : H qL 7.3. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS DE SEGUNDO GRAU 77 O problema acima está em um formato que vocês vão rever muitas vezes em economia. As duas primeiras restrições são chamadas de restrições de participação. Elas simplesmente dizem que o monopolista tem que oferecer aos consumidores um pacote que seja pelo menos tão bom quanto não consumir nada. Caso contrário, obviamente os consumidores não iriam querer participar deste mercado. O segundo conjunto de restrições é chamado de restrições de compatibilidade de incentivos. A idéia é que o pacote de consumo que é direcionado a um dado consumidor não pode ser pior, para o consumidor em questão, do que o pacote oferecido ao outro consumidor. Caso contrário o consumidor não iria comprar o pacote direcionado a ele. A princípio, o problema acima parece ser muito complicado e, como têm restrições em formato de desigualdade, nós não temos ainda o ferramental matemático para resolvê-lo. No entanto, veremos que com uma análise preliminar nós conseguiremos transformá-lo em um problema cuja solução está ao nosso alcance. Observação 7.1. A restrição de participação do agente do tipo H é implicada pela restrição de participação do tipo L juntamente com a restrição de compatibilidade de incentivos do agente do tipo H: Demonstração da Observação. Observe que, como H qH pH H H qL L qL > L; pL pL 0: Em que a última desigualdade vem da restrição de participação do agente do tipo L: k Ou seja, a observação acima nos mostra que a restrição de participação do agente do tipo H é redundante e, consequentemente, nós podemos escrever o problema do monopolista sem ela. O problema agora torna-se: max (pL ;qL );(pH ;qH ) pL qL2 + pH 2 qH sujeito a L qL L qL H qH pL 0; pL pH ; L qH pH pL : H qL O problema acima ainda continua complicado para podermos atacá-lo diretamente. Vamos usar, então, uma técnica que os economistas adoram. Vamos chutar que a segunda restrição não é importante, e depois nós veri…camos se a solução obtida satisfaz ou não àquela restrição.7.2 Ou seja, vamos tentar resolver o seguinte problema simpli…cado: max (pL ;qL );(pH ;qH ) 7.2 pL qL2 + pH 2 qH O que estamos fazendo aqui não é mágica. Problemas de maximização neste formato aparecem frequentemente em economia e a solução de tais problemas sempre tem esta característica. A restrição de participação de um dos agentes e a restrição de compatibilidade de incentivos do outro podem ser ignoradas. 78 CAPÍTULO 7. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS sujeito a L qL pL 0; pH H qL H qH pL : As próximas duas observações transfomam o problema acima em um problema que nós sabemos resolver. Observação 7.2. A solução do problema acima satisfaz L qL pL = 0. Demonstração da Observação. Fixe qualquer par de pacotes (pL ; qL ) e (pH ; qH ) satisfazendo as restrições do problema acima, mas com L qL pL > 0: Agora note que se de…nirmos p^L := L qL > pL , o par de pacotes (^ pL ; qL ) e (pH ; qH ) ainda satisfaz as duas restrições do problema acima e p^L qL2 + pH 2 qH > pL qL2 + pH 2 qH : Logo (pL ; qL ) e (pH ; qH ) não pode ser uma solução para o problema acima. Nós concluímos que a solução para o problema acima sempre tem que satisfazer a primeira restrição com igualdade. k O problema agora foi simpli…cado para max (pL ;qL );(pH ;qH ) pL qL2 + pH 2 qH sujeito a L qL H qH pL = 0; pH H qL pL : Finalmente, a nossa última observação mostrará que a segunda restrição também tem que ser satisfeita com igualdade. Observação 7.3. A solução do problema acima satisfaz H qH pH = H qL pL . Demonstração da Observação. Fixe qualquer par de pacotes (pL ; qL ) e (pH ; qH ) satisfazendo as restrições do problema acima, mas com H qH pH > H qL pL : Novamente, note que se de…nirmos p^H := H qH H qL + pL > pH , o par de pacotes (pL ; qL ) e (^ pH ; qH ) continua satisfazendo as duas restrições do problema e pL qL2 + p^H 2 qH > pL qL2 + pH 2 qH : Nós concluímos que a solução do problema acima tem que satisfazer a segunda restrição com igualdade. k a restrição de compatibilidade de incentivos acaba forçando o monopolista a cobrar um preço abaixo do que ele gostaria. 2. nós agora podemos trabalhar com o seguinte problema simpli…cado: 2 max pL qL2 + pH qH (pL .7. Ou seja. p H = H qL H qH pL : A forma mais fácil de encontrar a solução para o problema acima é primeiramente resolver o sistema dado pelas duas restrições de modo a escrever os preços como funções das quantidades.3. O preço oferecido ao agente H é inferior ao que ocorreria se o monopolista pudesse diferenciar os agentes.(pH . o monopolista extrai todo o excedente da negociação com o agente L.qL ). porque a um preço acima do oferecido o agente H preferiria comprar o pacote oferecido ao agente L. . Isto vem do fato que a solução do problema acima satisfaz U L (pL .qH ) sujeito a L qL pL = 0. qL ) = 0: 3.qH qL2 + L qL H qH ( 2 qH L ) qL H As condições de primeira ordem para o problema acima são: qL : qH : 2qL ( H 2qH = 0 L H L) =0 o que nos dá as respostas qL = H e qH = H : 2 2 Usando os valores acima nas restrições do nosso problema nós obtemos os seguintes preços: pL = H L L 2 L e pH = 2 H 2 ( H L) H L 2 : A solução do problema acima tem as seguintes caracteríticas. A quantidade oferecida ao agente do tipo H é a quantidade e…ciente. Isto ocorre. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS DE SEGUNDO GRAU 79 Dadas as duas observações acima. Isolando pL e pH nas restrições acima nós obtemos: pL = L qL e pH = H qH ( L ) qL : H Agora o nosso problema de maximização simpli…ca-se para max qL . Embora a quantidade oferecida ao agente L não seja a e…ciente. que sempre serão verdade para problemas no formato acima: 1. . Suponhamos que o monopolista consiga identi…car dois grupos de consumidores com curvas de demanda inversa dadas por p1 (y1 ) e p2 (y2 ). O problema de maximização de lucros do monopolista pode ser escrito como max r1 (y1 ) + r2 (y2 ) y1 .y2 c (y1 + y2 ) : Das condições de primeira ordem do problema acima nós obtemos as seguintes expressões: r10 (y1 ) = c0 (y1 + y2 ) e r20 (y2 ) = c0 (y1 + y2 ) : Ou seja. idosos. 7. de forma similar ao que ocorre quando existe apenas um grupo de consumidores no mercado. estudantes. Representamos a função custo do monopolista por c (y1 + y2 ). com cada um dos grupos. Sejam r1 (y1 ) := p1 (y1 ) y1 e r2 (y2 ) := p2 (y2 ) y2 as receitas do monopolista oriundas das vendas dos bens 1 e 2. para cada grupo. respectivamente. portanto seria de se esperar que uma empresa que se preocupe em maximizar lucro discrimine preços a seu favor. Os exemplos mais comuns são descontos para jovens.4 CAPÍTULO 7. Tal resultado parece estar de acordo com o que observamos na prática. em uma situação de discriminação de preços como a acima o grupo que apresenta uma demanda menos elástica acaba pagando mais pelo produto. ao custo marginal de produção do bem y. etc.4. Mas observe que a análise acima é feita totalmente sob o ponto de vista de maximização dos lucros do monopolista. mas. para justi…car uma imposição de um desconto estudantil …xo pelo governo. respectivamente.1 Discriminaçao de Preços de Terceiro Grau com Curvas de Demanda Lineares Suponha que tenhamos dois tipos de consumidores em nossa economia e que ambos tenham curvas de demanda lineares dadas pelas seguintes expressões: y1 (p1 ) = a b1 p1 .80 7. Se re…zermos a análise que …zemos no caso com apenas um grupo de consumidores as condições acima podem ser reescritas como 1 p1 (y1 ) = c0 (y1 + y2 ) 1 1= j" (y1 )j e 1 p2 (y2 ) = c0 (y1 + y2 ) : 1 1= j" (y2 )j Ou seja. a condição de maximização de lucro do monopolista iguala as receitas marginais. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS Discriminação de Preços de Terceiro Grau Provavelmente a forma de discriminação de preços mais comum acontece quando o monopolista pode identi…car diferentes grupos de consumidores. É provável que estudantes e idosos tenham curvas de demanda mais elásticas. ele é obrigado a …xar um preço único por unidade do bem vendido. por exemplo. Ela não serve. Desta forma. novamente os preços são um markup acima do custo marginal e tal markup é maior quando a elasticidade da demanda é menor. No entanto. No caso em questão isto signi…ca no ponto em que a receita R20 (y2 ) = 7. . DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS DE TERCEIRO GRAU 81 e y2 (p2 ) = a b2 p2 :7. as contas são bem mais tediosas em tal caso o que motivou a simpli…cação acima. com a1 6= a2 . Tais curvas serão dadas por p1 (y1 ) = a b1 1 y1 b1 e a 1 y2 : b2 b2 Agora podemos caracterizar as receitas do monopolista em cada um dos mercados.7. os resultados continuam válidos sem tal hipótese. então é como se ele agisse em dois mercados totalmente distintos. Elas serão dadas pelas expressões: p2 (y2 ) = R1 (y1 ) = a b1 1 y1 y1 b1 R2 (y2 ) = a b2 1 y2 y2 : b2 e O que nos dá as seguintes expressões para as receitas marginais: R10 (y1 ) = a b1 2 y1 b1 e 2 a y2 : b2 b2 Sabemos que a solução do problema do monopolista se dá no ponto em que a receita marginal se iguala ao custo marginal.4 Novamente.3 Todos os resultados que vamos derivar em tal exercício são também verdade se os interceptos das curvas de demanda dos nossos consumidores não são iguais.3 Por simplicidade. Ou seja. Primeiramente. se as curvas de demanda inversa dos dois consumidores são y1 (p1 ) = a1 b1 p1 e y2 (p2 ) = a2 b 2 p2 .4 Ou seja.7. Vamos supor primeiro que o monopolista possa praticar discriminação de preços nesta economia.4. nós vamos assumir que b1 > b2 . Se o monopolista pode praticar discriminação de preços. Ou seja. a função custo será dada por c (y) = 0: Finalmente. vamos assumir que o monopolista tem um custo de produção nulo. 7. é conveniente derivarmos a curva de demanda inversa para cada um dos mercados. suponha que ele possa cobrar um preço diferente para cada tipo de consumidor. Figura 7. nós podemos representar gra…camente o excedente de cada um dos consumidores acima como na …gura 7. os excedentes dos consumidores são simplesmente o triângulo cinza na …gura 7. Desta forma. os níveis de preço que zeram as demandas dos consumidores são p1 = a a e p2 = : b1 b2 Portanto. Ou seja.3.5 Ou seja.3 e serão dados por 1 a 1a a 1 a2 E1 = = 2 b1 2 b1 2 8 b1 e 1 a 1a a 1 a2 E2 = = : 2 b2 2 b2 2 8 b2 Já o lucro do monopolista é dado simplesmente pela soma de suas receitas. o excedente do produtor neste caso será simplesmente o lucro da …rma. .7. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS marginal se iguala a zero.3: Excedente do consumidor em uma situação com discriminação de preços. D 7.82 CAPÍTULO 7. dados os níveis de produção acima. nós temos pD 1 = 1a 1a e pD : 2 = 2 b1 2 b2 Por outro lado. os níveis de produção no caso com discriminação de preços serão dados por a y1D = y2D = : 2 Note que.5 a 1 D D y y1 + b1 b1 1 1 a2 1 a2 = + : 4 b1 4 b2 = a b2 1 D D y y2 b2 2 Como a …rma não tem custos …xos. A curva de demanda agregada da economia agora será dada pela soma das demandas dos dois tipos de consumidores. então o consumidor b não b2 consumirá nada.6 Para ver isto. agora o monopolista só pode especi…car um preço para toda a economia. então a curva de demanda inversa da economia é dada por p (y) = 2a b1 + b2 1 y: b1 + b2 Dentro desta região a receita do monopolista é dada por R (y) = 7. a curva de demanda acima nos dá a seguinte curva de demanda inversa para a economia: 8 1 < a y se y 1 bb21 a b2 b2 p (y) = : b2 1 : 2a y se y > 1 a b1 +b2 b1 +b2 b1 Suponha que a solução para o problema do monopolista no caso em que a discriminação de preços é proibida se dê na região em que os dois tipos de consumidores têm uma demanda não nula. note que se a solução do problema do monopolista se dá na região em que ele serve aos dois consumidores. Como b1 > b2 . a . Desta forma. 8 a < 0 se p b2 y2 (p) se ba1 p < ba2 y (p) = : y1 (p) + y2 (p) se p < 8 a < 0 se p b2 a b2 p se ba1 p < ba2 y (p) = : 2a (b1 + b2 ) p se p < : a b1 : a b1 Finalmente.7. nós podemos concluir que a curva de demanda agregada da economia agora será dada por Ou.7. equivalentemente. Similarmente. se p . nós sabemos que o consumidor 1 vai parar de consumir antes do consumidor 2.4. então o Dada a curva de demanda do consumidor 1. Ocorre apenas com curvas de demanda lineares.6 2a b1 + b2 1 y y: b1 + b2 Este não é um fenômeno geral. Nós podemos mostrar que o nível de produção agregado será o mesmo que no caso com discriminação de preços. Ou seja. . nós sabemos que se p b1 a consumidor 1 não consumirá nada. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS DE TERCEIRO GRAU 83 O que nos dá um excedente agregado dado por 1 a2 1 a2 1 a2 1 a2 + + + 8 b1 8 b2 4 b1 4 b2 3 a2 3 a2 = + : 8 b1 8 b2 ED = Suponha agora que discriminação de preços seja algo proibido por lei. 4: Excedente do consumidor em uma situação sem discriminação em que o monopolista serve aos dois consumidores. Figura 7. Observe que agora nós podemos representar gra…camente a curva de demanda inversa da economia como na …gura 7. Com tais valores de b1 e b2 . Ou seja. 1 a a a a a 1 a a a EcSD = a + + 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 a2 = : 4 Já o lucro do monopolista. que no caso é zero. que é simplesmente sua receita. Note que o excedente dos consumidores será dado pela soma das áreas A. nós podemos calcular o excedente agregado da economia na situação acima. como queríamos mostrar. será dado por 2a 1 SD = y SD y SD b1 + b2 b1 + b2 2a 1 a a = 3 3 a2 = : 3 .84 CAPÍTULO 7. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS Igualando a receita marginal ao custo marginal. nós obtemos a seguinte expressão: 2 2a y = 0: b1 + b2 b1 + b2 Resolvendo a expressão acima para y. B e C na …gura.4. nós encontramos y SD = a: Este é exatamente o nível de produção agregado que obtivemos no caso com discriminação. Para facilitar a análise. vamos supor agora que b1 = 2 e b2 = 1. se ele agir como se a curva de demanda agregada da economia for a curva de demanda na região em que os dois tipos de consumidores têm uma demanda não nula. dados os valores de b1 e b2 acima. o excedente agregado da economia será dado por E SD = EcSD + a2 a2 = + 4 3 7a2 = : 12 SD Por outro lado. Acima nós vimos que se a solução do problema do monopolista no caso sem discriminação de preços ocorre em uma região em que os dois tipos de consumidores têm uma demanda não nula. 7a2 12 9a2 > 16 = ED: E SD = Ou seja. o excedente agregado da economia aumentou na situação sem discriminação de preços. Vamos primeiro calcular o lucro do monopolista.7. o excedente agregado no caso com discriminação seria dado por 3 a2 3 a2 + 8 b1 8 b2 9a2 = : 16 ED = Mas então. Ou seja.4. se ele escolher servir aos dois tipos de consumidores. Neste caso. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS DE TERCEIRO GRAU 85 Então. a solução do problema do monopolista é igual a da análise acima e o lucro do monopolista é dado por = = = 2a b1 + b2 2a b1 + b2 1 y y b1 + b2 1 a a b1 + b2 a2 : 5 Vamos calcular agora o lucro do monopolista se ele resolver não servir aos consumidores do tipo 1. se ele agir como se a curva de demanda agregada da economia fosse simplesmente a curva de demanda dos consumidores do tipo 2. . Suponha agora que b1 = 4 e b2 = 1. no caso sem discriminação. Isto é. então o excedente agregado da economia era maior no caso sem discriminação do que no caso com discriminação. 2. Como o monopolista ignora completamente os consumidores do grupo 1. Exercício 7. o preço que ele irá cobrar dos consumidores do grupo 2 é o mesmo que ele cobraria se pudesse praticar a discriminação de preços. os consumidores do grupo 2 são indiferentes entre uma situação com discriminação e uma sem discriminação de preços. Atenção. Ou seja. ele produzirá y = a2 e obterá um lucro dado por = = = a b2 a b2 1 y y b2 1a a b2 2 2 a2 . portanto eles estariam melhores se a discriminação de preços fosse uma prática permitida.86 CAPÍTULO 7. nas duas situações o monopolista obtém a mesma renda com os consumidores do grupo 2. a solução do problema do monopolista é igual à solução no caso com discriminação de preços para o consumidor 2. a passagem de uma situação sem discriminação de preços para uma com discriminação de preços melhora a situação de 2 tipos de agentes em nossa economia sem piorar a situação do terceiro tipo. O que eu quero é algo mais simples. por outro lado. as curvas de indiferenças dos dois consumidores que passam por estes pacotes e os pacotes e…cientes. 4 que é maior do que o obtido no caso em que os dois consumidores são servidos. Não é aquela análise grá…ca que eu quero. Isto representa um argumento forte em favor da liberação da discriminação de preços neste caso. Finalmente. 7. uma melhora de Pareto. Suponha que a economia tenha dois tipos de consumidores e que a …rma monopolista consiga diferenciá-los. se estivermos em uma situação com discriminação de preços proibida.1 (Descrição grá…ca da solução do modelo de Mussa e Rosen). portanto. mas se ele puder discriminar os preços ele obtém uma renda extra com as vendas para os consumidores do grupo 1. Ou seja. Caracterize gra…camente a solução de tal modelo. simplesmente mostre no mesmo grá…co os pacotes de consumo dos dois consumidores. Considere o modelo de discriminação de preços de segundo grau estudado nas notas de aula (o modelo de Mussa e Rosen). Dada a solução que nós obtivemos nas notas. bem como as curvas de indiferenças que passam por tais pacotes. não consomem nada em uma situação sem discriminação de preços. Os consumidores do grupo 1. os pacotes que teriam sido vendidos se o monopolista pudesse diferenciar os dois consumidores. no livro texto tem uma análise grá…ca para se chegar a solução de um modelo parecido com o de Mussa e Rosen.5 Exercícios Exercício 7. A curva de demanda agregada dos consumidores do tipo A é dada por qA (pA ) = 20 pA . Ela é. então o monopolista decidirá servir apenas aos consumidores do grupo 2. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS Neste caso. Ou seja. ou seja. A análise acima mostra que agora. você pode agora derivar a curva de demanda inversa. Encontre o preço cobrado pela …rma neste caso. Isto é. EXERCÍCIOS 87 e a dos consumidores do tipo B é dada por qB (pB ) = 16 pB : 2 O custo de produção da …rma monopolista é dado por c (qA + qB ) = 4 (qA + qB ) : (a) Encontre os preços cobrados pelo monopolista quando a prática de discriminação de preços é permitida. A curva de demanda dos estudantes é dada por qe = (2 3pe ) e a dos consumidores regulares é dada por qr = (1 pr ) : Por simplicidade. Que preço o monopolista cobrará? E se o mercado for composto só por consumidores regulares. Esta também será dividida em regiões. A solução do problema da …rma se dará na região em que esta resolve atender aos dois tipos de consumidores. os dois tipos de consumidores consomem. Para preços entre o valor previamente mencionado e um valor mais alto apenas um tipo de consumidor consome. (a) Suponha que o mercado seja composto só por estudantes. nenhum consumidor consome. para calcular o excedente dos consumidores você precisará olhar para a curva de demanda inversa completa. suponha que o custo de produção do monopolista é constante e igual a zero. que preço o monopolista cobrará? . De posse da curva de demanda agregada. Para preços acima do valor mais alto citado anteriormente. Esta curva terá 3 regiões. a soma dos excedentes dos dois tipos de consumidores (Dica: Para fazer a questão você primeiro vai ter que derivar as curvas de demanda inversa para os dois tipos de consumidores). Também neste caso. Portanto. Porém.3 (Descontos para Estudantes). considerando todas as suas regiões). Para preços abaixo de um certo valor. Suponha que um monopolista venda em um mercado que tenha dois tipos de consumidores: estudantes e consumidores regulares. Exercício 7.5. na hora de resolver o problema da …rma você pode assumir que a curva de demanda inversa da economia corresponde à parte da curva da demanda inversa em que a …rma atende aos dois consumidores. (b) Suponha agora que a prática de discriminação de preços seja proibida por lei.7. calcule o excedente agregado dos consumidores (Dica: Para fazer esta questão você terá que derivar a curva de demanda agregada para este caso. Calcule o excedente agregado dos consumidores neste caso. também. Assumindo que o monopolista vá sempre tentar atender aos dois mercados. . Isto é.88 CAPÍTULO 7. utilizando o que você aprendeu na letra (a). ou seja. quanto maior é a parcela da população composta por estudantes. calcule o preço cobrado dos consumidores regulares (o preço cobrado dos estudantes será a metade) como função de . que o governo imponha uma lei que obrigue que o preço cobrado dos estudantes seja sempre igual à metade do preço cobrado dos consumidores regulares. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS (b) Suponha agora que uma fração dos consumidores seja de estudantes e uma fração (1 ) seja de consumidores regulares. Observe que a fórmula para o preço encontrada é uma função crescente em relação a . Suponha. maior é o preço. Explique intuitivamente por que isto ocorre. o lucro do monopolista assume o seguinte formato: = (lucro obtido com estudantes) + (1 ) (lucro obtido com consumidores regulares). Então. sob que condições existe uma função u de…nida sobre o conjunto X tal que para qualquer par de alternativas x e y em X. e nós trabalhávamos com a hipótese de que o nosso agente tinha um relação de preferências % de…nida sobre X. dada a ação escolhida por ele.1 89 . x % y se e somente se u (x) u (y) : Observe que a situação acima é totalmente determinística. Para facilitar um pouco a vida do nosso agente. mas não é verdade que y % x. e a nossa. quando escrevemos x y. para qualquer par de consequências x e y no conjunto X. Ou seja. x indiferente. mas não é verdade que x % y: 8. Ou seja. vamos fazer a hipótese de que quando o agente escolhe uma ação. mas que o agente não possa escolher diretamente os elementos de X. ou x pior do que y. Lembre-se que para qualquer par de alternativas x e y. x y. Naquela situação. quando dizemos que x % y. queremos dizer que x % y. x y. ele pelo menos conhece a probabilidade de que uma determinada consequência irá ocorrer. mas na hora da escolha da ação o agente não sabe exatamente que consequência será esta.8. de acordo com esta interpretação. nós queremos dizer que x é pelo menos tão bom quanto y. x y. Suponha que ainda tenhamos um conjunto de consequências X. Este será o tipo de situação que estaremos interessados em estudar nesta parte do curso. a relação de preferências nos dizia se o agente considerava x melhor. nós estudaremos tal problema para um conjunto de consequências abstrato.1 Naquela situação. quando escrevemos x y. X. Primeiramente.Capítulo 8 Escolha sob Incerteza 8. o agente têm que escolher ações que vão posteriormente implicar alguma consequência em X. Existe um conjunto de consequências e o agente tem uma relação de preferências de…nida sobre este conjunto de consequências. embora ele não saiba exatamente que consequência aquela ação implicará no futuro. nós geralmente tínhamos um conjunto de consequências. Já quando escrevemos x y nós queremos dizer que y % x. Suponha agora que tenhamos uma situação um pouco diferente. Agora. nós estudamos sob que condições uma relação de preferências % pode ser representada por uma função de utilidade.1 Introdução Em micro 1 nós estudamos teoria da escolha em um contexto determinístico. queremos dizer que x % y e y % x. Similarmente. podemos dizer que o conjunto de alternativas do nosso agente tem 3 elementos. um bilhete de Mega Sena custa mais ou menos 2 reais. o maior prêmio já pago na Mega Sena. o valor esperado de um bilhete de Mega Sena é aproximadamente 65:000:000 1 = 1. nós podemos trabalhar com a hipótese de que na hora de escolher se compra ou não um bilhete de Mega Sena. Por exemplo.2 Finalmente. aproximadamente uma em 50 milhões. Ele pode não ganhar e não perder nenhum dinheiro. a utilidade esperada de não comprar o bilhete é simplesmente zero. Chamemos tal alternativa de Ganhar 65 Milhões (G65). a utilidade de G65 pode ser muito alta. Formalmente.000. 50:000:000 Ou seja. Chamemos tal alternativa de Ficar na Mesma (FM). comprando apenas um cartão. ESCOLHA SOB INCERTEZA como o acima. Dada a probabilidade de vitória acima. Por outro lado. podemos dizer que U (FM) = 0 e U (PD) = 0. U (G65) = 50:000:000. Na segunda parte destas notas. Mas será que conseguimos responder tal pergunta usando a teoria econômica que aprendemos até agora? Vamos tentar. ele tem também a chance de ganhar 65. 8. Ou seja.063. Primeiramente. o valor esperado de um bilhete de Mega Sena é mais ou menos 65% do custo do bilhete. Ou seja.860. ao comprar o bilhete o agente pode simplesmente perder 2 reais. nós não faremos hipótese alguma a respeito de quem são os elementos de X. 30 reais. mesmo se considerarmos o maior prêmio já pago. Por outro lado.8. nós faremos a hipótese de que o nosso conjunto X é composto de consequências monetárias.2. já que neste caso não existe nenhuma probabilidade envolvida. . o que o agente leva em consideração é o que chamamos de utilidade esperada de tal ação. Suponha que o agente tenha preferências sobre as alternativas acima dadas por uma função de utilidade U . Por que as pessoas jogam na Mega Sena. Dadas estas utilidades. Por outro lado.2 Se esta informação estiver errada a culpa é de quem escreveu o verbete sobre Mega Sena na Wikipedia. para um único apostador. 0000000001. Por outro lado. Por exemplo.000. então? É claro que com um pouco de introspecção nós conseguimos encontrar inúmeras respostas para a pergunta acima.2 8. é de uma em 50. Uma possível explicação formal para o fato de que o agente compra bilhetes de Mega Sena pode ser que a utilidade que o agente atribui a PD é praticamente a mesma que ele atribui a FM. Finalmente.1 Teoria da Utilidade Esperada Utilidade Ordinal e Utilidade Esperada A chance de alguém ganhar na Mega Sena.90 CAPÍTULO 8. foi de aproximadamente 65 milhões de reais em 1999. Chamemos esta alternativa de Perder Dois Reais (PD). de que os elementos de X são simplesmente somas de dinheiro. a utilidade esperada de comprar o bilhete é dada por 1 49:999:999 + U (G65) U (PD) = 1: 50:000:000 50:000:000 8. Ou seja. Usando o jargão popularmente utilizado em economia. Voltando ao exemplo acima. Neste P caso. Nós veremos que estas modi…cações nos permitirão falar do conceito de utilidade esperada de uma forma mais apropriada. uma loteria é simplesmente um vetor p = (p1 . a probabilidade de obtermos a consequência xi é exatamente pi . que a probabilidade de que vá chover seja 1=2. a nossa teoria econômica. O primeiro problema com a análise acima é que ela atribui um signi…cado à função de utilidade do agente que é incompatível com a teoria que temos até o momento. Aparentemente. também. representada pela letra m. a única informação que nós podemos realmente inferir de tais funções é o ranking que o agente faz das diversas alternativas. uma forma conveniente de modelar as ações é associar a cada ação um objeto que nós chamamos de loteria. TEORIA DA UTILIDADE ESPERADA 91 Ou seja. então a função V de…nida por V := W (U ).2. Seja X um conjunto …nito. da forma como a temos estudado até agora. Suponha que X tenha N elementos. o agente sabe exatamente a probabilidade de obter uma determinada consequência no futuro.1. que a nossa hipótese é que. Para escaparmos de tais problemas nós teremos que modi…car um pouco as bases da nossa teoria. V (PD) = 1 e V (G65) = 1 representa exatamente a mesma preferência sobre as três alternativas em questão do que a função de utilidade U acima. :::. O nosso . mas ações que posteriormente levarão a alguma daquelas consequências.2. A idéia agora é que os objetos de escolha do nosso agente não são as consequências em X diretamente. A mensagem da discussão acima é que a teoria que temos até o momento não nos permite falar do conceito de utilidade esperada de uma forma que tenha signi…cado.2 Preferências sobre Loterias Vamos agora dar um formalismo matemático às idéias discutidas na introdução e na seção anterior. representado pela letra s. Sob tal hipótese. mas nós veremos que isto não é exatamente verdade. em que W é qualquer função estritamente crescente também representa as mesmas preferências. Suponha. Lembre-se que a nossa interpretação é que X é o nosso conjunto de consequências. pN ) tal que pi 0 pra todo i e N i=1 pi = 1. Na próxima seção nós introduziremos o conceito de loteria e passaremos a trabalhar com agentes econômicos que tem uma relação de preferências de…nida sobre tais objetos. Embora funções de utilidade sejam uma forma conveniente de representar as preferências de um determinado agente. a utilidade esperada de comprar um bilhete de Mega Sena é maior do que a utilidade esperada de não comprar o bilhete. e não …car molhado. A interpretação é que dada a loteria p. Uma loteria é simplesmente um vetor de probabilidades sobre o conjunto X. a função V dada por V (FM) = 0. dada uma ação. Lembre-se de micro 1 que se uma dada função de utilidade U representa as preferências de um dado agente. então. Exemplo 8. 8. Mas para tal função a utilidade esperada da compra de um bilhete de Mega Sena é V (PD) 49:999:999 + V (G65) 50:000:000 1 = 50:000:000 1: O que é pior do que zero que continua sendo a utilidade esperada de não comprar o bilhete.8. também. a nossa teoria da utilidade até o momento é ordinal. Lembre-se. Suponha que o nosso conjunto de consequências X seja composto de apenas duas alternativas: …car molhado. já é capaz de responder a pergunta que …zemos no início da seção. Uma possível relação de preferências sobre loterias neste caso poderia vir da hipótese de que o agente gosta sempre de maximizar a probabilidade de obter a consequência x . Utilidade esperada. 1=2) : Então. Dado o nosso conjunto X.92 CAPÍTULO 8. Ou seja. levar um guarda-chuva pode ser representado pelo vetor de probabilidades (p (m) . ou não levar um guarda-chuva. ESCOLHA SOB INCERTEZA agente tem duas ações possíveis: levar um guarda chuva. Naquela seção. % nos diz se p é melhor (p q). Na próxima seção nós veremos como o fato de que agora nossos objetos de escolha são loterias nos permitirá escapar daqueles problemas. pior (p q).2. a ação de levar um guarda chuva pode ser representada pela loteria que diz que a probabilidade do agente não …car molhado é 1 e a probabilidade do agente …car molhado é zero. Formalmente isto é representado pela relação de preferências de…nida por p % q se e somente se p (x ) q (x ) : 2. Para …carmos mais familiarizados com a notação e a modelagem acima vamos agora estudar alguns exemplos de relações de preferências sobre loterias. p (s)) = (0. de…na (X) como o conjuntoPde todas as possíveis loterias sobre X. vimos que um jeito conveniente de representarmos as diversas ações é através de loterias. N N X X p % q se e somente se p (xi ) u (xi ) q (xi ) u (xi ) : i=1 i=1 O segundo tipo de preferências acima está no formato que discutimos na seção anterior. Suponha que exista uma consequência x 2 X que o agente considere a melhor de todas. De acordo com o formalismo acima. ou indiferente a q (p q). 