Niezgodzinski_-_Wytrzymalosc_materialow1

1- [ 1 ~. ~~l - ) - ~ - . 1 ~ . 1 ~ 1 . I _. - 1 . . 1 !- ~ 1 - l : I WYDAWN[CTWO NAUKOWE PWN WARSZAWA 2002 ............... malosc material6w Michat E. Niezgodzinski Tadeusz Niezgodzinski Wydan le pjWJaste ;~MnieItol5ka ~ :" Okladke i strony tytutowe projektowala I Copyright .© by Wyd~wniclwo N a ukowe PWN SA Warszawa 1m lSBN 83-01-12484·9 Wydawniclwo Naukowe PWN SA 00-251 WarSZ.1wa. ul. Miodowa 10 ret: (0-22) 69:).43-21 faks.: {0-22) 826-7l-63 e-mail: [email protected] futp:ffwww.pwn.com.pl . 1 Spis trescl l'rz.:o.llllLO\\;L . WST~P L P~".h~;L\H>\-\-': r><>j\"-.;i,t w)'~r7.YIII~I.w.:i In'll~rial':'w . u. PuL miot wytr7.~'m~lr{)5t."i matcrialow. Sit zewncrrznc i wewll~Lrme ciala . I .2. Dcf lLi..:j;1 llap..-.:reJi ..•••..................•••••.................••••. 1.3. Klasyfikacja {)bci;~:i:(:n ............••••••.................•...••..•.•. 104. 7-<1sad;1 de Sairu-Vcnum» . 1.5. U ~t;".!y jeduostek \Ii obrio..<=n~d( wytTZ)'maloSciOJ\\o)·ct. •.•..................•.• CztSt pi~nrsu PROSf£ PR Z \'P ADKJ 08CI ",,:tIN IA 2. R ,m.:j;Ij,!!~ 11 it." i seiskuuie . 2.1. Prawo Hool-:£a , . 2.2. Wyh~~ ro7.Ci'lgani~ stuli niskoweglowych . 2 . .1. W)'h~s)" rozciagania innych materialew . 2 Naprczcniu dnpuszczalnc. WSrOkzy~nik boczpiCC7.l:iistwa . 2.5. ZaS<i~1 ~ supcrpozycj i . 2.6. Ukhscly suuycznic nicwy naczaluc . 2.7. NaJlf\'7-Cllia w picrscienlu poddanym dzlalaniu cisnieuia wewnetrznego . VI. En~r~i~, odkszuslcenia SPJ~·7.y~L,go w precie rozciqganyrn . J. "0'11 i 7.~ Del rr~ITji i 00 k szta keii ' .. . . . . . . . . . . . . . . . . 11 IJ D 15 15 16 17 19 19 20 22 25 27 28 JO J2 34 I l J 6 Spis trcsci 3. L AnaliUl napr~Zeii w jed nokicrunkowym sta nic napirc;8 . . . . . . . . . . . . . . __ 3_2_ Naprezenia w dwukierunkowym (plaskirn) sta nie napi<;<:'8 _ . _ _ . _ . _ . J.3_ Metoda " .. ykresl n.a Wpl)a~7..anta n.apr~7.cn_ K oILj M "h", _ . . . . _ . . . . . . . . _ . _ .. J.4. A naliza nBpr~Zeii w plask i m stanie n~ piecia ... _ . . . . . . . _ . . . _ . _ . . . . . .. J. 5. Wyznaczarti~ naprezen g!()WJly<:h w plaskim stan ic 118 j}1\7CIl ia _ . 3.6_ Uproszcwn~ analiza n.apr~Zeii w przesi rzcnn~m s~ anic naprezcn ia . _ . _ . J. 7. Zmiana wymiarew poprzecznych rozciagancgo 1'1"<;:18, lie t ba Poi ssonu _ . },S_ Odksztalcenia w dwukierunkowym (plaskim) stanic uapiecia _ _ , . , . , , , . },9. Prawo Hcoke'a w troj",)'miarow),m {przestrzennyrnl sranic tli.!pi~"<;i'l _ , _ . _ .. 3,10. Energia sprezysta ; zmiana objetosci rnatcrlalu w tr<)j kicrunkowym 51<111 ic 11,1 prezcn i,1 .' 4. Scinanie 4_1. Czyste Kina nie , _ . _ . . . . . _ . _ . _ . _ . , . , _ _ . _ . . . . 4_2, Prawo Hooke' a rr loY scinuniu , , _ , _ . _ . . . . _ , . '.' . . . __ . . . 4_J, Zaiezilosc mifdz~' modufcrn spr~l~'stl)Sci postuciowej (i ~ ",.,,_I u km Y"unge' /: _ .. 4.4. Energia sprezysta prz)' Scinaniu .... . , _ , . , . . . . . _ . . . ... _ . _ . _ . _ .. 4_5, Uproszczone obliczenia na seinanic . , , . , .. _ ... _ .... _ . . . . . , . , . , , , _ .. 5. Skrecanie pr~tc. .... 0 przekro] u ~ olowym . . . _ , .. , . , _ . _ . _ . . . . _ . _ , _ .. , .. 5_1. Opis odksztalceri preta skrecanego . . . . __ . _ , _ , . , . , . . . _ _ . _ . _ , _ , . _ 5.2. Analiza odksztajeen j naprezeu w pr~je skrecanym .... _ . _ . _ . . . . . . _ , . , .. _ . 5_3. Napr~nla maksymaloc i ~ ~t skreccnia pr~ta . , _ . . . _ .. _ . _ . . . . , . , , ... , _ . _ . 5.4. Biegunowy moment bezwtadnosci J 0 przekroju kolowego _ .. , . , , _ . _ . 5,5. Obliczanie wytrzymalosclowe ..... atu pelnego . . . . . . . , _ , . , _ , _ . _ . . . . . . . . . .. 5.6_ Energia sPn<rysl.a w precie skrecanym _ , . , . , _ . _ _ . _ , . , , 5,7. Praca i moe rnomen tu skrecajaeego . _ . _ _ . _ . _ , .. , . , _ . _ . _ . . . . _ . _ . _ .. 5.8. Waly wydrazone .. , . , . , _ . _ _ . _ . _ , _ , _ . _ .. ' _ _ . _ , _ , , 5.9. Stal}'CUlie niewyznaczalae przypadki skreeania ""~lo · .. _ _ _ . _ , . 5.1 0_ Naprezenia ",. sprezynach sruoo",.~ch .. , . , . , .. __ . . . _ _ . . . . _ , _ , . , _ , . 5,1 I. Obliczanie od ksztalcef spn;:z~1l Srubo",)"Ch . _ _ . _ . _ , , . , . , . , _ .. O. Skrecanie swobodne pr~tow 0 dowolnych ksztaltach przekrojow poprzccznych _ . 6_1_ Rozkfad napr~ieii stycznych w pr~taeh skrccanych . _ . _ . . . ... _ . _ . _ .. _ . _ , . , . 6.2. Analogia hydrodynarn iczna . , _ , _ , _ , . _ . _ . _ . . . . . __ . _ . _ , . , , . , , , _ . _ . _ . . . . _ 6.3- Swobodne skrecunie (l1"f1oW ci~nkosdcrlll]ch 0 przekroju 7'Lm~lli~l:im. Wzm~ Ihc.[m , . 6.4. Swobodne skrecanie Pl"lt'tow 0 przekroju proSloKlIl n ym , . , , _ . _ . _ . . . . _ . . . _ . _ . _ .. 0_5. Swobod ne i nicswobodne sk ... canie pr~to"" .. _ . _ . _ . _ . _ . . . . . . _ . _ . . . - , . . , . , - , 6.6. Swobodne skreeanle pr~(iiw cienk(lSciennych 0 przekrojuch otwurtyc] - . - . 7. M omeuty OCzWf.1J nosci [igu r pJ.lskich _ _ . _ . _ . _ .. - - - .. , . , , . 7. I. MOlDen t bczwladnosci w7.,g~ .. km osi - . - . . . . - . - . - . - . . . . - . - , . , . . . . , 1.2, Momenl~' bezwladnosci wzgledern osi rownolcglych. WZ"lI" Steiner: - - . r .3. Odsrodkowy moment bezwladnosci ... - ... - . - . - .... - . - . - - - . - .. 1.4, Wzc.r Stei nera dla odsrodko .... ych momentow bezwladnosci . . . - . - .. - . - . - .. 1.5. Moment bezwladnosci wzgledern uHlltiu osi obroc-onych . - . - . - . . . . - . - . - .. 7.6. Osie gfQ".,'ne i momen ty bezwladnosci wzgledem osi glownych , - . , , , .. - , - .. 7.7. Kolo M{lhra dla rnomentow be7_wratinoSO .. _ . - . - .. , , . , . , . , , , , . , . , - , ..... :-.. Z~;~w"'" .. " _ ..... ' 1\ . ._ Uwa~ "g,tl nc. R"d7"j~ zgi,,~ 11 ia . 7~ 74 76 n 79 ~I SI I 7 S.2_ [kll,]j~j~ sil nnrmuluyeh. si! 'Il~q-.;h i moruentcw ~nqc}'ch .. _ - . - . ILk Z ..... ,~~~k mi~"lVy sil~ u'~G:!. rnomentem gn~C}'m i obci~~hmiem ~i~~I~m - . , . , - . - - . 11.4. W)"krL'~}' •• 1 tn~..:y..:h i "'''''ll~llll)I'o' g11'19"Ch . , .. , _ . , .. , .. , . , , , . , - . , - .. , 11.5. Opis oob~wke,i belki poddanej czystemu zginaniu __ ... _ ... , , . , - , , . , , . :-(,6. Analiza nar~}cri. ",. precie zginanym , - . _ - , - - . , . - _ - . , . , , - . - - . ~.7. Wilioski i uogolnlemu wynikajuce Z przedstawionej teorii cz)'stego z~jnani.a , - , ,- , .. 8.1':. Elelli <~ rownomiernej wytrzymalosci na zginanie .. _ . _ - .. - . , .. , , . , , . , , . ~. 9 _ Zginunic u kosne _ . _ . _ _ . _ - .. - . - - .. - - - ~, I (). Euergiu ~JlJ>'zysta w p~~ileh zgi n~ nych _ , , . , , . , .. , .. , . - , - . , - .. , - .. - .. - 95 96 97 101 lQ3 107 108 110 112 Cz#C drmgl. WYrR 1.. YM AWSt ZLOZON" A 9, Hiplll~~)' w)'trlyrn~'!u5cinw~ ,_, _ .. , , . , , _ ... , .. , .. , _ . , . , , . , . _ , _ . , - , , - - - - .. - 9. L Wr rn",-;] tl7~11 ic .... , _ , _ . _ . _ .... , __ . _ . __ . - - . - - .. - . - , . - , - . , . , , .. , . , , . 9_1. BirnleW najwi<;hzydl Ilapr"i:cii normalnych (amaJ ' - . ·)_.l. Hip" LL·'" nuj ..... i"kvcg<. wydiuzcn i a wZ!ll><l ncgo (~m~) - . - . - - .......•.•.•.•••... 9.4. Ilip<ll~Z;l najwi~ks7.)'cf-. !lapfl;'Zeli ~ ""IC)'Ch [t J _ . _ . . . . . . - - . - . , . "_5. liipulo<L Huberu _ . _ . _ . _ . _ .. __ _ . _ - . - - . - - - - - - . "',f., Praktyczuc wykorvystuuic hipotcz wytrzyrualosciowych, Napr~nia zrcdukowanc . 115 115 11~ 116 117 IH! 120 1(1, r ....... suiwowc przypadki wytrzymalosci dozo~.;j .. , , - . - . , - . - .. - . - - - . W.L Zgi"~I1[e j skrecuuie _ _ _. _ - - . 10,2- Zginunie i scinunie _ . _ . _ __ . _ .. - .. - - - - - . - - - . ](U_ Rm.kiatl ]]~ pr~7dl tn~~')'dl \Ii bdkuch 0 przckro] U prostok ~!nym , _ .. - . - - . 10.4. Rwklml n:lpr'tidi s.y..:mych {Ln~ych) w belce 0 przekroju kolowym . - , - .. , - . - - . 10_5. Rmkl~u ll~pr~7<:'i .n;lc~'cf-. \Ii bclcc 0 przekroju dwuteowym , . , .. , .. - .... , . , - - , 12J 12J 126 129 130 132 Cz~ Erzecia 1.1 NIE ucrrcr A BEl[K 135 135 136 I L M..-[Ot.I~ mm I i tyczua I'o·}"7..n~a..an ioL li"ii ugiecia bclck .. - - . . . - - - . 1 L L R.) .... JlOLni~ rozlli~z(wl'oc [illii ugiecia , •••• , • , , • , •••• , •• , • , , ••• , • , , - . , - - .. 11.2, Linia ugiecia bcl~i wspornikowej . _ .. - - .. - - . I LJ.. Li11j~1 ugi~i3 bel k i pu.lr~ rtej na koncach, obciazonej srod ku si i'l s.kupiotl.{ P oral na ~,Lk; til ugosci oo..·i"i:enicm ci~ glym q - - . - . - .. - . , .••• I 1.4. Li nia ugi~d~ bel ~ i podpartc] na koncach. obciazonej para sil 0 morncncie M ~. , . , .. ~ 1 .5. Li t.~a ugiecia bclki pl)l.!p~ rtcj nu lOriC3Cf-.. obciazonej si ~ poprzeczna - - - - - . I l.6.. U proszczony S~"H.J-S.Ot> "'yln~cz~ nia stalych calk()\' .. a nia. M etoda Clebscha , .. , .. - , , - II, T. Zastosowanie mcrody Clcbschu do belck zginanych par~ sit 0 rnornencie M{>i{loci~ieni~m L·i :!g!~'rn q _ . . . . . , .. _ , . , . , , _. , , .. _ ... , , , . _ , . , _ , , . , .. , , , - , - - , - ..... lJ9 141 143 145 146 150 l1. M~h.,..I;1 ..... ~'kn::51110 .. analityczua wyznaczania linii ugiecia ..... _ .... - . - ..... , .. , . , , 11. I. ;"I.·fc toda l'iyhd!no·an alit)'C7Il;1 y,.pnac7.artia hnii ugiecia belek (metoda obci~7eri l'<1c.r- nych) ,_, _ , , , .. , , , .. _ ..... _ .. _ ... _ .. _ .. _ . _ .. - . - . _ .. , , . , . , . , , 12,2, l'r'J klady ;'<1 sros " wa 11 i a meted y Yo)' kreslno-a nalirycznej - . - . 150 151 ~. } 8 I f Sj1is trcsci 13. Wyboc:zenie .. . . . . . . . . , ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,.. . . . . . , 13.1. Utrata statecznosci (wyboczenie) preta sciskanego , . , . . . . . . . . . . . . . .. , , , . 13.2. Inne przypad ki wyboczenia pr~tow , . , , , . . . . . . . . . . . . . . . .. , , . . . . 13.3, Napr~nia krytyczne, Smuidosc prera , : , . , . , . 13.4. Granica stosowalnosci wzoru .Eulera. VIl7.(H)' Tel majora i Johnsona - Oslcflf~ IJ~ , . Cq:s.c cz'lurla sV.n'CZNrI: NIF.W\'ZNACZAE.NF: I ZI.07:0,\lE i'R:t,yPAIH .. I ZGJNAN IA BH EK J 4, Slatya:nie lliewYLrmczalne prz)'paJki zgi nania bclek . .... , .• , ', , , 14.1. Jednok rotnle sta L~'C1.11 ie niewyznaczal ny przyklad zginania bel ~ i .. 14.2. Dwukrotnie M~ tycln ie n ic .... yznaczalny przyklad 19i nan iu bclk i . . . . . ,. ,. 14.3. Obliczanie ram . , . . . . . . . . . . . , .. , . , , , , , . , . lolA, BeJki na trzocfl podporach .. , . , . , , , , .. , . , . 14.5. Iklki wielopodporowe , "., , 14.6. Rbwn~nie rrzech rnomentow , , . , , , . , . 14.7. Obiiczanie belek za poom0C4 rownania trzech morncntow , . , , . , 15. Bel ki na p<Xl!CIiu 5ptrzyst}'m , . , . , , . , , . , .. J 5.1. In terpretaeja !izYCZIla kolejnych pochodnych rownanin Ii nii ugi~'Cia hd~ i , , . . . 15.2. Rbwnanie linii ugiecia bel ki spoczywajaeej ntI podtozu spr~'l":>[yln , . , . , . 15.3. Rownanie linii uglecia bel ki dlugiej na podlozu srr~:i:y~Lym , . , . , , . I 6. Pr~ty smukle , . , . , , ' , .. , 16.1. E'n<ly smukle sciskane i zginane , . , , , .. , 16,2, Pn~ klady obliczania pr~tow smuklych 5c~shnYl:h i zgi nan ycl 1 •••••• , • , , • , ••••• 17. Zginanie p~t ow silnie zakrzywionych , ' , .. , , 17.1. Rozklad napr~i;eii w zginanyrn precie si1nic zakrzywi l>nym .. _ , .. , 17.2, Wy:znaczanie prornienia krzywizny wa rstwy obojetnej \',' pr~[,,(:h siluic z.ah~y"ilJ nych C~f:St piltl. 1\1ETOO\' l:N[RGETYClJ";~: 18. Energia sprezysta u klad u lmiowosprezystcgo. Fwicrdzen ic Cl~L.~lj~ 110 , , . , , .•.. 1 K L Energia sprezysta w pretach rozciaga nych, skrecnnych I u h ,~jnanyo;;h , , . , ' , . HU. Energla Sp~'51iL 00 sil tnacych , . , . , , . , . 111.3. Wror ogolllY na ener~i~ sprezysta w pretach pronych , . , . , ' , . 18.4. Sil .... uogelnione i wspelrzedne uogolnionc, Ukl~o.l CI~~'IC~'lOll~ . . . • . • . . . . _ . . . . 18,S, Twierdzenie Castlgliano , , . , , , . , , , ' , , , . , . 18,6, Obliczanie przemieszczeri Pl\!tow r.I pornoca twierdzen iu CLs1 igl i.mo, \\' prowudzume <i t dodatkowyeh .. , , , , . , . , . , , , . IS,7, Uwagi dotyczace zasady superpozycji metodach energetycznych .. 19. Twlerdzenie Menabrea i zasada !:!cltiego , . , , . , . , , t~5 L65 Il'i~ 17() 17J J 75 1m j7';l 212 214 IS5 155 15~ fW 1W Spis tresci I·J.I. T t~rt!7L·.,i~ M~n"l'n.:~l , , , . , , , , , . I '}.2, Oblic'A1 n ic SLalj"C'l J1k Il icwyznaczalnych belek i ram za pt:ImOCij l wierdzenia Menabrea I'},J, Zao:.at!a symcrrii i untysyrnctrll .....• , •• , , •..........•• , •• , , ..........• 19.4. Z~""J" wz.:Jjcmnos..:i pmc [Bcttiego) i wl.ajelllno:ici przcmleszczen (Mn ella) . 217 21" 221 224 227 :W, R':H\Il,mi~ MJt~wdb - Moina , .. , , . , , .. , , . ~O. I. W}"7.n~lC7~lll ie przemicszczcn 'Ii ukladach statycznie wyznaczalnych. Metoda MaJI",o.ella - Mohru . . . . . . . . . . . . , , . , , , , , . ~O, 2, U proszczonu ruetoda obbcza Ilia calck we wzorze Ma~ wella - M oh ra .. , . ~O,.~, I' ;ykl~d}' obliczania .xlkYla!ccri za pornoca WWTU Ma~wdla-Mohra , . ~O.4. R<) naniu Ma~"'dl~- Mohra , , , , , , . ~O, 5. I]r~~ k f~d ;07.'A·jFy,,·anL~ uklad u sratycznie niel1t}'1naczalnego za pornoca rownan M ax- wdla - M{>h m ,.."."." " ••••............ , •••• 227 22~ 23J 235 237 Cz~ SZOstl WY KR AN E ZAG A DN 1£N1A ',"'l'TRZ '·MALOSCI MATERIA LOW 2 L Zgi Il anic plyt cicnk iell , , , , . , , , , . 21.L. W~km "C 19in~mic J11yL "., .. , ,., .. , . 21 . 2. I)",~ wzajcm n ic prostopad tc o.ys!e zginania pf}'1 , . , .. , , . 2l ,J. Obllczanie pl}'1 I;:ol<) osymerrycznych , .• , , • , , . , , , •.•.... 22. Obli~;"mic n~eqiL cicnkoscicnnych, wr gruboscicnnych i kr'l;iko,,"' ""iroj~9'Ch . 22.1. N~pr<,:'7.cll ia br"now~ w pewlokach osiowo~~mCIf)'\.'7.n~'dl , , . , . 22.2. N ~ prezen ia blonowc w pO v« locc 1 ulisle] .. , , , . 223. N:.J"II" ·~Jli~ blonowc w zbiorniku walcowyrn , . , , , .. , . 22.4, Napro;~Jli~ blonowe zbiorniku Slu:i:~owjm . , , . , , .. , .. , . 22 .. ~, N ap,""j.o; Ilia w rurach gruboscicn nych (zada nic La rncgo) . . . . . . , .. , . , . 22.6. Oblicza Ll ic wi ruj;j~y~h h~i.k~'I'o' 0 s!~ kj ]!ruboki , .. , . 22.7. Kr~7x:k wiruj~cj· 0 rowll~j wytrzymalosci . , , . , .. , , , .. , . N~ N~ 250 251 252 251 25(, N 2}, S.rooo:k si t pOpf7L'C'-IlYCh. i n icswo bodne sk recanie P <'i ' , , , .....•...... , • , • , , .... .2J.l. Srodck sit pOjli"ZC'L71l}-":h. , • , ., . , , • , , ............•• , , • 2~.2, W},lna("1'.an lc polozc Ilia srod ka sil poprzecznych .. , , , . , . , . . . . . . . . . . .. , .. , , . ~~.J. Przyklsul y ","'YJ'naC""l i;L pofL'7l:~ia srodku sil popr7CC7.l1 ych . , .. , . , . ~.~.4, Nicswobodnc sk~~~llie pr~IOw , , , , , . , .. , , . ~~_5. Ni~'S obodnc ~kr~ .anie Pl1'la 0 przekroju d ureowym , .. , . , . ~4. ;\I"~n~'i:CJli,, h,n!"~'uwe {Jociskow~) i spicrrzcnie napr~cn , .. , . , . .!4.1. N;Lpr~}~ni~ dociskuwe, W,ory licrV-'.l , . , , . , , . 14,1, Nap1\'7:cnia zrcdukowunc pr7.j· sciskuniu kul i watkol'{, Wzory Bielajewa . , , . , . .!4. J. S~)i~ Lr;.o;;ai~ Il ~rl~7.~Ii. W 5p.:ik~~·n ni k ksztalt ~ . . . . . . . .. , . , , . , , , . 15. Zlll~'~'<':llie ill" kriar., , , , , . , . , . , , , , , , , , . 15. I. Zj;,wis kt} nn~'L'J'cni~l j roJ,.ajc cy~ Ii napr~7.di , . , .. , , , . , , , . ~ 5. 2. WytrJ.}'m~ltl$C 7JlI~~7.O:Il iowa przy cyk lu obust ronnyrn, Wykres Wohlera . , . 1~U, \V}~fJ'.}' ~lo~ ~m't·.'~nLu a pr7.y cyklach niesymetrycznych. Wykres Smitha i ,}hes II~i~la ,.,., ,', . ~S_.:l, Wply ..... 'pi~LrA·nia tt'.llJ~h·n i innyrh czynnikow 11<1 wY~Hjmal~ zmeczcniowa , , .. , 2~11 2klt 2~j I . ~ PRZEDMOWA Niniejsze XV wydanie podrecznika zawiera pelny zakres wiadomosci Z wytrzymalosci rnaterialow dostosowany do programow realizowanych na wydziatach rnechanicznych - i pokrewnych - wiekszosci uczelni technicznych, Omriwienie kazdcgo zagadnienia zawiera szczegdlowy opis fizyczny obserwowanych zjawisk, a nastepnic ich matematyczny zapis prowadzacy do konkretncgo wzoru koricowego. Praktyczne wykorzystanie kazdego WZOfU ziiustrowano kilkoma przykladarni. Pclny wybor zadari znajdzie Czytelnik w pracy autorow Zadania z wytrrymalosci materiakiw, Warszawa WNT. 1998 r. L6di.. pazdzi ernik 1999 r, Autorzy J J [ J 1 WSTI;P 1 PODSTAWOWE POJ~CIA WYTRZYMAlOSCI MATERIALDW 1.1. Przed m iot wytrzymaloSci mate ri al6w. S Uy zewnEttrzne wewnEttrzne ciata Wytrzymalosc ma terialow zajm uje sie badaniem sil wewnetrznych w cialach, aby odpowiedziee I1J:l. pytanie, cz:y pod wplywem danych 0 bciazen w jakims obszarze ciala sily wewrietrzne nie osiagna zbyt duzych wartosci, cry cialo "w1'trzyma" dane obciazenie. Druga, rownie wazna dziedzina badari wytrzymalosci malerial6w jest analiza odksztalceri cial i konstrukcji. W wielu przypadkach ocena przydatnosci konstrukcji uzalezniona jest od lege, aby odksztalcenia nie osiagaly zbyt duzych wartosei, u ponadto dzieki uwzglednieniu odksztalcen mozna bylo obliczyc uklady nierozwiazalne na gruncie mechaniki ogolnej, to jest uklady statycznie niewyznaczalne. Wytrxymulosc materialow jest nauka, ktora uwzgjedniajqc zdolnose cial stalych do odksztalcen zajmuje sir: przede wszystkim badaniem i ustalaniem zaleznosci odksztalceri od sil zewnetrznych dzialajacych na dane cialo, Zaleznosci te w wielu przypadkacb umoi.liwi ... j<j, obliczenia reakcji w ukladach, ktore nie moga bye rozwiqzanc n ... gruncic statyki cialu doskonale sztywnego. Szczegolnie waznll: role odgrywaja jednak odksztulcenia przy analizie sil wewnetrznych istniejqcych w cialach stalych, a W szezcgolnosci w ruuteriulach stosowanych w icchnicc, Dzieki obserwacji od kszt <I lee n 111 ozna bowie L11 ustalic rodzu je i wiel kosci si I we wnetrznych w roznych punktach ciala, w ktorych sily te osiagajq najwieksze wartosci. obliczye wartosci tych sil, co z kolei staje ~i~ pudstuwa do wydania sadu 0 pewnosci pracy danego elementu, o jcgo wrtrzymalosci, t 14 J f J, Podsta wowe pojecia U"}"I rzyrnalosci mu I ai.1 r.,,, W wytrzymalosci materialow bedziemy wiec glownic rozpatrywac (i;da poddune dzialaniu sil zewnetrznyeh. Pod nazwq sil zewnflrznydr rozurniemy sil.!' ~':Yl1I!e. t:zyJi o bci \lien ia, oraz sily bierne; czyli rea kcje dzialajace z zew nqt rz 11<1 du nc ci a 10. (1,,10 g;j [0 bye sity skupione, say powierzchniowe (np. cisnienia) lub sily objetosciowe (np, sily przyciagania ziemsk iego), W odroznieniu od sil zewnetrznych, rozpatrywac bedziemy ,~i(r H'('.H1~'(I·':I[('. z jakimi jedne czastki polozone wewnatrz ciala dzialujq na drugie. ol b) ~ ~< Rozpatrzmy dla przykladu cialo 0 masie In zawicszonc nu nici (rys. i , I a}. CiOlin [0 pozostaje W spoczynku, po n iewaz sila przyciaga n ia ziemsk iego Q = nlK rownowuzona j es [ reakcja nici, Prz.etn ijrny teraz w m j'sl i cia 10 Q w plaszczyznie I- r (rys. I. J b), Gd y by w p rzc k roj u tym, pomiedzy ~sd" dolna 0 ciezarze Q If i Q.\Sci<! go rn,~ Q nie dziuinly zadnc sil y, wowezas cz~ dolna natychrniast opadlaby na dol, Skoro w ;"'cczywistosci nie opada, oznacza to, ze utrzyrnywana jest W rownowadze miedzyczasteczkowymi silami spojnoSci, sprowadzajacymi sj~ do wypadkowej S rownowazacej dziulanie sily ciezkosci Q e- Te wlasnie sily spejnosci, wewnetrzne dla calego ciala, -'><1 silarni zewnetrznymi dla rozpatrywanej Z oso bna jego czesci gornej Iu b dol nej. Gdybysmy chcieli okreslic, elY cialo Q nie jest w przekroju I-I za cienkie, czy np, czr.s.c dolna nie urwie si~ i nie odp a dnie, musielibysmy przeljczyc poleprzekroju l-I. rozpatrujac sily dzialajace na rozciete w mysli cialo, Sit~ wewnetrzna mozna zatem wyznaczyc wowczas, gdy naJamy jej churaktcr sily zewnetrznej, Nalezy w tym celu przeciac w mys!i ciulo w rozpatrywanym miejscu i okreslic, jakie sily zewnetrzne nalezy przylozyc w danym przckroju, uby odcieta cz{:..I.C ciala pozosta wala w rownowadze. Wszelkie podane w tekscie rozwazania dOlYCZ'! cial izotropowych, lj. majacych jednakowe wlasciwosci we wszystkich kierunkueh, a strukturu tych cial rna cechy ken li nuum rna terialnego. J J I [,2, Dcfi nicj a nal'r~n 15 1.2. Delin icj a na pr~i:en Sil;, wcwuetrzn .. S W)'LllaCZOL1U W sposob omowiony w poprzednim punkcie jest wypudkow. wszystkich sil spojnosci dzialajacych w rozpatrywanym przekroju, Wi elk osc j~j na ego I n ie 0 kresla w wystarcza j acym stopniu, jak ie sily dziala j 'I w poszczegolnych punktach danego przekroju ciala. Moie si,. bowiem zdarzyc, ze w niektorych punktach przekroju sily mi¢z},cz'lsteczkowe osiagna znacznie w~~k.sze wartosci nil. w punktach pozostalych. Jczeli na nieskonczenie malym polu przekroju dE wypadkowa sil rnifd,zycZ<1steczkov v rych w yn OS1 d P, to i loraz sily d P przez pole dE nazywamy naprfieniem (ozn aczenic: rr]: dP a=dF" (1.l) 1.3. Klasyfikacja obcictzeri W zuleznosci od sposohu pr .... ylozenia sit zewnetrznych rozr6iniamy nastepujaee proste przypad k i obci ,! tell: rozci ,W~ nie lub sciskanie, zginan ie i sk recanie, Rozciqganie (rys. 1.2) lub ,Sci.~k.anfe (f)'S, 1.3) powoduja dwie sily rowne co do wartosci, przeciwnie skierowune, dzialajace wzdluz osi preta. Pretetn nazywarny takie cialo. w ktorym jeden z wymiarow (dlugose) jest znacznie wiekszy od wymiarow pozostalych (pop rzecznych) , O."i(l l"r1a nazywamy lini~ utworzona przez srodki cirzko;';i przekrojcw poprzeeznych pretu, R ys, 1.2, Rozciagan ic preta Rys. J.J, Sciskanie pnt'la Podane wyzej okreslenie rozciagania lub kiskania dotyczy pretow prostych, to jest t a kich, w k to rye h os preta jest 1 j niq prosta. Zginan«: preta powstaje wowezas, gdy sily obci<l,zaj'lce (Iub ich skladowe), SOl prostopudle do OS1 preta, a lillie dzialania sil znajduja si~ w pewnych odleg}os.ciach od siebie i leza w jednej plaszczyznie zawierajacej os preta (rys, 1.4}. rid) R)'s, 1.4. Zgiuanie p~Ea • l6 I 1 1. Podstawowe pojecia w~trlymalosd materia fii-w Skrecanie preta wywotujq dwie pa ry siJ dziala jace w d woch rozn ych plaszczyzna ch prostopadlych do osi preta (rys, 1,5). p Rys, l.s. Skrecanie prera Podane wyiej przyklady ilustruja przypadki obciqzc/: pW.Jlyl'lr. Jezeli kilka obciazen prostych wystepuje rownoczesnie, mowimy wowezas 0 lI: .. rr::_rwalfl.{(·i zloionej. 1.4. Zasada de Sainl-Venanta Dotychczas omawiane byly ciala obciazone silami skupionymi, Przyjrzyjrny si~ blizej, co sie dzieje w precie w poblizu punktu A przylozenia si}y scisbj~Jl'ej P (rys. 1.6), Poniewaz skoriczona wartosc sily dziala ua bardzo maly obszar w otoczeniu punktu A, przeto powstaja tu bardzo duze naprezenia i ewentualnie odksztalceni u miejscowe. Naprezenia te rozprzestrzeniaja sie na caly obszar preta, jak to zaznaczono liniami przerywanymi na rys, 1,6. Przyjmuje si\. ze w odlcglosci oketo poltorej srednicy (I ,5d} od kosica preta rozklad naprezen jest juz rownomierny na p J f 1.4. Zasada de Salnt-Venanta calcj powierzchni przekroju poprzecznego preta, J~eh. ~I~ teg.o przekroju wynosi F, to ja k wyni ka z waru nk u ro wnowagi preta, naprezerue scisk aH,ce wynosi p a="'j' Opisane wyzej i przedstawione na TYS. l.6 zjawisk~ r?wno~i~m~go r~zkladu mlpn;zell dopiero w pewnej odlegiosci od rniejsca przylozenia obciazenia nOS1 nazwe :a,w(/y de Suint- V ("IWIUli 1. (i.2) 1.5. Uklady jednoslek W obJiczeniach wytrzymatosciowych W obowiqzujacyrn obccnie ukladzie jednostek Sl najwuiniejszymi jednostkami stosowunymi w obliczeniuch wytrz)'malokiow},ch s~: jednostka sily - niuton (oznaczeuie N) l N = 1 kg'lm/s2 , jcdnostka momenta sily - uiutonometr IN'm= 1 N' lm, jednostka naprezeuia - paskal; tj. niuton na rnetr kwadratowy IPa = 1 Njrnz. Ta ostatnia jednostka jest bardzo mala, przeto W obliczeniach wytrzymalosciowych stosuje sie wielckromosci tej jednostki, np, megapaskal 1 MPa = 1 MN/rnz = W6Njm2 = IN/mml. l 1 ! I I J ~ J CZE;lSC pierwsza PROSTE PRZYPADKI OBCIJ\ZENIA 2.1. Prawo Hooke'a R OZCIJ\GANIE I SCIS KANIE W wyniku obscrwacji rozciaganych pretow pryzmatycznyca wykonanych t: roznych muterialow Robert Hooke (1676 r.) stwierdzii, ze wydluzenie III preta pryzmutyczncgo jest wprost proporcjona!nc do sily rozciagajacej P i do dlugosci POC?41kowej t pretu, a odwrotnie propon.:jonalne do pola F przekroju poprzecznego preta (r ys. 2.1): CPtl ~ (2.1) z ~ I I - I -f- I-- :T ;; J f 1. Rozciaganle i sciska n ie Stwi~rdzeni~ ujete P~W}'lsZj:m wzorem zwane jest prawem Hooke'a, wystepujqcy ;.oilS W mianowniku wspolczynnik proporcjonalnosci E nosi nazwe modulu sprr:rsto.id przy rozciqgani!llub modulu Younga I (1807 r.). . . W wielu prz~ .. ~ad kach wy god ~ie )es t operowac wyd I uzc n ic rn. ja k ie go d oznaje jednostka dlugosci preta. Wydluzeme to oznaczamy I; j nazywamy ~.Tlth{::!'niem wzglrdnym lub jednostkowym: . . (2.2) N aprezenie rozci agajace w precie zgodnie ze wzo rem t l .2) w}' n osi [IJ \2.3) zatem prawo Hooke'~ wyrazone wzorem (2.1} przedstawic mozna w postuci: I G = f.E. (2.4) Dla wj~kszoii.ci mat:rial6w stosowanych w budowie rnaszyn prawo Hooke' a stoso~'ac. mozn.a z~rO\"no w przypadku rozciqgania, jak i sciskaniu, przy czym IWFFrzema rozClqga)qre oznaczac bedziemy zn a kiern plus (+); .i'cish.JjWe zas znakiem IIIInUS (-). . Zjawiska specjalne, dotyczace sciskania pretow dlugich. omowione b~tI'f W TOzd7.. L 3, traktujacym 0 wyboczeniu, J~k widac ze wzoru (2,2), wydluzenie wzgledne jest liczba niernianowanq (bezwyml~ro~fI), prze l~ mod ul You nga [jak wyn ika ze wzo ru 0.4)] m U wym iur naprezenia. Dla stali (w temperaturze pokojowej, tj, + 2(}T) modul ten wynosi £=2,1.105 MPa. 2.2. Wykres rozci ~ga n ia staU njskow~ 9 I owych . Sposrod wi~lu ma.leri.ah)w stosowanych w budowie rnaszyn i konstrukcji najszersze zasl~~owame z~aJduH stale niskowegtowe, t]. siopy zelazu z weglem, w ktorych zawartosc wegla m~ p~e~rdcza 0,30%. Stale l a kie nie dOlj<! si~ hartowac i 7. tego powodu zwane sa rowruez stulami mirkkimi. Jezeli od~n~k pr~t~ lub .specjalnie przygotowana probke wykonanq z takiej stali poddamy probi e rozci aga ma, to wykres wydluzen wzgledn ych f. w znleznosci od nuprezenia 0- bedzie miec postac przedst a wiona n a rys. 2.2. I Th urnas Young {17n - I 829}. 21 W poczqtkowym okresie rozciagania wydluzenia wzgledne S S<:l proporcjonalne do nuprezen (T i na wykresie rozciaga n ia otrzymujerny prosta OA I. Gdybysmy w tym okresie przerw a li probe rozciagania, to po uwolnieniu od sily roz.cillgaj&cej probka wrocil a by do swej pierwotnej dlugosci, tzn, wykazalaby cechy sprezyste, R ys. 2.2. Wyk res rt)7.Ci~gania ~'aIL niskowcglowej (sial St3) Ocena tego, jak Wj'~OkO na wykresie rozciagania mozna umiescic punkt A. aby odcinck OA uwaz a c 7 ... 1 prosty, podobnie j a k ocena, gdzie urniescic punkl B odpowiadajilcy uajwiekszemu nuprezeniu, po ktorego usunieeiu probka wrcci do swe] pic rwo In ~ j d lu gosci, zalczy w duzym stopn iu od do klad nosci przyrzadow pomia ro-: wvch i od zusrosowanych kryteriow oceny, Na kongresie normalizacyjnym w Brukseli (l.9(}{i r.) przyjcto, ze umowna grauica sprezystosci (I"'i"F (odpowiadaj,!C4 punktowi B ua wykrcsic rozciagani a , rys. 2.2) jest taka maksyrnalna wartosc naprezenia, ktora spowodujc, :I.e po usunieeiu sily rozciagajacej pozostale wydluzenie wzgledne, zwane wydluzcniem trwalym, bedzie wynosilo 0,001 %, Szczegolowe kryterium oceny pro,~toliniowoscj linii 0..1, a wiec okreslenia najwyzszego poioienia punktu A na rys, 2.2, nie jest ujete normami, Punkt A okreslajacy grantee proporcjorlQ/nosd GpcOJl' czyli inaczcj rnowiuc grwlicf stosowalnosci prawa Hooke'a[~ozOr (2.1)}, lei:y w poblizu punklu B i w praktyce przyjrnuje sie, ze obie granice, aczkolwiek dotyczace roznych cech fizycznych, maja jedna wspulna wartosc: °P"'J> = O"Sj>rp . Jezeli naprezenie rozciagajqce prcbke przekroczy granice sprezystosci, to wydluzcniu wzgledne <. nie bedu juz wzrastac liniowo; na wykresie rozciagania ntrzymany odcinek l.; rzywoliniowy Be. I Tallgl'ns ~41a ~,jaki twor7.~· odcinck VA 7. Q!i:<j t; jest [uwny - OW" pewnej skali - modulowi Younga E, jak In \>i")·nib A! wzoru O.4}. ·~~.;~:j~}. l': . . r' stare niskow~.g1owe.maj~ taka wlasriosc, ie po osiagnieciu punktu C (rys, 2.2) bel. wzrcst~ napr~zen ~ozcl"gaJQg.'ch nastepuje przyrost odkszlakcn plastyeznych, Na ~~resle rozcragama olrzymujemy Ifni~ poz[om'l CD. a odpowiudajqce temu nuprezenia zwane s! granica plastycznosci {l'pI.'-! (ozuaezenic wedlug norm R". dawuicj Q.). Kontynuujae ~roces. rozciagania, widzimy, it! po osi<!gni~tu punktu /) dulszy wzros~ o~hzlaken ~ zwiazany Jest z przyrostem napn;i.cr'i fi i trwa to do chwili • guy napr~~en~a O~l'1~n~ pewn'l maksymaln'l wartosc okreslonu punktem K. Tc naj\V'i~kStJ,~ napr.~zenl~> jakje rnogla przeniesc badana probku, nazywamy ."Ylr:ymar(J.~(·il~ Ira rozctqganie l.~b wytrzymalosctq dorainq materiulu i oznaczumy R", (duwniej R,). ~vtrzrmalosc .na rozciqgmlie Rm jest wi{:'c ilorazens IJwhyw(J{lIt'j .Yi(l' m=dltKaiq('('j P uZJ'skane'j W p . . . 'bk' m;'~ . roceste rozctqgama pro I przez pole F przckrojn pO(';qlk(}1L'~'go probk!: Po osiagnieeiu naprezen R", ~' pewnym miejscu rozciqganej probki rmV'stajc Iokulnc zw~zen.le, tworzy Sif l.ZW. szyjka (rys, 2.3) i w miejscu tym probku ulega rozcrwaniu; odpowiada ternu odcinek KL wykresu rozciagania. Na wy.kresie rozciagania, przedstawtonym na rys, 1.2~ linj'l: ci,Jgk! ZaZI1,LCZOno wy~res reJe.str?wany. przez . urzadzenje samopiszace maszyny w}'lrzymalo~cjowcj. gdzie naprezeme ~ ob.hclane jestjako iloraz sa}' fOl.t:i'lg<lj,!cej P przcz pole F przekroju . ?OCZ<l:lk~w.ego probki, "" .PIF. Nalezy zauwazyc. zc z przyrostern wydluzen zwiazanc Jest .~meJ.sz;ame wyrmarow poprz.ecznych probki, W pierwszej [azie rozciqganiu zmmejszeme pola przekroju poprzccznego probk: jest srosunkowo mare. natomiust ~ p~~krocze.ni.u granicy plastycznosci n, rzeczywiste pole przckroju poprzeczucgo Jest juz wyrazrue mruejsze od pola F przekroju pOCL,!tkowcgo. ki.eh naprezenia w pro~ obliczac bedzierny jako iloraz sill' rozci;maj,!cej P przez rzeczywiste pole przekroJ_U ~oprzecznego probki, to otrzymamy wykrcs rozciugarua przedstnwiony na rys. 2 .. 2 hm<! przerywanq DX'L', przy czym odcinek it L' dotyczy napn,"zell rzeczywistych, Jakie wystepuja w najwerzszym przekroju szyjki (porownaj rys. 1.3,. 2.3. Wykresy rozci~gania innych maleriat6w P~zedstawio~}' na rys, 2.2 wykres rozciqgania stili niskom~glowych odznacza sie tyrn, le wyst~puJe tu wyrazna granica plastycznosci R; .. odpowiadajqca poziomemu 23 odcinkowi CD wykresu rozciagauia. Stale 0 wiekszej zawartosci wegla (tzw. stule hartowalne, pound 0.40%. q, stale stopowe, rniedz, aluminium, jak r6wniei SlOp), tych metali, w poczqtkowej fazie proby rozciqgania zachowuja proporcjonulnose odksztalcen do naprezen (podlegaja prawu Hooke'a), po czyrn sropniowo wydluzenia staj'l si ... corn wieksze i poczatkowo prosty odcinek wykrcsu rozciaganiu przechodzi Iagodnie w linie zakrzywiona, jak to przedstawiono Ila rys, 2.4 otrzyrnunym tlla stuli chromoniklowej, Wykres ten roini si-: od wykr c esu otrzyrnanego dla stali niskoweglowej (1')'8, 2.2) przede wszystkim tym, ze 11 ie rna ttl w}' raznej gru nicy pi ast YCZI'Ioki R~, pay ktorej przyrost wydluzen wystepowulby bez przyrostu naprezeri. Poniewaz jednak wartosc naprezen, przy ktorych zuczynaja sie pojawiac wyrazne wydluzenia trwale, rna duze znaczenie praktyczne, dla okreslenia takich naprezeri wprowadzono pojecie umowlIej granicJ' I'rm·lycznojci. K Rys, 1.4. W yk res rozciagania srali chromoniklowej Jczeli probe rozciqgania bedziemy przeprowadzali w ten sposob, ie po przylozeniu naprezeri {I' usuniemy obciqzenie (wrocimy z obciazeniem do zera) i zmierzymy odksztalccrue trwale probki, to znajdzicmy takie naprezenie okreslone punktern C na rys, 2.4. ze po przylozeniu tego naprezenia wydluzenie trwale probki wyniesie 0,2%. Umolmq grwlini plastycznoici (oznaezenie: 14.1.) nazywamy takie naprezenie, kiore wywoluje w probce wydluzenie trwale rowne 0,2%. Nalezy zauwazyc, ze jezeli po osiqgnieciu nuprezeri ~.2 odciazyrny badana probke, to na wykresie rozciagania otrzymumy linie C.U, przy czym odcinek OM odpowiada wydluzeniu trwalemu I~= 0.2%. Jezeli tcraz ponownie zaczniemy powiekszac naprezenia rozciagajqce, to o trzyrn a III y prost j' odcinek Me \If)' kresu, p rzy czym li nia M C bedzie rownolegla do linii OA otrzymanej w pierwszej fazie rozciagania probki, Rownoleglosc linii eM do \ I 24 J Iinii OA wynika z tego, ze modul Younga m a terialu nie zmienia siC; W czusie proby rozeiagania, a wiec kazda z t ych l inii musi l worzye jed na kowy bll t.c z osi ~ wyd I u tei'l wzglednych s (tangens tego kata jest rowny - w pewnej skuli - modulowi Younga E materialu prebki), Dalszy przebieg prcby rozciagania stuli hartowalnych, stopowych itp, przebiega analcgicznie jak dla stali niskoweglowych; na wykresie rozciqgauiu (rys, 2,4) otrzymujemy krzywq CKL 0 charakterze zblizonym do czesci DKL wykresu przedstawionego na rys. 2.2, otrzymanego dla stali niskoweglowej, i podobnie wyznaczumy wytrzymalosc na rozeiaganie R",. Obserwujac wykres rozeiagania {rys. 2.4) mozem y s t w ierdzic, ze male riat pro bk i wykazuje granice proporcjonalnoscl (fprof' odpowiadaj;!c,! punktowi A i umowna granice plastycznosci RG,l odpowiadajaca pun k towi C Ale ta sa rna pro bku poddana dzialaniu naprezen O"rrop' to jest po osiagnieciu punktu C i odciqzeniu, doprowadzona zostala do stanu okreslonego punktem JH i jest jakby nowi] probka przygotowanu do proby rozeiagania. Material te] nowej pro bk i ".,.y kaze ternz gran io; propore jonu 1 nosci odpowiadajaca punktowi C na wykresie rys. 2.4, a wiec \\'yi'~~i"~j od dolychcznsowej; rowniez nowa granica plastycznosci byla by odpowied nio W yzsza, T ego rodzaju podwyzszenie wlasnosci wyt rzyrnaiosci owych rna teria lu w}' n ikajace z wywola n ia w probce odksztalceri trwalych nazywamy umocnieniem pJW'(l'CI1YflL Charakter wykresow otrzymanych w czasie prob rozciaganiu ro;tnych metali przedstawiono na rys, 2.5_ 1200 aoo o • 2.4, N"p~l)i~ dopuszrznlnc. Wsp6R;z)'llnik bezpleczeustwa 25 2.4. Napr~zenja dopuszczaJne. Wsp6fczynnik bezpieczenstwa W Y I rzy n 1<1 iose na rozciqga n ie Rn wyznaczona w wynik u pro by rozel &ga~ia okresla wariosc sily zrywajqcej Pm przy ktorej pret 0 przekroju F ulega rozerwamu: P~=FR",. Nigdy jednak nie ruozua dopuscic, aby w elementach maszyn lub k~nstrukcji naprezenia osiagnely t~ graniezna wartose, aby dany element. ulegl zerwaruu. ~ celu za bezpicczen ia sie przed tu k OJ ewentualnosci <I nalezy przYNc pewna - m_epr.ze~ kraczalna w warunkach normalnej pracy - wartosc naprezenia, Z\ .... an'! naprezentem c/Ql'u.,';c;:;alnym na rozciqgonie i oznaczana k._ Obliczenie wytrzym.al0Sc!0we elementu rozciqganego sprowadza si~ WQWC'"l:.as do sprawdzenia, czy spelniony Jest warunek: [ G=~~kr [ (2,5) Naprezeniu dopuszczalne k, wyznacza si~ ze wzoru: (2.6) gdzie wspolczynnik Ir.., jest liezbq wieksz: od jednosci i nosi nazwe wspolczpmrika /N!:::piec::cli,"'B'a a' oduiesieniu do 11')'!fzymu/osC'i na rozciqganie Rift' _ W wielu przypadkach nalezy sie zabezpieczyc nie tylko przed zerwaruem danego elemcntu konstrukcji, lecz ruwniez przed powstaniem odksztalceri plaslyczny:-h. W takieh przypudkach naprezenia dopuszczalne k, wyznacza sie jake iloraz, gnulLCy plastycznosci R~ (wyraznej lub umownej) przez wspo{czymlik bezpieczenstwa n~ odnic'sior1Y do gnlllitT plastyczuosci: (2.7) W pod 0 bny sposob jak d la rozciqgania wyznacza si~ Jwprrzeni,a. dop~zcza~l1e na sciskou«: (k.,). jak rown(ci_ na zginanie (k,). na skrecanie (k.), na scmarne (k,l itp, Dober odpowicdniej wartosci wspolczynnika bezpieczeristwa jest j~nym z powazniejszych zagadnieri w obliezeniach wytrzymalosciowych. Zdarzajaee Sl~ o:t czasu do ezasu wybuchy zbiornikow cisnicniowych, runiecia konstrukcji, uszkodzenia mas~n itp, wypudki powodowane S,! przewaznie tym, it: dopuszczone zostaly zbyt duze nuprezenia, a wi~c dano za male wspolczynniki bczpicczeristwa. Pr/v doborze wspolczynnika bezpieczejistwa musi bye stosowany rozsadny kornpromis miedzy kilkoma przcciwstawnymi wyrnaganiami stawi~nymi ~o:",oczesnym konstrukcjom. ktore IllUS14 bye lckkie i tanie, a rownoczesnie bezpieczne I mel~wod~e. W og.o lny m 1.43 rys ic przy ust a Ian iu wartosci liczbowej w spolczynnika bezpieczenstwa nulczy u\\'zgl~tlnic nastepujqce ezynniki: ~ 26 I 2. Rozciaganie i sciskanie 1. SpOSo b przykladania 0 bciazeri. Obciazenia d yna miez ne (n agle), pochodzace od cia] bedacych w ruchu, sa bardziej niebezpieczne niz obciazenia statycznc, tj. przykladane powoli; podobnie obciazenia stale zmieniajace sir (pulsujqce) $~ burdziej niebezpieczne od obciazeri stalych (porown a j rozdz, 2:5 omawinjqcy zrueczenie metali), . 