1Segunda Parte NOÇÕES SOBRE DERIVADAS 2 Introdução Nos cinco capítulos desta segunda parte da apostila, começamos o estudo de Cálculo. Essa disciplina é um conteúdo de Matemática, usualmente chamado de Cálculo Diferencial e Integral. Este cálculo é diferencial porque trata de questões relacionadas à rapidez com que as coisas se movem, aumentam ou diminuem: como aumenta ou diminui, por exemplo, a área de um quadrado, quando seu lado muda de valor; como aumenta ou diminui o montante de uma aplicação à medida que o tempo passa. Por abordar questões que envolvem certos tipos de somas que apresentam um número cada vez maior de parcelas, as quais vão se tornando cada vez menores, este cálculo é também chamado de cálculo integral. Quase todas as ideias e aplicações do Cálculo giram em torno de dois problemas geométricos, apresentados de maneira simples na Figura 6.0. Figura 6.0 Problema 1 O problema básico do cálculo diferencial é o problema das tangentes: calcular a inclinação da reta tangente ao gráfico da curva y = f(x) no ponto P. Problema 2 O problema básico do cálculo integral é o problema das áreas: calcular a medida da área da região limitada pelos gráficos de y = f(x), y = 0, x = a e x = b. O problema da inclinação da tangente leva a medir a rapidez de variação de uma grandeza em relação à variação de outra grandeza e conduz à ideia de derivada ou 3 diferencial. Por sua vez, o estudo da medida de áreas leva a considerar somas com muitas parcelas, que ficam cada vez menores à medida que seu número aumenta, e conduz ao conceito de integral. O problema do cálculo de áreas por meio de somas de infinitas pequenas parcelas foi utilizado por Arquimedes (287 – 212 a.C.), a quem muitos historiadores atribuem a origem dos métodos de integração. Também Kepler (1571 – 1630), Galileu (1564 – 1642) e Cavalieri (1598 – 1647), entre outros, empregaram métodos semelhantes ao de Arquimedes para calcular áreas e volumes. O problema envolvendo tangentes e curvas foi estudado no início do século XVII, por Descartes (1596 – 1650) e Fermat (1601 – 1665). Até a segunda metade do século XVII, os dois processos – o de calcular áreas e o de aproximar curvas por meio de tangentes – foram estudados separadamente, como se diferenciação e integração fossem questões independentes. A partir dos trabalhos de Newton (1642 – 1727) e Leibniz (1646 – 1716), as relações de interdependência entre esses dois processos foram reconhecidas, fazendo surgir uma nova disciplina, o Cálculo Diferencial e Integral. Nesta parte da apostila, optamos por fazer uma apresentação do Problema 1, dando ênfase ás noções de derivada, explicadas de modo intuitivo, sem maiores compromissos com a formalização. Consideramos que, após essa visão geral, estaremos mais bem preparados para uma abordagem do Cálculo Diferencial, ficando em condições de compreender as inúmeras aplicações dessa disciplina nas diferentes áreas científicas e tecnológicas. 4 Capítulo 7 – Taxa de variação constante Introdução No estudo de Cálculo, vamos trabalhar com funções reais de variáveis reais, aquelas que têm como domínio e como imagem um subconjunto de números reais. Consideramos que as grandezas são representadas por números e que as relações de interdependência entre grandezas são traduzidas matematicamente por funções. Dizemos que uma grandeza y é uma função de outra grandeza x quando os valores de x e de y estão relacionados de tal forma que a cada valor de x corresponde um único valor de y. Para representar funções, utilizam-se tabelas, gráficos, descrições verbais ou, quando possível, fórmulas matemáticas. 7.1 Crescimento e decrescimento de funções As funções se caracterizam pela maneira de variar, ou seja, pela forma como crescem ou decrescem. Quando conhecemos o gráfico de uma função, fica fácil identificar os intervalos nos quais essa função está crescendo (aumentando) ou decrescendo (diminuindo). Figura 7.1 A função representada na Figura 7.1 é crescente no intervalo | | a, b e é decrescente no intervalo | | b, c . Lembre-se de que x varia sempre da esquerda para a direita. Assim, dizemos que uma função é crescente se, a um aumento no valor de x no intervalo considerado, corresponder um aumento no valor de y. Por outro lado, dizemos que uma função é decrescente se, a um aumento no valor de x no intervalo considerado, corresponder uma diminuição no valor de y. 5 A Figura 7.2, onde estão seis funções, sugere que existem diferentes formas de crescimento ou de decrescimento. Figura 7.2 As que estão à esquerda são crescentes no intervalo | | a, b : - z cresce cada vez mais rapidamente; - w cresce cada vez mais lentamente; - y cresce com uma rapidez constante. Já as funções da direita são decrescentes no intervalo | | c, d : - v decresce cada vez mais rapidamente; - u decresce cada vez mais lentamente; - t decresce com uma rapidez constante. Observe como ficaria a variação de cada uma das funções que estão à esquerda na Figura 7.3. Figura 7.3 6 7.2 Taxa de variação constante Para indicar a rapidez com que uma função cresce ou decresce, utilizamos a ideia de taxa de variação, conceito que passamos a estudar. Desde já, podemos ter em mente que derivada é uma taxa de variação e a inclinação de uma tangente. A função linear y mx b = + é um modelo matemático que serve para descrever a interdependência entre duas grandezas que são diretamente proporcionais. Nesse tipo de relação, quando x varia de uma unidade, a partir de um ponto qualquer, o valor de y varia de m unidades. Isso significa que y varia a uma taxa constante, sempre igual a m. O gráfico dessa função linear é uma reta ou um segmento de reta, conforme podemos observar na Figura 7.4. Figura 7.4 Na função linear y mx b = + , o número m é a taxa de variação de y em relação a x. Indicamos essa taxa de variação pela fração y x A A . Essa fração tem o nome de taxa de variação porque seu numerador, y A , indica a variação de y e seu denominador, x A , indica a variação de x. Tanto para y quanto para x, a variação é a diferença entre um valor final e um valor inicial. Escrevemos isso da seguinte forma: 2 1 variação de y y f (x ) f (x ) = A = ÷ 2 1 variação de x x x x = A = ÷ 2 1 2 1 f (x ) f (x ) y taxa de variação de y em relação a x x x x ÷ A = = A ÷ No lugar da expressão taxa de variação, podemos usar razão de variação ou quociente de variação. 7 Do exame atento da Figura 6.4 e com o uso da ideia de taxa de variação, podemos estabelecer algumas conclusões a respeito da função linear y mx b = + : - Quando m é positivo, a função é crescente para todo x; quando m é negativo, a função é decrescente. - Uma função é crescente quando sua taxa de variação é positiva; uma função é decrescente se sua taxa de variação é negativa. Quando x aumenta 1 y aumenta ou diminui m. Quando x aumenta 2 y aumenta ou diminui 2m. Quando x aumenta k y aumenta ou diminui k m. - ÷ ÷ ÷ · y m taxa de variação de y em relação a x. x m 0 indica função crescente. y mx b m 0 indica função decrescente. m 0 indica função constante. A ¦ = ÷ ¦ A ¦ ¦ > = + ´ ¦ < ¦ = ¦ ¹ A taxa de variação da função linear y mx b = + é y m x A = A . Essa taxa de variação é constante, ou seja, tem sempre o mesmo valor. Isso quer dizer que, quaisquer que sejam os valores de 1 2 x e x , ou seja, qualquer que seja o intervalo de variação de x, 2 1 2 1 f (x ) f (x ) y m x x x ÷ A = = ÷ A . Pensando na Geometria, o gráfico de uma função linear é uma reta. Essa taxa de variação da função linear y mx b = + , y m x A = A , é a inclinação dessa reta. Chamada de coeficiente angular da reta, essa inclinação pode ser calculada pela tangente trigonométrica do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas, conforme indicado na Figura 7.5. Figura 7.5 8 Exemplo 1 Em certa cidade, a quantia C, em reais, a ser paga por uma corrida de táxi de x quilômetros é dada pela função C(x) 7 4x = + . Com base nessas informações: (a) estabeleça a taxa de variação de C em relação a x, quando x varia de 1 2 x 3 a x 8 = = ; (b) determine o custo de uma corrida de 12km; (c) calcule quantos quilômetros são percorridos quando uma corrida sai por R$49,00; (d) esboce o gráfico da função , supondo que seu domínio é | | 0, 20 . Solução a) Para estabelecer a taxa de variação de C em relação a x, quando x varia de 1 2 x 3 a x 8 = = , fazemos: 2 1 2 1 variação de C C C(x ) C(x ) C(8) C(3) 39 19 20reais variação de x x x x 8 3 5quilômetros = A = ÷ = ÷ = ÷ = ¦ ´ = A = ÷ = ÷ = ¹ Assim, temos: C C(8) C(3) 20 4R$ var iação de C em relação a x 4R$ km x 8 3 5 1km A ÷ = = = = = A ÷ Nessa taxa de variação, o numerador C A é medido em reais e o denominador x A é medido em quilômetros. Por isso a unidade de medida da taxa de variação é reais por quilômetro: C 4R$ km. x A = A b) Determinar o custo de uma corrida de 12kmsignifica determinar o valor da função C(x) 7 4x = + quando x 12 = . Para isso, fazemos: C(12) 7 4 12 55reais. = + · = c) Calcular o número de quilômetros percorridos em uma corrida que custa R$49,00 significa achar o valor de x para o qual C(x) 49 = . Para isso, fazemos: 41 C(x) 7 4x 49 4x 41 x 10, 25 quilômetros. 4 = + = ¬ = ¬ = = d) A Figura 7.6 traz um esboço do gráfico de C(x) 7 4x. = + Figura 7.6 9 Exemplo 2 Certa gráfica compra um sistema de impressão por R$27.000,00. Após nove anos, o sistema está obsoleto e não tem mais nenhum valor comercial. Com base nessas informações e supondo que a depreciação desse sistema seja linear: (a) escreva uma equação que relacione o valor v desse sistema e o tempo t transcorrido após a compra; (b) estime o valor desse sistema após cinco anos de uso; (c) estabeleça após quanto tempo o valor do sistema será igual a 30% do valor de compra; (d) esboce o gráfico da função obtida no item (a). Solução a) A equação que relaciona o valor V desse sistema e o tempo t transcorrido após a compra é da forma: V(t) at b = + . Como o valor de compra é R$27.000,00, podemos escrever: v(0) a 0 b 27000 b 27000 = · + = ¬ = e, assim, v(t) at 27000 = + . De acordo com o enunciado do problema, o sistema tem valor zero após nove anos de uso; assim, podemos escrever: V(9) 0 a 9 27000 0 a 3000 = ¬ · + = ¬ = ÷ Desse modo, a equação é V(t) 3000t 27000 = ÷ + . b) O valor desse sistema, após cinco anos de uso é: V(5) 3000 5 27000 12000reais. = ÷ · + = c) Para estimar após quanto tempo o valor desse sistema será igual a 30% do valor de compra, fazemos: 0,30 27000 3000x 27000 x 6,3 anos · = ÷ + ¬ = . d) A Figura 7.7 traz o gráfico da função V(t) 3000t 27000 = ÷ + . Figura 7.7 Na função V(t) 3000t 27000 = ÷ + , a taxa de variação de V em relação a t é negativa e é medida em reais por ano: V 3000reais ano t A = ÷ A . Dizer que a taxa de variação é negativa significa dizer que a função é decrescente; nesse caso, significa que o preço do sistema diminui R$3.000,00 quando o tempo aumenta de um ano. Geometricamente, a taxa de variação negativa indica que o coeficiente angular da reta é negativo e que ela está inclinada para a esquerda. 