Movimento OndulatórioUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL CEP 59.072-970 – Natal / RN – CGC 243657100.004-26 Telefone (084) 215-3793, 215-3794, 215-3795 – FAX (084) 215-3791 Movimento Ondulatório Professor Dr. Uílame Umbelino Gomes 1. TIPOS DE ONDAS Ver, Ouvir, falar,... Ondas Transversais (Eletromagnéticas,...) Ondas Longitudinais (onda sonora, onda numa mola,...) A natureza das ondas reside no fato de que elas são resultados do movimento de partículas individuais de um corpo que executa oscilações em torno da posição de equilíbrio. Este movimento pode ser descrito pela seguinte equação: ( ) ( ) wt kx sen Y t x Y ± = , ( ) ( ) wt kx sen Y t x Y m ± = , Kx ±wt é a fase da onda Y m = amplitude da onda k = número de onda = 2π/λ λ = comprimento de onda T = período da onda = 1/f f = freqüência da onda = w/2π v = velocidade de fase da onda = λ/T = w/k ONDAS PROGRESSIVAS A equação de onda anterior: Y(x,t) = Y m sen (kx ± wt) No caso em o deslocamento Y(x,t) não é nulo em x = 0 e no instante t = 0, então a equação de onda fica: Y(x,t) = Y m sen (kx ±wt - Φ) onde representa uma constante de fase. Representa uma onda progressiva propagando-se na direção do eixo nos sentidos: a) para a esquerda se o sinal da fase for (+) ou; b) para a direita se o sinal da fase for (-). Y(x,t) tem o mesmo valor em x, x+ λ, x+ 2λ, x+3λ, ... ou em: t, t+T, t+2T, t+3T, ... Assim, uma onda senoidal propagando-se nas direções: X + >> Y(x,t) = Y m sen (kx – wt - Φ) X - >> Y(x,t) = Y m sen (kx + wt - Φ) Por exemplo: se Φ= 90°>> Y(x,t) para x =0 e t=0 é igual a Y m. Neste caso particular a onda pode ser expressa por: Y(x,t) = Y m cos (kx - wt). Porque a função co-seno é defasa de 90°da função seno. Para x = π/k >> Y(π/k, t) = Y m sem (k π/k - wt - Φ) = Y m sem (π - wt - Φ) = Y m sen ( wt + Φ) Então: Velocidade de fase v = λ/t Velocidade Transversal u = ∂Y/∂t Velocidade propagação em diferentes meios = √T/ρ = √B/ρ T- tensão na corda e B – Módulo de elasticidade do material. A energia cinética dk associada a um elemento da corda de massa dm é dada por 2 2 1 dmu dk = Energia e potência transmitida nas ondas: Fig. No elemento (1) da corda, na posição y = y m , a energia cinética e a energia potencial armazenadas são igualmente nulas. No elemento (2), na posição y = 0, essas energia armazenadas têm seus valores máximos. A energia cinética depende do quanto o elemento da corda é esticada, à medida que a onda passa por ele. Onde u é a velocidade escalar transversal do elemento oscilante da corda, dada pela Eq. como [ ] ) cos( ) cos( ) 0 .( ) ( . 0 ) ( ) ( ) , ( wt kx w y u wt kx w y wt kx sen u wt kx sen y t u t y u wt kx sen y t x y m m m m − − = − − + − = − ∂ ∂ = ∂ ∂ = − = Usando essa relação e colocando-se dm = µdx, reescrevemos a Eq. como ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ) ( cos 2 1 ) ( cos 2 1 ) ( cos 2 1 ) cos( 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 wt kx y w v dt dk wt kx wy dt dx dt dk wt kx wy dx dk wt kx wy dx dk dmu dk m m m m − = − − | ¹ | \ | = − − = − − = = µ µ µ µ A taxa média na qual a energia cinética é transportada é ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 1 cos 2 1 m m m y vw dt dk y vw dt dk wt kx y vw dt dk µ µ µ = | ¹ | \ | = | ¹ | \ | − = | ¹ | \ | Na