I) ,. PR08RAMACION LINEAL, ". LOS METODOS DE TRANSPORTE VASIG ACIGN La preocupacion por el hombre y su destine siempre debe constituir el interes principal de todos los esjuerzos tecnicos, la preocupact6n par los grandee problemas no resueltos de la organizaci6n del trabaio y la distribucion de los bienes, para que las creaciones de nuestro mente sean una bendici6n y no una calamidad para la humanidad. Nunca oloides esto en medio de tus diagramas y ecuaciones. Albert Einstein PERFil DEL CAPiTULO Objetivos de aprendizaje Caracterlsticas de un problema de transporte Solucion por el metoda de transports Construccion de la matriz de transporte C6ma eneontrar una soluclon lnicial Ejercicio de practica (10-1) Otros rnetodos C6mo encontrar la solucion 6ptima Metodo de la distribucion modificada (MODI) Paso 1: calculo de los coeficientes de rengl6n y columna E jerc icio de practice (10-2) Paso 2: ealculo de costos rnarginales en las celdas vacias Ejercicio de practica (10-3) Revisi6n de la soluci6n Resumen del MODI Ejercicio de practica (10-4 ) Metodo de la piedra que rueda Ejercicio de practica (10-5) Caws espeoiales Soluciones 6ptimas multiples Muy pocas celdas Ilenas, Degeneraci6n Cuando se quiere rnaximizar Metodo A: rninirnizar el costo de oportunidad Metodo B: minimizur ganancias negativas Metodo C: inversion de todas las reglas de decision Cuando alzunas rutas estan prohibidas Otros tipos de problemas de transports Seleccton de un medio de publicidad Programaoion de la produceion Traslado de carros para renta Caract eristicas de los problemas de asignaci6n Soluci6n por el metodo de asignacion La matriz de asignacion Desarrollo de la rnatriz de coste de Asignaciones prohibidas oportunidad Maximi zaci 6n Prucha de optimalidad Costas negatives Revision de In matriz Expe riencias d ~ l mundo real La asignacion opti ma Resu men Resume n del metodo de asignaci6n E jercrcios Ejercicio de practlca (10-6) Casas peciales Est udio de un caso: You-Drive Truck EI problema no bal anceado Ren tal Company Solueiones 6pti mas mul tiples Bibliogr affa La prograrnacion lineal es un campo tan amplio que se extiende a subcla ses de problemas para los cuales existen rnetodos de soluci6n especiales . Dos de estas dos subclases se conocen como problemas de transporte y problemas de asignaci6n. Cualquiera de los metodos generales de soluci6n de PL, como el metodo simplex 0 el algebraico, puede servir par a resolver estos problemas. Pero se han desarrollado rnetodos mas sencillos que ap ro vechan ciertas car acterfsticas de los problemas. Entonces, el metoda del transports y el metoda de asignacion son s610 tecnicas especiales par a re solver cier tos tipos de problemas de PL. El tr ansporte desempeiia un papel importante en la economia y en las decisiones administrativas. Con frecuencia la disponibilidad de tr ansporte econornico critica para la sobrevivencia de una empresa. Este cap itulo no cubre todo el campo del tr ansport e ya que es demasiado extenso. Mas bien se hace hincapie en una clase especial de problemas de transporte y en c6mo pueden resolverse. Despues se vera que estes mismos metodos pueden usarse para resolver problemas que no tienen relacion con el transporte. ~ d . FAbrica $ 3 282 ~ cQue significa problema de transporte? En la Figura 10-1 se rnuestra una situacion tipica. Supongase que un fabricante tiene tres plantas que producen el mismo producto. Estas plantas a su vez mandan el producto a cuatro almacenes . Cada planta tiene una capacidad limitada y cada almacen tiene una demanda maxima. Cada planta puede mandar productos a to dos los almacenes, pero el costa de transporte varia con las diferentes com binaciones. El problema es determinar la cantidad que cada planta debe mandar a cada almaeen can el fin de minimizar el costa total de transporte. Los problemas de asignacion en realidad son un caso especial del problema de transporte. Aqui solo puede mandarse una unidad de cada origen a cada destino. En efecto, cada origen se " asigna" a un destino. Los problemas pequefios de este tipo pueden resolverse con s6lo enumerando todas las posibilidades y escoglendo la menos costosa. En problemas mas gran des puede utilizarse el metodo del transporte 0 el metodo de asigna cion, que todavia es mas sencillo, En este capitulo se estudia primero el metoda del transporte y despues el de asignaci6n. Ambos tienen amplias aplicaciones en los negocios debi do a que, como se veri , tratan directamente con las tareas de organiza cion del trabajo y 13 distribucion de los bienes. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE En este capit ulo el lector debe aprender: 1 Como reconocer los problemas de transporte y los problemas de asigna cion 2 Como desarrollar una matriz de transporte y aplicar el metoda del transporte 3 C6mo resolver problemas de asignacion con el metodo de asignacion 4 El significado de los siguientes terrninos: metoda del costa minirno MODI metodo de la piedra que rueda metoda hungaro AR CTERiSTlCAS DE UN PROBLEMA DE TRANSPORTE La rnanera mas facil de reconocer un problema de transporte es por su na turaleza a estructura "de-bacia": de un origen hacia un destine, de una fuente hacia un usuario, del presente hacia el futuro, de aqui hacia alla. Al enfr ent ar este tipo de problemas, la intuicion dice que debe haber una maner a de obtener una soluci6n. Se conocen las fuentes y los destines, las capacidades y demandas y los costas de cada trayectoria. Debe haber una combinaoion optima que minirnice el costa (0 maximice la ganancia). La dificult ad estriba en el gran nurnero de combinaciones posibles. Puede formularse un problema de transporte como un problema de PL y aplic rse el metodo simplex. Si se hiciera, se encont rar ia que los proble mas de tr ansporte tienen car