MECÂNICA QUÂNTICAFORMALISMO (Parte 1) Parte de notas de aulas relacionadas à disciplina FIS 660-Mecânica Quântica, do curso de Mestrado em Física da Universidade Federal de Viçosa durante os anos de 2001 a 2005. O conteúdo é equivalente a aproximadamente 6 aulas. O texto é baseado no livro “Modern Quantum Mechanics” de J.J. Sakurai, adotado nessa disciplina durante o período acima mencionado. Prof. Afrânio Rodrigues Pereira Departamento de Física, Universidade Federal de Viçosa, Viçosa, 36570-000, Minas Gerais. Email:
[email protected] 1 MECÂNICA QUÂNTICA (Aulas 3 e 4: Introdução ao Formalismo Matemático da Teoria) Na aula passada vimos, com o exemplo do experimento de SternGerlach em seqüência, que é impossível determinarmos (medirmos) simultaneamente as componentes Sx , Sy ou Sz do spin do elétron. Mais precisamente, podemos dizer que a seleção do feixe Sx (ver figura abaixo) pelo segundo aparato SGx destruirá completamente qualquer informação prévia a respeito de Sz . Deve ficar claro na cabeça do estudante que a limitação encontrada na determinação de duas componentes do spin ( Sx e Sz por exemplo) não é devida à incompetência do Físico experimental . Tal limitação é inerente ao próprio experimento e ao fenômeno microscópico. Sx+ Sz+ Sz+ SGx Forno SGz Sz Sx Fig.1. Experimento SG em seqüência. SGz Sz - Para tratar esse fenômeno (sem análogo na Física clássica) de uma maneira quantitativa, o livro do Sakurai introduz uma matemática bastante conhecida de soma vetorial aplicada à polarização da luz. Essa analogia entre o problema dos spins apresentado acima e a polarização da luz é apenas matemática e servirá para indicar o caminho a seguir para tratarmos de fenômenos quânticos. A teoria eletromagnética de Maxwell considera a luz , bem como todas as demais radiações eletromagnéticas, uma onda transversal ( isso significa que os campos elétricos e magnéticos estão vibrando em uma direção perpendicular à direção de propagação da luz ; ver figura 2). Fig. 2. “Fotografia” instantânea de uma onda plano-polarizada mostrando os vetores campos elétrico (setas azuis) e magnético (setas vermelhas) ao longo de um raio. Um feixe de luz polarizado pode ser obtido deixando-se passar luz não polarizada (ver figura 3) por um filtro polaróide (placa polarizadora). Filtro que seleciona um feixe polarizado na direção x, é chamado filtro–x. Obviamente, se rodarmos o filtro-x por 900 sobre a direção de propagação z, ele se torna um filtro-y (para uma revisão desse assunto, consulte os seus livros de Física básica). Consideremos uma onda de luz se propagando na direção z. Um feixe de luz linearmente polarizado com vetor polarização na direção x (onda xpolarizada), tem vetor campo elétrico oscilando na direção x dado por 2 r ˆ cos(kz − ωt ) , E = E0 x (1) e da mesma forma, uma onda de luz y-polarizada , também se propagando n direção z tem r ˆ cos(kz − ωt ) . E = E0 y (2) r E ** Fig.3. Luz polarizada (esquerda) e luz não polarizada (direita) Um fato bastante conhecido é o seguinte : quando deixamos um feixe de luz não polarizada passar através de um filtro-x e subseqüentemente ele atinge um filtro-y, nenhuma luz resultará atrás das placas, é claro, se as placas polarizadoras tiverem 100% de eficiência ( ver fig. 4 ). x y Polarizador 1 (filtro-x) Polarizador 2 (filtro-y) Fig. 4. A luz não polarizada não é transmitida através de placas cruzadas A situação é mais interessante quando inserimos um terceiro filtro entre os filtros x e y . Se chamarmos esse polarizador de filtro-x’ e considerarmos que ele faz um angulo de 450 com a direção x no plano xy, temos a seguinte representação (Fig. 5): 3 se fizermos a seguinte correspondência : Átomos Sz ± Átomos Sx ± Y Y’ ˆ y ˆ′ y Luz polarizada x . o feixe saindo do primeiro polarizador é um feixe x-polarizado. 5. Podemos então concluir que a seleção do feixe x’-polarizado feita pelo segundo polarizador (filtro-x’) destruirá qualquer informação prévia sobre a polarização da luz. Note que essa situação é bastante parecida com a situação encontrada anteriormente com o experimento de Stern-Gerlach. Sistema de coordenadas Usando a figura acima. O 4 . que pode ser considerado como uma combinação linear de um feixe x’-polarizado e um feixe y’-polarizado . E0 y x y (4) 2 ⎣ 2 ⎦ Assim.Luz não polarizada Luz x-polarizada Luz x’-polarizada Luz y-polarizada Fig. y’ X’ ˆ′ x ˆ x X Fig. y Luz polarizada x’ . E0 x x y 2 ⎣ 2 ⎦ (3) ⎡ 1 ⎤ 1 ˆ ′ cos(kz − ωt ) = E 0 ⎢− ˆ cos(kz − ωt ) + ˆ cos(kz − ωt )⎥ .6. é fácil ver que ⎡ 1 ⎤ 1 ˆ ′ cos(kz − ωt ) = E 0 ⎢ ˆ cos(kz − ωt ) + ˆ cos(kz − ωt )⎥ . Um terceiro filtro-x’ destruirá qualquer informação prévia sobre a polarização da luz. no arranjo de três polarizadores mostrado na figura 5. Vejamos! Polarização Circular Matematicamente. (6) 2 2 em analogia com as equações (3) e (4) para o campo elétrico. Agora devemos saber como escrever ⎜Sy . − > fazendo a seguinte conjectura ? ⎜Sx . + > + 1 1 2 ⎜Sz . − >. + > = 1 2 ⎜Sz . Finalmente o terceiro polarizador seleciona uma componente ypolarizada. ESPAÇO VETORIAL ABSTRATO 2D 1) vetores da base : ⎜Sz . Será mesmo?! Na realidade. O campo elétrico resultante pode ser escrito como : 5 . −> 2) Qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base. −> = − ⎜Sz . é razoável representar o estado Sx + por polarização x um vetor. ⎜Sz . um espaço vetorial abstrato. Nós denotaremos esse vetor ket pelo símbolo ⎜Sx . Assim. foram esgotadas apenas as possibilidades com coeficientes reais ! Aqui. + > e ⎜Sz . +> e ⎜Sy . que novamente pode ser considerado como uma combinação linear de um feixe x-polarizado e um y-polarizado. uma xpolarizada e outra y-polarizada.Y) ˆ. ? ⎜Sx . Matematicamente. como podemos representar uma luz circularmente polarizada? Veja a figura 7! Imagine duas ondas plano-polarizadas. 1 (5) ⎜Sz . +>. que chamaremos ket. Sakurai fará outra analogia com a polarização da luz. a componente não bloqueada que sai do segundo aparato (que sai de SGx) será considerada como uma superposição de Sz + e Sz – no sentido expresso pelas equações (5) e (6). Note que as possibilidades de combinação linear com uma base 2D já foram esgotadas nas equações (5) e (6). A aplicação da correspondência para a experiência de Stern-Gerlach em seqüência sugere que podemos ser capazes de representar o “estado-spin” dos átomos de prata por algum tipo de vetor em um novo tipo de espaço vetorial bidimensional. y ˆ 1) Vetores da base: x 2) Qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base. Tais vetores ket’s serão nossos instrumentos de trabalho dentro da notação de Dirac que será desenvolvida mais tarde. Assim. − >. defasadas por 900. + > + ESPAÇO BIDIMENSIONAL (X.segundo polarizador seleciona um feixe x’-polarizado . é por essa razão que as duas componentes emergem do terceiro aparato (SGz). da mesma forma ˆ e y ˆ são vetores bases unitários usados para decompor o vetor que x ˆ ′ da luz x’-polarizada. + > e o representaremos como uma combinação linear de dois vetores base ⎜Sz . −>. Considere que o feixe caminhe em sua direção. 6 7 8 Podemos definir : Luz circularmente polarizada à direita quando o fim do vetor campo elétrico (se a luz vem em nossa direção) circula no sentido antihorário. Luz circularmente polarizada à esquerda quando o fim do vetor campo elétrico (se a luz vem em nossa direção) circula no sentido horário.7. E = E0 ⎢ x y (7) 2 ⎦ 2 ⎣ 2 Essa equação é mais elegantemente escrita empregando a notação complexa: r ⎡ 1 ⎤ i ˆe i ( kz −ωt ) ± ˆ e i ( kz −ωt ) ⎥ . X Y 1 2 3 4 5 6 7 x y 1 2 3 4 5 Fig. Uma onda circularmente polarizada à direita. 6 . Note o giro do vetor campo elétrico representado nos quadrados de 1 a 8 e compare com a figura.r ⎡ 1 1 π ⎤ ˆ cos(kz − ωt ) + ˆ cos(kz − ωt ± )⎥ . E = Re E 0 ⎢ x y (8) 2 ⎣ 2 ⎦ onde usamos i = e iπ / 2 . + > . −> 2. a analogia com um problema físico concreto. os vetores x ⎜Sy . e ainda mostrou que para descrevermos os estados de spin dos átomos de prata. −> (9) 2 2 Logo.Vetores da base : ⎜Sz . devemos trabalhar em um espaço vetorial complexo. Da equação (8) podemos fazer a seguinte analogia com os átomos de prata : Átomos Sy + Átomos Sy Feixe circularmente polarizado à direita Feixe circularmente polarizado à esquerda. ± > podem ser facilmente escritos usando a equação (8) ⎜Sz . ± > = 1 ⎜Sz . nos deu um importante discernimento sobre como tratar matematicamente os incríveis resultados da experiência de Stern-Gerlach. só que dessa vez os coeficientes são complexos. A convenção adotada aqui segue o padrão usado em física de partículas). ⎜Sz . ⎜ Sy . + > ± i 7 .(observação: não existe unanimidade na definição de luz circularmente polarizada à esquerda e à direita. já que o quadrado de um número complexo é um número real. Pois dessa forma temos mais uma maneira de escrever um vetor em termos de ˆ. que a equação de Schrödinger é uma equação diferencial com a presença números complexos e que apenas o quadrado da função de onda (solução da equação) tem um significado físico. O fato de ser necessário o uso de números complexos nesse exemplo elementar é bastante notável e já demonstra que a nossa matemática daqui para frente estará contida no conjunto dos números complexos. ESPAÇO VETORIAL BIDIMENSIONAL ABSTRATO (ESPAÇO SPIN) 1. Vocês devem estar lembrados do curso de estrutura da matéria. Assim. y ˆ .Qualquer vetor arbitrário nesse espaço vetorial é escrito como uma combinação linear desses vetores da base com coeficientes complexos em geral. Usaremos a notação de Dirac. A Física clássica não consegue dar conta desses novos fenômenos e necessariamente precisamos de uma nova teoria. Iremos apresentando os postulados e alguns teoremas à medida que formos familiarizando com os novos conceitos e com a nova matemática de espaços vetoriais abstratos.FÍSICA QUÂNTICA I (Aulas 5 e 6: Conceitos Fundamentais) 4. Conseqüência necessária e evidente). que pode ser obtida a partir dos postulados desta teoria através de uma seqüência finita de aplicação das regras de dedução) e corolários (proposição que se deduz imediatamente de outra já conhecida. 