152. Statyka Statyka płynów zajmuje się zagadnieniami równowagi i stateczności płynów, nieruchomych względem przyjętego układu odniesienia, a także siłami wywieranymi przez płyny na ścianki zbiorników lub ścianki ciał stałych zanurzonych w płynie i pozostających w spoczynku względem niego. Statyka płynów dzieli się na : • hydrostatykę (ciecze), • aerostatykę (gazy). Równowaga hydrostatyczna p A = p a + ρ ⋅ g ⋅ h Ciśnienie w dowolnym punkcie nieruchomej cieczy równe jest sumie ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia słupa cieczy o gęstości ρ i wysokości h, zwanego ciśnieniem hydrostatycznym. Związek ten pokazuje, że ciśnienie rośnie wraz z głębokością oraz jest jednakowe dla punktów zanurzonych na tej samej głębokości. Równowaga cieczy w naczyniach połączonych Zasada naczyń połączonych - elementy jednorodnej cieczy wypełniającej w sposób ciągły przestrzeń naczyń połączonych, leżące na tej samej linii poziomej podlegają jednakowemu ciśnieniu: p L = p P Zasada ta znajduje zastosowanie przy pomiarze ciśnień. Na przykład do zbiornika, w którym panuje nieznane ciśnienie p x podłączono układ dwóch połączonych ze sobą naczyń. Zgodnie z powyższą zasadą elementy cieczy manometrycznej leżące na tym samym poziomie w lewym i prawym ramieniu naczyniu podlegają jednakowemu ciśnieniu. p L = p P p L = p x , p P = p a + ρ ⋅ g ⋅ ∆h, stąd p x = p a + ρ ⋅ g ⋅ ∆h p a p A h 16 Poziom odniesienia przy pomiarze ciśnienia ciśnienie poziom ciśnienia atmosferycznego poziom próżni Prawo Pascala – prawo równomiernego rozchodzenia się ciśnienia w płynie W dwóch dowolnych punktach A i B przestrzeni wypełnionej płynem panują ciśnienia p i p 0 . Wartości potencjałów sił wynoszą U i U 0 . Ciśnienia te związane są z wartościami potencjału zależnością: p A - p B = p - p 0 = ρ( U p – U p0 ) Jeżeli na tłok przyłożymy siłę P, to w rozważanych punktach nastąpi przyrost ciśnienia, a ponieważ przy tym nie ulega zmianie energia potencjalna, tzn. wartości potencjałów w obu tych punktach pozostały te same, więc otrzymujemy następujący związek: p A = p + δ p p B = p 0 + δ p0 p + δ p – (p 0 + δ p0 ) = ρ(U p - U p0 ) Stąd: δ p – δ p0 = 0, czyli: δ p = δ p0 P r p 2 p 1 p o d c i ś n i e c i ś n i e n i e a b s o l u t n e n a d c i ś n i e c i ś n i e n i e a b s o l u t n e A B U p0 U p z 0 z 17 Przyrost ciśnienia w dowolnym punkcie jednorodnego płynu znajdującego się w stanie równowagi w potencjalnym polu sił masowych wywołuje identyczną zmianę ciśnienia w dowolnym punkcie tego płynu. Zasadę tę wykorzystuje się w podnośniku hydraulicznym, układach hamulcowych pojazdów i podobnych urządzeniach. Napór hydrostatyczny Naporem nazywamy siłę wywieraną przez ciecz na ściany naczyń (zbiorników). Napór cieczy na płaskie, poziome dno zbiornika jest równy iloczynowi ciśnienia hydrostatycznego i pola powierzchni, przy czym wypadkowa siła N tego naporu jest oczywiście przyłożona w środku geometrycznym (środku ciężkości) powierzchni F i skierowana pionowo w dół. N = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ F, gdzie F ⋅ h = V N =ρ ⋅ g ⋅ V Paradoks Stevina dotyczy niezależności siły naporu na dno naczynia od ilości cieczy zawartej w zbiorniku. N 1 = N 2 = N 3 = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ F = ρ ⋅ g ⋅ V Przez objętość V należy rozumieć objętość pozorną cieczy zawartej nad dnem określoną jako objętość słupa cieczy o polu podstawy równym powierzchni dna i wysokości równej wysokości napełnienia zbiornika. Objętości pozorne zaznaczono na rysunku przez zakreskowanie. p a 18 Dlatego też wielkość naporu N wyrazić można jako ciężar pozornej objętości cieczy zawartej ponad dnem. Napór cieczy na powierzchnie płaskie dowolnie zorientowane Wypadkowy napór na powierzchnię płaską oraz punkt jej przyłożenia. Napór hydrostatyczny na dowolnie zorientowaną powierzchnie płaską jest iloczynem ciśnienia hydrostatycznego panującego w środku ciężkości i pola rozpatrywanej powierzchni. N x = -ρ ⋅ g ⋅ z c ⋅ F⋅ sinα N y = 0 N z = ρ ⋅ g ⋅ z c ⋅ F ⋅ cosα N = ρ ⋅ g ⋅ z c ⋅ F gdzie: z C – jest odległością środka geometrycznego (środka ciężkości SC) pola F od zwierciadła cieczy, czyli głębokością zanurzenia środka ciężkości pola F. Dla powierzchni płaskiej dowolnie zorientowanej zależność określająca siłę naporu daje wielkość siły wypadkowej jako sumę elementarnych naporów, ale z rysunku widać, że punkt przyłożenia tej siły leży na głębokości z N większej niż wynosi głębokość zanurzenia środka ciężkości: z N > z c . Wypadkową siłę naporu należy przyłożyć w punkcie SN zwanym środkiem naporu, który zanurzony jest na głębokości z N . z N = z C + α 2 2 sin ⋅ C C z i , gdzie i C jest ramieniem bezwładności pola F względem osi przechodzącej przez środek ciężkości. Dla ścian pionowych 2 π α = : z N = z C + F z J z i C y C C ⋅ = 2 , gdzie: Jy – geometryczny moment bezwładności względem osi y, usytuowanej na powierzchni lustra cieczy. Najczęściej mamy podane geometryczne momenty bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości (środek geometryczny) C y J . Wówczas wykorzystując twierdzenie Steinera: F z J J C C y y ⋅ + = 2 , x z y 19 otrzymujemy: F z J z z C y C N C ⋅ + = . TABELA 1. Współrzędne położenia środka ciężkości i momenty bezwładności wybranych przekrojów Przekrój Położenie środka ciężkości Moment bezwładności J xc 2 h e = 12 3 bh a a e 707 . 0 2 2 = = 12 4 a 3 2 2 3 1 1 h b b b b e I + + = I II e h e − = ( ) 3 1 2 1 1 2 2 36 6 6 h b b b bb b + + + 3 2h e I = 3 h e II = 36 3 bh 2 d e = 4 4 05 . 0 64 d d ≈ π 2 D e = ) ( 05 . 0 64 ) ( 4 4 4 4 d D d D − ≈ − π 2 h e = 3 3 05 . 0 64 bh bh ≈ π a e = ) ( 4 1 3 1 3 b a b a − π 20 Powierzchnie ekwipotencjalne. Podstawowe równanie różniczkowe równowagi płynu nieruchomego (równanie Eulera statyki) można zapisać w postaci jednego równania wektorowego: p grad F ρ 1 = r , lub trzech równań skalarnych w przyjętym układzie współrzędnych prostokątnych: z p Z y p Y x p X ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ρ ρ ρ 1 1 1 gdzie: k Z j Y i X F r r r r ⋅ + ⋅ + ⋅ = - wektor jednostkowej siły masowej, ρ - gęstość płynu, a p – ciśnienie. Mnożąc kolejno równania skalarne przez odpowiednie przyrosty dx, dy, dz po kierunkach osi układu współrzędnych i sumując ich lewe oraz prawe strony otrzymujemy równanie: | | . | \ | ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ + ⋅ dz z p dy y p dx x p dz Z dy Y dx X ρ 1 Wyrażenie w nawiasie po prawej stronie równania jest różniczką zupełną ciśnienia dp, tak więc i lewa strona równania musi być różniczką zupełną pewnej funkcji φ spełniającej warunki: z Z y Y x X ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = φ φ φ , , Funkcja φ nazywana jest funkcją siły masowej a powyższe warunki nazywane są warunkami potencjalności pola wektorowego. Po wstawieniu ich do ostatniego równania otrzymujemy warunek równowagi płynu w postaci: dp d ρ φ 1 = . Dla płynów nieściśliwych, dla których ρ = const, równanie to można scałkować: C p + ⋅ = φ ρ . Wynika stąd, że zależność pomiędzy ciśnieniem i funkcją siły masowej jest liniowa, czyli jeżeli p = const to również φ = const. Wynika więc stąd wniosek, że powierzchnie stałej wartości ciśnienia (izobaryczne) są jednocześnie powierzchniami stałego potencjału, czyli powierzchniami ekwipotencjalnymi. Na powierzchni izobarycznej a więc i ekwipotencjalnej różniczka ciśnienia dp = 0, stąd z warunku równowagi płynu otrzymujemy równanie różniczkowe powierzchni ekwipotencjalnej: 0 = ⋅ + ⋅ + ⋅ dz Z dy Y dx X PRZYKŁADOWE ZADANIA Zadanie 2.1 Określić nadciśnienie powietrza panujące w rurociągu R za pomocą U-rurki, w której znajduje się woda. Różnica poziomów wody w U-rurce wynosi h = 100 cm. Dane: Wyznaczyć: h = 100 cm = 1 m p ρ = 1000 kg/m 3 21 g = 9.81 m/s 2 Rozwiązanie: Nadciśnienie powietrza w rurze obliczamy wykorzystując zasadę naczyń połączonych. W obu ramionach U-rurki na poziomie dolnego menisku wody ciśnienia wynoszą: p L = p, p P = p a + ρ⋅ g⋅ h, p L = p P p = p a + ρ⋅ g⋅ h Stąd nadciśnienie: p n = p - p a = ρ⋅ g⋅ h = p n =1000 ⋅ 9.81 ⋅ 1 = 9810 Pa Zadanie 2.2 (poz. bibl. [3], zad. 2.1.9, str. 24) Określić podciśnienie i ciśnienie absolutne gazu znajdującego się w rurociągu R, jeżeli różnica wysokości słupów rtęci w manometrze wynosi h = 50 mm; wysokość ciśnienia atmosferycznego h a = 750 mm Hg. Dane: Wyznaczyć: h = 50 mm = 0.05 m p a , p, p p h a = 750 mm = 0.75 m ρ = 13550 kg/m 3 g = 9.81 m/s 2 Rozwiązanie: Ciśnienie atmosferyczne wyrażone w Pascalach wynosi: a a h g p ⋅ ⋅ = ρ ] [ 1 . 99694 75 . 0 81 . 9 13550 Pa p a = ⋅ ⋅ = Ciśnienie absolutne wynosi: p P = p + ρ⋅ g⋅ h, p L = p a p + ρ⋅ g⋅ h = p a p = p a - ρ⋅ g⋅ h = 99694.1 – 13550 ⋅ 9.81 ⋅ 0.05 = 93047.9 Pa Podciśnienie w rurociągu wynosi: p p = p a – p = ρ⋅ g⋅ h p p = 13550 ⋅9.81 ⋅ 0.05 = 6646.2 Pa Zadanie 2.3 (poz. bibl. [7], zad. 2.7, str. 32) Manometr rtęciowy podłączony do przestrzeni powietrznej hydroforu wskazuje różnicę poziomów h a = 160 mm. Jakie nadciśnienie p n wskaże manometr membranowy jeżeli aktualny poziom wody h = 4 m ? Dane: Wyznaczyć: h a = 160 mm = 0.16 m p n h = 4 m ρ m = 13550 kg/m 3 g = 9.81 m/s 2 22 Rozwiązanie: W przestrzeni powietrznej hydroforu podciśnienie wynosi: Pa h g p p p a m a p 08 . 21268 16 . 0 81 . 9 13550 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − = ρ Na głębokości h = 4 m pod powierzchnią wody występuje ciśnienie hydrostatyczne: Pa h g p w h 39240 4 81 . 9 1000 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ρ Poszukiwane nadciśnienie wynosi: Pa p p p p h n 92 . 17971 08 . 