Movimento Harmônico Simples Quando um corpo oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio, descrevendo uma trajetória retilínea, pode-se dizer que este corpo efetua um movimento harmônico simples linear e este ocorre em razão da ação de uma força restauradora. Sistema Massa-Mola No estudo feito do MHS utilizaremos como referência um sistema massa-mola, que pode ser visualizado na figura a seguir. O bloco em vermelho ligado a uma mola tendo como posição de equilíbrio do sistema a posição Xo. Nesse sistema desprezaremos as forças dissipativas (atrito e resistência do ar). O bloco, quando colocado em oscilação, se movimentará sob a ação da força restauradora elástica, que pode ser calculada pela seguinte expressão: A força elástica é diretamente proporcional à deformação da mola [X(m)], sendo K(N/m) a constante elástica da mola. Período O período de um corpo em MHS é o intervalo de tempo referente a uma oscilação completa e pode ser calculado através da seguinte expressão O período [T(s)] depende da massa do corpo colocado em oscilação [m(kg)] e da constante elástica da mola [k(N/m)]. Frequência A frequência de um corpo em MHS corresponde ao número de oscilações que esse corpo executa por unidade de tempo e essa grandeza pode ser determinada pela seguinte expressão: A unidade associada à grandeza frequência no s.i é dada em hertz (Hz). Frequência é inversamente proporcional ao período e pode ser expressa matematicamente pela seguinte relação: Posição do Móvel em MHS A equação que representa a posição de um móvel em MHS será dada a seguir em função do tempo. As posições a e -a são deformações máximas que a mola terá quando o bloco de massa m for colocado em oscilação. A posição X é dada em função do tempo. a = elongação máxima (m) w = frequência angular (rad/s) O= espaço angular que um ponto projetado pelo bloco sobre uma circunferência realiza (rad). t = intervalo de tempo Por Frederico Borges de Almeida Graduado em Física Equipe Brasil Escola Força no Movimento Harmônico Simples < Assim como visto anteriormente o valor da aceleração para uma partícula em MHS é dada por: Então, pela 2ª Lei de Newton, sabemos que a força resultante sobre o sistema é dada pelo produto de sua massa e aceleração, logo: Como a massa e a pulsação são valores constantes para um determinado MHS, podemos substituir o produto mω² pela constante k, denominada constante de força do MHS. Obtendo: Com isso concluímos que o valor algébrico da força resultante que atua sobre uma partícula que descreve um MHS é proporcional à elongação, embora tenham sinais opostos. Esta é a característica fundamental que determina se um corpo realiza um movimento harmônico simples. Chama-se a força que atua sobre um corpo que descreve MHS de força restauradora, pois ela atua de modo a garantir o prosseguimento das oscilações, restaurando o movimento anterior. Sempre que a partícula passa pela posição central, a força tem o efeito de retardá-la para depois poder trazê-la de volta. Ponto de equilíbrio do MHS No ponto médio da trajetória, a elongação é numericamente igual a zero (x=0), conseqüentemente a força resultante que atua neste momento também é nula (F=0). Este ponto onde a força é anulada é denominado ponto de equilíbrio do movimento. Ponto de equilíbrio do MHS No ponto médio da trajetória, a elongação é numericamente igual a zero (x=0), conseqüentemente a força resultante que atua neste momento também é nula (F=0). Este ponto onde a força é anulada é denominado ponto de equilíbrio do movimento. Período do MHS Grande parte das utilidades práticas do MHS está relacionado ao conhecimento de seu período (T), já que experimentalmente é fácil de medi-lo e partindo dele é possível determinar outras grandezas. Como definimos anteriormente: k=mω² A partir daí podemos obter uma equação para a pulsação do MHS: Mas, sabemos que: Então, podemos chegar a expressão: Como sabemos, a frequência é igual ao inverso do período, logo: Exemplo: Ao modificar-se a posição do bloco para um ponto em x. regida pela lei de Hooke. é deformado.Oscilador massa-mola < Um oscilador massa-mola ideal é um modelo físico composto por uma mola sem massa que possa ser deformada sem perder suas propriedades elásticas. mesmo que seja de medidas desprezíveis. e um corpo de massa m que não se deforme sob ação de qualquer força. este sofrerá a ação de uma força restauradora. chamada mola de Hooke. E sob determinadas condições. postos sobre uma superfície sem atrito. com muita proximidade. é possível obtermos. diz-se que o bloco encontra-se em posição de equilíbrio. Este sistema é fisicamente impossível já que uma mola. que são: Oscilador massa-mola horizontal É composto por uma mola com constante elástica K de massa desprezível e um bloco de massa m. Assim podemos descrever dois sistemas massa-mola básicos. . jamais será considerada um corpo sem massa e após determinada deformação perderá sua elasticidade. quando sofre a aplicação de uma força. conforme mostra a figura abaixo: Como a mola não está deformada. por mais leve que seja. Mesmo assim. logo é a força resultante. ou seja: Como a superfície não tem atrito. para as condições que desejamos calcular. este é um sistema muito eficiente. Enquanto um corpo de qualquer substância conhecida. um oscilador massa-mola. esta é a única força que atua sobre o bloco. o sistema passará a oscilar com amplitude igual à posição em que o bloco foi abandonado em x.caracterizando um MHS. . A elongação do MHS. de modo que: Assim podemos fazer algumas observações sobre este sistema: O bloco preso à mola executa um MHS. o período de oscilação do sistema é dado por: Ao considerar a superfície sem atrito. Sendo assim. é igual à deformação da mola. a força resultante é nula. No ponto de equilíbrio. sendo que: Assim podemos concluir que na posição x=0. já que toda a energia mecânica é resultado desta velocidade. novamente o objeto ficará momentaneamente parado (v=0). tem-se que: Quando o objeto é abandonado na posição x=A. a energia mecânica do sistema é igual à energia potencial elástica armazenada. Assim: Ao chegar na posição x=-A. pois não há movimento e. Para todos os outros pontos do sistema: . consequentemente.Energia do Oscilador Analisando a energia mecânica do sistema. energia cinética. ocorre a velocidade máxima do sistema massa-mola. ocorrerá o fenômeno inverso ao da máxima elongação. No ponto em que x=0. tendo sua energia mecânica igual à energia potencial elástica do sistema. Partindo do ponto de equilíbrio. em um ambiente que não