UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DELCARCHI MATEMÁTICAS FINANCIERAS COMPETENCIA Aplicar las matemáticas financieras en la solución de problemas referentes al uso del dinero a través del tiempo, reduciendo el riesgo frente a alternativas de financiamiento e inversión. Ing. Gerardo Mera TERCERO “C” MARZO-AGOSTO REPASO DE EJERCICIOS El perímetro es la suma de sus lados. 1. 2. ( 3. ) ( ) 4. 5. PROPORCIONES GEOMÉTRICAS Es la relación entre dos razones geométricas iguales (tienen el mismo cociente). Primera propiedad (fundamental): El producto de los extremos es igual al producto de los medios. Ejemplos: Segunda propiedad: En toda proporción geométrica un extremo es igual al producto de los medios dividido entre el otro extremo. Un medio es igual al producto de los extremos, dividido entre el otro medio. Ejemplos: Tercera propiedad: La media proporcional geométrica (medios iguales) es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos. √ √ Ejemplos: √ √ √ √ Cuarta propiedad: Toda proporción geométrica se puede representar de ocho formas distintas y subsiste la primera propiedad. 1. Cambio medios 2. Cambio extremos 3. Cambio extremos 4. Cambio medios y extremos Cambio razones 5. Cambio extremos en 5 6. Cambio medios en 5 7. Cambio medios y extremos en 5 8. Ejemplos: . la suma o diferencia de antecedente y consecuente de la segunda razón es a su consecuente. . . . como. .Ejemplos: . . . Quinta propiedad: en toda proporción geométrica la suma o diferencia de antecedentes y consecuente de la primera razón es a su consecuente. . . . cada antecedente es a su respectivo consecuente. la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes.Sexta propiedad: en toda serie de razones geométricas. . como. Consiste en relacionar una cantidad con respecto a 100. .. Encontrar el impuesto sobre n automóvil facturado en 3500 dólares. Es decir el 100% de 50 es 50. Ejemplo: 5% significa 5 unidades de cada 100. Ejemplos: 1. y se expresa con el símbolo %.En cierto estado se ha implementado un impuesto del 4% sobre el importe de las ventas.Ejemplo: PORCENTAJE Con el termino porcentaje o tanto por ciento se conoce a la proporcionalidad que se establece en relación con cada cien unidades. pues se toma su totalidad. Se expresa 50% significa 50 unidades de cada 100 Se expresa El 100% de una cantidad es la misma cantidad. .70 centavos y tiene un margen de utilidad de %? ( ) . Encontrar el valor de la factura del pedido. 4...la compañía M&Z adquirió 10 radios marcados en 37.2.Un abogado recupera 90% de una demanda de 300 dólares y cobra por concepto de servicios el 15% de la suma recuperada ¿Qué cantidad recibirá su cliente? 3.¿Cuál es el precio cd venta de un millar de hojas de papel si su costo es de 2.50 centavos con descuento del 20% y 12 radios marcados en 60 dólares con descuento del 25% y del 10%. Calcular el valor de la factura de venta de una cocina cuyo precio de lista es de 350 dólares sobre el cual se está ofreciendo el 12% de descuento por venta al contado. sobre el aval se ofrece el 15% de descuento por la compra al contado y además se le debe aplicar el 12% de IVA. ¿Qué opción usted tomara? ) ) VALOR LIBROS: valor real después de restar la depreciación VALOR ACTIVO: valor de adquisición o real comprado el activo VIDA UTIL: tiempo de estimación en que se deprecia un activo VALOR SALVAMENTO (residual): valor que recupera del activo . utilidad de 11% del costo.Una empresa compra 30 millones de barriles de petróleo a razón de 45 dólares cada uno y tiene opciones de venta. utilidad de 10% del precio de venta.. 6. 7.5..Calcular el valor de la factura de un refrigerador cuyo precio de lista es de 480 dólares.. Cargo por Depreciación: depósitos periódicos que se realizan en el fondo para la depreciación. edificio. ni la inflación y son en moneda corriente. normativas leyes.Ejemplo: Depreciación Es la pérdida de valor de bien o activo (maquinaria. Costo Inicial: valor del bien o activo en la fecha de a compra. no toman en cuenta los costos financieros. reglamentos y otras. Métodos de depreciación Existen diferentes métodos de depreciación clasificados en métodos de depreciación contables. Para reemplazar un activo al final de su vida útil. Valor de Salvamento o Residual: valor que se conserva del bien cuando ha dejado de ser útil. se establece un fondo. separándolo periódicamente cierta cantidad que debe ser igual al costo del reemplazo Para comprender mejor la depreciación se presentan algunas definiciones de los elementos que intervienen. Etc. Vida Útil: es la duración probable de un bien o activo se estima con base en la experiencia o informa de expertos o fabricantes. disposiciones. desgaste u otros factores. La depreciación es el proceso por la cual un activo disminuye su valor y utilidad con el uso y con el tiempo. Métodos de depreciación contable: se ajustan a la legislación del país en que se apliquen. Entre ellos tenemos los siguientes: Método uniforme o de línea recta Método de depreciación por unidad de producción Método fondo de amortización .) Que sufren debido al uso. equipos. y métodos de depreciación económica. referentes a la depreciación y a las declaraciones de impuestos son fáciles de aplicar. MÉTODO DE DEPRECIACIÓN DE LÍNEA RECTA Este método consiste en tomar cada año para el activo considerando. sumando el valor de salvamento del bien alcance pata su reposición. el costo de activo y del valor residual. Cuando la depreciación se calcula en función de las horas de operación puede utilizarse la fórmula: Cargo de depreciación: Esta fórmula se utiliza en caso que la depreciación está dada en función a los números de años. Para efectuar los cálculos se utiliza la tasa de inflación. la inflación y el precio de reparación de los equipos. Genere los fondos suficientes pata reponerlos. la tasa de interés. los valores reales. . Método de la suma de los extremos que corresponden a los años de duración del bien a de las suma de dígitos decreciente. Método de depreciación por porcentaje fijo Método de depreciación con interés sobre la inversión Método de depreciación de producción Métodos de depreciación económica Tratan de determinar el valor de la depreciación que recupera el capital invertido en los activos. presentan valores más reales y permitan tomar prevenciones justas para el reemplazo de los equipos o bienes. cada año es la misma para toda la vida útil. a los precios vigentes en el mercado sus características principales son: Relativamente complicados de aplicar Toman en cuenta los costos de la empresa. Estos métodos de depreciación económica a pesar de ser más complicados. Supone que la de depreciación anual. cada año se reserva valores iguales de manera que al finalizar la vida útil se tenga un fondo de reserva que. Reflejan la realidad económica de la empresa Aconsejables para la toma de decisiones para la empresa. entre las principales variables. y en consecuencia. las tasas de impuestos. cuando sean convenientes. un valor de depreciación contante. el valor de salvamento es de 200000dolares y produjo 6000000 unidades en su totalidad realice la depreciación.Ejemplo: Realice los cálculos correspondientes para conocer el cargo de depreciación anual de una máquina que costó $25000. . residual v. Valor en Libros 2250 4500 6750 9000 11250 13500 15750 18000 20250 22500 25000 22750 20500 18250 16000 13750 11500 9250 7000 4750 2500 ELERCICIOS PROPUESTOS 1) Una maquinaria cuesta 1400000dolares. si su vida útil se estima en 10 años y su valor de salvamento en 10%. maquinaria V. teniendo en cuenta que la maquina produce 750000 unidades al año. util Tiempo Cargo de Depreciación 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2250 2250 2250 2250 2250 2250 2250 2250 2250 2250 25000 2500 10 Fondo para Depre. 20……………. 106……………… ( ) . 16. 8. En la que ha es el primer término la diferencia común y d n el número de términos Cada término se forma sumando al primero la diferencia común tantas veces como el número de términos “menos uno” se busque. La diferencia es 4 Observe la progresión. 115. llamados términos es la que cualquier término posterío al primero puede obtener de la anterior. 112. sumándole o restándole un número constante deferencia común d así por ejemplo: 4. 150000 150000 150000 150000 150000 150000 150000 150000 150000 300000 450000 600000 750000 900000 1050000 1200000 Valor en Libros 1400000 1250000 1100000 950000 800000 650000 500000 350000 200000 PROGRESION ARITMETICA Es una sucesión de número. El último término está en función de número de términos n u: último término a: primer termino n: número de términos d: diferencia común ( ) Así para encontrar el vigésimo término de la progresión aritmética se tiene.12. 