21268 39240 = − = − = Zadanie 2.4 (poz. bibl. [7], zad. 2.8, str. 32) Obliczyć różnice poziomów, na jakich znajdują się w równowadze tłoki o powierzchniach F 1 , F 2 , F 3 obciążone siłami P 1 , P 2 , P 3 . Dane: Wyznaczyć: F 1 , F 2 , F 3 h 1 , h 2 P 1 , P 2 , P 3 Rozwiązanie: Warunek równości ciśnień w naczyniach lewym i środkowym na poziomie tłoka lewego: 1 1 1 2 2 F P gh F P = + ρ , skąd | | . | \ | − = 2 2 1 1 1 1 F P F P g h ρ Analogiczny warunek dla naczynia środkowego i prawego: 2 2 2 3 3 F P gh F P = + ρ , skąd | | . | \ | − = 3 3 2 2 2 1 F P F P g h ρ Zadanie 2.5 (poz. bibl. [7], zad. 2.6, str. 32) Pomiędzy zbiornikiem z wodą i olejem (o ciężarze właściwym γ o = 8833 N·m -3 ) podłączony jest manometr różnicowy, w którym kolejno są: woda, ciecz o ciężarze właściwym γ m = 15700 N·m -3 , powietrze oraz olej. Różnice poziomów wynoszą: h 1 = 0.20 m, h 2 = 0.02 m, h 3 = 0.013 m. Obliczyć różnicę ciśnień między poziomami 1 i 5 w zbiornikach. Dane: Wyznaczyć: γ w = 9800 N/m 3 p 1 - p 5 γ o = 8833 N/m 3 γ m = 15700 N/m 3 h 1 = 0.2 m h 2 = 0.02 m h 3 = 0.013 m Rozwiązanie: Startując z punktu 1 w zbiorniku z wodą posuwamy się wzdłuż rurki, obliczając ciśnienia na poziomach granicznych 2, 3, 4 oraz 5. Jeżeli kolejny poziom leży niżej (wyżej) poprzedniego, 23 ciśnienie hydrostatyczne dodajemy (odejmujemy). Pomijamy ciśnienie hydrostatyczne słupa powietrznego pomiędzy poziomami 3 i 4. W ten sposób otrzymamy równanie: ( ) 5 3 2 1 1 1 p h h h h p o m w = + + − + γ γ γ poziom ―――→ 1 2 3 i 4 5 5 Stąd różnica ciśnień: = − − + = − 3 1 2 1 5 1 ) ( h h h h p p o w m γ γ γ ( ) | | Pa 343 10 13 . 0 83 . 8 20 . 0 80 . 9 02 . 0 20 . 0 7 . 15 3 = ⋅ ⋅ − ⋅ − + ⋅ = Zadanie 2.6 (poz. bibl. [7], zad. 2.14, str. 34) Manometr rtęciowy podłączony do kondensatora turbiny wykazał różnicę poziomów h = 600 mm. Równocześnie barometr wykazał h a = 755 mmHg. Obliczyć podciśnienie oraz ciśnienie bezwzględne w kondensatorze. Przyjąć gęstość rtęci ρ m = 13550 kg/m 3 . Dane: Wyznaczyć: h = 600 mm p p , p h a = 755 mm Hg Rozwiązanie: Ciśnienie atmosferyczne wyraża zależność: a m a h g p ⋅ ⋅ = ρ kPa 100 Pa 100358.7 755 . 0 81 . 9 13550 ≈ = ⋅ ⋅ = a p Z zasady naczyń połączonych dla manometru rtęciowego: a m p h g p = ⋅ ⋅ + ρ Stąd ciśnienie bezwzględne (absolutne) w kondensatorze: h g p p m a ⋅ ⋅ − = ρ kPa Pa p 20 4 . 20603 3 . 79755 7 . 100358 600 . 0 81 . 9 13500 7 . 100358 ≈ = − = ⋅ ⋅ − = Podciśnienie panujące w skraplaczu wyraża zależność: kPa p p p a p 80 20 100 = − = − = Zadanie 2.7 (poz. bibl. [7], zad. 2.16, str. 34) Manometr w kształcie U-rurki wypełniony jest wodą oraz cieczą o nieznanej gęstości ρ. Wyznaczyć ρ, jeżeli h = 20cm, h 1 = 5cm, h 2 = 25cm. Dane: Wyznaczyć: h = 20 cm ρ h 1 = 5 cm h 2 = 25 cm. Rozwiązanie: Przecinamy U-rurkę płaszczyzną na wysokości h 1 i zapisujemy równania dla prawej i lewej strony U-rurki. Ciśnienie panujące po stronie lewej p L musi byś identyczne jak po stronie prawej p P : P L p p = ( ) 1 2 h h g p p a L − ⋅ ⋅ + = ρ ( ) 1 h h g p p w a P − ⋅ ⋅ + = ρ ( ) ( ) 1 1 2 h h g p h h g p w a a − ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ + ρ ρ Stąd: 24 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 h h h h h h g h h g w w − − ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅ = ρ ρ ρ ( ) 3 750 05 . 0 25 . 0 05 . 0 2 . 0 1000 m kg = − − ⋅ = ρ Zadanie 2.8 (poz. bibl. [7], zad. 2.18, str. 35) Manometr różnicowy wielokrotny tworzy układ n naczyń połączonych szeregowo i wypełnionych jednakową cieczą o ciężarze właściwym γ. Wyprowadzić wzór na nadciśnienie w zbiorniku z gazem, mierzone za pomocą manometru. Pominąć wpływ ciśnienia hydrostatycznego gazu pomiędzy słupkami cieczy manometrycznej. Dane: Wyznaczyć: γ, h 1 ... h n p n Rozwiązanie: Ciśnienie hydrostatyczne wyznaczone w pierwszej U-rurce 1 1 h p ⋅ = γ Ze względu na to że w kolejnych U-rurkach mamy tą samą ciecz i różne różnice poziomów oraz pomijamy ciśnienie hydrostatyczne gazu w przestrzeniach pomiędzy słupkami cieczy manometrycznej to ciśnienie hydrostatyczne wskazywane przez wszystkie U-rurki przedstawia zależność ∑ = = n i i n h p 1 γ W szczególnym przypadku gdy we wszystkich n U-rurkach występuje jednakowa różnica poziomów cieczy h, wówczas: h n p n ⋅ ⋅ = γ Zadanie 2.9 (poz. bibl. [8], zad. 41, str. 52) Szeregowy manometr rtęciowy jest wypełniony wodą jako cieczą pośredniczącą. Jaka jest zależność mierzonego ciśnienia p w zbiorniku od wskazania h, jeżeli n oznacza liczbę U-rurek manometru. Dane: Wyznaczyć: ρ, ρ 1 , h, n p Rozwiązanie: Żeby ustalić taką zależność, zadanie zostanie rozwiązane dla n = 3 U-rurek. W najprostszym przypadku układ poziomów cieczy będzie taki sam jak na rysunku. Zgodnie z definicją ciśnienia hydrostatycznego można napisać: h g p p a ⋅ ⋅ + = ρ 1 h g p p ⋅ ⋅ − = 1 1 2 ρ gdyż ciśnienie p 2 jest mniejsze od ciśnienia p 1 o wielkość hydrostatycznego słupa wody o wysokości h 25 h g p p ⋅ ⋅ + = ρ 2 3 h g p p ⋅ ⋅ − = 1 3 4 ρ h g p p ⋅ ⋅ + = ρ 4 Po wyrugowaniu z układu równań ciśnień p 1 , p 2 , p 3 , i p 4 (dla n = 3) otrzymuje się: ( ) 1 2 3 ρ ρ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + = h g p p a , zatem ogólnie dla n jest: | . | \ | − − ⋅ ⋅ ⋅ + = 1 1 ρ ρ n n h g n p p a Jak widać, zastosowanie manometru szeregowego pozwala na pomiar nawet dużych ciśnień bez nadmiernego zwiększania wysokości manometru. Gdy nie ma w manometrze cieczy pośredniczącej, wówczas stosowanie manometru szeregowego nie przynosi zadniej korzyści, gdyż po podstawieniu 1 ρ ρ = otrzymuje się: h g p p a ⋅ ⋅ + = ρ W skrajnym przypadku bardzo lekkiej cieczy pośredniczącej 0 1 ≈ ρ , wynik byłby następujący h g n p p a ⋅ ⋅ ⋅ + = ρ Zadanie 2.10 (poz. bibl. [7], zad. 2.19, str. 35) Trzy niemieszające się ciecze o gęstościach ρ 1 = 800 kg/m 3 , ρ 2 = 1000 kg/m 3 , ρ 3 = 1600 kg/m 3 , nalane do naczynia zajmują poziomy określone na rysunku (w metrach od poziomu dna). Obliczyć ciśnienie hydrostatyczne na poziomie dna oraz wzniesienie h 1 , h 2 , h 3 poziomów w rurkach piezometrycznych. Dane: Wyznaczyć: ρ 1 = 800 kg/m 3 p, h 1 , h 2 , h 3 ρ 2 = 1000 kg/m 3 ρ 3 = 1600 kg/m 3 Rozwiązanie: Ciśnienie hydrostatyczne na poziomie dna naczynia wynosi: ( ) ( ) ( ) 0 4 . 2 4 . 2 4 . 5 4 . 5 1 . 8 3 2 1 − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = g g g p ρ ρ ρ Pa p 88290 4 . 37670 29430 6 . 21189 4 . 2 81 . 9 1600 3 81 . 9 1000 7 . 2 81 . 9 800 = + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = Poziom h 1 wynosi tyle samo, co poziom lustra cieczy w zbiorniku, czyli h 1 = 8.1 m. Poziom w h 2 w drugiej rurce zależny jest od ciśnienia hydrostatycznego wywieranego przez ciecz o gęstości ρ 1 . Ciśnienie hydrostatyczne na poziomie 5.4 m wynosi: ( ) = ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = 7 . 2 81 . 9 800 4 . 5 1 . 8 1 4 . 5 g p ρ Pa 6 . 21189 Słup cieczy o gęstości ρ 1 powoduje podniesienie się poziomu cieczy o gęstości ρ 2 w drugiej rurce: x g p ⋅ ⋅ = 2 4 . 5 ρ m g p x 16 . 2 81 . 9 1000 6 . 21189 2 4 . 5 = ⋅ = ⋅ = ρ 26 m x h 56 . 7 4 . 5 16 . 2 4 . 5 2 = + = + = Poziom h 3 w trzeciej rurce zależny jest od ciśnienia hydrostatycznego wywieranego przez ciecze o gęstości ρ 1 i ρ 2 . Ciśnienie hydrostatyczne na poziomie 2.4 m wynosi: ( ) ( ) 4 . 2 4 . 5 4 . 5 1 . 8 2 1 4 . 2 − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = g g p ρ ρ Pa p 6 . 50619 29430 6 . 21189 3 81 . 9 1000 7 . 2 81 . 9 800 4 . 2 = + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = Słupy cieczy o gęstościach ρ 1 i ρ 2 powodują podniesienie się poziomu cieczy o gęstości ρ 3 w trzeciej rurce: x g p ⋅ ⋅ = 3 4 . 2 ρ m g p x 225 . 3 81 . 9 1600 6 . 50619 3 4 . 2 = ⋅ = ⋅ = ρ m x h 625 . 5 4 . 2 225 . 3 4 . 2 3 = + = + = Zadanie 2.11 (poz. bibl. [7], zad. 2.20, str. 35) Obliczyć różnicę ciśnień w przekrojach 1 i 2 dwóch wodociągów przedstawionych na rysunku jeżeli manometry wykazują różnicę poziomów h m = 100 mm, ale w przypadku (a) cieczą manometryczną jest rtęć, a w przypadku (b) woda, nad którą znajduje się powietrze. Przyjąć: ρ r = 13550 kg/m 3 , ρ w = 1000 kg/m 3 . Dane: Wyznaczyć: h m = 100 mm ∆p ρ r = 13550 kg/m 3 ρ w = 1000 kg/m 3 Rozwiązanie: Przypadek a) Ciśnienie w lewym ramieniu U-rurki: h g p p w L ⋅ ⋅ + = ρ 1 Ciśnienie w prawym ramieniu U-rurki: m r m w P h g h h g p p ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = ρ ρ ) ( 2 P L p p = m r m w w w h g h g h g h g p p p ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ∆ = − ρ ρ ρ ρ 2 1 Pa] [ 12311.5 ) 1000 13550 ( 1 . 0 81 . 9 ) ( = − ⋅ ⋅ = − ⋅ = ∆ w r m h g p ρ ρ Przypadek b) m w h g p p p ⋅ ⋅ = − = ∆ ρ 2 1 Pa p 981 1 . 0 81 . 9 1000 = ⋅ ⋅ = ∆ h m 27 Zadanie 2.12 (poz. bibl. [7], zad. 2.21, str. 36) Aby zmierzyć zmianę ciśnienia w kanale wentylacyjnym użyto mikromanometru z rurką nachyloną pod kątem 30° napełnionego spirytusem (ρ m = 800 kg/m 3 ); jest to tzw. mikromanometr Recknagla. Jaką długość l musi mieć skala, aby można mierzyć różnicę ciśnień 100 Pa? Dane: Wyznaczyć: ρ m = 800 kg/m 3 l p = 100 Pa Rozwiązanie: Ciśnienie hydrostatyczne słupa cieczy wyraża zależność: h g p m ⋅ ⋅ = ρ Poszukujemy jaka powinna być wysokość h słupa cieczy manometrycznej aby zmierzyć różnicę ciśnień p = 100 Pa g p h m ⋅ = ρ m 0.012742 81 . 9 800 100 = ⋅ = h Znając niezbędną wysokość cieczy manometrycznej h można na podstawie znajomości kąta pochylenia rurki (przełożenia) określić niezbędną wymaganą długość skali l: mm 25.48 m 0.02548 0.5 0.012742 ) 30 sin( = = = ° = h l Zadanie 2.13 (poz. bibl. [7], zad. 2.22, str. 36) W celu zmierzenia wysokości H poziomu nafty (ρ = 890 kg/m 3 ) w zbiorniku otwartym wstawia się do niego pionową otwartą rurę, której dolny koniec prawie dotyka dna i następnie tłoczy się nią powietrze z bardzo małą prędkością (dzięki temu można zaniedbać straty przepływu). Obliczyć wysokość H, jeżeli podłączony do rury manometr rtęciowy wskazuje różnicę h m = 890 mm. Przyjąć ρ m = 13550 kg/m 3 . Dane: Wyznaczyć: ρ = 890 kg/m 3 H h m = 890 mm ρ m = 13550 kg/m 3 Rozwiązanie: Ze względu na bardzo małą prędkość przepływu powietrza zakłada się że ciśnienie powietrza w rurze przy dnie zbiornika równe jest ciśnieniu jakie panuje w U-rurce na poziomie lustra rtęci. Ciśnienie to wynosi: m m a h g p p ⋅ ⋅ + = ρ Identyczne ciśnienie panuje na wylocie z rury, co pozwala na wyznaczenie wysokości słupa nafty H. H g p p a ⋅ ⋅ + = ρ H g p h g p a m r a ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + ρ ρ 28 m h H m r 55 . 