cause resistência ao movimento do sistema: Podemos observar que o ponto onde o corpo fica em equilíbrio é: Ou seja. já que a força resultante no bloco será: . oscilando entre os pontos A e -A. a força elástica será aumentada. de uma mola de constante K e um bloco de massa m. o oscilador deve se manter em MHS. Apesar da energia potencial elástica não ser nula neste ponto. que se aproximam das condições de um oscilador massa-mola ideal. ao ser "puxado" o bloco. toda a energia mecânica é conservada durante o movimento de um oscilador massa-mola horizontal. com a mola presa verticalmente à um suporte e ao bloco. Curta nossa página nas redes sociais! Oscilador massa-mola vertical Imaginemos o sistema anterior.Como não há dissipação de energia neste modelo. considerá-se este o ponto inicial do movimento. é o ponto onde a força elástica e a força peso se anulam. e como esta é uma força restauradora e não estamos considerando as dissipações de energia. cônicos. representado da seguinte forma: Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos. de Karter e invertidos. como o peso não varia conforme o movimento. Este pêndulo consiste em uma massa presa a um fio flexível e inextensível por uma de suas extremidades e livre por outra. Tendo seu período expresso por: Pêndulo Simples Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô que permite sua movimentação livremente. o pêndulo realiza oscilações. portanto é um MHS. já que estes descrevem-no como um objeto de fácil previsão de movimentos e que possibilitou inúmeros avanços tecnológicos. Mas o modelo mais simples. Assim. a força varia proporcionalmente à elongação do movimento. espirais. A massa fica sujeita à força restauradora causada pela gravidade. Ao desconsiderarmos a resistência do ar. e que tem maior utilização é o Pêndulo Simples. Desta forma: .Mas. de torção. de Foucalt. duplos. Existem inúmeros pêndulos estudados por físicos. este pode ser considerado como uma constante. as únicas forças que atuam sobre o pêndulo são a tensão com o fio e o peso da massa m. alguns deles são os pêndulos físicos. No entanto. a única causa do movimento oscilatório é a P.o Como P=mg. dado porℓ. podemos considerar que: Então. g e ℓ são constantes neste sistema. expresso em radianos que por definição é dado pelo quociente do arco descrito pelo ângulo. Então. e m. reescrevemos a força restauradora do sistema como: Sendo assim. para ângulos pequenos. valor do seno do ângulo é aproximadamente igual a este ângulo. Então: No entanto. um pêndulo . a análise de um pêndulo simples nos mostra que. sendo assim. ao considerarmos os caso de pequenos ângulos de oscilação: . assim: Onde ao substituirmos em F: Assim é possível concluir que o movimento de um pêndulo simples não descreve um MHS.A componente da força Peso que é dado por P. já que a força não é proporcional à elongação e sim ao seno dela.senθ. para pequenas oscilações. o ângulo θ. que no movimento oscilatório de um pêndulo é x e o raio de aplicação do mesmo.cosθ se anulará com a força de Tensão do fio. no caso. o período é dado por: e como Então o período de um pêndulo simples pode ser expresso por: Curta nossa página http://www.I Determine a amplitude do movimento. Como para qualquer MHS.sofisica.br/conteudos/Ondulatoria/Ondas/classificacao.com.simples descreve um MHS.cos(π. ver resposta Questão 2 Determine o período do ponteiro de um relógio e calcule a sua velocidade angular.php Questão 1 Um móvel executa um movimento harmônico simples segundo a seguinte equação: x = 4. a pulsação. o período e a frequência do movimento.t + π) – S. ver resposta . a fase inicial. s com período igual a 4s. em função do tempo.cos(w. A partir do gráfico. Logo. . de uma partícula em movimento harmônico simples no intervalo de tempo entre 0 e 4 segundos. A equação da posição em função do tempo para esse movimento é dada por x = a. Considere o sistema bloco-mola livre de forças dissipativas e que o bloco entra em m. Questão 3 Um bloco é comprimido da sua posição de equilíbrio para outra posição e posteriormente é solto. w e φ0. encontre os valores das constantes a. Determine a frequência do movimento.h. ver resposta Questão 4 (UFG) O gráfico mostra a posição. a pulsação e a fase inicial. a amplitude do movimento equivale a 2m. Analisando o gráfico percebemos que a posição do móvel que se encontra em mhs oscila entre os pontos 2 e -2.t + φ0). f 1 = 2.f π= 2 .t + φ0) equação horária da posição.π.28.cos(w. Amplitude a = 4m Pulsação w = π rad/s Fase Inicial φ0 = π rad Frequência w = 2 .ver resposta Respostas Resposta Questão 1 x = a.π.103 Hz .f f = 1/2 Hz voltar a questão Resposta Questão 2 Δt = 1h = 60min = 3600s f = 1/t f = 1/3600 f = 0.π.f w = 2 . π.cos(w.0 + φ0) Cosφ0 = -1 φ0 = arcsen(-1) = 180° = π rad voltar a questão Resposta Questão 4 Velocidade angular w = 2.(1/4) w = π/2 rad/s Fase inicial x = a.voltar a questão Resposta Questão 3 Frequência f = 1/T f = 1/4 Hz Pulsação w = 2π.π w = π/2 rad/s A fase inicial é dada por .f w = 2.t + φ0) -3 = 3.(1/4).f f = 1/T = 1/4 Hz w = 2.π.cos ([π/2] . 10. Derivando duas vezes a equação anterior.0.0. A energia é dada pela Equação Que substituindo os valores dados pelo cabeçalho.1.101 / .cos(wt + π} X = 2. Uma partícula de massa 1. π. Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 2. fica 023 1 (1) Prof. Solução: Assim.4cm. temos(1) Sabemos que a frequência angular é dada por: 2! Pelos dados do exercício.cos ([π/2]. temos que: T = 4s w = 2. temos .X = a.0.π.2 e frequência 6. Ribeiro MHS 2 Da equação (1)./ e uma velocidade máxima 0 1.t + π Analisando graficamente. temos Simplificando. descreve um MHS com período . Calcule a) a frequência angular e b) o deslocamento máximo da partícula. a velocidade máxima. Determine a energia mecânica de um sistema massa-mola com constante elástica de 1. temos que 2.3N/cm e uma amplitude de oscilação de 2. Flávio F.10 *+.f = 2. temos que amplitude máxima é 3.6 ? Solução: Vimos que em um Movimento Harmônico Simples (MHS) a posição é dada pela seguinte equação .1/4 = ½] voltar a questão Exercícios 1. 20 / .4. Quando o deslocamento em um MHS é de metade da amplitude A. isolando a constante k. ficando Prof. Um oscilador massa-mola possui energia mecânica de 1. 10 e 023 1. é o restante de energia total que sobrou. que é um MHS é dada pela equação Então. podemos determinar a constante elástica pela energia. c) a frequência angular a) A energia de um sistema massa-mola. ficando 7> 7? 