acteristicas maternaticas unicas, Para visuali zar to, escrfbanse las relaciones de PL par a el ejemplo de la figur a 10-1. ~ , represent a la cantidad que se ruanda de la Fabrica Sf al destino D;. En for ma analoga, GIl es el costo de mandar una unidad de SI haci a Dr' 283 EI objetivo es minimizar los costos tot ales de transporte. La funcion ob jetivo de PL es, entonces, minimizar la suma de los costos de transporte ) para las 12 rutas. Es decir, la funcion objetivo es Minimizar: Z CuX u + C I ~ X I 2 + C I3XI3 + C I4XI4 Fabrica 51 + C 21XZI + C 22X22 + C 23 X 23 + C:J,4X Z4 Iabrica 52 + C 31X31 + C 32X32 + C 33X33 + C 34X34 fabrlca 5., Las restricciones van de la capacidad limitada de cada planta a la deman da de cada almacen, Para la Fabrica 51 la restriccion es Esto signifi ca que la cantidad total que se manda desde la f:ibri ca 51 debe ser igual que su capacidad 81' Analogarnente, se debe sati sfacer la dernan da de cada almacen. Para el almacen D I se tiene Si se escribe todo el problema, resulta Minimizar Z = CIlX u + C I2XI2 + C I3XI3 + C I4X14 + CZIX21 + C ZZX22 + C 23X z:j + C 24X24 + C 31X31 + C 32X32 + C 33X33 + C 34 X 34 Hestricciones: Xu + X I2 + X I3 + X I4 = 81 X ZI + X 22 + Xz:j + X 24 82 Restricciones X 31 + X 32 + X 33 + X 34 = 83 de origen Xu + X 21 + X 31 d l X I2 + X 22 + X 32 d z Restricciones X I3 + X 23 + X 3.1 d 3 de destino Xu + X 24 + X 34 d 4 Xi; ~ 0 para i = 1,2,3,:j 1,2,3, 4 eQue tiene esto de especial? N6tense los coeficientes en cada restriccion: todos son 1 0 cero (para las variables que no aparecen). Esto siempre es cierto para un problema de transporte. Otra caracteristica es que si se su man las constantes del lado derecho para los origenes el total es el rnisrno que al sumar las de los destines (81 + 82 + S.1 + d, + d z + d J + d 4 ) . Lo que result a es que, debido a estas caraeteristicas unicas, es posible que haya un rnetodo mas sencillo de solucion, a saber, el metoda del transporte. Es necesario exarninar otra caracteristica de la Forrnulacion de PL. Se tiene un total de siete restricciones: una para cada origen y cada destine . Sin embargo, una de ellas es redundante. Realmente se necesitan solo seis restricciones, La razon es que se sabe que Ia cantidad total que se manda desde todas las Fabricas debe ser igual que la cantidad total que se recibe en todos los almacenes. Supongase que se ornite la restriccion del cuarto almacen, Al resolver el problema se sabe cuanto se mand6 de cada Iabrica a los tres primeros al macenes y la cantidad total que se maude desde las Fabricas. Se sabra entonces que la diferencia entre estas dos cantidades se tuvo que mandar al cuarto alrnacen . 284 Esto lleva a la regIa general de que el nurnero de restricciones indepcn dicntes siempre sera una menos que la suma del mimero de origenes y el nurnero de destinos. Heeuerdese que para cualquier problema de PL el nu mero de variables en Ia sol uci6n final no puede exceder el nurnero de restricciones independientes. Entonces, para el ejemplo, cuando rnucho se usaran 6 de las 12 rutas para la soluci6n optima. Esta regIa es muy impor tante al resolver problemas can el metoda del transporte. SOLUCION POR EL METODO DE TRANSPORTE El metoda del transporte en realidad no es un metodo, sino varios. Sin embargo, existe una estrategia general, como se muestra en la figura 10-2. Primero, se construye una matriz de transporte y despues se encuentra una solucion inicial. Esta soluci6n inicial puede ser optima 0 no. La (mica manera de saberlo es probandolo y existen varias tecnicas para hacerlo. Si la solucion no es Optima, se revisa y la prueba se repite, Cada interacci6n la sol ucionestara mas cerca del optirno. Se examina est a estrategia por partes, una ala vez, comenzando con la matriz de transporte. Construccl6n de la matriz de transporte En In tabla 10-1 se muestra la forma general de una rnatriz de transporte. A cada origen corresponde un reng16n y a cada destine una columna. La capacidad de cada origen se muestra al final del rengl6n y la demanda de cada destino se escribe abajo de la columna correspondiente: Estas capaci dades y demandas se conocen como condiciones de front era. Finalmente, Construc ci6n de la matri z de transport s Encuentro en la soluci6n inicial Revir.;6n d., la sotuclon Rn ) FIGURA 1()'2 El metodo del transporte PRQGPA!v1AClO r J lIt·JEAl LOS 285 TABLA 10-1 Mahlz general de transports ) Destino Origen Recursos total es I I I I ~ - - - E j t Demanda d _ Condic iones total n de frontera e1costo unitario de tr ansporte desde cada or igen a cada destino se escribe en la esquina superior der echa de cada celda de 1a matriz. Existe una flexibilidad considerable en la construcci6n de una mat riz de transpor te. Por ejernplo, los renglones podrian ser los destinos y las co1um nas los origenes. Los datos del costa unitario pueden ponerse en cualquier lugar de la ce1da. Ni siquiera se necesita una regla para trazar la matriz, Sin embargo, se piensa que poner un poco de cuidado a1dibujarla' tendra ven tajas como la de reducir los errores. Se entendera mejor 1a matriz can un ejernplo. En Ia tabla 10-2 se dan algunos datos para el ejemplo de la figura 10-1. Se dan las capacidades de las tres f:ibricas junto con las necesldades de los cuatra a1macenes y los cos tas unitarios de transporte. Notese que los recursos tota1es de las Fabricas exceden a la demanda to tal de los almacenes (600 contra 500) , Esto signifiea que e1 problema no csta balanceado. EI metodo de transporte se aplica mejor a los problemas balanceados, por tanto, se echa mana de un sencillo truca. Se agrega un almacen fictici o para absor ber la ho1gura. Este destino se rnuestra en 1a t bl a 10-3, que es 1a matriz comp1eta . EI costa unitario de t ranspor te ha cia e1 almacen Iicticio siempre es cero, ya que las 100 unidades no se man dan en la realidad . Cuando se llegue a 1a solucion optima, l as fabricas que "mandan" algo al desti no ficticio senci llamente tendran esa ean tidad de eapacidad sin usar . N6tese que de In mi sma manera puede usarse un ori gen fieticio que absorba e1 faltante en la capaci dad. Una vez constr uida la tabla, e1 siguiente paso es encontrar una soluci6 n inici al. 286 TABLA 10-2 Dat os para el problema muestra Recursos Tn la fab rica D em ands en el alrn acen Fabrica 5, 5. S3 - / Capacidad Almacen Dernan da 100 unidades 200 300 - 600 un idades D 1 D 2 D 3 D 4 150 un idades 150 120 80 500 unidades Costos de tr ansporte ($/unidad) A De D, D. D. D. 5, 7 3 8 8 5. 