13 890 89 . 0 13550 = ⋅ = ⋅ = ρ ρ Zadanie 2.14 (poz. bibl. [7], zad. 2.23, str. 36) Szczelnie dopasowany tłok zamyka od góry pionowe naczynie walcowe o średnicy D = 0.20 m wypełnione wodą. Na poziomie h = 2.4 m poniżej tłoka znajduje się wylot rurki, w której panuje ciśnienie p a = 3.5 MPa. Jakie ciśnienie p 1 panuje bezpośrednio pod tłokiem, jeżeli siła tarcia tłoka o ściany naczynia stanowi 3% siły ciśnieniowej. Dane: Wyznaczyć: D = 0.20 m p 1 h = 2.4 m p a = 3.5 MPa Rozwiązanie: Na wartość ciśnienia panującego pod tłokiem nie wpływa średnica tłoka, oraz siła tarcia tłoka o ściany naczynia. Ciśnienie pod tłokiem zależy jedynie od ciśnienia panującego na wylocie z rurki p a i różnicy poziomów pomiędzy osią rurki i dnem tłoka. Ciśnienie hydrostatyczne słupa wody o wysokości h wyraża zależność: h g p w ⋅ ⋅ = ρ MPa 023 . 0 Pa 23544 4 . 2 81 . 9 1000 = = ⋅ ⋅ = p Ciśnienie pod tłokiem równe jest różnicy ciśnienia p a w rurce i ciśnienia hydrostatycznego p p p a − = 1 MPa 477 . 3 023 . 0 5 . 3 = − = p Zadanie 2.15 Wyznaczyć położenie środka ciężkości z c prostokątnej ściany o wymiarach h l × , wartości siły naporu N oraz punkt przyłożenia siły naporu czyli głębokość zanurzenia środka naporu z N . Dane: Wyznaczyć: l, h z c , N, z N Rozwiązanie: Siła naporu jaką oddziałuje płyn na dno lub ścianę równy jest iloczynowi ciśnienia hydrostatycznego c z g p ⋅ ⋅ = ρ panującego w środku ciężkości SC dla dna lub ściany i pola powierzchni dna lub ściany F: F z g N c ⋅ ⋅ ⋅ = ρ Rozwiązanie dla prostokątnej ściany pionowej Ciśnienie panujące w środku elementarnego pola powierzchni dF: z g p ⋅ ⋅ = ρ Elementarne pole powierzchni: dz b dF ⋅ = Elementarny napór : dz z b g dF z g dN ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ρ ρ 29 Wypadkowa siła naporu: h h b g dz z b g N h ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∫ 2 1 0 ρ ρ Głębokość zanurzenia środka ciężkości - z c : h h b h b dz b dz b z dF dF z z h h h h c 2 1 2 1 2 0 0 0 0 = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⋅ h dF z 0 – moment statyczny figury płaskiej o powierzchni dF względem zwierciadła cieczy Głębokość zanurzenia środka naporu - z N : h h b h b dz b z dz b z dF z dF z z h h h h N 3 2 2 1 3 1 2 3 0 0 2 0 0 2 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⋅ h dF z 0 2 – moment bezwładności figury płaskiej o powierzchni dF względem poziomu zwierciadła cieczy Głębokość zanurzenia środka naporu - z N można wyliczyć ze wzoru: F z J z z c xc c N ⋅ + = , gdzie xc J - centralny moment bezwładności figury o powierzchni F. Centralny moment bezwładności dla prostokąta wynosi - 12 3 h b J xc ⋅ = h h h h b h b h b h h h b h z N 3 2 6 1 2 1 12 2 2 1 2 1 12 2 1 2 3 3 = + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = Zadanie 2.16 Wyznaczyć wartość siły naporu hydrostatycznego na pionową ścianę o wymiarach b h × jeżeli górna krawędź ściany leży w płaszczyźnie zwierciadła cieczy. Obliczyć wartość momentu siły wyważającej. Dane: Wyznaczyć: h, b N, M Rozwiązanie: Siła naporu wynosi: 2 2 1 bh g F z g N c ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ρ ρ gdzie: 30 h z c 2 1 = bh F = Położenie środka naporu: S z J z z c xc c N ⋅ + = h h h bh h bh h z N 3 2 6 1 2 1 2 1 12 2 1 3 = + = ⋅ + = Moment wyważający wynosi: ( ) 3 2 6 1 2 1 3 1 3 1 3 2 bh g h bh g h N h h N z h N M N ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = | . | \ | − = − = ρ ρ Zadanie 2.17 Kamienna ściana o wysokości H 0 i gęstości ρ k rozdziela dwie części basenu wypełnione wodą o poziomach H 1 i H 2 . Jaka musi być grubość ściany b aby ściana nie uległa wróceniu. Dane: Wyznaczyć: H 0 , ρ k , H 1 , H 2 b Rozwiązanie: Suma momentów względem punktu A: ∑ = 0 A M ( ) ( ) 0 2 1 2 2 2 1 1 1 = − + + − − N N z H N b G z H N Siła naporu od wyższego poziomu wody: L H g w L H H g w F c z g N ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 ρ ρ ρ , gdzie: 1 1 2 1 H z c = L H F ⋅ = 1 1 Analogiczne wyznaczamy siłę naporu dla niższego poziomu wody: L H g w N ⋅ ⋅ ⋅ = 2 2 2 1 2 ρ Ciężar ściany: L b H g k G ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 0 ρ Wyznaczanie położenia środków naporów: 31 1 3 2 1 2 1 12 3 1 1 2 1 1 1 1 1 H L H H LH H F c z xc J c z N z = ⋅ ⋅ + = ⋅ + = 2 2 3 2 H z N = Podstawiając wyrażenia na wartości naporów i współrzędne przyłożenia sił do równania momentów względem punktu A można wyznaczyć szerokość ściany b: ∑ = 0 A M ⇒ ......... = b 0 2 3 1 2 2 2 1 0 2 1 1 3 1 2 1 2 1 = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − H L H g w b L b H g H L H g w ρ ρ ρ 0 6 1 2 1 6 1 3 2 2 0 3 1 = ⋅ + ⋅ + ⋅ − H b H H w w ρ ρ ρ Po przekształceniach otrzymujemy: 0 3 2 3 1 2 1 6 1 6 1 H H H b w w ρ ρ ρ − ≥ Zadanie 2.18 Obliczyć siłę naporu i współrzędne środka naporu cieczy o gęstości ρ na powierzchnię koła o średnicy d umieszczonego w pionowej ścianie zbiornika. Środek ciężkości zanurzony jest na głębokości h. Dane: Wyznaczyć: ρ, d, h N, z N Rozwiązanie: Siła naporu wynosi F z g N c ⋅ ⋅ ⋅ = ρ gdzie h z c = 4 2 d F π = po podstawieniu otrzymujemy: 4 2 d h g N π ρ ⋅ ⋅ = Położenie środka naporu 32 F z J z z c xc c N + = h d h d h d h d h d h z N 16 64 4 4 64 2 2 4 2 2 + = + = + = π π π π Zadanie 2.19 (poz. bibl. [3], zad.2.4.2, str. 36) Wyznaczyć parcie cieczy na półkulistą kopułę przedstawioną na rysunku. Dane: Wyznaczyć: r, H N Rozwiązanie: Ze względu na symetrię kopuły występuje tylko parcie pionowe skierowane do góry. Siłę naporu wyznaczamy z ciężaru pozornej objętości cieczy zawartej między powierzchnią kopuły i płaszczyzną poziomą przechodzącą przez powierzchnię zwierciadła cieczy: V g N ⋅ ⋅ = ρ Pozorna objętość cieczy zawartej nad kopułą wynosi: 3 2 3 4 2 1 r H r V π π − = Siła naporu wynosi: | . | \ | − ⋅ ⋅ = | . | \ | − ⋅ = | . | \ | − ⋅ = r H r g r H r g r H r g N 3 2 3 2 3 4 2 1 2 3 2 3 2 π ρ π π ρ π π ρ Zadanie 2.20 (poz. bibl. [8], zad. 61, str. 78) Znaleźć współrzędne środka parcia dla dowolnego wielokąta foremnego o boku a, jeżeli jest znany promień koła wpisanego r lub opisanego R oraz głębokość zanurzenia środka ciężkości z s . Dane: Wyznaczyć: a, r, R, z c z N Rozwiązanie: Głębokość zanurzenia środka parcia wynosi: F z J z F z J z c c x c c x N ⋅ + = ⋅ = , gdzie: F z J J c xc x ⋅ + = 2 - moment bezwładności powierzchni wielokąta względem osi x c x J - moment bezwładności względem osi x c Moment bezwładności względem osi x c ma następującą postać: ( ) 2 2 12 48 r a F J xc ⋅ + = 33 ( ) 2 2 6 48 a R F J xc − ⋅ = Podstawiając otrzymuje się: ( ) ( ) 2 2 2 2 12 48 1 12 48 r a z z z F r a F z z c s c c N ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ + + = ( ) ( ) 2 2 2 2 6 24 1 6 24 a R z z z F a R F z z c s c c N + ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = W przypadku szczególnym, gdy a = 0, otrzymuje się z obu powyższych wzorów takie samo wyrażenie: c c N z r z z ⋅ + = 4 2 c c N z R z z ⋅ + = 4 2 gdyż wtedy wielokąt przekształca się w koło, dla którego r = R. Gdy z c = r wówczas otrzymuje się: r z N 4 5 = Zadanie 2.21 (poz. bibl. [8], zad. 66, str. 88) W rurociągu o średnicy d znajduje się przepustnica obrotowa (oś obrotu 0), która odcina przepływ wody. Obliczyć moment M potrzebny do otwarcia przepustnicy, pomijając opory tarcia mechanicznego. Dane: Wyznaczyć: d M Rozwiązanie: Przepustnica przedstawia sobą płaską prostopadłą płytę kołową, na którą działa w środku parcia (punkt SN) parcie N. Moment obrotowy wynosi: ( ) c N z z N M − = Odległość z N , czyli odległość środka parcia od zwierciadła wody, wynosi: x xc c x x N M J z M J z + = = gdzie: 64 4 d J xc ⋅ = π - moment bezwładności przepustnicy (koła) względem osi 0 c x z F M ⋅ = - moment statyczny koła względem osi x, przechodzącej przez najwyżej położony punkt płaszczyzny styku przepustnicy z wodą. Uwzględniając, że parcie N wynosi: x c M g F z g N ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ρ ρ i podstawiając odpowiednie wartości otrzymuje się: 34 ( ) c x c x xc c x c N J g z M J z M g z z N M ⋅ ⋅ = | | . | \ | − + ⋅ ⋅ = − = ρ ρ Zadanie 2.22 (poz. bibl. [7], zad.2.27, str. 38) Lekki tłok o średnicy D, wysokości h, wykonany z blachy, może przemieszczać się pionowo (bez tarcia) w rurze o średnicy d, która stanowi jedno ramię naczynia połączonego. Po napełnieniu tłoka i rur cieczą, jego równowaga ustaliła się przy pewnej różnicy poziomów H. Obliczyć, przy jakim stosunku h/H ustali się równowaga, jeżeli D/d = 6 , a ciężar tłoka można pominąć. Dane: Wyznaczyć: D, h, d, H h/H D/d = 6 Rozwiązanie: Rozpatrujemy warunek równowagi tłoka. Jeżeli pominąć jego ciężar własny oraz tarcie w prowadnicy, to równowaga tłoka zachodzi pod działaniem dwóch naporów: • Na denko górne 4 2 D H N g ⋅ ⋅ = π γ (zwrócony w górę) • na denko dolne 4 ) ( ) ( 2 2 d D h H N d − ⋅ + ⋅ = π γ (w dół) Warunek równowagi d g N N = przyjmuje postać: ( ) ( ) 2 2 2 d D h H HD − ⋅ + = Dzielimy go obustronnie przez hּd 2 ( ( ¸ ( ¸ − | . | \ | | . | \ | + = | . | \ | 1 1 2 2 d D h H d D h H , i podstawiamy ( ) 6 2 = d D . Otrzymujemy: 5 1 5 6 = ⇒ | . | \ | + = h H h H h H Zadanie 2.23 (poz. bibl. [7], zad.2.28, str. 38) Sworzeń A składa się z dwóch odcinków walcowych o średnicach d i D, połączonych odcinkiem stożkowym. Prawy koniec sworznia jest sztywno utwierdzony. Z drugiej strony na sworzeń nasunięto naczynie B, które napełniono dwoma cieczami: do poziomu osi sworznia rtęcią, powyżej – wodą. Jaki warunek musi być spełniony aby naczynie pozostawało w równowadze? 