51 Em , conjunto dos números inteiros, considera o conjunto: A x : x 2 Sabe-se que # A B 10 . Dos conjuntos representados a seguir, qual pode corresponder a B ? (A) B x : x2 x 1 0 (B) B x : x 2 2x 1 0 (C) B x : x2 x 2 0 (D) B x : x2 2 x 2 0 2 Numa escola há duas turmas do 12.º ano: A e B. Na turma A todos os alunos têm Física ou Geometria Descritiva. Na turma B há alunos que têm Física. Sabe-se que: a turma A tem 25 alunos; na turma A, 5 alunos têm Física e Geometria Descritiva; na turma A, 12 alunos têm Geometria Descritiva; o número total de alunos que têm Física nas duas turmas é 29 . Quantos alunos na turma B têm Física? (A) 18 (B) 16 (C) 17 (D) 11 3 Na figura estão representados cinco bonés, cada um com a sua cor, e todas as cores são distintas. Pretende-se colocar os bonés em fila, lado a lado, de modo que o boné verde fique no meio como é sugerido na figura. De quantas maneiras diferentes, atendendo às cores, é possível fazer esta distribuição? 5! (A) 2!2! (B) 4! (C) (D) 5 A4 4! 4 O Lucas nasceu em 1985. Para definir um código com 5 algarismos, o Lucas utiliza todos os algarismos do ano em que nasceu, repetindo um deles. Qual é o número de códigos, distintos, nestas condições? (A) 480 (B) 96 (C) 240 (D) 120 5 Um polígono convexo tem 135 diagonais. Então o número de lados desse polígono é: (A) 15 (B) 21 (C) 18 (D) 16 6 A soma dos elementos de uma linha do Triângulo de Pascal é igual a 218 . O maior número dessa linha é: (A) 48 620 (B) 43 758 (B) 92 378 (D) 75 582 pela fórmula do binómio de Newton. de reserva.1. Determina o número de diferentes maneiras que é possível distribuir os elementos do conjunto A pelas quadrículas de modo que os números pares fiquem na mesma diagonal do quadrado. b) os copos azuis não fiquem juntos? 9 Considera o conjunto: A 1. quantas sequências de cores diferentes pode fazer? 7. e 3 são de reserva.7 O Pedro vai estar fora de casa 5 dias.2. 9. Na figura está representado um quadrado dividido em 16 quadrículas. .8. como é sugerido na figura ao lado.1.2. Qual é o número de subconjuntos de 3 T-shirts. 15 15 15 15 C0 C1 C2 C15 O maior número desta linha do Triângulo de Pascal é 6435 . 7.2.9 9.2. 10 A seguir está representada parte de uma linha do Triângulo de Pascal. Admitindo que vai usar 5 T-shirts. Leva 8 T-shirts.6. Tenciona utilizar 5 T-shirts.5.7. uma por dia. 9 1 11 No desenvolvimento de 2 x . 8.1.3. Atendendo às cores. determina quantos números de quatro algarismos diferentes é possível representar de modo que sejam múltiplos de 5 e menores que 5000 . Os copos foram numerados de 1 a 8 e empilhados. 2 verdes. diferindo apenas nas cores: 2 azuis. 2 roxos e 2 cor de laranja.4. sendo dois da mesma cor? 8. De quantas maneiras diferentes é possível empilhar os copos. de modo que: a) os copos da mesma cor fiquem juntos. Utilizando apenas elementos do conjunto A . uma de cada cor mas todas de cores diferentes. qual é o número de conjuntos de 3 copos que é possível formar. que pode formar? 8 Na figura estão representados 8 copos iguais. há algum termo x independente de x ? Justifica. Calcula a soma de todos os números dessa linha que são inferiores a 6435 . uma por dia. ou seja. 0. ou 5 . Opção (A). Daqui resulta que # B 11 . Opção (B). 2 Então. B = {alunos com Física da turma B} . ou 8 . ou seja. Daqui resulta que # A 18 . Opção (D). 5 O número de diagonais de um polígono convexo com n lados (e também n vértices) é dado por nC2 n . Daqui resulta que # B 2 . O maior número é o que ocupa a posição central. Restam 4 lugares para 4 bonés. # A C # A # C # A C . Se repetir o 1. 29 18 # B . 18 C9 48 620 . Como 18 C2 18 135 . conclui-se que a opção correta é a opção (C). B e C os conjuntos: A = {alunos com Física da turma A} . 1. 6 Parte dessa linha do Triângulo de Pascal é: 18 18 18 C0 C1 C18 e tem 19 números. # A B # A # B . # A # B 10 5 A x : x 2. Opção (C). 2 . . # A 5 e 5 # B 10 . 3 O boné verde tem uma posição fixa. ou seja. 4 Pode repetir o 1 . 2 . 1. C = {alunos com Geometria Descritiva da turma A} .1 # A B 10 . 25 # A 12 5 . o número de códigos é dado por: 5C2 3! 10 6 60 O número total de códigos nas condições apresentadas é: 4 5C2 3! 4 60 240 Opção (C). ou seja. ou 9 . 2 Sejam A . A distribuição pode ser feita de 4! maneiras. Como B x : x 2 x 2 0 1. 2. o número pedido é dado por: 4! 2! 2! 2! 2! 384 b) Número total de maneiras diferentes para empilhar os copos: 8! 40320 Número de maneiras para os copos azuis ficarem juntos: 7! 2! 10080 Número de maneiras em que os copos azuis não ficam juntos: 40320 10080 30 240 9 9.2.2. ou 3 . 8! 7 7. 8C3 56 3! 8 3 ! 8 8. Assim. mas com a mesma cor. Os dois copos da mesma cor podem ser: azuis. A cor do outro copo tem três possibilidades. a) Os copos podem ser agrupados pelas respetivas cores. Temos assim 4 grupos.1. Assim. Os restantes 5 algarismos vão ser distribuídos pelas 5 das 12 quadrículas “livres”. 4 C1 3C1 4 3 12 8.1. 6 e 8 vão ocupar uma das duas diagonais do quadrado. Em cada grupo 2 copos com números diferentes. ou 4 . ou 2 . 2 4! 12 A5 4 561 920 15 15 15 15 10 Na linha C0 C1 C2 C15 há 16 números. O algarismo das dezenas de milhar tem quatro possibilidades: 1 . Dentro de cada grupo os copos podem permutar. O algarismo das unidades tem uma possibilidade: é 5 .1. 5 . ou roxos. 1. 8 A5 8 7 6 5 4 6720 8 5 ! 8! 7. . a soma pedida é dada por: 215 2 6435 19898 9 k 21 9 1 k 9 9k18 2 k Ck x 9Ck x 2 11 2 x 9 x 2 x k 0 k 0 Para que haja termo independente de x é necessário que: k k 36 k 0. Assim. Os dois números centrais são iguais a 6435 . 4 . 1. 9 . o número de números nas condições indicadas é dado por: 4 7 A2 1 4 7 6 1 168 9. 9 : 18 2k 0 18 2k 0 k 2 2 5 36 Como 0. ou verdes. . sendo todos os outros números menores que 6435 . Os algarismos 2 . conclui-se que não há termo independente de x . ou cor de laranja.