2. Jednorodnosc m a terialow, Wyroby walcowane s<! na ogul bardziej jednorodne niz np. odlewy, w ktorych mega bye pory, pecherze, wtrqcenia zuzla itp. Dla wyrobOw walcowanych mozna wife przyjqC rnniejszy wspolczyunik bezpieczenstwa niz dla od lew ow . 3+ Naprezenia wstepne. Wystepuja one na przyklad przy nierownomicrnym stygnieciu elementow spawanych lub odlewow oruz w polqczeniuch wciskowych, w elernentach hartowanych i tp, 4. Niedokladnosc metod obliczeniowych, Nic zuwszc zastosowune metody obliczeniowe pozwalaja ustalie dokladna wartosc n a pr~zcll. Niejednokrotnie dla ulutwienia obliczen pornija sie niektore naprezenia, np. od drg a n konstrukcji, roznic temperatur, obdl;lzen przypadkowych. Jesli si~ popr: ... estaje nu obliczeniuch przyblizonych, nalezy przyj ~c wiekszy wspolczyn ni k bczpi ecze nstwu . 5. ems i warunki pracy konstrukcji, W konstrukcjach tymezasov .... ych, mont a 7.owych itp, mozna przyjOJc rnniejsze wspolczynniki bezpieczcnstw a. W urzadzcniach przewidzianych do dlugotrwaiej ek sploataej i na lezy u v,'Zgl'i:!J ni 6 osla bien iu elem entow, spowodowa ne scieraniem powie rzch ni ro boczych i k 0 rotJ<!. J cze Ii u rzadzen ie prac u je w temperaturach podwyzszonych, nalezy uwzglednic zmiuny wlasnosci wytrzymaiosciowych materialow w lye h tern pera tu rach; jezef prac u jc w os rodk una ruzo nym n a promieniowanie (w poblizu reaktora jadrowego), nulezy uwzglednic obnizenie wlasnosci wytrzymatosciowych i plastycznych materialow w tych waruuk a ch. W wielu dziedzinaeh wprowadzone zostaly przepisy panstwowe zobowiazujqce do bezwzglednego przestrzegania odpowiednich wspolczynuikow bczpieczcnstwa. W Polsce przepisy takie obowiazuja w dziedzinie dzwignic, suwnic, dzwigow osobowych j towarowych, zhlornikew cisnjeniowych, kotlow parowych up. Urz .... jdzenia te w zakresie projektowuuia, wykonania i eksploutucji podlegaja urzedowemu nadzorowi sprawowanemu przez Urzad Dozoru Techuicznego. Wszelkie obliczenia wytrzymalosciowe projektowanych lub eksploutowanych urzadzeri powinny odpowiadac wyrnaganiorn usralonym przez Polski Komitet Normalizacji, Miar i Jakosci, ktory wydaje norm)' obowiqzujace w danej dzicdziuic, Tak. wiec w zakresie konstrukcji stalowych obowiazuje aktualuie norma PN- 90/B-03200 Konstrukcje stalowe. Obliczenia suuyczne i projeklmfwtie. W obccne] redak.cji tej normy, role naprezen dopuszczalnych na rozciaganie k, spclnia tzw, wytrzymalosc obliczeniawa fd' Dla najczesciej stosowanych stuli konstrukcyjnych (tzw, rniekkich, niskoweglowych, niestopowych) podunc w tcj normic wi<LSIIU:iA.;i S;j nastepujace: stal StOS - R~::::; 190 MP a , R",=J15 MPa . .l~::::; 170 MPa. stal SlJS - R~~ 220 M Pa, R,. = 375 1\·1 Pa. /~ ~ 200 M P'L I I I ]. J 2.4. N uprezenia c.lop1.l5z.;zalne. Wsp6kzynoik bezpieczenst .... a J 27 Z bruku blizsz .. -ch danych, db obciqzen statycznych w przecietnych warunkachpracy moi.na pr.lyj,!~ orientacyjne wartosci naprezen dopuszezalnych I. ~O 4"R k::::;;O 53R k =k. = 0,27 R~. A.r-...... , o~, s jI e' 8- 2.5. Za sada su perpoz yeji W przypudku skomplikowanego ukladu obciazen niejednokrctnic mozna mac:: nie uproscic obliczenia wytrzymalosciowe d~~.ki zaslosowa~1U zasady super{W~j'.cjl: Meloda opurta na tej zasadzie polega na rozbiciu daneg_? zlo~onego.uk~a~u obciazen n a ukiudy proste tak dobr u ne, aby surnu tych uk ladow, iJ. nalozenie jednych na drugie, dalu rO.l.patr~'wany uklad wyjsciowy. . . Poslugujqc si~ metoda supcrpozyeji, wYl.naczj'n~y wydluzem.e pretu 0 polu F przekroju poprzecznego i dlugosci I, rozciaganego sll'l PI przylozona do dolnego koticu i ~il<l p, przylozona w odleglosci a (rys, 2.6a). Stan wyjs:iowy przedstawiony nu rys. 2.6a rozkladamy na dwa stany proste, pokazane na rys, 2.6b i 2.&:. 0) b] d ~,.,.. ~stQ"<)"W.o~ sten ,,~~ stan ,,2~ (~csCldnic2y1 R , P,~P2 % % F fir C C = =} = . P, :;r "2 I ~~-~-~ P, <. 1', <l Rys. 2.(,. Zasada superpozycji lidyhy pr\,1 byl obciuzony tylko silO} PI' WilWl"1:a~ wydluzeuie pretn wynositoby (rys. L6b, stan .. ~ ") 28 2. Rozciqgan ie i sciska nic Gdyby pret byl obciazony tylko sil<j, Pl (rys. 2.6c, stan ,,2"'), wOwc/ .. as rozciagany bylby tylko odcinek a p reta i wydluzen ie tego odci nka wyn osilo by tlr= P2a EF' natomiast dolna cz~:§c preta polozona ponizej przekroju przylozenia sif)' P l ulegluby jedynie przemieszczeniu (bez odksztalceri) 0 wielkosc S!", Wydluzenic calkowite M preta przedstawionego na rys, 2.6a jest surna (superpozycju) wydluzeu obliczonych dla obu stanow skladowych: Nalezy zauwazyc, ze metode superpozycji mozna stosowae wowczas, gdy w zadnym punkcie ukladu wyjseiowego (zasadniczego) naprezenia nie przekraczaja granicy proporejonalnosci (fp."P. Ponadto nie wolno stosowac metody superpozyeji w tych przypadkach, gdy dzialanie jednych sil zmienia charakter dzialania innych sit Tak na przyklad, rue mo:ina stosowac metod y su perpozycj i do przypadk u preta Sci ska nego sir<j, P i rownoezesnie zginanego sila T, gdyz na skutek dzialauia sily Tsila P wywcluje nie tylko sciskanie preta, leez rowniez i zgi na nie (rys, 2.7). p 1 % Rys, ],7. Uklad, do krorego nie wolno stosowae ,.a~~Jf ~1JI" . .'rp"f}.:-j i 2.6. UkladY'slatycznie niewyznaczalne W rozpa trywa nych do l ydJC7..aS przypad kach rozci '.!ga n iu I u b sci sk ani a [1 r~ t ow, reakcje mozna bylo wyznaczyc na podstawie rownari suityki ciula doskcnale sztywnego: byly 10 wiec uk/ad)' statycznie wyznaczatne. Obecnic rozpatrzymy ukludy, w ktorych Iiczba niewiadomych reakcji jest wieksza od znanej ze stutyki liczby warunkow rownowagi, Uklady takie S!J nierozwiqzalne na gruncie staryki cia! doskonale sztywnych i nosza nazwe uklada»: statycznic niewyznuczalnyrh: Roz- 2.6. Uklady 5La l)'cmie niewyznaczafne 29 wiqzanic takich ukladow mozna uzyskae dopiero wewczas, gdy uwzgledni sie 04.1 k szta lcen ia cial wch odzacych w sklad da nego ukladu, Od ksztalcenia ukladu mozna przyjmowac dowolnie, byleby zgodnie z naloi:onymi wiezami, natomiast reakcje wiezow muszu odpowiudac przyjetym odksztalceniom, Jezeli wiec przyjmujemy, i.e rU1t ulega wydluzeniu, to rnusi w nim wystepowac sila rozciagajaca (iezeli skreceniu, sila Sci s k ajaca). Jako przyklad ukl a du stutycznie niewyznaczalnego rozpatrzmy sztywna lekka bclkc A D podparta przcgubowo w punkcie A, zawieszona na dwoch jednakowych pretach 0 sztywnosci rozciagania EFi dlugosci r, obciazona sila Q (rys, 2.8a). Chcemy wyznuczyc sily w pretach oraz reakcje w przegubie A. Do wyznaezenia mamy zatem czte ry ni ewi ado me (d wie sily w pretach i d wie skladowe reakcji w przegubie A), natomiast na pisac mozemy tyl ko trzy rowna nia rowuowagi. Brak.uje nam wiec jednego row n a nia, k tore otrzymam y z po rownan ia ad k sztalcen, Pod dzialaniern sill' Q bel ka ADo broci si~ 0 pewien kqt dokola przegubu A, Wydluzenia pr~tow wyniosa odpowiednio Ml i M2 (rys. 2.8b), wobec czego w pretach wystapia sily rozeiagajace Sl i S~ (rys, 2.8c). 01 ~ b] cl EF EF !2 [1 Sz A 1:1 0 ,-_ . • 0 (I a a Rys. 2.&, UklaJ statycznie niewyznaczalny Dla rozpatrywanego ukludu mozemy napisac trzy rownania rownowagi: L F,;= -R.~X=O, L p},= R" .• +SI +S2- Q=O, I: M~=SI·2d+Sl·4a-Q·3a=O, w ktorych wystepujq cztery niewiadome (zadanie jednokromie statycznie niewyznaczalnc). Brakujace rownanie otrzymarny z porownania odksztalceri, Z rysunku 2,8b wynika. i.e: Ml Ml - - 2a 4a Stad .112 = 2fo.' L' <I po zustosowaniu prawa Hooke'a (till = S Ltl EF oraz MJ= StIEF) otrzyrnujemy Sz= 2SI. Po podstawieniu dorownan r6wnowagi znajdujemy 30 2. R(u~iu;"ni~ i ;:';;isbnic 2.7. Na prQieni a w pie rs.ci eniu poddany m dzlala n lu cisn ie n i a wew n ~trzneg 0 Rozpa trzmy cienki pierscieri (lub ru re) 0 grubosci g, po d dany dzi ula ni U I:is tl ie 11 ia wewnetrznego p wywolanego w ten sposob, ze przestrzen w pierscieniu wypelnionu plynem zamknieto tloczkami, na ktore dziataj,! sily P (rys, 2,94 01 b] d Przetn ij my pierscien (lu b ru re) d wiema plaszczyzn ami po przecznymi 1-1 0 ruz 11- l I. odleglymi od siebie 0 jednostke dlugosci (np, l em). i rozputrzrny gom,! polowe tak wycietego jednostkowego pierseienia (rys, 2.9b). N<J gorn~ polowe tego pierscienia dziala cisnienie P wywierane przez plyn oral. sily, jakirni scianki dolnej (odrzuconej) czesci pierseienia dzialaja na CZfs.c gorn'l. Rownanie rownowagi ukludu (suma rzutow na os pionowa) rna postac: pd·I-2(T1 g·1 =0. Naprezenia obwodowe w pierscieniu 0 srednicy {I i grubojci g wywolune dzialuniem cisnienia wewnetrznego p WjTUZ'! sie wiec wzorem I aL=~:' I przy ezym na prezen ia (T I SQ row nomiernie rozlozo nc na ca le j gr LI bosci ,r:; HI ry . Jezeli pominiemy sily tarcia, jakie istnieja miedzy tloczkarni ;J sciankumi rury, to uaprezenia wzdluzne wzdluz tworzacych w rurzc obciuzoncj, tak juk nu rys, ::!,9a. S,! rowne zeru, Dla przykladu obliczymy naprezenia, jakie powstan., w nulozonych 1101 siehic pierscieniach: wewnetrznym miedzianym 0 grubosci K rrr i zewnetrznyrn stulowym o grubosci g. (rys. 2, Wa),jezeli podgrzejemy je 0 l!1 "C. Srednica pierscieni D jest duzo wieksza od grubosci pierscieni (pierscienie traktujemy juko cienkie), Wspclczynnik rozszerzalnosci liniowej miedzi 0: .. jest wiekszy od wsnolczynnika rozszerzulnosci liniowej stali 0: •• ~ ,I 1 t 31 bl d ~scien mil!d~iony &l,., M piE-rSci@(l. sla10wy ltD ~~J~ ltD, Rys. 2,]{I, II ustracja do przykladu Cit: n k ie pierscien it: zn a jd u j~ si~ w os iowym stan ie na pL~CIa i wygod niej jest rozputrywac ich dlugosci (obwod}, Na skutek ogrzania dlugosci obu pierscieni powiekszylyby sie: wewnetrznego 0 t1rr", = 1EDCJ...,Al i zewnetrznego 0 Mrs = n:Dil.M, przy czym 1::.',,,, > MJ~. Poniewaz oba pierscienie rnusza miec - po podgrzaniu - jcdnukowe dlugosci (ltD J' rys, 2.IOb), pierscieti wewnetrzny ulegnie skroceniu o MWI = p,.n:DI E",F"" a zewnetrzny wydluzeniu 0 t..l. = p.n:DI E.F •. W picrscieniu wewnerrzuym wystapi sila sciskajaca P "" a w pierscieniu zewnetrzn Jim sib rozciagajqcu p&. Z rysu L1 k U 2 J Ob wyni ka waru nek odksztalcea: M es +M. +M",:::;: Arr., • Rozcinajac oba pierscienie, mum)' sily wewnetrzne jak na rys. 2.IOc, skad P", = p •. Naprezcniu w pierscieniaeh wynosza g",L~E",(o:", -IX,M,1 u'" g,E, + g",E", g.E. + g .. E", lnnym przykladem rnozc bye pierscien rniedziany 0 srednicy zewnetrznej D+tlD, ktory wcisnieto w picrscicn stalowy 0 srednicy wewnetrznej D. Obliczyc naprezenia, ja kic powstaly W ob u picrscieni ach, jezeli ich gru bosci wynosza odpowiedn io g", i g&> 0] b) (D \0) " . , !)If"~~ie<\ mied2'lO<'l)' I pi.ersciei> stolowy "'J.. "D JM. :-;D, Picrscienie rruktujerny jako cienkie, Dlugosc obwodu pierscienia stalowego "".yn 0 silt I). a m ied ziu 11 ego 1t( D + AD), Po nal ozeni u na sie bie pierscie n i us ta Ii sie ich 32 2. Rozeiqgauie j 5dskan~ wsp61na dtugosc ltD. (rys, 2.lla). Pierscieri stalowy wydluzy .o;i~ 0 t1t., a miedziuuy oM",. W arunek. odksztalceri rna postac: M. + AI,., = 1t-iD. Odksztalceni a wynosza a wiec wa runek od k sztalcen przybiera postac: a. 0.. so -+-=-. E. E", D Z warunku rownowagi {rys. 2.11 b) wyniku, ze P, = P ",' Rozwiqzujac, otrzymujeruy g",E.E",!J.D D(g.E. + g",E",) , g~E, E"j1 f) D(g.Es+ gmL'",) . 2.8. Energla odksztafcenla spr~zysleg 0 W P reel e rozcictg a n ym Pay dzialaniu statycznym, to znaczy tak powolnym, rc mozna POtn!n<!C przyspieszenia i zwiazane z tym sily bezwladnosci ukladu, sib obciqzujqcu TQf.cj'I£'W}, pTl;t wzrasta powoli od zera do swej kojicowej wartosci p".,. W chwili gdy silo .. osi,!gn~la wartose p~, wydluzenie preta zgodnie z prawem Hooke'u wynosi (rys, 2.12a) (a} ol d bl p Rjs. 2.12. Energia odk sztalcen ia ~]1r>;!7.yMe!lu w prccie rw:, r i;1 ~~ Ilym ) 1 t. 1 , 2. ~. ErlC'r~ia txn.:.:;J'. ak~·11 i~ spl"{i~'s.ego w precie rozciaganym J Jj Jezel i tcraz si la P ~ uz ysk a przyrost dP~, to wyk ona e lernerua rn q, praee dL lUI wydluzeruu d;,~ (rys. 2.12b), zatcrn clementarna praca po odrzuceniu zmi rnalych drugiego rzedu dL=P. dA.~. (b) Po zrozn iczkowaniu wyruzenia (a} i podstawieniu do (b) otrzymujemy po scalk owaniu 7.as praca wykonana przez statycznie dzialajaca sile P; w czasie wzrostu lcj sily oJ zera do koncowej wartosci P,t;ll wynosi l''!., I I I p~lr",.. P;"'L1 L= ~ r, EFdP~= EF 2 0 :; 2EF· (c) Po ponownym zastosow.miu prawa Hooke'a: :t ... ,=P ... ,fjEF. ctrzymujemy 1 r _~ EF _ p, .. J,r.a[ L = P "'," 2EF = /·,'"l T! - --2-· (2.9) Pruca wykonuna przcz suuyeznic dzialajacq sile P 11<1 wydluzeniu z prera w granicach stosowa 1nu.~i prawn Hooke'u jest wiec rowna polu trojkqta 0 podstawie rownej sile f> j wysokosci TOWIlCj ;. (rys. 2.12c). W 4.:za sic oli4.:i'l zania uk tad u. tj, usu wa nia sily P, dzie k i wla sn osci om sprezys tym pn;! ZJOhl)· jest wykonac pruce rowna encrgii wlozoncj w czasie obciazania, Z tego wzgledu pruee okrcslcna wzorcm {2.9) nazywamy rewniez energia .spFl/zystq V lub cncrgiq p()/cmjalnq odksztatcenia spreiystego. W kostce szesciennej 0 krawcdzi jednostkowej (np. I em), rozciaganej na. pn;zc n i ami a. zgodnic zc wzo rem (2.9) encrgia sprezysta (V) I wynosi a2 ~2E a~ (L). = - =- =-=( JIl r- 2E 2 2 (2, lO) ANALIZA NAPRE;ZEN I ODKSZTALCEN 3.1. Ana liza napr~zen w jednokieru nkowym stani e na p i~ci a Rozpatrzmy pret 0 szerokosci h i grubosei g. rozciugany ~ih! P, i zbudajmy stan naprezenia - zwany rowniez stanern napiecia - jaki istniejc w dowolnic obranym pu nkcie A tego preta (rys. 3.1 a). W tym celu zastosujcm y omowi 0 n~! w pun kc i I; 1.1 o} ... 'I ~ .' b A ,'I \ -~------ '0 .... k:i(!n.Il(!k nor~j le"~~l':lnej p --.- T Rys, 3.1. Jednokierunkowy stan napre/cnin 1 I 3.1. !1E>:"i7~L JW J1~n w jcdnokierun kowym stanie napieeia J 35 metode przeciec i poprowudzimy przez dun)' punkt A ukosny przekroj abed. nachylony do przekroju poprzecznego abb' pod dowolnym katern CI:. Jednq c~st preta odrzucumy, a rozpatrujemy pozostalq CZ\sc, np, Iewa wedlug rys, 3.1 a. Rozpatrywuna cz~sc preta (rys, J.I b) znajduje sie w rownowadze dzieki ternu, ze w przekroju przeeieciu odrzuconu (w mysli) prawa czesc preta dziala na rozpatrywana naprezeuiumi I'~. Sum .. rzutew na kierunek / sil dzialajacych na rozpatrywana cz~sc [rys. 3.1 h) ruu postue: Ponicwuz pole 1-: uk osnego przekroju abed preta wynosi F~ =gh(cosCl:, zatem P Pcos« p~= F. = ---g;;-. Zauwazmy, zc dla Go = 0, tj, db przekroju poprzecznego, naprezenia Pa staja sie rowne na i"' rezen iom rozciagajqcym ok resl on ym wzorem ,{2.3): (a) p p (p \ - - -u (Lf1:o--{--f'- , gl . (b) gdzie {-'jesl polern przekroju poprzecznego preta, Obliczone wyicj naprezenia ~ rozlozone s.i:j, rownomiemie na calyrn polu przekroju poprzecznego pT~ta dopiero w pewnej odleglosci od miejsca przylozenia sily P (porownaj pkt 1.4, zasudu de Saint-Venanta), jednak dla uproszczenia zastapimy nimi, jako ukladem rownowaznyrn, dzialanie sily P przylozonej do lewego kotica rozpatrywanej czesci preta (I)'s. 3.lc). Rozlozrny teraz naprezenia p~ na dwa wzujemnic prostopudle kicrunki, mianowicie na kierunek normalnej zewnetrzncj nina kierunek stycznej do rozpatrywanego przekroju, a otrzymane skladowc O/Il<1!..'I·IllY (.F~ cruz r, (rys. 3. le]. Otrzyrnujemy WOWC7.aS: O"~=p>cos:;( ora" t~=p~sinx. po wykorzystuniu zas zaleznosci (a) oraz (b) i podstawieniu tozsarnosci sin2,x = 2s~lIx COSet: (3.1 ) (3.2) Zauwazmy, ZC wystepujqcy w powyzszych wzorach k~l ':l zawarty jest miedzy kicrunkicm dzialunia sil rozciqgajacych (oznaczenie na rys, 3.1: kierunek 1). a kierunkiern normalne] zewnetrzuej danego przekroju, przy czym dodatni klJl (;( odmierzony jest od k ic run k u I do k ieru nk u norma I nej zgod nie z k ieru nkie m trygonornetrycznym (tj, przcciwnyrn do ruchu wskuzowek zegara). Dodatnia wartosc naprezeri normalnych a przypisywac bedziemy - jak dotychczas - naprezeniom rozciagajacym, a wiec m aj" cym zwrot zgodn y z k ierun kiem normal nej zewnetrznej, ja k to przedstu w [uno n II rys, 3,1 c. Dcdu hlii! wartosc naprezeri stycznych t - zw~nych rowniez I 3. Analiza I\iLpf~ii i odksztak~li tnacymi - przypisywae bedziemy naprezeniom usilujqcyrn obrocic rozpatrywanq ~s{w kierunku zgodnym z ruchem wskazowek zegaru (rys. 3,1c). Wytnijmy teraz (w mysli) z rozputrywanej t:1.~sci clement prostopadloscienny oznaezonyefglr na rys, 3. lc, Element len - zawierajacy punkt A - w powiekszonej skali po kazano na I)'S. 3.2. W yznaezymy te raz na preze n i'l n orm a 1 ncr, i st yczne r. j akie wystapia na scian be h lego element u. A by wyzuaczyc' te L1 a preze tl in. wystarczy do wzorow (3.l) i (3.2) zamiast kata ~ podstuwic kolejuo 90" +:-t, I ~O" +'1' oruz nijO +0:. Ora przekrojn e~r otrzyrnujeruy wiec fJw ~~= a cos2(90' +~) =asin1.x, Znak minus wskazuje, ze n a prezenie r na sciuucc c-t usiluj,; nhrbci( rozpatrywany element w kierunku przeciwnym do ruchu wskazowck zcgura, jak to zuznuczouo 11<1 rys, 3.2. Przeprowadzajac anulogiczne obliczenia dla nastepnych pr.rckroj(mF", oruz g-h,otrz),'mujemy t17t1 + ~ = - t;l! ~ Po uwzglednieniu otrzymanych znakow (plus i minus) n .. rys, 3.2 po kaz a 11 0 rzeczywiste kierunki naprezeri stycznych lUI krawedziuch F~ i g-II rozparrywunego elementu, Otrzyrnane wyniki pozv ... alaja na sformulowauie nustepujqcych wnioskow: ~. L Napr#:enia normalne oraz naprezenia styczne wystepujqce nu dwoch rownoleglych do siebie przekrojach 5'1 odpowied ni 0 rowne: 0.3) - .• 1 :n (3.4) 2. N a dwoch wzajern nie prostopadlych Sci anach nap rezenia styczne prostopadle do krawedzi przeciecia s:J, rowne co do wartosci bezwzglednej i skierowane albo do ws po! ncj kra wedzi, a 100 od tcj k rawedzi (ak sjorna t Boltzma nna l): (3.S} Powyzsze wniosk i mujq charakter ogolny i dotycza nie tylko rozpatrywanego obecnie jednokierunkowego stanu napiecia, lecz rowniez - jak zobaczyrny - dwuk ierun k owego i l r6 jk ie run k owego stanu naprezen ia, 3.2. N a pr~i:e n i a w dw u ki e run kowym (ptaski m) stan ie napl ~i a Rozpatrzmy prostokntny ar~U5Z blachy poddany dzialaniu naprezen o , w kierunku I i tl a p r~;.e 11 a 1 w k ierun k u 2 i wyzn aczmy na prezeni a , ja kie wystepuj 'I w prze kro j u d-b nachykmym In przckroju poprzecznego pod kqtem ~ (rys, 3.3). Postepsjqc jak po p rzcd n io, rozpu ~ rzymy lewu, odcie l'l t ym przek rojem cz~~ ark usza, a dzialanic prawej (odrzueonej) c,,:<;~i zusiapimy naprezeniurui fl. t T. (rys, 3.4a). Wartosci tych napn;zen mozna wyznaczye bezposrednio z rys, 3040.1. PISZ.iIC rownania rownowagi, z Rys. 3.3. Plaski stan napi~j~ 0) b) c) 2 2 2 n uk!ad 1 ul<bca 2 I~ y~. J.4. Oznaczcn ia w praski In sumic narf~7.~ni~ , Lud wi~ EJU'l rd 11<>1 tzmu 11 11 (t ~4~ -19(I6}. I r I ~--I ---1 J_ ,\nali7.a Ilapr{.i:er. i od kSJ:lar.xii a rnozna lei: wykorzystae wzory (3,]) i (3.2), otrzyruane dla jcduokieruukowego ukladu naprezeri i zastosowac metode superpozycji. Zastosujemy ten drugi sposob i uklad obciazen przedstawiony na rys. 3.4a polraktujcmy jako superpozycje ukludu 1, obciazonego samymi tylko naprezeniami 01 (I)'S, 3Ab). cruz ukladu 2. obciqzonego naprezeniami (] 2 (rys. 3.4c). Ze WWfOW (3.1) j (3.2} zasrosowanych do rys, 3.4b otrzyruujemy ~ _ 2 • __ :I ,' .... (J~ - (51 COS 'X, r~ - 201 sm zo: A by wyko rzystac wzory (3.1) i (3.2) do uk lad u przeds ta wi 0 nego na rys, 3.4c. poprowadzimy os 2 rownolegle do naprezen (Jl i uwzgledrurny, ze k'll/f. jaki tworzy Z ta osia normalna 11 do rozpatrywanego przekroju, odmierzuc rnusimy w kierunku przeciwnym do lrygonome trycznego (tzn. k'll ujem n y), a 'wi ~'C If = - (90' - ~,d. Otrzymujemy wiec . Naprezenia w ukladzie zasadniczym (wyjsciowym, rys. 3,4a) s.! rowne sumie na prezen ot rzyrn an ych dla obu u kladow s k ladowych: (J l = (1 ~ + ,,; om z r> = r ~ + I;. zatem 3.3. Meloda wykreslna wyznaczania naprezeri. Kolo Mohra WZOfj' (3.6) i (3.7), okreslajace wartosc n~pf~i:cn w przekroju OkrCS!OllYIH kqtcm ;£ ukladu znajdujqcego sie w plaskim stanie napfi;ZeEl. 'duj: si~ lutwo przedstnwic wykreslnie, W prostokatnym ukladzie wspolrzednych a: r OJ!O/JllY nu osi otl~i~lydl punkt C W odleglosci od srodka 0 ukladu wspolrzednych rownej sreduiej urytmetycznej naprezeri (71 l (52 (rys. 3.5): Oznaczmy jako (7 l wieksze z obu naprezeii (tzn. (5 1 ~o- 2) i Z punktu C zak reshny kolo o promieniu r rownym polowie roznicy naprezeu 0-1 i 02; a wi~~ r= ~«51 -ft2). Jezeli teraz ~ze srodka C tego kola odmierzymy od osi G kqt ~':l: (zgodnic z kierunkiem trygonometrycznym), to otrzymamy punkt N, ktorego wspolrzedne wynoszu: (.1.6) 0.7) --I --l :----1 ~--l ~-~-1 :-i ~ ~.~. M cl,><.la "'J k rdlLl a wy-,nacr.ania lIapr~7.e~. K cHO MQhra R ys, 3.5. K olo M ohra dla plaskiego stanu naprf7.enia A iV = eN sin 2(.( =r sin 2(1 = ~((F 1 - (F;l sin 2:£. Porownujac otrzyrnane wyniki ze wzorumi (3.6) oraz (3.7), stwierdzamyc ze OA =(J e- aAN=~ . Widzirny wiec, ze istotnie wspolrzedne punktu N polozonego na okregu, zwunvm kolem Mohra I {1882 r.), 0 srodku C i promieniu r=~((I' ~ -(] J ~a rown~ naprezeniom okreslonym wzorami (3.6) i (3.7). Zauwazmy, tt pun~l N na kole Mohra okreslony promieniem poprowadzonym pod katern 2e1: (rys, 3. ~ ~ od pow indu prze k ro jowi a-b b lachy > pop rowadzonemu pod kq t~ :l! na r.y~. 3.3 (tzn, 11 0 rill ulna zewne l rzna PI tego przekroju l worzy z kierun kiem . na p~p~' I. o! k.~t Ct). przy czyrn zurowno kqt CI: na b~dan~m arkuszu blachy, jak I k~f.L 2::x na kole Mohru odmicrzany jest w tym samym kierunku (lrygoll_omelrycznym) Przckrojowi poprzcczueruu (wzglcdem kierunku naprezeii (J I)' ktorego normalnu n tworzy l kierunkiem J k'l1 a=O (rys, ~,3} odpowiada na kol: Mohra pUIl]....l .fI/~. a przekrojowi wzdluznemu dlu a=lR na rys, 3,3 od~owlada punkt ,\. na kole Mohra (rys. 3.5) okreslony katern 2:l!=1t. Jak wynika z kola Mohru. tylk o w tych Jw~ch przekrojach naprezenia sty~zne 5<1: r~wne zer~ (r =nl~ a wystepujq tu jedynic nuprezenia normalne. Takie przekroje, w ktcrych nrc w)'S!~puj;, nuprezenia styczne, a dzialaja jedynie naprezenia norrnalne, nazywamy »rzekrojami gliJwnpni, naprezenia normalne w tych przekrojuch nuprr::miami .d6wnymi. kierunki zas dzialania tych naprtrZen - kierunkumt bi(}~"lml1i. 3.4. Analiza napn~i:en w ptaskim stanie naplecla Rozp~tr:zmy ponownie arkusz blachy rozciagany naprezeniami r"J 1 i (l! i zbudujmy '·'an naprecia w dowolnym punkcie A (rys. 3.6). W tym cclu W otoczcniu puuktu l wytnijmy (w mysli) element prostopadloscicnny abet]. ktorego sciunka a-IJ tworzv ~~lt 0: z kierunkiem J (tzn. norrnalna zewnetrzna tej scianki nachylona jest do xierunku I pod katem 'X odmierzonym w kierunku trygonometrycznym). WztHuz tej norrnalnej poprowadzmy os x, prostopadle zas do niej - os y i wyznaezmy naprezenia, Jakie dzialaja na sciankach tego prostopadlosciunu, Maj~~c dane nuprezenia glowne (J Ii U z- w sposob omowiony w punkcie 3.3 mozerny narysowac 1:.010 \·lohra (rys, 3.7a), a wyciety (w mysli) element prostopadloscicnny abed przcrysowuicrny w wiekszej skali na rys. 3,7b. Poslugujac si~ kolcm 1I.·10hra. wyznuczymy nuprezenia na ic:iankach tego prostopadloscianu, Aby wyznuezyc naprezeuiu na 2 Rys, 3.6. Usytuuwauie etemenrarncgo prosiopadtoscianu ...... rl".,~illl 'l;llli~ ll<Lpr"''''dl . .. 41 sciance a-b. w ktorej normalna zewoetrzna nachylona jest do osi 1 pod katem ~ (odmie ...... anym juk nu rys, 3. 7h). uulezy 11<.1 kole Mohm w tym samyrn kierunku odrnierzyc od osi a ]..;;~l 2~. Otrzymamy punkt IV, ktorego wspolrzedne (f~ 1 t~ odczyumc w rrz)"j~lej skuli [zgodnie Z wzorami (J.6) i t3.7)] wynosza (a) (b) Poniewuz wzdluz normalnej zewnetrznej przekroju a-b prostopadloscianu poprowadzilisrny os .r, przcro wysrepujace Vi tym przekroju naprezenie normalne oznaczamy 11 x (rys. 3.7b), a naprezenie styczne (tnace) r: otrzyrnujerny wiec (c) (d) t;;: ~«(f .-(1 ~sin 2,:x. Aby WYZIl<LCZ)'C naprezcniu w przekroju a-d (rys. 3:7b), nalezy do wzorow (a) i (b) podstuwi c zamias l (l k~! t 90" + IX, juk i no rmal na do tego przek roju tworzy z kierunk iem I, 01 rzymamy WQWC7.ElS U.~, ~,,= 0" 1 cos ' (90' + CI::) + Glsin2(90"+~) = (I" I sirr'« + (J 2COS10;, ''''' i > = ~ (rr 1 - r"J;I sin(2(9W' + 0:)] = - ~ (<I" 1 - ul)sin 2,x, (e) (f) Ponicwuz wzcJlui. normalnej do przekroju a-d poprowadzilisrny os .r, przeto napfi;zl!nia (,I.~I I, oznaczymy (l"r (rys, 3.7b). Zatem (g) POH·}\VlHl_i:!L· otrzymanu warlOSl' napr~i:t:"l srycznych 1.;.:, i" ze wzorem (d) widzimy, ze r.", " = - r , UWl.gt,.cJniaj'lc U11l0Wf co do znakow naprczef siycznych (por6wnaj pkt .l, ~) na rys. 3.7h 111Z11<l4.:10110 wlasciwy kierunek naprezen r dzialajqcych na sciance a-a. Obliczunc wyzcj wurtnsci naprezeri na sciance a-d mozna bylo odczytac bezposrcduio z kola Mohra, gcJy:i. przekrojowi a-d okreslonemu na rys, 3.7b katem 90' +:x odpowiada nu kole Mohra punkt K, okreslony katem 2{90" +CI:)= 180' + 2a:. Aby wyzuuczyc naprczenia na sciunee d-e prostopadloscianu, zauwazrny, ze normalnu zcwnctrzna lcj s.cial1ki tworzy k.~{ um~ + Il z kierunkiem I. zatem na kole Mohra prowudzimy promicn rod kutem 2( 180Q +:x) = 36()Q + h. Otrzymujerny ponownie punkt N. Oznaeza to, i.c naprezenia w tym przekroju wynoszq tyle sarno co w przckroju a-b, a wiec (f. oraz + 1" '; podobnie, w przekroju b-r naprezenia S"l: rowne i1~ oral. -L Uklnd otrzyrnanych naprezen pokazano na rys. 3,7b, Otrzymane rezuluuy mozuu uogolnic rormuluj~c nastepujqce wnioski: 1 W)lli~.l w n)wllid: 7. uIllQ"'itlll~j \\,' pkt, .~, I zasady, 7.~ nuprezcnia nonnafne i sryczne na dwoch II r A'~ n 'J<LL'h rLO\\ 1l<>lqlly~h S'! ("!r<'w~L .. tn i 0 ri''''~<:. I J. Analiza naprezcn i od ksztalcen I. Naprezenia norrnalne na przekrojach rownoleglych s.! sobic rownc; taki SOlin wniosek dotyczy rowniez naprezen stycznych: (3.8) 2. Naprezenia styezne na dwoch wzajemnie prostopudlych przckrojuch Sol! sobic rowne co do wa rtosci 1 iczbowej i sk ierowa ne albo do ws pOI ncj k ra wed zi (k ru wed i bid na rys. 3.1b), albo od tej wspolnej krawedzi (krawcdz a i (' na rys, J.7b): t~ = - '91)'+] • (3.9) , 3. Surna naprezen normalnych na dwoch wzujemnic prosropadlych przekrojach jest rowna sumie naprezeri glownych, jes t wiec niezmi en nik i em u 10: 101 d u I: (3,10) 4. Aby jednoznacznie okreslic stan napiecia w elemencie znujdujqcym sie w plaskim stanie napiecia, wystarczy znac wartosci naprezesi normulnych wystepujqcych na dwcch wzajemnie prostopadlych przekrojach oraz naprczenie styczne w jednyrn z tych przekrojow (por, rys, 3.7b). 3.5. Wyznacza nie napr~ze ri 9 .6wnyc h w plaski m sta n i e n a preze n ia W rozpatrywanych dotychczas przypadkach dane byly napr~;cnia 0'1 i (1'1' .1 / .. 1 pomoca wzor6w (3.6) i (3.7) lub za pomoca kO~<I Mohra wyznacz .. ilisrny naprezcnin w dowolnych przekrojach rozpatrywanego ciala. Obccnic rozpatrzymy zagadnienie od wrotne, a m La nowici e: da n e S,! naprezeni <I {1 ~ i r w p rze k ro j U a-b oruz n a prfi,cn i c o 1 W przekroju Q.J prostopadloscianu wyc.~h:go (w ruysli) l. ciala (f)'S, 3J~a), a chccmy wyznaczyc kierunki j wartosci naprezeri glownych dzialajqcych w tyrn ciele. Aby dla danego ukladu narysowac kolo Mohra, obicrarny ukiad osi wspolrzednych G, r (I)'s. 3.Sb) i na osi (f w odleglcsci fix od poczqtku 0 ukladu wyznarzamy 2 punkt A. <I w odleglosci (f, - punkt B. Naprezenie styczne r na sciance (/·11 jest dodatnie, a wiec warlOSc +, odkladamy w gor~ od punktu A i otrzyrnujemy punkt N na f)'s, 3.8b, z punktu B zas odmierzamy - t (w dol) i otrzyruujcmy punkt K. Lq,CZ.YffiY punkty N i K prosta, ktora jest srednicq kohl Mohra dla danego ukiudu, L otrzymujemy punkt C (srodek kola Mohra) oraz punkty ,'V. i N2odpowLad<lj" ... -c kierunkom i naprezeniom glownym. Poniewaz na kole Mohru (rys. 3,8b) kieruuek naprezen glcwnych (f I (kierunek eN.) tWOTZY z kierunkicm c.'\' kut 2~. I W}nih 10 bezposrednio z kola M<.lllr8 Illb l dodania stronami \\~l'nL (~) "k, wzoru 48), l ~V ~rLyj~lej uprzednio ska]] [np, I all na rys. J ,8 b jest ,"''''11)' I no jed 11 ust kom 4 M 1\,) 11;1 Pl\'jcll i,1 " (lub r)], --'1 I 1 I x bl Rys, 3.S, Wyznaczanie ll~PT~kri glOWIlYCI!. w plaskim stanie naprezenia od m icrzan y zgod nie z ruchem wskazowek zegara, przeto w badanym elemencie (rys. 3.801) w tym samyrn kierunku odmierzymy od kierunku osi x kqt IX i otrzymamy kie ru n ek I. Badau y dement prostopadloscien ny abed wyciety jest wiec z ark usza blue h y rozci qgancgo naprezeni <I mi glcwn ymi Q'1 i o 2 W sposo b przed sta wi on y na rys. 3':-:a. Wartosci liczbowe tych naprezen S,! odpowiednio rowne wspolrzednym punktu ,'Ii 1 i N 1 kola Mohra (rys, 3.gb). Z rysunku widzirny, 'i.e (11 =0("+(','1/.= OC+ cs. (12=OC-CN1= OC-CK. Ponicwaz .... - (1' +0' OC=·~ 2 ' - - J((1 _(1)1 CN=CK= ~ +r2, za te m zn a j<!C G x' (I., 0 raz 1 mozerny na p rezeni a glowne 0 bliczyc ze wzorow: (3.t1 ) a kat z, juki tworzy kierunek n<lr~zen giownych (11 z kierunkiem naprezen (Ix, okresl 0 n y jest wzo rem ': 2. tg2x=--. a~-q~, (3,12) Zuuwazmy, ze najwicksze naprezcnie tn~cc,ona. okresloncjest punktem L na kole Mohra (rys. 3.~b) i wystepuje w przekrojach tworzacych k'lly 4Y t: kierunkami osi glownych, ~- - - 1 I V."Yl1i~;. In hczr",srcdlli~l z 1')'5, J,~h, guyi: Ig 2:l"= A,"':,~c. pr7.}' C7.}'m AN= T, a AC= l(<t .. -I1,), 44 3.6. Uproszczona a naliza napr~z en w prz e strzen nym sta ni e na p r eza n i a Przestrzenny stan napiecia mozemy otrzymac, jezeli nu przyklad tin ukludu plaskiego przedstawionego na rys, 3,3. poddanego dzialaniu Llarr~zeli g!~)wllych (11 i a 2' dodamy na prezen ia rozciaga jace (1 J' d zialajqce prost opad le J 0 pta szcz yzny rysunku, Uklad naprezen glownych dzialajacych wowczas n .. kostke szescicnru] wycieta (w mysli) z badanego ciala bedzie przebiegac w sposob pokuzany 11<1 rys, 3.9a. Przyjrnijmy dla uproszczenia, lee wszystkie naprezenia g!~}WLle s.~ ruzci;n~ .. juce i spelniaja zaleznosc (l'J>0"2~0"3' Analize naprezen w poszczegolnych przekrojuch kostki przeprowadzimy stosujac metode superpozycji. Gdyby nie dzialuly n.tprczenia {I" J (tzn, dla 03 = 0), otrzym a li bysmy znany juz przypade k p r<l s k [ego stun 11 na picci a (rys. 3.3) i kolo Mohra dla tego stanu okreslone jest punktami N; i N2 na rys. :;,5. wyznaczajacyrni sred nice tego kola. K 010 to po (I ow nie narysowa no na rys. 3.<) b. Gdyby dzialaly tylko naprezenia 0" l i 0- J (tzn, a 1 = O), wowczus m icl ibysm y przypud ek plaskiego stanu naprezen w plaszczyznie zawiernjucej nuprezcniu (J 1 oraz a 3 i srednica kola M ohra d la tego sta nu 0 kreslona bylu by p unk ta III i N 1 i N J (najmniejszy okrag na rys, 3.9b). Z kolei, gdyby dzialaly tylko naprezcnia (1". i 0" J (tzn, dla (12 = 0), ot rz:~ v malibys my najwiek szy 0 kr[Jg n a rys, 3, 9h 0 sred n icy ok resl one j punktami Nl i Nl, Mozna udowodnic, ze przy rownoczcsnym dziulaniu wszystkich trzech naprezen glownych: (T l' 0" l' (J 3 naprezen ia w)'.'>lt;p u jace w d owo I nym p rzek roj II okreslone beda odpowiednim punktem 1"0' znajdujacym sir w obszarze zakrcskowanym na rys. 3.9b, ograniczonym trzerna okregami Mohra zbudowanymi dla naprezeti glownych. .-, bl , c] Z rysunku 3.9b wynika, i.e w zadnyrn przekroju buduncgo cialu nic wystapi naprezenie normalne wieksze od 0"1' natorniast najwicksze naprezenia styczne Tn .. , okreslone punktern L (rys. 3.9b) wystcpuja w przekroju prostopadlym do pt .. szc/.YZtl}' wyznaczonej PI7.ez naprezerua g!6wne ali a J' a normalna tcgo przckroju t worzy k'jly .f5~ z kierunkarni naprezen 0". j 0" J. Z rysunku 3,9b wyniku, :Ie warlo~c I ii.:/. bowa . ·_·1 ,---- __ I ~ -_. 1 najwiekszych nuprezen tnacych "m" jest rewna polowie roznicy skrajnych wartosci n a prezcn glow nyc h: (3.13) (przy zuchowuuiu umowy dotyczacej oznuczen naprezen glownych, tj. gdy (J • ~ (11 ~ (J .,). Nu rysunku 3.9c przedstuwiono rozpatrywana kostke elementarna z zaznaczo- nyrn przekrojcm, krorego normalna n rworzy killy ct, fi i 'I z osiami x,.}> z, W przekroju tym wystepujq naprezenia norrnalne 0-" oraz styczne tn 0 wartosclac~ ok reslonych wspolrzednymi odpmviedlliego punktu N. Wierny, ze punkt N znajduje SL~ I~LWS7.e w obszarze zakreskowanym na kole Mohra dla przestrzennego stanu L1apr'<Zcn (rys. 3.9b). pominiemy jednak blizsza analize WZOfOW pozwalajqcych 0 k rcslit pol oze nie pu nk l u N W zaleznosci od wa rtosci na prezen glownych (11' (T 1 i G J ora? kuiow a, {r i 1', 3.7. Zm ian a wymiarow po p rzecznych rozci~ganeg 0 preta, Liczba Poissona Obserwujqc pret rozciqgany sit~ P. stwierdzilismy (rys, 2.t),. ze wydluzenie nt preta okreslone jest wzorcrn: M= PI/EF(prawo Hooke'a), Zwrocmy te.r~z u~'a~fO;.n~ to, ze w miare jak pret si~ wydluza, jego wymiary poprzeczne sie zmmejszaja; jezeli poczutkowu Sl:crokosc pretu wynosila lr. to po przylozeniu sily rozciagajacej r=»: kosc la zmuiejszy sie 0 pcwnq wartosc ~h (rys, 3.10). Podobnie zrnruejszy Si~ rowrnez gruhosc rozciuganego pretu. Wyodrebnijmy z preta kostke szescie.nu.lJ: 0 boku rownym jednostce (np. I em) i przyjrzyjmy sie blizej jej odkszlalcemom. Kostka, ktoru w xtunie nieobciqzonym nurysowana jest cienkimi iiniami na rys. 3.11, pod dzialaniem napr~i.cn rozciqgujacych a I wydluzy 5i~ w kierunku osi 1 0 wartosc f:1 =a.ir_jak to okrcsla wzor {2.4), Dokladne pomiary wykm,:uj,,: ze jezeli nap~zeni~ a 1 nie przekroczu grunicy propon;jonalnosci (<Tr,ur)' to krawedzie poprzeczne kostki p 1 1 1 1 , • --::;:;_..l- .... .t tJ.( Rys. J.l L. Od k5:llalcej}~'" rozciaganej elemen tarnej kostki szcScLcnOCj , - I o poe ..... rkowei dlugosci 1 em uleguja skroceniu, przy czyrn skrorenia te (wytllui_cnia 11 i em ne] sa proporcjo n a lne do wydluzenia f:. i wyn OS1<I: wzdluz osi j: f-)= - n;l' W },st<,:p U jacy w powyic_v.)ich wzorach wspolczyn II i k pro po rc j 0 11 a ~noS1:i r zwu Il}' jest I iczba POU!!WfUJ. . Wymiury kostki szescicnncj u boku j em podd.mcj Jzialani u 11arrr:i:cnia rozciagajacego G 1 wynosza wiec: wzdluz kie run ku J: . a 1+1:=1+_!. • E· 0.l5) wzdluz kierun k u 2: 0", I +c2 = I - t'r.1 = I - ~' E' (f. 1 +t:.}= I-W:l = l-~'E' wzdluz kierunku J: Nie rna podstaw do wyciagania wniosku, aby kostka po ddanu dzialauiu Iwpr~':i:cl\ rozciagajaeych we wszystkich trzech kierunkach miula zmnicjs/ . .ac SW'I ohj,.to~. przeto objc;tosc kostki powinna spelniac warunek: Srad po podstawieniu zwiazkow (3.14) otrzymujerny (l +Bl)(1-\.';<;1)1~ l. po wykona n iu zas dna lan } - b'f:1 + \·tI+ f.t - 2~,t:i + ~-d - I ~ o. Na ogol wydluzenie wzgledne e jest wielkosciq mula (np. n,OG1), a WOWCZ<lS skladniki zawierajace t:2 lub eJ rnozna uznae za wielkosei male wyzszcgo rzedu i powyzsza za lei;nosc uprosci si~ do postaci: (3.16) Otrzymana zaleznosc znajduje potwierdzenie w praktycc. Dla stuli ~'= n,J, din korka v =0.00. dla gumy v=O,5. Nalei:y podkreslic, ze podana wyzej wartosc liczby Poissonu ~'= 0,3 dla st .. li odpowiada od ksztalceniom wywolanym naprezeni a mi n ie . przek raczaj '!C ymi gran icy proporcjonalnosei 0"p'<'P (tj, granicy stosowalnosci pruwa r lookc'u). Dlu metuli plastycznych po przekroczeniu granicy plastyeznosci wspolczyunik \' jest praktycznic -- 1 . - l < - l 3.7. Zmiunn wym imow poprzeeznych rozciaganego preta, Liczba Poissona 47 rowny 0.5, <t wiec w czasie obrobki plastycznej (kucie, walcowanie itp.) obj~lOSC ma te ri a lu nie ulega j s to I nej zrni a nie (przyj m uje sie, i.e material jest niesci sliwy), 3.S. Odkszta~cenia w dwukienJnkowym (ptaskim) stanie napi~cia Rozputrzmy elementama kostke szescienna poddana dzialaniu naprezeu glownych 0". i a 1 (rys, J. ! lH) i wyznaczmy jej odksztalcenia (wzgledne), Zastosujmy metode superpozyrji, Gdyby na kosrke dzialaly jedynie naprezenia 0" l (rys, 3. 