35 Dane: Wyznaczyć: D, d, H, γ w , γ r warunek równowagi Rozwiązanie: Na lewej ściance naczynia (z mniejszym otworem) zwilżona jest większa część powierzchni niż na ściance prawej, gdzie otwór jest większy. Napory na te ściany nie będą więc jednakowe i powstanie pewna wypadkowa siła pozioma, usiłująca przesunąć naczynie po sworzniu w lewo. Jej moduł równa się naporowi na pierścień kołowy o średnicach D i d. Dla równowagi naczynia trzeba do niego przyłożyć siłę przeciwną (pomijamy tu tarcie ścian naczynia o sworzeń). Powierzchnia zwilżona jest wodą i rtęcią, więc napór na nią jest sumą naporów na górną połowę, zwilżoną wodą (N g ) oraz dolną połowę, zwilżoną rtęcią (N d ). Siła przyłożona do naczynia wynosi: d g N N N + = (1) Każda połowa pierścienia ma pole: ( ) 2 2 8 d D F − = π , a jej środek ciężkości SC oddalony jest od płaszczyzny granicznej o: 2 2 3 3 3 2 d D d D h − − = π Napór wody na górną połowę pierścienia: ( )F h H N w g − = γ Napór na dolną połowę wynika z ciśnienia hydrostatycznego całego słupa wody (o wysokości H) oraz słupa rtęci (o wysokości h), czyli: ( )F h H N r w d γ γ − = Podstawiając powyższe do wzoru (1), otrzymamy: ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 24 1 2 3 24 d D d D H d D d D H N r w w − − − + − − − = γ πγ π γ Zadanie 2.24 (poz. bibl. [8], zad. 77, str. 102) Znaleźć parcie wody na powierzchnię zakrzywioną w postaci trzech czwartych bocznej powierzchni walca o promieniu r = 1 m i długości tworzącej l = 6 m. Zbiornik jest napełniony do wysokości h = 4 m. Dane: Wyznaczyć: r = 1 m N l = 6 m h = 4 m Rozwiązanie: Składowa pozioma parcia N x równa się parciu na powierzchnię F x , gdzie F x jest rzutem górnej jednej czwartej powierzchni walca na płaszczyznę pionową, bowiem składowe poziome na dolne powierzchnie walca znoszą się. A więc: l r r h g F z g N x c x ⋅ | . | \ | − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = 2 ρ ρ N N x 206000 6 1 2 1 4 81 . 9 1000 = ⋅ ⋅ | . | \ | − ⋅ ⋅ = Składowa pionowa parcia N z równa się ciężarowi słupa wody o przekroju ABCDFGA i długości l. Ten słup wody jest różnicą słupów o przekroju ABCDEA i DEGF. Różnica ta wynika stąd, że parcie na dolną powierzchnię o łuku BCD jest skierowane do dołu, a na górną powierzchnię o łuku DF – do góry. A więc: 36 l r h r g V g N ABCDFGA z | . | \ | ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 2 4 3 π ρ ρ N N z 374000 6 1 4 1 4 3 81 . 9 1000 2 = ⋅ | . | \ | ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = π Parcie wypadkowe wynosi: N N N N z x 426000 374000 206000 2 2 2 2 = + = + = Parcie N musi oczywiście przechodzić przez oś walca (punkt O). Zadanie 2.25 (poz. bibl. [7], zad.2.32, str. 39) W pochyłym dnie basenu znajduje się prostokątny otwór zamykany klapą AB, osadzony obrotowo. W jakim miejscu należy umieścić poziomą oś 0 obrotu klapy, aby otwieranie jej wymagało użycia jak najmniejszego momentu obrotowego? Dane są długości odcinków a i b. Dane: Wyznaczyć: a, b AO/OB Rozwiązanie: Oś obrotu klapy powinna przechodzić przez środek naporu, bo wtedy moment naporu względem osi równa się zeru, a moment obrotowy potrzebny do otwarcia klapy wynika tylko z tarcia w łożyskach. Uwzględniając wzór (odległość środka naporu od lustra wody): c xc c c x N y i y y F J y 2 + = ⋅ = dochodzimy do wniosku; że oś obrotu trzeba umieścić poniżej środka ciężkości o c xc y i 2 = ∆ (mierząc w płaszczyźnie klapy). Obliczenia wykonamy dla wycinka klapy o długości jednostkowej w kierunku osi obrotu. Wobec tego rozważana figura jest prostokątem o bokach 1 × a . Ponieważ: 12 2 2 a i xc = 2 a b y c + = przeto a b a 2 1 12 1 2 + = ∆ Zgodnie z powyższymi uwagami oś obrotu powinna dzielić wysokość klapy w stosunku: ∆ + ∆ − = a a B A 2 1 2 1 0 0 Podstawiając i przekształcając otrzymujemy: b a b a B A 3 2 3 0 0 + − = 37 Zadanie 2.26 (poz. bibl. [3], zad.2.2.1, str. 26) Zbiornik wypełniony cieczą porusza się ruchem prostoliniowym ze stałym przyspieszeniem po poziomej płaszczyźnie. Wyznaczyć kształt powierzchni swobodnej cieczy w zbiorniku oraz określić rozkład ciśnień. Dane: Wyznaczyć: a, g, h α, p Rozwiązanie: Na dowolną cząstkę cieczy w zbiorniku działają siły masowe: jednostkowa siła ciężkości g i jednostkowa siłą bezwładności - a. Ich składowe w przyjętym układzie współrzędnych są: a X − = , 0 = Y , g Z − = Zatem równanie różniczkowe powierzchni ekwipotencjalnej ma postać: 0 = ⋅ − ⋅ − dz g dx a Po scałkowaniu otrzymamy: C z g x a = ⋅ + ⋅ , a wiec układem powierzchni ekwipotencjalnych jest układ płaszczyzn tworzących z osią x kąt α taki, że: g a dx dz − = = α tg Znak minus wynika tutaj z orientacji przyjętego układu współrzędnych. Jedną z powierzchni ekwipotencjalnych jest powierzchnia swobodna będąca, jak widać z obliczeń, płaszczyzną nachyloną do poziomu pod kątem α. Rozkład ciśnień określa rozwiązanie równania: ( ) dz g dx a dp ⋅ + ⋅ ⋅ − = ρ , zatem: | | ) ( h z g x a p p a − ⋅ + ⋅ ⋅ − = ρ Tutaj stałą całkowania wyznaczono z warunku p = p a dla x = 0, z = h, tj. dla punktu powierzchni swobodnej leżącego na osi z. 38 ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA Zadanie 2.27 (poz. bibl. [6], zad.2.1.2, str. 16) Obliczyć różnicę wysokości h 0 – h 1 cieczy, jaka ustaliła się w manometrze U-rurkowym, jeżeli w poszczególnych ramionach działają ciśnienia p 0 i p 1 . Odpowiedź: g p p h h ⋅ − = − ρ 0 1 1 0 Zadanie 2.28 (poz. bibl. [6], zad.2.1.4, str. 16) Przez przewód prostoosiowy, nachylony do poziomu odniesienia O-O, przepływa woda. Do pomiaru różnicy ciśnień ∆p użyto manometru rtęciowego. Obliczyć wartość ∆p = p 1 – p 2 w przypadku, gdy różnica wysokości H pomiędzy otworami piezometrycznymi wynosi 2 m, a wysokość słupa rtęci w manometrze h = 1 m. Przyjąć ρ w = 1000 kg/m 3 , ρ m = 13500 kg/m 3 . Odpowiedź: ∆p = 0.143 MPa Zadanie 2.29 (poz. bibl. [6], zad.2.1.5, str. 17) Obliczyć różnicę ciśnień (w milimetrach słupa wody) pomiędzy dwoma przekrojami rurociągu, przez który płynie woda o gęstości ρ w = 1000 kg/m 3 . Do otworów piezometrycznych w rurociągu podłączono manometr różnicowy wypełniony wodą i olejem, którego gęstość ρ 0 = 860 kg/m 3 . Różnica poziomów pomiędzy powierzchniami rozdziału cieczy ∆h = 160 mm. Odpowiedź: ∆h 1-2 = 22.4 mmH 2 O Zadanie 2.30 (poz. bibl. [6], zad.2.1.6, str. 18) Dwa przewody, z których jednym płynie olej o gęstości ρ = 815 kg/m 3 a drugim woda, są przesunięte względem siebie o H = 2 m. Obliczyć różnicę ciśnień panujących w rurociągach, jeśli podłączony do nich manometr rtęciowy wskazuje różnicę poziomów h = 0.5 m. Odległość osi dolnego rurociągu od niżej położonej płaszczyzny rozdziału cieczy wynosi h 1 = 0.8 m. Odpowiedź: ∆p = 77.25 kPa 39 Zadanie 2.31 (poz. bibl. [6], zad.2.1.11, str. 20) Trzy tłoki o powierzchniach: F 1 = 0.6 m 2 , F 2 = 0.8 m 2 i F 3 = 0.4 m 2 , obciążone odpowiednio siłami: P 1 = 1 kN, P 2 = 2 kN oraz P 3 = 3 kN, działają na wodę o gęstości ρ = 1000 kg/m 3 . Określić, dla jakich wartości h 1 i h 2 układ tłoków pozostanie w stanie równowagi ? Odpowiedź: h 1 = 0.085 m, h 2 = 0.51 m Zadanie 2.32 (poz. bibl. [8], zad. 37, str. 45) Jaką siłę P 2 można wywołać w ręcznej prasie hydraulicznej przy pomocy siły P = 245 N, jeżeli a = 600 mm, b = 50 mm, d = 40 mm, D = 280 mm? Pominąć ciężary tłoków i siły tarcia. Odpowiedź: N P 144060 2 = Zadanie 2.33 (poz. bibl. [3], zad.2.3.1, str. 23) W ręcznej pompie do tłoczenia cieczy znajdują się dwa tłoki o średnicach odpowiednio D i d połączone dźwignią ABC i spoczywające na powierzchni cieczy wypełniającej połączone naczynia cylindryczne. Obliczyć wartość siły P jaką należy przyłożyć do końca dźwigni, by zaistniała równowaga, jeżeli ciężar tłoka o średnicy D równa się G. Odpowiedź: ( ) a D d D b d a G P ⋅ + + ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 Zadanie 2.34 (poz. bibl. [6], zad.2.1.8, str. 19) Na podstawie wskazań manometrów cieczowych, podłączonych szeregowo do zbiornika wypełnionego olejem napędowym, określić nadciśnienie ∆p = p – p a dla danych: ρ 0 = 860 kg/m 3 , ρ w = 1000 kg/m 3 , ρ m = 13600 kg/m 3 , h 1 = 5 m, h 2 = 2 m, h 3 = 2.5 m, h 4 = 1 m, h 5 = 3 m, h 6 = 1 m, h 7 = 2.5 m, g = 9.81 m/s 2 . Odpowiedź: ∆p = p – p a = 474 kPa Zadanie 2.35 (poz. bibl. [6], zad.2.3.5, str. 26) Wyznaczyć napór hydrostatyczny oraz określić współrzędne środka naporu SN dla ściany pionowej o kształcie i wymiarach jak na rysunku: a) b) c) 40 Odpowiedź: a) H z H b N N 3 2 , 2 2 = ⋅ ⋅ = γ ; b) H a H z a H N N ⋅ + = ⋅ ⋅ = 12 , 2 2 γ ; c) D z d N N 16 17 , 4 2 = ⋅ ⋅ = π γ Zadanie 2.36 (poz. bibl. [6], zad.2.3.6, str. 26) Na jaką głębokość H należy zanurzyć płaską ścianę w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie a i wysokości h = 6 m, aby środek naporu znajdował się w odległości b = 10 m od zwierciadła cieczy? Odpowiedź: H = 7.795 m Zadanie 2.37 (poz. bibl. [8], zad. 30, str. 37) Znaleźć siły P 1 i P 2 przenoszone przez śruby kołnierza większego i mniejszego w zbiorniku cylindrycznym wypełnionym cieczą o gęstości ρ, jeżeli na ciecz działa dodatkowo tłok o średnicy d obciążony siłą P. Średnice i wysokości wynoszą odpowiednio d 1 , d 2 i h 1 , h 2 . Odpowiedź: 2 2 2 1 2 2 1 1 4 4 4 h g d h g d P d P ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + | | . | \ | ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ρ π ρ π π , ( ) | | . | \ | + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = 2 1 2 2 2 2 4 4 h h g d P d P ρ π π . Zadanie 2.38 (poz. bibl. [6], zad.2.3.18, str. 29) Zbiornik wodny zamknięto klapą obrotową w kształcie czwartej części walca o promieniu R i długości L (mierzonej prostopadle do płaszczyzny rysunku). Wyznaczyć wielkość naporu hydrostatycznego wywieranego na klapę, dla dwóch przypadków przedstawionych na rysunkach. Przyjąć ciężar właściwy wody równy γ, a wysokość poziomu cieczy w zbiorniku – H. Odpowiedź: a) 2 2 4 2 | . | \ | ⋅ − + | . | \ | − ⋅ ⋅ = R H R H L R N π γ , b) 2 2 4 2 | . | \ | ⋅ + − + | . | \ | − ⋅ ⋅ = R R H R H L R N π γ a) b) 41 Zadanie 2.39 (poz. bibl. [6], zad.2.4.7, str. 37) Naczynie półkoliste o średnicy D napełniono całkowicie cieczą i przykryto płytą szklaną. Naczynie odwrócono i położono na płaskiej poziomej powierzchni. Należy wyznaczyć ciężar Q naczynia, jaki może zapobiec podniesieniu go przez parcie zawartej w nim cieczy. Odpowiedź: 24 3 D g Q π ρ ⋅ ≥ Zadanie 2.40 (poz. bibl. [8], zad. 73, str. 96) Powierzchnia boczna blaszanego stożka o średnicy podstaw d 1 i d 2 , wysokości h i ciężarze G jest dołem uszczelniona i przytwierdzona śrubami do podłoża. Tak utworzony zbiornik jest napełniony całkowicie cieczą o gęstości ρ. Kiedy śruby zaczną przenosić siły rozciągające od parcia cieczy i jaka jest wartość tych sił? Odpowiedź: ( ) G d d d d h g P rozc − − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = 2 1 2 1 2 2 2 12 ρ π Zadanie 2.41 (poz. bibl. [6], zad.2.3.14, str. 28) W dnie zbiornika wykonano otwór o średnicy d, zamykany zaworem w kształcie stożka o średnicy D = 2d i wysokości h. Obliczyć siłę P potrzebną do otwarcia zaworu jeżeli zbiornik wypełniono do wysokości H cieczą o gęstości ρ. Gęstość materiału którego wykonano stożek przyjąć równą ρ 1 . Odpowiedź: ( ) | | 1 2 8 7 6 96 1 ρ ρ π ⋅ + − ⋅ ⋅ = h h H g D P Zadanie 2.42 (poz. bibl. [3], zad.2.4.4, str. 37) Stożkowy zawór przelewowy o wysokości h, średnicy podstawy D i ciężarze G, mający półkuliste wybranie o średnicy d, zamyka przepływ wody między komorami zbiornika. Wyznaczyć wysokość napełnienia z lewej części zbiornika, dla której nastąpi otwarcie zaworu. Odpowiedź: d h H d D g d G z 3 1 3 4 2 2 2 + | . | \ | − + ⋅ ⋅ ⋅ ≥ ρ π Zadanie 2.43 (poz. bibl. [7], zad.2.31, str. 39) Obliczyć napór na dno walcowego zbiornika o promieniu podstawy r, stojącego pod kątem α do poziomu. Obliczyć głębokość zanurzenia środka naporu. Gdy zbiornik stoi pionowo, poziom cieczy wynosi h 0 . Odpowiedź: α π γ cos 0 2 h r N ⋅ = , α α cos 4 1 2 2 0 2 0 | | . | \ | + = tg h r h z N Poziom odniesienia przy pomiarze ciśnienia ciśnienie p1 nadciśnie p2 ciśnienie absolutne ciśnienie absolutne poziom próżni Prawo Pascala – prawo równomiernego rozchodzenia się ciśnienia w płynie W dwóch dowolnych punktach A i B przestrzeni wypełnionej płynem panują ciśnienia p i p0. Wartości potencjałów sił wynoszą U i U0. Ciśnienia te związane są z wartościami potencjału zależnością: pA - pB = p - p0 = ρ( Up – Up0) Jeżeli na tłok przyłożymy siłę P, to w rozważanych punktach nastąpi przyrost ciśnienia, a ponieważ przy tym nie ulega zmianie energia potencjalna, tzn. wartości potencjałów w obu tych punktach pozostały te same, więc otrzymujemy następujący związek: pA = p + δp pB = p0 + δp0 Stąd: czyli: p + δp – (p0 + δp0) = ρ(Up - Up0) δp – δp0 = 0, δp = δp0 Up A B Up0 r P z z0 16 podciśnie poziom ciśnienia atmosferycznego Przyrost ciśnienia w dowolnym punkcie jednorodnego płynu znajdującego się w stanie równowagi w potencjalnym polu sił masowych wywołuje identyczną zmianę ciśnienia w dowolnym punkcie tego płynu. przy czym wypadkowa siła N tego naporu jest oczywiście przyłożona w środku geometrycznym (środku ciężkości) powierzchni F i skierowana pionowo w dół. poziome dno zbiornika jest równy iloczynowi ciśnienia hydrostatycznego i pola powierzchni. Napór hydrostatyczny Naporem nazywamy siłę wywieraną przez ciecz na ściany naczyń (zbiorników). gdzie N =ρ ⋅ g ⋅ V F⋅h=V pa Paradoks Stevina dotyczy niezależności siły naporu na dno naczynia od ilości cieczy zawartej w zbiorniku. N1 = N2 = N3 = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ F = ρ ⋅ g ⋅ V Przez objętość V należy rozumieć objętość pozorną cieczy zawartej nad dnem określoną jako objętość słupa cieczy o polu podstawy równym powierzchni dna i wysokości równej wysokości napełnienia zbiornika. Objętości pozorne zaznaczono na rysunku przez zakreskowanie. 17 . układach hamulcowych pojazdów i podobnych urządzeniach. Napór cieczy na płaskie. N = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ F. Zasadę tę wykorzystuje się w podnośniku hydraulicznym. Dla powierzchni płaskiej dowolnie zorientowanej zależność określająca siłę naporu daje wielkość siły wypadkowej jako sumę elementarnych naporów. który zanurzony jest na głębokości zN. Dla ścian pionowych α = π 2 : z N = zC + 2 Jy iC . Wypadkową siłę naporu należy przyłożyć w punkcie SN zwanym środkiem naporu. czyli głębokością zanurzenia środka ciężkości pola F. że punkt przyłożenia tej siły leży na głębokości zN większej niż wynosi głębokość zanurzenia środka ciężkości: zN > zc. 18 . zC gdzie iC jest ramieniem bezwładności pola F względem osi przechodzącej przez środek ciężkości. Najczęściej mamy podane geometryczne momenty bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości (środek geometryczny) J y C . Wówczas wykorzystując twierdzenie Steinera: Jy = Jy C 2 + zC ⋅ F .Dlatego też wielkość naporu N wyrazić można jako ciężar pozornej objętości cieczy zawartej ponad dnem. Napór cieczy na powierzchnie płaskie dowolnie zorientowane x y z Wypadkowy napór na powierzchnię płaską oraz punkt jej przyłożenia. ale z rysunku widać. usytuowanej na powierzchni lustra cieczy. i2 zN = zC+ C ⋅ sin 2 α . Napór hydrostatyczny na dowolnie zorientowaną powierzchnie płaską jest iloczynem ciśnienia hydrostatycznego panującego w środku ciężkości i pola rozpatrywanej powierzchni. = zC zC ⋅ F gdzie: Jy – geometryczny moment bezwładności względem osi y. Nx = -ρ ⋅ g ⋅ zc ⋅ F⋅ sinα Ny = 0 Nz = ρ ⋅ g ⋅ zc ⋅ F ⋅ cosα gdzie: N = ρ ⋅ g ⋅ zc ⋅ F zC – jest odległością środka geometrycznego (środka ciężkości SC) pola F od zwierciadła cieczy. 707a 2 3b + 2b1 h 2b + b1 3 e II = h − e I eI = 2h 3 h e II = 3 a4 12 eI = 6b 2 + 6bb1 + b12 3 h 36(2b + b1 ) bh 3 36 e= d 2 πd 4 64 ≈ 0.05bh 3 e=a π 4 (a 3b − a13b1 ) 19 .05d 4 e= D 2 π (D 4 − d 4 ) 64 ≈ 0.otrzymujemy: z N = zC + J yC zC ⋅ F . Współrzędne położenia środka ciężkości i momenty bezwładności wybranych przekrojów Przekrój Położenie środka ciężkości Moment bezwładności Jxc e= h 2 bh 3 12 e= a 2 = 0.05( D 4 − d 4 ) e= h 2 π 64 bh 3 ≈ 0. TABELA 1. czyli powierzchniami ekwipotencjalnymi. dz po kierunkach osi układu współrzędnych i sumując ich lewe oraz prawe strony otrzymujemy równanie: ∂p ∂p 1 ∂p X ⋅ dx + Y ⋅ dy + Z ⋅ dz = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ρ Wyrażenie w nawiasie po prawej stronie równania jest różniczką zupełną ciśnienia dp. równanie to można scałkować: p = ρ ⋅φ + C . że zależność pomiędzy ciśnieniem i funkcją siły masowej jest liniowa.1 Określić nadciśnienie powietrza panujące w rurociągu R za pomocą U-rurki. Wynika stąd. ρ Dla płynów nieściśliwych. ρ . a p – ciśnienie. że powierzchnie stałej wartości ciśnienia (izobaryczne) są jednocześnie powierzchniami stałego potencjału. dla których ρ = const. Na powierzchni izobarycznej a więc i ekwipotencjalnej różniczka ciśnienia dp = 0.wektor jednostkowej siły masowej.Powierzchnie ekwipotencjalne. tak więc i lewa strona równania musi być różniczką zupełną pewnej funkcji φ spełniającej warunki: ∂φ ∂φ ∂φ X= Y= Z= . Mnożąc kolejno równania skalarne przez odpowiednie przyrosty dx. Dane: h = 100 cm = 1 m ρ = 1000 kg/m3 Wyznaczyć: p 20 . w której znajduje się woda. Podstawowe równanie różniczkowe równowagi płynu nieruchomego (równanie Eulera statyki) można zapisać w postaci jednego równania wektorowego: r 1 F = grad p .gęstość płynu. Wynika więc stąd wniosek. stąd z warunku równowagi płynu otrzymujemy równanie różniczkowe powierzchni ekwipotencjalnej: X ⋅ dx + Y ⋅ dy + Z ⋅ dz = 0 PRZYKŁADOWE ZADANIA Zadanie 2. ∂z ∂x ∂y Funkcja φ nazywana jest funkcją siły masowej a powyższe warunki nazywane są warunkami potencjalności pola wektorowego. Różnica poziomów wody w U-rurce wynosi h = 100 cm. ρ lub trzech równań skalarnych w przyjętym układzie współrzędnych prostokątnych: 1 ∂p X= ρ ∂x 1 ∂p Y= ρ ∂y 1 ∂p Z= ρ ∂z r r r r gdzie: F = X ⋅ i + Y ⋅ j + Z ⋅ k . czyli jeżeli p = const to również φ = const. Po wstawieniu ich do ostatniego równania otrzymujemy warunek równowagi płynu w postaci: 1 dφ = dp . dy. . 81 ⋅ 0.81 ⋅ 0. Dane: h = 50 mm = 0. str. 24) Określić podciśnienie i ciśnienie absolutne gazu znajdującego się w rurociągu R. W obu ramionach U-rurki na poziomie dolnego menisku wody ciśnienia wynoszą: pL = p.ρ⋅ g⋅ h = 99694.2 Pa Zadanie 2.1.75 = 99694. jeżeli różnica wysokości słupów rtęci w manometrze wynosi h = 50 mm. 32) Manometr rtęciowy podłączony do przestrzeni powietrznej hydroforu wskazuje różnicę poziomów ha = 160 mm. pP = pa + ρ⋅ g⋅ h.1 – 13550 ⋅ 9. bibl. 2.81 m/s2 Rozwiązanie: Nadciśnienie powietrza w rurze obliczamy wykorzystując zasadę naczyń połączonych.81 m/s2 Wyznaczyć: pa.05 = 6646. bibl.g = 9. zad. [7].81 m/s2 Wyznaczyć: pn 21 .pa = ρ⋅ g⋅ h = pn =1000 ⋅ 9.16 m h=4m ρm = 13550 kg/m3 g = 9.05 = 93047. [3].3 (poz.75 m ρ = 13550 kg/m3 g = 9.9.1 [ Pa] Ciśnienie absolutne wynosi: pP = p + ρ⋅ g⋅ h. zad. 2.9 Pa pp = pa – p = ρ⋅ g⋅ h Podciśnienie w rurociągu wynosi: pp = 13550 ⋅9. pL = pP p = pa + ρ⋅ g⋅ h Stąd nadciśnienie: pn = p .7.05 m ha = 750 mm = 0. str. wysokość ciśnienia atmosferycznego ha = 750 mm Hg. p.81 ⋅ 1 = 9810 Pa Zadanie 2. pp Rozwiązanie: Ciśnienie atmosferyczne wyrażone w Pascalach wynosi: pa = ρ ⋅ g ⋅ ha p a = 13550 ⋅ 9.81 ⋅ 0. pL = pa p + ρ⋅ g⋅ h = pa p = pa . Jakie nadciśnienie pn wskaże manometr membranowy jeżeli aktualny poziom wody h = 4 m ? Dane: ha = 160 mm = 0.2 (poz. zad. bibl.p5 22 . na jakich znajdują się w równowadze tłoki o powierzchniach F1. Różnice poziomów wynoszą: h1 = 0. [7].02 m. F3 P1.013 m.81 ⋅ 0. P2. obliczając ciśnienia na poziomach granicznych 2.81 ⋅ 4 = 39240 Pa Poszukiwane nadciśnienie wynosi: p n = p h − p p = 39240 − 21268.4 (poz. Jeżeli kolejny poziom leży niżej (wyżej) poprzedniego.6. bibl. 2. Dane: γw = 9800 N/m3 γo = 8833 N/m3 γm = 15700 N/m3 h1 = 0.16 = 21268. F2.8. P2. w którym kolejno są: woda. Dane: F1. h2 Rozwiązanie: Warunek równości ciśnień w naczyniach lewym i środkowym na poziomie tłoka lewego: P2 P + ρgh1 = 1 F2 F1 . 