10 Exemplo 3 Primeiramente, determine a taxa de variação da função representada na Figura 7.8. A seguir, estabeleça a equação dessa função. Figura 7.8 Solução a) Esse gráfico, por ser uma reta, indica que as grandezas x e y têm variações proporcionais. Como, quando x aumenta de 0 até 3, y aumenta de 5 até 17, podemos escrever: 17 5 12 taxa de variação de y em relação a x 4 3 0 3 ÷ = = = ÷ b) A função representada é linear e sua equação é da forma y mx b = + , em que m é a taxa de variação e b é o valor inicial de y, ou seja, m 4 = e b 5 = . Assim, a equação dessa função é y 4x 5. = + Exemplo 3 Em certa residência, um botijão, que contém 13kg de gás de cozinha, é comprado por R$74,00, sendo consumido à razão de 0, 5kg por dia. Do valor total pago por esse botijão, cerca de 30% (R$22,00) cobrem os custos operacionais e os outros 70% (R$52,00) se referem ao preço do gás nele contido. Com base nessas informações: (a) escreva uma função M f (t) = que forneça a massa M de gás no botijão, medida em quilogramas, após t dias de uso; (b) escreva uma função C g(t) = que represente o gasto C, em reais, somente com o gás, durante t dias de uso; (c) esboce em um mesmo sistema de coordenadas os gráficos dessas duas funções; (d) determine as coordenadas do ponto de interseção desses gráficos e escreva a unidade de medida de cada uma dessas coordenadas. Solução a) A massa M de gás no botijão, após t dias de uso, é dada por: M(t) 0, 5t 13 = ÷ + . Nessa equação, a taxa de variação de M em relação a t é 0, 5kg dia ÷ . O valor negativo indica que a massa diminui de 0, 5kg quando t aumenta de 1 dia. 11 b) O custo C do gás consumido durante t dias é dado por: C(t) 2t = . Nessa equação, a taxa de variação de C em relação a t é 4reais 0, 5kg 2reais dia kg dia · = . Essa taxa indica que o custo aumenta de R$2,00 quando t aumenta de 1 dia. c) A Figura 7.9 traz um esboço dos gráficos dessas funções: Figura 7.9 d) O ponto de interseção desses gráficos é P(5, 2; 10, 4) . A unidade de medida da abscissa 5,2 é dia; a unidade de medida da ordenada 10,4 é reais quando consideramos a função C(t) 2t = e é quilogramas quando nos referimos à função M(t) 0, 5t 13. = ÷ + 12 Exercícios 7 1. Dada a função y 13x 760 = + , determine: a. A variação no valor de y quando x passa de 10 para 11. b. A variação no valor de y quando x passa de 1985 para 1986. c. A taxa de variação de y em relação a x. d. A variação no valor de y quando x passa de 3000 para 3002. 2. A quantia y, em reais, a ser paga por x metros de determinado fio é y 17x, x 0 = > . a. Qual a taxa de variação de y em relação a x e o que ela representa? b. Quantos metros podem ser comprados com R$225,00? 3. Um tanque contém inicialmente 20 litros de água. Uma torneira começa a despejar água nesse tanque à razão constante de 6 litros por minuto. a. Expresse o volume V de água no tanque em função do tempo t em minutos. b. Qual a taxa d variação de V em relação a t? 4. Em um lago, a pressão p varia com a profundidade h de acordo com a fórmula: p 0,1h 1 = + (p em atmosferas; h em metros). a. Qual a taxa de variação da pressão em relação à profundidade? b. Descendo 20m, a partir de um ponto qualquer, de quanto aumentará a pressão? 5. Em certa cidade, o total y a pagar, em reais, por uma corrida de táxi de x quilômetros é composto de uma quantia fixa de R$15,00, à qual se acrescenta uma quantia variável correspondente a R$7,50 por quilômetro rodado. a. Expresse y como função de x. b. Qual a taxa de variação de y em relação a x? c. Qual a diferença no total a pagar em duas corridas, uma de 23km e outra de 32km? d. Quantos quilômetros rodados teve uma corrida pela qual se pagou R$134,00? 6. A massa M de oxigênio contida em um tanque varia com o tempo t de acordo com a equação M(t) 30 4t = ÷ , em que M é medida em quilogramas e t, em horas. Com base nessas informações: a. Faça um esboço do gráfico da função M(t) 30 4t = ÷ . b. Calcule o valor da fração M(5) M(2) 5 2 ÷ ÷ . c. Escreva o significado do valor encontrado para a fração do item (b) e indique qual é sua unidade de medida. d. Determine após quanto tempo esse tanque conterá apenas 35% da massa inicial de oxigênio. 13 7. Uma caixa d’água é abastecida à razão constante de 15L min e, simultaneamente, seu conteúdo escoa à razão constante de 7L min . Em certo instante, o volume de água nessa caixa é 400L. Com base nessas informações: (a) escreva a equação da função que fornece o volume Vde água nessa caixa t minutos depois desse instante; (b) determine a taxa de variação de V em relação a t ; (c) esboce o gráfico da função obtida no item (a). 8. Um corpo está em movimento uniforme quando percorre distâncias iguais em tempos iguais; nesse caso, dizemos que o corpo tem velocidade constante. Se, por exemplo, um carro em movimento uniforme percorre 90km em cada hora, dizemos que ele tem velocidade de 90km h . Partindo do marco quilométrico 20 de certa rodovia e deslocando-se no sentido da quilometragem crescente, após t horas, esse carro estará no marco quilométrico s(t) 20 90t = + . 9. A função que expressa a relação entre a posição S e o tempo t é a função posição do carro. A taxa de variação de s em relação a t é a velocidade. Com base nessas informações, determine a velocidade dos carros que apresentam as seguintes funções posição: (a) s(t) 30 75t = + ; (b) s(t) 60t = ; (c) s(t) 300 80t = ÷ ; (d) s(t) 90t 60 = ÷ . (Interprete o sinal negativo dos itens c e d). 10. Para cada uma das funções abaixo: (a) escreva a equação da função; (b) indique a taxa de variação de y em relação a x: 14 11. Sendo f (x) mx b = + , mostre que: a. m f (x 1) f (x) = + ÷ , para todo valor de x; b. 2 1 2 1 f (x ) f (x ) m x x ÷ = ÷ , para todos os valores de 1 2 x x = . 12. Determine a velocidade dos seguintes movimentos uniformes, sendo Ss medido em quilômetros e t , em horas: (a) t 0 1 2 3 4 5 S 100 160 220 280 340 400 (b) t 0 2 4 6 8 10 S 70 140 210 280 350 420 (c) t 0 3 5 9 11 15 S 30 120 180 300 360 480 (d) t 0 1 2 3 4 5 S 200 ÷ 140 ÷ 80 ÷ 20 ÷ 40 100 13. Cada um dos gráficos a seguir representa o movimento uniforme de um carro. Determine a função posição e escreva a velocidade de cada um desses carros. 14. Primeiramente, esboce o gráfico da função f (x) 7 = . A seguir, calcule o valor de f (9) f (4) 9 4 ÷ ÷ e, por fim, escreva qual é a taxa de variação de y em relação a x. 15 Capítulo 8 – Derivada em um ponto As funções lineares da forma y mx b = + crescem ou decrescem a uma taxa de variação constante. Isso quer dizer que as duas grandezas x e y, relacionadas por essa lei, têm variações proporcionais, ou seja, que a taxa de variação de y em relação a x é constante e, ainda, que o gráfico correspondente é uma reta de inclinação m. 8.1 Taxa de variação variável Se duas grandezas x e y não têm variações proporcionais, a lei que estabelece a interdependência entre elas não é mais da forma y mx b = + , a taxa de variação de y em relação a x é variável e o gráfico não é uma reta. Nesse caso, dizemos que as grandezas x e y, relacionadas pela lei y f (x) = têm taxa de variação variável. Na sequência, vamos observar algumas dessas funções. Exemplo 1 Consideremos que o valor V de uma ação, medido em reais, varia ao longo do tempo t, medido em meses, de acordo com a função 2 V(t) t 7 = + . Essa função pode ser descrita por meio da Tabela 8.1. t 0 1 2 3 4 5 6 7 V 7 8 11 16 23 32 43 56 Tabela 8.1 O gráfico de 2 V(t) t 7 = + está na Figura 8.1. Figura 8.1 16 Podemos observar que a variação de V por unidade de t é positiva e aumenta à medida que t aumenta. Em outros termos, o valor dessas ações aumenta cada vez mais depressa, ou seja, a função 2 V(t) t 7 = + cresce cada vez mais rapidamente. Isso que percebemos pelo exame do gráfico pode ser descrito algebricamente por meio de taxas de variação de V em relação a t: V V(1) V(0) 8 7 1 real mês t 1 0 1 A ÷ ÷ = = = A ÷ . V V(5) V(4) 32 23 11 reais mês t 5 4 1 A ÷ ÷ = = = A ÷ . V V(7) V(6) 56 43 13 reais mês t 7 6 1 A ÷ ÷ = = = A ÷ . Exemplo 2 Consideremos que a temperatura T, medida em graus centígrados, varie no decorrer do tempo t, medido em horas, de acordo com a função T(t) t 7 = + . Essa função pode ser descrita por meio da Tabela 8.2. t 0 1 2 3 4 5 6 7 T 7,0 8,0 8,4 8,7 9,0 9,2 9,5 9,7 Tabela 8.2 O gráfico de T(t) t 7 = + está na Figura 8.2. Figura 8.2 Podemos observar que a variação de T por unidade de t é positiva e diminui à medida que t aumenta. A função T(t) t 7 = + cresce cada vez mais lentamente. No gráfico, percebemos que os “degraus” têm alturas cada vez menores. Algebricamente, as taxas de variação, embora permaneçam positivas, vão diminuindo à medida que o tempo aumenta: T T(1) T(0) 8 7 1 grau hora t 1 0 1 A ÷ ÷ = = = A ÷ . T T(4) T(3) 9, 0 8, 7 0, 3 grau hora t 4 3 1 A ÷ ÷ = = = A ÷ 17 T T(7) T(6) 9, 7 9, 5 0, 2 grau hora t 7 6 1 A ÷ ÷ = = = A ÷ Exemplo 3 Consideremos que a demanda Q de um produto, medida em milhares de unidades comercializadas, em função do preço p, medido em reais, seja dada pela função 2 Q(p) 7, p 0. p = + > Essa relação entre Q e p pode ser descrita pela Tabela 8.3. p 1 2 3 4 5 6 7 Q 9,00 8,00 7,67 7,50 7,40 7,33 7,29 Tabela 8.3 O gráfico de 2 Q(p) 7 p = + está na Figura 8.3. Figura 8.3 Podemos observar que a variação de Q por unidade de p é negativa e tem valor absoluto cada vez menor. Dito de outra maneira, a função 2 Q(p) 7 p = + decresce cada vez mais lentamente. Esse decrescimento cada vez mais lento pode ser visto nas taxas de variação: Q Q(1) Q(0) 8 9 1 milhar deunidades real 1000unidades real p 1 0 1 A ÷ ÷ = = = ÷ = ÷ A ÷ Q Q(4) Q(3) 7, 50 7, 67 0,17 milhar deunidades real 170unidades real p 4 3 1 A ÷ ÷ = = = ÷ = ÷ A ÷ Q Q(7) Q(6) 7, 29 7, 33 0, 04 milhar deunidades real 40unidades real p 7 6 1 A ÷ ÷ = = = ÷ = ÷ A ÷ 18 8.2 Taxa de variação média Nos exemplos do item anterior, estudamos a variação da variável dependente quando a variável independente varia de uma unidade. Nos gráficos, os “degraus” aparecem com larguras iguais e medindo uma unidade. Nas taxas de variação calculadas, o denominador é sempre 1. Vamos examinar agora o que acontece com a taxa de variação quando consideramos intervalos maiores do que 1, ou seja, quando aumentamos a largura do “degrau”. Essa análise nos levará ao conceito de taxa de variação média. Dados uma função qualquer y f (x) = e um intervalo | | 1 2 I x , x = , chamamos de taxa de variação média de y em relação a x, quando x varia de 1 2 x até x , com 2 1 x x > , à razão 2 1 2 1 f (x ) f (x ) x x ÷ ÷ . Considerando 1 1 2 2 y f (x ) e y f (x ) = = , temos as seguintes igualdades: - 2 1 2 1 variação de y y y y f (x ) f (x ) = A = ÷ = ÷ - 2 1 variação de x x x x = A = ÷ - 2 1 2 1 2 1 2 1 y y f (x ) f (x ) y taxa de variação média de y em relação a x x x x x x ÷ ÷ A = = = A ÷ ÷ Figura 8.4 O exame atento do gráfico da Figura 8.4 nos permite perceber o significado geométrico da taxa de variação média. - A taxa de variação média corresponde à variação de y por unidade de x, em média, entre 1 2 x e x . - Podemos observar que essa razão é a inclinação da reta que passa pelos pontos ( ) ( ) 1 1 2 2 x , f (x ) e x , f (x ) . - A taxa de variação média é a taxa de variação da função linear determinada pela reta que passa pelos pontos ( ) ( ) 1 1 2 2 x , f (x ) e x , f (x ) . - A equação dessa reta é da forma 1 1 y y f (x ) (x x ) x A ÷ = ÷ A . 