1. dadas duas loterias p e q em (X). 1) e não levar um guarda-chuva pode ser representado pelo vetor de probabilidades (p (m) . % agora é uma relação que. nós abordamos alguns problemas que nós tínhamos ao tentarmos aplicar a teoria que aprendemos até aqui para caracterizar tal tipo de preferências. Já o ato de não levar um guarda-chuva pode ser representado pela loteria que diz que a chance do agente …car molhado.2 (Preferências sobre Loterias). p (s)) = (1=2. Suponha que o agente tenha uma função de utilidade u sobre o conjunto de consequências. 8. Exemplo 8. No …nal da seção nós apresentamos uma classe interessante de preferências sobre loterias: a classe das preferências que têm uma . Uma possível relação de preferências sobre loterias poderia ser aquela que se preocupa em maximizar o que chamamos de utilidade esperada. bem como a chance do agente não …car molhado. Ou seja (X) := fp 2 RN : pi 0 pra todo i e N i=1 pi = 1g.3 Teorema da Utilidade Esperada Na seção anterior nós estudamos o conceito de loterias e também introduzimos o conceito de uma relação de preferências sobre o conjunto de loterias. são ambas iguais a 1=2. Ou seja. Maximizando a probabilidade de obter a consequência favorita. A nossa hipótese agora é que o agente terá uma relação de preferências de…nida sobre (X). Ou seja. uma dada loteria composta seja sempre representada pela loteria simples que exibe as mesmas probabilidades …nais de receber cada consequência. em nossa modelagem. qN ). Uma discussão mais detalhada dos problemas da propriedade de Independência vai além dos objetivos deste curso. ri 0 para todo i e i=1 ri = 1: Agora que nós já introduzimos a notação p + (1 ) q.3 (Combinações Convexas de Loterias). o agente receberá uma das consequências em X e isto se dará de acordo com as probabilidades referentes à loteria que o agente recebeu no estágio anterior. um sorteio será realizado e o agente receberá a loteria p com probabilidade e receberá a loteria q com probabilidade (1 ). ri = pi + (1 ) qi . o que justi…ca que. a nossa análise não trabalhará com loterias compostas. o vetor r de…nido de tal forma é uma loteria. e um número tal que 0 1. q e r. nós estamos preparados para apresentar a nossa primeira propriedade para a preferência % : Axioma 8. nós usaremos a notação p + (1 ) q para representar a loteria r que associa à cada consequência x 2 X a probabilidade p (x) + (1 ) q (x). nós estamos simplesmente falando de um novo vetor (loteria) r tal que para todo i. Observe PNque. e um número entre 0 e 1.8.3 Na verdade a propriedade acima não é tão natural assim. Para uma outra loteria q := (q1 .2. nós gostaríamos de pensar em p + (1 ) q como uma loteria de loterias. A hipótese implícita durante toda a nossa análise aqui vai ser que o agente só se preocupa com as probabilidades …nais de receber cada consequência.3 8. Primeiramente. Agora. então uma loteria p pode ser P representada por um vetor de N elementos p = (p1 . é fácil ver que um agente de posse de uma loteria composta p + (1 ) q realmente tem uma chance igual a p (x) + (1 ) q (x) de receber a consequência x ao …nal dos dois sorteios. :::. Portanto. Mas então. e qualquer tal que 0 < < 1. Posteriormente. nós vamos investigar algumas propriedades que uma dada relação de preferências sobre loterias pode satisfazer e. p % q se e somente se p + (1 ) r % q + (1 ) r: A motivação para a propriedade acima é a seguinte. é natural supor que a opinião do agente vai ser a mesma nos dois casos. ou seja. Dada as loterias compostas p + (1 ) r e q + (1 ) r. posteriormente. TEORIA DA UTILIDADE ESPERADA 93 representação por utilidade esperada.8. Em particular. nós vamos investigar como tais propriedades se relacionam com o conceito de representação por utilidade esperada. . os agentes geralmente violam tal propriedade em ambientes experimentais. o que vai diferenciar uma da outra vai ser somente as loterias que ele vai receber com probabilidade . Intuitivamente. Ou seja. já que em ambas as situações acima o agente só vai olhar para p e q. formalmente. p e q. Ou seja. quando nós escrevemos p + (1 ) q. Dado tal procedimento. :::. Exemplo 8. Nós dizemos que uma preferência sobre loterias % satisfaz Independência se para quaisquer três loterias p. A motivação para trabalharmos com este tipo de de…nição vem da idéia de uma loteria composta. o agente sabe que ambas lhe dão uma probabilidade (1 ) de receber a loteria r. Como vimos na seção anterior. de fato. mas tal conceito será usado informalmente nas discussões abaixo para motivar algumas propriedades. formalmente. portanto nós abdicaremos de tal discussão aqui. pN ) em que pi 0 para todo i e N i=1 pi = 1. Dado um par de loterias p e q.1 (Independência). se o conjunto de alternativas X tem N alternativas. p % q () N X i=1 p (xi ) u (xi ) N X q (xi ) u (xi ) : i=1 O teorema acima nos mostra que as relações de preferências sobre o conjunto de loterias (X) que satisfazem Independência e a propriedade Arquimediana são exatamente as preferências sobre loterias que admitem uma representação por utilidade esperada. se para quaisquer três loterias p. 8. em algum local em que elas vão ter que pegar o carro para ir até lá. É razoável se supor que neste caso as preferências de qualquer pessoa satisfaçam p q r.2.2 (Propriedade Arquimediana). Suponha. é fácil ver que na prática tais argumentos são totalmente falaciosos. As duas propriedades acima são tudo que nós precisamos para caracterizar as preferências sobre um conjunto de loterias que admitem uma representação por utilidade esperada. Porém. por exemplo. elas com certeza vão preferir pegar os 100 reais do outro lado da universidade. mas não nula. Axioma 8. q e r. Mas é também razoável acreditarmos que existe um valor de tal que p + (1 ) r q? A primeira vista tal fato pode nos parecer questionável. Nós dizemos que uma preferência sobre loterias % é Arquimediana. Mas ao pegar o carro para ir até o outro lado da universidade não existe uma chance. xN g um conjunto com N consequências.1 (Teorema da Utilidade Esperada de Von Neumann e Morgenstern). que r represente uma morte horrível. pequena. digamos por queimadura. A loteria q pode por exemplo representar a possibilidade de se ganhar 10 reais com probabilidade 1. Seja X := fx1 . ESCOLHA SOB INCERTEZA Para podermos apresentar o teorema da utilidade esperada. A primeira vista o axioma acima pode não parecer muito plausível. :::. Tal teorema é o que nós chamamos de teorema de representação. Se chegarmos para essas mesmas pessoas e oferecermos a elas 10 reais em mãos ou 100 reais do outro lado da universidade. Ao apresentarmos tal exemplo. Qual o motivo que nos leva a ter interesse em tal . também com probabilidade 1. Teorema 8. se p q r. então existem 0 < . uma análise mais profunda mostra que as ações das pessoas não tem como contradizê-lo. não é raro ouvirmos argumentos do tipo “nenhum dinheiro vale o risco de ter uma morte horrível como esta”. nós precisamos ainda de mais uma propriedade. que p represente uma situação em que você ganharia 100 reais com probabilidade 1. já que agora nós estamos comparando uma chance de ganhar 10 reais com certeza com uma loteria em que embora você possa ganhar 100 reais. de um acidente com uma posterior morte por queimadura? O ponto desta discussão é que mesmo que o axioma da propriedade Arquimediana possa não parecer tão razoável à primeira vista. Suponha. < 1 tal que p + (1 )r q e q p + (1 ) r.4 Motivações Positivas e Normativas para a Utilidade Esperada Na seção anterior nós estudamos o Teorema da Utilidade Esperada.94 CAPÍTULO 8. existe também uma possibilidade de você ter uma morte horrível por queimadura. Uma preferência % sobre (X) satisfaz Independência e a propriedade Arquimediana se e somente se existe uma função de utilidade u sobre X tal que para todo par de loterias p e q. De…na (X) como o conjunto de todas as loterias sobre X. também. suponha que tenhamos interesse na teoria da utilidade esperada. o que faz com que esta continue sendo usada intensamente em grande parte dos trabalhos em economia. esta é uma tarefa muito mais fácil. o axioma da independência e. Por exemplo. 3=8) é melhor do que uma loteria q dada por (qx . As motivações para termos interesse em teoremas de representação podem ser de dois tipos: positivas e normativas. que o teorema da utilidade esperada é algo inútil? Não exatamente. uma forma de testar se o comportamento do agente está de acordo com a teoria da utilidade esperada. y.4 Motivações Normativas para o Teorema da Utilidade Esperada Nós vimos na seção acima que como descrição da realidade a teoria da utilidade esperada não é muito precisa. Porém. 3=8. TEORIA DA UTILIDADE ESPERADA 95 resultado. 8. nenhum agente econômico carrega em sua testa uma tatuagem com a sua função de utilidade para podermos veri…car se esta é do tipo Utilidade Esperada ou não. as escolhas dos agentes econômicos em situações práticas sempre satisfazem a propriedade Arquimediana. 1=8. Fora isto. No entanto. pw ) = (1=8. qz . nós ao invés de tentarmos descobrir uma possível função de utilidade do agente. pz . a maior parte das pessoas consistentemente viola o axioma de Independência. z. suponha que estejamos interessados em descobrir se algum modelo de utilidade esperada pode ser usado para explicar as decisões de um determinado agente. 1=4. nós podemos simplesmente testar se as decisões do agente satisfazem essas duas propriedades. qy . consequentemente a teoria da utilidade esperada. não nos proporciona uma boa descrição do comportamento dos agentes. nenhuma outra teoria é analiticamente tão conveniente quanto a teoria da utilidade esperada. Infelizmente. Como nós já argumentamos anteriormente. então. Como nós sabemos que uma preferência que tem representação por utilidade esperada necessariamente satisfaz Independência e a propriedade Arquimediana. qw ) = (1=4. . 1=4. wg. Testar se as decisões dos agentes econômicos satisfazem as propriedades que caracterizam a representação por utilidade esperada é de fato algo que já foi feito por diversas pessoas. Nós agora temos que ajudar um dono de empresa a decidir se uma loteria p dada por (px .8. Ou. Suponha que tenhamos um conjunto X com 4 alternativas. Acreditem. Ou seja. 1=4).8. Motivações Positivas para o Teorema da Utilidade Esperada Um dos possíveis usos para um teorema de representação como o acima é nos fornecer uma ferramenta de teste para que possamos veri…car se um dado modelo é consistente com as ações tomadas por agentes econômicos em situações práticas. suponha que tenhamos interesse em saber se um determinado agente faz uso de uma representação por utilidade esperada para tomar suas decisões. py . uma outra razão para que tenhamos interesse em um teorema de representação como o acima pode ser totalmente normativa. Mas isto quer dizer. já que nós veremos que as motivações normativas para tal resultado são bem mais fortes.4 Além disto. X := fx.2. a teoria da utilidade esperada serve de ponto de partida para várias outras teorias que representam uma descrição melhor das decisões dos agentes. Mais especi…camente. O teorema acima nos fornece. alternativamente. Nós já podemos imaginar que em geral tais decisões podem ser muito complicadas. portanto. na maioria dos casos. mas sob algumas hipóteses. q := 1 (0) 4 1 (30) 2 1 (60) : 4 . a interpretação era que para cada x 2 X. Agora nós colocaremos um pouco mais de estrutura no nosso conjunto de alternativas X. na hora de decidir qual das duas loterias acima é a melhor. p (x) representava a probabilidade que um agente detentor da loteria p iria acabar recebendo a alternativa ou consequência x no futuro. 8. a loteria p acima retorna 20 reais com probabilidade igual a 1=4 e retorna 100 reais com probabilidade igual a 3=4. agora nós trabalharemos com a hipótese de que as alternativas no nosso conjunto X são ganhos monetários. nós vamos precisar mudar um pouco nossa notação para podermos representar loterias.3. ESCOLHA SOB INCERTEZA Por outro lado. 8. os dois axiomas que caracterizam a utilidade esperada parecem fazer bastante sentido. Nós não teremos tempo para nos aprofundarmos em tal discussão aqui. Por exemplo. Naquela seção nós tínhamos um conjunto de alternativas genérico X e nós de…nimos uma loteria sobre X como sendo simplesmente um vetor de probabilidades sobre os elementos de X. nós poderíamos simplesmente tentar descobrir qual a função de utilidade da empresa sobre as alternativas em X. Mais precisamente. nós podemos perguntar ao dono da empresa se ele considera as propriedades de Independência e Arquimediana como razoáveis para o processo de decisão em sua empresa. Em caso a…rmativo.1 Loterias Monetárias e Aversão ao Risco Introdução Na seção anterior nós estudamos o conceito de loterias e utilidade esperada. nós de…niremos X como o conjunto dos números reais. nós trabalharemos com a hipótese de que as alternativas em X são simplesmente valores monetários. Ou seja. Dada uma loteria p.3 8.3.2 Loterias Monetárias Como nós discutimos na introdução. a loteria q abaixo retorna 0 reais com probabilidade igual a 1=4. De forma similar. Formalmente. retorna 30 reais com probabilidade igual a 1=2 e retorna 60 reais com probabilidade igual a 1=4.96 CAPÍTULO 8. Como o nosso conjunto X agora não é mais …nito. existem justi…cativas razoáveis para que consideremos os dois axiomas acima como bons guias para tomadas de decisão em um contexto de escolha sob incerteza. X := R. A notação que usaremos seguirá o seguinte padrão: p := 1 (20) 4 3 (100) : 4 Na nossa notação. Nós veremos que esta estrutura adicional nos permitirá discutir alguns conceitos novos. Agora tudo que temos que fazer é escolher a loteria com a maior utilidade esperada. durante a maior parte do tempo nós evitaremos falar explicitamente de %. nós podemos trabalhar com o conceito de valor esperado de uma loteria. durante todo o tempo nós assumiremos que as nossas funções de Bernoulli u são contínuas e estritamente crescentes. isto é.4 (Agente neutro ao risco). Por exemplo. Para uma dada loteria p. as preferências do agente são simplesmente dadas pela utilidade esperada das diversas loterias. Suponha que a função de Bernoulli do agente seja simplesmente a função identidade. suponha que tenhamos duas loterias p := 1 (10) 2 1 (20) 2 e 1 1 (12) (18) : 2 2 Nestas notas de aula nós assumiremos que existe uma função u. para uma dada loteria p. LOTERIAS MONETÁRIAS E AVERSÃO AO RISCO 97 Valor Esperado de uma Loteria Como os prêmios de nossas loterias agora são valores monetários.8. nós estaremos particularmente interessados no caso em que % tem uma representação por utilidade esperada. para as duas loterias acima nós temos: 3 1 20 + 100 = 80 E [p] = 4 4 e 1 1 1 E [q] = 0+ 30 + 60 = 30: 4 2 4 Preferências sobre Loterias e Utilidade Esperada Como foi o caso na seção anterior. Como tal agente compara as duas loterias p e q acima? Para respondermos a esta pergunta precisamos calcular a utilidade esperada das duas loterias com respeiro à função u. nós estaremos interessados em estudar agentes que tenham uma relação de preferências % sobre o conjunto de todas as loterias monetárias. nós usaremos U (p) para representar a utilidade esperada de p com relação à função de Bernoulli u. Nós chamaremos as funções u utilizadas em representações por utilidade esperada de funções de Bernoulli e. Como foi o caso anteriormente. u (x) = x. Finalmente. nós usaremos a notação E [p] para representar o seu valor esperado. …cando subentendido que dada a função u. Isto é. sobre o conjunto de números reais. Mas observe que 1 1 u (10) + u (20) 2 2 1 1 = 10 + 20 2 2 = 15: U (p) = . Como aqui não estamos interessados em discutir as condições que levam à existência de uma representação por utilidade esperada.3. tal que q := p % q se e somente se 1 1 u (10) + u (20) 2 2 1 1 u (12) + u (18) : 2 2 A idéia é exatamente a mesma da seção anterior. Exemplo 8. para todo número real x. como o acima.3 Aversão ao Risco No exemplo 8. Na nossa notação: p := (x) (1 ) (y) : O valor esperado de tal loteria é dado simplesmente por E [p] = x + (1 ) y: E sua utilidade esperada é dada por U (p) = u (x) + (1 8. um agente cuja função de Bernoulli é simplesmente a identidade julgará as diversas loterias apenas pelo seu valor esperado. 1 1 u (12) + u (18) 2 2 1 1 = 12 + 18 2 2 = 15: U (q) = Portanto. De forma similar.5 Um agente que só se importa com o valor esperado das loterias. Ou seja. a utilidade esperada de qualquer loteria é simplesmente o seu valor esperado.8. Formalmente.5 Na nossa notação: r := 1 (15) : ) u (y) . é chamado na literatura de neutro ao risco. é fácil ver que dada a função de Bernoulli do agente. 8. nós podemos de…nir o conceito de um agente avesso ao risco. . um agente que tem como função de Bernoulli a função de identidade é indiferente entre as loterias p e q.3. Função de Bernoulli de um Agente Avesso ao Risco Suponha que tenhamos um agente avesso ao risco e que sua função de Bernoulli seja u.4 acima nós vimos que o agente era indiferente entre as loterias p e q. De fato.98 CAPÍTULO 8. Um agente avesso ao risco sempre acha o valor esperado de uma determinada loteria pelo menos tão bom quanto a própria loteria. Por exemplo. um agente avesso ao risco acha a loteria que paga E [p] com probabilidade 1 pelo menos tão boa quanto p. tal agente é indiferente entre a loteria q acima e uma outra loteria r que retorne um prêmio de 15 reais com probabilidade 1. Isto é. dada uma loteria p. ambas as loterias têm o mesmo valor esperado. ESCOLHA SOB INCERTEZA Similarmente. Se prestarmos atenção. para um agente avesso ao risco nós sempre temos U (1 (E [p])) U (p) : Se a desigualdade acima é sempre estrita nós dizemos que o agente é estritamente avesso ao risco. Considere uma loteria p que paga um prêmio x com probabilidade e um prêmio y com probabilidade (1 ). Tudo que temos a fazer é veri…car se a função de Bernoulli do agente é côncava.8. Mas esta é exatamente a condição que caracteriza uma função côncava. dx2 que é menor do que zero para todo x. Para uma loteria genérica p e uma dada função de Bernoulli u. Considere uma loteria genérica p = (x) (1 ) (y). que aversão ao risco está relacionada com a concavidade da função de Bernoulli do agente.1. Suponha que a função de Bernoulli de um determinado agente seja dada por u. para quaisquer dois números reais x e y nós temos que ter u ( x + (1 ) y) u (x)+(1 ) u (y). nós sabemos que U (1 (E [p])) U (p) . (a) Suponha que a função de Bernoulli do agente seja u (x) = x. o agente é avesso ao risco se e somente se a função u é côncava. LOTERIAS MONETÁRIAS E AVERSÃO AO RISCO 99 Como por hipótese o nosso agente é avesso ao risco. Equivalente Certeza Suponha que tenhamos um agente com função de Bernoulli u e considere uma loteria p := (x) (1 ) (y).6 (Equivalente Certeza). em outras palavras. Observe que U (p) = x + (1 ) y: . nós estamos interessados em descobrir o valor de z que satisfaz a seguinte equação: u (z) = u (x) + (1 ) u (y) : Nós chamamos o valor de z que resolve a equação acima de equivalente certeza de p. A proposição acima nos fornece um teste simples para veri…carmos se um agente é ou não avesso ao risco. De fato. No exemplo abaixo nós computamos o equivalente certeza para algumas loterias e funções de Bernoulli. Parece. Lembre-se que uma função duas vezes derivável u é côncava se e somente se sua derivada segunda é sempre menor ou igual a zero. u ( x + (1 ) y) u (x) + (1 ) u (y) : Ou seja. Formalmente. d2 u (x) = e x. De fato. u) para representar o equivalente certeza da loteria p com relação à função de Bernoulli u. qual o prêmio z que se oferecido ao agente com probabilidade 1 lhe daria a mesma utilidade esperada que a loteria acima. Exemplo 8.3. então. ou seja. temos a seguinte proposição: Proposição 8.5 (Funções Côncavas). Nós podemos facilmente veri…car que tal agente é avesso ao risco. Quanto será que o agente aceitaria pagar por tal loteria? Ou. Exemplo 8. Suponha que a função de Bernoulli do agente seja dada por u (x) = e x . nós usamos a notação c (p. Então. Suponha. (b) Suponha que u (x) = x2 e considere a loteria p = 31 (2) a utilidade esperada de p. Isto é. c (p. mas caso o evento que leva à perda D ocorra ele recebe X reais. Fixe uma loteria genérica qualquer p. esta é uma caracterização alternativa do conceito de aversão ao risco. agora. e. caso o agente contrate um seguro para X . c (p. u) E [p] : Agora que nós já aprendemos o conceito de aversão ao risco. como a proposição abaixo nos mostra. que tenhamos um agente avesso ao risco com função de Bernoulli u. o equivalente certeza de p tem que ser necessariamente menor ou igual ao valor esperado de p. nós sabemos que u (E [p]) = U (1 (E [p])) U (p) : Ou seja. então. na próxima seção nós estudaremos como um agente avesso ao risco se comporta em algumas situações de incerteza. Vamos primeiro calcular 2 1 (2)2 + (1)2 3 3 = 2: U (p) = Mas então. Proposição 8. c (p. ele paga sX à seguradora. para toda loteria p. Ou seja. u) = x + (1 ) y: Conclusão: para um agente neutro ao risco. o agente é avesso ao risco se e somente se. Suponha.4 Comportamento de um Agente Avesso ao Risco Nível Ótimo de Seguro Suponha que um agente avesso ao risco com função de Bernoulli u tenha uma riqueza inicial igual a W . portanto. Suponha que a função de Bernoulli de um determinado agente seja dada por u. a loteria que paga o valor esperado de p com probabilidade 1 é pelo menos tão boa para o agente quanto p. o equivalente certeza de p resolve a equação z 2 = 2. De fato. se ele não …zer nada. u) = p 2. o equivalente certeza de qualquer loteria é sempre igual ao seu valor esperado. ESCOLHA SOB INCERTEZA Mas. Isto implica que o agente considerará loterias que pagam um prêmio maior do que o valor esperado de p com probabilidade 1 estritamente melhores do que p. que exista uma seguradora que cobre um preço s para cada real segurado. Então. O agente sabe que existe uma probabilidade de ele perder D reais. Ou seja. Ou seja. com probabilidade sua riqueza no futuro será W D. Como o agente é avesso ao risco.2.3. Esta será dada por 2 3 (1).100 CAPÍTULO 8. se o agente …zer um seguro de X reais. Mas então. para um agente avesso ao risco. 8. a utilidade esperada da loteria p é igual à utilidade esperada da loteria que paga o prêmio x + (1 ) y com probabilidade 1. também. Quando o agente contrata um seguro para X reais. Suponha que W = 2 e que com probabilidade = 4=9 o agente tenha a chance de perder D = 1 real.8 (Nível ótimo de seguro com preço justo). O problema do agente é escolher o valor de X que maximize a sua utilidade esperada. LOTERIAS MONETÁRIAS E AVERSÃO AO RISCO 101 reais. se nós conhecermos a função de Bernoulli do agente nós podemos facilmente calcular quanto seguro ele vai contratar. X. se o agente tem X reais segurados. Suponha. max X 5 ln 2 9 5 X 9 + 4 4 ln 1 + X : 9 9 A condição de primeira ordem do problema acima é dada por 5 9 5 1 4 4 1 + = 0. Caso o evento que desencadeia o pagamento do seguro ocorra a riqueza do agente será 2 1 + 1 59 X = 1 + 49 X. Com probabilidade (1 ) o evento não ocorrerá. Solução. Isto se deve ao fato de que o seguro estava um pouco caro no exemplo acima. Vejamos quanto seguro o agente .8. o preço por unidade segurada que iguala o custo do seguro ao seu valor esperado é exatamente s = 4=9. Ou seja. com probabilidade o evento que leva à perda dos D reais ocorrerá e a riqueza do agente será W sX D + X. Como o exemplo abaixo mostra. Dado o preço por real segurado o agente acabava segurando apenas 7=20 reais. Exemplo 8. a probabilidade do evento que desencadeia o pagamento do seguro ocorrer é igual a 4=9. o valor esperado de tal seguro é exatamente 94 X.3. Calcule a quantidade de seguro. Caso o evento que desencadeia o pagamento do seguro não ocorra a riqueza do agente será simplesmente 2 59 X. que o preço cobrado por real segurado seja s = 5=9. k No exemplo acima nós aprendemos a calcular o nível ótimo de seguro que um agente contrataria. que o agente vai contratar. Portanto. Vamos agora estudar o comportamento do agente se o seguro tivesse um preço justo. suponha que a função de Bernoulli do agente seja simplesmente u (x) = ln x. No exemplo acima. Exemplo 8. Finalmente. 16 2 5 X 9 4 = 25 1 + X : 9 Resolvendo a equação acima nós obtemos que a quantidade ótima de seguro contratada é X = 7=20 reais. ele paga sX reais para a seguradora. embora houvesse uma possibilidade de perda de 1 real caso o evento ruim ocorresse.7. 5 9 2 9X 9 9 1 + 49 X que pode ser reescrita como 25 2 5 X 9 + 16 = 0: 1 + 49 X Que é equivalente a. Nós chamamos tal valor de preço justo do seguro. situação esta em que a riqueza do agente será apenas W sX. Logo. Exercício 8. isto é. Mostre que tal relação de preferências satisfaz Independência e a propriedade Arquimediana (Dica: Não tente mostrar isto diretamente. que dadas duas loterias p e q. Suponha.102 CAPÍTULO 8. Neste caso. o problema do agente pode ser escrito como 5 4 4 5 X + ln 1 + X : max ln 2 X 9 9 9 9 A condição de primeira ordem do problema acima é dada por 5 9 4 5 4 1 1 + = 0. quando o preço do seguro é justo o agente opta por um seguro total. Suponha agora que estejamos falando de loterias monetárias. Na verdade. p % q () p (x ) q (x ) : Ou seja. o agente sempre busca maximizar a probabilidade de obter a sua consequência favorita. ele opta por um seguro total. nós usamos a notação E [p] para representar o seu valor esperado. suponha que o conjunto de alternativas X tenha uma alternativa x que é a favorita do agente. Considere o exemplo de preferência sobre loterias nas notas de aula. 4 9 2 9X 9 9 1 + 59 X que pode ser reescrita como 1 2 4 X 9 + 1 = 0: 1 + 59 X Que é equivalente a. 2 O fenômeno descrito acima não depende dos parâmetros especí…cos do exemplo. o valor esperado e a variância têm a seguinte forma E [p] = x + (1 ) y e V ar (p) = (x E [p])2 + (1 ) (y E [p])2 : . use o teorema da utilidade esperada). loterias do tipo p := (x) (1 ) (y). Portanto.4 Exercícios Exercício 8. sempre que um agento avesso ao risco se defronta com um seguro com preço justo. 8. Por exemplo. Isto é. ESCOLHA SOB INCERTEZA contrataria caso o seguro tivesse um preço justo.1 (Maximizar a Probabilidade de Obter a Consequência Favorita). para loterias que retornam apenas dois prêmios. Lembre-se que para uma dada loteria p.2. também. Na lista de exercícios será pedido que vocês mostrem tal fato formalmente. 4 5 X = 1 + X: 9 9 Resolvendo a equação acima nós obtemos uma quantidade ótima de seguro X = 1 real. Nós usaremos a notação V ar (p) para representar a variância de uma determinada loteria. V (p) = u (x) + (1 ) u (y) : Exercício 8. Suponha agora que o seguro tenha um preço justo. A conclusão vem diretamente da de…nição de aversão ao risco). ! 2 g. Mostre que neste caso o valor esperado das loterias acima é sempre o mesmo.4. mostre que a função de utilidade acima pode ser escrita no formato de utilidade esperada.4 (Demanda por Ativos de Risco). isto é. suponha que tenhamos um agente com riqueza inicial igual a W . Escreva a loteria que representa a riqueza futura de um agente que contratou um seguro de X reais. X = D (Dica: Você não tem que fazer conta. Exercício 8. Suponha que o preço pago por cada real segurado seja simplesmente s. quando o seguro tem um preço justo. O primeiro ativo. uma loteria. . já o ativo A2 paga 3 reais no estado ! 1 e paga 0 reais no estado ! 2 . suponha que s = . f! 1 . A1 . (b) Observe que para cada possível valor de X. Deste modo. (c) Ou seja. ou seja. loterias da forma (x) (1 ) (y). A idéia é que no futuro um dos dois estados vai ocorrer. Suponha que a economia tenha dois ativos de risco. EXERCÍCIOS 103 (a) Calcule os valores esperados e as variâncias das loterias p := 1 (8) 43 (4) : 4 1 3 (2) 2 3 (1) e q := (b) (Dependendo dos seus conhecimentos de probabilidade e estatística este exercício pode ser um pouco mais difícil. Como não sabemos ainda se o evento que ocasiona a perda dos D reais vai ocorrer. o problema de escolher o nível ótimo de seguro pode ser interpretado como o problema de escolher a melhor loteria dentre as diversas possíveis acima. (a) Suponha que o agente tenha contratado um seguro para X reais. o problema do agente passa a ser o de escolher entre várias loterias que têm o mesmo valor esperado. Ou seja. Com probabilidade um evento que implica em uma perda de D reais para o agente vai ocorrer. independentemente do valor X. Suponha que existam dois estados possíveis da natureza. isto é. a expressão que você encontrou acima representa uma loteria diferente.8. mas eu acho que vocês têm condições de resolvê-lo) Suponha agora que o agente tenha uma função de utilidade sobre o conjunto de loterias monetárias dada por V (p) = E [p] (E [p])2 V ar (p) : Considerando loterias que retornam apenas dois prêmios. Suponha que a probabilidade de que ! 1 vá ocorrer seja p (! 1 ) = 1=3 e a probabilidade de que ! 2 vá ocorrer seja p (! 2 ) = 2=3. Isto é. Lembre-se do exemplo nas notas de aula. Use este fato para argumentar que neste caso um agente avesso ao risco sempre vai escolher um seguro total. na nossa terminologia. a riqueza futura do agente é para nós uma variável aleatória.3 (Seguro Total). paga 1 real no estado ! 1 e paga 2 reais no estado ! 2 . O agente tem a oportunidade de fazer um seguro para receber X reais caso o evento que desencadeie a perda dos D reais ocorra. ou. mostre que existe uma função u sobre os números reais tal que para qualquer loteria p := (x) (1 ) (y). Tal resultado não depende dos exatos valores utilizados na questão. todos os ativos tiverem um preço justo e a nossa estrutura de ativos for rica o su…ciente. Isto é. Suponha que tal agente tenha 2 reais para gastar entre os dois ativos descritos acima. O resultado é bem mais trivial. . Desta forma. você percebeu que o portifólio escolhido pelo agente na letra (a) dá um retorno maior no estado ! 2 do que no estado ! 