Naumes Johannes

Biegeknicken und Biegedrillknicken von Stäben undStabsystemen auf einheitlicher Grundlage Von der Fakultät für Bauingenieurwesen der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Ingenieurwissenschaften genehmigte Dissertation vorgelegt von Johannes Caspar Naumes Berichter: Universitätsprofessor Dr.-Ing. Markus Feldmann Universitätsprofessor Dr.-Ing. Dieter Ungermann Universitätsprofessor Dr.-Ing. Dr.h.c. Gerhard Sedlacek Professor ir. Frans Bijlaard Tag der mündlichen Prüfung: 06.11.2009 Diese Dissertation ist auf den Internetseiten der Hochschulbibliothek online verfügbar. Erscheint demnächst in: Schriftenreihe Stahlbau – RWTH Aachen Heft 70 Herausgeber: Prof. Dr.-Ing. Markus Feldmann Prof. Dr.-Ing. Dr.h.c. Gerhard Sedlacek Lehrstuhl für Stahlbau und Leichtmetallbau der RWTH Aachen Mies-van-der-Rohe-Str. 1 Shaker Verlag Aachen 2010 ISBN 978-3-8322-8754-2 Vorwort der Herausgeber Die derzeitige Situation in den Bemessungsregeln für Biegeknicken und Biegedrillknicken im Eurocode 3 ist weit von einer Europäischen Harmonisierung entfernt; während die Regelungen für das Biegeknicken aufgrund ihrer Herleitung mit einem mechanischen Modell, das an Versuchen unter Berücksichtigung von Zuverlässigkeitskriterien kalibriert wurde, europäisch einheitlich sind, gibt es zum Biegedrillknicken eine Reihe von alternativen Regelungsvorschlägen, die durch Öffnungsklauseln für nationale Festlegungen unverbindlich gehalten sind und unterschiedliche nationale Vorgehensweisen erlauben. Hier setzt die Zielsetzung der Arbeit von Herrn Naumes an, nämlich der These wissenschaftlich nachzugehen, dass Biegeknicken und Biegedrillknicken eine gemeinsame Grundlage haben müssen, da es Grenzfälle gibt, bei denen der Biegedrillknickfall in den Biegeknickfall übergeht diese gemeinsame Grundlage darzustellen und darauf aufbauend ein Gebäude von konsistenten Bemessungsregeln aufzubauen, mit denen die bisherigen nichtkonsistenten alternativen Regelungsvorschläge abgelöst werden könnten. Dieses gelingt, so dass mit der Arbeit nicht nur ein Vorschlag für die nationale Regelung im Rahmen des deutschen Nationalen Anhangs zum Eurocode 3 gemacht wird, sondern gleichzeitig ein Vorschlag für die internationale Harmonisierung der Bemessungsregeln im Eurocode 3 unterbreitet wird, der den Eurocode 3, Teil 1-1 in Zukunft verbessern und sein Volumen um etwa 30 % reduzieren würde. Die Arbeit entstand im Rahmen eines Auftrags des Deutschen Instituts für Bautechnik (DIBt), den Hintergrund des Eurocode 3 – Teil 1-1 – Entwurf und Berechnung von Stahlbauten – Grundlagen und Regeln für den Hochbau - für Regelungen im Nationalen Anhang aufzuzeigen. Dafür sei dem DIBt herzlich gedankt. Gedankt sei auch Herrn Prof. Frans Bijlaard (TU Delft) und Herrn Prof. Dr.-Ing. D. Ungermann (Uni Dortmund) für die Mitbetreuung der Arbeit und die Hilfe als Berichter im Promotionsverfahren. Auch dem Verein Forschungsförderung Baustatik, Massivbau und Stahlbau (FFBMS) sei für die Übernahme der Druckkosten und dem Shaker Verlag für den Druck sehr gedankt. Prof. Dr.-Ing. Markus Feldmann Prof. Dr.-Ing. Dr.h.c. Gerhard Sedlacek die zum einen den Einfluss der Torsionssteifigkeit des Querschnitts auf den Imperfektionsansatz und zum andern die Berücksichtigung der maßgebenden Bemessungsstelle xd ermöglicht. die auf Basis von FE-Berechnungen entwickelt wurden.GM auf Basis eines mechanischen Hintergrundmodells hergeleitet wird. die dann vorliegt. Dabei werden beide Versagensarten als unterschiedliche Stabilitätsphänomene aufgefasst.und Torsionsbelastungen werden dabei nach den bereits für die Anfangsimperfektion verwendeten Eigenformen des Systems reihenmäßig entwickelt und mit einem Konvergenzbeschleuniger so abgekürzt. Biege. eine allgemeingültige Knick-Biegedrillknickkurve χLT. dass eine gute Näherungslösung ohne Reihenentwicklung entsteht.und Torsionsmomentenverläufe angegeben.und Lagerungsbedingungen nachgewiesen. Während die Biegeknickkurve χc auf einem mechanischen Hintergrundmodell basiert. . dessen Imperfektionsansatz den Anforderungen nach ausreichender Zuverlässigkeit nach EN 1990 – Anhang D entspricht und darum europaweit einheitlich geregelt ist.GM.1 regelt das Biegeknicken und Biegedrillknicken von Bauteilen und Tragwerken. Im zweiten Teil der Arbeit wird eine Ergänzung des Verfahrens vorgenommen. die eine einfache und transparente Berechnung bei kombinierter Belastung in und quer zur Haupttragebene ermöglicht. Die zusätzlichen Querbiege. analog zur Biegeknickkurve χc. indem im ersten Teil der Arbeit. und deren Anwendung durch Öffnungsklauseln in den Nationalen Anhängen europaweit unterschiedlich geregelt wird. für deren Berechnung zwei verschiedene Abminderungskurven χc und χLT Verwendung finden. die für den Sonderfall des Biegeknickens die Ergebnisse der Europäischen Biegeknickkurve χc liefert. Die Überführung in den allgemeinen Fall des Biegedrillknickens mit M-N-Interaktion führt zur „Standardisierten Europäischen Biegedrillknickkurve“ χLT.Kurzfassung Der Eurocode 3 – Teil 1. ist die Biegedrillknickkurve χLT vielmehr Ergebnis von „Abschätzungen“. Die vorliegende Arbeit liefert eine mögliche Lösung für eine europaweite Harmonisierung der Regelungen. Des Weiteren wird ein Verfahren zur Ermittlung der maßgebenden Bemessungsstelle xd für beliebige Normalkraft-. wenn die Bemessung an der maßgebenden Nachweisstelle xd erfolgt. Hierzu wird zunächst die Allgemeingültigkeit der Biegeknickkurve für Knickstäbe mit beliebigen Last. Somit liefert die vorliegende Arbeit eine einheitliche Lösung im Hinblick auf die Konsistenz der Imperfektionsannahmen und des Vorgehens zur Berechnung von beliebigen Stabilitätsphänomenen von Stäben und Stabsystemen. Zum Schluss wird das genaue Vorgehen des Verfahrens anhand von ausgewählten Anwendungsbeispielen veranschaulicht. . Das Verfahren wird mit den Regelungen in EN 1993-1-1 verglichen und seine Zuverlässigkeit anhand von Versuchsauswertungen überprüft. Summary Eurocode 3 Part 1-1 gives design rules for flexural and lateral torsional buckling of structural members and frames treating both failure modes as different stability phenomena, so that for the assessment of these phenomena two different reduction curves χc and χLT are applied. While the flexural buckling curve χc is based on a mechanical model, with an equivalent geometric imperfection that fulfils the reliabilty requirements of EN 1990 – Annex D, the lateral torsional buckling curve χLT is the result of “estimations” which are based on FE-calculation with certain assumptions leaving the application open by opening notes for National choices in the National Annexes. This paper introduces a solution for an European harmonisation of these design rules. The solution is a general buckling curve χLT,GM, applicable to both flexural and lateral torsional buckling and also to mixed phenomena based on a mechanical background model. It gives for the specific case of flexural buckling the same results as the European column buckling curve χc. For deriving the general buckling curve in a first step the general validity of the column buckling curve for the case of non-uniform columns with any kind of loading and boundary conditions is proved. It constitutes the cross-sectional verification at the relevant location xd. On the basis of this definition the “standardised European lateral-torsional buckling curve” χLT,GM is derived, which considers the relevant location xd and the torsional rigidity of the cross-section within one formula. In a further step the method is extended to allow for an easy and transparent calculation for combinations of in-plane and out-of-plane loads. The additional lateral and torsional bending effects are expressed in terms of series of Eigenmodes including the basic Eigenmode, which already has been used to define the initial equivalent imperfection. The convergence could be optimised in such a way, that a good approximation is given on the basis of the first Eigenmode only. For practical use a general method for the determination of the relevant design location xd for any kind of axial force, bending-moment and torsional-moment distribution is given. Thus the present work gives a consistent and general solution with respect to the definition of the initial equivalent geometrical imperfection for the use of any assessment method and the particular procedure for assessing different type of stability phenomena of structural members and frames by using buckling curves. The proposed procedure is compared to the alternative methods given in EN 1993-1-1 and its reliability is proved by the evaluation of test-results. Finally the calculation procedure is demonstrated with selected design examples. Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Regeln für die Stabilitätsnachweise im Stahlbau 1 1.2 Konsistenz der Stabilitätsregelungen im Eurocode 3 – Teil 1.1 – Entwurf und Berechnung von Bauteilen 2 1.3 Zielsetzung 13 1.4 Inhalt der Arbeit 13 2 Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise 2.1 Wesen des Knickstabnachweises 15 15 2.1.1 Anwendung der Theorie 2. Ordnung 15 2.1.2 Referenz Modell nach Maquoi-Rondal 15 2.1.3 Europäische Knickkurven für Biegeknicken 21 2.1.4 Verwendung der Europäischen Knickkurve für andere Randbedingungen 24 Schlussfolgerung 29 2.1.5 2.2 Verallgemeinerung des Knickstabnachweises 30 2.2.1 Lösungsansatz 30 2.2.2 Nachweismöglichkeiten 33 2.2.3 Ermittlung der maßgebenden Bemessungsstelle xd (Lösung 1) 34 2.2.4 Modifizierung der Knickkurve (Lösung 2) 36 2.2.5 Berechnungsbeispiel 38 2.3 Herleitung des Biegedrillknicknachweises 43 2.3.1 Übertragung des Referenzmodells von Maquoi-Rondal 43 2.3.2 Versuchsauswertungen 49 2.4 Verallgemeinerung des Biegedrillknicknachweises 50 2.4.1 Definition des allgemeinen Belastungsfalls 50 2.4.2 Grundgleichung bei Vernachlässigung der Torsionssteifigkeit 51 2.4.3 Grundgleichung bei Berücksichtigung der Torsionssteifigkeit 53 2.4.4 Berechnungsbeispiel 54 i 1 Allgemeines 94 3.1.6. 5. 6.6 2.4.4 Stabilitätsnachweis nach EN 1993-1-1 Abs.3. 6. 6.5.2 Erweiterung des Verfahrens auf beliebige Momentenverteilungen 79 3.4 (3) 63 2.3.3 – Beispiel 2 97 3.2 59 2.2.1 59 2.3 Stabilitätsnachweis nach EN 1993-1-1 Abs.3. Abs.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 2.5.6.1 Allgemeines Vorgehen 91 3.5 Verfahren nach EN 1993-1-1. Abs.5.4 Verfahren nach EN 1993-1-1.5.6.3 Spiegelung des erweiterten Knickstabnachweises am direkten Nachweis 84 3. 6.3 60 2.4.2.1 Knickstab mit zusätzlicher Querlast in der Haupttragebene 77 77 3.7 3 Leitfaden zur Anwendung des Verfahrens mit einheitlicher Grundlage bei reiner Beanspruchung in der Haupttragebene 64 Spiegelung der Eurocode-Regeln an dem Verfahren mit einheitlicher Grundlage 66 Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung 3.3 Verfahren nach EN 1993-1-1.2 Stabilitätsnachweis nach EN 1993-1-1 Abs. 6.2 Biegedrillknicken mit Querlast (Querbiegung und Torsion) 88 3.7 Imperfektionsansatz nach EN 1993-1-1.3 Verallgemeinerung für beliebige Randbedingungen 90 3.4 Leitfaden zur Anwendung des Verfahrens mit einheitlicher Grundlage bei zusätzlicher Querbiegung und Torsion 91 3.5.5.4 63 2. Abs.2.1 und 6.3. 6.3.1. 6.5.1 Erweiterung der Knickstabbemessungsformel 77 3.4 61 2. Abs.5.3 – Beispiel 3 99 ii . 6. Abs.5 Schlussfolgerung für die Empfehlung der national zu bestimmenden Parameter in EN 1993-1-1 59 2.5. Abs.1.2 Ermittlung der Bemessungsstelle xd 93 3.2 Verfahren nach EN 1993-1-1.3 – Beispiel 1 94 3.3.3.5 Spiegelung der Eurocode-Regeln an dem Verfahren mit einheitlicher Grundlage 94 3.1 Allgemeines 59 2.2.5.6 Verfahren nach EN 1993-1-1.5. 6.1.2.und Versuchsergebnisse 129 4. zweiachsiger Biegung und Torsion 116 4.1 Statisches System und Last 137 5.2 Berechnungsergebnisse 122 4.2 Berechnungs.3.2 Berechnungs.2 Berechnungsergebnisse 118 4.1 Statisches System und Last 141 5.und Berechnungsergebnisse – gewalzte Träger 108 4.3 104 4 Versuchsauswertungen 4.3 – Beispiel 4 101 3.5 Stabilitätsnachweis nach EN 1993-1-1 Abs.5. offene Profile unter Normalkraft.1 Kranbahnträger 137 137 5.und Versuchsergebnisse 134 5 Berechnungsbeispiele für ausgewählte Anwendungsfälle 5.2.3 102 3.2 Versuchs.3 Unsymmetrische.5 Ausgeklinkte Träger mit Fahnenblechanschlüssen 132 4.und Berechnungsergebnisse – geschweißte Träger 113 4. zweiachsiger Biegung und Torsion 121 4.1.1 Versuchsbeschreibung 132 4. offene Profile unter Normalkraft.7 Stabile Längen nach EN 1993-1-1 Anhang BB.6 Stabile Längen nach EN 1993-1-1 Abs.1.4 Gevoutete Träger 126 4.1 Symmetrische offene Profile unter einachsialer Biegung 107 107 4.5.3 Versuchs.1 Versuchsbeschreibung 126 4.6.2 Einfeldträger mit unsymmetrischem Querschnitt unter Druck.1 Versuchsbeschreibung und -ergebnisse 121 4.2 Nachweis 138 5.2 Symmetrische.5.und Biegebeanspruchung 141 5.1 Versuchsbeschreibung und -ergebnisse 116 4.1.1.2 Nachweis 141 iii .Inhaltsverzeichnis 3.4.5.3.4.5.5.2.1 Versuchsbeschreibung 107 4. 6.3.2. Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 5.3.3.3 Stahlrahmen mit außergewöhnlicher Geometrie 143 5.1 Statisches System und Last 143 5.2 Nachweis mit Hilfe des Allgemeinen Verfahrens 143 5.3 Nachweis mit Hilfe einer GMNIA-FE-Berechnung 145 6 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen 147 7 Literaturverzeichnis 151 iv .3. Dieser Vorteil wird mit großem Aufwand bei den Stabilitätsnachweisen erkauft.2.Einleitung 1 Einleitung 1. Bild 1.2: Stabilitätsversagen des Stahltroges der Marcy Fußgängerbrücke in New York während der Betonierarbeiten des Betonobergurtes im Oktober 2002 [1] 1 .1: Biegedrillknicken eine Stahlverbundbrückenträgers unter Eigengewicht nach Entfernen der für den Transport angebrachten Kopplungselemente Bild 1. veranschaulichen die beiden Beispiele in Bild 1. Welche Konsequenzen dabei eine falsche oder unzureichende Nachweisführung haben kann.1 Regeln für die Stabilitätsnachweise im Stahlbau Stahlbau ist Leichtbau mit großem Vorteil für die Ästhetik und die Nachhaltigkeit.1 und Bild 1. 1 – Entwurf und Berechnung von Bauteilen Der Eurocode 3 – „Entwurf und Berechnung von Stahlbauten . Für die Kalibration der Bemessungsverfahren an Versuchsergebnissen stellt die EN 1990 ein standardisiertes Auswerteverfahren im Anhang D bereit. 2. d. für Druckstäbe gegen Biegeknicken oder Träger gegen Biegedrillknicken. Regelungen zu Imperfektionsannahmen für Bauteile und Tragwerke.h. 2. indem z. Imperfektionsannahmen für 2 - Biegeknicken nach Kap. Die damit verbundene Vorstellung ist die einer „hierarchischen Gliederung“ der Stabilitätsnachweise. 5.1: Grundlagen und Regeln für den Hochbau“ [3] regelt das Biegeknicken und Biegedrillknicken von Bauteilen und Tragwerken.2 - Biegedrillknicken nach Kap. die Nachweise mit Imperfektionen die Allgemeingültigen und die Bauteilnachweise als daraus abgeleitet und daher auf der sicheren Seite liegende Spezialnachweise angesehen werden können. z.1 bestehen in: 1. Ordnung möglich machen.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Zur richtige Beurteilung solcher Stabilitätsversagen werden in den Bemessungsnormen zwei Arten von Regelungen vorgegeben: 1. durch die Imperfektionsannahmen in Verbindung mit den Lastannahmen und Annahmen für die Querschnittstragfähigkeit mit ausreichender Wahrscheinlichkeit ein Versagen der Bauteile oder Tragwerke verhindert wird.B. dass.3. dass die Nachweise ineinander überführbar sind oder zumindest einen Bezug zueinander aufweisen.B. 1. 5. die Imperfektionsannahmen den Zuverlässigkeitsanforderungen der EN 1990 – „Grundlagen der Tragwerksplanung“ [2] entsprechen. die Stabilitätsnachweise durch Querschnittsnachweise für Schnittgrößen nach Theorie 2.Teil 1. dass 1.h. die Imperfektionsannahmen und die Bauteilnachweise konsistent sind. auf die sich diese Arbeit bezieht. Der Nutzer der Regelungen erwartet.3. nachgewiesen mit Versuchsergebnissen zu Knicken und Biegedrillknicken. Die Regelungen zum Biegeknicken und Biegedrillknicken im Eurocode 3 – Teil 1. Regelungen für Stabilitätsnachweise von Bauteilen.4 (3) .2 Konsistenz der Stabilitätsregelungen im Eurocode 3 – Teil 1. d. 3.1 - Biegedrillknicken von Träger nach Kap.2: Alternative Imperfektionsregelung nach Abs. Formel zur Bestimmung der Vorkrümmung KSL nach Tabelle 6. 6.3 und Anhang BB. 6. - Biegedrillknicknachweise in Form der Begrenzung „stabiler Abschnittslängen“ nach Kap.1: Imperfektionsregelungen.2 - Interaktion von Biegeknicken und Biegedrillknicken nach Kap.5.Kap.3.3.3. 5.1 bzw.3. 6.1 bzw.9 liefern einen Überblick über die verschiedenen Regelungen in Eurocode 3 Teil 1-1. Bauteilnachweise für - Knickstäbe nach Kap.2 Biegedrillknicken .Kap.3.d / L)Knicken elastische Berechnung plastische Berechnung elastische Berechnung plastische Berechnung e0.d / L e0. d N cr N Rk ⋅ηcr = 2 ⋅ ⋅ηcr ′′ .d = α ⋅ λ − 0. Tabelle 6.3 Die Tabellen 1.d / L)BDK = 0. max ′′ . max EI ⋅ηcr λ EI ⋅ηcr ( ) mit e0.3.3. Eigenform affinen Imperfektionsfigur ηcr ηinit = e0.5 · (e0.Einleitung 2.2 (11) 3 .3 und Anhang A und B.d / L e0.5 Knicken . 5. 5.d / L a0 1 / 350 1 / 300 - - a 1 / 300 1 / 250 - - b 1 / 250 1 / 200 1 / 500 1 / 400 c 1 / 200 1 / 150 1 / 400 1 / 300 d 1 / 150 1 / 100 1 / 300 1 / 200 Tabelle 1.1 bis 1. Tabelle 1.d / L e0. 5. Bemessungswerte der Vorkrümmung Knicklinie nach Tabelle 6. Abs.2 (11).2 1− χ ⋅λ2 1− alle Definitionen gemäß EN 1993-1-1.2 ⋅ M Rk N Rk χ ⋅λ2 γ M1 ⋅ für λ > 0. 6.4 (3) (e0. 6. d ⋅ a0 bis d e0.2 Maximale Amplitude ηinit der zur 1. Ed + ΔM y .2 + λ 2 ] α gemäß Tabelle 6.mod = α LT ] Biegedrillknicken – I-Profile χ LT = gewalzte I-Profile: h/b ≤ 2 Æ 0.5 ⋅ 1 + α LT ⋅ λ LT − λ LT .49 h/b > 2 Æ 0.0 + β ⋅ λ LT χ LT .3: Knick.0 0.2 Biegedrillknicken – Allgemeiner Fall χ LT = 1 2 2 φ LT + φ LT − λ LT [ ( ) 1 2 2 φ LT + φ LT − β ⋅ λ LT [ ( χ LT f gewalzte I-Profile: h/b ≤ 2 Æ 0.und Biegedrillknickregelungen nach EN 1993-1-1 [3] Kap.2 [3] 6. Rd k yz (6. Rd M z .6 [3] 6.75 f 1 − 0.2.2 + λLT 6.76 ≤ 1.61) M y . Rd M z .3.21 h/b > 2 Æ 0.62) M y .op χop aus Biegeknickkurve (6.76 λ LT . Ed M z .1) bzw.op AG(*) mit E d α ult .5 ⋅ 1 + α ⋅ λ − 0.3. Ed N Ed + k yy + k yz ≤1 χ y ⋅ N Rd χ LT ⋅ M y . Ed M z .49 h/b > 2 Æ 0.1 Biegeknicken χ= NDP 1 φ + φ2 − λ2 [ Empfehlungen ≤ 1.0 ( ) mit φ = 0.3 Knicken mit zweiachsialer Biegung k yy (6.k = Rk und E d α cr .5 ⋅ (1 − k c ) ⋅ ⎧ 1 ≤ ⎨ 2 ⎩1 λ LT ) 2 mit φ LT = 0.3.5 ⋅ 1 + α LT ⋅ λLT − 0.2) χ op ⋅ α ult .8 )] 2 ≤1 kc gemäß Tabelle 6.4 k zy Methode 1: Anhang A Methode 2: Anhang B Allgemeines Verfahren α ult .op = Rcr . Nachweis 6.0 2 mit φ LT = 0.34 geschweißte I-Profile: h/b ≤ 2 Æ 0. Ed + ΔM z .3. Ed + ΔM z .k λop = α cr .76 andere Querschnitte: Æ 0.2.k ≥ 1. Ed + ΔM y .49 geschweißte I-Profile: h/b ≤ 2 Æ 0. Rd k zz 6.3.3 α LT ] ≤1 [ ( ⋅ 1 − 2 ⋅ λ LT − 0.0 γ M1 4 ( ) * Anwendungsgrenzen .34 h/b > 2 Æ 0. aus Biegedrillknickkurve (6.4 β 0.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Tabelle 1. Ed N Ed + k zy + k zz ≤1 χ z ⋅ N Rd χ LT ⋅ M y .3.3. Ed M z. Klasse 2 μz μz N Ed N cr.y Wpl.z.Rd ( ) Wel.Rd C mz M pl.6 5 ⎟ ⎢⎜ ⎥ wz Wpl.y ⎜ ⎢ ⎥ C zy = 1 + wy − 1 ⎜ 2 − 14 n − d pl LT ≥ 0.Ed M z.Ed 4 5 + λ z Cmy χ LT M pl.7 aLT 4 0.6 2 1. y wy 1 0.6 wz Wel. y ⎞ 2 1. y ⎠ M y.Ed λ0 mit d LT = 2 aLT 4 0. Tabelle A.z C my C mLT C mz Plastische Querschnittswerte der Klasse 1.z 1− wy = wz = npl = Wpl.Ed 2 mit bLT = 0.z.1 + λ z C my χ LT M pl.z ⎥ ⎠ ⎦ M y.5 N Ed N Rk / γ M1 Cmy siehe Tabelle A.1 + λ z C my χ LT M pl.y w 1 0.2 I a LT = 1 − T ≥ 0 Iy ) λ0 ⎤ ⎞ ⎟ n − c ⎥ ≥ 0.z 1− 1 C yy μy C my C mLT N 1 − Ed N cr.Einleitung Tabelle 1.y Wel.z ⎡⎛ ⎤ Wel.y. y.z ⎛ ⎞ 1. y 1− N Ed N cr.Rd ( 2 ⎡⎛ C 2 λ max C yz = 1 + (wz − 1) ⎢⎜ 2 − 14 mz 5 ⎢⎜ wz ⎣⎝ 2 mit cLT = 10 aLT ≤ 1.z LT ⎟ pl wy Wpl.Rd M pl.z Hilfswerte: N Ed N cr. y μy = N 1 − χ y Ed N cr.y 1− μy Cmz N 1 − Ed N cr.Rd 2 ⎡⎛ ⎤ 2 λ max ⎞⎟ C my wy Wel.z μz = N 1 − χ z Ed N cr.4: EC3-1-1.6 z N Ed C yz wy 1− N cr.6 2 C yy = 1 + wy − 1 ⎢⎜ 2 − C my λ max − C my λ max ⎟ n pl − bLT ⎥ ≥ ⎟ wy wy ⎢⎣⎜⎝ ⎥⎦ Wpl.6 2 1.y.y wy ⎟ ⎠ ⎣⎝ ⎦ M y.5 ≤ 1. Anhang A.1 [3]: Interaktionsbeiwerte kij – Methode 1 Bemessungsannahmen Interaktionsbeiwerte kyy Elastische Querschnittswerte der Klasse 3. Klasse 4 Cmy CmLT C mz kyz kzy kzz μy C my C mLT N Ed N cr. y μy N Ed N cr.z μz 1− C mz N 1 − Ed N cr.Ed λ0 mit eLT = 1.5 a LT λ 0 χ LT M pl.z ⎝ ⎠ M y.6 C zy wz μz 1 N Ed C zz 1− N cr.y.z Wel.6 2 2 C zz =1 + (wz − 1) ⎜⎜ 2 − C mz λ max − C mz λ max − eLT ⎟⎟ npl ≥ wz wz Wpl.Rd 5 . 0 2 C mLT = C my εy = εy = M y. y ) ε y a LT 1 + ε y a LT a LT ⎛ N ⎜1 − Ed ⎜ N cr.T = ideale Verzweigungslast für Drillknicken IT = St. y M y.TF ⎠⎝ gilt: Cmy = Cmy.2 [3] λ LT = Schlankheitsgrad für Biegedrillknicken Für λ 0 ≤ 0. z. 2 und 3 für Querschnitte der Klasse 4 Ncr. Venant’sche Torsionssteifigkeit Iy = Flächenträgheitsmoment um die y-y Achse 6 .0 Für λ 0 > 0.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Tabelle 1. z ⎝ ⎞⎛ N ⎟⎜1 − Ed ⎟⎜ N cr .0 + 1 − C my.TF ⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 4 ⎛ N ⎜1 − Ed ⎜ N cr .0 in Tabelle A.0 Cmz = Cmz. B. ψy = 1.2 C1 4 ⎛ N ⎜1 − Ed ⎜ N cr .4 (fortgesetzt): Interaktionsbeiwerte kij – Methode 1 ⎧λ y λ max = max ⎨ ⎩λ z λ0 = Schlankheitsgrad für Biegedrillknicken infolge konstanter Biegung.0 CmLT = 1.y = ideale Verzweigungslast für Knicken um die y-y Achse Ncr.0 Cmz = Cmz.T ⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ≥1 für Querschnitte der Klassen 1. z ⎝ ⎞⎛ N ⎟⎜1 − Ed ⎟⎜ N cr .Ed N Ed A W el. z ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞⎛ N ⎟⎜1 − Ed ⎟⎜ N cr.2 C1 gilt: ( C my = C my.z = ideale Verzweigungslast für Knicken um die z-z Achse Ncr.Ed Aeff N Ed Weff. Ed ( x) ⎠ ⎝ M (x) M (x) Mi.i 7 . 0 = 0.79 + 0.36 ⋅ (ψ i − 0.i ⎞N ⎛ π 2 EI i δ x C mi. Tabelle A.2 [3]: Äquivalente Mometenbeiwerte Cmi.Ed(x) ist das größere der Momente My. 0 = 1 + 0.0 – Methode 1 Momentenverlauf Cmi.33) N Ed N cr.03 N Ed N cr.0 ψ M1 M1 − 1 ≤ψ ≤ 1 C mi . 0 = 1 − 0.18 N Ed N cr.Ed |δx| ist die größte Verformung entlang des Bauteils C mi.0 = 1 + ⎜ 2 − 1⎟ Ed ⎟ N cr. i C mi.Einleitung Tabelle 1. Anhang A.5: EC3-1-1.21 ⋅ ψ i + 0.Ed oder Mz.i ⎜ L M i. und H-Querschnitte und rechteckige Hohlquerschnitte.2 ⎟ ⎜ χ N / γ y Rk M1 ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ N Ed ⎟ ≤ C my ⎜1 + 0.1 [3]: Interaktionsbeiwerte kij für verdrehsteife Bauteile – Methode 2 Bemessungsannahmen InterArt des elastische Querschnittswerte plastische QuerschnittsaktionsQuerschnitts der Klasse 3. Tabelle B.6 χ z N Rk / γ M1 ⎟⎠ ⎝ ) ) ⎛ ⎞ N Ed ⎟ C mz ⎜⎜1 + λ z − 0. Anhang B. Klasse 2 beiwerte kyy I-Querschnitte rechteckige Hohlquerschnitte ⎛ ⎞ N Ed ⎟ C my ⎜1 + 0.6λ z χ z N Rk / γ M1 ⎟⎠ ⎝ ⎛ ⎞ N Ed ⎟ ≤ C mz ⎜⎜1 + 0. darf der Beiwert kzy = 0 angenommen werden.6 kzz kzy I-Querschnitte rechteckige Hohlquerschnitte 0.Ed belastet sind. Klasse 4 werte der Klasse 1.8 χ z N Rk / γ M1 ⎟⎠ ⎝ ( ) Für I.8 kyy 0. 8 .6λ y ⎜ ⎟ χ N / γ y Rk M1 ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ N Ed ⎟ ≤ C my ⎜1 + 0.6 χ z N Rk / γ M 1 ⎟⎠ ⎝ ⎛ ⎞ N Ed ⎟ ≤ C mz ⎜⎜1 + 1.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Tabelle 1.8 ⎟ ⎜ χ N / γ y Rk M1 ⎠ ⎝ kyz I-Querschnitte rechteckige Hohlquerschnitte kzz 0.6 ⎟ ⎜ χ N / γ y Rk M1 ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ N Ed ⎟ C my ⎜1 + λ y − 0.4 χ z N Rk / γ M 1 ⎟⎠ ⎝ ( I-Querschnitte kzz rechteckige Hohlquerschnitte ⎛ ⎞ N Ed ⎟ C mz ⎜⎜1 + 0.6: EC3-1-1. die auf Druck und einachsige Biegung My.6 kyy ( ⎛ ⎞ N Ed ⎟ C mz ⎜⎜1 + 2λ z − 0.2 χ z N Rk / γ M1 ⎟⎠ ⎝ ⎛ ⎞ N Ed ⎟ ≤ C mz ⎜⎜1 + 0. 05αh 0.2(–ψ) – 0.9 bzw.25) χ z N Rk / γ M1 kzz aus Tabelle B.05 ≥ ⎢1 − ⎥ ⎣ (C mLT − 0.25) χ z N Rk / γ M 1 ⎦ ⎡ ⎤ N Ed 0.25) χ z N Rk / γ M 1 ⎦ ⎡ ⎤ N Ed 0.95 + 0. Klasse 2 kyy kyy aus Tabelle B.7: EC3-1-1.2 + 0.4ψ ≥ 0.95 + 0.4 –0.4 0≤ψ≤1 0.4 0.3 [3]: Äquivalente Mometenbeiwerte Cm – Methode 2 Momentenverlauf Cmy und Cmz und CmLT Bereich Gleichlast –1 ≤ ψ ≤ 1 0 ≤ αs ≤ 1 –1 ≤ αs < 0 0 ≤ αh ≤ 1 –1 ≤ αh < 0 Einzellast 0. Anhang B. Cmz und CmLT sind in der Regel unter Berücksichtigung der Momentenverteilung zwischen den maßgebenden seitlich gehaltenen Punkten wie folgt zu ermitteln: Momentenbeiwert Biegeachse In der Ebene gehalten Cmy y-y z-z Cmz z-z y-y CmLT y-y y-y 9 .05αh(1 + 2ψ) 0.1 λ z (CmLT − 0.1 λ z ⎢1 − ⎥ ⎢⎣ (C mLT − 0.1 – 0. Tabelle B. Cmy.90 + 0.4: k zy = 0.1 [3] kyy aus Tabelle B.1 [3] kyz aus Tabelle B.25) χ z N Rk / γ M 1 ⎥⎦ ⎡ ⎤ N Ed 0.1 [3] kzy ⎡ ⎤ N Ed 0.8αs ≥ 0.05λ z ⎢1 − ⎥ ⎣ (C mLT − 0.8αs ≥ 0.1 [3] kyz kyz aus Tabelle B.25) χ z N Rk / γ M 1 ⎦ für λ z < 0.8αs ≥ 0.6 + λ z ≤ 1 − kzz aus Tabelle B.95 + 0.9 angenommen werden.10αh –1 ≤ ψ < 0 0.4 –1 ≤ ψ ≤ 1 0.4 –1 ≤ ψ ≤ 1 0.4 0. Anhang B.8αs ≥ 0.8: EC3-1-1.8αs ≥ 0.1 [3] Tabelle 1.8αs ≥ 0.4 –1 ≤ ψ < 0 0.2 [3]: Interaktionsbeiwerte kij für verdrehweiche Bauteile – Methode 2 Bemessungsannahmen Interaktielastische Querschnittswerte onsbeiwerte der Klasse 3.1 [3] kzz N Ed 0.1 ≥ ⎢1 − ⎥ ⎣ (C mLT − 0.Einleitung Tabelle 1. Klasse 4 Plastische Querschnittswerte der Klasse 1.1(1-ψ) – 0.05αh 0.2 + 0.10αh(1 + 2ψ) Für Bauteile mit Knicken in Form seitlichen Ausweichens sollte der äquivalente Momentenbeiwert als Cmy = 0.90 + 0. Tabelle B.90 + 0.6 + 0. Cmz = 0.10αh 0≤ψ≤1 0. die aus Walzprofilen oder vergleichbaren. y .625 ≤ ψ ≤ 1 L stable = (60 − 40 ⋅ψ ) ⋅ ε ⋅ i z für − 1 ≤ ψ ≤ 0.3 Gleichförmige Tragwerksabschnitte mit I. y ⎞⎛ f y ⎞ 2 1 ⎛ N Ed ⎞ 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ 57.3.4 ⎝ A ⎠ 756 ⋅ C12 ⎜⎝ A ⋅ I t ⎟⎠⎜⎝ 235 ⎟⎠ Abstand zwischen Verdrehbehinderungen bei linearem Momentenverlauf und Druckkraft ⎞ ⎛ M pl .85 ⋅ 10 C n Lk c .1 Gleichförmige Bauteile aus Walzprofilen oder vergleichbaren geschweißten I-Profilen Abstand zwischen seitlichen Stützungen 38 ⋅ i z Lm = ⎛ W pl2 . Zulässiger Maximalabstand 6. y .3. Rk ⎟ Ls = C m Lk ⎜ ⎜ M N . y ⎞⎛ f y ⎞ 2 1 ⎛ N Ed ⎞ 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ 57.4 ⎝ A ⎠ 756 ⋅ C12 ⎜⎝ A ⋅ I t ⎟⎠⎜⎝ 235 ⎟⎠ Abstand zwischen seitlichen Stützungen bei Vouten mit zwei Flanschen 38 ⋅ i z Lm = 0.9: Regelungen für „stabile Abschnittslängen“ Kap.