4. INTODUÇÃO Já vimos através de um exemplo simples relacionado ao sistema de spins que temos que mudar radicalmente nossa maneira de pensar se quisermos nos aventurar no mundo microscópico. precisamos saber qual a dimensão desse espaço e os tipos de vetores presentes. nós não colocaremos todos os postulados da mecânica quântica de uma só vez e depois apresentaremos os teoremas (proposição científica que pode ser demonstrada. Agora vamos formular as bases matemáticas de espaços vetoriais como são usadas na mecânica quântica. Quando se fala em uma teoria. podemos fazer algumas considerações se lembrarmos do experimento de Stern-Gerlach discutido nas aulas passadas. Mas existem muitos fenômenos em que as partículas quânticas se movem a baixas velocidades e assim a teoria desenvolvida aqui se aplica e com grande precisão. Um 8 .2. essa teoria não pode tratar de fenômenos microscópico relativísticos e portanto seu alcance de aplicação é limitado. 4.1 ESPAÇO KET Consideraremos um espaço vetorial complexo. Uma união entre teoria quântica e relatividade leva a uma teoria muito mais satisfatória da natureza com um poder de previsão fantástico de forma que podemos dizer que o todo (teoria quântica relativística) é maior que a soma das partes ( Física quântica e relatividade). Formulação fechada de uma teoria. que quando um feixe de átomos saindo de um forno passava através de um campo magnético.2 KETS E OPERADORES Já vimos a necessidade de considerarmos um espaço vetorial complexo. pensamos de inicio sobre os seus postulados (um postulado é uma sentença aceita sem demonstração. Começaremos nessa aula o estudo detalhado da teoria quântica não relativística. Como o próprio nome indica. Com relação à dimensão de nosso espaço. Dessa forma. É claro que ele pode ser testado através da comparação entre suas conseqüências e os fatos experimentais). Vimos naquele caso particular dos átomos de prata. Aqui. emergiam apenas dois feixes que denotamos de spin-up e spin-down. Mas. precisamos de uma álgebra para esses vetores kets. ⎜ α > e c ⎜ α > . Postulado : Os KETS físico. Com as definições acima estamos pronto para enunciarmos o primeiro postulado. que deve ser o feixe mais geral possível (pois apareceu de circunstâncias onde não havia qualquer controle com relação aos spins). Logo. UM VETOR NESSE ESPAÇO : representa um estado físico (por exemplo. Em nosso curso não iremos mais simbolizar um vetor por uma seta ou negrito. não acho conveniente enumera-lo e assim apenas o enunciarei e o sublinharei com cor diferente do que foi feito com o primeiro postulado. De fato. Mas experimentos com outros tipos de átomos ou partículas levam a apenas um feixe emergente. pode ser escrito como uma combinação linear de apenas dois feixes “vetores” (up e down). podemos escrever o feixe original como uma combinação linear dos feixes emergentes e devemos estabelecer as regras para essa combinação. 2. Primeiro Postulado: O estado KET contém toda a informação sobre o estado de um sistema físico. É chamado vetor estado e na notação de Dirac é denominado KET e simbolizado por ⎜α > . ou três feixes emergentes etc. de maneira que é fácil concluir que em cada situação a dimensão do espaço vetorial deva ser diferente. Aqui cabe mais um postulado. Se c = 0. já que estamos tratando com um espaço vetorial abstrato. se o feixe original de átomos de prata. c ≠ 0 representam o mesmo estado 9 . DIMENSÃO : depende da natureza do sistema físico em consideração.breve raciocínio nos indica que o feixe original deva ser alguma combinação dos dois feixes emergentes. isto é. temos o KET NULO. um átomo de prata com orientação de spin definida). Estamos em um espaço vetorial abstrato e o vetor será simbolizado por um ket tal como ⎜α > . então concluímos que esse espaço vetorial deva ter dimensão 2. Podemos então fazer o seguinte resumo: ESPAÇO VETORIAL COMPLEXO EM MECÂNICA QUÂNTICA 1. relacionado ao primeiro e que concerne à álgebra dos kets. a dimensão do espaço vetorial complexo em mecânica quântica é especificada de acordo com a natureza do sistema físico em questão. ÁLGEBRA a) soma : ⎜ α > + ⎜ β > = ⎜ γ > b) produto por um número (complexo) : c ⎜ α > = ⎜ β > . precisamos estabelecer as regras que relacionam os diferentes vetores que formam esse espaço. Assim. Portanto. Vimos que a idéia de um espaço vetorial se encaixa perfeitamente bem nessa história dos spins. c ⎜ α > = ⎜ α >c. conhecidos por autokets do operador A. Entretanto. somente a “direção” nesse espaço vetorial é de significado.}. esse operador é um observável. componentes do spin etc) será sempre representado por um operador cujo símbolo é. relacionado com a experiência de Stern-Gerlach . enquanto os autokets por letras latinas minúsculas com linhas.. os matemáticos preferem dizer que estamos tratando com raios em vez de vetores... queremos dizer que o valor do spin de determinada 10 . atuando no espaço vetorial em questão.. Devido a essa falta de importância do “tamanho” do vetor na teoria.. Para continuarmos estabelecendo a álgebra dos kets. precisamos de mais algumas definições e postulados. Note que os kets são representados por letras gregas.. “spin 1” etc. precisamos encaixar os observáveis (grandezas a serem medidas no laboratório) dentro dessa nova notação. a(2) . a’’.. . tal como A. Segundo Postulado: Toda quantidade física mensurável é descrita por um operador.... enquanto operadores são representados por letras latinas maiúsculas. Devemos frisar aqui um pouco da notação a ser empregada. Note que a aplicação de A em um autoket. A discussão proposta neste parágrafo pode ser evitada pelo estudante sem o comprometimento do assunto (o conteúdo envolverá algumas idéias sobre spins já estudada em seu curso de estrutura da matéria). é melhor usar { a(1). a(3) . Podemos agora definir o produto de um operador e um ket.}. Como estamos tratando de sistemas físicos. e para distingui-los das situações ordinárias. com a propriedade A ⎜a’ > = a’ ⎜a’ >. Por enquanto. levará a outro ket. . ÁLGEBRA (continuação) c) produto ket e operador: A. ⎜a’’’ > .Em outra palavras. . momento. são apenas números. ⎜a’’ >.. Em geral. o operador atua à esquerda do ket. mais compactamente { a’ } é chamado autovalores do operador A. uma letra latina maiúscula tal como A. .. números serão representados por letras latinas minúsculas). apenas reproduz o mesmo ket aparte de um número multiplicativo. Em geral.. Estamos prontos para continuarmos a álgebra do nosso espaço vetorial introduzindo nas regras o operador. temos que tecer alguns comentários sobre o item (c) da álgebra do nosso espaço vetorial. em geral. A ⎜a’’’ > = a’’’ ⎜a’’’> . onde a é um número complexo (em nossa notação. a’’ . Note que a atuação de um operador em um ket. O conjunto de números {a’. Mais tarde consideraremos mais definições sobre operação de multiplicação. vamos fazer uma associação das idéias desenvolvidas até agora com o caso de sistemas de spin 1/ 2. onde a’.. Aqui eu introduzo o segundo postulado da mecânica quântica. Os autovalores também são representados por letras latinas minúsculas com linhas. O estado físico correspondente a um autoket é chamado autoestado. denotados por ⎜a’ > . existem kets especiais de grande importância na teoria. Um experimento desse tipo pode ser usado para medirmos o spin de uma determinada partícula e quando falamos “spin1/2”. Um observável (posição. mas quando for necessário ordenar. A ⎜α> ≠ a ⎜α>. A ⎜a’’ > = a’’ ⎜a’’ >. Antes de continuarmos com a álgebra. (⎜α> ) = A ⎜α>. Agora suponha que queiramos medir a componente-z do spin. 8. que a dimensionalidade do espaço vetorial é determinada pelo número de alternativas do experimento. Como associar esse experimento físico com a matemática da mecânica quântica introduzida até agora? Vimos que um Ket representa um estado físico. +>. Assim. onde h é a constante de Planck 2 dividido por 2π. Note que a dimensão do nosso espaço vetorial para o sistema físico de partículas de spin 1 é três. notamos que a medida não alterou o estado ⎜Sz . Isso também é verdadeiro para as componentes x e y. o que se mede num experimento como esse. irá emergir exatamente um feixe no mesmo estado ⎜Sz . No caso de partículas de spin 1. isto é. Assim. Sy. +> e ⎜Sz . devem emergir do campo magnético SGz três feixes (ver figura 8 abaixo) . +> e obtivemos o valor h / 2 para Sz. é a componente de spin. 1 h etc.representado pelo ket ⎜Sz . E o que é um operador nessa história toda? Obviamente. enquanto o valor negativo se refere ao feixe inferior). esses observáveis serão representados pelos operadores Sz. +> .. +> é um autoket (auto-estado) do operador Sz . Nesse sentido. Para o feixe que sobrou (o feixe superior).>. ao fazermos uma medida do observável “componente–z do spin” representado pelo operador Sz sobre um estado previamente conhecido denotado por ⎜Sz . . Sx. indicando que sua componente de spin Sz deva ser zero e os outros dois feixes carregam Sz = ± 1h . Visto que não existe uma direção preferencial no espaço. um dos quais não sofre nenhum desvio. 