INDICEIntroducción ………………………………………………………………….. 2 Objetivos ………………………………………………………………….. 3 Página | 1 Movimiento curvilíneo y ejemplos………………………4-23 Movimiento curvilíneo aplicación en la ingeniería civil……24 Bibliografía…………………………………………………...25 Página | 2 INTRODUCCION Se conoce como movimiento curvilíneo es aquel movimiento que es parabólico, oscilatorio o circular. Cuando se conoce la trayectoria a lo largo de la cual viaja una partícula, es conveniente describir el movimiento por medio de los ejes de coordenadas n y t, los cuales actúan de manera normal y tangente a la trayectoria, respectivamente, y en el instante considerado tienen su origen localizado en la partícula. Considerando una partícula que se desplaza en un plano a lo largo de una curva fija, en un instante dado esta estará en la posición s, medida con respecto al punto O. Considere un sistema de coordenadas con su origen en un punto fijo de la curva, y en el instante considerado este origen coincide con la ubicación de la partícula. El eje t es tangente a la curva en el punto y es positivo en la dirección de s creciente. El eje normal n es perpendicular al eje t con su sentido positivo dirigido hacia el centro de curvatura. El plano que contiene los ejes n y t se conoce como plano abrazador u oscilante y en este caso está fijo en el plano del movimiento OBJETIVOS -Analizar las características del movimiento curvilíneo. -Interpretar el movimiento curvilíneo. Página | 3 -Conocer las definiciones y comprender el significado de las magnitudes que describen el movimiento curvilíneo. - comprobar el buen uso de las magnitudes vectoriales en la descripción del movimiento curvilíneo. -Conocer el concepto de composición de movimientos y saberlo aplicar, en la descripción de un movimiento curvilíneo. MOVIMIENTO CURVILÍNEO Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY, Situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son: Página | 4 Vector posición r en un instante t. Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'. Diremos que el móvil se ha desplazado Dr=r’-r en el intervalo de tiempo Dt=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'. Vector velocidad El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento Dr y el tiempo que ha empleado en desplazarse Dt. El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P1 cuando se calcula la velocidad media <v1> entre los instantes t y t1. El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Página | 5 Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P. En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto. Vector aceleración En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto. En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'. El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia Dv=v’-v. Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad Dv y el intervalo de tiempo Dt=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio. Y la aceleración a en un instante Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son Página | 6 La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z. Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados. Ejemplo 1: Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1 m. Calcular: Las componentes de la velocidad en cualquier instante. vx=6t2-6t m/s vy=2t-2 m/s Las componentes de la aceleración en cualquier instante. ax=12t m/s2 ay=2 m/s2 Ejemplo 2: Un punto se mueve en el plano de tal forma que las componentes rectangulares de la velocidad en función del tiempo vienen dadas por las expresiones: vx=4t3+4t, vy=4t m/s. Si en el instante inicial t0=0 s, el móvil se encontraba en la posición x0=1, y0=2 m. Calcular: Las componentes de la aceleración en cualquier instante · Las coordenadas x e y, del móvil, en función del tiempo. Dada la velocidad vx=4t3+4t del móvil, el desplazamiento x-1 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral x=t4+2t2+1 m Página | 7 Dada la velocidad vy=4t del móvil, el desplazamiento y-2 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral y=2t2+2 m Ejemplo 3: Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. Calcular: La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo. 1. Primero, se establece el origen en el punto del lanzamiento y los ejes X e Y apuntando hacia arriba. 2. Se determinan los signos de las velocidades iniciales v0x=0 y v0y=20 y de la aceleración ay=-10. 3. Se escriben las ecuaciones del movimiento Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X ax=2 vx=2t x=2t2/2 Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y (movimiento de caída de los cuerpos) ay=-10 vy=20+(-10)t y=20t+(-10)t2/2 1. El punto de impacto tiene de coordenadas x desconocida e y=-50 m. Dado y se obtiene el valor de t y luego el valor de x. Página | 8 y=-50 m t=1.74 s x=3.03 m 2. La altura máxima se obtiene cuando la velocidad vertical es cero vy=0 m/s t=2 s y=20 m La altura desde el suelo es 20+50=70 m. 3. El móvil se encuentra en dos instantes a 60 m de altura sobre el suelo (10 sobre el origen), ya que su trayectoria corta en dos puntos a la recta horizontal y=10 m. La ecuación de segundo grado tiene dos raíces 10=20t+(-10)t2/2 t1=0.59 s y t2=3.41 s. Componentes tangencial y normal de la aceleración Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma. Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un simple problema de geometría, tal como se ve en la figura. Página | 9 Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y. Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia. Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial. Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal. Se determina el ángulo q entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: at=a cosq y an=a senq Ejemplo: El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t- 2)i+(6t2-5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante. 1. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleración vx =3t-2 m/s, ax=3 m/s2 vy=6t2-5 m/s, ay=12t m/s2 2. Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son vx =4 m/s, ax=3 m/s2 vy=19 m/s, ay=24 m/s2 3. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración Página | 10 4. Calculamos el ángulo q que forman el vector velocidad y el vector aceleración Por el producto escalar: v·a=v·a·cosq Calculando el ángulo que forma cada vector con el eje X, y restando ambos ángulos 5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración at=a·cosq =24.1 m/s2 an=a·senq=2.0 m/s2 Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v. v·a=va·cosθ=v·at La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleración tangencial at Radio de curvatura Página | 11 En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cualesquiera en el instante t. Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante t, la dirección del vector velocidadv+dv en el instante t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t, y el centro de curvatura C es el radio de curvatura ρ. En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la dirección del vector velocidad cambia un ángulo dθ. que es el ángulo entre las tangentes o entre las normales. El móvil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=ρ·dθ, tal como se aprecia en la figura. Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario que tenga su misma dirección y sentidout=v/v. La derivada de un producto se compone de la suma de dos términos El primer término, tiene la dirección de la velocidad o del vector unitario ut, es la componente tangencial de la aceleración El segundo término, vamos a demostrar que tiene la dirección normal un. Como vemos en la figura las componentes del vector unitario ut son ut=cosθ·i+senθ·j Su derivada es El vector aceleración es Página | 12 Las componentes tangencial y normal de la aceleración valen, respectivamente Esta última fórmula, la obtuvimos de una forma más simple para una partícula que describía un movimiento circular uniforme. Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleración siempre que cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad o ambas cosas a la vez. Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración tangencial. Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal. Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración normal.. MOVIMIENTO CURVILINEO UNIFORME En física, el movimiento circular uniforme (también denominado movimiento uniformemente circular) describe el movimiento de un cuerpo atravesando, con rapidez constante, una trayectoria circular. Aunque la rapidez del objeto es constante, su velocidad no lo es: La velocidad, Página | 13 una magnitud vectorial, tangente a la trayectoria, en cada instante cambia de dirección. Esta circunstancia implica la existencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección. Características del Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.) Algunas de las prinicipales características del movimiento circular uniforme (m.c.u.) son las siguientes: 1. La velocidad angular es constante (ω = cte) 2. El vector velocidad es tangente en cada punto a la trayectoria y su sentido es el del movimiento. Esto implica que el movimiento cuenta con aceleración normal 3. Tanto la aceleración angular (α) como la aceleración tangencial (at) son nulas, ya que que la rapidez o celeridad (módulo del vector velocidad) es constante 4. Existe un periodo (T), que es el tiempo que el cuerpo emplea en dar una vuelta completa. Esto implica que las características del movimiento son las mismas cada T segundos. La expresión para el cálculo del periodo es T=2π/ω y es sólo válida en el caso de los movimientos circulares uniformes (m.c.u.) 5. Existe una frecuencia (f), que es el número de vueltas que da el cuerpo en un segundo. Su valor es el inverso del periodo Cinemática del MCU en mecánica clásica 1. Ángulo y velocidad angular El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio. La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene radianes. La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo: Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático. Posición Página | 14 Se considera un sistema de referencia en el plano xy, con vectores unitariosen la dirección de estos ejes . La posición de la partícula en función del ángulo de giro y del radio r es en un sistema de referencia cartesianox,y: De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es: siendo: : es el vector de posición de la partícula. : es el radio de la trayectoria. Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (ω): El ángulo (φ), debe medirse en radianes: donde s es la longitud del arco de circunferencia Según esta definición: 1 vuelta = 360° = 2 π radianes ½ vuelta = 180° = π radianes ¼ de vuelta = 90° = π /2 radianes 2. Velocidad tangencial La velocidad se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación tangencial: La relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial es: Página | 15 El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar y comprobando que es nulo. 3. Aceleración La aceleración se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: de modo que Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta. El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad de la partícula, ya que, en virtud de la relación , resulta Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve con rapidez constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia. 4. Movimiento circular y movimiento armónico En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones: El momento angular puede calcularse como: De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares. 5. Período y frecuencia Página | 16 El periodo representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por: La frecuencia mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por: Por consiguiente, la frecuencia es la inversa del período: 6. Movimiento circular en mecánica relativista Si bien la teoría especial de la relatividad permite que una partícula no cargada esté en movimiento circular uniforme, esto en general no resulta posible para una partícula cargada a la que no se le suministra energía adicional. Esto se debe a que una partícula cargada acelerada emite radicación electromagnética perdiendo energía en ese proceso. Eso es precisamente lo que sucede en un sincrotrón que es un tipo de acelerador de partículas (de hecho la radicación de sincrotón emitida por partículas aceleradas en un anillo puede usarse con fines médicos). Además, en la mecánica relativista el cociente entre la fuerza centrípeta y la aceleración centrípeta, es diferente del cociente entre la fuerza tangencial y la aceleración tangencial. Esto introduce una diferencia fundamental con el caso newtoniano: la aceleración y la fuerza relativistas no son vectores necesariamente paralelos: De la relación anterior, se deduce que la fuerza y la aceleración sólo son paralelas en dos casos: El primer caso se da cuando la aceleración y la velocidad son perpendiculares, cosa que sucede en el movimiento circular uniforme (o helicoidal uniforme). El segundo caso se da en un movimiento rectilíneo. En cualquier otro tipo de movimiento en general la fuerza y la aceleración no serán permanentemente Página | 17 paralelas. 7. Movimiento circular en mecánica cuántica En mecánica cuántica si bien no puede hablarse de trayectoria con precisión pueden ser analizados los estados cuánticos estacionarios de unas partículas que deben moverse a lo largo de un anillo. Los estados estacionarios de una partícula en un anillo son el análogo cuántico del movimiento circular uniforme. Para una partícula moviéndose sobre un anillo con momento angular bien definido la función de onda viene dada por: Puede observarse que la densidad de probabilidad es uniforme, al igual que sucede en el caso clásico. Un hecho interesante es que las predicciones para una partícula cargada, es que esta no tiene porqué emitir fotones, de la misma manera que el electrón orbitante alrededor del núcleo no emite energía, por ser el valor resultante de la aceleración vectorial nula, al ser la distribución simétrica respecto al núcleo atómico. MOVIMIENTO CURVILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO En MCUV el móvil se desplaza sobre una circunferencia variando el módulo tanto de su velocidad angular como tangencial continuamente. Existen una aceleración tangencial y una aceleración angular, que modifican a las velocidades correspondientes. Página | 18 MCUA en mecánica newtoniana Dada la aceleración angular α podemos obtener el la velocidad angular ω mediante la siguiente ecuación: (1) Siendo α la aceleración y ω0 la velocidad inicial. Dada la velocidad angular ω(t) en función del tiempo es sencillo encontrar la evolución de la posición: (2) Formalmente estas fórmulas son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) si bien las implicaciones prácticas pueden ser importantes. Por ejemplo, el MRUA requiere una fuerza centrípeta creciente, por lo que si se construye un sistema que ejecute un MCUA es posible que en algún momento se rebase la capacidad resistente de los materiales usados para construir el sistema. La fuerza total necesaria para sostener el MCUA dado por la ecuación (1) vendrá dada por: donde R es el radio de la trayectoria. MCUA en relatividad En teoría de la relatividad no puede existir un auténtico MCUA indefinidamente ni aun con una fuerza creciente. Esto se debe a que la fuerza en la dirección de la velocidad o fuerza paralela vendría dada por: donde: la velocidad angular. es el radio