147> Isolando energia cinética 7? C+ 2D 14C+ 2D Os termos entre parênteses são comuns e valem a energia total. b) a massa do bloco.09. Flávio F. logo 7@ 147> . então podemos utilizar a equação da energia cinética Ficando a massa igual a c) A frequência angular é dada por 5. Determine. a) a constante elástica. que fração da energia total é a) a energia mecânica e b) energia potencial? a) A energia total é dada pela soma da energia potencial mais a energia cinética 7>7?7@ (1) Para a metade da amplitude. fica b) O cabeçalho nos dá o valor da velocidade e da energia. a energia potencial fica O termo entre parênteses é igual a energia total(equação 1). Ribeiro MHS 3 7? 347> b) A energia potencial. a freqüência do movimento? . A freqüência do movimento é: a) 100 Hz b) 1000 Hz c) 10 Hz d) 20 Hz e) 200 Hz 2) Uma partícula em movimento harmônico simples obedece à equação x = 0.05 m/s c) 0.05 /4 m/s d) e) /4 m/s /2 m/s .05 cos( /2 + com dados no Sistema Internacional a partir do instante t = 0.1ª Lista Movimento Harmônico Simples 1) Uma partícula material realiza movimento harmônico simples com período 0.t/4) 3) Uma partícula realiza um movimento harmônico simples.10 segundos. de acordo com o gráfico abaixo. Qual. A velocidade escalar desta partícula no instante t = 6 s é: a) zero b) 0. em hertz.Ondulatória . 5. b) a freqüência da fonte é 0. Sendo a) m/s segundos o seu período. As ondas se propagam na corda com velocidade de 6 cm/s.0 m/s d) 10 m/s e) 1.0 m.5 s.30 m de diâmetro que executa um MCU de 0. uma fonte de ondas periódicas determina numa corda tensa o aspecto apresentado na figura abaixo. de abcissas .5 Hz.0 m/s 6) Na figura abaixo. Podemos afirmar que: a) o período da fonte é 2 s. V é . a velocidade máxima atingida pelo ponto material é: b) 2 m/s c) 5. e) a amplitude das ondas é 2 cm.a) 1 b)1/2 c) 4 d) e) 2 4) Em 2 segundos.0 m e 5. cuja trajetória é o segmento de extremidades A e A'.0 kg executa um MHS. 55 Hz. 5) Um ponto material de massa 2. c) o período das ondas é 0. d) o comprimento de onda das ondas é 6 cm. D é um disco de 0. aproximadamente igual a 1. aproximadamente igual a 5. aproximadamente iguala 1. é puxado até a posição C e. num ponto periférico do disco.56 kg está preso a uma mola de massa desprezível (k = 100 N/m). . e) máxima. A sombra desta vela. e) depende da medida L. perpendicularmente. O referido corpo.5 s. b) constante.25 s. devido à incidência de um feixe de luz paralelo. abandonado. aproximadamente igual a 0. 7) No esquema abaixo. apresenta uma velocidade: a) constante. aproximadamente igual a 0.03 m/s. projetada na parede. b) é aproximadamente 0. d) máxima. em repouso na posição B de equilíbrio do conjunto.2 m/s.0 s. um corpo de 2.52 m/s. O intervalo de tempo necessário para que este corpo passe por B pela primeira vez: a) é aproximadamente 0. c) é aproximadamente 1. em seguida. c) constante.03 m/s.uma vela de diâmetro desprezível colocada.52 m/s. d) depende do comprimento da mola. 0 cm e abandonado. ligado à mola. . conforme mostra a figura.0 kg é conectado à extremidade inferior da mola e depois é abandonado. se puxarmos o bloco até o ponto K.0 kg estica de 10 cm uma mola à qual está suspenso na vertical e em repouso. em segundos. Nestas circunstâncias. Uma mola de massa desprezível e de constante elástica k = 50 N/m está suspensa verticalmente. a. (g = 10 m/s2) O período de oscilação da mola é de: a) 0.8) Um bloco de massa m. o corpo é deslocado de 5. Um corpo de massa m = 2. em repouso. a partir do repouso. Este enunciado se refere às questões de 10 a 12.31 s b) 0. O corpo.50 s c) 0. é colocado numa superfície horizontal sem atrito. preso à extremidade de uma mola. o período de oscilação será de 4 segundos. então. está em equilíbrio no ponto O e sobre uma superfície sem atrito. igual a: a) 16 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1 9) Um corpo de 2.93 s e) n. Assim. o período de oscilação será.63 s d) 0. Puxando-se o bloco até o ponto J. r. 8 m c) 0. na ausência de forças dissipativas. A energia mecânica total do sistema é de 0. Um ponto material.2 m d) 0.2 joule. de massa m = 0. animado de MHS (movimento harmônico simples).1 kg. A mola tem constante elástica k = 40 N/m.1 m e) 1.10) De quanto é a dissensão máxima da mola (g = 10 m/s2) a) 0.4 m b) 0. 13)A amplitude de oscilação é: .0 m 11) Qual é a velocidade máxima do corpo? a) 2 m/s b) 4 m/s c) √2 m/s d) √3 m/s e) 3 m/s 12) Qual a aceleração do corpo no porto mais baixo? a) 5 m/s2 para cima b) 5 m/s2 para baixo c) 10 m/s2 para cima d) 10 m/s2 para baixo e) nula Este enunciado se refere às questões 13 e 14. oscila em tomo da posição 0. é: a) 1 m/s b) 2 m/s c) 4 m/s d) 8 m/s 15) A energia cinética de um ponto material que realiza MHS é máxima quando: a) a aceleração é máxima.8 m 14) O valor máximo da velocidade do ponto material.4 m d) 0.5√2 cm c) +5 cm e -5 cm d) + 5√2/2 cm e . em módulo. Quando o pêndulo estiver no ponto M. é incorreto afirmar que a: s. o seu comprimento é de: a) 10 m b) 10 m c) 20 m d) 10 cm e) 20 m 18) Um pêndulo simples oscila entre duas posições M e N. e) a energia potencial é máxima.5√2/2 cm e) + 5√3 cm e .a) 0. a) +10 cm e -10 cm b) + 5√2 cm e . d) a força é nula.1 m b) 0. b) a força é máxima.2 m c) 0.5√3 cm 17) Se a duração de uma oscilação simples de um pêndulo é de 7 m/s2. c) a elongação é máxima. 16) Um corpo está dotado de MHS. oscilando entre os pontos de abscissas – 10 cm e + 10 cm. Tomando como nível zero de energia potencial o ponto de abscissa zero. em um lugar onde g = 10 . indique em que pontos é a energia do sistema constituída de duas partes iguais. uma cinética e outra potencial. d) é diretamente proporcional à amplitude. o tempo para uma oscilação completa será de: a) 6.5 s c) 3. 20) Um pêndulo simples de comprimento L gasta 3. e) é inversamente proporcional à amplitude. Nessas condições. de comprimento L.0 s d) 1. e) tensão na corda é diferente de zero. Se este comprimento for reduzido a L .a) velocidade é nula. c) depende da massa m. d) energia cinética é igual a zero. b) não depende do comprimento. 19) A figura abaixo representa um pêndulo simples. desprezando-se todas as formas de atrito.5 s e) 0.0 segundos para uma oscilação completa.75 s 21) Observando os quatro pêndulos da figura. pode-se afirmar que a freqüência da oscilação: a) diminui com o aumento no comprimento L. podemos afirmar que: . b) aceleração é diferente de zero. c) resultante das forças é igual a zero. oscilando com pequena amplitude em tomo da posição de equilíbrio O.0 s b) 4. Nestas condições.01 min. d) o pêndulo B oscila mais devagar que o pêndulo D. e) o pêndulo C e o pêndulo D possuem mesma freqüência de oscilação. c) o pêndulo B e o pêndulo D possuem mesma freqüência de oscilação. 