5 5 6 8 53 7 4 9 10 C6mo encontrar una solucl6n Iniclal El metodo para encontr ar una soluci6n inicial se llama rnetodo del costo minimo (LCM). Este metoda esta basado en la int uici6n y la habilidad para descubrir la matriz rapidament e. Como el objetivo es minimizar los costas de transporte la intuici6n debe conducir a escoger las rutas menos costosas. Esto es exactamente 10 que hac e el LCM. Observese la tabla 10-3 y encuentrese la celda con el menor costo (igno rando por ahora la columna ficticia). El lect or debe poder descubrir con TABLA 10-3 Construcc l6n de una matrlz Destine (Almacen) Oriqen (FlJbrica) 100 200 52 300 53 150 150 120 80 100 600 287 PPO:;PNvi.UCl6' I Lit lEAL If>5 facilidad que la celda SJD z con un costo de $3 es la que se busca. Sf.' lleua ) ahora csa celda hosta el maximo que petimten lay condiciones de jrontera. El almacen D 2 necesita 150 unidades, pero la Fabrica SJ solo puede pro porcionar 100. Asl, se ponen 100 unidades en la celda SID: como se hizo en Ia tabla 1O-4a. N6tese que esto agot a los recursos de la fabrica S1> de rna ./ nera que las demas celdas del primer reng16n se eliminan . Ahora observense las celdas restantes y encuent rese la que tiene el si guiente costo mas barato: SJ)2con $4. Asignesele 10mas que permitan las condiciones de frontera (50 uni dades, 10qlJe agot a la columna D ~ ) . Conti miese este pr oceso hasta tener la soluci6n completa, como en la tabla 10-5. Si se encuentra un empate par a la celda con el menor costo, la seleccion es arbitraria. Las celdas ficticias se llenan al Ultimo. Se quiere: Niimero de celdas llenas = (mimero de renglones + numero de columnas) - 1 = (3 + 5) - 1 = 7 Si se tienen menos celdas llenas que las requeridas, la soluci6n es degene rada, No hay nada de malo en ello, s610 tienen que hacerse algunos ajustes cuando se hace la pr ueba de optimalidad (que se describiran despues). Si se tienen mas que el numero de celdas requeridas, lse ha cometido un error I Encuentrese el error y corrijase antes de seguir adelante. En la tabla 10-5c hay siete celdas llenas; esta bien. En resumen, los pasos en el LCM son: 1 Localicese la celda menos costosa en la matriz. (Ign6rense las celdas fie ticias hasta el final; los empates se rompen arbitrari amente.) 2 Llenese la celda hasta el maximo permitido por las condiciones de Iron tera. Eliminense las demas celdas en el rengl6n 0 columna que se agota. 3 Repitanse los pasos (1) y (2) para las celdas restantes hasta que se llega a una soluci6n completa. EJERCICIO DEPRACTICA 10-1 Antes de continuar, practiquese el metcdo del costa minimo con la si guiente matriz. Si 10 encuentra muy sencillo, eso es 10 correcto. 0, O 2 Flcticio °3 5, 600 400 BOO 500 700 400 200 1800 1800 288 eSe tiene el numero correcto de celdas !lenas? Otros metodos Existen otros dos metodos para encontrar la soluci6n ini cial. La regla de la esquina noroeste se programa con facilidad en una computadora, pew da una soluci6n inicial muy pobre. El otro, el metoda de aproximacion de Vogel, casi siempre lleva a soluciones un poco mejores que el rnetodo del costo minimo pero requiere mayores calculos. Consulte se la bibliograHa para estos otros metodos, C6mo encontror 10 solucl6n 6ptlmo Una vez encontrada una soluci6n inicial, el siguiente paso es probar la op timalidad. Existen dos rnetodos para esta prueba. £1 metoda de la distri buci6n modificada (MODI) y el metodo de la piedra que rueda . Difieren en la mecanica, pero ambos dan exactamente los mismos resultados con la misma estrategia de prueba. Esta estrategia consiste en probar cada celda oacia (ruta no usada), una a la vez, calculando el costo marginal por usar esa celda. Despues, si una 0 mas celdas tienen costo marginal negative, se revisa la soluci6n. Se explorara esta estrategia un poco mas, antes de entrar en los detalles para ponerla en practica. Considerese una porci6n de la soluci6n inicial que se muestra en la tabla 10-5e, en particular las cuatro celdas que se incluyeron en la tabla 10-& . Tres celdas estan llenas y una esta vacia. La pregunta que debe ha cerse es: lse ahorrarla dinero usando la celda vacia? La respuesta se ob tiene tratando. Sup6ngase que se trata de mandar una unidad de S2 a D 2 • Para mantener balanceadas las condiciones de Frontera, debe reducirse S2D3a 49 unidades. Esto a su vez afecta la columna D 3 ; por tanto, se agre ga una unidad a S3D3. Por ultimo, S3D2 debe reducirse a 49 unidades y las condiciones de Frontera se satisfacen, esto se muestra en la tabla 10-6b. lC6mo han afectado al costo estos cambios? Los cambios son: Sumar I unidad a S2D2 + 5 Restar 1 unidad de S2D3 - 6 Sumar I unidad a S3D3 + 9 Restar 1 unidad de S3D2 - 4 Costo marginal + 4 Par a cada unidad que se agrega a la celda S2D,., los costos aumentaran en $4. Como se quiere minimizar el costo, Ia celda S2D2 no es apropiada. La estrategia completa, entonces, es usar un proceso de eliminaci6n. Encuentrese el costo marginal que corresponde al uso de cada una de las celdas vacias. La solucion sera 6ptima cuando todos los costos marginales sean 110 nCi!.ativos} Metoda de I dlstrlbuci6 modificada (MODI) El metodo MODI obtiene los costos marginales a traves de un proceso de dos pasos. Primero, se calculan los coeflcientes de los renglones y las co 1 Estos costos rnarginales son identicos a los va lores de C; - Zi que se encue ntr an con el rnet odo simplex. 