4 oraz 5.013 m Wyznaczyć: p1 . powietrze oraz olej. 3.08 = 17971. skąd h1 = 1 P1 P2 − ρg F1 F2 Analogiczny warunek dla naczynia środkowego i prawego: P3 P 1 P2 P3 + ρgh2 = 2 . h3 = 0. h2 = 0.2 m h2 = 0.20 m. str. 32) Pomiędzy zbiornikiem z wodą i olejem (o ciężarze właściwym γo = 8833 N·m-3) podłączony jest manometr różnicowy.02 m h3 = 0.08 Pa Na głębokości h = 4 m pod powierzchnią wody występuje ciśnienie hydrostatyczne: p h = ρ w ⋅ g ⋅ h = 1000 ⋅ 9. [7]. F2. 32) Obliczyć różnice poziomów. P3 Wyznaczyć: h1. skąd h2 = − F3 F2 ρg F2 F3 Zadanie 2.Rozwiązanie: W przestrzeni powietrznej hydroforu podciśnienie wynosi: p p = p a − p = ρ m ⋅ g ⋅ ha = 13550 ⋅ 9. ciecz o ciężarze właściwym γm = 15700 N·m-3.5 (poz. P3. Obliczyć różnicę ciśnień między poziomami 1 i 5 w zbiornikach. zad. Rozwiązanie: Startując z punktu 1 w zbiorniku z wodą posuwamy się wzdłuż rurki. 2.92 Pa Zadanie 2. F3 obciążone siłami P1. str. 20 − 8. 2.20 + 0.02 ) − 9. zad.7 (poz. zad.7 − 13500 ⋅ 9.83 ⋅ 0. [7].755 = 100358.16.14. str.7 − 79755. W ten sposób otrzymamy równanie: p1 + γ w h1 − γ m (h1 + h2 ) + γ o h3 = p5 1 2 3 i 4 5 5 poziom ―――→ Stąd różnica ciśnień: p1 − p5 = γ m ( h1 + h2 ) − γ w h1 − γ o h3 = = [15. Wyznaczyć: ρ Rozwiązanie: Przecinamy U-rurkę płaszczyzną na wysokości h1 i zapisujemy równania dla prawej i lewej strony U-rurki. Rozwiązanie: Ciśnienie atmosferyczne wyraża zależność: pa = ρ m ⋅ g ⋅ ha pa = 13550 ⋅ 9. h1 = 5cm. [7]. Przyjąć gęstość rtęci ρm = 13550 kg/m3. Dane: h = 600 mm ha = 755 mm Hg Wyznaczyć: pp.4 Pa ≈ 20kPa Podciśnienie panujące w skraplaczu wyraża zależność: p p = pa − p = 100 − 20 = 80kPa Zadanie 2. 34) Manometr w kształcie U-rurki wypełniony jest wodą oraz cieczą o nieznanej gęstości ρ.600 = 100358. 2.7 Pa ≈ 100 kPa Z zasady naczyń połączonych dla manometru rtęciowego: p + ρ m ⋅ g ⋅ h = pa Stąd ciśnienie bezwzględne (absolutne) w kondensatorze: p = pa − ρ m ⋅ g ⋅ h p = 100358. Obliczyć podciśnienie oraz ciśnienie bezwzględne w kondensatorze. p Dane: h = 20 cm h1 = 5 cm h2 = 25 cm. Pomijamy ciśnienie hydrostatyczne słupa powietrznego pomiędzy poziomami 3 i 4.3 = 20603. h2 = 25cm.81 ⋅ 0. 34) Manometr rtęciowy podłączony do kondensatora turbiny wykazał różnicę poziomów h = 600 mm.80 ⋅ 0. bibl.6 (poz. Ciśnienie panujące po stronie lewej pL musi byś identyczne jak po stronie prawej pP: p L = p a + ρ ⋅ g ⋅ (h2 − h1 ) Stąd: pL = pP p P = p a + ρ w ⋅ g ⋅ (h − h1 ) p a + ρ ⋅ g ⋅ (h2 − h1 ) = p a + ρ w ⋅ g ⋅ (h − h1 ) 23 . jeżeli h = 20cm. Równocześnie barometr wykazał ha = 755 mmHg. Wyznaczyć ρ.81 ⋅ 0. str. bibl.ciśnienie hydrostatyczne dodajemy (odejmujemy).13] ⋅ 10 3 = 343 Pa Zadanie 2.7 ⋅ (0. .18. hn Wyznaczyć: pn Rozwiązanie: Ciśnienie hydrostatyczne wyznaczone w pierwszej U-rurce p1 = γ ⋅ h1 Ze względu na to że w kolejnych U-rurkach mamy tą samą ciecz i różne różnice poziomów oraz pomijamy ciśnienie hydrostatyczne gazu w przestrzeniach pomiędzy słupkami cieczy manometrycznej to ciśnienie hydrostatyczne wskazywane przez wszystkie U-rurki przedstawia zależność pn = γ ∑ hi i =1 n W szczególnym przypadku gdy we wszystkich n U-rurkach występuje jednakowa różnica poziomów cieczy h. Jaka jest zależność mierzonego ciśnienia p w zbiorniku od wskazania h..2 − 0. [8]. Pominąć wpływ ciśnienia hydrostatycznego gazu pomiędzy słupkami cieczy manometrycznej. h.05 m Zadanie 2. 35) Manometr różnicowy wielokrotny tworzy układ n naczyń połączonych szeregowo i wypełnionych jednakową cieczą o ciężarze właściwym γ. 52) Szeregowy manometr rtęciowy jest wypełniony wodą jako cieczą pośredniczącą. Dane: ρ. mierzone za pomocą manometru. ρ1 . zadanie zostanie rozwiązane dla n = 3 U-rurek.05) kg = 750 3 0. Dane: γ. 41. 2. zad. Zgodnie z definicją ciśnienia hydrostatycznego można napisać: p1 = pa + ρ ⋅ g ⋅ h p 2 = p1 − ρ1 ⋅ g ⋅ h gdyż ciśnienie p2 jest mniejsze od ciśnienia p1 o wielkość hydrostatycznego słupa wody o wysokości h 24 . Wyprowadzić wzór na nadciśnienie w zbiorniku z gazem. n Wyznaczyć: p Rozwiązanie: Żeby ustalić taką zależność. zad.8 (poz. bibl. W najprostszym przypadku układ poziomów cieczy będzie taki sam jak na rysunku. str.9 (poz. jeżeli n oznacza liczbę U-rurek manometru. wówczas: pn = n ⋅ γ ⋅ h Zadanie 2. bibl. str. [7].ρ= ρ w ⋅ g ⋅ (h − h1 ) g ⋅ (h2 − h1 ) = ρ w ⋅ (h − h1 ) h2 − h1 ρ= 1000 ⋅ (0.25 − 0. h1 . ρ3 = 1600 kg/m3.16 m ρ 2 ⋅ g 1000 ⋅ 9. zastosowanie manometru szeregowego pozwala na pomiar nawet dużych ciśnień bez nadmiernego zwiększania wysokości manometru. p3.4 ) + ρ 2 ⋅ g ⋅ (5.6 = = 2.4 21189. h3 Rozwiązanie: Ciśnienie hydrostatyczne na poziomie dna naczynia wynosi: p = ρ1 ⋅ g ⋅ (8. Poziom w h2 w drugiej rurce zależny jest od ciśnienia hydrostatycznego wywieranego przez ciecz o gęstości ρ1. gdyż po podstawieniu ρ = ρ1 otrzymuje się: p = pa + ρ ⋅ g ⋅ h W skrajnym przypadku bardzo lekkiej cieczy pośredniczącej ρ1 ≈ 0 . Dane: ρ1 = 800 kg/m3 ρ2 = 1000 kg/m3 ρ3 = 1600 kg/m3 Wyznaczyć: p.6 + 29430 + 37670.6 Pa Słup cieczy o gęstości ρ1 powoduje podniesienie się poziomu cieczy o gęstości ρ2 w drugiej rurce: p5.p3 = p2 + ρ ⋅ g ⋅ h p 4 = p 3 − ρ1 ⋅ g ⋅ h p = p4 + ρ ⋅ g ⋅ h Po wyrugowaniu z układu równań ciśnień p1. i p4 (dla n = 3) otrzymuje się: p = pa + g ⋅ h ⋅ (3 ⋅ ρ − 2 ⋅ ρ1 ) .81⋅ 3 + 1600 ⋅ 9.7 = 21189.19.4 − 0) p = 800 ⋅ 9.10 (poz.81 25 .4 ) + ρ 3 ⋅ g ⋅ (2. 2.4 = ρ1 ⋅ g ⋅ (8.4 = 21189.81⋅ 2. wynik byłby następujący p = pa + n ⋅ ρ ⋅ g ⋅ h Zadanie 2.1 m.81⋅ 2. zad. co poziom lustra cieczy w zbiorniku. Ciśnienie hydrostatyczne na poziomie 5.4 ) = 800 ⋅ 9.4 = 88290 Pa Poziom h1 wynosi tyle samo. h2. [7].4 − 2. h2. Obliczyć ciśnienie hydrostatyczne na poziomie dna oraz wzniesienie h1. 35) Trzy niemieszające się ciecze o gęstościach ρ1 = 800 kg/m3.1 − 5. ρ2 = 1000 kg/m3. Gdy nie ma w manometrze cieczy pośredniczącej.4 = ρ 2 ⋅ g ⋅ x x= p 5. str. bibl.81 ⋅ 2. h3 poziomów w rurkach piezometrycznych. wówczas stosowanie manometru szeregowego nie przynosi zadniej korzyści. h1. zatem ogólnie dla n jest: n −1 p = pa + n ⋅ g ⋅ h ⋅ ρ − ρ1 n Jak widać. czyli h1 = 8.1 − 5. p2. nalane do naczynia zajmują poziomy określone na rysunku (w metrach od poziomu dna).4 m wynosi: p5.7 + 1000 ⋅ 9. 81 ⋅ 0. [7]. Przyjąć: ρr = 13550 kg/m3.6 + 29430 = 50619.81 ⋅ 2.h2 = x + 5.4 ) + ρ 2 ⋅ g ⋅ (5.4 − 2.16 + 5.4 = ρ1 ⋅ g ⋅ (8.225 + 2.4 m wynosi: p2.4 50619.4 = 3.4 ) p 2.81 h3 = x + 2. nad którą znajduje się powietrze.6 = = 3.4 = 7. 35) Obliczyć różnicę ciśnień w przekrojach 1 i 2 dwóch wodociągów przedstawionych na rysunku jeżeli manometry wykazują różnicę poziomów hm = 100 mm.5 [ Pa] Przypadek b) ∆p = p1 − p 2 = ρ w ⋅ g ⋅ hm ∆p = 1000 ⋅ 9.20.1 = 981 Pa 26 . Ciśnienie hydrostatyczne na poziomie 2. ρw = 1000 kg/m3.4 = 800 ⋅ 9. bibl.11 (poz.7 + 1000 ⋅ 9.1 − 5.4 = 2.625 m Zadanie 2. ale w przypadku (a) cieczą manometryczną jest rtęć.225 m ρ 3 ⋅ g 1600 ⋅ 9.81⋅ 0. a w przypadku (b) woda. hm Dane: hm = 100 mm ρr = 13550 kg/m3 ρw = 1000 kg/m3 Przypadek a) Ciśnienie w lewym ramieniu U-rurki: Wyznaczyć: ∆p Rozwiązanie: p L = p1 + ρ w ⋅ g ⋅ h Ciśnienie w prawym ramieniu U-rurki: p P = p 2 + ρ w ⋅ g ⋅ (h − hm ) + ρ r ⋅ g ⋅ hm pL = pP p1 − p 2 = ∆p = ρ w ⋅ g ⋅ h − ρ w ⋅ g ⋅ h − ρ w ⋅ g ⋅ hm + ρ r ⋅ g ⋅ hm ∆p = g ⋅ hm ( ρ r − ρ w ) = 9. zad.56 m Poziom h3 w trzeciej rurce zależny jest od ciśnienia hydrostatycznego wywieranego przez ciecze o gęstości ρ1 i ρ2.4 = ρ 3 ⋅ g ⋅ x x= p 2.4 = 5. str. 2.6 Pa Słupy cieczy o gęstościach ρ1 i ρ2 powodują podniesienie się poziomu cieczy o gęstości ρ3 w trzeciej rurce: p2.81 ⋅ 3 = 21189.1 ⋅ (13550 − 1000) = 12311. Rozwiązanie: Ze względu na bardzo małą prędkość przepływu powietrza zakłada się że ciśnienie powietrza w rurze przy dnie zbiornika równe jest ciśnieniu jakie panuje w U-rurce na poziomie lustra rtęci.81 Znając niezbędną wysokość cieczy manometrycznej h można na podstawie znajomości kąta pochylenia rurki (przełożenia) określić niezbędną wymaganą długość skali l: h 0. Obliczyć wysokość H. Ciśnienie to wynosi: p = pa + ρ m ⋅ g ⋅ hm Identyczne ciśnienie panuje na wylocie z rury. str. Jaką długość l musi mieć skala. p = pa + ρ ⋅ g ⋅ H p a + ρ r ⋅ g ⋅ hm = p a + ρ ⋅ g ⋅ H 27 Dane: ρ = 890 kg/m3 hm = 890 mm ρm = 13550 kg/m3 Wyznaczyć: H . co pozwala na wyznaczenie wysokości słupa nafty H. jest to tzw. 36) W celu zmierzenia wysokości H poziomu nafty (ρ = 890 kg/m3) w zbiorniku otwartym wstawia się do niego pionową otwartą rurę.02548 m = 25. mikromanometr Recknagla. 36) Aby zmierzyć zmianę ciśnienia w kanale wentylacyjnym użyto mikromanometru z rurką nachyloną pod kątem 30° napełnionego spirytusem (ρm = 800 kg/m3).48 mm sin(30°) 0. Przyjąć ρm = 13550 kg/m3. str.5 h= Zadanie 2. jeżeli podłączony do rury manometr rtęciowy wskazuje różnicę hm = 890 mm. aby można mierzyć różnicę ciśnień 100 Pa? Dane: ρm = 800 kg/m3 p = 100 Pa Wyznaczyć: l Rozwiązanie: Ciśnienie hydrostatyczne słupa cieczy wyraża zależność: p = ρm ⋅ g ⋅ h Poszukujemy jaka powinna być wysokość h słupa cieczy manometrycznej aby zmierzyć różnicę ciśnień p = 100 Pa p h= ρm ⋅ g 100 = 0. zad. zad.012742 l= = = 0.Zadanie 2.12 (poz. bibl. której dolny koniec prawie dotyka dna i następnie tłoczy się nią powietrze z bardzo małą prędkością (dzięki temu można zaniedbać straty przepływu).13 (poz.22.21. [7]. [7]. 2. bibl. 2.012742 m 800 ⋅ 9. 