MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEObjetivo • Estudiar cualitativamente el movimiento circular y su tratamiento gráfico. • Diferenciar entre el desplazamiento angular y el desplazamiento a lo largo de la trayectoria así como la relación que existe entre ambos desplazamientos. • Diferenciar entre la velocidad angular y la velocidad lineal, así como la relación que existe entre ambas. • El periodo y la frecuencia en un movimiento circular con velocidad uniforme. • La existencia de aceleración en un movimiento circular con velocidad uniforme. • Problemas de interés en la seguridad vial. Historia del movimiento circular uniforme El movimiento circular y uniforme (MCU) tuvo mucha importancia en la conformación del modelo cosmológico vigente en la antigüedad. El cosmos aristotélico se dividía en dos grandes mundos radicalmente distintos, el celeste y el terrestre, cada uno de los cuales debía ser objeto de una ciencia diferente. En el mundo terrestre los objetos parecían tender al reposo, cayendo siempre hacia la Tierra, y se consideraba necesario ejercer fuerza sobre ellos para ponerlos y/o para mantenerlos en movimiento. En cambio, en el mundo celeste "el Sol, la Luna y las estrellas se mueven en círculos suaves y uniformes alrededor de la Tierra". De esta forma, el movimiento circular y uniforme, se asoció durante siglos a la perfección e inmutabilidad, supuestas en el mundo celeste. Con la primera gran revolución científica, que se consolida en el siglo XVII con la formulación de la síntesis newtoniana, se superó esta separación radical entre Cielo y Tierra, y se comenzaron a formular leyes de carácter universal. Además de su interés histórico, el estudio de los movimientos circulares y, en particular, el estudio del MCU tienen mucho interés práctico. Al ser un movimiento periódico que realizan objetos cosmológicos, se convierte en referencia para medir el tiempo, usando como unidad una cantidad de este movimiento (un segundo, un día, un año) Por otro lado, son muchos los artilugios artificiales que tienen y aprovechan movimientos circulares, uniformes o no: agujas del reloj, satélite de telecomunicaciones, disco giratorio de cualquier tipo (como un CD), plataforma giratoria (como un tío-vivo), rueda, volante, etc. Como el MCU se repite una y otra vez, conviene definir una magnitud que dé cuenta de su periodo, T. Se llama así el tiempo que tarda el móvil en recorrer la circunferencia (por tanto, en repetirse) Proporciona la misma información, la frecuencia, f, igual al número de vueltas dadas por unidad de tiempo y, por tanto, magnitud inversa al periodo. En consecuencia, es periodo, la frecuencia y la velocidad angular ω (el ángulo barrido por unidad de tiempo) expresan, todas ellas, el mismo concepto (la rapidez con que un movimiento circular uniforme realiza cada vuelta) y se relacionan entre sí mediante las expresiones: T = 1/f ω = 2π/T = 2πf Por otra parte, un movimiento circular sigue una trayectoria previamente conocida (la circunferencia que describe), con lo que el móvil tiene un solo grado de libertad y para dar su posición es suficiente una magnitud (posición sobre la trayectoria o ángulo) En consecuencia, para expresar la evolución con el tiempo de las magnitudes cinemáticas (posición, velocidad y aceleración) de un movimiento circular (uniforme o no) se puede trabajar directamente sobre su trayectoria y usar magnitudes lineales (medidas sobre la propia trayectoria) o magnitudes angulares (adoptando el ángulo como magnitud para dar la posición)[1] Importancia de movimiento circular Es cuando un objeto se mueve con rapidez constante por una trayectoria circular. Como ejemplo el movimiento de la luna alrededor de la tierra pues es evidente un movimiento circular uniforme. El movimiento circular uniforme es aquel movimiento circular en el que un móvil se desplaza alrededor de un punto central, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal modo que en tiempos iguales recorra espacios