22) Um relógio defeituoso.) II .H.0 min num dia. podendo ser estendido a muitos outros com variações é o Movimento Harmônico Simples (M. e) não apresenta diferença superior a 1. b) atrasa 8 min e 64 s por dia.a) o pêndulo A oscila mais devagar que o pêndulo B. b) o pêndulo A oscila mais devagar que o pêndulo C. S). tem o ponteiro dos segundos realizando uma volta completa em 1. Gabarito Estudo Dirigido de Física On-Line sobre Movimento Harmônico Simples (M. podemos afirmar que tal relógio: a) atrasa 14 min e 24 s por dia. sendo encontrado em vários sistemas. c) adianta 14 min e 24 s por dia.Movimento Harmônico Simples (MHS) Um dos comportamentos oscilatórios mais simples de se estender. embora mantendo um movimento periódico.S. d) adianta 8 min e 64 s por dia. . H. Sistema Massa-Mola na Posição de Equilíbrio Sistema Massa-Mola Estendido . sendo essas forças restauradoras basicamente do tipo forças elásticas. surge uma força restauradora (F = -kX) que tenta trazê-lo de volta a situação inicial. Um sistema conhecido que se comporta dessa maneira é o sistema massa-mola (veja a figura abaixo). presa por uma das extremidades de uma certa mola de fator de restauração k e cuja outra extremidade está ligada a um ponto fixo. Toda vez que tentamos tirar o nosso sistema desse ponto 0. Sistema Massa-Mola Esse sistema possui um ponto de equilíbrio ao qual chamaremos de ponto 0.kX). obedecendo. Consiste de uma massa de valor m. portanto. a Lei de Hooke (F = .Muitos comportamentos oscilatórios surgem a partir da existência de forças restauradoras que tendem a trazer ou manter sistemas em certos estados ou posições. S. . a força restauradora vai aumentando (estamos tomando o valor de X crescendo positivamente à direita do ponto de equilíbrio e vice-versa). qual a relação da força restauradora e do fato de nosso sistema ficar oscilando? Na tentativa de respondermos a essa pergunta começaremos discutindo o tipo de movimento realizado por nosso sistema massa-mola e a natureza matemática deste tipo de movimento.S.H. uma força de sentido contrário e proporcional ao deslocamento X surgirá tentando manter o bloco na posição de equilíbrio 0. Você teria idéia de por quê o nosso sistema oscila? Se haveria.S. Estudo Dirigido de Física On-Line sobre Movimento Harmônico Simples (M. pode ser visualizada abaixo: Se dermos um puxão no bloco de massa m e o soltarmos veremos o nosso sistema oscilando.Cinemática do M.H. se empurramos o bloco de massa m para a esquerda da posição 0. O nosso sistema tem um comportamento similar ao que aparece no esquema abaixo: Perfil de um comportamento tipo M.) III . e se sim.H.S.Sistema Massa-Mola Comprimido À medida que afastamos o bloco de massa m da posição de equilíbrio.H. Uma animação que se comporta como o M. ficando a nossa equação: ma(X(t)) + kX(t) = 0 É possível se ver em um curso de Cálculo Diferencial e Integral a nível superior que em sistemas dependentes do tempo como este podemos aplicar uma função de função chamada derivada aonde podemos dizer que a(X(t)) = d^2X(t)/d^2t. apresentando uma variação de espaço maior nas proximidades do ponto central do que nas extremidades. Tendo a nossa equação o seguinte aspecto agora: m(d2X(t)/d2t) + kX(t) = 0 Onde a solução desta equação sendo chamada de equação diferencial é a função de movimento de nosso sistema massa-mola. Passado esse ponto vamos tentar entender melhor o que seja resolver uma equação . Sabendo-se que a força aplicada no bloco m do nosso sistema massa-mola na direção do eixo X será igual à força restauradora exercida pela mola sobre o bloco na posição X aonde o mesmo se encontrar (3a. Você saberia dizer qual o tipo de função representada em nosso esquema? Esse formato característico pertence a que tipo de funções? Uma explicação para esse tipo de gráfico obtido poderia sair de uma análise das forças existentes no sistema massa-mola. você lhe dar uma função e ela lhe dá outra função. Em uma função você sempre dá um número e a função lhe devolve outro número. comentários podem ser feitos sobre a mesma para termos uma idéia de como se resolve. tendo nós agora: ma(X) + kX = 0 Podemos perceber também que X = X(t) já que a posição de X varia com o tempo enquanto o nosso sistema oscila. o resultado depois de ter passado duas vezes uma função por uma derivada. Apesar de não termos conhecimentos para resolve-la. Lei de Newton sabemos que F(X) = ma(X). que a derivada segunda de X em relação ao tempo é igual à aceleração de nosso sistema. ou seja. mesmo que a compreensão total da mesma somente possa ser entendida a fundo a nível universitário.kX Passando o segundo termo para o primeiro membro temos: F (x) + kX = 0 Usando da 1a. Primeiro vamos tentar entender melhor o que seja uma derivada. Sendo a derivada segunda de uma função. Lei de Newton) podemos escrever a seguinte equação: F (X) = . A derivada que é uma função de função não é muito diferente.Oscilando em torno de um ponto central. e ø é uma fase ou deslocamento angular acrescida ao nosso M.S. que seria o deslocamento máximo realizado pelo bloco em relação à posição de equilíbrio. Pois bem.S. Você sabe resolver uma equação de 2o. ou seja. que se forem substituídos na expressão acima ela será igual a zero. Mesmo sem sabermos como resolver à equação. Você se lembra do procedimento do algoritmo.) sobre o eixo x. somente que em vez de valores você deverá encontrar as funções que satisfazem a equação diferencial. sendo f o número de vezes que o ciclo se repete a cada unidade de tempo). Grau não sabe? Pois bem. onde sabemos que projeções são feitas a partir das funções seno e coseno.H. Grau. Onde A é amplitude do nosso M. w é a freqüência angular do nosso movimento periódico em radianos por segundo (w = 2**f. X(t) = A cos(wt + ø) ou X(t) = A sen(wt + ø). t é a nossa grandeza de tempo. Uma outra forma para se ver que a equação de movimento do M.C. Não existe grande diferença entre uma função seno ou coseno se virmos pela questão de que uma função seno ou coseno se transforma na outra ou essa multiplicada por (-1) se deslocarmos 90 graus ou /2 uma em relação à outra. ou seja. é do tipo seno ou coseno é a partir da projeção do Movimento Circular Uniforme (M.4ac X = (-b ± ((delta)1/2))/2a Onde você encontra aos valores que satisfazem a equação de 2o. posso dizer que um conjunto de funções que a resolve são funções do tipo seno e coseno.H. funções que quando substituídas na equação