12b), wowczas wydluzcnia w kicrunku I, 2 i 3 wynosilyby (kierunek 1 prostopadly do plaszczyzny rys, ~.l2) 01 b) C ~l .-t--- - ',: . - I I-.e~ + "z ~ . . ~ -- f-._._ -- ", ~, , , .. ~ = = Rys, ~.J 2. Odksztulccnia ,.i dwukicrunkowym (plaskirn) Mallie naprczen Gdyby kostka byla rozciaganu tylko nuprczcuiarni G2• wowczas doznawalaby wydluzen (r ..... s. 3.12c) Odksztulcenia kostki rozciuganej rownoezesnie naprezeniarni O"J i 0"1 (rys, 3.12a) sq superpozyejq (sumq) odksztaiccn stuuu przedstawionego na rys, 3.l2b i c: (3.17} Wzory 0.17) noszu nazw~ prawa Hooke'« no d •• 'ukierunkowyin (plaskim) stanie Iwpi~'cia. , r 48 3.9. Prawo Hooke'a w 1r6jwymtarowym (przestrzennym) stanie naplecla Odksztalcenie elernentarnej kostki szesciennej poddanej dzialaniu napn;i:l:I'\ gt6".. .. · nych O'J' (F~ i G3 wyznaczymy stosujac metode superpozycji (rys, 3.13), Gdyby dzialalo sarno tylko naprezenie (J l' W{lWCZ<iS odksztalccnia (wzgledne) kostki wynosilyby , 0' I ~1=- E' Gdyby dzialaly tylko naprezenia (J l' odkszralceniu bylyby rowne " ,.. (J l 1;.,= -I'r.!= -\. E. Podo bnie, od n apreze Ii 6 J: ,,, rN ~3 r.~ = - \'~~ = -l-E. Odksztalcenia wzgledne kostki W trojwymiarowym srunie nupieciu wyrai.<! ~i~ wiec wzorami bedacymi suma powyzszych zaleznosci (np. /: L = I;', +f:; + 1;',"): al Gl 6J I . "1 = E-\' E -t' E =£[0'1- ~'(()'!+(;')j. 0'2 03 0', I f-l= E -\. E -t'E=E[(I'~- ~'((J.\+ri'1)1. W lory powyzsze Sf! sluszne WOWCla S, gd Y Z<I d ne f. mqm;icil {I' I' r, l 1 \I b 17 J 11 i e przekroczylo granicy proporcjonaluosci O'~rLl' (tj. grunicy stosowuluosci pruwa 110· oke'a) i nosza naz ..... '~ uogolrrionego prauoa Hookc:«. Znuwazrny. /.C WZOfJ te lutwo zaparuietac dzieki ich kolowosymetryczaej budowic tim. kazdy nastepny wzor powstaje przez zmiane w poprzednirn wzorze indcksow 1 na 2, 1 IlJ .\ oral .:I IKI I'). t J I 1 I t --I ---1 - --- 1 .- -1 ~--. :-~t :--1 ~--l :- -} J. In, ['n~rgia ~pro;:zySI~ i zmi-.n:1 objetosci matcrlule ",. trojkicrunko",,)m stanie naprezenia 49 3.10. Energia spr~iysta i zmiana obiEttosci maleriatu w tr6jk'erunkowym sta n ie napre ie ni a Obliczmy teraz pruce Wi' k 011 am! przez na preze nia glowne ai' o 2 i G J' dziala jace 11,1 sciunkach elementarnej kostki szesciennej (rys, 3.13}. Praca ta, rowna energii sprezyste] odksztalconej kostki, zgodnie ze wzorem (2.10) wynosi 1 (1191 po zustosowaniu 7..aS uogolnionego prawa Hooke'a [wzory (3.18)] 1 l 1 2 2 )] (L)j = 21:..((11 + a2+ a3- .. (o7.1l' 2+0' P J+O' # l ' Przyrost jedriostkowy objetosci tw elememarnej kostki (np. 0 boku 1 em) wyrazi sio; wzorcm: stqd po odrzuceniu malych wyzszego rzedu 0-21 ) a po podstawicniu uogolnionego prawa Hooke'a (3,18) 1-2.- Ill)=-- (6, + (i' 2 + (T J. E W pr/_~ v pudku szczcgolnym, gdy cialo poddaue jest wszechstronnernu dzialaniu cisnicniu p, to jest gdy (1 ~ = a l = a J = - p, zrniana objetosci elernentarnej kostki wynu-i 3J.~i -21") ll.L'= - . E (3.2.1 I)la \. = 0.5 przy wszcchstronuym sciskuniu - juk to ma miejsce przy przerob .. \ plustycznej - obj~lO:SC materialu nie ulega zmiunie ti'l.l' = 0), material taki _I~'~I n icsc ish w y. I f!..1o;ll<i hi stosowac algcbraiczuc doduwunie prac w~k1In~n) .... h k<Jkjnu przez naprezenia (Jl' (F~ 113, ~d\ n"rr~'jcni~ rc "'I \\7~lj(mlli~ prosropadlc, t f II - -- I + , j 4. I. Czystc sci nauic 51 I d t 0) 2 b) ~ ~ f K I , .. ['~x SCINANIE 4.1. Czyste icinan ie Przeprowadzajac analize naprezen wystepujacych w roznych przekrojuch pretu rozciaganego stwierdzilisrny (pkt 3.1), ze w przekroju okreslonyrn kqtem Ct. oprocz napr~le~ norrnalnych wystepuja naprezenia SlYCI.L1e, czyii tnqce [wzor (3.2)], f, =] o-sm21J. . Widzimy wiec, ze w przypadku zwyklcgo rozciqganiu w kazdym przckroju preta wystep ujq naprezeni a t nace t z Wyj fI tkieru prze kro jew po przecznych J la .1. = 0 0 raz 0: = n:). Podobnie w przypadku dwukierunkowego rozciagunia w kazdym przekroju (oprocz przekrojow glowuych) wysrepujq nuprezenia W<l~'I.\ okreslone wzorem (3.7): St wie rdzi lism Y WOWCl<l S, ZC n LI dwoc h wzajen 1 ni c pros l 01'.1 d lye h scia nach 11 aprezenia styczne prostopadle do krawedzi przecicciu Sl! rOWJ1C co do wurtosci bezwzglednej i skierowane albo do wspolnej krawedzi, ulbo od tej kruwedzi (uksjomut Bo Itzman na), W obu przytoczonych przypadkach naprezenia tnuce wywolywune s.;_~ pr/~z dzialanie naprezeri normalnych i nasuwa sie pytarue: czy mozna wytworzyc tuki stan obciazenia, aby na scianach rozpairywanego elerncnru nie wystepowaly 7~Ldne inne naprezenia oprocz naflr~i.en tnacych? Taki stan ooci,jzcllia nuzywamy c.::y,~lym Scinaniem. Rys, 4_1. Stan ezystcgo sdnania Stan czystcgo sciuunia trudno jest wytworzyc przez bezposrednie obciqzcni~ ciulu sumymi tylko llapr~7.eniami tnacyrni. natorniast taki efekt .~oina uzysl.;a~ wywolujac np. rozcil!!~anie i sciskanic takimi saruymi co do warto~1 bezwzgleducj napn,:i_cniami (1", tlzbbj'lcymi w dwoch wzajemnie prostopadtych kierunkach (ry~ 4.lal. Kolo Mohra dlu tukicgo ukladu, Ij. db (l".= +(1" oraz O2= -0, przedstawiv si~ juko okrug 0 promicuiu cr, zakreslony z poc7.!tku 0 uklad~ .wsprnr:7.~d.nydl a r (rys, 4, I h), Jezeli rozputrywany element przeunerny (w mysli) przekrojem '1-/ (rys, 4.1<1) okreslonym normalnq uachylouu do osi glownej a 1 pod k=ttem (X = II -l to zgod nie "L£ wzorem (3 _6) naprezenie norma 1ne dla a I = + (I" oraz (l" 2 = - (]" bl;-dJ II rowne zeru: natoruiast naprezenie styczne [wedlug wzoru (3.7)] wyniesie Potwicrdzenie powyzszych wynikow mozemy odczytac z kola Mohra: Prl' krojowi a-f} nachylonemu do kierunku I pod katem ':J_ = n.l4 (rys. 4.1 a) odpowiad .. 11 kolc Mohra punkt K, ktcrego v,.-spohz~dnym\ sa rJ = 0 oraz r = (1 (r~s, 4.1 b). Wytnijm 7. hadauego ciula elemenurrny szescian 0 krawedzi jednostkowei (np .. l ,ern! w L~ sposob, i.e dwic S!:iany szescianu beda rownolegle do plaszczyzay naprezen glown~( (J I' a r- pozostale ZOlS cztery seiuny beda nachylone do kierunkow gl6wnycb pod kuic . 45"' (krawedzie tych scian oznaczono literami abed ua rys, 4.la). Jak stwicrdzilismy, scianie a-b tej kostki szesciennej odpo\\'iada punkt K na ko Mtlhra (ry», 4.1 b) 0 wspolrzednych {1 = 0 oraz r = + (f. Scianie a-d nachyloncj l kierunku napn;:i,cll giowilych a I (rys, 4.1 a) pod kqtem 13S~ odpowiada na kole ~·1tlh puuk t L ukrcs!ony k qtcm 270" (l w~plllr/~>dny~'h (]" =0 oraz t = -(], natonuu 52 4. s.:in~llie scianom d-e i c-b ponownie pun k ty K i L. co pol W ierdza zna nq zus udc, i~ nu pn;zc n iu w przekrojach rowno Ieglych SOl takie same. Uklad naprezen wystepujqcych na scianach rozputrywancj kostki szescienncj przedstawiono na rys, 4.lc. Widzimy, ze na i .. udnej scianic kostki nie dziah .. ja naprezenia normalne, na torniast na wszyst k it; h czterech Sci a 11 uc h dzi alaj" 11 a pn;zc ni a styczne, czyli tnace, 0 rownych sobie wartosciach bezwzglednych T_ Rozputrywana kostka szescienna abed znajduje sie wiec w stanic czystcgo kinulli'L 4.2. Prawo Hooke'a przy sclnanlu Obserw il jac kost ke szescienna poddana czystem u sci nail i u (rys, 4_1) wi dzi Ill}'. /_C pod dzialaniem naprezcn tnqcych r z szesciunu utworzy si~ rownolcglosciun: sciany szescianu pozostana nadal pluskie, a katy proste ulcgnq odksztalceniu 0 k.p i'Przedstawiona na 1")·S. 4_2 kiana kostki t: kwadratu 0 boku 1I zamienia si\, W TOmb. a dla kazdego materialu podlegajacego prawLi Hooke'a k<}l ~. jest wprost proporcj onalny do na prezen tnacych r: T f'=C' {4.! } r _ __ \I Poniewaz zadna ze scian lub krawedzi kostki nie jest ani rozciugunu, ani s~-isbna. przeto nie rna powodu przypuszezac, aby mialy one ulcc wydluzeniu lub skroccniu, lstotnie, dlugosci wszystkich krawedzi pozostajq nie zmicnione.zatcm obj~tosc kostki szesciennej 0 boku a po odksztalccniu bedzie rownu iloczynowi poln podstuwy i wysokosci szescianu a cos}' (rys, 4_1)_ Poniewaz k,p '/ jest praktycznie burdzo maly, przeto przyjmuje silt, ze cosinus tego kqta jest bliski jcdnosci (cos~'::::: l ), a wowczus obj~tosc szescianu po odksztalceniu wynoszqca a\.;o~~.' jest rownu obj-rwsci kostki przed od ksztaleeniem. Widzimy wiec, ze obj~tosc kostki szesciennej poddunej czystcmu scinaniu POIOstaje nie zmieniona, a nastepuje jedynie zrniana postuci. szcscian bowicm zamicnil si~ w rownolegloscian, a kwadrat - w romb [rys, 4_1)_ Z icgo powodu odksztalcenie 4.2_ Prawo Hooke'a przy kinaniu tukie nazywamy odksctalcenien: postaciowym, k,!t y' - kqtem odksztalfelii~ 1'0- -"wdmrc'go, a stula matcriulowa G wystepujaca we wzorze (4.1) - modulem sprezystosci l'o.,·l(rcio"-l'j. Zc wzoru (4_1) widzimy, ze skoro kilt }' mierzony jest w radianach (I iczba u LC L1l ia n owu na ). to moo ul G rn U $i miec wyrn tar napr~ien (podo bnie ja k i modul Younge n, a wiec meguniuton na metr kwadratowy (MNJm2)_ Zauwuzmy, zc budowa wzoru (4_1) wykazuje pelne podobienstwo do wzoru (2.4). wyruzajqccgo pruwo H ookea: (J &=-- E Tak jak przy rozciqganiu miara odksztalcenia jest wydluzenie wzgl~dne 6, tak pr,:y scinaniu - kqt ndksztnlcenia 1'. a dla materialow podlegajacych prawu Hooke .~ od kSI t .. ken ia te S'I W prost pro porcjonaluc do na p r~zen «(T - przy rozciaga n i u, T - rrzy scinauiu). Stale materiulowe oznaczone S1j odpowieduLo E (przy WIciqganiu) lub G (przy ';cinaniu). Z tego wzgledu '!"zor (4.1) nosi nazwe prawa Hooke'a p,.:y schsani». 4.3. Zaleinosc mi~dzy modutem sprEtzystosci postaciowej G a modutem Younga E Wiemy juz z punktu 4_1, "ie stall czystego scinania uzyskac mozna w plaskim stunie napiecia dziabj.!c napr~i;eniami rozciqgaj'lCjo'ffii (J 1 = (J i sciskajacymi (J 2= - {j w dwoch wzajemuie prostcpadlycb kierunkach, Wiemy tez, ie poczatkowo kwudratowa sciaua ubcd szescianu ",yodr~bnionego (w rnysli) z tak obci~ionego ciala {rF 4_1 a l zamieni sie W romb (rys. 4.2). Przyjrzyjmy si~ blizej odksztakeniom, jakich J ozuaje oma w] .. n<l SC i ana obd szescia rill. wyod rebnione go z badanego dot ychczu ~ ciata. przedstuwionego ponownie w wiekszej skali na rys, 4.3_ J 54 Jezeli wzdluz kierunku glewnego I dziala naprezenie (J. = + a (nm:i~~gaj~!cc), w kierunku 2 zas dziala naprezenie a 2= - U (tzn. sciskajace), a wi~ gdy oba te naprezenia S:J rowne CO do wartosci Iiezbowej (bezwzglcducj), to odksztalcenin wzgledne - zgodnie ze wzorami (3.17) wyprowadzonymi db wystepujacego tu plaskiego stanu naprezenia - wynosza: w kierunku 1, ~. wzdluz przekatnej db (rys. 4.3), w kierunku 2, tj, wzdluz przekqtnej 0(· (rys, 4.3), (Jl (1". (-a) (; a , e2=--~'-=~~-\'-= --(I + ~'~. E £ E E £ Jak widzimy, wydluzenia wzgledne maj<! takie same wurtosci bczwzgledne. przcto mozemy wprowadzic nowe oznaezenie: a wowczas d lugosci prze k atn ych ac i bd k wadra tu abce! - po od hAa ken i u - wyniosa (rys, 4.3): a'e'=ar(1-~), b'd' =bd(1 +1:). Zgodnie ze wzorem (4.1) miara odksztalcenia postaciowego jest k,~E :.', 0 jaki zmniejszyly sie poczutkowo prosre kqty abc oraz adc lub powieksxyly si~ kqty doh oraz bed rozpatrywanej kost k i szescien nej (rys. 4.3). A by wyzn aCI.Y~ k'J t od kS/.I a 1- cenia postaciowego ;', rozpatrzymy lrojk:Jt prostokatuy oOb, krery po odksztulceniu przyjal postac trojkata prostokatnego dOb'. Z trojkqta tcgo wynika, ZC Prze katne kwadra tu ac 0 raz btl sq rowne, przeto (It 1') l-F. 19 --- =-. 4 2 1 +e Stosujqc wzer na tan gens roznicy kutow mozemy napisac (a) (b) (...::) (d} 1 J 55 It )' i' 19--tg- I-tg- (n "') 4 2 2 19 4-~ It ,. 'I 1 +lg-tg!" l+tg"2 4 2 Poniewaz kut .j' (mierzony w rudianach) jest bardzo rnaly, rnozemy przyj:Jc, ze tg(r/2) :::::: t·i]., zutcm (e) Podstuwiajuc wyrazcnic (e) do WZOrLl (d), otrzymujemy l-~ J-r. 2 J+r. a sh~J wyniku bezposrcdnio wniosek, lC }' ~;=2 . Jak wj~.kL0 L. rys, 4. [ i 4.3 oraz l cdpowiadajacego tym obciqzcniom kola Mohra przcdstuwionego na rys, 4.1 b. na seiankach rozpatrywariej kostki szeseiennej abed wystepuj., naprezcnia tuaee T, rcwne co do wartosci naprezeniorn normalnym a. Wzur (4.1) dla danego przypudku obciqzenia przybierze postac: t u }'= G=G· Podsrawiamy tc z.alei.nosl: do wzoru (f) (4.2) '!_t a .c=':'=- 2 2G i przyrownujcrny do wzoru (t:) St,!d otrzymujcmy szukanq l..alei.nosl: mi,,;t.lzy modulumi sprezystosci E i G. £ G=--. 2{1 +l'} (4,3) I I 56 4. Scill~nie 4.4. Ene rg i a spr~iysta przy scinan i u Energie sprezysta nagrornadzona w kostce szesciennej 0 kruwedzi jednostkowej (np. 1 em) poddanej czystemu scinaniu mozemy otrzymac z ogolncgo wzoru na energie sprezysta w trojkierunkowym stanie nupieciu, zukludujqc. i.e a 1= (J, (,1"2 = - tt oraz a 3=0. Ze wzoru (3,20) otrzymujemy WO\l,-Cl.aS . I {L) 1 = 2E[0"i+{l"~+ O'~- b'({l" 10 1+ 0" fTJ+ a.l171 n = I 1 1 l' (i + I') =-[0" +( -(I") -2\'(-0 )J=(I"- ~~ . 2£ £ Ene rgia sprezysta przy czystym kin ani u w plus k im stu n ic nu r r~'i.cl'l 11 ugrorn ad/Oil a w jednostee 0 bjet osci ma terial u w}' nos L wiec (1 +\,) (L)I=a2 E ' Ten sa m wyn i k m ozerny ot rzym ac nu in nej d rodze, 0 h iiczuj qc p rac~ na p n;i:cll L 11 ucych r dzialajacych na kostke szescienna 0 boku o. przedsiawiona ua rys, 4.2. W czusie wzrastania naprezeri stycznych (tnacych) od zera do wartosci r pr'H:~ wyk onuje jedynie wypadkowa wl naprezen dzialajacyeh na gornej scianie szesciunu, Przcmieszczenie tej sciany (wedlug rys, 4,2) wynosi 0 tg}"; dla rnalych kurow tg i· ~ : .. zatem rr<lca tej sily dzialajacej statycznie wynosi wJ},/2. Po podzielcniu tcgo WWrLl pr/cI. t)bj~tosc szescianu a.l energia sprezysta w stanie ezystego scinuniu nngromudzoua W kostce szesciennej 0 boku rownym jednosci wynosi "["' .2 (L)I =...!.. = ~= (V) L· . 2 2G (4.5) Po podstawieniu (4.3) oral (1 = r zalezuosc powyzsza przybicra rns~ac wzoru H.4). 4.5. Uproszczone 0 bl iczenia na sci n a ni e Rozpatrywany dotychczas przypadek czystego scinaniu jest bardzo wain}' z punktu widzenia poznawczego, jednak w praktyce wystcpujc stusunkowo rzudko. Znucznie czescie] mamy do czynienia z takimi prlypadkall1j.gJzi~ oprocz IlLlrr~i.cll srycznych wystepuja rowniez naprezenia normalne, jednak nuprczeuiu styczuc (ltl.!CC) S,,! znacznie wieksze od naprezen normulnych. W takich przypudkach warunek bezpieczenstwa sprowa dza si~ do sp rn wdzeni a k ryteri um, ~/,)" 11<1 pn;i.cll iu t il ~(CC" z nic przekraczaja wartosci nopJ'{,ieli dopussczalnrd» no sdnank: /.: .. Jednyrn z najbardziej typowych elementow pracujacych glownie nu sciuunic jest sworzeri laczacy plaskownik srodkowy (rys, 4.4a) 0 grubosci g z dwomu jcdnnkowyrui plaskownikami 0 grubosci 11. 57 p p R}~. 4.4. Zl'j.C.X ;'!: s ..... orzniem scinanyrn Sk oro plaskownik srodkowy poddamy dzialaniu sily rozciagajacej P, wowczas - dzir k 1 po laczeni u l ych ~7.~s.c i zu pornocq swo rzn La - zarowno plaskown ik gorny, juk i plaskowruk dolny bedzie rozciagany sir,! 1/2 P. Jczcli reruz wartosc sily P bedziemy stopniowo powiekszac, to przy odpowiednio dobrunych wyrniarnch dojdzierny wreszeie do takiego stanu, ze sworzeri ulegnie zniszczeniu. Zniszczenie sworznia nastepuje przez rownoczesny posjizg (sciecie) jego dwoch przekrojow poprzeczuyeh, jak to przedstnwiono na I)'S. 4Ab. W przekrojach tych dzia~<lj~! rowue sobie sill' TL 1 T~ (rownowazace dzialanie sill' P, rys, 4.4c), W wynik II d/.ialani u sil TJ i "1'1 W obu omuwianych przekrojach sworznia powstaja llarr~ZCI\ta tnucc T 1 ~ r 2' jak to pokazano (w perspektywie) na rys, 4Ad, Rozklad nHpr~zdl T 1 i T 2 ElJ przekrojach poprzecznych sworznia nie jest rownornierny.jednakze nu nglll stusuje si~ pojecie srednicj wurtosci naprezenia tnqcego obliczonej ze wzoru: T t"=F' (4.6) gdzic T jest _.,;i!" In'lq wj'sl~puj<~c;~ w danym przekroju poprzecznyrn, F - polem powierzchni przekroju poprzeczuego. Wa ru nc k wyt rzym a losci e killen tu sci na nego wyraza sie za leznosciq: (4.7) Nuprezeuie dopuszczalne na scinanie J.:., jest rowne ilorazowi wytrzyrnalosci dorazncj 11<1 ~cillaniC" R, pr/.cz wspolczynnik bezpieczenstwa n; I 58 4. S;;ill~ nie k: =R, . . 11 (4.8, W wiekszosci przypadkow k, okresla sie na podstawie R", (R,) przez zastosowunie wzorow wynikajqcych z hipotez wytrzymalosciowych (pkt 9.6). W omawianym ',vyiej przypudku, pod dziuhtnjem sily P ulegaly rownoczesneruu scinaniu dwa przekroje poprzeczne sworznia, zatem sib tuuc .. w kazdym przekroju jest rowna ~ P, sred nie 1'1<1 prezenie tnqce T P tsr="F=2F· Omewiony wyzej uproszczony sposob obliczcn nu scmamc przcprowudzu sie najczesciej dla polaczen nitowanych, srubowych, kliuowych, spawanych itp. W rzeczywistosci rozklad naprezen stycznych (tnucych) nie jest rownomierny. co ornowiono w punkcie 10.2 - [wzor Zurawskiego t 10.6)]. SKR~CANIE PR~TOW 0 PRZEKROJU KOlOWYM 5.1. 0 pi s odkszta teen preta skr~caneg 0 J .. k podano we wstepie (rys, l.S). skrecanie powodujq dwie pary sil dzialajace W dwcch rt}i.nych plaszczyznach prostopadlych do OSt preta, Dodajrny teraz, it: momenty takich par sil zwarie s.q inomeutami Jkn;cajlJC.rmi M,_ i przeanalizujmy m.lJo; szta teen iu _ j OJ kich Jozna je pr~t (J prze k roj u kol owyrn i d! ugosci r (rys. 5.1 ). W eel u u!?;,t wienia obserwacji, przed rozpoczeciem skrecania narysujmy na powierzchni bocznej preta siatke utworzona z linii rownoleglych do osi preta oraz linii obwodowych, bedacych W danym przypadku okregami kol wyznaczajacymi plaszczyz[J,' przckrojow poprzecznych preta, Jedna z takich linii rowncleglych - przed skrcccnicm - do osi preta pokazano aa I)'s. 5.1 i oznaczono A Boo a jej punkty przecieciu si~ z liniami obwodowyrni polozonymi w odleglosci x oraz x+ dx od koricu Rys, j.!. Odkszralccnia skrecancgo prcra {1 przckroju kolowym 5. Skrecanlc pr~to .... I} przckroju kolowym preta oznaczono Ko oraz Lrr Obserwujqc odkszt Liken] a p n,; I a skrecu tl ego przedsta wionego na rys, 5. 1 za uwazymy, ze: l) tWOTL1Ca ABf} przybierze ksztalt linii srubowej A H 0 kucic nachylenia .j' jedna k owym na calej dlugosci preta: 2) przekroje koncowe preta pozostaja nudul plaskie. przy czym ani dilLgO~l·l .• mi srednica pn;:~a nie ulega zmianie (objflosc preta pozostajc taka samu): 3) iinie obwodowe pozostaja nadal plaskie i zachowuja ksztalt kolowy: 4) narysowany na koncowym przekroju preta promicn OOrt ubrocil ~i~ w czusic skrecania 0 kat !p, zwany kqtem skrccenia preta, pozostajac uudul lini<~ pros!". Powyzsze obserwacj e pozwo lily p rLyjq C teze, :i.e: k a zd y p ric kroj pop r ),CCZI1}' pn;la w czasie skrecania pozostaje plaski (tzw, hipotc:a plaskict: PI':~·f.:J'Ojfj~r). a kazdy promicI' pomyslany w precie pozostaje liniq prosta. Poniewaz w prccie nie zuchodz: zmiany objetosci, a jedynie zmiany postaci (kO!ty proste odksztalcaju si~ 0 kat ~,). przeto moznu p rzyjqC da lsza teze. ze stan nap rezeti w precie skrccu n y m j e~t una log i czn y d o S [a n u czystego scinania, a wiec w przekrojach poprzecznych preta nie \\'},sl't'puj;, naprezeniu normalne, lecz jedynie naprezenia styczne (tnqce). Naprczcma te s.! prostopudle do promieni pomyslanych w przekrojach poprzecznych pretu 1 i ;t.wi~kS/<lj;! sie proporcjonalnie od wartosci zerowej w osi prera do wartosci maksymuluej r~ .. , dlu punk L(")W polozonych przy zewnetrznej powierzchni preta. spclniajuc zak:i.no~ ~ rys, ).2): .2L=~ IlrliJ!I. F ~ 5. I ) I Uzasadnienie pogladu, ze nap~j~nia styczne !.I11~~'C1 w bju~m p~'.h-i~ ]1u"~I .. [u 1"'IHIL ... ·,.tI~.!!" skreea uego pr~!a okruglcgo sa prosropadlc do prornicn la 1~C74('oCgn u ;'11) ru 11 k l vc sTo"jkt~ III pr tc'huj LI I r.",. 5.2) wynika z faktu, le ",. punkiach poIOZQI1]-.:h tuz przy pu", icrzchni bo,,.,;.I:11 "I IH\,l;' (LIp. PLl"~'} K i L wed tug f)·s. 5.1' - zgod n ic l aksjornatcm Boltzrna 11 nOt 4I'L)r')\.\'Il;LJ pk l .~J ~ 4. II - '" 1" t\: lr".i",·h poprzecznych nie mega istnioc skladowe n~pr¢eli st~,{,ll,ych prostopudlc <ltt wsp")III~j h;I"Y,j;;. I;. Lr" lin,; l.lb",O<.!o..,,-ej. gd)'z boczn~ 1'0""'ier7ch 11 ia rrt;ta jesl p"-,wil!'rlclln i4 SIH' bt'LI"'l. roioym 11 ic "ho.:i ~j",,,!. Oznaaa [0. Ie w micj5C'il.(h polo7.nnych w pooli7.u ol'>wouu pn"l'l ml'r~·i"o..:lli;L In;ll-: Ilwg.:! 1l.ll· jL-...I~·IIi., pr(lS[opao.ll'e do promienia. Ponicl'Rli nie istnicj~ ]}rz~'("Lyny. k.tH\: toy wsb~)waly na muil,,,,o~ po.>j,m·i~ .. ~;, si~ sUaJowych pwmieniow)'ch nar~jcil tn'l0'Ch dta pUllk.':'w rL)t"/Lmy<.:h 'ldlej Lxl r<,v,icrl'Cl,.,i !'".:m,:j ~t6\.V, ~'jmuje si~ zaloienie - p<.llwicrdmne w]l1ikami b:.ula •• o.l<,swi;LLk7~ln~-.:h - i~ \.\ ~al)'m rr70.:~mju popr~ym sl~nego pr~t~ 0 przehoju ~nlow)'m naprt;z.:l1oa ln~ ...... s~ prnslu~Mo.lk JL' 11["l11iC'Il;'1. 61 Powyzsze lezy i obserwacje (potwierdzone wynikami dokladnych badan) umozliwiaja przeprowadzcnic szczcgolowszej analizy stanu nap~zen i odksztalceu pretow skrecanych. 5.2. A n a Ii za odkszta teen ina pn~'zeri: w precle skreca n ym Wyrnijmy w mysli z pn;ta skrecunego pokuz .. mego nu rys, 5.1 odcinek tego preta o dtugosci dx (rys, 5.3). Jak wynika t: rysunku, przekroj poprzeczny preta okreslony wspolrzedn.] x i zawierujacy punkt K obrecil si~ 0 pewien kat (jJ~. dzieki czernu punkt dx Rys, 5 .. ~. OJkSl.lalL:cnia ~'<.ldnb. 0 Jlug(lsc:i o.lx prera skrecanego len przcmicscil sir z miejsca Kn do miejsca oznaczonego na rys. 5.1 oraz 5.3 liter'! K. All)' !i.llwicj ustalic IA116no~ mi~Jz)' odksztulceniami a naprezeniami, popatrzmy, jakic polozcnie zajelyby poszczegclne punkty preta, gdybysmy zesztywnili rozpatrywuny odcinek dx pretu skreconego momentern AI,. W takim przypadku plaszczyzna przckroju wzdluzuego, ktora przed rozpoczeciem skrecania przechodzila przez punkty Ku oraz L[} i srodek C przekroju poprzecznego preta, obrocilaby sie 0 kO!l (j)", i punkty tej plnszczyzny znalazlyhy SL~ w miejscach oznaczonych na rys, 5.3 literami K. L. i C. Punkt If polozony W tej plaszczyznie W odleglosci p od osi preta (a wiec od punktu 0 znuluzlby si~ w miejscu oznuczonym 111 na rys, 5.3. W tej plaszczyznie zna lazl a by sir row L1 iez lin ia (ill. rown 0 legla do l worzqcej KJ-.rJ oraz KL J. polozon a we wnctrzu prera. oddalona 0 (I od jcgo osi i zaznuczona liniq przerywana na rys, 5.3, Jezeli tcraz uwzglednimy nu rys, 5.3 przemieszczeuia spowodowane tym, ze w rA't:z yw isl oki £01 r .. 1 ry wa 11 j' odci n c k d.v p ro;1 a od kszta lea si ~ pod d zialanie m momcntu skrecajaeego AI,. to zuuwazymy, ze wspornniana tworzaca KJ..f} przybierze ~_,~/.aH linii srubowej i odchyli sie 0 kat f' od linii KL t- zajmujac polozenie K L. 1\ (lWl~ic.~ pornyslany w matcriale promien zajmujqcy przed skreceniem preta polozcnic (·LrJ obroci sie ' do polozcnia CL. Wmz z: tym prornieniem przemiesci si~ rownid, wsponmiany popr)'eunio pUllkl /{. I I'rmll i~i, '~-n "<lj mow'll 0)' I" ,k;t7.lI,., l1;L r)'t. 5. 3 polu;~~ ic C/. L W t)'m rr 7.)'poadk u, gd)'b)' OOcinck J.,' r~l~ oyJ "ic"dks.f..~k~lllY. Na slm'.;-~ [~gn, 7.c- \Ii r/ocz~'",iSloSci oddncl d~ pr~La si~ odksztaka. pre>mien CI., UOrtK; si, t' ~ ~t d 1". 62 -.. Z rysunku 5.3 wynika, ze przernieszczenie L]L- jako wynikajuce z obrotu 0 kut }' tworzacej K L. - wynosi .-.. To samo przernieszczenie L1L wynika Z obrotu promieniu CL. = r 0 kat d~~ do polozeni a C L, zatem Z porownania za leznosci (a) i (b) zn ajd uje my l'dx= r drp, gdzie dcp jest katem skrecenia odcinka preta 0 dlugosci dv spowodowunym dzialaniem mornentu skrecajacego ,\.I., a J.' - katern, 0 jaki odchylila si~ linin XL I narysowana na powierzchni zewnet rznej pre ta. p rzy czym p(x7~J t k OWO I ini <.I ta byla rownolegla do osi preta. Zauwazrny teraz, ze pomyslana we wnetrzu preta Iinia GH 1 rownolegla do KL. na skutek skrecenia 0 kat drp odchylila si" 0 kat ;'~ do polozcni a G/i, zutcm analogicznie do wzoru (a) .- To sarno przemieszczenie H. H w]' n i ka Z obro l u promi eru a elf L = I' 0 k ,I t d<,? do polozenia C H, za tern Z porow na nia zalez n osci (d) i (e) or rzym u jemy Z odcinka preta rozpatrywunego na rys. :S.3 wytnijrny tcruz w mysli nicskouczcnie maly fragment, zawierajacy punktyC, H] oraz H, a wicc clement 0 dlugosci d.r i grubosci dp, polozony W odleglosci p od osi preta (ry .... S.4). Zgodnie Z omowionymi poprzednio obserwacjami i zalozeniarni, na zukreskowanych na rys. 5.4 sciunkuch tego elementu wystepuja napreze n ia styczne r" i w wyniku ich dzialaniu I h'll odksztalcenia postaciowego i'~ - zgodnie ze wzorem (4.l) - wynosi I Parnietamy, ze zgodnic lC wzorcrn 13.9) naprezcnia Ln~C<' ua {!\, ..... :h wzajcmnic i'n'<L~'j1"oJl)d, przck rojnch 5'l n5wQe co tin bczw Igl~De"j W~ rtosci i s kj~ro\\<1 nc ,,11>0 u" wsrli">IIl~J ~ [;Iw,,,l ri. ;iI b ... oJ "~p9II1~j krawedzi tych przekrojow, (a) (h) (cl (d) 63 bQ. , lot}"'. ~.'I. Od k';'-l ulccn ia c lcmcn E u f".,loh:mcgn na promieniu () we·\' .... ~tr". preta s1.r~ nego (5.2) Z porownania zaleznosci (S.2) i (I) olrzymujemy (5.3) 5.3. Napr~zenra maksymarne i kC!t skrltCenia preta , Juk wynika z rys, 5.4, naprezcnia r , dzialajqce na nieskoriczenie malym elernencie til· przekroju poprzeczucgo preta daj~ elementarny moment dM wzgledem osi preta (5.4) Z warun.k L! rt"m'now.lgi rozpalrywanego preta wynika, ze suma tych elementarnych 1ll0'~1t'.lt?W, zebruna 11<1 calc) powierzehni przekroju poprzecznego preta (rys, 5.S) musi bYL: rowna momentowi ,145 skrecajacemu dany pret: M,= f dJf= J r"dFI'. r F (a) I 64 Z zaleznosci {5.1}: wyznaezarny t~ i po podstawieniu do wzoru (a) otrzymujcmy A·f. = f j'H;n dF p. F Promien r jako staly dla calego obszaru calkowunin (tj. przekroju poprzecznego preta) oraz (na tej sarnej zasadzie) naprezenie mnksyrnulne [rna, mozemy wyniesc przed znak cal ki, a WOWCZ<lS Al,= <m ... f ~12dF. r F Otrzymana calke, bedaca wylucznie funkcjq wymiurow przck roju poprzcczncgo preta, oznaczamy J,_, i nazywamy biegunowym mum('Jj(em bezv .. hullm:\-('i w=d.;ro;u; 1 /0= f p1dF, I a wowczas wzor ( b) przy biera postac: (S.5} (5.6) Wykorzystujac zaleznosc (5.1), powyzszy wzor ruozcmy napisac W postuci: t""" At, fl, --=-=- r '0 {1 a po podstawieniu do wzoru (5.J}: (5.7) Kat 1-'. 0 jaki obreca sie wzgledem siebie koncowe przekroje poprzeczue pretu, h,.-Jzic rowny sumie (calce) katow df{l wyruzonych wzorcrn (5.7), zcbr.mcj db culej tilugusc-i I preta: r ( f .U, . ,ll, I qJ = J dtp = __ ._ d.x = . 1 GJI) GJo il K'l-l skrecenia okraglego preta 0 srednicy ~t i dlugosci l, ~kn;~'anegn momcmem M." wy raza sit w iec wzo rem: (h) (c) ~.~. Napl"lfZo::Bia malsym~lnc i k;j,[ sk rvcenia prtta 65 (5.8) Nalci.y pcdkreslic, ze wystepujacy w powyzszych wzorach moment skrecajacy Ms rna wartose slalq na calej dlugosci r walu: M. = const, 5.4. B i eg un owy moment b ezwladnoki Jo przekroj u kotowego Okreslony wzorem (5.5): biegunowy moment bezwladnosci przekroju kolowego obliczymy latwo wykorzystujqc symelrj~ osiowa przekroju, Pouiewaz pod calkq wystepuje iloczyn dF oraz ~1~. przeto za elcmcnturne pole dF. ktorego punkty.leza w jednakowej odleglosci p od srodk,l 0 przekroju, przyjl~c rnozemy pierscien 0 promieniu pi szerokosci dp (rys. 5.6). Wowczas dF= 21t{1 dp. zatem Rys, 5.tJ. Element JF przekroju kolowego Bicgunowy moment bezwludnosei Jo prz.ekroju kolowego wynosi wiec n:r4 ltd'~ JO=2=J"2' (5.9) 5.5. Obliczanie wylrzymatosclowe watu pefnego Prt'ty skrecune 0 przekroju kulowym znajdujq szerokie zastosowanie w budowie ma:-;Z]'IL W szczcgeluosci prety obracajqce sit W ezasie pracy i przenoszace momeruy skrecajqce noszq uazwe mlt~jl1" (waly pedniowe, napedowe itp.]. Nuprezenia maksymalnc W)-'Sl~ruj4ce w precie skrecanym okreslone S& wzorem (5.M: _ I 66 _ ] 5_ Skreca nie pr,tO.",. 0 pr;~k roj Ll ~ otowym M, c",,n=r- Jf:) Uoraz biegunowego momentu bezwladnosci Jf) przcz odleglosc I'm ... najdalszego wlckna od osi preta nazywarny wskainikiem w.rtr:ymalo.!J't·llld skrecunir W~~ (5.10) Aby skrecany pret mog~ pracowac bezpiecznie, maksymulne napn~;J.:ni<J tnuce <In ... nie moga przekroczyc wartosci naprezeti dopuszczalnych na skrecanie k,: (S.ll) przy czym zgodnie ze wzorami (5.9) i (5.10) wskuznik Wo din wulu okraglego wynosi (S.11) OprOCL powyzszego wa ru n k u wy trzymalosciowego k a zd y wa l 11lU si rown Ot'ZCSIllC spelniac warunek sztywnosci, polegajacy na tym, ze ok reslony wzorcm (5.8) kilt skrecenia przypadajacy na jednostke dlugosci walu nie 11l01.c bye wiekszy od dopuszczalnego 1 kata s kreceni a wal u tpoop: M) Gl :( <P~np' (I (5.13) 5.6. Energia spr~zys'a w precle skr~canym Rozpatrzmy pret 0 dlugosci Ii prornieniu r. utwicrdzony w jednym koucu (ry_~. 5.7a). W plaszczyznie przekroju koncowego w punktach A i B przylozmy do pretu pare si~ P styczuych do konturu (zarysu) tego przekroju. T<J~ rr/}'f~lion<l para sil wywoluje sk recanie preta momentem ,1,.-/,= P·l,. i powoduje skrecenie prera 0 kat fP okrcslony WZOn:LH (S.8}: I Dopuszczalny k~t skrccenla przyjrmsjc si~ zazwyczn] rowll)' ~ stopniu n~ rncir JFLlfL,SL·j w;Lh .. ~L "i~-.: 1 II (I) = - - .. 0.00436 rad.m . . d<p 418tl . (<I) 1 5.(>. Eucrgia spn;iySla 'i'I rro;cic skrrca nym I 67 cd Ry ... S. 7. Praca momcn lu M. w pr9Cic skreea nyrn (b) Po sk reccniu 0 klll l' punkty A i B przylozenia sil P przemieszcza sie, zajmujac poluicnie A I i 81, juk to pokazuno na rys, S.7a. Jczeli sily P przykludane b\=d<\ stutycznie (lj. wielkosc kuzdej z nich wzrastac h.;dt:ic powoli od zcru do koueowej wartosci P}, a przy tym stale ~d~ stye-me do okregu st.inowiqcego koutur przekroju koricowego pretu, to w czasie obciazania kazda z stl wykonu prucc na drodze rownej dlugosci luku: -- -- AA I = BBl =rq> (c) i praca b;dej sily P - z uwagi nu powolny wzrost jej wartosci - wyniesie [por, wzor (2.9)] IlL tern prnca wykona u <J przez 0 hie si ly P wyrazi sie wzorern: (d} Przy statycznym dzialaniu morucntu skrecajqccgo AI, praca wykonana jest wiec liniowa fuukcjq k~t<J skrcccnia qJ i rowna jest polu trojkqta zakreskowanego na rys, S. 7 b. Row noczesn ie pracu tu j est rown a energi i sprezystej V na grom adzonej w precie obciazonym momentum skn .. -cajacym AI, j skreconyrn 0 kilt 0. co zgodnie z zaleznosciami (d) i (b) prowadzi do WLOru: (5.14) 5. Skreca nie pr«to ..... 0 przekroju kolo ..... ym 5.7. Praca i moc momentu skrEtcajqcego J ak wiadomo z mechanik i 0 golnej, praca sily P S l ycznej do wa lu na d rod ze ds (rys, 5.8) wynosi dL = P cis, przy czym <is = r dql, wiec '. • dL=P,dqJ .. Poniewaz Pr = Jf., przeto czyli gdzie qJ jest katem obrotu walu (mierzonym w radianaeh). Praca morucntu skrecujqcego jest wiec rowna ilcczynowi momentu skrecajqccgo i kata obrotu wulu. Moe N przenoszona przez wal otrzymujemy ze zrozniczkowania wzoru (b): r dL dql 1'. =Tt=M.di=M,w. Jednostkq predkosci katowej w w ukladzie sr jest radian l1U s{'/.:wu/r (radjs). Jezcli moe przenoszona wynosi N kil owa low, a pred k osc k" iowa wa lu w rad/s, 10 momcn l s kreca jqcy wyrazi sie wzorern: M N.m= N kW·IOOO s w rad/s Gdy podana jest liczba obrotcw walu na minute (11 obrjrnin), wowczas 1t1l W=- 30 i moment sk recajacy w]' razi si~ zaleznosciq: 30·1000 N ....... --- -=9550 -. It Ii It (5.1 S) (a) (b) 5.7. Praea i moe momenta sk rrcajq~ 69 Nalezy podkreslic, ze moment skrecajacy otrzymany z powyzszych wzorow wystepuje w ruchu ustalonyrn, <I wiec rue dotyczy rozruchu, hamowania itp, 5.8. Waly wyd rtl zone P rzepro w<ldzaj<l:c a nalize na p r~n tnacych wystep ujacych w walach pel nych poddanych skrecaniu stwierdzilismy, ze naprezenia te rosna ad zera (w srodku walu) do wartosci maksymalnej rm.~ zgodnie z: zaleznoscia (5.1): Widzimy wi~c.;.c jcdynie material polozony w poblizu powierzchni wahl jest w pelni wykorzystany, natomiust material polozony w poblizu osi walu jest wykorzystany w niewielkim tylko stopniu. W celu lepszego wykorzystania materialu, tj, usuniecia tej cz~Sci. gdzie naprezcnia S;J male. stosuje si~ wall' ..... '1dr~zone (rys, 5.9). D Jezcl i srcd L1 ica zewne trzna wa lu wynosi D, a wewnetrzna d, to biegunowy moment bezwludnoscl wahl wydrazonego bedzie rowny roznicy mornentu bezwladnosci kola o sred n icy /) i ill orne nt u bezwlad nosci otworu 0 sred n icy d: It 4._ J(t=-(D -u). 32 (5.l6) Wsbhiik wytrzymahlki nu skrecauie walu wydrqzonego rowny ilorazowi JG przez oolegfoSi nujdu lszego wi (, k El a ~ D wyrazi sie wzorem: (5.17) Wszystkic WZ{lTY wyprowudzone dla walow pelnych dotycza rowniei walew wydrqzonych po zustosowauiu zalezncsci (S.16) j (5.17}. -l-~ 5. Sh~n:~ pr~tow (> przck roju ~ "I O\\}"111 -. 5.9. Slatyczni e nie wyznaczalne przypadk i sknl! can ia waZ6w Rozpatrzmy wal 0 srednicy J i dlugosci I, utwierdzony na obu koncach i poddany dzialaniu momentu skrecajacego MQ przylozonego w przekroju oddalonym o a oct lewego korica walu (rys. :5. lOa). Oddzialywanie nicodksztalcalnych sciun na oba konce walu zastapimy rnomentami M I oraz M 1 (rys, 5.l0b) i z rowuau suuyki orrzymamy tylko jedna zaleznosc: AI 0- ;ff.- M 2 = o. 01 . . :;.-: ~ 5 : bl: • I .~~ E1- ' = .. -;--(~ = ; I a I . I I '" It; I I Zadanie jest wiec jed no kro mie s ta tycznie ni ewyznaczal ne, J a k za wsze w p rzypadk u ukladow statycznie niewyzuaczalnych, dalsze zaleznosci otrzymac mozemy z porownania od ksztalceri, W danym przypadk u oba konce W<l~U pozostaj ,! ni erucho me, natomiast przekroj poprzeczny obciqzony momentern Mf) obroci si~ o pcwicn kut {JJo (rys. 5.IOb). Lewa czesc walu jest skrecana momentem Jt i- prawa zas momentem M zja k lo wyni ka bezpos rednio z rys, :5. 1Gb lu h z wykrcs U In om en L ow s!.: n;c<lj"l.: ych, pokazanego na rys. 5. Wc. Z warunku ciuglosci mozemy uupisac, lC k~~t r.f!{I' (I juki prze kr6j obci llio ny rnomentem M o 0 broci si~ wzgled em ttl wi crdzo nyc h k 0 LlI;t·m wu I u. musi bye jednakowy zarowno dla lewej juk i dla prawej czesci walu: M.£1 ;142{t-a) ff'1 = ~~ = 'Pz= ~~rr GJo GJ(I zatem I-a All =J·ll--· a (a) 5.9. S~atyczllic niewyznaczaluc ptznl<lc.l~i skrecania "i~low , 7] Z zuleznosci (a) i (b) znajdujemy Jeze 1 i a < ~ " najwie k sze nap rezen ia w wale wy n OSZ'l, AI 1 j\.-/ JJ+a)'16 T = -11.-'0 = _;~a-lt-d-::J;-- . 5.10. Napr~zenja w spr~i:ynach srubowych Sprezyny srubowe wykonuje sie przez nawiniecie drutu wykonanego ze stali o wysokiej granicy proporcjonalnosci (stal sprezynowa) na okragly walek. Naprezenia wewnetrzne, jukie powstujq w czasie ksztaltowania sprezyny, usuwa sie np. przez w yzarza n ie, a wlasu osci wyt rzymalosci owe podnosi sie przez obre bke cieplna (hartowa nic), Wj'gh1d zewnetrzny sprezyny srubowej rozciaganej sih! P przedstawiono na rys. S_lla. Sprezyna wykonana jest Z drutu 0 srednicy J=2r. os drutu rworzy lini~ xrubowa na cylindrycznej powierzchni 0 promieniu R, kat pochylenia linii srubowej wynosi o:_ b) Rys_ 5-1 t. Sily ..... cwnetrznc w sprezynie srubowej PrzcL rujmy w mysli tuk obciazona sprezyne przekrojern a-b poprzecznym do drutu ~pr~zyny (rys. 5.11 u ) i rozpatrzmy warunki rownowagi odcietej dolnej czesci, pokuzu n ej w d woe h rzutac h na rys, 5. 11 b i c. A by zachodzi la rownowaga dolnej (z'tSci spn;jy 11 y, w roz pa. rywa ny m prze kroju odcie ta go rna czesc musi dzialac na l'Z\~.~l: dol u ,! :>1 t;l /' ora z pa r.! si t 0 III 0 me nc ie ,1../ = P R. jak to wyn i ka z rys, 5.11 c. Rozkludajqc sil~ P i wektor AI mcrncntu (rys. 5,11 b) na kierunek normalnej do r-l 5_ Skrecanie pr~tow o przek roj L.I kolowym przekroju poprzeeznego i na kierunek stycznej widzimy, ZC w rozputrywunyrn przekroju wystepuja: 1) sila norma Ina do przek roj U 0 wartosci P sin CJ. (rozci ,~gaj<!C<I), 2} sila tnaea 0 wa rtosci P cos 0:. 