19 Vamos detalhar essas idéias por meio de exemplos. Exemplo 4 Retomemos a função 2 V(t) t 7 = + , estudada no Exemplo 1 do item anterior e cujo gráfico está na Figura 8.5. Figura 8.5 Entre os instantes 1 2 t 1 e t 5 = = , temos as seguintes variações: variação de t t 5 1 4meses = A = ÷ = variação de V V V(5) V(1) 32 8 24reais = A = ÷ = ÷ = m V V(5) V(1) 24reais taxa de variação média T = = 6reais mês t 5 1 4meses A ÷ = = = A ÷ A taxa média encontrada, m T = 6reais mês , indica que, entre 1 2 t 1 e t 5 = = , a variação do valor V das ações por unidade de tempo t foi, em média, igual a 6 reais. É como se, a cada mês, o valor das ações aumentasse 6 reais. Sob o aspecto gráfico, a taxa média encontrada, V 6 t A = A , é a taxa de variação da função linear determinada pela reta que passa pelos pontos (1, 8) e (5, 32) . Escrever a equação dessa reta é escrever a equação de uma reta que passa pelo ponto (1,8) e tem inclinação V 6: t A = A V 8 6(t 1) ou V 6t 2. ÷ = ÷ = + Chegamos ao mesmo resultado ao escrever a equação da reta que passa pelo ponto (5, 32) e tem inclinação V 6: t A = A V 32 6(t 5) ou V 6t 2. ÷ = ÷ = + 20 Exemplo 5 Consideremos uma partícula que se desloca em linha reta, de modo que sua posição em relação a 10, marco inicial de seu de seu movimento, seja dada pela função 2 S(t) t 10 = + , sendo a distância S medida em metros e o tempo t, em segundos. A função 2 S(t) t 10 = + pode ser descrita por meio da Tabela 8.4. t 0 1 2 3 4 5 6 7 S 10 11 14 19 26 35 46 59 Tabela 8.4 A Figura 8.6 traz o gráfico da função 2 S(t) t 10. = + Figura 8.6 Entre os instantes 1 2 t 1 e t 6 = = , temos as seguintes variações: variação de t t 6 1 5 segundos = A = ÷ = variação de S S S(6) S(1) 46 11 35metros = A = ÷ = ÷ = m S S(6) S(1) 35metros taxa de variação média T = = 7m s t 6 1 5segundos A ÷ = = = A ÷ A taxa média encontrada, m T = 5m s , indica que entre, 1 2 t 1 e t 5 = = , a variação do valor da distância S percorrida pela partícula por unidade de tempo t foi, em média, igual a 5 metros. Como S A é a variação da distância, medida em metros, e t A é a variação do tempo, medido em segundos, a taxa média de variação S t A A indica a velocidade média da partícula, em metros por segundo. Desse modo, podemos escrever: S 35metros velocidade média da partícula 7m s t 5segundos A = = = A . Geometricamente ou, sob o aspecto gráfico, a taxa média encontrada, S 7 t A = A , é a inclinação da que passa pelos pontos (1, 11) e (6, 46) . A equação dessa reta é S 11 5(t 1) ou S 5t 6. ÷ = ÷ = + 21 Exemplo 5 Consideremos um carro que, entre os instantes 1 2 t e t , se desloca do marco quilométrico 1 S ao marco quilométrico 2 S , segundo a equação da função posição y S(t) = , cujo gráfico está na Figura 8.7. Figura 8.7 A taxa de variação média da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade média desse carro é igual à velocidade que ele deveria ter em movimento uniforme para realizar o mesmo percurso. É como se o carro “seguisse”, entre os instantes 1 2 t e t , a reta secante, em vez de “seguir” o gráfico da curva y S(t) = . Para indicar algebricamente a velocidade média, escrevemos: 2 1 2 1 m 2 1 2 1 S S S(t ) S(t ) S v t t t t t ÷ ÷ A = = = A ÷ ÷ A equação da reta que passa pelos pontos ( ) ( ) 1 1 2 2 t , f (t ) e t , f (t ) é da forma: 1 1 1 m 1 S S S(t ) (t t ) ou S S(t ) v (t t ) t A ÷ = ÷ ÷ = ÷ A Exemplo 6 Consideremos uma função qualquer y f (x) = , representada na Figura 8.8. Figura 8.8 A partir das informações contidas nessa figura, podemos estabelecer as seguintes variações: 22 y f (3 h) f (3) x (3 h) 3 h A = + ÷ ¦ ´ A = + ÷ = ¹ m y f (3 h) f (3) T x h A + ÷ = = A A reta de inclinação y x A A e que passa pelos pontos ( ) ( ) 3, f (3) e 3 h, f (3 h) + + tem equação: y y f (3) (x 3) x A ÷ = ÷ A . O gráfico de y f (x) = em um intervalo pode ter diferentes aspectos, conforme podemos ver na Figura 8.9. Figura 8.9 No entanto, podemos observar que, para qualquer uma dessas funções, a taxa de variação média, quando x varia de 3 até 8, é a mesma: m y 33 21 12 T 2, 4 x 8 3 5 A ÷ = = = = A ÷ . A unidade de medida dessa taxa de variação média é a unidade de medida do numerador sobre a unidade de medida de denominador. Assim, por exemplo, se y for medido em reais e x, em dias, temos: m 12reais 2, 4reais T 2, 4reais dia 5dias 1dia = = = . A taxa de variação média de uma função entre os pontos ( ) ( ) 1 1 2 2 x , f (x ) e x , f (x ) é o número real 2 1 2 1 f (x ) f (x ) y m x x x ÷ A = = A ÷ . Esse número é a inclinação da reta y mx b = + , determinada por esses pontos. A equação dessa reta é 1 1 y y f (x ) (x x ). x A ÷ = ÷ A 23 A taxa de variação média nos fornece informações sobre a rapidez com que a função varia em um determinado intervalo. Ela não nos informa sobre como a função está variando em um ponto específico, ou seja, ela não nos informa com que rapidez a função y está aumentando ou diminuindo para um determinado valor de x. Utilizando o que foi visto no Exemplo 5, a taxa de variação média nos fornece a velocidade média entre os instantes 1 2 t e t ; mas nada nos diz a respeito da velocidade no instante 1 t ou no instante 2 t . É isso que vamos estudar a seguir: o que vem a ser velocidade instantânea ou taxa de variação instantânea? 8.3 Derivada em um ponto ou taxa de variação instantânea A noção de taxa de variação instantânea ou derivada em um ponto se fundamenta na idéia de que uma curva pode parecer uma reta nas proximidades de um ponto. Podemos perceber isso ao fazer um zoom na parte do gráfico de uma curva que contém o ponto P, conforme mostrado na Figura 8.10. Figura 8.10 Assim, a rapidez com que uma função varia em um ponto pode ser associada à taxa de variação da função y mx b = + que melhor se aproxima da função dada no ponto ( ) 0 0 P x , f (x ) . 8.3.1 Reta tangente De todas as retas que passam pelo ponto ( ) 0 0 P x , f (x ) , a que mais se aproxima do gráfico da curva y f (x) = no ponto de abscissa 0 x é a reta tangente à curva nesse ponto, conforme podemos observar na Figura 8.11. Figura 8.11 24 As situações apresentadas nos gráficos da Figura 8.12 podem nos ajudar a perceber o que significa dizer que uma reta é tangente a uma curva em um ponto P. Figura 8.12 Por ora, tomamos essa noção intuitiva de reta tangente para estudarmos as taxas de variação de uma função qualquer. Para caracterizar a rapidez com que uma função y f (x) = varia em um ponto 0 x , utilizamos a ideia de taxa de variação de y f (x) = no ponto ( ) 0 0 x , f (x ) . Essa taxa de variação é a inclinação da curva y f (x) = no ponto ( ) 0 0 x , f (x ) . Também chamada de taxa de variação instantânea de y f (x) = no ponto ( ) 0 0 x , f (x ) , essa taxa é a inclinação da tangente ao gráfico da curva y f (x) = no ponto ( ) 0 0 x , f (x ) . Podemos verificar o sentido gráfico dessas ideias na Figura 8.13. Figura 8.13 25 8.3.2 Derivada em um ponto A taxa de variação instantânea da função y f (x) = no ponto( ) 0 0 x , f (x ) é chamada de derivada da função y f (x) = no ponto de abscissa 0 x . Seu valor é usualmente indicado por 0 f (x ) ' . (Lê-se: “efe linha de xis zero”.) Como fizemos para a taxa de variação média, também associamos a taxa de variação instantânea de uma função à inclinação de uma reta, conforme indicado no quadro a seguir. Para detalhar as idéias estudadas, vamos considerar alguns exemplos. Exemplo 7 Consideremos, na Figura 8.14(a) e na Figura 8.14(b), cada gráfico da função y f (x) = e o respectivo gráfico da reta tangente no ponto( ) 0 0 x , f (x ) . A taxa de variação instantânea de y f (x) = no ponto 0 x é o número real 0 m f (x ) ' = . Esse número real é a inclinação da reta y mx b = + , que é a reta tangente ao gráfico da curva y f (x) = no ponto ( ) 0 0 x , f (x ) . A equação dessa reta tangente é 0 0 0 y f (x ) f (x )(x x ) ' ÷ = ÷ . 26 Exemplo 8 Consideremos uma partícula com movimento não uniforme. A função posição dessa partícula é dada pela função S f (t) = , cujo gráfico está na Figura 8.15. Figura 8.15 A velocidade em um movimento uniforme é um valor constante; esse valor é a razão constante da distância percorrida pela partícula em cada unidade de tempo. Já em um movimento não-uniforme, a velocidade da partícula varia de um instante para o outro. Assim sendo, entendemos por velocidade da partícula no instante 1 t a velocidade que ela teria se seu movimento se tornasse, a partir desse instante, um movimento uniforme. A velocidade da partícula no instante 1 t é a taxa de variação da posição S em relação ao tempo t, ou seja, é a derivada de S em relação a t no instante 1 t . Podemos, pois, escrever: 1 1 1 v(t ) S(t ) ou v(t ) m ' = = Desse modo, podemos dizer que a velocidade no instante 1 t é a velocidade do movimento uniforme que melhor se aproximaria, nesse instante, do movimento considerado. Graficamente, é como se a partícula, a partir desse instante, em vez de seguir o gráfico da função posição, passasse a seguir o gráfico da reta tangente S mt b = + . Exemplo 9 Consideremos o gráfico de y f (x) = na Figura 8.16 e as retas tangentes a esse gráfico nos pontos 1 2 3 x , x e x . Figura 8.16 Nos pontos de abscissas 1 3 x e x , a taxa de variação de y f (x) = é positiva e as respectivas retas tangentes estão inclinadas para a direita; no ponto de abscissa 2 x , a 27 taxa de variação de y f (x) = é negativa e a respectiva reta tangente está inclinada para a esquerda. Exemplo 10 Analisemos as funções da Figura 8.17 e as tangentes a seus gráficos no ponto ( ) 0 0 x , f (x ) . Figura 8.17 Nessas duas funções, a taxa de variação no ponto ( ) 0 0 x , f (x ) é nula. A derivada no ponto ( ) 0 0 x , f (x ) vale zero, ou seja, 0 f (x ) 0 ' = . As tangentes aos respectivos gráficos são horizontais: isso significa que a inclinação dessas tangentes é zero. A equação de cada uma dessas tangentes é o y f (x ) = . Exemplo 11 Examinemos os gráficos da Figura 8.18. Figura 8.18 O gráfico da esquerda apresenta uma função que não é contínua no ponto ( ) 0 0 x , f (x ) . Os dois outros gráficos são angulosos (pontudos) nos respectivos pontos ( ) 0 0 x , f (x ) . Nesses três casos, não existe a derivada nos respectivos pontos ( ) 0 0 x , f (x ) , ou seja, não existe 0 f (x ) ' . 