Universidad Autónoma Del Estado de MéxicoFacultad de Ingeniería Curso: Diseño de estructuras de acero empleando el método de los Factores de Carga y Resistencia Toluca, Edo. de Méx.., Septiembre de 2005 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería CURSO: DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO EMPLEANDO EL MÉTODO DE LOS FACTORES DE CARGA Y RESISTENCIA (L R F D) Dr. David de León Escobedo 1/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería CONTENIDO PREFACIO 3 1.- INTRODUCCIÓN.Diseño estructural, características del acero y tipos de perfiles 5 2.- FORMATO LRFD PARA DISEÑO.Factores de Carga y de Resistencia 18 3.- BASES PROBABILISTAS DEL FORMATO LRFD.- 21 4.- DISEÑO DE MIEMBROS EN TENSIÓN.- 37 5.- DISEÑO DE MIEMBROS EN FLEXIÓN.- 46 6.- DISEÑO DE MIEMBROS EN FLEXIÓN, 2ª. Parte 65 BIBLIOGRAFÍA.- 82 ANEXO A.- 83 ANEXO B.- 86 2/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) PREFACIO El presente material tiene el propósito de servir de apoyo a estudiantes de los cursos de Diseño Avanzado de Estructuras de Acero I y II de la maestría en Estructuras, aunque parte de él puede ser útil para estudiantes de licenciatura de Ingeniería Civil que tomen el curso de Estructuras de Acero. Estos apuntes no pretenden sustituir al profesor ni a los libros o artículos que normalmente se recomiendan como material de lectura complementario a la clase. La finalidad de estos apuntes es la de enriquecer el aprendizaje del estudiante y la de proveer información en español que puede facilitar el proceso de asimilación de los temas por parte del estudiante y es un complemento a los elementos citados. El material está orientado a mostrar la aplicación del formato de factores de carga y resistencia (en inglés LRFD, Load and Resistance Factors Design) en el diseño de elementos y estructuras de acero. Lo anterior debido a la tendencia actual a nivel mundial a enfatizar la utilización de dicho formato. El matiz del contenido es hacia los fundamentos del proceso de diseño, los conceptos que subyacen detrás de las fórmulas y el entendimiento del comportamiento estructural así como el razonamiento para el aprovechamiento óptimo de las propiedades del acero (vistas como capacidad) en el dimensionamiento de estructuras para propiciar un desempeño prescrito ante las acciones (vistas como demanda). Los apuntes se dividen en 2 partes para facilitar el manejo de la versión impresa y para distribuir en esas 2 partes el material de los cursos I y II de maestría. La parte II incluye temas que normalmente se tratan en un segundo curso de maestría por lo que se recomienda haber estudiado la primera parte antes de compenetrarse en la segunda. En algunas secciones se han tomado tablas del AISC tal cual, dado que incluyen información sobre requisitos de diseño que es necesaria para la solución de ejercicios. Esta práctica no exime al estudiante de su deber de consultar, de manera paralela a estas notas o a los libros, los manuales de diseño correspondientes (AISC y RDF) con el fin de comprender el contexto de las fuentes donde se presentan las especificaciones de diseño y de aprovechar las ayudas de diseño. Algunos ejercicios han sido resueltos por estudiantes de diversas instituciones por lo que su texto aparece manuscrito. Se ha preferido incorporarlos en esta primera edición de las notas, con la desventaja de aparecer en diferente formato, a dejarlos fuera y no aprovechar ahora su aportación a enriquecer las ilustraciones. En el futuro, se trabajará en uniformizar el formato. El primer capítulo de la Parte I describe, a manera de introducción, el proceso del diseño estructural, las características mecánicas del acero y los tipos de perfiles mas comunes. En el proceso de diseño se explica la filosofía del diseño y el papel que los formatos de diseño han tenido a lo largo de la historia, para asignar un nivel de seguridad al diseño. Al tratar sobre el acero como material de construcción, se pone en evidencia cómo el proceso de fabricación influye en las propiedades mecánicas deseables en el acero. La descripción se extiende a los diversos tipos de acero y sus usos en distintos tipos de placas y geometrías de perfiles. En el segundo capítulo se presenta el formato de diseño del LRFD y se discuten sus ventajas sobre el criterio de esfuerzos permisibles. Se explican los estados límite de resistencia y de servicio haciendo especial referencia en la condición de carga sísmica. El capítulo 3 contiene un análisis de las bases probabilistas del formato para facilitar al lector el entendimiento del origen de los distintos factores de carga y resistencia. La comprensión completa de este capítulo requiere antecedentes de Probabilidad. En el capítulo 4 se aplica el formato del LRFD al diseño de elementos de acero sujetos a tensión. En éste, como en los demás capítulos se enfatizan los conceptos y los aspectos de comportamiento ilustrándolos también mediante ejemplos. El tema de diseño de miembros en flexión en las vigas con suficiente soporte lateral se aborda en el capítulo 5 en el que se han incluido ilustraciones y figuras que se han obtenido de libros donde el tema se trata con especial claridad. En próximas versiones se adaptarán las figuras al formato general de estas notas. El capítulo 6 analiza las vigas que no tienen suficiente soporte lateral. Aquí se discute el problema de pandeo lateral en vigas. Dr. David de León Escobedo 3/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Al final de la parte I se presentan 2 anexos, uno para presentar fragmentos de un libro y un artículo con aplicaciones del formato LRFD para diseño y otro con problemas típicos sugeridos para tareas a ser resueltas por los estudiantes. En versiones futuras de estas notas se espera presentar todo el material en español y pasar la pequeña porción de material manuscrito o escaneado al formato de la mayor parte de las notas. El material es perfectible por lo que el autor agradece los comentarios y sugerencias que los lectores puedan hacerle llegar para mejorarlo en contenido y forma en futuras ediciones. 4/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) 1. INTRODUCCIÓN La ingeniería estructural trata con el análisis y diseño de estructuras, tales como edificios, puentes, plataformas marinas, tuberías, estadios, torres de transmisión, etc. Una estructura es un ensamble de miembros interconectados por juntas como se muestra en la Figura 1.1. Un miembro es un tramo entre dos juntas, los puntos en que dos o más miembros de la estructura están conectados son llamados juntas y cada soporte de la estructura es una condición de apoyo que impide los movimientos en ciertas direcciones. Ésta es la forma en que son idealizadas las estructuras para representar en lo posible su comportamiento real. El análisis y diseño estructural es requerido con el objetivo de proveer una estructura segura y económica para satisfacer una necesidad específica. El análisis estructural comprende la modelación de la estructura y el cálculo de las reacciones, fuerzas y deformaciones debido a las cargas aplicadas. Por su parte, el diseño estructural determina las proporciones y dimensiones globales de la estructura soportante, así como la selección de las secciones transversales de cada uno de los miembros que la componen. El análisis y diseño estructural están interrelacionados dentro de un proceso iterativo, que tiene como finalidad la elaboración de los planos estructurales, que son la base para la realización de los planos de taller. P3 W2 1 3 4 3 7 5 A P2 5 P1 9 W1 1 2 10 4 6 8 B C D Figura 1.1 Modelo idealizado de una estructura En un proyecto de diseño estructural en acero podemos distinguir las siguientes etapas: Identificación de una necesidad Estudio preliminar. Requerimientos del propietario. Condiciones del lugar. Legislación y reglamentación. Posibles estructuraciones. Factibilidad. Dr. David de León Escobedo 5/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Anteproyecto Estructuración. Definición del sistema estructural. Cargas. Gravitacionales, ambientales y accidentales. Análisis. Modelación del sistema estructural. Cálculo de las reacciones, fuerzas y deformaciones. Diseño. Selección de secciones transversales. Seguridad y economía. Proyecto Producción de documentos para construcción. Memorias de cálculo, planos y especificaciones. Ejecución Construcción. Métodos, programación y supervisión. El énfasis del proceso de diseño estructural es el diseño de miembros individuales de acero estructural y sus conexiones. Se debe seleccionar y evaluar el sistema estructural global para producir un diseño eficiente y económico, pero no puede hacerse sin un conocimiento total del diseño de los componentes de la estructura. Una estructura correctamente diseñada debe tener resistencia, rigidez, estabilidad y durabilidad adecuadas. Las especificaciones de diseño estructural aplicables se utilizarán para determinar si un componente estructural posee la resistencia requerida para soportar las cargas dispuestas sobre la estructura, basándose en los resultados obtenidos del análisis estructural. La rigidez es requerida para prevenir efectos estructurales indeseables tales como deformaciones excesivas o vibraciones. La estabilidad estructural puede ser alcanzada empleando una estructuración y disposición de miembros adecuada para resistir las combinaciones de cargas y la durabilidad es producto de un adecuado programa de mantenimiento que depende del tipo de acero y de los mecanismos de protección que se le proporcionen a la estructura. 1.1. Acero estructural Por muchas características deseables, los aceros estructurales han sido elegidos en una gran variedad de aplicaciones, ya que están disponibles en muchas formas y ofrecen características ventajosas en algunos casos como material estructural. Entender el comportamiento de las estructuras de acero nos llevará a hacer un uso más eficiente del material, por tal motivo hay que conocer las diferentes propiedades del acero antes de comenzar el proceso de diseño. El acero estructural posee una alta ductilidad, es decir, tiene la capacidad de soportar grandes deformaciones inelásticas bajo grandes cargas axiales sin fracturarse, y bajo cargas normales puede fluir localmente en esos puntos donde se producen altas concentraciones de esfuerzos. La elasticidad del acero es la capacidad del metal de recobrar su forma original después de ser cargado y descargado; dentro de ciertos intervalos, este comportamiento en los aceros estructurales puede predecirse casi en un 100% a diferencia de otros materiales, debido a que las hipótesis de diseño se basan en la teoría elástica o bien siguen la ley de Hooke. La alta resistencia del acero por unidad de peso, significa que se utilizará menor cantidad de material y por 6/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) consiguiente se obtendrá menor peso estructural, esta propiedad es de gran importancia en estructuras de grandes magnitudes donde el uso de otro material resulta antieconómico. Se dice que un acero estructural posee tenacidad cuando tiene resistencia y ductilidad, la tenacidad le proporciona al acero la capacidad de resistir grandes fuerzas aún después de sufrir grandes deformaciones, tales fuerzas pueden verse reflejadas durante su formación y montaje, siendo posible doblarlos, cortarlos, taladrarlos, etc. Otras propiedades de gran importancia son la resistencia a la corrosión y la soldabilidad, las cuales dependen directamente de la composición química del acero. La resistencia a la corrosión se produce aleando el acero con cobre y otros elementos, para producir alta resistencia ante los agentes atmosféricos, de manera que se produzca un óxido tenaz que inhiba los efectos de la corrosión. La soldabilidad es un factor importante en el diseño estructural, esta propiedad está influenciada por el contenido químico del acero. El carbono, manganeso, silicio, níquel, cromo y cobre, por ejemplo, tienden a tener un efecto adverso, en tanto que el molibdeno y el vanadio pueden ser benéficos. Para relacionar la influencia del contenido químico sobre las propiedades estructurales del acero y la soldabilidad, se ha propuesto el uso del contenido equivalente de carbono (CE): CE Mn Ni Cu Cr Mo V 6 15 5 (1.1) El contenido equivalente de carbono está relacionado con la rapidez máxima a la que la soldadura y el metal de base adyacente se pueden enfriar después de soldar, sin que se presente agrietamiento debajo del cordón de la soldadura. Mientras más alto sea el contenido equivalente de carbono, menor será la rapidez de enfriamiento permisible. Del mismo modo, cuando mayor sea el contenido equivalente de carbono, más importante será el uso de precalentamiento y electrodos de bajo contenido de hidrógeno. En general, los aceros con un contenido de carbono ≤ 0.30% son adecuados para soldadura de alta velocidad y los aceros con un CE > 0.35% requieren cuidado especial durante el proceso de soldadura. 