3) moment skrecajacy 0 wartosci M~ = 1\./ cos a = PR cos Cf, 4) moment gnacy 0 wartosci M sin ct. W przypadku sprezyn 0 malym kacie nachylenia linii srubowej przyjmuje si~. ze 1. :::::0, a wiec sin a~ 0 oraz coso:,:::;; l , Przy tym zalozeniu naprezenia w rozpatrywanym przekroju drutu sprezyny sprowadzaja sie do jednej sily tnqcej T = P oruz do jednej pary sit 0 momencie skrecajacym M, = PR, Zgodnie ze wzorem (4,6) srednia wartosc naprezen tnqcycn wynikujqcych z dziulunia sib' tnacej T = P wynosi T P t,=-=-,. F llr N aprezenia maksymalne wyni kajace z dzialania mo me n l u skreca jqcego ,11, = P R wedlug wzoru (5.11) maja wartosc: Naprezenia t] - w mysl przyjetych uproszczeii - SOl jednakowe w kazdyrn punkcie przekroju (rys, 5.12a), naprezenia GaS od skrecania S,! proporcjonalnc do odlcglosci pod srodka 0 drutu, Na srednicy poziomej A B przekroju poprzecznego (rys, 5.11<.:) naprezenia od skrecania rozioza si~ w sposob przedstawiony ~la rys, j.12h ... w dowolnym punkcie K wyniosa <p. W lym dowolnym punkcie K przekroju naprezenia wypadkowe t" beda surna geomet ryczna n aprezen !, i r p. J a k wy nib z rys. 5.121;, najwieksze naprezenia tnace tm>" wystepuja w punkcie A przekroju poprzecznego drutu polozonym najblizej osi sprezyny i wynosza P PR·2 P ( 2ft} '.,...= '1 +'1=-2+--J-=-~ 1 +- . n:r rtr rcr r I (h) ~--1 - -'1 .. --1 ~- -1 ~ .. -e ··1 :----, 5.10_ N ~PTlfi~nia w ~pr~yl1~ch. srubowych ~-l 73 PonLeW<JZ w zwykle uzywanych sprezynach stosunek 2RJr jest i::ilkak:otnie wi~~ ~ jednosci, przeto dla uproszczenia pomjja sie jednosc wysl~pUJqCi! w nawiasre otrzyrnanego wzoru i naprezenia tn'lce w spr~Zynach srubowyeh obljcza si~ z zaleznosci: (5.18) 2PR gPD !m~ = It,J = 1[{p , w pow y.lsz}' m wzorze pomi niety wiec zostal wplyw sily tnacej, a uwzgledniono jedynie naprezenia od skrecunia t",.<= M.lWo, gdzie M. = PRo dla drutu zas okraglego Wn=ndJ/16. 5.11. ObUczanie odksztalcen sprEtzyn srubowych Aby wyznaczyc wydluzenie }. sprezyny srubowej, zauwazmy, ze na skutek dzialania momentu skrecajqcego M$=PR poziorna srednica AB przekroju poprzecznego sprezyn y ob roci si~ 0 k ~ l sk recania f/I ok reslony wzorem {5, 8): M5/~ p= GJ ' o gdzie I.. jest Jlugoki:j, drutu dolnej czesci sprezyny, ktora jest odcieta rozpatrywanym przekrojem (rys, 5.1 lc), . , W zwiqzku Z tyrn obrotem rozpatrywany przekroj drutu sprezyny przesume Sl~ do dolu 0 odcinek LLl = Rf/I. Aby wyznaczyc wydluzenie )_ calej spr~zyny, nalezy do powyzszego wzoru podstawic calkowity kqt skrecenia drutu sprezyny ({J<, otrzymany dla calej dlugosci sprezyny 1= 21tRu, gdzie n jest liczba zwojow drutu sprezyny: , M;21tRn A= RqJ~= R GJ o Poniewaz biegunowy moment bezwladnosci dla drutu sprezyny [wzor (5.9)1 wynosi Jo=nd4j32, u M~= PR. zatem i. 2rr.PRJn 64PRJn tid" Gd4• GJ2 Jcsli wprowadzimy srednice sprezyny D= 2R, wydluzenie sprezyny wyrazi sie wzorem: , 8PDJn A.= G(/'" . (5.19) WziJr powyzszy mozna przedstawic w ten sposob, Ze wydluzenie sprezyny jest wprost proporcjonalne do sily dziul .. jqcej P: A.=cP, (5.20) . gdzic wspolczynnik proporcjoualnosci c = Y>Dln/(Gd4) zwuny jest sial" sprezyny. ----1 ---1 SKRE;CANIE SWOBODNE PR~TOW , o DOWOLNYCH KSZTAlTACH PRZEKROJOW POPRZECZNYCH S.1. Rozktad napr~i.efi styeznych w pretach skrecanych Opisany w poprzednim rozdziale rozklad naprezen mqcych w pretach skrecanych o przekroju kolowym jest szczegclnym przypadkiem bardziej zlozonych praw rozkladu naprezeri tnacych wystepujacych w pretach 0 dowolnym ksztalcie przekroju poprzecznego. Wstepna analize naprezeri tnacych przeprowadzimy na przykladzie preta pryzmatycznego skrecanego momentern ..... t., ktorego przekroj poprzcczny okreslony wspolrzedna x przedstawiono na rys. 6. J a. Zbadamy najpierw, cry w punkeie E materialu preta polozonym lUZ przy powierzchni zewnet rznej D D 1 K.K moze is uuee sk 1 ad ow a nil p rezen i a l n acego r s: prostopadla do konturu DK przekroju poprzecznego. Gdyby taka skludowa mogla istniec, WOWC7~s zgodnie z zasada wynikajaca 7£:. wzorew (3,5) j (J.Y), 'i.e naprezcni., styczne na dwoch wzajernnie prostopadlych przekrojach S-lJ sobie rowne (i skicrowane albo do wspolnej krawedzi, alba od tej wspolnej krawedzi), w plaszczyznie /)J).K.K musialoby is tniec ta kie sarno napreze nie t ~ (rys, 6.1 a). POll i ewaz p laszczyznu D D L K. K jest zewnetrznq powierzch ni~ swo bod n" preta rue obcia 7.0 n,~ i.a tin y m i nap rezcni u Ell i, zatem naprezenie y;'; rowna sie zeru (!~=O). Stad wniosck, LC w punktach po!ozonych przy powierzchni zewnetrznej preta naprezenia tnace nWN rniec jedynie kierunek styczny do konturu przekroju poprzecznego preta. Przechodzac do analizy naprezen tnacych w punkeie B stwierdzumy, ze naprezenie fB prostopadle do konturu A B i lezacc w rozputrywunym przckroju :---1 75 poprzecznym rnusi bye rowne naprezeniu <B lezqcemu na powierzchni ABB1Al (rys. 6. J h). PonicwLlz jest to powierzchnia swobodna preta, przeto skladowa fil musi bye rowna zeru (fN=O). T a kie sumo rozumowanie dotyczy skladowej <; prostopadlej do konturu BC (rys. 6.1 c). Poniewaz dwie skiadowe naprezenia tnacego w punkcie B 8'1: Towne zeru, 7 ... atem w punkcie B wypadkowe naprezenie tnace musi bye rowne zeru: t f.I = 0 ( rys. (i. ~ d). Pu n k t B t y m sie odznacza, ie lezy n a krawedzi wypuklej przekroj u, d la ktorej kut XIJ. j a ki rworza ze soba linie konturu.jest rnniejszy od 1t, tj, rl.ll < It (rys, 6.la}. Podobnie juk punkt B. na kruwedziach wypuklych znajduja sie punkty A, D, K i L, przcto w tych punktach rowniez naprezenia styczne przy skrecaniu preta musza bye rowne zeru, W odrnieunej sytuucji znajduje sie punkt C polozony tuz przy krawedzi wkleslej CC •. dla ktorej b,1 :1(" > rt (rys, 6.la). W punkeie C materialu preta polozonym w poblizu kruwedzi CC. (rys. 6.1e) w plaszczyznie przekroju poprzecznego moze istniee 01 bl "" 8, .~ ~ ~...: ~,:,,~-q, L cl A, 9, - "'" - . r~=A.. = = n R }'s_ (,. I. N"I"~' ll'll i;L ... ~~'C w '''i W~<ldl , .... )'P~~ fj~h B B, [t I< = o} i w narozach w k l~sl~h cc 1 (f <" (]' w precie skrccanyrn ----1 76 1 - --I skladowa fC prostopadla do konturu Be, gdyz w rniejscu tym w prostopadlej do przekroju plaszczyznle Bee ,B1 rnoze dzialac naprezenie tc. rownolegle do krawedzi eel. W miejseu tym, tj, ponizej krawedzi CC, na rys, 6.1 e, nnprezenie r/: skicrowanc rownolegle do krawedzi ce, nie lezy juz na powierzchni sv v obodnej, lecz wewnutrz rna terialu preta, a wiec moze istniec i rniec wartosc faz n 'I 01.1 7.c ru. A nalogieznc rozumowanie przeprowadzone dla skladowej tc prostopadlej do konturu CD [rys, 6.lf) prowadzi do wniosku, ze rowniez skladowa tc moze mice wartosc rozna od zcra, a zatem w punkcie C nalezacym do krawedzi wkleslej eel prera skrecanego (rys, 6.1 g) naprezenia tnqce moga istniee: fC #,0. 6.2. Analogia hyd rodynamicz n a Omowi ona wyzej wstepna ana liza rozk ladu n a preze n w precie s kreca n ym, poparta nastepnie przez wyniki dokladniejszych badan, wykazala przydntnosc tzw, analcgii hydrodynarnicznej do badania rozkladu naprezen tnacycb. Zgodnie z q analogia (podana przez Kelvins w roku 1871) rozklad nuprezeri trnjcych t jest podobny do rozkladu predkosci cieczy doskonulej (ciccz nieseisliw., bez tarcia wewnetrznego), wypelniajacej rure 0 ksztalcie identycznyrn z przckrojcrn poprzecznym skrecanego preta i wprawionej w stan krazenia w przekrojach poprzecznych tej rury, W przypadku preta pokazanego na rys, 6.1 a rozklad pr~dkosci ~LeC7.}' wpruwionej w stan krazenia w rurze 0 kszialcie badanego preta przedstawia rys, 6.2a. W punktach A, B, D, K i L narozy wypuklych predkosci czastek kn~i.~!ccj cieczy s,! rowuc zeru. w punkcie E predkosc istnieje i jest styczna do konturu, podobnie juk i w nurozu wkleslym C. Jezeli przyjmierny minimainy nawet promicu r, zuokraglcnin nuroza, to stv .... ierdzimy,ie predkosc przeplywu cieczy w narozu C o~dzic styczn .. do konturu preta. Rozklad naprezeri tnacych w badanym przekroju. wynikajqcy z analo1,tii hyd rodynamicznej, przedsta wiono na rys. {). 2b. 01 b) R~'S. 6.2. Rozklad napr.,i.eii tnacych ow przekroju poprzc ... ·lI.rnl prctn ~lr~"1.·;LI~.!!l> [analogia hydrodynumiczna Kelviua] . - 1 :-- -1 -- - I -'---1 6 .. 1. Swobodne skrecanic Pl\'."w cieu kcidenll)'~h Q przekroju zamknietym. WZQr)' Bredta 77 6.3. Swobodne skrecanle prfttow cienkosciennych 0 przekroju zamkn iqtym. Wzory Bred Ia Wykcrzystujac analogie hydrodynarniczna wyznaezymy naprezenia powstajace w skrecanyru precie eieukosciennym 0 przekroju poprzecznym pokazanym na rys. 6.3. Juk wynika z poprzednich rozwazan, naprezenia mace r w dowolnie obranym miejscu przckroju poprzecznego S'l styczne do konturu tego przekroju. W precie cie n koscien n j' m, gdy grubosc 0 scian ki jest mala, mozna przyj ~c, ze naprezenia te SOl styczne do linii sredniej (srodkowej) konturu 1 S:J jednakowe na calej grubosci Scianki. Wzgledcm dowclnic ohraucgo punktu 0 moment tych naprezeri r zebranych na elemcnturnym potu 0 powierzchni ods (rys. 6.3) wynosi dM.=todsh. (a) Zauwuzrny, 'Ie iloczyn dr h jest towny dworn polom lrojk"la. ktorego podstawq jest odcinek ds linii srednle] konturu, a wierzchoikiem punkt O. Oznaezajac pole tego trajk'lla (zakreskowancgo na rys, 6.:1) symbolem dE mozemy napisac: ds!r=2dE, (b) a po podsrawieniu do z a leznosci (a): dM. = t')· 2 dF. (c) Suma tych elemcntarnych momentow zebrana na calej powierzchni F przekroju pcprzecznego musi bye rowna przylozonemu momeruowi skrecajacemu M.: M.= J dM~= f rO·2dF. r f' (d) '~ 78 I ,. i :-- - J \VYSl~pujO'l,Cy w wyrazeniu podcalkowym iloczyn l"(} dajc-sic latwo zinterprctowac na podstawie analogii hydrodynaruicznej. Gdy ciecz nicscisliwu krqzy w przekroju poprzecznym- rury 0 ksztalcie preta (rys. 6.3), to 'znaczy w zarnknietym kanale o grubosci ;j i szerokosci np. 1 em (wymiar prostopadly do rys, 6.3), wydutek tej cieczy rowny predkosci v przez grubosc musi bye staly: z czego wynika (po zastosowaniu analogii hydrodynumicznej]. zt: r,~ = const i iloczyn ten w wyrazeni u (d) mozemy wyniesc przed znak ea lk i: M.=2rJ} tlF. F Calka w powyzszym wzorze - jako surnu zdefiniowanych wyzej pul tlF - jest rownu po 1 u F., przekroju poprzecznego preta ogra n iczo n em u lin i~! S ret! n i<~ (srod k 0 W'! ) konturu (rys, 6.3}: Fs, = f dF, zatern wzor (e) mozemy przedstawic w postaci: F Jf, t=-.-. 2QF;, {6.1 } Najwieksze naprezenia tnace powstana w tym miejscu, gdzie grubosc scianki () jest najmniejsza, zatem warunek wytrzymalosciowy cieukoscicnnych pn;:Ltn ... · skrccanych o przekroj U zamk nie I ym rna postuc: (6.::':) gdzie Oruin jest najmniejszq gruboscia preta, a F" - polcrn powicrzclmi przckroju poprzecznego ograniczonym Iinii; sredniq (srodkowa) konturu. Obliczyrny teraz jednostkowy kqr skrecenia O. {} j.rki obr6c<! si~ \\,Lgl~~k-1lI sicbic dwa przekroje poprzeczne preta oddalone 0 jednostke dlugosci, 111'. I em (rys. (,.-Ia). Praca statycznie dzialajqcego rnomentu ld. nagromadzoua nu ryrn odcinku pn;ta [wzor (:5.14)] wynosi natomiast praca wykonana przez naprezcnia r, nugrunuidvona w clemcncic 0 powierzchni 0 tis i wysokosci l em (rys. 6.4b}, jest rowna statycznic dziulajaccj silc to} tI.,· na drodze (przesunieciu) }'·I em i wynosi .. ~ (e) ..-} .... I ... I ---1 ~-··I ~·-·l , .. I , I (d. Swobodnc sk r\"'C~ nic rr~'!"'w cicnkoscicn nych 0 przek roju z.amkni~tym. W zory Bredta 79 bl Po zsumowuniu 11 .. cal}' obwod s preta praca naprezen r jest rowna pracy momentu u, 7A.lc1H L = ~ M,(J = f dL=H lJ ds y, skud po podstawicniu wzoru (4.1): 7= rIG (prawo Hooke'a przy scinaniu) oraz wyprowadzonego poprzednio wzoru (6.1) otrzymujerny _ AI. fdS 0- 4GF~ s .... (6.3) Culka W powyzszym wzorze musi bye obliczona po zarnknietej linii sredniej konturu pretu. Wzory (6.1)-(6.3) noszu nazw~ wzorew Bredta (1896 r.). 6.4. 5 W ob odne sk reca nie p r~t6w 0 prze kro j u pro s.ok4tn ym Ohserwujqc skrccany pret 0 przekroju prostokatnym, zauwazymy, z~. przekroje poprzecznc nie pozostajq plaskic. lecz ulegajq tzw, spaczeniu (deplana~JI). Wyg~iI:~ zc ....... nerrzny takiego preta. na ktorym przed skreceniern narysowano siatke z hnu obwodowych i wzdluznych, przedstawiu rys. 6.5;]. . Occne jukosciowq rozkludu nar~lcn tnqcych w skrecanym precie 0 przekroju prn~t(}k'-!tnYI1l uzyskac mozerny przez zustosowanie analogii hydrodyna'mez~e~ [Kclvinu]. l.utwo s!wicrdzic. ;J~ w pluskim naczyniu prostokqtnym rozklad predkosci czustck ci ... -..:I.Y idealnej wpruwinuej w stan krazenia 11K. przebieg zblizony do przcdsurwionego na rys. 6.5h. W .'.roJkl.l j w narozach naczynia pr~d~oSci ~i~y beda rowne zcru, natomiast najwi\!hziJ pr~dkosc ~'",a. osiqgru; czastki znajdujqce Sl~ w srodku dluzszvch bokow prostokata (punkty Ai B na rys. 6.5b). Scisle rozwiazanie zagudnieniu rozkladu naprezen tnqcych w precie skrecanyrn 0 p~~roju prosto.k'l,tnyrn uzyskal de Saint- Venanl 0855 r.), otrzymujqc rozklad napr~~en przeds~:'lOny na rys, 6.5e. wykazujacy pdnq zgodnosc z analogia hydrodynarniczna. Najwieksze ~ -I ,- - \ ~--l d f+---_':<! r----+----+--l J naprezenia tnace !mn powstaja w srodku dluzszych bokow prostokata i zgodnie Z obliczeniarni de Saint-Yenanta wynosza (6.4) gdzie a jest dluzszym, b - krotszyrn bokiem pros to kqtu, LI 0: - wspo lezy n n i k iem, ktorego wartosc w zaleznosci od stosunku bokow a/h poduno w tabl. 6.1. Nuprezenia maksymalne mozna rowniez 0 bliczac re wzoru przyblizo De go: (6.5) Jed nostkowy k'l t s krecan ia 0 wyru za si .. WZOre Ill: (ti.6) .:Jib ! U l,75 2 2.5 ~ 4 (, ~ IE) ·1- ox 0,208 0,231 0.239 (1.2% O,25~ {I.ll'] n.~lQ 0.299 O..'lm CUIJ H"U.\ {J 0,14. 0,1% 0,2l4 {I.m 0,249- O.16J O.2tl Wartosci liczbowe wspolczynnika f3 podano rowniei. w tubl. 6.1. Jak wynika z tcj tablicy, juz dla stosunku bokow prostokata alb = 6 wspclczynniki IX i If we wzorach de Saint- Venanta [wzory (6.4) i (6.6)l 5'1 rowne i wynoszu 0.299, <I Wi~l' rOi:ni<, ~io: o 10% od wartusci maksymalnej 0,333, jaka przyhi~raji! dln ai''' = ''J_. -- -- I '---1 ,,-. 1 -_ - --~ .-. '-1 6.5. Swobodne i nieswobodne sh~n>e pr~ow 6.5. Swobodne i nieswobodne skrecanle pn~t6w Na przykladzie skrecanego preta 0 przekroju prostokatnym widzimy, ie w odroznien iu od pre low okragl yell przekroje poprzeczne n ie pozostaja plaskie, lecz ulegaj ~ spuczeniu (deplanacji). Jezeli nie wystepuja przyczyny ograniezajace swobode deplanaeji jakichkolwick przckrojcw preta, jest to przypadek skrecania swobodnego, Jezeli ja k ik 01 wiek p rze k roj po p rzeczn y pret a nie more si~ swobodnie dep lanowac (na przyk lad na skutek utwierdzenia), taki przypadek nazywamyskrecaniem nieswobodnym, Jedynie pT~ly 0 przekroju kolowym (pelne lub wydrazonejnie ulegaja deplanacji, Wszystkie inne p~ly skrecune nalezy najpicrw zukwalifikowac, czy podlegajq skrecaniu swobodnemu, ay nicswoboduemu i wowczas dopiero zastosowac odpowiednie melody obliczen I. 6.6. Swobodne skn~canie pr~t6w cienkoSciennych 0 przekrojach otwartrch o hli~·?cn ia pre low c ien k osc ie n nych 0 przek rojach ol wart yell przeprowadza si~ przy 1.00loZ.:niu upraszczajqcym, ze przekroj poprzeczny pretu skladu sie z prostobllilW () szerokosci (I, znacznie wiekszej od grubosci b, wobec czego wspolczynniki we wzorach (6.4) i (6.6) przyjmuje si, {f_= fl = ~ u dla podkreslenia faktu, ie chodzi o cien koscieuny przekroj, grubosei prostokatow oznaczac bedziemy O. P rzez anal 0 gi~ do S k reca nia pr"low ok raglych, dla waskiego prostokata 0 grubosci {~ i szerokosci (dlugosci) a mianownik we wzorze (6.4) nazwierny wskaznikiem wyt rzyma ~oscj przek raj u na sk reca n ie: (6.7) mianownik LaS we wzorzc (6.6} - sztywnoscia na skrecanie: (6.8) Obliczenia wyt rzymalosciowe skrecanego preta 0 przekroju poprzeeznym w ksztaleie cienkiego (waskicgo) prostokata sprowadzaja sie do sprawdzenia warunkow: (6.9) '\--1. 3M. V 0=<;= a{:r~G~ .wp' Obliczeniu cieukoscicnnych pretow skrecunych 0 zlozonych ksztaluich przekroju po p rzeczncgo przep rowa d 1.<1 sie w len sposob, ze przek roj po przeezay dzieli sie na (6.10) -~ 82 - I ~ - - - 1 . - \ -. --1 - --1 6_ Skrecenie swobodne Pf~'OW 0 dowolnych ~S7.L~lL'Kh pr~c'kmjt'w ~"'>JHA",,-~"ydl prostokaty 0 grubosci (.\ i diugosci ai' przy czym nie ma znuczenia, ezy dluzszu us prostokata jest Iitli~ prosta, czy zakrzywiona (rys. 6.6}. Przyjmuje si,. zatoicni..-:. ze k'll skrecenia ealego preta jest row n y katom skrecenia kazdej t.:z~ki preta od powi udaj ,~ee j danemu prostokatowi, a moment skrecajacy przenoszony przez COli)' pret jest rowny sumie algebraieznej moment6w przenoszonych przez poszczegolne pros tok 'It)': (6.11 ) (6.12) przy czym sztywnosc C calego preta jest rowna sumic sztywnosci wszystkich prostokatow wchodzacych w sklad przekroju: . c= LCj=~GI(jjO~' ~6.1 J) Maksymalne naprezenia mace w kazdym prostokucie Wy5l'tpuj<~ w srodku dluzszego boku i wynosza (6_l4) Dla ealego preta maksymalne naprezenie tnace wystupi w srodku dllEzsz~go bok u najgru bszego prostokata i wynosi (6J5) gdzie ~--- 1 ·---1 --- 1 ~---I MOMENTY BEZWlADNOSCI FIGUR PLASKICH 7.1. Moment bezwtad n oscl wzg I~dem osi W przypudku rozciagunia i sciskania oraz scinania naprezenia wyrazaly si~ iloruzcm sily przez pole F przekroju poprzeczuego preta, Obliczanie naprezen przy skn .. xuniu wyrnugalo wyznuczenia wielkosci geometrycznej Jo= J_rldF. zwane] biegu- ~' nowym momentem bezwludnosci, Podobnie przy zginaniu. do WlOIOW na naprezenia i odksxtalccruuwchodzq PCWIlC funkcje przekrojow poprzecznych, zwane ogOinie momenunni bezll'lmlrw.sd figur plaskich. Przed przystapieniem do zagadnien zginania zupoznumy sie leruz 1£ sposobcrn obiiczen mornentow bezwladnosci Poniewaz przy zginuniu wygodniej jest prowudzjc os x poziomo wzdluz osi preta, os r 7.,a S pio now 0, p rzet 0 w prze kro ja ch poprzecznych p rowadzic bedziem y pionowo os _r. poziomo zas os z, MOn1('JU('IU b(';;w/(uuwsd J: jixw)' pta.'.kwj wzglrckm osi :- nl./ZYH·amr JUmr UO('zymJ.w e/cmm{amyc-h /H;! JF I('KU I'da pr:e: kwadra; odtrg/osci tyct: 116/ od OJi Z (1)'5. 7.1): y o z I ~ - - ] --} 7_ Mornenty bezwladnosci figur plaskieh Jz= I dFy2. F W przypadku prostokata 0 szerokosci b i wysokosci h (rys. 7.2u) jako elcrnentarne pole dE, ktorego wszystkie punkty Sll: rowno oddalone od osi z, rnozemy przyjqc prostokat 0 szerokosci b i wysokosci dy, a wiec dF =b dj-, a iloczyny dFi yl zsumowac na calym potu, tj, od y = 0 do y = II: (7.1 ) ~ J~= Ll,2dF= Jy2bdy=b I h,J I~=~hh}. F 0 (7.2) bl cl y 'JF "" " I- I- >., 0 b z: y y z: z R~'5 _ 7.2 _ W]'ZJ1aCZll nie r01 dF prostych figur Podobnie dla trojkata 0 podstawie b i wysokosci 11 (rys, 7.2b) clcmcnturue pole dF=zdy; aby wyrazic pore dF w postaci funkcji jednej zmicnncj, zuuwnzmy, i.e z = b(1! - y)/I" zatem ~ h - J' h ~ I l I h bl1J J~= }y2dF= }ylb~-dy=- h_yJ __ y4 =~. F o I! II 3 4 I) 12 Dla kola 0 promieniu r (rys. 7.k) szerokosc - elemcnturnego puska wynosi ::=2,)r2- J"~ zatem (7.3) (7.4) Powyzszy wynik mozna otrzymac wykorzystujac obliczony pOprl.CUIlEO bicgunowy moment bezwladnosei Jo= ~ nr". Dla kohl bowicm, F. uwagi nu symctrie wzglcdem srodka 0 (rys, 7.le), momenty bezwladnosci wzgledem osi y i .: s<! sobie rowne: J<=J,=J. Poniewaz Jo=Jp1dF, gdzie p2=Z2+y2. natomiast J~=f.!.lJF. F ~ a Jy= J zldF, zatem F • - --- 1 ~- } --- 1 ~--1 : - -- I 85 Jo= J pldF= J(Z2 + )'1) dF'"' f ;2dF + f yldF=J,+J" = 2J, = li •. 1- 1- r F Moznu nudrnicnie, ze powyzszy wzor jest sluszny dla wszystkich figur majacych wiecej niz dwie osie symetrii (trojbll rownoboczny, kwadrat, wieloboki foremne itp.). Dla kola otrzymujemy wiec (7.5) (7.6) 7.2. Mom enly bez wlad n osc i wzgJ ~de m osi rownoleglych. Wzor Ste ine ra Wyzll<lczmy moment bezwladnoici J: wzgledem osi z rownoleglei do osi centralnej :(' (rys, - 7.3), jezeli znarny juz moment bezwladnosci J" wzgledem tej osi centrulnej, Osia centralna nazywamy kazda os przechodzaca priez srodek ciezkosci danego prze k ro ju (dan cj figu ry plas kiej), y o z Rys, 7.1. Oznaczenia do WZQ[U Steinera Odtcglost:- clcmenturnego polu dF od osi eentralnej oznaczmy }'l' odleglosc zas mi~dzy osiumi litera a, wowczas y = a + )"., natomiust moment bczwladnosci wzgledem osi z wyrazi sie zaleznosciq: J; = }yldF= f ta+.I·lfc1F=a2J dF+2a JY1dF+ f dFyi. 1- 1-' F t· ~- Wy~t~rHlj<Jl'<l w powyzszyrn wzorze calka f Y1 dF jest momentem statycznym [igury wzglcde m osi z c- t· Poniewnz o~ :(' przcchodzi przez srodek ciezkosci C danej figury, przeto moment statyczny tigury wzgledcrn osi centralnej jest rowny zeru: l J'.dF=O. F (b) Zgod ni e z p ri),j,.,t'l de fi n ic j<! [wzor (7.1») ca lka f yi d F jest mo me ntem bezwladnosci danej figury wzgledem osi centraluej zc: F :--. 86 :--1 natomiast calka f dF jest rowna polu Ffigurj', f Po podstawieniu zaleznosci (b) i (c) do wyrazeniu (a)otrl.ymttiemy tzw. wzor Steinera L: Moment bezwladnosci wzgledem osi jest rowny sumio momcntu bezwtaduoi«! lL'::glrdcfJI rownolegle] osi centralnej oraz itoczynu pola F figury pr:c: klmdrt{{ adlegla!oei mird:y tymi osiami. 7.3. Odsrodkowy morne nt bezwtadno sci Odsrodkowym (dewiacyj n ym) momentem bezwlad nosri figu ry nazywa my wy ruzc tl ic: J~.= JrzdF, F to jest sumf iloczynow pOI dF prze: odlc'glosci .I-wdk(h,- cir=ko,ki lycrJ pi;! 0(/ mi wspolrzednych y i z (rys, 7.4a)_ al b) yl ! y Zauwazmy, ze W odroznieniu od dotychczus omawianych - zaw~/.e dvdalnich - momentow bezwladnosci biegunowych (JcJ tub wzgJ~dem osi (1, . .I;), odsrodkowy moment bezwladnosci moze przybierac wartosci dodutuie, ujcmne i ruwne zeru. Takie osie, wzgledem ktorych odsrcdkowy moment bezwludnosci jest H)WIi}' ZCfU, I J~ k u b Stei ner n 796 - 18{;J,. ,- - 1 ~- -1 87 1 7..~_ {)d~n.lJIo:.L'WY moment bczwtadnosc] nazywamy osiami glomlplli wzekroju- Latwo stwierdzic, ze jezeli figura rna os symctrii (rys, 7.4b), lo wyrazenie podcalkowe we wzorze (7,8) sklada sie wylacznie z jednakowych co do wartosci, a rozniacych sit znakiem sum dFyz oraz dFJ'( -z), lacznie rownych zeru, Jezeli wiec bodaj jedna os ukladu wspolrzednych jest osia syrnctrii figury, to odsrodkowy moment bezwladnosci wzgledem takich osijest rowny ze ru i os ie ta k ie S,! osiumi glownym i p rzek roju I, y '!'z . ' Rys, 7,5, Obliezanic J," uojk'll.a Obliczmy db przykladu odsrodkowy moment bezwladnosci trojkata prostokatnego pokazunego na rys, 7 _s_ Jako nieskonczenie mal}' element pola dF mozemy przyj,!c pasck 0 dlugosci ::1 i wysokosci d}" przy czyrn Z 1= b(h - _v}/P. Wspolrzedne srodka cj~zkoSci takiego paska wynosza Y oraz iz 1_ Odsrodkowy moment bezwladnoSci trojkura przedstawionego na i)'s, 7_5 wynosi wiec ~ )," =! j'z dF = fr~ ZllL d}'= ~ f[h(hl~ Y)Ty dy= F (I (7.9) 7.4. Wzor Steinera dla odsrodkowych momentow bezwladnosci Wyzuaczmy odsrodkowy moment bczwladnosci wzgledem osi Y. z rownoleglych do osi ccntralnych _"~" =c i oddntouych od tych osi 0 odcinki a i b (rys, 7_6), Jak wynika z rysun k u. jczcli ws po!u:\J ne ctcm en ta rncgo pola dF w uk Iadzie osi cen tralnych I kid~ '" i~'l· ,b nu figur~ rna L'S symetrii, 10 7.l1 ro .... 'IlO ta 0:5, jak i kazdu 0$ do nic] prostopadla, ~ osiumi ~!'O\.\o nyru i Io.:j figu ry, n I ii:>:i''': "InO"," icu ic poduno 'Yo' pkt. 7,{;, --J } 1. M<Jrnenl), bczwladnOOci iigur ptaskich *~.jj;': . .. ~. . R)'5_ 7.':>. Oznaczenia do wzoru Stcincra dla J,~ CJ'cZc oznaczymy Yl oraz z .. to w ukladzie osi Oy: wspolrzcdne tego polu wynoszq: y=a + )"1' :=b+::.l• a moment bezwladnosci odsrodkowy wzgledem osi y. z: Jr.= }yzdF= f (a+Yl)(b+zJ)dF= f abdF+ J u':l tlF+ fy.bdF+ JY1:.dF= F f r F t: I.' = ab J dF + a J z 1 dF + b f y. dF + J Y lZ • dF. F F F F Zauwazrny.ze dwie z otrzymanych calek S,! momeniami stutycznymi tigury wzgledern jej osi centralnych, a wiec so! rowne zeru: f r tlF=O J _ L • oral J dF= t: f' F natomiast ostatnia calka w wyrazeniu (a) jest odsrodkowyrn rnomentem bezwladuosci Jyc'c wzgledern osi eentralnych. Otrzymujemy zatcm !last~puj~!cy wzor Sicincru dla odsrodkowych momentow bezx .... ladnosci: 0.10' Odsrodkowy moment bezwladnosci Jr' figury wzgledcsn osi nju-'mleg/_l'~'h .ic''''' nj~.·ll.r sumie odsrodkowego momentu bezwladnoici J'e:c It.:xtfllem osi ct'lliralnydl ora: iloczynu pola F jigu,), przez odleglosci a i b mi~'{/:y asiami. Pam(~tamy. it: jezeli ktorakolwiek z osi centralnych J'c lub zcjc.'il osia glOwn:.J I. to J'c:~.=n i we wzorze (7.lO) pozostaje jedynie iloczyn Fob, I Jezeli jed na z dwoch wzajemnie prostopadlych osi Yc lub Ie jest l»i,~ ];:!6\.\ Il'f. to iym ~ltll}'rn i Jm];:~ .'" jest osia glown~, CO ..... ynika 7. rozwazari podanych W punkcic 7.6. (a) } 89 7.5. Moment IJ.ezwladnosci wzgl~dem uktadu OSt obr6conych W zagadrueniuch zginania spotkamy si~ z takimi przypadkami, ze bedziemy midi wyznuczonc momcnty bezwludnosci przekroju wzgledem ukladu osi Oyz, a do obliczcn potrzcbne be •. h! moment}' bezwladnosci wzgledem ukladu osi Outl, nachylonych do osi y j;: pod katcm 0'. (rys, 7.7). Mamywiec dane momenty bezwladnosci i In omen t od s rod k OW)I wzgledcm osi J' i z: J). = J _:ldF, J, = f }'2dF, ,. F Jy.= Jy::dF, F {a) a chcemy obliczye moment bezwladnosci dla rewniez prostokatnego ukladu OSL OU!) nachylonego pod kqtem 1)'., y Jnk wynika z rys. 7.7, W nowym ukladzie wspolrzedne u i l' dowolnego punktu A 0 wspolrzednych y i ;: wynosza H = on = OK + KD = OK + BL= OBcos (l + A Bsin·}: = z cos I)'. + y sin a:, (b) (c) l' = AD = AL - DL = A L - KB= A B cos 0: - OBl>LIl 'J: =j' cos 0:- z sin 0:. M I) me 11 t y OC7.W lad nosci wzglede IU osi u i ~' wynosza wiec J. = f v2 dF= J (jcos z -.;: sin o:)2dF= 1.' r = f y!cos2adF - 2 J yzcos I)'. sin1:dF + J Z2 sin? o:dF, • F F po uwzglednieniu zas zaleznosci (a) i una logi czn ie (7.12) '~ 90 ~l -- -·1 7 _ M omen ty bezwladnosei IIgu r l}la,~ ich Podobnie obliczamy moment bezwladuosci odsrodkowy: J~. =} ul,dF= J [z cos (.( + Y sin ()!)lv COS,l- z sin C() dF = F F =cosl(.( f yz dE -sinlo; J yz dE-cos CI: sin« I .:~dF + sin ~ cos ~ f rldF= F F r F = J.,(COS 2 (.( -sin2~) -l-sinx cos 'J.{J. - J~), zatem O-IJ} 7.6. Osie gl6wne i momenty bezwtadnosci wzgl~dem osi gi6wnych W obliczeniach wytrzymalosciowych szezegolnie bcdzie nus intcresowal tab kierunek ukladu osi OUL', przy ktoryrn moment)' bczwladnosei wzglcdcm tych osi ~d4 osiagaly wartosci ekstremaine. Takie osie nazywumy osiumi xhj~rlj ... mi ... momen!y bezwladnosci wzgiedem takich osi - glchmymi IlWOl('I1lWlIr be:lL·h1(hw.~{·i_ Aby wyznaczyc kierunek osi l~. przy ktcrym moment bczwladnosci J. Iy-zgl,,;{icm (cj osi osiaga ekstremum, nalezy przyrownac do zera picrwszq pochodnq obliczona z zaleznosci (7.11) [anal 0 giczn y wy n i k 0 trzy mal i bi .. srny z Z<l lcznosci {7. I 2} J: dJ~ d,;=J~ - 2 cos 0:( - sin ,x)+Jy· 2 sin X~O~.:J. - J:,. 2 cos 2,;( = = sin 2'J.{J, -i) - 2J"y cos 2(;( = 0; stad 2J 19 2.,() = _____2_ . J,-i~ przy czym te szczegolnq wartoSt: kqtu Cl:. przy kiorcj IUl)lH<:IHY bczwiuduosci osi,w:aj'l wartosci ekstremalne, oznaczylismy il(_l- Ekstremalne wartosci momentow bezwludnosci Jmn uraz im;" otrzymamy po podstawieniu do wzor6w (7.tl} oraz (7.l2} wartosci kutu :r. = 11) okrcsloncgo wzorcru (7.14). Po zastosowaniu tozsamosciowych podstawicn: 0_14) . z 1-cos 20: 8111 'x = oraz 2 1'>'7.0 rj' (7.1 I) j (7.12) przybi 0 r~ postac: _ J"+J, i.,-J., . .: J~ - -2- --2- cos 2(.( - J" .•. xrn 2;1. 1 I + cos 2c.: cos '.l=---- 2 0.15) J.+J. J).-J, . i< = -2-' +-2-- cos 2,1 +J~J SII1 2·,. t 7.16} ) Podstawiajqc do tych wzorow zaleznosc (7.14) poprzez tozsamosciowe zwiazki: otrzyrn ujcruy 0.17) Aby wY/naCl.yl' moment bezwladnosci odsrodkowy i., wzgledern osi glownych, nalcz y do IV zoru (7.13) pod stu wic zaleznosc (7.14), przedsta wiajac j'l n a przyk lad W pOS l aci: xi n 2.1{l = cos 20:0 tg 210' a wowczas . 2 ( J~ - r, 21z! ) . =t;OS .10 J:y+ ."2 j,-i. =cos2-lJ..J:.'-J:~.}=O. Wi dz i l i1 Y wiec, zc monte nt bczwl ad nosci odsrod kowy wzg ltd em osl glownych jest ruwny zeru. W podsumowuniu mozemy stwierdzic, ie przez dowo1ny punkt plaszczyzny przckroju poprzcczncgo (Iigury) mozna poprowadzic takie dwie wzajemnie prostopadle osie, ze odsrodkowe moment]' bezwladnosei przekroju wzgledem tych osi bedq rowne zeru, a mornenry bezwladnosci figury (przekroju) wzglederu tych osi osiagaj: ekstremalne wurtosci (wzgledern jeduej OS] maksimum, wzgledem drugiej minimum), Osie takie nazywamy osiami gloH'llymi przekroju w danym punkcie, W pre .. .ie pryzmatycznym OSLC glcwne tworza plaszczyzny, ktore nazywarny plaszc::_rzrwmi Kldlt'u_rmi J'f~'la. Jezeli osie glowne przechodza przez srodek ciezkosci danego przckroju poprzecznego, to takie osie nazywamy g/vwll}'mi centralnymi osiami bc:wladrw.ki dmlq~o przckroju. 7.7. Koto Mohra dla moment6w bszwladnoscl Porownujac wzor U.17) ze wzorem (3.1l) oruz wzor (7.14) ze wzorcm (3.l2), widzimy.ve budowa tych WlOfOW jest identyczna: wystarczy momenty bezwladnosci J r: J. ora? J,~ podsrawlc w miejsce naprezen a.: 1j"F L r, aby wzory (7.n) ] (7.14) zamienic WI,,:' wzory p.ll) i {3.12}. l'odobnie wiec jak w rozdz, 3 wzory na naprezenia dOl I y si~ lat WQ przed s [a w if za porn OCq kohl M ohra, rown lez i wzory (7, 17) oraz 0, 14) pr/.L:dsta wi III y W postari kola Moina dla III 0 m ClHQW bezwlad nosci (TYS. 7,8). Obierumy oxic ukladu wspolrzcdnych W len sposob, ze na osi odcietych odkladac bedziemy momenty bezwludnosci wzgledem osi (1,., J", J ",,,' In.i~)' a na osi rzednych morucnty bczwladnosci odsrodkowe iF Majac obliczone momenty bezwladnosci J,. J: ornz J,;. odkladumy punkt C w odlcglosci ~ - 1 1 '-1 7_ Momenly bezwladnosci figur p!aski~h i z punktu C zakreslamy okrag promieniem r = CK = CL: Rys_ 7.8. Kolo Mohra d[a mornentuw bczwladnosci Okrag ten wyznacza na osi odcietyeh punkty A oral B odpowiadajuce ekstremalnym wartosciom mornentow bezwladnosci wzgledem osi, Puukty K oraz L odpowiadajq danym mornentom bezwladnosci J; J" oraz J.,< ukladu osi Or: przekroju. Z rysunku 7.8latwo odczytac, zejezeli mamy dane kieruuki osi gtownych i morucruy bezwladnosci J max i Jmin wzgledem tych osi, to moment)' bezwladnosci wzgledem osi y i : nachylonych do osi glownych pod katem 0: wyraza sic wzorarm: 0·19) W przypadku odwrotnym, gdy mamy obliczone mornenty bezwkulnosci J}. J~ oraz J'FZ figury wzgledern dwoch dowolnych, wzajernnic prostopadlych osi j: i z; ... chccrny okreslic kierunki osi gioV>'TIych i momenty bezwladnosci J"on i J",;n wzgledem tych osi, mozemy zastosowac wzory wynikajace bezposrednio z kola Mohra (rys. 7.S): 2J~ .• tg2tt= J -J 1 1 " (7.20} (7.21) Jak widzimy, wzory te S,! analogiczne do wzorow (7.14) oraz 0.17). ,-- ) - --~ , -- - 1 ~.--~ ZGINANIE 0.1. Uwagi og6lne. Rodzaje zginania '-I ~--l Jak wiudomo ze statyki, dowolny przestrzenny uklad sit mozna zredukowac do wektoru glownego i momentu glownego, ktory jest para sil. W wytrzymalosci matcrialow za punkt redukcji obieramy zazwyczaj srodek ciezkosci 0 przekroju poprxecznego preta i dziulanie odrzuconej w rnysli czesci preta zastepujerny wektorern glownym tv i pur,! silo momencie Mo (rys, 8.la). Wektor glowny W rozkladarny na dwa wzajcmnie prosropadle kierunki, a mianowicie na kierunek normalnej do przekroju (olrzymujemy skladowa norrnalna N) oral. na kierunek styczny (0- trzyrnujerny skladowa styczna 7) (rys, g.l b). Podobnie, wektor M CI rozkladarny na dwic wzajcmnie prostopadle skladowe: skladowa styczna M,. lezijq w plaszczyznie przek ro j u poprzecznego preta (rys. 8 .1 c), i na s k ladowa M. - norma Inll: do tego oj y bl y cl I~}'s_ ~. I. R~uld'HI wck .. om glo""'ocgo W ua slda!low~ n ormalna N i U1-iC"4 T oral momentu gJolimego M G na moment !lJ49' M. i skrt'o-aj-i~y M, - -} I -- J 8_ Zginanie :It.pu:ettoju, Skladow,a normalna M. powoduje skr~cani~ preta, ~l czyin mi)\~'jl!Sll~Y .. , w rozdz. 5, natonuast skladowa siyczna M~ powcdujc zgmaruc L nazywu ~II; H momentem g~lQCJ'm w danym przekroj II preta, Jezeli w danym przekroju uklad sil zewnetrznych sprowudz ... l sit do jednej tylko skladowej Al g> 10 mowimy, ze w danym przekroju wystcpuje ::gimwi(' c,:y_~/{, (rys_ 8.2a), Jezeli wystepuje rowniez sila tnaca T (rys, S.2b). marny przypadek ::;:iI/(1IIio Z udzialem sit poprzeczn yd!. 01 b] c) y yt »> H~ y ~ t 1 1 1,......-----:; ». ~ ~ Rys, 8_2_ Typowe przypadki zginania: aj zginanie czyste, b) zgiuauic > uJ.l:i<lt~m:;.ji poprzcl'I'Il_\ .. ch.c) /~"~Ili~ prostc lub plask ic Jezeli sila tnaca (poprzeczna) T oruz pam sil powodujaca zginunic pn.t;) dziuluja w jednej plaszczyznie zawierujacej osie glowne centrulne przckrojow poprzeczuych preta, to zginanie takie nazywumy plasJ,;,im I lub prostyrn (rys, 8,2c)_ Jc/t:1i flow}';~'iZj' warunek nie jest spelniony, wystepuje zginanie ukosnc Oab! sytuacje pokuzano up. na rys, 8_2a i b), Jezeli sily czynne (obciqzenia) i reakcje dzialajacc nu pret zginany lez: w jeduej plaszczyznie, to plaszczyzne [f nazywamy p/as::c_r::nq ::girumia_ Zginunie pluskic wystepuje wowczas, gdy plaszczyzna zginania pokrywa ~i\, z plav.clyzn., glownu zawierajaca os preta (tj. plaszczyzna glowllq t:awiaaj'!G! srodki 1,:i~Zkosl"i pr/ekrojow poprzecznych preta), W takirn przypadku os pretu podd.incgo zginaniu pozostajc nadal w tej plaszczyznie (stad nazwa: zginunie plaskie). w odroznicniu ocl l_gil].mia ukosnego, gdzie poczatkowo prosta os zginanego prO:la stajc si~ kr/_)'w<! pr.o'\'SlrA'luq (porowna j pk t 8,9). W przyjetym ukladzie osi Ox_rz (rys, 8,2) przy zginaniu pl .. skim wck ior uuuucntu gnqcego M skierowany jest wzdluz osi z; prostopudkj do praszc/,YlllY ,\y_ ilia uproszczenia rysunkcw wektor taki oznaczac bedziemy lukiern narysowuuym w pluszczyznie zginania X_I-, jak to przedstawiono na rys, ~_2c_ Moina nadmienic, ze prety pracujace glownie ua zgm'HlIl:' IlMy\\,aIllY ht'lkwni i nazwy tej bedzierny rowniez ui.ywac, I Podane uogolnienia dotycza pr~~Qw o przekroju zwartym, W pr zypadku nt~s}'n1~Lr~,'myd~ ~>r~ln'j"1\\ cicnkosciennych rnuszq h)-c spclaiunc dodatkowc wurunki, t'mLl",itme 1'\' Ilunh'i~ ~.\ I. k1L11'.:: J"I~'a~1 srodka sH poprzecznych. 1 ,-- J - , 8,2_ Dcf n icjc sil normajnych, sil tnqcych i momentow gnacych 95 8.2. Defi n icje sit norma I n ych, si I In qcych i mom ent6w gn qcych Ogruniczajac rozwazania do ukladu sil dzialajacych w jednej plaszczyznie zawierujqcej os belki, sformulujemy nastepuiace definieje sit normalnych N, sit tnacych T i momentow gnqcych M~: 1, Silq IlOrmatml N 1\' danytn przekroju poprzecznym belki IlGzywamy rzu: na kierunet: normainr] BTPudkm .. ej wszystkicls sil zewnetrznych dzialajqcych 110 CZfSC belki odc-i~'/(i t yrn przekrojetn, 2_ Sil{~ uUin{ T U' danynt pr::ckroju poprzecznysn beikt naz_1'n-amy rzut na plaszczyzJlr tego przekroju lL'ypadkou-ej wszystkicls sil zewnetrznych dzialajqcyr:h na CZfSC belki oddrtq form przrkrojcnr. 3, Momcntem guqcynr J.fg ,~' danynt przekroju belli nazJ'wamy .mm{' momentow (H'::gh'dl'm _~l'Odka ciriko,fd (ego przfkroju) wszystkich sit zewnetrznych dzialajq_cych no c:~,j(~ belJ,;,i oddf/(j_ tyns przekrojem. Przyjmiemy rmsl~pujlJ:c'l 111110\',''': dotyczaca zn .. kow sil norrnalnych, sil tnacych i mornentow gnacych: I. SUI' norntalnq' N uH'azm; bedziemy za dodatniq, jeieii rna zwrot zgodn}' ze ='~'rvl('1I1 normalne] zewnetrznej danego przekroju belki1 (rys. 8.3a), 01 Q} b] 8 bl -~ " " d" Rys, 1\,,\_ Ohc-"'llli..- zn~kim' ~il norumlnych N. rozc'i'l~Lj~l'~ c I ~ C + } ,'r.tZ kj~~;1 jucych (-) R)'5_ 8.4_ Okrcslenie zna kol'l ~H II1~cych T I P<lWyfSJ'~ '''mlllullJ''';lf!i~ pokrywu si~ 7. krytcrium dotychczasowyrn; dodatnia sila 1'. powoduje rt>tl.'i~r'Uli<:, ujcmnu '1l~ sdsk'Lni~ clcmcntu bclki o dlugosci d.r, przykgajaccgo do przekroju poprzecznego bclk i ,,~ rc ~IL)n~gn wsrblrl~<lll~ ," (J1'>r<' wna] I)'S, 8.J)_ ~ --} T - I 96 ) - - -} - --1 E. Zginanie 2. Sil? tnqcq T tHmiac bedziemy za dodatniq, jeiel! }1Jcifly w mysi! element belki siia ta bedzie sir starala obrQcic zgodnie z rue/rem ~.-sk(1=6lt'ek zegara (rys, 8.4<1), 3. Moment gnqcy M9 uwaiac bedziemy za dodatni, jeseti ~ycirlr H' myj/i dement belki stara .sir l~~rgiqc I~}'puklojciq do dolu (rys, 85a). a) y bl e Rys, 8. 5. Ok reslenie znakow moment t'm gn~~rch ,oW. Mozna nadmienic, ze ornowione wyzej definicje i znuki sil normalnych, sil tnqcych i momentow gnacych z tym sarnym skutkiem rnozna stosowac zarowno do lewcj, jak i do prawej czesci belki, odcietej danym przekrojem pop rzecznym , 8.3. Zwi azek m i*,dzy s iIi! tn"CiI. momenlem gn C[cym i obci "zeni em ciilgtym Rozpatrzmy ogolny przypadek belki obciazonej nie tylko silami skupionyrni, leo: rowniez obci azeniem ciaglym (rys. 8 .6a). 