28 Para que exista derivada em ( ) 0 0 x , f (x ) , é necessário que o gráfico admita uma reta tangente nesse ponto. Isso ocorre somente quando a curva for suave (não tem alterações bruscas) no ponto considerado. Exemplo 12 Observemos os gráficos da Figura 8.19. Figura 8.19 Não existe derivada dessas funções nos respectivos pontos ( ) 0 0 x , f (x ) , porque a reta tangente, em cada um desses pontos, é vertical (paralela ao eixo y) e sua equação não é da forma y mx b = + . Nos dois casos apresentados na Figura 8.19, as retas tangentes têm equação 0 x x = . Exercícios 8 1. Primeiramente, construa uma tabela para cada uma das funções dadas, indicando os valores de y quando x assume valores inteiros de 0 a 4; observe a variação de y por unidade de variação de x no intervalo considerado. A seguir, calcule a taxa de variação média entre 1 x 1 = e 2 x 4 = para cada uma delas. 2 3 2 a) y 3x 7 b) y x 7 c) y x 5 d) y 5 e) y 72 8x x = ÷ = + = + = + = ÷ 2. Determine a velocidade média de um carro entre as 8h e as 10h de um dia, sabendo que às 8h ele estava no quilômetro 50 e às 10h estava no quilômetro 220 da mesma rodovia. Após isso, responda às perguntas seguintes: a. É possível afirmar que o carro não ultrapassou os 85km h ? Justifique sua resposta. b. Supondo que durante esse percurso o carro esteve parado durante 10 minutos, o que se pode afirmar sobre sua velocidade máxima em relação a sua velocidade média no intervalo considerado? Justifique sua resposta. 29 3. A inclinação do gráfico de uma função y f (x) = no ponto 0 x é a inclinação da reta tangente a esse gráfico no ponto ( ) 0 0 x , f (x ) . Essa inclinação é a taxa de variação da função y f (x) = no ponto ( ) 0 0 x , f (x ) e essa taxa de variação é chamada de derivada da função y f (x) = no ponto ( ) 0 0 x , f (x ) . Com base nessa informação, determine o sinal da derivada no ponto de abscissa 0 x para cada uma das funções cujos gráficos aparecem a seguir. 4. Dados os pontos de abscissas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x , x , x , x , x , x , x , x e x , que pertencem ao gráfico de y f (x) = , determine o sinal da derivada dessa função em cada um desses pontos e indique os pontos onde a derivada se anula. 30 5. O gráfico de y f (x) = está representado abaixo. Determine o valor da derivada dessa função nos pontos de abscissas 1 2 x 7 e x 3 = = . 6. Determine a derivada de y f (x) = no ponto de abscissa 0 x , sabendo que a reta tangente ao gráfico no ponto ( ) 0 0 x , f (x ) é paralela à reta y 2x 6. = ÷ 7. Determine a derivada de y f (x) = no ponto de abscissa 0 x , sabendo que a reta tangente ao gráfico no ponto ( ) 0 0 x , f (x ) é perpendicular à reta 1 y 5 x 3 = ÷ . 8. Determine a derivada de y f (x) = no ponto de abscissa 0 x , sabendo que a reta tangente ao gráfico no ponto ( ) 0 0 x , f (x ) é paralela à reta que passa por ( ) A(2, 3) e B 1, 5 ÷ ÷ . 9. Determine a equação das retas r e s, tangentes ao gráfico de y = f(x). 31 10. Determine a taxa de variação de cada função y = f(x) no ponto indicado e escreva a equação da tangente de cada uma delas nesse ponto. 11. Na figura, as retas r e s são tangentes à curva de equação y = f(x) e, além disso, são paralelas à reta t, de equação y = 3x + 9. Com base nessas informações, determine o valor da derivada dessa função em cada um dos pontos assinalados. 12. Calcule, nos pontos de abscissas 5, - 5, 13 e -13, a derivada da função y = f(x), cujo gráfico é o semicírculo representado. 32 13. Em cada caso, indique se existe ou não, no ponto indicado, a derivada da função representada. 33 Capítulo 9 – Cálculo da Derivada Até agora, calculamos a derivada de uma função em um ponto determinado por meio da análise do gráfico. Para issso, consideramos a derivada de uma função y f (x) = no ponto ( ) 1 1 x , f (x ) como a inclinação da reta tangente a seu gráfico e também como a inclinação da curva nesse ponto. Examinar como é a inclinação de uma curva ou a inclinação da tangente a essa curva em um ponto determinado pode ser feito quando a função é dada por meio de uma tabela ou de seu gráfico. Figura 9.1 Estudaremos neste capítulo como podemos calcular a derivada de uma função y f (x) = no ponto ( ) 1 1 x , f (x ) quando essa função é dada por meio de uma equação. Procuraremos, em outros termos, responder à pergunta que está posta na Figura 8.1: como calcular 1 m f (x ) ' = ? Admitimos que a reta tangente ao gráfico existe e que sua equação é da forma y mx b = + , sendo 1 a f (x ) ' = . Vamos, pois, procurar um jeito de calcular o valor de m a partir da lei que define y f (x) = . 9.1 Velocidade média e velocidade instantânea Vamos analisar o caso de um carro em movimento não uniforme. Queremos determinar a velocidade do carro, em km/ h , no instante 1 t . Essa é a velocidade que o carro teria se seu movimento se tornasse uniforme a partir do instante 1 t . Podemos vizualizar isso no gráfico da Figura 9.2. Figura 9.2 34 Se deixarmos transcorrer uma hora a partir de 1 t e constatarmos que, nesse intervalo, o carro percorreu, por exemplo, 80km, isso não é suficiente para concluir que a velocidade no instante 1 t é de 80km h . Podemos, simplesmente, dizer que o carro andou em velocidade média de 80km h no intervalo considerado. No intervalo de uma hora, a velocidade média é o valor da fração 1 1 1 1 m 1 1 S(t 1) S(t ) S(t 1) S(t ) v (t 1) t 1 + ÷ + ÷ = = + ÷ . Durante essa hora, a velocidade em cada instante pode ter variado bastante. Para obter uma aproximação melhor da velocidade do carro no instante 1 t , podemos dividir uma hora em sessenta minutos e observar a distância percorrida em um minuto a partir de 1 t , sendo 1 1min h 60 = . No intervalo de um minuto, contado a partir de 1 t , a velocidade média é o valor da fração 1 1 1 1 m 1 1 1 1 1 1 S(t ) S(t ) S(t ) S(t ) 1 60 60 v 60 S(t ) S(t ) . 1 1 60 (t ) t 60 60 + ÷ + ÷ ( = = = · + ÷ ( ¸ ¸ + ÷ Multiplicando a distância percorrida em um minuto por 60 , temos o percurso esperado em uma hora, caso o carro continue com a mesma velocidade observada durante esse minuto. Essa situação vem ilustrada na Figura 9.3. Figura 9.3 Obtemos uma aproximação ainda melhor observando a variação da distância percorrida em um segundo, a partir de 1 t , sendo 1 1s h 3600 = . No intervalo de um segundo, contado a partir de 1 t , a velocidade média é o valor da fração 1 1 1 1 m 1 1 1 1 1 1 S(t ) S(t ) S(t ) S(t ) 1 3600 3600 v 3600 S(t ) S(t ) . 1 1 3600 (t ) t 3600 3600 + ÷ + ÷ ( = = = · + ÷ ( ¸ ¸ + ÷ Multiplicando a distância percorrida em um segundo por 3.600, obtemos o percurso esperado em uma hora, caso o carro continue a se deslocar com a mesma velocidade observada durante esse segundo. 35 Obtemos uma aproximação mais precisa se, dividindo uma hora em n pequenos intervalos, observarmos a distância percorrida na enésima parte da hora, a partir de 1 t , sendo essa enésima parte igual a 1 h n . No intervalo de 1 n , contado a partir de 1 t , a velocidade média é o valor da fração 1 1 1 1 m 1 1 1 1 1 1 S(t ) S(t ) S(t ) S(t ) 1 n n v n S(t ) S(t ) . 1 1 n (t ) t n n + ÷ + ÷ ( = = = · + ÷ ( ¸ ¸ + ÷ Multiplicando a distância percorrida na enésima parte de uma hora por n, obtemos o percurso esperado em uma hora, caso o carro continue a se deslocar com a mesma velocidade observada durante essa enésima parte. Se considerarmos n suficiente grande, podemos afirmar que a velocidade média no intervalo 1 n é a velocidade no instante 1 t . Podemos escrever: 1 1 1 1 m 1 1 1 1 1 1 1 S(t ) S(t ) S(t ) S(t ) 1 n n v n S(t ) S(t ) v(t ). 1 1 n (t ) t n n + ÷ + ÷ ( = = = · + ÷ ~ ( ¸ ¸ + ÷ Quanto menor o intervalo de tempo considerado para, a partir dele, fazermos a projeção do percurso que seria realizado em uma hora, mais o valor obtido se aproxima do valor da velocidade no instante 1 t . Para efeito de cálculo, usaremos a igualdade: 1 1 1 1 v(t ) n S(t ) S(t ) n ( ~ · + ÷ ( ¸ ¸ , para n arbitrariamente grande. Usando a ideia de que a velocidade no instante 1 t é a derivada da função posição, podemos escrever: 1 1 1 1 S (t ) n S(t ) S(t ) n ( ' ~ · + ÷ ( ¸ ¸ , para n arbitrariamente grande. 36 9.2 Taxa de variação média e taxa de variação instantânea O processo utilizado para estimar a velocidade do carro em um instante 1 t pode ser aplicado no caso de uma função qualquer y f (x) = . Figura 9.4 Para calcular 1 f (x ) ' , podemos considerar, inicialmente, a taxa de varição média mostrada na Figura 9.4: 1 1 1 1 m 1 1 f (x 1) f (x ) f (x 1) f (x ) T (x 1) x 1 + ÷ + ÷ = = + ÷ . O valor obtido para essa taxa de variação média pode diferir muito da derivada 1 f (x ) ' , uma vez que a reta tangente no ponto ( ) 1 1 x , f (x ) pode estar muito afastada do gráfico de y f (x) = no ponto de abscissa 1 x 1 + . Para obter um valor aproximado da derivada, podemos fazer x variar não de 1, mas de 1 n , a partir de 1 x , e calcular a variação correpondente de y f (x) = , conforme ilustrado na Figura 9.5. Figura 9.5 37 A taxa de variação média no intervalo 1 n é o valor da fração: 1 1 1 1 m 1 1 1 1 1 1 f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 n n T n f (x ) f (x ) 1 1 n (x ) x n n + ÷ + ÷ ( = = = · + ÷ ( ¸ ¸ + ÷ Se considerarmos n suficiente grande, podemos afirmar que a taxa de variação média no intervalo 1 n é a taxa de variação no ponto de abscissa 1 x , ou seja, é a derivada da função y f (x) = nesse ponto. Escrevemos: 1 1 1 1 m 1 1 1 1 1 1 1 f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 n n T n f (x ) f (x ) f (x ) 1 1 n (x ) x n n + ÷ + ÷ ( ' = = = · + ÷ ~ ( ¸ ¸ + ÷ Chamando de n A a diferença 1 1 1 f (x ) f (x ) n + ÷ , ou seja, fazendo 1 1 n 1 f (x ) f (x ) A n ( + ÷ = ( ¸ ¸ , podemos escrever n 1 n A f (x ) ' · ~ . Esse fato é apresentado na Figura 9.6. Figura 9.6 Quanto menor o intervalo considerado para, a partir dele, fazermos a projeção da variação da função y f (x) = para cada unidade de variação de x , mais o valor obtido se aproxima do valor da taxa de variação no ponto de abscissa 1 x , que é a derivada 1 f (x ) ' . No cálculo da derivada em um ponto, usaremos a igualdade: 1 1 1 1 f (x ) n f (x ) f (x ) n ( ' = · + ÷ ( ¸ ¸ , para n arbitrariamente grande. 