1 . Quanto ele compraria de cada ativo e. No exemplo aqui estudado. qualquer portifólio pagará mais em um estado que no outro. suponha que pA1 = 5=3. o preço do ativo A1 está mais barato do que o valor esperado de uma unidade de tal ativo. Mostre que se isto não for verdade. Calcule quanto o agente compraria de cada ativo neste caso e compute o retorno …nanceiro do agente em cada um dos estados. em tal caso. você percebeu que no item anterior o retorno …nanceiro do agente é o mesmo nos dois estados. Atenção. Seja agora um agente com função de Bernoulli u (x) = ln x. então não existe portifólio que elimine a incerteza sobre os ganhos monetários futuros do agente. o ativo A1 paga mais no estado ! 2 e o ativo A2 paga mais no estado ! 1 . tal resultado é independente do fato do portifólio ser o ótimo ou não e também não depende dos preços dos ativos. por outro lado.104 CAPÍTULO 8. o seu retorno monetário seja maior no estado que é mais favorável a tal ativo. Suponha agora que o ativo A1 também tenha um preço justo. portanto. é intuitivo que o agente esteja comprando relativamente mais do ativo A1 e. simplesmente. ESCOLHA SOB INCERTEZA (a) Suponha que os preços por unidade dos ativos A1 e A2 sejam. (c) Se você fez as contas corretamente. quanto seria o retorno …nanceiro do agente em cada um dos estados? (b) Se você fez as contas corretamente. respectivamente. pA1 = 4=3 e pA2 = 1. o agente vai escolher um portifólio que elimine a incerteza sobre os seus ganhos futuros. já que o preço do ativo A2 corresponde exatamente ao valor esperado de uma unidade de tal ativo enquanto. dado o seu portifólio. Este resultado é intuitivo. a riqueza da estrutura de ativos corresponde ao fato de que os dois ativos acima são negativamente correlacionados. se tivermos um agente avesso ao risco. Em geral. Isto é. mas algumas situações econômicas relevantes são inerentemente estratégicas. Isto é. Exemplo 9.1 Introdução No curso de Microeconomia 1 nós estudamos a teoria da decisão individual. Por outro lado.Capítulo 9 Teoria dos Jogos . A teoria do equilíbrio geral é muito útil e tem diversas aplicações em economia. que as teorias que estudamos até agora não são capazes de lidar com tal problema. mas nós já podemos perceber que este é um problema totalmente estratégico. Existe um grande número de consumidores no mercado. Considere os seguintes exemplos: Exemplo 9. Suponha que tenhamos uma praia que seja atendida por dois sorveteiros. Desta forma. Novamente. a teoria do equilíbrio geral ignora completamente quaisquer considerações estratégicas que um agente possa ter na hora de tomar uma decisão.Jogos na Forma Normal 9. o sorveteiro sabe disto.1 (Problema dos Sorveteiros). o problema acima ainda não está totalmente especi…cado. Embora a teoria de equilíbrio geral aceite a presença de diversos agentes. ambas as 105 . ele sabe que o seu concorrente sabe disto.. o que nos faz ter interesse em teorias que possam ser aplicadas a tais situações.2 (Duopólio). nós estudamos como um agente econômico isolado faz suas escolhas. O problema das duas empresas agora é escolher que preço elas devem cobrar pelo produto y de modo a maximizar os seus lucros. O lucro do sorveteiro vai depender de onde ele e de onde o seu concorrente estiverem posicionados. Fica claro. O lucro de cada uma das empresas vai depender do preço que ela está cobrando e do preço que a sua concorrente está cobrando. Para simpli…car. etc. Suponha que somente duas empresas vendam o produto y. Onde será que os dois sorveteiros vão se posicionar? Tal problema ainda não está totalmente especi…cado. de modo que os consumidores vão agir como tomadores de preço. o seu concorrente sabe disto. a hipótese lá é que os diversos agentes econômicos desconsideram o efeito que as suas decisões vão ter nas decisões dos outros agentes. Na primeira parte do curso de Microeconomia 2 nós nos concentramos na teoria do equilíbrio geral. suponha que as pessoas estejam distribuídas de maneira igual por toda a praia. mas nós já podemos perceber que ele também é um problema estratégico. Mais ainda. 1].9. :::.1: Representação grá…ca do problema dos sorveteiros 9.1 Figura 9. por exemplo. De forma similar.3 (Problema do Sorveteiro Revisitado). aj 2 Aj . nós temos um conjunto de jogadores. a2 . Primeiramente. A função de ganho do agente i. 1]. Ou seja.1 Dependendo da nossa modelagem o ganho de cada um dos sorveteiros pode ser.2 O Conceito de Jogo Nesta seção nós estudaremos o conceito de jogo. nós precisamos de algo que represente as regras do jogo. :::. Exemplo 9. Finalmente. Uma forma de modelar o problema dos sorveteiros como um jogo é representar a praia simplesmente como um segmento de reta ou intervalo. 2. Finalmente. Isto é. aN ). a2 ) nos diz qual o ganho do sorveteiro 2 nesta mesma situação. TEORIA DOS JOGOS . Para cada jogador i 2 J nós associamos um conjunto de ações ou estratégias Ai . em tal problema os conjuntos de estratégias dos jogadores são dados por A1 = A2 = [0. Em geral. aN ) que representa o prêmio que o agente i recebe em tal situação. a2 .106 CAPÍTULO 9. dado um vetor (a1 . a função de ganho U i do agente i associa um número real U i (a1 . entre 0 e 1. A ferramenta usada em economia para tanto é conhecida como Teoria dos Jogos. Quanto cada sorveteiro vende dada as suas posições na praia vai depender de hipóteses adicionais que nós incorporaremos ao modelo no futuro.JOGOS NA FORMA NORMAL empresas sabem que a sua decisão de preço vai afetar a decisão de preço da concorrente. . U 2 (a1 . nós chamamos um vetor de estratégias (a1 . Um jogo para nós consistirá de três elementos. Ou seja. o seu lucro ou número de sorvetes vendidos. Agora o problema de cada um dos sorveteiros é simplesmente escolher uma posição. a2 ) nos dirá qual o ganho do sorveteiro 1 quando o sorveteiro 1 se coloca na posição a1 e o sorveteiro 2 se coloca na posição a2 . para completar a descrição do jogo nós só precisamos de duas funções U 1 e U 2 que para cada par de de números a1 e a2 entre 0 e 1 nos diga qual o ganho de cada agente. Digamos que nós representemos a praia como o intervalo fechado [0. Para nós as regras do jogo vão ser representadas pelo que nós chamamos de funções de ganho dos agentes. U 1 (a1 . digamos J := f1. :::. :::. é simplesmente uma função que nos diz qual o prêmio que o agente i recebe dadas as estratégias usadas por todos os jogadores. por exemplo. ou número. N g. 9. de per…l de estratégias. aN ) em que para cada j. Como saber o que vai acontecer em tal situação? Os dois exemplos acima mostram que nós precisamos de novas ferramentas para podermos estudar situações econômicas em que situações estratégicas estejam envolvidas. E) U 1 (B. 1 Par I 1. 1 1. U i (B. a2 ) com a1 2 A1 e a2 2 A2 . dado um vetor de preços (a1 . Cada …rma tem que escolher que preço cobrar pelo produto. D) 1 (9. nos informem o lucro de cada uma delas. E) U (C. Isto é. Nós vamos chamar tal representação de representação matricial de um jogo. CONJUNTOS DE ESTRATÉGIAS FINITOS E JOGOS NA FORMA MATRICIAL107 Exemplo 9. U (C. A forma mais conveniente de representar tal jogo é em uma matriz em que o jogador 1 escolha a linha da matriz e o jogador 2 escolhe a coluna. 2. nós só precisamos conhecer U i (C. suponha que A1 := fC.2) O jogo acima é o que chamamos de jogo de soma zero.4 (Duopólio Revisitado). nós encontraremos o jogador 1 representado como o jogador que escolhe as linhas e o jogador 2 representado como o que escolhe as colunas. F2 g. U 1 (a1 . Na representação matricial tal jogo pode ser escrito como Jogador Ímpar P I Jogador P 1. D) U 1 (B. Agora. 1). Ou seja. ou seja. Para visualizar tal representação.3. E) e U i (B. E) . E) . comecemos com o caso em que cada um dos dois jogadores têm apenas duas estratégias disponíveis. Em cada célula nós escrevemos o ganho dos agentes dadas as duas estratégias jogadas. Neste curso nós seguiremos esta convenção. Por exemplo. No duopólio o conjunto de jogadores é logicamente dado pelas duas …rmas. U 2 (C. Para tais jogos existe uma forma bastante conveniente de representação. D) . 9. U i (C. Suponha que o jogador 1 tenha sido a pessoa que pediu par.5 (Par ou ímpar). as estratégias dos jogadores consistem apenas em colocar um número par ou um número ímpar.1) Geralmente. Dg. Jogador 2 Jogador C B 1 E D 2 1 U (C. para completar a descrição do jogo nós só precisamos especi…car o ganho de cada um dos agentes em 4 situações distintas. dados os preços cobrados pelas duas …rmas.9. D).3 Conjuntos de Estratégias Finitos e Jogos na Forma Matricial Nesta seção nós nos concentraremos em jogos em que o número de jogadores é igual a 2 e o conjunto de estratégias de cada jogador é …nito. na literatura. Bg e A2 := fE. Para completar a descrição do jogo só precisamos agora de duas funções U 1 e U 2 que. Neste caso. U 2 (B. para i = 1. Digamos que o jogador que ganha o par ou ímpar recebe ganho 1 e o que perde recebe ganho -1. 1 1. Nos . Exemplo 9. D) . 1 (9. a2 ) nos diz qual o lucro da …rma F2 . U 2 (B. D) . E) . a2 ) nos diz qual o lucro da …rma F1 e U 2 (a1 . portanto suas estratégias são dadas simplesmente por A1 = A2 = [0. Se você prestar atenção você vai perceber que em todas as situações a soma dos ganhos dos dois jogadores é igual a zero. J := fF1 . 1 Estratégia Dominante Suponha que tenhamos um jogo em que o conjunto de jogadores seja dado por J = f1. Vários conceitos de solução já foram discutidos na literatura. Tal situação pode ser representada pelo seguinte jogo: D Mulher B 9. é claro. quando aplicável gera previsões claras. Exemplo 9. Após a introdução do conceito de equilíbrio de Nash. é o conceito de equilíbrio de Nash. Suponha agora que os jogadores 1 e 2 sejam um casal. caso ambos vão para locais diferentes eles não derivam nenhuma utilidade. Os jogadores têm que decidir aonde ir no sábado a noite. 9. independentemente das estratégias que os outros jogadores estejam jogando.108 CAPÍTULO 9. em geral nós estamos interessados em saber qual é a solução do jogo. Já o jogador 2 prefere ir para o seu bar favorito.3) Jogos Resolvíveis por Dominância Acima nós vimos que algumas situações econômicas relevantes podem ser representadas pelo conceito de jogo.JOGOS NA FORMA NORMAL seus primórdios a teoria dos jogos dedicou bastante atenção a tais jogos. jogar ai é estritamente melhor para o jogador i do que jogar qualquer outra estratégia. :::. Consideremos mais um exemplo. 0 1. aN ) > U i (a1 . a estratégia ai é a única melhor estratégia para o jogador i. É claro que uma teoria só é útil se nós pudermos usá-la para fazer previsões. Agora nós nos concentraremos em um conceito de solução mais básico que. No caso de uma jogo. intuitivas. e empiricamente consistentes.4 Homem D B 3. ai . Como eles são um casal muito apaixonado. N g. Formalmente.4. . mas sim por ser este um dos únicos tipos de jogo que eles sabiam analisar satisfatoriamente. Na linguagem de teoria dos jogos. :::. :::. aN ). aN ) . ai . Dado um jogador qualquer i. 1 0. TEORIA DOS JOGOS . 0 0. Ou seja. não importa o que os outros jogadores estejam jogando. :::. :::. nem tanto por sua importância econômica. nós dizemos que uma estratégia ai 2 Ai é uma estratégia estritamente dominante para o jogador i se. Nós estudaremos tal conceito mais tarde. embora não possa ser aplicado para todos os jogos. a importância relativa dos jogos de soma zero diminuiu bastante. U i (a1 . ai é uma estratégia estritamente dominante para o jogador i se para qualquer per…l de estratégias (a1 .6 (Batalha dos Sexos). com aj 2 Aj para todo j e ai 6= ai . que nós estudaremos mais a frente. Jogador 1 é a mulher e ela prefere ir para uma discoteca. O mais famoso. :::. nós estamos principalmente interessados em saber que estratégias serão usadas pelos jogadores naquele contexto. 3 (9. o conceito de solução por estratégias estritamente dominantes nos diz que dado o jogo acima os dois prisioneiros confessariam. De fato.9. nós podemos observar que o ganho …nal dos agentes não parece ser muito bom. recebe a seguinte informação: se um deles confessar e o outro não. Também no jogo Batalha dos Sexos nenhum jogador tem uma estratégia dominante. Tal situação pode ser representada pelo seguinte jogo em forma matricial: Prisioneiro 2 C N (9.2 109 Solução por Estratégias Estritamente Dominantes Suponha agora que todos os jogadores tenham uma estratégia estritamente dominante. Ou seja.4) 5. dada a matriz de ganhos acima. embora o jogo tenha uma solução bem natural. independentemente do que o jogador (prisioneiro) 2 esteja jogando. 2 1 No jogo acima.4. Jogos resolvíveis por estratégias estritamente dominantes são a melhor situação que podemos encontrar em teoria dos jogos. se o jogador Ímpar estiver jogando um número par. a melhor estratégia para o jogador 1 é confessar. o jogo acima é resolvível por estratégias estritamente dominantes e sua solução é (C. O delegado tenta obter uma con…ssão. Nós vemos que o jogador par não tem uma estratégia dominante neste caso. O único problema com tal conceito de solução é que poucos jogos podem ser resolvidos desta maneira. C). a solução do jogo não é e…ciente no sentido de Pareto. Portanto. Se ninguém confessar ainda é possível condenar ambos por um crime menor. 5 1. Nós vamos ver que em geral. Em particular. Por outro lado. os dois receberão uma pena de cinco anos.4. considere o exemplo do par ou ímpar acima. é difícil imaginar que os jogadores agiriam de forma diferente. separadamente. dadas as opções que eles tinham.7 (Dilema dos Prisioneiros). então é melhor para par jogar um número par. No exemplo acima. Ou seja. quem confessou receberá uma pena leve de apenas um ano e o que não confessou receberá uma pena de dez anos. Neste caso ambos recebem uma pena de dois anos. Você consegue ver isto? . em termos de ganhos. Dois indivíduos são presos por um crime grave e colocados em celas separadas. Uma análise similar mostra que o jogador ímpar também não tem uma estratégia dominante. JOGOS RESOLVÍVEIS POR DOMINÂNCIA 9. A solução de tais jogos é simples. Caso ambos confessem. A mesma coisa acontece para o jogador 2. intuitiva e geralmente corresponde ao que esperaríamos que ocorresse na vida real. Por exemplo. Neste caso a melhor estratégia para o jogador Par é jogar também um número ímpar. É de se esperar que neste caso todos os jogadores usem exatamente as suas estratégias dominantes. independentemente do conceito de solução usado. 10 Prisioneiro C N 10. Cada um deles. as soluções de jogos não têm que ser e…cientes. Quando isto acontece nós dizemos que o jogo é resolvível por estratégias estritamente dominantes. caso ambos não confessassem os dois obteriam um ganho estritamente maior. Exemplo 9. Suponha que o jogador que pediu ímpar esteja jogando um número ímpar. 1 2. Esta é uma característica marcante de situações estratégicas. 2 Eliminação Iterativa de Estratégias Estritamente Dominadas Suponha que no jogo acima o jogador 2 ao tentar decidir o que fazer esteja tentando averiguar a possibilidade do jogador 1 jogar cada uma de suas estratégias. para qualquer per…l de estratégias (a1 . :::. TEORIA DOS JOGOS . ao fazer considerações sobre o jogo.5. 1 1. ai . Uma estratégia ai será estritamente dominada por uma outra estratégia a ^i se. Nós vimos que uma estratégia era estritamente dominante para o jogador i se. ai+1 . Ou seja. aN ) : Exemplo 9.JOGOS NA FORMA NORMAL Eliminação Iterativa de Estratégias Dominadas Estratégias Estritamente Dominadas Na seção anterior nós estudamos o conceito de uma estratégia estritamente dominante para um dos jogadores.8. 1 1. a ^i . :::. Intuitivamente.110 9. considere um jogo em que o conjunto de jogadores é dado por J := f1. 1 1. aN ) dos outros jogadores. Ele logo perceberá que a estratégia B é estritamente dominada e. portanto. 1 1. :::. o jogador 2 agirá como se a estratégia B não fosse possível. :::. Pegue um jogador qualquer i. ai 1 . 9.5. Desta forma. 1 2.1 CAPÍTULO 9. independentemente do que os outros jogadores estiverem jogando. Considere o seguinte jogo: C Jogador M 1 B Jogador 2 E D 1. ela fosse sempre estritamente melhor para o jogador i do que todas as suas outras estratégias. 1 1. o jogador 1 nunca irá jogá-la. ou pelo menos de simpli…cação de um jogo. N g e cada jogador j tem um conjunto de estratégias Aj . Abaixo nós utilizaremos o conceito de estratégias estritamente dominadas para de…nir um novo conceito de solução. :::. Neste caso dizemos que B é uma estratégia estritamente dominada por M . independentemente da estratégia que o jogador 2 estiver jogando. Jogador 2 E D 1. aN ) > U i (a1 . 1 . a estratégia B dá um ganho estritamente menor para o jogador 1 do que a estratégia M (e do que a estratégia C). :::. U i (a1 . Formalmente. ele agirá como se o jogo na verdade fosse apenas Jogador C M 1 Consideremos um outro exemplo. uma estratégia ai é estritamente dominada para o jogador i.5 9. 5 3. 1 1. :::. independentemente do que os outros jogadores estivessem jogando. 2 (9. se existe uma outra estratégia a ^i tal que jogar a ^i seja estritamente melhor para o jogador i do que jogar ai . Agora nós estudaremos o conceito relacionado de uma estratégia estritamente dominada.5) Observe que no jogo acima. 1 2. Portanto. ou. o jogador 1 percebe que a estratégia N é estritamente dominada pela estratégia C para aquele jogador. Nos dois exemplo acima a eliminação de uma única estratégia estritamente dominada já foi su…ciente para simpli…car o jogo até um ponto que este pudesse ser resolvido por dominância. Mas considere a análise que …zemos acima. você pode checar que nenhum jogador tem uma estratégia dominante no jogo acima. 0 9. 1 0. N é estritamente dominada por C para o jogador 1. 1 1 Mas agora jogar C é uma estratégia estritamente dominante para o jogador 1. 2 A estória agora (admitidamente um pouco boba) é que o prisioneiro 1 é amigo do juiz. Quando o jogador 2 não estiver confessando a melhor coisa para o jogador 1 seria não confessar. os nossos agentes em economia são bem mais racionais do que isto e nós assumimos que eles podem aplicar o conceito de eliminação de estratégias estritamente dominadas inúmeras vezes. com a previsão única de que os dois jogadores vão confessar. Por outro lado. 2 0. 7 5. 0 0. Considere a seguinte variação do dilema dos prisioneiros: Prisioneiro C N 1 Prisioneiro 2 C N 5. Ao olhar as opções do jogador 2. 0 Jogador 2 B C D 2. 1 0. Considere o seguinte exemplo. 2 7. ele consegue escapar sem nenhuma pena. Observe que agora confessar não é mais uma estratégia estritamente dominante para o jogador 1. mas na verdade simples: E Jogador F 1 G H A 0. ELIMINAÇÃO ITERATIVA DE ESTRATÉGIAS DOMINADAS 111 Exemplo 9. vemos que a estratégia D é estritamente dominada pela estratégia B. 10 10. 7 0.9 (Amigo do Juiz). 1 (9. ele desconsiderará a possibilidade de que o jogador 2 possa jogar N . sendo o jogador 1 alguém extremamente racional. novamente. se aplicarmos o raciocínio de eliminação de estratégias estritamente . Desta forma. 0 0. 5 Prisioneiro C N 10. 5 0. 3 5. 5 1. Em geral. 1 3. agora o jogo não é mais resolvível por dominância. 5 4. Se eliminarmos N do jogo acima …camos. Nas demais situações os ganhos de ambos são exatamente iguais aos ganhos no jogo original. Portanto. alternativamente.5. 0 2.9. Mas agora o jogo simpli…ca-se para Prisioneiro 2 C 5.6) Se você tiver paciência. aparentemente complexo. quando nenhum dos prisioneiros confessa. Portanto. ainda mais simples: E Jogador F 1 G Jogador 2 A B C 0. a nossa de…nição de uma estratégia estritamente dominada parece ser muito restritiva. Lembre-se que tal de…nição considera uma estratégia estritamente dominada . 3 5. 0 2.JOGOS NA FORMA NORMAL dominadas nós podemos simpli…car o jogo acima para E Jogador F G 1 H Jogador 2 A B C 0. 7 2. 3 5. 2 7. 5 0. agora C é estritamente dominada por B. 5 4. Novamente. 7 0. 3 5. 3 5. 0 0. 2 2. 2 Finalmente. 2 7. 7 2.3 Eliminação de Estratégias Fracamente Dominadas A primeira vista. 7 Agora G é estritamente dominada por F e o jogo simpli…ca-se para Jogador 2 Jogador F 1 B C 3. 2 3. TEORIA DOS JOGOS . 2 3. 7 Agora a estratégia que é estritamente dominada é do jogador 2. Observe que A é estritamente dominada por B. 5 0. 5 0. O jogo reduz-se para Jogador F G 1 Jogador 2 A B C 5. 0 0. o que nos dá o seguinte jogo: Jogador F G 1 Jogador 2 B C 3. 0 5. 9. 0 Mas agora. 7 Continuando com o mesmo procedimento. aplicando o conceito de eliminação de estratégias estritamente dominadas nós obtemos o seguinte jogo. 5 0.5. no jogo simpli…cado acima. 2 3. 0 5.112 CAPÍTULO 9. 5 4. agora observe que a estratégia E é estritamente dominada pela estratégia F . 2 7. 0 2. vemos que a estratégia H é estritamente dominada pela estratégia F . 0 2. o que nos dá a previsão única de que no jogo acima os jogadores acabarão jogando F e B. 3 5. Novamente. Embora a eliminação de estratégias fracamente dominadas seja de fato discutida na literatura. a ^i . :::. tal fato não ocorre quando aplicamos o conceito de eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas. aN ) dos outros jogadores. :::. ai . Não é difícil ver que o método de eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas é mais geral do que o método . :::. U i (a1 . O conceito de uma estratégia fracamente dominada é razoável e parece que existe espaço para considerarmos o conceito de eliminação de estratégias fracamente dominadas. para nós ele não terá muita utilidade.9. Tudo que vocês precisam saber é que tal conceito é um pouco problemático o que nos leva a trabalhar sempre com eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas.6 Equilíbrio de Nash Até agora nós já aprendemos dois possíveis métodos de solução para jogos. Nós pararemos a discussão a respeito do conceito de eliminação de estratégias fracamente dominadas aqui. tal conceito é mais problemático do que o conceito de eliminação de estratégias estritamente dominadas. ai+1 . EQUILÍBRIO DE NASH 113 somente quando existe uma outra estratégia que é estritamente melhor do que ela em todas as outras situações. embora a demonstração de tal fato esteja um pouco acima das nossas capacidades neste curso. Estamos pedindo que a ^i seja pelo menos tão boa quanto ai em todas as situações e exista pelo menos uma situação em que a ^i seja estritamente melhor do que ai . aN ) dos outros jogadores U i (a1 . Tal fato não ocorre com a eliminação de estratégias estritamente dominadas. ai+1 . :::. a ^i . agora não estamos pedindo que a ^i seja estritamente melhor do que ai em todas as situações. :::. Ou seja. :::. 9. ai 1 . :::. aN ) U i (a1 . aN ) e para pelo menos um per…l (a1 . 2. Per…s de alternativas que são equilíbrios de Nash. algo que nós estudaremos abaixo. Alguns problemas que acontecem quando aplicamos o conceito de eliminação iterativa de estratégias fracamente dominadas são os seguintes: 1. Uma de…nição alternativa poderia ser uma similar ao conceito de dominância no sentido de Pareto. aN ) > U i (a1 . poderíamos dizer que uma estratégia ai é fracamente dominada por uma outra estratégia a ^i se para qualquer per…l de estratégias (a1 . :::. A ordem em que eliminamos iterativamente estratégias fracamente dominadas altera o resultado …nal. podem ser eliminados se aplicarmos o conceito de eliminação iterativa de estratégias fracamente dominadas. :::. Embora tal conceito tenha alguma importância teórica. :::. aN ) : Ou seja. Nós vimos que alguns jogos podem ser resolvidos pela existência de estratégias estritamente dominantes para todos os jogadores e também vimos que alguns outros jogos podem ser resolvidos pela eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas. ai 1 . ai . :::.6. :::. Por outro lado. ai 1 . Gg. Nós começamos com o conceito de uma melhor resposta. Tal conceito nos fornecerá o método de solução mais utilizado em teoria dos jogos. ai+1 . ou seja.1 Melhores Respostas Suponha que tenhamos um jogo com N jogadores.6. ou seja.9. TEORIA DOS JOGOS .5) acima. dado um per…l de estratégias (a1 .114 CAPÍTULO 9. :::. ainda existem vários jogos em que o processo de eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas não nos dá uma solução. B 1 (A) = fF. aN ). então todas as suas outras estratégias são estritamente dominadas por tal estratégia e. Considere o seguinte jogo: E Jogador F G 1 H A 0. observe que B 2 (F ) = fA. ai+1 . 0 0. :::. :::. :::. É interessante termos uma notação para representar. :::. ou seja. 0 0. De…na a correspondência de melhores respostas B i do jogador i. 7 7.JOGOS NA FORMA NORMAL de solução por dominãncia. 1 0. 1 É fácil ver que no exemplo acima B 1 (B) = fF g. mas não nos fornece uma previsão clara do que os dois jogadores vão fazer.10. ai+1 . Formalmente. a única melhor resposta do jogador 1 à estratégia B é exatamente F . 2 7. 2 5. como um mapa que associa a cada per…l de estratégias dos outros jogadores. aN ) ai 2Ai As estratégias do jogador i que resolvem o problema acima são chamadas de melhores respostas do jogador i a (a1 . :::. 0 9. Exemplo 9. tanto F quanto G são melhores respostas para o jogador 1 quando 2 joga A. Nós podemos fazer a seguinte pergunta: dado que os outros jogadores estão jogando (a1 . :::. Ou seja. :::. 7 0.2 Mesmo sendo mais geral do que o método de solução por dominância. 9. como no jogo (9. B e C são melhores respostas para o jogador 2 quando 1 joga F . nós podemos tentar encontrar as estratégias ai 2 Ai que resolvem o seguinte problema de maximização: max U i (a1 . dado um per…l de estratégias dos outros jogadores. 5 4. ai 1 . 1 2. :::. ai 1 . ai . serão eliminadas. :::. portanto. ai 1 .2 Se o jogador i tem uma estratégia estritamente dominante. . aN ) dos outros jogadores. as melhores respostas do jogador i. 0 Jogador 2 B C D 2. Fixe um jogador i qualquer e considere um per…l de estratégias (a1 . 0 2. ai 1 . aN ) como o conjunto de estratégias do jogador i que resolvem o problema de maximização acima. 2 0. aN ) para os outros jogadores. B. tal método até simpli…ca o jogo. :::. 5 0. todo jogo que é resolvível por dominância é também resolvível por eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas e a solução é a mesma. ai+1 . Isto é. o conjunto de alternativas do jogador i que são melhores respostas àquele per…l. Cg. de…na B i (a1 . Nesta seção nós estudaremos o conceito de equilíbrio de Nash. A. :::. 1 3. Para …nalizar. aN ) qual a melhor estratégia (ou as melhores estratégias) para o jogador i. Algumas vezes. ai+1 . 9. De fato. não haveria motivo para 1 desejar mudar de estratégia. tal propriedade é geral. Lembre-se que tal per…l também era a solução por dominância do jogo. também. aN ) é um equilíbrio de Nash do jogo se para todo jogador i. ai . Formalmente. 4 3. 1 2. nós vemos que (a1 . 1 1 B 6. por hipótese. De forma similar. aN ) seja a solução por dominância de um determinado jogo. 1 4. com ai 6= ai nós temos que ter U i (a1 .2 115 Equilíbrio de Nash Considere o seguinte jogo: Jogador 2 E D C 5. Suponha que um per…l (a1 . aN ) > U i (a1 . mesmo que 1 já tivesse observado que 2 jogou E. como a proposição abaixo mostra: Proposição 9. Exemplo 9. 10 Prisioneiro C N 10. Ou seja. ai+1 . 2 1 Observe que B 1 (C) = fCg e B 2 (C) = fCg.9. Como isto é válido para todos os jogadores i. :::. em um equilíbrio de Nash todos os jogadores estão fazendo o melhor que eles poderiam fazer dadas as estratégias que estão sendo jogadas pelos outros jogadores. ai é uma estratégia estritamente dominante para i. Então. em termos de melhores respostas.11 (Dilema dos Prisioneiros revisitado). Como. ai . De certa forma. Fixe um jogador qualquer i. :::. Considere o dilema dos prisioneiros original. sabemos que para qualquer estratégia ai 2 Ai . Mesmo se 2 já tivesse observado que 1 jogou B. ai 1 . :::. não haveria razão para 2 mudar de estratégia. Quando um per…l de estratégias satisfaz tal tipo de condição nós dizemos que tal per…l é um equilíbrio de Nash do jogo. isto é: Prisioneiro 2 C N 5. Um per…l de estratégias (a1 . :::. aN ) : Mas isto implica que B i a1 . E). 0 Jogador M 6. :::. :::. B 2 (C) = fEg. Dg. ai 2 B i a1 . Portanto. B 1 (D) = fCg. então a melhor coisa que ele tem a fazer é jogar C. :::. considere um jogo com N jogadores. o per…l (C. B 2 (M ) = fDg e B 2 (B) = fE. C) é um equilíbrio de Nash do jogo Dilema dos Prisioneiros.6. Ou seja.1. Demonstração da Proposição. aN = fai g. EQUILÍBRIO DE NASH 9. :::. Vimos no exemplo acima que o per…l de estratégias (C. :::. ai+1 . :::. 5 1. k . C) é um equilíbrio de Nash para o jogo dilema dos prisioneiros. existe um certo equilíbrio no per…l de estratégias (B. aN . Observe que B é uma melhor resposta para o jogador 1 quando 2 joga E e E é uma melhor resposta para o jogador 2 quando 1 joga B. se o outro estiver jogando C. ai 1 . nós temos B 1 (E) = fM. 4 No jogo acima. aN ) satisfaz a condição que de…ne um equilíbrio de Nash. para qualquer um dos jogadores. Bg. :::.6. tal per…l é também um equilíbrio de Nash do jogo. 0 3. 0 Jogador 2 B C D 2. 2 5. observe. Suponha que ao aplicarmos o procedimento de eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas a um determinado jogo somente o per…l (a1 . 2 0. 7 0. B). 5 4. (F. 1 0. :::. E Jogador F 1 G H A 0. B) é também um equilíbrio de Nash do jogo. 2 1 G 7. 7 2. vamos considerar um último exemplo. 2 5. 0 Mas agora H é estritamente dominada por F . B.2. que é o mesmo jogo (9. 0 7. 5 4.6) estudado acima: E Jogador F 1 G H A 0. 5 0. 7 0. 0 0. 2 7. 2 3. 2 7. Mas observe que B 1 (B) = fF g e B 2 (F ) = fBg.12. Cg. 2 3. Novamente. 0 0. Agora. 1 2. 7 0. o que nos permite simpli…car o jogo ainda mais para Jogador 2 A B C E 0. 2 0. 1 3. 5 0. portanto. :::. que infelizmente nós não vamos demonstrar. 1 Observe que B 1 (B) = fF g e B 2 (F ) = fA. 5 4. B) é um equilíbrio de Nash do jogo acima. 3 5. 1 3. Considere o seguinte jogo. aN ) sobreviva. 5 0. 0 0. portanto (F. 0 Jogador F 7. (a1 .10 acima. que a estratégia D é estritamente dominada pela estratégia B. 0 0. 1 0. Exemplo 9. Finalmente. Se nós aplicarmos o princípio da eliminação de estratégias estritamente dominadas nós obtemos o seguinte jogo simpli…cado: E Jogador F G 1 H Jogador 2 A B C 0. 0 2. 1 Nós vimos que se aplicássemos o processo de eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas o único per…l de estratégias que sobreviveria é (F. mostra. 0 9. 1 2. 0 Jogador 2 B C D 2. 0 9. 0 0. 7 5. Considere novamente o jogo estudado no exemplo 9. Isto é.13. tal fenômeno é geral como a proposição abaixo. Exemplo 9. 0 2. 0 0. também. 0 2. 5 4. Proposição 9. TEORIA DOS JOGOS . 5 0. 0 2.116 CAPÍTULO 9. aN ) é um equilíbrio de Nash do jogo em questão. 2 5. Então. 7 2. 2 7.JOGOS NA FORMA NORMAL Vamos estudar mais um exemplo. 7 7. 