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Tabelle 1.85 ⋅ ⎛ W pl2 .5. Rk + a ⋅ N Ed ⎟ ⎠ ⎝ Abstand zwischen Verdrehbehinderungen bei nichtlinearem Momentenverlauf und Druckkraft L s = C n Lk BB.2 Voutenförmige Bauteile. ohne erhebliche Druckbelastung Abstand zwischen seitlichen Stützungen Lstable = 35 ⋅ ε ⋅ i z für 0. y ⎞⎛ f y ⎞ 2 1 ⎛ N Ed ⎞ 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ 57.oder H-Querschnitt mit h/tf ≤ 40 · ε unter linearer Momentenbelastung.3.625 BB.4 ⎝ A ⎠ 756 ⋅ C12 ⎜⎝ A ⋅ I t ⎟⎠⎜⎝ 235 ⎟⎠ Abstand zwischen Verdrehbehinderungen bei nichtlinearem oder linearem Momentenverlauf und Druckkraft bei Vouten mit drei Flanschen Ls = C n Lk c Abstand zwischen Verdrehbehinderungen bei nichtlinearem oder linearem Momentenverlauf und Druckkraft bei Vouten mit zwei Flanschen Ls = 0. geschweißten I-Profilen bestehen Abstand zwischen seitlichen Stützungen bei Vouten mit drei Flanschen 38 ⋅ i z Lm = ⎛ W pl2 . min M pl . Auch die Biegedrillknickkurven erlauben keine mathematische Überführung in eine Biegeknickkurve für den Sonderfall des Biegeknickens ohne Drilleffekt.2 konsistent. 5. c und a gemäß EN 1993-1-1.Einleitung Tabelle 1.9 (fortgesetzt): Regelungen für „stabile Abschnittslängen“ mit ε= ψ = Lk = 235 fy M Ed . 11 .3.1.3. Cm. die Biegedrillknickkurven für Biegedrillknicknachweise dagegen nicht.2 sind mit den Imperfektionsannahmen für Biegeknicken nach Kap 5. geometrische Abweichungen der Stabachse von ihrer idealen Lage und mit Ansatz der Mindeststreckgrenze durchgeführt wurden. alle Einheiten in [N] und [mm] Eine Prüfung dieser Regelungen macht folgendes klar: 1. 2. Anhang BB. obwohl phänomenologisch das Biegeknicken als Sonderfall des Biegedrillknickens betrachtet werden kann. da.4 + ⎜ E ⎝ ⎞⎛ h ⎟⎜ ⎟⎜ t ⎠⎝ f ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 ⎛ f y ⎞⎛ h ⎞ 5. Die Imperfektionsregelungen für das Biegeknicken und das Biegedrillknicken sind auch nicht konsistent. gelten diese für die Biegedrillknickkurven a priori nicht. die Imperfektionsregelungen für Biegedrillknicken dagegen nicht. Die Knickkurven für Biegeknicknachweise von Bauteilen nach Kap. Cn. Die Biegedrillknickkurven sind vielmehr das Ergebnis von „Abschätzungen“. 6.2 entsprechen der Anforderung nach ausreichender Zuverlässigkeit durch ihre Definition über Bauteilversuchsauswertungen nach EN 1990 – Anhang D.3 [3]. Rd 600 f y ⎛ ⎜ 5. die mit Finite-Elemente-Berechnungen mit bestimmten Annahmen für Eigenspannungsverteilungen im Querschnitt. die mathematische Überführung der Biegedrillknickimperfektion in die Biegeknickimperfektion für diesen Sonderfall nicht möglich ist. Die Imperfektionsregelungen für das Biegeknicken nach Kap.3. 3. Während also für die Biegeknickkurven die Zuverlässigkeitsanforderungen der EN 1990 erfüllt sind.4⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ − 1 ⎜ ⎟ ⎝ E ⎠⎝ t f ⎠ sowie C1. 3. die eine Interaktion unnötig macht. wird in Kap.2. Der Gedanke.3 gleichwertig zu sein. Der Eurocode 3 – Teil 1-1 enthält eine große Anzahl von Alternativen und Sonderregelungen für bestimmte Fälle. die anderen Regelungen dagegen von Öffnungsklauseln für nationale Festlegungen im Rahmen der Nationalen Anhänge Gebrauch machen. die Biegeknickregelungen europaweit einheitlich sind.1 und Kap 6. die neben den „Standardnachweise“ nach Kap 6. 6. 6.3 fehlt eine Regelung wie - andere Randbedingungen als die „Gabellagerung“ - andere Querschnitte als I-Profile z.B. um mit den Interaktionsnachweisen in Kap.B. z.B. [-Profile - zusätzliche Torsionsbelastungen in Richtung der Imperfektionsannahmen zu behandeln sind. während der Bearbeitung der Nationalen Anhänge erarbeitete Verbesserung doch noch zu erreichen.3. das auch bei gemischter Belastung eine allgemeingültige Knick-Biegedrillknickkurve verwendet werden könnte. dass „Biegeknicken“ und „Biegedrillknicken“ verschiedene Stabilitätsphänomene mit unterschiedlichen „Knickkurven“ χc und χLT sind. Die Interaktionsnachweise für Biegeknicken und Biegedrillknicken nach Kap.3. dass nur wenige Regelungen.3.3. aber nicht zu Ende geführt. 12 . Die Grundlagen dieser Regelungen und ihre Rechtfertigung durch statistische Versuchsauswertungen oder Ableitungen aus Imperfektionsannahmen oder aus den Standardnachweisen sind nicht bekannt. Damit wird der Gedanke verfolgt. 6. Hier besteht die große Chance für eine umfassende Darstellung des „allgemeinen Verfahrens“.3. eine zunächst nicht geglückte europäische Harmonisierung der Technischen Regelungen während der Entstehungszeit des EN 1993-Teil 1 durch eine spätere. Hier setzt die Zielsetzung der vorliegenden Arbeit an. da im „allgemeinen Verfahren“ der Fall nicht geregelt wird. Diese unzureichenden Eigenschaften der bestehenden Stabilitätsregelungen im Eurocode 3 – Teil 1-1 zu Biegeknicken und Biegedrillknicken äußern sich darin. 5. zwischen denen bei „gemischter Belastung“ zu Interpolieren ist.3 gehen a priori davon aus.2 stehen. wie zusätzliche Querbiegungsbelastung in Richtung der Imperfektionsansätze zu behandeln sind. Bei den Interaktionsnachweisen in Kapitel 6.3. z.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 4. bei voutenförmigen Trägern nach Anhang BB. 6.4 im Rahmen des „allgemeinen Verfahrens“ verfolgt. Querschnittswahl. Im Kapitel 3 wird auf der Basis der Lösungen für den in Kapitel 2 gelösten Stabilitätsfall mit Belastung in der Hauptebene des Bauteils und Stabilitätsausweichen 13 .1 verglichen.und Verdrehtheorie oder als allgemeingültiger Bauteilnachweis mit BiegeknickBiegedrillknickkurven. 3. Damit ergibt sich eine allgemeingültige Biegedrillknickkurve. Dieser Ansatz erlaubt Nachweise auf verschiedenen Stufen. Der allgemeingültige Biegedrillknicknachweis ist hinsichtlich zusätzlicher Biegebelastungen und Torsionsbelastungen in Richtung der angesetzte Imperfektionen zu erweitern. das Biegeknickphänomen und das Biegedrillknickphänomen umfassenden Ansatzes für die Imperfektionen.1 angegebenen Biegedrillknickregelungen ist mit dem allgemeingültigen Biegedrillknicknachweis zu überprüfen. Aus den europäisch einheitlichen Regelungen für den Biegeknicknachweis ist ein allgemeingültiger „Biegedrillknicknachweis“ zu entwickeln. indem für die Imperfektionsannahme für alle Stabilitätsfälle von Streben der Ansatz einer Vorkrümmungsverteilung entsprechend der Knickeigenform für den niedrigsten Eigenwert gemacht wird. 4. Dieses erfolgt aufgrund eines allgemeingültigen. bei dem der Biegeknicknachweis als Sonderfall abfällt.4 Inhalt der Arbeit In Verfolgung der gesteckten Ziele besteht die Arbeit aus folgenden Abschnitten: In Kapitel 2 wird aus dem Nachweis für Biegeknicken ein entsprechender Nachweis für den allgemeinen Fall des Biegedrillknickens hergeleitet. Belastungen als ausreichend zuverlässig zu verifizieren. Die Ergebnisse werden mit denen der Regelungen in EN 1993 – Teil 1.Einleitung 1. 1. 2. 5. für die die Biegeknickkurve ein Spezialfall ist und eine Lösungsmöglichkeit für alle möglichen Belastungen in der Haupttragebene und Randbedingungen.3 Zielsetzung Die vorliegende Arbeit hat folgende Ziele: 1. Der „allgemeingültige Biegedrillknicknachweis“ ist anhand von Versuchsergebnissen und FEM-Berechnungen für einen umfassenden Anwendungsbereich hinsichtlich Randbedingungen. Die Genauigkeit der in EN 1993 – Teil 1. nämlich als Querschnittsnachweise mit Finiten-Elementen oder mit der Biege. Die praktische Handhabbarkeit des allgemeingültigen Biegedrillknicknachweises ist anhand typischer Anwendungsbeispiele zu demonstrieren. 14 . Diese Querbiegebelastung und Torsionsbelastung wird nach den bereits für die Anfangsimperfektion verwendeten Knickeigenformen reihenmäßig entwickelt und mit einem Konvergenzbeschleuniger so abgekürzt. die planmäßig Querbiegung und Torsion erzeugt.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage quer zur Hauptebene eine Erweiterung vorgenommen. dass eine gute Näherungslösung ohne Reihenentwicklung entsteht. Das Kapitel 4 zeigt die Zuverlässigkeit der entwickelten Verfahren anhand von Versuchsauswertungen. Im Kapitel 5 werden einige ausgewählte Anwendungsfälle behandelt. bei der neben der Belastung in der Haupttragebene auch eine Belastung in der Nebenebene vorgesehen wird. Die Ergebnisse werden wieder mit denen der Regelung in EN 1993-1-1 verglichen. Das Kapitel 6 liefert eine Zusammenfassung und die Schlussfolgerungen für eine Verbesserung des Eurocode 3. Diese beschrieben die vorhandenen Knickstab-Versuche mit dem Modell des gelenkig gelagerte Knickstabes mit Hilfe der Theorie 2.1. die Rechtfertigung durch eine Zuverlässigkeitsanalyse mit Versuchsergebnissen fehlte. einer geometrischen Imperfektion ℓ/1000 und dem Mindestwert der Streckgrenze fy ausgingen und zu einer EKS-Veröffentlichung mit Tabellen für „Europäische Knickbeiwerte“ führten [6]. Imperfektionen setzen sich aus strukturellen Imperfektionen. die von standardisierten Eigenspannungsverteilungen abhängig von Querschnitt und Herstellung.1. die die Wirkung aus strukturellen und geometrischen Imperfektionen in sich vereint. die geometrischen Imperfektionen und Werkstoffeigenschaften Knickbeiwerte errechnet wurden. Ordnung mit Verwendung von Imperfektionen.und Biegedrillknickversuchen dadurch zu erklären. Ordnung mit einer sinusförmigen geometrischen Ersatzimperfektion. Hier setzen die historischen Versuche an. die Ergebnisse von Biegeknick.1. 2.2 Referenz Modell nach Maquoi-Rondal Ein neuer Eurocode-konformer Ansatz für ein Referenzmodell kam von MaquoiRondal [7]. siehe Bild 2. Besonders hervorzuheben sind hierbei die Berechnungen von Beer und Schulz [4][5].Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise 2 Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise 2. Für die Entwicklung des Eurocode 3 waren diese Knickbeiwerte nicht brauchbar. die einen Kleiner-GleichVergleich mit Versuchsergebnissen gestatteten. dass mit deterministischen Annahmen für die Eigenspannungsverteilungen.B. wie z. die Ergebnisse als Einzelwerte für bestimmte Schlankheiten angegeben waren. und geometrischen Imperfektionen zusammen. Eigenspannungen.1 Anwendung der Theorie 2. 2. Sie kamen also nicht als Referenzmodell in Frage. da: 1. Ordnung An oberster Stell der hierarchischen Gliederung für die Bemessungsregeln für Stabilitätsnachweise von Stäben steht die Methode der Theorie 2. 15 . die nicht durch eine Formel glatt beschrieben werden konnten.1 Wesen des Knickstabnachweises 2. sowie zur Berücksichtigung von Modellungenauigkeit des verwendeten Modells und vor allem zur Anpassung der Ergebnisse an die charakteristischen Werte der statistischen Verteilung der Versuchsergebnisse nach EN 1990 – Anh. zur Berücksichtigung aller Parameter die nicht im vereinfachten Modell nach Bild 2. welches sich z. z.B.1 enthalten sind (z. für I-Profile unter VerwenM R AFl ⋅ h h ≈ ≈ ergibt.B. Für bestimmte I-Querschnitte mit einem Imperfektionsbeiwert von α = 0. D [2].Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Bild 2.1: Gelenkig gelagerter Knickstab mit geometrische Anfangsimperfektion Die Amplitude dieser geometrischen Ersatzimperfektion wurde durch Maquoi/Rondal mit e0 = MR ⋅ (λ − 0. dem Imperfektionsbeiwert.2 )⋅ α NR (2. dung eines elastisches Modells zu N R 2 ⋅ AFl 2 - einen Anteil aus der Schlankheit λ .34 und einer Streckgrenze von fy = 235 N/mm² ergibt sich somit für große Schlankheiten λ eine entsprechende geometrische Ersatzimperfektion von: 16 .B. bei I-Profilen λ= - 2 AFl f y l 2 EAFl h 2 2 ⋅ π 2 = l 4 h π fy E einem Anteil α. strukturelle Imperfektionen in Form von Schweißeigenspannungen).1) beschrieben und enthält somit - einen Anteil MR / NR aus der Querschnittsgestalt und dem Modell für die Querschnittsbeanspruchbarkeit. Bild 2. Die alten “Europäischen Knickbeiwerte” von Beer und Schulz [5] sind somit durch die neuen an Versuchen kalibrierten „Europäischen Knickkurven“ abgelöst. Werden in dieses Modell die Schnittgrößen aus Bild 2. ergibt sich die Lösungsformel für die “Europäischen Knickkurven” χ (λ ) . bilden zusammen das Referenzmodell an oberster Stelle der hierarchischen Gliederung für Biegeknicken.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise e0 1 4 ≈ ⋅ ⋅ 0. Beide.1 eingesetzt.und Biegebeanspruchbarkeit besteht.2) ermöglichen.34 ⋅ l 2 π fy E ≈ 0. muss auch das für die Berechnung verwendete Tragfähigkeitsmodell zur Kennzeichnung des Imperfektionsansatzes mit herangezogen werden. die den Knicknachweis N Ed = Rk γM = χ ⋅ N pl γM (2. das Tragfähigkeitsmodell und der Imperfektionsansatz für den gelenkigen Knickstab mit konstantem Querschnitt und konstanter Druckkraft.2 zeigt das Tragfähigkeitsmodell für den Querschnittsnachweis.108 ⋅ 1 1 ≈ 30 277 Da der Anpassungsfaktor α für die geometrische Ersatzimperfektion nach EN 1990 . das aus einer elastischen Interaktion für die Druck. Bild 2.Anhang D [2] aus dem Vergleich von experimentell (Rexp) und rechnerisch ermittelten Tragfähigkeiten (Rcalc) entstanden ist.2: Ableitung des Abminderungsbeiwertes χ 17 . (2) Aus der Differentialgleichung für den Knickstabes mit Anfangsimperfektion EI ⋅η el′′ ( x) + N E ⋅η ges ( x) = 0 (2.4) woraus sich die Gesamtstauchung ε des Knickstabes zu 2 2 N E π 2 η ges − e 0 ε= + ⋅ EA 4 l2 (2.6) folgt mit ⎛π ⋅ x ⎞ ⎟ ⎝ l ⎠ η ges ( x) = (η el + e0 ) ⋅ sin ⎜ 2 ⎛π ⋅ x ⎞ ⎛π ⎞ η el′′ ( x) = −η el ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ sin ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠ ⎝l⎠ durch Einsetzen in die Differentialgleichung (2.3) folgt ε geom 2 2 u − u 0 π 2 η ges − e 0 = = ⋅ l 4 l2 (2.6) Bild 2. siehe Bild 2.3: Lagerverschiebung u eines ausgelenkten Knickstabes Mit 1 u= 2 l (η ′( x) ) dx = 1 2 0 ∫ 2 l 2 π2 ⎛ π ⎛ π ⋅ x ⎞⎞ ⋅η ⎜⎜η ⋅ ⋅ cos⎜ ⎟ ⎟⎟ dx = ⋅ l l 4 l ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 0 ∫ 2 (2. NE u ℓ η ges = η el + e0 Bild 2.3.5) ergibt.4: Herleitung der Lastverformungsbeziehung eines Knickstabes mit Anfangsimperfektion 18 .Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage (1) Die Längssteifigkeit eines Knickstabs mit Anfangsimperfektion e0 leitet sich überwiegend aus seiner Querverformung ab. 9) (3) Durch Einsetzen von Gleichung (2.10) (4) Mit der Grenzzustandsbeziehung der Querschnittstragfähigkeit η ges = 1− χ M R ⋅ χ NR (2.13) Bild 2.8) Daraus folgt die Gesamtamplitude η ges NE N crit = e0 + e0 N 1− E N crit = e0 ⋅ 1 N 1− E N crit (2.7) erhält man die zusätzlich Auslenkung in Stabmitte η el = N E ⋅ e0 2 ⎛π ⎞ EI ⋅ ⎜ ⎟ − N E ⎝l⎠ NE N crit = e0 N 1− E N crit (2.9) in Gleichung (2. ⎜ ⎟ ⎝l⎠ ⎝ ⎠ (2.11) folgt durch Einsetzen in Gleichung (2.5) über die Definition der Traglast im Grenzzustand NE = χ ⋅ NR (2.7) Durch Umformen von Gleichung (2.4 (Fortsetztung): Herleitung der Lastverformungsbeziehung eines Knickstabes mit Anfangsimperfektion 19 .12) die Lastverformungsbeziehung für den Abfallenden Ast ⎛⎛ ⎜⎜1− NE 2 2 N π ⎛ e0 ⎞ ⎜ ⎜ N R M R ⋅⎜ ⎟ ⋅⎜ ⋅ ε= E+ EA 4 ⎝ l ⎠ ⎜ ⎜ N E e0 ⋅ N R ⎜ ⎜⎝ N R ⎝ 2 ⎞ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ − 1⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ (2.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise 2 ⎛ ⎞ π ⎛ ⎞ ⎜ EI ⋅ ⎜ ⎟ − N E ⎟ ⋅η el = N E ⋅ e0 .5) lässt sich die Lastverformungsbeziehung für den Knickstab mit Anfangsimperfektion formulieren: ⎛⎛ ⎜⎜ 2 N E π 2 ⎛ e0 ⎞ ⎜ ⎜ 1 ε= + ⋅⎜ ⎟ ⋅⎜ NE EA 4 ⎝ l ⎠ ⎜ ⎜ ⎜1− ⎜⎝ N crit ⎝ 2 ⎞ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ − 1⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ (2. 2 mit dem Imperfekti- onsansatz für e0 zeigt. Genauere FEM-Berechnungen (GMNIA).2 von der gleichen Definition für MR (elastisch oder plastische) ausgehen müssen. ergibt sich für die verwendeten Tragfähigkeitsmodelle a) elastischer Querschnittsnachweis 1 b) linear plastischer Querschnittsnachweis 2 die selbe resultierende Tragfähigkeit und somit der selbe Abminderungsbeiwert χ (λ ) .6. NEd / Npl χ 2 1 1 MR = Mel 2 MR = Mpl ε [‰] Bild 2.1) und der Querschnittsnachweis in Bild 2.5 der Abminderungsbeiwertes χ (λ ) mit Hilfe der der „Europäischen Knickkurve“ zugrundeliegenden Last-Verformungsbeziehung ermittelt. dass das Niveau von χ ermittelt mit dem Referenzmodellen 1.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Der Vergleich der Grundgleichung für den Nachweis in Bild 2. mit werkstofflicher und geometrischer Nichtlinearität unter Berücksichtigung angepasster geometrischer und struktureller (Eigenspannungs-) Imperfektionen bestätigen 1. Zur Erläuterung wird in Bild 2.5 zeigt. siehe auch [8]. 20 . dass der Imperfektionsansatz aus Gleichung (2. bei unterschiedlichem Verformungsverhalten. Die Herleitung der Funktionen für den ansteigenden und abfallenden Ast können Bild 2. siehe Bild 2. Das bedeutet.5: Last-Stauchungskurve nach dem Maquoi-Rondal-Modell unter Verwendung unterschiedlicher Querschnittsnachweise Wie Bild 2. dass sich in der Formel für χ (λ ) die Abhängigkeit der Querschnittsgestalt MR /NR herauskürzt.4 entnommen werden. 2 und 3 sehr gut erreicht wird. 4 0. dass die Eigenspannungsansätze für gewalzte 4 und geschweißte 5 Profile etwa gleichgroße χ-Werte ergeben.7 zeigt die so ermittelten Europäischen Knickkurven für Knickstäbe mit dem Imperfektionsbeiwerten α.36 4 FEM rolled profile 5 FEM welded profile ε [‰] Bild 2.6: Vergleich von Last-Stauchungskurven nach dem MaquoiRondal-Modell und nach FEM-Berechnungen 2. dass die linear-elastische Querschnittstragfähigkeit für die Bestimmung von χ ausreichend ist. χ [-] 1.2 1. 3.5 1.0 a0 a b c d 0.2 0. und Tabelle 2.3 Europäische Knickkurven für Biegeknicken Bild 2. gemäß [3] Gl. 6.25 1.5 a) .0 0 0.25 2. jedoch die Stauchungsfähigkeit der Druckstäbe auf dem Traglastniveau unterschiedlich ist. da sich größere plastische Verformungen erst im überkritischen Bereich der Lastverformungslinie einstellen.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise 2.1 zeigt die Zuordnung dieser Imperfektionsbeiwerte zu bestimmten Querschnitten und Ausführungen.8 0.1. NEd / Npl 1 3 χ 4 5 1 MR = Mel 3 MR = Mpl / (1 .5 0.4 Euler 1.25 0.7: Europäische Knickspannungslinien [3] 21 .6 0.75 2 2.75 1 1.5 2.75 3 ⎯λ [-] Bild 2.0. 1: Auswahl der Knicklinien in Abhängigkeit des Querschnitts und der Knickrichtung gemäß Eurocode 3 [3] 22 .Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Tabelle 2. 6 0.8 A5.2 1.9: Teilsicherheitsbeiwerte γM1 [9] 23 .9 liefert den Verlauf des Teilsicherheitsbeiwertes γM aus der Versuchsauswertung nach EN 1990 – Anhang D.4 2. S235 0.8 2.0 1.10: HEM340.2 0.0 Bild 2.4 0.5: IPE160.2: IPE160.2 0.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise Bild 2.6 2.8: Versuchsergebnisse und Knickkurven.5 λ [-] 2 2.11: HEM340.2 2. S235 A5.5 3 Bild 2.95 0. und Bild 2.13 Normenvorschlag 1.6: IPE160.8 zeigt einen Vergleich mit Versuchsergebnissen.0 2.5 1 _1. S235 A5. S235 A5.4: IPE160. S235 0. 1.05 1.4 _ λ 1.7: IPE160.8 1.10 1.08 1.00 0.3: IPE160. Knicken um die schwache Achse (KSL b) [9] 1. S235 χ [-] A5.1: IPE160. S235 A5.8 3.4 A5.0 0 0.15 Versuchsauswertung 1.0 KSL c KSL d Euler 0. S235 A5.00 1. S235 0.0 0.2 KSL a0 KSL a KSL b 1.08 γM 1.6 A5.6 1. ⋅ N Ed η crit ′′ .1 Allgemeines Die Verwendung einer Sinus-Funktion als Anfangsimperfektion ist auf den einfachen Knickstab gemäß Bild 2. Bei abweichender Lagerungsbedingungen ergibt sich die Imperfektion in Abhängigkeit der Eigenform ηcrit.15) a1. a2. Ordnung M II ( x) = − EIη el′′ = 24 ′′ ( x) e0 ⋅ N Ed η crit . siehe auch [10].max η crit c0 = e0 κ 2 (2.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 2.max 1− N crit (2.4 Verwendung der Europäischen Knickkurve für andere Randbedingungen 2.21) .17) (2. die durch die Gleichung η crit = a1 sin (κ x ) + a 2 cos(κ x ) + a 3κ x + a 4 (2.1. a4 = von den Lagerungsbedingungen abhängige Konstanten beschrieben ist.1. mit beidseitig gelenkiger Lagerung. Die Differentialgleichung kann in der bekannten Form η el′′′′ + κ 2η el′′ = qinit N ′′ = − Ed η init EI EI (2.1. a3. beschränkt.20) und das Biegemoment nach Theorie II.max crit EI η crit (2.18) geschrieben werden.14) mit κ2 = N crit EI (2.16) mit η init ( x) = c0 η crit ( x) ′′ . unveränderlichem Querschnitt und konstanter Normalkraftbeanspruchung.4.19) Die aus dieser Imperfektion folgende zusätzliche Ersatzlast in Querrichtung lautet qinit ( x) = N Ed e0 ⋅ N crit ⋅η ′′ ( x) ′′ .max crit EI η crit (2. Hieraus ergibt sich die äquivalente geometrische Ersatzimperfektion ηinit zu η init ( x) = e0 ⋅ N crit ⋅ η ( x) ′′ . 4.10. Ordnung zu: κ= π l ⎛π x ⎞ ⎟ ⎝ l ⎠ η crit ( x) = a1 sin ⎜ 2 π ⎛π x ⎞ ′′ ( x) = − a1 ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ sin ⎜ η crit ⎟ ⎝l⎠ ⎝ l ⎠ η init ( x) = eo ⎛π ⎞ ⎜ ⎟ ⎝l⎠ ⎛π ⎞ ⎜ ⎟ ⎝l⎠ 2 2 ⎛π x⎞ ⎛π x ⎞ ⋅ sin ⎜ ⎟ = eo ⋅ sin ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ 2 ⎛π x ⎞ ⎛π ⎞ q init ( x) = eo ⋅ ⎜ ⎟ N Ed ⋅ sin ⎜ ⎟ ⎝l⎠ ⎝ l ⎠ N Ed ⎛π x ⎞ M II ( x) = e0 sin ⎜ ⎟ N Ed l ⎠ ⎝ 1− 2 π EI l 2 (2) Für den beidseitig eingespannten Knickstab.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise 2. gemäß Bild 2.1.1 ergeben sich somit die relevanten Gleichungen zur Bestimmung der Beanspruchung gemäß Theorie II.2 Beispiele (1) Für den beidseitig gelenkig gelagerten Knickstab nach Bild 2. folgt äquivalent: 2π l ⎛ ⎛ 2π ⎞ ⎞ x ⎟ ⎟⎟ η crit ( x) = a1 ⎜⎜1 − cos⎜ ⎝ l ⎠⎠ ⎝ κ= 2 2π ⎞ ⎛ 2π ′′ ( x) = a1 ⎛⎜ η crit ⎟ cos⎜ ⎝ l ⎠ ⎝ l η init ( x) = eo ⎛ 2π ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠ ⎛ 2π ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠ ⎞ x⎟ ⎠ 2 2 ⎛ ⎛ 2π ⎞ ⎞ x ⎟ ⎟⎟ = eo ⋅ ⎜⎜1 − cos⎜ ⎝ l ⎠⎠ ⎝ ⎛ ⎛ 2π ⎞ ⎞ x ⎟ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜1 − cos⎜ ⎝ l ⎠⎠ ⎝ 2 ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ q init ( x) = eo ⋅ ⎜ x⎟ ⎟ N Ed ⋅ cos⎜ ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ N Ed ⎛ 2π ⎞ M II ( x) = e0 x⎟ ⋅ cos⎜ N Ed l ⎠ ⎝ 1− EI ⋅ (2π l )2 25 . 11.65 ⋅ l folgt für die Imperfektionsersatzlast q und das Biegemoment M II 26 . gemäß Bild 2.10: Beidseitig eingespannter Knickstab unter konstanter Normalkraftbeanspruchung NEd (3) Während in den beiden vorangegangenen Beispielen die Stelle der maxima′′ .Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Bild 2. ′′ max ≈ 0. so wird der Zusammenhang im folgenden Beispiel etwas deutlicher.max mit der Stelle der maximalen Durchbiegung η crit .max len Krümmung η crit zusammenfällt und sich die Notwendigkeit eines zum Krümmungsverlauf affinen Imperfektionsansatzes nicht offensichtlich ergibt.4937 ⎧⎛ ⎛ ε ⋅ x ⎞⎞ ⎛ε ⋅ x ⎞ ε ⋅ x⎫ ⎟ ⎟⎟ ⋅ ε + sin ⎜ ⎟− ⎬ l ⎭ ⎝ l ⎠⎠ ⎝ l ⎠ η crit ( x) = a1 ⎨⎜⎜1 − cos⎜ ⎩⎝ 2 ⎧⎪ ε 3 ε ⋅ x⎞ ⎛ε ⎞ ⎛ ε ⋅ x ⎞⎫⎪ ⎛ ′′ ( x) = a1 ⎨ ⋅ cos⎜ sin η crit − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎬ ⎝ l ⎠⎪⎭ ⎝ l ⎠ ⎝l⎠ ⎪⎩ l 2 ⎛ ⎛ε ⋅ x⎞ ε ⋅ x ⎛ ε ⋅ x ⎞⎞ ⎜⎜1 − cos⎜ ⎟− ⎟ ⎟⎟ ⋅ ε + sin ⎜ l ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠⎠ ⎝ η init ( x) = eo ⎛ ε ⋅ xd ⎞ ⎛ ε ⋅ xd ⎞ ε ⋅ cos⎜ ⎟ ⎟ − sin ⎜ ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ Mit x d = x ηcrit. ergibt sich die Lösung der Differentialgleichung zu κ= ε l mit ε = 4. Für einen Knickstab mit einem gelenkig gelagerten und einem eingespannten Ende (Eulerfall III). Ordnung.98 Bild 2.65 ⋅ ε ) − sin (0.6 ⋅ l konkret zu M II ( xηcrit .12 lautet die Differentialgleichung 27 .2172 ⋅ N Ed N Ed 1− EI ⋅ (ε l )2 ⎛ε ⋅ x⎞ ⎛ε ⋅ x⎞ ⎟ − sin ⎜ ⎟ l ⎠ l ⎠ ⎝ ⎝ ⋅ ε ⋅ cos(0. Mit x d = x ηcrit.11: Knickstab mit einem gelenkig gelagerten und einem eingespannten Ende unter konstanter Normalkraftbeanspruchung NEd (4) Für einen elastisch gebetteten Druckstab mit Anfangsimperfektion gemäß Bild 2. ′′ max und somit an der Stelle des größten Biegemomentes nach Theorie 2.65 ⋅ ε ) 2 q init ( x) = eo ⋅ N Ed = eo ⋅ N Ed ⋅ M II ( x) = e0 1− = e0 ε ⋅ cos⎜ − 4.0 EI ⋅ (ε l )2 Das entsprechende Biegemoment an der Stelle der maximalen Durchbiegung ist kleiner und ergibt sich mit x ηcrit.65 ⋅ ε ) ε ⋅ cos⎜ ⎛ ⎛ε ⋅ x⎞ ⎛ ε ⋅ x ⎞⎞ ⋅ ⎜⎜ ε ⋅ cos⎜ ⎟ − sin ⎜ ⎟ ⎟⎟ l l ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ Die Stelle der maximalen Beanspruchung liegt somit an der Stelle der maximalen Krümmung x d = x ηcrit.3864 ⎛ ⎛ε ⋅ x⎞ ⎛ ε ⋅ x ⎞⎞ ⋅ ⋅ − ε cos sin ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠⎠ l2 ⎝ N Ed N Ed EI ⋅ (ε l )2 − 0. ′′ max ≈ 0.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise ⎛ε ⋅ x⎞ ⎛ε ⋅ x⎞ ⎟ − sin ⎜ ⎟ l ⎠ l ⎠ ⎛ε ⎞ ⎝ ⎝ ⋅⎜ ⎟ ⋅ ⎝ l ⎠ ε ⋅ cos(0. max ) = M II ( x d ) ⋅ 0.65 ⋅ ε ) − sin (0. max ≈ 0.65 ⋅ l folgt M II ( x d ) = e0 1− N Ed N Ed ⋅ 1. 12: Elastisch gebetteter Knickstab unter Normalkraftbeanspruchung NEd Bei Annahme einer sinusförmigen Knickeigenform mit der Wellenlänge ℓ ergibt sich die Eigenform zu ⎛π x ⎞ ⎟ ⎝ l ⎠ 2 ⎛π x ⎞ ⎛π ⎞ ′ ′ η crit = − a1 ⎜ ⎟ sin ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ l ⎠ 4 π⎞ ⎛π x ⎞ ⎛ ′′′′ = a1 ⎜ ⎟ sin ⎜ η crit ⎟ ⎝2⎠ ⎝ l ⎠ η crit = a1 sin ⎜ Damit folgt 4 2 ⎡ ⎤ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎢ EI ⋅ ⎜ ⎟ − N crit ⋅ ⎜ ⎟ + c ⎥ ⋅ a1 ⋅ sin ⎜ x ⎟ = 0 ⎝l⎠ ⎝l⎠ ⎝l ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ und 2 N crit ⎛l⎞ ⎛π ⎞ = EI ⋅ ⎜ ⎟ + c ⋅ ⎜ ⎟ ⎝π ⎠ ⎝l⎠ 2 dessen Minimum mit 2 2 ∂ N crit ⎡ ⎛π ⎞ ⎛l⎞ ⎤ 2 = ⎢− EI ⋅ ⎜ ⎟ + c ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ = 0 ∂l ⎝l⎠ ⎝ π ⎠ ⎦⎥ l ⎣⎢ zu l π =4 EI c bestimmt werden kann.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage η el′′′′ + κ 2η el′′ + ′′ − N Edη init q c η el = init = EI EI EI Bild 2. womit sich die kritische Knicklast zu 28 . Biegedrillknickbeanspruchbarkeit von Druckstäben und Biegeträgern. sondern im Hinblick auf die notwendige Konsistenz der Bemessungsregeln auch das Referenzmodell für die Ermittlung der 1.1 und Bild 2.1.