38 A aproximação n 1 n A f (x ) ' · ~ pode ser percebida considerando-se a variação proporcional da reta y mx b = + , tangente à curva y f (x) = no ponto ( ) 1 1 x , f (x ) : n n 1 1 n A n A m f (x ) m f (x ) n A 1 1 n · ' ' = = = ¬ = = · . Quanto maior o valor de n , menor será o intervalo 1 n e melhor será a aproximação entre o o valor de m e o valor de 1 f (x ) ' . Para obter o valor exato de 1 f (x ) ' , analisamos o valor de n n A · , procurando descobrir de que valor n n A · se aproxima quando n se torna arbitrariamente grande. Tentamos responder à pergunta: de que valor se aproxima n n A · quando n assume valores arbitrariamente grandes? Se, para valores de n cada vez maiores, os valores de n n A · se aproximam cada vez mais de um valor fixo m, então 1 f (x ) m ' = . Usando a notação de limite, escrevemos: | | n 1 1 1 n n 1 lim n A lim n f (x ) f (x ) f (x ) m n ÷· ÷· ( ' · = · + ÷ = = ( ¸ ¸ Por questão de economia, vamos fazer, na expressão 1 1 1 1 f (x ) n f (x ) f (x ) n ( ' ~ · + ÷ ( ¸ ¸ , 1 h n = . Com essa troca, temos: | | 1 1 1 1 1 f (x h) f (x ) 1 f (x ) f (x h) f (x ) . h h + ÷ ' ~ · + ÷ = Podemos observar que, se n ÷·, h 0 ÷ . Com isso, em vez de dizer que n se torna arbitrariamente grande, podemos dizer que h se torna bem próximo de zero. Usando a notação de limite, escrevemos: | | 1 1 1 1 1 h 0 h 0 f (x h) f (x ) 1 f (x ) lim f (x h) f (x ) lim . h h ÷ ÷ + ÷ ' = · + ÷ = 39 Exemplo 1 Consideremos a função 2 f (x) 3x 7 = + . Figura 9.7 Vamos calcular sua derivada em cada um dos pontos de abscissas 1 2 3 x 2, x 3 e x 0 = = ÷ = a) Cálculo de f (2) ' : Figura 9.8 Usando a notação de limite, podemos escrever: ( ) 2 h 0 h 0 1 f (2) lim 12h 3h lim 12 3h 12. h ÷ ÷ ' ( = · + = + = ¸ ¸ Quanto mais o valor de h fica próximo de zero, mais o valor de ( ) 12 3h + se aproxima de 12. Por isso, podemos concluir que f (2) 12 ' = . A reta tangente ao gráfico de 2 f (x) 3x 7 = + , no ponto de abscissa 1 x 2 = , tem inclinação f (2) 12 ' = e passa pelo ponto ( ) 2, f (2) (2,19) = . A equação dessa tangente é y 19 12(x 2) ou y 12x 5 ÷ = ÷ = ÷ . 40 b) Cálculo de f ( 3) ' ÷ : Figura 9.9 Usando a notação de limite, podemos escrever: ( ) 2 h 0 h 0 1 f ( 3) lim 18h 3h lim 18 3h 18. h ÷ ÷ ' ( ÷ = · ÷ + = ÷ + = ÷ ¸ ¸ Se o valor de h fica bem próximo de zero, o valor de ( ) 18 3h ÷ + fica muito próximo de 18 ÷ . Assim, podemos concluir que f ( 3) 18 ' ÷ = ÷ . A reta tangente ao gráfico de 2 f (x) 3x 7 = + , no ponto de abscissa 2 x 3 = ÷ , tem inclinação f ( 3) 18 ' ÷ = ÷ e passa pelo ponto ( ) 3, f ( 3) ( 3, 34) ÷ ÷ = ÷ . A equação dessa tangente é y 34 18(x 3) ou y 18x 20 ÷ = ÷ + = ÷ + . c) Cáclulo de f (0) ' : 2 2 2 f (0) 3 0 7 f (0 h) 3 (0 h) 7 3h 7 ¦ = · + ´ + = · + + = + ¹ 2 n A f (0 h) f (0) 3h = + ÷ = 2 1 f (0) (3h ) 3h h ' ~ · = Usando a notação de limite, podemos escrever: ( ) 2 h 0 h 0 1 f (0) lim 3h lim 3h 0. h ÷ ÷ ' ( = · = = ¸ ¸ Quanto mais o valor de h fica próximo de zero, mais o valor de ( ) 3h se aproxima de 0 . Assim, podemos concluir que f (0) 0 ' = . A reta tangente ao gráfico de 2 f (x) 3x 7 = + , no ponto de abscissa 3 x 0 = , tem inclinação f (0) 0 ' = e passa pelo ponto ( ) 0, f (0) (0, 7) = . A equação dessa tangente é y 7 0(x 0) ou y 7 ÷ = ÷ = . 41 Exemplo 2 A altura de uma bola largada do alto de um edifício, em relação à rua, é dada pela pela função 2 S(t) 4, 9t 98 = ÷ + , em que S é medida em metros e t, em segundos. Vamos calcular a velocidade dessa bola no instante 1 t 3 = . A velocidade no instante 1 t 3 = é o valor da derivada de 2 S(t) 4, 9t 98 = ÷ + nesse instante. Figura 9.10 Usando a notação de limite, podemos escrever: ( ) 2 h 0 h 0 1 f ( 3) lim 29, 4h 4, 9h lim 29, 4 4, 9h 29, 4. h ÷ ÷ ' ( ÷ = · ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ ¸ ¸ Quanto mais o valor de h se aproxima de zero, mais o valor de ( ) 29,12 4, 9h ÷ ÷ se aproxima de 29, 4 ÷ . Assim, podemos concluir que v(3) S(3) 29, 4m s ' = = ÷ . 9.3 A função derivada Nos itens anteriores, calculamos a derivada da função y f (x) = função em um ponto de abscissa 1 x x = . Como resultado dessa operação, encontramos o número real 1 f (x ) m. ' = Neste item, vamos calcular a derivada de uma função em um ponto qualquer de abscissa x. Como resultado dessa operação, vamos encontraremos uma nova função, chamada função derivada. Exemplo 3 Determinar a derivada de 3 f (x) x = em um ponto genérico de abscissa x . Como fizemos para um ponto de abscissa determinada, fazemos para um ponto de abscissa x: 42 3 3 3 2 2 3 f (x) x f (x h) (x h) x 3x h 3x h h ¦ = ´ + = + = + + + ¹ 2 2 3 n A f (x h) f (x) 3x h 3xh h = + ÷ = + + 2 2 3 2 2 1 f (x) (3x h 3x h h ) 3x 3x h h h ' ~ · + + = + + Usando a notação de limite, podemos escrever: ( ) 2 2 3 2 2 2 h 0 h 0 1 f (x) lim 3x h 3x h h lim 3x 3x h h 3x . h ÷ ÷ ' ( = · + + = + + = ¸ ¸ Se o valor de h fica bem próximo de zero, o valor de ( ) 2 2 3x 3xh h + + fica muito próximo de 2 3x . Assim, podemos concluir que 2 f (x) 3x . ' = A derivada de uma função em um ponto genérico ( ) x, f (x) é também uma função, representada por f (x) ' . Nesse casso que estamos analisando, 2 f (x) 3x ' = é a função derivada da função 3 f (x) x = . A Figura 9.11 apresenta o gráfico de cada uma dessas funções. Figura 9.11 O valor da função derivada f (x) ' em um ponto qualquer é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f (x) . Assim, no caso das funções da Figura 7, a inclinação da reta tangente ao gráfico de 3 f (x) x = , no ponto ( ) 2, f (2) (2,8) = , é 2 f (2) 3 2 12 ' = · = . A equação dessa reta tangente é y 8 12(x 2) ou y 12x 16 ÷ = ÷ = ÷ . Em geral, para calcular a derivada em um ponto de abscissa 0 x , é melhor calcular, primeiro, a derivada em um ponto qualquer, de abscissa x , obtendo a função derivada f (x) ' . A seguir, calculamos o valor 0 f (x ) ' . Isso ficará mais claro nos exemplos que vêm a seguir. 43 Exemplo 4 A figura 9.12 traz o gráfico da função y = x 3 – 3x e o de sua derivada y’ = 3x 2 – 3. Podemos observar que o gráfico da derivada y’ = 3x 2 – 3 está acima do eixo horizontal no intervalo ] – ∞, – 1 [ e no intervalo ] 1, + ∞ [ ; nesses dois intervalos, a derivada é positiva e, em consequência, a função y = x 3 – 3x é crescente. No intervalo ] – 1, 1 [ , a derivada y’ = 3x 2 – 3 é negativa (seu gráfico está abaixo do eixo horizontal); nesse intervalo a função y = x 3 – 3x é decrescente. 9.4 Duas derivadas Nos estudos sobre a função y f (x) = , feitos até agora, trabalhamos com duas derivadas: a derivada em um ponto de abscissa 1 x e a derivada em um ponto qualquer. - A derivada em um ponto de abscissa 1 x é um número real m tal que | | 1 1 1 1 f (x ) f (x h) f (x ) m, quando h fica bem próximo de zero. h ' = · + ÷ = Ou, usando a notação de limite: | | 1 1 1 1 1 h 0 h 0 f (x h) f (x ) 1 f (x ) lim f (x h) f (x ) lim . h h ÷ ÷ + ÷ ' = · + ÷ = O número real 1 m f (x ) ' = é sempre a inclinação da reta tangente ao gráfico de y f (x) = no ponto ( ) 1 1 x , f (x ) . A equação dessa reta tangente é 1 1 1 1 1 y f (x ) m (x x ) ou y f (x ) f (x ) (x x ) ' ÷ = · ÷ ÷ = · ÷ Esse número real 1 m f (x ) ' = é, também, uma taxa de variação instantânea, formada pela razão entre a variação da grandeza representada por y e a variação da grandeza representada por x . 44 - A derivada em um ponto qualquer é uma função f (x) ' tal que | | 1 f (x) f (x h) f (x) , quando h fica bem próximo de zero. h ' = · + ÷ Ou, usando a notação de limite: | | h 0 h 0 1 f (x h) f (x) f (x) lim f (x h) f (x) lim . h h ÷ ÷ + ÷ ' = · + ÷ = Dizemos que a função y f (x) = é derivável em um ponto de abscissa x se f (x) ' , nesse ponto, for um número real. Se isso acontecer para todo ponto do domínio de y f (x) = , dizemos que y f (x) = é derivável em todo seu domínio. Em geral, as funções com as quais lidamos no Cálculo são deriváveis em todo seu domínio; algumas dessas funções não são deriváveis em pontos isolados. Podemos pensar que a derivada de y f (x) = é a função que associa a cada valor de x do domínio de y f (x) = um único número real f (x) ' . Exercícios propostos 1. Primeiramente, esboce o gráfico da função 2 f (x) 5x 3 = ÷ . A seguir calcule a derivada dessa função nos pontos onde 1 2 3 x 2; x 2 e x 0 = = ÷ = . Por fim, escreva a equação da tangente ao gráfico de f nesses mesmos pontos. 2. Primeiramente, calcule a derivada no ponto de abscissa 1 x 1 = de cada uma das funções 2 3 f (x) x e g(x) x = = . Depois disso, escreva a equação de cada uma das tangentes a f e g no ponto de abscissa 1 x 1 = . Por fim, esboce os gráficos de f e g em um mesmo sistema de coordenadas e trace as tangentes encontradas. 3. Calcule a derivada de cada uma das funções no ponto de abscissa 1 1 x ou t : a. 2 1 f (x) 3x 12; x 7 = ÷ + = b. 2 1 g(x) x 7x; x 4 = ÷ = c. 2 1 h(x) 3x 2x 1; x 4 = + ÷ = d. 2 1 f (t) 3t ; t 5 = = e. 2 1 g(t) 3t 7; t 5 = + = f. 2 1 h(t) 3t 7; t 5 = ÷ = 4. Calcule a derivada de cada uma das funções em um ponto genérico de abscissa x : a. 2 f (x) 3x = b. 2 g(x) 11 x = ÷ c. 3 h(x) x 5 = + 5. Para cada uma das funções a seguir, calcule a derivada f (x) ' , esboce os gráficos de f (x) e de f (x) ' em um mesmo sistema e compare essas duplas de gráficos: 45 a. 2 f (x) x = b. 2 f (x) x = +t c. 2 f (x) x 1 = ÷ 6. Uma partícula desloca-se obedecendo à função horária 2 s(t) 5t 15t 30 = + + , sendo a distância medida em quilômetros e o tempo, em horas. Determine a velocidade dessa partícula no instante t 3h = . 7. A velocidade de uma partícula no instante t é dada pela função 2 v(t) t 2t 8 = + ÷ , sendo a velocidade medida em metros por segundo. Com base nessas informações: (a) determine a aceleração média dessa partícula no intervalo 2 t 5 s s ; (b) determine a aceleração dessa partícula em um instante t ; (c) calcule a aceleração dessa partícula no instante t 3s = . 46 Capítulo 10 – Regras de derivação Introdução Já aprendemos como encontrar a derivada de uma função por meio do gráfico (calculando a inclinação do gráfico em cada ponto) e como avaliar a derivada de uma função dada por uma tabela (encontrando a taxa de variação da função entre os dados apresentados). Vamos, neste capítulo, investigar regras que nos permitem achar derivadas de funções definidas por fórmulas. Para isso, usaremos a definição de função derivada, h ) x ( f ) h x ( f lim ) x ( f h ÷ + = ' ÷0 , e teremos sempre em mente que a derivada representa uma inclinação e é também uma taxa de variação. Neste capítulo estudaremos a derivação das funções algébricas – as lineares, as potências, as polinomiais e as racionais. 