iguales. Elementos del movimiento circular: * Periodo * Frecuencia * Velocidad angular * Velocidad lineal o tangencial * Aceleración centrípeta * Fuerza centrípeta PERIODO Es el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa. Se representa por "T" y se mide en segundos (seg): FRECUENCIA. Es la cantidad de vueltas que recorre la partícula en la unidad de tiempo (1 segundo). Se representa por "f" y se mide en 1/seg o seg-1, que se llaman Herzios (Hz): 1 Hz = 1 seg-1 Entre el periodo y la frecuencia, se tiene que son inversos, o sea: VELOCIDAD ANGULAR Es el ángulo que se recorre en cierta cantidad de tiempo. Se representa con la letra griega ω (omega minúscula), así: ω = velocidad angular θ = ángulo recorrido t = tiempo T = periodo f = frecuencia Observación: La Velocidad Angular también se llama Frecuencia Angular, ya que ambas se miden en Herzios o seg-1. VELOCIDAD LINEAL Es la velocidad propia de la partícula cuya magnitud es constante, pero su dirección cambia ya que siempre es tangente a la circunferencia. V = velocidad lineal R = radio de la circunferencia T = periodo f = frecuencia ω = velocidad angular ACELERACIÓN. En el MCU, la velocidad lineal permanece constante, y por lo tanto NO hay aceleración tangencial, sólo hay aceleración centrípeta: Ac = aceleración centrípeta V = velocidad lineal R = radio de la circunferencia T = periodo f = frecuencia ω = velocidad angular FUERZA CENTRÍPETA. Es la fuerza necesaria para producir un Movimiento Circular Uniforme (MCU). Su dirección es perpendicular a la velocidad lineal y está dirigida hacia el centro de la circunferencia: FC = fuerza centrípeta m = masa de la partícula V = velocidad lineal R = radio de la circunferencia T = periodo f = frecuencia ω = velocidad angular El efecto de la Fuerza Centrípeta es cambiar la dirección de la velocidad lineal sin cambiar su magnitud, produciendo la Aceleración Centrípeta.[2] EJERCICIOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Ejercicios propuestos [3] 1. Un CD-ROM de 6 cm de radio gira a una velocidad de 2500 rpm. Si tarda en pararse 15 s, calcula: a) El módulo de la aceleración angular. b) Las vueltas que da antes de detenerse. c) El módulo de la velocidad angular para t=10 s 2.- Tenemos un cubo con agua atado al final de una cuerda de 0.5 m y lo hacemos girar verticalmente. Calcular: a) El módulo de la velocidad lineal que debe adquirir para que la aceleración centrípeta sea igual a 9.8 m/s2. Resultado: v =2.21 m/s b) El módulo de la velocidad angular que llevará en ese caso. Resultado: ω = 4.42 rad/s = 0.70 vueltas/s. 3.- Un coche con unas ruedas de 30 cm de radio acelera desde 0 hasta 100 km/h en 5 s. Calcular: a) El módulo de la aceleración angular. Resultado: = 18.52 rad/s2 b) Las vueltas que da en ese tiempo. Resultado: = 231.48 rad = 36.84 vueltas c) El módulo de la velocidad angular para t=3 s. Resultado: = 55.56 rad/s d) El módulo de la aceleración tangencial. Resultado: aT= 5.55 m/s2 e) El módulo de la aceleración normal para t= 5 s .Resultado: aN= 2572 m/s2 4.- Una centrifugadora pasa de estar detenida a girar a 450 r.p.m. en 15 s. Si el radio del tambor es de 25 cm, calcular: a) El módulo de la aceleración angular. Resultado: = rad/s2 b) Las vueltas que da en ese tiempo. Resultado: = 112.5 rad = 56.25 vueltas c) El módulo de la velocidad angular para t=10 s. Resultado: = 10 rad/s d) El módulo de la aceleración tangencial. Resultado: aT= 0.78 m/s2 e) El módulo de la aceleración normal para t=15 s. Resultado: aN= 555.2 m/s2 5.- Una centrifugadora está girando a 1500 r.p.m., se desconecta y se detiene en 10 s. Calcular: a) Su aceleración angular. Resultado: = -15.70 rad/s2 b) Las vueltas que da hasta detenerse. Resultado: =125 vueltas. 6.- Un automóvil con ruedas de 30 cm de diámetro acelera de 0 a 30 m/s en 5 s. Calcula: a) La aceleración angular de sus ruedas. Resultado: = 20 rad/s2 b) La aceleración lineal del coche. Resultado: a = 6 m/s2 c) Las vueltas que da la rueda mientras acelera. Resultado: = 250 rad = 39,83 vueltas. 