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise N crit = EI ⋅ 1 EI c +c⋅ EI = 2 EI ⋅ c c ergibt. 3. 29 . da das Referenzmodell in allen diesen Anwendungsbereichen als Sonderfall enthalten ist. Knickbeanspruchbarkeit von Druckstäben mit über der Längsachse veränderlichem Querschnitt und veränderlicher Druckkraft und elastischer Bettung. siehe auch [10]: κ2 = N crit c = 2⋅ EI EI ⎛ EI ⎞ x ⎟⎟ c ⎠ ⎝ η crit = a1 sin ⎜⎜ 4 ′′ = −a1 η crit η imp = ⎛ EI ⎞ EI x ⎟⎟ sin ⎜⎜ 4 c c ⎠ ⎝ c eo EI EI 2 c 2 ⎛ EI ⎞ ⎛ EI ⎞ c x ⎟⎟ = eo ⋅ x ⎟⎟ ⋅ sin ⎜⎜ 4 ⋅ sin ⎜⎜ 4 c EI c ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ qimp = eo ⋅ N Ed ⋅ 2 ⋅ M II ( x) = e0 1− ⎛ EI ⎞ c x ⎟⎟ ⋅ sin ⎜⎜ 4 EI c ⎠ ⎝ N Ed N Ed 2 EI ⋅ c ⎛ EI ⎞ x ⎟⎟ ⋅ sin ⎜⎜ 4 c ⎠ ⎝ 2. Beulbeanspruchbarkeit von nichtausgesteiften und ausgesteiften Blechfeldern. Die maßgebenden Gleichungen für den elastisch gebetteten Knickstab können somit wie folgt zusammengefasst werden.5 Schlussfolgerung Das Referenzmodell für die Ermittlung der Knickbeanspruchbarkeit für Stäbe mit konstanten Querschnitten und konstanter Druckkraft nach Bild 2.2 ist nicht nur das Referenzmodell für mögliche Vereinfachungen. 2. 1 (11) Gleichung (5.23) E crit Der Imperfektionsansatz lautet in Verallgemeinerung von EN 1993-1-1 [3].22) wobei αcrit der Faktor an der Druckkraftverteilung NE(x) ist.24) d wobei der Referenzpunkt x = xd der Stelle der maßgebenden Beanspruchung entspricht. wie Knicken mit veränderlicher Druckkraft und veränderlichen Querschnitten und Biegedrillknicken bei beliebiger Belastung nach den Eurocode-Regeln konsistent mit dem Referenzmodell des einfachen Knickstabes nachgewiesen werden kann.25) 30 .2 Verallgemeinerung des Knickstabnachweises 2. 2. Diese Lösung erfüllt die Diffeform η crit mitsamt ihren Ableitungen η crit rentialgleichung in der Form ′ )′ = 0 ′′ )″ + c( x) ⋅ η crit + α crit ⋅ ( N E ( x) ⋅ η crit q = (EI ( x) ⋅ η crit { 144244 14444244443 3 Konstante innerer Widerstand + α crit ⋅ Rcrit äußere Einwirkung (2. Die Lösung unter Beachtung der Randbedingungen wird numerisch durchgeführt und führt zu dem Eigenwert αcrit und der Eigen′ und η crit ′′ .24) erfüllt die Differentialgleichung (2. Absatz 5.9) ⎡ α ⋅ N E ( x) ⎤ η init = ⎢e0 crit ⋅ η crit ( x) ⎥ ′ ′ EI ( x ) η ( x ) ⋅ crit ⎦ x= x ⎣ (2. Der Ansatz (2.2. Die Anwendung auf Beulen wird im Rahmen der vorliegenden Arbeit nicht behandelt.25) und alle Randbedingungen { } ⎡ α crit N E ( x) ⎤ ′′ ( x ) )″ + c ( x ) η crit ( x ) + α crit ( N E ( x ) η crit ′ ( x ) )′ = 0 e (EI ( x) η crit 0 ⎢ ⎥ ′′ ( x ) ⎦ x = x ⎣ EI ( x ) η crit 1444 42444 4 3d Konstante (2.1 lautet die Differentialgleichung für den Druckstab mit veränderlichem Querschnitt und veränderlicher Druckkraft auf elastischer Bettung: (EI ( x) ⋅ η ′′)″ + α crit (N E ( x) ⋅ η ′)′ + c( x) ⋅ η = 0 (2. mit dem der Verzweigungswert der Last erreicht wird.1 Lösungsansatz Anstelle der Differentialgleichung in Bild 2.3.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Im Folgenden wird gezeigt. dann lautet der Querschnittsnachweis unter Beachtung der Theorie 2. Ordnung M EI ( x) = αE α crit ⎡ α crit N E ( x) ⎤ ′′ ( x) ⋅ EI ( x) η crit ⋅ ⎢e 0 ′′ ( x) ⎥⎦ x = x ⎣ EI ( x) η crit d (2.29) = α E ⋅ N E ( x d ) ⋅ e0 an. Kennzeichnet der Wert x = xd den ungünstigsten Querschnitt des Druckstabes.26) hervorgerufene innere Widerstand RE in Gleichung (2. c(x) = 0 πx η crit = sin l für gelenkige Endlagerung die Werte α crit = EI ⋅ π 2 l2 NE 2 π πx ′′ = ⎛⎜ ⎞⎟ sin η crit l ⎝l⎠ und somit für xd = ℓ/2: η init = e0 [1] sin πx l .Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise und liefert im Sonderfall NE(x) = NE = konst. Ordnung: 31 . Der durch die äußere Last α E ⋅ N E ( x) ≤ α crit N E ( x) (2.28) Dieses Biegemoment nimmt an der Stelle x den Wert M EI ( x) = αE ⋅ e0 ⋅ α crit ⋅ N E ( x) α crit (2.27) Somit lautet das über die Länge x verteilte Moment infolge der Imperfektion ηimp nach Theorie 1. EI(x) = EI = konst.23) lautet RE = αE α crit {(EI ( x) ⋅η ′′ crit )″ + c( x) ⋅ η crit } = αα {α E crit crit ′ )′ ⋅ ( N E ( x) ⋅ η crit } (2. mit beliebiger Bettung und beliebigen Randbedingungen ohne Änderung gelten.30) Beanspruchung aus der Ebene heraus Beanspruchung in der Ebene Mit der Abkürzung ⎡ N R ( x) ⎤ ⎥ ⎣ N E ( x) ⎦ x = x α ult .k ( x) M R ( x) 1 − ⎢ α crit ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ =1 ⎥ ⎥ ⎦ x = xd (2.k ( x) α ult .k ( x d ) = ⎢ (2. dass die Europäischen Standardknickkurven auch für Druckstäbe mit beliebiger Normalkraft.24) auch die anzusetzenden geometrischen Ersatzimperfektionen bezogen.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage ⎡α e N ( x) ⎤ 1 ⋅ = 1 + ⎢ E 0 E ⎥ ⎣ M R ( x) ⎦ x = xd 1 − α E α crit 14444 4244444 3 14442444 3 ⎡α E N E ( x) ⎤ ⎥ ⎢ ⎣ N R ( x) ⎦ x= xd (2.30) ⎡ ⎢ α N ( x) αE 1 E ⎢ + ⋅ R ⋅ e0 αE ⎢α ult .31) d folgt aus Gleichung (2.32) Setzt man ⎡ ⎤ ⎥ ⎢⎣α ult .34) χ ( xd ) = ⎢ αE λ ( xd ) = ⎢ d ⎡ M ( x) ⎤ ⋅ α ⋅ (λ − 0.32) zu χ ( x d ) + χ ( x d ) ⋅ α ⋅ (λ ( x d ) − 0. Damit wurde gezeigt.35) dann kann Gleichung (2.2) ⋅ 1 1 − χ ( xd ) ⋅ λ 2 ( xd ) =1 (2.33) ⎡ α ult . 32 . wenn sie auf die Querschnittswerte und die Normalkraft NE(x) des Querschnitts an der maßgebenden Nachweisstellt xd angewendet werden. also zu der gleichen Gleichung χ (λ ) wie in Bild 2. Auf ′′ ( x)]x = x an diesem Querschnitt werden das charakteristische Moment [EI ( x) ⋅ η crit d nach Gleichung (2.2. die zu den Europäischen Standard-Knickkurven führt.und Steifigkeitsverteilung.2) e0 = ⎢ R ⎥ ⎣ N R ( x ) ⎦ x = xd (2.k ( x) ⎥⎦ x = xd (2.36) umgeformt werden.k ⎤ ⎥ ⎣⎢ α crit ⎦⎥ x = x (2. max crit EI ⋅ η crit (2.k.13: 1. an der die Funktion αult.k.2. bei η crit Die Imperfektion lautet somit η imp ( x) = e0 ⋅ α crit N E ⋅ η ( x) ′′ .B. wegen der Bedeutung von Lösung 2 für das Biegedrillknicken werden im Folgenden dennoch beide Lösungswege näher erläutert. liegt die Bemessungsstelle x = xd in der Regel zwischen . wo η crit ′′ .k(x) ein Minimum annimmt (Æ αult. ten ist.max .2 Nachweismöglichkeiten Für den maßgebenden Querschnitt gilt folgendes. an der die Krümmung η crit Für die einfache Nachweisführung sind zwei Lösungen möglich.k(x). die es dem Endanwender erlauben den maßgebenden Nachweis zu führen. . 2.9).der Stelle xult. αult.k(xref) vereinbart (z. Bei veränderlichem Wert αult. dass die Knickbeanspruchbarkeit unter Verwendung der „falschen“ Eingangsgröße richtig ermittelt wird.der Stelle xη crit ′′ .max .Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise 2. Normalerweise ist die Lösung 1 der einfachere Weg. Bei konstanten Querschnittsverhältnissen und konstanter Normalkraft ist αult. hervorgerufen durch einen veränderlichen Querschnitt. eine veränderliche Normalkraftverteilung NE (x) oder beides. für standardisierte Fälle werden Bemessungshilfen zur Ermittlung der Nachweisstelle xd entwickelt. Bild 2.min) und die Knickkurven dann für diese so modifiziert.min) und ′′ ein Maximum annimmt. so dass der Nachweis für diese Stelle mit den unveränderten Europäischen Knickkurven geführt werden kann.k ′′ am größkonstant und die maßgebende Nachweisstelle xd liegt dort.k. vgl. ohne die genaue Krümmungsfunktion zu kennen: 1. 33 .37) siehe auch EN 1993-1-1 [3]. Gleichung (5. 2. für standardisierte Fälle werden Bezugsstellen xref zur Ermittlung von αult. gegeben durch die Gleichung ε ( x) = αE α ult .2.2 ) ⋅ 1 1− αE α crit ⋅ ′′ ( x) EI ( x) ⋅ η crit (2. vgl. M R ( x) ⋅ N R ( x d ) sein Maximum annimmt.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Bild 2. mit EI(x) = EI = konst. Bild 2. vereinfacht sich Gleichung (2.13: Schematische Darstellung der Lage der Nachweisstelle xd 2.3 Ermittlung der maßgebenden Bemessungsstelle xd (Lösung 1) Um die Europäische Knickkurve nach Gleichung (2. Für den Sonderfall eines konstanten Querschnitts.39) .k ( x) + αE α ult .14. muss die maßgebende Bemessungsstelle xd ermittelt werden.36) unverändert anwenden zu können.38) zu ε ( x) = 34 αE α ult ..38) ′′ ( x d ) EI ( x d ) ⋅ η crit mit b( x) = N R ( x) ⋅ M R ( x d ) . für die der Ausnutzungsgrad ε(x).2 ) ⋅ 1 α 1− E α crit ⋅ ′′ ( x) η crit ′′ ( x d ) η crit (2.k ( x) ⋅ α ∗ ⋅ (λ ( x d ) − 0. und EA(x) = EA = konst.k ( x) + αE α ult .k ( x) ⋅ α ∗ ⋅ b( x) ⋅ (λ ( x d ) − 0. 14 zeigt das die Berücksichtigung der Krümmungsfunktion η crit Bemessungswerten χtrue(x) führt: χ true (x) aus χ true + χ true ⋅ α ∗ ⋅ (λ ( x d ) − 0. so kann das Extremum mittels einfacher Ableitung ∂ε ( x) ! = 0 ∂x (2.calc ( x) = α ult . siehe Bild 2.15. so wird der Querschnittsnachweis am Systemrand mit χ = 1.40) ermittelt werden.41) ′′ ( x d ) η crit α E .Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise Bild 2.14: Ermittlung der Nachweisstelle xd.2 ) ⋅ 1 1 − χ true ⋅ (λ ( x d )) 2 ⋅ ′′ ( x) η crit = 1 (2.42) α E . ′′ (x) zu wahren Bild 2.true ( x) = α ult .2 ) ⋅ 1 1− χ ⋅λ2 =1 (2.k ( x) ⋅ χ calc ( x) Besitzt die Funktion ε true (x) kein Extremum über die gesamte Bauteillänge.k ( x) ⋅ χ true ( x) wohingegen die Verwendung der Europäischen Knickkurve zu den Bemessungswerten χcalc(x) führt: χ calc (x) aus χ + χ ⋅ α ∗ ⋅ (λ − 0. wenn ε(x) ein Extremum besitzt Ist die Funktion ε(x) bekannt.0 maßgebend. 35 . Bild 2.k .k α ult .15: Ermittlung der Nachweisstelle xd.min α ult .36) 36 (2.k (2.k .min αE αE = ⋅ α ult .k.min α ult . Beide Werte stehen dem Anwender in der Regel ohne Weiteres zur Verfügung.4 Modifizierung der Knickkurve (Lösung 2) Eine anwendungsorientierte Vereinbarung für die Modifizierung der Knickkurven besteht in der Verwendung des Lasterhöhungsfaktors αult.und Biegedrillknickkurven ermöglichen. wenn ε true (x) kein Extremum besitzt 2.k .k .43) 1424 3 1424 3 χ mod f und λ= α ult . die eine exakte Berechnung unter Verwendung der Standard Biegeknick.min 14243 14243 λmod 1 f so folgt aus Gleichung (2.min und des kritischen Lasterhöhungsfaktors αcrit der sich aus der Eigenwertanalyse ergibt. Setzt man χ= α ult .k α ult .Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Für die praktische Anwendung können Bemessungstafeln zur Ermittlung der maßgebenden Bemessungsstelle xd entwickelt werden.44) .2.k = ⋅ α crit α crit α ult . k . χmod ⋅ f ⋅ α ult .2 ⎟ ⋅ ⎜ f ⎟ ⎝ ⎠ 1− χ 1 χ mod ⋅ f + χ mod ⋅ f ⋅ α ∗ ⎜ mod ⋅f ⋅ 2 λ mod =1 (2.4 Euler 1.3 2.min = f = χ ⋅ α ult .k χ.4 0.3 0.0 λ .8 3.2 0.46) 2 λ mod f mit ⎡ ⎛ λ mod ⎞ λ2 ⎤ − 0.k das gleiche Ergebnis: χ α ult .6 0.5 ⋅ ⎢1 + α ∗ ⋅ ⎜ ⎣⎢ (2.16 ist exemplarisch eine unmodifizierte einer modifizierte Knickkurve gegenübergestellt.0 2.5 0.5 2.0 1.d = χ mod ⋅ α ult .8 1.5 1.0 1 f 0.45) f Somit ergibt sich die modifizierte Knickkurve zu χ mod = 1 f 1 φ + φ2 − (2. λmod Bild 2. k (2.0 0. Beide ergeben mit unterschiedlichen Eingangswerten αult.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise ⎛ λ mod ⎞ − 0.8 χ 0.16: Modifizierte Knickkurve χmod und unmodifizierte Knickkurve χ 37 .8 2.47) In Bild 2.48) 1.3 1.2 ⎟ + mod ⎥ ⎜ f ⎟ f ⎥⎦ ⎝ ⎠ φ = 0.0 0.2 χmod 1. 5 Berechnungsbeispiel Im Folgenden wird das genaue Vorgehen an einem theoretischen Beispiel vorgestellt. mit dessen Hilfe der Ausnutzungsgrad 2.17 gegebenen. den Krümmungsverlauf η crit ε true ( x) und somit der maßgebenden Querschnitt exakt bestimmt werden kann. An dieser Stelle ergeben sich die Bemessungswerte zu NEd (xd) = 341.16.17: Abmessungen und Systemdaten des Berechnungsbeispiels Stütze mit Doppelvoute Die Eigenwertanalyse unter Berücksichtigung der nichtlinearen Normalkraftverteilung und der gegebenen Geometrie liefert zwei wichtige Ergebnisse für die „genaue“ Berechnung: 1. zusaman der die maximalen Krümmung η crit men. so dass eine Berechnung mit αult. beidseitig gelenkig gelagerten Knickstab mit über der Höhe veränderlichem Querschnitt ergibt sich aufgrund des fiktiven.4 kN NRk (xd) = 946. Diese Rückzugsmöglichkeit auf der sicheren Seite ist häufig der zweckmäßigste weil einfachste Weg. dass die modifizierte Knickkurve χmod stets oberhalb der unmodifizierten Knickkurve liegt.5 [-] Streckgrenze: fy = 235 N/mm² Dichte: ρ = 400 t/m³ Wichte: γ = 3924 kN/m³ Belastung: NEd(x) = ∫ gEd(x) dx = γ ⋅ ∫ V(x) dx ~ = 50 ⋅ ρStahl ~ = 50 ⋅ γStahl Bild 2. System: Querschnitt: Daten: Höhe: Breite: Blechdicke: Länge: gE β·a β·b a b t l = = = = 100 100 10 10 mm mm mm m Variationsparameter: β = 1.1 kN 38 . 2.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Man erkennt in Bild 2.855 m. den kritischen Lasterhöhungsfaktor αcrit = 1.662 ′′ ( x) .min und den unveränderten Knickkurven immer auf der sicheren Seite läge.max auftritt. Für den in Bild 2.k.. dessen exakte Lösung nicht mehr trivial ist und somit die ideale Voraussetzung bietet die Möglichkeit des Verfahrens herauszustellen. bei xd = 0..2. Im vorliegenden Beispiel fällt die Bemessungsstelle x = xd mit der Stelle ′′ . extrem hohen Eigengewichtes eine nichtlinear ansteigende Normalkraftbeanspruchung. k . Damit folgt für den Baulteilnachweis Æ α Ed = χ ( xd ) ⋅ α ult .min = 705.1 = 2.771 = = 1.996 .486 ⋅ 1.096 1. mit einem Imperfektionbeiwert α = 0.771 341.486 und der Nachweis ergibt sich somit zu Æ α Ed = χ ( x min ) ⋅ α ult .4 Mit Hilfe dieser beiden Lasterhöhungsfaktoren kann der wahre Abminderungsbeiwert.771 = = 1.392 bestimmt werden.088 > 1.0 γ M1 Beim vereinfachten Nachweis. zu χ (λ ( x d ) ) = 0. über die Schlankheit an der Bemessungsstelle xd α ult .971 < 1. 353.291 α crit 1.min 1.k .49 für Knicken um die schwache Achse von geschweißten Querschnitten.min 0.996 = = 0.k .0 1.2 Mit α crit folgt λmod = α ult .k ( x d ) 2.k .k ( xd ) 0.k ( x d ) = 946.662 α crit χ (λmod ) = 0. 1.996 = = 1.662 λ ( xd ) = unter Verwendung der Europäischen Standard Knickkurve.0 γ M1 Bei der Verwendung der modifizierten Knickkurve nach Bild 2.0 .Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise Dies führt zu α ult .min an der Stelle x = 0 m ermittelt α ult . Die ursprüngliche Ermittlung des Beiwertes f beruht dabei auf folgender Berechnung: 39 .16 wird der Nachweis wie folgt geführt: Der Modifikationsparameters f wird aus Bemessungshilfen entnommen. wird α ult .392 ⋅ 2.0 = 1. α ult .18 40 . (2.k 2.0 verursacht durch ein plastisches Querschnittsversagen im Bereich xd. Für die FEM-Berechnung muss zunächst eine äquivalente geometrische Ersatzimperfektion ηinit proportional zur ersten Eigenform ηcrit bestimmt werden.49.).o.0 1.FEM = ± 0.49 = 12.α = 0. die sich gemäß Gl.1 N R ( xd ) folgt ⎤ = 24.89 m.0 mm 946.2 ) ⋅ 0.720 .2 ) ⋅ α = ⋅ (1.996 = = 1.545 ⋅ 1.k .max ⎥⎦ ⎢⎣ EI ( x) ⋅ η crit x = xd η init = e0 ⎢ ergibt.46) χ mod (λmod . siehe Bild 2.096 1.291 − 0.4 Unter Verwendung dieser Ersatzimperfektion führt die GMNIA-FE-Analyse zu einem Lasterhöhungsfaktor der Grenztraglast von Æ α Ed = 1. 323 10 ⎦ ⎣ ⎡ η init = 12.min 1.545 und somit der Bauteilnachweis Æ α Ed = χ mod ⋅ α ult .min 0.0 ⋅ ⎢ 1. Mit einer Amplitude e0 an der Stelle x = xd von e0 = M R ( xd ) 21.1 mm −7 ⎥ ⋅ ⋅ ⋅ 210000 4028156 3 . f = 0.k.720) = 0.088 > 1.0 γ M1 der zum gleichen Ergebnis führt.996 = = 1. Mit λ mod = α ult .19) zu ⎡ α cr ⋅ N E ( x) ⎤ ⎥ ′′ .k .2 ⋅ (λ ( x d ) − 0. wie der direkte Nachweis an der Bemessungsstelle xd (s.996 = = 0.662 α crit folgt der Abminderungsbeiwert χmod gemäß Gleichung (2.107 > 1.662 ⋅ 341.min geführt werden.771 Unter Kenntnis des Beiwertes f kann der Nachweis nun unter Verwendung der „falschen“ Eingangsgröße αult.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage f = α ult .k .min 1. 89 m Die Zahlenwerte der Endergebnisse sowie der wichtigsten Zwischenschritte sind in Tabelle 2.und Ergebnisfunktionen sind in Bild 2.18: GMNIA-FE-Analyse: plastisches Querschnittsversagen im Bereich xd.2 zusammengefasst. Alle sich aus der genauen Analyse ergebenden Eingangs.FEM = ± 0.19 graphisch dargestellt. 41 .Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise Bild 2. Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Tabelle 2.0 kN 946.49) 0.4 kN 353.1 kN 705.088 1.1 mm x = xd 0.720 - χ (α = 0.486 0.291 1.1 kN αult.107 Nachweis an der Stelle x( α ult.19: Doppelt gevoutete Stütze unter veränderlicher Normalkraft 42 .2 kN 341.096 - f - - 0.855 m 0m 0m 0.890 m NEd (x) 341.k.971 1.996 - αcrit 1.996 1.771 1.4 kN NRk(x) 946.0 kN 705.min ) Bild 2.2 kN 353.max ) KSL modifizierte KSL FEM (GMNIA) mit η init = 24.088 0.392 0.096 1.2: Zusammenfassung der einzelnen Berechnungsschritte und – ergebnisse des Berechnungsbeispiels „Doppelt gevoutete Stütze“ Nachweis an der Stelle x( η '' crit.662 1.662 1.662 - ⎯λ 1.k 2.545 - αEd 1. 21. My.o M y . ⋅ ⋅ 1+ Iz EI wπ 2 (2. [11] [12].crit für seitliches Knicken des oberen Flansches Nz.1 entsprechende Modell für Biegedrillknicken entspricht einem Träger mit beidseitiger Gabellagerung und über der Länge konstanter Momentenbeanspruchung nach Bild 2. Fl .Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise 2.crit .crit.crit = π 2 EI z l2 Iw GI t l 2 .3. Venant’schen Torsionssteifigkeit erkennen kann.20: Grundmodell für Biegedrillknicken eines Trägers mit I-Profil Für diesen Fall gilt ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem für die Verschiebung η und die Verdrehung ϕ aus der Hauptbelastungsebene.51) infolge der St.1 Übertragung des Referenzmodells von Maquoi-Rondal Das dem Grundmodell für Biegeknicken in Bild 2. Fl .Fl.o = π 2 EI z 2⋅l 2 ⋅2 Iw = N z . Venant’scher Torsionssteifigkeit und die Vergrößerung dieses Momentes durch den Faktor ε It = 1 + GI t l 2 EI wπ 2 ≥1 (2. Bild 2.o ⋅ h Iz (2. Die Biegedrillknickeigenform des Querschnitts ist durch die Verhältnisse der Verformungen 43 .E Bild 2.3 Herleitung des Biegedrillknicknachweises 2. Sinus-Ansätze für ηcrit and ϕcrit führen zu dem Biegedrillknick-Eigenwert M y . vgl.E l My.20.50) bei Vernachlässigung St.49) in dem man das kritische Moment My.crit . die folgende Verschiebungen der Flansche ergeben: Iw ⋅ ϕ crit Iz η crit .Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage ϕ crit = sin πx l Iw πx ⋅ ε It ⋅ sin Iz l η crit = (2.56) welche identisch ist mit der Imperfektion des Druckstabes nach Bild 2.54) folgen die Imperfektionen der Flansche nach Gleichung (2. (2.u = e0 ε It − 1 πx sin ε It + 1 l (2.55) ε It ± 1 πx ⋅ sin l ε It + 1 Daraus ergibt sich eine Imperfektion für den Obergurt von η init . Fl = η crit ± (2.max.52) gekennzeichnet. der bei Vernachlässigung der St. Venant’schen Torsionssteifigkeit (εIt Æ 1) verschwindet und bei großem Torsionssteifigkeitseinfluss den gleichen Wert wie der obere Flansch annimmt.24) π 2 EI Fl η init .1.Fl η crit ⎛π ⎞ =⎜ ⎟ ⎝l⎠ 2 Iw ⋅ (ε It + 1) Iz (2. Fl . Fl . Die auf die Biegedrillknickeigenform des Gesamtquerschnitts zurückgerechneten Imperfektionen lauten: 44 .o = e0 sin πx l . und für den Untergurt η init .57) also ein Wert.53) Iw πx ⋅ (ε It ± 1) ⋅ sin Iz l = Mit ′′ . Fl = e0 Iw ⋅ (ε It ± 1) Iz l2 2 π EI Fl Iw ⋅ (ε It + 1) Iz l2 = e0 ⋅ sin πx l (2. crit (2. E l 1− M y . Das Biegemoment im oberen Flansch lautet dann: M EII.27) und (2.58) πx l Indem diese Ansätze zur Ermittlung der elastischen Verformungen ϕ el und η el in die Differentialgleichungen eingesetzt werden ′′ ⎤ ⎡ EI z 0 ⎤ ⎡η el′′′′⎤ ⎡ 0 M y . E ϕ el = e0 ⋅ M y . oπ 2 l2 4 142 3 N crit .o ⋅ e0 M y. E (2. o ⋅ η el′′ . E GI t ⎦ ⎣ϕ el′′ ⎦ ⎣ M y . crit ε πx ⋅ It sin M y . crit ⋅ 1− 1 πx ⋅ sin M y. crit (2. Fl . crit t b3 = E⋅ gilt.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise ϕ init = e0 η init = e0 1 Iw ⋅ ε It Iz ε It ε It + 1 sin sin πx l (2.61) abgeleitet werden kann. E ⎤ ⎡η el′′ ⎤ ⎡ 0 M y . o = η el′′ + Iw ⎛π ⎞ ⋅ ϕ el′′ = e0 ⎜ ⎟ Iz ⎝l⎠ 2 M y . E η el = e0 M y . o = EI Fl . Fl . E ⎤ ⎡η init =⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ 0 EI ⎥ ⎢ϕ ′′′′⎥ − ⎢ M ⎢ ⎢ 0 ⎦ ⎣ϕ init ′′ ⎥⎦ w ⎦ ⎣ el ⎦ ⎣ ⎣ y . 12 Dieses Biegemoment kann man auch einfacher als mit Gleichung (2. Fl .60) M y. indem im Sinne der Gleichung (2. E ε It + 1 l 1− M y .59) erreichen. E ε It + 1 l Iw 1− M y . E l (2.28): 45 . Fl . crit πx ⋅ sin M y.59) erhält man M y. o = EI Fl . E η el′′ . crit Iz woraus die elastische Krümmung des oberen Flansches M y.62) M y .o wobei EI Fl . E M y . crit πx 1 1 sin ⋅ M y . crit 12 3 ′′ .1 und Bild 2. crit ⋅ 1− 1 πx ⋅ sin M y.E M y. crit gesetzt wird. Bild 2.62) und (2. Die weitere Ableitung für den Nachweis des gedrückten oberen Flansches erfolgt nach Bild 2. E l M y . o l 2 ⋅ e0 ⋅ M y.63) zusammen.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage M EII. Fl . indem für die Ausnutzung des oberen Flansches aus der Belastung in Hauptebene des Trägers N E .21: Biegedrillknickproblem und Imperfektion 46 (2. Ordnung = π 2 EI Fl . Fl N R . Fl ⋅ EI Fl .21 fasst die Ableitung der Gleichung (2. Bild 2. o ⋅ η init 1− M . E M y . E M y .R gesetzt wird.2.22 in gleicher Weise wie für den Knickstab nach Bild 2.64) . crit 142y4 3 αE α crit 144424443 1 M y. Fl = M y. o = M y.63) Moment nach Theorie 2. Ordnung 1− αE α crit 144444424444443 (2. E 1 Moment nach Theorie 1. Die Anwendung der Europäischen Biegeknickkurve liegt gegenüber der Biegedrillknickkurve wieder auf der sicheren Seite. Das führt zu α∗ = 2 λ LT α α = ε It λ Fl2 (2. je gedrungener der Querschnitt und je größer die Schlankheit ist (Vergrößerung von εIt nach Gleichung (2. die sich von der Europäischen Biegeknickkurve χ (λ ) dadurch unterscheidet.51)). dass der Imperfektionsfaktor α ∗ gegenüber α durch den Einfluss der Torsionssteifigkeit ab2 gegenüber der Schlankheit hängig vom Verhältnis der Schlankheit des Trägers λ LT 2 des oberen Flansches λ Fl modifiziert wird. [13].Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise Bild 2. 47 .65) Diese Modifizierung äußert sich in einer um so stärkeren Annäherung an die Eulerkurve.23. siehe Bild 2.22: Herleitung des Abminderungsbeiwertes für Biegedrillknicken χLT Das Ergebnis ist die Europäische Standardisierte Biegedrillknickkurve χ LT (λ ) . 9 Biegedrillknicken für ein Profil HEB 200 0.6 0.6 1.2 Momentenverteilung: 0.0 0.8 2.0 0.3 0.4 0.7 KSL a 0.5 0.8 0.6 KSL b 0.8 1.4 1.4 2.0 1.2 2.4 0.1 Trägerprofil: HE 200 B 0.1 Biegedrillknicken für einen Querscchnitt mit εIt = ∞ 1.2 0.0 2.2 1.6 2.0 0.8 ⎯λ 3.0 Bild 2.23: Vergleich der Biegedrillknickkurve für einen HEB 200-Träger unter reiner Biegebeanspruchung mit den Knickkurven a und b 48 .2 1.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage χ 1. χ 1.8 1.3.8 0.5 2.3 0.8 3.4 0.2 0.0 0.5 1.2 H 200 x 100 x 5.0 0.24 zeigt einen Vergleich der Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurve mit Versuchsergebnissen aus [14] an Trägern mit gewalztem H200x100x5.0 0.5x8 Profil unter konstantem Biegemoment My.0 2. Anhang D der Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurve für alle im Hintergrundbericht [14] angegebenen Versuche an geschweißten und gewalzten Trägern ist in Kapitel 4.1 zusammengefasst.8 2.2 Versuchsauswertungen Bild 2.24: Gegenüberstellung von Versuchsergebnisse mit der Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurven 49 .0 ⎯λ Bild 2.5 x 8* 1.5 0. Eine statistische Auswertung nach EN 1990.3 2.0 1.6 0.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise 2.3 1. k ( x) ⋅ N E .68) ′′ . Die Belastung des für die Tragfähigkeit als maßgebend betrachteten druckbeanspruchten oberen Trägerflansches besteht in dem Flanschmoment (siehe Gleichung (2.k ( x) (2. die proportional zur Biegedrillknickeigenform mit ηcrit(x) und ϕcrit(x) sind. die über der Trägerlänge veränderlich ist und unter Berücksichtigung der Verformungen in der Hauptebene ermittelt wird. Fl ( x) α ult . Die Wirkung dieser Belastung auf den für die Tragfähigkeit als maßgebend betrachteten Druckbeanspruchten Trägerflansch wird durch die Flanschlängskraft NEd(x) erfasst. Fl .67) Dabei ist αcrit der numerisch für den Biegedrillknickfall ermittelte Eigenwert.und Querrichtung des betrachteten Stabes oder Stabzuges gekennzeichnet sein.o ⋅ EI Fl . und η init Flansches. 2.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 2.66) ermittelt.o ist die imperfektionsbedingte Krümmung des oberen führt.63)): M E .1 Definition des allgemeinen Belastungsfalls Für den allgemeinen Belastungsfall für Biegedrillknicken gilt folgendes: 1. Belastung in der Haupttragebene: Die Belastung Ed in der Haupttragebene kann durch beliebig verteilte äußere Belastungen in Längs. Belastung aus der Haupttragebene: Die Belastung aus der Haupttragebene wird durch die geometrische Ersatzimperfektionen ηinit(x) und ϕinit(x) erzeugt.o ⋅ η init α crit 1 α 1− E α crit (2. Fl ( x) = α E ⋅ N E .o ( x) = αE ′′ . Fl ( x) = αE α ult . Fl . η crit Diese Ergebnisse ηcrit und ϕcrit erfüllen die gekoppelten Differentialgleichungen an jeder Stelle x und die Randbedingungen.B. die mit den ebenfalls numerisch ermittelten Eigenfunktionen ′′ und ϕ crit ′′ ermittelt werden muss. wie im Fall von Punktlagerun- 50 .20 voneinander unabhängig oder z.4. der zu N crit ( x) = α crit ⋅ N E ( x) (2. Die Ausnutzung des Trägerflansches über die Trägerlange wird durch α E ⋅ N E . Fl . Fl ( x) N R . die anders als im Fall von Bild 2.4 Verallgemeinerung des Biegedrillknicknachweises 2. ϕ crit . Venant’schen Torsionssteifigkeit. 2. Venant’schen Torsionssteifigkeit. η crit . bei Berücksichtigung der St. 2.21 unterschiedliche Verläufe längs der x-Achse. ϕ .4. . Fl ( x) = e0 ⎢ ⎢ EI η ∗// + z ⋅ ϕ ∗// M crit ⎣ Fl crit [ ] ⎤ ∗// ∗// ⎥ η crit ( x) + z M ⋅ ϕ crit ( x) ⎥ ⎦ x = xd [ ] (2.. η crit .Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise gen miteinander gekoppelt sein können.