10.1 O que nos diz o gráfico de uma função a respeito de sua derivada Ao estabelecer as regras de derivação, apelaremos para a análise do gráfico de cada função. Isso nos permitirá imaginar como deve ser a derivada antes mesmo de encontrá- la e nos ajudará a avaliar se o resultado encontrado é ou não o esperado. Com um exemplo, relembraremos o que nos diz o gráfico de uma função a respeito de sua derivada e, como consequência, o que nos diz a derivada a respeito da função. A Figura 10.1 mostra o gráfico da função ( ) 2 x x f = . À esquerda de 0, essa função é decrescente e as tangentes estão inclinadas para baixo (têm inclinação negativa); à direita de 0, a função é crescente e as tangentes estão inclinadas para cima (têm inclinação positiva); no ponto 0, a tangente é horizontal. Figura 10.1 47 Como a derivada é a inclinação da tangente em cada ponto do gráfico, podemos afirmar que o sinal da derivada f ' nos diz se a função está crescendo ou decrescendo. Se 0 > ' f em um intervalo, então, f é crescente nesse intervalo. Se 0 < ' f em um intervalo, então, f é decrescente nesse intervalo. Se 0 = ' f em um intervalo, então, f é constante nesse intervalo. O módulo da derivada nos fornece o módulo da taxa de variação da função. Assim, quando o módulo de f ' for grande, o gráfico de f será muito inclinado para cima (se f ' for positiva) ou muito inclinado para baixo (se f ' for negativa). Também, quando o módulo de f ' for pequeno, o gráfico de f será levemente inclinado, para cima ou para baixo, de acordo com o sinal de f ' . 10.2 Derivada de uma função constante O gráfico de uma função constante c ) x ( f = é uma reta horizontal, ou seja, uma reta paralela ao eixo x e sua inclinação é sempre igual a 0. Portanto, a derivada é igual a 0 em todos os pontos e podemos escrever: Na Figura 10.2, está o gráfico da função constante 3 = ) x ( f e o de sua derivada 0 = ' ) x ( f . Figura 10.2 Usando a definição de derivada e considerando c ) x ( f = , temos: 0 0 0 = ÷ = ÷ + = ' ÷ ÷ h c c lim h ) x ( f ) h x ( f lim ) x ( f h h Exemplo 1 A derivada de 7 = ) x ( f é 0 = ' ) x ( f . Se c ) x ( f = , então, 0 = ' ) x ( f . 48 Notação usual: Escrevemos ) x ( dx d 2 para indicar a derivada de 2 x em relação à variável x. Usando essa notação, 0 7 = ) ( dx d e ) ( dx d t =0. 10.3 Derivada de uma função linear O gráfico de uma função linear é uma reta e a inclinação de uma reta é constante. Isso significa que a derivada de uma função linear é uma constante. Como a inclinação de uma reta é o coeficiente da variável independente, podemos escrever: Na Figura 10.3, está o gráfico da função 5 3 + = x ) x ( f e o de sua derivada 3 = ' ) x ( f . Figura 10.3 Exemplo 2 a) 2 12 2 ÷ = + ÷ ) x ( dx d ; b) se 7 4 + = x y , então, 4 = ' y ; c) 5 1 8 5 = ÷ ) t ( dt d . Podemos deduzir essa regra algebricamente. Sendo b mx ) x ( f + = , temos: m ) m ( lim h mh lim h ) b mx ( b ) h x ( m lim h ) x ( f ) h x ( f lim ) x ( f h h h h = = = + ÷ + + = ÷ + = ' ÷ ÷ ÷ ÷ 0 0 0 0 Observação: A simplificação dos termos da fração h mh é possível porque 0 = h . Se b mx ) x ( f + = , então, m inclinação ) x ( f = = ' . 49 10.4 Derivada de uma constante multiplicada por uma função A Figura 10.4 traz o gráfico da função ) x ( f y = e o gráfico de um múltiplo de f, a função ) x ( f y 2 = . Quando multiplicamos f por uma constante c, os zeros permanecem inalterados e os picos e vales ocorrem para os mesmos valores de x. O que muda é a inclinação da curva em cada ponto. Se a constante c for maior do que 1, o gráfico ficará esticado e suas ladeiras mais inclinadas; em outros termos, as inclinações do gráfico ficam ampliadas por um mesmo fator de escala. Figura 10.4 Considerando que a derivada é a inclinação em cada ponto, podemos escrever: Se ) x ( f c y = , então, ) x ( f c y ' = ' . 50 Exemplo 3 a) Se a derivada de 3 y x = é 2 y 3x ' = , podemos afirmar que a derivada de 3 y 7x = é 2 2 y 7.(3x ) 21x ' = = . b) Sabendo que a derivada de x sen y = é x cos y = ' , podemos afirmar que a derivada de x sen y 3 = é x cos y 3 = ' . c) Se a derivada de ( ) x e x f = é ( ) x e x f = ' , então, a derivada de ( ) x e x g 5 3 = é ( ) x e x g 5 3 = ' . A Figura 10.5 traz o gráfico da função ) x ( f y = e o gráfico de um múltiplo de f, a função ) x ( f y 2 1 = . Aqui, multiplicamos f por uma constante 2 1 = c , que está no intervalo | | 1 0, . Também nesse caso, os zeros permanecem inalterados e os picos e vales ocorrem para os mesmos valores de x; o que muda é a inclinação da curva em cada ponto. Como 1 0 < < c , o gráfico fica encolhido e suas ladeiras menos inclinadas; em outros termos, as inclinações do gráfico ficam reduzidas por um mesmo fator de escala. Figura 10.5 Considerando que a derivada é a inclinação em cada ponto, chegamos à mesma conclusão anterior e podemos escrever: Se ) x ( f c y = , então, ) x ( f c y ' = ' . 51 Exemplo 4 Sabendo que a derivada de x ln y = é x y 1 = ' , podemos afirmar que a derivada de x ln y 4 1 = é x x . y 4 1 1 4 1 = = ' . Se a derivada de 3 y x = é 2 y 3x ' = , podemos afirmar que a derivada de 3 2 y x 5 = é 2 2 2 6 y (3x ) x 5 5 ' = · = . Na Figura 10.6 estão os gráficos de ) x ( f y 2 1 = e de ) x ( f y 2 1 ÷ = . Multiplicando por uma constante negativa, o gráfico sofre uma rotação em torno do eixo x. Figura 10.6 O que era subida vira descida e o que era descida vira subida; de modo semelhante, o que era pico passa a ser vale e vice-versa, enquanto os zeros permanecem os mesmos. Consequentemente, as inclinações mudam de sinal. Ainda assim, podemos escrever: Se ) x ( f c y = , então, ) x ( f c y ' = ' . 52 Exemplo 5 a) Se a derivada de 3 y 5x = é 2 y 15x ' = , podemos afirmar que a derivada de 3 y 5x = ÷ é 2 y 15x ' = ÷ . b) x cos ) x sen ( dx d 3 3 ÷ = ÷ . c) t ) t ln ( dt d 5 5 ÷ = ÷ . d) Se ) x ( y 7 4 3 ÷ = , então, 3 4 = ' y . A derivada do produto de uma constante por uma função pode ser obtida algebricamente: | | ) ( ) ( ) ( lim . ) ( ) ( . lim ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 x f c h x f h x f c h x f h x f c h x f c h x f c x f c dx d h h h ' = ÷ + = ÷ + = ÷ + = ÷ ÷ ÷ 10.5 Derivadas de somas e de diferenças Na Tabela 10.1 estão listados os valores das funções ) x ( f e ) x ( g ; também nela aparecem os valores da soma ) x ( g ) x ( f + . x ) x ( f ) x ( g ) x ( g ) x ( f + 0 10 0 10 1 11 2 13 2 13 4 17 3 16 6 22 4 20 8 28 5 25 10 35 6 31 12 43 7 38 14 52 Tabela 10.1 Quando somamos os incrementos de ) x ( f e ) x ( g , obtemos os incrementos de ) x ( g ) x ( f + . Assim, por exemplo, quando x varia de 2 até 3, o valor da função ) x ( f passa de 13 para 16, ficando acrescido de 3; por sua vez, a função ) x ( g vai de 4 para 6 e sofre um aumento de 2; enquanto isso, a soma ) x ( g ) x ( f + tem um acréscimo de ( ) ( ) . 5 2 3 4 6 13 16 = + = ÷ + ÷ A análise da Tabela 10.1 nos possibilita afirmar que a taxa de crescimento de ) x ( g ) x ( f + é a soma da taxa de crescimento de ) x ( f com a taxa de crescimento de ) x ( g . Como a derivada é uma taxa de crescimento, podemos escrever: 53 ( ) ( ) | | ( ) ( ) x g x f x g x f dx d ' + ' = + De modo análogo, a taxa de variação de ) x ( g ) x ( f ÷ é a diferença entre as taxas de variação de ) x ( f e de ) x ( g . Usando a notação de derivada, que é uma taxa de variação, escrevemos: ( ) ( ) | | ( ) ( ) x g x f x g x f dx d ' ÷ ' = ÷ Exemplo 6 Se 5 4 + ÷ = x ) x ( f , 1 6 + = x ) x ( g e ) x ( g ) x ( f ) x ( k + = , determine ) x ( k' . Solução Podemos resolver o problema de duas maneiras: a) Usando a regra de derivação de uma soma: ( ) ( ) ( ) 2 6 4 = + ÷ = ' + ' = ' x g x f x k b) Determinando uma fórmula para ( ) x k e, depois, calculando ) x ( k' : ( ) ( ) 6 2 1 6 5 4 + = + + + ÷ = + = x x x ) x ( g ) x ( f ) x ( k ( ) 2 = ' x k Usando a definição de derivada, justificaremos, a seguir, a regra de derivação da diferença: ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) | | h x g x f h x g h x f lim x g x f dx d h ÷ ÷ + ÷ + = ÷ ÷0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ + ÷ ÷ + = ' ' ÷ . x g é desse ite lim O . x f é desse ite lim O h h x g h x g h x f h x f lim 0 ( ) ( ) x g x f ' ÷ ' = 54 10.6 Derivada de funções potências As funções potências são dadas pela fórmula ( ) n x x f = . Vamos mostrar que a derivada dessas funções é ( ) 1 ÷ = n n x n x dx d . Aplicando essa regra, temos, por exemplo: ( ) 3 4 4 x x dx d = , ( ) 4 3 3 ÷ ÷ ÷ = x x dx d e ( ) ( ) 3 2 3 1 3 1 ÷ = x x dx d . Mostraremos primeiro, que essa regra é válida para n inteiro e positivo, utilizando a definição de derivada: ( ) ( ) h x h x lim x dx d n n h x ÷ + = ÷0 Precisamos aqui da expansão binomial: ( ) ( ) . h de altas mais potências ou h contendo Termos n n n n n h ... h x n n h x n x h x 2 2 2 1 2 1 + + ÷ + + = + ÷ ÷ Usando a expansão binomial, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n h 0 n n 1 n 2 2 n n h 0 n 1 n 2 n 1 h 0 n 1 n 2 n 1 n 1 h 0 n x h x d x lim dx h n n 1 x n x h x h ... h x 2 lim h n n 1 h n x x h ... h 2 lim Fatorando h nonumerador. h n n 1 lim n x x h ... h Os termos tendem a 0, exceto n x 2 n x ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ = | | ÷ + + + + ÷ | \ . = | | ÷ + + + | \ . = ÷ | | ÷ = + + + ÷ | \ . = 1 Essa regra permanece válida quando o expoente é um inteiro negativo ou uma fração. A prova disso será apresentada em outra oportunidade. ( ) 1 ÷ = n n x n x dx d A regra é válida para toda constante n pertencente aos reais. 55 Exemplo 7 Determinar a derivada da função ( ) 2 x x f = . Plotar em um mesmo sistema o gráfico de f e o gráfico de f ' e, comparando esses gráficos, verificar se f ' tem as características esperadas. Solução a) Cálculo da derivada: ( ) ( ) x x dx d x f 2 2 = = ' . b) Na Figura 10.7 está o esboço dos gráficos de f e de f ' : Figura 10.7 c) Para 0 < x , a função ( ) 2 x x f = é decrescente e a função ( ) x x f 2 = ' é negativa. Para 0 = x , a tangente ao gráfico de ( ) 2 x x f = é horizontal e, nesse ponto, o valor da derivada é ( ) 0 0 2 0 = = ' . f . Para 0 > x , a função ( ) 2 x x f = é crescente e a função ( ) x x f 2 = ' é positiva. Essas três características da derivada eram esperadas, a partir da análise do gráfico da função. Exemplo 8 Determinar a derivada da função ( ) 5 x x f = . Plotar em um mesmo sistema o gráfico de f e o gráfico de f ' e, comparando esses gráficos, verificar se f ' tem as características esperadas. Solução a) Cálculo da derivada: ( ) 4 5x x f = ' . b) Na Figura 10.8 está o esboço do gráfico de ( ) 5 x x f = e de ( ) 4 5x x f = ' . 