Matemáticas FinancierasNotas de Clase -2010 Carlos Mario Morales C Matemáticas Financieras 2010 Introducción La Matemática Financiera es una derivación de las matemáticas aplicadas que estudia el valor del dinero en el tiempo. La disciplina a través de una serie de modelos matemáticos sirve de apoyo a las personas, administradores y comerciantes en la toma racional de decisiones al momento de escoger la mejor alternativa de inversión. De esta forma, la matemática financiera es una herramienta básica para la Gestión y Administración Financiera; actividad está en la cual directa o indirectamente está involucrado todo el staff administrativo de la empresa que tiene a su cargo asegurar los resultados; es decir la generación de valor del negocio. Así, el texto ofrece a los estudiantes y profesionales con orientación a los negocios los fundamentos básicos para el ejercicio de la administración financiera. En la primera parte se estudia el tema de las matemáticas financieras; la segunda analiza la evaluación financiera de proyectos y finalmente en la tercera, se hace una introducción a los indicadores financieros. El texto propone el estudio de las matemáticas financieras desde la dimensión práctica, sin dejar de realizar las conceptualizaciones necesarias; es decir, a partir de los elementos teóricos se realizan aplicaciones orientadas a situaciones empresariales, permitiendo a los estudiantes, de esta forma, desarrollar las habilidades requeridas para una práctica profesional financiera. Para procurar lo anterior, la exposición de cada tema se inicia con los elementos teóricos ilustrando su aplicación con ejemplos o situaciones de la práctica empresarial; en cada unidad de aprendizaje se presentan ejercicios resueltos y se proponen casos para su solución. Para la solución de los ejemplos, casos y ejercicios aplicamos en forma combinada las fórmulas y las funciones financieras de Excel o simplemente la función, utilizando el siguiendo procedimiento1 básico: 1. Identificación del problema y ordenamiento de los datos, 2. Aplicación del modelo apropiado para el caso identificado (fórmula o fórmulas) y, 3. Empleo de las funciones financieras de Excel. 1 ACHING GUZMAN, Cesar. Aplicación Financieras de Excel. Editorial: Prociencia y Cultura S.A. Bogotá: 2006 2 | Carlos Mario Morales C Matemáticas Financieras 2010 Conceptos Generales Algunas definiciones Matemáticas financieras Conjunto de herramientas matemáticas, que permiten analizar cuantitativamente la viabilidad o factibilidad económica y financiera de los proyectos de inversión. Analiza el valor del dinero en el tiempo Interés El interés es la cantidad que se paga o se cobra por el uso del dinero. Cuando alguien toma prestado dinero, este debe pagar por su uso; en dicho pago debe estar incluido tanto la pérdida del valor del dinero; como también la renta por el uso del dinero. De igual manera, si en vez de un crédito lo que se hace es prestar dinero (invertir), entonces se querrá recibir, aparte de lo invertido, un monto a través del cual se recupere el valor que ha perdido el dinero en el tiempo y una renta por el préstamo del dinero. Tasa de interés Es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo, determinando lo que se refiere como "el precio del dinero en el mercado financiero". La tasa de interés (expresada en porcentajes) representa un balance entre el riesgo y la posible ganancia (oportunidad) de la utilización de una suma de dinero en una situación y tiempo determinado. En este sentido, la tasa de interés es el precio del dinero, el cual se debe pagar/cobrar por tomarlo prestado/cederlo en préstamo en una situación determinada. Porcentajes Cuando se opera con porcentajes en este texto, se hace con la expresión decimal (0.20), por ejemplo 20% = 0.20 = (20/100), que es la forma correcta de trabajar con las fórmulas. Los resultados de las operaciones lo expresamos generalmente con cuatro decimales, en el caso de los factores o índices. Las respuestas finales de los ejercicios se expresan en con dos decimales. En ambos casos los resultados son redondeados por exceso o por defecto Interés Simple Si una operación es a interés simple, entonces el interés es calculado sobre el capital original para el periodo completo de la transacción y los interés son pagados al prestamista, sin que estos se reinviertan. Es decir, al cabo del periodo se reconoce al prestamista los intereses; iniciándose a partir de allí una nueva liquidación solo sobre el monto original; sin que los intereses se capitalicen para generar nuevos sobre ellos nuevos intereses. Capitalización de intereses 3 | Carlos Mario Morales C cubrir los gastos operacionales y además obtener una rentabilidad de acuerdo al nivel de riesgo. Factibilidad Financiera Tiene que ver con determinar si el retorno es atractivo o no para los dueños del dinero. como ya se menciono. La decisión de financiación. La decisión de inversión. Interés Compuesto Si una operación es a interés compuesto. al cabo del periodo los intereses se capitalicen para calcular sobre dicho monto los nuevos intereses. Riesgo El riesgo se describe como la posibilidad de que un resultado esperado no se produzca. tienen que ver con la estructura financiera de la empresa o proyecto. Los rendimientos deben permitir recuperar las inversiones. Factibilidad económica versus factibilidad financiera En el ámbito de la evaluación de proyecto es de vital importancia comprender que a cada decisión de inversión. esta estructura se refiere