0] r Natezenie obciazenia ciaglego w przekroju bclki okresjonym WSP~)IrI'~dI14 _\' oznuczmy q",. Jezeli W odleglosci x od konca A wytniemy w mysli odcinek bclki 0 dlugosci dv, to dzialanie od rzuconej lewe j c?~i bel k i zas l~lP~C mozem y ~j 1,1 I n'!G~ T ora I. ill om ~nh.:'111 gnacym ,\'/~ (rys, 8.6b}, Podobnie w przekroju x+ dr dzialanic odrzuconej prawej cz~s.ci belki mozemy zastapic slla tnaca T -l-d Tomz momentcrn ~1H!t'jo'm Af" +JM~. guyi. 11<1 dlugosci dx belki nastapil przyrost sily tnqcej i przyrost momcruu gnqccgo. Rown<lnia rownowagi odcinka belki przedstawionego na rys, 8,6b rnajq nasttPuj~~q postuc: -1 , '-1 ~-l 97 rownanie rzutow na os pionowa (a) ! rownanie mom ell low wzgledern srodka ciezkosci C przekroju poprzecznego belki okreslonego wspolrzedna x LAIc = -lHg - q~ dx·~Jx+(M@+dj\J g}-(T +dI) dx=O. Z rowuania (a) otrzymujeruy (b) (8.1 ) Widzimy wiec, ze natgieni« q", obciaienia ciqglego jest rQwllf" pochodne] sily tnqce] T(wzgl,,'1icm wspolrzednej .v), wzietej ze znakiem minus 1_ Z rownania (b) wajdujemy Poniewaz wyruzy c.h,2 oruz dTdx jako iloczyny dwoch wielkosci nieskoriczenie malych So! malymi wyzszego (drugiego) rzedu w porownaniu z dwoma pozostalymi wyruznmi zuwiernjqcymi nieskonczenie male w pierwszej potedze (lj. dM, oraz dx), przcto row na 11 ie powyzsze rnozem y na pi S<lC w postaci: dMg-Tdx=O~ dMg T=-d· \ (8.2) Sila tuqc« T w danym przekroju belki jest r6!~'lw pochodne] momentu gnqcego M g (wzglcdem ws pol rzedne j x) wystepujaeego W l yrn przek roj u. 8.4_ Wykresy sU tnijcych i m oment6w 9 n ~cych Przy przcprowadzuniu obliezeri wytrzymalosciowych belek zginanych korzystac bedziemy z wykresow sil tnacych i momeruow gnacych, Wezrny dla przykladu belke o dlugcsci I. spoczywajqca na dwcch podporach i obciazona sil'l P (rys, S.1a}, Wyzuaczamy reukejc podporowe: Rot = PI!(l- a) oraz Rll = Paltl-« a) i prowadzimy przckro] poprzeczny 1-1 (rys, 8.7b), Oddzialywanie odrzuconej w mysli (prawej) cz~,~i bclki Z<LSl,<pujcmy sila llqCq TI j momentem gnqcym M 11. Z rownari rownowagi rozpatrywaucj czesci belki znujdujerny I Zml~ minu-, "'ynlLi 7.l'rl}j~l~j umowy .Jll!."<,:"l'lL'{'j zlla~o",. sil tnqL'}~'h oral If: zwrotu (ll'M;i~knia q. na rys. j(t'> ,~wwl 'f. lll, <.Il,fur t Si I~ • n4L';I i 1ll00ncm gn~q ..... i' rJ'c~ roju pr l~lb.Jam)' jako dodatnic, 7godnj~ z prz)'j~t~ umowa ~P(}!. rys. K4~1 ,H;I t, ~,Sa), } S, Zgiaanic JH.=-PxL• Powyzsze wyraienia na sitt maca T i moment gll~!<, • '! ~ maj., lab, sunu] posuic tlla kazdego przekroju poprzecznego polozonego w przcdziu!e miedzy lew.! podporq a silO! P, tj, dla 0.,,;; .\'1:::;: a. D la d a 1 szej czesci bel k i, to jes t w przed ziale micdzy podporarni, polozenie dowo lncgo prze k ro ju oznuczym y wspol rzed n~ .r~. Podo bni c jak dla przedzialu pierwszego, prowadzimy przekroj 2-:! i rozpatrujcrny rownowuge lewej czesci belki, zastep Llj,!C SI I" tm!c.! T 2 oraz mo me n tem AI 2 J zialu 11 LC oJ rzuco uc j w rnysli czesci prawej (rys, 8.7e). ol r x I x2 -.-12 bl t r I p , , ,-, : )~, x I c, r 2 p a :~ ._- _ _ ._. ' Ml R .. "'2 2 ell ('2 ~13 H, l' x el T, I Rs 12 r Z warunkow rownowagi CJ:~Scj lewej (rys, I ... 7c) znajdujcmy l'I Po 1'2= - P+ RA=-- p= -7-·', 1-(1 [=u PI ,Pa{x,-I} M2= -Px2+RA(xl-a)= - Px2+--{x2-a,= I - . I-a -0 (a) {b) h.!) !I.4. Wykr-cs}' sil tnqcych L momentow gnacych 99 Gdybysrny zumiast lewej czesci belki rozpatrywali prawa cz~st belki (rys. S.ld), o trzym <I!i bysm y ta k ie same wyn ik i: . Fa Tl=R8=-I-' -a (e) -Pa Mz= - R,/.,I-x;J=-t -(i-x;), -a (0 Zauwazmy, ze w kazdym przedziale ze zrozniczkowania wyrazen (b) i (d), tj, momenrow gnqcych, otrzyruujemy odpowiednio wyrazenia (a) j (c) (tj, sily tnace), co jest zgodne ze wzorem (8.2) i sprawdzanie tego kryterium mozna stosowac jake jedna Z metod wychwytywania cwentualnych bIrd6 ..... obliezen. Wykres sil macych i momentow gnacych sporzqdzimy dla nastepujacych danych liczbowych: 1=3 m, l~= 1.2 rn, P=600 N. D1a tych danych RA = WOO N, RlI=4O{} N. Mnksymalny moment gl1'JCY wystepuje nad podpora A i wynosi Mro.~ = 720 N· m (niut onoructrow), Wykresy sil uujcych i momentow gnacych pokazano na rys, S.le i f. Przcdstnwiony wyzcj 10k postepowania zwiazany Lt:, sporzadzeniem wykresow sil tnqcych i momentow gL1<J,C)'ch stcsowac nalezy W obliczeniach kazdej belki, lecz wzory i wyni ki ooliC7.cii wygodniej jest F.npisOlC· w postuci tablicy, Cale obliczenie rozpatrywa ncj bclk i przcdsta wiono W tabl, a.l. T .... ~LI(' .... 11.1. Ohlic;.cnic bclki do rys, 8,7 Obliczenia liczbowe N. Grunicc ;<jilJ !Il~ca Momcn t g.n~C)' T M. puc",Vi;ll LI przedzialu T M. x m N N'm L 1.1 :::;x~ ~.(I -f' -r'~L '~'L=O -600 0 .\',=(1 -600 720 ~ a~_\·~~' -I'+R~ - I'x2+ R~{xl-a) x2=a -400 72(} ~ .'1:1=1 ~400 0 MOLLl<t nadmienic, ze na wykresie 8.7f tangens kata C(2 uachylenia stycznej do wykresu rnomeutow Mg jest rowny sile tnacej T, czyli rzednej na wykresie 8,7e. W przcdzialc pierv .... szyrn tangens tenjest ujemny, rowny - P, w drugim zas przedziale dodatni. rtm'ny RjJ: tg !:tl= 1'2= RB· Jako nustepny przyklad rozp .. trzymy belke podpartq na koncach, poddana dziuluniu ooci.~icnia ci,!glcgo if N/ml W sposob pokuzany na rys, :-I.Sa. Dla belki tej mamy w y k 0 n ac wy k rcs si I tnqcych j mu me utow gn qcych, 'L rowuuri rownowugi wyzuuezamy rcakcje podporowe: ) a) r W przedziale pierwszym sila tnaca wynosi T, = + R •. a moment guucy M 1 = ·1 R.,.\ I' W przedzi a le drugi m sila t n 'lea wyraza sie wzo rc rn: a moment gnacy T A~U('."" 8.2. 001 iczc nic bclk L do rys. ~.~ Oblie ...... niu lic·,h,)\.\l;' Nr Gran ice Sila maca Momen t gJl~cy prze- przedzialu .\' T ,\f • dzialu T M. m N N'm - O.s;;xl '" ~J RA=~'/t , (J ~'II II 1 R~Xl ~I ~'11 ic"r' !t ~41 ~~c,,1 ~ j{.s;;x~S;;{ Rr{~l-jl) { q 2 R~X2-~ Xc ~/) . :,</11 .\"mn=~~ I) I -~"I I) (g) 101 {h) Powyzsze wartosci wpisujemy od raw do tablicy (tabl, S.2) i obliczamy wartosci sil tnacyeh i momentow gnqcych dla koricow przedzialow. Sporzadzamy wykres sil tnqcych (rys. 8.8b) i widzimy, ze w przedziale drugim sila tnaca przybiera wartosc r6wn:J: zeru, a wiec zgodnie z zalcznoscia (S.2} w przekroju tyrn moment gnacy osiaga wartosc ekstremalna. W tym przedziale wyrazenie na sil\ tnaca [zaleinosc (g)] przyrownujemy wiec do zera i wyznaczamy s xlJU]:="9/. Moment gnqcy w tym przedziale osiaga maksimum i wynosi [z rownania (h) dla x 1= X""J Zauwuzymy, :lC w przcdziale drugim wykres momentow gnacych jest parabola stopniu drugiego (rys. }!.8c}, ktoru mu wierzcholek dla x",a.=!l i w danym przypadku podchodzi stycznie do prostej sranowiqcej wykres momentow gnacych w przedziale pierwszyrn (sib tnuca T, a wiec i kat nachyleniu stycznej do wykresu momentew gnqcych. zmicnia .o;i~ w sposcb ciqgly na grunicy przedzialow). 8.5. Opis odksztatcen belki poddanej czys'emu zginaniu Postepujac podobnie juk przy skrecaniu, gdzie analiza odksztalceti pozwolila ustalic zuleznosci prowadzuce do obliczenia naprezen w pretach 0 przekroju kolowyrn, rowniez w przypadku zginunia przeprowadzimy najpierw dokladniejsza obserwacje odksztulccri, jakie powstuja w precie zginanyrn. W ezrn Y pryzma t yczny pret 0 p rzek roj u prostokqtn yrn i na jego powierzch niach bocznych narysuirny siatkc utworzona z linii rcwnoleglych do osi preta oraz z linii obwodow y ch tci4cych w ptaszczyzuach przekrojow poprzecznych preta (rys, l:l.9a). Oznuczmy litcrami /I, B, C. D punkty siutki polozone Vol jednej plaszczyznie przekroju poprzeczncgo pr~[ u , <I literumi A I' BL, C1, Dl - punkty drugiej plaszczyzny, [ak to poka 1: .. no nu rys, 8. 9a. p rzcdstu wi ujacyrn pre l w stan ic nteodksztalconym. Jezeli teraz w pionowej pluszczyznie symetrii .\y obciqzymy pret parami sit 0 momeruach Mi' lo zauwazymy, if.! W odksztalconym precie linie obwodowe pozostanq plaskie, a plaszezyzn y p rzekroj ow poprzecznych ABe j) i AlB I C I D 1 nachylq si~ do siebie pod kq tern U (ry s. 8. 9h). W 10k n [I B B I s~~ s k roca, wl6k.na D D I si~ wyd I ui~, a d lugosci wlo k.ien ) 102 a. Z~jnanic 0) y z )I b) cl y CC I polozonych w polowie przekroju nie ulegna zmiunie. W zwiazk u Z tym, ze wlokna gorne ulegly skroceniu, w tej czt;::ki w kierunku poprzccznyrn pret si~ rozszerzy, w czesci zas dolnej zwezi i prostokatny przekroj !"'ppr/cczny rn;ta przyjmic ksztalt pokazany na rys. 8.9c (zblizony do trapezowego). Skoro narysowane na powierzchni bocznej preta lillie obwodowe pOl.Os1all<~ w jednej plaszczyznie, to nie rna powodu przypuszczac, aby w srodku prcta przekroje poprzeczne nie rnialy pozostawac plaskie. Poniewaz uklad przedstawiony na rys, K.% spelnia warunki symetrii wzgledem plaszczyzny piouowcj przeehodzacej przez punkt 0, a koncowe przekroje preta - ja k mozna na ocznie st wie rd zie - pozosta j<~ p b skie, to mozna przypuszczac, ze wszystkie przekroje poprzeczne W odksztalconym precie pozostaja Plaskie (tzw, hipoteza plaskich przekrojow). Druga hipoteza, dot yczaca pretow poddan ych czys I em It I.gi na n i u, 0 pic ra si~ 11" tym, ze wzgled ne odkszta ken ia poprzeczne pre t a s,~ w kuzd yrn p u nkci L:" l· I uzy mniejsze od odksztalcen wzdluznych, a wiec istnieje zwiqzck miedzy odksztalceniurni iden tyczn y jak przy zwyklym rozci qgani u {I ub seiskun i u). W yni k i badan po l w i ~rJzi Iy slusznosc tej hipotezy i przyjmujemy, ie w precie poddanym GYSlCIlHL zginaniu poszczegelne warstwy rownolegle do osi preta znajduj.] _,.;t~ w jednokicrunkowym stanie napiecia (tzn, so! rozciagane albo sciskane) i nic wywieraju nu sicbie i~Ldll}'dl naciskow poprzecznych. Wlokna polozone w poziomej (przcd odksztalccniem. rys, 8.9a} plaszczyznie symetrii xz nie ulegaja ani wydluzeniu, ani skroccniu, przeto naprezenia w tych wloknach so! row ne zeru. Powie rzch nic ut w OrLO n ,I Z rye h wI l) k i en nazywamy warsurq obojrtnq. Kruwedz przeciecia si.,-: warstwy obojetnej z rh;.zCI.}'zrl'~ przckroju poprzeczncgo zginanego preta nazywarny mit{ orU!klllq. t. 8.6. Ana Hza n~pr{icii w precic zginanym 103 8.6. Ana liza nap n~ze n w prec ie zg inanym Prze l nij Illy w m ysl i plaszczyzna A BeD pre; p rzedstawiony na rys. 8.9b i rozpatrzmy rownowuge lewej czesci preta (rys, S.lOa). Jak stwierdzilisrny, w~okna eel nalezqce do warstwy obojetnej nie ulegaja ani wydluzeniu, ani skroceniu, a wiec naprezenia W tyeh wloknach so! rowne zeru, Jezeli promien krzywizny warstwy obojetnej oznaczymy (l, to dlugosc odcinka eel wlokna warsiwy obojeme] mozemy wyruzi C WlO re m: (a) Wlokno K K I po lozo He w odleglo ki y od warst wy oboje tnej przed od ksztaloeniem mialo diugosc rowna eel = O{J, natomiast po odksztalceniu KKl =(p - y)O. bl -, ~ J..l -: -{ ~ d} z ~.- I; .. · I; ~ .~ 8. Z.gin~nje :.~Lenje (skrocenie) wzgledne wlokna wynosi wiec . "f' KK,-C(\ (p-y)U-pO . y ~= =._- eCI i~a 1) Naprezenle G" jakim sciskane jest 10 wlokno. zgodnie z prawern Hooke'a wynosi 1.1", = r;E, zatem (8.3) )1 ~ o~= --E. P Dla danego przekroju promien krzywizny p zgietej bclki jext sruly I ({I =wn!;t). zutem t: powyzszego wzoru wynika, ze naprezenia w poszczcgolnych puuktach przekroju poprzecznego belki zginanej zmieniaja sie proporcjon .. lnie do odleglosci tych punktow od warstwy obojetnej, jak to pokazano na rys, 8. ~O<l. Nuprezcniu tc muszq zapewniac rownowage rozpatrywanej czesci pretu (rys. 1l.1 Ou). Jezeli symbolem dP oznaezymy element pola przekroju poprzecznego polozony Vi odlcglosci y od warstwy obojetnej (rys, 8.1Ob), to elernenturnu siia dziulajacu na tym roll! wyraJ;'L si~ wzorem dP=o, dF, a po podstawieniu zaleznosci (8.4, (:-:'.4) dP.,. -[EdF. p Z warunkow rewnowagi preta wynika, ze suma sil dP zcbrana nu calym Pf/.CkrOjLJ poprzeeznym preta musi bye rowna zeru: J~. Ef J dP= - ::...EdF= -- yuF=O. F P P F .- Poniewaz dla calego przekroju poprzecznego preta zarowno ruodul Younga E, jak i promien krzywizny p jest staly, przeto rnoglismy te wiclkosci wyuiesc przed znak calki, Zarowno modut Younga E, jak i promieii krzywizny p w precie zginanyrn s<~ rozne od zera, zatem wynik (c) sprowad za sie do wa run k lL: }ydF=O. (8.5) F Otrzymana calka jest znanym z mechaniki morncntern sunycznym przckroju, Calku til jest rowna zeru wzgledcm kazdej osi przechodzqccj prLCZ srodek ci~i.~o,~i. zutcm wynik (8.5) oznacza, i.e warstwa obojetna przechodzi pr:«: .rwdki ('ir~ko'\'~·i pc.'kl'Oj!;ll' poprzecznyclt preta. Poniewaz odksztalcenia pretow zginauych wykonanych 7. materiulow stosowunych w budowie maszyn sa b .. rrdzo male. przcto przyjmuje ~j~. i.e os obuj\!llw jC~1 prosta przechodzaca przez srodek ciezkosci C(t> jak to pokuzauo nu rys, :-:'.lOb. , W danym prl~'padklJ przy czystym r.askim zginaniu belki H Sl;ll}", pu~~rL.jLl rWllli~li ~r/Y\\ i,n\ f,.i.·,. jed nakowy dla calej d tugoSci bel ki. (b) (c) s'c>. Aua 1 iza napr¢en w precie zginanym 105 0.1 wursrwa obojetna przy ezystym plaskim zginaniu preta 0 stalyrn przekroju jest powi e rzch n i~ wa lcowq, Moment elementarnej sily dP wzgledem osi obojetnej (rys, 8. lOb) wynosi dP y i sumn tych momentow zcbrana na calym polu Fprzekroju poprzecznego preta musi rownowa:i.y(- przylozony do pretu moment M§, a wiec drugi warunek rownowagi rozpa l rywane j be 1k i (rys, 8. to) przybiera postac: Iy £J M~= f dP_,.= - -EdFy= -- y2dF. to" • P P F F Ot rzym a ua I:U I ka jest zna nym z poprzedniego rozdzi alu momen tern bezwladnosci przekroju poprzecznego preta J:: (d) 1.:; Iy2dF, F zu kill zalez 11 osc (d) mozerny za p i sac w postuci: 1 }~I g -p= - EJ: (8.6) (g.7) po podstawieniu zas wzoru (8,4) I r fj~=Jf~":"". Jz Z otrzymanej zaleznosci widzimy, ze w zginanym precie naprezenia w przekroju poprzecznym S~! wprost proporejonalne do odleglosci j- danego punktu przekroju od warstwy obojetnej, jak to przedstawiono na rys. 8.1 (Ie oraz d. Zgodnie ze wzorem (8.8) w precie zginanym najwieksze naprezenia wystepuja we wloknach polozonych najdalej od osi obojetnei, W przypadku gdy os obojetna jest rownoczesnie OS1::'I syrnetrii preta (jak lo przcdstuwiono na rys. 8.10), najwieksze naprezenia GlI1a~ wystcpujq we wloknach dolnych (rozciagajqcc) i we wloknach g6rnych (sciskajace). Dla uproszczenia IN.':H':glplne wartosci tycls naprrzen maksymalnych nazywarny IWprf:t'niami X1U{(rmi i oznaczamy I'I"~, jak ro zaznaczono na rys. 8.1Oc j d: (8,8) 0" -~ - I~ I -1\( J' .... ~-""m::u.- ...... min -" • J. (8.8a) Podobnie j .. k przy skrecaniu. gU/je iloraz biegunowego momentu bezwladnosci J" przez od!t:glosc uujdulszcgo wlokuu 11, ... , oznuczylismy Wo- tuk i przy zginaniu iloraz moment u bczwladncsci }z ""I.gl~dcm osi obojetnej :: przez odleglosc Ym.ll najdalszego I W/,'r ~~.~) c,hdlOi 1x·7.\'vl~l<;tlll;~ """rL,,S': ~'lr~z...lIia cr,. l rrl}j~l.;j umowy, z.: dodumi moment En~q' w}f,n" !'LuiL"";, Ix·[~\· "'yp u U"s.·i:! J., JL'!U V~·S. K5"I. wyniku, Zc whiknu g':>rn~ bt.;lki s~ Socjsbn~. a dolnc r<>l~·i;~!!,"l"', l\nal,'giGlli~ dlu rbls~i~h ram (i pn;[ti .... zukrzywionych) przyjmuje s,i, Z2I dodatni taki moment ~n;!l·~·. l.. L'>ry .",wod ujc :<t:i skunic /cwrl,L ... ;n~ ~Il wl6~ len przekroj u porr7ecmego ramy (1 ub preta za~rf~ wiLmqtot. J 106 8. Zginanic wlokna od tej osi nazwremy wskainikietn wytrzymalosci przekroju 11(/ zgiuanio i oznaczyrny w~: (X_Y) a wowczas wzor (8_8) zestawiony z warunktem wytrzymulosciowym przybierze postnc: M o =~,ck 9 tv""'" 9' (8. ~O) gdzie kj jest napreieniem dopuszczalnym na zginanie, a Hi - ll-skainiki('fU 11'I'Ir:lmafosci na zginanie wzgledem osi obojetne] (dla uproszczeniu zupisu ..... O/Jl<~CZCi~ilL W_ opuszczamy indeks z), -- W wiekszosci przypadkow (z wyjqtkiem obciuzen zrueczcuiowych omowiouych w rozdz, 25) przyjmuje sie k~ = k._ Materialy kruche (zeliwo, beton, cegla, kumicu) maja wieksze naprezenia dopuszczalne na sciskunie /.< niz nu rozciuganie It,_ Dla tych materialow nalezy sprawdzac dwa warunki wytrzymalosciowe: I) dla wlokien rozci qganych 2) dla wlokien sciskanych (S.lla) gdzie )"J jest odlegloscia od osi obojetnej najdalszcgo wlokna nm:i<jgalli.:go_ a Y2 - scis ka nego_ Rozpatrzymy teraz nastepne rownanie rownowagi badancgo pn;l .. zgi1l<L1lego (rys, 8_9), a mi a nowicie rewnanie momentow wzgledern osi j', Juk wyniku I. rys. ~_I Ua i b, rownanie to przedstawia sit nastepujqco: LJH) = f JPz=O~ f- stad po podsta wieni u za leznosci (b) i wyni esicn i u przed zna k cal ki ~ t a lych J I a tb IH:gO przekroju 0 trzym ujem y - f~£dFZ= -~ JY:JF=O- F F Poniewaz zarowno rnodul Younga E,jak i promicn krzywizny zgi,,:lcgo preta p uie Sll rewne zeru, przeto otrzymana calka musi bye rowna zcru, Culka ta jest znanyrn r: pkt, 7 _] od srodkowym momen lem bezwladn osci przek roj II po przeczn ego pretu [wzor (7 _8)]_ zatem w rozpatrywanvm przypadku zginauia oretn prostcgo must bye ~'__'''''''''-:'' - .... _;:-.:.::.: ...... } ~ .6. ;\ naliza n~p~Zeil \'0' precie zginanym t07 f yzdF=J,• = o. F (8. 12) POWYZSZli zuleznosc oznaczu, ze os y oraz z musi bye oSlCJ glowna przekroju preta, a wiec IUlra sit powOdUjq("l~ zginauie rtiUsi teiec ,~. plaszczyinie za ..... ierajqce] osie gro .. ;ne przekrojow popzcc:mych preta. W takich tylko warunkach os preta pozostaje stale w plaszczyznie dzialania pary sB powodujqcej zginanie, co uzasadnia nazwe zginanie plaskie (pkt 8_1)_ 8.7. Wnioski i uog61nienia wynikaj~ce z przedstawionej teor1i czystego zginania Dla ulatwienia rozwazan i uproszczcnia rysunkow przypadek czystego zginania pretow prostych omawiulisrny na przykladzie preta 0 przekroju prostokatnym (rys, 8.9 i 8 _I 0) _ Pa ry si I 0 momen tach M g dzi alaly w pionowej plaszezyznie 5 ymetrii pre ta, po zgieciu os preta nadal pozostawala w tej plaszezyznie, byl to wiec przypadek czystcgo plaskiego zginania. Os obojetna przekroju poprzecznego preta przechodzi przez srode k ciezkosci przckroj u (pun k t Co na rys, 8.10), a nap rezenia od zgi nania zgodnie ze wzorern (8.8) zmieniajq si~ od zera (w warstwie obojetnej) proporcjonalnie do odlcglosci _.- danego whrkna od osi obojetnej z, W przypadku preta prostokatnego os obojetna ;: jest poziom: osia symetrii przekroju, przeto odleglosci najdalszych w!ok icn gornych i dolnych od tej osi Sq, jednakowe i naprezenia w tych skrajnych wlo k nach wy n OS14 (J g = ;\ f ~/ W:. gdzie dl a prostoka ta W. = J.I i h = btl 2/6. Wloklla gbrne pn;ta s<! sciskune. wlokna zas dolne rozciagane, jak to przedstawiono na rys. K 1001. Powsuije pytanie: jakie wnioski ~ obserwacje dotyczace rozpatrywanego pretu prostokatncgo mozna uogolnic na innc przypadki zginania pretow? Otoz istotnq ccclu] rozpatrywunego ukladu jest to, ze przekroj poprzeczny preta jest zwarty (uie cicnkoscieuny) i i.c sily czynnc i reukcje lei,! w jcdnej plaszczyznie glownej I zawierujqcej os pretu. W przypudk u zginaniu plaskiego os obojetna pokrywa sie / ... LWS/.C z osiq glown,~ przckroju poprzecznego pretu, przcchodzi przez srodek d~zkosci przckroju i jest prostopadlu do plaszczyzny zginania. Naprezeniu w poszczcgoluych wloknach preru SOl propcrcjonalne do odleglosci tych wlokien od osi nub lei, od warsiwy) obojetnej .... wiec w ogolnym przypadku, dla przekrojow niesymctrycznych wzgledem osi obojetnej, najwieksze naprezenia rozciagajace moga mice innq wurtosc bezwzgledru; tli;i: najwieksze naprezenia sciskajace. Wyprowadzone wyzcj wzory dotyczq zginania, gdy w kazdyrn przekroju poprzecznym preta dziala para sit 0 111 ome ncie A/9- J08 8. Zginanie Jezeli oprocz mornentu gnacego M9 w przekrojach poprzecznych preta wySI~puj'l rOwDiei. slly tnqce T, rnowimy, Ze jest 10 przypmkk zginauia z uri;iah'm sil l'OPf;('('Znych. Przyjmuje sie, ze wyprowadzone dotychczas wzory n~~ nuprezenia normalue . przy zginaniu 0 bowiazuja nadal, a ponad to wystap i ~I jCSZClC na p rezcn i a mace od sil poprzeeznych. Taki przypadek zginania z udzialcrn .til poprzeeznyctt rozpatrzony bedzie w punkcie 10.2. Nalezy podkreslie, ze w wiekszosci przypadkow zginunia held wplyw naprezen tnacych od sil poprzecznych mozna pominuc, gdyi: jest on istotny tylko w belkach bardzo krotkich, gdy dlugosc I bclki jest mniejsza od pieciokrotnej wysokosci h przekroju poprzecznego (/ ~ 51r). 8.8. Belkl 0 r6wnomiernej wytrzymaloscJ na zginanie W wiekszosci przypadkow zginania moment gnqcy zmicnia si\, wzdluz dlugosci belki, przekroj zas poprzeczny jest staly, a wowczas material belki jest wykorzystany w pelni tylko w jednym przekroju (gdzie wystepuje maksymaluy moment gnqcy MJII.J, jak to wynika re wzoru (S.IO): Jezeli potrafimy tak zaprejektowac belke, aby w kazdym jej przekroju nuprezenia maksymalne byly rowne naprezeniom dopuszezalnym, 10 rnowimy, ze jest to bclka Q rownomiernej wytrzymalosci na zginanie. Tak wiec, dla przykladu, jezeli wspornik obciazony sik! P checmy l .. aprojcktowac jako belke 0 rownej wytrzymalosci, 10 zgodnie ze wzorem (8.10) \.I,·ska;'nik wytrzymuloki na zginanie w kazdym przekroju okrcslonyru wspolrzcdnn .\" powinicn wynosic Jezeli przyjtmemy. ze belku ma mice ksztalt Wi..' ·fL~; 0 stalej wysokosci II (rys, 8.11 a), a zmiennej szerokosci bx• to wskaznik przckroju wynosi W., == :.b)/2 i po podstawieniu do WZOrLl (a) szerokosc belki nalezy zruieuiac wedlug zulcznosci: 6Px h~= h2k g a wiec liniowo od zera 1 dla .\" = n do h= 6Pllh21,;~ dlu X= I. 1 1~ k wyni ka Vi:. WlL}n.E [a], ",. miejscu prz)'lo7.cl1i~ ~ily 1'. tj, d '-I .\ ~ ~J, Ve'n'~<K.."' b, 1 k I II ,,'~tat.)" I>}'; r,,,,, 11,1 zeru, Poriiewaz rowniez ..... ystapia tu naprezcnia od kiJlani3 " wuh';';;i sredrucj r e= I':F~~,. /;llelll ten warunck decydujc <) wtasd ..... yrn z ..... ymiarowaniu swobodncgo k,,',c-a bclki, (a) (b) ~ .8. Befki {I rownom lerne] ",,)·tr.rymaloSci na zgi nanie I 109 ~ __ .;;_K _ _"P bl c) Rys, lU I. Bcfki wspornikowe CI ro ..... nomierne] \liylrl~malosci Dla betki 0 przekroju prostokatnym 0 stalej szerokosci b wskaznik przekroju wyruzi si,,; wzorem W. = bfl;/6. zatern dla belki 0 rownej wytrzymalosci zgodnie ze wzorem (a) musi bye spelniony warunek: hfl;, Px 6 v: g (c) Wysokosc bclki powinna si~ zmieniac parabolicznie od zera dla x=O do 11= 6PliM;~ diu .\. = I (rys, 8.11 b). Podobnie mozemy wyznaczyc prom belki 0 przekroju kolowym: {d) (rys, x. ~ 1 c). Ponicwaz wykonanie tak skomplikowunego ksztaltu byloby kosztowne. przcto P(l narysowaniu profilu tcoretycznego (w danym przypadku paraboli stopnia t rzeci ego) przyjmuje sic uproszczony ksztult opisany na profilu tcoretycznym, ogruniczajuey si~ na przyklad do trzech wymiarow srednic, jak to przedstawiono na rys. X.12a. Przykladem takich uproszczonych belek 0 rownej wytrzymalosci moga bye I 10 3. Zginanie resory pojazdow zlozone z kilku pior, na przyklud o jcdnakowej grubosci i szcrokosci, a odpowiednio dobranej dlugosci (rys, !l.12b). ~ ~ ~--:FJ~~a4 ~n? i ' ptalil ~o~ycmy Rys. 8.l2. Prz .... kt.ady rcallzacji belck CI rowncj wytrzymulosci 8.9. Zg i nani e ukosne Zgodnie z definicja podaua W punkcie 8.1 zginanie ukosne powstaje wowczus, gdy para sii wywolujaca zginanie nie dziala w plaszczyznie zawicrujqcej glowne centrulne osie bezwladnosei prze k roj ow poprzecznych pre ta. W ta k im p rzypa dk u we k lor AI g momentu gnacego nie pokrywa sie z kierunkiem OSt glvwtlych przekrojow poprzecznych, jak to przedsta wiono na rys. 8.2<1. J eze Ii we k to r .if OJ mo me n l u gn<~cego t worzy kat !"t Z osia .r (rys, 8, l Ja), 10 moment ten mozemy rozlozyc na dwie skludowc: oral. i wystepujqce tu zginanie ukosne traktowac jako supcrpozycje dwoch zginall prostych, przedstawionych na rys, 8.13b j c. o} b) y W dowolnym punkcie A przekroju poprzeczncgo bclk i 0 dodatnich w~pi}lr/.;dnych }", z na skutek dzialania dodatniego mOIllI.!"Il111 ;\/ 1 powstunq nuprezcma sciskajace (F;' 0 wartosci (a) (b) I III R <;I. Zginauie ukosne (c) jak lo pokuzano !HI rys. 8.13b. Na rysunku tym, oprocz dodatniego wektora rnomentu gn.!cego M, (skierowanego zgodnie z dodatnirn zwrotern osi y), dodatkowo zaznuczouo lukiem dzialanie rcwnowaznej pary sil, reprezentowanej przez wektor AI l' wyste P u jacej w plaszczyzn ie xz: Pod 0 hn i c na sku tek d zi a Ian ia dodatniego wek lora m omentu AI z (rys, 8, l Jc) w punkcie A powstanu naprezenia rozciagajqce 0 wartosci My a~ = J:. . (d) Przy row noczesn ym dziulu ni u obu m omeruow M 1 M, na prezenia w pun kcie A wynoszu Po pods I a W Len i u wy razen (a) i (b) do powyzszego wzoru na prezenia w punkcie A spowod owa ne d zi a ian [em mornen tu M. ~ wyraza si!( wwrem: Al~ cos," z + JV~ sin CI:_V Jf J, (8.13) gdzie y or .. z z So! wspolrzednymi punktu A, a J'f i J. - mornentarni bezwladnosci przek roju poprzeezuego belki wzgledem osi glownych centralnych tego przekroju, Jczeli do powyzszej zaleznosci podstawimy warunek o .... =0, to otrzyrnamy rownunie osi obojemej przekroju: AC cos c.: z M ~ sin o: )' ___:t.~ __ +. = 0; J, r, Widzuny wiec, zc us obojetnu jest prosta przechodzqca przez srodek ciezkosci przekroju poprzcezncgo. a jej wspolczynnik kierunkowy, czyli tangens kata /1", jaki tworzy os ohojetua z dodutnim kierunkiem osi j, wynosi (8.14) Db przckroju pokuzanego !HI rys. ~.I J moment hezwladnosci Jr (wzgledern osi y) jest wiekszy od J., zntem k.}l f{u odchylenia OSt obojetnej jest wiekszy od kata oX. Tylko .. ,,~ J[,': ":11; •. :f -112 w tym przypadku, gdy J~ = J" olrzymujcmy /3..,=!J': i os ohl,)j~lna pokrywa s.i~ z kierunkiem wektora Mi' W ogolnym przypadku - przy zginaniu ukosnym - os o bojetna nie po krywa si ~ z k ieru n k iem wek 10m momc n tu g n<j ccgo M ~. ,! wiec ni c jC1>1 prostopadla do plaszezyzny zgi nania, juk to wystep u je W zgi nan i u pros l ym, ~·1 a ksymalne naprezenia od zginania wystapia w punktach polozonyeh nujdulej od osi obojetnej, a okreslic je rnozna ze wzoru (8.1 J). podstawiajqc wspolrzedne tych punktow, Nalezy podkreslic, ze os pr~lil prostego poddancgo zginaniu ukosncmu staje sie krzywa przestrzenna. 1 II. Zginanie 8.10. E nerg i a spr~i:ysta w pretach zginanych Rozpatrzrny odcinek prcta prostego 0 dlugosci d.v, zgiuuny pan! silo momcncic M§ (rys, 8.14). Zgodnie ze wwrem (8.8) we wloknuch polozonych W odleglosci _r od warstwy obojetne] naprezenia wynosza Mozerny prljj'lc, ze naprezenia takie wystepujq W culyrn clemcncic prostopadloscieunym 0 dlugosc, d.r, wysokosci dp i szerokosci by (wyrniar rOprl:1.:-czll}' do plnszczyzny rys, g_ ]4)_ Zatern energia sprezysta nagromadzona w tym prostopadloscianic - zgodnie ze wwrem (2.10) - wyniesie (gdyz dF= b; dy). Po podstawieniu wzoru (a) energiu sprezyst .. nagromadzun .. w rozpatrywauym odcin k u preta zgi na nego wyra zi sie wzo rem: ~ , ..t ,---. -- ---- ."._L A 8 {a) 1 113 8. W. encrgia 5prfiysia w pretach 7.~inanych d V = J dV L = f(M ",)2dX dF_ f- J. 2E r Po wyuiesicniu przed znak calki stalych dla danego odcinka preta wzor ten przybiera postac: d V ==~:dx fy1dF. J;·2E~ F Otrzyruunn calka jest znanyrn momentern bezwladnosci przekroju poprzecznego pretu wzg lede m osi oboje tne j: J z = ! }'l d F, za tern l' (b} Encrgic okrcslona powyzszyrn wzorem mozemy wyrazic jako funkeje kata dO. 0 j_~ki poll dzialanieru momcntu M9 obrocily SL~ wzgledem siebie plaszczyzny przekrojow poprzecznych pretu - poczqtkowo rownolegle i odd alone od siebie 0 dx. Z rysunku 8 _ 1 4b w iLiac, ze dv = I~ d a. go zie p j es l prom ien iem k rzywi zny zginanego preta, Podstuwiujqc do lcj zuleznosci znany wzor (8.7): 1'J1/ -=-, P EJ. ot rzym u jcm Y dr M dx dO= _:_. = _9 __ P EJ. Energie sprezysu; nagrornadzona W odcinku preta prostego 0 dlugosci dx, zginanego - - .• ·1 momentcm 1\.-19• mozemy wiee wyrazic w postaci : d V = ft-f;dx = M., d~ = d02 EJ~ . {8.lS) 2EJz 2 2dx (c) Energia sprezysta w calym precie bedzie sum'! algebruicznq energii nagromadzcnych w poszczegol nych jego odcm kach i w}' razi siC wzorern: {MidX V= --. 2Ei. I (8.16) I L.W,,"<l jill}". i.~ W7.0r (~.I ~) IlltlLil.1 Ll~pisa': bczposrcd nLQ nil podstuwie 1")·5. 8. l4b, gdzie statycznic J ... i.,I"H~~· m"ILI~ .. 1 M. w~ kunujc i""'~' na drodzc k'lh)W,j •. W. zatcm Jl. =dl>~L\f ... w- ~- ··1 1 ~- -, _ ... 1 1 -----1 ~ .- -1 . Czesc druga 1 WYTRZYMALOSCZLOi.ONA HIPOTEZY WVTRZYMALOSCIOWE 9.1. Wprowadzenie W rozputrywunych dotychczas prostych przypadkach obciazen obliczenia wytrzymaloseiowc sprowadzaly SLf,: do sprawdzenia warunku, aby maksymalnc naprezenia obliczone Z odpowiednich wzorow nic przekroczyly wartosci naprezen dopuszczalnych, T a k wiec przy jednokierunkowym rozciaganiu sprawdzalismy warunek a,=NIF~k~, przy sciskaniu (jc=NIF~k" przy scinaniu !.r=TIF~k(. przy s k recaniu P retow kolowych rl1l.l~ = M, I WQ ~ k., a przy zginaniu <'1 ~ = J.J .,f W ..;:;: k §_ J ui. J lu t ]'I.: h prost ych przypudk ow na lezal oby d la kazdego nuucrialu przcprowadzac osobne badania laboraroryjne na rozciaganie, sciskanie. sci nan ie , sk recu n ie j zgm a n ie w eel u okresle n ia w)' t rzymalosci na rozciaganie, na sciskanie, na sc inun ie, na skrecanie i na zginanie, aby po uwzglednieniu odpowicdnich wspolczynnikow bezpieczeustwa wyznaezyc napreze n ia dOPUS1- czulne, Jednuk w budowie maszyu i konstrukcji wystepuja nie tylko proste, lecz rowniez zlozonc stany obciazen, odznaczajqce sie przestrzennyrn ukladern n aprezeri glownych 6., a 2 i a_" Aby ok reslic, przy jakirn wspolczynniku bezpieczenstwa pracuje dany clement- nalezaloby prxcprcwudzic budanie laboratoryjne przy zachowaniu takiego sa mego st osu n k U (J • : 62 : a j' ja ki i stni e jew na j ba rdzie] zagrozon yc h punk tach w czasic prncy danego elemcntu i ustalic, przy jukich wartosciach tych naprezef nastepujc zniszczenie materialu, Przeprowudzcnic tak ich hadar. byloby trudne i dlatego powstalo wide hipotez wyt rzymul osci 0 wych, pod ujqc ych k ryteria ocen y stunu wy tezeni a materia lu w zlozo n ym I 1 stanie naprezen w celu ilosciowego porownauin tego stunu z przypadkiem prostym, jakim jest zwykle rozciaganie. 9.2. Hlpoteza najwi~kszych napr~i.en normalnych ((T"",.) Jedna z najstarszych hipotez wytrzymalosciowych jest hipote:u naj~.'ir/.:.~'::;rdl tWI',,,ielrnOrmalf1)ci1omn.ogloszona przez Runkine'a I. \V mysl lej hipotezy o wytezeniu rnaterialu decyduje najwieksze naprezenie normalnc, wystepujqce ...... najbardziej zagroi.onym punkcie ciaia, A by wykazac JS III tne rO/ll ice w ocenie sto pn i a wytezeni <J materialu przy zastosowaniu poszczegotnych hipotez. rozpatrzmy elemcrnaruq kostk~ szescien n<:l podda n <:I dzialan iu napreze ti glownych U 1 > (J 1 > (f J- A by po rownu ni a sprowadzic do konkret nyc h licz b, p rzyj mujem y, ze O2= ~ (J l' a (f J = ~ a L- Jezeli kostke szesciennq poddamy zwyklej probic rozciagania i powstanie odksztalcen plastyeznych przy naprezeniach UI'I uznamy za rownoznuczne ze zniszczeniern kostki (rys. 9.1a), to w kostce poddanej rownoczesnemu dzialaniu trzech naprezeu rozciagajq- cych ° 1.01 = ~ o J oraz a 3 = j U " wedlug hipotezy u rowni c nic bezp iceznv stan n apr"len _J; mi!lx .. t' powstanie wowezas, gdy o 1 =Opl (rys, 9_ i b), W mysl tej hipotezy naprezcnia (J> i (1 uie ruaja zadnego wplywu na stan wytezenia materialu, jezeli tylko S,! I1lnicj~z~ od a I' Analogiczne kryterium dotyczy sciskania, Hipoteza tu rnu ruczcj znuczenic historyczne, bywa czasem stosowana do materialow kruchych (knmicri. bctou), 01 b1 , 9.3. Hfpoteza najwi~kszego wydtuzenia wzgl~dnego (~:m~J W miare nagromadzenia doswiadczen stwicrdzono, zc w wielu wypudkach hipoteza najwiekszych naprezeri normulnych nic pokrywa ~i~ z doswiadczeuicm, co I Wjli~m Rankine C 1~20 - ~R72), t 1 ll7 sklonilo de Saint- Venunta 1 do srormutowania tzw, hipOI('ZJ' Ilajwi"kszego wydluienia It':K/{'dneKo: 1:",,,,. W mysl tej hipotezy w rozpatrywanych dwoch koslka~h wowczas bedzic is In ial jed na k ow)' stu n \1.:yt-rrenia, gd y najwieksze odk sztalcenia wzgledne kostek bt;dq jednukowe. W przypadku kostki poddanej probie rozciagania nap rezcn iam i or I nujwieksze wydluzeu ie wzgledne wynosi (rys. 9.1 a) a t=~_ E (a) Dla k ost k i podd ancj rozciq gan i u na prezeni a mi G" l > a l > a l najwieksze wydluzenie wzgledne wy nos; (b) W mysl h ipotezy I:mn row noczesne dzi alanie na prezeri 17 l' (J 2 i (J 3 jest rownowazne z dzialanicrn naprczcu (T~I (rys, 9_la) wowczas, gdy wydluzenia wzgledne W obu tych przypadkach SOl sobie rowne. A zatem z porownania wzoru (a} i (b) wynika, ze (9_l) 2 Db rozpu I rywanej pop r .... .cdu io k ostki rozci qganej na pr~ien lami (f~. O2 ==:1 a 1 oral 1 id - (.13= 3<71 zc wzoru (9, ~) 71HlJ ujemy Dla stali (l' = 0,3) otrzymujeury a 1= opll( 1 - 0,3) = lA3ur,· Widzimy wiec, ze wedlug hipotezy j:ma~ naprezcnie (11 moze bye w danym przypadku 0 43% wieksze ad granicy plastycznosci a~1 i dopiero wowczas zacznie sie proces odksztalcen plastycznych kostki przedstawionej 11.1 rys, 9_1 b. Hipotezu I:m"~ dawula znacznie lepsza zgodnosc 7. wynikami doswiadczen nil hipotcza a~.u i byla powszechnie stcsowana jeszcze w poczatkach obecnego wieku. Obecn ie bywa SIO sowana do m a terialow k ruchych, ja k k amien, beto n, zeliwo itp, 9.4. Hipoteza najwi~kszych naprEtzel'i tnijcych (trnaJ Hjpotezy Um~' i I:m., zawodzq calkowicie w przypadku, gdy material poddany jest 7~ wszystkich stron dzialaniu jednakowych naprezen normalnych (rozciagojacych lub ScLskaj'lL.'ych)_ Stwierdzono bowiem doswiadczalnie, 7.C kostka szescienna moze bye poddana dzialaniu cisnienia hydrostatyeznego wielokrouue wiekszegn oJ wvtrzvma. Iosci na sciskanle Re, a mimo to w i:.adnym punkcie nic powstuji, ,;Ili odl.:s~lat~'\.'nia plastyezne, ani rozkruszenia materialu, Ch~mkkrystj'czn4 {:CdH! wvr{)iniaj'I!.:~~ taki stan obciazeri jest miedzy innymi to, ze kolo Mohra dlu takiego sLa;m jest punktem (0" 1= (J 2=0). a .. vi~c w kazdym dowolnym przekroju omuwianej kustki nuprezenia styczne sa rowne zeru, Na tej pooslawie Coulomb I sfonuulowa: tzw, tr;polt'~(' naJ\~:ifksz~'('h naprrieli tnqcych ('mn)- W mysl tej hipUIC-I.}' W czasic zwykle] prohy rozcragama u plas l yczn i enie pro bki (rawnoznaczne ;..:c z n iszczeni C Ill) po ws Laj l' nic dlatego, ze napr~~en~a rozciqgaj~l.'C w probce osi.~gn\,ly wartosc (Jrl• lccz dlatcgo, ze najwieksze naprezema styczne 'ma>: osiqgn\ty wartosc krytycznq, w}'[]nsz'lL'~! w przypadk.u zwyklego rozciagania [rys. 9, la) W trojkierunkowym stanie naprezen, gdy U I?-Q' 2? G J' nujwieksze naprezeniu stvczne powstaja w przekroju naehrlonrm pod kqtem 45~ do kicrunkow llapn;/.eLl a i ~ i 5-;,L • , , • • L J • rowne promieruowr najwiekszego kola Mohra (rys, _1,<)0); (9_1} Z, porownania wzorow (a) i (9,2) widzimy, ze 'IN mysl hipotezy r",;,. niebezpieczuy (tJ. rownowazny ze zruszczeniemj stan naprezcn w kosice poddanej Ir6jbcruHk owemu dzialan iu nap rezeri (J I ;. {1 2 ~ (F J po ws [aj e \H) wczus, gdy Dla rozpalryv,'<ll'le; przykladowo kostki 0 n~p"'z~ni,tch (i a -! _ ~ _ j n ~ ,J '" " l' 1- JOT 1- " .. - J" I (rys, 9.lb) ze \VZOrU (9.3} otrzymujemy (j 1 = 1.50'~,_ OZlWl'I<L to, ze uaprezenic rr I mOlc bye 0 50% wi~ksze?d gran icy plastycznosci "'pl. zanim powstunie w kustce krytyczny stan za~oc14tk.owuJ'Icy plyniecie materialu, Tab wynik wykazuje IcPS7.