η .71) und die bezogene Eigenverformung lautet: ∗ η crit .69) = 0 und die numerisch ermittelten Lösungen sind: ∗ α crit ∗ ∗/ ∗// η crit . Im Folgenden wird die allgemeine Nachweisgleichung für den biegedrillknickbelasteten Träger in zwei Stufen abgeleitet: 1. . bei Vernachlässigung der St.2 Grundgleichung bei Vernachlässigung der Torsionssteifigkeit Die Differentialgleichungen für den allgemeinen Belastungsfall des Biegedrillknickens ohne St. ϕ crit .72) ] ∗// z M ϕ crit x = xd Damit erhält man die Krümmungsimperfektion des Flansches mit ∗// η init . Fl ∗ ⎡ α crit N E . (2. ϕ ⎣0 ⎦ w ⎦ ⎣ϕ ⎣ ⎦ 144424443 144424443 [ ( Rk∗ ∗ − α crit ⋅ )] E d∗ (2.70) Die Eigenform des Flansches ist ∗ ∗ ∗ η crit . Dadurch haben die Eigenfunktionen ϕcrit und ηcrit im Allgemeinen anders als bei dem Fall in Bild 2.73) und schließlich das Flanschmoment 51 .. ∗ ∗/ ∗// ϕ crit . Venant’sche Torsionssteifigkeit lautet: ⎡ EI z 0 ⎤ ⎡η ∗ //// ⎤ ⎡0 ⎤ ∗ ∗ ∗ ∗/ ∗/ =⎢ ⎥ ⎢ 0 EI ⎥ ⎢ ∗//// ⎥ − α crit E d η . Fl = η crit + z M ϕ crit (2... Fl = [ ∗ ∗ η crit + z M ϕ crit ∗// η crit + (2. k . Fl ⎡ α crit N E . Fl M R . Fl (λ ∗ LT ) − 0.78) ′′ + z M ⋅ ϕ crit ′′ ]x = x 1 − α E [η crit d ∗ α crit Bei Beachtung von Gleichung (2. wenn der Bemessungspunkt längs der Trägerachse mit dem Bezugspunkt x = xd für die Imperfektion übereinstimmt.2 ⋅ α ⋅ N E . Fl N R .k . Fl α E ⋅ M EII. Fl (λ ∗ LT N E .76) ′′ + z M ⋅ ϕ crit ′′ ] ⋅ [η crit − 0. Fl N R . Fl (λ ) ∗ LT − 0.75) gesetzt. Fl αE α ult . Fl N R . Fl ⋅ ′′ + z M ⋅ ϕ crit ′′ η crit 1 ⋅ = 1 (2. Fl ( x) ⎡ ⎤ 1 (2.h. Fl (λ ∗ LT ) − 0.81) . Fl N R .79) d.2 ⋅ α ⋅ 52 1 1 − χ ⋅ λ ∗2 =1 (2.2 ⋅ α ⎢ ⎥ α ′ ′ ′ ′ η ϕ ( ) z + ⋅ M crit ⎦ x = xd ⎣ crit 1− E ) ∗ α crit In die Grenzbedingung für die Beanspruchbarkeit des Trägerflansches α E ⋅ N E . Fl ( x) α = ∗E ⋅ EI Fl ⋅ e0 ⎢ ⎢ EI η ∗// + z ⋅ ϕ ∗// α crit M crit ⎣ Fl crit ∗ [ = α E ⋅ e0 ⋅ N E . Fl = α E ⋅ M R . Fl M R . so folgt das Flanschmoment α E ⋅ M EII.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage α E ⋅ M E . k .74) ∗// ( x) z M ⋅ ϕ crit ∗// ( x) + z M ⋅ ϕ crit ] x = xd Wird schließlich e0 = M R .66) und Kürzen wird daraus αE + α ult . Fl + N R .2 ⋅ α (2. xd zu der Grundgleichung ( ) χ + χ ⋅ λ ∗ − 0. kommt man mit der Beziehung χ= αE (2. Fl =1 (2. Fl ( x) [η ∗// ( x) η crit ∗// crit ( x ) + ] ⎤ ∗// ∗// ⎥ ( x) + z M ⋅ ϕ crit ( x) η crit ⎥ ⎦ x = xd [ ] (2.77) eingesetzt erhält man: αE ⋅ N E .2 ⋅ α ⋅ 1 α 1 − ∗E α crit ⋅ ′′ ( x) + z M ⋅ ϕ crit ′′ ( x) η crit =1 ′′ + z M ⋅ ϕ crit ′′ ]x = x [ηcrit d (2. Fl . Fl +αE ⋅ M R .80) α ult . 69).η ′. ϕ crit ′′ . Die weiteren Beziehungen können vom Fall ohne St. η crit . Venant’sche Torsionssteifigkeit sinngemäß übernommen werden.4. (2.84) ∗ wobei α crit der mit Hilfe von Gleichung (2.. Fl N R . Venant’sche Torsionssteifigkeit. vgl.2 ) ⋅ α ⋅ α crit 1 1− αE α crit N E .Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise also zur Gültigkeit der Europäischen Standard-Knickkurve. ϕ crit (2.86) 53 .. vgl.3 Grundgleichung bei Berücksichtigung der Torsionssteifigkeit Bei Berücksichtigung der St.74) heraus. ϕ ′)] = ⎢ ⎥ ⎢ 0 EI w − GI t ⎥ ϕ ′′′′ ⎣0 ⎦ ϕ ′′′′ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣14444 4244444 3 1442443 − α crit Rk ⋅ (2.. Fl = α E ⋅ M R . η crit ′′ .82) = 0 Ed und es ergeben sich numerisch andere Lösungen α crit ′ . ϕ . Fl ( x ) ⎡ ⎤ ′′ + z M ⋅ ϕ crit ′′ ] [η crit ⎢ ′′ ⎥ ′ ′ η z ϕ + ⋅ M crit ⎦ x = xd ⎣ crit (2. Fl ( x) ⎤ ′′ + z M ⋅ ϕ crit ′′ ] [η crit ⋅⎢ ⎥ ′′ + z M ⋅ ϕ crit ′′ ⎥ ⎢⎣η crit ⎦ x = xd (2.. Fl α = E ⋅ e0 α crit ∗ ⎡ α crit ⋅ N E . . Venant’schen Torsionssteifigkeit.73). Fl ( x) ′ ′ ′′ + z M ⋅ ϕ crit ′′ ] η init .69) ermittelte Eigenwert ist. Fl (λ LT ∗ α crit − 0. Jedoch lautet die Beziehung für die Flanschimperfektion ∗ ⎡ ⎤ α crit N E . Gleichung (2. Venant’schen Torsionssteifigkeit lautet die Differentialgleichung 0 ⎡ EI z ⎤ η ′′′′ ⎡ ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ ϕ ′′ ⎥ ⎢ ⎥ − α crit [E (η . η crit ′ . Fl = e0 ⎢ ⎥ [η crit ′ ′ ′ ′ [ ] EI η z ϕ + ⋅ ⎢⎣ Fl crit M crit ⎥ ⎦ xd (2. sondern es folgt für das Flanschmoment M E . 2.85) und schließlich M E . also unter Vernachlässigung der St. ϕ crit . . Dadurch kürzen sich die Werte α crit nicht wie in Gleichung (2.83) als beim Fall ohne St. 2.995 = = = 1. Bei dem Berechnungsbeispiel handelt es sich um einen gabelgelagerten Einfeldträger unter veränderlicher Momenten.4. Ordnung von M yII. Fl ( x) im Druckflansch ergibt.und konstanter Normalkraftbeanspruchung Infolge der Normalkraftbeanspruchung ergibt sich für die Belastung in der Hauptebene ein Moment aus Theorie 2. Mit den mit Hilfe der Computersoftware LTBeamN [17] ermittelten Verzweigungswerten 54 .2) ⋅ α ⋅ (2. 2.k . [15]: ∗ α crit 1 ⋅ =1 2 α crit 1 − χ ⋅ λ LT 1 424 3 χ + χ ⋅ (λ LT − 0.22 und kann für den Sonderfall eines linearen Endmomentenverlaufes (mit und ohne Gradient) mit Hilfe der Gleichungen (2.4 Berechnungsbeispiel Um das Verfahren nach Abschnitt 2.51) und (2. welches dem Hintergrundbericht [16] entnommen wurde. gemäß Bild 2.und konstanter Normalkraftbeanspruchung. siehe auch [13]. y M yI . Somit ist die Allgemeingültigkeit der „Europäischen Standardisierten Biegeknickkurve“ und der „Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurve“ nachgewiesen. Ed ( x) ⋅ 1 − q M .005 ⋅ M yI . wird das Vorgehen im vorliegenden Abschnitt anhand eines Beispiels demonstriert. Ed ( x) ⋅ 0. Ed ( x) . Bild 2.25.3 zu veranschaulichen.65) gelöst werden. 800 N Ed 1− 1− 81551 N y .Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Damit lautet die Nachweisgleichung für den Bemessungspunkt xd .25: Berechnungsbeispiel 2 aus [16]: BDK eines gabelgelagerten Einfeldträgers unter veränderlicher Momenten.crit Voraus sich die maximale Querschnittstragfähigkeit α ult . Ed ( x) ( ) M yI .87) α∗ Diese Gleichung entspricht der Europäischen Biegedrillknickkurve in Bild 2. . Fl ( x) α ult .max = ε true ( x d ) = 1 zu der Bemessungsstelle x d = 3.1195 ∗ α crit = 2.k . Fl ( x) α ult ..k .098 . ⋅ crit ′′ + z M ⋅ ϕ crit ′′ ]x = x [η crit d αE χ calc ( x) = αE ( ) 1 φ ( x) + (φ ( x) )2 − (λ LT ( x) )2 ( ) 2 mit φ ( x ) = 0. ⋅ crit = 1 ′′ + z M ⋅ ϕ crit ′′ ]x = x [η crit d αE αE ( ) iterativ bestimmte werden. Fl ( x) ∗ α crit 1 + ⋅ ⋅ . ′′ (x) .013 .Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise α crit = 3..2 ) + λ LT ( x ) ⎞⎟ ⎝ ⎠ 55 . Fl ( x) α crit 1 − α E α crit ′′ ( x) η ′′ ( x) + z M ⋅ ϕ crit .0 ) mit den Ergebnissen nach EN 1993-1-1.. ε Annex B = 1.006 . λ LT ( xd ) − 0.978 → ε true.7881 ′′ (x) und ϕ crit ′′ (x) kann die maßgeund den dazugehörigen Eigenformverläufen η crit bende Bemessungsstelle x = xd über die Funktion εtrue(x) des wahren Ausnutzungsgrades ∗ α crit 1 ε true ( x) = + ⋅ ⋅ ..true ε Annex A = 1. χ (x ) und ε (x) Die Verläufe für die rechnerischen und wahren Funktionen für η crit sind gegeben durch die Gleichungen: ε calc ( x) = αE χ calc ( x) ⋅ α ult .. = 1. Fl ( x) α crit 1 − α E α crit ′′ ( x) ! η ′′ ( x) + z M ⋅ ϕ crit .2 ⋅ α ⋅ α ult .k .. Dies führt mit α E .125 .true = 0. so zeigt sich für das vorliegende Beispiel eine gute Übereinstimmung: ε true = 1 α E .5 ⋅ ⎛⎜1 + α ∗ ⋅ (λ LT ( x ) − 0. Vergleicht man nun den resultierenden Ausnutzungsgrade ε true für die gegebenen Belastungssituation ( α Ed = 1.k .k .2 ⋅ α ⋅ α ult .. ε true ( x) = λ LT ( x d ) − 0. die beiden Funktionen χtrue(x) und χcalc(x) jeweils den gleichen Wert annehmen. 56 . führt zu einer falschen Bemessungsstelle „xd“ und somit zu einer konservativen Abschätzung der rechnerischen Bemessungsgrößen χcalc(x) und εcalc(x).26 graphisch zusammengefasst. wahren Funktionsverläufe ist eine Normierung des Krümmungsverlaufes des maßgebenden Druckflansches auf den Wert der wahren Bemessungsstelle xd.26 dargestellten. max . an dem der Ausnutzungsgrad εtrue(x) ein Maximum annimmt. Aus Bild 2.26 ist ersichtlich. Ist folglich die Stelle xd aus Bemessungshilfen oder Voruntersuchungen bekannt. dass an der Stelle x = xd.27.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage χ true ( x) = α E α ult . Fl ( x) ε true ( x) Die sich für das vorliegende Berechnungsbeispiel konkret ergebenden Funktionen sind in Bild 2. siehe Bild 2. Eine näherungsweise Normierung des ′′ (x) auf den Wert ηcrit Krümmungsverlaufes η crit ′′ . so kann der exakte Wert der Tragfähigkeit direkt mit Hilfe der „Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurve“ ermittelt werden. Voraussetzung für die in Bild 2. k . 3 1.4 xd 0.2 χtrue 1.0 0.2 0.5 0.8 0.8 ⎯η”crit 0.6 εtrue 0.6 χcalc xd 0.8 xd 1.0 0.0 0.0 1.8 εcalc 0.2 1. χ (x ) und ε (x) bei Normierung des KrümmungsverBild 2.0 0 ε 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 x [cm] 1.0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 x [cm] χ 1.max ⎯η''fl 2.5 1.4 1.26: Funktionen für η crit ′′ (x) auf ηcrit ′′ ( xd ) laufes η crit 57 .2 0.0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 x [cm] ′′ (x) .4 0.3 0.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise ⎯η”crit. 8 „xd“ 1.0 1.2 „χtrue“ 1.4 0.4 1.2 0.0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 x [cm] ′′ (x) . max 58 .8 0.8 εcalc 0.6 χcalc „xd“ 0.6 „εtrue“ 0.3 ⎯η”crit.0 0.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage ⎯η''fl 2.0 0.8 0.27: Funktionen für η crit ′′ (x) auf ηcrit laufes η crit ′′ .0 0.0 0 ε 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 x [cm] 1.max 1.2 0.3 0.0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 x [cm] χ 1.2 1.5 1.4 „xd“ 0.5 ⎯η”crit 0. χ (x ) und ε (x) bei Normierung des KrümmungsverBild 2. 2. 6.3 und Tabelle 6.3.4 für hohe Schlankheitsbereich auf der sicheren Seite.2.9). Eine Verbesserung durch ∗ α LT = α LT ∗ α crit ⋅ α crit ist durch den Nationalen Anhang möglich.3.5. Gleichung (5.2.5. 2.3. 59 .3. 6. Die Angabe der Bemessungsstelle x = xd für verschiedene Momentenverteilungen kann der folgenden Tabelle 2. Die Anmerkung zu Absatz (2) „Der nationale Anhang kann die Imperfektionsbeiwerte αLT festlegen”.5.1 Allgemeines Die aus den vorherigen Kapiteln gewonnen Erkenntnisse führen für die Regelungen in EN 1993-1-1 zu den folgenden Schlussfolgerungen. Ordnung nach Abschnitt 5.11).7 liegen die Werte der EN 1993-1-1.1 (Stabilitätsnachweise für gleichförmige Bauteile mit planmäßig zentrischem Druck) ist das Verfahren mit Europäischen Standardisierten Knickkurven nach Kapitel 2.2 Das Verfahren in EN 1993-1-1. Die standardisierten Biegeknickkurven oder Biegedrillknickkurven enthalten Imperfektionsannahmen nach Abschnitt 5. was eine Vereinfachung der Bemessung ermöglicht.2. Abs. Die Anmerkung zu Absatz (3) liefert den Hinweis auf die Anwendung der „Europäischen Standardisierten Knickkurven oder Biegedrillknickkurven“.1 und 6. da er in der Anwendung der Knickkurven und Biegedrillknickkurven bereits enthalten ist. Abs.1 der vorliegenden Arbeit. Als Alternative kann der Faktor f zur Modifikation der Biegedrillknickkurven verwendet werden.3.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise 2.3 Verfahren nach EN 1993-1-1. Abschnitt 6.3 dieser Arbeit.4 der EN 1993-1-1 allgemeingültig geregelt ist. Ein expliziter Nachweis des Stabes nach Theorie 2. Tabelle 6.3 entnommen werden.5 Schlussfolgerung für die Empfehlung der national zu bestimmenden Parameter in EN 1993-1-1 2.1 und 6.2 Verfahren nach EN 1993-1-1. wie in der Anmerkung erwähnt. Nach Kapitel 2. liefert die Öffnung für die Modifikation der αLTWerte entsprechend Kapitel 2.3 und dem nachfolgenden Kapitel 2.2.3. wohingegen sie für gedrungene Profile teilweise auf der unsicheren Seite liegen.2 (11). die ebenfalls auf Bauteile mit veränderlichem Querschnitt angewandt werden können. die in Abschnitt 6.1 Das Verfahren in EN 1993-1-1.3.2 entspricht dem Verfahren mit der „Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurven“ der vorliegenden Arbeit. ist damit nicht erforderlich. Abs. (5.10) und (5.4 (2). 6.3.3. Sie hat also kein mechanisches Hintergrundmodell. jedoch χ LT .λ LT an der Bemessungsstelle x = xd nach Tabelle 2. 60 .3 ist nicht aus der „Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurve“ abgeleitet.0 1 2 2 φ LT + φ LT − β ⋅ λ LT [ ∗ ⋅ .χ LT . Die modifizierte Biegedrillknickkurve nach Gleichung (6.5.6 und Verwendung der Werte aus Tabelle 6.2. 6.0 + β ⋅ λ LT ] 1 f .χ LT = χ LT f .2 .mod − λ LT . Für die Anwendung des Verfahrens nach Abschnitt 6. Abschnitt 6. 2.2.min α crit .3 kann mit einer der folgenden Bedingungen an das Verfahren mit der „Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurven“ angepasst werden: 1.mod ≤ 1.β = ( ) 2 β ⋅ λ LT .3 der vorliegenden Arbeit.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 2.2.5 λ LT ) in der DIN 18800-2 [18] durch die freien Anpas- sungsparameter β und f. Abs.4.57) und Gleichung (6.2 werden die folgenden Festlegungen getroffen: .5 ⋅ 1 + α LT . Die veränderte Biegedrillknickkurve in EN 1993-1-1. unter Verwendung der Werte für Ausweichen rechtwinklig zur starken Achse (z-z) .Entfall der Tabellen 6.2 für Ausweichen rechtwinklig zur starken Achse (z-z).3. sondern besteht in der Anpassung an eine Biegedrillknickkurve der ( Form κ = 1 + 1 5 − 2.3.λ LT .k .2 statt Tabelle 6.5 und 6.mod = .mod = .3 Das Verfahren in EN 1993-1-1. Diese zweite Empfehlung ist wie folgt begründet: 1.58) wird wie folgt angepasst: α ult .0 = 0.2.3.λ LT . Abschnitt 6.φ = 0.Tabelle 6.3.4 Verfahren nach EN 1993-1-1. sondern nur an Verschiebungen orientiert wurden.5 Verfahren nach EN 1993-1-1. 61 . Diese FEBerechnungen gingen von Imperfektionen aus.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise ( 2. Abschnitt 6.2.5 λ LT ) ist durch Anpassung an die Er- gebnisse von FE-Berechnungen ermittelt worden.2.3. 6.3. 2 EI w ⋅ π 4. Abs. Die Amplitude der Imperfektionsannahmen der Verschiebung ist nicht konsistent mit der Amplitude der Verschiebungsimperfektionen des Knick2 stabes. die im Grenzfall GI t ⋅ l ⇒ 0 maßgebend würden. Das Verfahren hat keine Rechfertigung durch eine Zuverlässigkeitsauswertung nach EN 1990 – Anhang D. die nicht an Biegedrillknickeigenformen aus einer Kombination von Verschiebung und Verdrehung.4 Das Näherungsverfahren in EN 1993-1-1.5. Die Biegedrillknickkurve κ = 1 + 1 5 − 2.und Biegedrillknickkurven“ für die Randbedingungen des Näherungsverfahrens überprüft werden. 3.4 (1) B muss im Hinblick auf die Regelungshierarchie mit den „Europäischen Standardisierten Knick. 2. 1 ⋅ψ 3 B xd = 0 → χ LT .3: Bemessungsstelle xd in Abhängigkeit von der Momentenverteilung und⎯λLT.mod > ξ → λ LT . mod = 1 0.5 = 0 → χ LT .5 1.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Tabelle 2.mod ≤ ξ → λ LT .mod 0.mod > ξ → λ LT .mod ≤ ξ → λ LT .mod ≤ ξ → λ LT .0 .0 B ψ =1 x xd l 0.5 1. ϕ = gehalten und η’. ϕ’ = frei 62 ⋅ α 2 ≤ 1.mod ≤ ξ → λ LT .562 = 0. mod = 1 3 −α 1− β =α 2 Verwendete Kürzel: α = a l .5 0. mod = 1 0.1 ⋅ψ 2 + 0. l = a + b . mod = 1 l x > ξ → d = 0.mod ≤ ξ → λ LT .04 ⋅ψ + 0.0 xd = 0 → χ LT .0 0.22 − 1 ≤ψ ≤ 1 0. β = b l .mod A a > b: 2⋅ β B λ LT . α LT ⋅ f ξ = + 2 ⋅ ( f − 1) 2 ⎛ α LT ⋅ f ⎞ ⎜ ⎟ + f ⋅ (1 − 0.08 ⋅ψ 2 + 0.833 = 0.2 ⋅ α LT ) − 1 ⎜ 2 ⋅ ( f − 1) ⎟ f −1 ⎝ ⎠ Für alle Lagerungen A und B gilt: η.5 1.5 l λ LT .5 1.61 = 0 → χ LT .mod > ξ → Hinweise: a ≤ b : 2 ⋅α xd l xd l xd l xd l xd l xd l = 0 → χ LT .mod Momentenverteilung A A f 0.18 ⋅ψ + 0.78 + 0.0 0. mod = 1 l x >ξ → d =α l λ LT . Abschnitt 6.“ Die Regelung zielte darauf ab.“ onssteifigkeit und α crit Die Gleichung (6.6 Verfahren nach EN 1993-1-1. die eigentlich notwendige Definition der Imperfektion als Eigenform des Biegedrillknickens. Aufgrund der Ergebnisse der Arbeit kann der Absatz 4 wie folgt modifiziert werden: „(4) Der Abminderungsbeiwert χop darf nach einem der folgenden Verfahren ermittelt werden: a) aus der Knickkurve nach Abschnitt 6.3.2.d angenommen werden.5. durch Verwendung des modifizierten Imperfektionsbeiwertes α ∗ .3.3.1.3. Abs.3. Im Allgemeinen braucht keine weitere Torsionsimperfektion betrachtet zu werden. wobei αcrit der Verzweigungswert mit Wirkung der Torsi∗ der Verzweigungswert ohne Torsionssteifigkeit ist.4 (3) Abschnitt 5.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise 2. 5. Der Wortlaut des Absatzes (3) ist: „Bei einem Biegedrillknicknachweis von biegebeanspruchten Bauteilen nach Theorie 2. Die Anmerkung zu diesem Absatz öffnet die Regel für nationale Festlegungen.3. Ordnung darf die Imperfektion mit k eo. d.5. Dazu 63 .4 entspricht dem Verfahren mit Europäischen Standardisierten Knick. 6.2 (11) als Eigenverformung anzunehmen ist. selbst gewährleistet ist und keiner Interaktion mehr bedarf. b) aus der Biegedrillknickkurve nach 6. als Mischung von Verschiebung η und Verdrehung ϕ. da eine Interaktion zwischen Knicken und Biegedrillknicken durch das Verfahren mit der Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurve.66) kann entfallen. die nach Abschnitt 5.4 (3) der EN 1993-1-1 regelt die Größe der geometrischen Ersatzimperfektion für Biegedrillknicken.h.d die äquivalente Vorkrümmung um die schwache Achse des betrachteten Profils ist.4 Das Nachweisverfahren in EN 1993-1-1.7 Imperfektionsansatz nach EN 1993-1-1. wobei k eo. 2.und Biegedrillknickkurven.3. Dabei darf der Wert χop mit dem abgeminderten Imperfektionsbeiwert ∗ α crit α =α ⋅ α crit ∗ ermittelt werden. Abs. die in der vorliegenden Arbeit behandelt werden. durch eine angeblich „praktisch einfacher“ zu handhabende gleichwirkende Ersatzimperfektion nur in Richtung der Verschiebung zu ersetzen. Dabei ist der Wert χop für den Schlankheitsgrad λop zu berechnen. obwohl diese ganz offensichtlich zu gering ist. Die Anmerkung hat aus Zeitmangel auf Drängen von EKS-TC 8 die Empfehlung der DIN 18800-2 übernommen.d wäre eine auf der sicheren Seite liegende Mischform aus Verschiebung und Verdrehung. so kann der genaue Nachweis direkt mit Hilfe der Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurve erfolgen. so kann die Stelle xd mit Hilfe der Gleichung (2. da Vergleichsberechnungen mit der Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurve zur Festlegung von k erforderlich sind.d für die Verschiebungskrümmung η init fils statt der Amplitude eo.4.d für die Verschiebungskrümmung des gedruckten Obergurtes angesetzt werden.k. nämlich k = 0.2 Absatz 3. 2. nötig ist.6 Leitfaden zur Anwendung des Verfahrens mit einheitlicher Grundlage bei reiner Beanspruchung in der Haupttragebene Bei einer reinen Beanspruchung in der Haupttragebene kann das Verfahren mit einheitlicher Grundlage gemäß dem in Tabelle 2. bis 5. 64 .38) berechnet werden. vereinfacht mit GIt = 0 ermittelt werden kann.min unter Verwendung des Imperfektionsbeiwertes α∗ Stufe III Genauer Nachweis an der maßgebenden Bemessungsstelle xd mit α bzw.min ohne Berücksichtigung des Einflusses der Torsionssteifigkeit des Trägerquerschnitts auf den Imperfektionsbeiwert α Stufe II Vereinfachter Nachweis an der Stelle αult.k. z. die aus der Eigenformanalyse.5 .B. Soll der Nachweis an der maßgebenden Nachweisstelle xd durchgeführt werden und ist diese nicht bekannt. Hierbei kann die Bemessung in drei verschiedenen Genauigkeitsstufen erfolgen: Stufe I Vereinfachter Nachweis an der Stelle αult. Die Ermittlung des Faktors k erfordert einen erheblichen Aufwand. α∗ Ist die Bemessungsstelle xd direkt oder in Form des Beiwertes f aus Bemessungshilfe bekannt. wobei eine iterative Berechnung gemäß Kapitel 3.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage ′′ des gesamten Prosollte die Amplitude k eo.4 beschriebenen Vorgehen angewandt werden. Besser als die Definition einer äquivalenten Verschiebungskrümmung k eo. k = α ult . Iyy(x). Iw(x) und Querschnittstragfähigkeiten NRd(x).k ( x d ) ( max ε ( x) gemäß Gl.2 + β ⋅ λLT β= α ult . α crit α crit gemäß Tabelle 6.k α crit 1 1 + α LT 2 λ LT = φ= Nachweis mit β =1 α ult .Rd(x) Schnittgrößenverteilung in Haupttragebene (NEd(x). It(x).k = α ult .k . Izz(x).min α LT = α ∗ = α ⋅ ⎜⎜ ∗ ⎛ α crit ⎞ ⎟ ⎟ ⎝ α crit ⎠ ∗ α crit . My. My. α ⎟ α ⎝ crit ⎠ α LT = α ⋅ ⎜⎜ β =1 α ult .k .k = α ult .min f ∗ ⎛ α crit ⎞ ⎟ bzw. ϕ crit ′′ η crit ∗ α crit . α crit Genauer Nachweis durch Ermittlung der Stelle xd α LT = α ⋅ ⎜⎜ Nachweisstelle xd vorab nicht bekannt Berechnung ) ) 1 f 2 β ⋅ λLT − 0.k = α ult .2 [1] für Ausweichen orthog.53 → x d ∗ ⎛ α crit ⎞ ⎟ bzw. α ⎟ α ⎝ crit ⎠ α LT = α ⋅ ⎜⎜ ∗ α crit .2 β φ + φ − β ⋅λ β =1 β =1 χ LT = α ult . Ordnung Eingangswerte Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise Tabelle 2. α crit III c III b Nachweisstelle xd bekannt Bauteilgeometrie und die sich daraus ergebenden Steifigkeiten A(x).k ( x d ) xd ∗ ⎛ α crit ⎞ ⎟ bzw. zur z-z Achse Vereinfachter Nachweis unter Berücksichtigung der Torsionssteifigkeit Vereinfachter Nachweis unter Vernachlässigung der Torsionssteifigkeit α LT = α II I III a 2 LT ( α Ed = χ LT ⋅ α ult . k ≥1 γM α ult . α ⎟ α ⎝ crit ⎠ ′′ .4: Ablaufdiagramm zum Vorgehen bei reiner Beanspruchung in der Haupttragebene 65 . 3.min α ult .Ed(x)) unter Berücksichtigung der Effekte aus Theorie 2. α crit Genauer Nachweis unter Verwendung der Vorinformation xd aus Bemessungshilfen Genauer Nachweis unter Verwendung der Vorinformation f aus Bemessungshilfen ∗ α crit .k .k = α ult . Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 2.7 Spiegelung der Eurocode-Regeln an dem Verfahren mit einheitlicher Grundlage Um das bisherige Vorgehen nach EN 1993-1-1 mit dem Verfahren auf einheitlicher Grundlage vergleichen zu können, werden die entsprechenden Abminderungskurven ─ χLT Knicklinien für Biegedrillknicken – Allgemeiner Fall, Abschnitt 6.3.2.2 [3] ─ χLT,mod Biegedrillknicklinien für I-Profile, Abschnitt 6.3.2.3 [3] ─ χLT,GM „Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurve“ gemäß den in Kapitel 2.5.4 Absatz 2 angegebenen Empfehlungen im Folgenden einander gegenübergestellt. Dabei ist eine Gegenüberstellung für jede der in Tabelle 2.3 gezeigten Momentenverteilungen auf jeweils einer Seite zusammengefasst. Da bei der „Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurve“ χLT,GM die Saint Venant’sche Torsionssteifigkeit des Profils bei der Bestimmung des Imperfektionsfaktors αLT berücksichtigt wird, ergibt sich ein von der Profilgeometrie abhängiger Verlauf der Abminderungskurve. Um eine größere Überschaubarkeit zu gewährleisten, ist im Folgenden ein direkter Vergleich der drei Abminderungskurven χLT,mod, χLT,GM und χLT nur für das Profil IPE 600 konkret abgebildet. Darunter befindet sich jeweils ein Diagramm mit der direkten Gegenüberstellung χ LT , GM χ LT , mod der beiden maßgebenden Biegedrillknickkurven für verschiedene Profile. Die Ergebnisse zeigen, dass gemäß der Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurve in allen Fällen in denen das Feldmoment einen Wert größer/gleich dem Randmoment annimmt, im Schlankheitsbereich λ ≈ 0,2 ÷ 0,8 eine höhere Abminderung zu fordern ist, als dies bei der bisherigen Regelungen nach EN 1993-1-1, Abschnitt 6.3.2.3 der Fall war. Eine Einschätzung die auch durch die bisherigen Versuchsergebnisse bestätigt wird, vgl. Abschnitt 2.3.2. Für die übrigen Momentenverläufe, also solche bei denen das Feldmoment kleiner als das maßgebende Randmoment ist, ergibt sich ein anderes Bild. Hier ist eine deutliche Anhebung des Abminderungsbeiwertes χ und somit eine wirtschaftlichere Bemessung möglich, vgl. z.B. Bild 2.32 und Bild 2.36. 66 Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise Verursacht wird diese höhere Traglast durch die Tatsache, dass in den genannten Fällen die maßgebende Bemessungsstelle xd, bis zum Erreichen einer bestimmten ′′ fl im Druckgurt den Schlankheit, am Auflager liegt. Also dort wo die Krümmung η crit, ′′ und Wert 0 besitzt. Mit zunehmender Schlankheit nimmt die zur Eigenform η crit ′′ affine Querbiegebeanspruchung in den Druckgurten zu, womit der Ausnutϕ crit zungsgrad des sich im Feld befindenden Druckgurts über den des am Auflager liegenden Querschnitts gehoben wird. Die Bemessungsstelle xd springt also beim Erreichen einer bestimmten Schlankheit λ LT ,mod = ξ (vgl. Tabelle 2.3) vom Auflager ins Feld. Erst ab dieser Schlankheit ist eine Abminderung bezogen auf den Wert α ult ,k ,min erforderlich. Dieser Tatsache wird beim bisherigen Verfahren nach EN 1993-1-1 nur bedingt Rechnung getragen. Die in den Nachweisen verwendeten und in den folgenden Diagrammen angegebenen bezogenen Schlankheiten sind mit λ = Wy ⋅ f y M y , crit ≡ W y ⋅ f y M y, E M y , crit M y , E ≡ α ult , k , min α crit für alle drei Verfahren identisch. Alle Lasten greifen im Schubmittelpunkt des Trägerquerschnitts an. 67 Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage χ 1.2 χ.LT.mod 1.1 χ.LT 1.0 χ.LT.GM 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 Momenentenverteilung: 0.3 0.2 0.1 Trägerprofil: IPE 600 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 ⎯λ Bild 2.28: BDK-Abminderungskurven für gelenkig gelagerten Einfeldträger mit Streckenlast χLT.GM 110.0% χLT.mod HEB 400 107.5% HEB 200 IPE 600 105.0% 102.5% 100.0% 97.5% 95.0% 92.5% 90.0% 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 ⎯λ Bild 2.29: Gegenüberstellung der resultierenden Abminderungsbeiwerte χLT bei einer parabelförmige Momentenverlauf für unterschiedliche Trägerprofile 68 0 0.4 1.0 ⎯λ Bild 2.5% IPE 600 100.6 1.0% 97.8 3.0 χ.6 2.6 0.1 χ.2 1.2 2.4 2.6 0.31: Gegenüberstellung der resultierenden Abminderungsbeiwerte χLT bei einer dreieckigen Momentenverteilung für unterschiedliche Trägerprofile 69 .0 1.9 0.8 1.4 1.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise χ 1.2 0.8 2.0% 0.mod 1.6 0.0% χLT.GM 105.5% 95.6 2.LT 1.mod HEB 400 HEB 200 102.LT.8 3.0 0.2 1.5% 85.8 2.1 Trägerprofil: IPE 600 0.8 1.0% 92.4 0.0 1.4 0.30: BDK-Abminderungskurven für gelenkig gelagerten Einfeldträger mit Einzellast χLT.2 0.4 Momenentenverteilung: 0.2 2.0 2.3 0.GM 0.0 2.5 0.0% 87.0 ⎯λ Bild 2.2 χ.8 0.0 0.5% 90.6 1.LT.7 0.2 0.4 2. 0 0.8 0.6 0.2 0.8 2.8 1.8 3.4 0.0% 105.0% 0.6 0.0 ⎯λ Bild 2.0% 100.32: BDK-Abminderungsk.9 0.2 1.2 χ.0% χLT.8 3.3 0.6 2.6 0.2 0.GM 135.mod HEB 400 HEB 200 130.0 1.4 1.0% IPE 600 125.0% 120.4 0.2 2.0% 115.0 2.6 1.LT 1.0 1. für beidseitig eingespannten Einfeldträger mit Streckenlast χLT.8 2.1 Trägerprofil: IPE 600 0.4 2.5 0.2 2.2 0.2 1.LT.0% 95.mod 1.LT.0 χ.0 0.0 0.