7.- Un ventilador de techo, que tiene aspas de 1 m de radio, está inicialmente detenido. Al encenderlo, acelera durante 8 s hasta que gira a 120 r.p.m. Suponiendo que el movimiento es uniformemente acelerado, calcula: a) Su aceleración angular. Resultado: = /2 rad/s2 b) Las vueltas que da durante los 8 s en que gana velocidad de giro. Resultado: = 16 rad = 8 vueltas. 8.- Un ventilador de 20 cm de radio que giraba a 600 r.p.m., se desconecta y se detiene en 8 s. Calcula: a) La aceleración centrípeta en el borde de su aspa antes de empezar a detenerse. Resultado: ac= 789 m/s2 b) Su aceleración angular supuesta constante. Resultado: = -20/8 rad/s2. c) Su velocidad angular para t= 3s. Resultado: = 12,5 rad/s. d) Las vueltas que da hasta detenerse. Resultado: = 80 rad = 40 vueltas. 9.- Una rueda, puesta en movimiento por un motor, ha girado 0.5 radianes durante el primer segundo. ¿Cuantas vueltas dar ‘a la rueda en los 10 primeros segundos, Suponiendo que la aceleración angular es constante durante ese tiempo? ¿Cuál serán ese instante la velocidad lineal de un punto de la llanta, si el radio de la rueda es de 50 cm? ¿Qué valor tendrá la aceleración negativa de frenado, si el motor dejase de funcionar cuando la rueda gira a razón de 120 vueltas por segundo y ´esta tardase6 minutos en pararse? 10.- Dos ruedas de 80cm y 40cm de diámetro respectivamente, se hallan conectadas por una correa que transmite el movimiento entre ellas. Si la rueda de menor radio da 100 vueltas en 6s ¿Cuál será la frecuencia de la rueda de mayor radio? 11.- La llanta de un vehículo tiene un radio de 0.8m y gira con una rapidez constante de 240 Rev/min. Determine la velocidad lineal y la aceleración centrípeta de una pequeña piedra incrustada en el labrado de la llanta. 12.- Una partícula describe un MCU de radio de 10m, Si su posición inicial forma un ángulo de 30º con respecto a la dirección positiva del eje x y su velocidad es de 3π m/ determina: a) La posición (ángulo en grados)y el espacio recorrido a los 2 segundos. b) El tiempo que tardara en dar 3 vueltas. c) El número de vueltas que dará en 30 segundos. d) El periodo y la frecuencia. 13.- Un disco de 20 cm de radio gira a 33,33 rpm. Halla su velocidad angular, la velocidad lineal y la aceleración Centrípeta de: a) Un punto de su periferia b) Un punto situado a 10 cm del centro c) ¿Cuánto tiempo tardará el disco en girar 780º? d) ¿Y en efectuar 15 revoluciones? 14.- La noria de un parque de atracciones tarda 15 s en dar una vuelta. Si su velocidad angular es constante, Calcula: a) Velocidad angular en rad/s b) El período y la frecuencia c) El ángulo girado en 5 s. d) La velocidad lineal de un viajero situado a 10 m del eje de giro. 15.- Un tren eléctrico da vueltas por una pista circular de 50 cm de radio con una velocidad constante de 10 Cm/s. Calcula: a) la velocidad angular; b) la aceleración normal o centrípeta; c) el período y la frecuencia; d) número de vueltas que dará en 10 segundos. EJERCICIOS RESUELTOS [4] 1.- Un tren eléctrico da vueltas por una pista circular de 50 cm de radio con una velocidad constante de 10 cm/s. Calcula: a) la velocidad angular; b) la aceleración radial; c) el período y la frecuencia; d) número de vueltas que dará en 10 segundos. Solución: a) 10 cm/s son 0,1 m/s; 50 cm son 0,5 m. Si despejamos ω de la fórmula obtenemos: ω = v/r = 0,1/0,5 ⇒ ω = 0,2 rad/s. b) La aceleración radial, o normal, es la fórmula: a = v²/r = 0,1²/0,5 a= 0,02 m/s². c) Para el período, aplicamos, T = (2 π)/ ω = (2 π)/ 0,2 T = 10 π s. La frecuencia es la inversa del período: f = 1/T = 1/10 π f= 0,032 ciclos/s. 2.