109.( Tiempo Cargo de Depreciación 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ) Fondo para Depre. a + (a+ d) +(a+2d) +(a+ 3d) +……………………a+(n-1) d. d=6 ( ) ( ( ) ) Sea la progresión geométrica El último término cualquiera que este fuera será igual a: Se quiere encontrar el término 10: ( ( ) ) Calculemos entonces la suma de una progresión geométrica.( ) Suma de una progresión aritmética ( ) Es necesario calcular el ultimo termino. a=15. . n=30. Simplificando: suma de progresión geométrica cuya razón es menor que 1: r<1 Suma de progresión geométrica cuya razón es mayor que 1: r>1 Interés simple Es la cantidad pagada por el uso del dinero obtenido en préstamo o la cantidad producida por la inversión del capital. Mes Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto ( )( )( ) Calendario Aproximado Exacto 15 16 30 30 30 31 30 30 30 31 15 15 150 153 ( )( )( ) Exacto . está dada como un porcentaje o su equivalente generalmente se toma el año como unidad de tiempo se presenta con la letra i Interés simple Cuando un capital genera interés por un determinado tiempo el interés producido que se reconoce se denomina interés simple. dese el 15 de marzo hasta el 15 de agosto del mismo año. Interés simple Exacto: Real Ordinario: (365-366) Aproximado Real (360) Aproximado Ejemplo: Calcular el interés simple que gana un capital de $5 al 12% anual. dese el 15 de marzo hasta el 15 de agosto del mismo año. Para tal fin. Según esta premisa el interés simple puede calcularse mediante la siguiente formula: I= C*i*t o I= C*r*n Ejemplo: El interés simple que gana un capital de $5. la tasa de interés (I) y el tiempo (t).00 al 12% anual. lo primero que tenemos que hacer es calcular el tiempo que transcurre entre las dos fechas tomando una de las dos fechas extremas.Tasa de interés: es la razón del interés devengado al capital en la unidad de tiempo. Formas de calcular el interés simple El interés simple (i) está en función directa del capital (c). Mes Aproximado Exacto Abril 20 20 Mayo 30 31 Junio 30 30 Julio 30 31 Agosto 30 31 Septiembre 15 15 155 158 Exacto ( )( )( ) ( )( )( ) Comercial ( )( )( ) ( )( )( ) .( )( )( ) ( )( Comercial )( ) Ejemplo: capital 5000 Exacto ( )( )( ) ( )( )( ) )( )( Comercial ( )( )( ) ( ) Ejercicio: 1) Calcular el interés de un capital de 20000 dólares al 9% de interés anual desde el 10 de abril hasta el 15 de septiembre del mismo año. 2) Calcular el interés de un capital de 10000 dólares al 8% de interés anual desde el 5 de mayo al 18 de octubre del mismo año. ( )( ) . Mes Aproximado Exacto Mayo 25 26 Junio 30 30 Julio 30 31 Agosto 30 31 Septiembre 30 30 Octubre 18 18 163 166 Exacto ( )( )( ) ( )( )( ) Comercial ( )( )( ) ( )( )( ) 3) A que tasa de interés anual se coloca un capital de 180000 dólares para que produzca 18000 dólares en 180 días. i=? c= 180000 ( )( ) t= 18000 4) En qué tiempo un capital de 850000 dólares ganara un interés de 45000 dólares al 18% anual. C= 210000 ( ( i= 12% ( ) )( )) t= 150 FORMULAS Valor Futuro ( ( ) Valor Presente ) ( ( )( ) ) 3) Calcular el valor actual al día de hoy de un documento de 150000 dólares que vence en 210 días plazo considerando una tasa de interés de 18% anual. .8% mensual durante 180 días. ( )( ) En el mismo ejercicio considere el cálculo del valor actual 90 días antes de su vencimiento.8% ( ( )( )) ) t= 180 2) Calcular el monto de un capital de 210000 dólares al 12 % anual del 15 de marzo al 15 de Agosto del mismo año.Monto ( ) 1) Calcular el monto de un capital de 150000 dólares al 1. C= 150000 ( i= 1. a) Método lagarto ( ( )( )) b) Método sobre saldos deudores. Calcular las cuotas mensuales que debe pagar el cliente. ( ( )( ( )( )) ( )( ) ) Métodos a) Método lagarto o método de acumulación de intereses. considerando una tasa de interés del 18% anual. ( )( ) Primera cuota Segunda cuota . Calcular su valor actual al 12de agosto del mismo año. Una cooperativa de ahorro y crédito otorga un préstamo por 6000000 millones de dólares a 12 meses de plazo al 3% mensual sobre saldos deudores. b) Método sobre saldos deudores.