289 TABLA 10·4 Solucl6n inlcial por el metodo del mlnlmo c osto ) 53 150 r ~ f 5 120 80 100 50 (a) L16nesa la cel da de manor costo ($ 3°1) Ficticio °1 ° 2 ° 3 °4 51 Ib) Despues lIenesa la celda con '01 siquient e costo manor ( S ~ 2 ) 20 0 IrJli 300 600 o 20 0 300 jlilt 0 600 lumnas usando s610 las celdas llenas. Despues, con estos coeficientes, se calculan los costas marginales para cada celda vaeia. Se encontrar a que el pr ocedirniento es Facil de aplicar, aunque parezca peculiar, casi como una treta. Los autores afir man que existe una justificaci6n maternatica muy seria para el proceso complete. " 2 El procedirniento so b a en las propi dades del dual como 10 explica Richard E. T rueman en An Int roduction to Quantitattv Meth odsfor Decision Making, 2& ici6n (New York: Holt , 1977), pp. 323-325. 290 'tr;5rj irJrI TABLA 10·5 Termlnacl6n de 10 solucl6n Inicial con el metodo del costo Ficti cio °3 °4 0 51 50 52 250 53 izti 120 80 100 600 0 0 (8] usn ese la cei da 5 zD I °1 °2 °3 D 4 Ficti ci o 5 1 i lig 0 52 irJrj jl'rj 0 53 trjfi 250 80 100 600 l bJ Decpu63 Ih\nese 1acelda 5 2 0 3 °1 D 2 Ficticio °4 0 S1 i¢ 0 52 53 0 i0(i 1.rjrj 20P 0 t t5'¢ i¢ lop 0 600 0 0 (c I Soluci6n cornpteta 291 PPl ...GR,A,MAC! l)( J II r; TABLA 10·6 Una matrlz parcial de transporte ) 200 300 150 120 (8) Una celda vscte 200 300 150 120 (b ) Cambio da una unidad Paso 1: cdlculo de los cocjicicntes de rcngl 6n y columna Los calculos pueden hacerse directamente en la matriz. Despues de encontrar una so luci6n inicial, debe dibujarse de nuevo la matriz para comenzar en lim pio. Se continua con el ejemplo de las Iabricas y los almacenes y con la 50 luci 6n del metodo del minimo costo , como se observa en la tabla 10-7. Se inicia el proceso asignando un cera a un coeficiente arbitrario de cual qui er rengl6n 0 columna. Par costumbre se asigno un cero al primer rengl6n en la tabla 10-7a . Ahora se busca una cclda llcna en ese rengl6n: SlD 2 • Puede pivotearse sobre est a celda para encontrar el coefioiente de la columna D 2 usando la relacion: Coeficiente desconocido de columna 0 reng16n costa en la celda coeficiente conocido de reng16n 0 columna Coeficiente de columna D 2 = costa en celda SlD 2 - coeficiente del reng16n 1 Coeficiente de columna D 2 = 3 - 0 = 3 292 Mentalmente, al ver In matriz en la tabla 10-7a, puede decirse "0 para 3 igual a 3" , siguiendo la linea punteada. Se busca otra celda llena en el rengl6n 51' Como no hay , se busca hacia abajo por Ia columna [ ) ~ , La celda 5 3 D ~ est a llena, Una vez conocldo el coeficiente de la columna D ;: , puede pivotearse sabre la celda SJD 2 para en contrar el coeficiente del renglon 53' Siguiendo las lineas punteadas en la tabla 10-7b, se dice "3 para 4 igual a I" . Es alga parecido al juego de la pata coja. Se tom a un coeficiente conocido es un rengl6n (0columna) y se pivo tea sabre una celda llcna en ese mismo rengl6n (0 columna) para en contrar otro coefici ente. Continuando can el ejemplo, el coeficiente del renglon 53puede usarse para encontrar otros tres, como se muestra en la tabla 1O-7c. Para la co lumna D 3 se obtiene "1 para 9 igual a 8" y analogarnente para la columna D j • N6tese que ahora sc incluyl.. ' la columna jicticia y se trata en la misma forma que las demas columnas y renglones. Entonces, para la columna D s, "1 para 0 igual a-I", Se permiten los coeficientes negativos. Los cal culos para los coeficientes quedan terminados en la tabla 10-7d usando D 3 para encontrar 52 y, por ultimo, 52para encontrar el coeficiente de D I . Lo que en realidad se hizo fue resolver un conjunto de ecuaciones si multaneas que contiene mas variables que ecuaciones. Para cada celda llena puede escribirse la siguiente ecuaci6n: coeficiente del reng16n + coeficiente de la columna = costa en la celda en donde R = coefi dente del rengl6n y C = coeficiente de la columna. EcuaciOn Cdda RI + Cn 3 5 1Dz R z + C; 5 5 zDI Rn + C 3 6 SzDj R; + Co 4 5 3Dz R 3 + C; 9 5 3D3 R 3 + C 4 10 5 3D4 R 3 + C s = 0 S3 D S Esto proporciona siete ecuaciones con ocho incognitas. Como el metodo MODI se basa en los costos relatioos, puede asignarse cualquier valor ar bitrario a una de las variables, Sl se hace R I = 0, puede encontrarse C z con la primera ecuacion: R I + C 2 =.3 o + C;: 3 C;: = 3 Ahara que se conoce C z , puede encontrarse R,: R:> + C;: 4 R 3 + 3 4 R s 1 293 PPCx;PAI,,1ACl Lli J 1 11'_II:'Aj I / ""V:: N "0 ~ TABLA 10-7 Metodo MODI °1 °3 °4 Ficti cio °1 3 I I °2 °3 °4 Fictici o 0 -5 1 100 " C'I / 1/ f 1/lll" / 1/ 1/ 1100 52 200 s ~ 1 / (1 50 11/ I 1/ ( 50 11/ 1/ 1200 53 (a) Se c: omi.. enza con coef icient e cere para el prirner renglon 300 600 I 150 I (b) <::« I "---' 150 120 Se encuent ra el coetici ent e del terce r rengJ6n 3 8 9 - 1 7 3 8 9 - 1 + + t I FiClicio FiClici o °1 °3 °4 °1 °2 • °3 °4 100 OSl V' ~ r r ~ ~ [ 100 o 51 200 - L :>2 200 52 300 30 0 4 5 3 i 150 150 120 80 100 1600 150 150 120 80 100 1600 (c) Con el coeficierue del primer rengl6n (d ) Se completan los coe1icientes se encuantran orros rres de rengJ6n y columna Y as! sucesivamente. Puede encontrarse cada penalizaci6n. Mientras que no se tenga practica en el procedimiento, podria resultar mas sencillo de ---hecho escribir las ecuaciones y resolverlas de esta manera para obtener los coeficientes . Mas adelante, cuando aurnente la confianza, puede hac er se par inspeccion en la matriz. EJERCICIG DEPRACTICA 10-2 Calculense los coeficientes de reng16n y columna para el problema que si gue. Asegurese que se entiende este procedimiento antes de seguir adelante. 