1. Ein Unternehmen rechnet f¨ ur die Produktion eines neuen Produkts mit St¨ uckkosten von 60 GE. Die Fixkosten onnen 220 St¨ uck hergestellt werden. Wie teuer soll die Ware verkauft werden, betragen 266160 GE. Pro Monat k¨ wenn man nach 12 Monaten einen Gewinn von 114000 GE erwirtschaftet haben will? (a) 191
(b) 204
(c) 210
(d) 186
(e) 197
2. 21645 St¨ uck einer Ware sollen innerhalb von 26 Tagen verkauft werden. Am ersten Tag werden 220 St¨ uck uck muß die verkaufte St¨ uckzahl t¨aglich gesteigert werden, damit nach 26 Tagen alle verkauft. Um wieviel St¨ Waren verkauft sind? (a) 28
(b) 51
(c) 49
(d) 53
(e) 26
3. Cicero setzte als Statthalter in Cilicien im Jahre 21 v. Chr. den Zinssatz wieder auf die gesetzliche H¨ohe von 12 % herab. Dadurch sollte Brutus, der kurz vorher von der Stadt Salamis auf Cypern 31 % Zinseszinsen verlangt hatte, statt der geforderten 30356 Talente nur mehr 8666 erhalten. Wie hoch war die urspr¨ ungliche Schuld? Runden Sie das Ergebnis auf eine ganze Zahl, falls erforderlich. (a) 3600
(b) 3200
(c) 3500
(d) 3300
(e) 3800
uro m¨ ochte Darlehen mit einem effektiven Jahreszinssatz von 10 % zur Verf¨ ugung stellen. Es soll aller4. Ein Kreditb¨ dings nur der nominelle Zinssatz bei monatlicher Verzinsung ver¨offentlicht werden. Wie hoch muß der nominelle Zinssatz gew¨ ahlt werden? (a) 9.34
(b) 8.45
(c) 8.72
(d) 9.57
(e) 8.13
5. Bestimmen Sie die 1. Ableitung von y = f (x) an der Stelle x = 1: y = (3 + 6ex )−0.37 (a) −2.047
(c) −0.105
(b) 9.590
(d) 8.011
(e) −3.118
6. ∗ Ein Gut kann in der Menge von 158400 St¨ uck innerhalb eines Jahres abgesetzt werden. Die Lagerung veruruck und Jahr von 0.49 GE. Die Beschaffung kostet pro St¨ uck 30 GE. Die Fixkosten eines sacht Kosten pro St¨ Beschaffungsvorgangs betragen 960 GE. Berechnen Sie die optimale Bestellmenge und ermitteln Sie, wieviele Bestellvorg¨ ange im Optimum pro Jahr erforderlich sind. (a) 15
(b) 10 Z
(c) 4
(d) 20
(e) 6
4
f (x) dx f¨ ur f (x) = xex .
7. Berechnen Sie −2
(a) 164.20
(b) 159.01
(c) 169.68
(d) 162.34
(e) 171.28
8. ∗ Wie lange braucht ein Autofahrer von A-Stadt nach B-Stadt (130 km), wenn er mit der Geschwindigkeit 100 km/h beginnt und aus M¨ udigkeit in jeder Minute ein Prozent der Geschwindigkeit verliert? Geben Sie diese Zeit in Minuten an und runden Sie das Ergebnis auf eine ganze Zahl. (a) 158
(b) 148
(c) 160
(d) 145
(e) 151
9. Ein Spieler beteiligt sich an einem symmetrischen Gl¨ uckspiel. Es sei W die Wartezeit (Anzahl der Einzelspiele) bis zum ersten Gewinn. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (1 < W ≤ 7). (a) 0.0912
(b) 0.4187
(c) 0.3212
(d) 0.4922
(e) 0.4622
10. Ein Investor kauft drei Wertpapiere und investiert dabei 800 GE, 400 GE und 500 GE. Die Renditen dieser Wertpapiere sind unabh¨ angige Zufallsgr¨ oßen mit den Erwartungswerten 0.05, 0.08 und 0.07 und der gleichen Standardabweichung 0.05. Berechnen Sie die Standardabweichung der Rendite des Portfolios.