( ( )( )) ( )( ) 4) El 15 de marzo se suscribió un documento de 180000 dólares con vencimiento en 180 días plazo al 1% mensual. ( ( )( )) . Calcular la cuota fija mensual si se considera el 24% del interés anual.( )( ) Tercera cuota ( Periodo )( ) Capital 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Interés 500000 500000 500000 500000 500000 500000 500000 500000 500000 500000 500000 500000 Cuota 180000 165000 150000 135000 120000 105000 90000 75000 60000 45000 30000 15000 680000 665000 650000 635000 620000 605000 590000 575000 560000 545000 530000 515000 Capital Reducido o Deuda 6000000 5500000 5000000 4500000 4000000 3500000 3000000 2500000 2000000 1500000 1000000 500000 0 Una empresa comercial vende automóviles cuyo precio de lista es de 60000 con una cuota inicial del 20% y el saldo a 30 meses plazo. dependiendo de la política de restricción o aumento de operaciones crediticias y el dinero circulante. descontados por ellos con anterioridad a una determinada tasa de interés mayor o menor. Se utilizan para respaldar obligaciones en dinero con vencimiento futuro. el interés.C Dr = 𝑀 𝑀 𝑖𝑡 180 días 6% 22 abril 20 agosto 19 octubre 5000 ( ( ) ) 10% 5150 . antes del vencimiento valores generalmente endosables. Documentos de crédito Letra de cambio Pagaré Como documentos de crédito por ser los más conocidos y utilizados. la fecha de suscripción. letras de cambio o pagares. el plazo. DESCUENTO RACIONAL Es la diferencia entre el monto o valor a la fecha de vencimiento de un documento o deuda y el valor presente Dr = Monto – Valor actual Dr = M .DESCUENTOS Es la operación de adquirir. Redescuento Operaciones mediante la cual el banco central o un banco privado. le descuenta a otros bancos comerciales. documentos. Detallan las personas acreedoras y alrededor el valor de la deuda. ( ( ) ) Ejemplo Un documento de $900 suscrito el 19 de abril con vencimiento en 180 días a una tasa de interés del 1% mensual desde su suscripción es negociado el 15 de julio del mismo año a una tasa de interés de 18% anual. se desea conocer: La fecha de vencimiento: 16 de octubre Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Suma 11 31 30 31 31 30 16 180 16 31 30 16 93 El monto o valor al vencimiento ( ) El número de días comprendidos entre la fecha de negociación el vencimiento Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Suma 11 31 30 31 31 30 16 180 16 31 30 16 93 días . Suponiendo un rendimiento del 5% y considerando la fecha focal dentro de 1 año determine el pago único de pago. 3 meses 1000 26 junio 6% 5 mayo ( Mayo Junio Julio Agosto Suma 26 30 31 3 90 ) 4 31 3 38 Ejemplo En la fecha Ramiro debe $1000 por un préstamo con vencimiento en 6 meses contratado originalmente a 1 año y medio a la tasa del 4% y debe además $2500 con vencimiento en 9 meses sin interese. sin intereses firmado el 5 de mayo fue descontado el 26 de junio al 6% determinar el valor de la transacción. El desea pagar $2000 de inmediato y liquidar el saldo mediante un pago único dentro de 1 año. FF Hoy 6m 2000 9m año X .Valor actual al 15 de julio ( ) Un pagaré de $1000 a 3 meses. Fórmula: Db = M.d.( ( ) ) ( ) ( ) DESCUENTO BANCARIO Se utiliza en las operaciones comerciales y consiste en cobrar los intereses por anticipado.t Su cálculo se realiza sobre el monto o valor del vencimiento: M = valor del documento a la fecha de vencimiento D = tasa de descuento t = fecha de finalización hasta la negociación 1 año 6% 500 6 meses 5% ( ( ) ) 530 . Ejemplos Calcular el valor efectivo o precio que recibe una persona que realiza un descuento de una letra de cambio de $ 120 suscrita el 14 de marzo sin intereses a 180 días de plazo si se descontó el 21 de junio del mismo año a una tasa de descuento del 18% anual. Reemplazando el valor de Db descuento bancario Factorizando: ( ) También se la conoce como fórmula de precio de un documento con descuento o precio bursátil de donde puede deducirse. ( ( ) ) Si un cliente de un banco solicita un préstamo de $ 10000 a 180 días plazo que valor efectivo recibe si se le aplica una tasa de descuento del 18% anual ¿cuál será el descuento bancario? ( ) .VALOR ACTUAL CON DESCUENTO BANCARIO Es el valor en efectivo que se recibe en el momento del descuento bancario de