1). O mesmo acontece com o estado 11 . Para isso usamos um aparato SGz do qual emergirão dois feixes. Iremos denotálos por ⎜Sz . Experimento de Stern-Gerlach para partículas de spin 1. usando o aparato SGz encontramos os valores ± h / 2 (ver Fig. e então bloqueamos o feixe de baixo (ver Fig. Voltemos ao caso de spin ½. cada um dos dois feixes que emergem do aparato SGz e que apresentam estados físicos diferentes (um tem spin up e outro spin down) devem ser representados por kets diferentes. usamos novamente um aparato SGz e notamos que apenas um feixe emergirá desse segundo SGz. Um espaço de dimensão N será expandido por N vetores que formam a sua base. +>. Conclusões análogas podem ser estabelecidas para outros valores de spin. No caso particular do experimento de Stern-Gerlach. podemos dizer que os átomos de prata tem spin ½ e se quisermos determinar o valor da 1 componente-z desse spin. encontramos os valores ± h (o valor positivo se 2 refere ao feixe superior que emerge do campo magnético aplicado ao longo do eixo z. Quando medimos a componente Sz do spin. dizemos que h / 2 é um autovalor e que ⎜Sz .1 h . É bom lembrar partícula vale respectivamente Sz + Sz=0 forno SGz Sz Fig. Assim. 9) . . não alterou o estado inicial selecionado .. Um espaço vetorial de dimensão N é expandido por N autokets de um determinado observável A. + > = ⎜Sx .⎜Sz . Essa figura tenta ilustrar o fato de que se você mede um observável sem alteração do estado físico. + > = ⎜Sy . 12 . .> Sy ⎜Sy . Se você está achando isso um tanto confuso. Nesse espaço Ndimensional.> Autoket Operador Sempre que uma medida de um observável for realizada sem que se altere o estado físico do sistema. . Sistemas de dois estados (dimensão 2) são muito importantes e se você compreende bem tais sistemas não terá nenhum problema com sistemas de dimensões maiores (pois estes envolvem uma generalização).. A questão da unicidade de tal expansão será adiada até ser provado a ortogonalidade dos autokets. Sx e Sy. . Dois aparatos SGz em seqüência. + > = Autoket 1 h 2 Autovalor ⎜Sz .>. +> ⎜Sx . .> = - 1 h 2 1 h 2 ⎜Sy . a’’ .9. qualquer ket poderá ser escrito como ⎜ α >= ∑c a′ a′ ⎜ a’ > .. No caso de sistemas de spin ½ só existem duas alternativas e consequentemente a dimensão é dois.> = - 1 h 2 1 h 2 ⎜Sx . a’’’. espere mais um pouquinho que as coisas tenderão a se encaixar. só que nesse caso o autovalor é − h / 2 . Com relação aos observáveis Estado selecionado Forno SGz 1 SGz 2 Fig. Note que a segunda medida da componente-z do spin através de SGz 2. . então o sistema se encontrava (antes da medida) em um autoestado (autoket) do operador representando o observável que está sendo medido. dizemos que esse estado (que não foi alterado) é um auto estado do operador correspondente ao observável que está sendo medido. +> Autoket Sz ⎜Sz . relações semelhantes serão válidas: Sx ⎜Sx . . com a’.> = Autoket 1 h 2 Autovalor ⎜Sz . -> Sx Sy Já comentamos que a dimensão do espaço vetorial é determinada pelo número de alternativas do experimento. Em termos de nossa linguagem matemática podemos escrever para os sistemas de spin ½ : Sz Operador ⎜Sz . +> ⎜Sy . a(N) e ca’ são coeficientes complexos. neste espaço “dual”..< a’’ ⎜..3 PRODUTO INTERNO DE UM BRA E UM KET Por definição. (e não c < α ⎜ ). num produto interno de um BRA por um KET.. vamos enunciar mais um postulado relacionado ao nosso espaço vetorial. Postulado: Para todo KET ⎜α > existe um BRA. precisamos definir um novo espaço. .2. que é “dual” ao espaço KET. Podemos dizer que o ⎜α > <α⎜ Relacionado a essa correspondência.4. denotado por < α ⎜. os quais foram coloridos de azul. ⎜α > + ⎜β > CD CD CD <α⎜ < a’ ⎜ . A correspondência é de um para um entre o espaço KET e o espaço BRA. A seguir. o BRA fica à esquerda e o KET fica à direita e assim temos o BRAKET : < β ⎜α > = (< β ⎜) • (⎜ α >) Este produto é em geral um número complexo. enunciamos mais um postulado matemático (até agora só enunciamos dois postulados da mecânica quântica. chamado espaço BRA. Postulado: O BRA “dual” a c ⎜α > é maneira geral. <α⎜+<β⎜ onde CD é a abreviação de correspondência dual. Os demais são postulados relacionados à álgebra e foram coloridos de amarelo).2 ESPAÇO BRA Para prosseguirmos com a nossa álgebra. espaço BRA é a imagem no espelho do espaço KET. temos cα ⎜α > + cβ ⎜β > CD c* < α ⎜. Assim. . Com isso queremos dizer que: ⎜α > ⎜a’ > . ⎜a’’ >. Assim.. ou espaço BRA.2. de cα* < α ⎜ + cβ* < β ⎜ 4. postulamos mais duas propriedades do produto interno: 13 . fazendo ⎜α > . é conveniente requerer que todos KET’s que usaremos para os estados físicos sejam normalizados. podemos formar um KET normalizado ⎜ α ~ > = [ 1 / (< α ⎜α >) 1/2 ] ⎜α >.a no espaço Euclidiano. PROBLEMA 3 (Desafio) : O análogo relativístico da equação de Schrödinger para um elétron de spin 0 ( e portanto.3 PROBLEMAS (UMA REVISÃO) PROBLEMA 1: Resolva a equação de Schrödinger para um oscilador harmônico encontrando as autofunções (autoestados) e autovalores da Hamiltoniana. Visto que apenas a direção é importante em nosso espaço KET. 2 2 14 . análogo ao modulo rr de um vetor a. dado um ket não nulo ~ >. Essa é a condição de ortogonalidade. Como estamos ainda no inicio do desenvolvimento de novos conceitos e nova matemática. (b) Determine a equação radial. ⎜α O termo (< α ⎜α >) ½ é conhecido como a norma de ⎜α >. A segunda propriedade é algumas vezes conhecida como postulado da métrica definida positiva. (c) Determine o espectro de autovalores.Postulado: O produto interno obedece às seguintes propriedades : 10) < β ⎜α > = < α ⎜β >* 0 2) < α ⎜α > ≥ 0 Fica claro. eu sugiro que os estudantes façam uma revisão da equação de Schrödinger aprendida no curso de Estrutura da Matéria e particularmente aconselho os seguintes problemas (que serão úteis em nosso estudo) : 4. ⎜β > são ditos ortogonais se < α ⎜β > = 0. ⎛ E Ze 2 1 ⎞ ⎛ mc ⎞ 2 ⎜ ⎟ ψ = −∇ ψ + ⎜ h ⎟ ψ ⎜ hc − hc r ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ (a) Justifique as duas equações acima (a segunda equação é conhecida como equação de Klein-Gordon). usando a primeira propriedade acima que < α ⎜α > é um número real. Dois KETS ⎜α > . PROBLEMA 2: Resolva a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio encontrando as autofunções e os autovalores da Hamiltoniana. teremos que esperar um pouco mais para fazermos problemas relacionados e fixar essas novas idéias. isto é. (Sugestão: note a estreita conexão entre a equação radial obtida no item (a) e a equação radial do problema do átomo de hidrogênio do problema 2. Com as definições acima. não aplicável ao elétron real) é a versão de operadores da equação (E −V ) 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 . Enquanto isso. Os ilegais tem as seguintes formas: ⎜α > X .1) para Z temos: Z ⎜α > CD < α ⎜ Zƒ .1 OPERADORES Dois operadores são iguais. ( < β ⎜X ) Y = < β ⎜( X Y )= < β ⎜ XY . X = Y. com ⎜ α > arbitrário. continuação) 5. A adição de operadores é comutativa e associativa. Na aula passada. Usando a propriedade (5. Com o que foi visto até agora podemos provar que ( X Y )ƒ = Yƒ Xƒ . O resultado é outro BRA.X = < α ⎜ X . Dizemos que um operador é linear quando X (cα ⎜α> + cβ ⎜β> ) = cα X ⎜α> + cβ X ⎜β> . não são duais. em geral. 5. isto é: ( ⎜ β > ) (< α ⎜) = ⎜ β > < α ⎜. o KET X ⎜ α > e o BRA < α ⎜ X. onde o KET fica à esquerda do BRA. X ⎜α >. < α⎜ X e X Y. Em um BRA. Podemos então perguntar: existem outros tipos de produtos? A resposta é sim e vamos definir o chamado produto externo . Definiremos o símbolo Xƒ tal que X⎜α> CD < α ⎜ Xƒ (5. Note que o produto externo é um operador. ou seja. Em geral.FÍSICA QUÂNTICA I (Aula 7: Conceitos Fundamentais. ela não é comutativa : XY ≠ YX. Até agora definimos os produtos < β⎜α >. Mas X Y ⎜α > = X ( Y ⎜α > ) CD (< α ⎜ Yƒ ) Xƒ = < α ⎜ Yƒ Xƒ e portanto ( X Y )ƒ = Yƒ Xƒ. Um operador é chamado operador nulo se X ⎜ α > = 0 . (< α ⎜). se X ⎜ α > = Y ⎜ α > para todo KET ⎜ α >. vimos que um operador atua num KET pela esquerda. Além disso temos: X ( Y ⎜ α > ) = ( X Y ) ⎜ α >. os produtos ⎜α >⎜β > e < α ⎜< β ⎜ são considerados ilegais quando os KET’s ( BRA’s ) pertencem ao mesmo espaço vetorial. não são nem BRA . o operador atua pela direita . produtos que não são permitidos em nosso formalismo. X ⎜α > . segue: ( X Y) ⎜α > = < α ⎜( X Y )ƒ. isto é : X + Y = Y + X (propriedade comutativa) X + ( Y + Z ) = ( X + Y ) + Z (propriedade associativa ) . X é denominado Operador Hermitiano. No caso especial em que X = Xƒ . 15 . Prova : Lembramos que o produto de dois operadores é também um operador e portanto podemos escrever ( X Y ) = Z. ela é associativa : X ( Y Z ) = ( X Y ) Z = X Y Z.1) onde Xƒ é chamado de Adjunto Hermitiano ou Adjunto de X . pois ( ⎜ β > < α ⎜) ⎜ γ > = ⎜ β > (< α ⎜ γ> ) = < α ⎜ γ > ⎜ β > (produto externo) (KET) (KET) (número ) Abaixo nós consideramos alguns exemplos de produtos ilegais.2 MULTIPLICAÇÃO Uma importante propriedade relacionada à multiplicação de operadores é que. No entanto. nem KET e nem operador . . e que c ∗ = (< α ⎜γ > ) ∗ = < γ⎜α > Lembrando que c ⎜β > (ver postulado sobre o produto interno). onde (< α ⎜ γ >) é apenas um número. Mas X = ⎜ β >< α ⎜.5. Os autokets de A correspondendo aos diferentes autovalores são ortogonais. Multiplicando ambos os lados de A ⎜a’ > = a’ ⎜a’ > por * < a’’ ⎜ pela esquerda. < β ⎜. podemos usar a forma compacta : < β ⎜X ⎜α >. 