Musterklausur Mathematik ID: 0074 (a) 0.0434
(b) 0.0022
3
(c) 0.0231
(d) 0.0326
(e) 0.0301
11. Die Betriebsdauer eines Ger¨ ates bis zum ersten Ausfall (in Monaten) ist normalverteilt mit µ = 26.0 und σ 2 = 123. Ein H¨ andler garantiert, das Ger¨at zu ersetzen, wenn es innerhalb der ersten 6 Monate ausf¨ allt. Wieviele Garantief¨ alle sind bei 6800 Ger¨ aten zu erwarten? Runden Sie das Ergebnis auf eine ganze Zahl. (a) 183
(b) 245
(c) 141
(d) 332
(e) 270
12. Bei einer Statistikklausur werden 20 Fragen gestellt, und f¨ ur jede Frage werden 3 Antwortm¨oglichkeiten angeboten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein g¨anzlich unvorbereiteter Student die Klausur besteht? Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit n¨ aherungsweise mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes. Die Klausur gilt als bestanden, wenn mindestens 10 Fragen richtig beantwortet werden. (a) 0.090
(b) 0.022
(c) 0.059
(d) 0.072
(e) 0.007
13. Die Gleichungsmatrix eines linearen Gleichungssystems konnte auf folgende Skelettform gebracht werden: 1 −4 0 −13 4 0 0 1 −13 20 0 0 0 0 4 andige L¨ osungsmenge des Gleichungssystems. Bestimmen die die vollst¨
14. ∗ Eine Verm¨ ogensanlagegesellschaft bietet dem Anleger an, mit Einzahlungen in jeweils beliebiger H¨ohe Anteile an drei Portfeuilles zu erwerben, die ausschließlich aus den drei Standardwerten A, B und C zusammengesetzt sind. Im Portfeuille P1 betr¨ agt der wertm¨ aßige Anteil der Papiere A, B und C 0%, 10% und 90%, in P2 50%, 30% und 20%, sowie in P3 70%, 10% und 20%. Ein Anleger m¨ochte 1320000 GE zu 24%, 14% und 62% in den Werten A, B und C anlegen. Wieviel muß er in Portfeuille P2 investieren, um dieses Ziel zu verwirklichen (Hinweis: er investiert in P1 792000 GE)? (a) 264000
(b) 304000
(c) 292000
(d) 275000
(e) 309000
15. ∗ In einem Fertigungsprozeß werden aus Anfangsprodukten A1 , A2 und A3 die Endprodukte E1 und E2 hergestellt. Dabei fallen zwei Arten von Zwischenprodukten an, insgesamt gibt es 5 Verarbeitungsstufen. Das Prozeßschema hat folgende Gestalt: A14 ? A12 A23 A34 - 2 - 3 - 4 1 6 A24
Ein konkreter Lieferauftrag sieht vor, daß von den Endprodukten 7 und 11 Mengeneinheiten geliefert werden. Wie groß ist der Bedarf an A1 ? (a) 16046
(b) 14860
(c) 24199
(d) 14251
(e) 27856
16. ∗ Berechnen Sie das Produkt von A=
−8 4
−7 −7
6 3
9 und x = 9 −5
Welchen Wert hat die Komponente b2 im Produkt b = Ax? (a) -42
(b) -37
(c) -31
(d) -52
(e) -40
17. Bestimmen Sie die Hesse Matrix A der Funktion f (x1 , x2 ) = −2x1 x32 − 5x1 − 3x22 + 5 an der Stelle (a) −8
1 −1
. Welchen Wert hat a11 ?