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage χ 1.0% 110.4 2.8 1.GM 0.33: Gegenüberstellung der resultierenden Abminderungsbeiwerte χLT für einen beidseitig eingespannten Einfeldträger mit Streckenlast für unterschiedliche Trägerprofile 70 .0 ⎯λ Bild 2.4 1.7 0.0 2.6 2.6 1.1 χ.4 Momenentenverteilung: 0. 6 0.8 0.8 2.3 0.2 χ.35: Gegenüberstellung der resultierenden Abminderungsbeiwerte χLT für einen beidseitig eingespannten Einfeldträger mit Einzellast für unterschiedliche Trägerprofile 71 .8 1.0 0.0 ⎯λ Bild 2.0% HEB 200 82.mod 100.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise χ 1.2 0.0 1.0% 0.2 1.5% IPE 600 80.4 2.5% HEB 400 85.GM 0.2 2.LT 1.5 0.0% 92.0 0.0 0.4 Momenentenverteilung: 0.5% 90.8 2.8 3. für beidseitig eingespannten Einfeldträger mit Einzellast χLT.0% 97.0% 87.GM 102.6 2.4 0.6 1.34: BDK-Abminderungsk.4 1.4 2.mod 1.1 χ.6 0.0 2.7 0.6 0.0 2.4 0.6 2.4 1.6 1.LT.2 0.9 0.2 1.0 χ.8 1.2 0.5% χLT.0 ⎯λ Bild 2.LT.0 1.8 3.1 Trägerprofil: IPE 600 0.2 2.5% 95. 8 3.0 1.LT.2 2.4 0.2 1.36: BDK-Abminderungsk.0% 95.LT 1.GM 135.2 1.7 0.0 0.8 1.8 3.6 1.0% 0.8 2.0% χLT.1 χ.4 2.GM 0.8 0.3 0.8 1.0 1.0 0.4 2.2 0.9 0.37: Gegenüberstellung der resultierenden Abminderungsbeiwerte χLT für einen einseitig eingespannten Einfeldträger mit Steckenlast für unterschiedliche Trägerprofile 72 .1 Trägerprofil: IPE 600 0.8 2.2 χ.6 0.0% 120.0 2.0% IPE 600 125.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage χ 1.0 2.LT.4 0.2 2.6 1.4 1.0% 110.0 ⎯λ Bild 2.4 Momenentenverteilung: 0.6 0.6 0.5 0.0 0.4 1.mod HEB 400 HEB 200 130.2 0.mod 1.2 0.0 χ.6 2.0% 115.0% 105. für einseitig eingespannten Einfeldträger mit Steckenlast χLT.0 ⎯λ Bild 2.6 2.0% 100. GM 0.5% 105.2 0.8 3.3 0.8 0.4 2.0 ⎯λ Bild 2.9 0.5% IPE 600 110.0% 0.0% 102.2 χ.4 2.0 1.mod HEB 400 HEB 200 112.6 2.2 2.5 0.GM 115.6 0.LT.2 2.6 0.4 1.0 0.6 1.4 Momenentenverteilung: 0.LT 1.5% 100.0 ⎯λ Bild 2.5% 95.6 0.8 1.4 1.4 0.0 0.2 1.LT.1 χ.8 2.0% χLT.2 1.8 2.0 0.6 1.38: BDK-Abminderungsk.8 3.0% 107.2 0.mod 1.8 1.0% 97. für einseitig eingespannten Einfeldträger mit Einzellast χLT.0 2.1 Trägerprofil: IPE 600 0.0 χ.7 0.39: Gegenüberstellung der resultierenden Abminderungsbeiwerte χLT für einen einseitig eingespannten Einfeldträger mit Einzellast für unterschiedliche Trägerprofile 73 .0 2.4 0.0 1.6 2.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise χ 1.2 0. mod 1.4 ψ = 0.1 ψ = -0.9 ψ = -0.7 ψ=0 ψ = 0.8 2.6 ψ = 0.2 0.4 1.2.0 ⎯λ Bild 2.5 0.0 0.5 0.2 1.5 0.0 ψ = -0. 6.4 Momenentenverteilung: 0.2 0.3 ψ = 1.GM 1.6 0.75 0.9 ψ = -0.3 χLT.4 2.3.8 1.0 0.25 ψ=1 ψ = 0.0 1.4 0.25 ψ = -1 0.0 0.8 3.40: Modifizierte Biegedrillknickkurve für veränderliche Randmomente nach EN 1993-1-1.6 2.41: Europäische Standardisierte Biegedrillknickkurve für veränderliche Randmomente 74 .8 3.5 0.75 0.75 1.0 MEd 0.2 1.6 0.2 ψ = -1 1.8 0.25 ψ=1 ψ = 0.7 ψ=0 ψ = 0.0 2.8 2.0 2.1 Trägerprofil: IPE 600 0.0 0.2 2.6 1.9 0.4 1.2 ψ · MEd 0.0 1.3 ψ = 1.0 MEd 0.8 0.0 ⎯λ Bild 2.2 2.9 Momenentenverteilung: 0.6 2.25 ψ = -1 0.2 ψ = -1 1.2 ψ · MEd 0.5 ψ = 0.5 0.1 Trägerprofil: IPE 600 0.4 0.8 1.4 2.6 ψ = 0.6 1.0 ψ = -0.75 1.1 ψ = -0. Abs.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage χLT. 0 1.0 107.42: Gegenüberstellung der resultierenden Abminderungswerte χ für beide Verfahren für den Lastfall veränderliche Randmomente 75 .6 2.75 ψ = 0.5 ψ = 0.6 1.0% 97.5% ψ=1 95.0 ⎯λ Bild 2.GM 110.Grundsätzlicher Ansatz für Stabilitätsnachweise χLT.75 ψ = -0.8 1.5% ψ = -1 100.0 2.8 2.2 2.4 1.0% 102.4 0.5% Trägerprofil: IPE 600 90.0 0.8 3.0% χLT.0% 0.2 0.5 ψ = -0.25 ψ=0 ψ = 0.0% 92.2 1.mod ψ = -1 ψ = -0.4 2.9 ψ = 1.25 ψ = 0.5% 105.6 0. Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 76 . 0 ⋅ sin ⎜ ⎟.1 Knickstab mit zusätzlicher Querlast in der Haupttragebene 3. das zu einer einfachen Nachweisformel zur Erfassung der Querbiegung führt. ⎝ l ⎠ (3. R 1 − N E ⋅ λ 2 NR NR (3.1) entspricht.6) 1− χ ⋅ λ2 durch die χ und λ ausgedrückt: α ⋅ (λ − 0. Daraus folgt für den Knickstab mit gelenkiger Endlagerung eine Momentenverteilung von ⎛π x ⎞ M yI . also der Formel genform η crit M yI .1.0 + ⋅ + ⋅ =1 N R N R 1 − N E ⋅ λ 2 M y. E ( x) = M y .0 ⋅ ′′ ( x) η crit ′′ .3) Um diese Nachweisformel in die Form einer Ergänzung der Formel für die Knickstabbemessung NE ≤1 χ ⋅ NR (3.2)⋅ 1 =1 (3.3) in die Form 77 . Voraussetzung für die Genauigkeit des Verfahrens ist.max η crit (3.Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung 3 Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung 3. Ordnung der Ei′′ folgt.1 Erweiterung der Knickstabbemessungsformel Für den Nachweis mit den Europäischen Biegeknickkurven haben Roik und Kindmann [19] ein Verfahren entwickelt. (3. E ( x) = M y .2 ) über die Bestimmungsgleichung für χ χ + χ ⋅ α ⋅ (λ − 0.2) = χ so dass die Gleichung (3.2 ) M y .5) (1 − χ ) (1 − χ ⋅ λ 2 ) . dass der Verlauf des Biegemoments M yI (x) nach Theorie 1. wird der Term α ⋅ (λ − 0.2) für die die Nachweisformel wie folgt lautet: 1 N E N E α ⋅ (λ − 0.4) zu überführen. Stufe 3. wobei sich in Abhängigkeit vom Imperfektionsfaktor α der Funktionswert ändert. k che Vereinfachung ist somit M y .0 ein Extremum. Gleichung (3.9). Bild 3. R ⎜⎝ N R ⎝ NR ⎠ χ NR ⎠ (3.0 NE + ≤ Δn R = 0. Der quadratische Funktionsverlauf für ν. dass ein Zusammenfall beider Extrema ν max und ξ max statistisch gesehen nur in extrem seltenen Fällen vorkommt.9 χ N R M y.9).Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage NE NR ( ) M y . ergibt sich. R (3. mit der zweckmäßigen Vereinbarung ΔnR ≥ 0.75 χ N R M y.9) 2. vgl. Stufe) und verschiedene Vereinfachungsstufen (2. Für α = 0 nimmt sie ihr Maximum mit dem Wert 1 an. Stufe) entstehen.0 = 0.9. Die größtmögliχ ⋅ N R χ ⋅ α ult . sei1 NE nen Scheitelpunkt ν max = 0.10) Für übliche Imperfektionsbeiwerte α und unter Berücksichtigung der Tatsache. Gleichung (3. Stufe und 3. Stufe (3. besitzt. besitzt bei λ = 1. vgl.7) gebracht werden kann.R 78 (3.11) .0 NE + ≤ ΔnR = 1 − 0.25 ⋅1. vereinfachte Nachweis M y . ungeachtet des Imperfektionsfaktors α. vgl. Stufe so dass die genaue Lösung (1.8) ( ⎛ N ⎞⎛ N ⎞ N ΔnR = ⎜⎜1 − E ⎟⎟ ⎜⎜1 − E λ 2 ⎟⎟ + E ⋅ 1 + λ 2 − χ λ 2 ⎝ NR ⎠ ⎝ NR ⎠ NR =1− NE ⎛ NE ⎞ ⎟⎟ ⋅ χ 2 ⋅ λ 2 ⋅ ⎜⎜1 − χ NR ⎝ χ NR ⎠ 144424443 1 424 3 ≤ν ≤ξ 144444244444 3 ≤ ν ⋅ξ ) 1.7) erhält man: ΔnE ≤ ΔnR mit ΔnE = M y .1.5 . Die Funktion ξ.0 NE + χ N R M y.25 an der Stelle = = 0. R (3. Durch Umformen der Gleichung (3. der weit weniger konservative.0 ⎛ N E 2 ⎞ ⎛ N ⎞ NE ⋅ ⎜⎜1 − E λ 2 ⎟⎟ + ⋅ (1 − χ ) 1 − χ ⋅ λ 2 + = ⎜1 − λ ⎟⎟ M y . 25 3. E ( x) als solche nach Gleichung (3. m ( x) ⎪ pm ⋅ η crit ⎪ ⎭ (3. m ( x) ) = ∑ p m η crit ′′′′ .7 0.1: ξ und ΔnR in Abhängigkeit des Imperfektionsfaktors α für⎯λ = 1 und ν = 0.2 Erweiterung des Verfahrens auf beliebige Momentenverteilungen 3.13) ⎫ ∑η m ⋅ηcrit .4 0 0.5 0.1) berücksichtigen zu können. m ( x) ⎬ Verformung m ⎭ Mit der Differentialgleichung EI y η ′′′′( x) + N η ′′ ( x) = p z ( x) (3.m ( x) + N ⋅η crit ′′ .2 0.15 0.1 Ermittlung des Momentenbeiwertes q Um auch andere Momentenverlauf M yI .1 0.9 ΔnR 0.15) m und mittels der Orthogonalitätsbeziehungen 79 . m ( x) ∑η m (EI y ⋅η crit m (3.3 α Bild 3. m ( x) ⎫ ∑ pm ⋅ηcrit ⎪ m ∑ m ⎪ ⎬ äußere Belastung ′′′′ .14) folgt die Gleichung ′′′′ .Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung 1 0.05 0. wird Gleichung (3.6 0.m(x) erfolgen: ⎧M yI ( x) = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ p ( x) = ⎪ z ⎩ ⎧ ⎨ η ( x) = ⎩ ′′ .8 ξ 0. pz und η nach den verschiedenen Eigenformen ηcrit.0 ⋅ (1 − q ) NE + ≤ ΔnR M y.2.12) Die Ermittlung des Momentenbeiwertes q kann mittels einer Reihenentwicklung von My.1.11) erweitert: M y . R χ NR (3.25 0.1. n ( x) ⋅η crit ′′′′ .n ( x) ⋅η crit ′′ ..m ( x) dx = 0 ∫η crit für m ≠ n (3.n ( x) und Aufintegration über folgt nach Erweiterung von Gleichung (3.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage ′′ .16) ′′ .19) ′′ ( x) ⋅η crit ′′ ( x) dx ∫η crit l also z.0 : pm = ∫ ⎛ mπ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠ 2 = − M y . für den gelenkig gelagerten Knickstab mit η crit .0 mπ l = 2 mπx ⎛ mπ ⎞ l dx sin 2 ⎜ ⎟ ⋅ l ⎝ l ⎠ 2 M y .m ( x) = sin (α ⋅ x ) = sin mπ x l 2 mπ ⎞ mπ x ′′ .m ( x) dx = 0 ∫η crit für m ≠ n (3. 3.17) l und l ′′ .15) um η crit die Trägerlänge l die Lösungen für jedes Reihenglied η m η m = pm α6 (3.0 ⋅ 80 mπx 2l dx M y .18) EI y ⋅ α m6 − N E ⋅ α m4 und aus Gleichung (3. .B. 5.21) .m ( x) = α 4 sin (α ⋅ x ) = ⎜ η crit mit einem über die Länge des Stabes konstanten Momentenverlauf M yI ( x) = M y ..m ( x) = −α sin (α ⋅ x ) = −⎛⎜ η crit ⎟ sin l ⎝ l ⎠ 2 (3.) (3.13) a) equivalent: ′′ ( x) dx ∫ M y ( x) ⋅η crit I pm = l (3.20) 4 mπ x ⎛mπ ⎞ ⎟ sin l ⎝ l ⎠ ′′′′ .0 ⋅ sin ∫ 4l 2 m3 π 3 (m = 1. m ( x) ⋅ ηcrit α m6 α m4 1 NE 1− N crit .Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung Das Trägermoment nach Theorie 2.23) kann durch Abspalten des auf direktem Wege ermittelten Momentes M y .23) Gleichung (3. Ordnung M yII folgt aus M yII ( x) = EI y ⋅ η ′′( x) = EI y ⋅ ′′ .3) ⎧ ⎫ ⎧ ⎧ N E ⎫ ⎪⎪ N E α (λ − 0. m ( xd ) ∑ pm η crit (3. m ( x) ⋅ ηcrit EI y α m6 − N E α m4 ∑ pm ⋅ EI m = ∑ pm ⋅ m EI y α m6 y 1 NE 1+ EI y ⋅ = ∑ pm ⋅ m ′′ . m ( xd )⎬ = 1 ⋅ η crit NE MR ⎪ 1− N crit . m ⎪⎭ (3. m ( x) ⋅ ηcrit Mit diesem Biegemoment ergibt sich statt Gleichung (3. m ′′ .24) m in die Form 81 . m ( x) ∑ηm ⋅ηcrit m = ∑ EI y ⋅ m = pm α m6 ′′ .2 )⎪⎪ ⎪⎪ ⋅ ⎨ ⎬+⎨ ⎬+⎨ ⎩ NR ⎭ ⎪ NR 1− NE λ 2 ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ NR ∑ m ⎫ ⎪ pm 1 ⎪ ′′ .0 = ′′ .22) ′′ . m ( x) ⋅ ηcrit α m6 − N E α m4 (3. 0 N E ⎟⎬⎪ λ 1− 1− ⎜ ⎟ NR N crit ⎠⎪⎭ ⎪⎩ ⎝ 144444424444443 ⎛ N N 1 − E + ⎜⎜ 1− E N crit ⎝ N crit NE ⎞ Mm N crit ⎟⎟ ⋅ ⋅ ⎠ M y . m d crit . 0 λ 1− 1− ⎜⎜ N R ⎪⎩ N crit .0 ⎠ ⎝ (3.0 1− ⎪⎩ N crit . m ( xd ) M m = p m ⋅η crit dann lautet die Gleichung N E N E α (λ − 0.m ( x d ) ⎥ p m η crit ⎢ m −⎢ − ⎥ =1 MR ⎛ ⎞ NE ⎟⎥ m ⎢ M R ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ N crit . m ⎜ 1− E λ 2 ⎟⋅⎜ 1+ ⋅ N E 2 ⎨⎪⎜⎝ N R ⎟⎠ ⎜ ∑ NE M y . m 1444444444 424444444444 3 NE ⎧ ′′ .26) folgt gemäß Gleichung (3.0 + ⋅ + NE 2 NR NR MR 1− λ NR ⎤ ⎡ ′ ′ ⎥ ⎢ p mη crit .m ⎠ ⎥⎦ ⎣ 1444444442444444443 ∑ ∑ +∑ NE ′′ . m M y . Dadurch wird die Konvergenz wesentlich beschleunigt. m ( xd ) N crit .25) 1444444444 424444444444 3 M y .27) .0 ⎟ NR ⎝ ⎠ (3.0 MR NE ⎧ ⎛ ⎜ ⎪ ′ ′ p x N η ( ) ⎛ ⎞ 1 N ⎪ m crit .12) der Wert q= 82 M ⎞ N E 2 ⎛⎜ ⋅ λ ⋅ 1− m ⎟ ⎜ M y .m ( x d ) ′′ . m pm ηcrit ⋅ NE MR 1− N crit . 0 ⎪⎪ pm ηcrit ⋅ ⎨1+ ∑ NE MR ⎪ M y . m ( xd ) N crit . m ⎝ ⎞⎫ ⎟⎪ ⎟⎪ ⎟⎬ ⎟⎟ ⎪ ⎠ ⎪⎭ gebracht werden.26) Aus (3. 0 1− N E N crit 144444424444443 1− NE Mm N + ⋅ E N crit M y . 0 N crit 144444424444443 1− NE N crit ⎛ M m ⎞⎟ ⋅ ⎜1 − ⎟ ⎜ M y .2 ) M y .2) M y .0 + + ⋅ NE 2 NR NR MR λ 1− NR N E ⎞⎫ ⎧ ⎛ ⎜ ⎟ ⎪ Mm N crit ⎟⎪⎪ NE ⎞ ⎜ 1 ⎪⎛ ⎟ ⋅ 1+ ⎜1 − ⋅ =1 ⋅ N E 2 ⎨⎪⎜⎝ N crit ⎟⎠ ⎜ M y . Beschränkt man sich nun auf das erste Reihenglied ′′ .Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage N E N E α (λ − 0. m ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭ (3. 32) Durch Subtraktion und erhält man ′′ . bei Anwendung der Gleichung (3. n + ∫ηcrit ′′ . n + ∫ηcrit . m + κ m2 η crit ′′ . Somit liegen die Ergebnisse auf der sicheren Seite oder der Bemessungspunkt xd müsste gesucht werden. n η crit ′′′′ .n ⋅η crit ′′′′ . n ⋅ηcrit ′′′ . n ⋅ηcrit ′′′ . n = 0 η crit ′′′′ .12) dann. dass sich die Extremeffekte der Imperfektion und der Querbiegung an derselben Bemessungsstelle xd überlagern. 3. m ⋅ηcrit ′′′ . Das ist bei Gleichung (3. 83 .30) wird erfüllt durch ′′′′ . m η crit ′′ . m ⋅ηcrit R ′′′′ .Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung Für den Momentenverlauf gemäß Gleichung (3. n = 0 ∫ηcrit ′′ . wenn die Maxima der Beanspruchung in der Hauptachse und aus der Belastung in Querrichtung (Nebenachse) ungefähr zusammenfallen. m ⋅ηcrit ′′′ . n −ηcrit .n ) − ∫ (η crit ′′ .2 Beweis der Orthogonalität für die Reihenentwicklung Die Differentialgleichung EI z ⋅η ′′′′ + N ⋅η ′′ = 0 (3.3) der Fall. m η crit ′′′′ . n ηcrit R ′′′ .33) =0 für n ≠ m 144 2443 ′ .27 ⋅ E ⋅ λ 2 NR NR ⎝ π⎠ (3. m ⋅ηcrit ′′ . m = 0 ∫ηcrit 2 (3. n η crit ′′ .29) Die Anwendung der Formel (3.m ) = 0 η crit ∫ (1 3 144. m + κ m2 ∫η crit ′′ .m ) + (κ n − κ m ) ⋅ ∫ (η crit ′′ n ⋅η crit ′′ .28) und für einen konstanten Momentenverlauf folgt nach Gleichung (3. n + κ n2 η crit ′′ .2) folgt q= NE 2 ⋅ λ ⋅ (1 − 1) = 0 NR (3.m ⋅η crit ′′′′ . m − ∫ηcrit 2 ≠0 für n ≠ m 14444442444444 3 =0 (3. m −ηcrit R ′′′ .21) q= NE 2 ⎛ 4 ⎞ N ⋅ λ ⋅ ⎜1 − ⎟ = −0.1. m ⋅ηcrit 1442443 =0 für n ≠ m Damit ist die Orthogonalität nachgewiesen. n ηcrit R ′′′ .31) Daraus folgt: ′′ . n + κ n ∫η crit ′′ .12) setzt voraus.2. m = 0 η crit (3.2 44244 3 144 244 3 1424 443 2 ′′ . αE ⋅ NE NR + αE ⋅ NE NR ⋅ ! α E ⋅ M y . was zu einer sehr guten Näherung verglichen mit dem genauen Vorgehen nach Gleichung (3. Ordnung auch der Lastvergrößerungsfaktor zur Berücksichtigung der Biegemomentanteile infolge Theorie 2. My. bei welchem Lastniveau eine 100%-ige Querschnittsausnutzung erreicht wird.R 1− E ⋅λ 1− E ⋅λ NR NR Der wahre Ausnutzungsgrad ergibt sich dann zu ε true = 1 αE . E .1.3. R 1 − N E N crit N crit (3. Durch Iteration kann dann derjenige Wert α E bestimmt werden. Ordnung f MII y = 1 N 1− E N crit (3.0 1 α ⋅ (λ − 0. 84 . bei einem zur ′′ affinen Biegemomentenverlauf M yI .0 bezogene Ausnutzungsgrad der Querschnittstragfähigkeit.36) zu umgehen.36) führt und für den Fall ε = 1 den exakten Wert liefert. ist der auf die vorhandene Belastungssituation NE.1 beschriebenen Verfahrens möglich.35) direkt von der einwirkenden Belastung abhängig.0 1 + ⋅ + ⋅ NR NR 1− NE M y.34) Dabei ist neben den Ausnutzungsgraden Ed / Rd nach Theorie 1. Um eine iterative Berechnung mittels Gleichung (3. ist alternativ eine direkte Berechnung mit Hilfe des in Abschnitt 3.1.2) + ⋅ = 1 → α E (3. Um die wahre Tragreserve zu ermitteln.36) den Wert 1 annimmt und somit eine 100%-ige Querschnittsausnutzung erreicht wird.34) für eine konkrete Belastungssituation keine direkte Aussage darüber zu treffen.36) α ⋅ NE 2 α ⋅ NE 2 M y. Folglich ist mit Hilfe von Gleichung (3.1 Allgemeines Wie bereits im Vorfeld beschrieben. gegeben durch die ersten Eigenform ηcrit Gleichung ε= N E N E α ⋅ (λ − 0. für den Gleichung (3.34) um den Lasterhöhungsfaktor α E erweitert werden.2 ) M y .Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 3.1. muss Gleichung (3.3 Spiegelung des erweiterten Knickstabnachweises am direkten Nachweis 3. was aufgrund der Tatsache.1.3.1.37) Um den Unterschied in den Ergebnissen bei Anwendung der einzelnen Nachweisgleichungen (3.21 ⋅ (1. dass eine weitere Laststeigerung um den Faktor α Ed = 1 / 0.o = 25 kNm und somit ein Ausnutzungsgrad gemäß Gleichung (3.1.11 .37) zu verdeutlichen.Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung Der Ausnutzungsgrad für das von Roik/Kindmann [19] entwickelte Verfahren. Ordnungseffekte nur für den berechnete Lastfall ( β = 25 ) exakt erfasst und somit bei einer Extrapolation auf ein anderes Lastniveau unterschätzt werden.86 möglich ist. Die iterative Berechnung mit Hilfe von Gleichung (3. lautet: ε Roik = ΔnE ΔnR (3.3 Anhand des so ermittelten Ausnutzungsgrads von 35. 3.36) führt hingegen zu einem Lasterhöhungsfaktor von α E = 2.3 551.34).2 Berechnungsbeispiel Gegeben ist ein Druckstab mit zusätzlicher Biegebeanspruchung My in der Haupttragebene gemäß Bild 3.E Mit β = 25 folgt die konkrete Lastkombination N E = 125 kN und M y .34) von ε= 25 1 125 125 0. werden die verschiedenen Verfahren im folgenden Abschnitt mit Hilfe eines konkreten Zahlenbeispiels veranschaulicht.7 1263 1263 1− 1− 551. dass die Theorie 2.5 % und somit deutlich höher als der zuvor ermittelte.353 = 2. falsch ist.353 125 125 147. 85 .2 ) + ⋅ + ⋅ = 0. gemäß Abschnitt 3.3 % könnte die Schlussfolgerung gezogen werden. (3.51 − 0. Bild 3.2: Knicken um die starke Achse eines Druckstabs mit zusätzlichem Biegemoment My. Der wahre Ausnutzungsgrad liegt also bei 47.36) und (3.2. was zu einer möglichen Lasterhöhung um das 2. dass bei Verwendung der Gleichung (3.3 sind die unterschiedlichen Ausnutzungsgrade für eine Parametervariation β = 1.4 gibt die konkreten Abweichungen Δε der beiden Näherungsverfahren gegenüber dem wahren Ausnutzungsgrad εtrue an.2. Ausnutz.Ed = 1 / αEd εε 2.37) kann der wahre Ausnutzungsgrad direkt näherungsweise zu ε Roik 125 25 + 0.366 ⋅1264.5 1.0 37.. In Bild 3.3 147.939 bestimmt werden.14-fache führt und somit zu einer sehr guten Übereinstimmung mit dem wahren Wert.100 einmal graphisch dargestellt.5 ungsgrad 1εtrue / α.5 25.0 12.34) für eine beliebige Belastungssituation β ≠ 1 keine Aussage über die tatsächliche Tragreserve getroffen werden kann.7 0.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Mit Hilfe der Gleichung (3.5 100 β Bild 3. Wohingegen dies beim Näherungsverfahren nach Roik/Kindmann möglich ist.0 εRoik =/ Δn.0 0. 86 .468 0.3: Ausnutzungsgrad der Beanspruchung aufgetragen über den Laststeigerungsfaktor β Bild 3.E 1. Der exponentiell ansteigende Verlauf der ε-Funktion zeigt deutlich.R ΔnE /ΔnR Δn.5 50.0 62.5 75.5 0.0 0.939 0.439 = = = 0.0 87. Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung Δε 40% 30% 20% ε 10% ε true −1 0% -10% ε Roik −1 ε true -20% -30% -40% 0. spielen die gewonnen Erkenntnisse im weiteren Verlauf dieser Arbeit. Weicht der Ausnutzungsgrad ε stark vom Wert 1 ab. eine direkte Anwendung der Gleichung (3.3 Schlussfolgerung Aus der vorangegangenen Gegenüberstellung wird deutlich. 2.0 62.0 12.5 50. Dabei sind die folgenden Punkte zu beachten: 1.34) ermittelten Ausnutzungsgrade von ε ≠ 1 eine direkte Berechnung der wahren Tragreserve nicht möglich ist.0 87.34) basieren (dies gilt im erhöhtem Maße für Methode 1). 2. bei einem mit Hilfe von Gleichung (3.36) besteht.1.3. wenn der ermittelte Ausnutzungsgrad ε im Bereich ±1 liegt. wohingegen das Verfahren auf einheitlicher Grundlage äquivalent zu dem Verfahren εtrue bzw. die umso größer ist.34) (Ausnutzungsgrad ε) zu einer deutlichen Abweichung gegenüber dem wahren Wert εtrue führt. eine wichtige Rolle.0 37. 3. dass 1. Da die Eurocode-Regeln für Biegedrillknicken mit Querlast auf dem Prinzip der direkten Ermittlung des Ausnutzungsgrade ε nach Gleichung (3.4: Abweichung Δε gegenüber dem wahren Ausnutzungsgrad εtrue 3.5 100.5 75. je näher der ermittelte Ausnutzungsgrad an 1 liegt.0 β Bild 3. εRoik verfährt.5 25.37) und dem genauen Verfahrens εtrue nach Gleichung (3. Ein quantitativer Vergleich der Eurocode-Regeln mit dem „Verfahren auf einheitlicher Grundlage“ ist nur dann möglich. eine gute Übereinstimmung zwischen dem vereinfachten Verfahren εRoik nach Gleichung (3. insbesondere bei einer Gegenüberstellung der Verfahren. so ist für die EurocodeRegeln nur eine qualitative Aussage (Nachweis erfüllt / Nachweis nicht erfüllt) 87 . 2 Biegedrillknicken mit Querlast (Querbiegung und Torsion) Für den Nachweis mit den Europäischen Biegedrillknickkurven kann das Verfahren von Roik/Kindmann sinngemäß erweitert werden. siehe auch [20]. Eine Ermittlung der wahren Tragreserve und somit ein quantitativer Vergleich mit dem Verfahren auf einheitlicher Grundlage ist nur eingeschränkt möglich.0 ⋅ sin BEI ( x) = B0 ⋅ sin πx l πx (3. z und BEII äquivalenten Biegemoments im oberen Druckflansch berechnen sich aus 88 . 3.0 ⋅ 1− BEII ( x) = B0 ⋅ 1− πx 1 ⋅ sin M E.9) folgen somit die Schnittgrößen nach Theorie 2.max η crit ′′ ( x) ϕ crit ′′ . z ( x) = M z .42) M crit 1 πx ⋅ sin M E.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage möglich.39) Daraus folgt für den Einfeldträger mit beidseitiger Gabellagerung und konstantem Hauptbiegemoment ME.0 ⋅ BEI ( x) = B0 ⋅ ′′ ( x) η crit ′′ . z ( x) = M z .43) M crit Das zusätzliche Ausnutzungsgrad in Trägerlängsrichtung infolge eines zu M EII. y l (3. z ( x) = M z .38) (3.8) und (3. z und die Querbimomente BEI dem Verlauf der Biegedrillknickeigenform folgen: M EI . Für den Standardträger wird zunächst unterstellt. y l (3.max ϕ crit (3.40) (3. dass die Querbiegemomente M EI .41) l Nach Gleichung (3. Ordnung: M EII.y M EI . Fl BR .49) 89 .3) kann auch die Schlussfolgerung in den Gleichungen (3. y χ M R. Fl . z M R . y M N R . o M E . y M E. y ⎞ 2 ⎜1 − ⎟⋅ χ ⋅λ 2 ⎜ χ M R . z Damit lautet die Nachweisgleichung für den gesamten Trägerquerschnitt N E . y ⎛ M ⎞ ⋅ λ 2 ⋅ ⎜1 − z . Fl . o. Fl (1 − q B ) ≤ Δn R (3. z M E. Fl .47) Dabei gilt: qMz = qB = M E. y ⎪ ⎪ ⎩ R . o N E . Fl . o. z ( x) M R . z angebracht werden. o.Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung σ Rand ( x) fy II M EII. z M R .9) übernommen werden.9 ′′ und Verlaufen die Biegemomente im Flansch nicht affin zur ersten Eigenform η crit II ′′ . o. Fl . Fl . Fl .48) (3. y M R. so dass die Gleiϕ crit chung (3. Fl . z ( x) b BEII ( x) b M E .44) M EII.45) Aufgrund der Analogie zur Gleichung (3. der Nachweis lautet: M E. z (1 − q Mz ) + BEI . o.0 ⎟⎠ ⎝ ⎛ B ⎞ ⋅ λ 2 ⋅ ⎜⎜1 − m ⎟⎟ B0 ⎠ ⎝ (3. y M R. y + M EI .27) lautet: M E. y ⎟⎠ 14444442444444 3 ≤ Δn = 1 − (3.46) wegen Gleichung (3. so können Korrekturfaktoren an M E . crit (3. Fl . z ( x) = M R. d. Fl .h. o N R . Fl . y + M EI . Fl .8) und (3.46) ≥ 0. z ( x) = ⋅ + ⋅ zM ⋅ = ⋅6 2 f y ⋅ Iz 2 f y ⋅ Iw f y ⋅ b2 ⋅ t (3. y ⎛ M E. y ⎝ χ M R . y χ M R. z B II ( x) + E BR = M EII.2 ) ⎧⎪ M EI . o α (λ − 0. z ⎫⎪ 1 =1 +⎨ + ⋅ ⎬ M E. Fl . z ⎭ 1 − 1− M y . m ⎟ ⎜ M z . crit M y . Fl . 0 nach EN1993-1-1 [3]. Der Hintergrund der in [3] angegebenen Momentenbeiwerte Cmi. k + M E.1 analytisch ermittelten Werten abweichen können. Die angegebenen Formeln sind in die Gleichungen für Cmi. k ⎜⎝ χ α ult .1 zusammengefassten Gleichungen berechnet werden. Tabelle A.50) BR ⎛ 1 ⎞⎟ 2 2 ⎜1 − ⋅ χ ⋅λ χ α ult .9 qMz = qB = 1 α ult .2.z M R.2 (siehe Tabelle 1.52) Für Biegedrillknicken mit zusätzlicher Querbiegung Mz. k 1 α ult .51) (3.5 der vorliegenden Arbeit) überführbar. die zum Teil auf numerischen Vergleichrechnungen basieren und darum von den mit Hilfe von Abschnitt 3.1. Im Falle eines zusätzlich einwirkenden Querbimomentes BEd muss die Berechnung des Momentenbeiwertes qB nach Abschnitt 3.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 3. k ⎛ M ⎞ ⋅ λ 2 ⋅ ⎜1 − z .1.Ed kann der äquivalente Momentenbeiwert qMz direkt mit Hilfe der in Tabelle 3.3 Verallgemeinerung für beliebige Randbedingungen Im allgemeinen Fall lautet die Nachweisgleichung mit Querbiegung: 1 χ α ult . kann [21] entnommen werden. z (1 − q Mz ) + BE (1 − q B ) ≤ Δn R (3. 90 .0. m ⎟ ⎜ M z .0 ⎟⎠ ⎝ ⎛ B ⎞ ⋅ λ 2 ⋅ ⎜⎜1 − m ⎟⎟ B0 ⎠ ⎝ (3.1 erfolgen.2. k ⎟⎠ 144444 42444444 3 = 1− 1 ≥ 0. Ed max M z . 91 . ein schneller Plausibilitätscheck für einen genauen Nachweise geführt werden soll.21 ⋅ (1 −ψ z ) + 0.Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung Tabelle 3.9 beliebig kombiniert werden.1: Momentenbeiwerte qM.4.36 ⋅ (0.18 ⋅ q Mz = 0.03 ⋅ 1 α crit 1 α crit 3. Ed ⎝ 1 α crit ≤ 1 α crit ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Dabei ist max δ y die größte Querbiegeverformung und max M Ed das größte Querbiegemoment entlang der Bauteillängsachse. wenn 1. Lagerung oder Belastung eine außergewöhnlich hohe Komplexität aufweist 2.2 beschriebenen Vorgehen angewandt werden.1 Allgemeines Vorgehen Bei Biegedrillknicken mit zusätzlicher Querbiegung und Torsion kann das „Verfahren mit einheitlicher Grundlage“ gemäß dem in Tabelle 3.z für Biegedrillknicken mit zusätzlicher Querbiegung Mz Momentenverlauf Mz qMz q Mz = 0.4 Leitfaden zur Anwendung des Verfahrens mit einheitlicher Grundlage bei zusätzlicher Querbiegung und Torsion 3. das nachzuweisende Bauteil hinsichtlich seiner Geometrie. Eine Verwendung aller Vereinfachungsstufen kann insbesondere dann von Vorteil sein. Dabei dürfen bei der Bemessung die jeweiligen Vereinfachungsstufen a) Vernachlässigung der Torsionssteifigkeit α∗ =α b) Bemessung ohne Kenntnis der Nachweisstelle x = xd c) Vereinfachter Nachweis mit Δn R = 0.33 −ψ z ) ⋅ max M z . Ed q Mz = 1 α crit ⎛ π 2 EI z ⋅ max δ y ⋅ ⎜1 − 2 ⎜ l ⋅ max M z . q Mz = 0. Iyy(x).ip ) α ult . Ordnung in der Haupttragebene Schnittgrößenverteilung nach Theorie 1. Tabelle 3.k ( xd ) α Ed ( x) = α Ed .k ( xd . My.4.& Nebenebene getrennt bekannt bekannt α ult .Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Soll der Nachweis an der maßgebenden Nachweisstelle xd durchgeführt werden und ist diese nicht aus Bemessungshilfen bekannt.2 angegebenen Verfahren ermittelt werden. max β z ( x) = β z ( xd .k = α ult .4 Bemessungsstelle xd nicht bekannt für Haupttrag.op ) β z ( x ) = β z ( xd ) β B ( x) = β B ( xd . Rd ( x) B ( x) β B ( x) = Ed ⋅ ( 1 − qB ) BRd ( x) β z ( x) = vgl. It(x). Mz.ip ) α Ed ( x) = α Ed ( xd ) β z ( x) = β z . Iw(x) und Querschnittstragfähigkeiten NRd(x).Ed(x).2: Vorgehen für die Verwendung des Verfahrens mit einheitlicher Grundlage bei Biegedrillknicken mit zusätzlicher Querbiegung und Torsion Eingangswerte Schnittgrößenverteilung in Haupttragebene (NEd(x).max β B ( x) = β B . Ordnung aus Belastung in Querrichtung (Mz.k .Rd(x).Ed(x)) unter Berücksichtigung der Effekte aus Theorie 2. Tabelle 2. so kann die Stelle xd nach dem in Kapitel 3.Rd(x).k = α ult . My. Izz(x).9 genau ΔnR = 1 − ⎡ 1 1 ⎤ 2 2 ⋅ ⎢1 − ⎥ ⋅ χ LT ( x) ⋅ λLT ( x) α Ed ( x) ⎣ α Ed ( x) ⎦ 1 + β z ( x) + β B ( x) ≤ ΔnR α Ed ( x) 92 . BRd(x) Berechnung Hauptragebene Nebenebene χ ( x) ⋅ α ult .k ( x) ≥1 α Ed ( x) = LT γ M1 M z . BEd(x)) Bauteilgeometrie und die sich daraus ergebenden Steifigkeiten A(x).min α ult .min α Ed ( x) = α Ed ( xd .k = α ult . Ed ( x) ⋅ ( 1 − q Mz ) M z .op ) β B ( x ) = β B ( xd ) Nachweis vereinfacht ΔnR = 0. sowie der Verzweigungslast α crit mit η crit c.Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung 3. bis die Normierungsstelle xnom mit der Stelle der maximalen Querschnittsausnutzung xε. Berechnung des Gesamtausnutzungsgrades längs des Trägers für den maßgebenden Druckflansch über ε true ( x) = ε ip ( x) + ε op ( x) mit ε ip ( x) = αE + αE α ult . k . Ed ( x) . Rd .53) ′′ ( x) + z M ⋅ ϕ crit ′′ ( x) η crit ′′ + z M ⋅ ϕ crit ′′ ]x [η crit nom α E ⋅ M zI. Fl ( x) 1 − q Mz α E ⋅ BEI . ⋅ (λ ( x) LT ) ( xnom ) − 0.max und Wiederholung des Vorgangs 3. Schnittgrößenverläufe: i. Fl .54) 3.4. Fl ( x) α ult . M yII.2 Ermittlung der Bemessungsstelle xd Ist die Bemessungsstelle xd nicht bekannt. Nebenebene: M zI.B. Fl M z . Æ xd = xnom Liegt die tatsächliche Bemessungsstelle xd an einer Stelle xηcrit ′′ . E . 5. Bestimmung der Querschnittswerte: N Rd . k . so kommt es Flanschkrümmung η crit 93 . M y .max übereinstimmt. fl den Wert 0 annimmt. M z . am Trägerende. Fl 1− 1− E α crit α crit (3. Iterative Wiederholung des Vorgangs 4. (3. Fl . Ed ( x) Æ α ult . Fl ( x) 1 − q B ε op ( x) = ⋅ + ⋅ αE α BR .k .. z. R . 4.. Computergestützte Ermittlung der Verzweigungslast α crit für die Beanspruchung in der Haupttragebene und der dazugehörigen Eigenform ∗ ′′ ( x) und ϕ crit ′′ ( x) . Rd . so kann sie wie folgt bestimmt werden: 1. Fl ( x) I ii.max den Wert 1 annimmt. Bestimmung der Momentenbeiwerte qMz und qB d. Fl 2. fl =0 an der die ′′ .2 ⋅ α LT ⋅ 1 α 1− E α crit ⋅ . Anpassung der Normierungsstelle xnom an die zuvor bestimmte Stelle xε. B Rd . Numerische Bestimmung des Lasterhöhungsfaktors α E für den die maximalen Querschnittsausnutzung εtrue. Hauptragebene: N Ed ( x) .. B Ed ( x) b.. Ermittlung der Eingangsgrößen: a. 5 Spiegelung der Eurocode-Regeln an dem Verfahren mit einheitlicher Grundlage 3. sind sie gemäß Gleichung (2.3 erwähnt. 3. Wie beim Biegeknickbeispiel in Bild 3.3 getroffenen Schlussfolgerungen. wird in dem in Bild 3.2 Stabilitätsnachweis nach EN 1993-1-1 Abs.5. Um die Gegenüberstellung möglichst übersichtlich zu gestallten. wird die Spiegelung anhand von Beispielen durchgeführt. auf die tatsächliche Tragfähigkeit zurückzuschließen.6 zeigt.38) zu erweitern. 3.1.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage zu keiner Konvergenz und die Normierungsstelle xnom springt abwechselnd zwischen der Stelle mit der maximalen Flanschkrümmung xηcrit ′′ . wenn das Verfahren die Möglichkeit bieten soll. Bild 3. max und der Stelle xηcrit ′′ . von einem beliebigen Traglastniveau aus. muss die so ermittelte Ausnutzungsgradfunktion ε(β) linear vom Parameter β abhängen.3.1 Allgemeines Im vorliegenden Kapitel wird das bisherige Vorgehen nach EN 1993-1-1 [3] am Verfahren mit einheitlicher Grundlage gespiegelt um Unterschiede und Tendenzen aufzuzeigen. weist lediglich das Verfahren auf einheitlicher Grundlage.6. eine fast perfekt lineares 94 .5 vorliegenden Biegedrillknickproblem mit zusätzlicher Querbiegung das Lastniveau mit Hilfe des Parameters β sukzessive gesteigert. max zu beziehen. bei denen jeweils nur ein Parameter variiert wird. Für diesen Fall ist die Normierung auf die Stelle xηcrit Die angegebenen Gleichungen gelten für Stäbe und Stabsysteme mit konstantem Querschnitt. fl =0 . fl .5: Berechnungsbeispiel 1 – Variation des Lastniveaus Wie Bild 3. 6. Im Falle eines veränderlichen Querschnitts. bei numerischer Ermittlung des Lasterhöhungsfaktors αEd. ′′ . fl .2.3.1.5. Wie bereits in Abschnitt 3.3 – Beispiel 1 Das folgende Beispiel dient zur Veranschaulichung der Übertragbarkeit der in Abschnitt 3. ε 4 EN 1993-1-1 Method 1 3.5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 β Bild 3.6: Spiegelung der Eurocode-Regeln (Methode 1 und 2) an dem Verfahren mit einheitlicher Grundlage (numerisches Verfahren (αEd) und Näherungsverfahren (ΔnE/ΔnR)).R) 3 Verfahren auf einheitlicher Grundlage (α.6 ⋅ λ ⋅ N Ed χ ⋅ N Rd = 1 + 0. die im Anhang A in Ihrer Reinform Verwendung findet.Ed) 2.E/Δn. Ordnungseffekte f = 1 N 1 − Ed N crit zurückzuführen. Dies ist auf die Lasterhöhungsfunktion zur Berücksichtung der elastischen Theorie 2. Weiterhin ist in Bild 3. Beispiel 1 95 .6 zu erkennen. welches im Falle von Methode 1 weit stärker ausgeprägt ist als bei Methode 2.5 2 1. wohingegen Anhang B auf stark abgeschwächte Lasterhöhungsfaktoren der Form f = 1 + 0. Die beiden Verfahren nach EN 1993-1-1 weisen hingegen ein nichtlineares Verhalten auf.5 EN 1993-1-1 Method 2 Verfahren auf einheitlicher Grundlage (Δn. siehe Anmerkung. dass die Abweichungen der einzelnen Verfahren zu einander im Bereich ε = ±1 in einem akzeptablen Rahmen liegen.5 1 0.Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung Verhalten auf.2 erweist sich dabei als gute Näherung. Das Vorgehen nach Tabelle 3.6 ⋅ N Ed χ ⋅ N Rd ⋅ N crit zurückgreift. die mit Hilfe von Anpassungsfaktoren dann an numerisch Ergebnisse angepasst wurden. 7 zeigt die jeweiligen Ausnutzungsgrade ε gemäß EN 1993-1-1 für ein Versagen in Haupttragrichtung (Gleichung (6.62)) nach Anhang A bzw. ε 4 EN 1993-1-1 Gl. 6. Diese Effekte entsprechen in Ihrer Form Gleichung (3. 6. 96 .5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 β Bild 3. Im Verhältnis zu den Stabilitätseffekten in Querrichtung spielt ihr Einfluss jedoch. Die Extrapolation des berechneten Ergebnisses auf ein anderes Lastniveau ist somit in sehr guter Näherung möglich.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Bild 3.Anhang A 3.61 . Beispiel 1 Anmerkung: Bei dem „Verfahren auf einheitlicher Grundlage“ gemäß Tabelle 3.62 .2 sind für die Schnittgrößen in der Haupttragebene die Effekte aus Theorie 2.61 .5 EN 1993-1-1 Gl.61)) und ein Versagen in Querrichtung (Gleichung (6.35) und weisen somit ein nichtlineares Verhalten auf. 6.Teil 1-1 Gleichung 6.und Querrichtung gemäß Eurocode 3 .62 nach Methode 1 und 2. 6.5 1 0. eine untergeordnete Rolle.5 2 1.61 und Gleichung 6.Anhang B 2. was sich in dem fast perfekt linearem Verlauf der ε (αEd)-Funktion in Bild 3.Anhang A EN 1993-1-1 Gl. Ordnung mit zu berücksichtigen.7: Ausnutzungsgrad in Haupt. B. bezogen auf die Beurteilung der Tragfähigkeit.Anhang B 3 EN 1993-1-1 Gl.62 .6 widerspiegelt. 5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 My/Mz Bild 3. 6. Durch die zusätzliche Querbiegebeanspruchung wandert die wahre Bemessungsstelle xd jedoch in Richtung Auflager.8: Berechnungsbeispiel 2 Dabei ist die genaue Stelle xd von dem Momentenverhältnis My.5.65 0. an der Stelle xd = l 2 .Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung 3. Bild 3.3 Stabilitätsnachweis nach EN 1993-1-1 Abs.625 0. In Bild 3.9: Maßgebende Bemessungsstelle xd bei Variation des Querbiegemomentes Mz. xd ℓ 0.3 – Beispiel 2 Für den in Bild 3.7 0. liegt die maßgebende Bemessungsstelle.8 dargestellten Träger mit beidseitiger Gabellagerung liegt eine in der Haupttragebene symmetrische Belastung vor. maßgebende Bemessungsstelle graphisch dargestellt. Da das Feldmoment My.S /Mz abhängig.9 ist die.575 0.Ed 97 .55 0.6.S größer als das Randmoment My.H ist.525 0.675 0.6 0. mit Hilfe des Verfahrens auf einheitlicher Grundlage ermittelte. bei reiner Berücksichtigung der Belastung in der Haupttragebene. 10 noch bei 20. aufgrund des teilweise recht hohen Ausnutzungsgrades ε und die damit verbunden Schlussfolgerungen gemäß Abschnitt 3. ε 2 EN 1993-1-1 Methode 1 EN 1993-1-1 Methode 2 1.3%.75 Verfahren auf einheitlicher Grundlage (Δn.Ed) 1.25 1 0.5 Verfahren auf einheitlicher Grundlage (α. so liegt er nach der iterativen Bestimmung des Lasterhöhungsfaktor αEd nur noch bei 7.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Die sich aus der angegebenen Belastung für die einzelnen Verfahren ergebenden Ausnutzungsgrade ε sind in Bild 3. gemäß den Schlussfolgerungen aus Abschnitt 3.1.3. Für Methode 1 und 2 wurden die Lasterhöhungsfaktoren αEd(ε = 1) iterativ durch Anpassung des Lastniveaus bestimmt.R) 1. mit α Ed = 1 ε direkt bestimmt werden.11 einander gegenübergestellt. Für das Verfahren auf einheitlicher Grundlage konnten sie. werden.1. diejenigen Lasterhöhungsfaktoren αEd für die sich ein Ausnutzungsgrad von ε = 1 ergibt in Bild 3.75 0.3.5 2 4 6 8 10 12 14 My/Mz Bild 3.10: Spiegelung der Eurocode-Regeln (Methode 1 und 2) an dem Verfahren mit einheitlicher Grundlage (numerisches Verfahren (αEd) und Näherungsverfahren (ΔnE/ΔnR)). Beispiel 2 Um die Unterschiede in den Ergebnissen richtig beurteil zu können.10 gegenübergestellt. 98 .3.E/Δn.9%.3. Lag der Unterschied für ein Momentenverhältnis von My/Mz = 2 zwischen Methode 1 und dem Verfahren mit einheitlicher Grundlage in Bild 3. 875 EN 1993-1-1 Methode 1 0.R) 0. 6. Bild 3.12.11: Spiegelung der Verfahren Beispiel 2.13 zeigt die Spiegelung der Berechnungsergebnisse nach EN 1993-1-1 Methode 1 und 2 an dem Verfahren mit einheitlicher Grundlage und Bild 3.125 1 0.75 EN 1993-1-1 Methode 2 Verfahren auf einheitlicher Grundlage (Δn. für den das Randspannungsverhältnis ψ variiert wird.12: Berechnungsbeispiel 3 – Variation des Randmomtenverhältnisses ψ Bild 3. 99 .14 gibt die mit Hilfe des Verfahrens auf einheitlicher Grundlage ermittelten Bemessungsstellen xd an.4 Stabilitätsnachweis nach EN 1993-1-1 Abs.Ed) 0.6.625 Verfahren auf einheitlicher Grundlage (α.3 – Beispiel 3 Das dritte Beispiel ist ein Träger unter zweiachsiger Biegung und Normalkraft gemäß Bild 3. Benötigter Lasterhöhungsfaktors αEd zur Erreichung eines Ausnutzungsgrades ε = 1 3.Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung αEd 1.25 1.5 2 4 6 8 10 12 14 My/Mz Bild 3.E/Δn.5. 2 0.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage αEd 1.4 -0.Ed) 1.5 0.3 Verfahren auf einheitlicher Grundlage (Δn.3 0.4 EN 1993-1-1 Methode 1 EN 1993-1-1 Methode 2 1.1 0 -1 -0.75 -0.75 1 ψ Bild 3.R) 1.9 0.8 -0.E/Δn.13: Spiegelung der Eurocode-Regeln (Methode 1 und 2) an dem Verfahren mit einheitlicher Grundlage (numerisches Verfahren (αEd) und Näherungsverfahren (ΔnE/ΔnR)).25 0 0.2 0 0.25 0.2 0.1 1 0.8 -1 -0.6 0.14: Maßgebende Bemessungsstelle xd für Beispiel 3 100 .6 -0.2 Verfahren auf einheitlicher Grundlage (α.4 0.8 1 ψ Bild 3.4 0.5 -0. Beispiel 3 0.5 xd ℓ 0. 16: Spiegelung der Eurocode-Regeln (Methode 1 und 2) an dem Verfahren mit einheitlicher Grundlage (numerisches Verfahren (αEd) und Näherungsverfahren (ΔnE/ΔnR)).15: Berechnungsbeispiel 4 Bild 3.R) Verfahren auf einheitlicher Grundlage (α.Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung 3.E/Δn.Ed) 1.16 zeigt die Spiegelung der Berechnungsergebnisse nach EN 1993-1-1 Methode 1 und 2 an dem Verfahren mit einheitlicher Grundlage. Beispiel 4 101 . αEd 2. 6.5 EN 1993-1-1 Methode 1 EN 1993-1-1 Methode 2 2 Verfahren auf einheitlicher Grundlage (Δn.15.5 0 7 8 9 10 11 12 13 14 15 L Bild 3.3 – Beispiel 4 Das vierte Beispiel ist ein Träger der Länge l = 7 ÷ 15 m unter zweiachsiger Biegung gemäß Bild 3. Bild 3.5 1 0.5.6.5 Stabilitätsnachweis nach EN 1993-1-1 Abs. Lstable [m] 9.GM in Bild 2. (6. Gl.0 0.3.0 EC3-1-1 Gl.t = 0) „Verfahren auf einheitlicher Grundlage“ unter Vernachlässigung der Saint Venant’schen Torsionssteifigkeit bei der Ermittlung des kritischen Biegedrillknickmomentes Mcr EC3-1-1 Stabile Länge gemäß EN 1993 Teil 1-1.t = 0) 7. 6.mod und χLT.5.75 -0.18 veranschaulichen die Unterschiede der beiden Verfahren anhand von zwei Beispielen. gebenübergestellt.0 IPE 600 1.6 Stabile Längen nach EN 1993-1-1 Abs. was sich ebenfalls in den unterschiedlichen Plateaulängen von χLT.3.3.0 GM (I. Abs.25 0 0.41 widerspiegelt.5 0.0 -1 -0.5.0 4. wobei folgende Bezeichnungen verwendet wurden: GM „Verfahren auf einheitlicher Grundlage“ (General Methode) GM (I.68) 6.5. Die Bilder 3.68) Wie zu erkennen liefert Gleichung (6.3 ergeben und diejenigen die sich bei einer iterativen Anwendung des „Verfahrens auf einheitlicher Grundlage“ ergeben.875) liefert die Gleichung Werte auf der unsicheren Seite.75 1 ψ Bild 3.0 5.17: Stabile Länge eines gabelgelagerten Träger (IPE 600) mit Randmomenten 102 .25 0.40 und Bild 2.3. (6.0 GM 8.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 3. Lediglich für nahezu konstante Biegemomentenverläufe (ψ > 0.17 und 3.3 In diesem Abschnitt werden die „Stabilen Längen“ die sich aus den Nachweisgleichungen in EN 1993-1-1 Abschnitt 6.5 -0.0 3.0 2.5.68) eine überwiegend konservative Abschätzung der stabilen Länge. 6. 5 -0.Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung Lstable [m] 30.25 0.68) 20.0 -1 -0.18: Stabile Länge eines gabelgelagerten Träger (HEB 300) mit Randmomenten 103 . (6.75 -0.0 15.25 0 0.0 10.0 GM (I.0 5.75 1 ψ Bild 3.5 0.t = 0) EC3-1-1 Gl.0 HE 300 B 0.0 GM 25. Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 3.Ed NEd Bild 3.0 kN L2 γM0 = γM1 = 1. wenn die Abschnittslänge L1 kleiner-gleich der stabilen Abschnittslänge Lm = 38 ⋅ i z 1 ⎛ N Ed ⎞ 1 ⋅⎜ ⎟+ 57.5.4 ⎝ A ⎠ 756 ⋅ C12 ⎛ W pl2 .Ed = Mpl.7 Stabile Längen nach EN 1993-1-1 Anhang BB.0 1.Ed = 2044. Rk L s = C m Lk ⋅ ⎜ ⎜ M N . Die Stütze ist durch eine seitliche Abstützung mit Drehbehinderung in die zwei Abschnittslängen L1 und L2 unterteilt.Rd My.3 wird die Stütze eines Stahlrahmens gemäß Bild 3. y .y.Lm = 474 mm HEA 800 S235 L My.3 kNm NEd = 642. y .und Biegebeanspruchung Gemäß Anhang BB. Systemdaten: L L1 L2 a My. Rk + a ⋅ N Ed ⎝ mit 104 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ .1 kann der Biegedrillknicknachweis für den ersten Stützenabschnitt entfallen.19 untersucht.0 x.3. y ⎜ ⎜ A ⋅ It ⎝ ⎞ ⎛ f y ⎞2 ⎟⋅⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ 235 ⎟⎠ ⎠ ist und zusätzlich der Größtabstand zwischen den Verdrehbehinderungen ⎛ M pl .3 Zur Überprüfung der Nachweisgleichung für „Größtabstände bei Abstützmaßnahmen für Bauteile mit Fließgelenken gegen Knicken aus der Ebene“ nach Anhang BB. o : seitliche Abstützung ψ · My.Ed L1 = 10 m = Lm = L .3 Abschnitt BB.1.19: Stütze eines Hallenrahmens unter Normalkraft. Erweiterung des Stabilitätsnachweises für zusätzliche Querbiegung 600 ⋅ f y ⎞ ⎛ h ⎞ ⎛ ⎜ 5,4 + ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ iz ⎜ ⎟ ⎜t ⎟ E ⎝ ⎠ ⎝ f ⎠ Lk = 2 ⎛ fy ⎞ ⎛ h ⎞ 5,4 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ − 1 ⎜ ⎟ ⎝ E ⎠ ⎝tf ⎠ eingehalten wird. Der Stabilitätsnachweis der gesamten Stütze ist somit erbracht, wenn der Nachweis für den zweiten Stützenabschnitt (L2) gemäß EN 1993-1-1 Abs. 6.3 erbracht wird. Tabelle 3.3 fasst die anhand von verschiedenen Nachweisverfahren ermittelten Ausnutzungsgrade der Stütze für eine Parametervariation von ψ = 0,25 bis -0,50 zusammen. Die Werte in den Klammern beziehen sich dabei auf den Nachweis des zweiten (unteren) Stützenabschnitts, die Werte darüber auf den ersten Stützenabschnitt. Wie zu erkennen ist, erfüllt der erste Stützenabschnitt keinen der Nachweise, obwohl die Mindestabstände für seitliche Abstützung Lm und Drehbehinderung Ls eingehalten wurden. Den niedrigsten Ausnutzungsgrad liefert dabei jeweils das „Verfahren auf einheitlicher Grundlage“ unter Verwendung einer nichtlinearen M-NInteraktion zur Ermittlung des Lasterhöhungsfaktors αult,k. Anhand des vorliegenden Beispiels wird klar, dass die Gleichungen nach Anhang BB.3 keine konservative Abschätzung der „Stabilen Abschnittslänge“ angeben, sondern vielmehr das Stabilitätsverhalten günstiger beurteilen als dies die sonstigen Nachweisverfahren (Methode 1 und 2 sowie „Verfahren auf einheitlicher Grundlage“) tun. Für eine genaue Beurteilung der Formeln ist jedoch eine umfangreichere Parameterstudie nötig. 105 Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Tabelle 3.3: Ausnutzungsgrade ε infolge M-N-Interaktion unter Berücksichtigung von Stabilität EN 1993-1-1, Abs. 6.3.3, Gl. (6.6.1) und (6.62) ψ [-] Lm [m] Ls [m] 0,250 3,176 0,125 Anhang A (Methode 1) Verfahren auf einheitlicher Grundlage Anhang B (Methode 2) lineare nichtlineare M-NM-NInteraktion Interaktion ε (χLT) ε (χLT,mod) ε (χLT) ε (χLT,mod) ε (χLT,GM) ε (χLT,GM) 6,414 1,159 (1,077) 1,074 (0,944) 1,186 (1,125) 1,100 (0,996) 1,156 1,067 xd = 1,20m xd = 1,25m 3,284 6,694 1,160 (0,962) 1,072 (0,832) 1,190 (1,029) 1,100 (0,901) 1,144 1,050 xd = 1,00m xd = 1,05m 0,000 3,388 6,993 1,161 (0,864) 1,070 (0,738) 1,193 (0,933) 1,101 (0,808) 1,133 1,041 xd = 0,85m xd = 0,90m -0,125 3,481 7,313 1,161 (0,770) 1,068 (0,669) 1,195 (0,838) 1,101 (0,738) 1,123 1,031 xd = 0,70m xd = 0,75m -0,250 3,561 7,652 1,160 (0,682) 1,066 (0,608) 1,196 (0,738) 1,101 (0,666) 1,119 1,026 xd = 0,60m xd = 0,65m -0,375 3,627 8,012 1,158 (0,603) 1,064 (0,547) 1,197 (0,666) 1,101 (0,610) 1,113 1,026 xd = 0,50m xd = 0,60m -0,500 3,677 8,391 1,154 (0,595) 1,062 (0,541) 1,196 (0,663) 1,101 (0,608) 1,117 xd = 0,50m 1,022 xd = 55m Die Werte in den Klammern (...) beziehen sich auf den zweiten Stützenabschnitt (L2). Beim „Verfahren auf einheitlicher Grundlage“ wurde der Lasterhöhungsfaktor αult,k auf zwei unterschiedliche Weisen bestimmt: 1. unter Verwendung einer linearen M-N-Interaktion 2. unter Verwendung einer nichtlinearen M-N-Interaktion 106 Versuchsauswertungen 4 Versuchsauswertungen 4.1 Symmetrische offene Profile unter einachsialer Biegung 4.1.1 Versuchsbeschreibung Der Hintergrundbericht zum Eurocode 3 Teil 1-1 [14] umfasst eine Reihe von Biegedrillknickversuchen, die von verschiedenen Autoren durchgeführt in den Jahren zwischen 1969 - 1984 veröffentlicht wurden. Von diesen Versuchsreihen wurden 144 Versuche mit gewalzten und 71 Versuche mit geschweißten Trägern von den Autoren des Hintergrundberichtes für ausreichend dokumentiert befunden, um für eine statistischen Auswertung der damaligen Vorschläge zur Erstellung einer einheitliche Europäische Biegedrillknickkurve berücksichtigt werden zu können. Dieselben Versuchsdaten werden im Folgenden zur Zuverlässigkeitsuntersuchung der Standardisierten Europäischen Biegedrillknickkurve χLT,GM nach Kapitel 2.3 verwendet. Bild 4.1 zeigt die statischen Systeme der verschiedenen Versuchstypen. x : seitliche Lagerung Bild 4.1: Lasteinleitungs- und Lagerungsbedingungen der in [14] zusammengefassten Versuche 107 5 x 8 2000 0 257.9 1.9 1.341 1.366 0.287 0.145 538 UC 152 x 152 x 30 A 1430 0 471.816 1.818 1.229 0.0 131.6 1.6 140.310 537 UB 203 x 133 x 25 A 1230 0 505.478 1.185 0.237 0.8 1786.130 0.818 1.134 527 UB 305 x 102 x 28 A 2510 0 516.158 0.7 1.144 0.0 90.7 1.4 117.0 126.121 754 H 200 x 100 x 5.9 61.9 1.4 1.3 221.085 526 UC 203 x 203 x 86 A 1420 0 457.5 221.3 521.0 153.0 464.3 1.185 0.4 113.556 1.077 0.und Berechnungsergebnisse – gewalzte Träger In Tabelle 4.0 96.und Materialkennwerte.4 117.309 530 UB 305 x 102 x 28 A 2190 0 516.5 1.5 140.9 221.175 Leff zg fy.874 1.039 0.gem [mm] [mm] [N/mm²] [kNm] [kNm] [kNm] Nr.0 102.931 1.2 3651.077 0..gem Mcr.4 90.1 1.125 524 UC 203 x 203 x 86 A 2260 0 457.282 529 UB 305 x 102 x 28 A 2190 0 516.9 518 UB 203 x 133 x 25 A 2510 0 505.5 1.395 531 UB 305 x 102 x 28 A 1380 0 516.682 1. Als Grundlage für die Bemessung dienten die gemessenen Geometrie.402 528 UB 305 x 102 x 28 A 2510 0 516.1: Versuchsdaten und Berechnungsergebnisse.326 505.2 436.0 1.170 0.144 0.291 0.0 468.4 113.0 105.237 0.931 1.236 752 H 200 x 100 x 5.4 93.3 141.7 460.4 173. In Bild 4.313 0 505.363 A 1430 0 581.8 157.8 1786.556 1.6 220. BDK von gewalzten Trägern εIt [-] χLT.2 Versuchs.139 753 H 200 x 100 x 5.5 140.0 1.682 1.1 132.667 1.3 121 460.und Berechnungsergebnisse der Versuche an gewalzten Trägern zusammengefasst.3 1.1 140.484 1.0 485.3 266.0 519 UB 203 x 133 x 25 A 2510 0 520 UB 203 x 133 x 25 A 1950 521 UB 203 x 133 x 25 A 522 UC 152 x 152 x 30 523 108 G .409 1.5 x 8 G 1500 0 305.R.039 0. Profil Typ 516 UB 203 x 133 x 25 A 2870 0 505.6 220.8 220.366 0.4 81.2 3651.1.851 1.9 1.0 235.0 118.229 0.4 93.3 464.368 1950 0 505.3 1.0 138. Tabelle 4.294 532 UB 305 x 102 x 28 A 1380 0 516.0 83.241 103.9 1.667 1.854 1.4 139.153 525 UC 203 x 203 x 86 A 1420 0 457.060 0.GM [-] re/rt [-] 91.4 420.5 x 8 G 1500 0 305.gem Mexp Mpl.409 1.158 0.1 56 61.3 266.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 4.3 1.1 132.9 1.2 ist die Auswertung aller 144 Versuche mit der „Standardisierten Europäischen Biegedrillknickkurve“ graphisch dargestellt und Tabelle 4.0 204.4 173.1 56.231 535 UB 305 x 102 x 28 A 970 0 516.0 127.3 521.341 1.3 1.9 1.816 1.3 51.2 zeigt die Ableitung der γM-Werte für diese Fälle nach EN 1990.9 517 UB 203 x 133 x 25 A 2880 0 505.1 sind die wesentlichen Versuchs.0 457.0 130.170 0.130 0.874 1.804 1.1 1.9 460.0 190 220.293 0.2 464. Anhang D.138 536 UB 305 x 102 x 28 A 970 0 516.8 221.0 180.5 1.336 141.217 UC 203 x 203 x 86 A 2260 0 457.767 1.9 1.0 46. 061 1206 UB 254 x 146 x 37 B 2330 0 292.7 1.4 232.5 x 8 I 3500 -100 282.9 65.1 60.5 35.4 173.481 1.295 0.9 47.517 1.240 0.5 x 8 I 3700 0 314.932 1.512 0.2 62.4 58.1 1.370 766 H 200 x 100 x 5.2 60.481 1.8 81.6 1.640 1.573 0.7 166.0 43.5 59.245 0.9 134.734 1.287 0.443 1.2 34.6 125.5 57.5 x 8 G 3500 0 292.175 777 H 200 x 100 x 5.9 29.4 1.5 22.1 1.6 1.177 0.7 1.6 32.8 43.7 31.3 38.5 x 8 I 4800 0 298.5 x 8 G 4000 0 289.5 x 8 A 1830 0 304.186 0.5 x 8 I 2200 -100 304.408 1.291 0.1 141.903 0.324 775 H 200 x 100 x 5.3 1.302 783 H 200 x 100 x 5.6 413.5 x 8 I 4400 0 274.5 60.890 1.2 35.136 782 H 200 x 100 x 5. Profil Typ Leff zg fy.631 1.5 x 8 G 2000 0 278.683 1.287 0.4 1.5 32.9 66.573 0.573 0.7 140.2 1.8 58.1 43.7 1.340 543 UB 254 x 146 x 43 I 2440 -219 302.5 81.2 43.1 1.825 0.5 x 8 G 8000 0 270.6 1.170 720 H 200 x 100 x 5.5 x 8 I 2800 -100 299.573 0.8 57.5 x 8 G 2500 0 257.4 64.1 37.674 1.147 721 H 200 x 100 x 5.2 12.734 0.5 x 8 A 820 0 312.4 59.378 768 H 200 x 100 x 5.6 1.043 0.3 1.9 94.5 43.9 53.5 x 8 G 2500 0 292.7 53.2 1.410 1177 H 200 x 100 x 5.076 756 H 200 x 100 x 5.5 35.5 x 8 G 4000 0 275.5 x 8 A 1070 0 312.514 1.199 0.216 718 H 200 x 100 x 5.306 770 H 200 x 100 x 5.8 67.582 1.216 541 UB 254 x 146 x 43 I 3050 -219 302.1 1.239 759 H 200 x 100 x 5.1 2.2 60.9 45.117 773 H 200 x 100 x 5.150 779 H 200 x 100 x 5.7 2.1 132.9 46.6 245.1 49.9 81.2 1.3 32.074 540 UB 254 x 146 x 43 I 6100 -219 302.1 55.734 0.289 762 H 200 x 100 x 5.5 x 8 G 3000 0 292.9 1.1 1.199 761 H 200 x 100 x 5.5 x 8 G 3000 0 270.1 1.903 0.4 175.1 1.225 1.1 63 47.5 29.7 63.121 778 H 200 x 100 x 5.6 54.637 0.1 55 34.9 64.9 37.5 x 8 G 4000 0 292.6 1.R.2 61.5 x 8 I 2800 0 304.5 x 8 I 2400 0 304.3 141.093 0.1 143.393 776 H 200 x 100 x 5.134 0.5 x 8 I 5500 100 304.4 1.1: Versuchsdaten und Berechnungsergebnisse.175 0.5 x 8 G 2500 0 305.5 43.gem Mcr.423 0.572 1.5 51.9 61.6 54.490 0.625 1.295 771 H 200 x 100 x 5.9 315.5 x 8 G 3500 0 265.0 2.2 60.8 58.2 29.236 772 H 200 x 100 x 5.5 x 8 G 2500 0 278.6 141.456 1.213 1204 UB 254 x 146 x 37 B 2000 0 289.5 x 8 G 5000 0 282.426 1.734 0.4 1.5 x 8 G 2000 0 292.423 0.423 0.656 1.381 763 H 200 x 100 x 5.279 542 UB 254 x 146 x 43 I 3660 -219 302.5 1.2 58.353 0.gem Mexp Mpl.1 1.1 57.9 55.3 45.9 60.630 1.GM [-] re/rt [-] 755 H 200 x 100 x 5.2 45.621 1.131 0.3 56.9 175.3 46.2 58.229 764 H 200 x 100 x 5.3 39.4 1.1 50.9 60.822 1.6 405.5 x 8 H 3000 0 306.6 134.5 x 8 G 3000 0 292.392 0.138 719 H 200 x 100 x 5.443 1.5 x 8 I 3200 0 304.422 1.746 1.545 1.1 1. BDK von gewalzten Trägern Nr.1 48.3 32 58.423 0.4 62.2 57.3 37 58.306 781 H 200 x 100 x 5.5 35.114 1205 UB 254 x 146 x 37 B 1670 0 292.7 32.207 760 H 200 x 100 x 5.325 784 H 200 x 100 x 5.8 55.801 0.090 0.6 1.Versuchsauswertungen noch Tabelle 4.903 0.553 1.734 1.314 767 H 200 x 100 x 5.1 50.894 1.9 61.124 758 H 200 x 100 x 5.5 42.757 1.5 x 8 A 1320 0 338.1 87 175.5 175.5 x 8 I 3700 100 304.4 1.4 140.622 1.4 85.9 3.9 572.433 1.348 1.514 1.3 1.710 1.1 1.1 50.394 0.5 24.258 0.7 1.153 109 .312 769 H 200 x 100 x 5.1 56.835 1.371 765 H 200 x 100 x 5.1 55.565 1.054 0.9 34.2 1.9 43.364 774 H 200 x 100 x 5.1 1.7 13.553 1.4 57.3 44.gem [mm] [mm] [N/mm²] [kNm] [kNm] [kNm] εIt [-] χLT.5 x 8 G 3500 0 292.3 39.390 0.860 1.. 226 0.3 57.2 61.565 1.0 32.1 59.7 58.0 63.0 69.565 1.9 56.9 393.5 x 8 G 3000 0 298.166 610 H 200 x 100 x 5.0 44.919 1.5 1.2 58 59.050 725 H 200 x 100 x 5.219 606 H 200 x 100 x 5.390 0.5 140.gem [mm] [mm] [N/mm²] [kNm] [kNm] [kNm] Nr.777 1.379 1.9 55.8 71.8 59.011 751 H-194*150*6*9 F 1400 0 195.6 1.7 1.5 73.459 0.0 1.0 48.1 1.251 0.5 x 8 G 3500 0 298.322 3500 0 271.3 1.3 1.676 609 H 200 x 100 x 5.5 1.335 1011 IPE 200 I 1800 -130 323.3 53.278 100B IPE 200 I 2800 -130 292.5 1.8 3.039 0.723 1.3 81.5 x 8 G 5000 0 289.9 1.524 1.340 175.0 52.8 64.7 66.250 1006 IPE 200 I 2000 -130 337.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage noch Tabelle 4.204 0 276.5 53.0 1.270 0.1 1.583 1.8 62.136 607 H 200 x 100 x 5.926 1.gem Mexp Mpl.477 1.6 52.471 1.969 1.054 0.0 1.287 0.1 1.5 508.090 0.226 0.652 1.734 0.5 207.287 0.731 1.040 1003 IPE 200 I 1800 -130 337.5 1.226 0.702 1.2 56. Profil Typ 544 UB 254 x 146 x 43 I 3050 -219 302.146 3 IPE 200 I 4600 -130 260.R.021 735 H 200 x 100 x 5.4 50.0 57 66.903 0.3 93.054 0.1 58.9 76.0 59 73.2 93.0 50.704 1.0 33.5 56.8 682.459 0.6 1.3 53.734 0.2 53.6 14.1 148.948 1.202 100D IPE 200 I 1800 -130 292.0 49.026 723 H 200 x 100 x 5.1 59.0 37.0 44.0 36.1 1.9 1.0 46.GM [-] re/rt [-] 173.630 1.528 1.5 x 8 D 1190 0 297.5 x 8 F 700 0 294.018 734 H 200 x 100 x 5.662 1.1 57 60.951 1.197 6 IPE 200 I 4600 -130 264.2 2.729 1.167 611 H 200 x 100 x 5.272 1012 IPE 200 I 1800 -130 323.7 39.218 Leff zg fy.903 0.5 x 8 B 900 0 297.573 0.5 x 8 D 820 0 304.6 1.072 0.244 1010 IPE 200 I 2800 -130 323.5 50.5 1.1 1.1 1.8 1.2 1.459 0.064 0.459 0.5 350.7 1.5 417.1 128.1 1.903 0.6 76.1 335.3 59.6 1. BDK von gewalzten Trägern εIt [-] χLT.2 46.7 33.8 87.0 49.2 1.1 175.7 62.258 0.8 76.5 52.0 65.044 0.5 x 8 D 820 0 282.728 1.8 64.6 59.704 1.2 59.459 0.gem Mcr.523 1.291 0.514 1.573 0.0 46.903 0.8 60.523 1.7 37.1 57.879 1.5 x 8 G 2500 0 298.903 0.198 5 IPE 200 I 4600 -130 264.3 56.5 x 8 B 900 0 282.459 0.7 48.6 54.269 605 H 200 x 100 x 5.6 57.226 0.9 1.6 59.538 1.9 241.3 64.9 1.5 x 8 G 4000 0 281.423 0.1 1.9 518.932 1.0 47.027 726 B 1140 0 195.942 1.3 545 UB 254 x 146 x 43 I 3660 -219 302.6 63.0 43.322 1004 IPE 200 I 2800 -130 337.5 x 8 G 4000 0 298.048 0.5 x 8 G 2500 0 603 H 200 x 100 x 5.6 37.2 93.5 x 8 B 740 0 297.5 x 8 G 2000 0 298.892 1.161 4 IPE 200 I 4600 -130 260.7 1.929 1.228 1005 IPE 200 I 2800 -130 337.457 1.1 1.609 1.9 56.082 749 H 200 x 100 x 5.5 601 H 200 x 100 x 5.0 43.7 1.5 x 8 B 1070 0 304.5 347.7 64.295 47.8 55.392 0.5 x 8 G 110 H-194*150*6*9 .5 56.0 13.0 40.158 262.3 25.5 x 8 F 900 0 310.0 49 76.2 58.178 100E IPE 200 I 2800 -130 292.8 464.6 73.5 x 8 G 3000 604 H 200 x 100 x 5.692 1.5 1.2 93.0 59 62.231 612 H 200 x 100 x 5.6 48.5 x 8 G 2000 0 262.034 750 H 200 x 100 x 5.527 1.5 1.100 733 H 200 x 100 x 5.903 0.0 602 H 200 x 100 x 5.5 x 8 G 8000 0 275.0 25.995 608 H 200 x 100 x 5.064 0.6 33.423 0.064 0.7 1.216 722 H 200 x 100 x 5.1: Versuchsdaten und Berechnungsergebnisse.6 57.5 1.059 724 H 200 x 100 x 5.5 54.3 56.110 0.0 49.259 1009 IPE 200 I 2800 -130 323..952 1.2 57 57.725 1. 