7 . observe que a situação acima pode ser descrita por um jogo. 2 7. :::.7. se simpli…carmos um jogo usando eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas.3. suponha que a curva de demanda inversa pelo bem seja dada por p (y) = a by: Quanto será que cada uma das …rmas vai produzir em tal situação? Primeiramente. aN ) é um equilíbrio de Nash do jogo original se e somente se ele for um equilíbrio de Nash do jogo simpli…cado.9. Ou seja. A proposição acima nos mostra que se estivermos interessados em encontrar os equilíbrios de Nash de um determinado jogo e este tiver estratégias estritamente dominadas. aN ) deste jogo. B. Suponha agora que simpli…quemos o jogo usando o método de eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas. As estratégias de cada uma das …rmas serão escolher as quantidades que elas vão produzir. Obviamente o conjunto de jogadores é dado por J = fF1 . U i (y1 . o conjunto de equilíbrios de Nash do jogo simpli…cado é o mesmo do jogo original.1 Aplicações Equilíbrio de Cournot Suponha que o mercado de produção de um determinado bem seja dividido entre duas empresas. Cg. A1 = A2 = [0. Proposição 9.7 9. 1). 0 2. Finalmente. F2 g. agora nós observamos que E é estritamente dominada por F . observe que para o jogo simpli…cado acima B 1 (B) = fF g e B 2 (F ) = fA. Suponha que tenhamos um jogo qualquer e …xe um per…l qualquer (a1 . Novamente. ou seja. Suponha que os custos de produção das duas …rmas sejam dados simplesmente por Ci (y) = cy: Ou seja. B) ainda é um equilíbrio de Nash do jogo acima. :::. 7 Agora nenhum dos jogadores tem mais estratégias estritamente dominadas. APLICAÇÕES 117 Finalmente. as duas …rmas têm o mesmo custo marginal constante e igual a c. o que nos dá o jogo ainda mais simpli…cado Jogador F G 1 Jogador 2 A B C 7. o per… (F. No entanto. 2 3. o fenômeno acontecido acima é geral. O per…l (a1 . então é uma boa idéia primeiro usar o método de eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas para simpli…car o jogo o máximo possível para só então tentar encontrar os equilíbrios de Nash do jogo diretamente. Tal resultado é formalizado na proposição abaixo. 2 5. E as funções de ganhos de cada uma das …rmas serão dadas pelo seu lucro. para a …rma i. Isto é. 5 0. …rma F1 e …rma F2 . y2 ) = p (y1 + y2 ) yi cyi : . Ou seja.7. 9. o per…l de estratégias 9. já que não fará muita diferença para a nossa discussão no texto. 9. y2 ) tal que y1 2 B 1 (y2 ) e y2 2 B 2 (y1 )? Como em todas as situações os dois jogadores têm apenas uma única melhor resposta. um per…l que seja equilíbrio de Nash para tal jogo tem que satisfazer as sesguintes condições: B 2 (y1 ) = y1 = e a a by2 2b c by1 c : 2b Mas as duas equações acima nos dão um sistema linear que pode ser facilmente resolvido. 3b 3b a é o único equilíbrio de Nash do jogo acima. para valores de y2 muito altos a escolha ótima da …rma F1 será produzir zero.3 Que utilizando as funções que de…nimos acima pode ser escrita como by1 + a b (y1 + y2 ) = c: Resolvendo a equação acima para y1 nós obtemos: by2 c : 2b Portanto. 0 . Para descobrir isto nós temos que resolver o seguinte problema: max p (y1 + y2 ) y1 cy1 y1 A condição de primeira ordem do problema acima pode ser escrita como p0 (y1 + y2 ) y1 + p (y1 + y2 ) = c:9. Formalmente. que a …rma 2 esteja produzindo uma quantidade qualquer y2 .JOGOS NA FORMA NORMAL Agora que já temos a descrição completa do nosso jogo.4 Na verdade.118 CAPÍTULO 9. . a correspondência de melhores respostas para o jogador 1 neste caso é dada simplesmente por a by2 c 9. Qual seriam as melhores respostas da …rma 1 a tal estratégia. TEORIA DOS JOGOS . n o a by2 c 1 a correta correspondência de melhores respostas da …rma F1 é dada por B (y2 ) = max . Observe que esta é a velha condição receita marginal é igual ao custo marginal. Suponha.3 a c a c . Resolvendo o sistema acima nós obtemos: a c y1 = y2 = : 3b y2 = Isto é. será que existe um per…l de estratégias (y1 . o que vai nos dar a seguinte correspondência de melhores respostas para tal jogador: y1 = a by1 c : 2b Será que existe algum equilíbrio de Nash para este jogo? Isto é. A diferença agora é que a receita marginal depende do que a empresa F2 está produzindo. Nós 2b vamos ignorar tal fato. nós podemos tentar analisar a situação acima sob uma visão de teoria dos jogos.4 B 1 (y2 ) = : 2b Nós podemos repetir a mesma análise acima para o jogador 2. por exemplo. 05. Figura 9. se > < 2 + (1 1 1 se = : S ( . Então. A nossa hipótese é que as pessoas estão distribuídas de forma uniforme pela praia e que ambos os sorveteiros vendem exatamente o mesmo sorvete pelo mesmo preço. o número de sorvetes vendidos pelo sorveteiro 2 será dado por 8 ) . A1 e A2 . )= : 2 : + 2 se > Para que possamos analisar a situação acima como um jogo que saibamos resolver vamos fazer uma última simpli…cação. )= 2 : + 2 se > A …gura 9.7.7. 0. para o sorveteiro 1. Caso os dois se posicionem no mesmo lugar. APLICAÇÕES 9. o seu número de sorvetes vendidos será: 8 ) . Ou seja.2 119 Problema dos Sorveteiros Voltemos agora ao problema dos sorveteiros.2: Sorvetes vendidos pelo sorveteiro 1 O número de sorvetes vendidos pelo sorveteiro 2 segue padrão similar. Vamos supor que ambos os sorveteiros só possam escolher posições que sejam múltiplos de 0. Suponha primeiro que < 0. A descrição do nosso jogo agora está completa. 0. 5. e as funções ganho dos dois jogadores. Desta forma.2 ilustra as duas situações em que os dois sorveteiros posicionam-se em locais distintos.9. Tentemos agora identi…car as melhores respostas do jogador 1 dado que 2 esteja posicionado em uma posição . por exemplo. Em tal problema nós temos uma praia representada pelo intervalo [0. 1. então metade das pessoas comprará de um deles e a outra metade comprará do outro. 15. se ele estiver na posição e o sorveteiro 2 estiver na posição . Já temos os conjuntos de estratégias dos dois jogadores. se > < 2 + (1 2 1 se = S ( . A área cinza na …gura representa as pessoas que vão comprar do sorveteiro 1. é fácil ver que a melhor coisa que 1 pode fazer é escolher a posição . 1] e dois sorveteiros têm que escolher aonde se posicionarem nesta praia. 0. as pessoas irão sempre comprar do sorveteiro que estiver mais próximo. Neste caso. S 1 e S 2 .05. Suponha que o sorveteiro 2 esteja na posição e o sorveteiro 1 esteja na posição . Desta forma. A1 = A2 = f0. :::g. 3). 5 dá um ganho para o sorveteiro 1 menor do que 1=2 (ver …gura 9. Como < 0.025. Como < 0. 5 isto dará um número de sorvetes vendidos maior do que 1=2. Finalmente. 5 . que corresponde à metade dos clientes entre ele e o sorveteiro 2. nós chegamos à seguinte correspondência de melhores respostas para o sorveteiro 1: 8 < + 0. portanto. 5.JOGOS NA FORMA NORMAL = + 0. se ele escolhesse um valor de < . Nós veri…camos. então o número de clientes a sua direita iria diminuir. Portanto é melhor escolher tal posição do que escolher = . 5 0. Resumindo a análise acima. sua melhor resposta é escolher = 0.4).120 CAPÍTULO 9. 05 (ver …gura 9. 05. Ou seja. TEORIA DOS JOGOS . a sua correspondência de melhores respostas é dada por 8 < + 0. então ele estaria conquistando os clientes a sua esquerda mais metade dos clientes entre ele e o sorveteiro 2. 05 se > 0. então. E se o jogador 2 estiver posicionado exatamente no meio? Neste caso é fácil ver que qualquer valor de > = 0. 5 também dá um ganho para o sorveteiro 1 menor do que meio (ver …gura 9. Figura 9.4). Como ele só …ca com metade dos clientes entre ele e o sorveteiro 2. 5 se = 0. ele conquistará todos os clientes a sua direita mais 0. isto signi…ca que ele estaria perdendo clientes (ver …gura 9. Se ele escolhesse um valor de > . 5. 05 se > 0. 5 isto dará um número de sorvetes vendidos menor do que 1=2 (ver …gura 9. 05. 5 A situação do sorveteiro 2 é absolutamente simétrica. Similarmente. 5 nos mostra que se o sorveteiro 2 estiver jogando um valor de > 0.3: Resposta ótima do sorveteiro 1 Uma análise exatamente simétrica ao caso < 0. 05 se < 0. 05 se < 0. 5 0.3). que realmente a melhor resposta neste caso é escolher = + 0. 5 se = 0. Isto é. 5 B1 ( ) = : : 0. Deste modo. então a melhor resposta do sorveteiro 1 é escolher a posição = 0. a melhor resposta para o jogador 1 neste caso é também se posicionar no meio da praia. 5 B2 ( ) = : : 0. qualquer valor de < = 0.3). 5? Se > 0. então a melhor resposta do sorveteiro 2 é escolher = 0. 05 + 0. se ninguém construir armas nucleares. a melhor resposta do sorveteiro 2 é também se posicionar na posição = 0. Mas para 0. 05 são estritamente maiores do que . Será que existe equilíbrio de Nash em que o sorveteiro 1 escolhe um valor > 0. 05 = + 0. 05 = 0. 5.4: Respostas não ótimas do sorveteiro 1 quando 2 está no centro da praia Agora que já conhecemos as melhores respostas de ambos os jogadores. 5. 5. tal valor de é menor ou igual a 0. 5. então. Neste caso. 5 é realmente uma melhor resposta para o sorveteiro 1 quando = 0. Por outro lado. 05. se o sorveteiro 2 estiver posicionado no centro da praia. de fato. = 0. tal valor de é maior ou igual a 0. Nós concluímos que não existe equilíbrio de Nash em tal situação. EXERCÍCIOS 121 Figura 9. Mas para valores de 0. 05. 05 0. Novamente. 5? Se < 0. o país que não construir …cará numa situação muito ruim. a melhor resposta do sorveteiro 1 é.8. 5. Só nos resta testar uma última alternativa. 5. 05 são estritamente menores do que .8 Exercícios Exercício 9. 9. além do risco que um vizinho detentor de armas nucleares representa. Esta é a pior situação possível para ele. por construção. 5. nós podemos tentar descobrir se este jogo tem algum equilíbrio de Nash. a melhor resposta do sorveteiro 1 é = 0. já que ambos economizam bastante dinheiro e . Ainda. Acabamos de mostrar. por construção. então o país construtor desfrutará de uma grande vantagem estratégica e esta acaba sendo a melhor situação possível para ele. 5. já que isto implica em um alto custo …nanceiro. e = 0. 5. a situação é boa para os dois. De novo. 5. Dois países vizinhos estão considerando a possibilidade de construir armas nucleares. 5. Finalmente.9. Caso apenas um dos países construa armas nucleares. então a situação será ruim para os dois. também se posicionar no centro da praia. tanto = 0. Ou seja. 5. Nós concluímos que também neste caso não existe equilíbrio de Nash.1 (Jogo da Produção de Armas Nucleares). 05. como = 0. 5 a melhor resposta do jogador 1 será escolher ou = 0. 05. então a única melhor resposta do sorveteiro 2 é escolher = + 0. Será que existe algum equilíbrio de Nash em que o sorveteiro 1 escolhe uma posição < 0. Será que existe equilíbrio de Nash em que o jogador 1 joga = 0. Observe que. no caso em que = 0. no caso em que < 0. Mas tanto = 0. quando > 0. que o único equilíbrio de Nash do jogo dos sorveteiros é exatamente o per…l em que ambos os sorveteiros se posicionam no centro da praia. Se ambos construírem armas nucleares. 5. já que …cará praticamente submisso ao vizinho. quando = 0. 5 como = + 0. 5. 5. ou = + 0. JOGOS NA FORMA NORMAL ninguém …ca ameaçado. 10:000 ou 1:000:000 em folhas de papel que posteriormente são colocadas dentro de envelopes. o jogador que escreveu o menor número recebe uma quantia. Considere novamente o problema dos sorveteiros que têm que se posicionar em uma faixa de areia. ambos os jogadores. Caso ambos tenham escrito o mesmo número. Dois agentes econômicos extremamente racionais participam do seguinte jogo em que eles podem ganhar mais de um milhão de reais. ambos os países prefeririam a vantagem estratégica de serem os únicos detentores da tecnologia nuclear. Caso ainda assim não seja possível resolver o jogo. então tente resolvê-lo encontrando os seus equilíbrios de Nash (em estratégias puras). Isto é. O outro jogador não recebe nada. então tente resolvê-lo por eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas. Caso mais de um sorveteiro estejam posicionados em uma mesma posição. portanto. (a) Descreva a situação acima como um jogo matricial. Caracterize todos os equilíbrios de Nash do jogo agora (Dica: Novamente existirão diversos equilíbrios. Mesmo assim. por exemplo. . então resolva-o por dominância. as informações em negrito têm que estar re‡etidas no jogo que você escrever. existe um número enorme de equilíbrios). Quando os envelopes são abertos.. (a) Suponha que apenas dois sorveteiros estejam escolhendo aonde se posicionarem na faixa de areia ao redor da lagoa. TEORIA DOS JOGOS . Suponha que o perímetro da lagoa seja 1 e que as pessoas estejam distribuídas de maneira uniforme por toda a faixa de areia. Caso o jogo não seja resolvível por dominância. têm que escrever 1. Finalmente. as pessoas que estão mais próximas daquela posição se dividem igualmente entre todos os sorveteiros lá posicionados. mas seja preciso na sua explicação. desde que eles representem a situação acima de forma consistente. 100. em reais. exatamente o valor que cada um escreveu. (a) Descreva a situação acima como um jogo matricial. Exercício 9. (b) Resolva o jogo que você escreveu utilizando o conceito de solução mais simples possível. igual à soma dos dois números. Será que tais agentes realmente merecem a terminologia racionais? Exercício 9.2 (Jogo do Dinheiro Grátis). Em especial. A diferença agora é que esta faixa de areia se encontra ao redor de uma lagoa circular. em reais. (b) Suponha que agora tenhamos três sorveteiros escolhendo uma posição na faixa de areia. mas você terá que dividí-los em duas classes. Os exatos valores dos ganhos dos jogadores não importam. Os sorveteiros são idênticos e. então cada jogador recebe 10:000 reais. se ambos escreverem 10:000. etc. se o jogo for resolvível por dominância. Você pode colocar o que você quiser.122 CAPÍTULO 9. então cada um recebe. em salas separadas. você pode usar …guras. (Dica: Você não precisa sair fazendo conta. Ou seja. (b) Resolva o jogo que você escreveu na parte (a) por eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas. A caracterização dos equilíbrios pode ser bem intuitiva. Equilíbrios em que nenhum dos sorveteiros se posiciona na mesma posição que algum outro sorveteiro e equilíbrios em que pelo menos 2 sorveteiros se posicionam em uma mesma posição).3 (Sorveteiros em Praia Circular). Primeiramente. Caracterize todos os equilíbrios de Nash deste jogo. as pessoas sempre compram do sorveteiro mais próximo. a melhor resposta para o jogador Ímpar é I. Para escapar de tal situação nós introduziremos o conceito de estratégias mistas. 1 Jogador P 1. De forma similar. 1 1. Mesmo jogos matriciais simples muitas vezes não possuem nenhum equilíbrio. O jogo de par ou ímpar não tem nada de especial. jogos matriciais sempre têm equilíbrio de Nash. vários outros jogos não têm equilíbrio de Nash. então o jogador Ímpar 123 . 10. nós discutiremos a existência de equilíbrio de Nash. Em geral.Estratégias Mistas 10. 1 Par Olhando para a matriz de ganhos acima nós vemos que quando o jogador Ímpar joga P . então? A solução que temos para tal problema vem da própria forma como o jogo de par ou ímpar é jogado na vida real. Se nem mesmo um jogo tão simples como o jogo de par ou ímpar tem equilíbrio de Nash. Por simplicidade. Na verdade. 1 I 1. ao estudarmos estratégias mistas nós nos concentraremos em jogos matriciais 2x2. Esta situação é aparentemente problemática.2 Estratégias Mistas e Existência de Equilíbrio Voltemos a um dos primeiros jogos que estudamos: o jogo do par ou ímpar. é possível que um determinado jogo não tenha equilíbrio de Nash. Admitindo a possibilidade de uso de estratégias mistas. Mas quando o jogador Par joga I a melhor resposta do jogador Ímpar é P . jogos com 2 jogadore em que cada um dos jogadores tem apenas duas estratégias puras. a melhor resposta para o jogador Par é P . Nós acabamos de veri…car que o jogo acima não tem nenhum equilíbrio de Nash.1 Introdução Agora que nós já conhecemos o conceito de equilíbrio de Nash. a melhor resposta para o jogador Par é I. Na vida real. se o jogador Ímpar joga I. Mas se o jogador Par joga P . qual a utilidade de tal conceito. A matriz de ganhos daquele jogo era dada por Jogador Ímpar P I : 1.Capítulo 10 Teoria dos Jogos . se o jogador Par jogasse sempre P . Isto é. nós estamos usando a matriz de ganhos acima para de…nir um novo jogo em que o conjunto de estratégias dos dois jogadores agora é dado por A1 = A2 = [0. ) = U P ar (P. nós observamos que os jogadores de par ou ímpar costumam variar as suas jogadas de forma mais ou menos aleatória.1 De forma similar. I) ) (1 ) U Impar (I. A interpretação aqui é que 2 A1 é a probabilidade com que o jogador Par joga P . como os ganhos de par representados na matriz de ganhos original. também. A idéia de uma escolha aleatória de ações motivou o conceito de estratégias mistas.2. um novo jogo em que as estratégias dos jogadores agora consistem das probabilidades com que cada jogador está jogando cada uma de suas estratégias. o ganho do jogador Ímpar no novo jogo é dado por U Impar ( . Por causa disto. I) = 1 + (1 ) ( 1) + (1 ) ( 1) + (1 ) (1 ) 1 = 1+4 2 2 :10. Nós estamos usando U P ar para denotar tanto o ganho do jogador Par no novo jogo. Formalmente.ESTRATÉGIAS MISTAS iria acabar descobrindo isto e iria sempre jogar I. TEORIA DOS JOGOS . nós aprendemos como construir. mas poderão. Como os argumentos de U P ar são diferentes nos dois casos. Nós estudaremos este tipo de jogo na próxima subseção. tal abuso de notação não gera confusão.124 CAPÍTULO 10.2 (1 ) U Impar (I. a partir de um jogo em forma matricial. completamente especi…cado. P ) + (1 ) U P ar (P. ) = U Impar (P.1 Equilíbrio de Nash em Estratégias Mistas Acima. Quando fazemos isto dizemos que estamos 10. Por exemplo. se este novo jogo tem algum equilíbrio de Nash. Nós ainda faremos a hipótese adicional de que no novo jogo os ganhos dos dois jogadores serão dados pelos seus ganhos esperados. Por construção. nós estamos cometendo um abuso de notação aqui. A idéia agora é trabalhar com um conjunto de estratégias maior para ambos os jogadores. A mesma coisa aconteceria se qualquer um dos jogadores jamais variasse a sua estratégia. 10. o que nós observamos na prática? Na prática. se Par está jogando a estratégia e Ímpar está jogando a estratégia . P ) + (1 ) (1 ) U P ar (I. ganhando o jogo em todas as ocasiões. I) 1 O nosso novo jogo está. portanto. Os jogadores não estarão mais limitados a escolher jogar P ou I. 1]. 10. . por exemplo.1 Nós estamos cometendo um pequeno abuso de notação aqui. I) + (1 ) U P ar (I. escolher jogar P com uma probabilidade e I com uma probabilidade (1 ). então o ganho de Par no novo jogo é dado por U P ar ( . dados os ganhos do jogo original. P ) + (1 ) U Impar (P. isto implica que ele joga I com probabilidade 1 . É válido perguntarmos. P ) + (1 = ( 1) + (1 ) 1 + (1 ) + (1 ) (1 ) ( 1) = 2 +2 1 4 :10.2 Novamente. D) U 2 (C. nós podemos usar o jogo acima para de…nir um novo jogo em que os conjuntos de estratégias dos dois jogadores agora são A1 = A2 = [0.10. No entanto. ESTRATÉGIAS MISTAS E EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO 125 permitindo o uso de estratégias mistas. ) + (1 ) U 1 (0. A interpretação é que 2 A1 é a probabilidade com que o jogador 1 está jogando C. U2 ( . Um per…l de estratégias ( . O teorema acima foi na verdade o segundo resultado demonstrado por Nash em sua dissertação de doutorado. ) = = U 1 (C. jogos com 2 jogadores em que ambos os jogadores têm apenas 2 estratégias. ) é um equilíbrio de Nash para o jogo acima se U1 ( . . ) U1 ( . D) + (1 ) U 2 (B. U (C. E) . D) + (1 U 1 (1. U 2 (B. Considere um jogo 2x2 genérico. ) = = Observe que os ganhos de ambos os jogadores com estratégias mistas são sempre médias ponderadas dos seus ganhos se eles estivessem usando estratégias degeneradas (que dão probabilidade 1 para uma das duas estratégias puras). os ganhos de ambos os jogadores no jogo com estratégias mistas são dados por U1 ( . E) + (1 ) U 1 (C. 1] : e O nosso primeiro resultado nos garante que se aceitarmos o uso de estratégias mistas. D) e U2 ( . 1] . Qualquer jogo com um número …nito de jogadores e em que o conjunto de estratégias (puras) de cada jogador é também …nito tem equilíbrio de Nash em estratégias mistas. E) + (1 U 2 ( . Na verdade. O primeiro resultado dizia que jogos em que os conjuntos de estratégias de todos os jogadores são convexos e compactos e suas funções ganhos são contínuas e côncavas sempre têm equilíbrio de Nash. E) . ) ) U 1 (B. U 2 (B. o resultado abaixo é fundamental. nós só trabalharemos com estratégias mistas de jogos 2x2. isto é. D) . ) U2 ( ) para qualquer 2 [0. E) U 1 (B. E) U (C. U 2 (C. ) para qualquer 2 [0. Tais fatos são apresentados aqui a título de curiosidade.Finalmente. Teorema 10. então todo jogo matricial tem equilíbrio de Nash. Nós podemos representar tal jogo pela seguinte matriz: Jogador C B 1 Jogador 2 E D : 1 2 1 U (C.2. 0) : ) U 2 (C.1. mas vocês não precisam se preocupar com esses detalhes. o teorema acima é um simples corolário deste resultado. De forma similar. Para tanto. D) . O nosso interesse agora é aprender como encontrar tais equilíbrios em estratégias mistas. D) Como vimos na seção anterior. 1) + (1 ) U 2 ( . 2 A2 é a probabilidade com que o jogador 2 está jogando E . Neste curso. D) U 1 (B. 1]. todos os resultados discutidos nesta seção se generalizam para qualquer jogo em que o número de jogadores seja …nito e os conjuntos de estratégias de todos os jogadores sejam também …nitos. E) + (1 ) U 2 (B. E) + (1 ) U 1 (B. ESTRATÉGIAS MISTAS Proposição 10. 1] : Similarmente.3 Por exemplo. U 1 (1. todas as estratégias do jogador 1 têm que ser melhores respostas contra . Considere o jogo de par ou ímpar: Jogador Ímpar P I : 1. então B2 ( ) = [0. então. ) para qualquer 2 [0. 1]. tentemos encontrar equilíbrios de Nash ( .1 (Solução do jogo de par ou ímpar). a única melhor resposta para o jogador Ímpar é 10. Suponha que ( . Demonstração da Proposição 10. 1 1. então o jogador 1 está jogando as suas duas estratégias puras com probabilidades positivas. se U 1 (1. Considere um jogo 2x2 qualquer em que nós estamos permitindo o uso de estratégias mistas. TEORIA DOS JOGOS . já que esta nos fornecerá um método para encontrar equilíbrios de Nash em estratégias mistas para jogos 2x2. A melhor forma de ver como a proposição 10. obviamente. ) U 1 (0. 1 Par Tentemos primeiro encontrar equilíbrios de Nash em que o jogador Par jogue P com probabilidade 1. ) em que = 1. Exemplo 10. se 0 < < 1. A demonstração da proposição acima é simples e nos mostra por que tal fato tem que ser verdade. ) ) . ) = U 1 ( . Se 0 < < 1. ) ). Isto é. = U 1 (1.1 nos ajudará é estudar alguns exemplos. Mas agora é fácil ver que isto implica que U 1 ( . ) seja um equilíbrio de Nash de um jogo 2x2 em que 0 < < 1. então B 1 ( ) = [0. 1 I 1. então.1. ) 6= U 1 (0. vamos primeiro tentar entender o que ela nos diz.1 terá consequências práticas importantes. A proposição.126 CAPÍTULO 10. ) : ) U 1 (1. Ou seja. ) : Mas então. não será uma melhor resposta contra . Um raciocínio idêntico prova a parte da proposição referente a : k Para nós. ). ). ) = U 1 (1. Vimos antes que o ganho do jogador 1 neste caso pode ser escrito como U 1 ( .1. Olhemos para a primeira parte. ) > U 1 (0. 1] : Antes de demonstrar a proposição acima. 1 Jogador P 1. nos diz que isto só pode ocorrer se …zer o jogador 1 indiferente entre todas as suas estratégias.3 Nós concluímos que U 1 (1. ) = U 1 (0. por exemplo. ) + (1 > U 1 (1. se U 1 (1. Suponha que ( . a proposição 10. ) seja um equilíbrio de Nash deste jogo.10. ) + (1 = U1 ( . ) + (1 ) U 1 (0. Mas quando o jogador Par joga P com probabilidade 1. Se 0 < < 1. 2 B ( ) = [0.1 novamente. 3 . ESTRATÉGIAS MISTAS E EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO 127 jogar I com probabilidade 1. 1 0. Nós concluímos que não existe equilíbrio de Nash em que Par jogue I com probabilidade 1. De fato. 1=2) é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas do jogo de par ou ímpar. 1]. Nos resta agora tentar encontrar equilíbrios de Nash em que Par jogue alguma estratégia mista não degenerada. Isto é. 1 qualquer estratégia do jogador Ímpar dará um ganho de 1=2. nós sabemos que para que isto ocorra tem que ser tal que U P ar (1. a melhor resposta para Par é jogar I com probabilidade 1. ) em que = 0. Consideremos mais um exemplo. Mas isto implica que a estratégia que Ímpar tem que jogar também é mista. Porém. como nos outros dois casos não havia equilíbrio. Usando a proposição 10. Exemplo 10. a única melhor resposta para Ímpar é jogar P com probabilidade 1. de fato. Porém.2.2 (Solução do jogo Batalha dos Sexos). tentemos encontrar equilíbrios de Nash ( . a melhor resposta para Par é jogar P com probabilidade 1.1. ) em que 0 < < 1. para que o jogador Par esteja jogando uma estratégia mista. 0 0. Nós concluímos que não existe equilíbrio de Nash em que Par jogue P com probabilidade 1. nós podemos concluir que este é o único equilíbrio de Nash do jogo. ) = (1=2. Observe que. é necessário que o jogador Ímpar esteja jogando as suas duas estratégias puras com probabilidade igual a 1=2. Mulher D B Homem D B : 3. ) = U P ar (0. Nós concluímos que ( . se Ímpar joga I com probabilidade 1. Tentemos agora encontrar equilíbrios de Nash em que Par jogue I com probabilidade 1. Em termos dos ganhos do jogo a expressão acima pode ser escrita como a seguinte equação em função de : 1 + (1 ) ( 1) = ( 1) + (1 ) 1: Resolvendo a equação acima nós obtemos = 1=2: Ou seja. qualquer estratégia do jogador Par dará um ganho igual a 1=2. Pela proposição 10. 0) : Em termos dos ganhos do jogo a expressão acima pode ser escrita como a seguinte equação em função de : ( 1) + (1 ) 1= 1 + (1 ) ( 1) : Resolvendo a equação acima nós obtemos = 1=2. Ou seja. se Ímpar joga P com probabilidade 1. Voltemos ao jogo Batalha dos Sexos que vimos na primeira aula sobre jogos. ). Mas quando Par joga I com probabilidade 1. com = 1=2. 1] e 2 B 2 ( ) = [0. equilíbrios ( . Similarmente. nós sabemos que neste caso tem que ser tal que U Impar ( . com = 1=2. 1) = U Impar ( . Isto é. 0 1.10. a única melhor resposta para Mulher é jogar B com probabilidade 1. É fácil ver que se Mulher joga B com probabilidade 1.3. Isto é. ) = (1. quando Homem joga D com probabilidade 1. 1]. Além disto. 3 1 . equilíbrios ( . 1). 0 1. De fato. a única melhor resposta para mulher é jogar D com probabilidade 1. 1=4) = 3=4. o que em termos dos ganhos do jogo acima pode ser escrito como 3 + (1 ) 0= 0 + (1 ) 1: Resolvendo a equação acima nós obtemos = 1=4. Ou seja. e para qualquer 2 [0. Nós concluímos que o único equilíbrio de Nash em que mulher joga B com probabilidade 1 é ( . 1 2. Como nós esgotamos todas as possibilidades. 0). Nós concluímos que ( . nós sabemos que para que isto ocorra nós necessariamente temos que ter UH ( . Tentemos agora identi…car os equilíbrios de Nash de tal jogo em que Mulher jogue B com probabilidade 1. U H (3=4. 3=4 2 B M (1=4) e 1=4 2 B H (3=4). equilíbrios ( . tentemos identi…car os equilíbrios de Nash em que Mulher jogue uma estratégia mista não degenerada. ) em que = 0. Portanto. ) = (3=4. ). então é fácil ver que a única melhor resposta para Homem é jogar D com probabilidade 1. 1) = U H ( . Nós sabemos que para isto acontecer tem que ser tal que U M (1. então a única melhor resposta para Homem é jogar B com probabilidade 1. deste jogo. ) = U M (0. Novamente. Isto é. Se Mulher joga D com probabilidade 1. Finalmente.128 CAPÍTULO 10. quando Homem joga B com probabilidade 1. 0) . Nos dois jogos acima nós só encontramos equilíbrios em que ambos os jogadores jogavam estratégias puras ou equilíbrios em que os dois jogadores jogavam estratégias mistas não degeneradas. ) em que = 1. os equilíbrios ( . Considere o seguinte jogo: Jogador 2 E D : Jogador C 3. permitindo estratégias mistas. 0 B 3. 1]. Mas isto signi…ca que Homem também estará jogando uma estratégia mista não degenerada. ) = (0. TEORIA DOS JOGOS . Nós concluímos que o único equilíbrio de Nash de tal jogo em que Mulher joga D com probabilidade 1 é exatamente ( . Além disto. ) em que 0 < < 1. 1=4) é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas do jogo Batalha dos Sexos.ESTRATÉGIAS MISTAS Tentemos descobrir os equilíbrios de Nash. U M ( . é fácil conferir que para qualquer 2 [0. nós aprendemos que o jogo acima tem três equilíbrios de Nash (quando permitimos o uso de estratégias mistas). ) = 3=4. o que em termos dos ganhos do jogo pode ser escrito como 1 + (1 ) 0= 0 + (1 ) 3: Resolvendo a equação acima nós obtemos = 3=4. Busquemos primeiro equilíbrios de Nash em que Mulher jogue D com probabilidade 1. O exemplo a seguir mostrar que isto não tem que ser sempre verdade: Exemplo 10. O problema é que eles esqueceram de combinar se eles estavam falando da loja no Washington Square . a condição acima pode ser escrita como 1 + (1 ) 0 0 + (1 ) 3. Porém. para que tal per…l seja de fato um equilíbrio de Nash. busquemos equilíbrios ( .1 (Encontro em Nova Iorque). 0) : Em termos dos ganhos do jogo. então a única melhor resposta para o jogador 2 é jogar E com probabilidade 1. nós precisamos que o jogador 2 esteja jogando E com probabilidade 1. Isto é. Mas se o jogador 1 está jogando B com probabilidade 1. Pela proposição 10. 1) é o único equilíbrio de Nash do jogo acima em que o jogador 1 joga C com probabilidade 1. 1) em que 3=4. Uma condição necessária e su…ciente para isto é que seja tal que U2 ( . ) em que = 1. Finalmente. ) em que = 0. o que nos dá a condição 3=4. Isto é. Nós concluímos que não existe equilíbrio de Nash em que o jogador 1 joga B com probabilidade 1. jogar C é de fato uma melhor resposta para o jogador 1. EXERCÍCIOS 129 Tentemos descobrir os equilíbrios de Nash do jogo acima. a melhor resposta do jogador 1 é jogar C com probabilidade 1. busquemos equilíbrios ( .1.3. 1) U2 ( . Primeiro veri…quemos se existe algum equilíbrio em que o Jogador 1 jogue C com probabilidade 1. tentemos encontrar equilíbrios de Nash em que o jogador 1 usa estratégias mistas não degeneradas. Nós concluímos que o conjunto de equilíbrios de Nash para o jogo acima constitui-se de todos os per…s ( . para que tenhamos a chance de obter um equilíbrio de Nash em que o jogador 1 joga uma estratégia mista não degenerada. quando o jogador 2 joga D com probabilidade 1. 10.10.3 Exercícios Exercício 10. ) em que 0 < < 1. Nós concluímos que o per…l ( . nós precisamos garantir que jogar E com probabilidade 1 seja uma melhor resposta para o jogador 2. ). Ou seja. Ou seja. Os professores X e Y marcaram um encontro para tomar um café na loja do Starbucks próxima a Universidade de Nova Iorque. ) = (1. quando o jogador 2 joga E com probabilidade 1. então a única melhor resposta do jogador 2 é jogar D com probabilidade 1. Se o jogador 1 está jogando C com probabilidade 1. nós sabemos que para que isto ocorra nós precisamos que U 1 (1. Ainda. Finalmente. Tentemos agora encontrar equilíbrios em que o jogador 1 jogue B com probabilidade 1. o que em termos dos ganhos do jogo pode ser escrito como 3 + (1 ) 2= 3 + (1 ) 1: Resolvendo a equação acima nós obtemos = 1. tentemos encontrar um equilíbrio ( . ) = U 1 (0. Suponha. D) > U 2 (C. D) (a) Suponha que o per…l (C. 0 1. D) . ambos recebem um ganho de 1. D) e. U 2 (B. 1 B 0. E).4 Este jogo foi criado muito antes da existência do telefone celular. E) . ) = (1. Isto vai implicar diversas relações entre os ganhos dos agentes nas diversas situações possíveis. E) com U 2 (B. 1 0. 