5. escrevemos : ( ⎜ β > < α ⎜) . Mas pelo axioma associativo. pois em mecânica quântica. Com esse operador Hermitiano em mente e com as regras estabelecidas até agora. e ambos os lados de < a’’ ⎜A = a’’ < a’’ ⎜por ⎜a’ > pela direita. ∗ CD < β ⎜ c . (⎜α >). ⎜β > tem o seguinte correspondente dual: < β ⎜. onde a’. Com o axioma associativo podemos ver também que (< β ⎜). . (< α ⎜ γ >). < β ⎜= < γ ⎜ (⎜ α >< β⎜) e portanto mostramos que (⎜ β >< α ⎜)ƒ = ⎜ α >< β ⎜. Assim. Logo. Prova : X ⎜γ > CD < γ ⎜Xƒ . e sabendo que A é Hermitiano (enunciado).3 O AXIOMA ASSOCIATIVO DA MULTIPLICAÇÃO Quando estivermos tratando com multiplicações legais entre BRA’s . ⎜ γ > = ⎜ β > . a propriedade associativa é postulada ser válida em geral. (< α ⎜γ >) . operadores Hermitianos freqüentemente representam algum observável físico. ⎜β >. são os autovalores de A. Mas o primeiro membro pode ser escrito como (< α ⎜γ >) . de maneira que ⎜ β >< α ⎜γ > CD < γ ⎜(⎜ β >< α ⎜)ƒ. É fácil ver que se o operador X = ⎜ β > < α ⎜. vamos demonstrar o primeiro teorema. então Xƒ = ⎜ α > < β ⎜. KET’s e operadores.4 BASE DE KETS E REPRESENTAÇÃO POR MATRIZES 5. a última expressão (< γ ⎜ α >). ⎜β >)} ∗ = < α ⎜ Xƒ ⎜β > ∗ e se X é Hermitiano < β ⎜X ⎜α > = < α ⎜ X ⎜β > ∗ .1 AUTOKETS DE UM OBSERVÁVEL Consideremos os autokets e autovalores de um operador Hermitiano A. Note que o operador ⎜ β > < α ⎜ gira ⎜ γ > na direção de ⎜ β >. PROVA: Lembrando que A ⎜a’ > = a’ ⎜a’ > . Visto que os dois lados são iguais. Com essa notação segue ainda: < β ⎜ X ⎜α > = < β ⎜ ( X ⎜α >) = { (< α ⎜ Xƒ ).4. ( X ⎜α >) = (< β ⎜ X ). Como uma ilustração. o produto externo atuando sobre um KET é só outro KET e portanto ⎜ β > < α ⎜ pode ser considerado um operador. será usado para operadores Hermitianos.. (< γ ⎜ α >) = (< γ ⎜ α >). ⎜β > = c ⎜β >. TEOREMA: Os autovalores de um operador Hermitiano A são Reais. pois < α ⎜γ > = c é só um número e pode ser colocado em qualquer posição. a’’ . segue que (< α ⎜γ >) . Aqui o símbolo A . ∗ temos o seguinte dual para a equação de autovalores acima : < a’’ ⎜Aƒ = < a’’ ⎜A = a’’ < a’’ ⎜. temos : 16 .que foi reservado anteriormente para um observável. Logo. se considerarmos que os autovalores são diferentes. (5.4) Mas a’ e a’’ podem ser considerados iguais ou diferentes. onde discutiremos o processo de medida em mecânica quântica. Nós esperamos do ponto de vista físico que um observável tenha autovalores Reais. (5.6) a' r Isso é semelhante a expansão de um vetor arbitrário V em termos dos vetores ˆi no espaço Euclidiano.8) 17 . < a’’ ⎜α > = < a’’ ⎜ ∑ c a ' ⎜a’ > = ∑ c a ' < a’’ ⎜a’ > = ∑ c a ' δa’a’’ a' a' a' e o segundo termo é não nulo apenas quando a’ = a’’ . Visto que esses autovalores são Reais.7) a' Multiplicando (5. (5. (5. os autokets são ortogonais. os autokets de A formam um conjunto completo de nosso espaço KET. Subtraindo as equações ( 1 ) – ( 2 ) segue ∗ (a’ – a’’ ) < a’’ ⎜a’ > = 0. (5.3) < a’’ ⎜A ⎜a’ > = a’’ < a’’ ⎜a’ > . Logo ca’ = < a’ ⎜α > . um KET arbitrário pode ser expandido em termos dos autokets de A como segue: ⎜ψ > = ∑ c a ' ⎜a’ > . segue da equação acima que < a’’ ⎜a’ > = 0 ( se a’ ≠ a’’ ). 5. consideremos a situação em que eles são iguais.< a’’ ⎜A ⎜a’ > = a’< a’’ ⎜a’ >. Este teorema garante que os autovalores são Reais se o operador é Hermitiano. Esse é o motivo de falarmos em observáveis Hermitianos em mecânica quântica. da equação ( 3 ) a’ – a’’ = 0.5)). podemos obter imediatamente os coeficientes da expansão. Então. Neste caso. por construção. É conveniente normalizar os autokets ⎜a’ > de maneira que {⎜a’ >} forme um CONJUNTO ORTONORMAL : < a’’ ⎜a’ > = δ a’’ a’ .2 AUTOKETS COMO UMA BASE Vimos que os autokets normalizados de A formam um conjunto completo ortonormal (ver eq. 5 ) Desde o inicio de nossa discussão sobre o espaço KET. Primeiro.4.7) por < a’’ ⎜ pela esquerda e usando a propriedade de ortonormalidade (4). Consideremos o unitários e mutuamente ortogonais e KET abaixo ⎜α > = ∑ c a ' ⎜a’ >. Assim. estamos dizendo que tal espaço é expandido pelos autokets de um operador Hermitiano A. podemos escrever a equação ( 3 ) como (a’ – a’’) < a’’ ⎜a’ > = 0. ou a’ = a’’ e assim. os autovalores de A são Reais. pois estamos considerando ∗ ∗ os autokets não nulos e portanto. um ponto que ficará mais claro na próxima aula. (5. < a’’ ⎜a’ > deve ser não nulo. (5.2) ∗ (5. Agora. Voltando à equação (5.11) mostra que se ⎜α > é normalizado.9) r A expressão acima é análoga à expansão de um vetor V no espaço Euclidiano Real r r r ˆ i • V = Vi . e V = ∑e i Note que os autokets ⎜ a’> sendo normalizados. ⎜α > = ∑c a' a' ⎜a’ > = ∑ a' a' c a ' = ∑ a' a' a' α > . a eq. então os coeficientes ca’ dados pela expressão (5.Inserindo (5. vocês podem fazer uma analogia com a norma de um vetor no espaço v2 2 2 2 Euclidiano.11) Aqui. conforme a nossa conveniência. ou seja : 2 a' ∑c a' =1 . indicam apenas uma direção ˆi indicam as no espaço KET. A eq.10) é conhecida como relação de completeza ou relação de clausura.10) onde o 1 (em negrito) deve ser entendido como operador identidade.7) temos. ˆ i (e ˆi • V ) . V = V x + V y + V z . A relação (5.10) pode ser inserida em qualquer posição nessa cadeia. da mesma forma que os vetores unitários e direções x. (5. ∗ < α ⎜α > = < α ⎜( ∑ a ' a ' ) ⎜α > = ∑ ( α a' a ' α ) = ∑ á ' α a' α . BRAS e operadores multiplicados de maneira legal. por exemplo. (5. Logo um determinado KET pode ser escrito em termos dos autokets de um operador A como segue: ⎜α> = ∑ a' a' a' α > . o produto BRAKET < α ⎜α > . (5. ( KET ) (número ) (operador ) (KET) Visto que ⎜α > é arbitrário.8) em (5. o termo entre parêntesis deve ser o operador identidade .9) e usando o axioma associativo da multiplicação temos que ( ⎜a’ >) (< a’⎜α > ) = (⎜a’ > < a’⎜) ⎜α >. segue ⎜α> = ( ∑ a' a ' a ' ) ⎜ α > e portanto. ou seja ( ) a' a' a < α ⎜α > = ∑ a' a' α 2 (5. pois dada uma cadeia de KETS. (5.y e z no espaço Euclidiano. Considere.8) devem satisfazer 1 = < α ⎜α > = = ∑ a' a' α 2 = ∑c a' 2 a' . isto é ∑ a' a ' a ' = 1. Essa relação é muito útil. (5.12) 18 . <a’ ⎜X ⎜a’’ >. existe um produto externo e portanto um operador ⎜a’ ><a’⎜. esses números podem ser arranjados em uma matriz quadrada N × N como segue <a’’ ⎜X ⎜a’ >. Vejamos ! Na base { ⎜a’ > } . X pode ser escrito como X= ∑∑ a '' a' ⎜a’’ ><a’’ ⎜X ⎜a’ ><a’ ⎜. Obviamente. operador projeção . existem N autokets de A ).16) onde usamos a relação de clausura duas vezes.19) ∑ < a’’⎜X ⎜a’’’ >< a’’’ ⎜Y ⎜a’’ >.18) X= a ( 2 ) X a ( 2 ) K⎥ . Dessa forma. Já vimos que < a’’⎜X ⎜a’ > = < a’⎜Xƒ ⎜a’’ > ∗ .17) linha coluna Explicitamente: ⎡ a (1) X a (1) a (1) X a ( 2 ) K⎤ ⎥ ⎢ ( 2) (5. ⎜α> = ⎜a’ >(< a’ ⎜α>) = ca’ ⎜a’ > . se N =2. o qual daremos o nome de operador projeção pela razão que se apresenta a seguir.15) 5. a ''' onde inserimos o operador identidade (dado pela relação de clausura (5. (5. < a’’⎜Z ⎜a’ > = < a’’⎜ XY ⎜a’ > = (5.13) Note que a eq. teremos quatro números do tipo : <a’ ⎜X ⎜a’ >. digamos X. o operador ⎜a’ >< a’ ⎜ é conhecido como operador projeção na direção do ket da base ⎜a’ > e é denotado por Λa’. a operação adjunto Hermitiana.13) indica ( ⎜a’ >< a’ ⎜) seleciona aquela porção do KET ⎜α> que é paralelo a ⎜a’ >.10) ) entre os operadores X e Y. (5. ( ⎜a’ >< a’ ⎜) . Usando a relação de clausura. (5. Note que para um outro operador Hermitiano B temos < a’’⎜B ⎜a’ > = < a’⎜B ⎜a’’ > ∗ . <a’’ ⎜X ⎜a’ >. Note que se N é a dimensão do nosso espaço KET (isto é. Faça um teste e verifique que (5.Na eq. Deixemos esse operador atuar sobre um KET ⎜α > qualquer.3 REPRESENTAÇÃO POR MATRIZES Tendo especificado uma base de autokets { ⎜a’ > } do operador A. <a’’ ⎜X ⎜a’’ >. vamos agora mostrar como representar um operador qualquer. A maneira de arranjarmos < a’’⎜X ⎜a’ > em uma matriz quadrada está em acordo com a regra usual de multiplicação de matrizes. então existirão N2 números da forma <a’’ ⎜X ⎜a’ >. & ⎢ a X a (1) ⎥ ⎢ M M O⎥ ⎢ ⎦ ⎣ onde o símbolo = & significa “é representado por “ . Veja o exemplo: se Z= XY. por uma matriz quadrada nessa mesma base. 19 .4.(5. segue (5. (5. Por exemplo.14) ∑Λ a' a' = 1 .10). (5. está relacionada ao conceito mais familiar de “transposto conjugado complexo”. originalmente definida por X ⎜α > CD < α⎜ Xƒ.19) obedece a mesma regra de multiplicação de matrizes. Logo. Λa’ ≡ ⎜a’ >< a’⎜ . ou seja a' a '' 20 .23). A idéia de matriz pode ser vista mais claramente considerando <a’⎜γ > = ∑ < α ⎜X ⎜a’’ > < a’’ ⎜α > [ ] a '' matriz coluna Nx1 matriz quadrada NxN matriz coluna Nx1 <γ ⎜ a’ > = ∑ a '' < α ⎜a’’ > < a’’⎜X ⎜a’ > matriz quadrada NxN matriz linha 1x N matriz linha 1xN Fica claro que o produto interno < β ⎜α > pode ser escrito como o produto de uma matriz linha. Finalmente.24).21) a '' A relação acima pode ser vista como uma aplicação da regra de multiplicar uma matriz quadrada < a’ ⎜X ⎜a’’ > por uma matriz coluna < a’ ⎜α >. os coeficientes da expansão de ⎜α > e ⎜γ > podem se arranjados na forma de matrizes coluna como mostramos abaixo: ⎡ a (1) α ⎤ ⎡ a (1) γ ⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ( 2) ⎢ ( 2) a α ⎥ a γ ⎥ ⎢ ⎢ . representando ⎜ β >. representando < β⎜. por uma matriz coluna.20) Essa relação também pode ser escrita em termos dos nossos kets da base { ⎜ a’> } . consideremos o produto externo ⎜β >< α ⎢. γ = . Como podemos representa-lo por matrizes ? Vejamos! ⎜β>< α⎜ = ∑ ∑ a ' a β α a ' ' a ' ' .20) : < a’⎜ γ > = < a’⎜X ⎜α > . os coeficientes de expansão dos KETS em termos de uma base {⎜a’ >} formam uma matriz coluna. Assim.24) K⎤ ⎢ a ( 2) α ⎥ . (5. o BRA <γ ⎜ = <α ⎜X pode ser representado por uma matriz linha como segue : ∗ ∗ ∗ γ = γ a ( 2) γ a ( 3) K = ⎡ a (1) γ a ( 2) γ a ( 3) γ K⎤ & γ a (1) ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (5. representando ⎜α > : ⎡ a (1) α ⎤ ⎥ ⎢ ∗ ∗ (5.representando < α ⎜ pela matriz coluna. Igualmente. ou < a’⎜γ > = ∑ < a’ ⎜X ⎜a’’ >< a’’⎜α > . obtemos exatamente o conjugado complexo da expressão (5. (5.23) Note o aparecimento da conjugação complexa quando os elementos da matriz coluna são escritos como (5. o que é consistente com a propriedade fundamental do produto interno < α⎜β > = < β⎜α > ∗ . β α = a (1) β a ( 2) β & ∑ β a' a' α = ⎡ ⎥ ⎢ ⎦⎢ ⎣ a' ⎥ M ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ Note que se multiplicarmos a matriz linha .Vejamos agora o seguinte produto de um operador e um KET: ⎜γ > = X ⎜α > (5. A expansão dos coeficientes ⎜γ > pode ser obtida por multiplicar < a’⎜ à esquerda de (5.22) α = & ⎢ ( 3) & ⎢ ( 3) ⎥ ⎥ a α a γ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ M ⎥ Assim. representaremos os vetores da base de Sz por ⎜+> . Assim.29) não são Hermitianos.25) K⎥ . S− ≡ h ⎜−><+⎜. obviamente a matriz a' ' A a' é a á '' diagonal. Da mesma forma. Consideraremos mais uma vez o caso especial de sistemas de spin ½ .29) Exercício: mostre que os operadores em (5.