300 400 ( 150 200 350 Paso 2: calculo 'de costas marginales en las celdas oacias Una vez que se tienen los coeficlentes de renglones y columnas, se pone atencion a las eel das vacias en la tabla 10-8. Tomando una ala vez y en cualquier orden, el costa marginal es la diferencla entre el costa de la celda y la suma de los coeficientes del reng16n y la columna correspondientes. Para la celda SID I, se tiene Casto marginal = costa de la celda - (coeficiente del reng16n + coeficiente de la columna) Casto marginal de (SID 1 ) = 7 - (0 + 7) = 0 Para la celda S3Dh el resultado es: Costa marginal de (SID 1 ) = 7 - (0 + 7) = 7 - 8 = -1 AI ir calculando est as costas se colocan en la esquina inferior derecha de cada celda. Observando en la tabla 10-8 la matriz terminada, puede ob servarse cuales son las dos celdas que tienen costas marginales negatives: S l D 4 y S3DI. Esto significa que los costas pueden reducirse ernpleando cualqui era de estas celdas y, por tanto, la solucion no cs optima. EJERCICIG DE PRACTIC;A 10-3 Hagase aqui un alto para adqui rir un poco de practica en el cal culo de los costas marginales. La matriz que sigue es la misma que se us6 en el ej erci cio de practica 10-2. Encuent rense los costas marginates para cada celda vacia , eEs 6ptima la soluci6n? 295 Coeficlentes de columna o 300 Coeficienles de rengl6n 400 4 150 200 350 TABLA 10-8 ceicuto de indices de mejoramlento 150 150 120 80 100 600 Revision de la solucio« Puede revisarse la soluci6n por inspecci6n usan do 10 que puede llam arse regia de la traqectotia cerrada con dngul os rec tos en las celdas llcnas 0, dicho con menos palabras, regia de la piedra que rueda, Esta regla esta diseiiada para asegurar que las dos condiciones se cumplan siernpre en el proceso de revisi6n. Prirnero deben satisfacerse las condiciones de frontera. Como pudo observarse en la explicaci6n de la estrategia MODI, el llenai una celda vacia siernpre implica cambios por 10 menos en otras tres celdas. Segundo, el numero de celdas llenas no puede exceder la suma del numero de renglones y columnas mends uno. El proceso de revisi6n tarnbien debe obedecer estas condiciones. Puest o que s610 puede revi sarse una celda a la vez, el proceso de revisi6n se inicia identificando la celda vacia que se debe lIenar. En la tabla 10-8 hay dos celdas con costos marginales negativos. Siempre debe seleccionar se la celda con el costa mas negativo; en caso de ernpates, se rompen ar bitrari amente. En el ejernplo, se selecciono Ia celda S3Dj. Como habra un ahorro de $1 por cada unidad que se mande por esa celda, se quiere man dar 10 mas posible, que sea congruente con las condiciones de frontera y el mimero de celdas llenas, 100 a -2 200 300 296 53 En seguida se aplica la regia de la trayectoria cerrada con angulos reo < tos en las eeldas llenas. Comenzando can la celda vacia (S:,D 1 ) , se en cuentra una trayectoria cerrada que vaya por las celdas de la matriz y regrese a la celda y que cumpla dos condiciones. Primero, s610 se puede ir vert ical u horizontalmente, no se permiten las curvas a las diagonales, Se gundo, cada esquina en angulo recto debe estar en una celda llcna, Siempre existird una fj solo una traqectoria de cste tipo. dPuede el lector encontrarla? En la tabla 10-9 se muestra la trayectoria para S3DI' N6tese que pueden "saltarse" tanto celdas vacias como llenas. Las es quinas 0 pivotes son las celdas criticas. Se pone ahora un signo mas en la celda vacia y se da la vuelta a la trayectoria altemando los signos menos y TABLA 10-9 Revlsl6n de 10solucl6n / 100 200 300 150 150 120 80 raj tdenutl caclon de la travec toria de revisi6n 100 600 °1 °2 °3 °4 Ficticio 5 1 100 200 300 150 150 120 l b J .SoJuci6n rev isada 80 100 600 297 mas en las celdas pivote llenas. Est as son las piedras que ruedan. Las eel das con signa meno s se reduciran y las celdas can signo mas se incrementa hi n. dCmi ntas uni dades pueden cambiarse? La cant idad mcnor en las eel qas con signo menos. En la tabla 1O-9a hay dos celdas, 150 y 70, que tienen signa menos, de manera que puede hacerse un carnbio de 70 unida des alrededor de la trayectoria cerr ada . En la tabla 1O-9b se da esta revi sion cornpleta . dEs optima esta nueva soluci6n? Para saberlo, se debe repetir todo el proceso desde el pri ncipia. Se calculan todos los nuevas coeficient es de rengl6n y columna y despues se encuentra n los nuevas costas rnar ginal es para todas las celdas vacias . Esto se hace en la tabl a lO-lOa. Como puede observarse, la celda S1D 4 tien e un costa mar ginal negativo 10 cual indica que todavia es posible hacer mejor as. La tr ayectoria de la revi si6n se muestr a en la tabla l a-l ab y la tercera soluci6n en la tabla 10-lOc. Se apli ca el metoda MOI?I una vez mas y resulta que todos los costas marginales son no negativos. Esta es I soluci 6n 6ptima. EI costa total de esta solucion se encuentra sumando los product os de los costas en las celdas par las uni dades mand adas en cada celda llena . Resumen de MODI Los pasos del metoda MODI son, en resJmen: 1 Se calculan los coeficientes de rengl6n y columna usando las c e l d ~ s He nas: coeficiente del rengl6n + coeficiente de la columna = costa en la celda 2 Se calcula el costa marginal de usar cada celda vacia : Costa marginal = costa en la celda - (coeficiente del renglon + coeficiente de la columna) 3 Se selecciona la celda vacia can eI coste marginal mas negativo (los em pates se rompen arbitrari amente). 4 Se encuen tra la t rayectoria de revisi6n y se liena la celda vacia al maxi mo que per mita la trayect oria. 5 Se repiten los pasos 1 al4 hast a que todos los costas marginales sean cera a positives. EJERCICIO DE PRAcTICA /10-4 (a) Continuese el ejercicio de practice que se ha veni do tr ab jando. En cuentrese la tra yectoria de revision y revisese la sol ucion que se da en seguida. 