- Las longitudes de las agujas horero y minutero de un reloj de pared miden, respectivamente, 7,5 cm y 15,0 cm. Calcula, para cada una: a) la velocidad lineal; b) la velocidad angular. Solución a) La aguja horaria da una vuelta completa cada 12 horas, mientras que el minutero lo hace cada hora. Los períodos de las agujas, expresados en segundos, serán pues: Th = 12 h × (3600 s / 1 h) = 4,32 10^4 s Tm = 1 h × (3600 s / 1 h) = 3,60 10^3 s Las correspondientes velocidades lineales serán, aplicando la fórmula (5) y teniendo en cuenta que 7,5 cm = 0,075 m y 15,0 cm = 0,15 m : Vh = ∆s / ∆t Vh= (2π × 0,075) / (4,32 10^4) Vh= 1,1 10^-5 m/s Vm = (2π × 0,15) / (3,60 10^3) Vm= 2,6 10^-4 m/s b) Para las velocidades angulares aplicamos, T = (2 π)/ ω ⇒ ⇒ ω = (2 π)/ T La velocidad angular de la aguja de las horas: ωh = (2 π)/ Th = (2 π)/ (4,32 10^4) ωh = 1,5 10^-4 rad/s La ω de la aguja de los minutos: ωmin = (2 π)/ Tm = (2 π)/ (3,60 10^3) ωmin= 1,7 10^-3 rad/s 3.- Un disco de aquellos llamados “LP” de los años ’60 y ’70 del siglo 20 gira a razón de 33,33 vueltas por minuto. a) Determina la velocidad angular del disco en el SI de unidades; b1) ¿Cuál es el movimiento de un punto A situado a 2 cm del eje de rotación?; b2) ¿cuál es su velocidad angular ωA?; b3) ¿Cuál es su velocidad lineal VA?; c) Las mismas preguntas que en b para un punto B situado a 10 cm del eje de rotación. Solución a) La velocidad angular ω viene expresada, en el SI de unidades, en rad/s. En el curso de una vuelta, el ángulo γ vale 2π rad. Luego: ω = (33,33 × 2π) / 60 = 3,5 ⇒ ⇒ ω = 3,5 rad/s b1) El disco está en rotación, todos los puntos del mismo describen unos círculos alrededor del centro del disco. El movimiento es, por consiguiente, circular. Como la velocidad angular ω es constante en el curso de la rotación, el movimiento de A es circular uniforme (el radio de la trayectoria es 2 cm). b2) La velocidad angular ωA es la del sólido en rotación, luego la del disco: ωA = 3,5 rad/s. b3) VA = RA × ωA. RA es la distancia del punto A al centro del disco. RA está expresada en metros, y vale 2* 10^-2 m. VA = 2 *10^-2 × 3,5 VA= 7 *10^-2 m/s. c1) Véase b1). MCU, con un radio de la trayectoria de 10 cm. c2) La velocidad angular. ωB = ωA = ω = 3,5 rad/s. c3) VB = RB × ωB, con RB = 10 cm RB= 10^-1 m. VB = 10^-1 × 3,5 = 0,35; VB = 0,35 m/s y VB > VA. 4.- La velocidad angular de un motor que gira a 900 rpm desciende uniformemente hasta 300 rpm efectuando 50 revoluciones. Hallar: a) La aceleración angular; b) El tiempo necesario para realizar las 50 revoluciones. Solución Primero, al igual que antes, expresamos las velocidades y revoluciones en rad/s y radianes respectivamente ω0 = 900 · 2π/ 60 = 30π ω = 300 · 2π /60 = 10π rad/s ϕ = 50 · 2π = 100π rad a) De la tercera de las ecuaciones 5 podemos obtener la aceleración angular ω2 = ω0 2 + 2 α (ϕ − ϕ 0) α = ω2 − ω0 2 /2 (ϕ − ϕ 0) Y sustituyendo α = (10π)2 − (30π)2/ 2 · 100π =100π2 − 900π2/ 200π =−800π2 /200π = −4π = −12.56 rad/s 2 b) Con la aceleración ya podemos hallar el tiempo empleado en dar esas revoluciones. De la segunda de las ecuaciones 5. ω = ω0 + α t t = ω − ω0/ α t = 10π − 30π /−4π = −20π/ −4π =5s 5.-Si un cuerpo recorre una circunferencia de 5 m de radio con la velocidad constante de 10 vueltas por minuto, ¿cuál es el valor del periodo, la frecuencia, la velocidad lineal, la velocidad angular y la aceleración normal? Solución ω = 10 · 2π /60 =20π/ 60 = π/ 3 rad/s El periodo T = 2π /ω = 2π/ π/ 3 = 6π/ π =6s Frecuencia f = 1 /T = ω/ 2π = π/ 3 /2π = π /6π = 1/ 6 = 0.16 Hz La velocidad lineal es v = ω* R = π/ 3 · 5 = 5π /3 = 5.235 m/s Y la aceleración normal aN = ω2 R = (π/ 3) ˄ 2*5 = 5π2/ 9 = 5.483 m/s 2 6.- La figura 25 representa, en un instante dado, la aceleración total de una partícula que se mueve en sentido horario en un círculo de 2.50 m de radio. En este instante de tiempo, encuentre v 30º a a) la aceleración centrípeta, b) la velocidad de la partícula, y, c) su aceleración tangencial. a=15.0 m/s2 Solución La aceleración total, a, está dada por a = aT + ac, donde aT y ac son las componentes rectangulares de la aceleración total, por lo tanto, la magnitud de la aceleración centrípeta es: a) AC a cos 30º ac 15.0m / s 2 cos 30º AC 13.0m / s 2 Debido a que el movimiento es circular uniforme, podemos usar la ecuación a c V √ ac∗R V (13 .0 m / s 2) (2 .50 m) V= 5.70m / s b) La aceleración total se relaciona con las aceleraciones tangencial y centrípeta por medio de la ecuación. aTOT = aTAN + aCEN Ecuación vectorial que nos indica que las celebraciones tangencial y centrípeta son las componentes rectangulares de la aceleración total, de tal modo que su módulo es obtenido a partir del teorema de Pitágoras, o sea, a2 2 2 = (a) + (a) ((a) 2 =(a)2 -(a )2 at= (15m / s2)2 (13m / s2)2 at =7.48m / s2 t 7.