Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado(M.R.U.V.) Es aquel movimiento en la cual la trayectoria es una línea recta, variando progresivamente el valor de la velocidad, ya sea aumentando o disminuyendo. Se puede afirmar también que es aquel movimiento rectilíneo que se obtiene cuando hay variaciones de velocidades iguales en tiempos iguales; vale decir, permanece constante el valor de la “aceleración”. Fórmulas del M.R.U.V. Usar: (+) si el movimiento es acelerado (-) si el movimiento es retardado · Si la velocidad del móvil en un M.R.U.V., aumenta; el movimiento será acelerado, y el signo de la aceleración será positivo. · Si la velocidad del móvil en el M.R.U.V., disminuye: el movimiento será retardado, y el signo de la aceleración será negativo. OBSERVACIONES t a V V f ± = 0 d a V V f 2 2 0 2 ± = t V V a f 0 - = t V V d f ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = 2 0 2 0 2 1 t a t V d ± = Vf : velocidad final V0 : velocidad inicial a : aceleración d : distancia t : tiempo Þ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = t V V e f 2 0 Þ ÷ ø ö ç è æ + = t 2 10 0 50 2 0 2 1 t a t V e + = ( ) 2 10 4 2 1 0 + = t e t a V V f + = 0 ( ) 10 4 0 + = f V Problemas Resueltos 1. Un auto que viaja a 10 m/s se le aplica los frenos y se detiene después de recorrer 50 m ¿Qué tiempo demoró en detenerse? 2. Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de 4 m/s 2 ¿Qué espacio recorre en 10 s y cuál es su velocidad al cabo de ese tiempo? 3. Un auto parte del reposo en el instante t = 0 s, con una aceleración constante de 8 m/s 2 ¿Qué distancia recorre el móvil entre los instantes t1 = 3 s y t2 = 5 s? Entre A y B Entre A y C 4. Un móvil triplica su velocidad al recorrer 200 m, empleando 10 s ¿Cuál es el módulo de la aceleración constante que posee? Luego V0= 10 m/s; Vf = 30 m/s t = 10 s e = 200 m Vf = 40 m/s x = 64 m 2 0 1 2 1 at t V e + = ( ) ( ) m e 36 3 8 2 1 3 0 2 1 = + = 2 0 1 2 1 at t V x e + = + ( ) ( ) 2 5 8 2 1 5 0 36 + = + x t V V e f 0 + = 10 3 200 0 0 V V + = t V V a f 0 - = 10 10 30 - = a a = 2 m/s 2 5. Un automóvil parte del reposo y acelera uniformemente de modo que en los dos primeros segundos recorre 10 m ¿Qué espacio logrará recorrer los siguientes dos segundos? Entre A y B Entre A y C 6. Un móvil parte del reposo con aceleración constante y tarda 8 s en recorrer la distancia de 600 m que hay entre dos puntos de su trayectoria. Si la velocidad en el segundo punto es 100 m/s, calcular; la velocidad en el primer punto, la distancia que hay desde el punto de partida hasta el primer punto y por último, la aceleración Entre los puntos “B” y “C” Entre los puntos “A” y “B” 7. Un carro se mueve con M.R.V.U., y al pasar por un punto “P” tiene una velocidad de 60 m/s. Si 360 m más adelante su velocidad es 120 m/s ¿Cuál fue su velocidad 100m atrás de “P”? Entre los puntos “P” y “B” Entre “A” y “P” 2 0 2 1 at t v e + = a = 5 m/s 2 2 0 2 1 at t v e + = ( ) ( ) 2 2 2 1 2 0 10 a + = x = 30 m ( ) ( )( ) 2 4 5 2 1 4 0 10 + = + x t v v e f ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = 2 0 8 2 100 600 ÷ ø ö ç è æ + = B v VB = 50 m/s t v v a f 0 - = 8 50 100 - = a a = 6,25 m/s 2 ae v v f 2 2 0 2 + = ( )e 25 , 6 2 0 50 2 + = e = 200 m ae v v f 2 2 0 2 + = ( ) 360 2 60 120 2 2 a + = a = 15 m/s 2 ae v v f 2 2 0 2 + = ( )( ) 100 15 2 60 2 2 + = A v VA = 24,5 m/s 8. Un auto y un camión parten del reposo en el mismo instante, hallándose inicialmente el auto a cierta distancia detrás del camión, el camión acelera con 1,2 m/s 2 y el auto con 1,8 m/s 2 . Si el auto pasa al camión, cuando dicho camión ha recorrido 60m. Calcular la distancia inicial entre auto y camión. Para el camión Para el auto 9. Las partículas mostradas en la figura, comienzan a frenar con aceleración constante hasta encontrarse exactamente cuando sus velocidades se hacen nulas. Hallar la desaceleración de la partícula B Con cada partícula “A” Como es desaceleración Con la partícula “B”: (e = 30 m) 10. Para un móvil que describe M.R.V.U., se han registrado los siguientes valores para su posición respecto al tiempo. Determinar la rapidez, en t = 2,5 s. Entre 0 y A x (m) 0 - 4 - 10 - 20 - 34 t (s) 0 1 2 3 4 a = - 3,75 m/s 2 ae v v f 2 2 0 2 - = ( ) ( ) e 4 2 20 0 2 + = m e 50 = ae v v f 2 2 0 2 - = ( ) 30 2 15 0 2 a - = 2 / 75 , 3 s m a = ( ) Þ ÷ ø ö ç è æ + = Þ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = ï þ ï ý ü = = = 1 2 0 4 2 1 0 4 0 0 A f v t v v e s t v m e VA = 8 m/s 2 0 2 1 at t v e + = ( ) ( ) 2 2 , 1 2 1 0 60 t t + = s t 10 = 2 0 2 1 60 at t v x + = + ( ) ( ) ( ) 2 10 8 , 1 2 1 10 0 60 + = + x x = 30 m Entre A y B Entre B y C Nos piden 11. Un móvil parte del reposo y de un punto “A”, con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (a = 5 m/s 2 ). Tarda en recorrer una distancia BC = 90 m, un tiempo de 2 s; y finalmente llega al punto D. Si CD = 110 m. hallar el tiempo total del recorrido AD. Entre B y C Además Entre A y B Entre C y D 12. Un peatón corre hacia un ómnibus para alcanzarlo con una velocidad constante de 6 m/s, en el instante en que se encuentra a 25 m, por detrás