Eq. , obtemos a média sobre um número inteiro de comprimentos de onda e usamos o fato de que o valor médio do quadrado da função cosseno tomado sobre um número inteiro de de que o valor médio do quadrado da função cosseno tomado sobre um número inteiro de comprimento de onda é ½. A energia potencial também é transportada pela onda e na mesma taxa média dada pela Eq. Apesar de não se fazer a demonstração, você deve se lembra que num sistema oscilante, tal como um pêndulo ou um sistema massa-mol, a energia cinética média e a energia potencial média são de fato iguais. A potência média, que é a taxa média na qual a energia de ambos os tipos é transmitida pela onda, é então | ¹ | \ | = dt dk P 2 Ou, pela Eq. média) (potência 2 1 2 2 m y vw P µ = Nesta equação os fatores µ e v dependem do material e da tensão da corda. Os fatores w e y m dependem do processo que gera a onda. O fato da potência média transmitida pela onda variar com o quadrado de sua amplitude e também com o quadrado de sua freqüência angular é um resultado geral. Verdadeiro para todos os tipos de onda. Exemplo: Uma onda numa tem uma densidade linear µ = 525 g/m e está esticada com uma tensão τ = 45 Uma onda numa tem uma densidade linear µ = 525 g/m e está esticada com uma tensão τ = 45 N. Uma onda cuja freqüência f e amplitude y m são 120 Hz e 8,5 mm, respectivamente, se propaga ao longo da corda. Aque taxa média a onda transporta energia ao longo da corda? a) Qual a taxa média de transporte de energia ao longo da corda ( ) ( ) w P m s rad s m m kg P s rad Hz f w s m m kg N T v y vw P m 100 0085 , 0 . / 754 . / 25 , 9 . / 525 , 0 . 2 1 / 754 120 . 2 2 / 25 , 9 / 525 , 0 45 2 1 2 2 2 2 = = = = = = = = = ∴ π π µ µ •Princípio da superposição •Interferência de ondas ( ) ( ) ) , ( , , 2 1 t x y t x y t x y + = ( ) ( ) wt kx sen y y wt kx sen y y m m − = + − = 2 1 φ Seja: Propagando com diferente fase Φ ( ) wt kx sen y y y t x y m | ¹ | \ | + − = + 2 1 . 2 cos 2 , 2 1 φ φ ( ) ( ) b a b a sen senb sena Lembre − + = + ¹ \ 2 1 cos 2 1 : 2 2 Casos: a) Φ = 0 as 2 ondas tem mesma fase y(x,t) = 2y m sem (kx-wt) A interferência é construtiva e amplitude = 2.y m b) Φ = π as 2 ondas estão em oposição y(x,t) = 0 Façam esquema para (a) t = 0, t = T/4, t = T/2, t = 3T/4 Ondas Estacionárias As ondas sofrem o efeito da interferência devido a superposição de dois trens de ondas. Consideremos dois trens de ondas com mesma freqüência, velocidade e amplitude que se propagam em sentidos opostos: A onda resultante: ( ) ( ) wt kx sen y y wt kx sen y y m m + = − = 2 1 e wt senkx y y m cos 2 = (onda estacionária) Note que uma partícula em qualquer ponto x realiza MHS com o passar do tempo com mesmo freqüência w. Ao contrario das ondas progressivas, cada partícula vibra com mesma amplitude , a característica de uma onda estacionária é o fato que a amplitude não é a mesma para diferentes partículas. A amplitude, 2y m senkx, tem valor máximo para: kx = π/2, 3π/2, 5 π/2,....... x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4,........ O valor mínimo da amplitude: 2y m senkx = 0 kx = nπ = π, 2π, 3π,.......... x = λ/2, λ, 3λ/2, 2λ........ Fig 01. (a) Cinco instantâneos de uma onda se propagando para a esquerda, em instantes t indicados abaixo da parte (c) (T é o período das oscilações). (b) Cinco instantâneos de uma onda igual à de (a), mas se propaga para a direita, nos mesmos instantes t. (c) Instantâneos correspondentes para a superposição das duas ondas na mesma corda. Nos instantes t = 0, T/2, e T a interferência é totalmente construtiva, ou seja, os picos se alinham com picos e os valores com vales. Em t = T/4 e 3T/4 a interferência é totalmente destrutiva, pois os picos se alinham com vales. Alguns pontos (os nós, indicados por pontos) permanecemimóveis; outros (os antinós) oscilam com amplitude máxima. Exercícios: 1. A equação de uma onda transversal progressiva numa corda sob tensão F é dado por: y = 6,0 sem(0,02πx+4,0πt); com x, y em centímetro e t em segundo. Calcule: a) amplitude, b) Comprimento da onda λ, c) Freqüência f; d) Velocidade, e) Sentido de propagação, f) Velocidade transversal máxima de uma partícula na corda, g) Potência transmitida através x expressa por P = (-Fdy/dt)(dy/dt) g) Potência transmitida através x expressa por P = (-Fdy/dt)(dy/dt) 2. Uma onda senoidal propaga-se com v = 80 cm/s. Nota-se que o deslocamento das partículas na corda em x = 10 cm varia no tempo seguindo a equação y = 5,0 sem(1,0 – 4,0t), y em cm. A densidade linear da corda é ρ = 4,0 g/cm. Determine: a) Freqüência f, b) Comprimento de onda λ, c) Equação da onda, d) Tensão na corda (F = v 2 ρ) 3. A figura mostra ondas estacionária numa corda com extremidades fixa. Se AB = 1,5 cm e v prop. = 200 m/s, determine: a) Amplitude, b) W e f, c) T d) y(0,0); Y(λ/2,0) e) Escreva a equação da onda 4. Mostre que y = y m sen(kx-wt)pode ser escrita como: 10 cm A B y m senk(x-vt), y m sen2π(x/λ-vt), y m senw(x/v-t), y m sen2π(x/λ-t/T) 5. Duas ondas sonoras têm intensidade I 1 e I 2 . Qual a relação entre seus níveis sonoros? [I 2 /I 1 = (I 2 /I 0 )/(I 1 /I 0 )]. Dado: nível sonoro β = 10dB.logI/I 0 6. A pressão em uma onda sonora progressiva é: ∆P = (1,5 Pa)senπ[(1,om -1 )x- (330s -1 )t] 7. Dois sons diferente em nível por 1,0 dB. Qual a razão de suas intensidades? 8. O nível de água num tubo de vidro com 1,0 m pode ser ajustado em qualquer posição. Um diapasão vibrando 686 Hz é colocado junto a extremidade aberta do tubo. Em quais posições da água haverá ressonância? 9. Uma ambulância toca sua sirene a 1.600 Hz ultrapassa um ciclista que estava a 8,0 pe/seg. Ao ultrapassar, o ciclista escuta a sirene a 1.590 Hz. Qual a velocidade da ambulância? Exercícios: 1. Duas ondas que se propagam, movendo-se no mesmo sentido, ao longo de uma corda esticada, se interferem mutuamente. A amplitude y m de cada onda é 9,7 mm e a diferença de fase entre elas é Φ = 110 0 . a) Qual a amplitude da onda formada pela interferência dessas ondas? a) Que diferença de fase Φ, entre essas ondas, tornaria a amplitude da onda ' m y [ ] | ¹ | \ | + − = + = φ φ 2 1 cos 2 2 1 2 1 wt kx sen y y y y m mm y m 11 cos . 7 , 9 . 