0 55.903 0.2 6.239 0.4 15 18.7 2.073 514 IPE 80 J 1200 40 290.gem Mexp Mpl.0 6.903 0.8 23.6 1.8 576.0 4.030 19 IPE 200 Z 1600 130 260.856 0.561 0.983 0.3 2.292 0.2 53.763 1.776 1.3 9 IPE 200 I 3200 -130 259.784 1.0 49.0 1.115 37 IPE 100 I 2400 -70 380.118 508 IPE 80 J 3400 40 290.1 1.2 6.9 10.3 18.3 2.5 70.3 3.4 56.557 0.0 9.0 1.486 0.943 1.554 1.3 15.0 10.557 0.102 42 IPE 100 I 1600 -70 384.753 1.0 8.292 0.799 1.3 6.1 3.0 5.0 1.3 2.983 0.6 11 IPE 200 I 3200 -130 258.221 0.0 3.3 2.gem [mm] [mm] [N/mm²] [kNm] [kNm] [kNm] Nr.4 15.066 1 IPE 200 Z 2300 130 260.126 512 IPE 80 J 2000 40 290.0 48 55.215 256.829 1.141 56 IPE 100 I 4600 -70 384.239 0.520 1.0 14 IPE 200 I 3200 -130 16 IPE 200 I 17 IPE 200 32 111 .6 6. BDK von gewalzten Trägern εIt [-] χLT..7 63.8 23.gem Mcr.7 3.9 3.4 15.0 46 56.903 0.1 576.050 501 IPE 80 J 4800 40 290.733 1.856 0.0 12.2 15.733 1.557 0.0 14.3 4.991 EV1 IPE 200 I 4600 130 285.452 0.9 6.789 0.105 IPE 100 I 2400 -70 371.6 78.764 1.797 1.4 1.0 1.2 87.5 3.0 58.5 3.2 55.2 6.237 502 IPE 80 J 4800 40 290.7 3.786 1.845 1.0 5 6.2 1.320 0.0 5.152 505 IPE 80 J 4000 40 290.730 1.3 2.172 EV3 IPE 100 I 2400 70 290.7 9.6 15.3 2.6 1.97 15.0 2.3 2.1: Versuchsdaten und Berechnungsergebnisse.372 1.2 78.0 14.118 56.8 23.143 43 IPE 100 I 1600 -70 384.09 15.5 18.5 3.9 87.625 1.372 1.R.066 Leff zg fy.878 1.2 55.773 1.720 0.018 57 IPE 100 I 4600 -70 386.486 0.6 56.6 1.099 506 IPE 80 J 4000 40 290.6 6.856 0.1 3.4 6.0 4.0 1.0 14.126 510 IPE 80 J 2800 40 290.0 5.3 15.083 511 IPE 80 J 2800 40 290.968 1.561 0.372 1.6 6.732 1.0 58.983 0.720 0.764 1.0 8.0 5.0 12.108 45 IPE 100 I 1600 -70 383.4 576.292 0.8 12 19.1 1.6 15 17.3 6.3 2.023 20 IPE 200 Z 1600 130 260.066 EV4 IPE 100 I 2400 70 290.0 14 15.067 509 IPE 80 J 2800 40 290.557 0.3 3.4 2.164 513 IPE 80 J 2000 40 290.0 56 55.5 63.551 1.74 16 10.968 1.3 4.6 1.4 1.128 I 3200 -130 259.221 0.5 1.152 504 IPE 80 J 4800 40 290.3 9.763 1.2 55.5 309.940 1.051 58 IPE 100 I 4600 -70 388.551 0.157 EV2 IPE 200 I 4600 130 285.3 2.983 0.067 35 IPE 100 I 2400 -70 377.0 55.0 2.557 0.878 1.9 78.292 0.292 0.0 47.772 1.0 10.7 3.4 6.486 0.5 309.239 0. Profil Typ 7 IPE 200 I 4600 -130 260.3 6.733 1.0 2.967 1.372 1.8 12 19.7 6.520 1.845 1.452 0.3 2.789 0.104 2 IPE 200 Z 2300 130 250.625 1.320 0.7 1.9 6.3 6.5 3.GM [-] re/rt [-] 64.0 57.139 515 IPE 80 J 1200 40 290.0 5.219 3200 -130 258.0 1.7 3.765 1.789 0.0 3.0 2.0 1.0 55.8 6.0 2.7 6.236 33 IPE 100 I 2400 -70 374.0 50.156 52 56 78.798 1.Versuchsauswertungen noch Tabelle 4.3 7.038 507 IPE 80 J 3400 40 290.3 2.292 0.3 2.094 18 IPE 200 Z 1600 130 260.0 13.195 503 IPE 80 J 4800 40 290. 0 112 1.5 1.169 (Modell) Δk = 0.078 γM = 1.5 0.2 Quantile der log-Normalverteilung Quantile der Standardnormalverteilung 2.5 1.4 0.0 -0.1 0.1 1.227 1.0 1.073 1.0 0.2: Sicherheitsuntersuchung für Biegedrillknicken von gewalzten Trägern Eingangsdaten υrt = 0.0 -0.0 0.07 (Streckgrenze) EC3 Background Document 5.4 1.8 0.5 0.098 υδ = 0.2 0.4 F G H 0.896 υR = 0.6 A B D 0.5 ln re/rt re/rt sδ = 0.3 0.5 γM = 1.1 -0.0 -2.4 -1.5 -2.0 -1.048 .08 (Geometrie und Streckgrenze) υfy = 0.4 -1.0 0.6 1.9 1.112 (gesamt) γM* = 1.1 1.5 0.03P .2 0.4 1.5 0.8 0.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage re/rt 1.9 1.2 I J Z 0. Versuchsauswertung re/rt Tabelle 4.092 b = 1.0 0.8 0.2: Biegedrillknicken von gewalzten Trägern.3 1.Appendix I (N = 142) Standardnormalverteilung log-Normalverteilung 2.0 1.169 υR = 0.0 (Modell) Δk = 0.2 1.7 ⎯λ Bild 4.3 1.085 b = 1.5 0.164 υδ = 0.7 0.895 sδ = 0.0 0.6 0.109 (gesamt) * γM = 1.0 -1.0 1.2 1.3 0.6 1. Versuchsauswertungen 4.1.3 Versuchs- und Berechnungsergebnisse – geschweißte Träger In Tabelle 4.3 sind die wesentlichen Versuchs- und Berechnungsergebnisse der Versuche an geschweißten Trägern zusammengefasst. Als Grundlage für die Bemessung dienten die gemessenen Geometrie- und Materialkennwerte. In Bild 4.3 ist die Auswertung aller 71 Versuche mit der „Standardisierten Europäischen Biegedrillknickkurve“ graphisch dargestellt und Tabelle 4.4 zeigt die Ableitung der γM-Werte für diese Fälle nach EN 1990, Anhang D. Tabelle 4.3: Versuchsdaten und Berechnungsergebnisse; BDK von geschweißten Trägern εIt [-] χLT,GM [-] re/rt [-] 4504,6 1,014 0,960 1,216 359,6 4504,6 1,014 0,962 1,161 163,5 162,2 652,9 1,188 0,870 1,208 317,8 162,2 162,2 951,7 1,126 0,906 1,151 0 317,8 162,2 162,2 1286,3 1,093 0,931 1,120 1310 0 387,5 194,8 197,7 652,3 1,188 0,844 1,217 B 1060 0 387,5 196,7 197,7 951,7 1,126 0,885 1,172 S 250x125x12x12 B 900 0 387,5 195,1 197,7 1286,3 1,093 0,913 1,127 9 S 250x125x12x12 B 1310 0 550,8 274,3 281,1 652,3 1,188 0,787 1,293 10 S 250x125x12x12 B 1060 0 550,8 277,1 281,1 951,7 1,126 0,841 1,223 11 S 250x125x12x12 B 900 0 550,8 274,6 281,1 1286,3 1,093 0,876 1,163 12 S 250x125x12x12 B 1310 0 863,3 421,1 440,5 652,3 1,188 0,689 1,446 13 S 250x125x12x12 B 1060 0 863,3 423,3 440,5 951,7 1,126 0,765 1,309 14 S 250x125x12x12 B 900 0 863,3 432,5 440,5 1286,3 1,093 0,814 1,257 15 S 237x108x6.5x16 B 490 0 827,9 354,6 349,7 3310,1 1,040 0,936 1,043 16 S 239x151x6.8x15 B 740 0 820,9 491,5 493,0 3947,5 1,040 0,925 1,087 17 S 500x125x9x12 F 800 0 265,9 304,7 330,1 3143,0 1,017 0,945 1,067 18 S 500x125x9x12 F 800 0 265,9 306,4 330,1 3143,0 1,017 0,945 1,073 19 S 500x125x9x12 F 800 0 265,9 301,8 330,1 3143,0 1,017 0,945 1,057 20 S 500x125x9x12 F 800 0 265,9 298,4 330,1 3143,0 1,017 0,945 1,045 21 S 500x125x9x12 F 800 0 265,9 305,7 330,1 3143,0 1,017 0,945 1,071 22 S 500x125x9x12 F 600 0 265,9 308,0 330,1 5554,4 1,010 0,983 1,037 23 S 500x125x9x12 F 600 0 265,9 301,8 330,1 5554,4 1,010 0,983 1,016 24 S 500x125x9x12 F 1000 0 265,9 305,7 330,1 2026,7 1,027 0,907 1,116 25 S 375x125x9x12 F 900 0 265,9 220,6 218,5 1870,0 1,035 0,935 1,150 26 S 375x125x9x12 F 900 0 265,9 218,5 218,5 1870,0 1,035 0,935 1,139 27 S 250x125x9x12 F 1000 0 265,9 128,0 125,5 1030,1 1,082 0,932 1,126 28 S 250x125x9x12 F 1000 0 265,9 126,3 125,5 1030,1 1,082 0,932 1,112 29 S 175x125x9x12 F 1200 0 265,9 80,6 78,6 540,7 1,206 0,921 1,110 30 S-250x125x9x12 G 1500 0 296,2 127,4 139,8 491,6 1,176 0,849 1,104 Leff zg fy,gem Mexp Mpl,R,,gem Mcr,gem [mm] [mm] [N/mm²] [kNm] [kNm] [kNm] Nr. Profil Typ 1 S 454x220x6x12 B 1480 0 243,7 409,4 371,0 2 S 454x220x6x12 B 1480 0 241,0 383,0 3 S 250x125x12x12 B 1310 0 317,8 4 S 250x125x12x12 B 1060 0 5 S 250x125x12x12 B 900 6 S 250x125x12x12 B 7 S 250x125x12x12 8 113 Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage noch Tabelle 4.3: Versuchsdaten und Berechnungsergebnisse; BDK von geschweißten Trägern εIt [-] χLT,GM [-] re/rt [-] 491,6 1,176 0,849 1,070 163,0 491,6 1,176 0,827 1,109 139,5 163,0 491,6 1,176 0,827 1,065 394,6 151,4 186,2 301,1 1,296 0,722 1,158 0 329,9 92,0 155,7 161,0 1,590 0,632 0,963 3000 0 386,0 112,9 182,2 161,0 1,590 0,581 1,099 G 4500 0 339,2 86,7 160,1 93,2 2,107 0,466 1,196 S-250x125x9x12 G 4500 0 304,7 80,6 143,8 93,2 2,107 0,505 1,143 39 S-200x100x6x9 G 2000 0 317,8 50,7 70,4 96,7 1,361 0,689 1,074 40 S-200x100x6x9 G 3000 0 317,8 38,3 70,4 52,8 1,707 0,533 1,047 41 S-200x100x6x9 G 4000 0 317,8 34,4 70,4 36,1 2,099 0,421 1,193 42 S-250x100x6x8 H 1500 0 336,3 75,4 92,5 165,1 1,134 0,728 1,180 43 S-250x100x6x8 H 1500 0 336,3 68,7 92,7 165,1 1,134 0,728 1,074 44 S-250x100x6x8 H 2000 0 336,3 77,9 92,7 99,4 1,228 0,609 1,455 45 S-250x100x6x8 H 2000 0 336,3 64,8 92,7 99,4 1,228 0,609 1,211 46 S-250x100x6x8 H 2250 0 336,3 62,1 92,7 81,5 1,281 0,556 1,272 47 S-250x100x6x8 H 2250 0 336,3 56,4 92,7 81,5 1,281 0,556 1,156 48 S-250x120x6x8 H 1500 0 336,3 92,2 105,7 275,7 1,089 0,795 1,147 49 S-250x120x6x8 H 1500 0 336,3 78,5 105,7 275,7 1,089 0,795 0,976 50 S-250x120x6x8 H 2000 0 336,3 84,4 105,7 162,8 1,154 0,695 1,201 51 S-250x120x6x8 H 2000 0 336,3 85,9 105,7 162,8 1,154 0,695 1,223 52 S-250x120x6x8 H 2250 0 336,3 91,0 105,7 132,2 1,192 0,646 1,394 53 S-250x120x6x8 H 2250 0 336,3 69,7 105,7 132,2 1,192 0,646 1,067 54 S-300x100x6x8 H 1500 0 336,3 74,4 119,2 194,1 1,101 0,706 0,946 55 S-300x100x6x8 H 1500 0 336,3 90,3 119,2 194,1 1,101 0,706 1,149 56 S-300x100x6x8 H 2000 0 336,3 78,8 119,2 115,1 1,173 0,575 1,230 57 S-300x100x6x8 H 2000 0 336,3 67,5 119,2 115,1 1,173 0,575 1,054 58 S-300x100x6x8 H 2250 0 336,3 73,4 119,2 93,7 1,215 0,518 1,274 59 S-300x100x6x8 H 2250 0 336,3 67,6 119,5 93,7 1,215 0,517 1,173 60 S-250x100x7x10 H 1250 0 769,2 207,5 255,8 294,9 1,136 0,614 1,378 61 S-250x100x7x10 H 1250 0 769,2 204,9 255,8 294,9 1,136 0,614 1,361 62 S-250x100x7x10 H 1500 0 769,2 202,9 255,8 213,2 1,190 0,525 1,577 63 S-250x100x7x10 H 1500 0 769,2 181,9 255,8 213,2 1,190 0,525 1,414 64 S-250x100x7x10 H 1750 0 769,2 188,8 256,5 163,6 1,252 0,449 1,714 65 S-250x100x7x10 H 1750 0 769,2 159,4 256,5 163,6 1,252 0,449 1,447 66 S-250x120x7x10 H 1250 0 769,2 259,7 292,7 493,5 1,091 0,705 1,303 67 S-250x120x7x10 H 1500 0 769,2 239,5 292,7 352,6 1,129 0,624 1,358 68 S-250x120x7x10 H 1750 0 769,2 223,6 292,7 267,4 1,172 0,548 1,442 69 S-300x100x7x10 H 1250 0 769,2 258,2 328,6 347,0 1,101 0,589 1,415 70 S-300x100x7x10 H 1500 0 769,2 219,9 328,6 248,5 1,143 0,494 1,436 Leff zg fy,gem Mexp Mpl,R,,gem Mcr,gem [mm] [mm] [N/mm²] [kNm] [kNm] [kNm] Nr. Profil Typ 31 S-250x125x9x12 G 1500 0 296,2 123,4 139,8 32 S-250x125x9x12 G 1500 0 345,4 145,4 33 S-250x125x9x12 G 1500 0 345,4 34 S-250x125x9x12 G 2000 0 35 S-250x125x9x12 G 3000 36 S-250x125x9x12 G 37 S-250x125x9x12 38 114 Versuchsauswertungen re/rt 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 B F 0.2 G H 0.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 ⎯λ Bild 4.3: Biegedrillknicken von geschweißten Trägern; Versuchsauswertung re/rt Tabelle 4.4: Sicherheitsuntersuchung für Biegedrillknicken von geschweißten Trägern Eingangsdaten υrt = 0,08 (Geometrie und Streckgrenze) υfy = 0,07 (Streckgrenze) EC3 Background Document 5.03P - Appendix I (N = 71) log-Normalverteilung 2.0 2.0 1.5 1.5 1.0 0.5 0.0 0.750 -0.5 0.875 1.000 1.125 1.250 1.375 1.500 -1.0 -1.5 Quantile der log-Normalverteilung Quantile der Standardnormalverteilung Standardnormalverteilung 1.0 0.5 0.0 -0.1 -0.5 0.0 0.1 0.2 0.5 -1.0 -1.5 ln re/rt re/rt sδ = 0.104 b = 1.165 γM = 1.264 0.4 -2.0 -2.0 υδ = 0.089 0.3 (Modell) Δk = 0.913 sδ = 0.111 b = 1.169 υR = 0.120 (gesamt) * γM = 1.154 υδ = 0.095 γM = 1.189 (Modell) Δk = 0.915 υR = 0.124 * γM (gesamt) = 1.087 115 0 152 221 414 222 23 24 251 252 26 116 50 4. zweiachsiger Biegung und Torsion 4.8 20 -10 -215 26.9 16 -70 165 0 20.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 4.4: Statisches System und Lastangriff der Versuchsreihen 1 und 2 TU-Berlin Tabelle 4.7 -70 215 0 163.7 20 -50 -215 103.9 20 0 -215 17.2 Symmetrische.6 .0 20 0 215 16. Bild 4.1 Versuchsbeschreibung und -ergebnisse In diesem Abschnitt sind die Versuchsnachrechnungen an prismatischen Trägern mit symmetrischem Querschnitt unter zweiachsiger Biegung und Torsion.5: Versuchsparameter der Versuchsreihen 1 und 2 der TU-Berlin ϕ [°] yp [mm] zp [mm] Pexp [kN] 0 25 -215 38.5 20 0 -215 131.0 20 0 -215 25.4 20 0 -215 133. Profil fy [N/mm²] L [m] Ü [mm] 11 121 2. mit und ohne Normalkraft.4 -70 165 0 30. Die Versuche wurden an der TU Berlin und der Ruhr Universität Bochum im Rahmen des FOSTA-Projektes P554 durchgeführt [21].5 21 0 50 -215 173.5 0 25 -215 21. Im Folgenden sind alle relevanten Versuchsdaten tabellarisch zusammengefasst.4 0 50 -215 110.0 20 0 -215 91.8 20 -50 -215 104.2.8 122 13 14 IPE 200 380 151 4. offene Profile unter Normalkraft. zusammengefasst.0 HEB 200 50 393 5.2 Nr. 0 0 -150 Fexp [kN] Nexp [kN] 107.90 539.20 900.32 24.43 103.87 56.20 632.0 c 8.43 232.6: Versuchsparameter der Versuchsreihe II der Ruhr-Universität Bochum Nr.0 a 100 -150 8.39 223.92 332.85 95.87 442.28 61.10 150.68 49.89 38.85 84.0 5.73 668.73 117 .86 36.0 95 b 0 -200 8.01 688.72 359.75 172.5: Statisches System und Lastangriff der Versuchsreihe II der Ruhr-Universität Bochum Tabelle 4.07 209.27 488.0 5.94 335.19 216.58 67.66 191.Versuchsauswertungen Bild 4. Profil fy [N/mm²] II-1 402 II-1a 402 II-2 402 II-3 378 II-4 378 II-5 402 II-6 II-7 HEB 200 402 402 II-8 378 II-9 402 II-9a 402 II-9b 402 II-10 407 II-11 378 L [m] Ü [mm] Typ yF [mm] zF [mm] 5. 54 5 -80 669.45 12 -26 1832.0 53.8 71.2 Berechnungsergebnisse Die nachstehenden Versuchsauswertungen dienen der Verlässlichkeitsuntersuchung der Gleichungen (3.7: Versuchsparameter der Versuchsreihe III der Ruhr-Universität Bochum Nr.2 für die Versuchsreihen an prismatischen Trägern mit symmetrischem Querschnitt unter Normalkraft.50).6: Statisches System und Lastangriff der Versuchsreihe III der Ruhr-Universität Bochum Tabelle 4.95 5 -40 613.28 40 -80 749.51) und (3.2 49. 118 .2 49.2.6 24.8 zusammengefasst.7 zeigt eine Gegenüberstellung der Versuchsergebnisse mit den rechnerischen Ergebnissen bei Verwendung des Verfahrens mit einheitlicher Grundlage gemäß Tabelle 3. Profil fy [N/mm²] III-1 407 III-2 407 III-1a 407 III-2a HEB III-3 200 378 III-4 414 III-5 385 III-6 385 414 L [m] Ü [mm] 3.9 zeigt die statistische Auswertung der Ergebnisse nach EN 1990 Anhang D. Tabelle 4. (3.52) sowie der „Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurve“.0 yN [mm] zN [mm] Nexp [kN] Mexp [kNm] 26 -34 1453.65 5 -40 1799.52 4. Bild 4.6 47. zweiachsiger Biegung und Torsion.0 8.99 15 -80 966 77.4 59. Die Ergebnisse der wesentlichen Zwischenschritte wurden in Tabelle 4.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Bild 4.0 50 5.41 14 -29 1705. 40 1.53 0.00 0.00 0.35 0.30 0.65 0.200 III-4 2.56 0.00 1.05 0.33 0.13 0.13 0.63 0.56 1.92 0.74 0.49 0.85 1.23 1.76 0.18 0.13 1.62 0.71 0.48 1.16 2.00 0.18 0.142 II-8 13.04 3.37 0.27 1.99 1.82 0.16 0.446 23 4.61 0.12 2.62 1.01 0.64 1.227 III-2a 1.13 0.51 0.55 0.92 1.56 2.37 1.27 0.17 0.93 0.92 1.10 0. αult.65 1.18 0.91 0.81 0.75 0.20 0.14 0.16 0.27 0.00 1.56 2.38 0.30 1.36 0.38 0.21 1.96 1.19 1.86 0.k βMz βB ΔnE ΔnR re/rt = ΔnE/ΔnR 11 3.475 II-6 4.33 0.15 1.04 0.04 0.60 0.91 1.09 0.31 2.17 0.36 0.26 1.14 1.68 0.36 0.88 0.03 0.19 0.00 1.15 0.89 1.19 0.25 1.20 0.49 0.06 0.38 0.94 1.00 1.71 1.16 0.00 0.43 1.08 0.263 III-3 1.53 1.24 1.46 2.00 1.30 1.00 1.75 0.00 1.15 1.95 1.17 0.04 0.46 0.27 0.63 0.11 1.03 0.37 0.92 0.Rk und Vergleich mit Versuchsergebnissen Nr.45 0.87 0.97 1.83 2.35 0.50 0.78 0.33 0.428 II-10 1.236 III-2 1.61 0.15 0.94 0.49 1.00 1.21 0.10 0.67 0.44 0.90 1.00 0.15 1.84 0.58 1.07 1.37 0.88 2.50 0.93 1.33 0.58 1.39 0.05 0.11 0.43 0.10 2.49 0.31 1.k αcrit α*crit α∗ χ χ ⋅ α ult .41 0.39 0.19 0.38 2.00 1.67 0.95 1.18 0.19 3.748 14 3.71 0.40 0.40 0.77 0.40 0.25 1.12 0.23 0.53 0.92 1.58 0.16 0.32 0.00 1.58 0.95 1.34 0.556 III-1 1.93 1.14 0.84 1.38 0.94 0.93 1.09 0.87 1.29 1.42 0.65 0.94 1.41 0.33 0.002 121 4.15 0.44 5.36 1.79 0.94 0.12 0.70 0.30 1.204 221 2.31 0.31 1.02 0.81 0.93 0.128 II-5 9.15 0.20 0.92 1.31 0.25 0.28 0.61 0.31 0.00 1.50 0.00 0.87 0.33 0.29 0.70 0.96 0.41 1.26 1.00 1.399 II-9a 1.03 0.39 5.00 1.66 0.71 1.05 0.60 0.13 0.00 1.19 0.210 152 5.64 0.99 0.098 251 2.31 0.55 1.958 151 5.069 II-4 1.98 0.228 III-6 1.33 0.01 1.30 0.00 0.67 0.89 0.48 10.61 2.74 1.11 0.84 0.42 0.00 1.31 1.11 0.34 0.00 1.13 1.68 0.93 1.981 24 1.27 0.198 III-1a 1.89 1.13 0.00 0.424 222 2.09 1.71 0.67 0.37 0.00 0.10 0.00 1.03 0.51 1.24 0.94 2.96 7.00 1.59 0.19 0.152 III-5 3.78 0.360 II-1 1.30 0.15 1.47 0.03 2.11 0.77 1.40 1.40 0.06 0.17 0.93 1.60 0.69 0.43 1.99 1.82 0.203 16 11.57 0.64 0.41 0.381 252 1.01 1.35 1.206 II-3 1.70 1.605 21 1.16 0.91 1.00 0.201 II-2 1.83 1.96 1.00 1.277 II-9 1.434 1 119 .297 122 4.410 II-9b 0.84 0.24 1.00 1.40 0.36 1.00 1.82 0.04 0.422 II-7 9.23 1.16 0.14 0.00 1.90 0.357 26 1.94 1.13 1.43 1.81 0.93 1.09 0.70 0.34 0.191 II-1a 1.38 0.23 1.90 0.23 0.00 1.243 II-11 1.40 0.276 13 11.96 1.82 1.10 0.00 1.71 0.08 1.18 0.88 1.14 0.8: Berechnungsergebnisse für BRk = Bpl.76 10.20 1.00 0.00 0.Versuchsauswertungen Tabelle 4.99 0.19 0.28 1.20 0.96 1.22 0.30 0.71 0.38 0.89 0.09 0.00 0.76 1.17 0.95 1.00 1.08 1.00 0.28 1.06 0.25 0.49 0.62 0.23 0.24 1.20 1.19 0. 8 1.Vers.0 -2.130 1.0 0.0 -0.400 1.5 0.6 1.6 0.07 (Streckgrenze) Research Project Fosta P 554 (N = 38) Standardnormalverteilung log-Normalverteilung 2.8 0.288 υδ = 0.0 0.6 Lindner .1 0.4 1.3 (gesamt) * γM = 1.0 0.0 1.0 -1.7 -1.HEB 200 Kindmann .9: Determination of the γ ∗M-value according to EN 1990 – Annex D Eingangsdaten υrt = 0.177 b = 1.1 -0.5 -1.7: Vergleich von Versuchs.0 1.5 1.5 ln re/rt sδ = 0.137 γM = 1.2 sδ = 0.0 0.0 120 1.4 Lindner .0 0.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage re/rt 2.294 υR = 0.2 1.0 1.2 2.095 .225 0.5 0.IPE 200 0.4 ⎯λ Bild 4.168 (Modell) Δk = 0.5 -2.08 (Geometrie und Streckgrenze) υfy = 0. III 0.4 1.Vers.Rk Tabelle 4.6 1.8 2.8 1. II 0.247 (Modell) Δk = 0.0 υδ = 0.153 0.8 1.5 γM = 1.und Berechnungsergebnissen für BRk = Bpl.0 1.4 1.4 0.8 -0.2 1.878 υR = 0.0 2.6 0.4 -1.5 0.159 (gesamt) γM* = 1.2 1.5 0.6 Quantile der log-Normalverteilung Quantile der Standardnormalverteilung 2.875 0.0 0.2 Kindmann .0 re/rt b = 1. 6 -21. offene Profile unter Normalkraft. zweiachsiger Biegung und Torsion 4.9: Statisches System und Lastangriff der Versuchsreihe I der RuhrUniversität Bochum 121 . Profil fy [N/mm²] L [m] Ü [mm] 31 2.4 -21.5 34.4 0 15.6 -21. Im Folgenden sind alle relevanten Versuchsdaten tabellarisch zusammengefasst. Bild 4.6 -21.5 31.1 Versuchsbeschreibung und -ergebnisse In diesem Abschnitt sind die Versuchsnachrechnungen an prismatischen Trägern mit unsymmetrischem Querschnitt unter zweiachsiger Biegung und Torsion.5 57.5 51.0 ϕ [°] yp [mm] zp [mm] Fexp [kN] 0 -14.6 -21.8 0 25.3 Unsymmetrische.5 30.2 0 35.4 -21.0 0 25. mit und ohne Normalkraft.Versuchsauswertungen 4.10: Versuchsparameter der Versuchsreihen 3 der TU-Berlin Nr.4 Bild 4. zusammengefasst.5 0 -14. Die Versuche wurden an der TU Berlin und der Ruhr Universität Bochum im Rahmen des FOSTA-Projektes P554 durchgeführt [21].8: Statisches System und Lastangriff der Versuchsreihen 3 TU-Berlin Tabelle 4.5 43.8 321 322 33 341 342 UPE 200 380 50 4.3. Rk des U-Profils.16 227.80 37.91 74.51) und (3.86 a 22.93 a 22.48 278.14 und Tabelle 4.12 und Tabelle 4.0 Typ yFM [mm] zFM [mm] Fexp [kN] Nexp [kN] a 22.11: Versuchsparameter der Versuchsreihe I der Ruhr-Universität Bochum Nr. Profil fy [N/mm²] I-1 418 I-2 418 I-3 418 I-4 I-5 UPE 200 L [m] 4.52) sowie der „Standardisierten Europäischen Biegedrillknickkurve“.Rk des U-Profils 2.4 -150 15. unter Verwendung des plastischen Wölbwiderstands Bpl.13 zusammengefasst.11 zeigt eine Gegenüberstellung der Versuchsergebnisse mit beiden rechnerischen Ergebnissen bei Verwendung des Verfahrens mit einheitlicher Grundlage gemäß Tabelle 3. Tabelle 4.4 -150 36. 122 .2 Berechnungsergebnisse Die nachstehenden Versuchsauswertungen dienen der Verlässlichkeitsuntersuchung der Gleichungen (3. Die Ergebnisse der wesentlichen Zwischenschritte wurden in Tabelle 4.93 80.01 b -14.10 und Bild 4.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Tabelle 4.4 -150 21.6 -150 45.6 -150 22. 4.3. Die kritischen Lasterhöhungsfaktoren αcrit für die MN-Interaktion wurden mit der Software LTBeamN [17] ermittelt.95 74.37 b -14.2 für die Versuchsreihen an prismatischen Trägern mit unsymmetrischem Querschnitt. unter Verwendung des elastischen Wölbwiderstands Bel.15 zeigt die jeweilige statistische Auswertung der Ergebnisse nach EN 1990 Anhang D.01 33.76 59.4 -150 24. (3.0 418 95 418 I-6 418 I-7 418 I-8 364 Ü [mm] 6.6 -150 29.03 a 22.88 b -14. Dabei wurden zwei verschiedene Berechnungen durchgeführt: 1. Die durch die angeschweißte Kopfplatte verursachte Wölbbehinderung wurde bei der Nachrechnung berücksichtigt.45 Bei diesen Versuchen wurde die Normalkraft N über eine Kalottenlagerung aufgebracht die an einer 20 mm dicken Kopfplatte befestigt wurde.50). Bild 4.6 -150 17.83 b 14. 109 0.163 342 2.240 322 2.805 0.295 0.642 0.244 0.690 0.040 0.186 0.342 1.258 0.097 0.000 1.958 0.124 1.056 1.973 0.119 0.066 0.391 0.168 0.101 I-3 3.109 0.215 0.769 1.502 0.422 I-2 2.421 0.769 1.877 0.925 1.282 I-2 2.678 0.000 1.943 1.985 1.109 0.424 0.222 0.421 0.943 1.209 1.404 1.204 1.385 0.376 0.877 0.000 1.194 1.312 Tabelle 4.k αcrit α*crit α∗ χ χ ⋅ α ult .264 1.233 0.295 0.311 1.109 0.054 1.804 0.381 0.421 0.000 1.000 1.502 1.000 1.095 0.109 0.228 0.420 0.168 0.896 1.261 0.k βB ΔnE ΔnR re/rt 31 2.040 0.169 1.998 1.289 1.994 1.994 0.347 1.572 0.464 0.191 1.221 1.031 1.802 0.303 1.289 1.252 1.456 1.204 1.074 1.425 0.393 I-3 3.502 0.425 1.788 0.347 0.163 1.300 1.517 0.288 0.087 1.204 0.126 1.347 1.128 0.015 1.973 0.347 1.323 1.485 1.288 0.895 0.552 0.052 1.312 0.074 0.084 1.288 0.248 1.k βB ΔnE ΔnR re/rt 31 2.958 0.180 1.000 1.985 1.233 0.000 1.576 1.296 I-1 2.311 I-7 3.000 1.462 0.288 0.335 0.994 0.424 0.12: Berechnungsergebnisse für BRk = Bel.966 0.223 1.802 0.082 1.048 0.678 0.376 0.109 1.998 1.109 0.214 0.204 0.000 1.204 1.261 0.594 1.Rk und Vergleich mit Versuchsergebnissen 1 Nr.168 0.295 0.312 1.421 0.051 1.966 0.502 1.214 0.000 1.087 341 2.348 0.168 0.420 0.312 0.234 1.462 0.805 0.653 I-4 3.229 0.199 1.186 0.k αcrit α*crit α∗ χ χ ⋅ α ult .078 0.124 33 2.350 1.162 0.097 0.032 0.982 0.347 0.000 1.214 0.209 341 2.023 1.303 I-6 2.289 1.215 0.168 0.289 1.828 0.000 1.119 0.425 0.035 1.407 0.895 0.004 1.191 1.011 1.788 0.080 I-1 2.168 0.456 1.425 1.485 I-5 2.294 0.282 1.047 322 2.896 1.425 0.919 0.994 1.340 1.552 0.13: Berechnungsergebnisse für BRk = Bpl.038 1.342 I-5 2.234 123 .690 0.221 I-7 3.406 1.066 0.347 1.970 0.464 0.258 0.642 0.425 0.000 1.653 1.244 0.214 0.323 I-8 3.594 I-4 3.295 0.919 0.047 1.000 1.124 1.004 1. αult.828 0.Versuchsauswertungen Tabelle 4.254 33 2.000 1.048 0.000 1.252 342 2.128 0.925 1.350 I-8 3.572 0.340 I-6 2.804 0.254 1.097 0.074 0.000 1.464 321 2.113 1.970 0.421 0.517 0.229 0.421 0.Rk und Vergleich mit Versuchsergebnissen 1 Nr.406 1.248 1.963 0.391 0.204 1.025 321 2.035 1.963 0.228 0.223 1.000 1.407 0.097 0.348 0.335 0.000 1.422 1. αult.966 0.982 0. 6 0.900 .4 (gesamt) * γM = 1.5 1.6 1.5 -2.1 0.08 (Geometrie und Streckgrenze) υfy = 0.1 2.0 -0.4 UPE 200 .Rk) Eingangsdaten υrt = 0.6 1.482 υR = 0.0 -2.158 (Modell) Δk = 0.2 1.0 re/rt b = 1.0 2.UPE200 (Tel.0 Bel.2 0.3 sδ = 0.107 1.3 1.TU Berlin 0.Rk 1.RuhrUni Bochum 0.6 -0.5 γM = 1.0 -1.9 2.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage re/rt 2.5 0.Rk Tabelle 4.2 ⎯λ Bild 4.0 1.0 0.5 0.8 1.154 b = 1.8 1.5 -1.0 1.5 ln re/rt sδ = 0.und Berechnungsergebnissen für BRk = Bel.5 -1.4 1.479 υδ = 0.6 0.8 0.744 0.7 -1.104 γM = 1.Rk) (N = 14) Standardnormalverteilung log-Normalverteilung 2.218 (Modell) Δk = 0.10: Vergleich von Versuchs.7 1.5 1.07 (Streckgrenze) Research Project Fosta P 554 .2 1.739 υR = 0.14: Bestimmung des γ*M-Wertes gemäß EN 1990 – Anhang D (BRk = Bel.4 1.133 0.0 1.0 0.006 0.353 1.4 1.8 Quantile der log-Normalverteilung Quantile der Standardnormalverteilung 2.2 1.131 (gesamt) γM* = 0.0 υδ = 0.2 UPE 200 .0 124 1.5 0.0 0.w. Rk) (N = 14) Standardnormalverteilung log-Normalverteilung 2.000 -0.125 0.0 1.250 sδ = 0.2 1.2 ⎯λ Bild 4.UPE200 (Tpl.5 -1.4 1.5 1.0 Bpl.5 ln re/rt sδ = 0.8 1.0 υδ = 0.0 0.9 2.5 0.11: Vergleich von Versuchs.0 0.6 1.106 0.3 1.244 1.0 1.4 1.RuhrUni Bochum 0.0 -2.0 1.6 0.500 -1.8 1.070 Quantile der log-Normalverteilung Quantile der Standardnormalverteilung 2.080 (Modell) Δk = 0.0 0.5 -2.0 υδ = 0.5 1.Rk) Research Project Fosta P 554 .145 υR = 0.1 1.0 2.0 re/rt b = 1.142 0.918 υR = 0.083 125 .5 1.Rk Tabelle 4.4 UPE 200 .109 (gesamt) γM* = 1.2 1.0 -1.179 (Modell) Δk = 0.w.141 γM = 1.8 0.TU Berlin 0.5 0.7 1.2 UPE 200 .5 0.0 0.Rk 1.und Berechnungsergebnissen für BRk = Bpl.3 1.074 γM = 1.Versuchsauswertungen re/rt 2.2 1.4 -0.1 2.0 1.918 (gesamt) * γM = 1.15: Bestimmung des γ*M-Wertes gemäß EN 1990 – Anhang D (BRk = Bpl.6 1.085 b = 1.375 -1. Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 4. Die Versuche wurden an der TU Dortmund im Rahmen des FOSTA-Projektes P690 durchgeführt [22].1 Versuchsbeschreibung In diesem Abschnitt sind die Ergebnisse der Versuchsnachrechnungen an gevouteten Trägern zusammengefasst. Biegedrillknicken von Hallenrahmen mit aufgevouteten Riegeln im Bereich der Rahmenecken zu untersuchen. Bild 4. 1/2 126 .4.12: Versuchsaufbau und Belastungssituation Innerhalb der Versuchsreihe wurden die folgenden Parameter variiert: 1. Voutenlänge kL = Voutenlänge Gesamtlänge Æ kL = 1/6.77 2. Ziel des Forschungsvorhabens war es.und Lagerungsbedingung der Versuchsträger. 1. Die nachfolgenden Versuchsauswertungen dienen der Verlässlichkeitsuntersuchung der Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurve nach EN 1990 . siehe auch [23]. Bild 4.4 Gevoutete Träger 4.12 gibt eine Übersicht über die Belastungs.5. 1/3.Anhang D. Voutenhöhe kV = max h min h Æ kV = 1. 