de la trayectoria. el ángulo entre la velocidad y la aceleración a. la velocidad de la luz. Esta fuerza podría llegar a hacerse infinita en un tiempo finito lo cual es físicamente irrealizable. Aceleración en MCUV Página | 19 Aceleración angular Es la variación de la velocidad angular en el tiempo. Aceleración tangencial Es la variación de la velocidad tangencial en el tiempo. Velocidades en MCUV En MCUV las velocidades angulares y tangenciales no son constantes. Velocidad angular en MCUV Es la diferencia entre el ángulo final e incial, dividida por el tiempo. Se calcula sumando la velocidad angular inicial al producto de la aceleración angular por el tiempo (de manera similar a MRUV cuando se calcula la velocidad final). La ecuación se despeja de la definición de aceleración angular. Velocidad tangencial en MCUV Es la diferencia entre la posición final e inicial, dividida por el tiempo. Se calcula sumando la velocidad tangencial inicial al producto de la aceleración tangencial por el tiempo (de manera similar a MRUV cuando se calcula la velocidad final). En un determinado instante, si tenemos la velocidad angular, la velocidad tangencial se calcula de la misma manera que en MRU: Aceleración angular La aceleración angular en el movimiento circular uniformemente acelerado es constante. Se calcula como el incremento develocidad angular ω desde el instante inicial hasta el final Página | 20 partido por el tiempo. Aceleración tangencial La aceleración tangencial en el movimiento circular uniformemente acelerado MCUA se calcula como el incremento de velocidad v desde el instante inicial hasta el final partido por el tiempo. Aceleración centrípeta La aceleración centrípeta en el MCUA se halla mediante: Componentes intrínsecas de la aceleración La velocidad tangencial por la trayectoria en un punto P es v. En un intervalo de tiempo pequeño Δt, la velocidad incrementa a v’ en el punto P’, después de haber descrito un ángulo Δφ. En la figura se puede ver el incremento de la velocidad tangencial Δv descompuesta en dos componentes: la tangencial Δvt y la normal (o centrípeta) Δvn. Página | 21 Si dividimos ambas componentes de la velocidad por Δt, tendremos las componentes intrínsecas de la aceleración: la aceleración tangencial at y la aceleración normal an (o centrípeta). Período En el MCUA la velocidad angular cambia respecto al tiempo. Por tanto, el período cada vez será menor o mayor según si decrece o crece la velocidad angular. Frecuencia La frecuencia en el caso del MCUA es mayor o menor porque la velocidad angular cambia. La fórmula de la frecuencia será: Ecuación de la posición angular φ=φ0+ω0⋅t+α⋅t22 donde: Página | 22 φ es la posición angular en el instante t. φ0 es la posición angular en el instante inicial. ω0 es la velocidad angular. α es la aceleración angular. Ecuación de la velocidad angular ω=ω0+α⋅t donde: ω es la velocidad angular en el instante t. ω0 es la velocidad angular inicial. α es la aceleración angular. Ecuación de la velocidad lineal v=ω⋅r donde: v es la velocidad lineal. ω es la velocidad angular. r es el radio de la circunferencia. Ecuación de la aceleración normal an=v2r=ω2⋅r donde: an es la aceleración normal v es la velocidad lineal. ω es la velocidad angular. r es el radio de la circunferencia. Ecuación de la aceleración tangencial at=α⋅R donde: Página | 23 at es la aceleración tangencial. α es la aceleración angular. r es el radio de la circunferencia. Ecuación de la aceleración angular α=constante donde: Constante es un valor que no cambia y es distinto de cero. MOVIMIENTO CURVILINEO APLICACIÓN EN LA INGENIERIA CIVIL En efecto, es fácil comprender por qué el movimiento curvilíneo es común en Página | 24 nuestra vida diaria, pues se deriva de la acción de cualquier individuo común, ya sea el lanzamiento de un tejo, el trayecto que experimenta un balón al ser pateado, o el más común de todos y ejemplo de infinidad de textos educativos como el disparo de un proyectil. Es por ello que se enfrenta a la animadversión al estudio de la física, pues se cree que no es aplicable a campos simples y cotidianos, tal vez sea producto de la ejemplificación sosa y repetitiva del mismo prototipo del recorrido de una bala, no obstante es importante concluir que la física en gran medida, si no es en todo, es visible en las distintas actividades humanas, mas aun el movimiento parabólico, el cual se observa en distintos oficios y acciones comunes, sin duda alguna es de comprender que se debe estudiar con mayor detenimiento la importancia y la aplicación de ciertos conocimientos físicos, para el mejoramiento y el análisis de circunstancias cotidianas, que si se toma en cuenta ayudara a alcanzar una mayor practicidad en distintos ámbitos humanos. BIBLIOGRAFIA http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/curvilineo/curvilineo.htm http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problemas/cinematica/curvilineo/curvi lineo.html Página | 25 http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_circular_uniforme http://www.fisicalab.com/apartado/caracteristicas-mcu/avanzado http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_circular_uniformemente_acelerad o