> = ⎜−> ).26). (5. Exemplo: apliquemos Sz dado por (5. No entanto. o operador S+ atuando sobre o ket spin-down ( ⎜−> ) . ⎜−> . Lembramos que 1) vetores da base : ⎜Sz . podemos expandir Sz em termos de seus autokets como h Sz = ( ⎜+><+⎜ . o transforma em um ket spin-up ( ⎜+> ) multiplicado por h . automaticamente S+ levará a um ket nulo. ⎜Sz . se a componente de spin não puder mais ser levantada. é que S+ levanta a componente de spin por uma unidade de h .28) 2 A relação autoket-autovalor segue imediatamente da propriedade de ortonormalidade de ⎜+>. A = ∑ a' a' a' = ∑ a' Λ a ' . 2 2 2 2 É instrutivo considerar dois operadores não Hermitianos definidos por S+ ≡ h ⎜+><−⎜ . & a ⎥ ⎢ M M O⎥ ⎢ ⎦ ⎣ A representação por matriz de um observável A é particularmente simples se os autokets de A são os próprios autokets usados como a base. a' a' (5.27) De acordo com a expressão (5. Assim temos A = ∑ ∑ a ' ' a ' ' A a ' a ' . (5. . usamos ⎜Sz . Por uma questão de simplicidade. Note que da definição (5.⎜−><−⎜ ) ⎜+> = ⎜+><+⎜+> ⎜−><−⎜+> = ⎜+>. Por outro lado S+ ⎜+ > = 0.⎜−><−⎜ ) .4.26) 5. −> ( espaço vetorial de dimensão 2 ) 3) Essa base é formada pelos autokets do operador Sz . temos h h h h Sz ⎜+> = ( ⎜+><+⎜ .4 EXEMPLO COM SISTEMAS DE SPIN ½ Aqui será instrutivo darmos um exemplo de como toda essa matemática se relaciona com problemas físicos. + > = ⎜+> e ⎜Sz . +>.29) temos S+ ⎜−> = h ⎜+><−⎜−> = h ⎜+>. O operador mais simples no espaço KET expandido pelos kets da base ⎜+> e ⎜−> é obviamente o operador identidade 1 = ⎜+><+⎜ + ⎜−><−⎜ .28) no KET ⎜+>. A interpretação física desse resultado. isto é. S− pode ser interpretado como um operador que abaixa a componente de spin por uma 21 .∗ ⎡ a (1) β a (1) α ∗ a (1) β a ( 2) α K⎤ ⎥ ⎢ ∗ ∗ ( 2) (1) ( 2) ( 2) ⎢ β α = β a α a β a α (5. Assim. a' ' A a' = a' ' A a' δ a 'a '' = a' δ a 'a '' . ⎜−> ( isto é. (5. − = &⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ ⎣1⎦ Sz = & ⎡0 1 ⎤ h ⎡1 0 ⎤ = . Assim. mostraremos que S ± = S x ± iS y .unidade. temos ⎡1⎤ ⎡0 ⎤ + = &⎢ ⎥ . no caso de spin ½ . S h & + ⎢0 0 ⎥ ⎥ 2⎢ ⎣0 − 1⎦ ⎣ ⎦ ⎡0 0 ⎤ . Para construirmos as representações matriciais dos operadores de momento angular. é costume indicar a coluna (linha) na ordem decrescente das componentes de momento angular. S− = & h⎢ ⎥ ⎣1 0⎦ 22 . Mais tarde nesse curso. Viçosa. Prof. 36570-000.J. Email: apereira@ufv. Universidade Federal de Viçosa. O conteúdo é equivalente a aproximadamente 6 aulas. O texto é baseado no livro “Modern Quantum Mechanics” de J. Minas Gerais. adotado nessa disciplina durante o período acima mencionado. Sakurai. Afrânio Rodrigues Pereira Departamento de Física.br .MECÂNICA QUÂNTICA FORMALISMO (Parte 2) Parte de notas de aulas relacionadas à disciplina FIS 660-Mecânica Quântica do curso de Mestrado em Física da Universidade Federal de Viçosa durante os anos de 2001 a 2005. A definição de medida sobre um sistema microscópico é tão crucial para o nosso presente interesse que faremos uma discussão mais detalhada. Aqui nós consideraremos apenas “ensembles” nos quais todos os membros podem ser caracterizados pelo mesmo KET ⎜α >. queremos dizer que realizamos uma medida simultânea de A sobre todos os membros do ensemble. antes que uma medida de um observável A seja feita. Sabemos que a medida deve mudar o estado do sistema. nós gostaríamos de medir observáveis suficientes em um tempo tM para sermos capazes de prever a evolução do sistema em t > tM . Tal “ensemble” é denominado ensemble puro. qualquer estado do “ensemble” pode ser representado por um KET ⎜α > . Agora podemos nos perguntar: o que muda em um sistema.observado que pode ser resumida na seguinte regra: é impossível realizar uma medida sobre um sistema microscópico que não perturbe o sistema de uma maneira significante. assumimos que o sistema seja representado por alguma combinação linear dos autokets de A. Assim. + >. quando realizamos uma medida de um observável A? Seguindo Dirac. imprevisível e incontrolável. em um dado instante de tempo . podemos usar o já badalado experimento de Stern-Gerlach.1 MEDIDAS Já desenvolvemos a matemática do espaço-ket e agora estamos prontos para discutir a teoria quântica dos processos de medida. respondemos: “Uma medida sempre fará com que o sistema salte para um dos autoestados da variável dinâmica que está sendo medida”. A palavra inglesa “ensemble” significa conjunto. Para exemplificar um ensemble puro. Uma idéia central para a interpretação da mecânica quântica é o conceito de “ensemble” de sistemas microscópicos. tais previsões são impossíveis. como segue . No entanto. em mecânica quântica. Um dos objetivos primários de um experimento é determinar informação suficiente sobre o estado de um sistema. de acordo com o primeiro postulado. Sistemas individuais em um “ensemble” são denominados membros. o físico quântico tem que conviver com uma inevitável interação observador. pois todos os átomos do feixe (existem muitos átomos no feixe e cada átomo é um membro ) são caracterizados pelo mesmo KET ⎜Sz .FÍSICA QUÂNTICA I (Aulas 8 e 9: Medidas e Observáveis ) 6. Assim. Isto é. Um feixe de átomos de prata que sobrevive ao primeiro aparato SG-z com a componente Sz– bloqueada é um bom exemplo de ensemble puro. Quando falamos em “uma medida de um observável A no instante de tempo tA “. Diferente do físico clássico. a não ser que saibamos o que a medida pode fazer com o estado KET (lembre-se do primeiro postulado: o estado KET contém toda a informação sobre o sistema físico). Um “ensemble” é uma coleção contendo um número muito grande de sistemas idênticos e que não interagem. todos preparados no mesmo estado quântico. para capacitar a previsão do comportamento subseqüente do sistema. então temos que fazer muitos experimentos idênticos para testarmos as previsões da teoria. um átomo de prata do feixe que sai do forno com orientação de spin arbitrária (que é um sistema físico) mudará para ⎜Sz . existe uma incerteza com relação ao observável A. a probabilidade de encontrarmos um autovalor a’ do correspondente operador A é ⎜< a’ ⎜α >⎜2 . nessa situação. que denotaremos por ΔA (mais tarde definiremos tal incerteza). á' a' (6. + > ou ⎜Sz . Agora pense . . não poderemos saber de antemão em qual dos vários ⎜a’ > ‘s o sistema será atirado como resultado da medida. A razão está na interpretação probabilística resumida no quarto postulado. dizemos que o resultado da medida de A é a’. Agora fica claro porque definimos um ensemble contendo um grande número de sistemas físicos idênticos. o sistema é atirado em um dos autoestados (autokets). do observável A. os membros do ensemble não têm um valor definido para o observável. Com isso em mente. Quarto Postulado: Quando um observável físico é medido em um sistema descrito pelo KET normalizado ⎜α >.e. Esses valores. introduzimos o terceiro e o quarto postulados da mecânica quântica: Terceiro Postulado: O único resultado possível de uma medida de um observável físico representado pelo operador A é um dos autovalores desse operador. A única exceção a essa regra aparece quando o estado já estava em dos autoestados do observável que está sendo medido. agora sabemos. Dado a expressão (6. Em símbolos. isto é. que representa o estado KET de um sistema físico antes da medida. ⎜α > medida de A ⎜a’ > No experimento Stern-Gerlach. essa condição significa que em um instante antes da medida. poderemos saber a probabilidade do sistema ser encontrado. Imagine que queremos medir um observável representado por um operador A.1). i. a medida usualmente muda o estado. qualquer um dos quais pode aparecer na medida.. fica surpreendentemente fácil ver que uma medida deve mudar o estado do sistema. seus estados podem ser os vários possíveis valores do observável. A teoria quântica poderá nos dar uma resposta apenas probabilística. Logo. após a medida. Suponha que o arranjo experimental é tal que o estado antes da medida não seja um auto-estado de A.1) Quando a medida é realizada. digamos a ' .> quando passar por um aparato do tipo SG-z. em algum ⎜a’ > particular. Se estamos falando em probabilidade. onde ⎜a’ > é um autoket normalizado de A associado ao autovalor a’ .α = ∑ c a ' a' = ∑ a a' α . Nesse caso ⎜a’ > medida de A ⎜a’ > Quando a medida muda ⎜α > em ⎜a’ >. estão entre os autovalores do operador A. Em termos de um ensemble. Com isso em mente. as probabilidades para as várias possibilidades alternativas devem ser adicionadas à unidade. Obviamente a probabilidade para o acontecimento de qualquer coisa deve ser não negativa. o sistema de spin ½ . +> SGx SGz ⎜Sz . (6. temos o valor medido a’. usaremos novamente o sistema de dois estados que temos analisado ao longo do curso.sobre o que acontece ao ensemble quando medimos o observável A: cada membro exibe um dos possíveis autovalores de A. ⎜Sz .1. Ambas essas expectativas estão contidas no quarto postulado. No entanto ela concorda com a nossa noção intuitiva de “valor médio”. Mais ainda. Observação: não confundir autovalores com valor esperado. Mais tarde faremos uma análise crítica da estrutura da teoria apresentada até agora. 