~l zgodnosc ~ dosw.lad~zeniem szezegolnie dla materialow plustyczuych hta! niskow~glow,l) I obeenie hipoteza <mn jest szeroko stosowana ua rowni 1 hipoteza Hubcra, daj,w<~ wyniki najbardziej zgodne z doswiadczeuiem, 9.5. Hfpotez a H u bera Zastanawiaj'lcy fakt. ze kostka sZcScienna poddana w~zechstron[]cll1u M:iskaniu nie ulega zniszczeniu przy wieIokrotnym nawct przekroc7cl1iu \\'vtrl.vmaloSi:i rlH kiskanie. mozna skomentowac w ten spowb. Zc r.:al'l cll,,;rgia wr,"d;)\\.'a~l" w koslj..;~ , Cbarks Coulomb (!1JO- 18(6), (a) ~--1 -1 1 ~' 1 H9 9.5_ Hipoteza Hubera idzie na odksztalcenie objetosciowe (kostka szescienna nadal pozostaje szescianem). Z tego mozna wysunac teze, ie data moga doznawae nieograniczonych odksl.taJc~6 ob j~ l osci, jezeli postac ic h nie u legnie zmianie, to znaczy jezeli szescian nadal pozostame szesciancm, Tego rodzaju rozumowanie naprowadzilo prot: M.T_ Hubera I na pomysl s form u to wani a hi potezy, ze 0 zn iszczeni u pro bk.i decyd uje nie ta ~ energii, ~t6 ra idzi,e un odkszutlcenle objetosciowe, lecz jedynie ta C'l~5C, ktora idzie na odksztalcenie postaci, Poniewaz kostku szescienna poddana trojkierunkowernu sciskaniu lub rozciaganiu jednakowymi naprezeniarni P doznaje tylko zmian objetosci, przeto energia od ksztalceni a 0 b j ~toSciowego wedlug wzoru (3.20) wynosi [dla (J J = 0' ~ = G.l = p) 3(1-2.) l L" 2£ p. Mozna udowodnic, i.e W ogolnym przypadku, gdy kostka szescienna obciazona jes l nu p rezeni a mi glow n y m i o I' G 1> 0' J> na od k sztalcenie 0 bj~ tosciowe k ost ki idzie encrgia od wszcchstronuego dzialania naprezen p rownych sredniej algebraicznej przylozouyeh naprezen glownych ': (a) p=; (0' J +0" 2+U J. zatem po podstuwicniu do wzoru (a} energia czystego odksztalcenia objetosciowego (b) wynosi 1-2.. ~ L; = 6£ (0" l + a 2 + 0' 3)~· Po odjeciu energii czystegu odksztalcenia objetosciowego LL' [wzor (9.4)] od encr~ii cal k ow i 1 ej t n 1 k os I k i [WZ{:)f (3.20)1 0 t rzy mamy energie czystego odksz ta lcenia posurciowego L1" ktora po prostych przeksztalceniach wyrazi si;; wzorern: (9.4) , M" ~~\mili'"l '1\ LUS H u her (l1l71- I ~50 ~_ polski uczo l1y i badacz, kolejno profesor Politechnlk i L"'LlWS~i:j, w~Tv,,';'skiej i (Jd;L"lski~j_ opublikowat sw~ hipoL~l~ W pracy 0 poruurw(.!d! teori! nTlr;ym~'o~ _id .. _CZ~~)['i5n1L> tcchnicznc". l.wow: 1904, Vol litcruturze obcej hipoteza ra b)'wa prz),["S)"""na M1SCSOWL HH,blika~-j;o z ILtl J T.: R_ Mises, r...'iinfrJKfr NadIr idrleIJ, Math. Phys Klasse, str. 582- 591) oraz H_ Hcncky'cmu rpublikncju 7. 1'.125 r.: ZL'jw:hrifiJi'ir A"g""'<UI,llr ,\tal/remOld. uud M e ciJw,rik._ Vol. 5, SL:. 11 ~}, 1 W )'sl mezy 11<1 Jmt~lli':. 7e JI~ ..... szechstron nego sciskan ia lub rozrtagarua kostki jcdnakowymi co Il~' W~ n ,,:;':j ""pr~icll i am i (1, ~ (12 =.; 3 = P kolo M ohra staje si~ punk tem (poro .... naj I)~, J, 9b), a wi", w Ilmt:-: nie istl1ic'j~ llap~~-A:11i" tnqec i VI' zwi'lzku r. tym nic )Xljal'.'iEl, ~i~ odksztalccnia p<:lstaciowe: Od~Sl:~ltxmL' kU~1 k j h<,',I~ic wive L yl ko Ub'_LLlkiowc i z!OIlni~ Z(! wzorcrn 0_22) W2.llLtll ne odk sl1.alOfllle Ob$LOSClOW~ kOSI ~ j \100 p'lesic 1-2>' 1-2" A"=-,'-~(1,+<I'~+0'3)=~,-~JJ'}- f. I, Z I ... ",'yhv~j l'., khln<oci "i!.l;,c'_ h' "/~I ... Jtk; odkszt<Ltu:I1'~ ob.i\:1 "kiow~ (U~ llowoLIl),o;h ",ar~oki n~~r<;:i:"'-l ~1<''''I)dl ",. ":- n" r..,'LI.l:iL' laki,' S'1111~' j~k dhl kosL~i p<.XiJanej ..... sz.cchslro~memu, S:L5k~mu tluh rLln'r'f~'" i 1I) tL:Il'r~' Ie'li i al'li ,f. jl'7~ 1 i I"ll' ~i"l1 i ~ r b<,-dric n)l'o'nc sr«!ni.,j ar~'l m(l),clllCj nap~zen G., (l'l' (I ~ L'H "yr;,j'L "l,Lsn'l- \\'fL'J (1))_ ~ . " iraniczna wartosc energii odksztulcenia postaciowego. ;:1 k:l rOWsLajc w kostce -zescicnnej puddanej zwyklemu rozeiaganiu nuprezcniami rowuymi granicy pla~l}'o, iosci t'Trh otrzymamy ze wzoru (9.5). podstawiajqc (j 1= (J pl- (J 1 = U. a , = 0: / porownania wzoru (1;.') i (9.5) otrzymujerny (LJ,6) Zgodnic z hipotezq, ze 0 wytrvymalosei materialu dccyduje jcdyuic cucrgiu oti· :..:sztalcenia postaciowego, zwykle rozciaganie kostki narfi;zcniami "pL (rys. 9.1a) icst wiec rownowazne z dzialanicm naprezeu a I' O'~. (1 Y okreslonych z'Ik:i.no~ci,! (9.6). W omawiauym dotychczas przypudku, gdy a ~= ;" 1 oraz V3 = .! (j I. IC \\I~HlI (<).6) otrzymujemy at = .... iJo-p" a wiec zapoczatkowanie plynicciu kostki (ry«. LJ.I b) ~/,es.· ciennej poddanej trojkierunkowemu rozciaganiu napn.;i..:niall]i !J t. f]! = ~<'F 1 uraz t; J = ~ 0". [101 stap i dopiero wowczus, gu y naprezenia !J I bed ~J 0 7.l % wi rbze od g r auicy :~bstyclnoSci (Fpl' 9.6. P raktyczne wykorz vsta ni e hi potez wytrz yma lose io wych. Na p r ~ie n i a zredukowane Dla przypadku kcstki szesciennej wykonuncj z mutcrialu 0 wym/ll..:j grunicy plastycznosci Opl poddanej trojkierunkowernu dzialuniu Ilalll~;ell r~m;i~lg'I.1~!~y ..... h: f] I' a ~ = ia. oraz {F J =~ a I stwierdzilisrny. ze rownoznuczny z~ zuiszczcnicm :0:.1,11\ pIYlli\,~i., .uplastycznienia) nastapi wowczas, gdy: t'T. = {Frl wedlug hipotezy najwiekszych napr\;i:dl norm.ilnych ("m.J. (F 1= 1.430r1 wedlug hipotezy najwiekszych wydluze» (i;~ .... .), {F.= I.SOap' wedlug hipotezy najwiekszych lH'rr~i:cl\ mucych (r",;,,). (11 = \ , 7 3{F pi wedlug hi porezy H u bera. Widzimy wiec, ze kuzd a hipotez a daje imu] odpowicdz nu pytanic, _iakic uuprezenia W przestrzeunym stunie obciazcn S'l rowuie nicbczpieeznc dlu ciula, juk od powied nie na prezeni a przy j ed nokie run k ow}' m rozc i <I g.m i lI. K orz}'~1 a Il i c "/ hi pokz wytrzymalosciowych moznu sobic ulatwic przez wprowndzcnie poj .... i..'i.l naprczcuiu ired u k owanego, I ~.- -1 . ] I . ·u,_ Pml'yc· r m· w~ ~VU~Sl:l1lic· hiputez wytrzymatosciowych. Naprezenia zredukowane I 121 ~ I\'a/)rr:t'ni~'m ;;rj'dukOirart_rm a"", IW':YB'WIIY takie Iwprri(.'uie (umowne) otrzyrnane ptl laslOsowaniu przyjerc] hipotczy wytrzymalosciowej dla danego trojkierunkowego stunu n"pTrZ~I·j. k'tfr~' ie.~' ni.,.II01m:ne = naprr:eni{'iH pr;;y ;;WyklpII rozciqganiu. Obliczcniu wytrzymulosciowe dla dowolnego przestrzennego stanu naprezen sprowud ... aj.~ ~iV W~·) we/as do ~p ra wdzeuia wa runk u: (9.7) Warunek ten W mysl kolejnych hipotez przybiern nast~pl!jqq post a c (db (F I ): a ~ ): 17 .,}: I} wee 11 ug hi potczy a OIl.' db rozciqguniu O'",J = rr J -::(k" Jl .. sci-.kuniu rJ".~ = I G ~I ,.;;; Ik..[; ~, wedlug hipotczy j;m." [wzor (9.I)J (9.S) .l} wedlug hipotezy <""" [wzor (93)J (9.9} 4) wcdtug hipotezy Hubcra [wzor (9.6)J (9.10) I )Ia sLanl1 czystcgo scinauia uuprezeniami r, to jest dla (51 = + a = r, a 2= 0, f] ,! = -" = -... ob liczc ni a wyt rz y III a I osci owe wed lug kole] nych hipotez sprowa dza j '! si~ do warunku: I) wcdlug lupotczy (1",~, O''''~ =1- ~.( -t)=t(l +v) ~k.; ~' r ,.,:: __ r_ =0 17k <c I +0.3 . r luh inaczcj: n,'pn;i,cnic dopuszczulue n .. scinanie wedlug rej hipotezy wynosi kr =0.77 k,; (9.11) I -. . 122 zatern kr=O.5k,~ 4) wedlug hipotezy II LIbera [wzer (9.10)] 11" ,- .; - r f.I",<-.l = \l·d!' + r- + (.2r)-J= ...,' 3r:O; ~:r- (()_14} zarern k k, =~ =O.58k, ' /1, ...,. ~ Nalezy podkreslic, i.e wartosc wynikajqca z hipotezy Hubera uajlcpiej Ig;,d/a ~i\' z wynikami doswiadczeu dotyczqcymi materiulow phlsLycznyeh w)"l;mlj;le},ch jednakowe wlasnosci IlJ rozciqganie i sciskanic (up, stale, plastYl,.·/tlC SLl)PY nucdzi, aluminium itp.), Hipoteza ! rnaa stosowana jest nu rowui ;.-: hipotez.] II ubcru, gdyi: w wiekszosci przypadkow malo rozni sie od hiporezy Hubcru, a Il<lpn;i:enia zrcdukowane oblicza sie za pomoca prostego wzoru (!;O niekiedy ulutwia ublirvcnia). D la materi alcw wy kazujacych i nne wlas n osci w}'! rl}' m ulosci owe ua ruzci ,~ga tl ic. a inn e na scisk a n ie, stosuje si~ raczej wzory wy n j kaj;) L-C Z h j po t czy '~ .. ,. pod a nc p r rc: Mohra (tzw. hipoteza ;".fohra). Dla naprezen gl6wnych uszcrcgowanych w ~okjtw~t:i 17 1 ?- 17 2 ;, (J 3 wedl ug hi po tel Y Mohra III usz~ b Yl' rim' IWL'l"e,~ 11 ic ~pd El ion L' d \~ a wu r II n k i: \V powyzszych wzorach R., oznuczn wytrzyrnalosc {dora,;lliU 11<1 roz~[,n:anie_ a /~, - na Sci sku nie _ H j po reze lv1 0 h ra [w zor (9, 16)j III (lina \~ L~'~' s L osowuc d n \~ ~I\'" 1 k i ch materialow, gdyz dla R.,=R< przechodzi ana w hipotcze '",n- to jC~E w c w/t·lr (~)_9}_ M ozna nadmie n ic, ze w I}'C 11 p rz ypad k ach, gd)' n;l P ffi:cn ia tl orm ul lie pocl Wtb~ glownie od zginanin, we wzorach (9_7) -{9_16) zarniast k, dajc sir,; czr,;shl k~. kline na ago! jest nieco wi .. ksze od l: •. szczegolnie w obliczeniuch j'1ll~L'z""'lliowych_ ornowionych w rozdz, 25_ .. ~ 1 1 ~ -J PODSTAWOWE PRZYPADKI WYTRZYMALOSCI ZlOZONEJ - 10.1. Zginanie i skrecanle Do I..·z\!~eicj spotykunych elcrnentow rnaszyn prucujacych W zlozonym stanie narn,;i"t:llia ;r,lliC-;:Yl- moznn rozncgo rodzuju prety 0 przekroju kolowym, pracujace na zgiuunic i skrecunic. Jczcli w duuym przekroju pn,'1 zgiuauy jest momeutem M9 i skrecany rnomentem M., (ry«, 10_' a}, to od zginatlia powstunu uuprezeniu normalne okreslone wzorem (8,:-:): (l,. = ,\I "..1"/J: i zmieninjqcc si~ od zcru w wurstwie obojetnej do wurtosei ma by It; 011 ne j. (1 ~ = .tI ~" IV we wl t) k nach sk ra jnych A i B. Z kolei od .momentu :>krr;GI,i;~cego :~1, powstuju tlapn,:jeni<l styczne zmicniujace si~ od zera w OSl preta do wurtosci muksymalnej r = .l!_...U .... , "'" punktach polozonych najdalej od osi preta. Przy b} cl ol -} 124 1 rownoezesnym dzialaniu momentow M ~ i AI, najbardziej nicbczpicczny stan n'lpi~'t:i'l powstaje wiec w punktach A i B prcta, potozouych nOl.i(r~O >j .rarc")wno oil o<;j obojetucj jak i od osi pretu, W otoczeni U pun k t u A w ytnij m y \Ii m ysli z bad a n ego p r-; La elc me nra rn y sz .... ~c ian i wyznaczmy naprezenia wystepujqce na jego scianach (rys .. 1 0_1 b). Na sL·i.lI1<lch prostopa dlych do osi x d ziala j~ nap rezeni LI norma I L1e (J x = + (J oraz n a pre i .... n i a S I yczne -! (znak minus wynika z umowy przyj't"lcj w rozdz, 3). nu sciunuch prostopadlvch do osi z dzialaja tylko naprezenia styczne -l-r (napn;i: .... ni<l uormulnc f1J =0), a sciany prostopadle do osi r (poziome) S,! wolne od napr\'lcll. Wy.<;I~Plljc wi,~' lLJ ptaski stan naprezen, dla ktorego kolo Mohra przedstuwiouo uu rys. l O.Lc. Z kola Mohru lub bezposrednio 'l.<! wzorow (3.11) otrzymujcmy nastepujacc wurtosci nuprez e n gt(m nych: Zauwazmy, ze otrzymana wartosc naprezenia (J 1 jest ujcumu. Ponicw<lz mumy do czynicnia ze zlozonyrn stanem naprezen i ocenc stopuia wy(~i.cLlia m.ucrialu opr/.cc musimy na odpowicdniej hipotezie wytrzymalosciowej. 1,1Chow.lL· musjmy PI>I:YkL<! umowe dotyczaca oznaczen naprezeri glownych, a rnianowicie: o 1 ~ ()'!~ a~. \V duuym przypadk U 11 a prezen ia glbwnc uszereguje Illy n ash;p uj<l co: Dla materialow plastycznych 0 jeduakowych wlasnosciuch wytrzymulosciowych IHI rozciaganie i sciskanie (stale, staliwa, walcowane lub ~ ure story micdzi, aluminium itp.) naprezeniu zredukowane oblicza si~ ze wzorow: I) wedlug hipotezy r ruax [wzor (9.9)j I Q',cd = .... /(12 + 4Il~t;,: 1 2) wedlug hipotezy Hubera [wzor ~9.1 on t1 n.l) po podstawieniu zaleznosci (a) otrzymujcmy srad (a) "I (10.2) w P I'Z}' pu d ~ u zgi nani a i skrccn n ia w)' god n ie jest powyzsze wzory wyrazic bezpos rednio juko funkeje rnomentu gnqcego M~ i momentu skrecajqcego ,H'i' Poniewaz dla przck roj u kolowego wsk OJ ini k wyt rZj"m a loki na zginanie wynosi tV = ~ ltr3 > ua s k r\,ca rue zas H' 0 = ! Kr-\ <I wiec Hi 0 = 2 W, przeto lUI prezen ia a j r mozna wyrazic wzorami: A.f, AI, r=-=~. Wo UV (b) Jesli podsuiwimy te wartosci do wzorow (10.1) oraz (I O.2), to dla przypadku zginania t skrecania pretow 0 przek roju kolowym naprezenia zredukowane wyraza si~ wzorarni: 1) wedlug hipotezy i,n", (,U~)~ 4(M5)2 = .,/Mi+M;:<J,;,> ; f1 ,.-.l = fV + 2 ~v H' """ , (10.3) 2) wcclluj; hipotezy II ubern a = !(M~)! l(M.)l = \/,i/;+O.75M; <J.:. (10.4) r ed \ Hi / + > 2 W W '" ~. W celu uproszczeuia zapisu kombinucja momentow M9 i M, wystepujaca w ljcznikuch 01 rvymunych wzorow nazywuna bywa momentetn =a"'/fpcym 1\(. Momen t zustepczy M 0 mu wartosc: I) wcdlug hipotezy tn,u M .z = \/Mi+ AI; ~ (1O.3a) 2) wedlug hipotezy l lubera Po wprow .. dzeniu momentu zastepczego M ~ obliczenia naprezen zredukowanych dla okraglych PTl;;hJW zginanych f skrecanych sprowadzajq sir do zastosowania WWfU: Nulczy podkrcslic, jo;: w ogolnym przypadku obciazen, gdy oprocz zginania momcntcm M ~ Wj'·SL.,:puj<~ w precic sily normalne N, powodujace - jak wiadomo - powstawauie uuprezen normalnych (rozciqgajqcych lub sciskajacych) G. = l'{JF. 126 naprezenia te nalezy najpierw duduc ulgebruicznic do 1l.lpr":/CJl normalnych od zginania (J9 = M~i lV, a do wzorow (10.1) lub (10_2) w,slawic naprezcniu sumuryczne: 10.2. Zginanie i sclnanie W rozpatrywanych W rozdz. 8 przypadkuch zginuuia /~IIll1o\\'ali;;'lli}' ~i\, wylucznir naprezeniami normalnyrni. Wierny, zc nuprezcniu tc ~~J rownc zcru w wnrst wie obojetnej i w danym przekroju wzrusrajq proporcjonalnic JL) .oJkglo;ci •. od osi obojetnej wedlug wzoru a = .l/ 9)":1:, osiqgajqc rnaksymnlnc \\ urtosci we wlokuach skrajnych, W przypadku czystego zginania wystepuju w bclce jedynie omowione wyzej naprezenia normalne, nutomiust W przypudku zginuniu Z udzialcrn xil poprzecznych (tnacych) oprocz nuprezeii normalnych powst.ijq \\' belcc rowuiez i nnprezcniu tnace, W rozdziale 4 omowione j uz byly metod y obliczeu I~ a S-t;i nan i l' i po przcst a lEm y wowczas na zalozeniu, ie napreze n ia tnace S~I rownomicruie rodoitlilC na calym przekroju poprzecznyrn pretu, a ich srcdnia wOlrto~c: wynosi r., = T:'F IW/.llf (4.611- al y b) :-- 127 W r/'cc/y\'r,·i~loSci n,lprri:t:llia stycznc nie s,~ jedn .. kowe i rownorniernie rozlozone W caiym przekroju pop rzccznym , zajmierny sie wiec teraz dokladniejszym wyzn aezc n i t.:'IH rozk lad U 11 a p n,:/_c tl st yczn ych (t n qcych) wys (~P ujacych w belce 19i na nej z udzialem sil poprzccznych 19t1y dany przekroj poprzeczny belki przenosi nie tylko mom c III gil qcy M g' lecz row 11 iei. .~i!'t llKIPI n, Dlu ukuwicnia rozwazau rozpatrzyrny poczatkowo belke 0 przekroju poprzecznyrn w ksztulcic prosrokutu (/1 < 11) przedstawiona na rys, 10_2. Z belki tej wyodrebnijmy w Illy~!i element odciety dworua przckrojami poprzecznyrni okreslonymi wspelr1rdl1'l .v oral..\" + dx oraz plaS/czyzn~ poziorna, polczona W odleglosci J' od warstwy obojct nej. lilemcnt len nu rys, I O.2a oznuczono literami ABeD w przekroju x oraz A IH,(' II) 1 W przckroju x+ J_\., a ponadto przcdstuwiono w dwoch rzurach na rys, HUb j 1..' i w widoku od dolu - na rys, 1O,2d. Nu lewej sciance tego elernentu, okrcsloncj \\ sp6kl:,tin<j x, wystepuja naprezenia normalne od zginania, ktore dla odlcglosc, 11 nd osi obojcmcj wyrazaja si,. wzorern: (a) w ~d6rytll: .1/ rr jest momentum gLl'lcym w przekroju okreslonym wsp-6lr~dn:j .v, II - otl !cgto_~ci~! od oxi obojctncj elementarnego pola dF przekroju ABC D rozpa- trywuncgo l"ICIllCII[U (r}"~. IO .. k). a wiec 1. moze przybierac wariosci od y do ~'1, J. - momcurcru bCl.wlatlllosci przckroju puprzcezucgo bclki wzglcdcm osi obojetnej, Q"~u, - nuprczcuicm od I.gin.mia w przekroju belki okreslonym wspolrzednq x tlla wlt-)l-;icli polozonych w odlcglosci II od osi obojetncj. Wypadk owa sila wynikujaca /, dzialania llnptV7C11 (1('-"1' wystepujacych na powierzchni "I HCD rozpatrywancgo clcmcntu, wynosi {b) gd/ic ,,~ 01.11<L1..,/<[ pole ]10\\ icrzchni AHCD_ Podohny wzor otrzynuuny na wypudkowq /1/,_ ,I, sit dziulajacych na sciance A II! ~CI /) 1 w przekroju okreslouym wspolrzednu X+ dx, gdzie wystepuje moment gll'!L.'"}' .\I ~ + d,H~: (e) Na dolnej wcdlug rys, 1O_2J S~·I<LU~·C DeC ID I rozpatrywanego elementu belki w),sh,.'puj'lllapri,'icllia !n.!l'c f,: ponicwaz pole DeClD, wynosi dxb, wife naprezenia tc daj'l wypadkowr, stl~ rtmli<J z , d.v b, skicrowanu w lewo na rys. 1O.2b. Rownauie rzurow nu ns .v (rys, [0.2b) \\ s/y~tkicb sil dzialajacych na rozpatrywany wycinek belki m .. pn:-;I<tt:: 128 -N~+N,'+d,,-1"dxb~ =0. D1<1 zachowania ogolnosci rozwazan syrnbolem b, 0(11<100nO w powyzszym wzorze szerokosc belki na poziomie okreslonym \\'Srolrt:~J[l,! y tw danyru prvypndku belki o przekroju prostokatnym b" = h). Po podstawieniu zaleznosci (b) i (c) do rowuunia {d) otrzyniujemy fA/11 fM 11 jJM'1U - _g- dF+ ,-~-dF+ --dF-r,G.'l/>,=O; ~ j~ • J: J: . f' " f' " stad Moment bezwladnosci J. przekroju poprzeczncgo bclki nie i'.lki:y od lunkeji podcalkowych u oraz dr, podobuie i przyrost d.'H~ momentu gll,wcgo. 100tCill tlha re Cl}, n ni ki mozemy wyni cx przcd zn a k cal k i. 0 trzy mujc III y wi) WL"l1L~ LIM I r,.= __ 9 __ f adF. . dx bJ'f~~ Zgodnie ze wzorern (S.2) wystepujuca w powyzszym wyruzeniu rlll.:-htldn;1 momcnru gnqcego wzgledem zmiennej x jest rowna silc 1I1'WCj T w tym przekroju: d .. \J /J T = T. natorniast otrzymana calku jest momentern statycznym pol" .. I /JeD rozpatrywuncgo elementu wzgledem osi z (rys. 1O.2c). Poniewaz pr;..:y obliczuniu tcgo momcntu stutycznego calkowanie nalezy przeprowadznc dla If zmicniajqccgo si~ o .. tJ .r do _",~:" (dlu przekroju prostokqtnego Yma. = ~ It). dla podkrcxicnin tcgo fakw rozwaj;t11)-' moment statyczny oznaczar bedziemy symbolcru S,::···: S;-' = f it uF. .~ Wzor (e) na naprezenia tnuce w belce zginanej z udzialcm sil poprzccznych puybi~·r'l za lem nas I ~pu jqc ~l postac I: Przypominarny oznaczeniu w powyzszym wzorze: ., naprezenia tnace w przekroju okreslonym w~polr/:~tln;! .v, W puuktach belki polozonych Vol odlcglosci y oJ wurxtwy obojetue]: (J) (c) - 1 T' i29 ~ ---} 1 .. I W.2. Zgi nu 11 ic j scinanie r'J sila uujca w przckroju poprzecznyrn belki okreslonyrn wspolrzedna x; moment stutyczny \\.'zgl~em OS] obojetnej tej cZ~Sci przekroju poprzeczncgo, krora zawarta jcst miedzy wspolrzednyrni yi Yon ... odmierzanymi od osi obojetnej pokrywajacej sie 7. osia z (ry.~. W.2c); szerokosc przekroju poprzecznego bclki na poziomie okreslonym wspolrz~Jm! _..: moment bezwladnosci calego przekroju poprzecznego belki wzgledern osi ob oj ~t n ej po k rywajacej si~ z osia z, J_ 10.3. Rozktad naprEtzeri tnacych w belkach 0 przekroju prostoki\tnym D!a przekroju prostokumcgo wystepujacy we wzorze (10.6) moment bezwladnosci wynosi J~=Mj"/12. sl.t."rokosc jest stala: b,=b, a moment siatyczny pola ABeD wzgledcm osi z (rys. I n.2c) moznu obliczyc juko iloczyn powierzchni pola F = b'.· - r } i odlcglosci srodka ciczkosci tego polu od osi r, wynoszaeej i (Y+Y",aJ· 101 ~_ tlU", • 't" Ponicwuz w dunym przypudku .'·,n",=~h, przcto s .. ' .... = fJ'l' - v}, ~lr+.· )=~(~- .. )(~+ l')= .r \. m .. l:> • ~ • """. 2 2' 2' = /. (~~ _ rl). (10.7) 2\4 . o} , .:fh I f <P +1 I -I 130 ) I Widzimy WitL ie rozklad n<lrr~jen tnucych jC~l rar,ahohc/.ny. We wlokuuch polozonych najdalej od o~i obojetnej z, tj, tlla y = ± ~ IJ. narn;/c"nia tnuce ~,! WWIlC" zeru I, najwieksza las wartosc osiugaju dla y = 0 [rys. HJ.J): 6 r Ijl sr J- r ... , = [;P4 = 2 hi; = i r.,. Najwieksze naprezenia tn,!ce wystepuja wire wzdluz osi obojetncj i ~l! p()flora razu wieksze od obliczanej dotychczas wedlug wzoru (4.6) sreduicj warto~~'i r.,= .(,F. Tak si~ sk.lada, ze. tam: gdzi~ naprezenia mace osiugaju wartosci nujwieksze rl1l~"' tam n<lp~Fema .oJ zgmama S'I TOwne zeru j odwrotnie: we wloknuch skrujnych, gJzie wystepujq najwieksze naprezeniu norm ... lne od zginania, naprezenia tnuce sa rowne zeru, Obliczenia wytrzymaloscinwe belki 0 przekroju prostokutnym Zgitl~IIl~'.i ~ udziutern sil _P0przecznych sprowadzaja si~ wiec do sprawdzcniu dwoch ponizszych warunkow. I. \V przckroju, gdzie wystcpuje nujwiekszy moment gn,!cy M ~ (gdy przekroj belki jest staly), nalezy sprawdzic warunek (8.1 OJ: 2. W przekroju, gdzie wystepuje najwieksza sila tnacu (a wiec nJl. nu podporuchj. na lezy sp rawd l it wa rune k: l.5T r=-·-~k F '"" r : Gdy dlugosc t belki jest wieksza od pieciokrotnej wysokusci przck roju ~/? :;M. w belce 0 staly m przekroj u do rn i mti,~ n a preze n ia od I g i nan i a nap n,.;dl lll<! I:yc II mozna w ogole nie uwzgledniue. 10.4. Aozktad naprezen slyt:znych (tnacych] w belce 0 przekroju ko~owym \V r~zpatf}'\:·anym dotychczas przypadk u belki 0 przckroju poprzcc/nyu) w kszralcie waskiego prostokata (b 4 It) przyjelismy niilczuco zutozenic. i.c ok rcslunc wzorem (10.6) naprezenia tnace r y s~ jednakowe w calej wurstwie wlokicn polozonych 1 Mv7im zauwazyc, zc \\."y"i~ ten jest ~g<"lll)" 7 postulatcm U"fEzm" 1111" (l>or'lW,Mj pk L~. I i -I.I~. ~,h) ~6m~ i dolne powierzchnie belki S4 powierzchniami swobocluyrui (nic {l/i.lbH tu tl;li't~'i-~";'l .1I;ll>':)." ~\.i~-..: ; w przekroju poprzecznym przy wspolnej haw~'{L~i .j. Jtl .1·= ± ~/' tlarJ~'~\.'nj" lll;ll\: llWV;, ·In'· ri",,;c' lcru. . . r } -} - - 1 : - --J - - --J W.~ ROf~laJ ~apr~/~Ii S;} ..... ·/llych ~Ln~C}ch) w ~~ 0 pTl~krojll kolo .... '}l1l w O<..lIcglo~ci y od osi obojemej, a przy tym w danym przekroju poprzecznyrn belki Sli rowuolcelc do sicbie i prostopadte do osi obojetnej :0 I. W pr:.yr<lJku helki 0 prvckroju kolowym to ostutnic zwlaszcza zalozeuie Il.ie mo~ bye spel n io nc. Zu uwa zmy bowie In, ie w P u nkcie A rolozol~)'~ przy powler~ch~ I zewnetrzncj bclki (rys. 10.4<1) gdyby istniula skladowa promremowa I, naprezeniu lIU11 .. xgo. wowczas na powicrzchni swobodnej rnusialoby l~lnie~ naprezerue L~ skicrow.me wzdluz tworzqcc] (por. aksjomat Boltzmanna). Poniewaz na powierzchni swohcdncj hclki nie {lzi;!laj<! Z<ldIH:: Ilapr~zcnia. przcto r .... = 0, a tyrn samym s~ierow~ne wzdluz promicnia A () nuprezenie r, rnusi bye rowne zeru (r, =0): St'l:? wlli~sek, z~ na p rezen it' tnuce rAw pu n kcie A nie moze miec skladowej promieniowej, a wiec rnusi bye styczne do obwodu kola, jak to pokazano na rys. 10.4b. Ta sarna uwaga dot)':zy punktu B. a wicc naprezenia "A i ta przecinaja si~ w punkcie K (rys. lO.4b), a ich skladowe r r prostopadle do osi obojetnej okreslone s'l wzorem (10.6). oj ,_ Dill przckroju kolowego wystepujqca we wzorze (lO.6) szerokosc b, = AB wynosi {rys. IOAc) I W bdbdl 'l pr no: k rnj II I' r,,,~" ~'~11l yau bocznc JI<.l\\."L-e rzrhn ic s.q prostopad lc do osi . ohoj~t!lej. i $<I ,"-II.I-i\.'f '~'lllli'Lm' ~\",ho.>Llll}"llli. ;1 "i\"C "'lrr~;~nia t, rnuszu by': Til" nic~ prostopadle do ost obojetne]. J moment bezwladnosci na zginanie J: = ~ nr4. natomins: clcmeutaruc pole tlr .ic~t rowne zatem zgodnie ze wzorem (10.5) r S;~· = .r u dF = f Ii" 2\il'! - r;idlj = ; (1'2 _),2 ).\ 2. Fit J Po podstawieniu powyzszego wzoru do z .. leznosci (J 0_6) otrzvmujerny Widzi my wiee, ze rozklad na p rezeti tnucvch w be lee o P rze k roj u k nh my n 1 jcs I paraboliczny (rys. 10.4d); naprezenie tnace jest rowne zcru we wlokn.ich poh)i~m) ... ch najdale] od osi obojetnej (dla y = r], najwi~b7.4 zas wurrosc osi~Jg<lj'l uapn,.iellia Hl~~t'e wzdluz osi obojetnej (dla ),=0): 4 T 41' 4 r"... = '} nr2 = 3' F = '} r " . ( 10'») Naprezenia maksymalne sa wiec ~ razy wieksze od l1apr~;CI1 srednich oblic/onych IC wzoru r,,= T/F; rozlozone S[! one rownornieruie wzdtui. osi oboj~Lllej i S~! Jlrustora~Hc do tej osi (rys. IOAb). 10.5. R ozk tad n a prEtze Ii tn qcych w bel ce 0 p rz e kr 0 j u d w u teowy m Wyznaezymy obecnie naprezenin, jnkie istuicjq W jlW! ktuch w pionowcj pluszczyznie symetrii belki 0 przekroju dwuteowym (rys. 105a). poddanej dzialuuiu sily tnacej T. Poslugujac sie wzorem {I 0.6) wyznaczmy naprezeniu tnuce W punkcie A polozonyrn tuz nad przekrojem 1-1, lj. w odleglosci (' od osi obojetncj z, Moment suuyczny wzgledern osi z prostokata 0 bokach b x c (rys, I Q.5a) wynosi ~b) t w. 5. l{,vk!'1L1 "" prr ;-~Ii IIl¥}'<'h w hclcc " rr/l'~ win ,hI ut Ct',,}'nl 01 b} r l=-=-~--:=--'" .... '---_l. _ .. _-----\ .. _--- --~ W poblizu puuktu A. tj. nicco powyi.cj przekroju i-I. szerokosc b, dwuteownika wynosi hJ = b, a zutcm nuprczeuiu tnucc zgodnie ze wzorem (1O_6) muja wartosc: TS1 !.·1 = bJ~ Nnprezeuia Ln.!Ce w r;)lc~ g~'1I'I1Cj zmieniajq sit wiec parubolicznie (gdyz polka gorna jest pro stokutcrn, porownaj pkl 1 U.3} od zera do wartosci r A' jak to zaznaczono nu wvkrcxie 10.5b . .. Niece poni7.cj przck roju J-I, tj, w punkcie B(ry~. IO.Sa}_ szcrokosc b~. dwuteownika rnptownie ~;~ zmniejszu do wurtosci 9, natorniast moment statyczny nie rozni sie od wurtosci okreslonej wzorern (a). zatem w punkcie B nnprezenia mace wynosza (b) (c) :l \.\'i~c s<~ w stosunku big wieksze od naprczeri r ... (rys. 10.5b). Dla osi obojetncj z (rys, 10.5 • ., moment statyczny gomcj czesci przekroju belki wynosi (d) T (SL +~gc~l r~.,a"_ = (e) J J 134 10. Podstuwnwc pr ~)"raJl i \\ ytrvymu I. ,,,,.j ... !"j,,, Ic·j Rozklad naprezen tnqcych w przekroju bell. i dwutcowcj pr/.:d~.awia ry«. 10.511. Obliczenia wytrzymalosclowc belki dwuteowej zgiuuncj w d.myin przekroju momcntern M g i sci nane j si I ~ po PTZec7 n '! T s prowad zaj'l s i \; J{ > S pru wd/e n i'1 11 a ~l~' p u j'l eye h warunkow, 1< We wloknuch polozonycb najdalej od osi obojetnej, gdzie mqln;icl1ia tuuce s.! rowne zeru i wystepuja tylko naprezeniu od zginaniu, 1l;11c-i.J" sprawJ/.ic wuruuck okreslony wzorem (8,8a): 2< We wloknach polozcnych Vol poblizu punktu B oprucz llapn,'icll tnacych ljJ [wzor (e)) w.yst~puj~ naprezenia gnace u"= AI gC<.U;, z.ucm do ~labego przypudk u wedlug hipotezy Hubera stosujemy wzor (I O.2): 3. \1./ osi obojetnej naprezenia normalne od zginania s;! rcwne zeru, a wystepuju tylko naprezenia styczne l"ma~' zatem wedlug hipotezy H ubcra Iwzur ~,).14~ I ub (I O.l}j I CZ~SC trzeci a LI N IE UG!E;CIA BELEK METODA ANALITYCZNA WYZNACZANIA LINII U G I E;CIA BE LEK 11.1. Rownanie roznlezkowe linil ugiEfCia A na I i.rllj uc od ks/ I a lee ni a be lk i poll da nej czystc 11m zg i uani u, s twie rdzi lismy ze na skutck th.iafalli .. momentu ,if u os belli ulcga odksztulccniu i j<.'j promieii krzywizny ok reslony .i,:sl wzorcrn (8.7): _ J~"y P EJ (a) Z kolei znany I. geomctrii rozniczkowej wzor na krzywizue linii plaskiej ma postae: dll' +_- -dx1 (b) 1[1 +(:ty)l]J \1 tlx W przypudku zginanin helck , go}' w zadnyrn punkcie helki naprezenia nie przekra ....... aj<1 grunicy proporcjoualuusci (i"I""r' tj, granicy srosowalnosci prawa Hookea, k'!l nachylcniu styczncj do n~i ugi~tej belki (micrzony w radianach) jest rnaly, zatem "",idkosc(' (d~·""d.,)l moznn truktowac jako malq w porownuuiu z jednoscia: wobcc tcgo miauownik \W Wlom,~ (b) nlOill<L przyj<ic Town)" jednosci. a WQWCl<tS przyblizouy wzor n u promicti krzywizny belki zginaucj przybiera postac: p 1 I ~ ro.11.:11)11;. ~lllalll_jo"'_·""~.;' ..... ·,· .... nitl..· r: Ltlia IIIIII l~~':U.:I.1 h-Lkh Z pornwnania zaleznosci (a) i {c) otrzymujerny wzor: ~ 1 I. I ) Znaki w powyzszym WZOr7_f dostosowane s.! do uzywunego dotyclnvas ukludu oxi wspolrzednych {os x jest skierowana w prawo, a os _r w gim,; od poczqtku ukladu ~ oraz do przyjetej urnowy, is! dodarni moment gnacy wyginu belkc wypukloscia do dolu. Po scaikowaniu rownania (\ L 1) otrzymamy k~~ly nachylenia SLYCZJlcj d_rith 0 wurrosciach dodatnich dla tych czesci linii ugiecia, ktorych stycznc t\\'OrI.! dodutni (tj. odrnierzany zgodnie z kierunkiem trygonometrycznyru) ~,!l v: dodutnim kicrunkiem osi x (np. kat O2 na rys, 11.1)_ W wyniku ponowncgo surlk owaniu rownuuia (11.1) otrzymujemy rownanie linii ugiecia j: = f(x)- y x 11.2. Linia ugi~cia belki wspornikowej Korzystajqc Z rowrmnia (ll_l} wyznaczyrny ~illi~ llgll;CW bclki \\ ~pornikom:_i obcia zone j si 14 P ora t. 0 bci ,I zen iem ci <W l}' m q ~ rys, l! _ ~a'. \\' przek roj LI 0 k rcsl« Il}' tl1 a) y p - ~ {c} I 137 - -- ~ I w~pi)!rz~Jn,! .v moment gnacy wynosi AI" = - Px =qx? (2. zateru rownanie rezniczkowe Ii ni i 11 gi.;:cia m <I post a c: (b) PxJ qs" I:-Jr= -~--24 + Cx+D. - 6' (c) State culkowunia wyznaczamy Z warunkow brzegowych, W utwierdzonyrn koricu bclki, tj. uta .v = t, przcmicszczenic ... jest rowne zeru oraz kut nachylenia stycznej jest rowny :lem: (dl') __::_ -0 ux x~j- • (d) [r), -I = O. Po podsiuwicniu drugicgo warunku (J} du rewuuniu (b) znajdujemy P/J ,//4 _ PIJ ql'" J)=- +-- (1= ----- (, 24 3 8 R~·m·ilanic Ie) linii ugi~cia bclki przybicra zutern pcstae: (e) Muksyruulne ugiecic bclki nazywumy suzalk« ugrt'cia i w danym przypadku powstaje ono db .v = O. F .. atcm (I) Tallgl·ns L,tOl if nachyh-nia sl)"o.n~j do osi bclki dlu .v =0 otrzymujemy Z rownania (b) po porlstawicniu ~la!~.i culkowania C: (g) J 138 K'II)' 0 ugiecia belek S<j male, zatern przyjmuje sie, :ie tg 0:::: a. Pouadro 711a~i strzutek i k~lOW ugieeia dla prostszych przypudkow zginuuiu belek .nie budl<! \\,,!tph\\H~ci zutcm znaki minus we wzoruch IW strzulki j ~"ly ugii,,'Ci'l mozemy pOL1l[Il,~C_ a \n)\\'CI~LS db rozpatrywanej bclki wspornikowej WLQry na strlatk.,. j k,~[y lIgi~'L'ia b,.(h~ miuly pus Lac; p, - J'I" (=- - 3U f'f~ 11'-' - ~J.J 2 t/I~ r=- HJ .111 I! 1,'.1 I~I ~ /I. f,JJ ,= J i I'" ~. . ' I /1 -. HHUUfdf) _l i _.--:;j,r- ; .L~~_l J'1" !'=_. . 4~U rh t'=-- flr~ - ~h~) 4~U' .. JI,I .' =;, /) . J)l. , ~ it ~ 1/,-·- f') I 61'/:) J'.I'II r'H~f -[,1 fI~ _C 61U ! i~ I 5 <IIJ 1= - -,\~4 fj .HI" t'= ---,~ (>I . .l x j M(t=_- -~- - -- lof ,c r .s=» -~t----~ I !.___L 1. . . _. __ 1= ~J I • {)~.".ti':;'Ji::-.j-..~~ ~~U.,_ 'h ,'L'I"'b .T~ 1.:- r: 1"'.1: 11.1 .~ L,_I·.~·I··.I I_·.=~ h I j ... -r ~·_i'~ ~ I~ ~, I· .r- " ... : ..... " • .:1 .... ~·, r _-lllh./.~; • .-,; .... c . ~~·~d ','15 \"_·~.r~.~.!·~ 1 ' ....... 1 !'III- .1Ii 0_.·.· H1 UJ aJ, (,I.'l -------- II/ 1/ ./: I ··.· .. ·1: •.•. I·.· I 1.2. l.inia UV~i8 belki wsporni kowej 139 (11.l) dla belki obciqzonej w spusob ciqgly na calej dlugosci {ll.3) Wartosci strznlek f i ~'!thw Ugl~CI<l () db prostszych przypadkow obciazen belek pod un 0 w LaoL II.l, 11.3. linia ugi~cia belki podpartej na kmicach, obclazone] W srodku slla skupion~ P oraz na cale] dtugosci obclazenlern cii\glym q ''',lYZIl;1CI:) my teraz przcbieg linii LLgi~cia belki 0 dlugosci 1_ podpartej nu koticach, Obt;ti~/{)LlCj sil;! P i OiKi'li_cnicm ciqglym {I. jak [0 przedsiawiono na rys, 11_3_ Z lIW<I gi nu symc t ri ~ II kla J u rcakcje podpor S<J row ne i wy n OSZ'l I 1 l , 1 1 MOIIWlll gll~!Cy w przckroju poprzccznym belki okreslonym wspolrzednq v. dlu o ,.~ .\ S ~ t. W)T<I:ia ~jr I';i 1c i no ~ci<r X (I P (If) '1_\.2 1\/, = N. ~.\' - if-Y- = -.,. + -:,- x- --:;;-- . . , . . .. ...- -. - 7.~ndnit' IT \~ I~'rcm ( II .11 r .. vwnanic r<',inicJ:kowc linii ugiccia lcwej polowy belki ma pt)~t;L~': J 140 11, Metoda analltyczna wyznuczania linii lIgi~'\:i" bclck dy (P q,) _, .. 2 q""l _ 0-= -+-- ----- + ( . dx 2 2 2 6 (p 10X1 1_'.4 , EJr= -+- ---+(_\'+D_ - ,2 2 6 24 Stale ca I kowa Ilia wyznaczamy z wa ru nk ow b rze gow}'t h: J) ugjecie j' na lewej podporze, lj, dlu .v =0. jest TOWIH: ZCfU: 2) Z symetrii wynika. ze w srodku belki, tj. db ,\' = ~/. styczna.do linii ugi~t:ia belki jest pozioma, zutem tungens nachylenia sryeznej (Towny pochoduej dr.d.r] jest rowny zeru: Podstawiarny warunek (d) do rownunia (a): . 1'/2 (f/} L=----. 16 24 Z warunku (c) podstawionego do rownania (b) wyznaczumy /) = O. za[~111 rt"\\n<LlIi~ Ii ni i ugiecia bel k i 0 I rzy m uje po stac: r =~[(!_+'j_~ _,,1 _ (jX4 - p. /~ -"- ql~,"J' , EJ 2 iJ 6 24 16 24 Podstawiajqc do powyzszego rownauia warlosc .\' = ~I OlTl:Ynl;lI11Y ~tr/;llk,,:- lIgi~'cia f tj, maksymalne ugiecie wystepujuce w srodku dlugosci bclki: Sl.~J (jesli sie pominie znuk minus) , p/3 S qf 1=-+----;- - 4SEJ 3MU - ---1 ta) (b) (d) ~ ---~ I U, I, i ilIa lIl!i~", .. i .. Pel ki roo pu rlq ... L km'i(';ldl. obciaz .. m~j w srooku si I~ ~upjon~ P___ 14l K~![ ugicciu 0 przy podporach znajdujemy 7.. rownania (a), podstawiajac tam wartosc X= 0 Onll: obliczona poprzednio s!al,! ealkowania C [wzor (ej]: a po opuszczeniu znaku pf q/1 0= 16£1+ 24EJ' (11.5) 11.4. Li n i aug i ~c ia be~k i podparte j na koiicach, obcic,io ne j pa r Cl S U o momencie Mil DI a bl"l ki Igi na n cj pm'l s il 0 mom enCLC ;'vl o (rys, 11.4) rea kcje podporowe wynosza R. = R Pt = '\/,/1. a moment guacy w przekroju okreslonym wspclrzedna 1;' M, = - R_~x = - :\1,.\',:1. Ruwtlanie linii ugiecia belki rna wi\:'C postac: d1_r A[(I FJ dx2= --,- ,\ . dy J1o.\'2 FJ-=-~-+C J,,' '2 ' (h) oj Rys_ 11.4, Hclku zginan •• rnornentem .\f~ Stale calkowania C i l) wyznaczumy 7.. warunkow brzegowych: dlaf = () ugE~t'ie ,~. = ll. zutem l. rownunia (c) otrzymujemy D =0; I dlu .v = 1 ugiccie ... = U. zutcm z rownania (c) otrzymujcmy C = M °6' I t 142 K.gy nachyleniu SlYCLtH:j do hnii ugiccia wynu~/A~ iz rownauiu (hI] diu x=O (th-) C 0.1 = ---'-: =-;- ~d.,<~,., tJ MJ ClEf ~ II_(~) din _\"=1 o = (d_r') = _!_(., _ ;\10 '.2 _J.. c) = M./(' _ I _J._ 1'.) = _ JJ.,I_ B J. £J J 'I • /:-J ' ' ~ - _\ I x=J - ,- " _ () _ll.J (11.7) Wyznaczymy teraz strzulkc lIgi~!;iaf czyli oaj\\'i~kv<.' ugi\'~'j~' helk i, PtlWstaje uno 'IV tym przekroju belki, w ktorvm stycznu do osi lIS;\k'j helki jest pUlioIII <L_ lj, dlu dy:'d_\' = O. Z rowuani u (b) znajuujemy, ie maksymalne ugi,ci~ _l bclki powstaje \V przekroju okreslonym wspolrzedna x",= \./2IC:,ll,~=r\ 3. Po pudstuwicniu tcj wartosci do rownania (b) otrzymujemy Zuuwazmy, ze w polowie dlugosci belki, tj. dla _\" = ! i, ugi~cie helk i II: rowuuuiu ~c}l wynosi (IU\) a wiec roi:l1i sie zaledwie 0 2,5% od strzalki ugieciu okre::i-l(1ncj \\'/nrelll ~d}. Podobny wniosek dotyczy rowniez i innych przypadkow zginania bclki i ~Halq~n .~H/ath," ugi ec ia f w zasadzie ob licza si ~ dl a [wit my TOi. pietosci pr (~sl; I. wi cd Z~~C zc ptl pel 11 i a ~i~' blad nieistotny w zustosowaniach techuicznych. b) cl , I 1..1 I iu j" II ~ j~'l'F;1 hd~ i 1""ljl,,,.,-j ,~, k,>t·'Cld,_ ,lho.·,;,j"nlj p;or~ si t " ,,,,,ml'I""l' M o ]43 w y k or /.ys l uj ~,!; 0 l rzymanc wzory. 0 bl iczymy k _! I Y i st rzal k\= ugi~ia J!.. ?clk i ooci;l/Oll~'j n.! obu koncach momcntami gnqcyrni Mo (rys, 11.5a)_ Zastosujemy nu-todc :s.lljll.:rpoz\,t-ji. Belk~ obt:f~!i~)tl~! nu koncach dwoma momentami MQ zastepujemy dwierna bclk.uni: jcdnu ubci;Jion.~ momentcm MI) nu pruwej podporzc (rys. 1 L5b) oral drug" ohL'i~~i:otl~~ momentem M I) na lcwej pcdporze (rys. l lSc]. Dla belki pierwszej zgodnie Z \\·Z(lr'IIlH (11_6) - ( II J!) murny , ,\IJ f)' AfJ r MJ2 0" = (;j~'J' J:I= 3E'· - = loEJ' a db drugiej bclki '~f j 0" =~~- .1 31:'J' HI .N MP a~ = ~~J ' .I = I6EJ . S u po.:r p II 1l1lj'JL' tc II k lad}' zu ujd uj em y: (11_9) . / .. {" M[ t=. +. =~v,£j- 11.5. Li n ia ugi~ci a belk i podparlej na koncach, 0 be ict:zo nei s net poprzecz n i'I I )1a belk i przedstawionej nu rys, 11.6 reakcju na podporze A wynosi R_~ = Pbjl. za L em n 1, ~ I nc II t gll<~C Y w prlcdzi a le p ierwszym ri», .0\1,1 = I\A-\·I =-,- a w prA'd/.ialc drugim y~ ....... __ . __ ~l . ~; - .. ---- ...... ~ ! >~ -- . .1 144 Granrce przedz ia to \\" J'J,\: L\.-,r)~ --'-}'---.-t (., I: ~ . dr U _:_= do\" fh-,~ ~X,-<lI"' --= - I'··~-- - C _, ,- {}. I{, (l --. Rownania rozniczkowe Iinii ugi~cia belki zamjeszczono w tubl. 11.]. W k;li:dvm przedziale wystepuju po dwie stale calkowunia. ktore wvznuczumv I warunkow brzegowych. . - Dla lewej (dla .\"1=0) i dlu prawej podpory tJta x,'-~l, uuiccic ,. ic~[ rowne zcru. zatem z rownaji podanych w ostatnim wierszu rabl. 11.2 nl;/)"lHuJc;ny D 1 = 0 oruz f) 2 = -~, Pbl ~ +;, PU- a rl ~ ( I Dahle dwa warunki brzcgowe, zwune warunkami ci'Lr.:t(l~{·i. wyuikuj« /. luk tu. /C nu grunicy przedzialow os ugieta belki jest Jin!'l ci~Wl,!, nie ukgaj"L'~! zulamuniu. z.ucm W tym przekroju ugiecie dla prawej granicy lewego przedziulu jcst tuk ic -umo, iak dlu lewej g rani cy p ra wego przed zia I u: - a styczna do linii ugieeia jest wspolnu. 10 znuczy Lp. [uki tworzv z nsia \" ~1\"1.·r.na do linii ngiecia 11a pr • uwej grunicy pierwszego przcdzialu, jest rlU\'t;' .. kaLo~~ i Il~;ch'r·knia s t ycznej do lewe j gru 11 ie y prl.t."d;i a lu d rugjego: '" Po podstawieniu warunku (c) do rownan podanych w przcdosratuim wicrszu tabl. ll.2 otrzymujemy C1=Cl=C po podstawicniu zas wurunku (b~ till rt·mn,ul podanych W ostatnim wierszu tab], Il.2 znajdujemy f) ~ = O. zutem z /,Ll6llosei (;l) (" P J 2 Ph , . I=Cl=C=-[(I~a) -bi ]=--(/r ~/-) 61 6/· K'11 0A nachylenia styczncj do osi ugiL,'lt."j na podpcrxe I! IllajuujelllY /. rown.tniu podanego W tabeli 11.2 din przedzi a lu I: fa) {b) 145 (dY) 1 Ph 2 2 UA = - ",,-CL =~{b -I ), tlx X,~ to EJ 6/£) (11.10) a nu pndporzc lJ: Strznlku ut~.i~t"ia w polowie rozpietosci belki, jezeli (I ~ ~l, wynosi 1 {/'b(I)J P } Pb (= (r} 1 =- + - ((I ~a)J - bl2J = ~- (4bl- 3P). . '.' ~ ~ I Ef 61 2 12 4~El (11.12) Dla helki tlbL'i.