a los dueños de los recursos (deuda o recursos propios). se dice que los intereses se capitalizan. Con la condición fundamental de que la rentabilidad de la inversión. obtiene la rentabilidad esperada por él. tanto mayor será la tasa de rendimiento y viceversa. entonces el interés es calculado sobre el capital para un periodo reinvirtiéndose los intereses. Al evaluar la estructura financiera del proyecto. otra de las decisiones fundamentales de la administración. Factibilidad Económica Tiene que ver con determinar la bondad de invertir o no los recursos económicos en una alternativa de inversión –proyecto-. interesa diseñar indicadores financieros que permitan identificar si los inversionistas o dueños de la empresa 4 | Carlos Mario Morales C . debe satisfacer la estructura financiera de la empresa. Para poder tomar la decisión de invertir hay necesidad de definir los indicadores de gestión financiera que permitan establecer si la empresa cumple con su objetivo financiero básico y si los proyectos de inversión que enfrenta cotidianamente la acercan a su meta. calcular un nuevo interés. sin importar el origen de dichos recursos. Cuanto más alto sea el nivel de riesgo. Es decir. tiene que ver con la estructura operativa de la empresa y con una de las funciones de la Administración financiera que es definir donde invertir. corresponde una decisión de financiación. Proyecto de Inversión Son oportunidades de desembolsos de dinero del cual se espera obtener rendimientos (flujos de efectivo o retornos) de acuerdo a unas condiciones particulares de riesgo. la cual tiene un costo que se denomina el costo de capital promedio ponderado. para a partir de ahí. estos se suman al capital original. es decir.Matemáticas Financieras 2010 Si al final del periodo de inversión en vez de devolver los intereses devengados al prestamista. lo que interesa es determinar si la inversión efectuada exclusivamente por el dueño. para el inversionista. expresado en valores monetarios Capital más interés. es decir es la valorización de una moneda. También se puede definir como la caída del poder adquisitivo de una moneda en una economía en particular. Esto significa que. Deflación Contrario a la inflación. en una economía con inflación. valor futuro expresado en valores monetarias Tasa nominal o la tasa de interés anual Número de años (tiempo) Número de capitalizaciones por año Número de períodos de composición Tasa de interés efectiva Tasa de interés efectiva anual Interés Valor Presente Neto Tasa Interna de Retorno 5 | Carlos Mario Morales C .Matemáticas Financieras 2010 están alcanzando la meta financiera. con respecto a otra. Nomenclatura básica VP: VF: j: t: m: n: i: iEA: I: VPN: TIR: Capital principal. por ejemplo el dólar. en una economía con deflación. Reevaluación Es lo contrario a la devaluación. la cantidad de productos que se pueden comprar con una cantidad determinada de dinero hoy es menor a la cantidad de productos que se podría comprar dentro de un tiempo. Esto significa que. es decir. Inflación Se define como inflación al aumento generalizado del nivel de precios de bienes y servicios en una economía. valor presente. la deflación es la disminución generalizada del nivel de los precios de los bienes y servicios en una economía. Devaluación No se puede confundir con la inflación. la cual en empresas que tengan ánimo de lucro. la cantidad de productos que se pueden comprar con una cantidad determinada de dinero hoy es mayor a cantidad de productos que se podría comprar dentro de un tiempo. Valor Económico Agregado Si la rentabilidad de una inversión supera el costo de capital promedio ponderado entonces se puede afirmar que se generara valor económico para los propietarios de la empresa. la devaluación es la pérdida del valor del dinero con respecto a otra moneda. La devaluación puede ser causada por muchos factores: la falta de demanda de la moneda o una mayor demanda de la moneda con la cual se le compara. es el aumento del poder adquisitivo de la moneda. Solamente en este caso se puede decir que los inversionistas están satisfaciendo sus expectativas y alcanzando sus objetivos financieros. es ganar más dinero ahora y en el futuro. 1=inicio del periodo) TASA 6 | Carlos Mario Morales C . e indica cuándo vencen los pagos (0=final del periodo. Sintaxis: NPER(tasa. Va: es el valor actual. Nper: es el número total de pagos del préstamo. Si el argumento vf se omite. Sintaxis: PAGO(tasa.Matemáticas Financieras 2010 A: VPA: VFA: ia: iv: Anualidad o cuota uniforme Valor presente de una anualidad Valor futuro de una anualidad Tasa de interés anticipada Tasa de interés vencida Funciones Financieras de Excel Las funciones financieras más utilizadas en el texto son: NPER Devuelve el número de períodos de una inversión basándose en los pagos periódicos constantes y en la tasa de interés constante.va. 1=inicio del periodo) PAGO Calcula el pago de un préstamo basándose en pagos constantes y en una tasa de interés constante. o la cantidad total de una serie de futuros pagos.nper. Vf: es el valor futuro o un saldo en efectivo que se desea lograr después de efectuar el último pago. También se conoce como valor bursátil. va. Pago: pago efectuado en cada período. vf. el valor futuro de un préstamo es 0).tipo) Tasa: es el tipo de interés del préstamo. Vf: es el valor futuro o un saldo en efectivo que se desea lograr después de efectuar el último pago. Va: Valor actual o la suma total de una serie de futuros pagos. pero no incluye ningún otro arancel o impuesto. pago incluye el capital y el interés. Tipo: es el número 0 ó 1 e indica cuándo vencen los pagos (0=final del periodo. pago.vf. Tipo: es el número 0 o 1. se supone que el valor es 0 (es decir. Por lo general. se supone que el valor es 0 (por ejemplo. debe permanecer constante durante la vida de la anualidad. Si el argumento vf se omite. tipo) Tasa: tasa de interés por período. el valor futuro de un préstamo es 0). 