un documento antes de la fecha de vencimiento a una determinada tasa de descuento. El valor actual o presente con descuento bancario se identifica como la diferencia entre el valor al vencimiento del documento y el descuento se expresa Cb. calcular: El gráfico 180 días 6% 7 junio 20 septiembre 10000 12% 10300 La fecha de vencimiento Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre 4 diciembre 23 31 31 30 31 30 4 El monto ( ) . La tasa de descuento se utiliza para calcular el descuento bancario comercial o bursátil y se aplica al valor del vencimiento. con una tasa del 6% anual desde su suscripción.RELACIÓN ENTRE LA TASA DE INTERÉS Y LA TASA DE DESCUENTO La tasa de interés (i) se utiliza para calcular el descuento racional o matemático y se aplica sobre el valor actual de un documento. suscrito del 7 de junio de 180 días de plazo. es descontado el 20 de septiembre del mismo año a una tasa del 12% anual. i= 𝑑 d=𝟏 𝑑𝑡 𝒊 𝒊𝒕 Un documento financiero de $10000. Se desea saldar las deudas mediante 2 pagos iguales. ( ) Robert debe $500 con vencimiento en 2 meses. $1000 con vencimiento en 5 meses y $1500 convencimiento en 8 meses. . El número de días comprendidos entre la fecha de vencimiento Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Suma 10 31 30 4 75 días El valor actual a la fecha de descuento ( ) ( ) El descuento racional El descuento bancario o bursátil A que tasas de interés equivale una tasa de descuento del 21% anual durante 90 días. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo un interés del 6% tomando como fecha focal la fecha al final de 10 meses. una con vencimiento en 6 meses y otro con vencimiento en 10 meses. con vencimiento dentro de 9 meses. uno inmediato. Determinar el importe de cada pago utilizando como fecha focal la fecha dentro de un año. FF X 6m X 9 meses ( ( ) ( ) X ) ( ) ( ) . Gerardo esta de acuerdo en recibir tres pagos iguales. Suponiendo que Gerardo espera un rendimiento de 5% en la operación. otro dentro de 6 meses y el tercero dentro de un año.FF 2m 5m 6m 8m 10 meses X ( ) ( ) ( ( ) ) Diego debe a Gerardo $1000 pagaderos dentro de 6 meses sin intereses y $2000 con interese de 4% por 11/2 años. con diferentes fechas de vencimiento.ECUACIONES DE VALOR Son aquellas que se utilizan para la resolución de problemas de matemática financiera en las cuales se reemplaza un conjunto de obligaciones. El problema puede expresarse en forma gráfica: . Reemplazo de un conjunto de obligaciones o deudas por un solo pago Entonces: Una empresa tiene las siguientes obligaciones o deudas: M1 = $5000 a 60 días plazo M2 = $7000 a 120 días plazo M3 = $10000 a 240 días plazo M4 = $12000 a 300 días plazo La empresa desea reemplazar sus obligaciones por un solo pago a 180 días de plazo. Se organizan en cuatro tipos: Reemplazo de un conjunto de obligaciones o deudas por un solo pago (consolidación de deudas) Comparación de ofertas para comprar o vender Cálculo del monto de una serie de depósitos sucesivos a corto plazo. Se emplear para consolidar o reemplazar dos o más deudas por una sola y también para el cálculo del monto de una serie de depósitos y para calcular el valor actual de una serie de pagos. relacionan las diferentes fechas de vencimiento con una denominada fecha local. Cálculo del valor actual o presente de una serie de pagos sucesivos a corto plazo. previo acuerdo entre el acreedor y el deudor. Para la solución de los problemas. Calcular el valor del pago único. por uno o varios valores con otra fecha de referencia. considerando una tasa de interés del 18% anual. se pagan por anticipado. por lo que deben calcularse como valor actual o como valor presente. a los 240 y 300 días. Las dos primeras deudas. Es necesario tener en cuenta algunas definiciones para comprensión del tema: Ahorro Es parte de la renta disponible no consumida. por lo tanto.Se ha tomado como fecha focal (FF) los 180 días. a los 60 y 120 días. mientras que las otras dos deudas. que es la fecha de pago consolidado de todas las deudas. . deben calcularse como monto. Primero se calculan los tiempos en días: T1 = 180-60 = 120 T 2 = 180-120 = 60 T3 = 180-240 = -60 T4 = 180-300 = -120 Planteo de la Ecuación de Valor ( ) ( ) Reemplazando los valores: [ ( )] ( [ ( )] ( ) ) CUENTAS DE AHORRO Es un servicio bancario mediante el cual una institución recibe dinero a título de ahorro por un interés comercial anual que es regido por disposiciones gubernamentales. es el acto de prevención económica que consiste en reservar un dinero separándolo del gasto diario para utilizarlo en una fecha futura. ya han vencido. 