diferencial no nosso caso dê uma expressão final igual a zero.H.diferencial. você deve se lembrar que você tem algo do tipo: aX2 + bX + c2 = 0 E que a idéia de resolver a equação de segundo grau é encontrar valores de X que satisfaçam a equação. o que corrobora muito bem com o esquema apresentado no começo da seção. a nossa função de movimento X(t) terá a forma A cos(wt + ø) ou A sen(wt + ø). não? delta = b2 .U.S. Em outras palavras. . a idéia de resolver uma equação diferencial não é muito diferente. (usando de um pouco de conhecimentos de trigonometria) também podemos deduzir que a função velocidade também será do tipo seno ou coseno. eixo x produzindo um M.C.U.U. que dX(t)/dt = v(t).C. A partir da projeção do vetor velocidade no M. com uma diferença A função obtida é do tipo seno ou coseno. o que também pode ser escrito v(t) = ±wX(t). considerando que X(t) será igual a A cos(wt + ø) ou a A sen(wt + ø).H.S.C. Em um curso de Cálculo Diferencial e Integral poderemos ver que a função velocidade é a derivada da função deslocamento em relação ao tempo. . sendo somente que v(t) = -wA sen(wt + ø) ou v(t) = wA cos(wt + ø).Projeção do M.H.S. a aceleração. M. O comportamento dessa equação de movimento pode ser mais bem compreendido ao tratarmos também outros parâmetros importantes como a velocidade. a dinâmica e a energia no M. E que disso. ou seja.U. poderemos deduzir que v(t) = dX(t)/dt = -wA sen(wt + ø) ou wA cos(wt + ø). sobre o de fase ø. U.Vetores Velocidade e Aceleração do M. não são representarmos em termos de m/s. N. m/s2. ou seja. podemos fazer uma análise dimensional e verificar a coerência da forma apresentada. Podemos usar uma análise dimensional para verificar se em termos de unidades a expressão é coerente. e função aceleração Gráficos da função velocidade do M. que no nosso caso .C. função deslocamento. A amplitude A no entanto está representando o valor máximo de deslocamento do nosso sistema massa-mola em relação à posição de equilíbrio em unidades de distância.S. J ou qualquer unidade física. Por exemplo. Entretanto. kg. os termos cos(wt + ø) e sen(wt + ø) são termos adimensionais. são apenas números que no caso dessas funções apenas assumem valores que vão de (-1) a 1.H. oC. que é igual a 2**f. A análise dimensional não permite definir se existem constantes ou outros termos adimensionais multiplicando as grandezas.H. onde a freqüência linear f é dada em termos de 1 sobre a nossa unidade de tempo t .S. ambas respectivamente com unidades físicas de [k] = N/m e [m] = kg. A essa altura você deve estar se perguntando como podemos saber qual é o valor de w? Posso dizer que w. que é a nossa freqüência angular. mas com certeza é uma ferramenta útil para dirimir discrepâncias e vermos a coerência de expressões.U.usaremos o m. Membro: [v] = m/s 2o. já que f dá o número de repetições de ciclos em uma unidade de tempo t. ficando: (([k]/[m])1/2) = (((N/m)/kg)1/2) = ((((kg * m/(s2))/m)/kg)1/2) = . que determina o número de ciclos realizados por nosso oscilador em uma unidade de tempo. Membro: [A][w2] = [A][w][w] = m * 1/s * 1/s = m * 1/(s2) = m/(s2) O que comprova que a equação dimensionalmente é coerente. A freqüência angular w.. Membro: [A][w] = m * 1/s = m/s Então dimensionalmente. Ou seja. que está diretamente relacionado a nossa freqüência linear f. ou seja. determinando a variação angular do nosso oscilador no tempo. podemos encontrar uma maneira de arranjar as grandezas físicas k e m de maneira a termos uma expressão aproximada para w. Membro: [a] = m/(s2) 2o. A partir de um curso de Cálculo Diferencial e Integral também podemos ver que a aceleração é a derivada segunda em relação ao tempo da função deslocamento X(t). mas podemos fazer uma análise dimensional para a função aceleração assim como fizemos para a função velocidade. a expressão é coerente.C. A expressão será coerente dimensionalmente se as unidades do primeiro membro forem iguais a do segundo membro.(1/t). também podemos ver que a mesma é do tipo seno ou coseno a partir da projeção do vetor aceleração do M. também será dada em termos de 1 sobre a unidade de tempo t já que 2* também é adimensional. somente que a sua expressão é dada por a(t) = -(w2)A cos(wt + ø) ou -(w2)A sem(wt + ø). que as unidades do segundo membro dêem a unidade m/s que é correspondente à grandeza velocidade. De antemão já digo que essa expressão será obtida tirando-se a raiz quadrada da razão de k/m. que a(t) = dv(t)/dt = d(dX(t)/dt)/dt = d2X(t)/dt = -(w2)X(t). dependerá do fator de restauração k da mola e do fator de inércia m do bloco. Para a aceleração do M. de onde podemos deduzir que a(t) = -(w2)A cos(wt + ø) ou -(w2)A sen(wt + ø). A nossa unidade de tempo no caso será o segundo. Tudo isso pode ser escrito da seguinte maneira: 1o. Assim sendo: 1o. Como [w] = 1/s. nosso sistema não pode desafiar o Princípio de Conservação da Energia.S. como se dão as conversões de energia potencial em cinética e vice-versa.) deve sempre ser constante.H. sempre terá a mesma velocidade ao final da rampa. o que não permite sabermos se existiriam termos adimensionais ou constantes.S. antes de chegarmos a Dinâmica do M. expressa pela relação Ec = ½ m(v^2). então a energia total do sistema (Et = cte. em h = 0. . mas experimentalmente já fora comprovado a bastante tempo que realmente w = ((k/m)1/2). toda a energia potencial gravitacional terá se transformado durante a descida na rampa em energia cinética. partindo sempre da mesma altura. Você já deve saber que devido ao Princípio de Conservação da Energia uma bolinha descendo uma rampa. De maneira não diferente de todos os demais sistemas físicos. IV .. expressa pela relação Epg = mgh. Na próxima seção.