2 2 110 ' = = a) Que diferença de fase Φ, entre essas ondas, tornaria a amplitude da onda resultante idêntica aquela das ondas que estão interferindo? ( ) rad 2,1 ou 120 2 1 cos 2 1 cos cos 2 0 1 2 2 1 = → | ¹ | \ | = ∴ = → = ∴ − φ φ φ φ m m y y 2. Considere a onda descrita por: y(x,t) = 0,00327 sem(72,1x-2,72t) a) Qual o deslocamento em x = 22,5 cm e t = 18,95? b) Qual a velocidade escalar transversal neste ponto? c) Qual a aceleração transversal a (= ∂u/∂t) neste ponto? x e y em metros Exercícios: 1. Uma corda presa a um vibrado em P e passando por um suporte em Q é tensionada por um bloco de massa m. A separação l entre P e Q é 1,2 m, a densidade linear da corda é de 1,6 g/m e a freqüência f do vibrado é fixa em 120 Hz. A amplitude de movimento em P é pequena o suficiente para que esse ponto possa ser considerado um nó. Outro nó existe em Q. Determine a) Que massa m permitirá o vibrado estabelecer o 4 0 . harmônico na corda? Lembrar: ,... 3 , 2 , 1 , 2 = = n para n l v f µ µ τ mg v = = 2. Ache as 3 freqüências mais baixas para ondas estacionárias num fio de 10 cm com m = 100 g e esticado sobre tensão de 250 N. 3. Uma onda estacionária resulta da soma de y 1 = 0,050cos(πx - 4πt) e y 2 = 0,050cos(πx + 4πt), x, y 1 y 2 em metro; t em segundos a) Ache o mesmo valor de corrente a um nó. b) Em quais instantes no intervalo 0≤ t ≥0,50 as partículas em x = 0 terá velocidade zero? 4. Em um certo ponto no espaço duas ondas produzem variações de pressão dado por : ∆P 1 = ∆p m senwt e ∆P 2 = ∆p m sen(wt-Φ). Determine a amplitude da onda resultante nesse ponto quando: Φ = 0, π/2, π/3 5. Dois sons diferem em nível por 1,o dB. Qual a razão entre a maior e a menor intensidade. 6. Um certo nivel de som é aumentado em 30 dB. Por qual número ficou aumentado a) Sua intensidade, b) Sua amplitude. b) Sua amplitude. 7. Os morcegos se orientam para emissão de ondas ultra-sônicas, suponha que um morcego voe na direção de uma mariposa à V b = 9,0 m/s, enquanto a mariposa voa na direção dele à V m = 8,0 m/s. O morcego emite, de sua narina, ondas US de freqüência f bc que refletem na mariposa e voltou para ele a freqüência f db . Ele ajusta a freqüência emitida f bc até que a recebida f bd seja 83 kHz, que é a máxima para sensibilidade de audição do morcego. a) Qual a freqüência f m , ouvidas e refletidas, pela mariposa? b) Qual a freqüência f bc emitida pelo morcego? Ondas II UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL CEP 59.072-970 – Natal / RN – CGC 243657100.004-26 Telefone (084) 215-3793, 215-3794, 215-3795 – FAX (084) 215-3791 Ondas II Professor Dr. Uílame Umbelino Gomes Ondas Sonoras: •Propagação ∆P = ∆p m sen(kx-wt) ∆p m Amplitude de pressão = (v 2 ρ.k)S m ou ∆P m = (v 2 ρ.k)S m •Velocidade do som: Intensidade sonora: B, módulo de elasticidade ρ µ τ B V V som corda = = , 1 Intensidade sonora: Nível sonoro (Escala decibel, dB): O nível sonoro β é definido em dB onde I 0 = intensidade de referencia padrão = 10 -12 w/m 2 limite inferior de audição. Para I = I 0 , o nível sonoro em dB β = (10 dB)log I 0/ I 0 = 0 O nosso nível padrão de referencia auditivo: β = 0 Obs: 2 2 2 1 m S vw P I ρ = = ( ) 0 log 10 I I dB = β ( ) ( ) 12 0 12 0 6 11 5 int 10 10 10 10 10 − − − = → ≅ → ≅ I I I m S m S fraco m enso m Padrão Meio Velocidade (m/s) Gases Ar (0 0 C) 331 Ar (20 0 C) 343 Hélio 965 Hidrogênio 1.284 Líquidos Água (0 0 C) 1.402 elástica e propriedad = = som som V V µ τ ρ β Tabela 1 A velocidade do som a Água (20 0 C) 1.482 Água do mar b 1.522 Sólidos Alumínio 6.420 Aço 5.941 Granito 6.000 inercial e propriedad elástica e propriedad = som V a A 0 0 C e 1 atmosfera, exceto onde houver alteração b A 20 0 C e 