1.2. Relaciones esfuerzo-deformación Las características del acero que son de mayor interés para los ingenieros estructuristas pueden examinarse graficando los resultados de una prueba de tensión. Si un espécimen de prueba es sometido a una carga axial P, como se muestra en la Figura 1.2, el esfuerzo y la deformación unitaria pueden calcularse como sigue: f P A L L (1.2) y (1.3) donde: f esfuerzo de tensión axial. A área de la sección transversal. deformación unitaria axial. L longitud del espécimen. L cambio de longitud. Dr. David de León Escobedo 7/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Área = A P P Sección L L Figura 1.2 Prueba de tensión Si la carga es acrecentada en incrementos desde cero hasta el punto de fractura y el esfuerzo y la deformación unitaria son calculados en cada etapa, puede graficarse una curva esfuerzo-deformación unitaria como la mostrada en la Figura 1.3. Esta curva es típica de una clase de acero conocido como dúctil o acero dulce. La relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria es lineal hasta el límite de proporcionalidad; donde se dice que el material obedece la ley de Hooke. Después de esto alcanza rápidamente un valor pico, llamado punto superior de fluencia, al cual sigue una nivelación en el punto inferior de fluencia. El esfuerzo permanece entonces constante, aunque la deformación unitaria continúa creciendo. En esta etapa de la carga, el espécimen de prueba continúa alargándose en tanto que no se retire la carga, aun cuando la carga no pueda ser incrementada. Esta región de esfuerzo constante se llama meseta de fluencia o rango plástico. Bajo una deformación de aproximadamente 12 veces la deformación unitaria, en la fluencia comienza el endurecimiento por deformación y se requiere entonces una carga adicional (y esfuerzo) para generar un alargamiento adicional (y deformación unitaria). Se alcanza así un valor máximo del esfuerzo, después de lo cual comienza en el espécimen la “estricción”, en donde el esfuerzo decrece con una deformación unitaria creciente y ocurre luego la fractura. Aunque la sección transversal se reduce durante el proceso de carga (el efecto Poisson), el área transversal original se usa para calcular todos los esfuerzos. El esfuerzo calculado de esta manera se conoce como esfuerzo de ingeniería. Si se usa la longitud original para calcular la deformación unitaria, esta se llama deformación unitaria de ingeniería. f Punto superior de fluencia Límite elástico A Límite proporcional Punto inferior de fluencia B 0 Plástico Elástico Endurecimiento por deformación Estricción y falla Figura 1.3 Diagrama esfuerzo-deformación característico de un acero dúctil 8/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) Al acero que exhibe el comportamiento mostrado en la Figura 1.3, se le llama dúctil debido a su capacidad de sufrir grandes deformaciones antes de fracturarse. La ductilidad puede ser medida por el alargamiento, definido como: e L f Lo Lo x100 (1.4) donde: e alargamiento (expresado en porcentaje). L f longitud de la probeta en la fractura. Lo longitud original. El límite elástico del material es un esfuerzo que se encuentra entre el límite proporcional y el punto superior de fluencia. Hasta este esfuerzo, la probeta puede descargarse sin que quede una deformación permanente; la descarga será a lo largo de una porción lineal del diagrama, es decir, la misma trayectoria seguida durante la carga. Esta parte del diagrama esfuerzo-deformación unitaria se llama rango elástico. Más allá del límite elástico la descarga será a lo largo de una línea recta paralela a la parte lineal inicial de la trayectoria de carga y se tendrá entonces una deformación permanente. Por ejemplo, si la carga es retirada en el punto A, como en la Figura 1.3, la descarga será a lo largo de la línea AB, resultando la deformación unitaria permanente OB. La Figura 1.4 muestra una versión idealizada de esta curva esfuerzo-deformación unitaria. El límite proporcional, el límite elástico y los puntos superior e inferior de fluencia están todos muy cercanos entre sí y son tratados como un solo punto llamado el punto de fluencia, definido por el esfuerzo Fy. El otro punto de interés para el ingeniero estructurista es el valor máximo del esfuerzo que puede alcanzarse, llamado resistencia última a tensión, F u. La forma de esta curva es típica de todos los aceros estructurales dulces, que son diferentes uno de otro principalmente en los valores de Fy y Fu. La razón del esfuerzo a la deformación unitaria dentro del rango elástico, denotada E y llamada módulo de Young o módulo de elasticidad, es la misma para todos los aceros estructurales y tiene un valor de 2’039,000 kg/cm 2 (29,000 ksi). f Resistencia última a tensión, Fu Punto de fluencia, Fy E 1 Figura 1.4 Representación de Fy y Fu en el diagrama esfuerzodeformación La Figura 1.5 muestra una curva típica esfuerzo-deformación unitaria para aceros de alta resistencia, que son menos dúctiles que los aceros dulces mencionados hasta ahora. Aunque hay una porción elástica lineal y una Dr. David de León Escobedo 9/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería clara resistencia en tensión, no se tiene un punto de fluencia bien definido o meseta de fluencia. Para usar esos aceros de alta resistencia de manera consistente con el uso de aceros dulces, debe escogerse algún valor de esfuerzo como valor para Fy, de manera que los mismos procedimientos y fórmulas puedan usarse con todos los aceros estructurales. Aunque no hay un punto de fluencia, uno tiene que ser definido. Como se mostró previamente, cuando un acero está forzado más allá de su límite elástico y luego se descarga, la trayectoria seguida hasta el esfuerzo cero no será la trayectoria original desde el esfuerzo cero; ésta será a lo largo de una línea que tiene la pendiente de la porción lineal de la trayectoria seguida durante la carga, es decir, una pendiente igual a E o módulo de elasticidad. Se tendrá entonces una deformación unitaria residual o permanente después de la descarga. El esfuerzo de fluencia para el acero con una curva esfuerzodeformación unitaria del tipo mostrado en la Figura 1.5 se llama resistencia de fluencia y se define como el esfuerzo en el punto de descarga que corresponde a una deformación unitaria permanente de cierta cantidad definida arbitrariamente. Se selecciona usualmente una deformación unitaria de 0.002 y a este método de determinar la resistencia de fluencia se le llama el método del 0.2% de desplazamiento. Como se mencionó previamente, las dos propiedades usualmente necesarias en el diseño de acero estructural son Fu y Fy, independientemente de la forma de la curva esfuerzo-deformación unitaria e independiente de cómo se haya obtenido Fy. Por está razón se usa el término genérico esfuerzo de fluencia y puede significar punto de fluencia o bien resistencia de fluencia. f Resistencia a tensión, Fu Resistencia a la fluencia, Fy Límite elástico E 1 Deformación unitaria residual Figura 1.5 Diagrama esfuerzo-deformación característico de un acero frágil 1.3. Composición y tipos de aceros. Las diversas propiedades del acero estructural, son determinadas por su composición química. El acero es una aleación cuya componente principal es el hierro, pero contiene cantidades pequeñas de otros elementos para producir características físicas deseables tales como resistencia, dureza, ductilidad, tenacidad y resistencia a la corrosión. El carbono es el más importante de dichos elementos, el incremento del contenido de carbono produce un incremento en la resistencia y la dureza, pero disminuye la ductilidad y la tenacidad. Aluminio, azufre, cobre, colombio, cromo, fósforo, manganeso, molibdeno, níquel, silicio y vanadio son algunos de los elementos que pueden adicionarse al acero estructural. Las propiedades del acero pueden cambiarse en gran medida variando las cantidades de los elementos mencionados. En la actualidad, se requieren aceros más fuertes, con mejores propiedades de soldabilidad, 10/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) mayor resistencia a la corrosión y otras características benéficas. Las investigaciones realizadas por la industria del acero han proporcionado una variedad de nuevos aceros que satisfacen muchas necesidades, de manera que actualmente existe una gran gama de aceros. Los diferentes grados de aceros estructurales son identificados por la designación asignada a ellos por entidades como la Sociedad Americana para Pruebas y Materiales (ASTM). Esta organización elabora normas para definir los materiales en términos de sus composiciones, propiedades y desempeño, y prescribe pruebas específicas para medir esos atributos (ASTM, 2000). Los grados de acero considerados por el Instituto Americano de la Construcción en Acero (AISC) se dan en el Capítulo A, “Disposiciones Generales”, de las Especificaciones AISC, donde se muestra un listado de especificaciones ASTM para aceros estructurales aprobados para su uso en la construcción de edificios. La Tabla 1.1 (Tabla 1-1 en la Parte 1 del Manual AISC-LRFD) muestra cinco grupos de perfiles y once rangos de espesores de placas y barras disponibles en varios niveles de esfuerzo de fluencia mínimo y esfuerzo de tensión, para siete tipos de acero. Los aceros estructurales mostrados son agrupados de acuerdo a su composición, como sigue: Aceros al carbono. Los aceros al carbono tienen un punto de fluencia definido y contienen los siguientes porcentajes máximos de componentes, en peso respecto al hierro: 1.7% de carbono, 1.65% de manganeso, 0.60% de silicio y 0.60% de cobre. Estos aceros son divididos en cuatro categorías en función del porcentaje de carbono: Acero de bajo contenido de carbono < 0.15%. Acero dulce al carbono 0.15 a 0.29%. (El acero A36 queda dentro de está categoría) Acero medio al carbono 0.30 a 0.59%. Acero de alto contenido de carbono 0.60 a 1.70%. Aceros de alta resistencia y baja aleación. Estos aceros al igual que los aceros al carbono tienen un punto de fluencia definido en un rango de 2,810 a 6,325 kg/cm 2 (40 a 70 ksi), y obtienen su alta resistencia por la adición de elementos tales como el colombio, cobre, cromo, fósforo, manganeso, molibdeno, níquel, vanadio y circonio. El término baja aleación se usa para describir el máximo porcentaje de elementos aleantes en la composición total del acero, el cual no debe exceder el 5%. Aceros templados y revenidos. Los aceros templados y revenidos no muestran puntos de fluencia bien definidos, por lo que es necesario definir su resistencia a la fluencia en función del esfuerzo asociado a una deformación de 0.2%, obteniendo un rango de 6,325 a 7,730 kg/cm 2 (70 a 110 ksi). Estos aceros contienen mayores elementos agregados en comparación con los aceros anteriores, los términos templado y revenido se refiere al tratamiento térmico que reciben para aumentar su resistencia. El revenido consiste en un enfriamiento rápido del acero con agua o aceite, cambiando la temperatura de 699 a 149 °C (1,650 a 300 °F) y el templado del acero es un recalentamiento de hasta 621 °C (1,150 °F) que luego se deja enfriar. El acero estructural más comúnmente usado en la actualidad es un acero dulce designado como ASTM A36 o brevemente A36. Éste tiene una curva esfuerzo-deformación unitaria del tipo mostrado en las Figuras 1.3 y 1.4 y tiene las siguientes propiedades en tensión: Esfuerzo de fluencia: Resistencia a tensión: Dr. David de León Escobedo Fy = 2,530 kg/cm2 (36 ksi) Fu = 4,080 a 5,620 kg/cm2 (58 ksi a 80 ksi) 11/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Tabla 1.1 Disponibilidad de perfiles, placas y barras de acuerdo a las especificaciones para aceros estructurales ASTM El acero A36 es clasificado como un acero simple al carbono y tiene los siguientes componentes: Carbono: Fósforo: Azufre: 12/88 0.26% (máximo) 0.04% (máximo) 0.05% (máximo) Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) Estos porcentajes son aproximados, los valores exactos dependen de la forma del producto de acero terminado. El A36 es un acero dúctil con un alargamiento definido por la ecuación 2.3, de 20% con base en la longitud original no deformada de 20.32 cm. Los fabricantes de acero que proporcionan el acero A36 deben certificar que éste cumple con las normas ASTM. Los valores para el esfuerzo de fluencia y la resistencia en tensión mostrados, son requisitos mínimos; ellos pueden excederse y usualmente lo hacen en cierta medida. La resistencia en tensión está dada en un rango de valores ya que esta propiedad no puede alcanzarse con el mismo grado de precisión que el esfuerzo de fluencia. Un acero con un esfuerzo de fluencia de más de 2,530 kg/cm 2 (36 ksi) se considera usualmente como un acero de alta resistencia. Los aceros de alta resistencia más frecuentemente usados son aquellos con un esfuerzo de fluencia de 3,515 kg/cm2 (50 ksi) y una resistencia en tensión de 4,570 a 4,920 kg/cm 2 (65 a 70 ksi), aunque se dispone de un acero con 7,030 kg/cm 2 (100 ksi). Por ejemplo, el ASTM A242 es un acero de baja aleación, resistente a la corrosión disponible con esfuerzos de fluencia de 2,950, 3,230 y 3,515 kg/cm 2 (42, 46 y 50 ksi) con resistencias correspondientes de tensión de 4,425, 4,710 y 4,920 kg/cm 2 (63, 67 y 70 ksi). Su composición es la siguiente: Carbono: Manganeso: Fósforo: Azufre: Cobre: 0.15% (máximo) 1.00% (máximo) 0.15% (máximo) 0.05% (máximo) 0.20% (máximo) El acero A242 no es tan dúctil como el acero A36, su alargamiento, basado en la longitud original de 20.32 cm es de 18%, en comparación con 20% del A36. Dr. David de León Escobedo 13/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Tabla 1.2 Placas de acero estructural 14/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) Tabla 1.3 Perfiles de acero estructural Tabla 1.4 Tubos de acero estructural 1.4. Perfiles de acero El objetivo principal dentro del proceso de diseño estructural mencionado antes, es la selección de las secciones transversales apropiadas para los elementos individuales de la estructuración definida. Comúnmente, esta selección nos llevará a escoger un perfil de sección transversal estándar que se encuentre disponible en el mercado, y si el proyecto lo requiere se tendrá que diseñar un perfil con dimensiones y propiedades especiales. La selección de un “perfil comercial” será casi siempre la opción más económica, incluso si ello implica usar un poco más de material. Los perfiles rolados en caliente son la categoría más grande de perfiles estándar. Las secciones transversales de los perfiles rolados en caliente más usados, se muestran en la Figura 1.6. Dr. David de León Escobedo 15/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Perfil IR (W) Perfil IE (S) Perfil TR (T) Perfil CE (C) Perfil LI (L) Perfil LD (L) Figura 1.6 Perfiles laminados Otros perfiles usados con frecuencia se muestran en la Figura 1.7. Las barras pueden tener secciones transversales circulares, cuadradas o rectangulares. Si el ancho de un perfil rectangular es de 20.32 cm o menor, éste se clasifica como barra. Si el ancho es mayor de 20.32 cm se designa como placa. 8" Barras 8" Placa Figura 1.7 Barras y placas En la Figura 1.8 se muestran perfiles huecos que pueden ser producidos doblando el material de la placa a la forma deseada y soldando la costura, o bien por trabajo en caliente para producir un perfil sin costura. Tubo circular OC (HSS round) Tubo cuadrado OR (HSS square) Tubo rectangular OR (HSS rectangular) Figura 1.8 Perfiles tubulares 16/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) Existen otros perfiles, pero los descritos aquí son los más frecuentemente usados. En la mayoría de los casos, uno de esos perfiles estándar cumplirá los requisitos del diseño. Si los requisitos son especialmente severos, puede entonces ser necesaria una sección compuesta, como las mostradas en la Figura 1.9. Perfil IR (W) con cubreplacas Trabes armadas Ángulo doble Figura 1.9 Perfiles armados Dr. David de León Escobedo 17/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería 2. FORMATO LRFD PARA DISEÑO A continuación se presenta el contexto general del formato de diseño LRFD, describiendo los factores de carga y de resistencia y los estados límite de los que se pretende resguardar al diseño. 