de dicho ómnibus. En ese mismo instante el ómnibus parte del reposo, acelerando a razón de 1 m/s 2 . Determinar si el peatón alcanza o no, al ómnibus Supongamos que el peatón alcanza al ómnibus Peatón: M.R.U. Ómnibus: M.R.U.V. ( ) Þ ÷ ø ö ç è æ + = Þ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = ï þ ï ý ü = = = 1 2 8 6 2 1 / 8 6 0 0 B f v t v v e s t s m v m e ( ) ( ) Þ + = Þ + = ï þ ï ý ü = = = 2 2 0 0 1 2 1 1 4 10 2 1 1 / 4 10 a at t v e s t s m v m e Þ ÷ ø ö ç è æ + = Þ + = ï ï þ ï ï ý ü = = = = 2 1 12 4 ? / 4 / 12 5 , 0 0 0 2 f f f v at v v v s m v s m a s t VB = 4 m/s a = 12 m/s 2 Vf = 10 m/s ( )( ) s m v v at t v e B B / 40 2 5 2 1 90 2 1 2 2 0 = + = + = ( ) s m v v v v at v v C C B C C / 50 10 40 2 5 0 = + = + = + = s t t at v v AB AB f 8 5 0 40 0 = Þ + = + = ( ) Þ + = + = 2 2 0 5 2 1 50 100 2 1 t t at t v e t = 2 s (Absurdo) El Absurdo es consecuencia de suponer que el peatón alcanza al ómnibus 13. Del problema anterior, en el caso que el peatón no alcanza al ómnibus. Hallar la mínima distancia a la cual logró acercarse La mínima distancia a la cual en el caso que el peatón no alcanza al ómnibus es cuando peatón y ómnibus tienen la misma velocidad Con el ómnibus De la Figura 14. Un representante del orden observa a un malhechor que se encuentra a 6 m de él, en ese instante el delincuente se da a la fuga con una velocidad de 1 m/s. De inmediato el policía parte, acelerando a razón de 2 m/s 2 , en su persecución ¿después de qué tiempo será atrapado el malhechor? ( ) ( ) t t t t t at t v t v e e ómnibus el por recorrido Espacio e p p 6 2 25 1 2 1 0 6 25 2 1 25 25 2 2 2 0 0 + - = ÷ ø ö ç è æ + - = ÷ ø ö ç è æ + - = - = = 0 50 12 2 = + - t t 14 6 - ± = t No lo Alcanza s t t t v v a f 6 0 6 1 0 = - = - = 25 0 + = + e x e p ( ) ( ) ( ) Þ + = + + = + + ÷ ø ö ç è æ + = + + ÷ ø ö ç è æ + = + 25 2 6 6 6 25 2 6 25 1 2 1 0 6 25 2 1 6 2 2 2 2 0 x t x t t t x t at t v x t x = 7 m ( ) t v at t v e e M p + ÷ ø ö ç è æ + = - = 2 0 2 1 6 6 ( ) ( ) Þ - = - ÷ ø ö ç è æ + = t t t t t 2 2 6 1 2 2 1 0 6 x = 3 s 15. Un auto parte del reposo con aceleración constante, entre el octavo y noveno segundo recorrer 34 m ¿Qué distancia recorre en el doceavo segundo? e8 =espacio recorrido hasta el octavo segundo Por analogía e9 =espacio recorrido hasta el noveno segundo 16. Los extremos de un tren pasan por un mismo punto con velocidades de 2 y 3 m/s ¿qué longitud del tren pasaría por ese punto en la mitad de tiempo que ha necesitado para pasar el tren por completo? (longitud deliren = 100m) Primer Caso Segundo Caso 17. Tres móviles A, B y C recorren una recta, partiendo del mismo punto, en la misma dirección y con la misma velocidad inicial de 246 m/s. Primeramente empieza su movimiento “A” y está sometido a una desaceleración de 10m/s 2 ; transcurridos cinco segundos, “B” empieza su movimiento, el cual es uniforme. Finalmente transcurridos otros tres segundos, empieza “C” que acelera constantemente a razón de 4 m/s 2 . Determinar el tiempo que demora en equidistar entre si con respecto al móvil “B” Móvil “A”: M.R.U.V. (Retardado) Móvil “B”: MR.U. Móvil “C”:M.R.U.V. (Acelerado) Entonces de (1) y (2) ( ) ( ) 2 2 2 2 8 2 9 8 9 / 4 8 2 1 9 2 1 34 2 1 2 1 34 34 s m a a a at at e e = Þ - = - = - = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 11 2 12 11 12 11 4 2 1 12 4 2 1 2 1 2 1 - = - = - = x at at x e e x x = 46 m ( ) s t t t a v v s m a a ae v v f 40 40 1 2 3 / 40 1 100 2 2 3 2 0 2 2 2 2 0 1 2 = + = + = = + = + = ( ) ( ) Þ ÷ ø ö ç è æ + = + = = = = = = = 2 2 0 2 0 1 1 20 40 1 2 1 20 2 2 1 / 40 1 ; / 20 ; 20 20 2 40 2 1 e t a t v e s m a s m v s t s t e = 45 m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 10 2 1 246 5 246 1 2 10 2 1 246 8 4 2 1 8 246 2 2 2 2 K K K K K K K K K K K K x t t t x e e x t t t t x e e A B A C + - = - + = + - = - + - + = t = 9,70 s ( ) ( ) ( ) 6 12 36 10 2 12 6 2 0 - + = = + = t t v K K K K 18. Un auto está esperando que cambie la luz roja. Cuando la luz cambia a verde el auto acelera uniformemente durante 6 segundos a razón de 2 m/s 2 , después de la cual se mueve con velocidad constante. En el instante que el auto comienza a moverse, un camión que se mueve en la misma dirección con movimiento uniforme de 10 m/s, lo pasa ¿En qué tiempo se encontraran nuevamente el auto y el camión? De la Figura (2) en (1) Con el auto Donde 19. Dos autos A y B, están viajando en la misma dirección y sentido con velocidades v y v, respectivamente. Cuando el auto A se encuentra a una distancia “d” detrás del auto “B”, se aplican los frenos de “A”, causando una desaceleración “a” ¿Cuál debe ser la distancia límite para que los autos choquen? Con el auto “B” (1) en (3); Con el auto “A” De (2): Reemplazando datos: ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 6 36 10 6 6 2 2 1 10 2 K K K K K - + = - + = + = t v t t v t y x e t a v v f + = 0 t = 18 s ) 1 ( K K K K K K t v x B = t v t v d A B 2 = + ) 3 ( 2 0 2 ) 2 ( 0 0 0 K K K K K K K K K K t v x d t v v e t a v t a v t a v v A f A A f ÷ ø ö ç è æ + = + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = = - = - = ( ) B A A A A A