6. Após a medida.. usando o formalismo matemático escrevemos esse resultado experimental como + S x .e. Nossa análise anterior só nos levou à expressão e autokets do operador Sz. O autoket ⎜Sx . −> Fig. e assim estará em um auto-estado de A. Logo. o valor que ele exibe na medida. Experimento de Stern-Gerlach em seqüência. i. Basicamente temos uma média ponderada. pois < Α >α ≡ < α ⎜ Α ⎜ α > = ∑∑ α a' a '' a' ' a' ' A a' a' α = ∑ a' a' α a' 2 . Os resultados do experimento de Stern-Gerlach em seqüência combinados com os postulados da mecânica quântica discutidos até agora são suficientes para determinarmos também os autokets e expressões para os operadores Sx e Sy.3) Note que no último termo. como segue: < Α >α ≡ < α ⎜ Α ⎜ α > . Para exemplificar todo esse formalismo.4) .− = 1 / 2 (6. + > iguais intensidades ⎜α> Forno Este resultado experimental mostra que a probabilidade do estado ⎜Sx . ± > ( que denotaremos por ⎜ ± > como anteriormente) é ½ . cada membro exibirá um autovalor de A.2) A expressão acima é uma definição.+ = − S x . Iremos agora definir o valor esperado de A tomado com respeito a ⎜α > . +> ser atirado em ⎜Sz . Veja a figura abaixo! ⎜Sx . −> foi bloqueado. multiplicado pela probabilidade de obte-lo. onde os coeficientes de ponderação são as probabilidades. (6. 7) e (6.9) S x = e − iδ 1 + − + e iδ 1 − + .5) a =b. + > = 1. De (5. Um argumento similar ao anterior com Sx trocado por Sy leva a 1 1 iδ 2 + ± e − . Sendo os autokets ⎜+> e ⎜−> ortonormais e usando (6.+ − S x . [ ] .8) 2 2 onde novamente o coeficiente de ⎜+> foi escolhido Real e positivo. + > = (6. +> e ⎜Sz .26) temos h S x = [ S x . . como esperado. com (6.10) 2 2 e b= 1 e iδ 1 ou a = 1 e iδ 1 . ⎜Sx .5) temos < Sx . -> deve ser ortogonal a ⎜Sz . Com (6. +> = a ⎜+> + b ⎜−> . Sx é Hermitiano. −> (usaremos a representação ⎜+> e ⎜ −> para esses dois autokets de Sz ) da seguinte forma : ⎜Sx . +> se divide em dois feixes ⎜Sz . ± > = (6. Com o experimento esquematizado na figura (6. ⎜Sy . ⎜Sx .8) obtemos : 2 h (6.Lembrete: < β⎜α > pode ser lido como a amplitude de probabilidade de um determinado sistema que está no estado ⎜α > ser atirado (por algum aparato de medida) em um estado ⎜β >.26).6) 2 2 onde δ1 é um número Real.1) e a expressão (6. Esse requerimento nos leva a 1 1 iδ 1 + − e − .7) e (6. + ⎜= a ∗ + + b ∗ − . + > = aa ∗ + + + a ∗ b + − + b ∗ a − + + bb ∗ − − = 1 .7) 2 2 O ket ⎜Sz . visto que eles são mutualmente exclusivos. 2 Note que. mas seria interessante que você demonstrasse isso novamente. escolhemos o coeficiente do autoket ⎜+> como sendo Real e positivo por convenção. 2 podemos então escrever (6. então podemos escrevê-lo como uma combinação linear de ⎜Sz . +> e ⎜Sx .− ] . e após usarmos (6.+ S x . ou 2 2 ainda 2 a = 1 → a = b = 1 / 2 . +⎜Sx . Usando o fato de que a fase não tem importância física. −> ? Se o feixe ⎜Sx .− S x . −> com iguais intensidades . +⎜Sx .> = (6. Mas a teoria nos diz que < Sx . ou a + b = 1 . +>.8) em mãos podemos rapidamente construir uma expressão para o operador Sx bastando usar a equação (5. Lembrando que a e b são números complexos. +> e ⎜Sz . Assim 1 1 iδ 1 + + e − . onde < Sx . A prova já foi feita em sala de aula.4) em mãos perguntamos: quais os autokets ⎜Sx . o outro deve ser puramente Imaginário.13).e. Esse exemplo mostra novamente que a introdução de números Complexos em mecânica quântica é uma característica essencial.2: invariância das leis físicas com relação a rotações. a invariância dos sistemas físicos sob rotações. ˆ . fazendo-o apontar ao longo da direção y (ver fig. Fica fácil ver então que os elementos de matriz de Sx. Se um deles for Real. é conveniente escolhermos Sx como Real e usar δ 1 = 0 . O segundo angulo de fase δ 2 deve então ser ± π / 2 .− = 1 / 2 . 6.± S x .1) se giramos o campo magnético que aponta ao longo de z. Z Fig. Quando escolhemos δ 1 = 0 . mas não a direção y especificamos apenas as direções x especificamos o sistema de coordenadas. Os resultados dos experimentos de Stern-Gerlach em seqüência seriam análogos aos da figura (6.10) e inserindo em (6. não ˆ e z ˆ .6. −> Sy = Fig.7) a (6. 2 Nossa solução ainda não está completa.8) e (6. esquematizado abaixo. Mas ainda existe uma ambigüidade e isso não é surpresa. (6. A escolha δ 2 = π / 2 é consistente com o sistema de coordenadas tradicionalmente usado. a saber.12) obtemos: 1 1 1 ± e i ( δ 1 −δ 2 ) = . Sy não podem ser Reais.. ⎜Sy . +> ⎜α> iguais intensidades Forno SGx SGy ⎜Sy . pois não conhecemos os números Reais δ1. Com o resultado (6. por 900.+ = S y . Y X . i. + > ⎜Sx .11). δ2 que aparecem nas expressões (6. (6.12) Usando (6.3: Sistema de coordenadas consistente com nossas convenções.2) ). [ ] Aqui também teremos: S y . ± S x .h − iδ 2 (6.13) 2 2 A equação acima tem solução somente se δ 1 − δ 2 = ±π / 2 . Para determinarmos tais constantes devemos usar uma informação ainda não explorada. (6.11) e + − + e iδ 2 − + . além de seus autokets na base de Sz. (6.19) i j {S . 2 h [− i + − + i − + ]. escrevendo as expressões para os operadores Sx e Sy . B} ≡ AB + BA .Abaixo fazemos um quadro resumindo o que deduzimos até agora.17) S i .16) Para o nosso sistema de Spin ½ é fácil checar que : (6. Primeiro definiremos o comutador de dois operadores A e B: [A. ± > = 2 2 ⎜Sy . Lembramos novamente que todos os resultados se basearam no experimento de Stern-Gerlach e nos postulados da mecânica quântica. B] ≡ AB − BA.S ≡ S x + S y + S z . podemos definir mais um operador Hermitiano como segue r rr 2 2 2 S 2 = S . Sx = Sy = h [ + − + − + ].15) O anticomutador é definido como: {A. Agora iremos definir algumas relações que serão extremamente importantes em nosso curso. ± > = 1 2 + ± i 2 − .18) ij . 2 Os operadores S ± definidos por S + ≡ h + − e S − ≡ h − + podem também ser escritos em termos de Sx e Sy como segue (6. [ ] e (6. Resumo 1 1 + ± − ⎜Sx . S j = iε ijk hS k . 2 Para fecharmos todos os operadores que podemos trabalhar nesse sistema de dois estados. Essas relações podem ser facilmente verificadas usando o quadro acima.14) S ± ≡ S x ± iS y . (6. S } = 1 h δ 2 . (6. Obtenha as relações de comutação entre esses operadores usando essa representação. n ˆ .20) pode ser escrita como S 2 = s ( s + 1)h 2 . . Sendo assim esse operador comuta com as três componentes de spin Sx. β ( mostrados na figura do livro .21) S 2 . problema 9 ) Encontre | S . Sx e Sy. + > S. pag. onde s=1/2 . pois sh (ou seja.18). + > tal que ˆ |S. Problema Resolvido ( Livro texto Sakurai . h / 2 ) é sempre menor que s ( s + 1)h = 3h / 2 . a relação (6.21) continuará válida. Usando a relação de anticomutação (6. Vocês já podem fazer praticamente todos os problemas do livro envolvendo espaços KET discretos. Obs: nos problemas 2 e 3 aparecem as matrizes de Pauli.Esse operador é associado ao quadrado do momento angular de spin. ⎣0 − 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎣i 0 ⎦ Algumas vezes usaremos os índices 1. n ˆ é caracterizado pelos ângulos α . Sy e Sz . rr S . Entretanto. Mostre que os operadores Sz. + > = ( h / 2) | S . “O momento angular não está nunca apontando completamente ao longo da direção-z ”! [ ] PROBLEMAS 1. y e z respectivamente. onde as matrizes σ z . σ x . 62 ) . S não será múltiplo do operador identidade. S i = 0. pagina 61. σx =⎢ e σy =⎢ ⎥ ⎥ ⎥. Expresse sua onde n resposta como uma combinação linear de | + > e | − > . Assim.20) S 2 = h2. 4 r isso é. ou seja r (6.Sy = & σ y . n ˆ . para sistemas de spin ½ o operador S 2 é uma constante vezes o operador identidade. mostraremos que para sistemas de spin maior que ½ . σ y são as 2 2 2 matrizes de Pauli dadas por: ⎡1 0 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡0 − i ⎤ σz =⎢ . r2 No final do curso. embora classicamente pensaríamos que o maior valor possível da r componente-z (ou qualquer outra componente ) de S seja exatamente S _isto é. n .S _ em mecânica quântica o máximo de Sz será sempre um pouco menor que S . 2 e 3 para x. r Note que a equação (6. 2. vemos facilmente que r 3 (6. Sx = & σ x. têm as seguintes representações por h h h matrizes: S z = & σ z . 3. Multiplicando essa equação por a e a equação (2) por b* . n e = ( h / 2 ) ( | + >< − | + | − >< + | ) . 6. Escolhendo θ = 0 segue ν = α . 7. isto é. + > = cos( β/ 2 ) | + > + sen( β/ 2 ) e i α | − >.| + >< − | + | − >< + | ) S z = ( h / 2 ) ( | + >< + | .| ) . { | +> .( cos β ) b = b (2) O complexo da primeira equação do sistema acima é ( sen β cos α + i sen β sen α ) b* + ( cos β ) a* = a* .(ver problema 5). Desta forma ˆ . obtemos = ( cos β + 1 ) / 2 . também são Hermitianos. ( Aqui usamos a identidade cos( β / 2 ) =[ ( cos β + 1 ) / 2] ½ e o fato de a ser complexo. temos podemos escrever ou ( sen β cos α Sx + sen β sen α ˆ |S.Para os operadores L e M satisfazendo a condição LM – ML = 1. lembrando que Sx |S. n Fim do problema 9 do livro texto. apontando em certa direção do espaço físico tridimensional .Mostre que . n y = sen β sen α . + > = a | + > + b | − > . n r r ˆ .|2><2| + |1><2| + |2 ><1| ). . n ˆ .i α ] b / ( 1 . temos ( sen β cos α + i sen β sen α ) b* a + ( cos β ) | a | 2 = | a | 2 (3) (4) ( sen β cos α + i sen β sen α ) a b* .| − >< . vem | a | . sen( β / 2 ) e i ν . 5. onde | a | 2 + | b | 2 = 1 ( condição de normalização ) . temos : S . Logo ˆ . n ˆ . É fácil ver da equação ( 1 ) que a também pode ser escrito como |a| 2 a = [ ( sen β ) e.θ ) . Assim . então os operadores F = (1/2) (LM + ML ) e G = (i/2) (LM – ML ). com n x = sen β cos α ˆ+ ny ˆ ˆ=nx i j + nz k . n ˆ . O operador Hamiltoniano para um sistema de dois estados é dado por H=a (|1><1| .( cos β ) | b | 2 = | b | 2 2 2 Subtraído ( 3 ) e ( 4 ) e usando a condição de normalização .se L e M são operadores Hermitianos.Para os operadores L e M satisfazendo a condição LM – ML = 1.PROBLEMA RESOLVIDO: (mais uma colher de chá ! Livro texto Sakurai. α = ν .Solução : ˆ n é um vetor unitário arbitrário . + > também pode ser expandido em termos da base de S z . Usando os valores obtidos de a e b .i sen β sen α ) b + ( cos β ) a = a ( sen β cos α + i sen β sen α ) a . página 62. + > S.Precisamos determinar as fases θ . a = cos( β / 2 ) e i θ. vem b= e i α = e i ( ν .encontre LM 2 – M 2 L . problema 10).