1 2. Considere um jogo 2x2 genérico. como já sabemos que C é uma melhor resposta contra E para o jogador 1. D) .ESTRATÉGIAS MISTAS Park ou da loja na Broadway. Considere o seguinte jogo: Jogador 2 E D : Jogador C 1. Isto é. Em termos dos ganhos da matriz acima isto equivale a dizer que U 2 (C. E) . U 2 (C. (b) Suponha agora que saibamos que no jogo acima (sem o uso de estratégias mistas) jogar C seja uma melhor resposta para o jogador 1 quando 2 está jogando E. também. e já que por hipótese o jogo não tem equilíbrio de Nash em estratégias puras. E). ambos recebem um ganho de zero. Permitindo o uso de estratégias mistas. depois U 2 (B. Por exemplo. E) seja um equilíbrio de Nash do jogo acima (sem o uso de estratégias mistas). U (C. 0 X B 0. Argumente que o per…l ( . 1 0. U 2 (B. Seja a probabilidade com que o jogador 1 joga C e a probabilidade com que o jogador 2 joga E. 1) é um equilíbrio de Nash do novo jogo. E) U (C. U 1 (C. encontre todos os equilíbrios de Nash do jogo acima. Se eles forem para lugares diferentes. E) com U 1 (B.130 CAPÍTULO 10.10. considere um jogo representado pela seguinte matriz de ganhos: Jogador C B 1 Jogador 2 E D : 1 2 1 U (C. Considere agora a extensão do jogo acima para o jogo correspondente em que os jogadores podem usar estratégias mistas.2. encontre todos os equilíbrios de Nash do jogo acima. D) U 1 (B. . Exercício 10.4 Tal situação pode ser representada pela seguinte matriz de ganhos: Professor Y W B : Professor W 1. D) com U 1 (B. Exercício 10. E) U 1 (B. 1 Isto é.3 (Existência do Equilíbrio). 0 1 Permitindo o uso de estratégias mistas. 10. que o jogo acima não tenha nenhum equilíbrio de Nash em estratégias puras. se ambos forem para o mesmo lugar. em que estratégias mistas são permitidas. Suponha ainda que eles não têm como se comunicar. TEORIA DOS JOGOS . …nalmente. D). não pode ser verdade que E seja uma melhor resposta contra C para o jogador 2. Usando o mesmo tipo de raciocínio compare agora U 1 (C. mas prestando atenção na dica ela é resolvível. 1) tal que U 1 (B. D) = U 2 (C. E) + (1 ) U 1 (C.3. E) = Similarmente. D) + (1 ) U 2 (B. c. f sejam números tais que a c=e>0 b d = f > 0: e Observe que f e f e a+ d= c+ b: e+f e+f e+f e+f (d) Argumente que ( .) Usando o que você aprendeu na letra (b). E) + (1 ) U 2 (B. b. E) + (1 ) U 1 (B. Se você olhar com atenção você notará que a questão inteira é uma demonstração passo a passo de que jogos 2x2 sempre têm equilíbrios de Nash em estratégias mistas. D) : 2 (0. mostre que existe um valor U 1 (C. D) : Dica: Suponha que a. d. . mostre que existe um valor 2 (0. 1) tal que U 2 (C. ) é um equilíbrio de Nash do jogo acima quando nós permitimos o uso de estratégias mistas. e. EXERCÍCIOS 131 (c) (Esta questão é mais difícil.10. TEORIA DOS JOGOS .ESTRATÉGIAS MISTAS .132 CAPÍTULO 10. 2 Jogos na Forma Extensiva Lembre-se que o típico jogo 2x2 podia ser representado pela seguinte matriz: Jogador 2 Jogador C B 1 E D : U 1 (C.1 ilustra a árvore de decisão relativa à situação 133 . D) Na representação acima temos a hipótese implícita de que os dois jogadores estão escolhendo as suas estratégias ao mesmo tempo. E) . Por simplicidade. geralmente um agente faz uma primeira proposta e somente após ouvir tal proposta o outro agente diz se aceita ou não fechar o negócio. Para que possamos estudar situações em que os agentes tomam decisões em sequência nós precisaremos introduzir o conceito de jogos na forma extensiva.1 Introdução Até agora. Ainda. Mas suponha agora que o jogador 2 seja obrigado a tomar a sua decisão antes do jogador 1 e que somente após ver a decisão tomada por 2 é que 1 faça a sua escolha. 11. dado que os agentes estão tomando decisões em sequência. Por exemplo. Nós veremos que tal conceito é um re…namento do conceito original que incorpora o fato de que agora nós temos agentes tomando decisões sequenciais. em todas as situações estratégicas que estudamos. nós veremos que alguns destes equilíbrios não parecem razoáveis. Isto nos motivará a estudar o conceito de equilíbrio de Nash perfeito em subjogos. todos os agentes tomavam as suas decisões simultaneamente. D) . ao discutir jogos na forma extensiva nós olharemos apenas para equilíbrios de Nash em estratégias puras. U 2 (B. E) . A forma mais conveniente de se representar tal situação é através do que chamamos árvore de decisão. A …gura 11.Jogos Sequenciais 11. E) U 1 (B.Capítulo 11 Teoria dos Jogos . U 2 (C. Embora o conceito de equilíbrio de Nash seja perfeitamente aplicável a jogos sequenciais. No entanto. U 2 (B. E) U 1 (C. em uma negociação. U 2 (C. existem diversas situações econômicas importantes em que os agentes tomam decisões de forma sequencial. nós nos concentraremos em uma classe particular de jogos chamados jogos de informação perfeita. D) . D) U 1 (B. quando. então. CB. Já o jogador 1 possui 2 nós de decisão. Na verdade. A primeira coisa que precisamos é de…nir um conceito de estratégia. Observe que agora. De fato. Já o jogador 1 agora tem 4 estratégias. TEORIA DOS JOGOS . é a vez do jogador 1 tomar uma decisão.1. Uma estratégia para o jogador 1 tem que dizer o que ele faria nestes dois nós.JOGOS SEQUENCIAIS descrita acima.134 CAPÍTULO 11. Uma estratégia para nós será um plano que diz a ação que o agente pretende tomar em cada nó de decisão. com a de…nição do conjunto de estratégias para ambos os jogadores. Dada a nossa de…nição de estratégia para um jogo na forma extensiva. BC ou BB.2. Figura 11.1 Estratégias A situação na …gura 11. Observe que na …gura 11. nós temos tudo o que é necessário para representar a situação acima como um jogo igual ao que nós temos trabalhado até agora. Chamemos o nó na parte superior de nó número 1 e o na parte de baixo de número 2. nós vemos que no jogo da …gura 11.1 o jogador 2 tem apenas duas estratégias. A interpretação é que o jogador indicado no nó é quem tem que tomar a decisão naquele ponto. Por exemplo. Dependendo desta decisão o jogo se move para um dos outros dois nós. Por exemplo. Dependendo das decisões tomadas por ambos os jogadores o jogo atinge um dos quatro nós terminais e os jogadores recebem o ganho correspondente ao nó atingido. embora sequencial. o jogador 2 só tem um nó de decisão. portanto seria bom se pudéssemos estudá-la com o ferramental de teoria dos jogos que já possuímos.1. Cada nó de decisão é associado a um jogador. No exemplo da …gura 11.1. esta será a convenção que adotaremos.1: Jogo na Forma Extensiva 11. . sendo elas jogar CC. uma estratégia em um jogo em forma extensiva será uma lista que informa a ação que o jogador em questão tomaria em cada um de seus nós de decisão. isto é possível. ainda é estratégica. Para nós. Os pontos pretos na …gura são chamados nós de decisão. a estratégia CB representa a situação em que o jogador 1 toma a ação C no nó de decisão número 1 e toma a ação B no nó de decisão número 2. As opções que o agente tem em cada um de seus nós de decisão serão chamadas de ações. portanto uma estratégia para tal jogador consiste simplesmente em dizer se ele joga E ou D naquele nó. embora tenhamos começado com um jogo em forma extensiva. o jogador 2 é quem toma a primeira decisão. jogar E ou jogar D. Ou seja. E) U 1 (C. uma estratégia para um determinado jogador consiste de uma lista que indica a ação tomada por este jogador em todos os seus nós de decisão. E) . E) U 1 (B. Observe que a primeira coluna representa a situação em que o jogador 2 iniciou o jogo tomando a ação E. Nós usaremos isto para de…nir o nosso primeiro conceito de solução para jogos sequenciais. D) U 1 (B.1 (Versão sequencial do dilema dos prisioneiros). E) U 1 (B. U 2 (B. Lembre-se que para um jogo na forma extensiva. U 2 (C. D) . D) .1. nós podemos falar de equilíbrios de Nash de tais jogos. E) . quando este per…l de estratégias for um equilíbrio de Nash do jogo matricial induzido pelo jogo sequencial em questão. Mas então. U 2 (B. Mas se nós podemos representar jogos sequenciais como jogos matriciais iguais aos que nós já estamos acostumados a trabalhar. somente depois de ver a decisão tomada pelo jogador 2 é que o jogador 1 decide se confessa ou não. então. para a determinação dos ganhos …nais dos dois jogadores só importará a ação que o jogador 1 estiver tomando no seu nó de decisão número 1. D) U 1 (B. Posteriormente. 11. representa a situação em que estamos na parte de cima da árvore de decisão na …gura 11. Nós podemos ver que neste caso. Considere o seguinte jogo na forma extensiva. para a determinação dos ganhos …nais do jogo.3 Equilíbrio de Nash de Jogos Sequenciais Na seção anterior nós introduzimos a noção de jogos sequenciais e vimos como representar tais jogos na forma extensiva. E) . U 2 (B. Novamente. os ganhos na segunda coluna do jogo matricial acima re‡etem exatamente isto. D) U 1 (C. É precisamente isto que discutiremos na próxima seção. nós podemos escrever a versão matricial para tal jogo. Já a segunda coluna representa a situação em que o jogador 2 inicia o jogo tomando a decisão D. EQUILÍBRIO DE NASH DE JOGOS SEQUENCIAIS 135 nós podemos representar o jogo acima através do seguinte jogo matricial: Jogador 2 CC Jogador CB BC 1 BB E D U 1 (C. U 2 (C. que é uma representação sequencial do dilema dos prisioneiros: Na …gura 11. D) . U 2 (B. em teoria. Nós de…niremos. U 2 (C.1. na árvore de decisão da …gura 11. nós temos uma versão do jogo dilema dos prisioneiros em que o jogador 2 primeiramente escolhe se confessa ou não confessa e. então. tudo o que importa é a ação que o jogador 1 toma em seu nó de decisão número 2. Exemplo 11.2. U 2 (C. Como nós …zemos acima.11. D) É importante que …que claro como o jogo matricial acima foi construído.3. nós aprendemos a representar um jogo sequencial na forma extensiva como um jogo matricial. um per…l de estratégias como um equilíbrio de Nash. Os ganhos registrados na primeira coluna do jogo matricial acima re‡etem exatamente isto. Tal abordagem nos dá a seguinte . D) . E) . E) U 1 (C. quando o jogador 2 joga C. do jogo acima. 2 1. 2. nós podemos tentar encontrar os equilíbrios de Nash. Nós podemos. a melhor resposta para 2 é jogar C. 5 10. 1. o per…l (CC. Nós concluímos que não existe nenhum equilíbrio de Nash em que 1 jogue CN . Neste caso a melhor resposta do jogador 2 é jogar N . 5 5. Mas quando 2 joga C. Neste caso. C) é um equilíbrio de Nash para o jogo acima. jogar CC também é uma melhor resposta para o jogador 1. portanto. Primeiramente. 1 2 N 1. simpli…cá-lo para CC Jogador CN 1 NC Jogador C 5.1 Lembre-se que quando nós simpli…camos um jogo utilizando eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas. TEORIA DOS JOGOS . Mas jogar CN não é uma melhor resposta para o jogador 1 quando 2 joga N . a melhor resposta para 2 é jogar C.1 2. 1 2 N 1. 5 5. jogar N C não é uma melhor resposta para o jogador 1. Nós concluímos que o único equilíbrio de Nash da versão sequencial do dilema dos prisioneiros acontece quando o jogador 2 confessa no seu único nó de decisão e o jogador 1 confessa em ambos os seus nós de decisão. 10 :11. 11. 10 Agora nenhum dos jogadores tem estratégias estritamente dominantes ou estritamentes dominadas. em estratégias puras. 2. Vejamos se existe algum em que 1 jogue N C. De fato.2: Versão sequencial do dilema dos prisioneiros representação em forma matricial: CC Jogador CN NC 1 NN Jogador C 5. Portanto. 5 10. Vejamos agora o que acontece quando o jogador 1 joga CN . 10 : 2 10 2 Observe que no jogo acima a estratégia N N é estritamente dominada por CC. quando o jogador 1 joga CC. . o conjunto de per…s de estratégias que são equilíbrios de Nash permanece inalterado.136 CAPÍTULO 11. 1 10. De qualquer forma.JOGOS SEQUENCIAIS Figura 11. 2 Observe que agora a estratégia N C é estritamente dominada por CN . o per…l (CC. a melhor resposta para 2 é jogar C. 1 0. Finalmente. Quando 2 joga N . Primeiro chequemos se existe algum equilíbrio de Nash em que 1 jogue CC.3: Versão sequencial do Amigo do Juiz Novamente. jogar CC é uma melhor resposta para o jogador 1. 2 1.11. Será que o mesmo acontece com a variação do dilema dos prisioneiros que nós chamamos de o Amigo do Juiz? Exemplo 11. N ) é também um equilíbrio de Nash para o jogo acima. encontrar os equilíbrios de Nash do jogo acima diretamente. como no caso do dilema dos prisioneiros. será que existe algum equilíbrio de Nash em que 1 jogue N N ? Se 1 joga N N . 5 5. Nós vemos que. Nós podemos simpli…car o jogo acima para Jogador 2 C N CC 5. quando 2 joga C. nenhuma outra estratégia é estritamente dominada. Nesta situação. 10 0. Mas quando 2 joga C. N N não é uma melhor resposta para 1. 10 : 0.3. então. CC Jogador CN NC 1 NN Jogador C 5. 5 10. 2 Agora. E claro. Neste caso. vamos construir a matriz correspondente ao jogo acima. 1 10. 5 1. EQUILÍBRIO DE NASH DE JOGOS SEQUENCIAIS 137 Acima. . 5 0. C) também é um equilíbrio de Nash para a versão sequencial do jogo do amigo do juiz. 1 2 N 1. 2 1 NN 10. a melhor resposta para 2 é N . portanto. CN é de fato uma melhor resposta para 1. como foi o caso anteriormente. Tentemos. então a melhor resposta para 2 é jogar C. 10 : Jogador CN 5. nós vimos que o resultado do dilema dos prisioneiros não muda muito quando estudamos sua versão sequencial. Mas será que este ainda é o único equilíbrio? Vejamos o que acontece quando o jogador 1 joga CN .2 (Versão sequencial do Amigo do Juiz). Considere agora o seguinte jogo na forma extensiva: Figura 11. o per…l (CN. ou jogar N e receber um ganho de 0.4 Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos e Indução Retroativa Voltemos à versão sequencial do jogo do amigo do juiz acima. os equilíbrio de Nash perfeitos em subjogos serão exatamente os que podem ser obtidos pelo método da indução retroativa. nós elinamos aqueles nós do jogo. Nós primeiros começamos com os nós de decisão anteriores aos nós terminais e vemos qual a melhor ação que os agentes podem tomar naqueles nós. Para os jogos simpli…cados que nós estudaremos aqui. Vejamos o que nós conseguimos aprender a respeito dos dois equilíbrio de Nash daquele jogo. Por exemplo. Mas será que esta é uma crença que faz sentido? Dois sabe que se ele jogasse N . Nós veremos que este novo conceito de solução leva em conta explicitamente a natureza sequencial do jogo e. Isto ilustra uma das propriedades do conceito de equilíbrio de Nash em jogos sequenciais. Os per…s (CC. em um certo sentido ela ignora a natureza sequencial do jogo. em um certo sentido. 1 teria que decidir entre jogar C e receber um ganho de 1. Comecemos com o equilíbrio (CC. 11. Após aprendermos o que o agentes fariam naqueles nós. C). Nós encontramos. Mas será que esta propriedade é desejável? No jogo em questão. Continuamos repetindo tal processo . as vezes.JOGOS SEQUENCIAIS Nós concluímos que não existe equilíbrio de Nash em que 1 jogue N N . com nós terminais que acontecem mais cedo do que no jogo original. então. será que os dois equilíbrios de Nash que nós encontramos no jogo acima realmente fazem sentido? Na próxima seção nós introduziremos o conceito de equilíbrio de Nash perfeito em subjogos e apresentaremos o método de solução por indução retroativa. aquele nó de decisão não é atingido e.138 CAPÍTULO 11. ignora as decisões tomadas em nós de decisão que não são atingidos. A idéia de tal conceito é que todos os jogadores têm que tomar decisões ótimas em todos os nós de decisão. Observe que em seu segundo nó de decisão jogar C não seria a melhor ação que 1 poderia tomar. Tal conceito. a ação que 1 planejava tomar naquele nó não afeta o seu ganho. computar os equilíbrios de Nash do jogo matricial construído. nos ajuda a diferenciar os equilíbrios de Nash que fazem mais sentido em um jogo sequencial dos que não fazem tanto sentido assim. Por que ele acreditaria que 1 iria preferir jogar C e …car com o ganho de 1? A discussão acima motivou o conceito de equilíbrio de Nash perfeito em subjogos. portanto. mas como 2 está jogando C. Embora tal estratégia de fato nos forneça alguma previsão do que vai acontecer. Isto nos dará um novo jogo reduzido. 2 só joga C no começo porque ele acredita que 1 jogaria C caso ele jogasse N . Nós agora repetimos o mesmo procedimento para o jogo reduzido. TEORIA DOS JOGOS . C) e (CN. substituindo-os pelos ganhos que as ações ótimas dos jogadores implicariam naqueles nós. para obter um novo jogo reduzido. N ) : Até agora a estratégia que temos usado para resolver jogos sequenciais tem sido contruir um jogo matricial a partir de tal jogo e. dois equilíbrios de Nash para versão sequencial do jogo do amigo do juiz. posteriormente. Observe que o fato de que o segundo nó de decisão não é atingido é essencial para que CC seja uma melhor resposta contra C. independentemente do fato destes serem atingidos ou não na solução do jogo. Tal método consiste em irmos resolvendo o jogo do …nal para o começo. Em tal equilíbrio 1 está jogando C em seus dois nós de decisão. Um exemplo será instrutivo para entendermos o método. Isto dará um per…l de ganhos …nal igual a (0. Proposição 11. N ) que é exatamente o segundo equilíbrio de Nash para a versão sequencial do amigo do juiz que nós encontramos acima. como a proposição abaixo mostra. Já no nó mais abaixo a melhor coisa que 1 teria a fazer seria tomar a ação N .5: Não é difícil ver que tal jogo tem apenas 2 equilíbrios de Nash. dentre os equilíbrios de Nash do jogo. Exemplo 11. nós acabamos chegando a um dos equilíbrios de Nash que nós tínhamos encontrado anteriormente. E) e o segundo do per…l (CB. A proposição acima.2 Para praticar. Além disto.11. 5) no primeiro nó e (0. nós os eliminamos do jogo subsituindo-os pelos ganhos que encontramos acima. os per…s de estratégia que nós encontramos por indução retroativa são sempre equilíbrios de Nash.4 (Ameaça vazia). O primeiro deles consiste do per…l (CC. D). juntamente com o exemplo que acabamos de estudar. Mas. Após registrarmos as ações tomadas por 1 nesses dois nós. confessar no primeiro nó e não confessar no segundo. Todas as soluções por indução retroativa de qualquer jogo sequencial são sempre equilíbrios de Nash do jogo.1. Os dois nós de decisão antes dos nós terminais são do jogador 1. 2). 2) no segundo nó.11.4: Jogo do amigo do juiz após primeiro estágio de indução retroativa No jogo reduzido acima. o per…l …nal que obtivemos com indução retroativa foi (CN. é claro que a melhor coisa que 2 tem a fazer é jogar N . Nós …camos agora com o seguinte jogo simpli…cado: Figura 11. EQUILÍBRIO DE NASH PERFEITO EM SUBJOGOS E INDUÇÃO RETROATIVA139 até esgotarmos todos os nós de decisão do jogo. nos mostra que o método de solução por indução retroativa é uma forma de selecionar. Resolvendo o jogo do amigo do juiz por indução retroativa.4. aqueles que fazem mais sentido dada a natureza sequencial da situação estratégica em questão. então. De fato. Considere o jogo na …gura 11. Tais ações gerariam um per…l de ganhos igual a ( 5. nós lembramos que a estratégia usada por 1 foi CN . você pode montar a matriz do jogo e encontrar tais equilíbrios. Isto é. Consideremos mais um exemplo. Considere o jogo na …gura 11. como nós discutiremos abaixo.3 acima.2 Será que o primeiro destes 11.3 (Resolvendo o jogo do amigo do juiz por indução retroativa). Tal fato não é uma particularidade deste jogo. Exemplo 11. mas com o tempo você deve começar a ser capaz de olhar para um jogo como este e facilmente identi…car os seus equilíbrios de Nash. . No nó mais acima a melhor coisa que 1 teria a fazer seria tomar a ação C. Mas neste caso o ganho do jogador 1 em tal situação deveria re‡etir isto. Tal situação é o que nós chamamos de ameaça vazia. até que esta não parece ser uma explicação muito ruim. equivalentemente. então o jogador 1 jogará C. Por exemplo. Por trás disto. em que as ameaças vazias não são mais vazias. ameaça jogar C se o jogador 2 jogar D.140 CAPÍTULO 11. o jogador 1 poderia sentir algum prazer ao se vingar do jogador 2 e fazê-lo ter um ganho de -1 caso ele jogue D. O jogador 2.1 (Batalha dos Sexos Sequencial). não seria obtido por indução retroativa. Observe que no seu segundo nó de decisão o agente 1 está fazendo uma escolha que não seria ótima para ele. está a idéia de que situações em que algum agente de fato leva ameaças vazias às últimas consequências devem ser representadas com ganhos diferentes. O jogador 1. nós sempre trabalharemos com o conceito de perfeição em subjogos e. consideraremos que equilíbrios de Nash baseados em ameaças vazias não são aceitáveis. o que leva o jogador 2 a jogar E em tal equilíbrio é a ameaça de que se ele jogar D. 11. poderíamos dizer que ele teria um ganho de 3 nesta situação. sabendo que ele poderia obter um ganho maior caso o jogador 2 jogasse E. Por exemplo. note que tal equilíbrio não é perfeito em subjogos ou. E) seria a solução do jogo por indução retroativa. A primeira vista. acreditando nisto. Portanto.JOGOS SEQUENCIAIS Figura 11. Note que com esta modi…cação o per…l (CC. acaba realmente jogando E. Mas será que faz sentido o jogador 2 acreditar em tal ameaça? Observe que se o jogador 2 ignorar a ameaça e jogar D. TEORIA DOS JOGOS . Em geral. Considere a versão sequencial do jogo Batalha dos Sexos representada pela árvore de decisão abaixo .5: Equilíbrio de Nash com ameaça vazia equilíbrios faz sentido? Primeiramente.5 Exercícios Exercício 11. o jogador 1 não tem nenhum incentivo para levar a ameaça adiante. portanto. Neste caso ambas recebem um ganho de 2. Ela pode lutar com F1 para expulsá-la do mercado (estratégia L). Nos nós terminais o ganho do jogador Mulher vem representado na primeira posição.6: Versão sequencial do jogo Batalha dos Sexos No jogo acima. Suponha que a …rma F2 seja monopolista em um mercado que enfrenta a ameaça da entrada de uma nova empresa F1 .11. F2 pode decidir não lutar contra F1 (estratégia N ). ambas as empresas têm um alto custo e …cam com um ganho de 0. Homem decide se vai à danceteria ou ao bar.5. então F1 recebe um ganho de 1 e F2 recebe um ganho de 9. Após ver a escolha de Mulher. quando Mulher joga D e Homem toma a ação D no seu nó de decisão superior. Mulher primeiramente escolhe ir à danceteria ou ao bar. Neste caso.7: Jogo de entrada no mercado (a) Resolva o jogo acima por indução retroativa. Por exemplo. (a) Represente o jogo acima na forma matricial e encontre todos os seus equilíbrios de Nash (em estratégias puras). Caso F1 resolva entrar no mercado (estratégia E). Por outro lado. Tal situação pode ser caracterizada pela seguinte árvore de decisão: Figura 11. . Se F1 resolver …car de fora do mercado (estratégia F ). (b) Resolva o jogo por indução retroativa e identi…que qual dos equilíbrios encontrados na letra (a) é perfeito em subjogos. então F2 tem duas opções. Mulher recebe um ganho de 3 e Homem recebe um ganho de 1. Exercício 11.2 (Barreira a Entrada). EXERCÍCIOS 141 Figura 11. Exercício 11. Neste caso. Esta nova situação pode ser representada pela seguinte árvore de decisão: Figura 11. Primeiro o indivídio 1 parte a torta em dois pedaços. Suponha que uma torta vá ser dividida entre dois indivíduos. TEORIA DOS JOGOS . já sabendo da possível entrada de F1 no mercado. A divisão ocorrerá da seguinte forma. Figura 11. descreva todas as soluções por indução retroativa do jogo nas três situações abaixo. Quando eu escrevo . Usando o conceito de indução retroativa de forma intuitiva.8: Possibilidade de investimento prévio em capacidade Resolva este novo jogo por indução retroativa.JOGOS SEQUENCIAIS (b) Suponha agora que F2 .3 (Jogo da Centopéia).142 CAPÍTULO 11.4 (Divisão de Torta).9: Jogo da centopéia Resolva o jogo por indução retroativa. Tal custo se re‡etirá nos ganhos de F2 em todas as situações. ela incorre um custo de 3 imediatamente. Posteriormente o indivíduo 2 escolhe o seu pedaço e o pedaço restante …ca para o indivíduo 1. A idéia é que o aumento prévio de capacidade dá uma vantagem a F2 na luta pelo mercado que compensa o seu custo. considere a opção de investir imediatamente em um aumento de capacidade. Considere o seguinte jogo em que os jogadores alternadamente têm que tomar a decisão de parar ou continuar. menos no caso de uma luta pelo mercado. Exercício 11. (c) Suponha agora que a torta seja metade de chocolate e metade de baunilha.11. Descreva todas as soluções por indução retroativa do jogo neste caso. (b) Suponha agora que a torta seja metade de chocolate e metade de baunilha. (a) Suponha primeiro que a torta seja de um único sabor e ambos os indivíduos gostem do sabor em questão. Suponha ainda que ao se deparar com dois pedaços com a mesma quantidade de baunilha o indivíduo 2 pre…ra aquele que tem menos quantidade de chocolate. Descreva todas as soluções por indução retroativa do jogo neste caso. Suponha ainda que o indivíduo 1 só goste de chocolate e o indivíduo 2 só goste de baunilha. mas que o indivíduo 2 só goste de baunilha. . Suponha ainda que o indivíduo 1 goste igualmente dos dois sabores. Descreva todas as soluções por indução retroativa do jogo neste caso. Suponha ainda que ao se deparar com dois pedaços com a mesma quantidade de baunilha o indivíduo 2 pre…ra aquele que tem menos quantidade de chocolate. Você deve explicar a sua solução apenas com palavras. EXERCÍCIOS 143 de forma intuitiva isto signi…ca que você não precisa escrever a árvore de decisão do jogo nem usar matemática.5. JOGOS SEQUENCIAIS . TEORIA DOS JOGOS .144 CAPÍTULO 11. ela sabe que F2 tomará uma decisão ótima dada a informação que ela tiver no momento de sua escolha. suponha que o preço cobrado pelo bem y seja dado pela seguinte fórmula: p (y1 + y2 ) = a b (y1 + y2 ) : Finalmente. a …rma F1 sabe disto e. Logo. A …rma F2 tomará uma decisão completamente informada. a …rma F1 vai levar tal fato em consideração na hora de tomar sua decisão de produção e agirá estrategicamente com o objetivo de maximizar o seu lucro. Em particular. nós nos concentraremos em situações em que mais de uma empresa tomam decisões a respeito de suas quantidades a serem produzidas e seus preços. A situação descrita acima tem um componente estratégico forte. somente após tomar conhecimento da decisão de produção da …rma F1 . Isto é. Suponha que as funções custo das duas …rmas sejam dadas simplesmente por Ci (yi ) = cyi . digamos …rmas F1 e F2 . 145 . para completar a descrição da situação que queremos estudar. para i = 1. é que a …rma F2 escolhe quanto produzir.Capítulo 12 Oligopólio 12. já que ela observará o que a …rma F1 fará primeiro. A motivação para isto vem do fato de que várias situações econômicas relevantes são inerentemente estratégicas. 2: Ou seja. Agora nós estudaremos algumas destas situações e para tanto faremos um uso intensivo das ferramentas que aprendemos antes. 12.1 Introdução Nos últimos capítulos temos estudado o ferramental de teoria dos jogos. ambas as …rmas têm custo marginal constante e igual a c. suponha que a demanda pelo bem y possa ser representada por uma curva de demanda inversa linear. além do mais.2 Liderança de Quantidade Suponha que tenhamos duas empresas que produzem o mesmo produto. nós faremos a hipóstese de que a …rma F1 toma a sua decisão de produção antes da …rma F2 e. Por outro lado. Ainda. os seus lucros podem ser escritos como cy1 1 (y1 . identi…car qual a escolha ótima de F1 .12.1. Os ganhos do jogo são dados pelos lucros de ambas as …rmas. Qual a melhor estratégia para a …rma F2 ? Como F2 está preocupada em maximizar o seu lucro. a melhor forma de modelá-la é através de um jogo. nós vemos que primeiramente a …rma F1 toma a sua decisão de produção e escolhe o seu nível de produção y1 . que a …rma F1 tenha escolhido um nível de produção y1 . tudo que nós temos a fazer é resolvê-lo. . a …rma F2 escolhe o seu nível de produção y2 . O interessante é que o seu trabalho foi publicado em 1934. y2 ) = p (y1 + y2 ) y2 cy2 : Agora que nós já temos a descrição completa do nosso jogo. Suponha. Figura 12. y2 ) = p (y1 + y2 ) y1 e 2 (y1 . Já que a …rma F2 só toma a sua decisão após ver o que F1 fez. Ou seja. Após ver o nível de produção y1 escolhido pela …rma F1 . o método de solução mais adequado para tais jogos é o da indução retroativa.1 Tal jogo é conhecido na literatura como jogo ou modelo de Stackelberg. De posse de tal informação podemos. dadas as escolhas de produção das …rmas. primeiro identi…caremos as melhores respostas da …rma F2 para cada possível escolha y1 da …rma F1 . Na …gura. pelo menos se não estamos interessados em equilíbrios de Nash baseados em ameaças vazias.1 Como vimos na aula sobre jogos sequenciais. a decisão ótima de F2 resolverá o seguinte problema de maximização: max p (y1 + y2 ) y2 y2 cy2 A condição de primeira ordem do problema acima é p0 (y1 + y2 ) y2 + p (y1 + y2 ) = c: 12. então.1: Liderança de Quantidade Observe que. tal jogo tem que ser sequencial. o economista Stackelberg foi a primeira pessoa a estudar as interações lider-seguidor de forma sistemática.146 CAPÍTULO 12. OLIGOPÓLIO Como a situação acima envolve considerações estratégicas. então. Segundo Varian (2006). antes mesmo da criação do conceito de equilíbrio de Nash. A árvore de decisão de tal jogo está representada na …gura 12. 2 Figura 12.2 que a …rma F1 tomará a sua decisão de produção levando em conta o que a …rma F2 fará no período seguinte.2. para valores de y1 muito grandes a expressão acima nos dará um valor negativo para y2 . portanto. Dada a racionalidade dos nossos jogadores. . o lucro da …rma F1 será dado por 1 (y1 . Em tais situações a melhor resposta da …rma F2 seria produzir zero.0 : 2b No entanto. Em termos da árvore de decisão do jogo. Ou seja. A expressão mais correta para as respostas ótimas da …rma F2 é a by1 c y2 (y1 ) = max .2: Jogo após primeiro estágio de indução retroativa Nós vemos na …gura 12. o lucro da …rma F1 passa a ser função apenas da sua decisão de produção. nós vamos ignorar tal complicação aqui e agir como se a …rma F2 pudesse de fato escolher um nível de produção negativo se ela desejasse. a análise acima nos permite escrever a escolha ótima da …rma F2 como função do nível de produção da …rma F1 .12. tomará a sua decisão de produção levando tal fato em conta.2 Ou seja.2 Na verdade. LIDERANÇA DE QUANTIDADE 147 Em termos da curva de demanda inversa linear que nós estamos assumindo aqui a condição acima pode ser escrita como by2 + a b (y1 + y2 ) = c: Resolvendo a equação acima para y2 nós encontramos y2 (y1 ) = a by1 2b c :12. a hipótese com que trabalhamos em teoria dos jogos é que a …rma F1 consegue prever este comportamento da …rma F2 e. além do mais. isto signi…ca que agora temos a situação simpli…cada representada na …gura 12. y2 (y1 )) = p (y1 + y2 (y1 )) y1 cy1 a by1 c y1 cy1 = p y1 + 2b y1 a c = p + y1 cy1 : 2 2b 12. Isto não afetará a nossa discussão intuitiva aqui e. O fato mais importante representado na …gura é que dadas as decisões ótimas de F2 . o equilíbrio de Nash que vamos encontrar é o mesmo que encontraríamos se trabalhássemos com a expressão mais correta acima. 