~;_onej ~ir'l I' w srodku rozpietosci przeslu, ij, dla a = b=~/, znajdujemy rrJ l""4U:.f Pll °1 = °lr= 16E..f· {11.1J) 11.6. Uproszczony sposob wyznaczania statych calkowania. Metoda Clebscha Jak wynika Z podunych przykludow, Wj'WLlC'l<Ij[JC rownunie linii ugiecia dla belki on pr /.cJ/iabch, ukladumy n rOWIWi} rozniczkowych typu (11.1) i po dwukrotnym calkowaniu otrzymujemy 211 stulyeh culkowania. Dl a bclki dwuprzedzialowej przedstawionej na rys, 11_6 otrzymulismy cztery state calkowunia, ktore w danym przypadku daly si~ b.irdzo latwo wyznuczyc, Wynosily one: Dj = Dz= 0 oraz C 1 = c2= C Okazuje si t. i:t:" t a k i c up roszcze 11 ic 0 hlil.'fc(. U zys kac mozna d la wi d u przypad kow 7.gi na n ia belek, j6:c li wy r a/_en ; c na III 0 ru en t g 0 ~I!;}' w przcdzialc nastc pnym powstaje przez dodan LC [lOW}"d1 sk ladnikow do wyruzenia na moment gnqcy otrzyrnanego w przedziale poprzcdnim. Aby srclni~ teu warunek, nalezy m.in. OOIllLerL:lC wspolrzedna x od jcdncgo k oucu helki i nit." otwierac nuwiusow w wyrazeniach na moment gnqcy, Tok posh,:powanra. zwany mcfi!(ht Clcbsch« 1. prowadzacy do ut worzerua takich warunkow brzegowych. a by' dla wszyst kich n przC'dzialow bel ki wystepowaly zaleznosci: ( 1 = ( 2= = Co = .. ' = c~ = C. /)1=/)2= =D;= .. - ""D~=D. (IU4} (11.15) 1 146 I I Wyznaczmy rownanie linii ugiecia dlu belki podpartcj nu konc, .. ~il. ulxi<ji:olle.i silarni poprzecznyrni PJ i P1 (rys, ll.7). Zgodnie z..; wzorem ('11.11 n')w u all i,l rozniczkowe linii ugiecia dla kolejnego przedziulu bclki podano \I' tuhl, 11.:1. .rI i.---. I .. I ----1 ~ Granice przedzia- - l.:Jw ,_3 - I _ R~ --t-( L ~I + D, 6 .,-_~L (.\"2~al)'~ R_,--F,---+ (, (, + c~\-~+ l)~ .~~ (X,- 11'11 L H <-I',_:_(,-- t (_\ ~-lrL~-~ J t's>: -·'(·1\.~·~)1 _____ ~ L_ ~ ~___ __ f----+------jf---------+---------- ... ----- - .-.-- EJ_..= Zuuwuzmy, ze wyrazcniu nu moment gnqcy w kuzdym Ila~h;pn} rn pr/'(."~trialL.' t;1 h]. l l.J zawieraja \\ szystkie skladniki poprzednicgo prA·d/i.IILl. Ht'lIlr..,IHLt'nL· n !lOW}" skladnik, umieszczony juko osturni. Jezeli calkowanie \\ yrazen 11<1 momcnry gn<!l"C prA·pw'.~ ad/amy IloC/ 01 ~\ t~'r;! lIi~1 nawiasow, jak to przeprowadzouo W tab!' 11 __ l. to z wuru n~ Lt ci.~glnsci liuii Llgi-;~-ia nu grunicy sqsieduich pr/L.'u/ial{',\\, wyni kaj.~ n;lsL,;plIj'l~·(." /ak.ilw;~·i_ 1. Z warunku rownan k~!h}W ugi~~ia: 1 I 147 {Y)~_" =",' = (.l')~_,,=~,l orrzymujemy D1 = D2• (r)c,,-~,I = (y)c~ ,=a) otrzymujemy O2= DJ• POlladlu z wurunk u. :i:c ugiecic na podporze A jest rowne zeru, znajdujemy Dl =0 . Lutwo stwicrdzic, ze gdyby belka obciazona byla dowolna liczba sil skupionych, to stosujac omowiuny \\'J'i:L.'j rok postepowania, otrzymalibysmy zawsze ('=C.=C1= ... =C,= ... =C~, _i •• k to ujeto zale/_nuki'l ( t I_I <I). nutomiast dla belki podpartej w punkcie, od ktorego odrn i (."1"/'.1[11 Y w -~r{)l rz.;J n;! _ \- (r II n k l .-4 nary s. 1 1.7). 0 trzyrnu jem y ( ll.16) Slal;f (- /naidujL.:my v. wurunk u. /.e na drugiej podporzc (pruwcj nu 1")'5- t 1.7) ugi\'t-ic y j~'_~l n·)w!lc zcru. ;:akm /];oJnic ze wzorcm 11<1 ugiecie j: din przed ... jalu trvccicgo d!u _\-_\ = I z uihl. I j _.~ 01 r zymujcmy st~ld oblicv.rmy wariosc 1ic-;rlOw;! -'>lalej C. Wiedzqc, zc dan)' przyklad moi:na wwI"zyv. a~' metoda Clebscha. mozna uproscic I~Lpis pod.my w tabl. ll.3. upuszczajuc w dalszych przedzialach wyrazy powtarzajace ~i". a dol' i s uj .11.' jed yn ie w y r,v, y pojaw i 8 j qce s~~. T a k j UproSlCZO ny zap is obli czeri Ii n ii ugicci« bclk i pok.rzancj nu rys. 11.7 poduno w tabl, 11.4. zastcpujacej w pelni tabl, 11_.1. T \ 1'1 I L __ \ I I .4 _ Sh'-'L-"n~ 1""1 pis obl icze Ii Ii nii u ~i\'('i<l betki r<' kaza ncj ua ry~. I L 7 ~------------.-------------.-------------r_----------_, d r L'·::_~~ th -\' (' fR - 4 1 (x_a,)' _p-I :2 ----- --- --------1-------+--------1 :liL~ " I C •• H.(, --------------"------------~~------------+_------------1 .-11 ~ \ ~~.(f~ ------- --------.~ .-- --------------------' K l)f/}.,I ;tr;lC /. iubl. I ~ _4_ uulczy pamieuu'. rc nu przyklad ugiecie y belki dla pr/t"krojLl _,- ki~~t'e~n mi~·d/.y ~ratliGlmi przcdzialu at i (/2 okresloue jest sunuj skl.ulniko« \\-ysLQ1l1_i'lcycll ~\- pr zedzialuch od poczqtku belki p- = 0) do prawej gfallicy prA'~I/i~111l (\ = <I). a wire 11.7. Zastosowanie m etody C leb scha do bel ek zg ina nyc h pa r ~ s il o mornencie M~ i nbclazenlem ci~gtym q Stosujac m erode C lebsc h a, W yz naczyrn y row El a nie ! i 11 i i II g i~L'ia tl lu be I k i Ig i n.111e j para si] 0 mornencie 1\1 {J i obciuzeniem ciaglym 0 nal~zetlill ~J (np. N,:cm, ryx, 11.~'1). W przypadku wystepowania momentu JlQ rnozna lLz}'sl:a( zalczno~ci llli,'tL,,:y ~t.ilYlni culkowania, okreslone wzorarni (ll.14) i (11.1 :5),jei:c1i w wyruzcniu na moment gll~JCy (rys. II.Sa) pomnozymy ,\J o przez ezynnik (x -al' = I. a} y c Podo bnie, w przypa dk u w ys tepowa ni a I.'.' pe W n y In r m:J zialc bel k j 0 bci ~~zcn i a ciqglego q warunki (l1.l4) i 0 1.IS} dOl}'CL'~Ce srulych cnlkowania spclnione b!;:th! wowczas, gdy przedzial z obciqzenicm ciuglym if przcdluzymy az do koncu bclki, wprowadzajac rownoczesnie w nastepnych przcdzialach przcciwnie dziuluj.rcc ohciazenie q (te dodatkowo wprowadzone obciuzcnia ci~Jgk if /aZll<LL"I'OllO li uiumi przerywanymi na rys. 11.8b). Rownania linii ugiecia bclki pokazauej na rys, 11.1-Ia /. :ra~tosowal1i<.:'111 mcrody Clebscha podano W tabl, 11.5. Podsumowujac spostrzezeuia i uwagi dotyczqcc mctudy Clcbsclu), inozemy stwierdzic, ze dla belki wieloprzedzialowej tylko wowczux ~pr(l\\'ad/in1Y nhliCIl.;lIia do wyznaczenia jedyuie dwoch stulych catkowania [zgodnic /. zaki:llo;L-i'lmi (11.14) i (11.15)], gdy przestrzegac bedziemy nastepujqcych za~atl: I. Wyrazenie na moment gnacy w kazdyrn nastepnym przcdziale ruusi \\' c'lluSL-i zawierac wyrazenie dla przedziulu poprzedniego, uzupclnionc 0 dodatkuwe sk huluiki, 149 'hAI fC\ 11.5. Obi iczcnie 1 i nil ugiecia bclki pokazanej na rys. 11.8 2 q(x-d +--- 6 +MJ.x-<J} .\' (' f R - .4 :2 thO JJ_:_ = d.\· qfX_C)4 +--- 24 -,",3 f) 1 C,,·1 N .• - (. 1':.1,1"= ~. Jczcli nu belke dzialu para sit 0 rnornencie M 0" to do wzoru na momenl gnacy 11 a [~zy W p row adzic wyru zen ie AI J..t - (l)(). J. j ezcli obciqze n ic ciugle (j n i e dzi a la az do konca bel ki, nalezy wprowa dZLc obciqzenie (I do dalszyeh przedzialow belki, dodujqc rewnoczesnie W tych przedzialach rukie samn obciazenie, lecz przeciwnie skierowane (dla zachowania rownowuzn osc i 0 beiu zell). 4. Stale calkowaniu C j D nalezy urnieszezac na poczqtku pierwszego przedzialu. S. W wyruzcniach na moment}' gnace nie nalezy otwierac nawiasow, przenosic wyruzow v. jednego przedziulu do drugiego, przeprowadzac redukcji itp, r : ~'l 1 1 METODA WYKRESLNO-ANAUTYCZNA WYZNACZANIA LINII UGti;CIA 12.1. Me.od a wykre sino-an a Htycz na wyznacza n i a li n ii u g i ect a be lek (metoda obc1<\zel'i w16rnych) W uiektorych prostych przypndkuch zgmauiu bclck , gdy chodzi 11 a ill ~km nic o wyznaczenie L~[6w lub strzalek tlgi~cia w koukremych pr;:d\ rojach helk i, lamias[ xtusowac metode anulityczuu moznu zustosowuc I1lcLoJl,; wykrI.!ShlO-analilyt';:II;!, zwanq rowniez metoda momenrow wtornych. lstotu rej metody polegu nu pr/yjt,'l'iu ratozenia, ze rzedne Ji, wykresu momentow gnacych ~!~moWil~ obciuvcnic wurrnc ilub fikcyjne) q {_ Biorac wicc La punk: wyjsciu rownunie ( Il_1 ) db stulcj Slty~\ 11OSt:i bclki EJ = const. mozemy nupisuc: Z kolei wiemy [wzor (::L 1) i ~ ~,.2)l- i.e obciuzenic ~'il!gk jest rC)WI1C picrws/cj porhoducj ~i I) tuqcej _ a zu I em d rugiej I' uchod 11 ej 1110 LlW utu gil ~~cc gt l: d"/f '-I = - --- ) d,l' d!M/ ~I~\~~ - !dzj~' 1f jest wynikujuc., Z dziulauiu obciuzeni u wh\mego q .. :ih':-jillt .... t~, 111~'t'<)_ a ,1'( - fikcyjnym momentem gnl~cyl1l, Z porownunia L"Ici.nnsL."i uu i (hI otrzymujemy tbl ..i~- - '1 ->_. - -1 ~ - '--1 151 (c) d{ EJy} dM f ' ---=-~+c, d_\' dv (d) L-J_,' = -Mf+ Cx+ D_ (e) Z zaldnosci [e) widzimy, 7.~ jezeli potrafimy tak dobrac warunki brzegowe dla belki r/el'l,ywis[l.!j i dla bclki trkcyjnej, ali}' obie stale calkowania byly rewne rem: c=o or<JZ D=O, (f) In ugiecie _l' belki rzcezywistej bedzie Towne ilorazowi fikcyjnego momeruu AI f przez :;.t.tYWtlO~C EJ helki: ~ ~ (12,1 ) POdtlbnic "/ n")\\ nunia (J) ~'Il O=dy/d_,' nachylenia stycznej do OS1 ugiete] belki r,.cczywi,lcj o"..dzie r~"mny ilorazowi tikcyjne] sily tnucej Tf przez sztywnosc belki EJ (g~l,ic ~jb lLll!GL jest r~-m nu pochodncj momentu gl1'1cego Tf= dM fidx): ~ (lL!) 12.2. P rzy k t ady z a stosow ani a metod y wykresln o-a na I i Iycz n e j ZaslusujL.'my mClod~ wykrcslno-anulitycznt; do obliczeniu k'llOW i sirzalki ugiecia bclki podpartej na koncach i obciazoncj w srodku sih! P trys. 12.101)_ Wykres momcnrow gnqcych przedstuwiony na rys. l :!,I b traktujerny jako obciuzcnie 1'lkC'}'jnc_ a wi,.-c rcakcjc fikcyjne wynoszq 1 1'/ I pr! R=-~-~=-, J 142 16 R I} - - ( I 1:'.1 I.g~,dni~· I LlllIU\~ l! (hHY~'l"l~t';j ~it L n.jcych tr!s_ ~,41 sit. Lil~~G' lik~'yjll<.l 11<.1 podporzc 11 j~'~1 uicum:i. 1;I'eIH II), IIl~· i· 1'1-' (l M:')~_ -"'i ; ---1 152 Aby obliczyc strzalke ugiecia w srodku bdki r/J.:Cz.YWLSll..j, \\y/_naLt,ll11)' moment gnacy AI, w srodku belki fikcyjnej (rys, 12,l b): I I I rill I'll/ 1'(' Mf=Rr2-Q'j2 =u; 2- 16 (, 4~ Zutcm zgounie ze wzorcrn (12.1) strzalku ugiecia w srodk II bclk i m:l.:/,p\ I~h:.i w Yilnsi f= _Mf = PI) " D 481:.') co jest zgodne z wynikami podunymi W tubl. l l.t , PO?, 4, Zauwazmy. ie w rozpatryw auyrn przypadku bclki rodf',!rtcj 1l<L ubu koucuch belke rzeczywisrq (rys, 12. I LI) zastupilismy tuku suma bclku '~h'lril,! (ry». L~.I b). gtlyz db takiego przypadku nutomutycznie spclnioue ~~! t'l1cinO~t.'i V) 1_ punkl u I ~_1, Lo jest obie stale culkowania rownania (e) (pkt 12.1) s,~ H)WnC zcru, bWLnil:. dlu belki rzeczywisrej nu kazdcj podporze y = 0 Or..1Z ~J ~ O. ,1 dlu bclki wlorucj nu obu podporach M f= 0 ornz T #0, zutcm apelnione s.:! warunki (I) {pkt 12.1)_ D/i"ki tCIHLI sluszne sq wzory 112_! ) i (12,2), Dla innych przypadkow w cclu spclnicnia wnruuku, uby obie stale calkowuniu w rownaniu (e) byly rowne ZL:fU (j) = U oral (- ~ 0). n'lic.i:y do brae odpowiedn ie WJ runki br zegowe db bel k i W L or 111.: i Kit ku prz}' k l ud .-.w ~i ob i crania warunkow podpnrcia belek wtornych podano w tabl, I.e'_!. a W tabl, IL~ - fwb i polozeni a srod k ow ciezkose] nick to rych figu r w y~ t<;p II jacyc h w c I~SC i cj :->1'0 L y ~.l nych przypadkach jako wykresy momentow gnacych. Stosujac metode wykreslno-analitycznq wyzuaczymy strz.ilki i l-,:,!l ll~i,'L-ia S\\'lOndnego korica belki wspornikowej pokazanej nu rys. 12_.!'L Zgodnie z l .. bl. 12.1 (poz, 2 i 3}, bclke wLOnl<! pr/cd~l,l\\'i~1 T) s, l ::!,2o_ Wykrcs moruentow gnqcych belki z rys, 12.2a truktujemy juko obt.:i;!zl:nic wtorrn- bclki 11.1 rys, l L2b_ Wypadkowa wyk resu momcutow gnacych wynosi :--'1 ~-l 153 ~ , .... I .... SL~ 1<1 lub przc- Mf#U F ;£t 't- su Ii. na podporu J',i"'i) I I rmr<~Jlli~ W~rto5ci Lp, F rOl~Ill~ll L bclk i r h-':I} IIi 'I~j Warun].;i sit [ik- hrzcgo .... c cyjnych -'-D I I ',,,Ip,}m ,1 :Il" 1 ub I z : rT7.....- ... U ... ~ I til JII;~ ... -'-f F=O M/=() A. b) kouru Lx:H .. i mt;' 0#0 Tfofc{l ~ I O<Jp'.:>II .. iadajacy fr~gm~nI belki wtorne] I Podpora siata ~=::=:::=~ Luh przesuwna I na koncu belli ..... tome] 2 UL" i~r<Vnll}' ~ :__ kouicr he 1 ki -' S.-... ... ·L,h..,.JIl~· ~t,l1i~'1: bclki 4 s.:, I:l III b l'rA'- SlJ ~~ U;l .... -1 'dr~ ~'u 1'H·J:':'n.:Llut~1 s L·r,/,,'_g:ub H y={I Mfd) (l={I T,=Cl I ... , r#{I Mf;<,O E- -, T 07"{I T/i"'O I I A ! .1'=0 M/=(I f= :6 --t jJ#O Tfofc{1 , 1 I A I Swobodny Eb=- ==~='i- koniec belki I Utwierdzony kcniec belki wtornej Przcgub ~,',r I ~ " b] ---I 154 I T· K ~Z"~ OlH;lu<.'nla I'<>k fi:;!.LlIT ~~ I ~~ -+ ~~ +- '_r ~ .~~ _ f 2 Trapcz " b r 7 -~ ,---- )'~ Pole ogran ;C10- t J ne r~~bol~ s=rs: -e; " rV!!:::P."\~ Pole (1gralli.;.'o- 4 ne parabola " "ok ograniczo- ty 5 ne pa rabola F=PXl Trojkat Lr a= t· r,\,:II: ~ hi I II ~ ---I -- Ze wzoru (12.!) j 02.2) otrzym ujeru y st, PI2 /= - EJ = -3,.;;" r u= _ f FJ (hi k'~I"'<'·' ~rLl.1 ~" Ii..~':-~ i ~.'~J.:i ~I " -- -- 1 II, 1-- II .. , ' ~I!. .; II~ ! ," h=~1 Ir~= ~, .' t --- 1 ,------] ~--t~t 51 ~~ Y~l~ WYBOCZENIE 13.1. U1rata statecznoscl (wyboczenie} preta Sciskanego ROI.paLrZlH)' prosty pret zaopatrzouy na koncach w przeguby i obciazony csiowa ~il'l st'iskaj<JG~ l' (rys, 1.1. lu), Jezeli silu P nie jest zbyt duza, to pr~l pracuje na zwykle nsiowc .~l"jsbniC'. przy czym os preta pozostaje prosta, Jezeli na tak obciazony pret I ... LOI. ialu III y j a k,!s ni cw tel k<l sif.~ poprzeczn <I Q, to po us II n ieci U lej sily po przeczuej pr~t r~)wr(lL;i do poczarkowcgo stunu rownowagi, Ustroj taki nazywamy srm{'c:I1),I11. 0) b) xt p Pu " I 'f 0B i Q.~ <F>I I ." /)':; Y 0; 1 156 f T· j I ,- .- 1 Jezeli sile P sciskujaca pret w sposob przcdstawiony 11J rys, I J.I a h!;dziclU)" stale powiekszac, to dojdziemy wreszcie do takiej wan('l~i sily P. i.e przy minimalnyrn impulsie (np, po chwilowym przylozeniu bardzo mulej :.ity· Q) prct ~L"isbmy wygnie si~ w sposob pokazany 11<1 rys, 13. ~ b, H po ustuuiu impulsu ~ po usunicciu sily Q) nic wroci jut do swego poprzedniego prostoliniowego stanu rownowagi, lccz pozoxtunie W sianie rownowagi przy krzywoliniowej postaci prctu. ;-..: ic ulcgu \\'.~tp!i\\ osci, zc stan krzywoliuiowej rownowagi przedstawiony uu rys, l3.l b jest bardzicj uiebezpieczny od stanu rownowagi prostoliniowcj, gdy-j oprocz sciskauia sila I' wywoluje rownicz zginanie preta i przy dalszym (nawet niewielkimj wzroscic :.ily P lla~l~lric nwzc zniszczenie (zlamanie) prcta. Opisunc wyzcj przcjscie ukludu zc sumu rownowagi stale] {w danyrn przypadku prostoliniowa pcstac pn;w) do stunu rownowagi chwiejnej lub obojetnej (krzywoliniowa postac rownowagi prctu) nazywarny IIIm/(~ statecznosci ukladu: a silf. przy krorej to przejscie zachcdzi. nuzywamy sfll! /..T_n_n·:lrq lub sik; It'}'bQczajq_('q i oznaczarny Pk,. Wyprowadzimy teraz rownanie linii ugiecia prctu s("i~bll1ego sit~! krytyczna 1\" a w iec d op rowadzo nego do stan u krzywol in io wej post uc i ro wnowa gi. P r /cdsl a w i 0 LlCgo na rys, 13_1 b. W przekroju okreslonyrn wspolrzedru] x srodek l:"i~zko~~·. przekroju poprzecznego przemiescil sie 0 wspolrzednq y, zatcm moment gnacy W tym przckroju wynosi Af§ = - p\,J' (znak minus zgodnie z umowq rrl.}'j~t4 w pkt. 8_1 dlu ukladu osi przedstawionego na rys, !-l.S i przyjetcgo nu rys, 1 J_l b). Po zusrosow.miu wzoru ~.II.I) rownauie linii ugiecia preta pckazanego na rys, 13_1 b lila pO~lai:: Po wprowadzeniu oznaczenia 2 1\, ~ =- EJ (D.1 ) otrzymujemy rownanie rozniczkowe ( l_l.2} ktorego rozwiazunie (calku ogolna) ma postnc: y= Ccos zv } Dsin ·:u. ~ 1 3..1) Stale calkowauia C i D wyznaczamy 1. warunkow brzegowych: I) dla x=O ugiecie ... =0, zatcm z rownani a ~.I_Ll,} znajdujcmy ('={); ,- - 1 2) dla .Y=/u~i~"Ciey=O. z.uem z rownania (113) wynika, ze spelniona musi bye zaTeino~c: Dsin-xt =0, {a~ Powyzszy ..... urunek mozc bye spelniony dla D = 0, co oznacza, ze po podstawieniu do rownaniu (j 3.3) db kazdego x ugiecie y jest rowne zeru, a wiec odpowiada to prosto I i n iowe] post uci rowuo wa gi p reta (jes t to rozwiaza n ie oczywiste, czyli tzw, trywiuluc), Warunek (a) speluiony jest rowniez wtedy, gdy D #-0, lecz sin::.:! = 0, lj_ d1a k a zdej \\ a rtosc i zl = 1Ul, gd zie Il = L 2, J, _.. Po wykorzysta niu zulcznosci (13_ 1 ) ot rz}' tn u] ern y (13.4) Okuzuje si~, zc istuieje zhior sil krytycznych dla kolejnych wartosci 11 = 1, 2,3, . przy ktorych mozliwa jest krzywoliniowa postac rownowagi sciskanego preta. Techniczne znaczenic ma tylko najmuiejszu \\·artosc sily krytycznej d!a 11= 1, ktora dla badanego preta sciskanego miedzy dwornu przcgubumi (rys. 1 J, 1) wynosi Z:.de}.1l0SL· powyzsz» nosi nal:w, ,c·oru Eulesu", We wzorze tym symbolem Jm;" OZlIOlClOLlO najmniejszu WJrlOSC glownego centralnego mornentu bezwladnosci przekroju poprzecznego pretu, gdyi. wyboczenie preta nastapi w plaszezyznie prostopadlcj do t ej osi g!o:nvnej. \\,7.g1~d em k turej morne III bezwladn osci prze kroju jes t najmnie jszy. \ .... ickszym wartosciom wspolczynniku n w rozwiazuniu (13.4) odpowiadaja odpowiednie ksztalty linii ugiecia, przy ktorych istniec rnoze krzywoliniowa postuc rownowagi prctu. Tak \\'i~c dl .. II = 2 ksztalt linii ugiecia przedstawiono na rys. 13_2<1. natomiaxt db II=J - nu rys, U.2b_ . reo ret yezn ie jest l n nil i we UJ:}' skun ie rownowagi przy tak ic h przebiegach Ii Ilii ugiec i a dla sit}' sciskaj.wcj P =4/\, lub P =9Ph' gdzie wurtosc r~, okreslonajest wzorem t 13.5)_ Zuzu .. czonc liniami przerywanymi reakcjc poprzeczne musialy istniee w czasic doprowadznnin osi pr~l .. do stanu rownowugi pokuzanego na rys. 13_2, a po doprowndzeniu do tego stanu reakcje uiogq bye teoretycznie rowne zeru, Oczywiscie, minimalny impuls wyprowadza bclke ts: stunu rownowagi, gd)'z jest {O rownowagu chwiejnu. , Ll·LlIlI'.LfJ Fukr (I j'rn - 17iU~. J - " J 1.1 \ .. ~ yh 1"(/..-1 I i..; 0] bl p: LPlotr t '~J t: I : \ 1 , , -I : J R~O -, f I I i I -] 1 \ \; /' y/- p:.;:,.p .. R ys, I J.1. Kolejne postaci krzywol i uiowcj ri'mnowagi pr~l,l sci ,k ;lI'CS" s,F~ 1': "f J lei ,,=~. h) d I a /I = J [SL!~ kryLyew,l PL. okreslona wzorcm II _\.~} i (U.5)j 13.2. Inne przypadki wyboczenia pr~t6w W taki sam sposob jak dlu rozpatrywunego dotychczas pretu st:iskalll.'i,!O Illi~·d/.j: dwoma przcgubami mozna uluz}'c rownauic lillii ugi~ci'l i ol'/Ynl~'~ \\'/,lry nu sjl~ krytyczna dla innych przypudkow zumocowunia koricow rr"..la. W/tlr}' L<I!-.:il' orrzymac rnozna rowniez bezposrcdnio z wyprowadzonej jll/. 1~L16.1lO~t:i j U.5 j . jezcli zwrocimy uwage na to, ze przy innych warunkuch hrzegowych linie ugi\,t:i<l pretow sciskanych skladaja 5i-; z fragmentow linii ugieciu podstuwowcgo przypudku przcdsta wio nego na rys. 13.1. Tak wiec dla prera 0 dlugosci l, utwierdzonego w dolnym koucu i ol)o(;i~!inllt:g.o ~il.~ sciskajaca P ua swobodnym goruym kOI1CU (rys. 1 L~a}, linia lIgi~'cia wyboczoncgo p ~ ta przyj m ie ksztalt ta ki j a k gorna polowa p ret a po k uzauego na ry s. I,ll b. Pn;t przedstawiony na rys. I.L~a znajduje sic w idcutyczuym siunie olxi~!i:':I'1 i odk~/t~.lccll jak gorna polowa pretu z rys, 13.1. zatem ~jl~ k ryiycznu dlu IC~O przypudk u wyznaczyc mozua ze wzoru ll.~5). gdy w miejscc Jlugos"ci 'pJ,)d~iawilll}' \\arlo~ 2l. Gdy dlugosc I preta dla podstawowego przypadk u ;ci~kallia, tj. JI'l prcra sciskanego miedzy dworuu przegubarui (rys. LUb oruz lJ..:'llI, tV I lac/.}, Illy r~. i nazwierny dlugoiciq ~.·_"boc;mfvn·i{, wowczus sil~ k rylycll;l dla pn;L<I lll,\"iertllOlll.!'go jeduym koricem (rys, l3.3;1) orrzymamy bczposrednio zc wzoru (1.,5), jczcli zumiust dlugosci I podsta wimy dl u gosc wy boczeniowu dl a tego p rzypudk u, tj, I ~ = '2 t. l'od obn ie, dla preta utwierdzoncgo W obu koncach (rys, 13.3c) dlugos.: wyhoczeniown wynusi I". = ~ f. Dla podsta wowych p rzyp ud kow scis ku n ia p n,; t ()\\. si tt; k r yt ye:l.ll.! 1\, wyl n a(/;lmy wiec ze wzoru (U.5), w ktoryrn zamiust rwprowadzumy d~ugost-wyho~7Ctliow;! /~.: o} N ::-.:,-...:··r:--::-· lIit' Ii) I~: 2l r~ 'O.7l 159 bl p p ~"~ t I -I- I dl el p p Dlug.osci wyboczcuiowc I". dla kilku przypudkow sciskunia pretow podano na r}'~. l.1.3. 13.3. Nap r~i:e n i a k rytyczne. Sm u k tosc p reta Napr~zl.!'nia krytycznc, pr.l.jo' ktorych nastepuje utrata stutecznosci preta sciskancgo, otrzymumy przez podzieleuie wzoru (13.6) przez pole F przekroju poprzeczncgo pr~101: rr = Pk• = J'E2 EJnlin k. F /~.F· ( 13.7) W cclu ujcciu w !-.: rotszcj r~lI'miC' wiclkosci charakteryzujqcych przekroj poprzeczny prctu, wprowadzono pojecie tzw, minimairJego promicntu bezwtadnoici przekroju: ( 13.8) a lI<lsI~ptlic po podzicleniu dluucsci wyboczeniowej I przez i . otrzymujemy jednu tylko wiclkose char .. ktcryzlti~~c~ wymiary preta: ~. n"n' I,. J=-.-, lmi11 (0.9) -. 160 - .1 ~--} r: } U. Wybocz.:l1j~ wan" smuklosdq preta. Po zastosowuniu powyzszyc]: nZllac.rcll eulerowskic nuprezenia kryt yczne okreslone za leznosci 'I (13. 7) wy faZ,! s io; nu ~l-;p l~~~C)' III r rus L ym wzorem: 7[l E. Oh=-2-.~ (U.IO) 13.4_ Granica stcsowalnoscl wzoru Eulera. Wzory Tetmajera i Johnsona - Oslenfelda W zo r Eulera (13.1 0) ok reSl a jacy wa rWS(' 11 a p r.;-icil kry l YU 11 }'C h (\~ Y boczuj uc ych) juko funkcje smuklosci .~. pretu na wykrcsic we w~p6tTl:~dllych x, (J pr/cdSla\\ia si~ w postaci hiperboli (rys. 13.4). a' pr(>'llo ietmajoro. Ja~t\skle-;;o tuperbol.o Eo,;J.ql'<) S""'k~G1;.t ,,~ r_ Rys. UA. N aprrtZellt~ kr~ tyczue "'r w ~" kt I1tl~i LXI smu], h';"; i .\' P r/~ \\'~ 11, 'c"c·,.i lL i'r~'L"'C \\ yk L>Jl; IIl~ "11 /, siali konst rukcyj 11 yc h Ze wzoru (13.10) korzystac mozna tylko \Vt)\~·""I<IS. gdy naprezeuiu nie prvckracza j 'I grunicy stOSOW<J I nosci prawn H 00 kc 'a. a w i~'c ~H~I "lr.:( "I~"I" Ohl iczu Il ic pretow kiskanycb za pomoca wzoru (l3.10) mozemy wiec przcpru\\,~ldz~L~ tylk o wtedy, gdy srnuklosc s preta jest wieksza od smuklosci granio[]cj "'<1' wynikajaccj z za leznosci: (LUll . ---- t : - --1-- ---) .'- - -} ~"1 1-' J ~-- 1 .-'_ J ~--l 1 J.4. (i ranica sl osowulnosci WWfU Eu leru. Wwry Tetrnajera i Joh nsona - Ostenfetda Dl<J sta li konstrukcyjnej Sl2. majqcej granice proporejonalnosci (Fpr~= 200 MPa i modul Younga E = 2, I . 105 MPa. smuklosc graniczna wynosi Db staf takiej wzor Eulera (13.6) stosowac mozemy dla smuklosci wiekszej od 100. <J wiec dla cZ~Sci A B hipcrboli Eulera pokazanej rJU rys, 13.4. Dla smuklosci mniejszych 00 ."!!" stosuje sie wzory empiryczne lub zaleznosci (wykresy) otrzyrnane doswiudezalnie dl ... danego rnaterialu. Krzywa taka dla stall konstrukcyjnej zaznaczono tini'l: ci;~gh! na rys, 13A. W zukrcsie tzw. srednich smuklosci, a wiec dla odcinka AK tej krzywej (dla stali ~. zakrcsic smuklosci :W -s- I (0), wystarczajqce dla zastosowan praktycznych okazalo Sl~ przyblizcnic wprowadzone przez Tetmajera 1 i Jasiriskiego 1, polegajace na zastqpicniu hi pcrboli Eulera prostu Teunajera 0 rownaniu: (lJ_ 12) Wsp6fC/.ynni ki a i h wystepujqce w powyzszyrn rownuuiu \\' .... ·zn u cza si~ z warunku, ze prostu ta musi przcjsc przcz dwu punkty oznaczone literami A i C na rys. 13.4. Dla materialow majqcych gratlit:~ proporcjonalnosci ()'r'~r i granice plastycznosci (1' ..... , wspolrzedne punktu A lezqcego na prostej Tetrnajera (i rownoczesnie na hiperboli Eulera, r .... 's, 13.4) W)'110SZ"! Olr=°r""l' dla s=s~r' a punktu C 0kr = (l'pI .. t d!a s=O. Po podstawieuiu tych warunkow do zaleznosci (13.12) olrzymujemy (1 = oplas1 • ~ rownunic prostej Tetmajera dln takich materialow (np. stale weglowe konstrukcyjne It p.) prz yb i c ru postac: _ o~,,- 0r"1' ()'kr - "rI"" - s. Sv Db stuli SL2 u podanych wyicj wlnsnosciach (tj. O'po.'P = 200 M Pa) i granicy plastycznosci or"''' = 24() M Pa prosta 'l'etmajera wyruza si~ wzorem: ( D.I3) 1 I_mlwig \"" 'klm~j~, ~ 111511- lWI5}. , I·dib J;Lsir'.~li (1~5(,- E~<,t9I. ~-1 l'1b = 240 -0,4.1·: (13_13a) wedlug tego wzoru nalezy obliczac prety w zakresie srnukloxci ud :.rt.:"l"a do -~~r = WO_ Natomiast prety dluzsze, 0 smuklosci J" > 100, nalczy obliczsu: roshtguj,~c sit wzorcm Eulera [wzor (13.10)]: n1E C1h=-' - .~- Johnson {191 0 L} i Ostcnfeld (]898 r.) stwierdzili. Z-.: db takich ilia terialow jak stopy aluminium (durale) oraz miedzi (mosiadze, braxy) znacznic kpsz .. ! zgoduosc z doswiadczeniern uzyskuje siE; przez wprowadzcnie z.uniast prostej Tetmujcra para bol i 0 rowna niu: Wspolczynniki w powyzszyrn rownuniu obliczu sie z wurunku, i.e wicrzcholek paraboli znajduje sit: w punkcie C (tj. (F\r={1f'lo>l dla .1· = 0, zutcrn (I = (Fri.,,}, a purubola podchodzi stycznie do hiperboli Eulcra [okreslonej wzorcru (13_10)1. Punkt srycznosei obu tych krzywych (oznaczony litcru Dna rys, 1 JA) znajdujcmy z warunku, ze dla odcietej s =so katy nachyleniu stycznych do obu tych tinii (a wiec pierwsze pochodne) musza bye takie same, Z porownania pierwszych pochodnych wzorow (a} i (l3.10) po podstawieniu wartosci sA'zegolncj .I·=SO orrzymujemy 2rr"E -2bso= --)- . .1"0 Rownanie paraboli Johnsonu - Ostcnfelda przybicru wicc pm ra c: Wartosc smuklosci granicznej .tu obliczamv z warunku, ze dlu .I" = SOl llapr\'i..enLc krytyczne (Fk, obliczone ~ wzoru (b) musi hye takie sumo jak I.C wzoru liuleru (1.l.W}: Sl;g] ( 13.14) (a) (b) (c) ~--:-, I 163 Wzhr Johusona - Ostcnfeldu przybiera wiec nastepujqca postac: (IU5) i 11 ulczv I!O s t osow uc J lu sm uk 1 osd od ze ra do smuk losci granicznej So 0 kreslonej wzorcm ~ I 3 _14). D la Sill U 1..:1 osci wiek szych od S (I nalezy siosowac wzer EuIe ra a., = rt z E:\·2 _ I)] a 0 hi i czoncj po przedni 0 sta li Sl2 srnu k rose graniczna rozd zielajaca zakrcsy 7aslOSOw;.LLl wzoru t 1 J.15) i wzoru Eulera wynosi {2£ )2- 2.1·1 OS SO = r\1 ;;;:::. = n 200 = n I. Nalczy uudmicnic, i.c w zakresie obliczen statycznych i projektowania konstrukcji stalowych obowiazuje norma PN-90/ll-03200, w ktorej podano zestaw wzorow i wspolczynnikow ulutwiajqcy obliczanie pretow i konstrukcji na wyboczenie. 1 -. -:-1 ~ . -- ~ ~-) :---~ - - 1 CZ~SC czwarta I ST ATYCZNIE N I EWYZNACZALNE I ZlOZONE PRZYPADKI ZGINANIA BELEK STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE PRZYPADKI ZGINANIA BELEK 14.1. Jed n okrotn ie statycz n ie niewyznaczalny przyktad zg ina nia belki Rozpatrzmy belke utwierdzona w jednyrn koncu i swobodnie podpartq na drugim, olx-il!:l_OLl<J, w srodk u silq P (rys, 14_1 a). W odroznieniu od analizowanych dotychczas stutycznie wyznuczalnych przypadkow zginania, do wyznaczenia mamy tu cztcry reakcje wi~z6w (rys, 14. ~ b), a dysponujerny tylko trzema rownaniami suuyki. Zadanie jest wiec jednokroinie statycznie niewymaczatne. Oprocz rownan stutyki bedziemy wiec rnusieli wykorzystac warunek wynikajacy t: odksztolcen, Zastosujerny metode superpozycji, Gdyby lewy koniec belki nie by! utwierdzony.Jecz swobodnie podparty (M A = 0), WOWC:W, k~t ugiecia 0 A na podporze (rys, l4Jc) wynosilby O~= _Pl2/(1 6EJ) (poz. 4 tabl, l Ll ), Gdyby dzialal tylko moment AiA (rys, 14.1d}, WOWClilS 0:.4 = AI A t/(JEJ) (pol. 7 tabl, 11. l), Poniewaz na podporze A belka jest ut wi crdzon <I, sumaryczny kat ugiecia musi bye rcwny zero, za tern J M",,=.-(iPl. 166 01 b} p cl p d} Z rysunku 14.k i d widac, ze reakcje podporowc WylWSI.~~: " IT ,l(.. J R. = -R~= -_._= .. p ~ "t 1 (, ' oraz zatem I{=o, R _ 1 I' J I> - ~ I' J~ ~.:! - L i~ - If, . Wykres momeruow gnqcych (rys, 14.1 c) otrzymujcmy juko r()znic\" dodutnicgo wykresu mornentow gnqcych od sily P (a wiec trojkutu 0 wysokosci ~ I'f) m.1Z ujemnego wykresu od mornentu AI ... (trojkut 0 wysokosci M.1 = /"PI. nurysowany rowniez do gory, przez co ulatwioue jest odejmowunie odpowieduich r()l). Przyklad powyzszy mozna rown iez rozwi ,gaL' j nn ym spo so be m. Gdy by 11 ie bylo podpory B, wowczas ugiecie w srodku belki wynosilobyr,« I'{~ IIJ.,OU} (tubl. 11.1 poz. I}. a kat nachylenia 0= P( ~l)2/(2EJ). Ugiecie swobodnego kOI·H:<L B belki utwierdzonej na koiicu A i obciazonej w srodku sif" J> wynosiloby 1 14. L Jeduok r,,11l ic SI~Llyo 11 ie "iC\\,Y7.tUOlllllY przy kbJ 7gin:mia belki J 167 I PI) PI) sPt3 Is=I, + c '2 t= 24EJ + 16E1 = 48£1" Ugiecic to jest likwidowane przcz rcakcje RB• ktoru dzialajac na koniec belki wspornik owcj duje str: ... alk~ ugieciu /~ = - RglJ 1(3EJ) (ugiecie do gory). zatem s Sl\lU Rlj = 1 ~ P. Moment utwierdzenia wynosilby Ten sposob rozwiaza n in przy U zyci u gotowych vizorow podanych w tabl. 1 \ .1 i wykorzystaniu metody superpozycji zastosujerny do belki 0 przekroju zmiennym, przcdsrawioncj nu rys, 14.2<1. Gdyby nie dzialala reakcja RB, swobodny wowczas ko n icc Ii bel k i obciuzo n ej si h1 P (ry s, 14.2 b) obnizyl by sie 0 strzalke fab ~d,!C"l: sum'! p rzem iC~I.cZC 11 i a .!~·l pun k t u Cora 7. d oda tk owego przernieszczeni a k onca B wynika j"lccgo 7. lak tu. ZC w przek roju C ki~l obrotu belki wynosi 0('1; to dodatkowe przemieszczcnic wynosi wiec Mtn· 01 p b ._.,j 1 a ..... ;; tl==.=-~- -=-::::::- ~·:=:-F· -=-~. 8 C, E]~ : ~IP _, I] ~ _u 1 ~~----~~ ~ 1 I 1 I I I I I I b~ cl R~.~. 1-1.1. J~,in('kwHli~ snnycznic 1lK:...·yJJlaC7.aIIlY przypadek 1l!irlania bclki o przekroju zmiennym l6& Korzystajac ze wwrow podunych w tabl, 11.1. piszerny 1'02 o -~-('1- '2EJ1• W ukladzie zasadniczym, przedstuwionym nu rys. ~4.2a. strzalku ugi~cia w puukcie B jest rowna zeru, zatem wartosc liczbowa reakcji RJj musi bye tak Jui .. a. aby strzalku ugi~iaJ81 wywolana dzialaniern reakcji R~ (na belke nit: ohci~!i.on,! sikJ P. rys, l4.2C; byla row na is.. Zgodnie t: ozn uczeni ami pod any m i nu ry s, 14.2<.: LJ g I ~'L te he 1]';1 w punkci e C wynosi a kat 0 bro tu przek roj u C zatetn R aJ JB~=J~l+(bb+ 3;J~' Z porownania wzorow (a) i (b) znajdujemy Pa2pa+3b) R =--~~--~~~-- B 2a2(a + 3b) + 2b2(3a+ bidJ J. 14.2. Dwukrotnle statycznie niewyznaczalny przyklad zginania belki Belka utwierdzona w obu koricach. przedstawiona na rys, 14.3<1. jest przykladcm ustroju dwukrotnie statycznie mewyznaczulnego, gdyi do wyznaczcnia uuuny pi.,;c reakcji wiezow (rys. 14.3b), a dysponujemy jedynic trzcrna rownaniumi sratyki. Zadanie mozna rozwiazac korzystajac z wzorow podunyrh w tabl, l Ll , stosujac metode superpozycji. Uklad zasadniczy przcdstawiony na rys. 14.Jb jest xuperpozycjq trzech stanow przedstuwionych na rys. 14.3(;. U i c. Dla ukludow tych piszcmy kolejno: , Ph 1 ' O~= --(1 -b-) . 6/£J . (h) 169 p }'" Mil ( =~ .... 6EJ' •. " ,\1 HI (fJl =--- . 3EJ Ponicwuz kouce belki rzcczywistcj (zasadniczej, rys, 14.3b) nie rnoga si~ obracac, sumarycznc k.!ty odchyleuiu tych koncow musza bye rowne zeru, zatem: J 170 o = 0' + 0" + 0'" = - Ph (tl-h~) + ,\/) ~t!.d = 0 ,i A .... ,t 6JEJ 3EJ + 6[;) , v =0' +W +U'" = PbU-h)(2t-r,) 11 !i 8 8 6lEJ M) Mil' . __ .- ---. =0, bEJ 3D Stad znajdujerny (h)' AI~= Pb 1-7 - oraz Mozemy teraz sporzadzic wykres mornentow gnqcych (rys. 14,31), a nusrcpnic (lub uprzednio) wyznaczyc reakcje podporowe (wedhrg rys, 14.3b): - R = Pb + M.~_ M!i= rf1- 3h2 + 1._1)~)\ .~ I I I ' \ J2 rJ· R = Pb2(_3 2b) 8 /1 + I i wykonac wykres sit tnacych (rys. 14.Jg). 14.3. Obliczanie ram Stosowane w tech nice ustroje pretowe dzielimy na m~'('lwf1i~m ...• k.ollsrrtlk~i~'. a te z kolei na ram)' i kratownice. Pod dzialaniern sil zewnetrznych malwni:m.'· \~ ykonuja okreslone ruchy i w tyrn celu preiy l'lczonc S,! zt! sobq przegubami. \~ ykonywunymi rnozliwie starannie, w celu zmniejszenia oporow tarciu tr ys. 14.4 u j. , 14.3, Oblia~ni~ ram 171 i kratownicc. Tc dwn typy koustrukcji zewnetrznie mega St~ niczym nie r02J11C, w obu przypudkach wezly ruoga bye identyczne, na przyklad spawane z zastosowaniern blach wezlowych (rys. 14.4c). Jezeh (w mysli) zastapimy wezly przegubami i uklad pretowy mimo co pozostunie konstrukcjq (tzn, nie stanie si~ mechanizrnem}, to taki ustroj nazywamy kratownicq. Gdybysmy w danej konstrukcji wezly zastapili (w mysli) przegubumi i otrzymalibysmy wowczas mechanizrn, to taka konstrukcje prctowq nuzywumy rama (rys, 14.4b). 0 sztywnosci ramy decyduje wiec sztywnosc w<;zl6w. \",1 konstrukcjach ramowych obc!'1ienia powoduja glownie zginanie pretow, w kratowuicach - glowuie rozciaganie 1ub sciskanie, Mozna nadmienic, ze zgodnie z r. .. asadami ouutwiunymi w kursie sratyki, kratownice moga bye obciazane wylacznie silarni dzinlajacymi 11<1 wezly kratownicy, natorniast W rarnach obciazenia moga bye przy k ludu Ill: rown iez i uu diu gosci pr~ low. Rozputrzmy rume sklndOlj<lC<l, si~ z dwoch pretow 0 jednakowej sztywnosci na zginanie EJ, puluczouych sztywno w w~ik C(rys. 14.5a). Pod obciazeniem sila Ppr~l AC si~ wyginu, <L wezel C obraca sie Q kat 0, przy czym styczne do osi pretew w w~le C tworzu nadul bIt prosty {rys. 14.5b). Rcakcje podporowe w przegubach A i B rozkladamy na dwie skladowe. Z rewnunin rzutow na os pozioma sil dzialajqcych na rarne wynika, ze skladowe poziomc tych reakcji ~<! sobie rowue i oznuczamy je H, Mamy wiec trzy niewiadome: 01 bl p 01 b) cl , p cl dl~ c D C - .0 ~ I /- I 1 1---7 / ' / I I I / I / / AI / II / AI is B ~ W. ~ '0. * 0/:>;;':: Konstrukcje majq za zadunie pozosrawac w spoczynk II pod dzial.miem ~il (czyli przenosic obciazenia). Konstrukc]e pretowe d::.ieiim), - jak wspomniuno na - ram)' l72 H, R .... i RIJ> a do dyspozycji pozostaly nam tylko dwa rownuniu row nowa gi. na przyklad suma rzutow na os pionowa 1 suma morncntow wzgledem puuktu A, l ktorych otrzymujerny Rama pokazana na rys. 14.Sil jest wiec ukladem jednokrotnie zcwnetrznie statycznie niewyznaczalnym I i brakujace rownanie otrzymac mozcmy z warunkow (I_ rozputrzenia, z porownania) odkszta ken. W przypadku rozpauywanej rarny warunek odksztalcen wynika z [aktu, i.e w\"zd Cjestsztywny, a wiec prawy koniec rygla (preta) ACobm~a si~ 0 kl~t O. towny k.!LOwi obrotu gomego konca slupa (preta) Be (rys. l4.Sb). Aby wYi.I1<H:zy0 wurtosci liczbcwe tych katew, rozcinamy (w mysli) rame W w~;.k C i otldziaiyw<Lllie jednej czesci na druga zastepujemy reakcjq 0 dwoch skludowych R(" i Il oruz par,! sil o momencie Me (rys. \4.5c~ z rownania rzutow dla rygl« ... f C skladowu pozjomu reakcji W wezle C jest rnwna H). Dla rygla AC kat ugiecia O. zgodnie z wzorami podanymi w tabl, 11.1. wynosi a _ POa)l Me· 2a - l6E} - 3EJ . natom iast dla slupa BC O=J.fcb 3EJ' Z porownania obu powyzszych wzorow znajdujerny Jfc= 3Pu2 . 4(2a+M Z rownania momentow wzgledern punktu C dla slupa BC otrzymujcmy ll=Mc= 3P(l1 b 4b(2a +b) a nastepnie z rownari (a) mozemy wyznaczyc pozos tale renkcje: R.~ j R1J• co umozliwia sporzadzenie dla pretow rarny wykresow sil wewnetrznych, tj. sil norrnulnych N. sil tnacych T i momentow gnacych A19. Wykres momentow guqcych pokuzano nu rys, 14.50. Na wykresie tym moment}' gnacc powodujqce sciskanie zewnctrznych wlokien ramy oznaczono jako dodatnie, 1 W staryce ram i krarownic mOM $i~ ,Jarzyc ukkidy Zl'\"11~lr;'Ilk '1~'y~·j':l'C 1llC"'''''Il''l.,.~dll~ • \\'~wn~·t17· nie statycznie niewyznaczalne. Tuk wiec rarna pok azana ,.~ 1)'5. 14.5 j~'1 uk l.ulcm j~Jll,'1f1'llIi~ ""I Il~~rlilic sratycznie nie ..... yznaczalnym, natorniasi - dla przykladu - rarna r,'bZ~ll'l na rys, I".~ ,ic," ukl.ukan zcwnetrzn le sta tycznie wyznacza lnyrn Of8 ~ w~wi'~1 rznic jed 11 uk ru ln ic SL" LyOHi ~ ni'·\\Y?Il;lu.1i 11 ",1. r (a) J l73 Omow ionu wyzej me rod a obliczauia ram opie ra sie na wykorzystaniu linii ugiecia belek (tu bl, i U) i zas lOSOw<J ni u melody su perpozycj i. Obliczan ie ram bardziej zlozonych, j .. k rownicz sklndajacych si~ z pretow zakrzywionych, przeprowadza si(( na ogol za pomocq metod energctycznych, omowionych w rozdz. 18 - 20. 14.4. Belki na trzech podporach Belka spoczywajqca 1'101 trzech podporach, przedstawiona na rys. 14.6a, jest ukladem jeduokrotnie statycznie niewyznaczalnym, Z uwagi na symetrie ukladu reukcje R, na podporach skrajnych sa jednakowe, z rownan statyki mamy wiec tylko jeden warunek: 2Rl + R,,= 2qa. ZLI wielkose statyeznie niewyznaczalna przyjmujemy reakeje RIJ. Do wyznaczenia reakcji wykorzystarny warunek, i.e ugiecie belki na podporze B jest rewne zeru, Zastosujerny metode superpozycji, Gdyby nie by to reukcji RiC' wowczas ugiecic w srodku belki (rys. 14.6b) wynosiloby 1; = - 5~/(2£1t 1(384EJ) (7: tubl. 11.1 poz, 6). Gdyby z kolei na belke dzialala jedynie reakcja RB (rys. \4.6c), WOWCZ<lS strzalka ugiecia wynosilaby J8 = RJ,,2a)J 1(4SEJ). Reakcja Ru musi bye tak duza, aby ugiecie belki na podporze B byto nadal rowne zeru, ZOt t C In T W __ S<j'(2a}4 R8{2a)3 -0' .fB+/8 - 38.4EJ + 48EJ - , R J I=sqa. al y el Rrs. ~.j.('. Obliczanic bclki na trzech podporarh mctodq supcrpozycji l74 J 14. Statyczn ic n icwyzuacznlnc prz)·pml kj ~gi 11 an,a be lck Po wyznaczeni u reakc j i pod porowych nalezy wyzna czyc m omen t g 111!C), w przekroju belki okreslonym wspolrzednq -", mierzonq nr. od punktu A (rys. 14.6;]): \V przekroju nad podpora B, tj. dla .