300 ~ o o 298 150 200 350 I TA BLA 10·10 0 0 1, segundo cIcIo - I \ 6 3 7 9 ·- 1 0 -, Fict icio 0 ) ~ - 0 2 Ficti cio ° 3 °1 °3 °4 °4 100 20 0 30 0 150 150 120 80 100 600 5 , 11 00 0 51 - 1 S2 52 1200 S3 150 150 120 80 100 600 1 (II ) La celda $184 se puede mejorar (bl Trayect ori a de revision 6 3 7 13 - 1 Ficti ci o °1 0 '2 °3 °4 Costo total 3 X 20 = 60 ax 80 = 640 5 X 80 = 400 6 X 120 = 720 7 X 70 = 490 4 X 130 =520 O X100 = 0 283 0 300 600 Ie) Sol uci 6n revisada, optima rv 1 A" . __\ I / 1 r , 1 / 1 /?" \1 / ' 1 A" \I / I 1 / 53 1 A" '\1 E '-. 1 / 1 r---....... I / '-. / 30 0 0 5 1 1/ l /f.,,, \ 1/ r-IZIY 1100 - 1 5 2 1./1An , V _1/7' 120)V . . 1/ . _ 1 200 5 3 150 150 1:' 0 80 100 I\) -0 -0 (b) Apliquese de nuevo el metoda MODI ala solucion revisada. dEs opti ma esta solucion? (c) Apliquese el metoda MODI al problema cit!transporte que se muestra en la tabla 10-11. dCu.U es el costa total para 13 solucion optima? Metodo de la piedra que rueda Can el metoda de la piedra que rueda no se tienen que ealcular coeficien tes intermedios. Los costos marginales para cada celda vacia se en cuentr an di rectamente obteniendo la trayectoria de revisi6n para cada celda vacla. Esta es justa la trayectoria que se encontro al revisar una solu cion MODI y se usan tambien las mismas reglas . Otra vez, siempre habra una y s610 una de estastrayectorias para cada eelda vaeia. Cuando se en cuentra l a trayectoria para una celda dada, se ponen signos ( +) y (-) en forma altern ada en las "piedras que ruedan" en toda la trayectoria, igual que antes. Para encontrar el coste marginal, se suman los costas de la eel da vacia y de las esquinas de la trayectoria que tienen signa ( +) y se res tan los costos de todas las esquinas que tienen signa (-). EI resultado sera el costa marginal para esa celda vacia. Esto se hace para'cada celda vacia, Si esto pareee familiar , se debe a que se hizo antes usando una matriz par cial (vease Ia tabla 10-6) . \ Este metoda debe su nombre a las piedras que se usarian para cruzar un arrollo. Uno podria imaginarse que la matriz de transporte.esta cubierta par agua, a excepci6n de las celdas llenas, que son las piedras . Para encontrar una trayeetoria de revision se debe dejar una celda vacia y regresar a ella usando solo las piedras como pivotes 0 esquinas. No se debe olvidar que solo se permiten vueltas en angulo recto; no se permiten los movimientos en diagonal. Algun as veces las trayectorias de revisi6n son indirectas. Par ejemplo, observese la tabla 10-12 (rnues tr a la soluci6n 6ptima encontrada en la tabla lO-lOc). Se usara el metoda de la piedra que rueda para veriflcar la celda TABLA 10-11 Elerclcio de procttc o para 91 MODI 1000 1400 1600 4000 800 1500 1200 500 PIAf IE.ACK. J DE LAS.A.CTIVI /lQES 300 I TABLA 10·12 / Metodo de la piedra que rueda 100 200 300 600 ( \ la) Una trayector ia de revisi6n large para la celda S 2D4 150 150 120 80 100 100 200 300 600 (b I Verificaci6n de las otras celdas vaclas 5 2 D ~ . Como 0010 se tiene una celda llena en la columna D ~ , se sabe que debe for mar parte de la trayectoria, asf que se parte de ahi, De nuevo en el rengl6n 5110 unico que puede hacerse es moverse hacia la izquierda hast a SID 2 • Dando la vuelta hacia abajo por la column a D 2 , se debe llegar hasta el rengl6n inferior a S3D2. Aqui puede escogerse entre ir a la derecha 0 a la izquierda. Sin embargo, al ir a la derecha a la celda 5 3Ds no habra despues a d6nde ir, ya que no hay otra celda llena en la columna Ficiticia, Enton ees, la trayectoria va a 1a izquierda a S3DI despues hacia arriba a S2D 1 y de regreso a1 inicio. Una vez identificad a 1a trayeetoria de revision, puede encontrarse el costo marginal. P[.'()(?-i-AMAClO! J LIt-JEAl LOS IvlETCOOS DE 301 ,-,elaa vaC13: + 8 Celdas de esquinas: SID 4 : -8 + 3 -4 S3D l : + 7 -5 + 18 -17 = + 1 Este es el misrno costo marginal que se muestra en la tabla lO-lOc , que se encontr6 con el metod o MODI . Como ejercicio de practica el lector puede verificar todas las otras celdas de la tabl a lO-12b. Las respuestas deben coincidir con las que se muestr an en la tabla lO-lOc. cQue rnetodo es mejor , el MODI 0 el de la piedra que rueda? Los auto res prefieren el metodo MODI , porque en problemas grandes lIega a los costos rnarginales con mayor rapidez. EI metodo de la piedra que rueda puede resultar bastante laborioso cuando hay muchas celdas vacia s que verificar. Sin embargo, este metodo es mas eficaz eli' problemas pequenos y es util para corroborar algunos datos en problemas grandes. Por ejemplo, si el MODI indica que una soluci6n es optima, pueden buscarse las celdas vacias que tienen costos bajos. Si las hay, puede.usar se el meto do de la piedra que rueda para verificarlas. Esto da alguna protecci6n contra los errores mat ernaticos. EJERCICIO DE PRAc TICA 10-5 Con el metodo de la piedra que rueda pruebese la siguiente solucion. cEs 6ptima? Si no 10 es, revisese la solucion y repitase hasta encontrar una so lucian opti ma. 700 1200 600 800 1000 Casos especlales En esta secci6n se analizan cuat ro casos especiales . Los dos primeros son circunstancias que pueden surgir al probar la optimalidad. Los dos ulti mos son pro blemas especiales . ptpJ !EACICN DE AC' 302 Solucioncs optimas multiples Si una celda vacia tiene un costa marginal de cera, signifiea que existe otra soluei6n optima. Un cero en el costo mar ginal significa que esa eelda puede usarse sin aumentar los costos totales , En la tabla lO-13a se muestra un ejemplo. La celda tiene costo mar ginal de cero. Si se llena esta celda, se encontrara una segunda soluci6n optima, esto se muestra en la tabla 1O-13b. Las