148 CAPÍTULO 12. OLIGOPÓLIO Como sempre. F1 resolve o seguinte problema de maximização: y1 a c + y1 cy1 max p y1 2 2b A condição de primeira ordem do problema acima é 1 0 p 2 y1 a c + 2 2b y1 a c + 2 2b y1 + p = c: Em termos da curva de demanda inversa linear que nós estamos assumindo aqui a expressão acima pode ser escrita como b y +a 2 1 y1 a c + 2 2b b = c: Resolvendo a equação acima para y1 nós obtemos y1 = a c 2b : Utilizando a caracterização que nós obtivemos para as respostas ótimas da …rma F2 acima nós obtemos a y2 = a = 4b c by1 2b c : Ou seja. y2 ) = 2b c a . Ou seja. a solução por indução retroativa do jogo acima é a (y1 . o objetivo da …rma F1 é maximizar o seu lucro. c 4b : Observe que com tais níveis de produção o preço cobrado pelo bem será dado por p = a = b a c 2b + a c 4b 1 3 a + c: 4 4 Já os lucros das …rmas serão dados por 1 1 3 a c a+ c 4 4 2b (a c) (a c) = a c 8b 8b 2 (a c) = : 8b = a c 2b c . Agora nós estudaremos o problema da determinação simultânea de preços.12.12. nós trabalharemos com a hipótese de que a curva de demanda do mercado é linear. a função ganho da empresa 1.12. nós estamos interessados em estudar o comportamento de duas empresas que concorrem através da determinação de seus preços. a demanda pelo bem será nula. então metade dos consumidores comprará de uma empresa e a outra metade comprará de outra. Suponha que o custo de produção de ambas as empresas seja dado por C (yi ) = cyi .3. nós representaremos o comportamento dos consumidores por uma curva de demanda do tipo y (p) = a bp: Finalmente. ela acaba escolhendo um nível de produção relativamente alto.4 Os ganhos de cada um dos jogadores serão os seus lucros. 12. por exemplo. para i = 1. embora a …rma F2 tenha a oportunidade de fazer a sua escolha de produção já tendo conhecimento de quanto a …rma F1 está produzindo. os conjuntos de estratégias de ambos os jogadores são dados por A1 = A2 = [c.3 Tal jogo é conhecido na literatura como modelo de concorrência de Bertrand. F1 e F2 produzem o mesmo item. Caso ambas cobrem o mesmo preço.4 Observe que para um preço maior ou igual a a=b.3 Primeiramente. Desta forma. Como as duas empresas vendem exatamente o mesmo produto. FIXAÇÃO SIMULTÂNEA DE PREÇOS 2 1 3 a c a+ c 4 4 4b (a c) (a c) = a c 16b 16b 2 (a c) = : 16b = 149 a c 4b c Observe que. nós estamos ignorando a possibilidade de que as empresas escolham preços menores do que o seu custo marginal. Joseph Bertrand foi um matemático francês. será 12. A situação acima pode ser descrita como um jogo. Por razão similar. já sabendo que isto levará F2 a produzir relativamente menos. liderar é uma vantagem. nós estamos ignorando a possibilidade das empresas escolherem preços acima de tal valor. o que lhes daria um lucro negativo. Considere um mercado em que duas empresas. Portanto. Portanto. 12. em que a interpretação é que cada valor pi 2 Ai é o preço escolhido pela empresa i. . 2: Novamente.3 Fixação Simultânea de Preços Nas seção anterior nós estudamos o comportamento de duas empresas em uma situação de duopólio quando uma das empresas assumia o papel de líder na escolha da quantidade a produzir. em termos estratégicos isto é uma desvantagem. Ou seja. a=b). por simplicidade. Como a …rma F1 é capaz de prever o comportamento da …rma F2 . Assim como Cournot. caso uma empresa esteja com o preço maior do que a outra todos os consumidores vão comprar da empresa que vende mais barato. p2 ) = (c. Suponha. se p1 < p2 . então. Considere primeiro um per…l em que p1 > p2 . Deste modo. p2 ) = p1 y(p21 ) : cy (p1 ) . Deste modo a demanda pelo bem não iria mudar muito e ela não teria mais que dividir o mercado com F2 . 1). o único equilíbrio de Nash de tal jogo corresponde à situação em que ambas as empresas escolhem um preço igual ao custo marginal c: Proposição 12.12. O único equilíbrio de Nash do jogo de Bertrand é o per…l (p1 . Um raciocínio absolutamente análogo mostra que não existe nenhum equilíbrio de Nash em que p2 > p1 . portanto. Considere agora um per…l em que p1 = p2 > c. Só nos resta uma última possibilidade. então que p2 = c. Mas qualquer outro preço fará com que elas não vendam nada e. A diferença é que agora nós trabalharemos com um número arbitrário de …rmas. da empresa F2 será análogo. que 12. c) : Demonstração da Proposição. . Isto lhe daria um lucro positivo que é melhor que o lucro zero que ela estava obtendo anteriormente. Neste caso. Agora que temos a descrição completa do jogo. continuem com lucro zero. que os conjuntos de estratégias de ambos os jogadores eram dados por [c. Nós concluímos que (p1 .5 k A proposição acima nos mostra que quando duas empresas concorrem através da …xação simultânea de preços elas acabam se comportando como se estivessem em um caso de competição perfeita. ambas as empresas estão obtendo um lucro nulo. o que é exatamente o que aconteceria no caso de competição perfeita. Observe que o preço do produto neste caso acaba sendo igual ao custo marginal. Suponha. Ou seja. quando ela poderia obter um lucro positivo se escolhesse um preço entre c e p1 . se p1 = p2 . cobrar um preço um pouco menor do que p2 . A única diferença é que teríamos que considerar mais casos na hora de demonstrar a proposição.150 dada por CAPÍTULO 12. F2 está obtendo um lucro de zero. então seria melhor para F1 escolher um preço entre c e p2 . qualquer diferença de preços faz com que as vendas da empresa que esteja cobrando mais caro reduzam-se imediatamente a zero. Ou seja. 0. Como a proposição abaixo nos mostra.5 Na nossa modelagem. Nós concluímos que nenhum per…l em que p1 = p2 > c é equilíbrio de Nash do jogo em questão. Neste caso ambas as empresas estão dividindo o mercado. c y(p21 ) . p1 = c é de fato uma melhor resposta para F1 quando F2 joga p2 = c e p2 = c é de fato uma melhor resposta para F2 quando F1 joga p1 = c. a=b). p2 ) = (c. ou lucro. c) é o único equilíbrio de Nash do jogo. por simplicidade. Tal resultado vem principalmente da nossa hipótese de que ambas as empresas vendem exatamente o mesmo produto. se p1 > p2 : O ganho. Se p2 > c. em qualquer equilíbrio de Nash do jogo acima nós necessariamente temos que ter p1 = p2 . Neste caso. nós podemos investigar se este possui algum equilíbrio de Nash. OLIGOPÓLIO 8 < p1 y (p1 ) 1 (p1 . Mas seria melhor para F1 . nós assumimos.1. Nós concluímos que não existe nenhum equilíbrio de Nash em que p1 > p2 . o per…l p1 = p2 = c. 12.4 Fixação Simultânea de Quantidades Nós agora retornamos ao modelo de Cournot que estudamos em teoria dos jogos. Nós obteríamos exatamente o mesmo resultado se trabalhássemos com A1 = A2 = [0. por exemplo. ou seja. isto é p (y1 + ::: + yN ) = a b (y1 + ::: + yN ) : Para …nalizar a descrição do modelo. FIXAÇÃO SIMULTÂNEA DE QUANTIDADES 151 N …rmas produzam o mesmo produto. então. nós podemos perceber que tal sistema terá uma solução em que todas as empresas produzem a mesma coisa. a equação acima pode ser escrita como byi + a b (y1 + ::: + yN ) = c: Isolando yi na equação acima nós obtemos yi = a c y1 + ::: + yi 2b + yi+1 + :::yN : 2 1 Tais condições de primeira ordem. Os conjuntos de estratégias de todos os jogadores serão dados por A1 = ::: = AN = [0. Tais melhores respostas têm que resolver o seguinte problema de maximização: max p (y1 + ::: + yN ) yi yi cyi A condição de primeira ordem do problema acima é p0 (y1 + ::: + yN ) yi + p (y1 + ::: + yN ) = c: Dada a forma funcional que nós assumimos para p. i (y1 . Tal situação pode ser perfeitamente descrita como um jogo. 1). Com um pouco de paciência nós poderíamos resolver tal sistema. dadas as estratégias utilizadas pelas outras empresas. yN ) = p (y1 + ::: + yN ) yi cyi . mas dada a natureza simétrica do nosso problema. Tentemos encontrar os equilíbrios de Nash de tal jogo. nós vamos supor que todas as empresas tenham que determinar as suas quantidades produzidas simultaneamente. N: A demanda agora será representada por uma curva de demanda inversa linear. uma para cada empresa. sob a seguinte função custo: C (yi ) = cyi . Os ganhos de cada um dos jogadores serão dados pelo seu lucro.12.4. :::. :::. nos dão um sistema com N equações e N incógnitas. Caracterizemos primeiro as melhores respostas de uma …rma i. i = 1. Usando isto na condição de primeira ordema acima nós …camos com a seguinte equação: yi = a c 2b (N 1) yi 2 Resolvendo a equação acima nós obtemos yi = a c : (N + 1) b : . em que yi 2 Ai é a quantidade produzida pela empresa i. Sem tal hipótese. vamos calcular o nível de produção agregado e o preço que tais escolhas implicam.1 (Fixação Simultânea de Preços com Custos Marginais Distintos). Tal resultado é geralmente mencionado como uma justi…cativa de teoria dos jogos para a hipótese de competição perfeita. O nível de produção agregado é simplesmente a soma do que todas as empresas produzem e. a nossa hipótese será que somente a …rma 1 vende. que é a solução que havíamos obtido no caso de duopólio. quando N = 2. nós obtemos a solução de monopólio que havíamos encontrado antes. nós assumimos que as empresas têm as seguintes funções de custo: C (y1 ) = c1 y1 12.152 CAPÍTULO 12. As vendas e. Da mesma forma. . a medida que o número de empresas cresce. y (p) = a bp: Quando as empresas cobram preços diferentes. de fato. será dado por N (a c) yAgregado = : (N + 1) b Já o preço cobrado será p (yAgregado ) = a = a b (y1 + ::: + yN ) N (a c) : b (N + 1) b Observe que a c N (a c) = N !1 (N + 1) b b lim e lim a N !1 b N (a c) (N + 1) b = c: Ou seja. a produção agregada e o preço aproximam-se dos valores que são obtidos em um mercado competitivo em que as …rmas agem como tomadoras de preço.12. somente a empresa com o menor preço atende o mercado. A parte da demanda neste mercado é modelada por uma curva de demanda linear. ou seja. OLIGOPÓLIO Observe que. o lucro da outra empresa são iguais a zero. Suponha que duas empresas vendam exatamente o mesmo produto e a competição se dê através da …xação simultânea dos seus preços. quando N = 1. Para completar a análise. consequentemente. razões que não são economicamente interessantes acabam fazendo com que o jogo não tenha equilíbrio de Nash. No caso em que as duas empresas cobram o mesmo preço.6 Esta hipótese tem que ser feita por razões técnicas.6 Finalmente. portanto. nós obtemos yi = a c 3b .5 Exercícios Exercício 12. 12. suponha que os conjuntos de estratégias dos jogadores sejam A1 := [c1 . também. Suponha que duas empresas vendam exatamente os mesmos produtos e que a competição entre ambas se dê pela …xação simultânea das quantidades a serem produzidas. EXERCÍCIOS 153 e C (y2 ) = c2 y2 .5. você notou que o lucro obtido por ambas as empresas no equilíbrio acima foi negativo. b = 1. nós continuamos tendo apenas uma empresa vendendo em equilíbrio. d = 2 e c = 2.12. mesmo se decidirem não produzir. Descreva esses equilíbrios. (c) Se você fez as contas corretamente. ou seja. A interpretação aqui é que pi 2 Ai é o preço escolhido pela …rma i. suponha que a demanda seja representada por uma curva de demanda inversa linear. Suponha agora que ambas as empresas tenham uma estratégia adicional de não entrar no mercado. Que preço ela cobrará? (b) O caso em que as duas empresas escolhem os seus preços simultaneamente pode ser modelado como um jogo. A outra empresa escolherá qualquer preço que seja superior ao cobrado pela sua concorrente. Ou seja. Isto é. p (y1 + y2 ) = a b (y1 + y2 ) : Suponha. suponha que mesmo que a empresa i escolha yi = 0. ainda assim seu custo seja dado por C (0) = d + c 0 = d. Por simplicidade. de acordo com os preços escolhidos por ambas as …rmas.12. Uma das empresas tem preço que você encontrou na letra (a) e suponha que c2 uma estratégia estritamente dominante neste caso. (d) Suponha agora que c2 < p. elas não produzem nada. é possível perceber que o jogo acima tem um número in…nito de equilíbrios de Nash que têm a mesma característica.7 A segunda condição garante que com um preço p = c2 a demanda pelo bem é estritamente positiva. Qual a melhor resposta para a …rma 1? 12. a=b). Calcule o lucro que ambas as empresas obteriam no equilíbrio acima. Exercício 12. que o custo de produção de ambas as …rmas seja dado por C (yi ) = d + cyi : (a) Suponha que as empresas paguem o custo …xo d. Novamente. (b) Suponha que a = 5. em que c2 > c1 e a=b > c2 . Encontre o equilíbrio de Nash do jogo neste caso. Seja p o p. Os ganhos de ambos os jogadores serão dados pelos seus lucros obtidos. . Agora. Qual delas e que estratégia é esta? (c) Dado o que nós aprendemos na letra (b). este continua tendo a mesma característica. A característica de tais equilíbrios é que apenas uma empresa venderá neste mercado. Encontre o único equilíbrio de Nash do jogo neste caso. mas também não têm nenhum custo.2 (Cournot com Custos Fixos). a=b) e A2 := [c2 . Suponha que a empresa 2 esteja usando esta estratégia. Ou seja. Neste caso. embora o jogo tenha um único equilíbrio de Nash.7 (a) Suponha primeiramente que a empresa 2 não exista. suponha que a empresa 1 seja monopolista neste mercado. suponha que a …rma 1 tome a sua decisão de produção antes da …rma 2.3 (Liderança de quantidade com custo quadrático). dados os valores dos parâmetros na letra (b). a melhor resposta para a …rma 2 é realmente …car fora do mercado. Modele a situação acima como um jogo sequencial e encontre as quantidades que as duas …rmas vão produzir em equilíbrio usando o método de indução retroativa. Suponha também que a demanda pelo bem y seja representada pela seguinte curva de demanda inversa: p(y1 + y2 ) = 56 (y1 + y2 ): Finalmente. Exercício 12. . mostre que qualquer quantidade que a …rma 2 resolva produzir lhe dará um lucro negativo.154 CAPÍTULO 12. Suponha que duas empresas produzam o mesmo produto e suas funções de custo sejam dadas por c(yi ) = yi2 . Somente após tomar conhecimento da decisão de produção da …rma 1 é que a …rma 2 decide o quanto ela vai produzir. quando a …rma 1 produz a quantidade que você encontrou na letra (c). OLIGOPÓLIO (d) Mostre que. Isto é. um cliente que observa alguém querendo vender um carro novo sabe que a probabilidade do vendedor ter tido algum problema com o carro é alta.1 Introdução Até o presente momento. Por simplicidade. Para completar a descrição do modelo. nós assumiremos que a qualidade q de um carro pode variar entre 0 e 1. a explicação para a queda no preço do carro logo após a saída da concessionária é simples. esta parece ser uma situação que não faz muito sentido. Para entendermos a causa de tal fenômeno nós precisamos analisar a situação em um contexto mais geral. À primeira vista. Nós agora estudaremos um modelo formal de tal situação. nós assumiremos que a qualidade dos carros vendidos na nossa economia se distribui uniformemente entre 0 e 1. Vários problemas interessantes se enquadram nesta categoria e nós estudaremos alguns deles agora. Na verdade. nós nos concentramos em situações em que todos os agentes tinham acesso a exatamente às mesmas informações. Cada carro é representado simplesmente pela sua qualidade q. uma pessoa só irá vender um carro novo se por alguma razão ela não estiver satisfeita com o carro. intuitivamente. o carro continua sendo o mesmo e. Em geral.Capítulo 13 Economia da Informação 13.2 Seleção Adversa O simples fato de você retirar um carro zero da concessionária já reduz o seu valor de revenda signi…cantemente. 13. A estrutura de mercado acaba fazendo com que os carros bons não sejam vendidos. portanto. Pouquíssimas pessoas compram um carro zero já pensando em revendê-lo. nós temos estudado modelos em que todos os agentes são perfeitamente informados sobre todos os fatores envolvidos na situação em questão. Nós veremos que isto nos permitirá descobrir algumas propriedades novas do problema de seleção adversa. A…nal de contas. Portanto. Ainda mais importante do que isto. Nós agora estudaremos situações em que alguns agentes têm alguma vantagem informacional em relação aos outros agentes. Suponha que nós tenhamos uma certa quantidade de carros para serem vendidos na nossa economia. nós vamos assumir que 155 . ele só aceita pagar um valor bem baixo pelo carro. O problema acima é chamado de seleção adversa. Mas então. deveria continuar tendo o mesmo valor. Mais do que isto. De forma similar. elevando o preço. um equilíbrio competitivo será um preço p tal que se todos os carros com qualidade inferior a p estiverem sendo vendidos. nós trabalharemos com a seguinte de…nição: De…nição 13. se apenas carros com qualidade inferior a uma certa qualidade q estivessem sendo vendidos. diminuindo assim o preço. então nenhum cliente comprará carro. Para o modelo acima. então o preço que os consumidores aceitariam pagar por um carro novo seria p= 0+q + 2 = q + : 2 O conceito que nós usaremos para analisar esta situação é o conceito de equilíbrio competitivo. p]. se a qualidade esperada dos carros que estiverem sendo vendidos mais for menor do que o preço. todos os vendedores que possuem um carro com qualidade inferior a p estarão dispostos a vender os seus carros. mas nós teremos que adaptar um pouco a de…nição de equilíbrio competitivo para a situação aqui. Para obtermos uma situação de equilíbrio nós precisamos que o preço que os consumidores estão dispostos a pagar por um carro novo seja igual a qualidade esperada de um carro novo mais . então mais clientes desejarão comprar carros. se a qualidade esperada dos carros que estiverem sendo vendidos mais for maior do que o preço. Formalmente. Suponha que os consumidores estejam dispostos a pagar um preço p por um carro novo. Deste modo. O que implicaria que os consumidores estariam dispostos a pagar p2 + por por 0+p 2 um carro novo. Neste caso. nós precisamos que p + 2 = p: Resolvendo a equação acima nós obtemos p=2 . quando o consumidor não sabe a qualidade do carro que ele está pensando em comprar. os potenciais compradores do carro estariam dispostos a pagar um valor q + pelo carro.156 CAPÍTULO 13.1 p= 2 2 Tal fato é uma consequência da nossa hipótese de que a qualidade dos carros se distribui uniformemente entre 0 e 1.1. se todos os carros na nossa economia estivessem a venda. 13. ele aceita pagar um valor igual ao valor esperado da qualidade do carro mais . Ou seja. o consumidor aceitaria pagar um preço 1 0+1 + = + :13. então a qualidade esperada de um carro sorteado de maneira aleatória é exatamente 1=2: . ECONOMIA DA INFORMAÇÃO dado um carro de qualidade q. Por outro lado. a única situação de equilíbrio tem que satisfazer exatamente a de…nição acima. Mas isto signi…ca que a qualidade média de um carro novo a venda no mercado será dada = p2 . Por exemplo. os carros a venda serão dados pelo intervalo [0. então a qualidade esperada q de um carro que esteja sendo vendido satisfaça q + = p : A de…nição acima parte da idéia de que existe um número grande de potenciais compradores de carros. Isto é. mas você pode encarar isto como um dado do problema. Portanto. em que > 0.1 Se a qualidade dos carros é distribuída uniformemente entre zero e um. Finalmente. mas potencialmente esta poderá ser usada pelos trabalhadores mais produtivos como um sinal. Ao contratar um trabalhador a …rma não tem como saber de qual tipo este é. Os de produtividade alta. Embora educação não tenha nenhum efeito sobre a produtividade dos agentes. Suponha que a proporção de trabalhadores do tipo H na economia seja e a de trabalhadores do tipo L seja 1 . é de se esperar que o valor de não seja muito alto. Na prática. Tais idéias levaram ao desenvolvimento dos chamados modelos de sinalização em economia. somente carros de qualidade baixa são vendidos. Para valores de entre 0 e 12 . 13. seria natural que houvessem atitudes que os proprietários de carro de qualidade maior pudessem tomar para sinalizar aos compradores que o carro que eles estão considerando é de qualidade.3. que só conseguem produzir uma quantidade L tal que H > L > 0. O preço dos carros é baixo e. o que leva o mercado das …rmas a ser competitivo. 13.3 Sinalização No exemplo da seção anterior os proprietários de carros com uma qualidade maior acabam não podendo vender os seus carros. Similarmente. A nossa hipótese será que. Por exemplo. a …rma ofereceria um salário w = H + (1 ) L para todos os trabalhadores.1 Educação Nós agora introduziremos a possibilidade de obter educação. Numa situação econômica real seria natural que isto levasse a mecanismos de sinalização. quando = 12 . em equilíbrio. portanto. quando = 0. nós assumiremos que para obtê-la os trabalhadores de baixa produtividade incorrem em um custo. . algo bastante comum é que o proprietário de um carro usado de qualidade permita que o comprador leve o carro para o seu mecânico de con…ança para fazer uma avaliação. Se um agente do tipo L resolve obter educação. ele tem que pagar um custo cL > 0: Para completar a descrição dos trabalhadores. já a utilidade de um trabalhador do tipo L será w se ele não tiver obtido educação e será w cL se ele tiver obtido educação. ou seja.13. os consumidores acabam pagando um preço igual a qualidade máxima que um carro pode ter e todos os carros são vendidos. dado um salário w.3. que conseguem produzir uma quantidade H > 0 e os de produtividade baixa. a previsão gerada por tal modelo está de acordo com o que vemos na prática. nós precisamos de…nir quais serão as suas funções de utilidade. educação não terá nenhum efeito sobre a produtividade dos trabalhadores. o que acaba tirando os carros de qualidade mais alta do mercado. SINALIZAÇÃO 157 Observe que. e apenas carros de qualidade inferior a 2 são vendidos. isto vai implicar que em uma situação em que não houvesse a possibilidade de sinalização. Nós aqui estudaremos uma versão simpli…cada do modelo de Spence (1973. O fato de que os compradores não conseguem diferenciar um carro de alta qualidade de um de baixa acaba fazendo com que estes só queiram pagar um valor muito baixo por um carro. a utilidade de um trabalhador do tipo H será simplesmente w. 1974). Em geral. quando os consumidores só aceitam pagar exatamente a qualidade esperada por um carro novo. nenhum carro é vendido. No modelo. Isto é. os consumidores acabam pagando um preço igual a 2 . Suponha que existam dois tipos de trabalhadores. Nós aqui vamos supor que existe um número grande de …rmas. Nós concluímos que o único equilíbrio de Nash do jogo é (E. L H + (1 ) Nós agora podemos estudar os equilíbrios de Nash do jogo acima. por outro lado. H. L. Neste caso a melhor resposta para H é jogar N . Dada a hipótese. Mas quando L joga N . Neste caso. Nós assumiremos um comportamento bem simpli…cado para as …rmas. Nós faremos isto através de duas proposições: Proposição 13. N ). ECONOMIA DA INFORMAÇÃO Finalmente. H + (1 ) L cL L. então a melhor resposta para H é jogar E. Nós concluímos que não existe equilíbrio com o jogador H jogando E. nós precisamos descrever o comportamento das …rmas. quando o custo de obter educação para um trabalhador menos quali…cado for alto o su…ciente. Quando o jogador H joga E. a melhor resposta para L é jogar N . N ) é o único equilíbrio de Nash do jogo em que L joga N . é claro que a melhor resposta para o jogador H é jogar N . a melhor resposta para H é jogar E. então o único equilíbrio de Nash do jogo Demonstração da Proposição. Mas quando H joga N a melhor resposta para L é jogar N . cL > então o jogo acima não tem nenhum Demonstração da Proposição. Porém. Se os dois jogadores decidirem obter educação. por construção a melhor resposta do jogador L é jogar E.1. como o custo de obter educação é muito baixo. Mas se o jogador L está jogando E. o agente H escolherá obter educação para se diferenciar do trabalhador do tipo L: L . Quando o jogador L joga N . A situação acima está no formato de um jogo em que as estratégias dos dois jogadores são obter ou não obter educação. as …rmas oferecerão um salário H para o trabalhador H e um salário L para o trabalhador L. Nós concluímos que não existe equilíbrio de Nash em que L jogue E. Portanto (E. Neste caso.158 CAPÍTULO 13. Suponha agora que L jogue E.2. mas podem observar se eles obtiveram ou não educação. Se ) L H + (1 equilíbrio de Nash em estratégias puras. O jogo pode ser representado pela seguinte matriz de ganhos: Jogador L E Jogador E N H H + (1 ) L. então o agente do tipo L tem uma tendência a imitar o que o agente do tipo H faz. Suponha agora que H esteja jogando N . A próxima proposição completa a caracterização das soluções do jogo acima. Caso um dos trabalhadores resolva obter educação e o outro não. Proposição 13. As …rmas não podem observar o tipo dos agentes. jogar N é de fato uma melhor resposta para L. Nós concluímos que o jogo não tem nenhum equilíbrio de Nash neste caso. Isto leva a ausência de equilíbrio no jogo. Na verdade. ou ambos decidirem não obter educação. quando o jogador H joga E. o agente do tipo H sempre tem uma tendência a fazer algo diferente do que o agente do tipo L faz. Se acima é (E. ) L. H L + (1 cL ) L cL H + (1 N H. N ) : k Portanto. então as …rmas conseguirão diferenciar os dois tipos de trabalhadores. dado o nosso modelo. k É interessante discutir o por quê da ausência de equilíbrios neste caso. então as …rmas oferecerão um salário igual a H + (1 ) L para todos os trabalhadores. nós esperaríamos que as …rmas também desenvolvessem mecanismos para tentar descobrir o quão produtivo os trabalhadores que elas pretendem contratar são. FILTRAGEM EM MERCADO COMPETITIVO 13. tL ) que satisfaz as seguintes propriedades: 1. wH cH tH wL cL tL wL cH tL e wH cL tH . o lucro da …rma será dado por = ( wH ) + (1 H )( L wL ) . ou seja.13.2. tH ) e (wL . ti ) = wi ci t. em que cH < cL . nós assumiremos que uma fração dos trabalhadores é do tipo H e uma fração 1 é do tipo L. 3. tH ) e (wL . Isto terá algumas implicações para o conceito de equilíbrio que utilizaremos mais a frente. ou seja. Ou seja. um trabalhador do tipo i. ao assinar um contrato (wi . com i = H ou L. O nosso conceito de equilíbrio satisfará as seguintes propriedades: De…nição 13. nós trabalharemos com a hipótese de que o mercado de …rmas é competitivo. Desta forma. Numa situação prática. Dado tal par de contratos. sinalizava para as …rmas o seu tipo. este tem uma desutilidade ao executar a tarefa que varia positivamente com t. tL ). Suponha agora que a …rma tenha a possibilidade de oferecer contratos para os trabalhadores em que cada contrato especi…que um salário w e uma tarefa com nível de di…culdade t. Além disto. ( H wH ) + . O problema da …rma que está atuando no mercado será escolher um par de contratos (wH .4 159 Filtragem em Mercado Competitivo Na seção anterior nós investigamos a situação em que o trabalhador H procurava obter um nível de educação que. O par de contratos que a …rma oferece lhe dá lucro zero. (1 ) ( L wL ) = 0. ti ) recebe uma utilidade U i (wi . Um equilíbrio com mercado de …rmas competitivo é um par de contratos (wH . tL ) que serão direcionados aos dois tipos de agentes.4. Embora t não afete a produção do trabalhador. embora não afetasse a sua produtividade. Os dois contratos dão utilidades não negativas aos agentes. A nossa hipótese é que t poderá ser qualquer número positivo e que a tarefa com di…culdade t não afeta a produção do trabalhador. Novamente. Os agentes do tipo H têm incentivo a aceitar o contrato (wH . tH ) e os agentes do tipo L tem incentivo a aceitar o contrato (wL . wH cH tH 0 wL cL tL 0: e 2. o que contraria a condição 3. Suponha que exista um equilíbrio em que o agente do tipo i. Nós concluímos que de fato o único equilíbrio em tal caso é o par de contratos citado acima. esteja assinando um contrato (wi . Portanto. ela pode oferecer dois contratos de modo que os próprios trabalhadores se auto selecionem. t) para ambos os trabalhadores. Os agentes do tipo i de fato aceitariam este novo contrato e a …rma entrante receberia um lucro estritamente positivo. Obviamente. t~i em que t~i = 0 e i ci ti < w~i < i . portanto. Vamos agora trabalhar com o caso em que a …rma não pode identi…car os dois tipos de trabalhadores. o par de contratos acima é de fato um equilíbrio quando a …rma pode diferenciar os dois tipos de trabalhadores. mas. a única forma de uma …rma entrante oferecer um contrato mais atrativo para um dos tipos de agente seria aumentar o seu salário. é claro. Obviamente a terceira propriedade também é satisfeita. Para entrar no mercado ela tem que oferecer um contrato que seja aceito por pelo menos um dos tipos de agente. Finalmente. se wi > i para um dos tipos de trabalhador. Mas então. Tal contrato atrairia os agentes do tipo i e daria um lucro positivo para a …rma entrante. Mas observe que ambos os agentes estão recebendo um salário igual a sua produtividade e realizando uma tarefa de di…culdade zero. Observe que. Mas então. Nós concluímos que a quarta propriedade também é satisfeita e. ti ) com wi < i . suponha que o par de contratos de equilíbrio inclua um contrato ( i . tH ) = ( H . 