- Calcular la velocidad angular y la frecuencia con que debe girar una rueda, para que los puntos situados a 50 cm de su eje estén sometidos a una aceleración que sea 500 veces la de la gravedad. R 2 1 Veamos los datos: Necesitamos que la aceleración centrípeta sea igual a 500 g: Ac=500*g Ac=500*10m/s2 Ac=5000m/s2 La velocidad angular para la cual se cumpla esto va a ser: Ac=w2*r 5000m/s2=w2*0.5m ω2= (5000m/s2) /0.5m ω2=10000 s2 ω =100 s Ahora calculamos la frecuencia (F) a partir de ω =2π * F F=ω/2π F=100s/2π F=100s/5.28 =15.92s 8.- Una rueda de 2 m de radio tiene una aceleración angular constante de 0.5 rad/s2. En un cierto instante t= 4s, gira un ángulo = 120 rad. Determine el tiempo que había estado en movimiento antes del intervalo. (Suponga que parte del reposo). Solución Debido a que nos dan intervalos de tiempo y de posición angular trabajamos con tiempos inicial y final, igual que con posiciones angulares final. 1 =0 + 0t1 +½t2 2 =0 + 0t2 +½t2 De donde se obtiene 1 = ½t1 y 2 = ½t2 debido a que la rueda parte del reposo y suponemos que parte del origen a t=0.tambien sabemos = 2 - 1. =½(t22 – t1 ) =½(t2 – t1)(t2 + t1) Pero de este último resultado conocemos que = 120 rad y (t2 – t1) = 4 s, ósea la ecuación queda como t2+t1=120, misma que forma un sistema de ecuaciones t2-t1=4 t2 + t1 = 120 t2 – t1 = 4 La solución es t1=58s; t2=62 La rueda estuvo 58 segundos en movimiento antes del intervalo. 9.- El disco A que aparece en la figura 28, arranca desde el reposo gracias a un motor y comienza a girar con una aceleración angular de 2 rad/s2. Determine la velocidad y la aceleración angular del disco B un instante después de que A ha recorrido 10 Rev. 2m 1.5 Solución Encontrar la velocidad angular de B en este intervalo de tiempo. A2 = 0A2 + 2 AA =10rev (2 rad/1rev)=6.28rad ω √ 2αϴ ωRad/s2)(62.8rad) ω= 15.8 rad Velocidad del disco B. V=ω*R Vb=15.8rad (2m) Vb=31.6m/s. Velocidad angular de B. V=ω*R ωa* ra=ωb*rb ωb=ωa*ra/rb ω=(15.8rad/s)(2m)/1.5m ω=21.07rad Aceleración angular del disco b. A=α*R αa* Ra=αb*rb αb= αa*ra/rb αb=(2rad/s2)(2m)/(1.5m) αb=2.67 rad/s2 10.-Cierta polea gira 90 Rev en 15 s, su rapidez angular al fin del periodo es de 10 rev/s. a) ¿Cuál era la rapidez angular de la polea al iniciarse el intervalo de 15 s, suponiendo una aceleración angular constante? b) ¿qué tiempo debió transcurrir desde que la polea estaba en reposo hasta el principio del intervalo de los 15s en referencia? Solución a) Como la aceleración angular permanece constante podemos aplicar la ecuación siguiente para calcular la rapidez angular al iniciar el intervalo de 15s. ω+ω0/2) ω0/2)15 12=10+ ω0 ω0=2rev/s b) El tiempo previo al inicio del intervalo de los 15s podemos calcularlo calculando primero la aceleración angular, y posteriormente el tiempo. ω = ω0+αt 10=2+α(15) 8=15α α= 8/15rev/s2 α=0.533rev/s2 Con la misma ecuación podemos hacer el cálculo del tiempo previo al intervalo de los 15s. ω = ω0+αt 2=0+(8/15)t T=3.75segundos 11.-un estudiante une a una pelota el extremo de una cuerda de 0.600m de largo y luego la balancea en un círculo vertical. La velocidad de la pelota es 4.30m/s en el punto más alto y 6.50 m/s en el punto más bajo. Determine su aceleracion en: a) punto alto b) punto bajo Solución V2=vo2+2ad 6.502 = 4.302 +2a (πr) El valor esta dado 2πr/2=πr Atan=6.3m/s2 La aceleracion en el punto más alto es Ac= 4.32 /0.6=30.82m/s2 Y punto más bajo es Ac= 6.52 /0.6=70.42m/s2 a) Por lo tanto la aceleracion total en el punto más alto es Actotalalto= Actotal= √ atan+ ac2 √ 6.32+ 30.822 Actotal=31.46m/s2 b) En el punto bajo total es: Actotalbajo= Actotal= √ atan+ ac2 √ 6.32+ 70.422 Actotal=70.7m/s2 12.