2.1. Formatos de diseño El procedimiento tradicional de diseño está basado en esfuerzos de trabajo (WSD, por sus siglas en inglés). En este formato el esfuerzo máximo de diseño debido a las cargas aplicadas está restringido a ser igual al esfuerzo de fluencia nominal dividido por un factor de seguridad, esto es que R / S .F . D L W ... (2.1) donde: R es la resistencia nominal del componente D es el efecto de la carga muerta L es el efecto de la carga viva W es el efecto de la carga ambiental S .F . es el factor de seguridad Este procedimiento, sin embargo, posee un conjunto de contradicciones: por ejemplo, la carga ambiental es más incierta que la carga viva, y ésta es más incierta que la carga muerta. Adicionalmente, algunos componentes tendrán factores de seguridad más altos que otros. Por otro lado, estas diferencias se han ido acortando con la introducción de factores de incremento de esfuerzos permisibles en función de las cargas ambientales actuantes, pero de cualquier manera existen todavía algunas limitaciones en el formato WSD que han sido resueltas con el formato LRFD. El formato de factores de carga y resistencia tienen su soporte en prácticas de diseño basadas en confiabilidad. En algunos países se les conoce como “diseño por estados límite”, “diseño por factores de seguridad parciales”, ó “diseño por resistencia última”. El formato básico puede ser escrito como: i R D D L L W W ... (2.2) donde R , D , L y W ya fueron definidas en el formato WSD i es el factor de resistencia en el i-ésimo componente (flexión, cortante, etc.) D es el factor de carga aplicado a la carga muerta L es el factor de carga aplicado a la carga viva W es el factor de carga aplicado a las cargas ambientales Habrá por lo tanto más de una combinación de carga definida por el lado derecho de la ecuación anterior, por ejemplo, cargas de gravedad solamente, carga de gravedad más oleaje, cargas de gravedad más sismo, volteo, etc. Cada factor de seguridad parcial, esto es los factores de resistencia ( ) y los factores sobre las cargas están asociados con su correspondiente variable. Los factores de carga y resistencia dependen de diversos aspectos: a) Los sesgos de la variable, esto es, la relación entre el valor medio y el valor nominal 18/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) b) La correspondiente incertidumbre de la variable c) La calibración de los factores de forma tal que se obtenga el índice de confiabilidad deseado. Aquí, variable, puede entenderse como sismo, oleaje, volteo, capacidad axial, capacidad a la flexión, etc. 2.2. Estados límite Para los propósitos de esta revisión, se entiende por estado límite al estado más allá del cual la estructura ya no satisface los requerimientos. Los diversos estados límite que se pueden identificar son los siguientes: 1. Estado límite último (ELU). Corresponde a la máxima carga que puede soportar la estructura. Este estado límite puede ser alcanzado por diversas razones, por ejemplo: Pérdida de resistencia estructural (fluencia excesiva y pandeo). Falla de componentes debido a fractura frágil. Pérdida de equilibrio estático de la estructura, o de una parte de la estructura, considerada como un cuerpo rígido, por ejemplo el volteo. Falla de componentes críticos de la estructura causada por exceder la capacidad última (en algunos casos reducida por repetición de cargas) o las deformaciones últimas de los componentes Transformación de la estructura en un mecanismo (colapso o deformación excesiva). 2. Estado límite de fatiga (ELF). Está relacionado con la posibilidad de falla debido al efecto de carga cíclica. Se puede alcanzar por: Daño acumulado debido a la repetición de cargas. 3. Estado límite accidental (ELA). Corresponde al daño a componentes debido a un evento accidental o falla operacional. Este estado límite se alcanza por condiciones como las siguientes: Daño estructural causado por cargas accidentales. Capacidad última de estructuras dañadas. Mantener la integridad estructural después de daños locales o inundación. Pérdida del sistema de sujeción (a la deriva). 4. Estado límite de servicio (ELS). Corresponde a los criterios aplicables al uso normal (durabilidad). Puede ser alcanzado por: Deflexiones que pueden alterar los efectos de las fuerzas actuantes. Deformaciones que pueden cambiar la distribución de cargas entre objetos rígidamente soportados y los soportes de la estructura. Vibraciones excesivas que producen molestia al personal o afectan componentes no estructurales. Movimiento que excede las limitaciones de equipo. Deformaciones inducidas por temperatura. 2.3. Condición de carga sísmica La condición de carga sísmica debe ser revisada para dos requerimientos de diseño: 1) a nivel de resistencia y, 2) a nivel de ductilidad. Cada uno de ellos implica la realización de análisis estructurales diferentes. Dr. David de León Escobedo 19/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Los requerimientos de resistencia son para asegurar que no se producirán daños significativos a la plataforma ante un evento sísmico que tiene una probabilidad razonable de no ser excedido durante la vida de la plataforma. Usualmente se utiliza un espectro sísmico asociado a un periodo de retorno de 200 años. Se realiza análisis estructural dinámico ya sea en el dominio de la frecuencia o en el dominio del tiempo. Los requerimientos de ductilidad son para asegurar que la plataforma tiene suficiente reserva de capacidad para prevenir el colapso durante la ocurrencia de un sismo raro e intenso, aún y cuando se produzcan daños estructurales. Es preferible utilizar análisis en el dominio del tiempo cuando se realiza análisis de ductilidad. La respuesta de la estructura-cimentación debe ser determinada para un conjunto de movimientos del terreno que caractericen la envolvente de la intensidad de los movimientos, el contenido de frecuencias, el ángulo de fase y duración esperada en el sitio. Se deben analizar al menos tres conjuntos representativos de movimientos del terreno en el dominio del tiempo. Se pueden utilizar métodos de análisis más simplistas para complementar los resultados en el dominio del tiempo. 20/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) 3. BASES PROBABILISTAS DEL FORMATO LRFD En este capítulo se establecen las bases probabilistas sobre las que se establecen los factores de carga y de resistencia. El criterio de diseño del factor de carga y de resistencia se expresa: j Rn k Q km (3.1) k 1 La parte izquierda de la ecuación relaciona la resistencia (capacidad) de la estructura, mientras que la derecha caracteriza el efecto de la carga actuando en ella. Rn = Resistencia nominal, calculada de acuerdo a códigos y se basa en el material nominal y las propiedades de la sección transversal. Ф = Factor de resistencia, menor que la unidad, junto con Rn refleja las incertidumbres asociadas con R. Ф es adimensional, mientras que Rn es una fuerza generalizada (momento flexionante, fuerza axial, fuerza cortante) asociada con un estado límite de resistencia o de servicio. Qm = Carga media generalizada. γ = Factor de carga, representa una potencial sobrecarga e incertidumbres en el cálculo de los efectos de las cargas. La sumatoria indica la combinación de los efectos de las cargas de diferentes fuentes. Por ejemplo, si se combinan cargas vivas y muertas: j k 1 k Q km D Q Dm L Q Lm (3.2) QDM y QLM son los efectos de la carga muerta y viva medias, respectivamente y γ D y γV los factores de carga respectivos. La resistencia nominal siempre se relaciona a un “estado límite” específico. Dos tipos de estado límite se emplean en diseño estructural: Estado límite de Resistencia Máxima (o último). Estado límite de Servicio. Violación al primero implica la falla, en el sentido de que un límite claramente definido de uso estructural ha sido excedido, el cual no necesariamente implica colapso. Estado límite de servicio incluye deformación excesiva, vibración y fluencia prematura. Los valores Ф, Rn, γ y Qm se determinan usando un procedimiento probabilística de primer orden, el cual es un método simplificado que usa dos parámetros estadísticos (valores medios y coeficientes de variación de las variables relevantes) y una relación β entre ellas, llamada “índice de seguridad”. Dr. David de León Escobedo 21/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería 3.1. Selección del modelo. El formato usado para desarrollar los criterios de diseño por el factor de carga y resistencia es debido a Cornell y se explica a continuación: La seguridad estructural es función de la resistencia, R, de la estructura y de los efectos de la carga Q, actuando en ella. R y Q son variables aleatorias. La figura 3.1.a es un ejemplo de la definición de seguridad, donde se muestra la distribución de frecuencias de la variable aleatoria de R-Q, llamada margen de seguridad y la supervivencia se indica por R-Q > 0. La probabilidad de falla P F de un elemento estructural, conforme a la representación de la figura 4.11.a, es igual a: PF P R Q 0 (3.3) Una representación equivalente de seguridad estructural se muestra en la fig. 3.1.b donde se da la distribución de probabilidades de ln (R/Q). En este caso la probabilidad de falla es: R 0 PF P ln Q (3.4) El formato conforme a la figura 1.b es el adoptado para desarrollar el criterio LRFD. Si introducimos una “variable estandarizada” U: U R R ln Q Q R ln ln (3.5) n Q en donde [ln (R/Q)]m y ln(R/Q) son la media y la desviación estándar del logaritmo natural de la relación (R/Q), luego, de R 0 PF P ln Q R ln Q (3.6) P U ln( R / Q ) m R ln Q FU ln( R / Q ) m (3.7) Donde FU es la función de distribución acumulada de la variable estandarizada U. 22/88 Pf Margen de Seguridad, R-Q 0 a) Modelo Probabilístico Frecuencia Pf Frecuencia Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) 0 [ln(R/Q)]m ln(R/Q) Valores de ln(R/Q) b) Definición de índice de seguridad FIG. 3.1. Definición de Seguridad Estructural La cantidad [ln(R/Q)]m/σln(R/Q) define la confiabilidad del elemento, por lo que es llamado “índice de seguridad” β. Si conociéramos la distribución de probabilidades de (R/Q), β indicaría directamente un valor de probabilidad de falla. En la práctica, la distribución de probabilidades de R/Q es desconocida y solo los dos momentos estadísticos de R y Q pueden estimarse. En el método de diseño probabilística de primer orden usado aquí, β es solo una medida relativa de confiabilidad; un valor constante de β fija efectivamente la confiabilidad como una constante para todos los elementos estructurales similares. La expresión para el índice de seguridad β, de la expresión anterior, R Q ln (3.8) m ln R Q puede simplificarse usando teoría de probabilidad de primer orden, en Rm Qm ln V VQ2 (3.9) 2 R donde Rm y Qm son los valores medios de la Resistencia y el efecto de la carga, y V R y VQ son los coeficientes de variación correspondientes. La ecuación anterior puede expresarse como un criterio de diseño probabilística de primer orden, R m Q m (3.10) donde, θ, el factor de seguridad central, está dado por Dr. David de León Escobedo 23/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería exp V R2 VQ2 (3.11) Puede observarse que el factor de seguridad central combina la incertidumbre en la resistencia y los efectos de la carga. Sería ventajoso si el factor de seguridad central θ pudiera separarse en factores, de forma que los factores de resistencia para diferentes elementos estructurales (vigas, columnas) pudiera determinarse en forma independiente de las incertidumbres en las cargas, una vez que el índice de seguridad es seleccionado, y que los factores de carga en diferentes tipos de carga pudieran ser evaluados independientemente de otros y del tipo de elemento estructural. Empleando la aproximación lineal al término cuadrático propuesto por Lind, el criterio de diseño puede escribirse como: exp V R R m exp VQ Q m (3.12) Donde es una constante numérica igual a 0.75. El lado derecho puede ser separado para permitir un trato independiente de los efectos de los diferentes tipos de carga, como se mostrará posteriormente. 3.2. Resistencia La aleatoriedad en la resistencia de un elemento estructural R, surge debido a las variables inherentes en las propiedades mecánicas de los materiales, variaciones en dimensiones (tolerancias) y debido a las incertidumbres en las teorías que llevan a la determinación de la resistencia de los elementos. La resistencia del miembro, R, toma la siguiente forma: R R n MFP (3.13) donde Rn es la resistencia nominal especificada por los códigos, y R, M, F y P son variables aleatorias. Las dimensiones de Rn son momentos en estado límite, fuerza axial y cortante y M, F y P son entonces adimensionales. Se supondrá que las variables aleatorias M, F, y P no están relacionadas, el coeficiente de variación de la resistencia, VR es, aproximadamente: V R V M2 V F2 V P2 (3.14) donde VM, VF y VP son los coeficientes de variación de M, F, y P, respectivamente. M representa la variación en resistencia o rigidez del material. Los parámetros estadísticos M y V m se obtienen por pruebas rutinarias. La variable aleatoria F caracteriza las incertidumbres en fabricación, incluye las variaciones en propiedades geométricas producidas durante el rolado, tolerancias de fabricación, de soldadura, distorsiones iniciales, variaciones en la construcción. Estas variaciones son la diferencia entre un miembro idealmente diseñado y el elemento resultante luego de la construcción. La variable aleatoria P, refleja la incertidumbre en las suposiciones usadas en el cálculo de la resistencia de los modelos de diseño., las que pueden ser el resultado de emplear aproximaciones a fórmulas teóricas exactas, o las suposiciones de elasticidad perfecta, plasticidad perfecta, homogeneidad o teoría de vigas en lugar de teoría de elasticidad. 