33 como argumento pago. Si se omite el argumento pago. Por ejemplo. En la fórmula escribiría 10%/12.000 $ para pagar un proyecto especial en 18 años. es decir. Va: es el valor actual.0000001 después de 20 iteraciones. Pago: es el pago efectuado en cada período.tipo) Tasa: es la tasa de interés por período. deberá incluirse el argumento vf. si obtiene un préstamo para un automóvil con una tasa de interés anual del 10 por ciento y efectúa pagos mensuales.Matemáticas Financieras 2010 Devuelve la tasa de interés por período de una anualidad. es posible hacer una estimación 7 | Carlos Mario Morales C . que no puede variar durante la anualidad. Por ejemplo. Si el argumento vf se omite.estimar) Nper: es el número total de períodos de pago en una anualidad. los pagos mensuales sobre un préstamo de 10.83% ó 0.000 $ sería el valor futuro. TASA se calcula por iteración y puede tener cero o más soluciones. En la fórmula escribiría -263. Si desea ahorrar 50. si obtiene un préstamo a cuatro años para comprar un automóvil y efectúa pagos mensuales.vf. Si el argumento vf se omite. pero no incluye ningún otro arancel o impuesto.000 $ a cuatro años con una tasa de interés del 12 por ciento para la compra de un automóvil.83%. Por ejemplo. cuando pide dinero prestado. La fórmula tendrá 48 como argumento nper. 0. el valor futuro de un préstamo es 0). 1=inicio del periodo) VA Devuelve el valor actual de una inversión.vf. Vf: es el valor futuro o un saldo en efectivo que se desea lograr después de efectuar el último pago.pago. el valor total que tiene actualmente una serie de pagos futuros. pero no incluye ningún otro arancel o impuesto. Vf: es el valor futuro o un saldo en efectivo que se desea lograr después de efectuar el último pago.0083 como tasa. Tipo: es el número 0 ó 1 e indica cuándo vencen los pagos. Generalmente el argumento pago incluye el capital y el interés.tipo. que no puede variar durante la vida de la anualidad. Si los resultados sucesivos de TASA no convergen dentro de 0. Si se omite el argumento pago. se supone que el valor es 0 (por ejemplo. Pago: es el pago efectuado en cada período. Generalmente el argumento pago incluye el capital y el interés. TASA devuelve el valor de error #¡NUM! Sintaxis: TASA(nper. la cantidad del préstamo es el valor actual para el prestamista. son de 263. 50. Por ejemplo.pago.nper.va.33 $. De esta forma. se supone que el valor es 0 (por ejemplo. Sintaxis: VA(tasa. el valor futuro de un préstamo es 0). la tasa de interés mensual será del 10%/12 o 0. El valor actual es el valor que tiene actualmente la suma de una serie de pagos que se efectuarán en el futuro. el préstamo tendrá 4*12 (ó 48) períodos. deberá incluirse el argumento vf. (0=final del periodo. Nper: es el número total de períodos de pago en una anualidad. va. Pago: es el pago que se efectúa cada período y que no puede cambiar durante la vigencia de la anualidad. 1=inicio del periodo) VF Devuelve el valor futuro de una inversión basándose en pagos periódicos constantes y en una tasa de interés constante. (0=final del periodo. Va: es el valor actual o el importe total de una serie de pagos futuros.tipo) Tasa: es la tasa de interés por período. Si se omite el argumento va. Si se omite el tipo.pago. Si se omite el argumento vf. Tipo: es el número 0 ó 1 e indica cuándo vencen los pagos. se considerará 0 (cero) y se deberá incluir el argumento pago.Matemáticas Financieras 2010 conservadora a cierta tasa de interés y determinar la cantidad que deberá ahorrar cada mes.nper. deberá incluirse el argumento pago. (0=final del periodo. se deberá incluir el argumento va. Tipo: es el número 0 ó 1 e indica cuándo vencen los pagos. se calculará como 0. Sintaxis: VF(tasa. Nper: es el número total de períodos de pago en una anualidad. Si se omite el argumento pago. Generalmente. el argumento pago incluye el capital y el interés pero ningún otro arancel o impuesto. 1=inicio del periodo) 8 | Carlos Mario Morales C . 8. Unidad de Aprendizaje Interés Simple Contenido Introducción Concepto del interés simple Formula de interés simple Clases de interés simple Capital Final – Valor futuro Capital inicial – Valor presente Representación gráfica –Flujo de CajaInterés Anticipado . 7. 9. 4.Matemáticas Financieras 2010 1 1. 5. Ejercicios propuestos 9 | Carlos Mario Morales C . 6. Ejercicios resueltos 11. 3.Descuento simple. Tasa realmente cobrada en una operación de descuento Descuentos en cadena 10. 2. es decir. como cualquier mercancía. se utiliza para significar que el poseedor del dinero espera que se le recompense por no utilizar el dinero y ponerlo a disposición de otro. esto ha conducido a que tenga múltiples acepciones. es decir. Se dice que el interés es Simple cuando se paga dicho canon de arrendamiento al momento de liquidarse. es decir al final del periodo. De esta forma. que un millón de pesos dentro de un año”. Concepto de Interés Simple Es el canon de arrendamiento que se paga por hacer uso de un monto de dinero llamado principal o capital. durante un periodo de tiempo determinado. por un tiempo. El Interés es el monto de dinero que permite hacer equivalente una cifra pasada. es decir: I = VP * i * n (1) VP: Capital o monto principal 10 | Carlos Mario Morales C . Dos cifras de dinero son equivalentes cuando a una persona le es indiferente recibir una suma de dinero hoy (VP) y recibir otra suma diferente (VF) al cabo de un periodo.Matemáticas Financieras 2010 Introducción Si se considera el dinero como un bien es de esperarse en una economía de mercado. que el costo que se paga por su uso sufra altas y bajas. 