14-1-2014UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRICA ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 Optimización de parámetros CURSO: ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 DOCENTE: ING. HOLGER MEZA ALUMNO: MARCO PAOLO TORREBLANCA LAZO CUI: 20095980 1 ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 Contenido 1. COMO SABER SI LA FUNCIÓN TIENE O NO MÁXIMOS Y MINIMOS ............................................. 3 2. EL MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE ............................................................... 3 3. EJEMPLO: OPTIMIZACIÓN ...................................................................................................................... 6 4. APLICACIÓN DE MULTIPLICADOR DE LAGRANGE EN SISTEMAS DE POTENCIA ...................... 8 4.1. Optimización de parámetros Restringidos: Restricciones de Igualdad .......................... 8 4.1.1. Método de Multiplicador de Lagrange ........................................................................... 8 4.2. Optimización de parámetros restringidos: Restricciones de desigualdad ..................... 9 4.2.1. Ejemplo: .................................................................................................................................... 10 5. BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................................................... 11 2 ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 INTRODUCCION. En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores. La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero. 3 ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 1. COMO SABER SI LA FUNCIÓN TIENE O NO MÁXIMOS Y MINIMOS Para saber si la función tiene máximos o mínimos se debe proceder a realizar el Hessiano que es el determinante de una matriz con derivadas de la función en ella. Para obtener el Hessiano se saca el determinante de esta matriz. Para saber si se tiene un máximo o un mínimo debe seguir la siguiente relación: Si la segunda derivada de la función es mayor a cero se tiene un mínimo si la segunda derivada de la función es menos a cero se tiene un máximo Conociendo el punto crítico se sacan las condiciones o criterios que determinaran la existencia de extremos y su determinación como máximos y mínimos 2. EL MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Suponga que se desea optimizar la función real valuada f(x1,x2,...,xn) donde las variables x1,x2,. . . ,xn están sujetas a las restricciones de igualdad (m < n): g1(x1, x2, . . . , xn) = 0 g2(x1, x2, . . . , xn) = 0 . . . gm(x1, x2, . . . , xn) = 0 Donde las funciones f,g1,g2,. . . ,gm son diferenciables. f debe tener segundas derivadas continuas, mientras que las gi deben tener primeras derivadas continuas. El primer paso consiste en determinar los puntos críticos para ello se forma la función Lagrangeana: 4 ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 Los puntos estacionarios se determinan resolviendo ∇F = 0: Es decir, los puntos máximos o mínimos se encuentran dentro del conjunto de puntos críticos que se obtienen de resolver el sistema formado por las ecuaciones: y junto con las m ecuaciones dadas por las restricciones: g1(x1, x2, . . . , xn) = 0 g2(x1, x2, . . . , xn) = 0 . . . gm(x1, x2, . . . , xn) = 0 Este sistema se resuelve para las variables x1, x2,. . ., xn y _1,_2,. . . , _m. Así pues el sistema consta de n + m ecuaciones en n + m incógnitas: El resultado sobre la necesidad dice: Un máximo o mínimo al problema debe satisfacer el sistema de ecuaciones antes planteado. Habiendo ubicado los puntos estacionarios viene el problema de determinar si son máximos o mínimos locales. Para cada punto estacionario xo y para los valores correspondientes. Se construye la matriz: 5 ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 Sea ahora para i = 2, 3, . . . , n − m, Bi la matriz obtenida de B1eliminando las primeras i − 1 filas y las primeras i − 1columnas, y sea _i el determinante de Bi. xo es un mínimo local si: - Siendo m par cuando - Siendo m impar, cuando xo es un máximo local si: - Siendo n par cuando - siendo n impar, cuando 6 ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 3. EJEMPLO: OPTIMIZACIÓN Encuentre los valores óptimos de la función sujeto a Aquí El sistema de ecuaciones es: De la primera ecuación despejas y (Observe queno conviene que despeje x o λ pues implica indicar una división con una expresión que dependerá de una variable y se tendría que considerar por separado el caso cuando es cero.): Si sustituimos esto en las ecuaciones 2 y 3 del sistema nos queda: Si tomamos la nueva ecuación 1 y la factorizamos queda: Esto nos origina tres posibles casos: 7 ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 Si sustituimos el caso x = 0 en la segunda nueva ecuación nos queda: Es decir, este caso