| − > } . ou a = cos( β / 2 ) e i θ .θ .cos β ) . Usando novamente a condição de normalização. |S. Mas o ket | S . S y = ( i h / 2 ) ( . isto é . Sendo S = Sx i j+ Sz k ˆ . n ˆ+ S y ˆ ˆ = sen β cos α Sx + sen β sen α S y + n z = cos β . ou seja cos β S z . ν . encontre f( L ) M – M f (L) . 4. n S y + cos β S z ) ( a|+> + b|−> ) = ( h/2)( a|+> + b|−> ) da qual obtemos as seguintes relações : (1) ( sen β cos α .| b | = cos β . + > = ( h / 2) | S . Desta forma b = sen( β / 2 ) e i ν . onde f (L) é uma função qualquer do operador L . 2a.a c2 . obtemos outras duas equações da forma : a2 [ 1 + c1 c2* + c2c1* ] = e2 | c1 | 2 (5) .a c2 . temos : a ( c1 + c 2 ) = e c1 ⇒ c1 ( a – e ) = .1 ) . ( 1 ) e ( 2 ). onde e representa os autovalores e | ψ > representa os autokets. (4) com a primeira das Eqs. (5) e a segunda das Eqs. (6) Somando as equações ( 6 ) . podemos usar qualquer uma das equações ( 4 ). Multiplicando a primeira das Eqs. Pelo formalismo matemático da Mecânica Quântica olhar a expressão para o operador H ). Este conjunto é ortonormal.Usando novamente | c1 | 2 ) – 1/ 2 ( | 1 > + ( 2 + | c2 | 2 = 1. Usando a primeira . (1) Com a condição de que | ψ > seja normalizado (< ψ | ψ > = 1 ) . σ z = ⎜ ⎜ 0 − 1⎟ ⎟. . Assim. devemos considerar a seguinte equação: H |ψ > = e |ψ >. Encontre as autofunções e autovalores para os operadores σ x e σ y . Para determinarmos os correspondentes autovetores . Tentem fazer este mesmo problema Fim do problema 10 do livro texto. Dado os operadores (matrizes de Pauli) ⎛0 1⎞ ⎛0 − i⎞ ⎛1 0 ⎞ σx =⎜ ⎜1 0⎟ ⎟. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ prove as seguintes relações: (a) sen (σ x ϕ ) = σ x sen ϕ . Fazendo o produto explicitamente. 8. podemos obter c1 e c2 que substituídos na Eq. Da mesma forma |ψ 2 > = ( 2 (2 + 2 ) – 1/ 2 ( | 1 > .segue c1 ( a – 2 a) = . a2 [ 1 .| 2 > < 2 | + | 1 > < 2 | + | 2 > < 1 | ) . | 2 > }. temos | c1 | + | c2 | = 1. a ( c1* – c2*) = e c2* . a base é formada pelos autokets de algum operador Hermitiano sendo dada por { | 1 > . Fica claro que esta base não é a base de H (basta apenas podemos expandir | ψ > em uma combinação linear da base.c2c1* ] = e2 | c2 |2 . (b) cos (σ z ϕ ) = cos ϕ . obtemos os dois autovalores de H : e = ± 2 a .(2) levam a para e= |ψ 1 > = ( 2 (2 - 2-1)|2>). Vamos primeiro obter os autovalores e1 e e2 . Como queremos calcular os autovalores e autovetores de H . podemos escrever as equações ( 4 ) tomando suas complexas conjugadas : 2 2 (2) a ( c1* + c 2* ) = e c1* . para e = - 2a. ( c1 | 1 > + c2 | 2 > ) = e c1 | 1 > + e c2 | 2 > .( usando a representação por Matrizes! 2 +1 ) | 2 > ) . SOLUÇÃO : neste espaço bidimensional .c1 c2* . (4) com a segunda das Eqs. 9. Encontre os autovalores e os correspondentes autokets de energia (como combinação linear de | 1 > e | 2 > ). ou 2 . (5) e usando | c1 | 2 + | c2 | 2 = 1 . temos : (3) a ( | 1 > < 1 | . obtemos duas equações do tipo : a ( c1 + c 2 ) = e c1 . Usando a definição do operador H dada no problema e as Eqs.onde a é um número com unidade de energia. Para o primeiro autovalor e = c1 = c2 / ( 2 a . (4) Lembrando que os números a e e são Reais. σ y = ⎜ ⎜i 0 ⎟ ⎟. escrevemos | ψ > = c1 | 1 > + c2 | 2 > . pois estão relacionados com os autovalores da energia (o operador H é Hermitiano). a ( c1 – c2 ) = e c2 . Encontre as relações de comutação para os seguintes operadores: r r r ∂ d (a) x e . a dinâmica do Ket. Por exemplo. Pode existir muitas variáveis que descrevem o mesmo estado. O estado e as variáveis dinâmicas são igualmente importantes em teorias físicas.Os problemas a seguir envolvem espaços contínuos que vocês começarão a estudar na aula de 09/04/2000 (isto é. ⎝ dx ⎠ 2 12. na aula em que essa lista será entregue . Falta ainda um postulado e o objetivo dessa seção será colocá-los todos juntos e fazer uma analise crítica da teoria. Portanto. o espaço de fase de uma partícula clássica (sistema simples) é uma multiplicidade diferenciável de seis dimensões. (c) e f (r . Mas antes de apresentarmos definitivamente a estrutura da mecânica quântica. vamos rever alguns conceitos primitivos que são comuns em teorias físicas. O postulado que está faltando poderia ser colocado como o terceiro e então mudaríamos a ordem estabelecida no nosso raciocínio inicial. tivemos a oportunidade de ver quatro postulados da Mecânica Quântica. (b) ih ∇ e A ( r ) . ϕ ) . Ache o operador translação que mapeia ψ ( x) em ψ ( x + a) . em termos de sua posição e momentum. o assunto de uma teoria é denominado sistema físico. digamos. o qual toma o lugar do que ordinariamente chamamos “coisa”. Um sistema pode consistir de muitas partes. Todos os estados possíveis do sistema estão englobados em seu espaço de fase. o estado da partícula pode ser definitivamente descrito. e a variação temporal de seu estado traça uma curva no espaço de fase. Em geral. Quando as variáveis dinâmicas específicas são escolhidas. sistemas de uma única parte são chamados simples (individual). ∂ϕ dx 11. introduzido no primeiro postulado. Caracterizações definidas são feitas pelas variáveis dinâmicas. Encontre a relação explícita para os seguintes operadores: ⎛d ⎞ (a) ⎜ + x ⎟ . θ . isto é. O estado de um sistema físico nos dá um resumo abstrato de todas as suas características num tempo específico sem se comprometer com qualquer tipo específico de caracterização. Trata-se do postulado que determina a evolução temporal. . Um sistema pode assumir diferentes estados em tempos diferentes. A Estrutura da Mecânica Quântica (resumos e comentários) Anteriormente. ⎝ dx ⎠ 2 ⎛ d ⎞ (b) ⎜ x ⎟ . podem colocar a mão na massa! ) 10. A partícula é governada pela equação de movimento de Newton. não temos critérios satisfatórios que separam sistemas quânticos de clássicos. O limite é “embaçado”. Um estado quântico é o resumo máximo e completo das características do sistema quântico em um momento do tempo. e as variáveis características que mudam no tempo. introduzindo o que estava faltando e. tal como uma coleção de elétrons preparados em algum modo definido (por exemplo. Com muita freqüência. consideraremos apenas estados puros de sistemas físicos simples (individual) e observáveis com espectros não degenerados. em um estado de spin up). Por exemplo. Podemos então considerar o mundo quântico em regiões onde a Física clássica falha. suas variáveis dinâmicas (como já vimos. chamadas observáveis). o fenômeno da supercondutividade pode ser bem extenso. Em cosmologia quântica. consideremos agora os postulados da mecânica quântica. Postulado 1. Abaixo de cada postulado faremos comentários. Tais sistemas não são meramente ideais. mudando a ordem estabelecida nas seções anteriores. todo o universo é representado por um estado quântico. Um estado de um sistema quântico é representado por um vetor (raio) unitário α em um espaço de Hilbert complexo H. o que é um espaço de Hilbert complexo. Um espaço de Hilbert H é uma . uma propriedade que ele divide com as variáveis dinâmicas clássicas. e a barra de Weber elaborada para experimentos com objetivo de detectar ondas gravitacionais pesa quase uma tonelada e mesmo assim ambos os sistemas podem ser representados por um vetor estado quântico (Ket). mas apenas a dimensão não é um critério suficiente. Além de descrever o estado. Algumas vezes. sistemas simples (individuais) são considerados. cujas interações com o resto do mundo. portanto. Sistemas quânticos são geralmente microscópicos. a equação de movimento com condições iniciais nos dá uma descrição completa e máxima da trajetória de uma partícula clássica”. A descrição do estado consiste de constantes características tais como a massa e a carga do sistema. A coleção de todos os estados permissíveis para um sistema quântico é representado teoricamente por seu “espaço-estado” (ou espaço de fase). Tal qualificação impõe um limite sobre a validade da mecânica quântica. não existe ainda evidencia de que ela se aplique diretamente a entidades clássicas. recentes experimentos têm produzido estados de um único fóton e “capturado” átomos individuais para registrar suas transições. Para efeito de comparação.A estrutura da mecânica quântica tem mais elementos. Mais especificamente. Com os conceitos primitivos expostos acima. um sistema pode também estar em um ensemble de itens tratados como uma unidade. Mecânica quântica prevê a probabilidade de obter cada resultado. Nessa seção. têm uma estrutura conceitual mais complicada. um observável também nos dá os possíveis resultados de uma medida. Vou escrevê-los novamente. O assunto da mecânica quântica é um sistema isolado. a qualificação acima tem o mesmo significado que a frase “em mecânica Newtoniana. agora de uma maneira completa. incluindo instrumentos para a sua medida. são negligenciadas. i i ∑ i ci 2 = 1.generalização do espaço Euclidiano familiar. é unitária quando α são chamados é um vetor unitário. Um observável associado com um sistema quântico é representado por um único operador hermitiano A atuando sobre seu espaço de Hilbert. Um vetor pode ser representado como uma combinação linear de outros vetores. Eles não devem ser confundidos com seus xarás clássicos. um estado quântico é representado por um vetor unitário α . Um observável é uma variável dinâmica. Postulado 2. Os números amplitudes. também representa o mesmo estado. posição e momentum. Uma base de H é análoga a um sistema de coordenadas na geometria cartesiana. segue que se α representa um estado. Este é o princípio de superposição quântico. Mais especificamente. um estado pode ser expandido em uma superposição linear de outros estados. em geral. α α = 1 . então e iθ α . Dois vetores ⎜βi > e ⎜βj > são ortonormais se < βi ⎢βj > = δij e um conjunto ortonormal