56 Figura 10.8 c) Conforme esperado, a derivada ( ) 4 5x x f = ' é positiva para todo 0 = x , fato que indica que a função ( ) 5 x x f = é estritamente crescente. Como ( ) 0 0 5 0 4 = = ' . f , o gráfico de ( ) 5 x x f = tem inclinação 0 para 0 = x . 10.7 Derivadas de polinômios Aprendemos a derivar potências, funções multiplicadas por uma constante, somas e diferenças. Por exemplo: a) ( ) ( ) 2 2 3 3 12 3 4 4 4 x x . x dx d x dx d = = = b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 4 3 4 3 8 7 2 7 2 x x dx d x dx d x dx d x x dx d ÷ = + ÷ = + ÷ Utilizando simultaneamente essas regras, podemos derivar qualquer polinômio e mesmo expressões algébricas que não sejam polinômios. Exemplo 9 Encontre a derivada de cada uma das funções: a) ( ) 2 2 3 2 6 t ÷ + = x x x f b) ( ) t t t t g 7 3 3 5 + ÷ = c) ( ) x x x x k 2 1 10 5 2 + ÷ = Solução a) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 6 t dx d x dx d x dx d x f ÷ + = ' ÷ ( ) te tan cons uma é 2 t x x 2 2 18 2 + = 57 b) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 5 7 3 3 ÷ + ÷ = ' t dt d t dt d t dt d t g 2 2 1 4 7 2 3 15 ÷ ÷ ÷ ÷ = t t t 2 4 7 2 3 15 t t t ÷ ÷ = c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 10 5 ÷ ÷ + ÷ = ' x dx d x dx d x dx d x k 2 3 3 2 1 4 1 20 2 5 ÷ ÷ ÷ ÷ + = x x x 2 3 3 4 1 20 2 5 x x x ÷ + = 10.8 Derivadas de produtos À primeira vista, parece que a derivada de um produto deveria ser o produto da derivada de cada um dos fatores. Assim, para ( ) ( )( ) x x x x f + + = 3 5 3 , teríamos: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 9 1 3 3 5 3 2 2 3 + = + = + + = ' x x x x dx d . x dx d x f . Contudo, se antes de derivar, efetuarmos o produto, teremos: ( ) ( )( ) x x x x x x x x f 5 3 5 3 5 3 2 3 4 3 + + + = + + = e ( ) 5 6 15 12 2 3 + + + = ' x x x x f , um resultado completamente diferente do obtido antes. Mostraremos, por meio de um exemplo, que a derivada da função ( ) v u x f = é a função ( ) v u v u x f ' + ' = ' . Nessa fórmula u e v são funções da variável x ; dx df f = ' é a derivada de f em relação a x; dx du u = ' indica a derivada de u em relação a x e dx dv v = ' é a derivada de v em relação a x. Observação: Até aqui utilizamos a notação f ' para indicar a derivada da função f e ainda a notação ( ) y dx d para caracterizar a derivada de y em relação a x . Se ( ) x f y = , ou seja, se a variável y depende da variável x , também é usual escrever: ( ) dy f x . dx ' = 58 Essa notação é devida ao alemão G. W. Leibnitz (1646-1716), um dos matemáticos que trabalharam no desenvolvimento do Cálculo no século XVII. É uma notação que nos lembra que a derivada é o limite de quocientes da forma x de valores entre Diferença y de valores entre Diferença x y = A A Assim, podemos pensar que x y lim dx dy ) x ( f x A A = = ' ÷ A 0 . A notação dx dy nos permite determinar facilmente a unidade da derivada: a unidade de dx dy é a unidade de y dividida pela unidade de x . Por exemplo, se ( ) t f s = é a posição de um objeto em movimento, no instante t, então ( ) ( ) dt ds t f t v = ' = é a velocidade do objeto no instante t, já que esse quociente sugere uma distância, ds , dividida por um tempo, dt . De modo análogo, podemos reconhecer ( ) x f dx dy ' = como a inclinação do gráfico de ( ) x f y = , lembrando que a inclinação é o limite do incremento vertical, dy , sobre o limite do incremento horizontal, dx . Para analisar como deve ser a derivada de um produto, vamos estudar o seguinte problema: A quantidade q de vendas de certo tipo de tênis depende do preço p. Por sua vez, p varia de acordo com x, o custo unitário de produção desse calçado. A receita total, R, obtida com a venda dos tênis é dada por q p R = . A Tabela 10.2 traz alguns possíveis valores para x custo unitário de produção = , ( ) tênis cada de venda de preço x g p = = ( ) tênis de vendas de quantidade x k q = = tênis de venda a com obtida total receita q p R = = x p q q p R = 10 110 600 60 000 11 110 550 60 500 12 120 500 60 000 13 130 450 58 500 14 140 400 56 000 15 150 350 52 500 Tabela 10.2 Usaremos R A , o incremento de R , para indicar uma diferença entre valores de R . Com essa notação, ( ) ( ) x R x x R R ÷ A + = A . O incremento, R A , é obtido como a seguir exposto: 59 ( )( ) q p p q q p pq q q p p R R A A + A + A + = A + A + = A + Como q p R = , temos: ( )( ) pq q p p q q p pq R q q p p R ÷ A A + A + A + = ÷ A + A + = A q p p q q p R A A + A + A = A Por exemplo, quando x varia de 12 para 13, no caso em questão, temos: ( ) ( ) 50 10 10 500 50 120 60000 58500 ÷ + + ÷ = ÷ = A . . . R 500 5000 6000 1500 ÷ + ÷ = ÷ = AR 1500 1500 ÷ = ÷ = AR Dividindo os dois membros da igualdade q p p q q p R A A + A + A = A por x A , temos: x p q x p q x q p x R A A A + A A + A A = A A Para calcular o limite quando 0 ÷ Ax , vamos examinar separadamente cada um dos termos dessa igualdade: ( ) ( ) ( ) dx dR x R x x R x x R lim x R lim x x = ' = A ÷ A + = A A ÷ A ÷ A 0 0 ( ) x q p x q lim p x q p lim x x ' = A A = A A ÷ A ÷ A 0 0 ( ) x p q x p lim q x p q lim x x ' = A A = A A ÷ A ÷ A 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 = ' ' = A A A A A = A A A A A = A A A ÷ A ÷ A ÷ A ÷ A ÷ A . x p . x q x lim . x p lim . x q lim x . x p . x q lim x p q lim x x x x x Considerando esses limites, podemos escrever: x p q lim x p lim q x q lim p x R lim x x x x A A A + A A + A A = A A ÷ A ÷ A ÷ A ÷ A 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x p q x q p x R ' + ' = ' ou dx dq p dx dp q dx dR + = Regra do produto ( ) v u v u v u ' + ' = ' Em palavras: A derivada de um produto é a derivada do primeiro fator multiplicada pelo segundo, mais o primeiro fator multiplicado pela derivada do segundo. 60 Exemplo 9 Uma partícula move-se segundo a equação da posição ( ) ( ) 90 35 3 2 + ÷ = t t t t s , sendo t medido em segundos e s em metros. Determine a velocidade dessa partícula no instante 3 = t . Solução a) Cálculo da função velocidade, ( ) ( ) t s t v ' = : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' + ÷ + + ÷ ' = ' = 90 35 3 90 35 3 2 2 t t t t t t t s t v ( ) ( ) 35 6 90 35 3 2 1 2 ÷ + + ÷ = t t t t t b) Cálculo de ( ) 3 v , que é a velocidade no instante 3 = t : ( ) ( ) ( ) 35 18 3 90 105 27 3 2 1 3 ÷ + + ÷ = v ( ) s m v 3 15 3 ÷ = 10.10 Derivadas de quocientes Para derivar a função ( ) v u x f = , podemos usar a regra do produto. Como ( ) x f . v u = , temos: ( ) ( ) x f . v x f . v u ' + ' = ' . Resolvendo para ( ) x f ' , obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v v u v u x f v v u . v u x f x f v u x f . v ' ÷ ' = ' ¬ ' ÷ ' = ' ¬ ' ÷ ' = ' Regra do quociente 2 v v u v u v u ' ÷ ' = ' | . | \ | Em palavras: A derivada de um quociente é igual à derivada do numerador vezes o denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado. Exemplo 10 Determine a equação da tangente à curva 1 3 ÷ + = x x x y no ponto ( ) 10 2, P = . Solução a) Cálculo da inclinação da curva em um ponto qualquer: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 3 3 1 1 1 ÷ ' ÷ + ÷ ÷ ' + = ' x x x x x x x y 61 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 2 1 1 3 2 1 1 1 1 3 ÷ ÷ ÷ = ÷ + ÷ ÷ + = x x x x x x x x b) Cálculo da inclinação da tangente no ponto ( ) 10 2, P = : ( ) 3 1 1 12 16 2 = ÷ ÷ = ' = y m c) Equação da tangente: ( ) 2 3 10 ÷ = ÷ x y ou 4 3 + = x y 10.11 A regra da cadeia Consideremos a função composta ( ) ( ) x g f y = , sendo f a função de fora e g a de dentro. Supondo ( ) x g z = , podemos escrever que ( ) z f y = . A análise dessas funções nos permite afirmar que uma pequena variação de x, denotada por x A , provoca uma pequena variação em z, indicada por z A . Por sua vez, z A gera uma pequena variação y A na variável y. Em outros termos, podemos dizer que uma pequena variação em x provoca uma cadeia de variações nas outras variáveis. Como x A e z A não são iguais a zero, podemos afirmar: x z . z y x y A A A A = A A No limite, quando x A , y A e z A ficam cada vez menores, temos: x z lim . z y lim x y lim x z x A A A A = A A ÷ A ÷ A ÷ A 0 0 0 ¬ dx dz . dz dy dx dy = Regra da cadeia dx dz . dz dy dx dy = Se ( ) ( ) x g f y = , então, ( ) ( ) ( ) x g . x g f y ' ' = ' Em palavras: A derivada de uma função composta é igual a derivada da função de fora, composta com a de dentro, multiplicada pela derivada da função de dentro. Exemplo 11 Determinar a inclinação da curva ( ) 5 2 2 4 x x y + = no ponto de abscissa 5 0, x = . Solução a) Cálculo da inclinação da curva em um ponto qualquer. Aqui, x x z 2 4 2 + = é a função de dentro e 5 z y = é a função de fora. Como 2 8 + = x dx dz e 4 5z dz dy = , podemos escrever: 62 ( ) ( ) ( ) 2 8 2 4 5 2 8 5 4 2 4 + + = + = = ' x x x x . z dx dz . dz dy y b) Cálculo da inclinação da curva no ponto de abscissa 5 0, x = . ( ) 480 6 2 5 1 4 = = ' . . y Exemplo 12 O comprimento L , em centímetros, de uma barra de metal depende da temperatura ambiente, C T 0 , que, por sua vez, depende do tempo t , medido em horas. Supondo que o comprimento aumente cm 2 para todo aumento de C 0 1 e que a temperatura esteja aumentando a uma taxa de C 0 3 por hora, determine a que taxa o comprimento está variando. Solução De acordo com os dados do problema, temos: C cm dT dL a temperatur da iação var à relação em o compriment do iação var de Taxa 0 2 = = h C dt dT tempo do iação var à relação em a temperatur da iação var de Taxa 0 3 = = Queremos calcular a taxa segundo a qual o comprimento, L, está aumentado em relação ao tempo, ou seja, dt dL . Como o comprimento, L, é uma função da temperatura T e como T é uma função do tempo t, podemos escrever, pela regra da cadeia: h cm h C . C cm dt dT . dT dL dt dL 6 3 2 0 0 = | | . | \ | | . | \ | = = Assim, o comprimento da barra de metal está aumentando a uma taxa de h cm 6 . 63 Questionário 10 As regras de derivação devem ser decoradas. Para adquirir bom manejo dessas regras, precisamos praticá-las até que elas nos sejam bem familiares. Estude esse assunto no seu livro de Cálculo. Em geral, os livros têm muitos exercícios de derivação; faça o maior número que você puder. Certamente, isso lhe garantirá maior agilidade mental, o que implicará em melhor eficiência nas atividades do seu Curso. 1) Escreva as regras de derivação das seguintes funções, em símbolos matemáticos e em palavras: a) Função constante. b) Função resultante do produto de uma constante por uma função. c) Função soma. d) Função diferença. e) Função produto. f) Função quociente. g) Função composta. (Regra da cadeia.) 