20 m wypełnione wodą.55 m ρ 890 Zadanie 2.5 − 0. w której panuje ciśnienie pa = 3. h Wyznaczyć: zc. Rozwiązanie: Na wartość ciśnienia panującego pod tłokiem nie wpływa średnica tłoka. Dane: l. Jakie ciśnienie p1 panuje bezpośrednio pod tłokiem. wartości siły naporu N oraz punkt przyłożenia siły naporu czyli głębokość zanurzenia środka naporu zN. 36) Szczelnie dopasowany tłok zamyka od góry pionowe naczynie walcowe o średnicy D = 0. Ciśnienie pod tłokiem zależy jedynie od ciśnienia panującego na wylocie z rurki pa i różnicy poziomów pomiędzy osią rurki i dnem tłoka. bibl.477 MPa Dane: D = 0. [7].5 MPa.4 m pa = 3.5 MPa Wyznaczyć: p1 Zadanie 2. Ciśnienie hydrostatyczne słupa wody o wysokości h wyraża zależność: p = ρw ⋅ g ⋅ h p = 1000 ⋅ 9.14 (poz.20 m h = 2. oraz siła tarcia tłoka o ściany naczynia.23.15 Wyznaczyć położenie środka ciężkości zc prostokątnej ściany o wymiarach l × h . str. jeżeli siła tarcia tłoka o ściany naczynia stanowi 3% siły ciśnieniowej. zN Rozwiązanie: Siła naporu jaką oddziałuje płyn na dno lub ścianę równy jest iloczynowi ciśnienia hydrostatycznego p = ρ ⋅ g ⋅ z c panującego w środku ciężkości SC dla dna lub ściany i pola powierzchni dna lub ściany F: N = ρ ⋅ g ⋅ zc ⋅ F Rozwiązanie dla prostokątnej ściany pionowej Ciśnienie panujące w środku elementarnego pola powierzchni dF: p = ρ ⋅ g ⋅ z Elementarne pole powierzchni: dF = b ⋅ dz dN = ρ ⋅ g ⋅ z ⋅ dF = ρ ⋅ g ⋅ b ⋅ z ⋅ dz Elementarny napór : 28 .023 = 3. Na poziomie h = 2.023 MPa Ciśnienie pod tłokiem równe jest różnicy ciśnienia pa w rurce i ciśnienia hydrostatycznego p1 = pa − p p = 3. zad.81 ⋅ 2.H= ρ r ⋅ hm 13550 ⋅ 0.4 = 23544 Pa = 0. 2.4 m poniżej tłoka znajduje się wylot rurki. N.89 = = 13. Wypadkowa siła naporu: Głębokość zanurzenia środka ciężkości .centralny moment bezwładności figury o powierzchni F. M Rozwiązanie: Siła naporu wynosi: 1 N = ρ ⋅ g ⋅ z c ⋅ F = ρ ⋅ g bh 2 2 gdzie: 29 . b Wyznaczyć: N. Centralny moment bezwładności dla prostokąta wynosi .zN: 1 ⋅ b ⋅ h3 2 = 0h = 3 = h z N = 0h 1 3 ⋅ b ⋅ h2 z ⋅ dF z ⋅ b ⋅ dz ∫ ∫ 2 2 2 ∫ z ⋅ dF h ∫z 0 h ⋅ b ⋅ dz 0 ∫z 0 h 2 ⋅ dF – moment bezwładności figury płaskiej o powierzchni dF względem poziomu zwierciadła cieczy Głębokość zanurzenia środka naporu .16 Wyznaczyć wartość siły naporu hydrostatycznego na pionową ścianę o wymiarach h × b jeżeli górna krawędź ściany leży w płaszczyźnie zwierciadła cieczy.zN można wyliczyć ze wzoru: J z N = z c + xc . zc ⋅ F gdzie J xc . Dane: h.zc: zc = h 1 N = ∫ ρ ⋅ g ⋅ b ⋅ z ⋅ dz = ρ ⋅ g ⋅ b ⋅ h ⋅ ⋅ h 2 0 h ∫ z ⋅ dF 0 ∫ dF 0 h = ∫ z ⋅ b ⋅ dz 0 h ∫ b ⋅ dz 0 h 1 ⋅ b ⋅ h2 1 =2 = h 2 b⋅h ∫ z ⋅ dF – moment statyczny figury płaskiej o powierzchni dF względem zwierciadła cieczy 0 h Głębokość zanurzenia środka naporu .J xc = b ⋅ h3 12 b ⋅ h3 12 1 1 2 ⋅ b ⋅ h3 1 1 2 zN = h + = h+ = h+ h = h 2 1 2 2 12 ⋅ b ⋅ h 2 6 3 ⋅ h ⋅ h ⋅b 2 Zadanie 2. Obliczyć wartość momentu siły wyważającej. H1.zc = Położenie środka naporu: 1 h 2 F = bh J xc zc ⋅ S z N = zc + Moment wyważający wynosi: bh 3 1 1 1 2 z N = h + 12 = h + h = h 1 2 2 6 3 h ⋅ bh 2 2 1 1 1 1 M = N (h − z N ) = N h − h = N ⋅ h = ⋅ ρ ⋅ g ⋅ bh 2 ⋅ h = ρ ⋅ g ⋅ bh 3 3 3 3 2 6 Zadanie 2. Dane: H0.17 Kamienna ściana o wysokości H0 i gęstości ρk rozdziela dwie części basenu wypełnione wodą o poziomach H1 i H2. Jaka musi być grubość ściany b aby ściana nie uległa wróceniu. 2 2 gdzie: zc1 = 1 H1 2 F1 = H1 ⋅ L Analogiczne wyznaczamy siłę naporu dla niższego poziomu wody: N2 = 1 2 ρw ⋅ g ⋅ H 2 ⋅ L 2 Ciężar ściany: G = ρk ⋅ g ⋅ H 0 ⋅ b ⋅ L Wyznaczanie położenia środków naporów: 30 . H2 Wyznaczyć: b Rozwiązanie: Suma momentów względem punktu A: ∑M A =0 1 − N1(H1 − z N1 ) + G b + N 2 (H 2 − z N 2 ) = 0 2 Siła naporu od wyższego poziomu wody: 1 1 2 N1 = ρ ⋅ g ⋅ zc1 ⋅ F1 = ρ w ⋅ g ⋅ H1 ⋅ H1 ⋅ L = ρ w ⋅ g ⋅ H1 ⋅ L . ρk. h Wyznaczyć: N. 1 1 1 2 1 2 1 ρ w ⋅ g ⋅ H1 L ⋅ H1 + ρ ⋅ g ⋅ H 0 ⋅ b ⋅ L ⋅ b + ρ w ⋅ g ⋅ H 2 L ⋅ H 2 = 0 2 3 2 2 3 1 1 1 3 − ρ w ⋅ H 13 + ρ ⋅ H 0 b 2 + ρ w ⋅ H 2 = 0 6 2 6 Po przekształceniach otrzymujemy: b≥ 1 1 3 ρ w H 13 − ρ w H 2 6 6 1 ρH 0 2 Zadanie 2. zN Rozwiązanie: Siła naporu wynosi gdzie zc = h po podstawieniu otrzymujemy: N = ρ ⋅g ⋅h N = ρ ⋅ g ⋅ zc ⋅ F F= πd 2 4 πd 2 4 Położenie środka naporu 31 . d. Środek ciężkości zanurzony jest na głębokości h...18 Obliczyć siłę naporu i współrzędne środka naporu cieczy o gęstości ρ na powierzchnię koła o średnicy d umieszczonego w pionowej ścianie zbiornika.. Dane: ρ.z N1 = zc1 + J xc 1 2 = H1 + = H1 1 zc1 ⋅ F1 2 H1 ⋅ H ⋅ L 3 2 3 LH1 12 zN 2 = 2 H2 3 Podstawiając wyrażenia na wartości naporów i współrzędne przyłożenia sił do równania momentów względem punktu A można wyznaczyć szerokość ściany b: ∑M − A =0 ⇒ b = ...... 78) Znaleźć współrzędne środka parcia dla dowolnego wielokąta foremnego o boku a.20 (poz. zad. R.4. r. zad. 61. str.2. Siłę naporu wyznaczamy z ciężaru pozornej objętości cieczy zawartej między powierzchnią kopuły i płaszczyzną poziomą przechodzącą przez powierzchnię zwierciadła cieczy: N = ρ ⋅ g ⋅V Pozorna objętość cieczy zawartej nad kopułą wynosi: 14 3 V = πr 2 H − πr 23 Siła naporu wynosi: 1 4 3 2 2 N = ρ ⋅ g πr 2 H − πr = ρ ⋅ g πr 2 H − πr 3 = ρ ⋅ g ⋅ πr 2 H − r 23 3 3 Zadanie 2.2. zN = zc ⋅ F zc ⋅ F gdzie: 2 J x = J xc + z c ⋅ F .z N = zc + J xc zc F zN = h + 4 d2 64 = h + 4πd =h+ 16h 64hπd 2 πd 2 h 4 πd 2 Zadanie 2. 36) Wyznaczyć parcie cieczy na półkulistą kopułę przedstawioną na rysunku.moment bezwładności powierzchni wielokąta względem osi x J xc . jeżeli jest znany promień koła wpisanego r lub opisanego R oraz głębokość zanurzenia środka ciężkości zs.19 (poz. bibl. H Wyznaczyć: N Rozwiązanie: Ze względu na symetrię kopuły występuje tylko parcie pionowe skierowane do góry. Dane: r. [8]. Dane: a. zc Wyznaczyć: zN Rozwiązanie: Głębokość zanurzenia środka parcia wynosi: J xc Jx = zc + .moment bezwładności względem osi xc Moment bezwładności względem osi xc ma następującą postać: F 2 J xc = a + 12 ⋅ r 2 48 ( ) 32 . [3]. str. bibl. [8].moment bezwładności przepustnicy (koła) względem osi 0 64 M x = F ⋅ z c . dla którego r = R. Gdy zc= r wówczas otrzymuje się: 5 zN = r 4 z N = zc + Zadanie 2. na którą działa w środku parcia (punkt SN) parcie N. str. czyli odległość środka parcia od zwierciadła wody. która odcina przepływ wody. gdy a = 0. Moment obrotowy wynosi: M = N (z N − zc ) Odległość zN. pomijając opory tarcia mechanicznego. Dane: d Wyznaczyć: M Rozwiązanie: Przepustnica przedstawia sobą płaską prostopadłą płytę kołową. że parcie N wynosi: N = ρ ⋅ g ⋅ zc ⋅ F = ρ ⋅ g ⋅ M x i podstawiając odpowiednie wartości otrzymuje się: 33 Jx J = z c + xc Mx Mx J xc = π ⋅d4 .F 6 ⋅ R2 − a2 48 Podstawiając otrzymuje się: J xc = ( ) ( ) ( ) F 2 a + 12 ⋅ r 2 1 z N = z c + 48 = zs + a 2 + 12 ⋅ r 2 F ⋅ zc 48 ⋅ z c F 6 ⋅ R2 + a2 1 24 z N = zc + = zs + 6 ⋅ R2 + a2 F ⋅ zc 24 ⋅ z c W przypadku szczególnym. Uwzględniając. przechodzącej przez najwyżej położony punkt płaszczyzny styku przepustnicy z wodą. wynosi: zN = gdzie: . zad. 88) W rurociągu o średnicy d znajduje się przepustnica obrotowa (oś obrotu 0).21 (poz.moment statyczny koła względem osi x. otrzymuje się z obu powyższych wzorów takie samo wyrażenie: r2 z N = zc + 4 ⋅ zc ( ) ( ) R2 4 ⋅ zc gdyż wtedy wielokąt przekształca się w koło. bibl. 66. Obliczyć moment M potrzebny do otwarcia przepustnicy. str. 38) Lekki tłok o średnicy D. połączonych odcinkiem stożkowym.23 (poz. h. powyżej – wodą. [7].27. H D/d = 6 Wyznaczyć: h/H Rozwiązanie: Rozpatrujemy warunek równowagi tłoka. Dane: D. Otrzymujemy: H H H 6 = 5 + 1 ⇒ =5 h h h ( )( ) H h i podstawiamy (D d ) 2 Zadanie 2. które napełniono dwoma cieczami: do poziomu osi sworznia rtęcią.2. J M = N ( z N − z c ) = ρ ⋅ g ⋅ M x z c + xc − z c = ρ ⋅ g ⋅ J x c Mx Zadanie 2.22 (poz. która stanowi jedno ramię naczynia połączonego. może przemieszczać się pionowo (bez tarcia) w rurze o średnicy d. wykonany z blachy. zad. jeżeli D/d = 6 . Z drugiej strony na sworzeń nasunięto naczynie B. Jeżeli pominąć jego ciężar własny oraz tarcie w prowadnicy. Obliczyć. przy jakim stosunku h/H ustali się równowaga. zad. bibl.2.28. wysokości h. a ciężar tłoka można pominąć. d d h = 6 . to równowaga tłoka zachodzi pod działaniem dwóch naporów: π ⋅ D2 (zwrócony w górę) • Na denko górne N g = γ ⋅ H 4 π ⋅ (D 2 − d 2 ) • na denko dolne N d = γ ⋅ ( H + h) (w dół) 4 Warunek równowagi N g = N d przyjmuje postać: HD 2 = H + h ⋅ D 2 − d 2 Dzielimy go obustronnie przez hּd2 2 2 D D H = + 1 − 1 . [7]. Po napełnieniu tłoka i rur cieczą. str. Jaki warunek musi być spełniony aby naczynie pozostawało w równowadze? 34 . Prawy koniec sworznia jest sztywno utwierdzony. 38) Sworzeń A składa się z dwóch odcinków walcowych o średnicach d i D. jego równowaga ustaliła się przy pewnej różnicy poziomów H. bibl. d. A więc: 35 . zwilżoną rtęcią (Nd). Napory na te ściany nie będą więc jednakowe i powstanie pewna wypadkowa siła pozioma. że parcie na dolną powierzchnię o łuku BCD jest skierowane do dołu. czyli: N d = (γ w H − γ r h )F Podstawiając powyższe do wzoru (1). Zbiornik jest napełniony do wysokości h = 4 m. H. otrzymamy: γ 1 N = w 3πH D 2 − d 2 − 2 D 3 − d 3 + 3πγ w H D 2 − d 2 − 2γ r D 3 − d 3 24 24 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] Zadanie 2. Dla równowagi naczynia trzeba do niego przyłożyć siłę przeciwną (pomijamy tu tarcie ścian naczynia o sworzeń). Jej moduł równa się naporowi na pierścień kołowy o średnicach D i d. γr Wyznaczyć: warunek równowagi Rozwiązanie: Na lewej ściance naczynia (z mniejszym otworem) zwilżona jest większa część powierzchni niż na ściance prawej. A więc: r N x = ρ ⋅ g ⋅ z c ⋅ Fx = ρ ⋅ g h − r ⋅ l 2 1 N x = 1000 ⋅ 9.81 ⋅ 4 − ⋅ 1 ⋅ 6 = 206000 N 2 Składowa pionowa parcia Nz równa się ciężarowi słupa wody o przekroju ABCDFGA i długości l. bibl. gdzie otwór jest większy. gdzie Fx jest rzutem górnej jednej czwartej powierzchni walca na płaszczyznę pionową. d. więc napór na nią jest sumą naporów na górną połowę. a na górną powierzchnię o łuku DF – do góry.24 (poz. 102) Znaleźć parcie wody na powierzchnię zakrzywioną w postaci trzech czwartych bocznej powierzchni walca o promieniu r = 1 m i długości tworzącej l = 6 m. Dane: r=1m l=6m h=4m Wyznaczyć: N Rozwiązanie: Składowa pozioma parcia Nx równa się parciu na powierzchnię Fx. zwilżoną wodą (Ng) oraz dolną połowę. [8]. bowiem składowe poziome na dolne powierzchnie walca znoszą się. 8 a jej środek ciężkości SC oddalony jest od płaszczyzny granicznej o: 2 D3 − d 3 h= 3π D 2 − d 2 Napór wody na górną połowę pierścienia: N g = γ w (H − h )F ( ) Napór na dolną połowę wynika z ciśnienia hydrostatycznego całego słupa wody (o wysokości H) oraz słupa rtęci (o wysokości h). Powierzchnia zwilżona jest wodą i rtęcią. str. Siła przyłożona do naczynia wynosi: (1) N = N g + Nd Każda połowa pierścienia ma pole: π F = D2 − d 2 . Ten słup wody jest różnicą słupów o przekroju ABCDEA i DEGF. zad. 77. γw. Różnica ta wynika stąd. usiłująca przesunąć naczynie po sworzniu w lewo.Dane: D. b Wyznaczyć: AO/OB Rozwiązanie: Oś obrotu klapy powinna przechodzić przez środek naporu. str.25 (poz. Dane: a. W jakim miejscu należy umieścić poziomą oś 0 obrotu klapy.32. 