24/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) 3.3. Efectos de carga Los efectos de carga Q para la combinación de carga gravitacional muerta y viva se supone tiene la forma: Q E c D AD c L BL (3.15) D y L son variables aleatorias que representan intensidades de carga muerta y viva respectivamente: c D y cL son coeficientes de influencia determinísticos que transforman la intensidad de la carga en efectos de la carga (ej. Momento, cortante y fuerza axial). A y B son variables aleatorias que reflejan la incertidumbre en la transformación de las cargas en efecto de cargas. E es una variable aleatoria que representa las incertidumbres en el análisis estructural. Los valores medios son Dm, Lm, Am, Vm y Em y los coeficientes de variación son VD, VL, VA, VB y VE, respectivamente. Se supone que la carga muerta permanece constante durante la vida de la estructura, pero varía de una estructura a otra. La carga viva varía de una estructura a otra aleatoriamente para estructura idénticas y varía aleatoriamente en el tiempo para una estructura en particular. Para la combinación de carga muerta y viva bajo estudio, se requiere conocer la carga viva máxima que ocurre durante la vida de la estructura. La variable E incluye las incertidumbre al modelar una estructura tridimensional real de geometría y comportamiento complejo en un grupo de miembros y conexiones de geometría fija y comportamiento estipulado. Toma en cuenta, también, las incertidumbres al aproximar o simplificar análisis estructurales de teorías complejas y refinadas. La media y los coeficientes de variación de Q se derivan: Qm = cDAmDm + cLBmLm (3.16) y VQ V E2 c D2 Am2 Dm2 V A2 VD2 c L2 Bm2 L2m VB2 VL2 c D Am Dm c L Bm Lm 2 (3.17) El valor medio de E se supone igual a 1.0. 3.4. Calibración El índice de seguridad β, es una medida relativa de la seguridad estructural. β debe ser especificado para poder desarrollar un grupo consistente de criterios de diseño. Puede ser un valor acordado por la comunidad profesionista para dar un grado de confiabilidad deseado, o puede obtenerse al seleccionar el valor de β con el que se obtenga el mismo grado de confiabilidad en el nuevo criterio comparado con el método de diseño existente para un determinado número de situaciones estándar, tal como vigas simples, columnas cargadas axialmente, miembros a tensión, soldaduras, etc. A este procedimiento se le denomina calibración. Este procedimiento se lleva a cabo para determinar valores de ajuste a los obtenidos analíticamente, considerando la experiencia y los resultados de pruebas. En esta parte, se modifican las ecuaciones originales para ajustarlas a la realidad. Para vigas simplemente apoyadas, empleando este procedimiento y lo establecido en la parte 2 de la especificación AISC de 1969, se concluyó que un valor representativo para el índice de seguridad es β = 3.0. En este mismo contexto, se determinó que un valor de β = 4.5 aplica para conectores. Dr. David de León Escobedo 25/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería 3.5. Obtención de los factores de carga y de resistencia El criterio LRFD para la combinación de carga muerta y viva puede expresarse como sigue: R n E D c D D M L c L L m (3.18) que fue obtenida empleando la ecuación R m Q m (3.19) empleando las expresiones para R y Q, y aplicando las aproximaciones lineales: exp V R R m expV E 1 V A2 V D2 c D Dm 1 V B2 V L2 c L Lm (3.20) donde α = 0.55 proporciona una buena aproximación. Aquí, los factores de carga y resistencia están dados por: exp V R Rm Rn (3.21) E expV E (3.22) D 1 V A2 V D2 (3.23) L 1 V B2 V L2 (3.24) Para los valores numéricos de la media y el coeficiente de variación y β previamente seleccionado, el criterio LRFD para el diseño plástico de vigas de acero simplemente soportadas se hace: 0.86 ZF y 1.11.1c D D m 1.4c L L m (3.25) en donde cD = cL = sl2/8; Dm = dC; y L m 14.9 763 AI (3.26) 3.6. Factores de resistencia para diferentes elementos estructurales (valores originales) El cálculo de los factores de resistencia para un elemento estructural se realiza en los siguientes pasos: 1. Selección de una fórmula o algoritmo para la resistencia nominal del elemento. 2. Cálculo de la media y los coeficientes de variación de la resistencia del elemento usando la relación del paso 1 y la información disponible de las propiedades mecánicas del material y resultados de pruebas del elemento. 26/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) 3. El factor de resistencia se calcula con: exp V R Rm Rn (3.27) 4. En la mayoría de los casos, la resistencia del elemento estructural es expresada como función de una variable característica (ie, la relación de esbeltez de columnas). El factor de resistencia φ puede también variar en el rango de esta variable. Mucho de los esfuerzos realizados en el desarrollo de este proyecto fue encaminado a determinar los términos φRn para varios elementos estructurales. En seguida se dan ejemplos de algunos resultados: 3.6.1. Miembros a tensión (excepto barras de ojo) Estado límite de fluencia: φ Rn = An Fy : φ = 0.88 (3.28) Estado límite de fractura; φ Rn = An Fu : φ = 0.74 (3.29) en donde An es el área neta y Fy y Fu el esfuerzo de fluencia y último especificado, respectivamente. 3.6.2. Columnas φ Rn = Ag Fcr (3.30) φ = 0.86 para λ ≤ 0.16 (3.31) φ = 0.90-0.25 λ para 0.16 ≤ λ ≤ 1.0 (3.32) φ = 0.65 para λ ≥ 1.0 (3.33) donde: Ag = Area total, y Fcr F y 1 0.25 2 Fcr Fy 2 Dr. David de León Escobedo KL 1 r Fy Es para 2 (3.34) para 2 (3.35) (3.36) 27/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería KL/r es la relación de esbeltez y E s el módulo elástico. 3.7.Comparación de índices de confiabilidad Como un ejercicio, en la siguiente tabla se calculan los índices de confiabilidad para diferentes relaciones de carga ambiental entre carga muerta. W = Efecto de carga ambiental D = Efecto de carga de gravedad Método: FOSM nivel II Tabla 3.1 Comparación de para WSD y LRFD Rel. de carga W/D 0.25 0.50 1.00 2.00 5.00 Promedios WSD 3.02 2.75 2.40 2.12 1.90 LRFD 2.39 2.51 2.49 2.44 2.39 2.44 2.44 Si sesgoD = sesgoW = sesgoR = 1.0 y las incertidumbres: VD = 10%, VW = 40%, VR = 20% Para el método de Diseño por Esfuerzos Permisibles (WSD): Factor de seguridad = 2.0 Para el Diseño por el Factor de Carga y Resistencia (LRFD): = 0.8, D = 1.2, W = 2.1 3.8. Comentarios sobre la metodología empleada por API RP 2A LRFD Los siguientes comentarios, de normas modernas, contribuyen a esclarecer las ventajas del LRFD. Comentario 1.1 sobre el Análisis de Confiabilidad. Las especificaciones basadas en confiabilidad requieren 3 elementos básicos: incertidumbres, riesgo y economía. Una representación probabilista de variables aleatorias describe las incertidumbres incluyendo las objetivas (llamadas también incertidumbres aleatoria o de variabilidad inherente) y las subjetivas (o epistémicas) debido a incertidumbres en el proceso de modelado. Las incertidumbres se miden por medio de la dispersión de datos y pueden extrapolarse a eventos de escala completa (poblaciones del universo de la variable). 28/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) El riesgo se expresa como la probabilidad de una consecuencia desfavorable: Riesgo = 1- Confiabilidad = P (Resistencia < Carga) (3.37) El modelo de diseño basado en confiabilidad utiliza variables aleatorias para representar tanto la carga como la resistencia. En la Figura 3.2, se aprecian las distribuciones de probabilidad de la máxima altura de ola para un periodo de retorno de 20 años y la de la resistencia a flexión de una sección tubular de acero. En el eje horizontal se grafican la carga o resistencia como porcentaje de la carga nominal. Se observan también los sesgos en carga y resistencia, el margen de seguridad medio, la carga y resistencia nominales y la probabilidad de que la carga exceda el 140% de la carga nominal. No existe ambiente de riesgo cero (“Siempre existe una probabilidad finita de falla”: E. Rosenblueth). Evidencias del hecho anterior abundan en el área de aviación, puentes, barcos y edificios donde se han reportado fallas. Figura 3.2. Ilustración de la densidad de probabilidad de carga y resistencia y márgenes de seguridad. La Economía debe entrar en el proceso de toma de decisiones puesto que no existen operaciones de riesgo cero. Márgenes de seguridad altos moverán y reducirán, aunque no eliminarán, el área de traslape entre carga y resistencia, la cual es una medida de la cual depende parcialmente la probabilidad de falla. Si el riesgo se multiplica por el costo de las consecuencias (como el costo de daño), el costo total es: Costo total = Costo inicial + Riesgo x (costo de falla) (3.38) Conforme el riesgo decrece y el costo inicial crece, se alcanza un óptimo o balance en el cual un incremento en el costo inicial se equilibra por un decremento en el costo esperado de falla (costo de consecuencias de Dr. David de León Escobedo 29/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería falla por probabilidad de falla). El punto de balance establece el costo óptimo y el riesgo óptimo asociado y, por tanto, este principio puede usarse para derivar criterios de diseño, de inspección o mantenimiento. Limitaciones de la aplicación directa de esta aproximación son lo limitado de los datos disponibles para modelar las distribuciones y lo intangible de algunos costos de consecuencias, como factores humanos, sociales y políticos. Además, el número de fallas en estructuras típicas de Ingeniería Civil es tan bajo que los riesgos pesados por los costos no son indicativos de pérdidas potenciales. Los riesgos calculados se consideran más nocionales que actuariales o estadísticos. Los riesgos calculados incluyen, por ejemplo, fallas potenciales que pueden modelarse por reglas y fórmulas normales del diseño, no fallas debidas a errores humanos o a un entendimiento limitado del comportamiento verdadero de la estructura. Sin embargo, como medidas nocionales del riesgo, los valores obtenidos de un análisis de confiabilidad consistente, sirven como guías valiosas para tomar decisiones. La confianza en los diseños basados en métodos de confiabilidad se incrementa al calibrarlos con la experiencia y prácticas de diseño existente. Además, aún cuando las cantidades que son resultado de criterios basados en confiabilidad sean sólo nocionales, son útiles para comparar alternativas y para hacer análisis de optimación. Comentario 4.0 El proceso de calibración de beta (). g R S R ( D L W ...) (3.39) R Rn MFP (3.40) R Rn B M B F B P (3.41) donde: R es la resistencia media y BM , BF yBP son los sesgos de material, fabricación y fórmula (profesional). Además, si V R , V M , V F yV P son los coeficientes de variación de la resistencia, material, fabricación y profesional: 2 2 2 VR (VM VF V P )1 / 2 (3.42) Rn Q (3.43) Al sustituir se obtiene la resistencia media: R B R Rn B R Q / (3.44) Sea S el efecto de una carga: S S n IA (3.45) donde Sn = efecto de carga nominal, I variable aleatoria de intensidad, y A variable aleatoria de análisis. S S n IA y el coeficiente de variación de la carga es: 30/88 (3.46) Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) 2 2 VS (VI V A )1 / 2 (3.47) Sustituyendo: R B R Q / ( B R / )S n ( B R / )S / BS (3.48) donde BS es el sesgo de la carga. En ausencia de datos estadísticos adecuados sobre desempeño (como en el caso de sismo o pilotes), los factores del LRFD se derivan para producir niveles de resistencia similares a los de prácticas existentes. A esto se le llama calibración por la “fuerza bruta”. 3.9. Comparación del impacto del LRFD en el diseño El diseño por Esfuerzos Permisibles (WSD) ha dado niveles altos de confiabilidad. Sin embargo, proporciona considerable dispersión en las confiabilidades de componentes, comparado con el diseño por el Factor de Carga y Resistencia (LRFD), el cual provee una mayor uniformidad. Además, para casos donde las cargas de gravedad son mucho mayores que las ambientales, se ha logrado mayor economía con el LRFD. El LRFD se presta a una mayor facilidad para incorporar avances de la investigación y para entender mejor el proceso de diseño en términos de su papel para asegurar la seguridad. Se han observado algunas conclusiones generales: a) La mayor diferencia entre los diseños con WSD y LRFD es de ±20%. b) El método LRFD es más conservador para cargas ambientales y menos para gravitacionales. c) El modo de falla de inestabilidad en columnas es más conservador en el LRFD y el de flexión lo es menos. d) El LRFD es más conservador en situaciones de volteamiento cuando las cargas ambientales se oponen a las gravitacionales. EJEMPLO 3.1 Dr. David de León Escobedo 31/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Un formato de un código popular para el diseño de componentes estructurales es la desigualdad lineal del ACI 318 (81). Rn D Dn L Ln (3.49) donde el subíndice “n” denota valores nominales tanto para carga como para resistencia. Las relaciones de estos valores nominales respecto a sus respectivas medias pueden considerarse como los correspondientes factores de sesgo: v R Rn / R v D Dn / D v L Ln / L (3.50) Determine los factores nominales apropiados de resistencia y de carga D y L para lograr diseños con una confiabilidad de = 2.5 Considere una relación de carga media viva a muerta de L/D 2 (3.51) Suponga, también: CV R 0.11 CV D 0.10 CV L 0.25 (3.52) v R 0.95 v D 0.95 v L 1.18 (3.53) La ec. (1) implica una función de desempeño lineal: g( X ) R D L (3.54) cuyas derivadas parciales son: g / R R (3.55) g / D D (3.56) g / L L (3.57) Entonces: ( R D L ) / R D L 2.5 2 donde: L 2D y: 32/88 2 2 (3.58) Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) D 0.1D L CV L L CV L (2 D ) 0.5 D R 0.11R (3.59) De aquí: (R D 2D ) / (0.11R ) 2 (0.1D ) 2 (0.5 D ) 2 2.5 (3.60) lo cual resulta en la ecuación: R 2 6.491R D 7.978 0 (3.61) cuya solución es: y R 4.844 D R 4.844 D (0.11) 0.533D (3.62) Los cosenos directores son: R R / R D L 0.533D / (0.533D ) 2 (0.1D ) 2 (0.5 D ) 2 0.722 2 2 2 (3.63) D D / R D L 0.10 D / 0.738D 0.136 2 (3.64) L L / R D L 0.50 D / 0.738 D 0.678 (3.65) 2 2 2 2 2 Por tanto: [1 (0.722)(2.5)(0.11)] 0.8 (3.66) D [1 (0.136)(2.5)(0.10)] 1.03 (3.67) L [1 (0.678)(2.5)(0.25)] 1.42 (3.68) Así, el requisito de seguridad quedaría expresado como: 0.80 R 1.03D 1.42 L (3.69) Obsérvese que, en este caso de función de desempeño lineal, no se requieren iteraciones para obtener los factores de diseño. Dr. David de León Escobedo 33/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Para obtener los factores de carga y resistencia nominal correspondientes, se observa que: o v R Rn / R 0.95 (3.70) R Rn / 0.95 (3.71) De manera similar: D Dn / 0.95 y L Ln / 1.18 (3.72) De aquí, en términos de valores nominales, el requisito de seguridad se convierte en: 0.8( Rn / 0.95) 1.03( Dn / 0.95) 1.42( Ln / 1.18) (3.73) 0.84 Rn 1.08 Dn 1.20 Ln (3.74) Los factores totales de carga y el factor de seguridad correspondientes pueden evaluarse: 1.08 Dn 1.20 Ln n ( Dn Ln ) (3.75) Para la relación L / D 2 : Ln / Dn 2(1.18 / 0.95) 2.48 (3.76) Y el factor de carga total es: n [1.18 (1.20)(2.48)] /(1 2.48) 1.17 (3.77) Mientras que el factor de seguridad correspondiente es: n 1.17 / 0.84 1.39 34/88 (3.78) Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) EJEMPLO 3.2 Calibración de los Factores de Carga y Resistencia para miembros tubulares (J. W. Cox). Superficie de falla en términos de variables reducidas, y ecuación de la respuesta de miembros en función de factores de carga y resistencia y estadísticas de distribuciones. g r - d - l - w - w din 0 estado límite (3.79) g 0 estado seguro (3.80) g0 estado inseguro (3.81) Otra forma: r - d - l - w(1 f) 0 (3.82) donde: f = fracción de la carga de inercia =Fn h h =variable aleatoria tal que CVh2 = CVDP2 + CVDA2 DP = variable aleatoria de incertidumbre física DA = variable aleatoria de incertidumbre en el análisis Fn = valor nominal de la ILF, del análisis. r d l w(1 FH h) 0 (3.83) Se introducen las variables reducidas: z1 ( d D ) / D d z1 D D (3.84) z 2 (l L ) / L l z 2 L L (3.85) z 3 (w W ) / W w z 3 W W (3.86) z 4 (r R ) / R r z 4 R R (3.87) z 5 (h H ) / H h z 4 H H (3.88) Sustituyendo de (3.84) a (3.88) en (3.83): z 4 R z1 D z 2L z 3 W (1 z 5 H Fn Fn H ) W (1 z 5 H Fn Fn H ) D L R 0 Dr. David de León Escobedo (3.89) 35/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería c por el método de calibración de la fuerza bruta Diseño por el Factor de Carga y Resistencia (LRFD): Rn D Dn L Ln W Wn (1 din Fn ) (3.90) R / B R D D / BD L L / B L W W / BW (1 din F / BF ) (3.91) 0.935R 1.1D 1.1L 1.93W / BW [1 1.25(0.4)] (3.92) (BR=1.07) R 1.176 D 1.176 L 3.096W (3.93) R [1.176 1.176(3) 3.096( 20)]D 66.62 D (3.94) Diseño por Esfuerzos Permisibles (WSD): Rn SF / 1.33[ Dn Ln Wn (1 Fn )] (3.95) R / B R 1.823 / 1.33[ D / B D L / B L W / BW (1 Fn / B F )] (3.96) 0.962 R 1.371[ D L 1.429W (1 0.4)] (3.97) R [1.425 1.425(3) 2.851(20)]D 62.72 D (3.98) c 66.62 / 62.72 1.06 36/88 (Consistente con el menor entre WSD y LFD) (3.99) Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) 4. Diseño de miembros en tensión La resistencia de elementos de acero en tensión se basa en la evaluación de los posibles modos de falla de plastificación en la sección llena o fractura en el área efectiva. Resistencia nominal. La resistencia de un miembro a tensión puede describirse en términos de “estados límite” que gobiernan. Los estados límites de resistencia que controlan un miembro a tensión será uno de los siguientes: a) Fluencia en la sección transversal gruesa del elemento, lejos de la conexión. b) Fractura en el área neta efectiva, a través de los agujeros, en la conexión. c) Fractura por bloque de cortante a través de los agujeros, en la conexión. Si el estado límite es la fluencia general de la sección total en la longitud total del miembro, la Resistencia nominal, Tn, se expresa como, Tn F y At (4.1) Donde, Fy = Esfuerzo de Fluencia. At =Area total de la sección transversal. Cuando el estado límite es una fluencia localizada que resulta en fractura a través del área neta efectiva de un elemento con agujeros, la resistencia nominal, Tn se calcula, Tn Fu Ae (4.2) donde; Fu = Resistencia mínima de tensión especificada Ae = Area neta efectiva = U An An = Area Neta U = Coeficiente de reducción (factor de eficiencia) Area Neta Al conectar un elemento mediante tornillos o remaches, es necesario perforarlos en la conexión, por lo que el área en esta región se reduce y la resistencia del elemento puede reducirse dependiendo de la dimensión y localización de los agujeros. Entre los métodos empleados para perforar los agujeros, el más económico (más popular) es el de perforar agujeros estándar con 1/16” (1.6 mm) mayor que el diámetro del sujetador. En general, el espesor de la placa es menor que el diámetro del agujero. Es necesario tomar en cuenta que durante la perforación se daña parte del metal en los bordes del agujero, en una distancia aproximada de 1/32” (0.8 mm). El ancho total a ser reducido es la dimensión nominal del agujero normal a la dirección de la carga aplicada más 1/16 in (1.6 mm). Para sujetadores y agujeros estándar, la reducción total es igual al diámetro del sujetador más 1/8 in (3.2 mm). Dr. David de León Escobedo 37/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Ejemplo 4.1. Calcule el área neta de la placa perforada mostrada en la figura 4.1. Placa de ¼” x 4” Agujero estándar para tornillo de Ф = ¾” T T Fig. 4.1 Vista en planta de la placa El área total (Ag) para la placa mostrada es: At = 4 (0.25) = 1.0 in2 El área neta será el área total (At) menos el área ocupada por el agujero: An = At – ancho de agujeros (espesor de la placa) Ancho del agujero = ¾” + 1/8” = 7/8 in = 1.0 – 0.875 (0.25) = 0.78 in2 Efecto de agujeros alternados en área neta. Cuándo los agujeros no están alineados en forma transversal a la dirección de aplicación de la carga, puede existir más de una línea potencial de falla. La contribución de la configuración de los agujeros es un problema no muy fácil de determinar, pero se ha propuesto un método simplificado para considerar este efecto, el cual consiste en adicionar una cantidad igual a: s2 4g (4.3) por cada trayectoria inclinada que se encuentre. En esta expresión, s es el paso o distancia entre agujeros paralela a la dirección de la carga, y g es la distancia transversal a la dirección de la carga. En ese sentido, el área neta para las trayectorias A-B y A-C de la figura 4.2, será: An = Long. Neta x t (espesor) Long. Neta A-B = long. A-B – (ancho de agujero + 1/16”) Long. Neta A-C = long. de A-B – 2 (ancho de agro. + 1/16”) + s 2/4g 38/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) p A A p g p B C s B Fig. 4.2 Trayectorias de falla en el área neta El área neta mínima será entonces determinada de la longitud mínima obtenida, multiplicada por el espesor de la placa. Area Neta Efectiva El área neta obtenida en la sección previa da la sección reducida que resiste tensión, pero aún no refleja adecuadamente la resistencia. Esto es cierto sobretodo en elementos a tensión formado con perfiles consistentes en elementos no todos en un plano común, donde la carga en los extremos se transmite conectando algunos de los elementos, como ocurre en los ángulos, en donde normalmente se conecta una sola de las alas. Para considerar este efecto, LRFD provee que el área neta efectiva Ae, sea calculada como: Ae = U An Donde, (4.4) U = coeficiente de reducción An = área neta Esta ecuación aplica para conexiones con agujeros y soldadas. Para conexiones atornilladas o apernadas, el coeficiente de reducción U considera la excentricidad x de la carga en la conexión. Cuándo la carga de tensión se transmite por alguno, pero no todos las partes de una sección transversal, LRFD indica debe emplearse lo siguiente: _ x U 1 0.9 L (4.5) donde: x = Distancia del centroide del elemento conectado excéntricamente al plano de la transferencia de la carga, L = Longitud de la conexión en la dirección de la carga. Para conexiones a tensión soldadas, existen tres categorías: Dr. David de León Escobedo 39/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería 1) Carga transmitida de un miembro a placa mediante soldadura longitudinal, o por soldadura longitudinal combinada con soldadura transversal: Ae UAg UAe (4.6) 2) La carga es transmitida solo por soldadura transversal: Ae UAn Acon (4.7) donde: Acon es el área directamente conectada de los elementos. 3) Carga transmitida a placa por soldadura longitudinal en ambos lados de la placa espaciados de forma tal que l ≥ w: Ae UAg (4.8) donde: l = longitud de soldadura en un lado de la placa w = distancia entre soldaduras longitudinales (es decir, ancho de placa) U = 1.0 para l ≥ 2w = 0.87 para 2w > l ≥ 1.5w = 0.75 para 1.5w > l ≥ w 4.1. Criterio AISC-LRFD La filosofía general del diseño por el Factor de Carga y Resistencia (LRFD) ya fue descrita en el capítulo 3, y la ecuación 4.9 proporciona los requerimientos de seguridad estructural: j Rn k Q km (4.9) k 1 esta ecuación requiere que la Resistencia de Diseño Rn iguale o exceda la suma de las cargas factorizadas, que para miembros en tensión resulta: t Tn Tu (4.10) donde, t = Factor de Resistencia Tn = Resistencia nominal de un miembro a tensión Tu = Carga factorizada de un elemento a tensión La Resistencia de Diseño tTn es la menor de aquellas basadas en la fluencia de la sección total (Estado Límite de Fluencia en la sección total): 40/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) t Tn t F y At (4.11) con, t = Factor de Resistencia = 0.90 o en la fractura en la sección neta (Estado Límite de Fractura en la sección neta), t Tn t Fu Ae (4.12) con, t = Factor de Resistencia = 0.75 Adicionalmente, es necesario considerar la resistencia de ruptura (tensión, cortante o una combinación de ambos) sobre un área potencial de falla. Los requerimientos de Resistencia de diseño de LRFD son: 1. Resistencia de Diseño de Ruptura por Cortante, Vn: Vn 0.6 Fu Am (4.13) 2. Resistencia de Diseño de Ruptura por Tensión, Tn: Tn Fu Amt (4.14) 3. Resistencia de Diseño Combinada por Tensión y Cortante, Rb: a. Cuándo FuAnt ≥ 0.6FuAnt Rbs 0.6 f y Ae Fu Ant (4.15) esto significa que controla la combinación de fluencia por cortante y fractura por tensión b. Cuándo 0.6FuAnt ≥ FuAnt Rbs 0.6 f u Ant F y Att (4.16) que significa que controla la combinación de fractura por cortante y fluencia por tensión donde, Agv = Área total por cortante Att = Área total por tensión Anv = Área neta por cortante Ant = Área neta por tensión = Factor de Resistencia para el Estado Límite de Fractura = 0.75 Fu = Esfuerzo Ultimo a tensión Fy = Esfuerzo de Fluencia Dr. David de León Escobedo 41/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Ejemplo 4.1. Investigar el modo de falla de ruptura por cortante en el ángulo L4X4X1/4 unido con 3 tornillos de diámetro de 7/8” a una placa de conexión como se muestra en la figura. El acero es A36. Solución. Los estados límite usuales de plastificación general y fractura, gobernados por el menor valor entre las ecs. 4.11 y 4.12, conducen a: t Tn t F y At 0.9(36)(1.94) 62.9kips t Tn t Fu Ae t Fu UAn donde: U 1 x / L 1 1.09 / 6 0.82 0.9 (Máximo) Por tanto, utilícese U = 0.82 Entonces t Tn t Fu UAn 0.75(58)0.82(1.94 0.25) 60.3kips Debe investigarse la falla potencial por bloque de cortante a lo largo de la línea a-b-c de la figura. Calculando las áreas netas Anv y Ant: Anv (longitud " a b"2.5agujeros )espesor [7.5 2.5(0.875 1 / 8)]0.25 1.25in 2 Ant (longitud " b c"0.5agujeros )espesor [1.5 0.5(0.875 1 / 8)]0.25 0.25in 2 Se compara 0.6FuAnv con FuAnt: 42/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) 0.6 Fu Anv 0.6(58)1.25 43.5 [ Fu Ant 58(0.25) 14.5] Lo cual significa que el mecanismo de fractura en cortante-plastificación por tensión gobierna la falla. Finalmente, Rbs (0.6 Fu Anv F y Agt ) 0.75[ 43.5 36(1.25)(0.25)] 42.8kips Con lo que se concluye que el bloque de cortante (42.8 kips) rige sobre la plastificación por tensión en la sección llena (62.9 kips) o la fractura en la sección efectiva (60.3 kips). A continuación el siguiente ejemplo es tomados de: Charles G. Salmon / John E. Johnson. “Steel Structures – Design and Behavior Emphasizing Load and Resistance Factor Design, Ed. Harper Collins. 4a. edición, 1996 Dr. David de León Escobedo 43/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería 44/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) Dr. David de León Escobedo 45/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería 5 Diseño de miembros en flexión El método de diseño por el factor de carga y resistencia es una aproximación que intenta desarrollar un método lógico y confiable para el diseño de componentes estructurales mediante el uso de técnicas probabilísticas y estadísticas. La resistencia, R (a flexión, por ejemplo) del componente estructural se diseña para ser mayor que el efecto de la carga, Q, que produce fuerzas, esfuerzos, deformaciones, etc. Por ejemplo, el diseño LRFD toma el siguiente formato, Ф (fórmula de pandeo de vigas) ≥ γ (momento flexionante de la viga), donde Ф es el factor de resistencia y γ es el factor de carga. Los valores de Ф y γ se derivan para proporcionar una confiabilidad uniforme razonable y un margen de seguridad adecuado. Se demostró que un índice de seguridad de β = 3.0 es adecuado en el diseño actual de vigas simplemente soportados donde la resistencia de fluencia controla el diseño. En este documento se recomendarán fórmulas de diseño para la resistencia de flexión y se desarrollarán factores Ф apropiados utilizando fórmulas desarrolladas en otros documentos: Rm exp 0.55 V R Rn (5.1) donde Rm es la resistencia de la viga obtenida de pruebas, Rn es la resistencia obtenida de fórmulas de diseño, β es el índice de seguridad tomado como 3.0 para vigas, y VR es el coeficiente de variación de la resistencia, dado por: V R V M2 V F2 V P2 (5.2) En donde M, F y P reflejan las variaciones esperadas en la resistencia del material, fabricación y análisis de resistencia, respectivamente. 