= ((((kg/m)*(m/(s2)))/kg)1/2) = (((kg/(s2))/kg)1/2) = (((kg/kg)*(1/(s2)))1/2) = = ((1/(s2))1/2) = 1/s onde já poderíamos considerar pela análise dimensional que uma expressão próxima da que determinasse w seria w ~ ((k/m)1/2). Isso se deve ao fato de se partir sempre de uma mesma altura teremos em todos os casos a mesma energia potencial gravitacional. onde poderemos ver algumas variações do nosso sistema massa-mola apresentado. Isso implica que a soma das energias potencial e cinética do nosso sistema deve ser sempre igual.Energia no M. E para o princípio de conservação da energia ser garantido.H. independentemente da inclinação da rampa. compreendermos como se dá o processo de conservação de energia dentro do sistema massa-mola. somente que em vez de energia potencial gravitacional. Você deve se lembrar de nosso comentário sobre o fato (que pode ser observado experimentalmente) do bloco de massa m se mover mais rapidamente nas proximidades da posição 0 do que nas extremidades do movimento. resultando em Et = Ec + Epel + Epg. independentemente da inclinação da rampa. Qui. geralmente iremos trabalhar somente com energia potencial elástica. sendo que nas extremidades temos mais Epel e nas proximidades do ponto de equilíbrio a Ec é maior. Enquanto que na posição de equilíbrio como X = 0. Para o nosso sistema massa-mola isso não é diferente. pois energia não se perde e sempre haverá energia potencial elástica se convertendo em energia cinética e vice-versa. expressa por Epel = ½ k(X). Por isso que em um sistema massa-mola ideal a oscilação nunca cessa. o que pode ser observado também a partir dos gráficos da função velocidade em comparação ao da função deslocamento. O nosso sistema bola-elástico similar ao nosso sistema massa-mola também apresenta Epel.com.A velocidade da bolinha devido ao Princípio de Conservação de Energia será sempre a mesma no final da rampa. a Epel é nula e a Ec é máxima. Nas posições intermediárias temos Epel e Ec diferentes de zero. da energia potencial elástica (Epel) e da energia potencial gravitacional (Epg). Em certos sistemas aonde o efeito da gravidade se faz presente sobre o bloco a única diferença é que Et será dado agora pela soma da energia cinética (Ec). 05 de Agosto de 2010 02:08 MOVIMENTOS PERIÓDICOS www.br . desde que parta sempre da mesma altura. Isso se deve ao fato de que nas extremidades o valor da Epel é máximo e Ec é nula.nilsong. onde também teremos conversões entre esses tipos de energia de maneira a garantir o Princípio de Conservação da Energia. se convertendo uma na outra. I) RESUMO DE MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) ------------------------------------------------------------------------------1) Introdução: É a projeção do movimento circular uniforme(MCU) sobre uma reta que contém o diâmetro de uma circunferência.Kx . no eixo vertical y é um movimento harmônico simples. Descrição Associação em paralelo Associação em série Equações Kp = K1 + k2 1 1 1 —— = —— + —— ks k1 k2 . Também a projeção do movimento de uma onda. . -------------------------------------------------------------------------------------------------. Descrição Velocidade angular em geral Equações 2π ω = —— T K ω² = —— m Velocidade angular no sistema mola-massa . . .a denominação pulsação é mais adequada ao MHS enquanto a velocidade angular é mais atribuída ao MCU associado . . que se propaga horizontalmente.A v=0 v = vmáx v=0 a = amáx a=0 a = amáx ------------------------------------------------------------------------------- 2) Força restauradora .m/s2 (N) F N/m m ** K x F = .Um ovel pode realizar um MHS preso a duas ou mais molas que podem esá em série ou paralelas entre si. ………………………………………………………………………………………………………… figura 1. -A -------------------------------------------O------------------------------------------------. (força que torna possível o MHS) Grandezas Força elástica Constante elástica deformação de uma mola Equação da força restauradora Unidades Símbolos / Equação Kg. 4) velocidade angular ou pulsação . --------------------------------------------------------------------------------------------------3) Associação de molas . Aω²cos(ωt + φ) …………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………… --------------------------------------------------------------------------------------------------6) Funções horárias (da posição.Aωsen(ωt + φ) a = .T = período . velocidade e aceleração) ………………………………………………………………………………………………………… Descrição Posição da partícula Velocidade Aceleração Equações x = Acos(ωt + φ) v = . Descrição Período em geral Equações 2π T = —— ω ___ T = 2π √(m/k) ___ T = 2π √(L/g) 1 n f = —— = —— T Δt Período no sistema mola-massa Período do pêndulo simples Frquência em geral . Descrição Velocidade máxima Equações vmáx = |Aω| .período é tempo que a partícula leva para completar uma oscilação. A = amplitude ou elongação máxima x = posição v = velocidade a = aceleração φ = constante de fase ou fase inicial ………………………………………………………………………………………………………… --------------------------------------------------------------------------------------------------7) velocidade e aceleração máximas (ocorremm repectivamente na posição de equilíbrio e nos pontos de elongações máximas) . m = massa . -------------------------------------------------------------------------------5) Período e frequência . ω = velocidade angular ou pulsação . frequência é o número de oscilações dadas na unidade de tempo. Aceleração máxima amáx = |Aω²| . Unidades m/s rad/s m m ** Símbolos/Equação v ω A x v ² = ω ²(A² . --------------------------------------------------------------------------------------------------8) Energia (mecânica. a amplitude e a posição . Grandezas Velocidade Velocidade angular ou pulsação Amplitude Posição equação da velocidade . 9) Relação entre as velocidades . cinética e potencial respectivamente) ……………………………………………………………………………………………………… Descrição Energia total Equações KA 2 Ec + Ep = —— 2 mv 2 Ec = —— 2 Kx 2 Ep = —— 2 Ennergia cinética Energia potencial ……………………………………………………………………………………………………… .x ²) -------------------------------------------------------------------------------------------------II) EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM E DE REVIÃO A) SOBRE MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 1.. Q e B (reta r) e na reta que contém os pontos C. P e D (reta s) e esta oscila entre os pontos A e B e entre os pontos C e D.1) Uma partícula no formato de uma letra luminosa H gira com velocidade angular de módulo constante de 5 rad/s descrevendo a circunferência de raio igual a 4 m como mostra a figura. . . Há uma projeção da luminosidade de H nas retas que contém os pontos A. realiza um MHS preso a uma mola segundo o gráfico da função horária y(t) = Acos(ωt + φ). Calcule: a) a amplitude (resp: A = 20 m). nos pontos de r e s onde a velocidade é máxima. reta r: vQ= 20 m/s reta s: vP = 20 m/s b) a velocidade. Ele oscila horizontalmente entre as posições -20m e 20m.2) Um corpo de 2kg realiza um MHS. b) a aceleração é máxima na posição de equilíbrio 0. em m/s. T=π/150 min) 1. podemos afimar corretamente que: a) a velocidade é máxima em -A e A. c) a aceleração é máxima nas estremidades -A e A. pontos simétricos do eixo x em relação a origem 0. como mostrado abaixo. em A e B e em C e D (resp: vA = 0. F = 5/2π HZ). c) a pulsação em rad/s (resp: 5 rad/s). aQ = 0) e) a