(b) −2
(c) 0
(d) 10
(e) −4
18. ∗ Die Produktionsfunktion eines Unternehmens laute F (x1 , x2 ) = 352x0.46 x0.67 , 1 2 wobei x1 und x2 die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B bezeichnen. Im Moment verwendet der Hersteller die Faktorkombination (x1 , x2 ) = (2, 3). Es soll nun der Einsatz von Faktor A erh¨ oht und der Einsatz von B verringert werden, und zwar unter Beibehaltung des Produktionsniveaus. Berechnen Sie ¨ die marginale Anderung von Faktor B bei Erh¨ohung des Faktors A. (a) −3.00
(b) −2.05
(c) −2.52
(d) −0.37
(e) −1.03
19. Es seien X1 und X2 die Renditen zweier Wertpapiere, wobei σ12 = 12, σ22 = 11 und σ12 = −7. Berechnen Sie die Varianz der Rendite jenes Portfolios, das zu 50 Prozent aus Wertpapier 1 und zu 50 Prozent aus Wertpapier 2 besteht. (a) 5.28
(b) 2.25
(c) 10.69
(d) 6.80
(e) 3.75
20. ∗ Ein Investor stellt ein Portfolio aus drei Wertpapieren zusammen, von denen das erste festverzinslich ist mit Zinssatz 3 Prozent. Die beiden anderen Wertpapiere haben Renditen mit den Erwartungswerten 0.14 und 0.095, und den Varianzen 0.08 und 0.04. Die Kovarianz der Renditen betr¨agt −0.04. Ein Investor m¨ochte ein Portfolio mit der Rendite 0.11 und minimaler Varianz erhalten. Wieviel Prozent des Startkapitals m¨ ussen im optimalen Portfolio festverzinslich veranlagt werden? (a) 35.74
(b) 21.28
(c) -26.58
(d) 62.76
(e) 4.73
Musterklausur Mathematik ID: 0074
5
Formelsammlung
x0 =
d p−k
D(p) = −ap + α
S(p) = bp − β
p∗ =
α+β a+b
B b = − 2A
x1,2 =
n 2 (a1
+ an )
xn = x0 + nd
sn =
Kt = K0 (1 + r)t
−1 sn = a0 qq−1
t
Bt = ad 1−d 1−d B=
a 1−d
√ −B± B 2 −4AC 2A
Kt = K0 (1 + tr)
n
Bt = a 1−d 1−d
t
−1 Et = a qq−1
t
t
−1 Et = aq qq−1
1+r = 1+
c k k
Kt = K0 1 +
c tk k
K(t) = K(0)ect
Aax = A(1 + r)x
Aax = Aecx , c = ln a
(xα )0 = αxα−1
(ex )0 = ex
(ln x)0 =
(f + g)0 = f 0 + g 0 0 0 f g0 = f g−f g g2
(f · g)0 = f 0 g + f g 0
f (g(x))0 = f 0 (g(x))g 0 (x)
(x0 ) =
f 0 (x0 ) f (x0 ) x0
r=
f (x2 )−f (x1 ) f (x1 )
pmin = V (xmin ) R α α+1 x dx = xα+1 , α 6= −1 R h(g(x))g 0 (x)dx = H(g(x))
c=
1 x
f 0 (x0 ) f (x0 )
R(p) = pD(p) R x e dx = ex R R g · h dx = G · h − G · h0 dx RT A(T ) = K(0) + 0 e−ct a(t)dt
π(p) = R(p) − C(D(p)) R 1 x dx = ln x RT K(T ) = ecT K(0) + 0 ec(T −t) a(t)dt RT L(T ) = T1 0 L(t)dt P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) P (A∩B) P (B)
P (A0 ) = 1 − P (A)
P (A|B) =
E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y )
E(X) = a1 p1 + . . . + an pn
V (X) = E(X − µ)2
V (X) = E(X 2 ) − µ2
V (aX + b) = a2 V (X)
E(X) = µ
Z = X−µ σ n(n−1)(n−2)···(n−k+1) n k = k(k−1)(k−2)···1
Φ(z) = P (Z ≤ z) P (Sn = k) = nk pk (1 − p)n−k
V (Sn ) = np(1 − p) d −b 1 −1 A = det(A) −c a
P (Sn = k) =
V (X) =
2
σ n
P (Z ≤ Nα ) = α E(Sn ) = np det(A) = ad − bc h0 (0) = f 0 (a) · v F 0 (t,f (t))
f 0 (t) = − F10 (t,f (t)) 2
h00 (0) = vt · f 00 (a) · v
E(XA ) = P (A)
x = Ax + b h0 (t) = f 0 (g(t)) · g0 (t)
Cov(X1 , X2 ) = E((X1 − µ1 )(X2 − µ2 ))
V (aX1 + bX2 ) = a2 V (X1 ) + 2abCov(X1 , X2 ) + b2 V (X2 ) Cov(aX1 + bX2 , Y ) = aCov(X1 , Y ) + bCov(X2 , Y ) Cov(X, aY1 + bY2 ) = aCov(X, Y1 ) + bCov(X, Y2 )
−M (Mk )(Nn−k ) N (n)
Musterklausur Mathematik ID: 0074
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Tabelle 1: Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
L¨ osungen Die Nummern bei den Aufgaben bezeichnen die IDs, unter denen diese Aufgaben auf dem Learn Server abgelegt sind. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.