0) e (wL . t~i .160 CAPÍTULO 13. Mas isto claramente daria um lucro negativo para a …rma entrante. Como ambos os contratos dão utilidades estritamente positivas para ambos os agentes. direcionado aos agentes do tipo i em que t~i = ti e wi < w~i < i . então o contrato oferecido tem que satisfazer ( H w) + (1 )( L w) = 0. em qualquer equilíbrio nós temos que ter wi = i para i = H. 0). uma …rma entrante poderia oferecer um contrato w~i . um agente não pode aceitar o contrato oferecido ao outro agente. Investiguemos primeiro a situação em que as …rmas podem identi…car os dois tipos de agentes. o contrato oferecido ao trabalhador H é diferente do contrato oferecido ao trabalhador L. como a …rma pode diferenciar os agentes. Mas suponha que uma nova …rma queira entrar no mercado. L. . Temos ainda que mostrar que não existem outros equilíbrios. Não existe contrato que uma …rma que entrasse neste mercado pudesse oferecer que lhe desse um lucro positivo. Nós concluímos que em equilíbrio nós temos que ter wi i para i = H. a primeira propriedade que caracteriza um equilíbrio é satisfeita. Em equilíbrio. então o lucro da …rma estaria sendo negativo. Nós analisaremos tal modelo através de várias proposições: Proposição 13. portanto só precisamos mostrar que a quarta propriedade é satisfeita. ti ) com ti > 0 para i = H ou L. Demonstração da Proposição. Portanto. L. os dois aceitam os contratos. ECONOMIA DA INFORMAÇÃO 4. Neste caso. 0) = ( L . um …rma entrante poderia oferecer um contrato w~i . Suponha que a …rma esteja oferecendo o mesmo contrato (w. com i = H ou L. nós podemos mostrar que o único equilíbrio será o par de contratos (wH . Portanto.3. Como a …rma tem que estar tendo lucro zero. 4.2 Na …gura. mas os agentes do tipo L permaneceriam com a …rma antiga. o contrato (wi . portanto. Portanto. os agentes do tipo H prefeririam este contrato.1)13. Observe que w~ cH t~ = w~ > w~ = w cH t cH cH +cL 2 cH t (w~ cH t: (w~ w) w) Portanto. k Proposição 13. nós obrigatoriamente temos que ter H w > 0.4. os agentes do tipo L ainda prefeririam o contrato antigo. ~ t~ em que w < w~ < H e t~ = t+ cH 1+cL (w~ w) 2 (ver …gura 13. Mas então. Mas então. nós concluímos que em equilíbrio a …rma não pode estar oferecendo o mesmo contrato para ambos os jogadores. Figura 13. FILTRAGEM EM MERCADO COMPETITIVO 161 Como H > L . L. w~ cL t~ = w~ < w~ = w cL t cL cH +cL 2 cL t (w~ cL t: (w~ w) w) Ou seja. IL é a curva de indiferença do trabalhador do tipo L e IH é a curva de indiferença do trabalhador H: . uma …rma entrante poderia oferecer um novo contrato w. os agentes do tipo H mudariam para a …rma entrante. para i = H. 13.13.2 . o lucro da …rma entrante seria dado por H w~ > 0: Isto contradiz a de…nição de equilíbrio com que nós estamos trabalhando e.1: Não existência de equilíbrio quando dois tipos recebem o mesmo contrato. Em equilíbrio. Por outro lado. ti ) oferecido ao trabalhador do tipo i necessariamente tem que satisfazer wi = i . também. Neste caso. uma …rma entrante poderia oferecer um contrato w~L . Observe primeiro que 2 w~H cH t~H = w~H > w~H = wH cH tH cH cH +cL 2 cH tH (w~H cH tH : (w~H wH ) wH ) Portanto. ao oferecer tal contrato uma …rma entrante atrairia somente os trabalhadores do tipo H e obteria lucro positivo. com qualquer trabalhador que aceitasse tal contrato. t~H tal que wH < w~H < H e t~H = tH + cH 1+cL (w~H wH ) (ver …gura 13. tL ) oferecido ao trabalhador do tipo L tem que satisfazer wL L. Mas então. a …rma entrante obteria um lucro estritamente positivo. Observe. Observe que os trabalhadores do tipo L aceitariam tal contrato. os trabalhadores do tipo H prefeririam este novo contrato. como wL L e wH H e. nós concluímos que em equilíbrio nós temos que ter wH H . que w~H cL t~H = w ~H cL tH < w~H = wH wL cL tH cL tH cL tL : cL cH +cL 2 (w~H (w~H wH ) wH ) Portanto. Neste caso.3). seja ele do tipo H ou L.2). além disto. Além disto. ECONOMIA DA INFORMAÇÃO Demonstração da Proposição. nós vemos que a única possibilidade é wH = H e wL = L : k . os trabalhadores do tipo L não seriam atraídos por tal contrato. ( H wH ) + (1 ) ( L wL ) = 0. Nós concluímos que em equilíbrio o contrato (wL . Suponha primeiro que o contrato oferecido ao trabalhador do tipo L satisfaça wL < L .162 CAPÍTULO 13. Figura 13. t~L em que wL < w~L < L e t~L = tL (ver …gura 13. tH ) oferecido ao trabalhador do tipo H satisfaça wH < H . Como isto contradiz a de…nição de equilíbrio. uma …rma entrante poderia oferecer um contrato w~H . Finalmente.2: Salário oferecido a tipo L tem que ser maior ou igual a L: Suponha agora que o contrato (wH . uma …rma entrante poderia oferecer um contrato w~L . FILTRAGEM EM MERCADO COMPETITIVO 163 Figura 13. tL ) = ( L . L Ou seja.13. Mas então. Demonstração da Proposição.4. os trabalhadores do tipo L aceitariam tal contrato. L w~L t~L > cL tL . Em equilíbrio.4: Em equilíbrio. Como isto contradiz a nossa de…nição de equilíbrio. 0) : Figura 13.3: Salário oferecido a tipo H tem que ser maior ou igual a Proposição 13. t~L em que t~L = 0 e cL tL < w~L < L (ver …gura 13. Nós já sabemos que wL = L . tL = 0: k Proposição 13. nós concluímos que o contrato oferecido ao trabalhador L em equilíbrio tem que ser (wL . Suponha. (wH . 0). tL ) = ( H: L . tH ) = H. então.6.4).5. que nós tenhamos um equilíbrio em que tL > 0. H cL L : . com qualquer trabalhador que aceitasse tal contrato a …rma entrante teria um lucro positivo. nós só precisamos mostrar que tL = 0. Observe que sob tal contrato. (wL . Em equilíbrio. Por outro lado. portanto. uma …rma entrante poderia oferecer um contrato w~H . Ou seja. tH ) = H . tal contrato atrairia os agentes do tipo H e a …rma entrante obteria lucro positivo com ele. é possível que o modelo não tenha equilíbrio.3 Nós já estamos usando aqui o fato de que em equilíbrio wH = H: . Por outro lado. HcL L : Figura 13. é necessário que L H cL tH :13. dependendo do valor dos parâmetros acima. ECONOMIA DA INFORMAÇÃO Demonstração da Proposição. em nenhum momento nós mostramos que o equilíbrio existe. é necessário que eles considerem tal contrato pelo menos tão bom quanto o contrato oferecido ao agente do tipo H. Nós concluímos que em equilíbrio o contrato oferececido ao trabalhador do tipo H tem que ser (wH . Nós já sabemos que o contrato oferecido ao agente do tipo L em equilíbrio é (wL .5). De fato. Para que os agentes do tipo L aceitem tal contrato. mas tal análise tem uma pequena falha. Suponha que tH > cL Neste caso.3 H L Isolando tH na desigualdade acima nós obtemos que tH . Nós abdicaremos da discussão de tais tipos de problemas aqui e trabalharemos sempre com a hipótese de que os parâmetros dos modelos são tais que o equilíbrio existe. t~H em que t~H = e H cH tH t~H < w~H < H (ver …gura 13. Observe que cL t~H L = H > w~H cL t~H : H L cL H . wH cH tH = H = H < w~H cH tH cH tH cH t~H : t~H cH t~H Portanto. 0). L cL Portanto tal contrato não atrairia agentes do tipo L. 13.5: Em equilíbrio tH não pode ser maior do que H cL L : k O conjunto de proposições acima caracteriza o equilíbrio com mercado de …rmas competitivo que nós de…nimos acima.164 CAPÍTULO 13. tL ) = ( L . Embora nós tenhamos caracterizado o possível equilíbrio deste modelo. o seu problema é wH ) + (1 pe ) ( L wL ) e = max pe ( H wH . Caso contrário. Se o gerente se esforçar. O grande problema é que a …rma só observa o lucro …nal. portanto.13. a probabilidade do lucro ser alto é apenas pn . H ou um lucro baixo L . 13. Neste caso.5. Feito isto.wL sujeito a pe (u (wH ) ce ) + (1 pe ) (u (wL ) ce ) 0: Não é difícil ver que na solução do problema acima a restrição obviamente tem que ser satisfeita com igualdade. embora o principal conheça exatamente o tipo do agente. Nós estudaremos tal problema através de um modelo formal. Agora. o gerente preocupa-se em maximizar a sua utilidade esperada. Uma empresa pretende contratar um gerente para a realização de um projeto. Se o gerente não se esforçar ele não tem custo algum. portanto o seu problema será simplesmente maximizar o seu lucro (retorno do projeto menos salário do gerente) esperado. Tal situação é conhecida na literatura como uma situação de perigo moral. Se esforçar tem um custo ce para o gerente.5 Podemos.5 165 Perigo Moral Até agora nós temos estudado situações em que o agente tem mais informações do que o principal. mas depende da dedicação do gerente. nós vamos mudar um pouco o foco e estudar uma situação em que.5. o problema da empresa terá duas partes. a probabilidade do lucro ser alto é maior. O retorno deste projeto é aleatório. Se o gerente se esforçar.13. 13. estritamente crescente e estritamente côncava. Se o gerente não se esforçar. mas ele depende positivamente do esforço do gerente. nós assumiremos que a função de utilidade do gerente assume a forma simpli…cada: u (w) c. A empresa oferecerá um contrato que estipula o salário do gerente no caso de um lucro alto e no caso de um lucro baixo. então a probabilidade do lucro ser alto é pe . escrever o lagrangeano do problema acima 13.1 Esforço Observável Vamos supor primeiro que a empresa consegue observar o esforço empregado pelo gerente. nós estudaremos o problema de uma …rma que pretende contratar um gerente para implementar um projeto. Primeiramente ela analisará qual o melhor contrato a oferecer no caso do gerente se esforçar e no caso dele não se esforçar. então c = 0) e u é uma função contínua. c é o custo do gerente. em que w é o salário recebido pelo gerente. Para completar. A nossa hipótese será que pe > pn > 0. Mais especi…camente. sem saber se o gerente se esforçou ou não. a …rma compara o seu lucro nos dois casos e decide que contrato oferecer. Neste caso. Suponha primeiro que a …rma queira que o gerente se esforce. PERIGO MORAL 13. Nós assumiremos que a empresa é neutra ao risco. a …rma poderia diminuir um pouco o salário do gerente em qualquer um dos casos e aumentar o seu lucro.4 Isto implica que nós estamos assumindo que o gerente é estritamente avesso ao risco.4 Dada tal função. caso ele tenha se esforçado (se o gerente não se esforçar.5 . O lucro de tal projeto é incerto. ele não consegue observar a ação que o agente toma. O projeto pode ter um lucro alto.13. ECONOMIA DA INFORMAÇÃO como L = pe ( H wH ) + (1 pe ) ( wL ) + [pe (u (wH ) L ce ) + (1 pe ) (u (wL ) ce )] : As condições de primeira ordem do problema são wH : wL : pe + pe u0 (wH ) = 0 (1 pe ) + (1 pe ) u0 (wL ) = 0: As duas condições acima podem ser simpli…cadas para u0 (wH ) = 1 u0 (wL ) = 1: wH : wL : Isolando . Isto. a …rma vai escolher aquela que lhe der maior lucro. por hipótese. aumenta o lucro esperado da …rma. Neste caso ela resolve o problema n = max pn ( wH . a …rma assume todo o risco da situação. ou dividindo uma equação pela outra nó obtemos u0 (wH ) = u0 (wL ) : Como u é estritamente côncava. . Ou seja. já que o gerente por ser avesso ao risco acaba aceitando abrir mão de um pouco de renda em troca da segurança de não ter incerteza sobre o seu salário. a …rma é neutra ao risco e o gerente é avesso. Portanto.wL H wH ) + (1 pn ) ( L wL ) sujeito a pn u (wH ) + (1 pn ) u (wL ) 0: Se nós resolvermos o problema acima. Como.166 CAPÍTULO 13. logicamente. Usando tal fato. o salário wn que a …rma paga neste caso satisfaz u (wn ) = 0: De posse destas duas opções de contrato. Portanto. u0 é estritamente decrescente. novamente nós vamos concluir que a melhor opção para a …rma é pagar um salário …xo que satisfaça a restrição acima com igualdade. O problema da …rma quando ela não quer que o gerente se esforce é similar. a condição acima só pode ser verdade se wH = wL . a …rma vai comparar e e n e decidir se vale a pena pagar mais para o gerente se esforçar ou não. nós aprendemos que a escolha ótima da …rma será pagar um salário …xo we que satisfaça a seguinte condição: u (we ) = ce : Tal solução é bastante intuitiva. 5. ela resolve o seguinte problema: e = max pe ( wH . Suponha primeiro que a …rma não queira que o gerente se esforce. ela oferece ao gerente o mesmo contrato ruim que ela ofereceria ao gerente caso ela tivesse certeza de que ele não iria se esforçar. logicamente ele é também a escolha ótima no problema com a restrição adicional. que se a …rma não quiser que o gerente se esforce ela pode simplesmente oferecer ao gerente o mesmo contrato que ela ofereceria no caso de esforço observável.13.5. Neste caso. PERIGO MORAL 13.wL H wH ) + (1 pe ) ( L wL ) sujeito a pe (u (wH ) pe (u (wH ) ce ) + (1 ce ) + (1 pe ) (u (wL ) pe ) (u (wL ) ce ) ce ) 0 pn u (wH ) + (1 pn ) u (wL ) : . o salário …xo wn também satisfaz a segunda restrição do problema acima.wL H wH ) + (1 pn ) ( L wL ) sujeito a pn u (wH ) + (1 pn ) u (wL ) 0 e pn u (wH ) + (1 pn ) u (wL ) pe (u (wH ) ce ) + (1 pe ) (u (wL ) ce ) : Ignoremos a segunda restrição por um instante. então. é claro que ele não tem nenhum incentivo para se esforçar. Tal solução é intuitivamente bastante razoável. Já que a …rma não quer que o gerente se esforce. Nós concluímos. Suponha agora que a …rma queira que o gerente se esforce. De posse daquele contrato o gerente tem que escolher se se esforça ou não.2 167 Esforço Não Observável Suponha agora que o esforço do gerente não seja observável. o contrato de trabalho da …rma vai ter que oferecer incentivos ao gerente para que ele realize o esforço desejado. Mas como o seu salário não depende do desempenho da empresa. Neste caso. Neste caso o problema da …rma pode ser escrito como n = max pn ( wH . Como ele era a escolha ótima num problema com menos restrições. Neste caso o problema é o mesmo do caso em que o esforço é observável e já sabemos que a solução será dada por um salário …xo wn que satisfaz u (wn ) = 0: Agora observe que pe (u (wn ) ce ) + (1 pe ) (u (wn ) ce ) = < = = u (wn ) ce 0 u (wn ) pn u (wn ) + (1 pn ) u (wn ) : Portanto. Agora a …rma não pode mais estipular o nível de esforço no seu contrato de trabalho. (a) Baseado na de…nição nas notas de aula.1. independentemente do valor de . No modelo com vários níveis de esforço possíveis. Tal demonstração é uma das questões da lista de exercícios.168 CAPÍTULO 13. É possível generalizar o modelo acima para um modelo em que o gerente pode escolher diferços níveis de esforço e em que vários níveis de lucro são possíveis. O problema acima simpli…ca-se para e = max pe ( wH . então o contrato que induz um esforço médio pagará mais se o lucro obtido pela …rma for médio. portanto. nós podemos usar a última restrição para fazer algumas observações sobre o contrato ótimo oferecido pela …rma. as duas restrições acima nos dão um sistema de equações em que podemos calcular os valores de wH e wL que solucionam o problema da …rma quando ela quer que o gerente se esforce. 13.6 Exercícios Exercício 13.wL H wH ) + (1 pe ) ( L wL ) sujeito a pe (u (wH ) pe (u (wH ) ce ) + (1 ce ) + (1 pe ) (u (wL ) pe ) (u (wL ) ce ) = 0 ce ) = pn u (wH ) + (1 pn ) u (wL ) : Em geral. existe uma certa quantidade de potenciais vendedores de carros cuja qualidade se distribui de maneira uniforme entre 0 e 1. então o preço que faz o potencial comprador indiferente entre comprar ou não um carro é q. Considere a seguinte variação do modelo de seleção adversa que estudamos nas notas de aula. u é estritamente crescente. Por hipótese. Existe um número grande de potenciais compradores de carro. o único equilíbrio competitivo do modelo acima é a situação em que nenhum carro é vendido. (b) Mostre que. de…na um equilíbrio competitivo para este modelo. se um esforço médio gera uma probabilidade alta de obter um lucro médio. Observe que a segunda restrição pode ser reescrita como ce : u (wH ) u (wL ) = pe pn Como pe cepn > 0. Mesmo sem especi…carmos a forma funcional da função de utilidade do gerente. . Por exemplo. ECONOMIA DA INFORMAÇÃO É possível se demonstrar que na solução do problema acima as duas restrições têm que ser satisfeitas com igualdade. A nossa hipótese agora será que se a qualidade média (ou esperada) dos carros a venda for q. O proprietário de um carro de qualidade q aceita vendê-lo por qualquer preço maior ou igual a q. Observe que isto não é uma questão de justiça e sim de incentivo. o resultado análogo ao acima diz que para induzir um certo nível de esforço a …rma tem que oferecer um contrato de trabalho que pague mais para os níveis de lucro que são mais prováveis dado aquele nível de esforço. isto implica que wH > wL . Tal resultado é bastante intuitivo. em que 1 < < 2. nós aprendemos que u (wH ) > u (wL ). já que através dele nós aprendemos que para induzir o gerente a se esforçar a …rma é forçada a pagar um salário maior no caso de um lucro maior. Como nas notas de aula. todas elas dando o mesmo lucro esperado para a …rma. Exercício 13. tanto no caso em que a empresa quer induzir o gerente a se esforçar. o jogo pode ser resolvido por eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas. Mostre que neste caso a solução do jogo não se altera. o gerente também é neutro ao risco.5 (Perigo Moral com gerente neutro ao risco). (a) Considere primeiro o caso em que o esforço é observável. Considere novamente o modelo de perigo moral que estudamos nas notas de aula. 13. mas pode ser divertido.4. mas agora suponha que a função u do gerente é dada simplesmente por u (w) = w. (a) Escreva a representação matricial do jogo com esta pequena modi…cação. Se você preferir. você pode escrever apenas a intuição do fato. sem se preocupar muito com os detalhes).6. Lembre-se que nós mostramos que caso o modelo tenha equilíbrio. Ou seja. (c) Suponha agora que H cH < H +(1 ) L . então o contrato direcionado ao trabalhador do tipo L será (wL . Lá nós a…rmamos que. EXERCÍCIOS 169 Exercício 13.2 (Sinalização com custo para agente produtivo). HcL L .13. Considere o modelo de perigo moral nas notas de aula. (b) Suponha que H + (1 fez na letra (a).6 Exercício 13. o problema da …rma tem in…nitas soluções. Mostre que.3 (Inexistência de Equilíbrio no Modelo de Filtragem). Exercício 13.13. é claro. A única diferença é que agora assumiremos que o agente do tipo H também tem que pagar um custo cH para obter educação. existe um tipo de contrato que uma empresa entrante pode oferecer que atrai os dois tipos de trabalhadores e lhe dá um lucro estritamente positivo. . (a) Represente tal equilíbrio gra…camente (está praticamente feito nas notas de aula). no caso em que o esforço não é observável e a …rma quer induzir o gerente a se esforçar. Represente este fato no grá…co que você (c) Mostre que se a condição em (b) for verdade. tL ) = ( L . Mostre isto (principalmente mostrar que a segunda restrição tem que ser satisfeita com igualdade não é tão simples. ) L > wH cH tH . 0) e o direcionado ao trabalhador do tipo H será (wH .6 Ou você pode apenas ler a solução para pegar a intuição. Considere o modelo de sinalização que estudamos nas notas de aula. tH ) = H . as duas restrições do problema da …rma serão satisfeitas com igualdade. mostre que as proposições 1 e 2 nas notas de aula continuam válidas. Conclua que neste caso o modelo não tem equilíbrio. Considere o modelo de …ltragem que nós estudamos nas notas de aula. independentemente de outras hipóteses. Isto é. (b) Suponha que H cH > H + (1 ) L . quanto no caso em que ela não quer. Eu não faço questão que vocês saibam este exercício. Argumente que. Qual o máximo valor de p pelo qual um investidor inteiramente racional aceitaria comprar o campo? . ou seja. O dono do campo fez uma pesquisa intensa e sabe exatamente quantos barris existem lá.170 CAPÍTULO 13. suponha que se o dono do campo de petróleo fosse indiferente entre vender ou não vender o campo pelo preço p. Exercício 13.50 reais por barril caso este comprasse o campo. então ele venderia. a melhor opção para a …rma seja contratar o gerente e exigir que ele se esforce.). mas o investidor não sabe. Considere agora o caso em que a …rma não pode observar o esforço. novamente com probabilidade igual a 1=3 pode ser que existam 120 barris de petróleo no campo. Uma das soluções do problema da …rma no caso em que o esforço é observável ainda é uma solução para o problema agora. ECONOMIA DA INFORMAÇÃO (b) Suponha que no caso em que o esforço é observável. O investidor é um produtor mais e…ciente e conseguiria obter um lucro de 1. a probabilidade de que existam 40 é também 1=3. Além disto. independentemente de o projeto ter lucro alto ou baixo. Seja p o preço pelo qual o campo de petróleo está sendo vendido. O investidor é neutro ao risco. Ou seja. Escreva os detalhes desta solução (Dica1: Vender o projeto para o gerente simplesmente signi…ca que o lucro da …rma será constante. A solução admite a seguinte interpretação: A …rma vende o projeto para o gerente e deixa ele tomar a decisão de se esforçar ou não. Por favor. Por …m. Um investidor está pensando em comprar um campo de petróleo. Ou seja. Apenas use a única solução do caso com esforço observável que dá um lucro constante para a …rma. O dono atual do campo de petróleo poderia obter um lucro de 1 real por barril. Dica2: Você não tem que fazer conta. se o campo tivesse 40 barris o seu lucro seria de 40 reais. mas ela quer induzir o gerente a se esforçar.6. A probabilidade de que existam 20 barris de petróleo no campo é igual a 1=3. nada de Lagrangeano nem coisas do gênero. sua única preocupação é maximizar o seu lucro esperado. se o campo tivesse 40 barris ele obteria um lucro de 60 reais. pensar em exemplos de externalidades positivas. fA ) em que xA representa a riqueza de A e fA representa a quantidade de fumaça produzida por A.1 14.1 Fumante e Não-fumante.2 Externalidades e E…ciência 14. É fácill. Suponha que A tenha preferências sobre sua riqueza e o quanto ele fuma. no sentido de que as escolhas de um agente acabam afetando negativamente o bem-estar do outro agente. um produtor de maçãs sofreria uma externalidade positiva de um possível produtor de mel que se localizasse próximo a ele. O exemplo mais clássico é o de dois companheiros de quarto em que apenas um deles fuma. suponha que a quantidade de fumaça possa variar entre 0 e 1. Neste caso. digamos A e B e que apenas A fume.1 Introdução Dizemos que uma situação econômica envolve externalidades se as preferências ou escolhas de um ou mais agentes dependem diretamente das escolhas de consumo ou produção de outro agente. As …guras no texto também foram retiradas desta mesma fonte. Por exemplo. Isto ocorreria porque as abelhas ajudariam a polinizar a plantação de maçãs. o bem estar do agente não fumante depende diretamente da quantidade de cigarros que o seu companheiro de quarto fuma. Por simplicidade.1 A primeira parte destas notas de aula segue Varian (2006). 14. Formalmente. Suponha que tenhamos dois companheiros de quarto. é razoável assumirmos que U A é crescente em relação aos seus dois argumentos. 171 . Os dois exemplos acima envolvem externalidades negativas. se uma empresa siderúrgica polui um rio ou mar. isto acaba atrapalhando a produção de peixes de uma possível indústria pesqueira que atue naquelas águas.2. nós assumiremos que A tem uma função de utilidade U A (xA . Por exemplo. em que 0 representa a situação quando A não fuma nada e 1 representa a situação em que A fuma a máxima quantidade de cigarros que ele consegue e o quarto …ca totalmente tomado pela fumaça. Outro exemplo clássico é o da geração de poluição. capítulo 34. Como A gosta de fumar.Capítulo 14 Externalidades e Bens Públicos14. também. 14. embora esta não seja uma decisão de consumo sua. quando representamos as curvas de indiferenças de B sob esta perspectiva. Por outro lado. É claro que no caso de B sua função de utilidade é crescente em relação ao primeiro argumento e decrescente em relação ao segundo. Figura 14. mas continuamos medindo a quantidade de fumaça de baixo para cima. mas o que queremos dizer quando representamos uma dotação inicial de fumaça no diagrama da …gura 14. É claro que a dotação inicial de riqueza de ambos ainda corresponde exatamente à mesma interpretação que tínhamos antes. Embora a interpretação seja um pouco diferente. Porém. a dotação inicial E na …gura 14. Embora B não fume. então. Uma outra diferença com relação a representação de uma economia de trocas tradicional na caixa de Edgeworth é que a interpretação da dotação inicial é um pouco mais sutil. a fumaça gerada pelo cigarro de A lhe incomoda. Observe que os argumentos da função de utilidade de B são a sua riqueza e a quantidade de fumaça produzida por A. EXTERNALIDADES E BENS PÚBLICOS Olhemos agora para B. portanto. já a dotação E 0 representa a situação em que o . que as preferências de B são representadas por uma função de utilidade U B (xB . nós vemos a representação das cestas de consumo do agente A.172 CAPÍTULO 14.1 representa a situação em que o fumante não pode fumar nada. nós podemos representar tais preferências em um diagrama no estilo da caixa de Edgeworth.1: Representação Grá…ca de Situações de Externalidade Quando olhamos o diagrama na …gura 14. já que neste caso ainda estamos falando da quantidade de fumaça produzida por A. nós visualizamos o eixo x da direita para esquerda (como fazíamos na caixa de Edgeworth tradicional). para representarmos a situação sob o ponto de vista de B.1 sob sua orientação normal. acabamos obtendo um diagrama que é visualmente muito similar à caixa de Edgeworth. A nossa hipótese será. No eixo x nós temos a riqueza de A e no eixo y nós temos a quantidade de fumaça produzida por A.1? A interpretação aqui é que a dotação inicial de fumaça está relacionada com os direitos legais do fumante. fA ). Por exemplo. note que o bem-estar de B aumenta quando o consumo de fumaça de A diminui. a dotação inicial será a alocação …nal. nós vemos que existem situações deste tipo que fariam ambos mais felizes. nós vimos que uma opção seria usar um mecanismo de preços. as alocações e…cientes em tal diagrama se parecem exatamente com as alocações e…cientes na caixa de Edgeworth. qualquer preço que equilibre o mercado de fumaça. Como já discutimos um pouco antes.2. Pela …gura. Para que não existam mais trocas vantajosas para ambos. Suponha que B tivesse direito de propriedade sobre o ar puro. geralmente numa situação como a descrita acima a possibilidade de trocas não existe. Dada uma dotação inicial.2: Alocações E…cientes .14. EXTERNALIDADES E EFICIÊNCIA 173 fumante pode fumar o quanto quiser. A pagaria um pouco para B para que este lhe permitisse fumar um pouco. geralmente uma situação com externalidade como a acima.1. Figura 14. Como na prática isto não acontece. se o direito de propriedade sobre o ar puro fosse bem de…nido. tal mecanismo só poderia ser utilizado se o direito de propriedade sobre o ar puro. Mas é claro. Como poderíamos atingir tais alocações e…cientes? Quando estudamos economias de troca. Dadas as curvas de indiferenças de ambos os agentes representadas na …gura 14. Tipicamente. gerará uma alocação ine…ciente no …nal. é fácil ver que tal alocação não é e…ciente. Em situações reais. Ou seja. estas são as duas dotações iniciais mais comuns. Em termos da dotação inicial isto corresponderia a dotação inicial E. necessariamente tem que gerar uma alocação e…ciente (novamente. Como não existe nenhuma razão para que a dotação inicial seja necessariamente e…ciente. ver …gura 14. a ausência de direitos de propriedade bem de…nidos é o que acaba gerando ine…ciência em situações de externalidades.2).2). estivesse bem de…nido. ou sobre a produção de fumaça. De fato. as curvas de indiferenças dos dois agentes têm que ser tangentes (ver …gura 14. Ambos estariam melhor se pudessem escolher uma alocação na região entre as suas duas curvas de indiferenças. Quais as condições que caracterizariam um equilíbrio de mercado nesta economia? Para responder tal pergunta temos que investigar os problemas das duas …rmas acima. Já o custo da empresa B será função da quantidade de peixes produzida. em que f representa a quantidade de peixes produzida e x é o nível de poluição gerado pela empresa A. nós assumiremos que cB satisfaz cB f (f. cA (s. Nós representaremos tal custo pela função cA (s. O processo de produção da empresa siderúrgica polui a água do mar ou rio onde a indústria pesqueira atua.174 14. ps s. x) <0 dx e d2 cA (s. A última condição diz que quanto maior o nível de poluição. x). x) = > 0: dx dx2 Ou seja. o custo de produção da empresa A será função de quanto ela produz de aço e quanta poluição ela gera no processo. x) . x) := dcA (s. Formalmente. Nós representaremos tal custo pela função cB (f. x) > 0: dx Ou seja. O problema da …rma A seria max ps s cA (s. gerando. é claro. menos o seu custo. que é dado por sua receita. o problema de A é maximizar o seu lucro. x) > 0. nós assumiremos que cA satisfaz cA s (s. portanto. x) := dcA (s. EXTERNALIDADES E BENS PÚBLICOS Externalidades na Produção Suponha agora que tenhamos duas empresas. x) s.3. A empresa A produz aço e a B peixes. mas também será função do nível de poluição gerado pela …rma A. x) >0 df e dcB (f. em que s é a quantidade de aço produzida por A e x é a quantidade de poluição gerada no processo. menor é a diminuição marginal dos custos gerada por mais poluição. A escolhe o quanto produzir e o quanto gerar de poluição de forma a maximizar o seu lucro. Por hipótese. ds cA x (s. x) := 14. x) := dcB (f.1 Equilíbrio de Mercado Suponha que aço seja vendido por um preço ps e peixe seja vendido por um preço pf .3 CAPÍTULO 14. Ou seja. o custo da empresa B aumenta com o aumento da produção de peixes e também aumenta conforme o nível de poluição gerado por A. x). uma externalidade negativa para a produção de peixes. As condições de primeira ordem do problema acima são: s : ps = cA s (s. Por hipótese. x) dcA x (s.x Como sempre. cB x (f. x). o custo de A aumenta quanto mais aço ele produz e tal custo diminui com o nível de poluição gerado. A poluição gerada por A gera um impacto negativo na tecnologia de produção da empresa B e um preço igual a zero ignora totalmente este impacto. Note. x) f : pf = cB f (s. x) max pf f f Observe que. Na próxima subseção estudaremos 3 possíveis soluções para o problema da externalidade neste caso. x) < 0 e cx é crescente em relação a x. Intuitivamente. x) As condições de primeira ordem para o problema acima são: s : ps = cA s (s. como por hipótese cB x (f. que o preço da poluição no nosso exemplo é zero. x) e x : cA x (s.3. EXTERNALIDADES NA PRODUÇÃO 175 e x : 0 = cA x (s. os níveis de produção e…cientes têm que resolver o seguinte problema de maximização: max ps s + pf f s. Mais do que isto. a condição agora leva em conta o impacto marginal que o nível de poluição tem A sobre os custos da empresa B. x) : Já o problema da …rma B é cB (f. nós vemos que existe uma tendência que o nível de poluição e…ciente seja menor do que o que ocorreria num equilíbrio de mercado.14. embora o nível de poluição x afete os custos de produção de B. x) = cB x (f. Parece que um preço negativo para a poluição seria socialmente mais justo. este não é uma variável de escolha para B. e…ciência é caracterizada simplesmente pela maximização do lucro agregado. A decisão de o quanto poluir encontra-se completamente nas mãos de A. De fato. em tal situação. x) : Observe que as três condições acima estão no formato usual preço igual ao custo marginal.f. usualmente esperaríamos que A poluísse demais gerando níveis de produção ine…cientes na nossa economia. no entanto.3. Como era de se esperar. x) : Note que a única condição que muda é a relativa ao nível de poluição x. A condição de primeira ordem do problema acima é f : pf = cB f (f. 14. x) cB (f.x cA (s. o preço zero para a poluição não parece socialmente apropriado. Numa economia com duas …rmas. . Ou seja.2 Nível de Poluição E…ciente Tentemos agora indenti…car quais seriam os níveis de produção e…cientes nesta economia. para que a empresa siderúrgica gere poluição ela tem que pagar para a indústria pesqueira. x) qx s. Suponha. No caso de uma externalidade de produção isto também é verdade. embora teoricamente correto. Para podermos corrigir o problema da externalidade usando um imposto. em que f e x são os níveis e…cientes que calculamos na subseção anterior.x cA (s. O problema de A agora pode ser escrito como max ps s s. se …zermos t = cB x (f . Mercado para a Poluição Nós já discutimos antes que uma possível maneira de eliminar o problema das ine…ciências causadas por uma situação de externalidade no caso de uma externalidade de consumo era a atribuição de direitos de propriedade. Um imposto como o acima é conhecido como imposto de Pigou. tem poucas aplicações práticas. EXTERNALIDADES E BENS PÚBLICOS Soluções para a Externalidade Imposto sobre a Poluição Suponha que o governo resolva impor um imposto t por unidade de poluição gerada pela …rma A. x) + qx .3. Agora. teríamos que conhecer primeiramente os níveis e…cientes de poluição e peixes. Seria mais fácil obrigarmos a …rma A a gerar a quantidade e…ciente de poluição sem precisar da complicação de um imposto. faria pouco sentido usarmos um imposto para resolver o problema da externalidade. Mesmo que conhecêssemos tais valores. tal imposto. x) = t: e e e e Mas então. x) tx As condições de primeira ordem de tal problema são: s : ps = cA s (s. x ).3 CAPÍTULO 14. x) e x : cA x (s. a solução para o problema da empresa A será a mesma do caso e…ciente. que o direito de propriedade sobre a limpeza da água seja atribuído à indústria pesqueira. x) e x : cA x (s.x cB (f. O problema da …rma A agora é max ps s cA (s.x As condições de primeira ordem do problema acima são: s : ps = cA s (s. No entanto. Suponha que preço por unidade de poluição gerada seja q.176 14. x) = q: Já o problema da …rma B torna-se: max pf f f. 4 Bens Públicos Agora nós estudaremos um conjunto de problemas relacionados à existência do que chamaremos de bens públicos. Como escrevemos acima. defesa nacional é um bem não exclusivo.4. bens públicos são caracterizados por duas propriedades. os níveis de produção e…cientes são exatamente os que maximizam o lucro agregado das duas …rmas. Tais bens são não exclusivos e não rivais. gera um aumento do lucro agregado. x) = x (f. Isto é chamado de internalização da externalidade.14. As condições de primeira ordem do problema acima são: pf = cB f (f. Internalização da Externalidade A terceira solução para a externalidade é o que chamamos internalização. de uma certa forma. Intuitivamente. todos no país se bene…ciam dele. em uma situação de externalidades. Assim. Primeiramente. nós podemos interpretar a existência de externalidades como uma de…ciência na estrutura das empresas. o problema da nova empresa passa a ser exatamente o problema que resolvemos para identi…car os níveis de produção e…cientes. x) e cB x (f. Ou seja. que é exatamente a condição que nós encontramos quando caracterizamos os níveis de produção e…cientes. Bens públicos são bens que satisfazem duas propriedades que serão de…nidas abaixo. é natural que as empresas percebam isto e coordenem suas ações. bens públicos são bens como o ar puro. a solução mais simples parece ser a sua fusão. isto pode ser um sinal de que a estrutura do mercado não está perfeita. x) = q: Juntando as condições de primeira ordem relativas a x nos problemas das duas …rmas nós obtemos cA cB x (s. se a existência de externalidades no processo produtivo das duas empresas está gerando ine…ciências. o próprio mercado já fornece um sinal para a internalização da externalidade. tendo eles pago por isto ou não. Um bem é dito não exclusivo se é impossível impedir que indivíduos especí…cos tenham acesso a ele. BENS PÚBLICOS 177 Observe que agora o nível de poluição x é uma variável de escolha para o problema da …rma B. Como a fusão de duas empresas. Um bem é dito não rival quando unidades adicionais do mesmo podem ser consumidas a um . por exemplo. Na situação acima. bens dos quais todos consomem a mesma quantidade e não se pode impedir que ninguém tenha acesso a eles. nós dizemos que bens públicos são não exclusivos. Portanto. x) . A segunda propriedade que caracteriza bens públicos é que estes são ditos não rivais. Na prática. Por exemplo. Como vimos acima. seria melhor para as duas empresas se estas se unissem. Em vista disto. Observe que no momento que isto ocorre. 