- Un satélite de 300 kg. de masa se encuentra en una órbita circular alrededor de la tierra a una altitud igual al radio medio de la tierra (Véase el ejemplo 6.6). Encuentre: a) La rapidez orbital del satélite b) El periodo de su revolución c) La fuerza gravitacional que actúa sobre el? Datos: RE = radio de la tierra = 6,37 * 106 metros. h = La distancia entre el satélite y la superficie de la tierra, en este problema es igual a RE[5] Solución ∑ FY = m a como el satélite se mantiene en órbita circular alrededor de la tierra. La fuerza de la gravedad hará las veces de fuerza centrípeta. Ordenando la ecuación m*g=m*a De lo anterior se deduce que: Se cancela la masa m y r pero: r =2 RE Reemplazando r =2 RE Multiplicamos por RE Ordenando la ecuación Pero: Reemplazando g (gravedad) en la ecuación, tenemos: V = 5586,85 m/seg. b) El periodo de su revolución (satélite) Para calcular el periodo, sabemos que la rapidez promedio de una órbita circular del satélite es: Despejamos el periodo T = 238,79 minutos c) La fuerza gravitacional que actúa sobre el? Pero: r =2 RE Pero: Reemplazando la gravedad en la ecuación anterior tenemos: FR = 735 Newton 13.- Mientras dos astronautas del Apolo estaban en la superficie de la Luna, un tercer astronauta daba vueltas a su alrededor. Suponga que la órbita es circular y se encuentra a 100 km sobre la superficie de la luna. Si la masa y el radio de la luna son 7,4 x 1022 kg 1,7 x 106 m, respectivamente, determine: a) La aceleración del astronauta en órbita. b) Su rapidez orbital c) El periodo de la órbita. Datos: Datos: RE = radio de la luna = 1,7 x 106 metros. h = La distancia entre el satélite y la superficie de la tierra. H = 100 km = 0, 1 X 106 m r = RE + h = 1, 7 x 106 m + 0,1 X 106 m r = 1,8 x 106 m Solución ∑ FY = m a como el astronauta se mantiene en orbita circular alrededor de la luna. La fuerza de la gravedad hará las veces de fuerza centrípeta. m = masa del astronauta ML = masa de la luna = 7,4 x 1022 kg G = 6,67 x 10 -11 r = 1,8 x 106 m ∑ FY = m a Ordenando la ecuación anterior Cancelando m (masa del astronauta) a ambos lados de la ecuación a = 1,52 m/seg2 b) Su rapidez orbital Despejamos la velocidad (rapidez) V2 = a * r v = 1654,08 m/seg. c) El periodo de la órbita. Despejando el periodo en la ecuación T = 6837,47 segundos 14.- Una partícula se mueve por una trayectoria circular con movimiento uniformemente variado. A t = 0 su velocidad es v0 = 3 i + 4 j m/s y su rapidez disminuye a razón de 2 m/s cada segundo. Determine los vectores: a) posición de la partícula a t=0, b) aceleración a t = 2.5 s, c) velocidad a t = 5 s, d) aceleración tangencial a t = 0 y t = 5 s. Solución a) Como v0 = 3i + 4j m/s, la partícula inicialmente debe estar en el punto A y se puede calcular el ángulo β: β = tan–1 (4/3) = 53.13° r0 =OA = 2 (sen 53.13° i – cos 53,13° j) r0 = 1,6 i –1,2 j m/s Es decir, la partícula se encuentra a t = 0 en el punto A (2m; 53.13°) b) v0 = 9 +16 = 5m/s ω 0 = v0 / R = 2.5 rad/s α = aT / R = 1 rad/s2 ω 2.5 = ω 0 + α t ω 2.5 = 2.5 – (1) (2.5) =0 θ 2.5 = θ 0 + ω 0 t + α t 2 /2 θ 2.5 = 5.63 + (2.5) (2.5) + (-1) (2.5)2 /2 θ 2.5 = 8.75 rad = 501.59° Por lo tanto a t = 2,5s la partícula está en B (2m; 141.59°), entonces: aT = 2 (cos 51.59° i + sen 51.59° j) aT = 1.24 i + 1.56 j a 2.5s = aT+ aN = aT a 2.5s = 1.24 i + 1.56 j + 0 a 2.5s = 1.24 i +1.56 j m/s2 c) Debido a que la aceleración angular es constante y al tiempo 2.53 s llega al reposo, al tiempo 5s estaría de nuevo pasando por el punto A con la misma rapidez y en dirección contraria, por lo tanto la velocidad a t=5s sería: v5 = –3 i – 4 j m/s. d) A t = 0 y a t = 5s, la aceleración tangencial es: aT = 2 (– cos 53.13° i – sen 53.13° j) aT = – 1.2 i – 1.6 j m/s2 . 15.