Movimiento Vibratorio Amortiguado Una situación más verosímil se corresponde con la presencia de una fuerza adicional que frenael movimiento. Esa fuerza puede ser constante (pero siempre con signo tal que frene el movimiento). Es el caso de rozamientos secos: la fuerza no depende ni de la velocidad ni de la posición. Otra situación que se produce en la realidad es que la fuerza sea proporcional a la velocidad elevada a una potencia, entera o no. Así sucede cuando la fuerza que frena proviene de la viscosidad o de las pérdidas aerodinámicas. Se tratará únicamente el caso más simple, es decir, cuando la fuerza sea proporcional a la velocidad. En este caso la fuerza será: Donde es un coeficiente que mide el amortiguamiento debido a la viscosidad. Si es pequeño, el sistema está poco amortiguado. Nótese el signo negativo que indica, como antes, que si la velocidad es positiva, la fuerza tiene la dirección opuesta a la velocidad. Con este término complementario la ecuación diferencial del sistema es: Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden (contiene derivadas segundas) y homogénea (no hay término independiente de ). Tiene tres tipos de soluciones según el valor de : 1 Si el sistema está sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico) Si el sistema tiene amortiguamiento crítico. Si el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o subcrítico) Movimiento Vibratorio Sobreamortiguado En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma: Donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo que no hay oscilación): y y dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema para ). La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera asintótica. Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes de tiempo diferentes. Una es pequeña y corresponde a la rápida cancelación del efecto de la velocidad inicial. La segunda es más grande y describe la lenta tendencia hacia la posición de equilibrio. Movimiento Vibratorio con amortiguamiento crítico Este caso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando La solución única es: como antes, y son constantes que dependen de las condiciones iniciales. El amortiguamiento crítico corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación de equilibrio cuando no sobrepasa esa posición. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca más rápidamente a la posición de equilibrio, pero sobrepasando la posición oscila en torno a ese punto (tomando valores positivos y negativos). Movimiento Vibratorio con amortiguamiento débil En este caso, que es más interesante, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posición de equilibrio con amplitud decreciente. Sucede cuando: La solución es: como antes, y La pulsación es: son constantes que dependen de las condiciones iniciales. La pulsación del sistema amortiguado es un poco menor que la pulsación del sistema no amortiguado porque la fuerza que lo amortigua, frena la masa y la retarda. La oscilación del sistema está descrita por una sinusoide de frecuencia cuya amplitud está multiplicada exponencial decreciente cuya constante de tiempo es . por una Factor de calidad Q En un sistema poco amortiguado es interesante de definir el factor de calidad (Quality factor en inglés) o simplemente Q como: esta cantidad es igual a veces el inverso de las pérdidas relativas de energía por período. Así, un sistema que pierde 1% de energía a cada ciclo, tendrá un Q de 628. Más interesante, Q es también veces el número de oscilaciones que el sistema hace mientras su amplitud se divide por un factor . Si se puede aceptar una aproximación más grosera, Q es 3 veces el número de oscilaciones que un sistema hace mientras su amplitud cae a 1/3 de la amplitud inicial. Como ejemplos, el Q de un vehículo con los amortiguadores en buen estado es un poco más grande que 1. El Q de una cuerda de guitarra es de varios miles. El Q de los cristales de cuarzo utilizados en electrónica como referencia de frecuencia es el orden de 1 millón. Una copa de vidrio ordinario tiene un Q mucho más pequeño que una copa de vidrio de plomo (cristal). Ejemplo: Circuito LC con pérdidas Circuito LC con pérdidas. La resistencia da cuenta de todas la perdidas posibles. El esquema de la derecha representa un circuito oscilante LC con pérdidas. Las pérdidas están representadas por las pérdidas en una resistencia. En un circuito real, las pérdidas provienen de resistencias en serie como la dibujada. Dichas resistencias pueden estar en el exterior de la inductancia o del condensador, pero también pueden ser resistencias internas de esos componentes. También puede haber resistencias en paralelo, perdidas en el dieléctrico del condensador o en el núcleo de la bobina (si es ferromagnético). También puede haber pérdidas por radiación de ondas electromagnéticas. La resistencia hará que la tensión sobre la bobina sea diferente de la tensión sobre el condensador. La corriente creada será menor que si no hubiese habido pérdidas y cuando la corriente cargue de nuevo el condensador, la tensión a la cual llegará será menor. Por su parte, la amplitud disminuirá y tenderá hacia cero. La ecuación del nuevo sistema es: La ecuación es la misma que la de una masa con un resorte y con un amortiguador. Esta vez es el equivalente del coeficiente de rozamiento . La solución es: con y donde es la frecuencia propia del circuito (sin pérdidas). Movimiento Vibratorio Reforzado Podemos iniciar el movimiento un oscilador armónico desplazándolo de su posición de equilibrio y abandonándolo a su oscilación libre (ver párrafos precedentes). Alternativamente, podemos aplicarle una fuerza cuya intensidad varíe de manera sinusoidal con el tiempo. En esta situación, la ecuación diferencial lineal es inhomogénea. La solución a este tipo de ecuación está formada por dos términos: la solución general del sistema homogéneo más una solución particular del caso inhomogéneo.2 Por tanto, la solución está formada por dos partes, una parte transitoria (que se anula pasado cierto tiempo), similar a las que vimos en los párrafos precedentes, más una parte estacionaria. La solución de la parte transitoria es la misma la que ya hemos visto (ecuación homogénea). Las únicas diferencias son las condiciones iniciales y finales, que no son idénticas. Vamos a interesarnos a la solución estacionaria. En la ecuación diferencial del sistema hay que añadir la fuerza sinusoidal: Para resolver esta ecuación es más interesante utilizar el mismo método que en electricidad y electrónica. Para ello, se añade a la fuerza real una fuerza imaginaria . Como en electrónica, se utiliza en lugar de i. Ahora la ecuación a resolver es: Pero por supuesto, como en electricidad, sólo la parte real de y será de interés. La solución es inmediata: Si se deriva esta expresión y se sustituye en la ecuación diferencial, se encuentra el valor de A: Pero A puede escribirse como y la solución de compleja es: El valor de real es la parte real de la expresión precedente: donde es el módulo de y su argumento: Como en electricidad, el ángulo da el desfase del movimiento con respecto a la fuerza externa. Si es positivo, el movimiento está en avance de fase y si es negativo el movimiento está en retardo de fase. En este caso el desfase será siempre negativo. Ejemplo: Oscilaciones forzadas de un circuito LC con pérdidas Circuito LRC atacado por un generador sinusoidal. El esquema muestra un generador conectado a un circuito LC en serie. Si la tensión del generador es , la ecuación es: La expresión se puede reescribir, dándole un aspecto similar a las formas precedentes: Como en el ejemplo mecánico, en régimen estacionario la solución es: Donde Y y son los mismos que en el párrafo precedente. La amplitud de la tensión de salida es máxima a la resonancia (cuando ) y vale veces la tensión de entrada