de vetores { ⎢βi >} formam uma base de H se cada vetor em H pode ser escrito como uma combinação linear de seus membros. ou amplitudes de ci ≡ φ i α probabilidades para distinguirmos de outras amplitudes familiares na mecânica 2 clássica. mas lembrando que um vetor unitário é aquele cuja a norma ou magnitude é igual a 1. onde θ é um número arbitrário chamado fator de fase. O princípio pode ser entendido da seguinte maneira: a adição ou subtração de quantidades geralmente levam a uma quantidade do mesmo tipo. Ele é um espaço linear cujos elementos ⎜β > são chamados vetores (ou raios). o significado de c i não precisa ser conferido. uma quantidade do mesmo tipo. As características de um estado são mais obvias a partir de suas relações com outros estados. O número de vetores da base nos dá a dimensão de H. Mecânica quântica é peculiar no sentido que seu próprio espaço de fase possui a estrutura requerida para suportar as operações de adição e subtração. Como já vimos. α pode ser escrito em termos de um conjunto de estados da base { φ i } como onde a soma ci complexos 2 α = ∑ φ i α φ i = ∑ ci φ i . a superposição de dois estados quânticos é um estado quântico. que mapeia um par de vetores ⎜βi > e ⎜βj > em um número complexo < βi ⎢βj >. O momentum quântico tem uma . mas a raiz quadrada de um comprimento eu não sei o que é. a raiz quadrada de uma área é um comprimento. Assim. a soma de dois comprimentos é um comprimento. A raiz quadrada de uma quantidade não é. Não podemos fazer confusões: o quadrado absoluto c i é uma probabilidade. similarmente. c i não. Exemplos familiares de observáveis são energia. Ele é também equipado com um produto interno. . Operadores. Os operadores hermitianos se distinguem por possuírem um espectro consistindo somente de números reais.. não comutam. . não tem nem análogo clássico. Dois observáveis são compatíveis se os operadores que os representam comutam. Um estado ⎢φ > não está “amarrado” a um observável ou uma base particular. um operador geralmente muda (mapeia) um estado em outro. Entretanto. foi denominada condição quântica fundamental por Dirac. Dois operadores A e B comutam se AB = BA. Exemplo famoso de observáveis incompatíveis são o momentum Px e o observável posição X.B. a representação das posições ou a dos momenta. Já sabemos que sempre podemos encontrar um operador unitário U que faz uma mudança de base de ⎢ai > para ⎢bi >. por exemplo. para um observável A. O conjunto de estados { ⎢ai > } constitui uma base de H : em termos da base. As diferentes bases associadas com os diferentes observáveis formam representações do estado. existem estados ⎢ai > tais que..B. Para um conjunto de operadores que comutam mutualmente A. Procurem rever um pouco mais as seções anteriores para fixar as idéias aqui resumidas. temos A ⎢ai > =ai ⎢ai >.. tudo o que A faz é multiplicar o estado ⎢ai > por um fator numérico ai .. podemos expressar qualquer estado ket ⎢φ >. Para um observável A.C. sendo que Λ ( A) = { a i } . Suponha que B seja outro observável com um conjunto de autoestados { ⎢bi > }. Os estados ⎢ai > são denominados autoestados de A. onde os números reais a i são chamados auto valores de A. podemos encontrar uma representação cuja a base é formada por autovetores simultâneos de A. como o spin. Observáveis incompatíveis não admitem autoestados simultâneos e são peculiares em mecânica quântica. embora os auto valores ou valores espectrais são somente parte da estrutura dos observáveis. Os auto valores podem ser resultados diretos de experimentos. o espectro Λ( A) do operador que o representa compreende o conjunto de todos os possíveis valores obtidos em uma medida de A. Como uma transformação. Suponha que o observável A tenha um espectro puro.estrutura mais rica que o momentum clássico. Alguns observáveis. A estipulação explicita de algumas quantidades que podem ser medidas justificam o nome observável. .. em geral. A amplitude na representação das posições é chamada função de onda.C. Para observáveis com espectro não degenerado. Px ] = ih .. visto que. <A>φ =< φ ⎢A ⎢φ >. mas apenas os operadores hermitianos representam observáveis. Muitos operadores são empregados em teorias quânticas. Eles são invariantes sob a operação de A. A ordem das operações são importantes porque o estado final de uma operação é o estado inicial da próxima. Já vimos que é muito direto derivar o valor esperado de um observável A no estado ⎢φ >. e incompatíveis se eles não comutam. Sua relação de comutação [X . Um operador A é uma transformação linear do espaço de Hilbert H nele próprio. cada autovalor é associado com um autoestado. Diz-se que experimentos envolvem observações repetidas ou observações sobre um ensemble de sistemas simples. a probabilidade de encontrarmos um autovalor a’ do correspondente operador A é ⎜< a’ ⎜α >⎜2 . então ele é determinado para todo t > t0. h é a constante de ∂t Planck dividida por 2π . O resultado de cada medida sobre um ensemble constitui uma amostra. e H é o operador Hamiltoniano representando a energia total do sistema. se N é grande. onde ⎜a’ > é um autoket normalizado de A associado ao autovalor a’ . o estado quântico evolui deterministicamente no sentido que o movimento de uma partícula clássica é determinístico. o qual . a probabilidade e o autovalor pertencem aos dados observados ou resultados de experimentos. Em um número muito grande de medidas de um observável A. Postulado 4. O conceito de probabilidade é apropriado. Um evento único nos diz muito pouco sobre o sistema quântico em estudo. Ele não diz absolutamente nada sobre a probabilidade que o estado tem ou sobre a probabilidade de que o observável possui um certo autovalor . A equação de Schrödinger é uma equação diferencial do tipo das equações de movimento clássicas. Desta forma. o postulado 5 é convertido para a seguinte forma: Postulado 5’. por que a equação de Schrödinger é linear e suas soluções são periódicas ou quase periódicas. os estados quânticos são ainda bem mais comportados. nos resultados de quase todas as medidas. onde i = − 1 . o postulado de Born é sempre complementado com explicações que o converte em asserções estatísticas. Ele não nos diz nada sobre o resultado de um sistema simples. Assim. o qual pode ser apenas um “click” de um contador Geiger. Postulado 5. A evolução temporal do estado (ket) é governada pela ∂ equação de Schrödinger ih ψ = H ψ . Este é um enunciado fenomenológico que pode ser verificado empiricamente. cada medida sendo feita em um ensemble de N sistemas todos no mesmo estado ⎜α >.Postulado 3. Quando um observável físico é medido em um sistema descrito pelo KET normalizado ⎜α >. pois estamos falando sobre o resultado observado de um estado puro simples. Assim. então. Se o estado (ket) do sistema é dado em um instante de tempo inicial t = t0. uma fração ⎜< a’ ⎜α >⎜2 dos dados tem o valor a’. Este é o postulado de Born da mecânica quântica. De fato. Mecânica quântica não admite movimentos caóticos como em mecânica clássica. O único resultado possível de uma medida de um observável físico representado por um operador A é um dos autovalores desse operador. Mecânica quântica nos dá duas descrições que diferem em natureza. Quando convertemos a situação para o enunciado estatístico. ela é essencialmente a descrição de um sistema simples evoluindo de acordo com uma equação de movimento. a probabilidade é quase 1 de que teremos uma distribuição onde uma fração ⎜< a’ ⎜α >⎜2 dos dados tenha o valor a’. onde isto ocorre com probabilidade. e pouca explicação é dada para a mistura dos mesmos. mesmo que se fizermos somente uma medida sobre um ensemble. a descrição do ket é apropriada. mas sim. Tal relação é fornecida pelo observável. tomamos algumas poucas amostras. < A >α é mais apropriadamente interpretado como o valor médio da distribuição de dados. Entretanto. a estatística de um grande número de amostras. ela é meramente o resultado do “colapso” das características não clássicas. cujos auto. Mas apesar de sua “classicalidade”. mas somente a ensembles. fazemos apenas poucas medidas ou . ela se aplica não a um sistema simples. ela tem a aparência de um bastardo. As características descritas pelo vetores estado (kets) são não-clássicas . então. O termo valor esperado < A >α é melhor entendido no contexto de um sistema simples. O ponto crucial é que mecânica quântica não fornece nenhuma correlação substancial entre as duas descrições. este postulado nos assegura que se a quantidade de amostras ou a dimensão do ensemble for suficientemente grande. como os estatísticos dizem. A única relação entre elas é formal e abstrata. elas são extremamente complexas e estranhamente emaranhadas quando expressa em termos clássicos. Em cada amostra.é uma distribuição de N dados entre os valores a’.estados contribuem para a descrição do estado e cujos autovalores para a descrição estatística. Na pra’tica. e é abruptamente “atirada” sem qualquer palavra sobre suas leis de movimento. a fração de dados com um determinado a’ pode desviar de ⎜< a’ ⎜α >⎜2. . Ele não descreve nem o resultado de um sistema simples nem o resultado de uma amostra simples. Além da sua “não-classicalidade” . As características que ela descreve são clássicas e familiares. Comentários A estrutura da mecânica quântica apresentada acima mostra uma peculiaridade: Os conceitos nos postulados 1 a 4 são completamente diferentes dos conceitos contidos no postulado 5. A descrição oferecida pela estatística dos autovalores é exatamente o oposto. assunto e tratamento. New York. Modern Quantum Mechanics. Sakurai. 2.J. 1995.Bibliografia 1. Oxiford University Press.Y. J. Addison-Wesley Publishing Company. Auyang. 1994. How is Quantum Field Theory Possible? . New York. . S.