- Si la posición angular de una partícula que describe una trayectoria circular de radio 1.2 m, en sentido contrario al avance de las manecillas del reloj, viene dada por la función θ t = π/2 + t + t2, donde θ está en rad y t en s. Determine: a) la ecuación de la velocidad angular en función del tiempo b) el vector aceleración a cuando t =3 s. Solución a) De acuerdo con la ecuación dada se tiene que: θ 0 = π/2 rad, ω 0 = 1 rad / s y α = 2 rad / s2 , Por lo tanto, ωt=ω0+αt ωt=1+2t b) θ3 = π/2 + 3+9 = 13.57 rad = 777.9° aT = αR = (2) (1.2) = 2.4 m/s2 aT 3s = (2,4) (–sen 57.9 i + cos 57.9°j) aT 3s = (–2.03 i + 1.27j) m/s2 ω 3s = 1+2 (3) = 7 rad/s aN 3s = ω 3s 2 R = (7)2 (1.2) = 58.8 m/s2 aN 3s = 58.8 (–cos 57.9 i – sen 57.9j) aN 3s = –31.2 i – sen 49.8j) m/s2 a3s = aT 3s + aN 3s a3s = –33.23 i – 48.53j m/s2 EJERCICIOS DE OPCION MULTIPLE[6] 1.-Una bicicleta con ruedas de 75 cm de diámetro viaja a una velocidad de 12 m/s. ¿Cuál es la velocidad angular de las ruedas de esta bicicleta? a) 8 rad/s b) 16 rad/s c) 32 rad/s d) 64 rad/s SOLUCIÓN La velocidad tangencial de una partícula está dada por v = R, por lo tanto = v/R = 2v/D = 2(12)/0.75 = 32 rad/s Respuesta: c 2.- Un cuerpo que se encuentra en estado de reposo comienza a girar con aceleración constante, efectuando 3600 rev durante los primeros 2 minutos. Calcular el valor de la aceleración angular del cuerpo. a) rad/s2 b) 2 rad/s2 c) 0.3 rad/s2 d) 1 rad/s2 Solución Podemos aplicar la ecuación = 0t + ½ t2 2 3600rev+2πrad/1rev=0+1/2α (120) 7200π=7200α α=π Respuesta: a 3.-Desde el mismo punto de una trayectoria circular parten 2 móviles, en sentido opuesto, con rapidez constante. Uno de ellos recorre la circunferencia en 2 horas y el otro traza un arco de 6° en 1 minuto. ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse? a) 40 minutos b) 60 minutos c) 20 minutos d) 10 minutos Solución SALIDA t=0 ENCUENTRO t=T Al indicar en el enunciado cuanto tiempo se demora una de las partículas en dar una vuelta, y cuanto tiempo se demora la otra en recorrer un pequeño ángulo, nos está indicando cuanto es la rapidez angular de cada partícula, o sea ω2=ππrads ω2= π rads Si una de las partículas recorre rad, la otra recorre 2 - rad. Planteando las ecuaciones para el movimiento circular uniforme, para ambas partículas, tendríamos = t (1) = (/1800)t (2)2 - = (/3600)t Reemplazamos la ecuación (1) en la ecuación (2) 2 - (/1800)t = (/3600)t 2 = (/3600)t + (/1800)t 2 = (/1200)t t = 2400 s = 40 minutos Respuesta: a 4.- Un volante gira 60 RPM en un instante inicial, al cabo de 5s posee una velocidad angular de 37.68 rad/s. ¿Cuántas vueltas dio el volante en ese tiempo? Suponga que el movimiento es uniformemente variado. a) 10.5 vueltas b) 12.5 vueltas c) 15.5 vueltas d) 17.5 vueltas Solución Debido a que la respuesta se presenta en vueltas (o en revoluciones) dejaremos los datos dados expresados en rev/s. 60rev/min*1min/60seg=1rev/s 37.68rad/s*1rev/2 rad =6 rev/s Al ser constante la aceleración angular, podemos aplicar la ecuación ωω rev Respuesta: d 5.- Si un cuerpo que está atado al extremo de una cuerda y gira con MCU. En cierto momento se corta la cuerda. Se puede afirmar que I. II. III. El cuerpo sigue con movimiento rectilíneo uniforme La fuerza neta sobre el cuerpo es cero Sigue en una trayectoria tangencial y con una aceleración igual a la aceleración centrípeta[7] Es (son) verdadera (s): a) b) c) d) e) Solo I Solo II Solo III I y II II y III 6.-Una partícula posee M.C.U. Si el radio de giro se duplica y el periodo se cuadruplica, entonces se afirma que la rapidez tangencial de la partícula se: A) Duplica B) Cuadruplica C) Permanece constante D) Se reduce a la mitad E) Se reduce a la cuarta parte. 7.- Considere una partícula que gira con M.C.U. en la periferia de un disco. De la partícula se cumple siempre que: A) La rapidez es variable y la aceleración es constante. B) La velocidad tangencial es variable y la aceleración es no nula. C) Tanto la velocidad como la aceleración son constantes. D) La rapidez es constante y la aceleración es nula. E) Tanto la rapidez como la aceleración son constantes. 8.