NOCIONES TOPOLÓGICAS EN ESPACIOS MÉTRICOS ANIMADASCON GEOGEBRA Lic. Mat. Jorge Luis Rojas Paz [email protected] RESUMEN El estudio de las nociones topológicas en espacios métricos sin lugar a dudas nos sumerge en un mundo, fascinante y a la vez rico en teorías y ejemplos extraídos del mundo real. El uso del software Geogebra en la visualización de conceptos y su uso intuitivo en demostraciones nos transporta a un nuevo mundo de comprensión y análisis de situaciones ocultas que en un tiempo atrás solo existían en la mente de sus creadores y en la de los estudiosos y expertos en la materia. Bienvenidos a la materialización de lo oculto en un mundo virtual a partir de nuestra intuición topológica. ABSTRACT The study of topological notions in metric spaces undoubtedly plunges us into a world both fascinating and rich in theories and examples from the real world. Use of the software Geogebra in visualizing concepts and demonstrations intuitive use us to a new world of understanding and analysis of hidden situations that once only existed back in the minds of its creators and the scholars and experts in the field. Welcome to the materialization of the virtual world hidden from our topological intuition. 1.-ESPACIO MÉTRICO Un espacio métrico es un par , donde X es un conjunto cualquiera no vacío y una aplicación, llamada distancia o métrica, tal que, para cualesquiera x, y, z ϵ X, satisface las siguientes condiciones: (i) d(x ,y) ≥ 0 (ii) d(x ,y) = 0 ↔ x = y (iii) d(x ,y) = d(y ,x) (iv) d(x ,z) ≤ d(x ,y) + d(y ,z) Por ejemplo en R2 la aplicación , definida mediante la ecuación , d (p , q ) = (p - q ) 2 + (p - q ) 2 1 1 2 2 donde p =(p1, p2) y q = (q1, q2), es una distancia, llamada la distancia Euclídea. En la ilustración 1, se aprecia la distancia entre los puntos P y Q expresada por la longitud del segmento de color verde “d”. hemos construido un Applet en Geogebra ilustración 1 al cual podemos acceder desde la siguiente dirección: http://www.org/student/m48029 Además está disponible en el mismo Applet el protocolo de construcción y por tanto puedes reproducirlo y generar tus propios diseños y presentaciones. Por ejemplo se puede variar las coordenadas de los puntos P y Q y a medida que esto sucede se observará en el Applet como varia la distancia Euclídea. Ilustración 2 Ilustración 3 .geogebratube.Ilustración 1 Para interactuar con la Métrica Euclídea. Precisamente la menor longitud sería la distancia del punto (5. escogeríamos el de menor longitud. 0) mediante un segmento. para un estudiante que se inicia en el estudio de la matemática o cualquier profesional de otra área del conocimiento que desea aplicar dicho concepto. De todos los segmentos de color rojo que unen el punto (5. Nuestra idea aquí es mostrar que dicho concepto puede ser comprendido intuitivamente y que la intuición puede ser “materializada” en un ambiente virtual utilizando Geogebra. a) ≥ m. uniendo cada punto del conjunto A con el punto (5. Probablemente la respuesta sea si para quienes están muy bien entrenados en análisis real y con toda seguridad para la gran mayoría. por ejemplo el formado por todos los puntos (x.1x2+5 y sea (5. además de la distancia entre dos puntos x. existe a ϵ A tal que d(x. Ahora bien. 0) al { } conjunto A = (x.2. 0) con cada punto del conjunto A. ii) Dado arbitrario. y) del plano tal que y = 0. En efecto consideremos un subconjunto no vacío A ⊂ R2. a ϵ A. muchas dudas e interrogantes surgirían de inmediato. Ilustración 4 . tomemos el de menor longitud (color negro) y es esta longitud precisamente la distancia entre el conjunto A y el punto indicado. A) es el único número real “m” tal que: i) d(x. y)∈R 2 : y = 0.-DISTANCIA DE UN PUNTO A UN CONJUNTO En un espacio métrico X. 0) un punto del plano R2. Nótese que este punto sería precisamente el que aparece en la definición como “a”.1x 2 + 5 ⊂ R2. se puede definir la distancia de un punto x ϵ X a un subconjunto no vacío A X por la expresión Se sigue de esta definición que d(x. a) m + Este concepto es desde luego sumamente claro para un topólogo pero preguntémonos si lo es también. y ϵ X. hallamos y graficamos su derivada con los comandos que presenta geogebra d ′(x) = x 3 + 100x .org/student/m48411 en él. 0. cuya abscisa es precisamente el punto en el cual la función “d” alcanza un mínimo relativo.1x2 + 5 conforme se sugiere en la ilustración 4 y la otra forma calculando primero la función distancia d(x) entre los elementos del conjunto A que son puntos de la forma (x. Ilustración 5 . 