B A v v a v d a v v a v v d a v t 2 2 2 - = × = + = d = 72 m 20. Un tren de pasajeros se desplaza en un avía a razón de 30 m/s. Cuando es frenado, desacelerando a razón de 1,2 m/s 2 , en el instante en que se encuentra a 180 m de un tren de carga que se mueve en la misma dirección y sentido con velocidad constante de 9 m/s. Determinar si se produce o no el choque Calcularemos el tiempo que demora el tren en igualar al tren de carga, en velocidad, para esto la velocidad del tren de pasajeros tendrá que ser también 9 m/s Cálculo de los espacios recorridos al cabo de ese tiempo Con el tren de pasajeros: Con respecto al punto “A”, el espacio recorrido por el tren de pasajeros será: 341,25 m Con respecto al punto “A” el espacio recorrido por el tren de carga será: 180 + 157,47 = 337,5 m Con el tren de carga: s t t t a v v f 5 , 17 2 , 1 30 9 0 = \ - = Þ - = ( ) ( ) ( ) m e e at t v e p p p 25 , 341 5 , 17 2 , 1 2 1 5 , 17 30 2 1 2 2 0 = - = - = ( )( ) m e vt e C C 5 , 157 5 , 17 9 = = = Es decir, el tren de pasajero ya pasó al tren de carga; por lo tanto ya se produjo el choque PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un cuerpo describe un M.R.U.V. cuya aceleración es de 2 m/s 2 en un determinado instante su velocidad vale 15 m/s ¿cuál fue su velocidad 6 segundos antes? A) 12 m/s D) 15 m/s C) 3 m/s D) 2 m/s E) N.A. 2. Un cuerpo con M.R.U.V. tiene una aceleración de 5 m/s 2 y recorre 100 m en 3 segundos. Calcular su velocidad final A) 40 m/s B) 50 m/s C) 40,83 m/s D) 20,43 m/s E) N.A. 3. Un cuerpo con movimiento rectilíneo acelera a razón de 2 m/s 2 , de modo que al cabo de 3 segundos triplica el valor de su velocidad ¿qué espacio recorre en este tiempo? A) 100 m B) 18 m C) 300 m D) 400 m E) 500 m 4. Un móvil parte del reposo con aceleración constante de 2 m/s 2 ¿qué espacio recorre en el 4 to segundo de su recorrido? A) 7 m B) 5 m C) 9 m D) 2 m E) 8 m 5. Un móvil se desplaza con MRUV y recorre en el 3 er segundo 16 m menos que el recorrido en el séptimo segundo, calcular su aceleración A) 1 m/s 2 B) 2 m/s 2 C) 3 m/s 2 D) 4 m/s 2 E) 5 m/s 2 6. ¿durante qué segundo un móvil que parte del reposo y tiene MRUV, recorrerá el triple del espacio recorrido durante el quinto segundo? A) 6 to B) 14 vo C) 7 mo D) 9 no E) N.A. 7. Un avión recorre antes de despegar una distancia de 1800 m en 12 segundos con MRUV Calcular la distancia recorrida en el doceavo segundo A) 57,10 m D) 97,5 m C) 60 m D) 58,25 m E) 172,25 m 8. Un móvil parte del reposo con MRUV Si durante el 13avo segundo recorre 100 m, determinar el espacio recorrido entre el 4to y 8vo segundo A) 200 m B) 210 m C) 192 m D) 300 m E) 250 m 9. Al iniciar una cuesta de cinco por ciento de pendiente un coche lleva una velocidad de 72 km/h ¿qué espacio podrá subir con esa velocidad inicial, si el motor no funciona? (g=10 m/s 2 ) A) 60 m B) 400 m C) 600 m D) 608 m E) 300 m 10. Un tren marcha a 180 km/h y en un momento dado aplica los frenos produciéndose una desaceleración de 4 m/s 2 . Determinar que espacio recorrido en el tercer segundo de movimiento después de aplicarse los frenos A) 45 m B) 38 m C) 40 m D) 25 m E) 20 m 11. Un móvil realiza un MRUV de tal manera que en los dos primeros segundos de su movimiento recorre una distancia de 20 m. en los próximos 2 segundos cubre una distancia de 23 m, ¿cuál es la aceleración del móvil? A) 0,75 m/s 2 B) 10 m/s 2 C) 0,5 m/s 2 D) 1,25 m/s 2 E) N.A. 12. Dos carros separados una distancia “L” entre sí parten del reposo en el mismo sentido, alcanzando el carro posterior al delantero después que éste ha recorrido un espacio “x”. hallar la relación de sus aceleraciones A) B) C) D) E) 13. Dos móviles parten del reposo en la misma dirección y sentido, si inicialmente están separados 50 m y se observa que el alcance se produce 10 s después de iniciados los movimientos, determinar sus aceleraciones si éstas están en la relación de 3 a 2 A) 2 m/s 2 , 3 m/s 2 B) 1 m/s 2 , 2 m/s 2 C) 3 m/s 2 , 4 m/s 2 D) 3 m/s 2 , 6 m/s 2 E) N.A. 14. Un móvil se desplaza con M.R.U.V. y al pasar por “A” su velocidad es “v”. Cuatro segundos después pasa por “B” con una velocidad “3v”. El móvil experimenta una aceleración de 2 m/s 2 . ¿qué velocidad poseerá cinco segundos después de haber pasado por “B”? A) 16 m/s B) 14 m/s C) 18 m/s D) 20 m/s E) 22 m/s 15. Un piloto imprudente viaja en su automóvil con la velocidad excesiva de 100 km/h; un policía de tránsito que lo observa monta su motocicleta y en el momento que pasa frente a él parte en su persecución; luego de 10 segundos la motocicleta alcanza su velocidad límite de 120 km/h. Calcular al cabo de qué tiempo será alcanzado el infractor A) 15 s B) 29 s C) 30 s D) 45 s E) N.A. 16. Un móvil parte del reposo y acelera a razón constante de 5 m/s 2 durante un tiempo de 20 segundos, luego continúa su recorrido a velocidad constante durante un tiempo de 30 segundos, finalmente desacelera a razón de 2 m/s 2 hasta que se detiene. Determinar el espacio total recorrido y su velocidad media promedio. A) 6500 m y 65 m/s B) 6300 m y 60 m/s C) 3500 m y 20 m/s D) 8500 m y 75 m/s E) 8000 m y 63 m/s 17. Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de 10 m/s 2 , luego de transcurrir cierto tiempo, el móvil empieza a desacelerar en forma constante con a = 5 m/s 2 hasta detenerse, si el tiempo total empleado es de 30 segundos ¿cuál es el espacio recorrido? A) 1000 m B) 1200 m C) 1300 m D) 1500 m E) N.A. 18. Dos móviles se dirigen a su encuentro con movimientos uniformemente acelerados desde dos puntos distantes entre sí 180 m y tardan 10 s, en cruzarse, los espacios recorridos por estos móviles están en la relación de 4 a 5. Calcular las aceleraciones A) 1,6 y 2 m/s 2 B) 2 y 3 m/ 2 C) 5 y 3 m/s 2 D) 2,8 y 3,6 m/s 2 E) 1,3 y 2,4 m/s 2 19. Una partícula viaja a lo largo de la línea OX con un movimiento uniformemente acelerado. En los tiempos t1 y t2 sus posiciones son x1 y x2, respectivamente. Hallar la aceleración de dicha partícula L x x + L x L x 2 L x L + x L x + 2 ( ) 1 2 2 1 2 2 1 1 ) t t t t t x t x a A - - = ( ) 1 2 2 1 2 1 1 2 ) t t t t t x t x a B + - = ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 1 1 2 ) t t t t t x t x a C - - = ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ) t t t t t x t x a D - - = ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 ) t t x x a E - + = 20. Una partícula parte del origen hacia la derecha con una velocidad de 10 m/s y con una aceleración de 1 m/s 2 hacia la izquierda ¿Cuáles son los instantes en que se distancia desde el origen es 1 m? A) t = 0,1 s B) t = 0,1 s; t = 19,9 s C) t = 0,2 s; t = 18,8 s D) t = 0,1 s: t = 19,9 s; t = 20,1 s E) t = 1 s 21. Un móvil se mueve con una velocidad constante de 10 m/s como se muestra en la figura, de pronto cuando se encuentra en el punto “A” el conductor aplica los frenos, adquiriendo el móvil una aceleración constante de 1 m/s 2 : ¿Es posible; que dicho móvil siga la trayectoria (SI - NO)?y ¿Si es posible, calcular el tiempo que emplea para recorrer dicha trayectoria? A) No D) Si, 40 s B) Si, 20 s E) Si, 50 s C) Si, 30 s MOVIMIENTO VERTICAL Línea Vertical.- es aquella línea recta, radial a un planeta Movimiento Vertical.- cuando se suelta un cuerpo a una determinada altura, éste cae a través de la vertical, para ello ejerce un movimiento que toma el nombre mencionado. Si el cuerpo es lanzado desde la superficie hacia “arriba” también describe una trayectoria vertical. En el caso de nuestro planeta, los cuerpos cercanos a ella caen porque la Tierra ejerce atracción sobre los cuerpos próximos a la superficie con una determinada fuerza denominada fuerza gravitacional (Peso) CAIDA LIBRE Concepto.- Se denomina así al movimiento vertical que ejercen los cuerpos en el vacío, por acción de su propio peso. ¿Por qué en el vacío? Porque si un cuerpo es soltado en un medio ejemplo aire, éste se opone al libre movimiento del cuerpo y por consiguiente, el movimiento no sería de caída libre. Este movimiento es totalmente independiente de las masas y de las formas de los cuerpos. Ejemplo: si soltamos simultáneamente a una determinada altura en el vacío, una hoja extendida y una piedra; se notará que los dos llegarán a la superficie en el mismo tiempo. Lo cual no sucedería en el aire. A una altura relativamente pequeña los cuerpos caen con movimiento rectilíneo uniformemente variado, siendo la aceleración la misma para todos los cuerpos en el mismo lugar de la Tierra, independientemente de su forma geométrica o de la sustancia que los compone. Aceleración de la Gravedad (g).- Es aquella aceleración con la cual caen los cuerpos. Su valor depende íntegramente del lugar en que se tome. En la superficie terrestre esta aceleración no es constante como se cree, esto se debe a que la Tierra no es perfectamente esférica y además posee superficies accidentadas. Algunos valores de la g: En los Polos: g = 9,83 m/s 2 En el Ecuador: g = 9,79 m/s 2 Sin embargo se considera un valor promedio de “g” g = 9,8 m/s 2 g = 32,2 pies/s 2 Se considera también caída libre los siguientes casos: A) Cuando un cuerpo es soltado hacia abajo C) Cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba B) Cuando un cuerpo es lanzado hacia abajo IMPORTANTE § El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada, para un mismo nivel. § El módulo de la velocidad de subida es igual al módulo de la velocidad de bajada, para un mismo nivel. Fórmulas de Caída Libre.- Puesto que el movimiento de caída libre es un caso particular del M.R.U.V., las fórmulas serás las mismas, con la diferencia de que la aceleración ya es conocida (g) Así tenemos: Historia.