05 = 106. Periodo de liquidación de intereses Momento del año o del mes en el que los intereses ganados se acumulan al capital ahorrado. consiste e obligaciones bancarias exigibles en las condiciones especiales convenidas entre el depositante y el depositario de acuerdo con las disposiciones que regula el ahorro bancario. Las instituciones bancarias que tienen el servicio de cuentas de ahorro utilizan tablas de interés simplificadas día por día. Es decir cuando el interés se suma al capital. La condición especial de un depósito de ahorro es que gana interés y este pasa a sumarse al capital depositado y se constituye un número de capital que gana interés por otros períodos Depositario Institución financiera que recibe el depósito. Tasa de interés Tanto por ciento (%) legal establecido que se calcula sobre el capital depositado. Interés Es el dinero ganado en el transcurso del tiempo. SISTEMA DE CÁLCULO DE LOS INTERESES Se utiliza la fórmula de interés simple en cada periodo de capitalización. EJEMPLO Si el día 1° de julio se deposita $100 a una tasa del 12% anual liquidable cada semestre sería: I=Cit I = 100(0.Depósito de ahorros Son aquellos dineros depositados e instituciones financieras.04915 en el semestre MONTO ACUMULADO = 100+ 6. proveniente del capital depositado.12 * (184/ 365) I = $ 6.05 . para el cálculo se emplea el número de días exacto y el año comercial de 360 o 365 o el 366 si el año es bisiesto si la liquidación es anual. LIQUIDACIÓN DE INTERESES EN CUENTAS DE AHORRO Se utiliza la fórmula del interés simple.Regularmente. con las siguientes modalidades: Toma en cuenta el valor de la transacción. deposito o retiro. o el número de días de cada semestre: 181 para el primer semestre 184 para el segundo semestre Algunas veces también se contabiliza desde el día que se deposita o retira el dinero. Los saldos Ejemplo Una persona propietaria de una cuenta de ahorro realiza una serie de depósitos y retiros con los valores y fechas que se detallan a continuación: El 15 de enero depositó $1000 para recibir la cuenta El 10 de febrero deposito $500 El 02 de marzo retiro $600 El 03 de abril retiro $ 200 El 30 de abril deposito $1100 01 de junio retiro $300 Si la cuenta de ahorro gana una tasa de interés del 14% anual ¿Cuál será el saldo de la cuenta al 30 de junio? . Nota Cuenta de ahorros trabajan con 365 o bisiesto 366. 85 PRIMER RETIRO: I= 600(0.14)* (166/365) = 63.SALDO DE LA CUENTA AL 30 DE JUNIO $1578.14)* (140/365) = 26.75 .14)* (88/365) = -6.67 SEGUNDO DEPÓSITO: I= 500(0.55 RETIROS PRIMER DEPÓSITO: I= 1000(0.14)* (120/365) = -27.62 SEGUNDO RETIRO: I= 200(0. un retiro de $6000 el 4 de noviembre. un retiro de $2500 el 25 de agosto. Si la tasa de interés fue de 7% anual.55 También se puede hacer el cálculo toman los saldos de la cuenta.14)* (61/365) = 25. Ejemplo El señor Daniel Mera.14)* (29/365) = . en el segundo semestre del mismo año realizó el siguiente movimiento. ¿Cuánto interés ganarla cuenta al 31 de diciembre? .34 TOTAL INTERESES = $ 78.74 TERCER RETIRO: I= 300(0.3. para lo cual se debe calcular el número de días comprendidos entre cada transacción. poseedor de una cuenta de ahorros en una institución bancaria.DEPÓSITOS TERCER DEPÓSITO I= 1100(0. tiene un saldo en su cuenta de $4000 al 30 de junio. un depósito de $3000 el 18 de septiembre. 35 Intereses 1344.84 34500 65.59 1471.PRIMERA FORMA Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre 31 31 30 31 30 31 184 6 30 31 30 31 128 12 31 30 31 104 ( 26 31 57 )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) Intereses Fecha Depósito Retiro Saldo + jun-30 40000 ago-25 sep-18 nov-04 2500 3000 6000 1411.96 .39 Saldo al 31 de diciembre 35844.51 37500 40500 61.37 59.39 - 126. 