-Con relación a la aceleración centrípeta de una partícula que posee MCU, podemos asegurar que: A) Siempre está dirigida hacia el centro de la curva y es paralela a la velocidad. B) Siempre está dirigida hacia el centro de la curva y es perpendicular a la velocidad tangencial. c) Se mide en unidades [m/s]. d) Las tres últimas alternativas son verdaderas. 9.-La figura muestra una partícula de masa M que se mueve con M.C.U. y dos vectores, 1 y 2, asociados a la partícula. En la figura es posible afirmar que dichos vectores tiene un valor de: A) r; 2 r f B) 2 r f; 4 2 r f2 C) V2 / r; 4 2 r f2 D) 4 2 r f2; 2 2 r f2 E) 4 2 r / T 2; 2 r / T 10.-¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I.- La aceleración centrípeta de una partícula que posee M.C.U. es constante. II.- Si una partícula posee M.C.U. entonces su velocidad instantánea y su aceleración centrípeta son siempre perpendiculares. III.- Dos partículas A y B se mueven con igual rapidez angular describiendo circunferencias concéntricas de distinto radio. Entonces posee una aceleración centrípeta de mayor módulo la partícula que describe la circunferencia de mayor radio. A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Todas son incorrectas. 11.-Sobre un disco se marcan dos punto A y B, de radios rA = 2 [cm] y rB = 5 [cm]. Al girar el disco con M.C.U., la rapidez angular de A comparada con la rapidez angular de B es: A) El doble B) El quíntuplo C) La mitad D) La misma E) Ninguna de las respuestas anteriores. 12.-Que el periodo de una partícula que posee Movimiento Circunferencial Uniforme, sea de 2 segundos, quiere decir que la partícula: A) Da una vuelta completa en 0,5 segundos B) Da media vuelta en dos segundos C) Da 1/4 de vuelta en 0, 25 segundos D) Da /2 vuelta en 0,5 segundos E) Ninguna de las respuestas anteriores. 13.- Una matraca gira con un movimiento uniforme alrededor de un eje que pasa por el punto O. como se muestra en la figura. Efectúa dos revoluciones por segundo. Para los puntos A y B de la barra, situados a las distancias ra=0.2m y rb =0.3m del eje de rotación, calcula las siguientes magnitudes (considera):pi=3.14 a. El periodo de revolución (T=0,5 (s)) b. La rapidez tangencial de cada uno (Va=0,8π [m/s] Vb= 1,2π[m/s]) A. (T=0,7 (S)); (Va=0,8π [M/S] Vb= 9,2π[M/S]) B. (T=0,5 (S)); (Va=0,8π [M/S] Vb= 1,2π[M/S]) C. (T=0,4 (S)); (Va=0,5π [M/S] Vb= 1,2π[M/S]) D. (T=0,3 (S)); (Va=0,6π [M/S] Vb= 1,2π[M/S]) 14.- Determinar la rapidez tangencial del punto B del disco representado en la figura, sabiendo que: ra es tres veces rb y la rapidez circunferencial en el punto A es de 12 [cm/s]. A.2cm/s B.3cm/s C.4cm/s D.5cm/s 15.-La figura muestra dos discos A y B de giran con MCU mediante una polea. Si los radios respectivos son 2 [cm] y 6 [cm], y la rapidez lineal de A es 2 [cm/s], entonces determine: a) ¿Cuál es la rapidez lineal de B? b) ¿En qué razón están las frecuencias de estos discos? a. (3 [cm/s]) ;(2:3 = fB : fA) b.(2 [cm/s]) ;(1:1 = fB : fA) c.(2 [cm/s]) ;(1:3 = fB : fA) d.(5 [cm/s]) ;(7:3 = fB : fA) Referencias [1] M. Alonso and L. Da Vinci " De Alicante, “Movimiento circular uniforme MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME IMPORTANCIA HISTÓRICA E INTERÉS ACTUAL DEL ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS CIRCULARES.” [2] M. de física. Fisica 10y11, “Movimiento Circular Uniforme (MCU) fisica10y11.” [Online]. Available: https://sites.google.com/a/colegiocisneros.edu.co/fisica10y11/home/eve ntos-ondulatorios/movimiento-circular-uniforme-mcu. [3] O. Leon, “Ejercicios de movimiento circular con solución,” pdf, 2015. [4] Zamora Macias Julio Cesar, “cinematica rotacional,” vol. 20, p. 29. [5] C. M. Edición Almeida C Córdova M Tasiguano M Arias F Custode A Ulloa F Barba H Flores S Yaselga P Castillo K Moreno J Zambrano, “F Í S I C A para PREPOLITÉCNICO TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS.” [6] Prof.A.Umaña, “TRABAJO Umaña Pendiente 1o sem.” 2011. [7] Moreno Jacky, “GUÍA N°2 MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME,” vol. 3.