5.1 Comportamiento general de vigas El comportamiento generalizado de una viga simple o doblemente simétrica flexionada respeto a su eje fuerte se muestra en la figura. La viga falla por pandeo torsional-lateral, por pandeo local del patín en compresión o por pandeo local del alma. Debido a que los aceros usados en las especificaciones del AISC tienen suficiente ductilidad, la falla por ruptura en tensión no ocurrirá previo a la falla por pandeo asociado con compresión. Capacidad de rotación = R 1 Mp 2 My Plástico Inelástico Momento bf 3 Mr t 4 Lb Elástico 0 max Deflexión 46/88 tf d Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) FIG. 5.1 – Comportamiento generalizado de vigas El comportamiento mostrado en la figura se clasifica en tres zonas: I El rango plástico, se caracteriza por la capacidad de la sección transversal de alcanzar el momento plástico, MP, y mantener su resistencia mediante suficiente capacidad de rotación para permitir la redistribución de momentos en estructuras indeterminadas. II El rango inelástico, donde ocurre inestabilidad luego que algunas o todas las porciones de la sección transversal alcanzaron la fluencia, pero solo aparece una pequeña cantidad de deformación inelástica antes de la falla. Las curvas 2 y 3 caracterizan este comportamiento. III El rango elástico, donde ocurre pandeo mientras la sección permanece elástica. Las vigas comunes fallan en los rangos I y II, mientras que en el rango III tiene importancia solo durante la fabricación antes que todos los contraventeos estén en su lugar. En el rango plástico, además de la resistencia considerada en el diseño, se considera la capacidad de rotación inelástica, de forma que el análisis plástico puede emplearse para determinar la distribución de momentos flexionantes como una forma de mecanismo plástico. En los rangos I y II no existe capacidad apreciable de rotación, por lo que las fuerzas en los elementos deben obtenerse mediante un análisis elástico. El orden de importancia, en términos de frecuencia de ocurrencia y utilización óptima del material, es: rango I, II y III. 5.1.1 Resistencia al pandeo lateral-torsional – rango elástico Teoría. El momento de pandeo torsional elástico teórico, M e, para una viga doblemente simétrica alrededor de su eje fuerte, es C Me b K y Lb EI y GJ 2 E 2 I yCw (5.3) K z Lb 2 donde: Lb = Longitud no arriostrada de la viga. E = Módulo de Elasticidad. G = Módulo de Elasticidad al cortante. Iy = Eje menor de inercia. J = Constante torsional de Saint Venant. Cw = Momento de inercia torsional. Cb = Coeficiente de carga. Ky,z = Factores de longitud efectiva que consideran restricciones laterales y torsionales en los extremos. El coeficiente Cb depende de la condición de la carga entre los puntos de restricción lateral. Para momento uniforme Cb = 1.0, para momentos diferentes m1 y m2 y un diagrama de momento lineal, una frontera inferior para Cb es aproximada por, M1 M1 0.3 C b 1.75 1.05 M2 M2 Dr. David de León Escobedo 2 2 .3 (5.4) 47/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería donde M2 es el mayor de los momentos, y M1/M2 es positivo cuanto los momentos flexionan a la viga en curvatura doble. Para vigas simplemente apoyadas, el factor de longitud efectiva, Ky y Kz, son iguales a 1.0. Cuando claros adyacentes se pandean simultáneamente, estos factores se aproximan a la unidad. Para extremos empotrados, los factores son 0.5. En diseño es recomendado emplear K y = Kz = 1.0. 5.1.1.1 Factor de resistencia La relación de la ecuación (1) es la base para el desarrollo del factor de resistencia de diseño: Rm M exp 1.65VR m exp 1.65VR Rn Mn (5.5) donde se emplea el valor de β = 3.0.. y Mn es el momento elástico crítico medio de una viga, por ejemplo: Capacidad _ de _ prueba * Ecuación _ 5.3 Pr edicción Mn (5.6) La variación de VR está dada por la ec. (5.2). El coeficiente de variación de la capacidad/predicción de prueba es VP = 0.09. Las únicas propiedades del material en el rango elástico se relacionan con E, el cual tiene una Vm = 0.06. VF es la propiedad de la sección transversal y se supone igual a 0.05, lo que indica un significativamente buen control de las dimensiones de fabricación. Con esto, la ec. (2) se hace VR 0.06 2 0.05 2 0.09 2 (5.7) 0.12 con Mn proporcionado por al ec. 5.6, Mn, la fórmula de diseño, tomada de la ec. 5.3 con Ky = Kx = 1.0 y VR = 0.12, la ec. se hace, C 1 0.84 bm Cb K y 1 A K z2 (5.8) 1 A donde, A 2 EC w / GJL2b (5.9) Para vigas simplemente apoyadas bajo momento uniforme, C bm = Cb = Ky = Kz = 1.0 y Ф = 0.84. De cualquier forma, si existen otro tipo de cargas y condiciones de frontera, las tres relaciones en la ec. 5.3 serán mayores que la unidad. De otro modo, existirá una dispersión mayor y 2 V R V M2 V F2 V P2 V PA (5.10) aquí, VPA es el coeficiente de variación de la relación del momento crítico calculado y M n. Algunos valores estimados para calibrar el efecto en φ: C bm/Cb = 1.05, Ky = 1.05 para la relación entre raíces cuadradas en la ec. 5.8. Estos números se suponen son los valores medios de todas las vigas posibles, y un valor 48/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) relativamente grande para VPA = 0.2 indica una gran dispersión. Con estos valores VR = 0.23 y Ф = 0.86. Luego entonces, Ф = 0.86 representa una frontera inferior, y podría justificarse un número mayor. 5.1.1.2 Límite elástico La ec. 7.3 es válida cuándo el pandeo ocurre previo a la fluencia. Si hay esfuerzos residuales de compresión presentes, Fr, entonces el momento de fluencia, Mr, es el valor de M donde la fluencia inicia debido a esfuerzos de compresión producidos por flexión y esfuerzos residuales de compresión en el patín de compresión. Esto es, M r S x Fy Fr (5.11) donde Sx es el módulo de sección elástico. La dispersión de los esfuerzos residuales es muy alta y parece existir diferencia sustancial entre secciones roladas y soldadas. 5.1.2 Resistencia al pandeo lateral-torsional – Rango Inelástico 5.1.2.1 Teoría Cuándo hay pandeo arriba del límite elástico, no es posible obtener una solución cerrada. Para momento uniforme, el esfuerzo residual produce una reducción significativa a la solución elástica. Cuándo el momento es cero en uno de los extremos de la longitud no arriostrada, la solución teórica inelástica es muy cercana a la solución elástica, al menos hasta Mp. Teórico Diseño Mp } W 16 x 26 Mn Cb = 1.3 Mr Cb = 1.0 0.5 Mp Eq. 3 I II Plástico 0 Lp III Inélastico Lu Elástico Lbr 8 16 24 Lb (ft) Dr. David de León Escobedo 49/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería FIG. 5.2 – Efecto de la longitud efectiva en la resistencia de una viga Para momento uniforme, la teoría indica que una muy reducida longitud entre apoyos laterales de solo 2 pies se requiere para alcanzar Mp sin ninguna capacidad de rotación adicional. La fórmula para diseño recomendada para la región inelástica, L L M u cb M p ( M p M r b u Lbr Lu (5.12) La longitud no arriostrada correspondiente al límite elástico, L br, se obtiene haciendo Me = Mr en la ec. 5.3 y resolviendo para Lb Lbr . Para una viga sujeta a momento uniforme (Cb = 1.0), la ec. 5.3 da: E Lbr 2K y M r 4C w M r2 G JI y 1 1 2 E G 2 2 J E Iy E (5.13) Para establecer un límite a Lu se emplearon datos obtenidos de experimentos: Lu 300ry (5.14) Fy En resumen, la ec. 5.12 se recomienda como la fórmula básica de diseño en el rango inelástico. Para utilizarse en la ec. 5.12, Mr se define en la ec. 5.11 con 10 ksi para el esfuerzo residual, independientemente del grado del acero, Lbr y Lu están dadas por las ecs. 5.13 y 5.14. 5.1.2.2 Factor de Resistencia En la determinación de este valor se consideraron vigas de patín ancho laminadas, simplemente apoyadas y estáticamente determinadas. Capacidad _ de _ pruebas * ec. _ 5.12 Pr edicción Mm Capacidad _ de _ pruebas 1.06 Pr edicción V p 0.09 (5.15 a) (5.15 b) 5.1.2.3 Rango Plástico Reglas de diseño. El rango plástico mostrado en las figuras 5.1 y 5.2 representa la capacidad óptima de la viga; vigas en esta región normalmente son llamadas vigas compactas. En este rango, el momento plástico, 50/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) Mp = Fy Z, puede ser alcanzado o excedido y este nivel del momento puede mantenerse mientras ocurre una rotación significativa de forma tal que tiene lugar una redistribución de fuerzas inelásticas, para finalmente formar un mecanismo. Para pandeo local, Luckey & Adams desarrollaron una relación experimental entre b f/2tf y R. Para R = 3.0, esta relación bf Fy E 2t f 44 E st 78 (5.16) El valor medio de Est es 600 ksi, con una desviación estándar de 150 ksi. Usando un valor para E st para una desviación estándar por debajo de la media (450 ksi) debido a la gran variación y usando E = 29,000 ksi, se obtiene, bf 2t f 65 Fy (5.17) Pandeo lateral 80 Mecanismo Pandeo local 64 Mp PRUEBA 13 W 12 X 27 L/ry = 80 b/2t = 8.5 Fy = 63.3 ksi P (k) 48 32 P X = Soporte lateral 16 20' 0 1.0 2.0 3.0 (in) 4.0 5.0 6.0 FIG. 5.3 – Comportamiento carga-deformación para una viga de acero de alta resistencia. Basado en datos de pruebas, se encontró que el límite de la relación de esbeltez del alma, d 640 t Fy (5.18) permitiría Mp y una capacidad de rotación de al menos 3.0. Dr. David de León Escobedo 51/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Ajustando una línea recta a los datos a una capacidad de deformación de 3.0, Lp ry 3600 2200 M 1 Fy M p (5.19) La relación de momentos M1/Mp es positiva cuándo el segmento de viga se flexiona en curvatura doble. En resumen, utilizar las ecs. 5.17, 5.18 y 5.19 controlará la inestabilidad local y lateral en el rango plástico hasta que se alcanza el momento plástico, lo mismo que una capacidad de deformación de al menos 3.0. 5.1.2.4 Factor de Resistencia La resistencia nominal de una viga en el rango plástico es el momento plástico, M p, determinado por las dimensiones nominales de la sección transversal y los esfuerzos de fluencia específicos de sus componentes. Para una sección hecha de acero de grado uniforme, M u Fy Z x (5.20) donde Zx es el módulo plástico y Fy el esfuerzo de fluencia. La resistencia media es, M m Z m Fsy m Capacidad _ de _ prueba Pr edicción (5.21) m donde (Fys)m es el esfuerzo de fluencia estático medio de los patines. 5.1.2.5 Selección del Factor de Resistencia Se desarrollaron factores para cada región de comportamiento de vigas: 1. Elástico; donde = 0.84 2. Inelástico; = 0.78 – 0.88 3. Plástico; = 0.89 Se recomienda usar vigas = 0.86 5.2 Resumen y conclusiones La resistencia a flexión de vigas fue subdividida en rango elástico, inelástico y plástico. En los rangos elástico e inelástico se supuso que la inestabilidad lateral era el factor dominante y se presentaron fórmulas para utilizarse en el diseño. En el rango plástico, se demostró que la capacidad de deformación es el factor significante y se presentaron reglas para controlar la inestabilidad local y lateral hasta que se alcance una capacidad de rotación de 3.0. Una evaluación de la confiabilidad de la formulación para cada región indica que el Ф no varió significantemente, de modo que un valor de Ф = 0.86 fue recomendado para el diseño de 52/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) vigas. De cualquier forma, la resistencia a la flexión de vigas de acero está dada por 0.86 M u donde (1) Mu = Mp y se permite la redistribución de momentos si se satisfacen las ecs. 5.17, 5.18 y 5.19; (2) M u = Mp y no se permite redistribución de momentos cuando Lp < Lb < Lu donde el valor para Lu lo da la ec. 5.14; (3) Mu lo da la ec. 5.12 para Lu < Lb < Lbr donde Lbr está dado por la ec. 5.13; y (4) M u = Me, el cual es dado por la ec. 5.3 cuándo Lb > Lbr. El valor Mu = Me para Lb > Lbr donde el valor de Me está dado por la ec. 5.3. 5.3 Articulaciones plásticas En las figuras 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8 y 5.9, se observa el comportamiento de plastificación de una sección tubular al ser sometida a momentos. La excursión inelástica de los esfuerzos por flexión está condicionada a que no se presenten antes (bajo cargas menores) otros modos de falla como el pandeo local o lateral. El factor de forma se define como la relación entre el momento plástico Mp (cuando toda la sección se ha plastificado) respecto al momento de iniciación de la fluencia M y (cuando la primera fibra alcanza Fy): M p / M y ( ZFy ) /( SFy ) Z / S (5.22) Figura 5.4.- Relaciones esfuerzo-deformación y momentocurvatura. 5.3.1 Flexión pura (relación M – ) Como un ejemplo, considere un segmento de viga de longitud L, formado por una sección tubular de pared delgada (radio medio = R, espesor = t), como se indica en la figura 5.5.a. Cuando el segmento de viga se sujeta a momento flexionante M en sus extremos, éste se flexionará en un arco de radio r (Fig. 5.5.b). Los ángulos centrales y la curvatura , están dados por, L 1 (5.23) (5.24) respectivamente. La fibra localizada a una distancia “y” del eje neutro tiene la longitud ( + y). Luego, la deformación por flexión se expresa, Dr. David de León Escobedo 53/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería y L y y L L (5.25) Figura 5.5.- Flexión pura de un segmento de viga tubular de pared delgada. En la expresión anterior (5.25) se realizaron dos suposiciones cinemáticas: 1) la sección plana después de la deformación, y 2) las fibras permanecen normales a los ejes deformados después de la deformación – no se considera la deformación por cortante. La curvatura a la cual la fibra extrema en y = R inicia la fluencia es, y y R (5.26) donde y es la curvatura en la fluencia inicial y y es la deformación de fluencia del material. Luego, el estado de la sección se clasifica en dos rangos: Rango elástico: y (5.27) Rango elasto-plástico y (5.28) El estado de la sección en ambos rangos se ilustra en la figura 5.6. En el rango elasto-plástico, la frontera elasto-plástica y está dada por y y (5.29) Suponiendo que el material es idealizado como un acero elástico-perfectamente plástico con esfuerzo de fluencia σy y despreciando los efectos de endurecimiento por deformación, la distribución de esfuerzos se obtiene directamente de la distribución de deformaciones como 54/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) -σy σ= y≤ y - y ≤y≤ y Ey (5.30) y ≤y σy Figura 5.6.- Estados de esfuerzos de una sección tubular ante flexión pura gradualmente creciente. Para desarrollar las relaciones M - , se considera el rango elasto-plástico de una sección tubular de pared delgada (figura 5.7). La frontera elasto-plástica se define por el ángulo 0, donde 0 cos 1 y / R (5.31) Figura 5.7.- Estado elasto-plástico de la sección (sin carga axial). o, sustituyendo por y de la ec. 5.29 y usando la ec. 5.26, tenemos, 0 cos 1 y Dr. David de León Escobedo (5.32) 55/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería La contribución de la zona I (zona plástica) al momento flexionante es M I 2 y A I y 0( I ) (5.33) donde, A I Area _ de _ zona _ I 2 R 0 t y. y 0 ( I ) distancia del centroide de la zona I al eje y está dado por y 0( I ) Rsen 0 R cos 0 0 0 (5.34) la ec. 5.33 lleva a M I 4 y tR 2 cos 0 (5.35) la contribución de la zona II (zona elástica) al momento flexionante es M II y I x ( el ) (5.36) y donde, Ix(el) = Momento de Inercia de la parte elástica (o zona II) alrededor del eje de flexión (eje x) Para la sección tubular de pared delgada, el valor de I x(el) puede ser aproximada por la expresión 2 0 I x ( el ) 2 Rd tR 2 sen 2 0 (5.37) 0 donde α y ψ0 se definieron en la figura 5.7. Realizando la integración de la ec. 5.37 resulta, I x ( el ) tR 3 20 sen 20 (5.38) sustituyendo y Rsen0 en la ec. 5.36 y empleando la ec. 5.38, llegamos a M y tR 2 20 sen20 sen0 Casos especiales: 1. Momento de fluencia inicial My: En este caso ψ0 = π/2, y la ec. 5.39 lleva a 56/88 (5.39) Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) M y y R 2 (5.40) 2. Momento plástico total Mp: En este caso ψ0 = 0, y la ec. 5.39 lleva a M p y R 2 (5.41) Las ecuaciones 5.40 y 5.41 dan el factor de forma, de la sección tubular de pared delgada como Mp f My 4 1.273 (5.42) poniendo la ec. 5.39 en forma no-dimensional, definiendo m M , Mp y (5.43) La ec. 5.32 lleva a 0 cos 1 1 (5.44) debido a la geometría de la sección transversal, también tenemos 0 sen 1 1 (5.45) de la ec. 5.40 y realizando algunas simplificaciones trigonométricas, podemos escribir la relación nodimensional momento-curvatura para diferentes rangos en las formas Tabla 5.1 a) Rango elástico m 4 1 (5.46) b) Rango elasto-plástico 1 m 4 1 2 2 1 2 sen 2 1 La tabla 5.1 muestra algunos valores típicos requeridos para graficar la relación Momento-curvatura (ecs. 5.34 y 5.35) se muestra en la fig. 5.8. Dr. David de León Escobedo (5.47) m . La relación 57/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Figura 5.8.