2. con una cifra futura. entre otras: El valor del dinero en el tiempo Valor recibido o entregado por el uso del dinero Utilidad o ganancia que genera un capital Precio que se paga por el uso del dinero Rendimiento de una inversión Entre otros. Formula de interés simple El interés simple es el resultado de calcular el capital por la tasa periódica de interés por el número de periodos. Por eso la expresión: “No es lo mismo un millón de pesos de hoy. para las personas no es igual recibir una misma cifra de dinero hoy que un tiempo después. no se puede decir que dichos valores sean equivalentes. 1. el interés permite hacer equivalente cifras de dinero en el tiempo. El concepto de interés es de uso amplio en la vida comercial y financiera. De esta forma el costo del dinero dependerá de las condiciones de oferta y demanda del mercado y otras variables como la inflación. devaluación y revaluación. Matemáticas Financieras 2010 i: Tasa de interés periódica n: Número de periodos. un año de 360 días e Interés Exacto.Ejemplos Ejemplo 1 Sandra quiere conocer cuál es el interés que debe cancelar por el mes de febrero del año 2004 (bisiesto) sobre un préstamo de $1´000. Clases de interés simple No existe un criterio único para aplicar el interés simple. dependiendo de la base en días para el cálculo. 3. años de 365 días. que es aquel donde se toma como base para el cálculo. los cuales a su vez pueden llegar a tomar algunas de las variantes que se muestran en la siguiente tabla: Interés Ordinario (Base de Cálculo 360) Con tiempo exacto (Interés Bancario) (Considera los días exactos en los cuales se ha utilizado el préstamo y una base de 360 días al año) Tiempo exacto Con tiempo aproximado (Interés Comercial) (Considera indistintamente meses de 30 días y una base de 360 días al año) Meses de 30 días Interés Exacto (Base de Calculo 365) Exacto o Verdadero (Interés Racional) (Considera los días exactos en los cuales se ha utilizado el préstamo y la base son los días exactos del año) Tiempo exacto Exacto sin Bisiesto (Interés base 365 días) (Considera los días exactos en los cuales se ha utilizado el préstamo y una base de 365 días al año (No considera bisiestos)) Tiempo exacto sin bisiesto Con tiempo aproximado (Considera meses de 30 días y la base son los días exactos del año (No tiene utilidad práctica)) Meses de 30 días Clases de interés simple . se puede hacer distinción de dos clases de aplicaciones: Interés Ordinario.000. la aplicación depende de la operación comercial o financiera o incluso muchas veces del sector económico o las costumbres comerciales. cuando se toma como base para el cálculo. Por lo anterior. si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual. Solución 11 | Carlos Mario Morales C . 11 Ejemplo 2 Sandra quiere conocer cuál es el interés que debe cancelar por el mes de febrero del año 2004 (bisiesto) sobre un crédito comercial de $1´000.2 * (29/366) = 15. si aplicamos interés bancario.99 12 | Carlos Mario Morales C .2 * (30/360) = 16. es lo que se cobraría por un año. es decir.000 * 0. es decir.666.666. El periodo en que se causa el interés es una fracción de año: 29 (días del mes de febrero) de 360 días. es lo que se cobraría por un año. El periodo en que se causa el interés es una fracción de año: 29 (días del mes de febrero) de 366 días. es decir. si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual. Con las anteriores consideraciones.000 El interés es 20% Nominal anual.000. Solución El monto o capital es: $1´000.2 * (29/360) = 16.846.000 * 0. aplicando interés comercial es: 16.000 * 0. El periodo en que se causa el interés es una fracción de año: 30 (días del mes de febrero) de 360 días. si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual y el prestamista hace el cálculo con interés racional Solución El monto o capital es: $1´000. Con las anteriores consideraciones.666. si aplicamos interés comercial. como: I = 1´000.000 para la compra de un TV. el interés se calcula. como: I = 1´000.666.67 El monto que Sandra debe cancelar por el crédito para la compra de un TV durante mes de febrero. como: I = 1´000.11 El monto que Sandra debe cancelar por el préstamo de un millón durante el mes de febrero.67 Ejemplo 3 Sandra quiere conocer cuál es el interés que debe cancelar por el mes de febrero del año 2004 (bisiesto) sobre un préstamo de $1´000. el interés se calcula. si aplicamos interés racional.000 El interés es 20% Nominal anual. aplicando interés bancario es: 16. el interés se calcula.Matemáticas Financieras 2010 El monto o capital es: $1´000. es lo que se cobraría por un año.000 El interés es 20% Nominal anual. Con las anteriores consideraciones. como: I = 1´000.342.99 Ejemplo 4 Sandra quiere conocer cuál es el interés que debe cancelar por el mes de febrero del año 2004 (bisiesto) sobre un préstamo de $1´000.44 El monto que Sandra debe cancelar por el préstamo en este caso es de: 16. si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual y el