3,5 % de salinidade Limite de audição 0 Arrastar de folha 10 Assobio (a 1 mde distância) 20 Rua de cidade, semtráfego 30 Escritório, sala de aula 50 Conversa normal (a 1 m) 60 Tabela 2 Alguns Níveis Sonoros (dB) Conversa normal (a 1 m) 60 Martelo hidráulico (a 1 m) 90 Banda de rock 110 Limiar de dor 120 Turbina a jato (a 50 m) 130 Foguete Saturno (a 50 m) 200 Fig. 02 A faixa média do nível de som para ouvidos humanos. Os limiares da dor e da escuta dependem da freqüência. Mostramos, também a faixa aproximada das freqüências e níveis de som encontrados na música. Efeito Doppler: f D v v v v f f m ± = . ´ Detector e fonte em movimento v = velocidade do som no meio v D = velocidade do detector em relação ao meio v f = velocidade da fonte em relação ao meio + = fonte se movendo para o detector + = fonte se movendo para o detector -= fonte se afastando do detector Quando: v D e v f << v | ¹ | \ | ± ≅ v u f f 1 ´ u = velocidade da fonte em relação ao detector Ondas Estacionarias e Ressonância Os modos de oscilação ocorrem só em freqüência discretas e bem definidas. Nessas freqüências dizemos que o sistema entra em ressonância. Exemplos: n l v v f n l . 2 2 = = → = λ λ Fig. Uma corda, esticada entre dois suportes, oscila com ondas estacionarias. (a) O padrão mais simples possível é o de meio comprimento de onda, mostrado na figura pela posição da corda nos pontos de máximo deslocamento (linhas contínua e tracejada). (b) O segundo padrão mais simples é o de um comprimento de onda, (c) O terceiro padrão mais simples é o de um meio comprimento de onda. n = 1, 2, 3,......Número Harmônico f n = freqüência de ressonância n = 1 Primeiro harmônico n = 2 Segundo harmônico . = .................................. . Na freqüência ressonante a corda absorve energia . Se vibrar em outras freqüência, absorve pouca energia Ressonância: Modos de freqüência (harmônicos) ocorrem para determinar valores de f e nestes modos a amplitude aumenta. µ µ λ F l n f F n l v v f a ressonânci 2 v como . 2 = → = = = n = harmônicos n = 1 Primeiro harmônico n = 2 Segundo harmônico . = .................................. . n = 1, 2, 3, 4,...... Batimento: Batimento: Sons com diferentes freqüências? Sons emitidos com diferença de tempo de emissão Em geral não somos capaz de distinguir-los. Mas, se dois sons atingem nossos ouvidos simultaneamente, percebe-se um som que é media das duas freqüências. Variações temporais dos deslocamentos de duas ondas sonoras em um ponto: 2 1 2 2 1 1 cos , cos S S S t w S S t w S S m m + = → = = [ ] wt t w S S m cos ´ cos 2 = ( ) ( ) ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ + = − = 2 1 2 1 2 1 2 1 ´ onde w w w w w w ´ 2 1 w w w w Para >> → ≈ Podemos considerar “S” como uma fração de freqüência e amplitude = 2S m cosw´t, não constante. O batimento ocorrerá sempre que cosw´t = ± 1, o que acontece duas vezes, a cada vez que a função se repete vezes, a cada vez que a função se repete w batmento = 2w´= (2)1/2 (w 1 – w 2 ) = w 1 – w 2 ou f batimento = f 1 – f 2 Exercícios: 1. Uma onda transversal senoidal é gerada em uma extremidade de uma corda mediante o deslocamento para cima e para baixo de 0,50 cm, com freqüência de 120 Hz a) Se a corda tem densidade linear de 0,25 kg/m, mantida sob tensão de 95 Newton, qual a velocidade, amplitude e o comprimento de onda deste movimento oscilatório b) Escreva a equação da onda, supondo movimento de esquerda para direita e que em t = 0, a extremidade onde x = 0 está na posição de equilíbrio y = 0. 