FACULTAD DE CIENCIAS EXACTASGRADO: 10 Y NATURALES TALLER Nº: 12 SEMILLERO DE MATEMÁTICAS SEMESTRE 1 LEY DE SENOS Y COSENOS RESEÑA HISTÓRICA Menelao de Alejandría La trigonometría fue desarrollada por astrónomos griegos que consideraban al cielo como el interior de una esfera, de modo que resultó natural estudiar primero los triángulos sobre una esfera. Menelao de Alejandría fue un matemático griego quien cultivó la astronomía y la geometría en Alejandría y en Roma. Autor del tratado Sphaerica, en el que realizó un sistemático estudio de las propiedades de los triángulos esféricos (teoremas de Menelao), que constituyen las bases de la trigonometría esférica. ¾ OBJETIVO GENERAL Aplicar la trigonometría en la solución de problemas que involucran triángulos no rectángulos. ¾ OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Derivar la ley de los senos. 2. Derivar la ley de cosenos. 3. Comprender cuando se puede aplicar ley de senos y cósenos. 4. Aplicar ley de senos y cósenos para hallar áreas de triángulos. 5. Utilizar la formula de Heron para hallar áreas. ¾ PALABRAS CLAVES Función trigonométrica, Ley de senos, Ley de cosenos, triángulo, problema. ¾ DESARROLLO TEÓRICO En talleres anteriores se utilizaron las razones trigonométricas para resolver problemas que involucraban triángulos rectángulos; las funciones trigonométricas también pueden ser utilizadas para resolver triángulos no rectángulos (triángulos oblicuos), con este objetivos se desarrollaran dos propiedades fundamentales, a saber la ley de senos y la ley de cosenos. Antes de iniciar con el desarrollo teórico del taller, se recordarán algunos conceptos que pueden ser de interés para este trabajo. Teorema La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º. Ahora bien. Ángulos de depresión Si una persona está mirando hacia abajo un objeto. igualando (1) y (2) se tiene: µ b a b c B b C = = .es igual a la razón entre otro de los lados del triángulo y el seno del ángulo correspondiente a dicho lado. Por razones trigonométricas en el triángulo rectángulo A de hipotenusa b se tiene que: h b = sen( µ ) . se tiene: a sen( µ ) = h1 = c sen(α ) . y en el triángulo de hipotenusa c se tiene c b h h que = sen( β ) . A α que por transitividad y despejando se llega a: a c α b = (2) c h1 sen(α ) sen( µ ) Luego. el ángulo agudo medido desde la horizontal a la línea de visión del objeto es llamado ángulo de elevación. trazando la altura relativa a la base AC. cae perpendicular a BC y determina dos triángulos rectángulos de hipotenusas AC que en adelante llamaremos b y AB que en adelante llamaremos c . LEY DE SENOS Considérese un triángulo ∆ABC y sea h la altura relativa al lado BC del triángulo. . el ángulo agudo formado por la línea de observación del objeto y la horizontal es llamado ángulo de depresión Otro resultado para el desarrollo de la teórica es el siguiente teorema. la razón entre un lado de un triángulo y el seno de su ángulos correspondiente (ángulo que se opone a lado). Ahora bien. como h es una altura. por lo tanto. despejando se llega a: b c = (1) sen( β ) sen( µ ) De manera análoga. a sen(α ) sen( β ) sen( µ ) Esto es. despejando h en ambas β µ c B b C b a ecuaciones e igualando se tiene: b sen( µ ) = h = c sen( β ) . Ángulos de elevación Si una persona está mirando hacia arriba a un objeto. b. Un niño se encuentra volando dos cometas simultáneamente. a Ejemplo. el punto C representa las manos del niño. según la tabla del valor de las funciones trigonométricas se tiene: 2 210 * 210 * sen(45) m( AC ) = = 2 = 210 2m sen(30) 1 2 Por lo tanto. observe que esta corresponde a la medida del segmento AC . Cuanta pita se ha liberado para la primera cometa en ese momento. b y c β b µ B αb C respectivamente. la cantidad de pita que se ha liberado para la primera comenta es de 210 2m . por lo tanto se disponen de la herramientas para aplicar la ley del seno. en un momento determinado. Se sigue entonces que: 210 m( AC ) 210 * sen(45) = ⇒ m( AC ) = sen(30) sen(45) sen(30) que.De la deducción anterior se tiene la siguiente ley. (como muestra la figura). quien a su vez se opone al ángulo de 45º . para nuestro gráfico. el punto A la posición de la primera cometa y el punto B la posición de la segunda cometa. siempre se A cumple que: a b c α α = = b sen(α ) sen( β ) sen( µ ) c Donde α . β y µ son los ángulos correspondientes a los lados a. En todo ∆ABC . Ley de Senos. note que el problema lleva a un modelo geométrico triangular donde. ¥ . si el ángulo formado por las pitas es de 30° y el ángulo formado por la pita de la segunda cometa