sol uciones optirnas multiples son importantes porque dan a la ad ministraci6n mayor flexibilidad en la toma de decisiones. Muy pocas celdas llenas, degeneracion La regia para el numero correcto de celd as llenas es una menos queel numero de renglones y columnas. Si la soluci6n tiene menos, se dice que es degenerada. Esto no indica que haya un err or . Ocurre cuando alllenar una celda se satisfacen las condiciones de Frontera tanto del reng16n como de la columna. Sin duda una soluci6n 6p tima puede ser degenerada. No obstante, esto quiere decir que se tendran problemas al probar la soluci6n con cualquier rnetodo, el MODI 0 el de la piedra que rueda, Para analizar estos poblernas, considerese el ejemplo de I la tabla 1O-14a. _ Ai probar la solucion, MODI comienza con cero en e1 coeficiente del primer rengl6n. Con 1& celda SID I result a que e1 coeficiente de la columna TABLA 10·13 Soluclones 6pllmas multiples 52 0 Costo total 150 5 X 50 = 250 4 X 100= 400 6 X 50 = 300 3 X 250 = 750 1700 300 100 250 100 450 la) Primera soluci6n optima °1 °2 °3 51 100 250 100 Coste total 150 5 X 100 = 500 4 X 50 = 200 3 X 250 = 750 5 X 50 = 250 1700 300 450 (b) Sequnda 50luci6n optima PRQ3RArv1ACIO J LOS , 303 D 1 es (5 - 0 = 5). Ahora no hay a d6nde ir . Ni el pri mer rengi6n ni Ia pri mera columna tienen otra ceida llena. Par a corregir esto, sencillamente se Ilena una celda vaci a arbitraria. En Ia tabla 1O-14b se puso Ia letra griega t'psilon (E) en la celda SlD 3 para in diear que esta llena. Epsilon es un dispositivo maternatico maravilloso: representa una cantidad mayor que cero e infinitamente pequeiia. Real mente es un trueo par a permitir que se realice la prueba. Algunas celdas vacias resul tan mas iitiles para esto que otras, pero es diflcil saber eso de ant emano. Se vera 10 que sucede euando se escoge la ceida equivocad a. En la tabla lO-14b el eosto marginal de la celda SlD 2 es negative, 10cual indica que es necesaria una revision . Sin embargo, la trayectoria de revi si6n tiene un signo menos en la celda de E . Esto signifiea que 5610 puede agregarse E a la celda SlD 2 • En terminos practices, esto quiere decir que se coloe6 E en el Iugar equivoeado. As] , 10mejor es cambiar E ala celda SlD z y repetir la prueba , como se muestra en la tabla lO-15a. Con E en una nueva celda, el costa marginal negative aparece en la celda S2Dl' La celda se llena y la revisi6n (vease la tabla 1O-15b) resulta 6ptima. N6tese que la soluci6n final no es degenerada. Esto es una coinci dencia, pudo haber resultado degenerada. \ \ TABLA 10-14 Una solucl6n degenera da 300 52 150 200 100 450 [al EI rnstodo MODI bloqueado 5 E 5 D, D 2 D 3 '50 a 5, 150 300 450 lb ) Sa liena otra celda arbi l rariamente 304 DE lAS ACTIVIDADES ____r..""' r, ADDl'<;A dQue pasa si se esta usando el metoda de Ia piedra que rueda con una soluci6n dege nerad a? Finalmente se llegara a una celda vacla desde la cual no puede trazarse una trayectoria de revision , Para observarse esto vease la tabla lO-14a . Sup6ngase que se tr at a de probar la celda S2D 1 • No existe una trayectoria que tenga celdas llenas en todas las esquinas. Para remediar esto, se agrega E a una celda vacia que perrnita est ablecer un a trayectoria . En este ejemplo cualquiera de las celdas S\D 2 0 SlD 3 servira. Se dara una ulti ma advertencia sobre la degeneraci6n . Una vez que se ha puesto una E en una celda vacia, debe dejar se ahi par a esa revisi6n, no puede moverse a otra celda. Es claro que si hace falta mas de una celda llena, se necesit aran vari as E 's. Pero una vez que se colocan, deben per manecer ahi dur ante toda la prueba. Cuando se quiere marimizar El rnetodo del transporte esta disenado para problemas de minimizaci6n. Sin embargo, habra veces que se tenga un problema de tr ansport e que requiera maXimizaci6n . Por ejemplo, si las rutas al ternativas incl uyen un a funci6n del rendi miento, debe rnaximiza r se ese rendimiento (0 ganancia). TABLA 10·15 Soluclones revlsadas 150 5 6 °1 o 51 300 -1 150 200 100 450 2 52 (aJ Cambio de 4 6 3 °1 ° 2 °3 0 5 1 150 300 150 200 100 450 (bl Solucion revisads. opti ma PROGP' ,AJv1AClO J LI lEAL LOS METODOS DE TD!l.f".l";,PtlOTI= v 305 PLArJEACIOr I DE LASACTIVIDADES [ lELA EMF'PESA Existen tres forrnas de adaptarse a la maximizaci6n. Aunque todas lle van al mismo resultado, los autores prefieren la prirnera. Metodo A: minimizacion del costa de oportunidad Si se esta maximizan do, entonces las ganancias grandes son buenas y las pequefias son rnalas. Se le puede dar la vuel ta al problema encontrando.la celda can la mayor ga nancia y restando de esta todos los nurneros en las celdas, Estas diferencias son los costos de oportunidad por no usa r las celdas de gnnancia alta. Se incl uyen estes cost os de oportunidad en la mat riz de transporte y se apli can los metodos est andares para encontrar la soluci6n 6ptima. En In tabla 10-16 se muestra un ejemplo. . Metoda B: minimizacion de las ganancias negatioas Otro metodo es multi plicar por - 1 todas las gananci as en las celdas y proceder con el metodo del transporte, Esto funciona muy bien para las soluciones por computadora. Si se esta resolviendo el problema en forma manual , puede crear confusiones, a menos que se tenga mucha ~ n l c t i c a en el manejo de numeros negativos. \. Metoda C: inversi6n de todas las reglas de decision ,AI invertir todas las reglas de dec isi6n, se maxi miza directamente. Se incluyen las ganancias en cada cel da y se aplica el metoda del transporte reinterpretando las reglas de decisi on . Para encontrar una solucion inicial con el metodo del menor costo , se comienza con el "coste" ttuis grande. AI final, la prueba de optimalidad tendril que tener todos los valores no positioos para indi car que la soluci6n es 6ptima. Este