0) a un subconjunto del plano A.1000x + 5000 esto nos permitirá identificar el punto de corte entre el eje X y la gráfica de la derivada “A”. 0) y por supuesto utilizando la métrica Euclídea.1x 2 + 5)2 Luego. la primera que nace de la intuición a través de la obtención de la menor longitud del segmento que une el punto de coordenadas (5.El Applet que se ha construido para materializar nuestra intuición está disponible en la dirección http://www.1x2 + 5) y el punto (5.0) con cada uno de los puntos de la parábola y=0.geogebratube. obteniendo d(x) = (x .5)2 + (0. mostramos dos formas de calcular la distancia del punto (5.250 5 x 4 + 200x 2 . r). 0) y el conjunto A. r) a un conjunto que se reduce a un par de puntos. r) formado por todos los puntos de X cuya distancia al punto “a” es menor que “r”: Una bola cerrada o disco de centro “a” y radio “r” es el conjunto D(a. un número real y “a” un punto de X. Veamos el siguiente Applet disponible en http://www.-BOLAS ABIERTAS. una bola cerrada conformada por el conjunto [ a .geogebratube. a + r ] y como esfera S(a.org/student/m48770 Ilustración 6 . a+r). formado por los puntos de X cuya distancia al punto “a” es exactamente igual a “r”: Normalmente existen ejemplos que podemos encontrar en textos especializados sobre estos conceptos topológicos tales como: el de bola abierta en el conjunto de los números reales. Una bola abierta de centro “a” y radio “r” es el conjunto B(a. 3. Igualmente podemos construir bolas abiertas. véase el Applet desarrollado en la ilustración 5. utilizando deslizadores. CERRADAS Y ESFERAS Consideremos un espacio métrico X.r. r) de los puntos de X cuya distancia al punto “a” es inferior o igual a “r”: Una esfera de centro “a” y radio “r” es el conjunto S(a. Esto nos sugiere construir conjuntos de este tipo a través de Geogebra. cuya ordenada constituye una aproximación de la distancia Euclídea entre el punto (5.enseguida levantamos una perpendicular que corta en el punto “B” a la gráfica de la función “d” y aprovechando este punto trazamos otra perpendicular que corta finalmente al eje Y en el punto “C”. bolas cerradas y esferas en dos y tres dimensiones utilizando Geogebra beta. que no es otra cosa que el intervalo abierto (a-r. r)= {a-r. Aprovechando la construcción anterior es fácil obtener a partir de ella un nuevo Applet para generar bolas cerradas en el conjunto de los números reales.(x. r ) = (x. Ilustración 7 Finalmente es fácil generar esferas con Geogebra en el conjunto de los números reales.y)∈R 2 : (x . pues en el Applet anterior bastará con borrar el segmento horizontal de color azul y tendremos la representación del conjunto S(a. la siguiente ilustración muestra una bola cerrada con centro en a=0 y radio r=10. a 2 ) . y)) < r { } Si d es la métrica Euclídea la expresión anterior se transforma en B ( ( a1 .y)∈R 2 : d(( a1 .a 2 )2 < r 2 { } .a 2 ) .a 2 ) .a1 )2 + (y .En esta ilustración se aprecia el Applet construido especialmente para una bola centrada en el número a=0 y radio r=10 pero usted notará que manipulando los deslizadores obtendrá nuevas bolas abiertas en R. r ) = (x.a+r} en la ilustración 8 para a=0. Ilustración 8 Consideremos una bola abierta en el espacio métrico R2 B ( ( a1 . y)∈R 2 : d(( a1 .