prestamista hace el cálculo con interés exacto-tiempo aproximado Solución El monto o capital es: $1´000. es lo que se cobraría por un año. el interés se calcula. Con las anteriores consideraciones.000 El interés es 20% Nominal anual.000 * 0. corresponde al capital inicial más los intereses. si aplicamos interés base 365. el interés se calcula. es decir.846.47 Ejemplo 5 Sandra quiere conocer cuál es el interés que debe cancelar por el mes de febrero del año 2004 (bisiesto) sobre un préstamo de $1´000.000.2 * (30/366) = 16. El periodo en que se causa el interés es una fracción de año: 30 (días del mes de febrero) de 366 días.Matemáticas Financieras 2010 El monto que Sandra debe cancelar por el préstamo en este caso es de: 15.47 El monto que Sandra debe cancelar por el préstamo en este caso es de: 15. es decir. como: I = 1´000.393.000 * 0.393. Capital Final – (Valor futuro) El capital final que recibirá el prestamista o inversionista. valor futuro y se representa por VF VF = VP + I VF = VP + (VPin) 13 | Carlos Mario Morales C .2 * (28/365) = 15. El periodo en que se causa el interés es una fracción de año: 28 (días del mes de febrero) de 365 días. Con las anteriores consideraciones. si aplicamos interés exacto-tiempo aproximado.000. es lo que se cobraría por un año.44 4. A este valor se le denomina valor final.000 El interés es 20% Nominal anual. si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual y el prestamista hace el cálculo con interés base 365 Solución El monto o capital es: $1´000.342. que recordemos no considera bisiestos. inversiones. VF: Valor futuro 6. Representación gráfica –Flujo de Caja- Para mayor comprensión del comportamiento de las operaciones financieras. que ocurren en una operación financiera. VF: Valor futuro 5. se puede calcular a partir del valor futuro. estas se pueden representar a través de una gráfica denominada FLUJO DE CAJA. El flujo de Caja ilustra en una línea del tiempo los ingresos con flechas hacia arriba y los egresos. el interés y la cantidad de periodos a los cuales se hace la inversión. Capital Inicial – (Valor presente) El capital inicial que deberá aportar el prestamista o inversionista. Ingresos Horizonte de tiempo Egresos 14 | Carlos Mario Morales C .Matemáticas Financieras 2010 VF = VP( 1 + in) (2) Donde: VP: Capital o monto principal i: Tasa de interés periódica n: Número de periodos. A este valor se le denomina valor presente y se representa por VP VF = VP( 1 + in) VP = VF/(1+in) (3) Donde: VP: Capital o monto principal i: Tasa de interés periódica n: Número de periodos. Con las anteriores consideraciones. en días entre 23. esto significa que ella a devengado 186.10. María Cristina quiere saber cuánto recibirá al final “exactamente” si presta $3´000. como: VF = VP(1 + in) VF = 3´000. el valor final se calcula. es decir.986. El periodo.1999 y el 27. Ejemplo 6.000 El interés es 35% Nominal anual.986. Ejemplo 7.000*(1+(0.000 de matrícula en la universidad el día 13 de diciembre. es lo que se cobraría por un año.1999 es 65 días.30 pesos de interés.000 entre el 23 de agosto hasta el 27 de octubre de 1999 a una tasa de interés del 35% nominal anual La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación: VF =¿? 23/08/99 Días = 65 i = 35% NA VP = 3´000. si aplicamos interés racional. Juan debe pagar $600.10. en el cual se causan intereses.986.2*(65/365))) = 3´186.000 05/08/05 Días = ¿? i = 23% NA VP = ¿? 13/12/05 15 | Carlos Mario Morales C .08.30 El monto que recibirá María Cistina al final será: 3´186.Matemáticas Financieras 2010 Grafica No 1 – Flujo de Caja Ejemplos valor presente y valor futuro.000 27/10/99 El monto o capital es: $3´000. ¿Cuánto dinero debe depositar el 5 de agosto del 2005 en una cuenta de ahorros que paga el 23% Nominal anual? La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación: VF = $600. que es una fracción de año o 365 días. el valor presente se calcula. el interés se calcula.000/(1+(0.2005 y el 13. como: VF = VP * (1 + in) ((VF/VP) -1)/n = i i = ((3´500.23 El monto que Juan debe depositar en la cuenta de ahorros es: $553.000 en 6 meses.000 VP = 3´000.23*(130/360))) = 553.33333 La tasa de Interés NA que se le debe reconocer a Julián es: 33.000/3´000. en el cual se causan intereses son 6 meses (180 días) que es una fracción del año (360 días).12. es decir. es lo que se cobraría por un año. El periodo. en días entre 05. si aplicamos interés Comercial. que es una fracción del año o 360 días. Con las anteriores consideraciones.Matemáticas Financieras 2010 El Valor Final (VF) es: $600. si aplicamos interés bancario.000 El periodo.000)-1)/(180/360))) = 0.2005 es 130 días.000 6 Meses i= ¿? El Valor Final (VF) es: $3´500.000 durante el pasado periodo.33% Ejemplo 9 16 | Carlos Mario Morales C .988.000 El interés es 23% Nominal anual. en el cual se causan intereses.23. Con las anteriores consideraciones. él quiere conocer a que tasa de interés comercial dichos excedentes se convertirán en $3´500. Ejemplo 8 Julián dueño de una pequeña empresa ha tenido excedentes por $3´000. como: VP = VF/(1 + in) VP = 600.000 El Valor inicial (Presente) es: $3´000.988. La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación: VF = $3´500.08. Interés Anticipado .Descuento El interés anticipado consiste en causar los intereses al principio del periodo. como: VF = VP * (1 + in) ((VF/VP) -1)/i = (n/360) i = ((3´500.000 El periodo necesario para acumular la cifra final.27))) = 666. La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación: VF = $4´500.000 El Valor inicial (Presente) es: $3´000. serán una fracción del año (360 días).Matemáticas Financieras 2010 Julián dueño de una pequeña empresa ha tenido excedentes por $3´000.67 El número de días que se debe colocar el monto inicial para al final obtener los 4. El descuento se representa por la letra “D” Tasa Anticipada (Tasa de descuento): Es la que genera el interés anticipado y se representa por la letra “d” Descuento Simple Consiste en cobrar los intereses por anticipado calculados sobre el valor final.000 VP = 3´000.000 n = ¿? i= 27% El Valor Final (VF) es: $4´500. en días.000)-1)*360/(0. si aplicamos interés bancario. si la entidad bancaria le reconoce un interés NA del 27%.000/3´000. de esta forma el Descuento se calcula.5 milloes es: 667 7.000 durante el pasado periodo. La tasa de interés Nominal Anual: 27% Con las anteriores consideraciones. como: D = VF*d*n (3) 17 | Carlos Mario Morales C .000. él quiere conocer durante cuánto tiempo debe colocar este dinero para convertir estos excedentes en $4´500. el número de días se calcula. el cual hará un descuento (interés anticipado) del 36% aplicado al valor final del documento. como: VT = VF * (1 . si aplicamos interés bancario.dn) 18 | Carlos Mario Morales C . ¿Cuál es el valor que recibirá la fabrica – Valor líquido? La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación: VF = 8´000. El 20 de junio la fábrica por problemas de liquidez ofrece en venta la letra al banco Medellín.Matemáticas Financieras 2010 Donde: d: Tasa de descuento D: Descuento Valor Líquido (VT) Es el valor nominal menos el descuento VT = VF – D VT = VF – (VF*d*n) VT = VF*(1 – d*n) (4) Ejemplos Interés Anticipado .000 para surtir su almacén. es decir: 27 días que es una una fracción del año (360 días). este realiza el pago a la fabrica a través de una letra de cambio por valor nominal de $8´000.000 El periodo en que se causa el descuento es: entre el 20/06 y 17/07.000 con vencimiento el 17 de julio. el Valor Liquido se calcula.Descuento Ejemplo 10 El 17 de abril del 99 una pequeño comerciante compra mercancías por un valor de $8´000.000 17/07 17/04/99 VT = ¿? 20/06 i= 36% El Valor Final (VF) es: $8´000. La tasa de descuento Nominal Anual: 36% Con las anteriores consideraciones. 000 35 días antes del vencimiento al 38%.000. en consecuencia.370 i= 38% El Valor Nominal (VF) es: ¿? El periodo en que se causa el descuento es: entre el 17/12/98 y 25/01/77. a diferencia del interés simple que se aplica al valor inicial.047. si aplicamos interés comercial. es decir: 39 días que es una fracción del año (360 días). ¿Cuál es la tasa de interés simple real que se cobra por esta operación? La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación: 19 | Carlos Mario Morales C . como: VF = VT/(1 .00 Ejemplo 11 ¿Cuál debe ser el valor nominal de un documento de cambio que un comerciante descuenta a un interés del 38% Nominal Anual entre el 17. para calcular la tasa real en una operación de descuento debemos aplicar la formula de monto simple al resultado final.98 y el 25.97 El valor nominal del documento debe ser: 6´648.38(39/360)) = 6´648.12.370? La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación: VF = ¿? 25/01/99 17/12/98 VT = 6´374. Tasa Real en una operación de Descuento La tasa de descuento se aplica al valor final del documento. el Valor Nominal (VF) se calcula.97 8.047. que para el mismo valor se obtienen diferentes resultados de interés cobrado.00 El valor que recibirá el fabricante es: 7´784.000 * (1 -0.370 / (1 -0. Lo anterior se ilustra con el siguiente ejemplo.000.99 y su valor liquido es $6´374.dn) VT = (6´374. es lógico.36(27/360)) = 7´784. Ejemplo 12 Si el Banco Medellín descuenta una letra de cambio de $6´000.Matemáticas Financieras 2010 VT = (8´000.01. La tasa de descuento Nominal Anual: 38% Con las anteriores consideraciones. si aplicamos interés bancario. la situación de la operación financiera se muestra en la siguiente gráfica. Descuentos en Cadena 20 | Carlos Mario Morales C .33 Así.33 El valor líquido de la letra de cambio es: 5´778.333.38(35/360)) = 5´778.-0.333. La tasa de descuento Nominal Anual: 38% Con las anteriores consideraciones.000 35 días i= 38% VT = ¿? Lo primero que debemos hacer es investigar cual es el Valor liquido de la transacción: VT Valor Nominal (VF): 6´000. despejar i para conocer.000 El periodo en que se causa el descuento es 35 días que es una fracción del año (360 días).33 Podemos de la formula VF = VP(1+in).000 35 días i= ¿? VT = 5´778.dn) VT = (6´000.Matemáticas Financieras 2010 VF = 6´000. a partir de esta se pide determinar la Tasa de Interés Real de la operación.33)-1)/(35/360) = 0. como: VT = VF*(1 .46% 9.333.333.3946 La tasa Nominal Anual Real de interés de la operación es: 39. VF = 6´000. el Valor Nominal (VF) se calcula.000/5´778.000*(1. así la verdadera tasa de interés de la operación VF = VP(1+in) ((VF/VP) -1)/n = i ((6´000. en este caso se ofrecen una serie de descuentos que son aplicables a la misma factura.Ad1 = A(1-d1) A(1-d1)-A(1-d1) d2 = A(1-d1)(1-d2) (A(1-d1)(1-d2)-A(1-d1)(1-d2)d3) = A(1-d1)(1-d2)(1-d3) … = A(1-d1)(1-d2)(1-d3)…(1-dn) … A(1-d1)(1-d2)…(1-dn-1) … dn … A(1-d1)(1-d2)… (1-dn-1) dn El descuento total será el valor inicial del monto (factura) menos el valor final. esto es: d = 1-(1-d1)(1-d2)…(1-dn) Ejemplo 13 Un comerciante quiere conocer el descuento promedio que obtiene y el valor final de una factura después de realizar compras por $12´361. se obtiene la tasa de descuento promedio. tal es el caso cuando una empresa vende mercancía. D = A(1-(1-d1)(1-d2)…(1-dn)) Al dividir el valor final del monto (factura) con el valor inicial de la misma factura.500. Descuento por volumen Descuento por pronto pago Descuento por embalaje Descuento por temporada Descuento por fidelidad En la siguiente tabla se muestra el efecto matemático causado por una serie de descuentos sobre un mismo monto (una factura por ejemplo). Descuentos en Cadena Valor Factura Antes Tasa descuento Valor Descuento Valor Factura Después de Descontada A A(1-d1) A(1-d1)(1-d2) d1 d2 d3 Ad1 A(1-d1) d2 A(1-d1)(1-d2) d3 A . si el proveedor de la mercancía le 21 | Carlos Mario Morales C . es decir después de ser descontado el monto.Matemáticas Financieras 2010 En una operación comercial pueden ocurrir varios descuentos. 