136986 Intereses Saldo 1344.369863 59.3836 24 12 31 4 47 26 31 57 TERCERA FORMA I1 I2 I3 I4 429.3014 I 172.SEGUNDA FORMA Primera Segunda Tercera Cuarta julio agosto Suman agosto septiembre Suman septiembre octubre noviembre Suman noviembre diciembre Suman 31 25 6 18 61.50685 Intereses Saldo 1598.589041 56 184 I=M.t I .60274 I 365.054795 I 377.5890411 1411.8356164 65.38356 34500 35844.30137 34500 36098.i. sino que se adicione al capital se dice que los intereses se capitalizan.4 6000 6442. en una unidad de tiempo se suman al capital y este valor nuevamente gana interés y se acumula al nuevo capital y así sucesivamente tantas veces como periodos de capitalización se hayan establecidos.1)(1)=440 (4840) (0.40) (0.04 A DIFERENCIA 40 124 256.60 6442. el interés simple y compuesto de un capital de 4000 a una tasa de interés de 10 % durante 5 periodos.40 (5856.04 PERÍODO 1 2 3 4 5 MONTO A MONTO INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO 4400 4400 4800 4840 5200 5320 5600 5856. Ejemplo Calcular el monto. El interés compuesto se caracteriza por que el interés generado.04 . I= Cit 2000 M= C(1+it) 6000 I=Cit 400 M = 4400 (4400) (0. el capital aumenta por la adicción de los intereses vencidos al final de cada una al final de cada uno de los periodos a que se refiere la tasa siempre que no se pague efectivamente el interés al final de un periodo.1)(1)=585.1)(1)=532.1)(1)=484 (5324) (0.4 442.INTERÉS COMPUESTO Es un interés de un capital al que se van acumulando los réditos para que produzcan otros cuando se calcula el interés compuesto. 02 442. 4 6442. 4 256.Gráfico de interés compuesto 1000 800 600 400 200 0 0 1 2 3 y x 4 5 6 y 4400 4480 40 5324 124 5856.12 4 5 6 .04 Gráfico de comparación del monto a interés simple e interés compuesto 7000 6000 5000 4000 Y 3000 X 2000 Y 1000 0 0 ( 1 2 3 ) Ejemplo 12% convertible mensualmente 5 años =n 12% = 0. j= .( ) ( ) ( C= ( ) ) ó C= M( ) Ejemplo Si se invierten 1000 dólares durante 8 años y medio al 7% convertible trimestralmente. Tasas Equivalentes Son aquellas que con diferente periodo de capitalización producen el mismo interés compuesto Tasa Nominal En aquello que puede ser capitalizable varias veces en un año se la denomina j (es la que se expresa en los documentos de uso comercial) interés simple. 2061 15 años 9 meses 198/6=33 ( ) ( ) TASA DE INTERÉS Es la razón del interés devengado al interés en la unidad de tiempo. cuanto tendré al final del periodo. ( ) ( ) El 20 de marzo del 2045 se invirtieron $200 en un fondo que paga el 5% convertible semestralmente ¿Cuál será el importe del fondo el 20 de septiembre del 2061? t= 20 de marzo 2045 9 meses 20 de sep. 5705 R/. Una tasa nominal del 46% es convertida en una tasa efectiva del 57% i=( i=( ¿Cuál es la tasa efectiva anual de una inversión que paga el 46% nominal anual que es capitalizable diariamente? ) –1 ) –1 . i=( ) -1 j = tasa nominal m = periodo de capitalización i = tasa efectiva Transformación De La Tasa Nominal A Tasa Efectiva Para Tomar De Decisiones Se puede presentar dos alternativas para el cálculo de i.i= tasa anual m= frecuencia Tasa Efectiva Es la que realmente actúa sobre el capital una vez en el año. La tasa nominal y la efectiva son equivalentes cuando producen la misma cantidad de dinero al final del año. y se le denomina i sirve para la toma de decisiones de inversión. Que los periodos de capitalización no coincidan con los periodos de pago (periodos vencidos) Ejercicios: i=( ¿Cuál es la tasa efectiva anual de una inversión que paga el 46 % nominal anual que se capitaliza mensualmente? ) -1 i=( i=( ) ) -1 -1 i = 0. Que los periodos de capitalización coincidan con los periodos de pago. Una tasa nominal del 46% es convertida en una tasa efectiva del 58% ¿A qué tasa efectiva de interés equivale una tasa nominal de 18% anual capitalizable trimestralmente? i=( ) –1 i=( ) –1 i= ¿A qué tasa nominal capitalizable semestralmente es equivalente la tasa efectiva del 16%? i=( ) –1 0.0105 ( ) ) ) .16 = ( ) –1 1.16 = ( ) (√ -1)*2 = j j = 0.1541 A que tasa nominal convertible trimestralmente el monto de 1250 será 1900 en 10 años.182= i = 0.i= R/. ( ) ( ) ( ( 0. Logaritmos Exponentes y radicales Interpolación Tanteo o simulación a. 000503 i= 0.20% d. ) ( = X= 0. 0105 i = 1. c=1250 M=1900 n=40 i=? ( ) ( ) ) .( b.0 (50%) * 4 i= 4.000503 i = tasa inferior +x i = 0. 01 + 0. ) ( ) √ ( c. 01+0.825 = n log (1+0.01048 * 4 = 0.00048 i = 0.