- La caída de los cuerpos llamó bastante la atención de los antiguos filósofos, quienes trataron de dar una explicación a este fenómeno. Aproximadamente 300 años antes de Cristo surgió el gran filósofo Aristóteles, quien descubrió que al dejar caer simultáneamente dos cuerpos de diferentes pesos desde la misma altura, el más pesado llegaría primero al suelo. Esto estuvo gran influencia en la época y perduró casi durante 2000 años como un principio básico; fue aceptado este descubrimiento por la Iglesia Católica, la cual no aceptaba contradicciones a las ideas vertidas por Aristóteles. Por fin en el siglo XVI empezaron las refutaciones del ya conocido Galileo Galilei. La defensa vehemente de sus descubrimientos en pugna con las enseñanzas de Aristóteles, casi le cuesta ser quemado por la inquisición a los 70 años de edad. Galileo demostró que el movimiento de caída de los cuerpos es independiente de su masa. Cuenta la historia, que para verificar la igualdad de los tiempos de caída, Galileo lanzó desde lo alto de la torre inclinada de Pisa varios cuerpos de sustancias y pesos diferentes, observando que todos llegaron simultáneamente al suelo. (La resistencia del aire puede despreciarse cuando se trata de cuerpos compactos y alturas inferiores a 200 m) t g v v F ± = 0 2 0 2 1 t g v h ± = h g v v F 2 2 0 2 ± = t v v h F ÷ ø ö ç è æ + = 2 0 Usar: (+) Si el cuerpo baja Usar: (-) Si el cuerpo sube PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un cuerpo es dejado caer de la parte superior de un edificio. Calcular su velocidad después de 2 segundos (g = 100 m/s 2 ) Entre A y B 2. Un cuerpo es lanzado hacia arriba con una velocidad de 20 m/s ¿Qué altura máxima sube? (g = 100 m/s 2 ) Entre A y B 3. Una piedra es soltada desde la parte superior de un edificio y demora un segundo en recorrer los últimos 25 m ¿Cuál es la altura del edificio? (g = 100 m/s 2 ) Entre “B” y “C” Entre “A” y “B” 4. Un cuerpo es dejado caer desde cierta altura “H” y se observa que la segunda mitad de aquella es recorrida en 10 s ¿En qué tiempo el cuerpo recorrió la primer mitad? Entre A y B Entre A y C De (1) y (2) ( ) 2 10 0 0 + = + = B F v t g v v VB = 20 m/s 2 0 / 10 0 / 20 s m g v s m v F = = = ( ) 20 10 2 20 0 2 2 0 2 = - = - = h h h g v v F Hmax = 20 m ( ) ( ) ( ) s m v v t g t v h B B / 20 1 10 2 1 1 25 2 1 2 2 0 = + = + = x g v v F 2 2 0 2 + = ( ) x H m x x + = = + = 25 20 10 2 0 20 2 2 H = 45 m ( ) ( ) ) 1 ( 2 1 2 2 1 0 2 2 1 2 2 2 2 0 K K K K K t g H t g H t g t H t g t v H H = = + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 2 ( 10 2 10 2 1 10 0 10 2 1 10 2 2 2 0 K K K K K K + = + + + = + + + = t g H t g t H t g t v H t = 24,14 s 5. Se lanza un cuerpo hacia arriba con una velocidad de 80 m/s. Calcular la velocidad en el 5 to segundo de su movimiento (g = 100 m/s 2 ) Por tanto el 5to segundo corresponde al tramo AB Primero calculamos que tiempo demora el cuerpo en llegar a “B” Entre “A” y “B” 6. Un cuerpo con M.R.U.V. por un plano inclinado, que forma un ángulo “θ” con la horizontal. Si parte del reposo, hallar el valor de dicho ángulo. Sabiendo que después de 10 segundo adquiere una velocidad de 80 m/s (g = 100 m/s 2 ) Entre “A” y “B” Pero: 7. Desde un globo que se encuentra a 240 pies de altura, se suelta una piedra, el globo sube con una velocidad de 32 pies/s ¿Qué espacio recorrió la piedra hasta llegar el cuelo? (g = 100 m/s 2 ) Entre A y B En (1): 2 0 / 10 0 / 80 s m g v s m v F = = = s t t t g v v F 8 10 80 0 0 = - = - = ( ) 5 10 80 5 / 10 ? / 80 0 2 2 0 - = - = = = = = F F F v t g v v s t s m g v s m v VF = 30 m/s ( ) 2 0 / 8 10 0 80 s m a a t a v v F = + = + = 5 4 8 10 = = = q q q sen sen a sen g θ = 53º ) 1 ( 240 2 K K K K K K + = h e ( ) pies h h h g v v F 16 32 2 32 0 2 2 2 0 2 = - = - = ( ) 240 16 2 + = e e = 272 pies 8. Una piedra lanzada hacia arriba en el Tierra alcanza 20 m de altura ¿Cuál será la gravedad en un Planeta donde lanzada con la misma velocidad alcanza la altura de 4 m? En la Tierra (entre A y B) En otro Planeta (entre A y B) 9. Un paracaídas se deja caer de un avión desde una altura dad y cuando ha recorrido las ¾ partes de dicha altura, abre el paracaídas y empieza a caer con una velocidad límite de 10 m/s ¿Qué tiempo demoró en llegar al suelo si el tiempo que demora en su caída libre es igual al tiempo que tardó en su caída con velocidad límite? (g = 100 m/s 2 ) Entre A y B Entre B y C (d = v t) De (1) y (2) Tiempo Total 10. Dos cuerpos A y B se encuentran inicialmente a la misma altura. Si en el instante en que A se deja caer, B es lanzado hacia abajo con una velocidad inicial de 10 m/s ¿Al cabo de cuanto tiempo estarán separado 60 m? (g = 100 m/s 2 ) Con el cuerpo “A” Con el cuerpo “B” De (1) y (2) ( ) ( ) s m v v h g v v v s m g v m h F F / 20 20 10 2 0 2 ? / 10 0 20 0 2 0 2 0 2 0 2 = - = - = = = = = ( ) 4 2 20 0 2 ? 4 0 / 20 2 2 0 2 0 g h g v v g m h V s m v F F - = - = = = = = g = 50 m/s 2 ( ) ( ) ) 1 ( 20 3 10 2 1 0 4 3 2 1 2 2 2 0 K K K K K K K t H t t H t g t v h = + = + = ) 2 ( 40 ? / 10 4 K K K t H t s m v H d = ï ï þ ï ï ý ü = = = ( ) t H 10 4 = s t 6 = 6 6 + = T T = 12 s ) 1 ( 5 2 1 2 2 K K K K K K K t h t g h = = = ( ) ( ) ) 2 ( 5 10 60 2 1 60 2 2 0 K K t t h t g t v h + = + + = + t = 6 s ) ( , ) ( 360 2 180 2 1 2 2 2 0 b a K K K K K K K K K K sonido piedra t t t Pero t a t a t a t v e + = = = + = ( ) s t t t g t v e p 4 2 32 256 2 1 2 2 0 = = + = s t t t v e s s 23 , 0 1130 256 = = = s t 23 , 4 23 , 0 4 = + = ( ) 89 , 17 360 23 , 4 360 2 = = a ( ) s t t t g t v h 3 32 2 1 144 2 1 2 2 0 = = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 32 2 1 2 144 1 2 1 1 + = - + - = v t g t v h 11. Desde el