(x.y)∈R 2 : x − a (( 1 2 1 2 ) ) 1 1 2 } . r = (x.org/student/m48592 Ilustración 9 { } Si en la bola B ( ( a1 .geogebratube. al igual que la bola definida con la métrica Euclídea nos sugiere utilizar tres deslizadores.a 2 ) . entonces ella se reescribirá del modo siguiente: B a .org/student/m48599 .y)∈R 2 : x − a + y − a < r o también: { B ( ( a .geogebratube. como se aprecia en el siguiente Applet diseñado para este caso y alojado en http://www. Al observar la definición de la bola en el plano. r ) = { (x. y)) < r consideramos a “d” como métrica de la suma. r ) = (x. a ) . manipularlas y mejor aún al tener un protocolo visible reproducirlas y reconstruir el conocimiento. que me permita interactuar con ellas.a 2 ) . Veamos nuestro Applet construido y alojado en http://www. a . nuestra intuición nos sugiere que podríamos utilizar tres deslizadores dos para las coordenadas del centro porque podemos imaginar una bola en cualquier punto del plano pero al mismo tiempo el radio puede variar entonces también se nos ocurre utilizar un deslizador para él.La idea que nos planteamos es construir un Applet como los anteriores que me permita visualizar estas bolas en el plano.r + a 2 < y < r − x − a1 + a 2 } En consecuencia esta bola. 0 . a 2 ) . a2) = (0. si en la bola B ( ( a1 . r ) = (x. y − a2 } < r { desarrollamos y simplificamos la inecuación } . 0) se tendrá B 0. r ) = (x. a 2 ) .y)∈R 2 : max x . y)) < r . “d” es la métrica del máximo entonces ella se reescribe de la siguiente forma: B ( ( a1 .y)∈R 2 : max { x − a1 .Ilustración 10 { } Finalmente. (x.y)∈R 2 : d(( a1 . a 2 ) . r ) = (x. y − a2 } < r { } Por ejemplo si el centro de una bola de radio r = 4 definida bajo la métrica del máximo. es el origen de coordenadas esto es (a1. 4 = (x.y)∈R 2 : max { x − a1 . y < 4 (( ) ) { { } } Ilustración 11 Para construir el Applet correspondiente a la bola B ( ( a1 .a 2 ) . y − a2 } < r { } B ( ( a .r ) = { (x. entonces d es más fina que cualquier otra métrica d´ en X. . para cada x X. cualquier bola abierta de centro “a” según d´ contiene alguna bola abierta de centro “a” según d.a ) . Decimos que d es más fina que d´ cuando la aplicación identidad fuera continua. r ) = (x. Por ejemplo si (X.-MÉTRICAS EQUIVALENTES Sean d y d´ métricas en un mismo conjunto X.y)∈R 2 :(a − r < x < r + a )∧( a − r < y < a + r )} Lo que nos da por resultado B ( ( a1 . Proposición: La métrica d es más fina que la métrica d´ en un conjunto X si.geogebratube.max { x − a1 .org/student/m48607 Ilustración 12 4.y)∈R 2 : x − a1 < r ∧ y − a2 < r o también 1 2 1 1 2 2 con estas condiciones procedemos a utilizar en geogebra como ya hemos visto tres deslizadores dos para las coordenadas del centro de la bola y otro para el radio de la bola con lo cual obtenemos el siguiente Applet disponible en la dirección http://www. y solamente si.a 2 ) . d) es un espacio métrico discreto. d´´ es más fina que d y d´. y ) = ( x1 − y1 ) 2 + ( x2 − y2 ) 2 d ′( x. ε ) Ahora bien sabemos que dos métricas d. resulta continua lo que equivale a decir que para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que d(x.a) < δ implica d′(x. y2 ) en el plano R2 son equivalentes. d ) → ( X.{ x1 − y1 . y ) = x1 − y1 + x2 − y2 d ′′( x. x2 ). y ) = m á x . Por tanto se concluye que d ∼ d ′ . d´) .org/student/m49051 .La demostración es inmediata. con x = ( x1. Ilustración 13 En efecto obsérvese que d es más fina que d´´. que las métricas: d ( x. δ ) ⊂ B′(a. Por ejemplo. se sigue de este razonamiento. hecho que se puede verificar también haciendo uso de geogebra. y = ( y1 . x2 − y2 } . pues al ser d más fina que d´ la aplicación identidad dada por i :( X. así mismo d´ es más fina que d y d´´. es decir se tendrá: B(a.geogebratube. d´ en un mismo conjunto X se dicen equivalentes ( d ∼ d ′ ) cuando d es más fina que d´ y al mismo tiempo d´ es más fina que d. conforme se aprecia en la ilustración 13. donde i(x) = x. d ′ ∼ d ′′ y d ∼ d ′′ El Applet construido para demostrar la equivalencia de las métricas se encuentra alojado en la siguiente dirección http://www. De la ilustración 14 se sigue que d es más fina que d´.a) < ε . ROBERT.A.geogebratube. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico S. disponibles en: http://www. Inc. 2002. I. Topología. Paulo.Ilustración 14 BIBLIOGRAFÍA [01] ADAMS.A . JAMES. ELOM. Introduction to Topology Pure and Applied. Madrid: Prentice Hall.org/user/profile/id/8674 . New Delhi: Pearson Prentice Hall. COLIN y FRANZOSA. 2da Edición. [04] LAGES. Curso de Analise Vol. [02] MUNKRES. Elementos de Topologia Geral. [05] Materiales subidos por los autores. First Impression. 2009.. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Cientificos Editora S. [03] LAGES. Editora da Universidade de S. 1994. 8a Edición.. ELOM. 1970.