y la línea que une las dos cometas es de 45°? Solución Se empezará por realizar un bosquejo gráfico de la situación. de lados a. y c. la distancia entre las dos cometas es de 210 metro. Se necesita encontrar la longitud de la pita de la primera cometa. Pero resulta que no todos los triángulos se pueden solucionar con la ley de seno. con lados a. sumando esta expresiones se tiene: 2h 2 = b 2 + c 2 − ( x 2 + y 2 ) (1) Como se tiene que a = x + y. c y su ángulo correspondiente. b. Si medimos los ángulos de elevación de una montaña desde lo más alto y desde la base de una torre de 20 metros de alto y éstos son 38. c. El ángulo de elevación del sol desde el piso es de 69°. β y µ los ángulos correspondientes a cada uno de estos lados. Qué pasara si la información suministrada por el problema no es suficiente para resolverlo con la ley de senos?. a 2 = b 2 + c 2 − 2h 2 + 2 xy (2) Pero por razones trigonométricas.Actividad Utiliza la ley de senos para resolver los siguientes ejercicios. de donde a = ( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 2 entonces ( x + y ) = a − 2 xy y sustituyendo en la ecuación anterior se tiene: 2 2 2h 2 = b 2 + c 2 − (a 2 − 2 xy ) de donde. se puede observar que: . LEY DE LOS COSENOS Sea ∆ABC un triángulo cualquiera. 9 Cuando la información que se nos suministra no es suficiente para utilizar la ley del seno se tiene un teorema adicional que puede conducir a su solución. y sean α . Sea h la altura relativa al lado A del ∆ABC y A sean x y y las proyecciones de los lados b y c sobre a. en cada uno de los triángulos rectángulos que se formaron. Un poste forma un ángulo de 79° con el piso.9 m.5° y 40. 1.2° respectivamente ¿Cuál es la altura de la montaña? NOTA 9 Consulta en qué consiste el caso ambiguo en la solución de triángulos. 2. Encuentre la longitud del poste si su sombra es de 5. ϕ θ b c h Por teorema de Pitágoras se tiene: h2 = c2 − x2 C a h =b −y 2 2 2 x y Ahora bien. Se tratará de expresar la medida del lado a en términos de los lados b. en este caso. de lados a. Solución Observe que en este caso no se puede utilizar la ley del seno puesto que no se conoce la longitud del lado del único ángulo dado. β y µ son los ángulos correspondientes a b a los lados a. por lo tanto: a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos(α ) Actividad Con base en la deducción anterior. Ejemplo Dado el triángulo ABC en la figura de la derecha. En todo ∆ABC . se trata de hallar la longitud de AC = b . por lo tanto. es esta una buena oportunidad para aplicar la ley del coseno. (como muestra la figura). y c. b. encuentre la longitud del segmento AC. c y el ángulo correspondiente a b. el ángulo correspondiente al lado a es: α = ϕ + θ . siempre se cumple que: A a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos(α ) α α b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos( β ) c b c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos( µ ) β µ B C b Donde α . b y c respectivamente. . al sustituir en la ecuación (2) y teniendo presente que h 2 = h * h = c cos(ϕ ) b cos(θ ) se tiene: a 2 = b 2 + c 2 − 2 c cos(ϕ ) b cos(θ ) + 2 c sen(ϕ ) b sen(θ ) esto es: a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ( sen(ϕ ) sen(θ ) − cos(ϕ ) cos(θ ) ) (3) pero por identidades trigonométricas se tiene que cos(ϕ + θ ) = cos(ϕ ) cos(θ ) − sen(ϕ ) sen(θ ) y sustituyendo en (3) se tiene: a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos(ϕ + θ ) pero α . trace la altura relativa al lado b y encuentre una expresión para b 2 en términos de a. Ley de Cosenos. pero también h = b cos(θ ) . por lo tanto. Las deducciones anteriores constituyen el soporte teórico para la siguiente ley.x = c sen(ϕ ) y también y = b sen(θ ) además h = c cos(ϕ ) . vuela siguiendo una dirección de 283°. b 2 = 32 2 + 24 2 − 2 * 32 * 24 cos(120º ) 1 pero se sabe que cos(120º ) = − . ¿Cuál es la distancia total recorrida durante el vuelo? 5. ¿Cuál debe ser la longitud de la escalera? . posteriormente halle su área. ¿De qué longitud deberá ser una cuerda para alcanzar desde la punta del poste un punto que se encuentra a 68 pies de la base del poste sobre la colina? 4. ¥ ¾ EJERCICIOS PROPUESTOS 1. ¿a qué distancia se encuentran los barcos entre sí? 3. 2. Para alcanzar un muro de 2. A causa del mal tiempo regresa a otro aeropuerto situado a 230 km al norte de su base. Un árbol de 96 pies proyecta una sombra de 120 pies de largo. En la cumbre se encuentra un poste con una altura de 40 pies. El primero navega n 15° O a 25 nudos (un nudo es una milla náutica por hora). (Recuerde que solucionar un triángulo consiste en hallar la medida de todos sus lados y todos sus ángulos). luego: 2 1 1 b 2 = 32 2 + 24 2 − 2 * 32 * 24 − ⇒ b 2 = 1024 + 576 + 1536 ⇒ b 2 = 1024 + 576 + 768 = 2368 2 2 por lo tanto b 2 = 2368 Luego se tiene: b = 8 37 . ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol? 6. Un avión de reconocimiento sale de un aeropuerto sobre la costa este de Estados unidos y vuela en una dirección de 85°.10m de alto es necesario utilizar una escalera que forme un ángulo de 45% con la horizontal. Utilice ley de senos y cósenos según sea el caso. Después de dos horas. Una colina tiene una inclinación de 15° respecto de la horizontal. El segundo navega N32°E a 20 nudos. Dos barcos parten del mismo puerto a la misma hora. para solucionar cada uno de los siguientes triángulos. Por lo tanto la medida del segmento AC = b está dada por: AC = 8 37 . Para regresar. La parte más alta de una torre se observa en un terreno horizontal desde un punto que dista 70m de su pie. 14. A una altura de 23. a 5 millas de distancia entre sí tienen los valores de 30° y 45°.000 pies. Él encuentra que los ángulos de depresión a dos postes indicadores de millas. el piloto de automóviles salen de la intersección a un avión mide un ángulo de depresión las 14:00 horas. 330. Para la figura que se muestra el triángulo ABC es isósceles. 405 sin 12. 9.7. Una pirámide construida en el desierto tenía una altura original 480 pies pero debido a la pérdida de las piedras de su punta ahora es más baja. Encuentre la altura actual de la pirámide usando la información dada en la ilustración. él determina que los ángulos formados entre dos líneas de observación a los faros y la línea del barco perpendicular a la costa son 15° y 35° a) ¿Qué tan lejos esta el barco de la costa? b) ¿Qué tan lejos esta el barco del faro A? c) ¿Qué tan lejos esta el barco del faro B? . formando un ángulo de 60°. ¿A qué distancia de la ángulos medios para hallar las luz está el avión? funciones para 105°. uno viaja a 50 millas/h de la luz en un aeropuerto y encuentra y el otro a 30 millas/h. Utilice identidades de suma de ángulo y que es de 30°. El piloto de un barco en el mar divisa dos faros que sabe que están separados 3 millas en línea recta a lo largo de la costa. determine: a) <BAC b) <CAD 10. Calcule la altura de la torre. Dos 11. Dos carreteras rectas divergen utilizar calculadora. ¿Qué distancia les separa a las 14:30 horas? 13. Un piloto está volando sobre una carretera recta. El ángulo de elevación de dicho punto a la cúspide de la torre mide 30%. a) Determine la distancia del aeroplano al poste con ángulo de depresión de 30°. b) Determine la altitud del aeroplano. 8. Encuentra la cierto punto del plano es 30° y en un distancia entre los dos botes si el punto punto situado a 100 pies más cerca del de observación está a una altura de edificio es 45°. La llamada a la estación Able indica que la posición del barco es de 35° al norte del este. b. La estación Able de los guardacostas se encuentra a 150millas al sur de la estación Baker. . a. la llamada a la estación Baker indica que la posi9ción del barco es de 30° al sur del este. edificio? ¾ PEQUEÑOS RETOS 1. El ángulo de elevación en alineados son 30° y 45°. Desde un punto de observación. En un memento dado un avión se encuentra a 5 km en la horizontal de un observador y el ángulo de elevación es de 15°. Un hombre de 5 pies 9 pulgadas de altura se para en un andén que se inclina hacia abajo con un ángulo constante. Un barco en el mar envía una llamada de auxilio la cual es recibida por ambas estaciones. El ángulo de 35° depresión desde la mayor altura del hombre hasta la punta de su sobra es de 31° encuentre el ángulo α α como se muestra en la figura formado por el Sombra andén y la horizontal. La base mayor de un trapecio isósceles mide 14 m. Encuentre el área del trapecio 2. los 20.15. En la siguiente figura encuentre el valor de x en términos de los ángulos a y b y dé los lados m y d. ¿cuánto tiempo tardará en llegar a éste? 16. ¿A qué distancia del barco se encuentra cada estación? 17. Si un helicóptero que puede volar a 200 millas por hora sale desde la estación más cercana al barco. ¿Cuál es la altura del 4000 pies. Los lados no paralelos miden 10m y los ángulos de la base miden 80º. ¿A qué altura en metros vuela el avión en ese momento? 18. Un edificio se levanta sobre un plano ángulos de depresión de dos botes horizontal. 19. Encuentre la longitud de una diagonal. Un poste vertical de luz situado directamente detrás de él proyecta una sombra de 18 pies de largo.