2) Dê um exemplo para cada uma das seguintes regras de derivação, sendo u e v funções da variável x, a uma constante e n um número real não-nulo: a) ( ) v u v u ' + ' = ' + b) ( ) v a v a ' = ' c) ( ) v u v u v u ' + ' = ' d) 2 v v u v u v u ' ÷ ' = ' | . | \ | e) ( ) u . u u ' = ' 2 1 f) ( ) v . v n v n n ' = ' ÷1 64 Exercícios 10 1. Suponha que f (5) 1, f (5) 6, g(5) 3 e g (5) 2 ' ' = = = ÷ = . Calcule os valores de: a) (fg) (5) ' b) f (5) g ' | | | \ . c) g (5) f ' | | | \ . 2. Suponha que f (3) 4, g(3) 2, f (3) 6 e g (3) 5 ' ' = = = ÷ = . Calcule os valores de: a) (f g) (3) ' + b) f (3) g ' | | | \ . c) (fg) (3) ' d) f (3) f g ' | | | ÷ \ . 3. Calcule a derivada de cada uma das funções: a) 4 f (x) x = b) 7 f (x) x = c) 11 f (x) x = d) 5 f (x) 3 x = e) 4 1 f (x) x 4 = f) 5 3 f (x) x 5 = g) 6 f (x) 7x = ÷ h) 7 x f (x) 7 = i) 3 7 f (x) x 4 = ÷ 4. Calcule a derivada de cada uma das funções: a) 3 2 x x f (x) 2x 1 3 2 = + ÷ + b) 7 3 f (x) 3 x x = + c) 7 3 f (x) 3x 7x = ÷ d) f (x) = 2 5 1 1 f (x) x x 7 2 = ÷ e) 3 2 f (x) 7x 2x 5x 1 = + ÷ + f) 5 2 f (x) x 8x = + f) 4 3 2 f (x) x 3x 2x 7x 5 = ÷ + ÷ + g) 5 4 3 2 f (x) x x x x x 1 = ÷ + ÷ + ÷ h) 4 3 2 f (x) x 3x 2x 7x 5 = ÷ + ÷ + i) 2 f (x) ax bx c = + + j) 2 f (x) qx tx 7 = + ÷ l) 5 4 f (t) 4t 5t 23t = ÷ + + m) 2 f (u) au bu c = + + n) 4 2 f (v) kv 3kv 7kv 2k = + ÷ + 5. Primeiramente, esboce o gráfico da função 2 f (x) x 5x 6 = ÷ + . A seguir: (a) determine a função derivada f (x) ' ; (b) escreva a equação da tangente ao gráfico de f (x) no ponto de abscissa x 3 = ; (c) estude a variação de sinal da derivada f (x) ' ; (d) escreva as coordenadas do ponto do gráfico de 2 f (x) x 5x 6 = ÷ + em que a tangente é horizontal. 6. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 3 2 f (x) x 7x 4x 5 = ÷ + ÷ no ponto onde x 2 = . 65 7. Ache os pontos sobre a curva 3 2 y x x x 1 = ÷ ÷ + nos quais a tangente é horizontal. 8. Determine a equação das retas que passam pelo ponto (2, 3) ÷ e que são tangentes à parábola 2 y x x = + . 9. Ache uma parábola com equação 2 y ax bx = + cuja reta tangente em (1,1) tenha por equação y 3x 2 = ÷ . 10. Determine a equação da reta tangente à curva x y x 1 = + no ponto de abscissa x 4 = . 11. Dada a função 2 f (x) x 5x 13 = ÷ + : (a) determine o intervalo em que f é crescente e o intervalo em que f é decrescente; (b) determine em que ponto do gráfico de f a tangente é nula; (c) a partir dos resultados encontrados nos itens (a) e (b), esboce o gráfico da função 2 f (x) x 5x 13 = ÷ + . 12. A partir do sinal de f (x) ' , esboce o gráfico de cada uma das funções dadas a seguir: a. 2 f (x) 5x 20x 47 = ÷ + b. 2 f (x) 2x 4x 25 = ÷ + + c. 3 f (x) x 12x 17 = ÷ + d. 3 f (x) x 27x 60 = ÷ + e. 3 f (x) 2x 54x 10 = ÷ + + 13. A temperatura u em um forno varia com o tempo t de acordo com a expressão 3 2 (t) 0, 02t 0, 2t 110 u = + + , sendo o valor de u medido em 0 C e t , em minutos. Determine a taxa de variação de u em relação a t no instante t 10min = . 14. Determine a equação da tangente ao gráfico de cada função no ponto dado: a. 3 2 y 6x 4x 2x, x 2. = + ÷ = b. 4 3 f (x) 3x 4x 6x 2, x 4. = ÷ ÷ ÷ + = c. 5 7 g(t) 3t 5 t , t 1. t = ÷ + = d. 2 2 12 1 y 3t , t 4. t t = + ÷ = e. 2 x 1 y , x 2. x + = = ÷ f. 7 6 3 2 s 5s s f (s) , s 1. s + ÷ = = ÷ g. 2 3 4 t t 1 g(t) , t 3. t + ÷ = = 66 15. O gráfico da função 3 2 y x 9x 16x 1 = ÷ ÷ + tem inclinação 5 em dois de seus pontos. Encontre as coordenadas destes pontos. 16. Uma partícula move-se segundo a lei do movimento 2 f (t) t 10t 12 = ÷ + , sendo t medido em segundos e a distância, em metros. Determine: a) A velocidade dessa partícula no instante t 3s = . b) Em que momento(s) a partícula está em repouso. c) Em que intervalos a partícula está se movendo no sentido positivo. d) A distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos. 17. Uma partícula move-se segundo a lei do movimento 2 t s(t) t 1 = + , sendo t medido em segundos e a distância em metros. Determine: a) A velocidade dessa partícula no instante t 3s = . b) Em que momento(s) a partícula está em repouso. c) Em que intervalos a partícula está se movendo no sentido negativo. d) A distância total percorrida durante os 10 primeiros segundos. 18. A função posição de uma partícula é dada por 3 2 s(t) t 4, 5t 7t = ÷ ÷ , com t medido em segundos e a distância em metros. Determine o instante em que a partícula atinge a velocidade de 5m s . 19. Uma partícula move-se segundo a lei do movimento 2 s(t) t 4t 3 = ÷ + , sendo t medido em segundos e a distância, em metros. Determine: a) A velocidade dessa partícula no instante t 4s = . b) Em que momento a partícula está em repouso. c) Em que intervalos a partícula está se movendo no sentido negativo. d) A distância total percorrida durante os 6 primeiros segundos. 20. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 3 2 f (x) 2x 2x 1 = ÷ + no ponto (1,1) . 21. Se 2 f (x) 13 8x 2 x e f (p) 4 ' = ÷ + = , determine o valor de p . 22. Encontre os intervalos nos quais f (x) 1 ' > , sendo 3 2 f (x) 4x 6x 23x 7 = + ÷ + . 23. Uma bola é largada de um balão que está a 380m de altura. A altura da bola acima do solo é dada pela função 2 h(t) 380 5t = ÷ , sendo t medido em segundos e h em metros. Com base nessas informações: a) Determine a velocidade da bola em um instante t. Qual é o sinal dessa velocidade? Por que isto já era esperado? b) Verifique que a aceleração da bola é constante. Qual é o valor desta constante? c) Em que instante a bola bate no solo e qual é a sua velocidade neste instante? Dê sua resposta em metros por segundo e em quilômetros por hora. 67 O que vem depois Na sequência do trabalho com o Cálculo Diferencial e Integral, você terá possibilidade de estudar regras práticas de derivação, o que simplificará o aspecto operatório para determinar derivadas. Você deverá abordar novas funções, além das algébricas vistas nesta apostila; são algumas das funções transcendentes – as funções exponenciais, as funções logarítmicas e as funções trigonométricas. A mais disso, certamente ficará entusiasmado ao perceber as inúmeras aplicações das derivadas em problemas que aparecem em quase todas as ciências e nas diferentes tecnologias desenvolvidas e que têm por base o Cálculo. Para quem pretende ser um profissional competente, vale a pena investir tempo no estudo de Cálculo: é uma disciplina que ajuda a ler e descrever fenômenos e situações, encontradas no trabalho com tecnologias; é, sobretudo, uma disciplina que pode ser decisiva no aprender a pensar e a tomar decisões, duas competências consideradas como as mais importantes para o profissional do Século XXI, de acordo com pessoas que atuam na área de recursos humanos de empresas. Agradecemos às críticas e sugestões, se feitas no intuito de melhorar esta apostila e o material disponibilizado no Curso. Para tanto, deixamos à disposição o endereço eletrônico
[email protected]. Bibliografia Na feitura desta apostila, utilizamos os livros relacionados a seguir. Eles podem servir para aqueles que desejam estudar Cálculo, o que vai bem mais além do conteúdo deste texto. - HUGHES-HALLET, Deborah e outros. Cálculo de uma variável. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2007. (Este livro, declaradamente escrito para o estudante, dá ênfase aos conceitos e privilegia a abordagem gráfica, como facilitadora do entendimento dessas idéias. Consegue um raríssimo equilíbrio entre as aplicações práticas do Cálculo e desenvolvimento da arte de pensar por meio da incorporação do método matemático.) - LARSON, Ron e EDWARDS, Bruce H. Cálculo com Aplicações. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2005. (Este livro traz, em cada capítulo, uma revisão dos tópicos que é preciso dominar para o estudo do novo assunto. É muito simples e tem indicação de boas aplicações do Cálculo, em especial para as Ciências Gerenciais.) 68 - MACHADO, Nilson José. Noções de Cálculo. São Paulo: Editora Scipione, 1988. (Este livro foi feito pensando em introduzir o estudante no trabalho com Cálculo. É o volume 9 da Coleção Matemática por assunto. Tem uma linguagem bem simples e objetiva, sem muita preocupação com o formalismo matemático, que se interessa em possibilitar a incorporação das ideias do Cálculo.) - SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: McGraw- Hill, 1987. (Este livro pode ser visto como o precursor dos livros de Cálculo que dão ênfase aos conceitos, sem deixar de lado o aspecto operatório. O texto é feito priorizando o estudante – linguagem simples e objetiva – sem deixar de lado o rigor matemático.) - STEWART, James. Cálculo. Tradução da 6ª. edição americana. São Paulo Cengage Learning, 2010. (Este livro é adotado como livro básico nos cursos da área de Ciências Exatas e da Terra em um número significativo de faculdades. De acordo com o autor, é um livro que pretende auxiliar “o estudante em sua descoberta do Cálculo – tanto pela utilização prática da disciplina quanto por sua surpreendente beleza”. Seguindo uma tendência que vem desde 1986, este livro dá ênfase aos conceitos, sem deixar de lado os aspectos operatórios e de aplicação prática.) Além desses livros, existem muitos outros livros ou fontes para o estudo de Cálculo. Citamos, entre os disponibilizados na internet: - e-calculo, que pode ser acessado por meio de um site de busca. (Basta digitar http://ecalculo.if.usp.br/ . São aulas de Cálculo disponibilizadas pela USP (Universidade de São Paulo). É um material elaborado com bastante cuidado e pode ajudar muito no entendimento dos conceitos e das aplicações do Cálculo.) - Khan Academy. Site http://www.khanacademy.org/, onde estão disponibilizadas inúmeras aulas de Calculo e de outras disciplinas. Tem como característica aulas feitas como se fossem aulas particulares (personalizadas), com clareza nas explicações e interesse em fazer com que o estudante aprenda. - No youtube, encontram-se bons vídeos e boas aulas de Cálculo. - Como aplicativo computacional para a construção de gráficos, sugerimos acessar o site da Universidade Federal da Paraíba e olhar como trabalhar com o software gráfico winplot: pode-se baixar o software e, também, um ótimo tutorial sobre seu uso. Conforme você pode ver, não falta material para estudar Cálculo. Se quiser, poderá ir mais longe e se tornar um competente profissional que consegue ligar Ciência e Tecnologia, as duas pernas que fazem andar o desenvolvimento e alimentam a possibilidade de uma vida cada vez melhor.