aceleração máxima (resp: amáx = 100 m/s2) f) a frequência e o período respectivamente em Hz e em segundos (resp: f = 5/2π Hz. preso a uma mola de constante eléstica k = 50N/m e sujeito a ação apenas da força eléstica da mola. em m/s. e) a velocidade máxima (resp: 100 m/s) 2) Para uma partícula que oscila em MHS entre as posições -A e A. . T =2π/5 s) g) a frequência e o período respectivamente em rpm e em minutos (resp: f = 150/π rpm. vB = 0. b) o período e a frequência (resp: t =2π/5 S. vC=0 e vD=0) c) a amplitude do movimento projetado em r e s (resp: a = 4 m) d) a aceleração em P e Q (resp: aP = 0. determine a) a velocidade. ← (resposta) d) a velocidade é constante em tos os ponto entre -A e A 3) Um corpo de massa 2kg. d) a enegia total (resp: E = 10000 J).Para a luminosidade de H nas restas r ou s. T = 0. em m/s. varia com o tempo segundo a função x(t) = 10cos(4Πt + Π/3) com as unidades no S.4m oscila realizando um MHS.80π2 m/s2). no plano vertical. Determine: a) a sua posição em t =40s (resp: 5 m). b) a sua velocidade em t = 50s (resp: . f) a amplitude (resp: A = 10 m).I. f = 1/8 Hz) e) a fase inicial (resp: φo = 0º). 6. Determine: a) o período (resp: T = 2π/5 s). e) a amplitude (resp: A = 10 m). g) a frequência e o período (resp. O movimento assemelha-se a um pêndulo simples.5 s) 5) Determine a posição de uma partícula que realiza um MHS presa a uma mola de constante elástica K. c) a sua aceleração em t = 30s (resp: a = . A outra extremidade do fio está fixa no teto de uma sala. d) a sua pulsação (resp: 4π rad/s). para o caso onde a amplitude é A. f) a velocidade e a aceleração máximas (resp: 40π m/s e 160π2 m/s2). em um local onde a aceleração da gravidade é 10 m/s².20π√3 m/s). 4) A posição x de uma partícula que realiza um MHS.Para o MHS mencionado. no instante que a energia cinética é o dobro da energia potencial. d) a frequência em Hz e o período em segundos (resp: T = 8s. determine: a) a pulsação dessa partícula (equivalente à avelocidade angular no MCU) (resp: ω = π/4 rad/s). Sobre a partícula são feitas as seguintes afirmações: . c) a sua velocidade. b) a sua velocidade máxima (resp: 5π/2 m/s). f = 2 Hz. sendo esta força conservativa e admitindo que não há outra força atuando. resp: x = A/√3 6) Uma massa m presa a um fio ideal de 0. na posição x = 2m (resp: v = π√6 m/s).1) O gráfico abaixo representa o movimento harmônico simples de uma partícula que oscila presa a uma mola de constante elástica k. b) a frequência (resp: 5/2π Hz). 1) A projeção do MCU de um móvel de 4 kg sobre uma reta vertical que contém o diâmetro de uma circunferência de raio 8m é um MHS como mostrado a seguir. 9. resp: T' = T√2 9) Se o pêdndulo da questão anterior fosse um relógio. ele adiantaria ou atrasaria? Explique por que isso ocorre. o novo período e a nova frequência que passará a oscilar. Está(ão) correta(s): a) I b) I e II → c) II e IV d) II e IV e) todas 7) Seja T o período de um pêndulo simples que realiza um MHS com uma partícula de massa m presa a uma das extremidades livres de um fio de comprmento L e com a extremidade superior fixa. Se ele for levado para um local onde a aceleração da gravidade for g/2 e sendo mantido as condições climáticas do local anterior. II) a energia total é 9 J.I) a sua energia mecânica é 18 J. determine em função de T e f.2m a potencial é 7 J. determine o seu novo período em função de T. Se essa mesma partícula for presa a um fio de comprimento 2L. IV) a energia cinética em x = 1 m é 8 J. III) em x = . resp: T' = T√2 8) Um pêndulo simples de comprimento L quando oscila em uma região onde a acelaração da gravidade é g ele apresenta período T e frequência f. Determine: . c) o período e frequência (resp: T = 20 s. III -somente no ponto médio da sua trajetória. II. b) o número de vezes que partindo de A passa em B durante 100 segundos (resp: 25 vezes). (resp: 2π/25 m/s2) 10) Uma partícula de massa 3 kg realiza um movimento circular uniforme (MCU) com velocidade de módulo constante de 10 m/s. amáx = 2π/25 m/s2).a) a fase inicial (resp: π rad).a velocidade v da sombra é tal que ela pode ter 0 ≤ v ≤ 10 m/s Estão corretas: a) I e II → b) III e IV c) nenhuma d) somente IV e) somente III 11. c) a frequência e o período de oscilação da sombra da partícula (resp: f = 5/2π Hz. considere as afirmaçõe abaixo: I. f = 1/4 Hz). Determine: a) a velocidade máxima da sombra da partícula (resp: 10 m/s). descrevendo uma circunferência de raio 2 m. d) a frequência e o período do movimento da partícula (resp: f = 5/2π Hz. b) a amplitude (A = 8 m).a partícula e a sombra sempre têm a mesma velocidade. d) a frequência angular (resp: π/10 rad/s). e) a velocidade e acelaração máximas (resp: vmáx= 4π/5 m/s. f) a aceleração centrípetra do movimento circular vinculado. T = 2π/5 s). Suponha que um ponto fixo da periferia do referido disco projete uma sombra sobre uma reta a qual oscila entre dois pontos A e B como mostra a figura. IV. c) o número de vezes que partindo de A passa em P durante 400 segundos (resp: 200 vezes).2) O disco de raio 30 cm gira no plano vertical apoiado em uma superfície polida com uma frequência angular de π/2 rad/s. projetada na reta horizontal X que contém o diâmetro da circunferência. --------------------------A----------------------P---------------------B-------------------------------Para a sombra que move-se sobre a reta. . b) a aceleração máxima da sombra da partícula (resp: 50 m/s2). A sombra desta partícula. T = 2π/5 s). a velocidade da sombra e da partícila são iguais. realiza um movimento harmônico simples (MHS).a partícula e a sua sombra sempre têm a mesma aceleração centrípetra. determine: a) o período e a frequência (resp: T = 4s. e) a amplitude do movimento da sombra (resp: A = 2m) 11) sobre movimento da partícula e da sua sombra na questão anterior. f = 1/20 Hz). 768π2 m/s2). c) a velocidade e aceleração em t = 20 s (resp: v = 0. b) a sua velocidade em t = 60s (v = 0) . 