de la primera ecuación es incompatible con la segunda. El caso λ = 2 sustituido en la segunda ecuación da: La cual da las soluciones: sustituyendo λ = 2 y estos casos de x dan en y: Resumiendo tenemos los puntos: El caso λ = −17/4 sustituido en la segunda ecuación da: La cual da las soluciones: sustituyendo λ = 2 y estos casos de x dan en y: Resumiendo tenemos los puntos: 8 ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 4. APLICACIÓN DE MULTIPLICADOR DE LAGRANGE EN SISTEMAS DE POTENCIA 4.1. Optimización de parámetros Restringidos: Restricciones de Igualdad Este problema surge cuando hay dependencias funcionales entre los parámetros a ser escogidos. El problema consiste en minimizar la función sujeta a las estricciones de igualdad. Para resolver utilizamos el método de multiplicadores de Lagrange. k i xk x x gi xn x x f ,... 2 , 1 0 ) ,... 2 , 1 ( ) ,... 2 , 1 ( = = 4.1.1. Método de Multiplicador de Lagrange ¿ = + = k i igi f L 1 ì Las condiciones para obtener el mínimo local restringido de L será: 0 0 1 = = c c = c c + c c = c c ¿ = gi i L xi gi i xi f xi L k i ì ì Ejemplo: Usando el método del multiplicador de Lagrange, resuelva la distancia mínima del origen del plano xy del círculo descrito por la función de manera óptima. (8;6) y x 9 ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 ) 3 ( 25 ) 6 ( ) 8 ( ) 2 ( 12 ) 1 ( 2 0 12 2 2 )] 6 ( 2 [ 2 ) 1 ( 16 ) 1 ( 2 0 16 2 2 )] 8 ( 2 [ 2 ] 25 ) 6 ( ) 8 [( ) , ( 25 ) 6 ( ) 8 ( 6 2 6 2 2 2 2 2 6 2 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ = c c ÷ ÷ ÷ ÷ = + = ÷ + = ÷ + = c c ÷ ÷ ÷ ÷ = + = ÷ + = ÷ + = c c ÷ ÷ + ÷ + + = + = = ÷ + ÷ y x L y y y y y y L x x x x x x L y x y x L y x y x f y x ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì 9 , 12 3 , 4 0 6 0 8 = = = = ) ` ¹ = ÷ + = ÷ + y x y x y y x x ì ì ì ì Los puntos extremos son: 3 (12,9) 1 (4,3) ÷ = ÷ = ÷ ì ì 4.2. Optimización de parámetros restringidos: Restricciones de desigualdad En la práctica, los problemas de optimización contiene restricciones de desigualdad, el problema consiste en minimizar la función costo sujeta a las restricciones de igualdad y sujeta a las restricciones de desigualdad, utilizando el método de multiplicador de Lagrange, ésta es restringido e incluye las restricciones de igualdad y desigualdad mediante la introducción de los vectores λ y µ.. n i xn x x Pj n i xn x x gi xn x x f ,..., 2 , 1 ; 0 ) ,..., 2 , 1 ( ,..., 2 , 1 ; 0 ) ,..., 2 , 1 ( ) ,..., 2 , 1 ( = = = = Función consto no restringido ¿ ¿ = = ÷ ÷ ÷ + + = n i m i jPj igi f L 1 1 ) 1 ( µ ì Las condiciones para el mínimo local de L son: 10 ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 ) ( 0 12 2 ) ( 0 25 ) 6 ( ) 8 ( ) ( 0 12 2 2 ) ( 0 2 16 2 2 ) 12 2 ( ] 25 ) 6 ( ) 8 [( 2 2 2 2 2 2 D y x μ L C y x λ L B μ λ y λ y y L A μ λ x λ x x L y x μ y x λ y x L ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ + = c c ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ + ÷ = c c ÷ ÷ ÷ = + ÷ + = c c ÷ ÷ ÷ = + ÷ + = c c ÷ + + ÷ ÷ + ÷ + + = ) 5 ( ,..., 2 , 1 , 0 & 0 ) 4 ( ,... 3 , 2 , 1 , 0 ) 3 ( ,.., 2 , 1 , 0 ) 2 ( ,.., 2 , 1 , 0 ÷ ÷ ÷ = > = ÷ ÷ ÷ = s = c c ÷ ÷ ÷ = = = c c ÷ ÷ ÷ = = c c m j j jPj m j Pj j L n i g xi L n i xi L µ µ µ 4.2.1. Ejemplo: En el ejercicio anterior se incluye una restricción d desigualdad, el problema consiste en encontrar el valor mínimo de la función, sujeto a la restricción de desigualdad. 12 2 ) , ( 0 25 ) 6 ( ) 8 ( ) , ( ) , ( 2 2 2 2 > + = = ÷ ÷ + ÷ = + = y x y x y x y x g y x y x f µ Solución: Resolviendo el sistema: ) ( 2 12 ) ( 0 8 4 2 4 2 F x y E y x y x ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ = + ÷ + ÷ ì ì ì Sustituyendo (F)en (E) (**) 1 4 . 2 4 (*) 1 8 . 4 4 ÷ ÷ ÷ + + = ÷ ÷ ÷ + + = ì ì ì ì y x 11 ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 (*)y(**) en (C) 2 . 0 2 8 . 1 1 0 36 . 0 2 0 25 6 1 4 . 2 4 8 1 8 . 4 4 2 2 2 ÷ = ÷ = = + + = ÷ | . | \ | ÷ + + + | . | \ | ÷ + + ì ì ì ì ì ì ì ì Para 8 . 1 1 ÷ = ì ,(x,y)=(3,6), µ=-1.2 Para 2 . 0 2 ÷ = ì ,(x,y=(5,2), µ=-5.6 f(3,6)=6.71(distancia máxima) f(5,2)=5.39(distancia mínima) y x (8;6) f(5,2) f(3,6) 5. BIBLIOGRAFÍA - http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/extremos%20restringuidos_b.pdf - http://www4.ujaen.es/~angelcid/Archivos/Analisis_Mat_II_09_10/Practicas/Practica6. pdf - http://www.inele.ufro.cl/apuntes/Analisis_Moderno_de_Sistemas_de_Potencia_- _Ing_Electrica_para_Ingenieros_de_Ejecucion/6_OPERACION_ECONOMICA.pdf - http://es.scribd.com/doc/37106076/Sistemas-de-Potencia-Analisis-y-Diseno-J- Duncan-Glover - http://www.slideshare.net/miketinoco/optimizacion-con-multiplicador-de-lagrange - http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange - http://es.scribd.com/doc/44906210/Aplicaciones-de-Multiplicadores-de-Lagrange - http://www.monografias.com/trabajos-pdf/multiplicadores-de- lagrange/multiplicadores-de-lagrange.shtml