( ) ( ) = X= 0.02) n = 30.38 / 2 n = 15.04192 =4.00048 i= 0.19 .19% En que tiempo un monto de $2000 será 3650 a una tasa de interés del 2% convertibles semestralmente. ( ) ( ( ) ) Log 1. ECUACIONES CON INTERÉS COMPUESTO Gabriela debe a Johana $ 4000 pagaderos en 2 años y $ 3000 pagaderos en 5 años. ( ) = 9494. ( M= ) x = 3046 ( = 2869. ( ) Un documento estipula el pago de $2500 con intereses al 5% convertibles semestralmente.14 En la compra de una casa Lizeth paga $10000 de cuota inicial. el primero de febrero del 2013 suponiendo un rendimiento al 6% convertible trimestralmente.90 ) . Acuerdan que Gabriela liquide sus deudas mediante un pago único al final de 3 años sobre la base de un rendimiento de 6% convertible semestralmente. Hallar el importe de la venta del documento. y acuerda pagar 7500 a 2 años después hallar el valor de contado de la casa al 6% convertible semestralmente.6% convertible trimestralmente para tener 15000 dólares en su cuenta dentro de 10 años. ( ) + ( ) Debo $1250 pagaderos dentro de tres años sin intereses ¿Qué cantidad debería estar dispuesta a aceptar mi acreedor en este momento si puede el invertir el dinero al 4% convertible semestralmente? c= ( ) c= 1109.96 Cuanto debe invertir ahora al 4. cuatro años más tarde. 90 ANUALIDADES O RENTAS Serie de pagos periódicos iguales puede ser pago o depósito de una suma de dinero a la cual se le reconoce una tasa de interés por periodo.Hallar el valor presente de $5000 pagaderos en 6 años 8 meses suponiendo un rendimiento del 6% convertible trimestralmente. TASA DE INTERÉS ANTICIPADA ( ) ( ) ¿A qué tasa de interés efectiva anticipada es equivalente a una tasa anticipada del 48% anual capitalizable cuatrimestralmente. ( ) = 3359. RENTA: el valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta o simplemente anualidad. VALOR ACTUAL { ( ) } .687283 Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de $10000 cada trimestre durante 5 años y seis meses al 12% capitalizable trimestralmente. ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) i = 0. 4% capitalizable mensualmente a fin de obtener $ 640000 en 6 años.7647. .17 MONTO { ( ) { } ( ) } = 305367. { ( ) } Capital = 5645.1437 * 72 = 406450. además calcular el interés que ganará.MONTO { ( ) } R= pago periodo o renta i = tasa de interés n = # de periodos S= monto A= valor actual VALOR ACTUAL ( { ) } ( { ) } = 159369.80 Hallar el valor del depósito mensual que debe hacer una persona en una institución financiera que paga 14.3453 = 233549.3453 640000 – 406450. Haciendo el primer pago a los 6 meses ¿Cuántos pagos deberá hacer? { -0.70 El día de hoy M compra una anualidad de $2500 anuales durante 15 años.5 = -n log (1. ¿Cuál fue el costo de la anualidad? ( { ) } = 29844.Calcular el valor de la cuota semestral que debe pagar una empresa que tiene una deuda de $4000000 a 8 años plazo.45 { ( ) } + x( ) { ( ) } + x( ) X = 102.03) n= 23. en una compañía de seguros que utiliza el 3% anual si el primer año vence en 1 año.84 M tiene un préstamo de $3750 acordando pagar capital e interés al 6% convertible semestralmente mediante pagos semestrales de $225 cada una.07 { ( ) } En los últimos 10 años x ha depositado $500 dólares al final de cada año en una cuenta de ahorros la cual paga el 3 % efectiva ¿cuánto había en la cuenta inmediatamente después de haber hecho el depósito? { ( { ) } ( ) } = 5865.3 . con una tasa de interés del 24% capitalizable semestralmente.5 = ( ( ) } ) Log 0. 400000 = 573560. que hace referencia a que los flujos de caja pueden incrementar o disminuir con relación al flujo de caja anterior.05 = 324.05 225 + 99.X = 99.05 (último pago) ANUALIDADES ANTICIPADAS ( { ) ( { ( { } ) } ) = } GRADIENTES Se le denomina gradientes a una serie de flujos de caja periódicos que poseen una ley de formación. GRADIENTE P+G = { ( ) }+ { ( ) ( ) } P+G = valor presente de la serie gradiente A= valor de la base o anualidad i = tasa de interés de la operación n = número de flujo de caja G= variación constante o gradiente GRADIENTE ARITMÉTICA CRECIENTE Cuota n= A + (n-1) G Cuota n = valor de la cuota n de la serie gradiente. A = valor de la base n = número de flujos de caja q esta anualizada G = variación constante o gradiente. en una cantidad constante en pesos o en un porcentaje. .