768π2 m/s2) 15. aceleração nula em P) 12) Uma partícula realiza um MHS segundo a função x(t) = 20sen(5πt + π/2) com as unidades no S.4 s). A amplitude do movimento é 3 m. amáx = 300 m/s2 . d) a sua pulsação (resp: ω =5π rad/s). Calcule a amplitude. partindo de A. Determine: a) a sua posição em t =60s (resp: x = 20 m).15π m/s). e) o número de vezes que partindo de P passa em B durante 180 segundos (resp: 45 vezes). Resposta: vmax = 30 m/s . Estes movimentos estão sempre em: a) oposição de fase.2) Duas partiículas realizam um MHS em relação ao mesmo referencial e trajetória e também mesma direção descritos pelas equações horárias x1 = 20cos(3πt + 7π/2) e x2 = 20cos(3πt + 4π/2) com as unidades no SI. b) fase. T = 0. d) a velocidade e aceleração máximas (resp: 96π m/s.0kg que realiza movimento harmônico simples. partindo de P. a frequência e o período desse movimento. e) interferência parcialmente destrutiva. Calcule a velocidade máxima. i) O(s) pontos onde a velocidade é máxima na reta e este valor (resp: em P. g) o tempo gasto para.500π2 m/s2). f = 5/2π Hz e T = 2π/5 s) 15. partindo de P. com as unidades no S. d) interferência construtiva.1) A energia total de um móvel de 4. a aceleração máxima. b) o período e a frequência (resp: T = 1/4 s. a frequência e o período. f = 4 Hz). paasar em B 80 vezes (resp: 320 s). . f = 5/π Hz e T = π/5 s) 14) A posição de um móvel que realiza um MHS varia com o tempo segundo a função x = 12cos(8πt). Resposta: A = 10 m. h) o tempo gasto para. 13) Uma massa de 2 kg realiza um movimento harmônico simples presa a uma mola de constante elástica 200N/m. g) a frequência e o período (resp: f = 2. 0. Determine: a) o tempo que o móvel gasta para passar pela posição x = 0 (resp: 1/16 s).5 Hz. paasar em B 200 vezes (resp: 800 s). 500π2 m/s2). j) os pontos da reta onde a aceleração é máxima e nula respectivamente (resp: aceleração máxima em A e B. c) quadratura. preso a uma mola de constante elástica k = 100N/m é 5000J.I.d) o número de vezes que partindo de P passa em A durante 120 segundos (resp: 30 vezes).I. c) a sua aceleração em t = 30s (resp:a = . e) a amplitude (resp: A = 20 m). f) o tempo gasto para. paasar em A 500 vezes (resp: 2000 s). a = . f) a velocidade e a aceleração máximas (resp:100π m/s. 20) O período de oscilação de uma barra homogênea de comprimento L e massa m que gira em torno de um eixo afastado do centro de massa da barra é T = 2π(2L/3g)1/2.20√2π2 m/s2 e F = . Determine a posição.15. c) quando pelas as equações x e y o movimento encontrar-se em quadratura.r B) SOBRE MOVIMENTOS PERIÓDICOS EM GERAL (MAIS AVANÇADAS) 16) Uma partícula realiza um movimento no plano (xy) e os componentes deste movimento nos eixos x e y são respectivamente x(t) = 4cos(3t) e y = 2cost. com A1 = A2. nas seguintes situações: a) quando pelas as equações x e y o movimento encontrar-se em concordância de fase. com A1 > A2.3) Nos movimentos da questão do exercício anterior. Se os movimentos descritos por estas projeções apresentaremse em oposição de fase e em quadratura respectivamente.02 kg realiza um movimento periódico no eixo x segundo a função v(t) = (20π)sen(2πt . a = . Calcule o módulo da velocidade e da aceleração desta partícula em t = π/4 segundos.d.2sen(8t). d) uma elipse com focos no eixo y e uma reta. seria: a) 2/3 s b) 1/3 s c) 1/6 s d) 1s e) n.0. II) a uma distância L/3 do centro de massa da barra. . d) quando pelas as equações x e y o movimento encontrar-se em quadratura. b) uma reta e uma elipse com focos no eixo x ← (respsta) c) uma circunferência e uma hipérbole com focos no eixo real. a aceleração e a intensidade da força que atuou neste móvel em t = 100 segundos. d) uma elipse com focos no eixo x e uma hipérbole com focos no eixo imaginário. com A1 < A2. o tempo necessário para as partículas ficarem em concordância de fase quando se corrigissem as fases iniciais nas equações sem alterar os períodos e as amplitudes. a trajetória real da partícula é: a) uma reta e uma elipse com focos no eixo y. y e z são x(t) = 3cos(2t). respostas: x = 5√2 m.I. com as unidades no Sistema Internacional. 19) Encontrar as equações da trajetória real do movimento da partícula do problema anterior. Especificamente este período foi calculado para o caso onde o eixo de rotação da barra situa-se: I) no centro de gravidade da barra. A sua velocidade em t = π/2 segundos é: a) √37 m/s → b) 2√37 m/s c) 3√37 m/s d) 4√37 m/s e) 5√37 m/s 17) Um móvel de massa 0.π/4). com A1 > A2 e sendo A1 e A2 as amplitudes. com as unidades no S. 20) Uma partícula movimenta-se no espaço e as projeções nos eixos x. y(t) = 2cos(4t) e z(t) = .4√2π2 N 18) Demonstra-se que x2/A12 -2(xy/A1A2) cosΨo2 + y2/A22 = (senΨo2)2 é a equação geral da trajetória resultante das projeções ortogonais x = A1cos(ωt) e y = A2cos(ωt + Ψo2) do movimento de uma partícula no plano (xy) para períodos iguais. b) quando pelas as equações x e y o movimento encontrar-se em oposição de fase. e) quando pelas as equações x e y o movimento encontrar-se em quadratura. III) a uma distância L/2 do centro de massa da barra ← resposta. Está(ão) correta(s): a) I b) II c) III d) IV e) n. f) quando se despreza a massa da barra.d. c) quando se despreza a massa da barra. e) quando se despreza a massa da barra. c) zero. . e o campo E está orientado para cima. d) poderá ser 2√37 se φ = π/3 ← resposta e) será 14 se houver interferência parcialmente destrutiva.r 21) Calcule o período de oscilação da barra da questão anterior nos casos mencionados nos itens I. b) quando se despreza a massa da esfera e ela. está neutra. e esfera. b) nunca poderá ser 2. Desprezando-se a resistência do ar. 23) Um pêndulo que se encontra oscilando no plano vertical dentro de um campo elétrico de intensidade E e em um campo de gravidade é formado por uma barra não condutora de eletricidade de massa M e comprimento L e de uma esfera de massa m e raio R presa na extremidade livre. 22) Um ponto material realiza um MHS em relação a um referencial A segundo a equação x1(t) = 8cos[(4π/3)t] e o referencial A realiza também um MHS em relação a um referencial B em repouso segundo a equação x2(t) = 6cos[(4π/3)t + φ]. Sobre a amplitude do movimento resultante desta composição. III e IV em função de L e g. g) quando a esfera está neutra e a massa da barra e o dobro da massa da esfera. a alternativa correta é: a) nunca poderá ser 10. se não houver interferência. A extremidade oposta está presa num suporte fixo onde se articula sem atrito e permite que a barra realize pequenas oscilações em torno do eixo que passa por esta extremidade. a esfera está carregada com carga q > 0. d) quando se despreza a massa da barra. calcule o período e a frequência deste movimento em cada caso abaixo: a) quando se despreza a massa da barra e a esfera está neutra. II. a esfera está carregada com carga elétrica q > 0 e o campo E está orientado para baixo. a esfera está carregada com carga q < 0 e o campo E orientado para baixo. IV) a uma distância L/4 do centro de gravidade da barra. O ponto material e o referencial A movem -se na mesma direção. a esfera está carregada com carga q < 0 e o campo E orientado para cima.