suelo, un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba. Halle el módulo de esta velocidad de lanzamiento tal que entre los instantes T = 4 s y T = 10 s no haya desplazamiento (g = 100 m/s 2 ) Analizando e ilustrándole problema Entre A y C 12. Un alumno deja caer una piedra en un pozo cuya profundidad (entre el borde y el nivel de agua en el fondo) es de 256 pies. Un segundo alumno que se encuentra 180 pies del pozo, queriendo presenciar la caída, empieza a correr en el mismo instante acelerando uniformemente hacia el borde del pozo; pero llega solo a tiempo de escuchar el ruido que hacia la piedra al tocar el agua. Calcular la aceleración del segundo alumno (g = 100 m/s 2 ) Con el 2 do Alumno Con el sonido En (β) En () Con la Piedra: 13. Desde un punto que está a 144 pies de altura sobre el agua se deja caer una piedra. Un segundo después se arroja una piedra verticalmente hacia abajo. Si ambos llegan al agua al mismo tiempo. Calcular la velocidad inicial para la segunda piedra (g = 100 m/s 2 ) Con la piedra (1) Con la piedra (2) ( ) 7 10 0 ? / 10 7 0 0 0 0 2 - = - = = = = = v t g v v v s m g s t v F F V0 = 70 m/s a = 20,1 pies/s 2 V0 = 40 pies/s s t t t g v v F 1 10 10 0 0 = - = - = ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 10 2 1 2 20 2 1 - = - = h t g t v h ( ) ( ) 4 43 4 42 1 43 42 1 y x t t t y x t g t v e 2 2 2 0 10 2 1 12 10 2 1 84 84 2 1 - + = + = ± = s t t 2 32 64 0 = Þ - = 2 0 2 1 t g t v e + = ( ) ( ) ( ) ) 1 ( 4 32 2 1 4 64 / 64 2 K K K K - + - = = T T x s pies v C ( ) ( ) ) 2 ( 3 32 2 1 2 K K K K K K K K K - = T x t g v v F ± = 0 14. En la figura, se tienen dos cuerpos 1 y 2 con sus respectivas velocidades iniciales. Calcular la altura del edificio cabiendo que ambos chocan en su extremo superior, luego de partir simultáneamente (g = 100 m/s 2 ) Con el cuerpo (1) Con el cuerpo (2) Entre A y B Entre D y C Condición: tDC = tAC = 2 s Por lo tanto: tAC = 2 s 15. En el mismo instante que un cuerpo es dejado caer desde una altura de 84 m, una piedra lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 12 m/s. Calcular el tiempo que demoran en encontrarse (g = 100 m/s 2 ) 16. Una persona en la orilla de una azotea arroja una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies/s, 3 s mas tarde se deja caer otra piedra ¿A qué distancia debajo de la orilla de la azotea se encuentran las piedras? (g = 100 m/s 2 ) Entre A y B Sea “T” el tiempo total que emplea (1) entre C y D (t = T - 4) Velocidad subida = velocidad bajada Con la piedra (2) Con la piedra (1) De (1) y (2) h = 20 m t = 7 s x = 36 pies ( ) ( ) ( ) s m v v t sen g v v s t t sen g x F F F / 10 2 5 0 º 30 2 º 30 2 1 10 0 2 = + = + = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 4 10 2 1 4 10 20 2 2 1 q q sen x t sen g t v e - = = - = Þ = 4 1 q sen ( ) ( ) ( ) ) 1 ( 5 2 1 10 2 1 1 2 2 1 0 2 0 2 0 K K K K K K K K K + = - = - = h v v h t g t v h 17. En el instante mostrado, se suelta de “A” una bola. Si el tiempo en recorrer OB es de 4 s y OA = 10 m, OB = 2 (OA), g = 100 m/s 2 , determinar el ángulo “”. Considerar la rapidez con la cual llega al punto “O” igual a la rapidez con que sale de él Entre “A” y “O” Entre “O” y “B” (t = 4 s) De donde: 18. Se dispone un instrumento de precisión el cual lanza una pelota a continuación de otra al cabo de cada segundo, con la misma velocidad inicial y cuando la anterior alcanza la mitad de su altura máxima y así sucesivamente. Determinar el máximo número de pelotas que podrán encontrarse en el aire (g = 100 m/s 2 ) Conclusión: En el problema, calcularemos el tiempo total que demora una pelota Entre A y B ÷ ø ö ç è æ = 4 1 sen arc q Si una pelota demorara 2 s, el número de pelotas sería 3 Si una pelota demorara 3 s, el número de pelotas sería 4 Si una pelota demorara (n) s, el número de pelotas sería (n + 1) ) 2 ( 2 2 0 2 0 0 0 K K K K K K K K t v h t v h t v v h F = ÷ ø ö ç è æ + = ÷ ø ö ç è æ + = ) 3 ( 10 10 0 0 0 0 K K K K K K K K t v t v t g v v F = - = - = 4 , 3 2 2 ) ( 2 2 ) ( 2 2 2 2 = + = + = - = ± = t problema el con Cumple t problema el con cumple No t t s T T total total 8 , 6 8 , 6 4 , 3 4 , 3 = = + = 4 15 8 5 2 5 8 5 8 5 32 20 0 0 = ÷ ø ö ç è æ - = = = = - = + = CD AB BC AB AB F t t t s t t t a v v ( ) pies CD CD t a t v CD 300 4 15 32 2 1 4 15 20 2 1 2 2 = ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ = + = ) 1 ( ' K K K K K K CD AA x + = ( ) pies AA AA t v e 100 ' 100 5 20 ' = - = = 400 300 100 = + = x Entre A y C De (1), (2) y (3) Pero: t = Tiempo de subida Además: Rpta: El número de pelotas que puede encontrarse en el aire es: 19. Un ascensor esta subiendo con una velocidad constante “v” de 20 pies/s; y cuando el ascensor se encuentra a una altura de 300 pies se suelta un perno del piso del ascensor. Calcular al cabo de 5 s ¿Qué distancia separa al perno y a la parte más baja del ascensor? Con el perno (M.R.U.V.) Entre “A” y “B” También: Con el Ascensor (M.R.U.) En (1): 6 + 1 = 7 x = 400 pies ) 4 ( 2 1 ) 3 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K t g e t sen g e t sen g e t sen g e D C B A = = = = q b a q b a sen e e sen e e sen e e D C D B D A = = = 20. En