2. A velocidade das ondas EM no vácuo é 3x10 8 m/s. a) Os comprimentos de ondas visível 4x10 -7 m (violeta) a 7x10 -7 m (vermelho). Qual o intervalo de freqüência do visível? b) A faixa de f das OR (curtas) é 1,5 MHz, qual a faixa de comprimentos de ondas. c) Os comprimentos de ondas de raios-x se estendem aproximadamente 5,0 nm – 0,01 nm. Qual ∆λ R: a) 400 até 800 (THz) ; b) 200 m; c) 6x10 4 até 3x10 7 THz. 3. O comprimento de onda da luz diminui quando ela passa do ar para água. Se a luz é vermelha quando está no ar que cor provável teria quando vista no interior da água. 5. O comprimento de onda da luz amarela do sódio no ar é 589 nm. a) Qual é a freqüência ? b) Qual é o comprimento de onda λ’ em um vidro com n = 1,52; c) Qual é a velocidade da luz nesse vidro? 6. Defina a) onde progressiva; b) onda estacionaria; c) coerência entre duas ondas. 7. Qual é a diferença de fase entre as ondas que chega à franja escura de ordem em uma experiência de Yong? 8. Se a distancia d entre as fendas for duplicada, por qual fator a distância D deveria ser multiplicado para não alterar Y m ? deveria ser multiplicado para não alterar Y m ? 9. Uma fonte pontual emite ondas sonoras em todas as direções, uniformemente. a) Qual a intensidade das ondas a uma distância r a fonte, se esta emite energia a potência P? b) Como a amplitude da onda sonora depende de r ? Como 2 2 1 4 r r P Área P I ∝ = = π 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 4 1 . 4 2 1 vw P r r vw P S r P S vw I m m πρ π ρ π ρ = = ∴ = = 10. Um certo nível sonoro é aumentado em 30 dB. Por qual número ficou multiplicado a) sua intensidade; b) sua amplitude ( ) 1000 3 log 30 log 10 1 2 2 2 1 2 1 2 = = = − = I I I I I I dB β β 32 1000 2 = = = = I A I A a) b) 11. Dois sons diferem em nível por 1,0 dB. Qual a razão entre a maior e a menor intensidade? menor intensidade? ( ) 2 , 1 1 , 0 log 1 log 10 1 2 1 2 1 2 1 2 = = → = − = I I I I dB I I dB β β 12. Duas ondas sonoras têm intensidade I 1 e I 2 . a) Qual a relação entre seus níveis sonoros? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 0 1 0 2 1 2 0 1 0 2 1 2 0 1 0 2 1 2 log 10 log 10 log 10 log 10 / / log 10 log 10 / / 1 2 I I dB I I dB I I dB I I dB I I I I dB I I dB I I I I I I = − − = = → = β β β β 4 43 4 42 1 4 43 4 42 1 ( ) 1 1 2 log 10 I dB = − β β b) Se a intensidade de uma onda sonora for multiplicada por 2,0, quanto será adicionado ao nível sonoro ( ) ( ) dB dB I I dB 0 , 3 2 log 10 log 10 1 2 1 2 = = = − β β 13. A banda The who em um show, seu sonoro num ponto a 46 m da caixa acústica foi β 2 = 120 dB. a) Qual é a razão desta intensidade e a de um martelo hidráulico com nível sonoro β 1 = 92 dB? ( ) 630 8 , 2 log 28 92 120 log 10 1 2 1 2 1 2 = → = = − = I I I I dB dB dB I I dB b) O quanto um grito de 60 dB é mais intenso que um sussurro de 20 dB b) O quanto um grito de 60 dB é mais intenso que um sussurro de 20 dB ( ) sussurro o que forte mais vezes 10 100 x 100 x 100 : grito 0 20 20 20 60dB : Ver tabela e intensidad na 100 aumento 20 6 = + + = → dB dB