- Relación momento-curvatura para una sección tubular de pared delgada. Fórmula general.2 2 f ( M x I y M y I xy ) y /( I x I y I xy ) ( M y I x M x I xy ) x /( I x I y I xy ) (5.48) Si My =0 2 2 f M x I y y /( I x I y I xy ) M x I xy x /( I x I y I xy ) (5.49) Donde: Ixy = Σ(Ai)(xi)(yi) i = número de rectángulos en que subdivide la sección. 5.4 LRFD en flexión. Versión del AISC M u b M n (5.50) Donde: b = 0.9 M n = momento nominal resistente, dependiendo de la compacidad (caso 1, 2 ó 3). M u = momento último Caso 1.- Secciones compactas ( ≤ P) M n = MP = Z Fy Caso 2.- Secciones parcialmente compactas ( r ≤ ≤ P) Pandeo local: Mn = Mp – (Mp –Mr)( –P)/(-r) ≤ Mp 58/88 (5.51) (5.52) Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) Caso 3.- Secciones no compactas ( r) Mn = Mr = (Fy-Fs)S Dr. David de León Escobedo (5.53) 59/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Ejemplo 5.1. Seleccione la sección más ligera para soportar una carga uniformemente distribuida en adición al peso propio de la viga. El miembro está simplemente apoyado y la deflexión no se considera una limitante. Considere el patín de compresión apoyado lateralmente y use acero ASTM A-36. = 3 kip/ft wu = 1.2(0.8+0.07)+1.6(3) = 5.844 kip/ft Mu = 5.844(30)2/8 = 657.45 kip-ft Se require que: bMn = bMp = bZx Fy = Mu Zx = Mu/(b Fy) = 657.45 (12)/[0.9(36)] = 243.5 in3 Eligiendo la sección W27X84, con Zx = 244 in3, y peso = 84 lbs/ft, wu incluye peso propio wu = (0.8+0.084+3.2)1.4 = 5.72 kips/ft = 5.72 kips/ft Mu = 5.72(30)2/8 = 643.5 kips-ft Mn = Mp = Zx Fy = 244(36)/12 = 732 kip-ft bMn = 0.9(732) = 658.8 kips-ft Mu = 5.8608(30)2/8 = 659.34 kip-ft bMn ≈ Mu = 659.34 kip-ft, OK Verificando compacidad: f = bf/(2tf) = 7.78 < = 65/36 ½ = 10.8 (patín) w = h/(tw) = 52.7 < = 640/36 ½ = 106.6 (alma) Solución.- Utilícese W27X84 para acero A-36 60/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) Ejemplo 5.2. Para la sección mostrada en la figura, asumiendo que la carga uniforme se encuentra en el plano del alma (plano y-z) para una viga simplemente apoyada con 18´ de claro y sin considerar los efectos de torsión, asumir que la carga de servicio actuante es 20% de carga muerta y 80% de carga viva y que el estado límite para el LRFD ocurre cuando se alcanza el esfuerzo de fluencia Fy en algún punto: a) Determine la carga máxima de servicio asumiendo que la flexión ocurre en el plano de carga (plano y-z). b) Use la carga determinada en (a) para calcular el esfuerzo de flexión en los puntos asignados por las letras, asumiendo que la viga es libre para moverse y sin restricción para el plano yz. Utilice la fórmula de flexión (ec. 5.48). c) Comparar con los resultados de la fórmula de la escuadría. L7X4X1/2 wS = 97.92/1.52= 64.42 k/ft Dr. David de León Escobedo (carga de servicio) 61/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería wD = 12.88 k/ft (carga muerta) , w L = 51.54 k/ft (carga viva) - 62/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) c= My/I Punto: A 330.48 (2.4)/26.6 = -29.81 ksi (C) B 330.48 (1.9)/26.6 = -23.61 ksi (C) C -23.61 ksi (C) D 330.48 (-4.6)/26.6 = 57.15 ksi (T) E 330.48 (-4.6)/26.6 = 57.15 ksi (T) 22.64 (T) 31.95 (T) -64.57 (C) 76.79 (T) 65.89 (T) La fórmula de la escuadría comete errores muy gruesos en secciones asimétricas. Debe usarse sólo para secciones simétricas y bajo flexión uniaxial. Dr. David de León Escobedo 63/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería 6 Diseño de miembros en flexión. 2ª. parte 6.1 Generalidades Las vigas son elementos que soportan cargas transversales, siendo utilizadas generalmente en posición horizontal para soportar cargas de gravedad o verticales. Los perfiles más utilizados como vigas, son los IR (W), resultando generalmente las secciones más económicas, ya que tienen un mayor porcentaje de acero concentrado en los patines, por lo que poseen mayores momentos de inercia y momentos resistentes para el mismo peso, contando con un patín relativamente ancho que les proporciona una rigidez lateral aceptable. Para estudiar los efectos de la flexión consideraremos la viga de sección rectangular mostrada en la figura, suponiendo que la porción a compresión de la viga está completamente soportado contra el pandeo lateral. 64/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) fb Fy Fy Fy Fig. 6.1 Proceso de palstificación en una sección rectangular Al estar la viga sujeta a momento, el esfuerzo en cualquier punto de la sección transversal puede calcularse utilizando la fórmula de la flexión (de la escuadría): fb Mc I (6.1) esto es cierto, siempre y cuándo el esfuerzo máximo sea menor que el valor del esfuerzo de fluencia, F y. El valor I / c es una constante para una sección cualquiera y se denomina “módulo de sección” (S), pudiendo escribir la fórmula de la flexión: fb M S (6.2) donde S = I / c es el módulo de sección (elástico). Al aplicar carga a la viga, el esfuerzo sufre una variación lineal desde el eje neutro hasta las fibras extremas. Este esfuerzo puede incrementarse hasta alcanzar el esfuerzo de fluencia (Momento de fluencia), que es donde las fibras extremas empiezan a fluir. Si el valor del momento se incrementa más allá del valor del esfuerzo de fluencia, las fibras extremas mantendrán este mismo valor y el momento resistente necesario será proporcionado por las fibras más cercanas al eje neutro. Este proceso se mantiene hasta que el total de las fibras alcanzan el esfuerzo de fluencia, o la plastificación total de la sección. En este momento se ha formado una “articulación plástica”, por lo que la sección no puede soportar ningún momento adicional. Cualquier incremento en el momento provocará una rotación en la viga con un pequeño incremento del esfuerzo flexionante. El momento plástico es aquel que produce la plastificación completa de la sección transversal, creándose una articulación plástica. La relación existente entre el momento plástico y el momento elástico se llama “factor de forma”, y vale 1.50 para secciones rectangulares y varía entre 1.10 y 1.20 para secciones laminadas. El momento de fluencia: M y = Fy S (6.3) El módulo de sección elástico para una sección rectangular (b X d): Dr. David de León Escobedo 65/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería bd 3 I bd 2 S 12 d c 6 2 (6.4) y el momento de fluencia es entonces, M y Fy bd 2 6 (6.5) el mismo valor lo obtendríamos al considerar el par interno resistente mostrado en la figura. Fy C = ½ Fy d/2 b = Fy b d / 4 2/3 d d T = ½ Fy d/2 b = Fy b d / 4 b Fig. 6.2 Resultante de fuerzas en una sección rectangular bajo momento de fluencia El momento resistente será igual a la fuerza (C o T) multiplicada por el brazo de palanca: F y bd 2 F y bd 2 d 4 3 6 M y (6.6) por lo que el módulo de sección es bd2 / 6, como ya se había calculado. El momento resistente plástico se calcula de manera similar, pero considerando la figura correspondiente, Fy C = Fy b d / 2 d d/2 T = Fy b d / 2 b 66/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) Fig. 6.3 Resultante de fuerzas en una sección rectangular bajo momento plástico M p Mn T d d bd C Fy 2 2 2 bd 2 d Fy 4 2 (6.7) al ser el momento plástico igual al esfuerzo de fluencia multiplicado por el módulo de sección plástico, de la expresión anterior, el módulo de sección plástico es: Z bd 2 4 (6.8) el factor de forma para la sección rectangular: Fy Z bd 2 Mn Z 2 4 1.50 M y F y S S bd 6 (6.9) Figura 6.4. Curva M - para diferentes secciones transversales 6.2 Diseño de vigas (Criterio del AISC-LRFD) La mayor parte de las vigas se diseñan con la teoría simple de la flexión, calculando inicialmente, los elementos mecánicos a que se ven sujetas por el momento aplicado, seleccionando una viga con propiedades iguales o mayores que las requeridas, revisando posteriormente por cortante y finalmente diseñando las conexiones con las que se sujeta al resto del sistema estructural. Las especificaciones LRFD solicitan que los efectos de las cargas, en ningún momento excedan la resistencia de las vigas, que para este caso se expresa de la siguiente manera: bM n M u Dr. David de León Escobedo (6.10) 67/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería mientras que la resistencia por cortante, Vn Vu (6.11) con = 0.90. M n = momento nominal resistente, dependiendo de la compacidad (caso 1, 2 ó 3). M u = momento último Si la viga es estáticamente determinada, los elementos mecánicos se determinan por estática, pero si la viga forma parte de un sistema hiperestático, se pueden emplear dos métodos de análisis: 1. Análisis plástico, si los elementos cumplen las condiciones de compacidad y soporte lateral del patín en compresión. 2. Análisis elástico, en caso contrario. Las vigas deben diseñarse para los estados límite de servicio y de resistencia última, donde el primero representa deformación o vibración excesiva y el segundo (también llamado estado límite último) representa la capacidad total del elemento a tomar carga, ya sea por fluencia o pandeo. 6.2.1 Estados límite por flexión Las vigas con soporte lateral continuo del patín a compresión o con soporte lateral muy estrecho, fallan por la formación de un mecanismo plástico, siendo este estado límite el que utiliza este método. Cuándo la sección transversal es compacta y está arriostrada continuamente (o a intervalos muy cortos), la viga puede soportar el momento plástico, Mp. Cuándo la separación a la que se coloca el soporte lateral se incrementa y/o la sección transversal no es compacta, el elemento se pandeará bajo un momento menor que M p. El que una sección sea o no compacta, depende de las relaciones ancho/espesor (relación de esbeltez) de sus componentes (patín y alma). Esta relación, para una sección IR, conocidas como de patín ancho, se define como bf / 2tf, siendo bf el ancho y tf el espesor del patín. Conforme esta relación aumenta, el momento bajo el cual falle el patín a compresión será menor. A esta forma de falla se le conoce como “pandeo local del patín” en compresión. En forma similar de pandeo puede ocurrir en la parte comprimida del alma, donde la relación de esbeltez es h / tw y el estado límite se llama “pandeo local del alma”. 6.2.2Clasificación de las secciones transversales La relación entre la resistencia nominal a la flexión M n y a la relación de esbeltez, que denotaremos con el símbolo , puede idealizarse conforme a la gráfica de la figura 6.5, donde se observa que mientras ≤ p, el perfil es compacto y la capacidad que se alcanza del momento es Mp. Es importante mencionar que la mayoría de las secciones laminadas caen en este rango. 68/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) Mn Mp Mr Compacta 0 No compact a p Esbelta r Figura 6.5 Clasificación de secciones transversales por pandeo local de placa Si rebasa el valor de r ( > r), los elementos que conforman la sección transversal se pandearán localmente en el rango elástico, donde la resistencia es inversamente proporcional al cuadrado de la relación de esbeltez (fórmula de Euler para columnas en el rango elástico). A estos perfiles se les llama “esbeltos”. En la región intermedia, el pandeo ocurre luego de que alguna parte de la placa alcanza la fluencia debido a la suma del esfuerzo aplicado y del esfuerzo residual ya existente. Los perfiles localizados en esta región se les llama “no compactos” y la resistencia se supone que varía linealmente con . Los valores para las relaciones de esbeltez aplicables a perfiles rolados y soldados, se indican el la tabla siguiente: Tabla 6.1.Parámetros para determinar la capacidad Mn a flexión de vigas IR no híbridas, doblemente simétricas, compactas no compactas y esbeltas (AISC-LRFD). Dr. David de León Escobedo 69/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería 6.2.3 Diseño de vigas – Zona 1 Si la longitud sin soporte lateral, L b, del patín en compresión de una sección compacta IR o CE, incluyendo secciones híbridas, no excede Lp (Lb < Lp), la resistencia a la flexión del miembro flexionado respecto a su eje mayor se determina con la siguiente expresión: Mn = Mp = Fy Zx ≤ 1.5 My (6.12) M u = b M n (6.13) y Cuándo una sección de acero tiene un gran factor de forma pueden aparecer deformaciones inelásticas importantes bajo cargas de servicio si se permite que la sección alcance el M p bajo la condición de carga factorizada. Por esta razón, las especificaciones limitan la cantidad de deformación para secciones con factores de forma mayores a 1.5, limitando Mp a un valor máximo de 1.5 My. En un análisis elástico, Lb no debe exceder el valor Lp: 70/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) Lp 300 ry Fyf (6.14) Para barras rectangulares macizas y vigas en cajón con A = área de la sección transversal (in 2) y J = constante de torsión (in4): Lp 7350ry JA (6.15) Mp No hay un límite para la longitud no soportada de secciones circulares o cuadradas o de vigas IR flexionadas alrededor de sus ejes menores. Para que las secciones sean compactas, las relaciones ancho/espesor de los patines y almas de secciones IR y CE se limitan a los siguientes valores máximos: Para patines: p bf 2t f 65 Fy (6.16) Para almas: p 6.2.4 h 640 tw Fy (6.17) Diseño de vigas – Zona 2 Si la longitud sin soporte lateral, Lb, es intermitente en el patín en compresión de una sección de forma tal que el miembro pueda flexionarse hasta que se alcance la deformación de fluencia en algunos, pero no en todos los elementos a compresión antes de que ocurra el pandeo lateral, tendremos un pandeo inelástico, es decir, que el soporte lateral proporcionado es insuficiente para permitir que el miembro alcance una distribución plástica total de deformación antes de que ocurra el pandeo. La fluencia iniciará en una sección bajo esfuerzos aplicados iguales a F yw – Fr, en donde Fyw es el esfuerzo de fluencia del alma y Fr es el esfuerzo de compresión residual (proceso de laminación), supuesto igual a 10 Ksi para perfiles laminados y 16.5 Ksi