39) W pochyłym dnie basenu znajduje się prostokątny otwór zamykany klapą AB. Zadanie 2. osadzony obrotowo. bo wtedy moment naporu względem osi równa się zeru. że oś obrotu trzeba umieścić poniżej środka ciężkości o 2 ∆ = i xc y c (mierząc w płaszczyźnie klapy). Uwzględniając wzór (odległość środka naporu od lustra wody): 2 Jx ixc yN = = yc + F ⋅ yc yc dochodzimy do wniosku. 3 N z = ρ ⋅ g ⋅ V ABCDFGA = ρ ⋅ g π ⋅ r 2 + h ⋅ r l 4 3 N z = 1000 ⋅ 9. Obliczenia wykonamy dla wycinka klapy o długości jednostkowej w kierunku osi obrotu. a moment obrotowy potrzebny do otwarcia klapy wynika tylko z tarcia w łożyskach. Wobec tego rozważana figura jest prostokątem o bokach a × 1 . Ponieważ: 1 2 a a a2 2 12 yc = b + ∆= przeto i xc = 1 12 2 b+ a 2 Zgodnie z powyższymi uwagami oś obrotu powinna dzielić wysokość klapy w stosunku: 1 a−∆ A0 2 = 0B 1 a + ∆ 2 Podstawiając i przekształcając otrzymujemy: A0 a − 3b = 0 B 2a + 3b 36 . [7]. zad. aby otwieranie jej wymagało użycia jak najmniejszego momentu obrotowego? Dane są długości odcinków a i b.2.81 ⋅ π ⋅ 12 + 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 374000 N 4 Parcie wypadkowe wynosi: 2 2 N = N x + N z = 206000 2 + 374000 2 = 426000 N Parcie N musi oczywiście przechodzić przez oś walca (punkt O). bibl. Rozkład ciśnień określa rozwiązanie równania: dp = − ρ ⋅ (a ⋅ dx + g ⋅ dz ) . Ich składowe w przyjętym układzie współrzędnych są: X = −a . Z = −g Zatem równanie różniczkowe powierzchni ekwipotencjalnej ma postać: − a ⋅ dx − g ⋅ dz = 0 Po scałkowaniu otrzymamy: a⋅x+ g⋅z =C.2. płaszczyzną nachyloną do poziomu pod kątem α. [3].1.a. str. z = h. Wyznaczyć kształt powierzchni swobodnej cieczy w zbiorniku oraz określić rozkład ciśnień. Jedną z powierzchni ekwipotencjalnych jest powierzchnia swobodna będąca. tj. bibl. h Wyznaczyć: α.26 (poz.Zadanie 2. a wiec układem powierzchni ekwipotencjalnych jest układ płaszczyzn tworzących z osią x kąt α taki. dla punktu powierzchni swobodnej leżącego na osi z. jak widać z obliczeń. zad. 26) Zbiornik wypełniony cieczą porusza się ruchem prostoliniowym ze stałym przyspieszeniem po poziomej płaszczyźnie. Y = 0. 37 . g. Dane: a.2. że: dz a =− tg α = dx g Znak minus wynika tutaj z orientacji przyjętego układu współrzędnych. zatem: p = pa − ρ ⋅ [a ⋅ x + g ⋅ ( z − h)] Tutaj stałą całkowania wyznaczono z warunku p = pa dla x = 0. p Rozwiązanie: Na dowolną cząstkę cieczy w zbiorniku działają siły masowe: jednostkowa siła ciężkości g i jednostkowa siłą bezwładności . 2.2. 16) Przez przewód prostoosiowy. są przesunięte względem siebie o H = 2 m. Odpowiedź: ∆p = 0. bibl. zad. str. ρm = 13500 kg/m3.6. Obliczyć wartość ∆p = p1 – p2 w przypadku. str.8 m.ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA Zadanie 2. zad.5. [6].2.29 (poz.1. przepływa woda.1. [6]. str.25 kPa 38 . 17) Obliczyć różnicę ciśnień (w milimetrach słupa wody) pomiędzy dwoma przekrojami rurociągu. Odpowiedź: ∆h1-2 = 22. Odległość osi dolnego rurociągu od niżej położonej płaszczyzny rozdziału cieczy wynosi h1 = 0.4. zad. Odpowiedź: ∆p = 77.30 (poz. str.4 mmH2O Zadanie 2. jeśli podłączony do nich manometr rtęciowy wskazuje różnicę poziomów h = 0.2. Przyjąć ρw = 1000 kg/m3. Do pomiaru różnicy ciśnień ∆p użyto manometru rtęciowego. którego gęstość ρ0 = 860 kg/m3. Obliczyć różnicę ciśnień panujących w rurociągach.143 MPa Zadanie 2.5 m. Do otworów woda o gęstości ρw piezometrycznych w rurociągu podłączono manometr różnicowy wypełniony wodą i olejem. [6]. Różnica poziomów pomiędzy powierzchniami rozdziału cieczy ∆h = 160 mm. 18) Dwa przewody. z których jednym płynie olej o gęstości ρ = 815 kg/m3 a drugim woda. [6]. bibl. bibl. bibl. jaka ustaliła się w manometrze U-rurkowym.28 (poz.1. zad. gdy różnica wysokości H pomiędzy otworami piezometrycznymi wynosi 2 m. nachylony do poziomu odniesienia O-O. 16) Obliczyć różnicę wysokości h0 – h1 cieczy. a wysokość słupa rtęci w manometrze h = 1 m. przez który płynie = 1000 kg/m3.2. p − p0 Odpowiedź: h0 − h1 = 1 ρ⋅g Zadanie 2.1. jeżeli w poszczególnych ramionach działają ciśnienia p0 i p1.27 (poz. zad.35 (poz. [6]. str. str. 45) Jaką siłę P2 można wywołać w ręcznej prasie hydraulicznej przy pomocy siły P = 245 N.2. dla jakich wartości h1 i h2 układ tłoków pozostanie w stanie równowagi ? Odpowiedź: h1 = 0. określić nadciśnienie ∆p = p – pa dla danych: ρ0 = 860 kg/m3. h3 = 2.2.8 m2 i F3 = 0.4 m2.81 m/s2. jeżeli ciężar tłoka o średnicy D równa się G. by zaistniała równowaga. str. Obliczyć wartość siły P jaką należy przyłożyć do końca dźwigni. zad.31 (poz.11.32 (poz.6 m2. h7 = 2. 19) Na podstawie wskazań manometrów cieczowych.1.8. 37. zad. h2 = 0.2.5 m. d = 40 mm.Zadanie 2.34 (poz. zad. P2 = 2 kN oraz P3 = 3 kN. F2 = 0. podłączonych szeregowo do zbiornika wypełnionego olejem napędowym.3. obciążone odpowiednio siłami: P1 = 1 kN. 26) Wyznaczyć napór hydrostatyczny oraz określić współrzędne środka naporu SN dla ściany pionowej o kształcie i wymiarach jak na rysunku: a) b) c) 39 . [6]. bibl. 20) Trzy tłoki o powierzchniach: F1 = 0.1. [8]. str. 23) W ręcznej pompie do tłoczenia cieczy znajdują się dwa tłoki o średnicach odpowiednio D i d połączone dźwignią ABC i spoczywające na powierzchni cieczy wypełniającej połączone naczynia cylindryczne.5.3. bibl.33 (poz. G⋅a⋅d 2 Odpowiedź: P = b D2 + d 2 + D2 ⋅ a ( ) Zadanie 2. str. [6]. h5 = 3 m.51 m Zadanie 2.5 m. h6 = 1 m. bibl. jeżeli a = 600 mm. g = 9. h1 = 5 m. [3].2. bibl. Określić. Odpowiedź: P2 = 144060 N Zadanie 2. ρw = 1000 kg/m3. h2 = 2 m. h4 = 1 m.1.085 m. D = 280 mm? Pominąć ciężary tłoków i siły tarcia. bibl. zad. Odpowiedź: ∆p = p – pa = 474 kPa Zadanie 2. b = 50 mm. ρm = 13600 kg/m3. działają na wodę o gęstości ρ = 1000 kg/m3. Średnice i wysokości wynoszą odpowiednio d1.3. bibl.795 m Zadanie 2. a wysokość poziomu cieczy w zbiorniku – H. Odpowiedź: P1 = 4 π ⋅ d 2 4 P2 = 2 π ⋅ d2 4 ⋅ P 4 + ρ ⋅ g ⋅ (h1 + h2 ) . 4 . str. 26) Na jaką głębokość H należy zanurzyć płaską ścianę w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie a i wysokości h = 6 m.6.38 (poz. Wyznaczyć wielkość naporu hydrostatycznego wywieranego na klapę. [6].Odpowiedź: a) N = γ ⋅b ⋅ H 2 2 γ ⋅π ⋅ d 2 c) N = .2. a) b) π ⋅R R Odpowiedź: a) N = γ ⋅ R ⋅ L H − + H − . b) N = γ ⋅ H ⋅ a 2 .2. 29) Zbiornik wodny zamknięto klapą obrotową w kształcie czwartej części walca o promieniu R i długości L (mierzonej prostopadle do płaszczyzny rysunku). d2 i h1. 2 2 π ⋅ d1 4 ⋅ P π ⋅ d2 + ρ ⋅ g ⋅ h1 + ⋅ ρ ⋅ g ⋅ h2 . str. 30. [6].36 (poz. zad. π ⋅d2 Zadanie 2. 37) Znaleźć siły P1 i P2 przenoszone przez śruby kołnierza większego i mniejszego w zbiorniku cylindrycznym wypełnionym cieczą o gęstości ρ.37 (poz. bibl. h2. 12 ⋅ H Zadanie 2. 2 H . zad.3. 3 17 zN = D 16 zN = zN = H + a2 . zad. 2 4 π ⋅R R b) N = γ ⋅ R ⋅ L H − + H − R + 2 4 2 2 2 2 40 . aby środek naporu znajdował się w odległości b = 10 m od zwierciadła cieczy? Odpowiedź: H = 7. str. Przyjąć ciężar właściwy wody równy γ. dla dwóch przypadków przedstawionych na rysunkach.18. bibl. [8]. jeżeli na ciecz działa dodatkowo tłok o średnicy d obciążony siłą P. bibl.4. 37) Stożkowy zawór przelewowy o wysokości h. [8]. [3]. 37) Naczynie półkoliste o średnicy D napełniono całkowicie cieczą i przykryto płytą szklaną.2. Kiedy śruby zaczną przenosić siły rozciągające od parcia cieczy i jaka jest wartość tych sił? Odpowiedź: Prozc = π 12 2 2 ρ ⋅ g ⋅ h 2 ⋅ d 2 − d1 ⋅ d 2 − d1 − G ( ) Zadanie 2.2. Obliczyć siłę P potrzebną do otwarcia zaworu jeżeli zbiornik wypełniono do wysokości H cieczą o gęstości ρ.42 (poz. mający półkuliste wybranie o średnicy d. bibl. [6].39 (poz.2. Obliczyć głębokość zanurzenia środka naporu. zamyka przepływ wody między komorami zbiornika. stojącego pod kątem α do poziomu. zad. wysokości h i ciężarze G jest dołem uszczelniona i przytwierdzona śrubami do podłoża.31. jaki może zapobiec podniesieniu go przez parcie zawartej w nim cieczy. Tak utworzony zbiornik jest napełniony całkowicie cieczą o gęstości ρ. str. Gęstość materiału którego wykonano stożek przyjąć równą ρ1.3. [6]. zad. zamykany zaworem w kształcie stożka o średnicy D = 2d i wysokości h.4. 4G D2 h 1 + 2 H − + d 2 3 3 π ⋅d ⋅ρ ⋅ g d Odpowiedź: z ≥ Zadanie 2. 39) Obliczyć napór na dno walcowego zbiornika o promieniu podstawy r. r2 Odpowiedź: N = γ ⋅ πr 2 h0 cos α .40 (poz. Naczynie odwrócono i położono na płaskiej poziomej powierzchni. średnicy podstawy D i ciężarze G. 1 Odpowiedź: P = π ⋅ D 2 ⋅ g [(6 H − 7 h )ρ + 8h ⋅ ρ1 ] 96 Zadanie 2. Gdy zbiornik stoi pionowo. bibl. str. zad. 73. Wyznaczyć wysokość napełnienia z lewej części zbiornika. [7]. Należy wyznaczyć ciężar Q naczynia. bibl.2. zad. bibl. str. dla której nastąpi otwarcie zaworu. str.4. Odpowiedź: Q ≥ ρ ⋅ g πD 3 24 Zadanie 2.Zadanie 2.41 (poz.43 (poz.7. 96) Powierzchnia boczna blaszanego stożka o średnicy podstaw d1 i d2. str.14. zad. z N = h0 1 + 2 tg 2α cos α 4h 0 41 . poziom cieczy wynosi h0. 28) W dnie zbiornika wykonano otwór o średnicy d.