un instante dado varias partículas inician su movimiento bajo la acción de sus fuerzas de gravedad, desde un punto “O” y a lo largo de varios planos inclinados OA, OB, OC, OD que forman los ángulos , β, θ, y /2, respectivamente, con la horizontal. Determinar que figura forma la línea que une dichas partículas en cualquier instante Todos parten del reposo: V0 = 0 Graficando las Relaciones Relacionando (1), (2) y (3) con (4) Rpta: “La curva que se forma es una circunferencia” MÉTODO VECTORIAL PARA RESOLVER PROBLEMAS DE CAÍDA LIBRE Fórmulas a usar: t a v V F + = 0 2 0 0 2 1 t a t v h hF + + = § No olvidarse que en este movimiento todos los vectores son colineales § h (+) Cuando el cuerpo está sobre la línea de referencia (eje x) h (-) Cuando el cuerpo está debajo de la línea de referencia (la línea de referencia es arbitraria) OBSERVACIONES Así por ejemplo, la aceleración de la gravedad siempre está dirigida hacia abajo, luego llevará signo negativo 2 0 0 / 10 ; 32 / 40 ; 80 s m a m h s m v m h f - = = = = ( ) Þ = - - - + = - + + = + + = 0 48 40 5 5 40 80 32 10 2 1 40 80 32 2 1 2 2 2 2 0 0 t t t t t t t a t v h hF ( ) 2 2 0 0 2 0 0 10 2 1 80 0 100 2 1 / 10 ; 100 / 80 ; 0 t t t a t v h h s m a m h s m v h F f + + = - + + = - = - = = = j g a t T T t T p q - = + = = ; ( ) ( ) ) 1 ( 2 1 0 2 1 2 2 0 0 K K t T g t T v H T a T v H H p p + - + + = + + = ) 2 ( 2 1 0 2 1 2 2 0 0 K K K t g t v H T a T v H H q q - + = + + = 21. Una piedra se lanza hacia arriba con una velocidad de 40 m/s, si inicialmente estaba a una altura de 80 m ¿En qué tiempo su altura será de 32 m? (g = 10 m/s 2 ) Datos: (entre A y B) Luego: 22. De la parte superior de un edificio de 100 m de altura, se lanza un cuerpo hacia arriba con una velocidad de 80 m/s ¿Qué tiempo emplea en llegar al suelo? (g = 100 m/s 2 ) Dato: (entre A y B) 23. De un mismo punto con la velocidad “v” se lanzan dos bolas verticalmente hacia arriba con un intervalo de tiempo “T” ¿Dentro de cuánto tiempo después de lanzar la segunda bola, ellas chocarán? Hasta el encuentro Con la partícula “q” Con la partícula “p” De (1) y (2): t = 9,06 s t = 17,15 s ÷ ø ö ç è æ - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = 2 T g v t ) 1 ( 2 1 64 0 2 1 2 2 0 0 K K K K T g T y t a t v h hF - + = + + = ( ) ( ) ( ) ) 2 ( 3 2 0 3 2 1 3 0 0 2 2 K K K K K K - - = - - - + = T g y T g T y ) 1 ( 4 2 2 1 0 2 0 2 0 K K K K K T g T v h T g T v h f f + = ÷ ø ö ç è æ + + = ( ) ) 2 ( 2 2 1 2 0 2 0 0 K K K T g T v h h T g T v h h f f - + = - + + = 2 0 0 2 1 T a T v h h f + + = 24. Una persona en la orilla de una azotea arroja una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies/s, 3 segundos más tarde se deja caer otra piedra ¿A qué distancia debajo de la orilla de la azotea se encuentran las piedras? (g = 32 pies/s 2 ) Con la piedra lanzada (entre “p” y “q”) Con la piedra soltada (entre “p” y “q”) De (1) y (2): 25. Un ascensor sube con una aceleración constante de g/2, en un determinado instante un perno se desprende del techo. Calcular el tiempo en el cual el perno choca con el piso, la altura del ascensor es de h. La velocidad inicial del perno es la misma Con el ascensor: que la velocidad inicial del ascensor (V0 = v) Con el perno: (1) = (2) Utilizando la siguiente expresión: y = 36 pies g h T 3 2 = PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un cuerpo es soltado desde una altura de 125 m ¿Qué tiempo demora en llegar al piso? (g = 100 m/s 2 ) A) 1 s B) 2 s C) 3 s D) 4 s E) 5 s 2. Una partícula es lanzada hacia arriba con una velocidad de 20 m/s ¿Qué tiempo demora en regresar al mismo punto? (g = 100 m/s 2 ) A) 4 s B) 3 s C) 2 s D) 1 s E) 10 s 3. Desde el fondo de un pozo se lanza verticalmente una piedra. Calcular el tiempo mínimo que debe transcurrir para que logre llegar al borde del pozo (g = 32 pies/s). Su velocidad inicial es de 240 pies/s. A) 15 s B) 7,5 s C) 9 s D) 5 s E) 8 s 4. Se lanza un cuerpo hacia arriba con una velocidad de 80 m/s. Determinar la distancia recorrida en el 5 to segundo de su movimiento. A) 40 m B) 45 m C) 20 m D) 35 m E) 25 m 5. Una partícula es proyectada verticalmente hacia arriba desde el piso con una velocidad de 20 m/s; en ese mismo instante, a 40 m de altura verticalmente sobre el punto de lanzamiento, se deja caer otra partícula ¿Ala cabo de qué tiempo chocarán ambos cuerpos? A) 1 s B) 2 s C) 3 s D) 4 s E) 5 s 6. En la boca de un pozo se deja un cuerpo y una persona ubicada en el borde de ésta escucha el sonido del impacto luego de 51 segundos ¿Cuál es la profundidad del pozo? (Vsonido = 340 m/s; g = 100 m/s 2 ) A) 6790 m B) 6000 m C) 5780 m D) 5608 m E) 5760 m 7. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia abajo con una velocidad de 4,9 m/s desde una altura de 80 m sobre el piso; en ese mismo instante otro móvil parte del reposo y acelera con 2 m/s 2 , partiendo a 25 m del punto donde caerá el primer cuerpo y dirigiéndose a él. Calcular la separación entre los móviles cuando el primer llegue al piso. A) 20 m B) 21 m C) 23 m D) 24 m E) N.A. 8. Una persona se encuentra en cierto planeta en cuyo entorno su aceleración gravitatoria vale 4 m/s 2 . Lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s ¿Qué distancia sube durante el último segundo de su ascenso? A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m 9. Durante el último segundo de caída libre sin velocidad inicial, un cuerpo recorre las ¾ partes de todo su camino ¿Cuánto tiempo tarda en caer el cuerpo? A) 3 s B) 4 s C) 2 s D) 1,5 s E) 5 s s n n 5 10 1 - - s n n 10 1 - - s n 5 1 2 + s n 2 - 2 1 2 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + g L g 2 3 1 2 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + g L g 2 2 1 2 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + g L g ( ) 2 2 1 + L g ( ) 2 1 + g g L 4 2 3 3 2 1 v v v = = 2 3 2 3 2 1 v v v = = 3 2 3 2 1 v v v = = 5 3 3 2 1 v v v = = 3 2 1 3 2 v v v = = 10. ¿Durante qué tiempo un cuerpo que cae libremente sin velocidad inicial, pasa el enésimo centímetro de su trayectoria? A) B) C) D) E) N.A. 11. ¿De qué altura debe caer un cuerpo para recorrer una distancia “L” en el último segundo de su caída? A) B) C) D) E) 12. Un globo sube con una velocidad constante de 32 pies/s. Si se suelta una piedra en el mismo instante en que se arroja verticalmente hacia abajo otra piedra con una velocidad de 64 pies/s. Determinar la distancia que separa a las piedras después de 2 segundos. A) 19,2 m B) 182 m C) 172 m D) 162 m E) N.A. 13. Desde un globo que se eleva verticalmente a razón de 20 m/s se suelta una piedra. Si llega al piso después de 10 segundos. ¿A qué altura estuvo el globo cuando se soltó la piedra? (considerar g = 100 m/s 2 ) A) 100 m B) 200 m C) 300 m D) 400 m E) 500 m 14. Para el siguiente experimento ¿Qué respuesta es correcta, si el viajero “A” suelta un paquete al pasar frente a “B”? A) Para “A” el objetivo cae libremente con movimiento acelerado B) Para “B” el objeto baja con movimiento acelerado C) Para “A” el objeto sube con M.R.U. retardado y luego baja con M.R.U. acelerado D) Para “B” el objeto cae libremente con M.R.U. E) Para “A” el objeto primero se mueve retardadamente y luego aceleradamente pero siempre hacia abajo 15. Si “A”, “B” y “C” son los puntos de altura máxima. Hallar la relación de velocidades v1,v2 y v3 A) B) C) D) E) s m/ 3 10 2 3 2 1 3 2 1 2 3 4 3 16. Una piedra lanzada en un planeta hacia arriba alcanza 100 m de altura, mientras que lanzada en la Tierra con la misma velocidad alcanza 20 m ¿Qué distancia recorrerá en dicho planeta una piedra soltada de 400 m de altura en el último segundo de su caída? A) 41 m B) 52 m C) 35 m D) 39 m E) 45 m 17. De un cañón caen gotas con intervalos de 2 s. Hallar la distancia que separa la 1 era gota de la 5 ta gota, si la 1 era lleva cayendo 12 s. A) 540 m B) 180 m C) 320 m D) 480 m E) 640 m 18. Desde las superficie terrestre, una partícula es lanzada vertidamente hacia arriba con una rapidez de ¿Cuál será su rapidez cuando haya alcanzado la cuarta parte de su altura máxima? A) 10 m/s B) 15 m/s C) 20 m/s D) 25 m/s E) 30 m/s 19. De un cuerpo lanzado al vacío desde el cuelo, con una velocidad V0, hacia arriba y alcanza una altura “H” ¿Qué afirmaciones son verdaderas? I. El tiempo que emplea en ir de “P” a “R” es el mismo que emplea de “R” a “Q” II. En los puntos “P” y “Q” el módulo de la aceleración de la gravedad es el mismo III. Los módulos de las velocidades del proyectil en los puntos “P” y ”Q” son iguales A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo III E) Todas 20. Desde una altura de 1000 m se deja caer una partícula y al mismo tiempo desde tierra es proyectada otra partícula verticalmente hacia arriba. Si las partículas tienen la misma velocidad cuando se encuentran ¿Qué altura ha recorrido la partícula lanzada desde tierra? A) 50 m B) 35 m C) 30 m D) 25 m E) 75 m 21. Se sueltan sin rozamiento las esferitas desde el punto “A”. Hallar la relación de tiempos con que llegan al final de los planos inclinados A) 1 B) C) 2 D) E) 22. En la misma figura se sueltan dos esferas de la misma altura y marchan sin rozamiento por los planos inclinados. Determinar la relación de velocidades con que llegan al mismo nivel. A) 1 B) C) 2 D) E) 23. Por una ventana una persona observa pasar un cuerpo verticalmente hacia arriba y luego lo ve pasar hacia abajo. Si la altura de la ventana es de 4 pies y el tiempo total que observa el cuerpo dicha persona es de ¼ de segundo; hallar que altura “x” asciende el cuerpo, por encima del marco de la ventana. A) 1,5 m B) 4,03 m C) 1,55 m D) 2,25 m E) 1,05 m 24. Una pelotita se deja caer en la parte superior de un cilindro hueco, inclinado un ángulo “”, en el preciso momento que éste se mueve horizontalmente con una aceleración de 24 pies/s 2 . Considerando g = 32 pies/s 2 , hallar el ángulo “” para que la bola no toque el cilindro hasta que impacte en su base. A) 37º B) 30º C) 53º D) 60º E) 26,5º 25. La masa de Martinete cae desde una altura de 2,5 m. Para levantarla a esta es necesario gastar un tiempo tres veces mayor que para la caída ¿Cuántos golpes hace ésta en 1 minuto, si la aceleración de la caída libre de la masa de Martinete es de 9,8 m/s 2 ? A) 10 B) 9 C) 21 D) 30 E) 5