48 fy = 400 N/mm² 0.48 VT4B 0.16: Variationsparameter aller Versuche Versuch Grundprofil [-] L Material kL bf.33 VT1A 0.32 VT3A 0. Tabelle 4.17: Querschnittsabmessungen am Voutenende für die Versuchsträger VT1 bis VT3 und VT4 bis VT6 VT_1 – VT_3 VT_4 – VT_6 127 .16 0.48 VT4A 0. 1/3 und Variationsparameter kann Tabelle 4.32 VT3B 0.32 46 65 5 4 73 100 8 5 0.50 1500 0.17 entnommen werden. f0= 1/2.Versuchsauswertungen 3.voute hw.16 VT5A VT6A VT1B S355 IPE 140 8000 VT2B 0.voute tw.16 VT5B 0.32 VT6B 0. Die jeweiligen Querschnittsabmessungen am Voutenende können Tabelle 4.16 VT2A 0.voute LLET f0 [m m ] [-] [-] [m m ] [m m ] [m m ] [m m ] [m m ] [-] 73 100 8 5 1333 0.voute tf.16 entnommen werden. Momentenverlauf f 0 = MF MS Æ Eine vollständige Liste der QuerschnittsTabelle 4.48 46 65 5 4 Die Vouten wurden aus Blechen gefertigt und an einen über die gesamte Riegellänge durchlaufenden Stahlträger mit Walzprofil (IPE 140) geschweißt. 13: Versuchsaufbau. Bild 4.14 entnommen werden. Details der Lasteinleitungskonstruktion in Feldmitte mit elastischer Drehfederbettung cϕ. vgl.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Das gewünschte Momentenverhältnis Feldmomentes MF / Randmoment MS wurde durch drei gleich große Einzellasten P und eine Variation der Kragarmlänge LLET gewährleistet.13. können Bild 4. Lastanordung P und Lagerungsbedingungen [22] 128 . Bild 4. 18 zusammengefasst. rechnerischen Traglasten PEd. Daneben sind jeweils die Ergebnisse der FEMEigenwertanlyse Pcrit und P*crit.und Versuchsergebnisse Die in den Versuchen ermittelten Lasten P (vgl. 129 . Letzteres ist noch einmal graphisch in Bild 4. die mit Hilfe der Europäischen Standardisierten Biegedrillknickkurve ermittelten. sowie das Verhältnis der experimentell zu rechnerisch ermittelten Ergebnisse eingetragen. Versuchsaufbau in Bild 4.13) bei Eintreten von elastischem Biegedrillknicken.Versuchsauswertungen Bild 4.14: Lasteinleitung mit Vorrichtung für cϕ in Feldmitte [22] 4.4.2 Berechnungs.15 dargestellt. sind in Tabelle 4. Diese Werte wurden für eine Drehfedersteifigkeit von cϕ = 1000 kNcm/rad ermittelt. 686 1.23 1.00 1.17 0.727 0.207 0.075 VT3A 50.100 44.941 0.992 0.103 1.000 0.192 1.925 re/rt 2.929 0.677 0.97 0.100 0.982 1.30 1.230 1.798 1.142 1.269 1.669 0.183 0.87 0.2 1.563 0.67 1.075 1.958 1.188 0.020 0.163 0.8 0.025 1.mod αEd re/rt 0.202 0.125 ⎯λ Bild 4.968 1.997 0.746 0.0 0.0 0.887 VT4A 34.244 VT4B 30.182 VT6A 41.628 0.204 0.457 VT6B 33.425 0.945 0.988 1.045 0.617 0.241 VT5B 35.203 0.019 0.05 1.839 1.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Tabelle 4.013 0.012 0.214 0.501 VT1B 34.652 0.852 0.953 1.87 VT3B λLT.k.909 1.020 0.366 0.655 0.725 0.43 1.001 VT2A 49.870 1.220 0.186 0.358 0.212 VT2B 38.040 0.043 1.681 0.988 1.615 0.012 VT5A 37.806 1.528 0.189 0.645 0.979 0.193 0.206 0.6 0.019 0.975 1 1.170 1.95 0.15: Verhältnis der experimentell zu rechnerisch Ermittelten Traglasten 130 .625 0.212 0.109 0.1 1.mod χLT.201 0.min VT1A 40.932 0.076 0.622 0.194 0.210 0.971 1.283 1.763 1.97 1.9 0.831 1.2 0.702 1.254 0.763 0.310 0.088 0.163 0.4 0.916 0.0 1.000 0.673 1.6 1.8 1.722 0.40 1.204 1.051 0.73 1.713 0.804 1.486 0.186 0.067 0.756 0.055 0.767 0.014 0.960 1.18: Zusammenfassung der experimentellen und rechnerischen Ergebnisse Nr.813 1.538 0.161 0.203 0.820 1. Pexp αcrit α*crit α∗ xd / L f αult.887 1.215 0.4 1.991 1. 08 (geometrie and yield strength) υfy = 0.5 0.842 υR = 0.998 131 .Versuchsauswertungen Die statistische Auswertung der Ergebnisse nach EN 1990 – Anhang D ist in Tabelle 4.00 1.110 γM * (total) υδ = 0.19 zusammengefasst.19: Statistische Versuchsauswertung gemäß EN 1990 – Annex D Input values υrt = 0.841 1. Tabelle 4.076 Quantile der log-Normalverteilung Quantile der Standardnormalverteilung 2.5 -2.0 γM = 1.0 -1.3 0.0 0.0 sδ = 0.25 1.0 -0.75 -1.5 0.0 -1.00.07 (yield strength) Versuche an gevouteten Trägern (TU Dortmund) (N = 12) standard deviation log-standard deviation 2.255 1.113 (total) * γM = 0.0 0.1 0.260 υR = 0.080 = 1.059 γM = 1.4 0.75 -0.5 -2.0 1.0 0.0 re/rt υδ = 0.186 (model) Δk = 0.0 0.5 ln re/rt sδ = 0.259 (model) Δk = 0.2 0. Wie auch bereits für andere Stabilitätsphänomene berechnet.5 1.5 0.50 1. liegt der ermittelte Sicherheitsbeiwert γM in einer Größenordnung von γM ≈ 1.096 b = 1.5 -1.101 b = 1.5 1. 1 Versuchsbeschreibung Das Ziel dieses Abschnittes ist es die Anwendbarkeit der Standardisierten Biegedrillknickkurve zur Bemessung von Trägern mit Ausklinkungen mit Hilfe von Versuchsnachrechnungen.6 50 / 8 25.20: Versuchsprogramm: Träger mit Fahnenblechanschlüssen [24] Anschlussdetail Ausklinkung ℓ/s - - 160/30 160/30 132 Fahnenbleche hF/t Fmax.3 90 / 8 34. Tabelle 4. die an der TU Delft [24] durchgeführt wurden.9 .3 75 / 8 34.8 75 / 5 - 75 / 8 25.4 90 / 12 32. Bei den Versuchen handelt es sich um 3-Punkt-Biegeversuche mit einer konservativen Lasteinleitung am oberen Flansch gemäß Bild 4.4 75 / 12 28.6 75 / 12 30.exp [kN] 90 / 5 29. zu demonstrieren.5 Ausgeklinkte Träger mit Fahnenblechanschlüssen 4.2 50 / 5 22.2 75 / 5 27.5.8 50 / 12 27.16.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 4.20 entnommen werden. Das Versuchsprogramm sowie -ergebnisse können Tabelle 4. 8 N/mm² 2040 mm Gabellagerung mittels Kardanlager konservative Lasteinleitung konservative Lasteinleitung Gabellagerung mittels Kardanlager Details des Fahnenblechanschlusses Prüfzylinder Spannweite 2040 mm Bild 4.16: Versuchsaufbau der Versuchsreihe: Träger mit Fahnenblechanschlüssen 133 .Versuchsauswertungen F IPE 120 S355 fy = 437. 5. vgl.02 m angewandt werden kann. Haupttragebene: reine Biegebeanspruchung infolge mittiger Einzellast Fz 2.und Versuchsergebnisse Für den Nachweis wurden die folgenden Einwirkungen berücksichtigt 1.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 4.Ed ist in Tabelle 4.Ed sowie der Vergleiche mit den Versuchsergebnissen re/rt = Fz.2 Berechnungs.2 mit xd = 1. Bild 4.exp/Fz.21 zusammengestellt.18 zeigt noch einmal eine graphische Gegenüberstellung der ermittelten re/rt Verhältnisse.17: Zur Ermittlung der Torsion berücksichtigte Exzentrizität 134 . Nebenebene: Querbimoment BEd hervorgerufen durch die Exentrizität e der Lagerung und dem dadurch auf den Träger einwirkenden Torsionsmoment TEd = Fz. so dass das Verfahren auf einheitlicher Grundlage gemäß Tabelle 3.17.Ed ⋅ e . Eine Zusammenfassung der berechneten Traglasten Fz. Bild 4. Bild 4. 2 0.0 1.4 mit Ausklinkung 0.6 4.k χLT χ ⋅ α ult .287 1.033 1.253 0.934 0.509 1.390 2.389 1.377 1.2 0.0 0.2 1.2 1.8 0.45 1.136 b) 75 / 8 34.032 0.889 0.399 1.191 a) 90 / 8 34.405 1.431 1.240 b) 75 / 5 27.350 a) 90 / 12 32.4 6.000 1.526 1.000 1.268 d) 50 / 12 27.392 1.6 1. Die Ergebnisse in Tabelle 4.8 1.302 0.6 1.779 0.470 1.400 2. 135 .294 1.288 c) 75 / 12 28.922 0.0 1.034 1.455 1.268 1.6 6.000 1.2 ohne Ausklinkung 0.55 1.3 1.383 1.000 1.894 0.174 0.191 1.507 1.156 0.386 1.023 1.000 1.049 1.4 1.21: Berechnungs.911 0.693 0.869 0.288 1.335 0.486 1.386 d) 50 / 5 22.929 0.070 0.18: Verhältnis der experimentell zu rechnerisch Ermittelten Traglasten Das „Verfahren auf einheitlicher Grundlage“ wurde für die vorliegenden Versuchsergebnisse statistisch nach EN 1990 – Annex D ausgewertet.451 1.2 0.035 0.507 0.65 1.910 0.337 0.000 1.048 1. re/rt 2.453 1.475 1.307 0.103 0.00 an.047 1.7 - - - - - - - - - c) 75 / 8 25.240 1.6 0.343 1.5 1.160 0.294 Nr.k βB ΔnE ΔnR re/rt a) 90 / 5 29.515 0.036 0.232 0.7 ⎯λ Bild 4.Versuchsauswertungen Tabelle 4.053 1.000 1.849 0.2 0.2 8.223 c) 75 / 5 - 4.405 1.027 0.858 0.3 4.4 6.6 6.223 1.000 1.000 1.und Versuchsergebnisse 1 Pexp ey αcrit α*crit αult.8 8.2 1.036 1.9 8.242 0.7 1.35 1.7 0.2 0.410 1.4 1.22 geben den für diese Versuchsreihe ermittelten Sicherheitsbeiwert von γM = 1.408 2.7 1.383 b) 75 / 12 30.2 8.25 1.2 1.3 4.000 1.350 1.052 0.2 0.287 d) 50 / 8 25.497 1.035 1.066 1.619 0.063 1.136 1.264 0.000 1. Tabelle 4.0 -1.00 1.0 re/rt b = 1.0 0.315 Quantile der log-Normalverteilung Quantile der Standardnormalverteilung 2.1 0.25 1.020 γM = 1.0 0.113 (total) γM* = 0.953 .3 0.2 0. dass die vorliegenden Imperfektionen kleiner waren als die die der „Standardisierten Europäischen Biegedrillknickkurve“ zugrunde liegen.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage Die Konservativität der Ergebnisse liegt hauptsächlich in der Tatsache begründet.4 0.0 -1. die Vorverformung sogar entgegen der durch die Lagerung bedingten Exzentrizität verliefen und diese dadurch teilweise ausglichen.0 0.0 υδ = 0.5 1.5 0.079 γM = 1.104 (model) 1.0 1.317 (total) υδ = 0.50 1.08 (geometrie and yield strength) υfy = 0.5 -1.0 0.75 -0.75 -1.5 -2.07 (yield strength) Tests on coped beams with fin-plates (TUDelft) (N = 11) standard deviation log-standard deviation 2. bzw.22: γM-Wert Bestimmung für Träger mit Fahnenblechanschlüssen Input values υrt = 0.267 136 Δk = 0.112 sδ = 0.185 (model) Δk = 0.804 υR = 0.0 υR = 0.5 ln re/rt sδ = 0.0 -0.105 b = 1.5 0.080 γM* = 1.5 0.5 1.805 1.5 -2. Berechnungsbeispiele für ausgewählte Anwendungsfälle 5 Berechnungsbeispiele für ausgewählte Anwendungsfälle 5.1: Statisches System mit Belastung 137 .20 ergeben sich die vertikalen Radlasten zu F1 = F2 = F = ϕ1 ⋅ R = 1. Mit einem Schwingbeiwert von ϕ = 1. Es handelt sich um einen Zweifeldträger mit einer Spannweite von 2 x 6m. Die Lasten resultieren von einem Brückenkran mit den maximalen Radlasten R = 75 kN H = 22.6 m.2 ⋅ 75 = 90 kN Das Eigengewicht des Kranbahnträgers beträgt g = 1. Der Stahlquerschnitt ist ein HEB 300 S235.1 entnommen werden.1 Statisches System und Last Das Statische System des Kranbahnträgers kann Bild 5. mit einer über Kehlnähte angeschweißten Kranbahnschiene 5 cm x 3 cm. Die an die Flansche und den Steg angeschweißten Steifen auf Höhe der Auflager und die Verbindung zu den Konsolen der Hallenrahmen erfüllen die Anforderungen an eine Gabellagerung.35 kN/m Bild 5.2 kN Der Abstand der Räder beträgt c = 3.1 Kranbahnträger 5. Die Schiene wird für die Querschnittstragfähigkeit nicht angesetzt.1. Ed = 121.23 kNm2 Somit folgt für die Bemessung in der Haupttragebene 138 .3 kNm My.2 Nachweis 5. F1.2 entnommen werden.Rk = 209 kNm BRk = 28.5 kN HEd = 30 kN TEd = 5.4 kNm a l1 = 2.Ed = 121. Mz.3: Schnittgrößen für Laststellung „maximales Feldmoment“ Die plastischen Querschnittswiderstände sind My.Ed = 37.1.Ed = 157.2: Laststellung für maximales Feldmoment Die Bemessungswerte der Schnittgrößen für die maßgebende Lastkombination sind in Bild 5.1 Maximales Feldmoment Die Laststellung und die Bemessungslasten für das maximale Feldmoment können Bild 5.86 kNm² Bild 5.Rk = 459.7 kNm BΕd = 3.1 m c = 3.1.0 m Bild 5.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 5.82 kN/m c b l2 l = 6.0 m l = 6.2.8 kNm Mz.6 m gEd = 1.5 kN F2.3 zusammengefasst. 853 ⋅ 2.933 ≤ 1.86 ⋅ (1 − q B ) = ⋅ (1 − 0.k 1 + 0.552 157.853 χ ⋅ α ult .648) = 0.274 7.k 0. Ed 1191 = 7.552 ⎝ ⎛ B ⎞ 1 ⋅ ⎜⎜1 − m ⎟⎟ ≅ ⋅ (1 − 0. LT α crit = M 459.130 = 0.047 ) = 0. Ed = M y .916 157.81) = 0.0 ⎟⎠ 7.k = 0.047 B 7 .552 α crit χ = 0. Ed M y .crit .23 Δn E = 1 α Ed Δn R = 1 − + βz + βB = 1 χ ⋅ α ult .216 = 0.621 α crit α* =α ⋅ * α crit 4.m ⎞ ⎟ ≅ 1 ⋅ (1 − 0.916 = = 2.261 ⎛ 1 ⋅ ⎜1 − ⎜ χ ⋅ α ult . 552 0 ⎠ ⎝ M y . Rd ⋅ (1 − q Mz ) = 37.49 ⋅ = 0.7 * α crit = 4.170 209 BEd 3.0 ⎟ ⎠ und somit zu Δn E < Δn R Æ 0.742 < 0.130 BRd 28.3 ⋅ (1 − 0.Berechnungsbeispiele für ausgewählte Anwendungsfälle α ult .k = M y .025) = 0.933 Der Ausnutzungsgrad des Kranbahnträgers liegt demzufolge bei 139 .025 ⋅ ⎜1 − ⎜ M z .216 λ= α ult .261 1.1 γM α Ed = Die Berücksichtigung der Querlasten (Biegung und Torsion) führt mit xd = l1 zu q Mz = qB = βz = βB = 1 α crit 1 α crit ⎛ M z .8 = 2. Rk M y .742 2.7 = y .k ⎝ ⎞ 2 2 ⎟ ⋅ χ ⋅ λ = 0.170 + 0. 2 m F2.23 5.5 kN TEd = 5.1.Ed = 121.5: Schnittgrößen für Laststellung „maximales Stützmoment“ Offensichtlich ist der Lastfall “maximales Stützmoment” nicht maßgebend für den Biegedrillknicknachweis.2 m Bild 5. My.35 kNm BΕd = 3. 140 .4 entnommen werden.Ed = 121.8 m 1.3 3.4 kNm b 1.5 kN HEd = 30 kN a 4.2.8 m c 4.5 zusammengefasst.9 würde zu folgendem Nachweis führen: 1 α Ed + βz + βB = 1 37. qMz = 0 und ΔnR = 0.86 + + = 0.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage ε= Δn E 0.Ed = -138.74 kNm² Bild 5.742 = = 0.933 Eine vereinfachte Bemessung mit qB = 0.2 Maximales Stützmoment Die Laststellung und die Bemessungslasten für das maximale Stützmoment können Bild 5.Ed = -17.4: Laststellung maximales Stützmoment Die Bemessungswerte der Schnittgrößen für die maßgebende Lastkombination sind in Bild 5.757 < 0.8 kNm Mz.9 2. F1.795 Δn R 0.261 209 28. Berechnungsbeispiele für ausgewählte Anwendungsfälle 5. neben den Beanspruchungen N und My in der Haupttragebene.und Biegebeanspruchung 5.5 kN 78.Rk = Bpl.Rk = My.75 m yFM = 6. Ed ⋅ L 15 ⋅ 3.1 Statisches System und Last Gegeben ist ein Einfeldträger mit U-Profil Querschnitt gemäß Bild 5.60 kNm = ⋅ = ⋅ N 125 4 4 1− 1 − Ed 2814 N cr .0 ⋅ 0.2.1.028 kNm BEd = 0.1 kNm 3.Rk = 1029.0 cm NEd = Fz. Ed 125 1 − 0 .6: Statisches System mit Belastung 5.0685 = 1. ergibt sich.2 Einfeldträger mit unsymmetrischem Querschnitt unter Druck. Da die Last Fz außerhalb des Schubmittelpunktes in Flanschmitte angreift. 18 ⋅ 1 q − Fz .291 kNm2 Mit den plastischen Querschnittswiderstände Npl.85 cm zFM = 10. y TEd = 15.236 kNm2 ergibt sich die Bemessung in der Haupttragebene zu 141 .Ed = 125 kN 15 kN Bild 5.2 Nachweis Die Schnittgrößen in Feldmitte ergeben sich somit zu NEd = 125 kN M yII. eine zusätzliche Längsspannungsbeanspruchung infolge Wölbtorsion BEd. UPE 200 S 355 L = 3.2.pl. der durch eine im Schwerpunkt angreifende Last N und einer zusätzlichen Belastung Fz in Haupttragrichtung beansprucht wird.75 My 2814 = 14. 291 ⎠ ⎝ BEd B pl .849 < 0.60 + 1029.437 α Ed = χ LT ⋅ α ult .071 = 0.808 f =1 χ LT = 0.k 0. Rk γ M 1 Δn E = 1 α Ed Δn R = 1 − ⋅ (1 − q B ) = + βB = χ LT 0.121 + 0.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage α ult .9 würde zu folgendem Nachweis führen: 142 .0 ⎟ ⎠ und somit zu Δn E < Δn R Æ 0.929 Der Ausnutzungsgrad des Trägers liegt demzufolge bei ε= Δn E 0.144 ⎞ ⋅ ⎜⎜1 − m ⎟⎟ = ⋅ ⎜1 − ⎟ = 0.k ⎛ 1 ⋅ ⎜1 − ⎜ χ LT ⋅ α ult .929 ≤ 1.k = 1.34 α crit α* =α ⋅ * α crit 0.289 1 ⋅ α ult .903 = 0.071 3.808 * α crit = 0.437 ⋅ 3.236 1.187 α crit = 1.k = 1 125 14.291 ⋅ (1 − 0.808 ⎝ 0.847 1.929 Eine vereinfachte Bemessung mit qB = 0 und ΔnR = 0.49 ⋅ = 0.1 Die Berücksichtigung der Torsion führt zu qB = βB = 1 α crit ⎛ B ⎞ 1 ⎛ 0.244 0.912 Δn R 0.847 = = 0.245 α crit 1.289 γM 1.k ⎝ ⎞ 2 2 ⎟ ⋅ χ LT ⋅ λ LT = 0.244 = = 1.5 78.903 λ LT = α ult .279 B0 ⎠ 1.1 1 + 0.1 = 1 = 3.279 ) = 0. 2 Nachweis mit Hilfe des Allgemeinen Verfahrens Die geometrisch und physikalisch nichtlineare FE-Berechnung [25] führt zu den globalen Lasterhöhungsfaktoren α ult .7: Beispiel für den allgemeinen Biegedrillknicknachweis Durch die außergewöhnlichen Geometrie des Tragwerks gestaltet sich die Ermitt∗ schwierig.GNL = 2.7 zeigt das statische System eines Stahlrahmens der Wuppertaler Schwebebahn und gibt Angaben zu den wesentlichen Abmessungen. elastische Eigenwertanalyse) Zum Vergleich würde eine geometrisch lineare und physikalisch nichtlineare FEBerechnung zu den folgenden globalen Lasterhöhungsfaktoren führen: 143 .3.236 1.Berechnungsbeispiele für ausgewählte Anwendungsfälle 1 α Ed + βB = 1 0.291 + = 0.9 1.als auch auf der Widerstandsseite nichtlineare Verläufe der relevanten Berechnungsgrößen. Bild 5.410 (geometrisch nichtlineare.289 3.3.009 (geometrisch und physikalisch nichtlineare Berechnung) α crit .3 Stahlrahmen mit außergewöhnlicher Geometrie 5.1 5.k .875 < 0.49 auf der sicheren Seite geführt wird. so dass ein vereinfachter lung des kritischen Lasterhöhungsfaktors α crit Nachweis mit α LT = α = 0.1 Statisches System und Last Bild 5. 5.GNL = 4. Aufgrund der gevouteten Stützen und der bogenförmigen Rahmenecken ergeben sich sowohl auf der Einwirkungs. elastische Eigenwertanalyse) Wie zu erkennen.GL = 2. Bild 5.49 f =1 144 .396 (geometrisch lineare.009 = 0. Letztere haben aufgrund des Kraftflusses in den bogenförmigen Rahmenecken widerum einen Einfluss auf die exakte Berechnung der resultierenden Normalkräfte.410 α LT = 0.k . die für die GNL-Berechnung zu einer Versteifung des System führen und somit zu einem niedrigeren Lasterhöhungsfaktor αcr und auf der anderen Seite auf die „exakte“ Erfassung der Schubverformungen.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage α ult .675 4. Dieses ungewöhnliche Ergebnis ist auf der einen Seite auf Umlagerungseffekte zurückzuführen. elastische Eigenwertanalyse für das vorliegende System zu einer höheren ideellen Biegedrillknicklast als die geometrisch lineare Berechnung. 2150 kN 298 kN Bild 5. führt eine geometrisch nichtlineare.GL = 3.8: Erste Eigenform des Stützrahmens ermittelt mit FEM Somit folgt für den vereinfachten. geometrisch nichtlinearen Nachweis (GNL) λ LT = 2. die bei der geometrisch nichtlinearen Berechnung durch Berücksichtigung der nichtlinearen Anteile der Last-Verformungs-Beziehung genauer erfasst werden.8 zeigt die sich aus der FE-Berechnung ergebende erste Eigenform des Stützrahmens.056 (geometrisch lineare und physikalisch nichtlineare Berechnung) α crit . Berechnungsbeispiele für ausgewählte Anwendungsfälle χ LT = 0.056 = = 1. Somit folgt für die geometrisch und physikalisch nichtlineare FE-Berechnung mit M R ( xd ) = 7391.778 − 0.49 f =1 χ LT = 0.GMNIA (η ini . durch Plastizierung des Obergurtes im Bereich der Lasteinleitung.1 mm 18513.009 = = 1.3 Nachweis mit Hilfe einer GMNIA-FE-Berechnung Die Lasteinleitungsstelle kann anhand des Krümmungsverlaufes und des Ausnutzungsgrades in der Ebene als maßgebende Nachweisstelle xd ermittelt werden.0 1.056 = 0.GL = 7391.396 λ LT = α LT = 0.k 0.740 ⋅ 2.6 kN eine Anfangsimperfektion an der Stelle xd von η ini .264 > 1.6 Unter Verwendung dieser Anfangsimperfektion führt die GMNIA-Berechnung (geometrisch.1 145 .676 α Ed = χ LT ⋅ α ult .8 kNm N R ( x d ) = 18513.1 γM 5.537 = 1.k 0.GL ) = 1.GMNIA (η ini .0 1.740 α Ed = χ LT ⋅ α ult .8 ⋅ 1000 ⋅ (0.2 ) ⋅ 0.778 3.1 γM und für die vereinfachte.397 > 1.537 Der Nachweis ergibt sich somit zu Æ α Ed .und physikalisch-nichtlineare FEM-Berechnung mit Anfangsimperfektion) zu einem Versagen des Stahlrahmens.GL ) = 1.0 1. geometrisch lineare Berechnung (GL) 2.352 > 1.676 ⋅ 2.49 = 113.3. bei erreichen eines Lasterhöhungsfaktors von α Ek . Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 146 . dass 147 . wobei beide Versagensarten als unterschiedliche Stabilitätsphänomene aufgefasst werden.7 zusammengefasste Spiegelung der Eurocode-Regeln an dem „Verfahren mit einheitlicher Grundlage“ zeigt. Während die Biegeknickkurve χc auf einem mechanischen Hintergrundmodell basiert. und deren Anwendung durch Öffnungsklauseln in den Nationalen Anhängen europaweit unterschiedlich geregelt werden kann. für dessen Berechnung verschiedene Abminderungskurven χc und χLT Verwendung finden. Die Überführung in den allgemeinen Fall des Biegedrillknickens mit M-N-Interaktion führt zur „Standardisierten Europäischen Biegedrillknickkurve“ χLT. dessen Imperfektionsansatz den Anforderungen nach ausreichender Zuverlässigkeit nach EN 1990 – Anhang D entspricht und darum europaweit einheitlich geregelt ist. Die in Abschnitt 2.1: Grundlagen und Regeln für den Hochbau“ regelt das Biegeknicken und Biegedrillknicken von Bauteilen und Tragwerken. Diese Öffnungsklauseln bieten die Möglichkeit die zunächst nicht geglückte europäische Harmonisierung der Technischen Regelungen während der Entstehungszeit des EN 1993 Teil 1 durch eine spätere.Zusammenfassung und Schlussfolgerungen 6 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen In den Eurocode 3 – „Entwurf und Berechnung von Stahlbauten – Teil 1. analog zur Biegeknickkurve χc. In Abschnitt 2. Hierzu wurde zunächst die Allgemeingültigkeit der Biegeknickkurve für Knickstäbe mit beliebigen Last.6 angegeben. wenn die Bemessung an der maßgebenden Nachweisstelle xd erfolgt. eine allgemeingültige Knick-Biegedrillknickkurve χLT.und Lagerungsbedingungen nachgewiesen. Die vorliegende Arbeit liefert eine mögliche Lösung für eine solche Harmonisierung.GM. die zum einen den Einfluss der Torsionssteifigkeit des Querschnitts auf den Imperfektionsansatz und zum andern die Berücksichtigung der maßgebenden Bemessungsstelle xd ermöglicht.5 wurden die sich aus der Herleitung ergebenden Schlussfolgerungen für die Empfehlungen der national zu bestimmenden Parmameter in EN 1993-1-1 zusammengefasst. während der Bearbeitung der Nationalen Anhänge erarbeitete Verbesserung doch noch zu erreichen. Ein Leitfaden zur Anwendung des „Verfahrens mit einheitlicher Grundlage“ bei reiner Beanspruchung in der Haupttragebene wurde in Abschnitt 2.GM auf Basis eines mechanischen Hintergrundmodells hergeleitet. die dann vorliegt. die für den Sonderfall des Biegeknickens die Ergebnisse der Europäischen Biegeknickkurve χc liefert. In Kapitel 2 der Arbeit wurde daher. ist die Biegedrillknickkurve χLT vielmehr Ergebnis von „Abschätzungen“. die mit FE-Berechnungen ermittelt wurden. dass 1. europaweit einheitlich verwendeten Biegeknick-Regelungen zu konsistenten Ergebnissen führt. Um das in Kapitel 2 vorgeschlagene „Verfahren auf einheitlicher Grundlage“ für Biegedrillknicken unter reiner Belastung in der Hauptebene auch für zusätzlicher Querbiegung und Torsion zu erweitern. 2.mod in weiten Bereichen eine gute Näherung des genauen Verfahrens mit χLT. im Schlankheitsbereich⎯λ = 0. welches eine einfache und sichere hierarchische Gliederung der Vereinfachungsstufen ermöglicht. in allen Fällen in denen das Feldmoment einen Wert größer-gleich dem Randmoment annimmt. bei den bisherigen Interaktionsregeln nach EN 1993-1-1. das „Verfahren auf einheitlicher Grundlage“ durch die Verwendung einer einzigen Abminderungskurve. wohingegen bei Verwendung der bisherigen Regelungen die tatsächliche Grenztraglast nur iterativ bestimmt werden kann. trotz der Ungenauigkeit der bisherigen Verfahren mit β und f modifizierten Knickkurven und den Interaktionsformeln in den Anhängen A und B deren Ergebnisse akzeptable sind. 4.Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 1. wurden in Kapitel 3 Ergänzungen des Verfahrens vorgenommen. 2. das „Verfahren auf einheitlicher Grundlage“ eine direkte Übertragung des ermittelten Ausnutzungsgrades auf ein anderes als das berechnete Lastniveau ermöglicht.2 ÷ 0. als beim vorgeschlagene Verfahren „auf einheitlicher Grundlage“. eine Beurteilung wann eine Abschätzung einzelner Berechnungsparameter auf der sicheren Seite liegt und wann nicht. innerhalb des Verfahrens und auch in Bezug auf die bisherigen.GM liefern. als dies bei den bisherigen Regelungen der Fall war. 3. 5. die bisherigen Biegedrillknickkurven χLT. in den Fällen in denen das Randmoment größer als das Feldmoment ist.8 eine höhere Abminderung zu fordern ist. aufgrund ihrer Komplexität und der fehlenden Transparenz. zum Teil eine deutliche Anhebung des Abminderungsbeiwertes χ und somit eine wirtschaftlichere Bemessung möglich ist. 148 . die eine einfache und transparente Berechnung bei kombinierter N-My-Mz-T-Interaktion ermöglichen. der Imperfektionsansatz im Hinblick auf eine hierarchische Gliederung der Stabilitätsregeln nunmehr einheitlich und konsistent geregelt ist. für den Anwender bedeutend schwerer ist. Die Gegenüberstellung der sich daraus ergebenden einfachen Nachweisformel mit den bisherigen EC3-Regelungen macht klar. 3. 5. was in der empirischen Ermittlung dieser Gleichungen liegt. In Kapitel 5 wurde das Vorgehen anhand von einigen ausgewählten Anwendungsfällen veranschaulicht. Für den Fall des Biegedrillknickens mit zusätzlicher Querbiegung und Torsion könnten die Terme βMz und βB nach Tabelle 3.3 [3] für Werte ψ < 0. die Verwendung der Gleichungen für die „Stabile Länge“ nach Kap. im Gegensatz zu den bisherigen Interaktionsregelungen in EN 1993-1-1. die Gleichungen nach Anhang BB.3.5. 6. 8.3 keine konservative Abschätzung der „Stabilen Länge“ liefern. für Werte ψ > 0.2 vorgestellten Berechnungsroutine zur Ermittlung der maßgebenden Bemessungsstelle xd in das zur Ermittlung der Eigenform verwendete Computerprogramm. 149 . sondern vielmehr das Stabilitätsverhalten günstiger beurteilen als dies die übrigen Nachweisverfahren (Methode 1 und 2 aus [3] sowie „Verfahren auf einheitlicher Grundlage“) tun.Anhang D untersucht und das Ergebnis der Auswertung in Kapitel 4 zusammengefasst. 7. Noch zweckmäßiger wäre hingegen die direkte Implementierung der in Abschnitt 3. Eine Weiterentwicklung des „Verfahrens auf einheitlicher Grundlage“ könnte hinsichtlich der folgenden Punkte geschehen: 1. [17]. die Teileinspannungseffekte in den Rahmenecken indirekt mitberücksichtigen. Für eine benutzerorientierte Anwendung des vorgeschlagenen Verfahrens könnten die in Abschnitt 2.B. z. Das vorgeschlagene Verfahren wurde hinsichtlich seiner Zuverlässigkeit anhand von Versuchsauswertungen gemäß den Regelungen in EN 1990 .875 eine konservativen Abschätzung liefert und somit bedenkenlos angewandt werden kann.875 die Gleichungen hingegen anzupassen sind.2 um einen Faktor zur Berücksichtigung einer nichtlineare My-Mz-T-Interaktion erweitert werden.4 vorgestellten Bemessungshilfen zur direkten Ermittlung der Nachweisstelle xd für eine kombinierte N-My-Mz-TBeanspruchung in Form von Nomogrammen weiterentwickelt werden.4.Zusammenfassung und Schlussfolgerungen 6. um so bei überwiegender Beanspruchung in Querrichtung noch wirtschaftlichere Ergebnisse zu erzielen. das vorgeschlagene „Verfahren auf einheitlicher Grundlage“. 2. die Berücksichtigung von zusätzlichen Torsionsbeanspruchungen ermöglicht. Biegeknicken und BDK von Stäben und Stabsystemen auf einheitlicher Grundlage 150 . Second Edition. 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