enfoque est a limitado a soluciones rn a nuales y requiere una gran flexibilidad mental. Cuando algunas rutas estan prohibidas dQue se haee cuando algunas de las celdas (rutas) en un problema no pueden usarse, si estan prohibidas por alguna raz6n extern a? Esto no causara ni nguna dificul t ad real. Las celdas se incl uyen en la mat riz y se les asigna un costo muy alto. Si se les asigna, por ejernplo, 100, el costo mas alt o de los permitidos, esas celdas no apare oeran en la soluci6n final . Par a mayor rapidez, puede usarse la letra M par a represent ar un rnimero muy grande. Esto simplifiea los calculos, ya que suma r o restar cualquier rnirnero finito no afecta a M. Por ejemplo, M + 6 = M. OTRO TIPOS DEPROBLEMAS DETRANSPORTE Existen muchas aplicaci ones del metoda de t ransporte a problemas que no tienen ni nguna relaci6n con el envio de bienes. Estes son problemas de "transpor te" s6lo en un sentido muy general. A conti nua ci6n se dan t res ejemplos para ilust rar la variedad de pr oblemas a los que el me todo se aplica. Par sup uesto, esta no es una list a complet a. La intenci6n ejerci tar la mente para ampli ar la imaginacion. Seleccl6n de un medlo de publlcldad La publicidad lleva un mensaje de una compafifa desde va rios origenes 0 medias a los destinos deseados por la compafiia como metas de mercado 306 TABLA 10-16 Conversl6n a costos de oportunldad 200 400 250 350 600 ( \ f 2 - 10 =: 2 - - ---t- 1 2 - 8 = 4 - - - - + ~ (b ) Minimi zaci6n de los costas de oportunidad (grupos por edades par ejemplo) . Los origenes, televisi6n, radio, periodi co, tienen capacidades totales en terrninos de la audiencia a la que pueden lIegar en un periodo de tiempo limit ado. La campania puede formular objetivos para cada meta en el mercado en terrninos del numero de perso nas que se desea queden expuestas a su mensaje. Esto constituye las de mandas en los destines. La ultima cornponente que se necesita es el costa por persona expuest a para cada uno de los medios en cada categoria de mercado. Estos costas pueden ser proporcionados par los medics para la audiencia estandar en las categorias. EI problema general sera, entonces, encontrar la combinaci6n de menor costa para enviar los mensajes de los medias a sus desti nos en el mer cado . En In tabla 10-17 se ilustra un ejemplo. Programacl6n de la produccl6n Una de las tareas en la pl aneaci 6n de la producci6n es encontrar el progra rna de menor costa para cumplir con la demanda en los meses futuros. En general , la demanda se conoce, pero varia de un mes a otro. Para suavizar estas variaciones, los articulos se producen para inventario en los meses de / TABLA 10-17 Selec cl6n del medic de publlcldad Destinos (grupos de edades) 17-24 25-45 4 6 -65 M:i s de 65 Fict icio Origenas Peri6dico Un peri6dico Radio Televisi6n c= 20 000 35 000 30 000 20 000 60 000 '----- Tamafio del grupo de mercado al que Sf.' debe exponer Audiencia meta total 35 000 30 000 20 000 80 000 165 000 Nota : la) Los costos reflejan 01costo por cada mil personas qua ven el anuncio. tbl Esta soluci6n recomienda el uso de cada medio con anuncios disefi ados an especial para un grupo de edad. holgura y se usa tiempo extra en los meses pico. En efecto, los turnos nor males y los de tiempo extra constituyen los origenes. En forma analoga, la demanda en cada mes es un destine. Los costos de "transporte" varian. Se incurre en un costo de producci6n regular cuando los artfculos se produ cen en el mismo rnes en que se demand an. Si se usa el tiempo extra, existe un costo unitario agregado. Cuando Ia produccion es para inventario, se agrega ta rnbien un costo de invent ario mensual. Por supuesto, la deman da de enero no puede satisfacerse en febrero . Este tipo de pr oblema se ilustra en la tabla 10-18. Traslado de carros para renta I No es dificil que una agencia de renta de carros se encuentre con que tiene exceso de carros en algun punta y deficiencia de los mismos en otros. Para corregir to, los carros deben trasladarse. Pero ~ . q u e lugares origcn deben mandar carros a cada lugar destino? Si se conoce el costo de tr ansporte unitario para cada ru ta posible, este problema puede resol verse can el me todo de tr ansporte. En la tabla 10-19 se muestra un problema de este tipo. CARACTERiSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE ASIGNACION Los problemas de asignacion forman un a subclase especial de los proble 308 mas de transpor te. Par quedar clasificado como un problem a de asign - PLAI JEA(I(_"1 DE A ~ ArTlVIDADES TABLA 10·18 Programocl6n de 10 producci6n Origenes Period o 1: reg ular Periodo 1: t iempo ext ra Peri odo 2: regular Peri odo 2: t iempo ext ra Periodo 3: regular Periodo <I : t iempo extra Destin es Period o 1 Periodo 2 Periodo 3 Capacidades de producci6n 20 000 10 000 20 000 10 000 20 000 10 000 20 000 <10 000 90 000 "Dernanda en cada periodo . Costos : Tiempo regul 3r : $3 Dif erencia por tiempo eXU3: + 1.50 Cost as de inv entario: $1 por mes M = un coste muy alt o cion, la capacidad en cada origen y la dernanda en carl a destine debe ser igual a 1. Como su nornbre 10 dice, el problema trata de decidir que ori gen asig nar a cada destino. Los problemas tipicos de esta nat ur al eza incluyen el de asign ar trabaj adores a m..iqui nas , equipos de trabajo a pro yectos y agentes de ventas a di stritos. Los problemas de asignacion de pequena escala pueden resolverse con la enume racion de todas las com binaciones y la seleccion de la mejor. Pero para uu problema de 11 x n, cxisten nl soluciones posibl es. Aun un pequefio problema de .5 x .5 tiene 120 soluciones . Se podria usar el metoda de rami ficacion y acotami ento del capitulo 9. Tambien los rnet odos general es de solucion de PL como el simplex. 0 aun el metoda del transporte. Sin em