para secciones soldadas. Si la longitud sin soporte lateral Lb, de una sección compacta IR o CE es mayor que Lp, la viga fallará inelásticamente a menos que Lb sea mayor a una distancia Lr, más allá de la cual la viga fallará elásticamente antes de que se alcance el esfuerzo Fy (Zona 3). Suponiendo Cb = 1.0, la capacidad permisible de momento para perfiles compactos IR o CE flexionados alrededor de sus ejes fuertes, se determina con la siguiente expresión, para L b = Lr: Mu = b Mr = b Sx (Fyw – Fr) (6.18) Para los casos en que la longitude sin soporte lateral queda entre Lp y Lr, la capacidad de momento quedará aproximadamente sobre una línea recta (ver fig. 7.5) entre Mu = b Fy Zx en Lp y b Sx (Fyw – Fr) en Lr. Para valores intermedios, debe emplearse la expresión: Dr. David de León Escobedo 71/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Lb L p Mp M n Cb M p M p M r L L p r (6.19) con, Lr X 1 ry Fy Fr 1 X x ( Fy Fr ) 2 (6.20) Si Cb > 1.0, la sección soportará momentos adicionales, pero no mayor de b Fy Zx = b Mp. 6.2.5 Diseño de vigas – Zona 3 Si la viga no está soportada lateralmente, la falla puede ocurrir por pandeo lateral respecto al eje más débil entre los puntos de soporte lateral, lo cual ocurre aunque la viga esté cargada de manera que debería flexionarse respecto al eje más fuerte. La viga, inicialmente se flexiona respecto al eje fuerte hasta alcanzar un momento crítico, Mcr, luego del cual empieza a pandearse lateralmente respecto a su eje débil. Al irse flexionando la viga, la tensión en el otro patín intentará mantener la viga en posición recta. Como resultado de lo anterior, el pandeo de la viga es una combinación de flexión lateral y torsión de la sección transversal de la viga. El momento crítico o momento flexotorsionante, Mcr, en una viga, estará formado por la resistencia torsionante (o de Saint Venant) más la resistencia al alabeo de la sección: M cr Re sistencia _ Torsionant e Re sistencia _ al _ Alabeo 2 2 (6.21) la ecuación que presentan las especificaciones LRFD, es: M cr Cb Lb E EI y GJ Lb 2 I yCw (6.22) donde: G = Módulo de elasticidad al corte = 11,200 Ksi J = Constante de torsión, in4 Cw = Constante de alabeo, in6 No es posible que ocurra el pandeo lateral torsionante si el momento de inercia de la sección respecto al eje de flexión es igual o menor que el momento de inercia fuera del plano. En consecuencia, el estado límite de pandeo lateral torsional no es aplicable a perfiles flexionados respecto a sus ejes menores, ni a perfiles con Ix≤Iy, ni a perfiles circulares o cuadrados. Además, la fluencia rige si la sección es no compacta. Otra forma alterna de presentar la ecuación 6.22 es, 72/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) M cr Cb S x X 1 2 X 2X 1 1 2 2 Lb 2 Lb ry ry (6.23) en donde: X1 Sx X2 4 6.2.6 Cw Iy EGJA 2 Sx GJ (6.24) 2 (6.25) Secciones no compactas Cuando los miembros estructurales no cumplen con las relaciones de esbeltez indicadas para secciones compactas, es decir > p, la sección es no compacta, lo que indica que el esfuerzo de fluencia puede alcanzarse en algunos, pero no en todos sus elementos en compresión antes de que ocurra el pandeo, al ser incapaces de aceptar una distribución de esfuerzos totalmente plástica. Las secciones no compactas presentan relaciones ancho espesor para los patines y el alma mayores que p, pero menores que r (p < <r ). Para las secciones clasificadas dentro del rango no compacto, las relaciones ancho a espesor deben cumplir: Para los patines: 141 Fy 10 (6.26) Para el alma: 970 Fy (6.27) Para vigas no compactas, la resistencia nominal por flexión, Mn, será la menor de las resistencias obtenidas por pandeo lateral torsionante, por pandeo local del patín o por pandeo local del alma. Si p < <r, el valor de Mn se calcula por interpolación lineal entre Mp y Mr, usando las ecuaciones siguientes: Para pandeo lateral torsionante: p M n Cb M p M p M r p r Mp (6.28) Para pandeo local del patín y del alma: Dr. David de León Escobedo 73/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería p M n M p M p M r p r (6.29) por supuesto, el valor menor para el momento regirá el diseño de la viga a flexión. Si > r, el estado límite de pandeo lateral torsionante y pandeo local del patín deben determinarse con: M n M cr S x Fcr M p (6.30) Sx es el módulo de sección elástico de la viga y Fcr se obtiene con las ecuaciones 6.31 o 6.32 (Diseño por compresión): 1. Para λc ≤ 1.5 2 Fcr 0.658 c F y (6.31) 2. Para λc > 1.5 0.877 Fy 2 c Fcr 74/88 (6.32) Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) Ejemplo 6.1. Determine la resistencia a Flexión de diseño para una viga W-24 X 76 de 30 ft de longitud simplemente apoyada en acero Grado A50, con carga concentrada y apoyo lateral al centro del claro. Utilice especificaciones AISC-LRFD. P L / 2 = 15 ft L = 30 ft L / 2 = 15 ft Fig. 6.6 Viga simplemente apoyada con carga concentrada al centro De la tabla 6.2 (y 4.1), Cb = 1.67 Tabla 6.2 Valores de Cb para vigas simplemente apoyadas contraventeadas en los extremos La longitud sin soporte lateral, Lb = 30 / 2 = 15 ft CASO 3: De la ecuación 7.12 (para Lp < Lb < Lr): Lb L p b M n C b b M p ( b M p b M r L L p r bM p donde (las propiedades mecánicas de la sección transversal. fueron obtenidas de las tablas de propiedades del AISC-LRDF y se reproducen en la página siguiente), b M p b Z x Fy 0.9 200 50 9,000 Kips in 750 Kips ft b M r b S x ( Fy Fr ) 0.9 176 50 10 6,336 Kips in 528 Kips ft Fr = 10 Ksi, para secciones roladas Fr = 16.5 Ksi, para secciones armadas Tabla 6.3 Propiedades obtenidas del AISC-LRFD Dr. David de León Escobedo 75/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Tabla 6.4 Propiedades en torsión, AISC-LRFD La longitud límite de comportamiento plástico de la sección: Lp Lp 300ry Fy 300ry Fy 3001.92 6.8 ft 50 El límite para comportamiento inelástico: Lr 76/88 ry X 1 Fy Fr 1 1 X 2 ( Fy Fr ) 2 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) con, X1 Sx EGJA 2 C S X2 4 w x I y GJ I f h2 Cw G 2 2 E E E 11,154 Ksi 2(1 ) 2(1 0.3) 2.6 G = 11,200Ksi (recomendado) J If Cw X2 4 X1 Lr bt 3 1 3 2 9 0.68 (23.92 2 X 0.68)(0.44) 3 2.53in 4 3 3 J = 2.68 in4, de tablas AISC-LRFD t f b 3f 12 0.68(9) 3 41.31in 4 12 41.31( 23.92) 2 11,818in 6 2 11,818 176 82.5 11,154 2.68 176 2 Cw = 11,100 in6 (tabla AISC-LRFD) 0.01986 1 Ksi 2 X2 X 106 = 18600 (1/Ksi)2, tablas AISC-LRFD 29,00011,154 2.53 22.4 1,709 Ksi 2 X1 = 1,760 Ksi, tablas AISC-LRFD 1.921,709 1 1 0.01986(50 10) 2 17.7 ft (50 10) Por lo anterior, L p 6.8 ft Lb 15 ft Lr 17.7 ft y aplica: 15 6.8 b M n 1.67 750 750 528 973.6 b M p 750 Kips in 17.7 6.8 Dr. David de León Escobedo 77/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería entonces, utilice, b M n b M p 750 Kips in Para este caso, aún con Lb > Lp, la resistencia de diseño por flexión es b Mp, debido a que Cb > 1.0. 78/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) Ejemplo 6.2. Calcule la carga viva, v, si la carga muerta, m = 0.15 Kips/ft. Considere Fy = 65 Ksi y la sección armada a base de placas mostrada en la figura. Utilice especificaciones AISC-LRFD. 5/8” X 16” 5/16” X 26” 15 ft 15 ft L = 45 ft 15 ft Soporte lateral Soporte vertical a) Cálculo de propiedades (se sugiere revisarlas): A = 28.1 in2 Ix = 4,003 in4 Sx = 294 in3 Iy = 427 in4 ry = 3.90 in Zx = 319 in4 J = 2.87 in4 Cw = 73.85 in6 X1 = 1,220 Ksi X2 = 0.0584 in4/Kips2 b) Revisión del pandeo local: Patines: bf 16 65 65 12.8 8 .1 Fy 65 25 8 NO CUMPLE!!! h 26 640 640 83.2 79.4 tw 5 Fy 65 16 NO CUMPLE!!! 2t f Alma: c) Cálculo de Mp y Mr: M n M p M p M r p r p El momento plástico, M p Z x Fy 319 65 Dr. David de León Escobedo 1 1,728 Kips ft 12 79/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería El momento plástico reducido, M r Fy Fr S x (65 16.5)294 1 1,187 Kips ft 12 donde, Fr = 16.5 Ksi, para sección formada por placas armadas. d) Cálculo de Mn por pandeo en el patín, r 162 Fyf 16.5 kc bf 2t f 4 h kc tw 162 65 16.5 15.4 0.44 4 0.44 83.2 12.8 15.4 OK!!! La viga está en la zona 2, por pandeo del patín Entonces, M nf 1,728 1,728 1,187 12.8 8.1 1,380 Kips ft 15.4 8.1 e) Cálculo de Mn para pandeo local del alma: r 970 Fy 120.3 h 83.2 tw OK!!! Por lo que: M nw 1,728 1,728 1,187 83.2 79.4 1,678Kips ft 120.3 79.4 f) Cálculo de Mn por pandeo torsional: Lb = 15 ft Lp Lr 80/88 ry X 1 Fy Fr 300 300 1 ry 3.90 12.1 ft 12 Fy 65 1 1 X 2 ( Fy Fr ) 2 29.2 ft Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) La viga está en la zona 2, por pandeo lateral Lb L p M n Cb M p M p M r Mp Lr L p 15 12.5 M n 1.0 1,728 1,728 1,187 1,636 Kips ft M p 29.2 12.5 con Cb = 1.0 Por lo que el momento nominal es, Mn = 1,380 Kips-ft Y el momento de diseño, b Mn = 0.9 (1,380) = 1,240 Kips-ft y las cargas máximas aplicables al sistema: b Mn ≥Mu = 1.2 MCM + 1.6 MCV = 1240 Kips-ft M CM M 45 2 0.15 45 2 38Kips ft 8 8 1.2 ( 38 ) + 1.6 MCV = 1240 Kips-ft 45.56 + 1.6 MCV = 1240 Kips-ft M CV 1240 45.56 746.5 Kips ft 1.6 M CV CV 45 746.5 Kips ft 8 2 finalmente, CV 2.95Kips / ft Dr. David de León Escobedo 81/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería BIBLIOGRAFÍA 1. Charles G. Salmon / John E. Johnson. “Steel Structures – Design and Behavior Emphasizing Load and Resistance Factor Design, Ed. Harper Collins. 4a. edición, 1996 2. AISC. Manual of Steel Construction – Load and Resistance Factor Design, American Institute of Steel 3. Construction, Inc. AISC-LRFD. 3a. Edición, 2001. 4. ASTM, A242/A242M-00, Standard Specification for High-strength low-alloy structural steel. American 5. Society for Testing of Materials, West Conshohocken, Pennsylvania. 6. W. F. Chen and D. J. Han. Tubular members in Offshore Structures, , Pitman Advanced Publishing Program. 7. Galambos, T. V., Lin, F.J. and Johnston, B. G. “Basic steel design with LRFD”. Prentice Hall, 1996. 8. McCormac, Jack C. “Structural steel design: LRFD method” HarperCollins College Publishers, 9. New York, NY, 2nd ed., 1994. 10. Gobierno del DF. Reglamento de Construcciones del Distrito Federal y sus Normas Técnicas Complementarias. Normas metálicas. 1993. 11. Bruneau, M., Whittaker, A. y Uang, Ch. M. “Ductile Design of Steel Structures”. McGraw Hill, 1998. 12. AISC en Internet: http://www.aisc.oeg/home.asp 13. AOC en Internet: http://www.seaoc.org/ 14. Proyecto SAC en Internet: http://quiver.eerc.berkeley.edu:8080/library/index.html 15. Tubular members in Offshore Structures, W. F. Chen and D. J. Han, Pitman Advanced Publishing Program. 16. Tore H. Soreide. Ultimate Load Analysis of Marine Structures, Ed. Tapir, 1981 17. AWS D1.1/D1.1M:2002 Structural Welding Code - Steel, 18th edition. 18. IMCA, Instituto Mexicano de la Construcción en Acero, 4ª edición. 19. Design of Steel Structures, 3rd Edition, by Edwin H. Gaylord, Jr., Charles N. Gaylord and James E. Stallmeyer, published by McGraw-Hill (1991). 82/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) ANEXO A Dr. David de León Escobedo 83/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Ang, Alfredo H-S. and Tang, W. H., 1984, “Probability Concepts in Engineering Planning and Design” Vol. II – Risk, Reliability and Decisions. John Wiley and Sons, New York. Calibración de factores parciales de carga y resistencia (LRFD). n R i Qi (A.1) g ( 1 X 1 , 2 X 2 ,..., n Xn ) 0 (A.2) i xi * / Xi (A.3) xi i (A.4) i 1 * * donde: i * (g / X i ´)* / (g / X ´) 2 i * i (A.5) De aquí, se obtienen las variables originales: xi Xi i Xi Xi (1 i CV Xi ) * * * (A.6) De aquí, los factores de diseño requeridos son: i 1 i * CV Xi (A.7) En caso de que la función de desempeño sea lineal: a 0 ai i xi 0 (A.8) i En este caso las derivadas parciales son independientes de xi: g / X i ai Xi i ai Xi / (A.9) (ai Xi ) 2 i (A.10) Y los factores requeridos son: i 1 a i Xi / i (ai Xi ) 2 CV Xi (A.11) CALIBRATION OF PARTIAL SAFETY FACTORS FOR DOLOS ARMOURS 84/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) FROM: OPTIMAL RELIABILITY-BASED CODE CALIBRATION SORENSEN, J. D., Kroon, I. B. Y Faber, M. H. Structural Safety, 15 (1994), pp. 197-208 Bj = B0 = 10,000 CIj = C0 +C1Dn = 2,000+200Dn CFj = 10,000 o 2,000 L = 48 situaciones de diseño Índices de confiabilidad objetivo (por año) para distintos ciclos de vida esperados T = 20, 50 o 100 años T t,1 (CF = 10,000) Pf t,1 (CF = 10,000) t,1 (CF=2,000) Pf t,1 (CF = 2,000) 20 3.08 1.04X10-3 2.6 4.66 x10-3 50 3.32 0.45X10-3 2.87 2.05X10-3 100 3.57 0.18X10-3 3.07 1.07X10-3 Factores de seguridad parciales para distintos ciclos de vida esperados T = 20, 50, 100 años. T rHs (CF = 10,000) rHs (CF = 2,000) 20 2.07 1.59 50 2.02 1.54 100 1.96 1.51 Dr. David de León Escobedo 85/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería ANEXO B 86/88 Diseño de Estructuras de Acero empleando el Método del Factor de Carga y Resistencia (LRFD) TAREAS Diseño de elementos a Tensión. 1. Seleccione un ángulo para resistir una fuerza de tensión de 15 kips de carga muerta y 40 de viva usando acero grado 60, línea de 3 tornillos de = 7/8” y una longitud de 25´. Use LRFD. 2. Resuelva el problema anterior con acero A36, carga muerta de 20 kips y viva de 80. Los tornillos son de = ¾” y la longitud es de 15´. Use LRFD. 3.- Resuelva los problemas anteriores con el WSD. Diseño de elementos a Compresión. 1. Seleccione el perfil W más ligero para usarse como columna cargada axialmente, con L = 6m, si en su dirección débil tiene un contraviento a la mitad de su longitud. Las cargas son de 40 ton de carga muerta y 100 ton de carga viva. La columna está biarticulada. Los perfiles de grado 60 cuestan 1.3 veces lo que cuesta el acero A-36 y los de grado 50, 1.16. Utilice el LRFD. 2. Calcule la carga axial de servicio de una columna, cuya sección se muestra en la figura, de 24´ si 40% de la carga es muerta y el resto es de viva. Está arriostrada @ 8´en la dirección fuerte y @ 6 ´en la débil. Utilice el LRFD y resuelva para: a. Acero A-36 b. Grado 50 c. Grado 70 1/4” 1/8” 20” 1/4” 10” 3.-Resuelva el problema 1 con el método WSD y compare los resultados. Dr. David de León Escobedo 87/88 Universidad Autónoma del Estado de México Facultad de Ingeniería Diseño de elementos a Flexión 1. Calcule el factor de forma de las siguientes secciones: ½” ½” 3/8” 40” 40” ½” ½” 20” 36” 18” 40” 2. Compare los esfuerzos por flexión producidos en la sección de la figura, utilizando la fórmula de la escuadría y la teoría general de flexión. El espesor es de ½”. 6” 8” 3. Diseñe una sección W para una viga simplemente apoyada, con L = 8m, con carga repartida con 0.5 tn/m de carga muerta y 2 tn/m de viva. Compare los resultados si se utiliza el LRFD y WSD. 88/88