5 = 7´676.3790 = 37.1)(1-0.1)(1-0.491. 18.008.90% 10.4% mensual.09 i = 40% 250.500*(1-(1-0. Ejercicios resueltos 1) Calcular el interés simple comercial de $300.4% mensual I = (300. Calcular: a) El monto racional y b) el monto bancario 15.000 x 0.11 Bancario 15 31 22 | Carlos Mario Morales C .000 desde el del 18 de marzo al 18 de junio del mismo año al 3.06 i = 3.08)) = 4´685.Matemáticas Financieras 2010 concede los siguientes descuentos: por pronto pago: 10%.25)(1-0.000 al 40% desde el 15 de septiembre de 1998 hasta el 18 de noviembre de 1998.5 De esta forma.03 3 meses 18.5 La tasa de descuento total se calcula como: d = 1-(1-d1)(1-d2)…(1-dn) d = 1-(1-0.034) x 3 = 30. el valor final de la factura es: A – D = 12´361.000 Real Septiembre Octubre 15 31 18.08) = 0.600 2) Una persona invierte $250. y por temporada: 8% El descuento total lo puede calcular como: D = A(1-(1-d1)(1-d2)…(1-dn)) D = 12´361. por compra al por mayor 25%.500 .25)(1-0.008.4´685. entonces el valor final S = 267.73 (Racional) 4) Hallar el valor presente de $500 000 en 31/2 años a1 3% mensual 42 meses P = ¿? S = 500.4 = 17.777.000? S = 150.22 (Racional) I = 250.22.000 23 | Carlos Mario Morales C .4 = 17.028 x( 154/365)) = 134.77 (Bancario) 3) ¿Cuánto debe invertirse hoy 17 de octubre en un fondo que garantiza el 28% simple real para que el 20 de marzo del siguiente año pueda retirar la suma de $150.777. entonces el valor final S = 267.77.10 i = 28% P = ¿? 20.000 (64/365) x 0.000 (64/360) x 0.534.000 17.Matemáticas Financieras 2010 Noviembre Total 18 64 18 63 I = 250.151.03 Real Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Total 14 30 31 31 28 20 154 Bancario 14 30 31 31 28 20 Comercial 13 30 30 30 30 20 S = P + iPn S = P(1 + in) P = S/(1 + in) P = 150.000/(1 + 0.534. 000) – 1)/6 = i.000 S = P( 1 + in) S/P = 1 + in ((S/P) – 1)/n = i ((6´000.03 x 42)) = 221.Matemáticas Financieras 2010 S = P(1 + in) P = S/(1 + in) P = 500. i = ¿? 900.000 3 años i = ¿? 75.93 5) Hace 6 años compré un lote en $900 000 y hoy se vendió en $6 millones.238.000? S = 330.13333.44% 6) ¿Qué tan rentable es un documento que hoy se puede comprar en $75 000 el cual devolverá al cavo de 3 años la suma de $330.000 6 años S = 6´000.000/(1 + (0. es decir: i = 94.33% 7) Se recibe un préstamo por $1 millón al 42% nominal anual periodo vencido el día 8 de agosto de 1999 con vencimiento el 8 de marzo del 2000. es decir: i = 113.000/75.000)-1)/3 = 1.000/900. Hallar el valor final del préstamo calculando los intereses: a) interés exacto o racional b) interés comercial o base 360 c) interés bancario 24 | Carlos Mario Morales C . Hallar la tasa de interés comercial que gane en este negocio.000 i = ((S/P)-1)/n i = ((330. 500 S = 1´248.426.42 x (210/360) = 245.00 i = 42% 08.426.42 x (213/360) = 248.000 x 0.20 S = 1´244.000 emitido el 15 de septiembre de 1999 con plazo de 270 días a una tasa de interés del 30% nominal anual período vencido.000 08.99 S = ¿? Exacto o racional Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Total 23 30 31 30 31 31 29 8 213 Bancario 23 30 31 30 31 31 29 8 213 Comercial 22 30 30 30 30 30 30 8 210 a) Interés exacto racional I = 1´000.000 S = 1´245.500 8) Un pagaré con valor presente de $300.20 b) Interés Comercial I = 1´000.08.Matemáticas Financieras 2010 d) interés base 365 Nota: Tenga en cuenta que el año 2000 es un año bisiesto P = 1´000.000 c) Interés Bancario I = 1´000.000 x 0.03. Hallar el valor futuro y la fecha de vencimiento en: 25 | Carlos Mario Morales C .000 x 0.42 x (213/366) = 244. 2000 9) Una letra por $550000 madura el 23 de agosto de 1998 y va a ser descontada el 17 de julio del mismo año al 38%.06. Determinar el valor de la transacción.2000 c) Interés Bancario S = P(1 + in) = 300.3(270/365) S = 366.000( 1 + 0.500 Fecha de vencimiento: 11.000( 1 + 0.06.000 a) Interés Exacto o racional S = P(1 + in) = 300.3(270/360) S = 367.393.500 Fecha de vencimiento: 15.000( 1 + 0.575 Fecha de vencimiento: 12.09.Matemáticas Financieras 2010 a) b) c) d) interés exacto o racional interés comercial o base 360 interés bancario interés base 365 S=¿? 15.06.3(270/360) S = 367. 26 | Carlos Mario Morales C .06.3(270/366) S = 366.99 270 dias – 30% 300.000( 1 + 0.42 Fecha de vencimiento: 11.2000 d) Interés Base S = P(1 + in) = 300.2000 b) Interés Comercial S = P(1 + in) = 300. 000(1 – 0.99 15.Matemáticas Financieras 2010 $550.000 VL = S(1 – dn) 27 | Carlos Mario Morales C .00 S = 2´000.03.07.07.519 . El 14 de enero lo negocia con un banco que lo adquiere a una tasa de descuento del 29% nominal anual anticipado en interés bancario.38(37/360) VL = 528.12.25(90/360)) = 2´125. ¿Cuánto recibirá la empresa por el pagaré y cuánto ganará el banco en la operación de descuento? S=¿? 