\. = it otrzymujemy Zadanie powyzsze rnozerny rowuiez rozwiazac H11l<~ metoda, a miunewicie rnozemy przeciac (w mysli) belke A C nad podpora B i oddzialywunie jednej t"1:t;s(i belki na druga - z uwagi nu syrnetrie ukladu - ZJ5t,!pic' jedynic momentem ,0\[ IT (rys. 14.6d). Ze wzgledu na symetrie k<j.t nachylenia obu polowek belki 11., podporzc H jest Towny zeru, zatem zgodnie ze wzorami podnnymi w tab]. I ~.j dln belki podpurtej na koncach i obciazonej rnomentem i obciazeniem q piszemy Stqd otrzymujerny wartosc JU B t<Lk'l juk w wyruzeniu (h). Stosujac metode superpozycji mozerny sporzudzic wvkrcs morncutow zuucvch. Gdyby na jedna polowe belki (rys, 14,6d) dziulalo tylko obci;jzcnic ciuglc q, ~\·i}~'~~·/~LS wykres momeruow gnqcych bylby parabola 0 rnuksyrnulnym momcncie L I ! 1 L > 1~1 no ax =l qa·111 - 2 qO·.t1l = ~qa~, Od rnomentu M.II = -~ qll2 wykres momentow gn.jcych 11l<L k sztalt rrojkutu, ~h')fY rysujemy nad osiq odniesieniu, gdyz WOWCZ<lS latwiej jest odj,!~ od sicbie tlO u pola. \V wyniku otrzyrnujemy wykres momentew gnacych przcdstawiony poiumi zak reskowanymi na rys, 14.6e. Niew~!trliwie wykres ten zgodny jest z otrzyrnunym poprzednio wzorem (a). Omowiona wyze] me tode przec i~c zus lOS uje my do bel kin a trzec h pod peruch, przedstawionej na rys, 14.7<1. Mamy za zadanie sporD!(lzLc dla Icj bclki wYKrCS momentow gnacyeh. Rozci n am y be Ib;; w przek ro ju pod po row ym, flrzy k l <I daj '!C moment M8 (rys. 14.7b). Kat ugiecia 0 prawego koncu lewcj polowy bclki {l tubl. 11.1) wynosi 0= -Mfj(J/(3Ef). lewego Z<lS korica prawcj polowy bclki 0= - PIl1J(l6r-J) + MIIl/OEIl. Z por6wn ... niu tych k~h·m' (wurunek t"i'lglo~ci} otrzymujerny zaleznosc: O=_Mfjll _ 31::J· 0- _ Pljl A/wi. - 16EJ+ JEJ' , (a) (b) 14.4. ild~ i I>a trzech podporach 17S stad Z rim,nan suuyki zustosowunych do kazdego z osobna przesla przedstawionego na rys, 1 4.7h zuajdujemy Wykrcs momentcw gnqcych przedstawiono na rys, 14.7c. bl cl Ry.;,. 1~.7. Ohliczunic bclki ua uzcch podporach metoda rr7.<:ci~c (na podporzc In 14.5. Belkj wielopodporowe Ornowiuna w poprzednim punkcic metoda wyznaczaniu momenlu podporowego w bclcc SPO!;zYW'lj'!Ccj na trzech podporach pozwala w najprostszy sposob rozwi,!z)'wa~ bclki wielopodporowc, Metoda tu polega na wykorzystaniu warunku ei'lgloscL bclki, ;1 wiec faktu, ze nu kazdej podporze konce linii ugiecia obu s,p;iaduj<~cych 7£ sobq przesel majq ws['!ofn'l slyCZil~. Z wyjQtkiem podpor skrajnych, diu b"i.dcj podpory mozcmy zustosowac ten warunck ciqglosci i otrzymac lyle rownall .• lc jest wielkosci stutycznie niewyznuczalnych, to jest w danyrn przypadku momenrow podporowych. W tyrn eclu belke wiclopodporowa (przedstawiona na rys, 14,8a) rozciuamy [w mysli) nu po szezegol ne przesla i dla kolejnej podpory oznaczonej numcrcm n wykorzystujcmy warunek, ie kqt O~? 0 jaki obroci sie prawy koniec lewego 176 14. Sta tyczn ic n icwyzn acz, ... lnc rrz)"r~d ki Igi Il~ 11 i ~ ho.:kk Rys, 14.S. Omaczenia rrz.'rj~te dla bclck \>, icloprzcslowych przesla 0 dlugosci t~, jest rowny katowi O~, 0 jaki obroci ~i~· lcwy koniee sasiedniego prawego przesla 0 dlugosci IH I. Oba przesla sa siadu jacc z pod pora n umer n przcdstawiono (po rozcieciu belki) na rys. 14.8b. Moment podporowy na podporze 11 oznaczamy Af~, mornenty zas podpcrowe n a sqsiednich podporuch odpowiednio M._I oraz M"q. Rownanie wynikajace 7. omowioncgo w}'/ej warunku ci~ndosci bclki wyprowadzimy \'" nastepnym punkcie, 14.6. R6wnanie trzech moment6w Rozpatrzmy dwa sasiadujqce ze soba przesla zawicrajucc podpore uumcr II hclk i wieloprzeslowej. Po rozcieciu (w mysli) kazdcgo przekroju podporowego uk lud o bciazen dzi a lajqcych na rozpat ryw a nc (1 ba k 0 lcj n c p t7~~b bel k i przeds L a wi LH1 y j esl na rys, 14.Sbi powtorzony na rys, 14.9a (przeslo lewe o dlugosci 1~)oraL !4.9c (pr ... es]o prawe 0 dlugosci 10+ a. Moment gnacy wystepujacy w belce w przekroju nad podporq II oznaczamy M n- Z warunku ciaglosci belk i wyni ka, ze kat O. u gi ~c ia bel ki na pod porze n J la prawego konca przesla numer J1 (0 dlugosci I.) jest taki sam, jak '""Il O~ dla lcwcgo korica przesla numer II + l (0 dlugosci In+ I). Zapisojac ten warunek ,,' postaci a lgebraicznej 0 trzyrnarny tzw. row nanie trzech mo rne nto w . Poniewaz na kazdej podporze przecielisruy (w mysli) belke i wprowadzilismy momen ty podpo rowe. przeto kazde przeslo rnozemy tra k lOW,LC jako san; odzie 1 n ,I belke swobodnie podparta na koncach, obciazona dzi ... lajqcyrn Ll<L Jane przes]o obciazeniem rzeczywistym oraz momentami podporowysni przylozonyrni do koiicow tcgo przesla. Tak wiec przeslo 0 dlugosci l~ (rys. 14.9a) obciazone jest sih! P_ obciazenicm ci~!gjYIn q oraz momentami podporowymi Mn_1 oraz M~. K~![ ugiecia O~ prawego kOIH:<L tcgo przesla wyznaczy my metoda superpozyc ji, obi iczajac na j pic rw ka l 0 ~~. wyni k ajqcy z dzialania obciazeri (sil zewnetrznych) przylozonych bezposrednio do d.mego pm;sla. a nastepnie kat 0.2, wynikajacy z dzialania momentow podporowych: I 177 Rys, 14.9. W)-prowadwnic rownania rrzech momentow (a) K~l V"' obliczymy metoda wykrcslno-unalityczna znanr, z punktu 12. L W mysl tej melody k,!l ugieciu 0 na podporze jest rowny ilorazowi fikcyjnej siiy tnacej TJ przez sztywnosc U belki [wzor ( 12.2)J: {b} przy czym fikcyjna sila lm~ca If jest rowna rcakcji podporowej powstalej od obciazen wtornych, to jest od wyk resu mornentow gnqcych truktowanego jako obciazenie wtornc (fikcyjne). Dla pw;sla 0 dlugosci i~ (rys. 14.9a) sporzadzarny wiec wykres momeutow gnacych od obci<I7.eti rzeczywistych dzLalaj.~e}'eh bezposrednio na dane przeslo (rys. 14.9b) I, Wano~~ wypadkowej (rownej P(I\u tego wykresu) oznaczarny Qn' odleglosci zas srudka {_·ic;i:koki rob wykresu od lewej j prawej podpory - odpowiednio a. oral b •. Z wurunku rownowugi ukludu przedstawionego na rys. 14.9b wyznaczarny reukcje fikcyj ml R; u a pra we j podpo rze przesla: (c) Zgodnie z urnowa dotyczaca znakow sil tnacych (porownaj rys, 8.4), sila maca Tf przy prawym koricu rozpatrywanego przesla jest ujemna i wynosi 1 W~'kr~"" llwI11cnL6w gn~cy~h sporz, .. p.llamy pu)' .1<l.!oT.cniu, joe bclka jest swobodrue podparta na ~t>I"k~ch. bcz uwzglednicuia ..... plywu momcnro ..... podporowych M •• oraz )./.' liB Po podstawieniu zaleznosci (c) i (d) do wzoru (b) otrzyruujcmy nasl~puj'J~-~~ wartosc kqta 11"1 ugiecia prawego korica przesla: o = _(-Ri)= (1,.(1" ~I EJ Elf' .. Kill ugieeia Owl tegoz korica przesla, sPOWOt!OW,lll.Y dziulanicm momeruow podporowych Mw_' oral M., wyznaczyrny bezposrednio zc znanych wzorow (p07._ 'labl. ll.l): 0,= A.J~r~+ Ai~ .. 1r~. R_ 3EJ tiEl Calkowity k~l ugiecia prawego korica rozpatrywancgo przeslu ~ zgodnic z zuleznosCL'l (a) - jest rowny surnie obu obliczonych wyzej wartosci (e) oral. (I): Potlo bnc rozwaza n ia prze prowa dzi my dl a prawego pr I.~_~ 1<1 0 Jill g.oscj ' •. _ 1- pt ~L!l.a n ego na rys, 14_9c, wyznaczajac wypadkowa Q»" 1 pola wykresu rnomentow gll,~cydl (rys, 14_9d) od obciazeri rzeczywistych dziulajqcych na dane pr/V ... lo (przy zatv.icLliu .. ze korice przesla s'l swobodnie podpartc), a nastcpnic renkcje tikcyjn,! R; ua lcwej podporze tego przesla: R" f gdzie bn+ 1 jest odlegloscia wypadk.owcj QH] od pruwej podpory przcsla, Kat ugiecia O~I lewego konca przesla 0 dlugosci i, 1-1_ wynikajucy I dzialunia obciazen dzialajacych bezposrednio ria dane przcslo, wynosi wiec rl".I"»_1 ElL 1 - Konce rozpatrywanego przesla obciqzone S-:.! ponadto momcnuuni podporowymi .-\1 ~ oraz Aln+ 1, zatem spowodowany tym k,!t ugiecia o:,~ lc .... -cgo kouca pr I~-sta Ina Wal'h1s(- O' > = ~ M"iH I _ ~!:'.~ I f.+ I R_ 3El 6U· Calkowity kat ugiecia ()~ lcwego kouca przesla przcd: . .;[<Lwion~go 11,1 r}'~. 1"_Yc j~-st su nil! wyrazen (h) oraz (i) i wynosi ,H.I" I I /I.f, .. _ I/~. I 3E1 6FJ (d) (e) (0 (g) ~ i ) (j) 179 Z warunku ciqglosci belki 11a podporze wynika.ze O~ = O~; z porownania wzorow (g) oraz U) mumy wiec .Qa~ I 1 (Q .. qb.+1 1 I ) -,- + to ,\f~ - I/~ + j1\.-1 ~i~:= ~ t +jJW~/. + I +~ J\.-Iw+ Il~~ L - n ~+. Stad otrzymujemy wspomniany we wstepie zwiazek zwany rownaniern trzech momentow I: (14.1) W powyzxzyrn rownaniu {i" oznacza pole wykresu momentow gnacych od obciazen dzialajqcych nu dane przeslo przy zalozeniu, ze przeslo to jest wyciete z dane] belki i swobodnie podpnrte nu obu koncach, natomiast a~ oraz b~ oznaczaja odleglosci srodku ciezkosci pola tegoz wykresu momentow gnqcych odpowiednio od lewego i pruwego k onca przesla (rys, 14.%). 14.7. Obliczanie belek za pomoca rewnanla trzech momentow Tok posl,.:-powania przy obliezaniu bejel suitycznie niewyznaczalnycb La pomoca rownuni .. trzech momeutow pokuzemy na dwoch przykladach. Dla belki pokaznnej 11<1 rys, 14_lOa wykonac wykresy sil tnacych i momentow gnacych, przyjmuj,!c a=~r,. Przecinamy belke na podporze B i kame przeslo rysujemy oddzielnie, zaznaczajqc wektory sil czynnych (obciazen) j reakcji (rys, 14.lOb)_ Dla si\ czynnych dzialajacych na kazde przeslo sporzudzamy wykresy momentow gnacych (sil,! czynna jest tu tylko silol P)_ Db przeslu Be swobodnic podpartego na obu koricach wykres momentow gnacych run kSZi<l11 trojkqtu 0 wysokosci ~ Pb, a zutem pole wykresow rnomentew gnqcych dla tego prz~ sla wyn osi Na przcsln AB Hie dziala i ... dna sila CZ}'r111<J, a wj~c .Ql =0. Do rownania trzech momcntow lWZt.'H (14.1)] podstawiamy wiec nast~puj,!ce wartosci: J iso ol bl cl -1 i I l "- i ::1:':· I f I • I I I ~ , ~ol . I - , Rys, 14, L1). llusrracja GO przykladu ri~r\.\,,",cgo a~=O, h~+l =/1 i otrzymujemy 0,0,0 6·~prJlb O·a+2M1(a+2b)+O·2h= ----_._" -_. a 2h Stad Z warunkcw rownowagi przesla A B i Be (rys. 14.1 m» /.n~~jJlljclllY Db a= ~b otrzymujcrny M2= -i-4Pb; RA = -~P, RlI=ip; Rc=Hp· Dla tych wartosci wyk res)' T i M<J pokuzano na rys, 14.10<1 i e. Wykunumy tcruz wykres sil tnacych i mornentow gnacych dla belki pokazanej na rys, 14, l l a. A by ro zwi '!Za(: to zudan ie zu IW moca rownan ia trzech mornentow, zastapimy u 1 w ierd I.e n ie doda 1 k ow}' m nicobc i" zonyrn przeslem 0 dlugosci I z = 0, przez co speluiony ~dzil" warunek wyrazony wzorem (b) w punkcie 14.6. ze k~t O~ ria lewym kOllcu dodurkowego pm,;sb jest rowny zeru (rys. 14.llb). Dla przesla lewego pole wykrcsu momentow gLqcych (rys, 14.11c) wynosi oj d MlG )~~O Rj;]R~ I , 1 , 1f.l2~Ol ; I I W Rys. ~.J.II. 1~"{~I".lW"llic ut »: i~rJtJ.;'li,l dodatkowyrn p~5km pr ... y~L~'sL'wa~iu r&wnan~~ trzech momcntcw (prl)'UaJ d rugi] J 182 _ 2q/l _ I ~ Q1---I---q' . 3 8 12 Do raw mini a t rzec h mo me n low podsta wi am}' dane: (I =~I ~ 2' i otrzymujemy I O·!+2M1(/+OHO·O= Stqd Jf2= _~ql". Wykres mornentow gnacych przedstawiono na rvs, l-l.l l d. Rea kcje pod po rowe wynosza (wedlug rys, 14.11 b) All I I I 3 RA = -l-+q· -I = --ql+ - ({I = -ljl 2 8 2 8' 5 Re = RA -ql = -Sljl. Wykres sil tnacych pokazano na rys. l-l.Lle. BELKI NA PODlOiu SPRE;ZVSTYM 15.1. Interpretacja fizyczna kolejnych pochodnych rownania linii ugl~cta belki W ogolnym przypudku zginania belek (pretow) rownanie linii ugiecia we wspolrzednych prostokutnych j- i x ma postac y= fix). Pierwsza pochodna lej [unkcji jest rowna tangensowi k~ta 0-" nachylenia stycznej do linii ugiecia przekroju belki okresloriego wspolrzednq x. a wife dy/dx = tg fJ:c Jezeli w zadnym przekroju zginanej belki Elnpn;:;I,cni u nie przekraczajq granicy proporcjonatnoSci O"P"Jp (tj, granicy stosowulnosci prawa Hookea), kuty nachylenia stycznej (mierzone w radianach) sa male i przyjmujcmy, i.e 19Ox=Ox' zatem (rys. 15.la): ( 15.1) W rozdzialc Il wyprowadzony znstal wzor (11.1), ktory powiorzymy w zmieuionym nicco J'~lpisil!: d2y A/~ d.,.2= EJ (~ S.2} Druga pochodua liuii ugiecia belki jest rowna iloruzowi ruomentu gnacego M x w przckroju x przez sztywuosc zginaniu EJ belki, W rozdziale 8 (pkt 8,3) wyprowadzilismy I..aici:nusc (8.2), m~miq(;'1, ze sila tnaca Tx w przekroju okreslonym w:.pOlrIJ;Jn<! x jest rowna picrwszej pochodnej momentu gnacego wzgledem wspol- rz~dHcj .v: I J 184 15. Bdli.i na podlozu ~rr<;"jy~t}"11l 0) ,. ·AF~~ __ =:=~========~I==~~~~~~~~~~~~~~~~~t- : -----+ ---r=+- ~ bl T -;I ! I I· - I , . .1 I a pO zrozaiczkowaniu i podstawieniu zaleznosci (i S.l) otrzyrnujcmy dJ_.. T:>. dxJ EJ (I S.J) T rzecia pochod na linii ugiecia be lk i jes l wicc row n a i 10 ruzowi s i I y til,! cc j T, p r /I.?Z sztywnosc zginani a EJ be lki, Wreszcie, ze wzoru (8.1) wicmy, it picrwsza pochorlna sily [n,j(cj jest rowua obciazeniu ciaglemu (j~ dzialajqcemu na belke w przckroju okreslonym \\·~pt·)lr/\!thq x (rys, 15.1 <I): dT qx= --d ~. x a po zrozniczkowaniu i podstawieniu zateznosci (15.3) otrzymujcmy ( 15.4) Tak wiec ezwarta pochodna !inii ugiecia jest rowna ilorazowi obciuzeniu ci~Wkgo q.< dzialajacego na belke w przekroju okreslonym wspolrzcdnq .\" pfl:ez sztYWI10R' . . l 185 zginauia EJ bclki, przy czym znuk minus wynika z przyjetego ukladu osi .v i r oraz umowy dotyczqccj dodaurich wurtcsci rnornentow gnqcych AI ~ i sil tnacych Tx. 15.2. R Dwna ni eli n i i ug i ~c ia belk i sp ocz yw aictce j na podtoi: u s p r~iystym W wiclu zagadnieniach tcchnicznych wystepuja uklady, ktore daja SL~ sprowadzic 1.10 belki spoczywajqcej na podlozu sprezystym zdefiniowanym przez E. Winklera ( I 867 r.), T ego typ u pod loze ma W w lasno St, ze jeze Ii jed nost ka dlugosci belki zaglebi si~ w podloze na jednostke wspolrzednej j- lo na te jednostke dlugosci belki podloze oddzialuje ~it~ f,; (niutonow). Tak okreslona liczbe k nazywamy stalq sprezystq podio:«. Jezeli WL~C w miesjcu okreslonym wspolrzedna x belka zaglebi sie w sprezyste podlozc na g{~bokosc y, to sprezyste podloze oddzialuje na belke tak same jak obciazenie ciugle 0 wurtosci bezwzglednej q", =ky (rys, 15,2). Jesli si~ uwzgledni znak wspolrzednej j', ktoru jest dodatniu wowczas, gdy dany przekroj belki przemieszcza si~ ku gt·)rzl.? oddzialywanie q: sprezystego podloza dla dodatniego ugiecia y skierowa ne jcs l do do lu i wynosi {15.5} jak to ;ta7.ll<KZOLlO na rys, 15.2b przedstawiajqcym linj~ ugiecia belki spoczywajacej na podtozu sprezystyrn, pokuznncj nn rys. 15.2..:1.. W ogolnym przypudku bclki spoczywajacej ua podlozu sprezystym (rys, 15.2(1) w przck roj u 0 kreslon ym wspol rzed na x dziala na belke obciazen ie ciqgle q", (czynne) 0) I~}'s. I~. 2. Lilli" ugieciu bel ki spoczywajacej n.iI spr{iystym podluzu 1 186 oraz obciazenie q;=ky, wynikajace 7. oddzialywania ~pr~/.ysh:-go podloza (reakcju podloza). Zgodnie ze wzorem (15.4), rownanie rozniczkowe bclki spoczywujqccj IW podloza sprezystyrn przybiera wiec postac: d4r I d.;4 = ~ EJ (qx +ky}_ ( 15_6) Wprowadzam y oznaczen ie: tt: P=~/4fj (15.7) i wowczas rowuanie (15.6) rnozemy zapisac w postaci: ( 15.8) Jest to wiec rownanie rozniczkowe czwartego rzedu, Rozwiuzanie ogolnc 1- tego rownania jest - jak wiadomo - sum.'! rozwiqz .. unia ogolncgo (calki og6~m::j} ."~ rownania jednorodnego oral rozwiqzania szczegolncgo (culki szczcgolncj) _l''''J rownania nieiednorodnego [tj_ (15.8)]. Rozwiazanie ogolne rownania jednorodncgo: d4v _- +4/J4r=O dx" - t 1 5_')} rna postac: ( 15.10) Rozwiazanie szczegolne rowriania uiejednorodnego I_alc;'.y oJ postuci [unkcji '1_" to jest od obciazenia ciaglego dzialajqcego na dam! belke. Dla przykladu, dla q",= q = co n:s t q T ..... ·J= -k' n :'OJ I) a rozwiazanie ogolne belki spoczywajacej na podlozu spr\')ysl}'ln (} stalej J.. {N.·mm~) i obciazonej 11[;1 calej dlugosci obciazeniem ciuglyrn 0 nal,i.eniu 'I (Nimm) mu postac: Stale calk owan ia C I' C l' C 3 i C 4 wyzn Clem si~ Z wu run k OW brzc gowych. 15. J_ I~ ownunic Ii Ilji ugi~ .... ~a belki <.Iiugi~ na pO(Jroi~ srl1'iysLym 187 15_3. R6wnanie linii ugi~cia belki dlugiej na podlozu sprEtzys1ym W rownuniu t 15. i 2) przedstuwi ... jqcyrn linj~ ugiecia belki na pcdlozu sprezystym wyst~fllIj'l cztc ry stu le en lk owani n, kt ore dla kazdego przyklad u bel ki nalezy wyznaezyc z Warun kim' brzegowyeh, Wurunki tedotycza zuzwyczaj nie tylko ugi¢ y, lecz rowniez k.!lGw lIg~~cia 0 oruz momcntow gnqcych Mg i sil tnacych T. Zgodnie z: zaleznosciarni (15.1}-{15.3) wlelkosci te wyrazajq sit 1.:3 pornocq kolejnych pochodnyeh: d\' T = EJ d----1' x dr (! =--=ux' (15.13) W eelu wyznaczcnia sralych culkowania wy ... tepujacych w rownaniu (1 S.12) nalezy wiec - W og6lnYIH przypadku - trzykrolnic zrozniczkowac 10 rownanie, Ora skroceniu zapisu dalszc rozwazania ograniczyrny do belek dlugich, dla kiorych spelnionu jest zaleznosc (U~ 5. Zauwazmy, Ze dla belki dlugiej (x-+GO) wystepujacy w rowuauiu lirui ugiecia belki (15_12) czynnik e~x dazydo nieskoriczonosci, a wowczas ugiecic belli .r- (0; taki przypudek nalezy wykluczye, a wiec stale calkowania C.l i Col lila belki dlugiej musza bye rcwne zeru (CJ =0, C4 = 0). Rownanie linii ugiecia belki dlugiej spoczywajqccj na spr~},)"s(ym podlozu ma wiec postac: ( 15.14) pr;:y czyrn obci'Jienie ciaglc jest stale: q=cons1. K olejnc pochudne tego rownauiu wyr ... zujq sie nastepujqco: til' ,._ = -IJe - fl·'He. + C;; sin fJx +{ C.- C Jeos fix]. u.v ( 15.15} (15.16) (1:5.17) Dla przykladu wyznaczye rownanie linii ugiecia i momentow gnacych oraz oblic;:y(' slrz;]lkV j kqt ugiecia bclki dlugiej, spoczywajacej na sprezystym podlozu, ~. --l obciqzonej na koric u moment em M 0 ina calej dl ugosc i obci ,~)eni em ciugl ym (j (rys. 15_3)_ Dane: Moo q. k, Ej_ Belka jest dluga (PI> 5), zastosujemy wiec rownuniu {~5.14) - (1 )_17). Z warunkow brzegowych: wyznacza my 1 C =--'-"'1 I 2p4£J U· zatem rewnanie linii ugiecia rna postac: e-jh q )' = -1- AI (I (cos flx- sin fJx) - _. - 2ft £J k rownanie zas momen tow gnacych: Z rcwnania (a) db x = 0 wyznuczamy strz .. lJkf ugi~cia [: a z rownania (15_15) dla x=O (a) _. -_ 1 ~--, r·, 1 PR~TY SMUKLE 16.1. P r~1y s m ukle sciskane i zg inane Obliczunie pretow sciskuuych i zginanych wymaga zastosowania speejalnych metod, a w szczegoln osci n ie rnozna tu stosowac metod y superpozyej i. Przylozenie si I zgiuajucych pret zrnienia bowiem charakter dzialania sil sciskajacych, ktore oprocz scisk <.I n l<L po wod u j" wowczas doda tk uwo zginan ie, 5 I i ~ ,. S Rys_ 1(,.1. l'f~1 smukly t,hci~~.tm)" sjl~ Sciskaj~CII S i por=cm~ P \90 Rozpatrzmy pret podparty przegubowo na obu koncuch, zginany ::;ih~ Pi rownoczesnie seiskany sih"! S (rys, \6.1). Reukcje podporowc wynosza R.1 = 1'1)/' oraz RIJ = p(l-b),Il, przeto rownanie linii ugiecia belki dlaprzcdzialu plcrwszcgo. tj. dlu o ~ X 1 ~ (1- b), ma postac [wedlug wzoru (1 1.1 )): J2., Ph EJ d---':" = - -I .v - .)\ . x- a dla przedzjal u d rugiego, tj. d la ti- b) ~ x 2 ~ I. d2.~, P(/-b) . EJ dx1 = ---[- (/- x) -.':i)' . Do powyz.szych rownan wp rowadzam y oznac lC L1 ie: S p2=_ EJ t 16.1) j otr7.ymujemy Lewe strony powyzszycn rownan S,-! identyczne z rownaniem (LLh JoL)'CI,!C)'1n wyboczenia. Rozwiqzanie ogolne rownania jednorodncgo dia ohu Lyeh nlWL1<L11 fila postac wyrazenia (13.3), rozwiqzania szczegolnc moznu latwo usLa~i":. przeto TOZwiazania ogolne tych rownan maja postac nast\:ruj~~c<r przedzial pierwszy przedzial drugi y= CJcOS1,x+Cotsinpx- .~IU-b)U-X). Stale calkowania wyznaczyrny z wnrunkow brzegowych: l) (yl.~o=O. a wiec z rownania (c) otrzymujelflY C. = 0, 2) l~')~=! =0. a wiec z rownania (d) otrLymujcmy CJ = - ("4 t~!fd. Z warunku ciaglosci belki na granicy przedzialow (wspolue ugi.;ci<: y oraz k'l,t)' nachylenia stycznych) znajdujerny: Psinpr, ('2 Spsinpl' I' sinlp{f -b)] Sp Lgpl (a) {b} (c) (d) zatem C Psin(p{f-h)] J Sp ~Jo podstuwicniu stalych culkowania do w· " . ',.. . . . W pierwszym i drugim przcdzial 'bi zoro,,: {e) I ttl) rownama OSl ugiete] belki .. .. c prl) lor~ postac: przed 1.1<t t PI erwszy .._ Psinpb." . Ph . <<;psillp/smpJ: - SIx. (16.2) przedziul drugi l' _ P~in{p(/ - h,J . P(l-"} . S~· t smiJ.tU -x)] --- (/- ~\ P sin p SI· r- (16.3) Dat~l.l" rozwiazamn dotyczace " . . ograniczym 'do rz' a .~c~ pnt~'" ~mukkgo przedstawionego na rys. 16.l belki, a \\'i"~ gJ:r'Ph! P, (dktU. ~dJ .SIIa zgL~aJ<l,ca P przylozona jest w polowie dlugosci ... - 2 0 rl.)' mu jem v wowczas upr . inlerprctacj~ wynikow], . OSZC7.one meco wzory, co ulatwia Row ua n ie I ini i ugiecia pol owy bel k i rna postac: Psinpx P {- 2Sx, 2Spcos!!_ 2 y {e) a strIa I ka ugi ~t.:ia (rod 511<j, P, tj. dla X = i l) I= r tu (l!!.)_ PI =__!__[ (rf\ PI] n" g 2 4S 2Sp 19 2)-2 . Wprowadzamy oznaezenie: U) u=~=~!J;. Stad S = 4FJu1/fl,:l wowczus strzalka ugiecia . P PI! rl3 .I = -7" (Ig u - rl) =-- (t ) 25" 8t.'Ju1(1 g u - u = 1 M::/nJ (lgu-u) (16.4) "I.: i' lub inaezcj j= pJ3 (lgU-U) 48£J !) . JU (16.5) l 192 ~ ~ -·1 Wystepujacy w powyzszyrn wzorze mnoznik poduny w na .... :ja~al.;h uwzgledni u wplyw jill' sciskajaeej S (Iub smuklosci belki) na zwiekszcnic str zulki ugiccia wywclancj sarna tylko silq zginajaca P_ Podstawiajac do wzoru (l6.5) rO/_\ v iniccic funkcji tangens w szereg potegow y: u} 2rls 19u=n+-3 +--+ ._ .. 3·5 rnozemy go przedstawic w postaci: (l6.6) Z otrzyrnanego wzorn widzimy, ze wplyw sily seiskajacej S na zwiekszcnic strzalki 2 > .J.. ugiecia wywolanej sila zginajaca P wyraza sie skladnikicm 5 u-·, a po poustawiemu za leznosci (l6.4) 2 Sl2 -li=-:5 10E) Jezeli powyzszy skladnik jest maly w porownaniu z jcdnoscia [wzor (16.6)]. to wplyw sill' sciskajaeej na zwiekszenie strzalki ugiecia preta mozna pominac i obliczcnia pretow mozna wowczas prowadzic metoda superpozycji, tj. osobuo od M.:"iskania i osobno od zginania (takie przypadki wystepujq zazwyczuj przy obliczuniu tam). Jezeli skladnik (g) jest duzy (wiekszy od 0,03), pret nalezy traktowac jako smukly i obliczenia prowadzic wedlug metod omawianych W tym rozdzialc. Jak wynika ze WZOIU (16.5), dla u=~n tangens Il, a zurazcm strzalku ugiecia f, rosnie do nieskonczonosci I. Dzieje sie to wowczas, gdy ZgOJIlL~ Ie wzorem {16.4, sila sciskajaca S osiaga wartosc I W~'stwuje tu pe\.\o·na niczgodnos«, ornawiajac bowiem wyboczcnic stwierdzilismy, J~ rrl.~' ,)bo.:i~7etlill eulerowska sH~ -krytyczna nastepuje ul rata statecznosci, c~.yl i zc mozliwa jest n:"' ... , ..... '" ~,. prl'"l'i 7~Lrown<> przy prostoliniowym.jak j krzywouniowym ksztalcie osl pr~La, a wi~ w 17c<:/}wi~lt>&j ~lr7.,I~a lIgi~L"ia(nie d~z.y do nieskonczonosci, jak by to \.\o)·n.~alo ~ wzoru (16_5) dln u= ~It_ POl'ltxkm 'q~n jest faH. I:C we Wl<JTZe na promien krzywizny [wzor th) w pkt, L Ll] odrzucilismy skl.rdnik t,Ly.'oJx)' wy"tl'vuj~(y "Yo' mianowniku tego wzoru i przyj~H5m)' uproszczo ny wlllr ua promic 11 1 u)"wimy rr~ 1 ~ (g} ~---l 1[2£J S=-,-. 1- Obliczonu tu wartose sily sciskajqcej S jest identyczna z wanoscia eulerowskiei sily krytyczncj okrcslonq dla tego przypadku wzorem (13_7), z tiJ: roznica, Ze przy wyboezeniu )'g.i~cie pret u nustepuje \\'Zgl~dem osi przekroju, dla ktorej moment bezwladnosci jest nujrnniejszy Vm;n we wzorze (13_7)], natomiast we wzorze (16.5) flub (16_6)] wystcpujc moment bezwludnosci J wzgledern osi prostopadlej do plaszezyzny zginania. Wyznaczymy teraz kq!y ugi~l.;ia (} nu podporach dla badanego preta smuklego zginanego sih, P przylozona w srodku dlugosci preta. W tym celu rozniczkujemy rownanie (e): dy = ~(oospx _ I) d.v 2S pi -cos "2 i podstawiamy x = 0 oraz wyrazenie (16.4)_ Otrzymujemy wowczas (til') P (1 ) f'= __:_ =- --- 1 dx,=~ 2S cos u lub PI1 2 (1 ) O=~~- ---1. 16EJu1 emu (16_7) 16.2_ PrzyUady obliczania pr~t6w smuktych sclskanych i zginanych W}'Z1l aczy":: row n a ni c I in ii ugi\,"!;ia db pn~ [a kLS k anc go sit~ S i 7_gi na nego obciqzcniem ~t~~gl]'m q (rys, I (l_2}_ Zx: st.uyki wyuiku, ze R.t = Rn = ~ql. W przekroju okreslonym wspolrzedna x moment gn;~cy wynosi 1 Af g = ~qtx- Sy _~qx2 , zatern 19od'lit'" le wzorern til_I) I W~.r~1i:':lli~ 11<1 m~,m':I1L gnacy pi>7<:lll}" dla dodainich wspolrzednych y. jak to pokazano na rys. 16.2: "" UiXI.Y'" i~W'l·' ~.gi~'Cia bel k i ~, Ujcl'l111C, all! LO ~7.~"Sk am)" w w~ ni ku rClrll iczkowania wzoru (l1.l). , 'l~J ;---1 ~-E ~--J 16, Pr~ly smukh- '-1 y Stad d 2,!_, q» 2 ql« dx2+rr= -2EJ+'2U' gdzie p 1 = S / EJ [wzor (16.1) J, R ozw iazu n ie 0 go Inc rowuan i a jeduo rod 11 ~go jest identyczne Z rozwiqzaniem w punkcie 16,1. rozwiazunic ;ra( SlL':cg~)lnc ruu po~lac w iel ornianu: Y,-,<c = ax2 + bx + c Druga pochodna tego wyrazenia wynosi 2a, a wiec po I~utbtm~'[t:nru do rownunia (a) otrzyrnujemy lub ,2 _ (2(1) q» ~ , (If_" a.\ +h,'(+ c+1 = ---,-r-"--, ,p 2£1p- 2EJp- ' Wspolczynniki przy .,,2, .\' oraz xQ (wyraz wolny) po obu stronach powyzszcgo rowna nia m USZ'I bye ide n tyczne, za tern a=--q~=-.:!___ 2EJpl 2S' b = .s.: = 'It 2EJp2 2S' ~a q c-= -~=-_-" p- Sp: Rozwiazanie ogolne rownania (a) ma postac: Z warun kow b rzegowych: (a) (b) ~- -- -, r- --l ~---1 ~--l ;---1 ~-J Hd, l'r7ykbJy ""!t.7.ani~ rr,tGW smuklych :<.ciskany("h i zginanych c __ _2__ 1- ,,)',,2' go/it: n =~ ~r/. la[~111 Strzalku ugi~cj .. Aby W)'l.ilat.7yl: kqty ugicciu nu podporach, rozniczkujemy rownanie (b). Otrzymujemy dy if (I, qx ql - = - --- tg !1t:'OS,}X+- smpx- - +-. tI\' Sf' Sp S 2S ZLlIl:Bl (~h) q o ~ =__:_ =-( -lgu+u)= lOal, , d_\' .~O 51' Wyzuuezymy tcraz rownunie linii ugiecia preta sciskanego silami S przylozonymi W odkgloii.t:i c' od osi pntla (rys. 16.3), Podac wzory na strzalke ugiecia j" oraz na kqty \tgi~~·j a 0 ua pod po rae h. ,1"= (' (t:'O':>PX +.!....=-7cO~rl'r sin "X-I). Sin I' [= dwsu + sinr. tgn - I), • l-co5pl ~·=t'P--"""":~jnpl 2eu I tgu, y s ·-~ r·-·l 1 ~--1 ZGINANIE PRE;TOW SILNIE ZAKRZYWIONYCH 17.1. Rozklad na prlti:e fi w zgi n anyrn prec ie s i In i e za krzywion ym Podobnie jak to przeprowudzilismy w rozdz. 8 W oclniesicruu do pretow prostych, zajrniemy sie obecnie analiza naprezen wystepujucych w pretuch silnie zukrzywionych. Rozwiazania ogruniczymy do pretow puddanych tylko I'.gin.miu momcntcm Jf§, 0 przekrojach zwartych (juk prostokut, kolo. elipsu, trapez, z wykluczcnicm przekrojew cienkosciennych), w ktorych pluszczyzna Igill.mia pokrywa si~' I. r'<lszczyzna g~own~, zawierajqca przy tym os preta (zginunic pluskic), Przez 11aLW~ .. rr~t silnie zakrzywiony' rozumiemy taki pret zakrzywiony, w ktorym stosunek promienia krzywizny r osi preta do wysokosci II przekroju poprzcczncgo spelniu wurunck: f:::;: (lh; tylko dla takich pretow nalezy przeprowadzac obliezeuin inzynierskie z zustosowaniem wzo row wyprow ad zonych w t ym rozdzi J Ie. J ak w kazdym a n a li zowu ny m dot ychcza s p rzypa d k lL. tu kite rn z przyjm ujemy, re w badanyrn precie nie istnieja zadne n a prezenia wstcpne, to znaczy pczostalosci po zabiegach technologicznych, ktore nadaly dunernu pretowi jego ksztult, Na podstuwie wynikow obserwucji zginanych pj'~l6\\' zukrzywiunych mozna rrzyj~,~ takic same hipotezy (zalozenia), jak to uczynilisrny W pkt. 8.S W odniesieniu do pretow prostych, ami a nowicie: 1) przekroje poprzeczne {tj. prostopudle do osi preta) pozostajq nadal ptuskic: 2) poszczegclne wlokna rownolegle do osi pretu prZI!JOOSz,! gl()wnie naprezcniu rozciagajace (w strefie rozciqganej zginancgo pretu) lub sciskujqcc (w strefic sciskanej, tj. polozonej po drugiej stronie warstwy obojctnej), nutomiusr nuciski poprzeczne. jakie poszczegolne wlokna wywiernju nu sicbic, przyjmujc si't za po rniju 1 nie m a le: '----. r -r- ---. • I 19 ~ I Jj przyjmujqc zulozcuie, i:e wlokna. ktcrych dlugosc nie ulega zrni a nie, s<} nie naprezcnc i tworzq wurstv v ~ obojetna, stwierdzamy, ze przy zginaniu prerow zukrzywionych warstwu obojema nie zuwiera osi preta, jak to bylo W pretach prosryeh. Os preta, to jest miejsce geometryczne srodkow ciezkosci przekrojew (punk I C db przckroju prawego nu rys, 17.1a). rna promien krzywizny wiekszy od nie znunego IYL1KI'.as.em prornienia r warstwy obojetnej. 0] bl wors!...-a oboj~tna <>'5 "'~'a !~ ys. 17. L 1><'!o7~"i..- "'8 rs. "'~. oboje Ln~j i przebieg nspJ1;'l.eii w zgina nym pr~ie zakrzywio ... ym ROzpOltrl:I11Y nieskouczenie rnaly element preta zukrzywionego, wyciety dwoma przckrojami poprzcczuymi odchylonymi od siebie w stunie nieobciazonyrn 0 k<;!t dql (rys, ! 7.1 a). \1./ stunic obciazonym. to jest po przylozcniu moruentow gnacych M w (stan czystcgo pluskicgo zginuniu) k,,1 d4', jaki tworzq ze soba przekroje poprzeczne, powickszy sIc;' do .... 'artusci d({ll' jak to przedstuwiono nn rys, 17.1 b. Podcbnie jak w precic prostym zginunyrn dodatnim momentem M~, wlokna gorne (rys, 17.lb) ~d'l ~ciskam:. dolnc las rozci,!gan~ ...... l7CgO wynika wniosek, ze istniec ~d<! wlokna ni cna pn,;7.o IlC k tore u t WOrD! W a rst w~ oboje 1I1'!. W li1 k na te w stan ie nienaprezonym (rys, 17.la) Ul'I1<10.0110 AB. a po obciazeniu badanego prtta momentami AIg wlokna warstwy obojctnej ozuuezono A 18 I [rys. 17.1 b), Jezcli prornien krzywizny warstwy obojetnej w stanie nieobciazonym oznaczymy r, a w stanie obciuzonym r~. to dlugosc wlokien warstwy obojetnej w stanie nieobciqzonym wynosi A B = rd~~, a W stanie obciazonym AlB} = r l do/I· Dlugosci tych wlokien s.! jcdn .. kowc, zutem (a) Z omowionej wyzej hipotezy plaskich przekrojow pretu wynika wniosek, ze wydl uzeni a bczwzg 1 cd nc do wo lnego w16 k n a K L po lozonego w od leglosci y od wurst wy obojetne] (rys, 17. hi) Sot proporcjonalne do wspolrzednej j', Pnniewaz jednak poC"/.,!tkowe .. llugosci wlokicn nic S'f jcdnakowe, gdyz sq [unkcjq wspolrzednej y, I wynoszq KL= (r- y) de, I 19S zatern odksztakenia wzgledue nie s"proporcjom~lnc (jak przy ~_~in<mi~ pn;:low prostych). Wlokno KL (rys- 17.1a) po odksztalccniu ozmiczono AlL, (rys, 17.1 b). je go dlugosc wynosi K1Ll = (r ,- y)d~~ t- Jesli 51\ uwzgledni fakt, ze przy ul_ywanej dotycnczus ullH_)wi.t: dot}'CJ:,~ccj z.nJkow dodatni moment gnqcy powoduje powslanic napn;·zt:n. iit:iskaJ'lcych we wlok~lac_h I""" "',n' I. ".,,! "." .• " "'''''i~-I''-' •• , ·'''h?'· .U;1 ~h'd;llI1L,'h f/i,'dn_..·,·h ... wvdluzenie .~. J". a.1 1",. " ..... 1 I .~I "~, ••• 4 .~ lIt )_= K[L] -KL=(r.- y)J~~I-lr- _.-.1°'1'. a po podstawieniu wzoru (a): Wydluzenie wzgledne wynosi wi~c ( r) rdtjt 1-- ;, . ... r, y ( 1'\ e= KL {r-r)do/ = T-y , I -~)- Podstawiajac powyzsza wartosc do prawa Hookea dla jednokierunkowego stanu na piecia a = tE, ot rzymujemy a =_!j___ (1-!:'). r-v r , 1 (17_! ) Dla rozpatrywanego odcinka preta zakrzywionego modul Youngu t- oraz wyrazcnie w nawiasach we wzorze (17_1) rna wartosc stalq, zutem napn;:icHra {T w zginanym precie zakrzywionym zrnieniaja sit wedlug hiperboli j'I~O tunkcjn oJkgln~l'i _.. od warstwy obojetuej, jak lo pokazuno 11<1 rys. 17. lc. Asyruptota tej hipcrboli jest prostopadla do danego przekroju i przechodzi rrt:e~ srodek k rzywizny 0" hipcrbola zas przecina os obojetua w punkcie B ,. Z przebicgu hiperboli (rys, 17_1 c) wynika wniosek, ze promien krzywizny r warstwy obojemej jest zaWSLC mnicjszy 01..1 promienia krzywizny osi preta zakrzywiouego. 17.2. Wyznaczanie promJenia krzywizny warstwy obujelne] w pretach slln ie zakrzywjonych Wzor (11_1) okreslajacy rozklud naprczeri w rr\,t:ic. siluic zak r/y\~ ionyrn poddanyrn czysternu plaskiemu zginaniu nie nadaje si~ do b~'zpo~redl1icgl) WYMlf/j'S' tania, gdyz promien krzywizny r warstwy obojctncj w prccic nieobciqzonym. juk ~---. -. -1 ----1 ,--- t ;-----s ~-t -. -I -.. '1 :~-I .7,2. W}"7[J~Il·7.~";~ pmmfel1 ia k rzywizny warsL\I.'y obojetnej w preiach siln ie zakrzy ...... ionych 199 rowniez promieu r, krzywizny preta zgietego, nie jest jeszcze znany. Wielkosci te w]T~zim~' WI~"_' za pomocq innych parametrow zwiazanych Z wyrniarami preta, Pomc~ .. az pr~t podduny jest czystemu zginaniu momentem Jf~, zatern suma rzutow sit lIZJalaJ<l~'Yt:h 'IN dunym przekroju poprzecznyrn preta na os x prostopadla do tego p rzek rOJ U (rys _ 1 7. I) musi bye rowna zeru: "E.Px= f dP= J crdF=O, f· f" 't:-.:...: :::~:.::-:-. ~F - !.-:.-.:..-./~~.-:. -=:~~.;:-~---~=--:._.~-~.~~ ; . ...-/-r: ~.::'f;:(-~ ... <,~ :rt,~.rlr/j~.~-;..o.t. (~~r,r;r·ltrJ;l] r"J' y. Inh dla pretu prostego). Po podsurwieniu wzoru (17.1J i wyciqgnieciu przed znak calki widknsei stalych dlu dancgo przekroju otrzyrnujemy (a) f· W koukrctnym pr/ -, .... pudku zginunego preta zakrzywionego wyrazenie przed znakiem culki IIi.; jest rowne zcru, 1>1.!d \\ niosek, zc wystepujqca tu calka musi bye rowna zeru: J l' ---dF=O. r-y (b) W prowud za III Y n 0\1,0." zrn ie n nO! u=r-y (11.2) i otrzymujcmy f l' fr-u JdF --_ d/-'= - dF = r -- f dF =0. r- ,- ~{ Ii,.. F F F (c) Stqd po uwzgtednieniu, ze F= J dF. w~6r na pro mien krzywizny warstwy obojetnej r F r=--. fdF • u ~. {17.3} Aby wyzn;It:I.Y~ drugq nicwiudoma, Ij. prornien r L we wzorze {17 _I). napiszemy n'm'llalli1: momcntow w/.g.l't~km osi obojetnej przechodzqcej przez punkt 81, a wiec prosropudlcj do p!;ls.rczymy rys, 17_1 h i c: fdM = JdF(f_"=j~dF I:)' (l-~)J'= E(l-!:.)f~F= M9. (d) r ,. 1"-)' '! 1'\ r-y f" F W)'st~Pllj<!l',! W otrzymunym wzorze calke przeksztalcimy dodnjac i odejmujac iv licznik u wyraz r_r: : ---I T _._. J :- - 1 JLdF=fy2-t-ry-rYdF= f(2..-Y)dr=r f___l:__dF- fydF. (c) r-y r-y • r-y .r-y j F F F F Pi erwsza calk a w powyzszyrn w}' mien iu jest rowna zeru. ja k to wyni ka Z~ wzo ru (b), druga zas ealke oznaczamy litera S: s= J _..dF. {17.4 ) • Stwierdzamy, ze jest to moment statyczny przekroju poprzecznego prctu wzg!~del1l osi obojetnej tego przekroju. Po podstawieniu wzoru (17.4) calku okrcslona zulcznosci Q (e) przybi erze po stac: f yl dF=S, . r-y F a po podsta wien iu do wzoru (d): t-(I-~)S=M~ . sq.d (1 -~)=~:;_ Wyrazenie to podstawiamy do WZOTLl (17.1) i otrzymujemy Alg_l" J149..- a=~~~=--, S(r-y) S u gdzie promien krzywizny wlokna Il= r - y, "IN powyzszyrn wzorzc moment statyczny S okreslony jest zaleznoscia (17.4), a promien r krzywizny warst "'Y obnj~lncj - zaleznoscia (17. 3), p rzy czyrn ws polrzedna y odmic rw 11 a jest od wa rst wy 0 boj~ rnej i zwiqzana zaleznoscia (17.2) re zmienna u wystepujuc., we wzorze (17 .. 1). i'r;y korzystaniu ze wzoru (175) nalezy WL~C n a jpierw [ze wzoru lI7.3)] wyzn'K/_jiC prornien r krzywizny w a rstwy obojetnej, a nastcpnic moment suuyczny S przck roju wzgledem osi obojetnej, Ten moment stutyczny mOZL1;! rowniez wyrazic juko ikKZYll pola F przekroju poprzeeznego preta i odkgloSci e warst \\'y (luh OSL} ObHj\,lll~j od srodka ciezkosci przekroju (zgodnie z przyjetymi oznuczeninmi wspolr /\,dn<l srodku ciezkosci C przekroju poprzeeznego jest ujemn .. : T = - d. 11LLcm s= JydF= -eF, ,. a wowczas WZOf (17,5) przy bie ra postac: M~ y M~y a= ----= -- -. Fc r=y Feu ( 17,6) (g) (h) ~ --- ] gdzic ~' jest odlegloscia warstwy obojetnej od osi preta: e=rc-r (r - promieri krzywizny wnrstwy obojetnej. rc - promieri krzywizny osi Pitta}, u - promieniem krxywizny wlokna ok reslonego wspolrzedna )' (rys. 17.1): u = r - J'. ])1.1 pr~ttm' slabo z a krzywionych, guy prornien rc krzywizny osi obojetnej jest znucznie wiekszy od gaburyrowej wysokosci h przekroju poprzecznego preta (rcph), przyjmuje si~, i:c Pc malo sj~ rozni od 11 i naprezenia oblicza si~ z uproszczonego wzoru (17.6): O'_lM·yl ~·jFerr . Po row n u juc t o wyra i:e 11 le 7. rod sta WOWYln wzorern (K8) dotyczacym pretow prostych: (17.6a) M ~' a=-g-· lz ' (i) wi d /i my, :i'~ obu wzory rozn i<J si~ t y 1 k 0 III ianow n ikami i wzor ( 17 .fia) przechodzi we wzc-;r (i), gdy Stud obliczyc rnozemy przy blizo LH! wartosc odleglosci {' wurstwy obojetnej ad OSI pretu zukrzywionego: 1_ (.~_- . Frc W praktycc I. powyzszego wzor u mozemy obliczyc e WOWCZJS, gdy rclh~6 i do ohliezeni .. liUpn;?_en stosowac wtedy wzor (17,6a). Prety slabo zakrzywione, dlu ktorych l'("lIl > 10, rnozn a obliczac korzystajqc bezposrednio ze wzoru (8.10) dotyczacego pretow prostych: G = Algi W; przy tych uproszczeniach blad obliczen nie przekra Ci"-'.I na 0 go! J % ' (17,6b)