14. Depois que o sistema de defesa está implementado. Isto ocorre porque B tem que escolher que quantidade de poluição ela quer vender à …rma A. neste caso. o preço de reserva do indivíduo 2 é de…nido por u2 (w2 . Sejam w1 e w2 a riqueza de cada um deles. 1) : O valor r1 acima é chamado de preço de reserva. 1) . Note que podemos tratar a tv como um bem público. G). 2.5 Quando Prover um Bem Público Suponha que dois colegas de quarto estejam pensando em comprar uma tv. podendo. em que G = 0 se a tv não for comprada e G = 1 se a tv for comprada. ui (wi gi .5. não comprar a tv não é uma melhora de Pareto em relação à alocação acima. Quanto o indivíduo 1 estaria disposto a pagar pela tv neste caso? É fácil ver que o máximo valor que o indivíduo 1 aceitaria pagar pela tv satisfaz u1 (w1 . Demonstração da Proposição. Nós podemos fazer algumas observações: Primeiramente. Tal alocação é e…ciente no sentido de Pareto. 1) ui (wi g1 . 1) = ui (wi . Observe que. Depois que a rede de tv já está transmitindo um determinado programa o custo para que mais um telespectador capte o sinal é nulo. Muitos bens não exclusivos são também não rivais. Os dois agentes têm funções de utilidades que são funções de quanto eles consomem e da existência ou não da tv. 2. a utilidade do indivíduo i é dada por ui (xi . Suponha que o indivíduo 2 não existisse. As utilidades dos agentes com a alocação acima são u1 (w1 e u2 (w2 g2 . Por exemplo. pra i = 1. Proposição 14. 0) = u1 (w1 r1 . Formalmente. Mas em qualquer alocação em que a tv esteja sendo comprada um dos consumidores estará pagando mais pela tv do que na alocação acima. Chamemos de g1 e g2 quanto cada um deles se diz disposto a contribuir pela tv. A restrição orçamentária dos agentes é dada por xi + gi = wi . Chamemos de x1 e x2 os gastos dos indivíduos com outros bens de consumo. Em geral as duas propriedades acima são bastante relacionadas. 1). 1) ri . respectivamente. em que c é o preço da tv. 0) = u2 (w2 r2 . EXTERNALIDADES E BENS PÚBLICOS custo social marginal igual a zero. O preço de reserva r1 é o valor que faz o indivíduo 1 indiferente entre gastar toda a sua renda em consumo e gastar r1 para ter a tv. 14.178 CAPÍTULO 14. Similarmente. o sinal de tv aberta é claramente um bem não rival. mas existem excessões. Tal consumidor logicamente estará numa . g1 + g2 = c e gi Nós podemos demonstrar a seguinte proposição: ri . i = 1. i = 1. 0) : Portanto. suponha que a tv esteja sendo comprada.1. 14. 2: A tv só será comprada quando g1 + g2 c. consumir apenas w1 r1 .1 E…ciência Suponha que r1 + r2 > c. Neste caso. 0) : Portanto o indivíduo 2 não estará pior neste caso. 0) : Portanto. Ou seja. Quando a televisão não é comprada a utilidade dos consumidores é u1 (w1 . 0) é um equilíbrio de Nash do jogo. g1 de Nash do jogo. como r2 < c. Qualquer per…l (g1 .5. O per…l (g1 . Nós podemos demonstrar a seguinte proposição: Proposição 14. a melhor resposta para o indivíduo 2 é jogar g2 < c. g2 ) em que g1 + g2 = c. r1 e g2 r2 é equilíbrio Demonstração da Observação. Demonstração da Proposição. A alocação em que a tv não é comprada não é e…ciente no sentido de Pareto. é óbvio que comprar a tv pagando apenas g2 é melhor do que comprá-la pagando um preço maior do que g2 . Nós concluímos que (g1 . 1) = u2 (w2 . o indivíduo 1 estará melhor neste caso do que quando a tv não é comprada. k Observação 14. Além disto: u2 (w2 g2 . Demonstração da Observação. O mesmo raciocínio mostra que g1 é uma melhor resposta contra g2 . nós podemos fazer duas observações: Observação 14. g2 = 0 é uma melhor resposta para o indivíduo 2 contra g1 = 0. (g1 . 1) = u2 (w2 r2 .5. Considere quaisquer g1 e g2 tais que g1 + g2 = c e g2 = r2 . k . k Considere agora a alocação em que a tv não é comprada. u1 (w1 g1 . O mesmo raciocínio mostra que g1 = 0 é uma melhor resposta para o indivíduo 1 quando o indivíduo 2 joga g2 = 0.2. Mas os dois jogadores realmente tomarão a decisão de comprar a tv? Tal situação pode ser descrita como um jogo em que os jogadores escolhem a sua contribuição gi . Por construção. Além disto. mas r1 < c e r2 < c. Isto mostra que é impossível melhorar a situação de um dos consumidores sem piorar a do outro e. 1) = u1 (w1 .14. Concluímos que não comprar a tv não é e…ciente no sentido de Pareto. Como g1 + g2 = c.2 O que acontecerá na prática? Acima nós vimos que quando r1 + r2 > c é e…ciente comprar a tv. Tentemos encontrar os equilíbrios de Nash de tal jogo. Portanto. g2 ) = (0. 1) > u1 (w1 r1 . quando o indivíduo 1 joga g1 comprar a tv pagando g2 é uma melhor resposta para o indivíduo 2 do que não comprá-la. Quando o indivíduo 1 joga g1 = 0. QUANDO PROVER UM BEM PÚBLICO 179 situação pior. 0).2. g2 ) = (0. portanto. 0) é um equilíbrio de Nash do jogo. Suponha primeiro que r1 + r2 > c. g2 ) é equilíbrio de Nash do jogo.1. k 14. 0) e u2 (w2 . a alocação acima é e…ciente no sentido de Pareto. 6 Subprovisão de Bens Públicos Suponha que dois agentes tenham que decidir quanto gastar em um determinado bem público. o indivíduo 2 aproveita-se disto para não contribuir com nada. G) = xi + v (G) . 14. k No equilíbrio de Nash acima acontece o que chamamos em economia de situação de carona.x2 .1 E…ciência Sejam w1 e w2 as rendas dos dois indivíduos. note que o equilíbrio acima é apenas um dos possíveis equilíbrios. a tv só será comprada se o indivíduo 1 jogar um valor g1 c. O jogo possui equilíbrios em que o indivíduo 2 também contribui para a compra da tv. Demonstração da Observação. 0) é equilíbrio de Nash do jogo. g2 ) = (c. Como os agentes têm preferências quasi-lineares.3 Problema do carona Suponha agora que r1 > c e r2 < c. é claro que a melhor resposta para o indivíduo 2 é jogar g2 = 0. quanto situações em que a tv é comprada são compatíveis com o nosso conceito de equilíbrio para a modelagem acima. Apenas para que a análise aqui …que completa. 14. O per…l(g1 . Nós concluímos que (g1 .6. em que xi é quanto o agente gasta em bens privados e G := g1 +g2 é quanto os agentes gastam no bem público.180 CAPÍTULO 14. a tv vai ser comprada independentemente da contribuição do indivíduo 2. Porém. As funções de utilidades dos dois agentes são dadas por U (xi . Como g1 = c. Como o indivíduo 1 tem uma propensão grande a comprar a tv. Se g2 = 0. sob o ponto de vista do indivíduo 1. Neste caso. Em problemas envolvendo bens públicos é comum aparecerem situações de carona. tais modelos estão fora do escopo do presente curso. Como g1 = c é su…ciente para que a tv seja comprada. o mais apropriado para estudar a situação acima seria incluí-la em um modelo de barganha.3. é claro que a única melhor resposta do indivíduo 1 é jogar g1 = c. Nós podemos mostrar que a seguinte observação é verdade: Observação 14. 14.g2 . Nós trabalharemos com as hipóteses de que v é estritamente crescente e estritamente côncava. as alocações e…cientes resolvem o seguinte problema: max x1 + v (g1 + g2 ) + x2 + v (g1 + g2 ) x1 .g1 . 0) é equilíbrio de Nash do jogo. g2 ) = (c. então.5. Na verdade. EXTERNALIDADES E BENS PÚBLICOS As duas observações acima mostram que tanto uma situação em que a tv não é comprada. g1 . Nós chamaremos Ge de nível de provisão e…ciente do bem público. qualquer alocação em que g1 + g2 = Ge . um indivíduo tenta pegar carona na contribuição do outro e isto acaba fazendo com que o nível de contribuição que os dois dão seja pequeno. Como estamos trabalhando com um bem público.6. Suponha que o indivíduo 2 esteja contribuindo com um nível genérico g2 do bem público. isto é.g2 g1 + v (g1 + g2 ) + w2 g2 + v (g1 + g2 ) As condições de primeira ordem para o problema acima são: 1 2 1 : v 0 (g1 + g2 ) = 2 g1 : v 0 (g1 + g2 ) = g2 Seja Ge tal que v 0 (Ge ) = 21 . Neste caso. . Nós chamamos G de nível de provisão de equilíbrio do bem público. dada uma estratégia genérica. g2 ) x1 . g2 ) A condição de primeira ordem do problema acima é v 0 (g1 + g2 ) = 1: Nós podemos repetir a mesma análise para o indivíduo 2 para concluir que. A análise acima mostra que qualquer per…l (g1 . em equilíbrio. Seja G tal que v 0 (G ) = 1.14. A intuição para isto vem novamente do problema do carona. A melhor resposta de 1 neste caso resolve o problema: max x1 + v (g1 .g1 sujeito a x1 = w1 g1 Usando a restrição nós podemos simpli…car o problema acima para: max w1 g1 g1 + v (g1 . v 0 é uma função estritamente decrescente. a melhor resposta do indivíduo 2 satisfaz v 0 (g1 + g2 ) = 1. Ou seja. 14. ambos os indivíduos contribuem com uma quantidade pequena do bem para tentar fazer com que o outro indivíduo contribua com um pouco mais. O que as condições acima nos dizem é que qualquer alocação em que a contribuição agregada para o bem público seja Ge .6. nós podemos escrever o problema de forma simpli…cada como: max w1 g1 . para o indivíduo 1. o conceito de solução apropriado é o de equilíbrio de Nash. Isto implica que Ge > G . é e…ciente.2 Nível do bem público em equilíbrio Suponha agora que os dois indivíduos estejam agindo de forma não coordenada. g2 ) em que g1 +g2 = G é equilíbrio de Nash do jogo. Em outras palavras. a quantidade provida do bem público é menor do que o nível e…ciente. SUBPROVISÃO DE BENS PÚBLICOS 181 sujeito a x1 = w1 g1 x2 = w2 g2 : e Utilizando as duas restrições. Como v é estritamente côncava. h) < 0. h) = dc (x. x2 ) (u (xi ) ci ) + (1 = u (xi ) p (x1 . em que w (a) Como a função de utilidade do consumidor é linear em relação a sua renda. h) >0 dx e dc (x. x2 )) u (xi ) (a) Encontre as condições que caracterizam as velocidades que maximizam a soma das utilidades dos dois agentes (velocidades e…cientes).182 14. .1. x2 ) ci : p (x1 . ch (x. h) = (h). (b) A situação acima está no formato de um jogo em que as estratégias dos jogadores é escolher xi . Neste caso. Suponha que dois agentes estão decidindo o quão rápido dirigir. EXTERNALIDADES E BENS PÚBLICOS Exercícios Exercício 14. Encontre as condições que caracterizam um equilíbrio de Nash para tal jogo e mostre que os jogadores dirigirão mais rápido do que as velocidades e…cientes. quanto mais rápido os agentes dirigirem. suponha que em caso de acidente o agente i tenha um prejuízo ci > 0. h).2. Para completar a descrição das utilidades dos agentes. que nós consideraremos aqui como …xa. (c) Suponha agora que em caso de acidente o agente i receba uma multa ti : De quanto deve ser a multa cobrada de cada agente para que eles escolham os níveis de velocidade e…cientes? Exercício 14. x2 ) = x1 + x2 .7 CAPÍTULO 14. Escreva tal problema de maximização e determine as condições de primeira ordem que caracterizam sua solução. Por hipótese. Finalmente. O agente i escolhe a velocidade xi e recebe utilidade u (xi ) por isto. Isto é. u0 (xi ) > 0 e u00 (xi ) < 0. a utilidade do agente i é dada por U i (x1 . Suponha que os agentes podem escolher apenas velocidades entre 0 e 1/2. em que cx (x. o conceito apropriado para determinar os níveis socialmente ótimos de produção neste caso é maximizar a soma da utilidade do consumidor mais o lucro da …rma. a nossa hipótese é que os agentes maximizam a sua utilidade esperada e que as suas funções de utilidade (Bernoulli) são quasi-lineares em relação ao dinheiro. x2 ) = p (x1 . Contudo. a probabilidade de um acidente será dada por p (x1 . Suponha que uma …rma produza um determinado produto x que é vendido por um preço p. dh A externalidade afeta um único consumidor cuja utilidade é dada por w é a riqueza do consumidor. maior é a probabilidade de eles terem um acidente. (b) Escreva o problema da …rma quando ela tem como objetivo maximizar o seu lucro e encontre as condições de primeira ordem que caracterizam a solução de tal problema. Ao produzir x a …rma gera uma externalidade negativa h. O custo de produção da …rma é representado por uma função c (x. para algum > 0. este paga um custo igual a x2 . Mostre que com tal tipo de imposto não é possível fazer com que a …rma produza as quantidades e…cientes de x e h. Além disto. ou ele pode permitir que ambos cooperem e atendam a todas as mesas.3 (competição x cooperação). e diga que esquema de incentivos é melhor (do ponto de vista do dono do restaurante) em cada caso (Dica: A situação agora é estratégica e vocês já sabem que tipo de ferramenta tem que ser usada para modelar situações estratégicas). EXERCÍCIOS 183 (c) Suponha agora que o governo queira colocar um imposto sobre o nível de produção do bem x. Mostre que com um imposto diretamente sobre a produção de h isto é possível. ambos os garçons recebem e o segundo recebe uma grati…cação igual a 10 uma grati…cação igual a 10% do que eles venderam. A utilidade de cada garçon é dada pela diferença entre o que ele recebe de grati…cação e o custo que ele paga pelo esforço. Um dono de restaurante pode escolher entre dois esquemas de incentivos para gerenciar os seus dois garçons. quando o primeiro garçom coloca um esforço x e o segundo um esforço y. 2 (a) Suponha que o dono do restaurante implemente o primeiro esquema de incentivos. (a) Calcule a quantidade e…ciente de investimento agregado no bem público. o primeiro garçom recebe uma grati…cação igual a 10 1 10y = y. Finalmente. (d) Mostre. a grati…cação de xy 1 (10x + 10y + 10xy) = x+y+ . 1 e 2. Ou seja. em que xi é o quanto o país i gasta em consumo privado e G := g1 +g2 é a soma das contribuições dos dois países para o bem público. As funções de utilidade dos p países são dadas por U (xi . quando os garçons cooperam. Ou seja. para i = 1. h (x) = x.14. Ele pode dividir as mesas entre os garçons de modo que cada um deles atenda somente às mesas que lhe são designadas. Quanto cada garçom se esforçará agora? Calcule o lucro do restaurante para = 0. Isto é. Exercício 14. quando o segundo garçon faz um esforço y este paga um custo igual a y 2 . Suponha que dois países vizinhos estejam decidindo o quanto investir em um determinado bem público G. 2. Exercício 14. mas a soma g1 + g2 é a mesma em todas elas. isto é. Ou seja. no entanto. Atenção! Existem várias combinações de g1 e g2 que estão relacionadas a alocações e…cientes.4 (Provimento de bem público). cada garçom é dada por 20 2 quando o primeiro garçon faz um esforço x. em ambos os casos. G) := xi + 2 G. o lucro do estabelecimento é 1 10x = x igual a 10x+10y. que se h for sempre produzido como uma proporção …xa de x. Quanto cada garçom se esforçará e qual será o lucro do restaurante neste caso? (b) Suponha agora que o dono do restaurante implemente o segundo esquema de incentivos. Neste caso. No segundo caso. no primeiro caso a utilidade do primeiro garçom é x x2 e no segundo é x+y+ xy x2 . Similarmente. a quantidade que maximiza a soma das utilidades dos dois países. No primeiro caso. Suponha que o país 1 tenha uma renda igual a w1 e o país 2 tenha uma renda igual a w2 . cada garçom recebe uma grati…cação igual a 5% do lucro do estabelecimento. existe uma externalidade positiva entre eles e o lucro do estabelecimento acaba sendo igual a 10x + 10y + 10xy. . então um imposto sobre a produção de x pode restituir a e…ciência. Nós temos que ter wi = xi + gi . em que é um parâmetro.7. A utilidade do segundo garçom tem um formato análogo. Quanto será produzido do bem público? Agora. . mas em todos esses equilíbrios a soma g1 + g2 é a mesma. várias combinações de g1 e g2 serão equilíbrios de Nash do jogo. EXTERNALIDADES E BENS PÚBLICOS (b) Suponha agora que os dois países estejam agindo de forma não coordenada.184 CAPÍTULO 14. Além disto. a associação não conta com recursos externos. Como os moradores se comportariam diante de tal mecanismo? (c) Finalmente. Embora a associação de moradores não tenha como descobrirPos vi ’s dos diversos moradores. nós de…nimos o benefício líquido anunciado pelo jogador i como s~i = si Nc . construir a ponte se N i=1 vi portanto. Cada jogador anuncia um valor si . P c (a) Considere o seguinte mecanismo. Discuta por que tal mecanismo não é muito bom. i=1 si Discuta por que tal mecanismo não é muito bom.Capítulo 15 Implementação de Projeto Público 15. Considere o seguinte problema. os recursos têm que vir dos próprios moradores.1. considere o mecanismo de Clarke. Dado um anúncio si do jogador i. os i=1 si indivíduos pivotais pagam uma multa caso a ponte seja construída ou não. Isto motiva a seguinte de…nição: i=1 si i=1 s P P P De…nição 15.1. O problema da associação é desenvolver um mecanismo que a permita descobrir PN se i=1 vi c e além disto pague os custos da ponte caso a opção seja por construí-la. Caso PN c a ponte é construída e cada indivíduo i contribui com exatamente Nc . Intuitivamente. 185 . Cada jogador anuncia um valor si . Como os moradores se comportariam diante de tal mecanismo? (b) Considere um outro mecanismo. Cada um dos N moradores associa à ponte um valor vi > 0.1 Exercício Resolvido Exercício 15. Cada jogador anuncia um valor si . Caso N i=1 si a ponte é construída e cada indivíduo i contribui com exatamente si . O custo de construção da ponte é c > 0. Caso PN c a ponte é construída e cada indivíduo i contribui com Nc . Observe que dizer que PN P c é o mesmo que dizer que N ~i 0. O indivíduo i é dito pivotal se j6=i s~j 0 e N ~j < 0 ou j6=i s~j < j=1 s P 0e N ~j 0. i é pivotal se o seu anúncio muda a opinião social a j=1 s respeito da ponte. De…namos primeiro o que é um indivíduo pivotal. Além disto. Uma associação de moradores está estudando se constrói ou não uma ponte. então. caso a opção seja por construir a ponte. ela sabe que só é socialmente desejável c. Solução. e é maior ou igual a zero. dado j6=i s~j . (e) Argumente que a alocação …nal obtida por tal mecanismo não é e…ciente no sentido de Pareto. Para este indivíduo a construção da ponte é um mal negócio.186 CAPÍTULO 15.1 Note que ti = P ~j j6=i s . levarão a ine…ciências.15. portanto. Por causa disto. agora o problema é exatamente o contrário do que ocorria na situação anterior. É o velho problema do carona. independentemente do anúncio dos outros indivíduos. Ou seja. mas a medida que o número de indivíduos aumenta este problema torna-se menor. Tudo isto fará com que em certas situações em que é socialmente vantajoso construir a ponte esta não seja construída. que em qualquer situação o anúncio si do indivíduo i não afeta diretamente o valor do seu pagamento. ele vai fazer tudo ao seu alcance para que esta seja construída. Note que agora o anúncio de cada morador só afeta a probabilidade da ponte ser construída ou não. no caso em que a ponte não é construída. Por outro lado. dependendo do caso. ele anunciará o menor si possível. Isto é. No caso. Digamos si = 0. Observe que mesmo j6=i s quando a ponte não é construída um indivíduo pivotal tem que pagar multa. Considere um indivíduo i tal que vi < Nc . Isto é. só existem dois possíveis 15. Os moradores tentam pegar carona na contribuição dos outros. Note que as duas desigualdades anteriores podem ser estritas. considere um indivíduo j tal que vj > Nc . (a) O problema com tal mecanismo é que o quanto o morador i paga pela construção da ponte é uma função direta do seu anúncio. Não é difícil imaginar que tais considerações. Mais precisamente. em muitos casos. Como a única coisa que ele pode fazer é anunciar si . Ou a ponte será construída quando não é socialmente ótimo fazê-lo ou a ponte não será construída quando na verdade seria melhor socialmente construí-la. o valor si não entra no cálculo de ti : . Mostre que ao se deparar com tal mecanismo. ele paga uma multa ti = ~j . primeiramente. é de se esperar que os moradores anunciem valores menores do que o valor que eles realmente atribuem à ponte. anunciar um valor si = vi é uma estratégia fracamente dominante para o jogador i. mas não muda o quanto este teria que pagar no caso da construção da ponte. no caso em que a ponte é construída. (b) Na verdade. Para este indivíduo a construção da ponte é um bom negócio. IMPLEMENTAÇÃO DE PROJETO PÚBLICO P Caso o indivíduo i seja pivotal. podendo até mesmo desaparecer. se i anunciar si = vi o seu ganho é garantidamente maior ou igual ao ganho que ele teria se anunciasse qualquer outro valor si : (d) Mostre que o mecanismo é superavitário.1 O único Pefeito do anúncio si é fazer o indivíduo i pivotal ou não. mostre que a soma do valor dos pagamentos de todos os agentes é maior ou igual a c. (c) Observe. ele anunciará o maior valor sj possível. Eles fazem isto na esperança de que as constribuições dos outros moradores já sejam su…cientes para a construção da ponte. portanto. ele vai fazer tudo ao seu alcance para impedir a construção da mesma. anúncios. Comecemos com o caso j6=i s~j 0 e j6=i s~j + vi Nc < 0. a ponte não é construída e seu ganho é dado por X ti = s~j : j6=i Pela discussão anterior. Neste caso. nós sabemos que só precisamos comparar o ganho acima com o ganho que i obtém quando este não é pivotal. quando i anuncia si = vi .1. X s~j + vi vi c N j6=i () c N X 0 s~j : j6=i Portanto. i é não é pivotal. X c <0 N s~j + vi j6=i X () c : N s~j > vi j6=i Portanto. EXERCÍCIO RESOLVIDO 187 ganhos para o jogador i. escolher si = vi é realmente uma melhor escolha para i neste caso. Neste caso a ponte é construída e o ganho de i é c . já que só precisamos olhar para uma comparação. um ganho no caso de ele ser pivotal e outro no caso de ele não ser pivotal. . P P Precisamos analisar 4 casos. i é pivotal.15. quando i anuncia si = vi . vi N Mas por hipótese. escolher si = vi é realmente uma melhor escolha para i neste caso. se i anunciasse um valor que o …zesse ser pivotal a ponte não seria construída e o seu ganho seria X ti = s~j : j6=i Mas por hipótese. Estas observações facilitam a nossa comparação do ganho que i obteria anunciando si = vi com os outros possíveis. Neste caso. P P Suponha agora que j6=i s~j 0 e j6=i s~j + vi Nc 0. a ponte é construída e seu ganho é dado por c : N vi Por outro lado. Com um número grande de indivíduos a probabilidade de que alguém seja pivotal diminui bastante. por hipótese. o incentivo para as pessoas anunciarem o seu verdadeiro valor vem das multas que estas têm que pagar caso sejam pivotais. Na verdade. No nosso exemplo nós estamos assumindo que todas as pessoas são obrigadas a participar do mecanismo. Como a soma das parcelas Nc já cobre o custo da ponte. Por outro lado. P P 0. (e) No mecanismo. este ganho é menor do que 0. a alocação …nal não é necessariamente e…ciente. Nem todos os moradores precisam ser membros da associação e. já que um pouco de dinheiro pode estar sendo descartado. Vocês estudarão tais considerações mais a fundo se algum dia …zerem um curso de desenho de mecanismos. Como este era o último caso que faltava ser testado. com um número grande de indivíduos é provável que o mecanismo gere uma alocação e…ciente. o que novamente torna a arrecadação com o mecanismo potencialmente superior aos custos. além disto. com um número grande de indivíduos é provável que ninguém seja pivotal. na maioria das vezes. isto faz com que potencialmente o valor dos pagamentos supere o custo total da ponte. a análise feita aqui ignora um problema grave com relação à implementação de mecanismos na prática. considere o caso em que j6=i s~j < 0 e j6=i s~j + vi Nc anunciar si = vi faz i pivotal e implica na construção da ponte. quando i anuncia si = vi . embora o mecanismo gere a escolha socialmente e…ciente relativamente a construir ou não a ponte. Neste caso. Como vimos acima. nós concluímos que anunciar si = vi é de fato fracamente dominante para i. se i anunciar um valor que o faça pivotal o seu ganho é X c .188 CAPÍTULO 15. a ponte não é construída e o seu ganho é igual a 0. IMPLEMENTAÇÃO DE PROJETO PÚBLICO P P Agora consire o caso em que j6=i s~j < 0 e j6=i s~j + vi Nc < 0. Na verdade. pode ser difícil forçar uma pessoa que não tem interesse na construção da ponte a participar do mecanismo. Mas mesmo neste caso os possíveis indivíduos pivotais ainda têm que pagar multa. Por esta razão. mas agora nós já estamos nos distanciando muito dos nossos modestos objetivos aqui. .15.2 Isto não signi…ca que o mecanismo é perfeito. Finalmente. Como somente indivíduos pivotais pagam multa. s~j + vi N j6=i Como. este ganho é maior ou igual a 0 que seria o ganho de i caso este …zesse um anúncio que não o tornasse pivotal. Se a ponte não for construída não existe custo algum e os moradores não têm que pagar as parcelas Nc . i não é pivotal. o pagamento adicional feito pelos possíveis indivíduos pivotais torna a arrecadação com o mecanismo potencialmente superior aos custos. Neste caso. nós concluímos que anunciar si = vi é realmente uma melhor escolha para i neste caso. os agentes pivotais pagam mais a multa ti . O seu ganho é dado por X c : s~j + vi N j6=i Por hipótese. mas na vida real garantir isto pode ser complicado. Nós novamente concluímos que anunciar si = vi é uma melhor escolha para i neste caso. Para levar em conta tal complicação prática nós precisaríamos incorporar uma restrição de participação ao nosso mecanismo. (d) Se a ponte é construída todos os agentes pagam Nc e.2 k 15. mesmo se todos forem. que neste caso são iguais a zero. 3 Otimização. 31. 5 consumidor Cobb-Douglas. 36 Alocações e…cientes. 23. 39 Multiplicador de Lagrange. 8. 11. 38 Ponto Crítico. 2 Plano de produção. 26 Equilíbrio competitivo. 21 demonstração. 19 Primeiro Teorema do Bem-estar. 8 Segundo Teorema do Bem-estar. 12 Economia de trocas. 39 Preços relativos. 19. 35 Restrição orçamentária. 35 factível. 34. 35 Retornor crescentes de escala. 1 com restrição em formato de igualdade. 39 189 . 17. 4 Lei de Walras. 35. 3 Preços relativos. 7. 2. 3. 37 Produtividade marginal. 11–13 Problema do Consumidor. 33 Reta orçamentária. 36 Taxa marginal de substituição. 35 Caixa de Edgeworth. 31 Tecnologia de produção. 3 sem restrição. 2. 8 Condições de primeira ordem. 8. 36 Equilíbrio competitivo. 16 Excesso de oferta. 31 Economias com Produção. 1 Dotação inicial. 39 Economia com …rmas privadas. 22.Índice Remissivo Alocação. 35 Retornos decrescentes de escala. 4 Derivadas Parciais. 34. 34 Função excesso de demanda. 28 Lagrangeano. 4 Produção e…ciente. 36 e…ciente. 32. 15. 31. 8 Tecnologia de Produção. 18. 16 Função de produção. 32 E…ciência no sentido de Pareto. 38 existência do equilíbrio. 35 Excesso de demanda. 190 ÍNDICE REMISSIVO . Referências Bibliográ…cas Varian. Microeconomia . tradução da sétima edição inglesa.Princípios Básicos: Uma Abordagem Moderna. (2006). H. 191 .