15.000(1 – 0.01.Valor Bancario- 10) El 15 de diciembre de 1999 una empresa recibe un pagaré por $2 millones a un plazo de 90 días al 25% nominal anual vencido de interés comercial simple.98 P= ¿? D = Sdn – Descuento.98 38% 17.000 (1 + 0.d: tasa de descuento – n: número de periodos VL = S – D – Valor LiquidoVL = S – Sdn VL = S( 1-dn) Exacto o racional Julio Agosto Total 14 23 37 Comercial 13 23 36 VL = 550.100 .Valor ComercialVL = 550.000 17.00 i = 25% 15.38(36/360) VL = 529. 6) Un almacén ofrece los siguientes descuentos.29(60/360)) = 2´022.708.291. 2) Una persona solicita un préstamo a un banco por la suma de $800 000. sobre una mercancía cuyo costo de $200 000: 30% por venta al por mayor. e15% por pronto pago y e14% por embalaje. Si es descontado por un banco el18 de marzo de 1999 al 40% determinar: a) la fecha de vencimiento b) El valor al vencimiento c) El valor de transacción. si le cobran una tasa de descuento del 41 %? a) Sin tener en cuenta costos de apertura del crédito y b) Teniendo en cuenta que el banco cobra $2000 por estudio del documento 4) Un documento de valor inicial $70 000 es fechado el 25 de septiembre de 1998 a un plazo de 325 días y un interés del 32%. Ejercicios propuestos 1) Halle el valor de maduración de un pagaré con vencimiento el 20 de abril si va a ser descontado el13 de marzo del mismo año a140% y su valor de transacción es de $ 78 400.291.000 (1 – 0. ¿cuál será el valor liquido? 3) ¿Cuál es el valor del documento que queda en poder de un banco. 5) Hallar la verdadera tasa bancaria que cobra un banco cuando descuenta un documento con valor de maduración de $400 000 si es descontado 25 días antes del vencimiento al41 % nominal anual anticipado.67 El Banco Ganará: $ 102. si el prestatario recibe un valor liquido de $50 000 por un documento con maduración en 90 días. ¿Cuál debe ser el descuento adicional que puede ofrecerse a los empleados de la misma fábrica para que el descuento total no sea superior al 35%? 28 | Carlos Mario Morales C . a) ¿Cuál es el valor líquido que le entregan? b) Suponga que el banco cobra $15 000 por el estudio del crédito.Matemáticas Financieras 2010 VL = 2´125. mercancía sin empaque.33 11. inicial es 10% por pago al contado y 5% por enviar la a) ¿Cuál es el valor final de la factura? b) ¿Cuál es el descuento promedio que se otorgó? 7) Una fábrica ofrece un descuento del 25% en ventas al por mayor. a un plazo de 90 días y le cobran una tasa anticipada del 38%.67 La empresa recibirá: $ 2´022. a interés simple.000 con 9% de interés.000 en 3 años al 0. El 20 de octubre del mismo año lo ofrece a otro inversionista que desea ganar 10%. en 9 meses? 12) El 10 de enero de 2006 se firmo un pagaré de $6. por $120.000 el 15 de mayo con vencimiento el 13 de agosto y recibe solo $19.200. colocado durante n años a la tasa de interés i es igual al interés simple que producirá a la tasa proporcional (i/m) colocado durante m.000.559. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista? 29 | Carlos Mario Morales C . 10) Calcular el interés simple que produce un capital de $10. 9) Calcular la tasa de interés simple proporcional mensual equivalente a la tasa del 9%. 11) ¿A qué tasa de interés el monto de $20.8% mensual.Matemáticas Financieras 2010 8) Demostrar que el interés simple producido por un capital C. el 15 de julio a 150 días.90. ¿A que tasa de descuento racional le fue descontado el pagaré? 15) Un inversionista recibió un pagaré que gana intereses del 8%.000 será $21.n periodos. ¿En que fecha los intereses serán de $359? 13) ¿Qué suma debe invertirse al 9% para tener $2000 dentro de 8 meses? 14) Una persona firma un pagare por $20. Unidad de Aprendizaje Interés Compuesto Contenido Introducción Concepto del interés simple Formula de interés simple Clases de interés simple Capital Final – Valor futuro Capital inicial – Valor presente Representación gráfica –Flujo de CajaInterés Anticipado . 8. Ejercicios resueltos 11. 2. 7. Tasa realmente cobrada en una operación de descuento Descuentos en cadena 10.Matemáticas Financieras 2010 2 1. 9. 4. 3. Ejercicios propuestos 30 | Carlos Mario Morales C .Descuento simple. 6. 5. 100 al cabo del primer periodo.000 10% 2 3 4 31 | Carlos Mario Morales C . si la inversión se hace a interés compuesto entonces al final del primer trimestre se liquidan los primeros intereses (1000x0. a diferencia del interés simple. al final del 2do periodo se liquidan los segundos intereses sobre el monto anterior $1100 x 0. y así sucesivamente hasta $1. bajo la modalidad de Interés simple. durante un año.1 = $100) y estos se acumulan al capital para obtener un monto de $1. La situación se ilustra en la siguiente grafica: $100 10% 1 $1.400.10. Concepto de Interés compuesto En general las operaciones financieras se realizan utilizando interés compuesto. $1000 correspondiente al capital y $400 a los intereses. Con este interés.Matemáticas Financieras 2010 1.464. éstos se acumulan al capital para formar un nuevo capital (monto).210.000)*(10%)*4 = $400. si se invierte un capital de $1000 al 10% trimestral. la liquidación de los intereses será así: I = (1. Al cabo de un año el inversionista recibirá $1.1 = 110 y estos se acumulan al capital obteniendo para este periodo un nuevo monto de $1.331 $1. cada vez que se liquidan los intereses.210 $1.000 $100 2 3 4 De otra forma. la situación se ilustra en la siguiente grafica: $1. sobre el cual se liquidan intereses nuevamente.100 10% 1 $1.464 $1. Por ejemplo.000 10% $100 $100 $1.